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1 序 本 市 為 推 廣 資 優 教 育 並 開 發 教 材, 辦 理 國 中 各 學 科 領 域 資 優 教 育 種 子 教 師 實 務 工 作 坊, 至 今 已 邁 入 第 3 年, 邀 集 具 有 熱 誠 與 專 業 的 資 優 教 育 實 務 教 師 一 同 共 襄 盛 舉, 匯 集 眾 人 智 慧 與 寶 貴 經 驗, 逐 步 充 實 資 優 教 育 教 材 資 源 本 年 度 首 度 嘗 試 將 國 小 行 之 有 年 的 獨 立 研 究 課 程 主 題, 納 入 實 務 工 作 坊 中, 藉 由 國 小 學 驗 俱 豐 的 資 優 資 源 班 教 師 的 參 與, 擴 充 實 務 工 作 坊 課 程 內 涵, 整 合 與 開 發 國 中 小 資 優 教 育 教 材, 並 更 期 待 日 後 進 一 步 朝 國 中 與 高 中 職 資 優 教 育 教 材 研 發 之 目 標 邁 進 藉 由 提 供 資 優 學 生 教 師 及 家 長 充 實 豐 富 的 教 材 資 源, 進 行 教 學 與 學 習, 並 以 培 養 學 生 成 為 資 優 成 人 為 終 極 目 標 本 次 工 作 坊 特 別 感 謝 蔡 典 謨 教 授 左 太 政 教 授 余 岳 川 教 授 等 專 家 學 者 在 百 忙 之 中 慷 慨 允 諾 擔 任 本 次 工 作 坊 教 材 審 查 委 員, 悉 心 指 導 第 一 線 資 優 教 育 教 師 創 新 產 出 教 材 期 間 承 蒙 新 興 高 中 及 本 市 資 優 教 育 資 源 中 心 負 責 總 體 規 劃 工 作 ; 中 山 國 中 協 助 國 中 數 學 領 域 課 程 實 務 工 作 坊 經 營 ; 光 華 國 中 協 助 國 中 自 然 與 生 活 科 技 領 域 課 程 實 務 工 作 坊 經 營 ; 愛 國 國 小 協 助 國 小 獨 立 研 究 課 程 實 務 工 作 坊 之 經 營, 特 別 是 參 與 工 作 坊 的 所 有 教 師, 歷 經 4 個 月 的 密 集 聚 會 與 研 討, 研 發 創 新 教 材, 才 有 今 日 甜 美 果 實 豐 收, 在 此 表 達 深 摯 感 謝 之 意 期 盼 透 過 實 務 工 作 坊 教 師 研 發 之 各 領 域 教 師 指 導 手 冊, 拋 磚 引 玉, 激 發 各 校 課 程 發 展 之 創 新 思 維, 結 合 社 群 與 在 地 特 色, 豐 富 教 育 內 涵, 全 面 提 升 教 育 品 質, 適 性 培 育 資 優 人 才 高 雄 市 政 府 教 育 局 局 長 謹 誌

2 高 雄 市 95 學 年 度 國 中 推 廣 資 優 教 育 數 學 課 程 教 師 指 導 手 冊 目 錄 序 Ⅰ 指 導 教 授 的 話 Ⅱ 摘 要 Ⅲ 壹 談 國 中 資 優 班 數 學 之 課 程 規 劃 左 太 政 教 授...1 貳 資 優 班 之 多 元 教 學 方 法 左 太 政 教 授.10 參 國 中 資 優 班 數 學 課 程 活 動 設 計 許 建 銘 老 師..5 學 習 單 作 業 單 肆 主 題 一 : 數 與 量 單 元 一 : 奇 幻 方 陣 林 承 賢 陳 建 志 學 習 單 單 元 二 : 尋 找 規 律 性 張 家 熙 林 妙 玲 學 習 單 單 元 三 : 魔 術 數 學 黃 順 彬 活 動 單....78

3 主 題 二 : 代 數 單 元 一 : 費 氏 數 列 黃 菁 慧 鐘 惠 君..8 學 習 單 學 習 單 答 案 篇 單 元 二 : 黃 金 分 割 莊 雅 婷 江 士 凡. 93 主 題 三 : 幾 何 黃 金 比 例 學 習 單 單 元 一 : 如 何 摺 出 正 三 角 形 李 宜 純 王 佩 錡 10 學 習 單 單 元 二 : 長 方 形 紙 條 之 摺 紙 歐 宗 賢 黃 俊 揚.. 11 學 習 單 單 元 三 : 如 何 摺 出 正 八 邊 形 朱 家 德 林 文 新 10 學 習 單 伍 參 考 書 目.17

4 指 導 教 授 的 話 高 雄 師 範 大 學 數 學 系 左 太 政 教 授 感 謝 參 與 高 雄 市 95 年 度 國 中 小 學 推 展 資 優 教 育 種 子 教 師 實 務 工 作 坊 數 學 獨 立 研 究 課 程 的 老 師 們, 在 平 日 繁 忙 的 教 學 工 作 之 餘, 透 過 研 討 定 期 小 組 會 議 及 認 真 的 參 與, 終 於 如 期 完 成 作 品 作 品 內 容 除 了 提 供 老 師 如 何 指 導 學 生 進 行 獨 立 研 究 資 料, 並 提 供 三 大 主 題 範 例, 包 括 數 與 量 主 題 尋 找 規 律 性 奇 幻 方 陣 魔 術 數 學 及 驗 證 代 數 主 題 費 氏 數 列 黃 金 分 割 幾 何 主 題 動 手 玩 幾 何 摺 出 正 三 角 形 長 方 形 紙 條 摺 紙 摺 出 正 八 邊 形 等 供 老 師 教 學 參 考 本 次 資 優 數 學 工 作 坊 的 中 心 目 標 旨 在 希 望 能 提 供 資 優 班 數 學 教 師 教 學 資 料, 在 實 務 上 提 供 教 師 教 案 與 課 程 學 習 單, 而 課 程 的 設 計 能 符 合 資 優 教 育 理 念 與 學 生 特 質, 教 學 方 式 能 多 元 化 且 能 適 當 並 激 發 學 生 潛 力 及 創 意 九 年 一 貫 課 程 數 學 領 域 之 教 學 注 重 數 量 形 的 聯 繫, 讓 學 生 在 實 作 實 測 與 直 覺 中, 獲 得 數 量 形 及 其 相 互 關 係 的 概 念 並 逐 步 抽 象 化 與 程 序 化 成 為 精 練 有 效 的 數 學 語 言, 在 經 由 反 思 論 證 練 習 與 解 題, 讓 學 生 逐 步 穩 定 掌 握 其 概 念, 並 在 熟 練 中 建 立 更 高 層 之 具 體 數 學 直 覺 教 學 過 程 可 透 過 引 導 啟 發 或 教 導, 使 學 生 能 在 具 體 的 問 題 情 境 中, 以 所 學 的 數 學 知 識 為 基 礎, 形 成 解 決 問 題 所 需 的 新 數 學 概 念, 並 有 策 略 地 選 擇 正 確 又 有 效 率 的 解 題 程 序 教 師 應 協 助 學 生 體 驗 生 活 情 境 與 數 學 的 連 結 過 程, 培 養 學 生 能 以 數 學 的 觀 點 考 察 周 遭 事 物 的 習 慣, 並 培 養 學 生 觀 察 問 題 中 的 數 學 意 涵 特 性 與 關 係, 養 成 以 數 學 方 式, 將 問 題 表 徵 轉 為 數 學 問 題 再 加 以 解 決 的 習 慣 在 中 山 國 中 校 長 主 任 及 相 關 教 師 精 心 規 劃 及 與 會 教 師 團 隊 合 作 下, 使 得 研 究 成 果 豐 碩 今 將 成 果 集 輯 成 冊 以 供 資 優 班 數 學 教 師 教 學 之 參 考, 也 希 望 參 考 這 本 成 果 手 冊 的 各 界 人 士, 對 手 冊 中 疏 漏 或 不 足 的 地 方, 不 吝 加 以 指 正, 使 資 優 教 育 的 數 學 課 程, 注 入 多 活 力 與 創 意

5 高 雄 市 95 學 年 度 國 中 推 廣 資 優 教 育 數 學 課 程 教 師 指 導 手 冊 摘 要 本 次 資 優 數 學 工 作 坊 的 中 心 目 標 旨 在 希 望 能 提 供 資 優 班 數 學 教 師 能 立 即 和 實 際 上 的 運 用, 在 實 務 上 提 供 教 師 教 案 與 課 程 學 習 單, 課 程 的 設 計 符 合 資 優 教 育 理 念 與 學 生 特 質, 教 學 方 式 多 元 且 適 當 並 能 激 發 學 生 潛 力 及 創 意 作 品 內 容 除 了 教 導 老 師 如 何 指 導 學 生 進 行 獨 立 研 究, 並 提 供 三 大 主 題 範 例, 包 括 數 與 量 主 題 尋 找 規 律 性 奇 幻 方 陣 魔 術 數 學 及 驗 證 代 數 主 題 費 氏 數 列 黃 金 分 割 幾 何 主 題 動 手 玩 幾 何 摺 出 正 三 角 形 長 方 形 紙 條 摺 紙 摺 出 正 八 邊 形 等 供 老 師 參 考 九 年 一 貫 課 程 數 學 領 域 之 教 學 注 重 數 量 形 的 聯 繫, 讓 學 生 在 實 作 實 測 與 直 覺 中, 獲 得 數 量 形 及 其 相 互 關 係 的 概 念 並 逐 步 抽 象 化 與 程 序 化 成 為 精 鍊 有 效 的 數 學 語 言, 在 經 由 反 思 論 證 練 習 與 解 題, 讓 學 生 逐 步 穩 定 掌 握 其 概 念, 並 在 熟 練 中 建 立 更 高 層 之 具 體 數 學 直 覺 教 學 過 程 可 透 過 引 導 啟 發 或 教 導, 使 學 生 能 在 具 體 的 問 題 情 境 中, 以 所 學 的 數 學 知 識 為 基 礎, 形 成 解 決 問 題 所 需 的 新 數 學 概 念, 並 有 策 略 地 選 擇 正 確 又 有 效 率 的 解 題 程 序 教 師 應 協 助 學 生 體 驗 生 活 情 境 與 數 學 的 連 結 過 程, 培 養 學 生 能 以 數 學 的 觀 點 考 察 周 遭 事 物 的 習 慣, 並 培 養 學 生 觀 察 問 題 中 的 數 學 意 涵 特 性 與 關 係, 養 成 以 數 學 方 式, 將 問 題 表 徵 轉 為 數 學 問 題 再 加 以 解 決 的 習 慣

6 關 鍵 字 : 國 中 資 優 班 教 材 之 編 撰 與 教 學 方 法 資 優 班 之 多 元 教 學 方 法 數 與 量 主 題 尋 找 規 律 性 奇 幻 方 陣 魔 術 數 學 及 驗 證 代 數 主 題 費 氏 數 列 黃 金 分 割 幾 何 主 題 動 手 玩 幾 何 摺 出 正 三 角 形 長 方 形 紙 條 摺 紙 摺 出 正 八 邊 形

7 國 中 資 優 班 教 材 之 編 撰 與 教 學 方 法 壹 談 國 中 資 優 班 數 學 之 課 程 規 劃 一 數 理 資 優 班 之 設 立 左 太 政 / 國 立 高 雄 師 範 大 學 ( 一 ) 師 資 與 研 究 1. 鼓 勵 任 課 老 師 積 極 參 與 校 內 外 資 優 教 育 相 關 活 動. 鼓 勵 任 課 教 師 從 事 相 關 研 究 並 申 請 相 關 研 究 計 畫 3. 鼓 勵 專 門 學 科 任 課 教 師 積 極 進 修 4. 定 期 參 加 或 舉 辦 校 內 資 優 教 育 教 學 研 究 會 或 教 學 觀 摩 會 5. 進 行 各 項 教 學 參 與 研 習 之 心 得 分 享 ( 二 ) 課 程 與 教 學 1. 課 程 設 計 符 合 資 優 教 育 理 念 與 學 生 特 質. 編 選 適 合 學 生 特 質 與 程 度 之 教 材 3. 指 導 學 生 進 行 專 題 研 究 或 獨 立 研 究 4. 應 用 適 當 之 教 具 器 材 輔 助 教 學 5. 教 學 方 式 多 元 且 適 當 6. 教 學 方 式 能 激 發 學 生 創 意 ( 三 ) 學 生 學 習 成 果 1. 鼓 勵 資 優 班 學 生 積 極 參 與 校 內 外 各 項 競 賽 及 活 動. 鼓 勵 資 優 班 學 生 參 與 專 題 或 獨 立 研 究 3. 善 用 中 學 大 學 及 社 會 資 源 以 供 學 生 學 習 4. 舉 辦 學 生 學 習 成 果 發 表 會 等 相 關 活 動 5. 舉 辦 親 師 座 談, 與 家 長 聯 繫 密 切 6. 辦 理 學 生 學 習 輔 導 相 關 輔 導 措 施 二 鼓 勵 學 生 參 與 相 關 數 學 活 動 ( 一 ) 在 校 內 舉 辦 專 題 獨 立 研 究 數 學 競 賽 網 路 數 學 題 徵 求 解 答 數 學 遊 戲 數 學 謎 題 數 學 工 作 坊 數 學 專 題 報 告 數 學 簡 報 及 展 示 數 學 家 故 事 等 ( 二 ) 校 外 參 加 國 內 外 科 展 獨 立 研 究 數 學 競 賽 及 其 他 形 式 競 賽 如 科 學 趣 味 競 賽 等

8 三 數 學 相 關 活 動 的 舉 辦 之 目 的 1. 可 培 養 學 生 敏 銳 的 觀 察 力 創 造 力 及 思 考 力. 藉 觀 察 去 發 掘 一 些 問 題, 並 能 使 用 科 學 的 方 法 來 解 決 問 題, 期 使 能 透 過 科 學 方 法 使 學 生 獲 得 一 些 知 識 及 訓 練 學 生 傳 意 探 究 推 理 構 思 及 解 決 數 學 的 能 力 3. 使 學 生 能 體 驗 理 解 和 應 用 科 學 的 方 法, 培 養 創 新 的 精 神 和 實 踐 的 能 力, 以 提 升 學 生 數 學 及 科 學 素 養 4. 自 生 活 中 取 材, 引 發 學 生 學 習 的 興 趣, 培 養 日 常 生 活 所 需 的 數 學 素 養 四 何 謂 數 學 科 展 : 數 學 科 展 是 同 學 的 數 學 課 外 活 動 之 一, 選 取 題 材 可 能 有 關 : 1. 解 釋 數 學 的 理 論 ;. 解 決 數 學 問 題 ; 3. 利 用 不 同 的 數 學 概 念 探 討 遊 戲 五 如 何 撰 寫 研 究 報 告 作 品 說 明 需 用 WORD 檔 以 A4 格 張 直 式 橫 書, 並 需 繳 交 電 腦 檔 ( 一 ) 摘 要 ( 三 百 字 以 內 ) ( 二 ) 研 究 動 機 : 敘 述 問 題 如 何 發 生, 並 需 說 明 作 品 與 教 材 的 教 學 單 元 相 關 性 ( 三 ) 研 究 目 的 : 具 體 明 確 簡 潔 地 說 明 待 答 ( 待 解 決 ) 的 問 題 ( 四 ) 研 究 設 備 器 材 : 例 如 使 用 個 人 電 腦 列 表 機 硬 紙 板 及 較 具 模 型 等 ( 五 ) 研 究 過 程 或 方 式 : 依 據 研 究 目 的 將 待 答 的 問 題 有 步 驟 且 分 段 的 一 一 解 決 若 有 必 要, 需 先 舉 特 例 說 明, 再 予 以 推 廣 至 一 般 情 形 研 究 內 容 需 以 學 生 在 學 期 間 之 教 材 內 容 所 做 之 科 學 研 究 為 主 ( 六 ) 研 究 結 果 : ( 七 ) 結 論 : 依 據 各 項 研 究 結 果 提 出 總 結, 並 可 提 出 進 一 步 待 解 的 研 究 問 題 ( 八 ) 討 論 : 對 研 究 結 果 作 進 一 步 的 探 討 或 推 廣 ( 九 ) 參 考 資 料 及 其 他 : 與 作 品 有 關 的 資 料 儘 量 列, 並 依 規 定 格 式 列 出 中 英 文 文 獻 及 參 考 網 站, 如 下 列 範 例 : 1. 康 明 昌 著 (1987), 幾 個 有 名 的 數 學 問 題, 臺 北 : 中 研 院 數 學 研 究 所.Larson, R. E.(1994), Calculus, MA: D.C. Heath and Company. ( 十 ) 附 錄 - 圖 形 實 驗 數 據 電 腦 列 印 結 果 模 型 等

9 六 科 展 作 品 內 容 應 注 意 事 項 如 下 : 須 注 意 參 展 作 品 之 內 容 是 否 為 已 知 的 結 果, 例 如 : 商 高 定 理 的 證 明 魔 方 陣 費 瑪 點 河 內 塔 點 燈 問 題 等 1. 作 品 需 依 規 定 格 式 撰 寫, 必 要 時 附 上 實 驗 數 據 及 草 稿. 展 覽 內 容 以 學 生 在 學 期 間 之 教 材 內 容 所 做 之 科 學 研 究 為 主 3. 強 調 題 材 與 教 材 的 相 關 性 4. 對 作 品 的 要 求 : (1). 如 何 引 起 動 機 (). 強 調 創 意 及 鄉 土 性 (3). 是 否 由 同 學 們 自 行 做 (4). 思 考 的 程 序 必 要 時 先 以 電 腦 呈 現 其 可 能 結 果 (5). 研 究 方 法 之 嚴 密 性 及 完 整 性 ( 是 否 只 歸 納 結 果 而 缺 驗 證 ) (6). 不 得 只 以 電 腦 處 理 結 果 呈 現 而 不 用 數 學 驗 證 (7). 研 究 日 誌 或 數 據 之 詳 實 性 (8). 參 考 資 料 來 源 與 主 題 之 相 關 性 (9). 同 學 表 達 能 力 及 生 動 程 度 ( 操 作 技 術 ) (10). 學 術 性 或 實 用 性 價 值 (11). 主 題 與 教 材 之 相 關 性 七 鼓 勵 學 生 參 加 數 學 競 試 或 競 賽 ( 一 ) 須 了 解 為 何 要 參 加 數 學 競 試 或 競 賽 ( 二 ) 數 學 競 試 或 競 賽 的 目 的 ( 或 宗 旨 ) ( 三 ) 數 學 競 試 或 競 賽 與 學 生 的 學 習 教 師 的 教 學 之 關 聯 性 ( 四 ) 如 何 自 數 學 競 試 或 競 賽 中 吸 取 學 習 經 驗 ( 含 國 內 外 的 數 學 競 試 或 競 賽 ) 八 目 前 國 內 外 已 知 中 小 學 數 學 競 賽 活 動 ( 一 ) 教 育 部 及 公 立 大 學 舉 辦 高 中 數 學 能 力 競 賽 - 分 為 地 區 性 複 賽 及 全 國 決 賽 ( 二 ) 美 國 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)003 年 數 學 及 科 學 競 賽 : 參 加 對 象 為 小 四 及 國 二 學 生, 預 定 有 50 個 國 家 參 本 競 賽 迄 今 僅 舉 辦 過 1995 及 1999 年 二 次 競 賽, 其 中 1995 年 參 加 對 象 為 小 四 國 二 及 高 三, 共 4 國 家 參 加, 而 1999 年 僅 辦 國 二 競 賽, 我 國 曾 於 1999 年 參 加 是 項 競 賽, 以 國 二 學 生 為 參 賽 對 象, 共 有 38 個 國 家 參 加, 結 果 我 國 排 名 第 三 名 ( 參 考 網 址 : TIMSS 主 要 評 量 範 疇 : 整 數 與 分 數 代 數 幾 何 資 料 分 析 及 機 率 實 測 等 ( 三 ) 中 華 民 國 奧 林 匹 亞 委 員 會 承 辦 全 國 資 優 營 亞 太 數 學 奧 林 匹 亞 研 習 營 競 賽 及 IMO 競 賽 選 訓 及 參 賽 事 宜 題 目 題 型 : 數 論 代 數 幾 何 及 組 合 ( 上 述 各 題 型 含 不 等 式 ) ( 四 ) 女 子 數 學 奧 林 匹 克 競 賽 (00 年 8 月 14 日 至 18 日 於 大 陸 首 次 舉 辦 )

10 ( 五 ) 高 雄 師 範 大 學 承 辦 高 雄 市 青 少 年 數 學 國 際 城 市 邀 請 賽 ( 民 國 八 十 八 年 創 辦 ) ( 六 ) 高 雄 師 範 大 學 數 學 系 承 辦 澳 洲 AMC 分 級 競 賽 ( 七 ) 高 雄 師 範 大 學 承 辦 網 路 數 學 競 賽 ( 分 網 路 及 現 場 競 試 計 五 關 ) ( 八 ) 國 立 台 灣 師 範 大 學 科 教 中 心 承 辦 國 中 數 學 奧 林 匹 亞 競 賽, 遴 選 選 手 參 加 由 印 尼 舉 辦 初 中 數 學 奧 林 匹 亞 競 賽 (003 年 首 辦 ) ( 九 ) 高 雄 師 範 大 學 科 教 中 心 承 辦 小 學 科 學 ( 含 數 學 ) 競 賽, 遴 選 選 手 參 加 由 印 度 舉 辦 小 學 科 學 競 賽 (004 年 首 辦 ) ( 十 ) 印 度 舉 辦 國 際 青 年 數 學 邀 請 賽 (004 年 首 辦 ), 一 對 有 六 位 學 生, 由 三 位 高 中 生 及 三 位 國 中 生 組 成, 內 容 有 個 人 競 賽 對 際 賽 及 數 學 趣 味 競 賽 ( 十 一 ) 民 間 機 構 或 基 金 會 舉 辦 各 級 數 學 競 賽 1. 九 章 文 教 基 金 會 承 辦 環 球 城 市 盃 競 賽 ( 分 國 中 及 高 中 二 組 ), 每 年 分 春 秋 二 次 競 賽. 九 章 文 教 基 金 會 承 辦 小 學 數 學 奧 林 匹 亞 競 賽, 推 薦 隊 伍 參 加 香 港 大 陸 泰 國 等 地 區 舉 辦 小 學 數 學 競 賽 3. 九 九 文 教 基 金 會 承 辦 國 內 ARMT 競 賽 及 國 際 ARML 競 賽 4. 中 等 教 育 學 會 承 辦 美 國 AMC 分 級 競 賽 5. 九 九 文 教 基 金 會 承 辦 全 國 國 中 數 學 競 賽 6. 其 他 機 構 舉 辦 數 學 競 賽 ( 或 仿 國 中 基 測 ) 上 述 競 賽 除 了 公 立 機 構 舉 辦 而 獲 得 的 獎 狀 可 能 有 助 於 大 中 學 推 甄 級 申 請 入 學 外, 需 注 意 那 些 民 間 機 構 或 基 金 會 舉 辦 數 學 競 賽 是 否 可 供 大 中 學 推 甄 級 申 請 入 學 參 考 九 從 競 試 或 競 賽 宗 旨 談 學 生 的 學 習 競 賽 旨 在 : 1. 使 學 生 瞭 解 數 學 的 重 要 性 ;. 檢 視 學 生 自 己 的 數 學 能 力 ; 3. 競 賽 試 題 更 可 提 供 教 師 教 學 資 源 及 評 量 參 考 十 淺 談 數 學 解 題 ( 一 ) 問 題, 是 數 學 的 核 心, 而 學 習 數 學 就 是 學 習 如 何 解 決 問 題, 包 括 那 些 可 以 轉 換 成 數 學 題 的 各 類 問 題 ( 即 外 在 連 結 ) 由 於 解 題 的 態 度 和 學 習 方 法 的 不 同, 將 影 響 其 學 習 成 效 教 師 宜 避 免 下 列 事 項 發 生 : 1. 將 解 題 ( 指 定 作 業 ) 當 做 是 教 師 交 代 的 任 務, 其 結 果 是 做 過 的 題 目 會 解 ( 並 非 保 證 會 ), 而 沒 做 過 的 題 目 便 不 會 解, 並 沒 有 學 會 解 題. 解 題 時 採 取 題 海 戰 術, 教 師 指 定 大 量 作 業 或 學 生 作 大 量 課 外 題, 其 結 果 是 造 成 學 生 過 重 的 負 擔, 不 能 使 學 生 學 會 解 題

11 ( 二 ) 如 教 師 能 依 下 列 方 式 教 導 學 生, 將 有 助 於 數 學 的 學 習 : 1. 能 教 導 學 生 將 解 題 視 為 是 研 究 的 觀 點, 將 所 解 的 每 一 道 題 目, 仔 細 加 以 研 究, 在 解 題 之 前, 必 須 探 討 其 與 已 知 的 數 學 知 識 方 法 及 過 去 解 題 經 驗 之 間 的 聯 繫, 從 中 找 出 一 條 或 多 條 解 題 思 路. 解 題 之 後, 並 不 表 示 已 完 成 任 務, 需 再 研 究 其 多 種 不 同 的 解 法, 以 及 將 題 目 條 件 的 變 化 或 推 廣, 進 而 產 生 新 的 題 目 如 果 學 生 能 這 樣 做, 就 能 以 少 勝 多, 透 過 少 量 精 選 題 的 研 究, 達 到 貫 通 數 學 知 識 和 數 學 方 法 的 目 的, 以 提 高 學 生 解 題 能 力 及 學 習 的 成 效 十 一 國 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 數 學 學 習 領 域 第 五 主 題 連 結 中 的 解 題 能 力 指 標 ( 一 ) 連 結 分 內 部 及 外 部 連 結 : 1. 數 學 內 部 的 連 結 可 貫 穿 前 述 四 個 主 題, 來 強 調 解 題 能 力 的 培 養. 數 學 外 部 的 連 結 則 強 調 生 活 及 其 他 領 域 中 數 學 問 題 的 察 覺 轉 化 解 題 溝 通 評 析 諸 能 力 的 培 養 具 備 這 些 能 力, 一 方 面 增 進 學 生 的 數 學 素 養, 能 適 切 地 應 用 數 學, 來 提 高 生 活 品 質, 另 一 方 面 也 能 加 強 其 數 學 的 思 維, 有 助 於 個 人 在 生 涯 中 求 進 一 步 的 發 展 各 階 段 四 個 主 題 的 能 力 要 與 連 結 的 能 力 相 配 合 培 養, 而 連 結 的 能 力 經 過 各 階 段 後 會 愈 來 愈 強 ( 二 ) 連 結 的 能 力 指 標 用 三 碼 表 示 : 第 一 碼 表 連 結 (C), 第 二 碼 表 察 覺 (R) 轉 化 (T) 解 題 (S) 溝 通 (C) 評 析 (E), 第 三 碼 則 是 流 水 號 1. 察 覺 C-R-01 能 察 覺 生 活 中 與 數 學 相 關 的 情 境 C-R-0 能 察 覺 數 學 與 其 他 領 域 之 間 有 所 連 結 C-R-03 能 了 解 其 他 領 域 中 所 用 到 的 數 學 知 識 與 方 法 C-R-04 能 察 覺 數 學 與 人 類 文 化 活 動 相 關. 轉 化 C-T-01 能 把 情 境 中 與 問 題 相 關 的 數 量 形 析 出 C-T-0 能 把 情 境 中 數 量 形 之 關 係 以 數 學 語 言 表 出 C-T-03 能 把 情 境 中 與 數 學 相 關 的 資 料 資 訊 化 C-T-04 能 把 待 解 的 問 題 轉 化 成 數 學 的 問 題 3. 解 題 C-S-01 能 分 解 複 雜 的 問 題 為 一 系 列 的 子 題 C-S-0 能 選 擇 使 用 合 適 的 數 學 表 徵 C-S-03 能 熟 悉 解 題 的 各 種 歷 程 : 蒐 集 觀 察 臆 測 檢 驗 推 演 驗 證 論 證 等 C-S-04 能 運 用 解 題 的 各 種 方 法 : 分 類 歸 納 演 繹 推 理 推 論 類 比 分 析 形 一 般 化 特 殊 化 模 型 化 系 統 化 監 控 等 C-S-05 了 解 一 數 學 問 題 可 有 不 同 的 解 法, 並 能 嘗 試 不 同 的 解 法

12 C-S-06 能 用 電 算 器 或 電 腦 處 理 大 數 目 或 大 量 數 字 的 計 算 C-S-07 能 發 展 應 用 問 題 的 解 題 策 略 4. 溝 通 C-C-01 了 解 數 學 語 言 ( 符 號 用 語 圖 表 非 形 式 化 演 繹 等 ) 的 內 涵 C-C-0 了 解 數 學 語 言 與 一 般 語 言 的 異 同 C-C-03 能 用 一 般 語 言 與 數 學 語 言 說 明 情 境 與 問 題 C-C-04 用 數 學 的 觀 點 推 測 及 說 明 解 答 的 屬 性 C-C-05 用 數 學 語 言 呈 現 解 題 的 過 程 C-C-06 用 一 般 語 言 及 數 學 語 言 說 明 解 題 的 過 程 C-C-07 用 回 應 情 境 設 想 特 例 估 計 或 不 同 角 度 等 方 式 說 明 或 反 駁 解 答 的 合 理 性 C-C-08 能 尊 重 他 人 解 決 數 學 問 題 的 多 元 想 法 C-C-09 能 回 應 情 境 共 同 決 定 數 學 模 型 中 的 一 些 待 定 參 數 5. 評 析 C-E-01 能 用 解 題 的 結 果 闡 釋 原 來 的 情 境 問 題 C-E-0 能 由 解 題 的 結 果 重 新 審 視 情 境, 提 出 新 的 觀 點 或 問 題 C-E-03 經 闡 釋 及 審 視 情 境, 能 重 新 評 估 原 來 的 轉 化 是 否 得 宜, 並 做 必 要 的 調 整 C-E-04 能 評 析 解 法 的 優 缺 點 C-E-05 能 將 問 題 與 解 題 一 般 化 十 二 數 學 能 力 1. 數 學 能 力 是 一 種 特 殊 的 能 力, 它 是 在 學 習 數 學 的 過 程 中 所 形 成 和 發 展 的. 就 整 個 數 學 學 習 的 過 程 中, 所 提 及 的 數 學 能 力 通 常 包 括 一 般 能 力 和 數 學 基 本 能 力 3. 數 學 基 本 能 力 就 是 課 程 綱 要 要 求 培 養 的 計 算 能 力 邏 輯 推 理 能 力 平 面 與 空 間 的 概 念 和 解 決 簡 單 的 實 際 問 題 之 能 力 十 三 數 學 學 習 ( 一 ) 學 習 是 學 與 習 兩 方 面 的 結 合, 學 是 著 重 在 思, 即 感 知 與 理 解 ; 習 是 著 重 在 行, 即 鞏 固 與 應 用 學 習 是 依 據 教 學 目 標 的 要 求 進 行 的, 及 獲 得 數 學 知 識 和 經 驗 而 引 起 的 行 為 變 化 ( 二 ) 從 數 學 本 質 談 數 學 學 習 1. 數 學 是 否 是 真 理? 已 知 長 方 形 的 面 積, 可 推 導 出 正 方 形 平 行 四 邊 形 梯 形 三 角 形 圓 等 基 本 圖 形 的 面 積

13 . 數 學 的 本 質 - 一 切 從 猜 想 開 始, 經 由 驗 證 而 得 ( 三 ) 有 效 的 學 習 - 可 依 下 列 方 式 進 行 : 1. 觀 察 現 象. 發 現 問 題 ( 或 提 出 問 題 ) 3. 如 何 使 用 已 習 知 識 ( 或 概 念 ) 4. 回 答 問 題 ( 歸 納 結 果 ) 5. 說 明 理 由 十 四 如 何 培 養 數 學 能 力 培 養 學 生 數 學 的 能 力 是 教 師 在 教 學 時 重 要 課 題 之 一, 其 要 求 如 下 : ( 一 ) 在 教 學 及 解 題 過 程 中 培 養 觀 察 能 力 ( 二 ) 培 養 理 解 能 力 ( 三 ) 培 養 記 憶 能 力 ( 四 ) 培 養 連 結 ( 應 用 ) 能 力 -- 能 解 決 簡 單 實 際 問 題 的 能 力 ( 五 ) 培 養 計 算 能 力 ( 六 ) 培 養 邏 輯 思 維 能 力 -- 比 較 能 力 分 析 及 綜 合 能 力 抽 象 及 概 括 能 力 判 斷 及 推 理 ( 含 歸 納 及 演 繹 ) 能 力 ( 七 ) 培 養 平 面 及 空 間 想 像 能 力 ( 八 ) 培 養 創 造 性 思 維 能 力

14 十 五 解 題 方 法 的 三 個 層 次 ( 一 ) 解 題 的 具 體 方 法 和 技 巧 如 一 元 二 次 方 程 式 的 公 式 解 等 ( 二 ) 數 學 解 題 的 一 些 通 則 -- 如 歸 納 法 和 演 繹 法 直 接 證 法 和 反 證 法 分 析 法 和 綜 合 法 解 析 法 等 ( 三 ) 數 學 解 題 中 的 思 考 原 則 和 策 略 十 六 數 學 解 題 策 略 通 常 數 學 解 題 的 過 程 可 依 下 列 四 個 步 驟 進 行 : ( 一 ) 瞭 解 問 題 - 從 審 查 題 意, 發 掘 概 念 內 涵 ; 若 題 意 不 了 解, 不 妨 再 閱 讀 二 至 三 次, 直 至 了 解 題 意 關 鍵 處 ( 二 ) 擬 定 計 畫 - 能 分 析 問 題 並 產 生 聯 想, 以 尋 求 解 題 途 徑, 可 依 下 列 方 式 進 行 : 1. 儘 可 能 畫 出 圖 形 或 表 格 ;. 檢 查 特 例 如 令 問 題 中 的 整 數 取 1,,3,4, 5 等 特 殊 值 代 入, 看 看 是 否 可 歸 納 出 規 律 來 ; 3. 嘗 試 簡 化 問 題 如 利 用 對 稱 性 採 用 不 妨 假 設 而 不 失 問 題 的 一 般 討 論 方 式 4. 如 無 法 立 即 解 決 問 題, 需 保 留 任 何 解 題 的 記 錄, 以 便 先 做 別 題 後 再 回 頭 解 本 題 時 參 考 使 用 ( 三 ) 實 行 計 畫 - 選 擇 策 略 及 綜 合 運 用 知 識 去 進 行 推 理 計 算, 以 解 決 問 題 ( 四 ) 回 顧 解 答 - 驗 證 答 案 是 否 合 理 及 思 考 結 果 或 方 法 能 否 用 於 解 其 他 問 題, 甚 至 於 自 己 修 改 原 問 題 或 推 廣 其 結 論, 形 成 另 一 個 問 題, 亦 可 考 慮 作 為 專 題 研 究 之 題 目 簡 言 之, 通 常 解 題 活 動 先 從 題 目 待 答 或 待 證 明 的 地 方 著 手 (Request), 適 時 引 進 題 目 的 已 知 條 件 及 潛 在 的 性 質 (Response), 最 後 導 出 結 果 (Result). 這 是 所 謂 的 3 R 策 略

15 十 七 數 學 問 題 的 解 題 方 法 ( 一 ) 常 見 的 解 題 方 法 1. 演 繹 法 與 歸 納 法. 倒 推 法 3. 變 換 條 件 法 4. 類 比 與 推 廣 ( 二 ) 證 明 1. 直 接 證 明. 間 接 證 明 (1) 反 證 法 () 窮 舉 法 : 先 將 結 論 否 定 後 發 現 有 不 止 一 種 情 況, 要 一 一 否 定 (3) 幾 何 中 的 同 一 法 ( 三 ) 探 索 性 的 思 維 方 法 1. 觀 察 與 試 驗. 不 完 全 歸 納 法 ( 由 特 例 而 歸 納 出 一 般 情 形 但 未 證 明 ) 3. 類 比 4. 猜 想 : 例 如 Goldbach conjecture. ( 四 ) 解 題 後 的 反 思 1. 一 題 多 解. 引 申 與 題 組 3. 縱 向 及 橫 向 的 推 廣

16 貳 資 優 班 之 多 元 教 學 方 法 一 九 年 一 貫 課 程 數 學 學 習 領 域 之 教 學 (1) 課 程 綱 要 能 力 指 標 的 訂 定, 以 該 階 段 或 分 年 結 束 時, 學 生 應 具 備 的 數 學 能 力 為 考 量 教 師 應 依 據 能 力 指 標 及 其 詮 釋, 規 劃 課 程 教 案 或 依 照 教 科 書 進 行 教 學 () 能 力 指 標 與 分 年 細 目 是 離 散 的 條 目, 但 教 學 與 學 習 是 連 續 的 過 程 階 段 或 分 年 的 規 定, 強 調 的 是 在 該 階 段 或 分 年 中, 應 以 條 目 內 容 為 重 點, 發 展 並 完 成 但 是 基 於 學 習 的 需 求, 教 師 仍 然 可 以 依 自 己 的 經 驗, 先 作 部 分 的 跨 階 段 或 跨 年 的 前 置 處 理 (3) 教 師 教 學 應 以 學 生 為 主 體, 以 學 生 的 數 學 能 力 發 展 為 考 量 (4) 課 程 綱 要 的 制 訂, 並 未 預 設 特 定 的 教 學 法, 反 而 希 望 教 師 能 依 學 生 的 年 齡 前 置 經 驗 授 課 主 題 特 性 與 教 學 現 場 的 狀 況, 因 時 制 宜, 採 用 教 師 本 身 覺 得 恰 當 或 擅 於 處 理 的 教 學 法, 順 暢 地 進 行 教 學 (5) 原 則 上, 在 國 小 低 年 級 時, 配 合 學 生 學 習 之 發 展, 可 採 用 較 多 的 活 動 課 程 但 隨 著 年 級 的 增 加 與 授 課 主 題 深 度 的 轉 變 ( 主 要 是 分 數 ), 到 小 學 高 年 級 時, 則 應 減 少 活 動 課 程 的 份 量, 增 加 授 課 與 討 論 的 份 量, 使 能 順 利 銜 接 到 一 般 國 中 高 中 的 授 課 方 式 (6) 數 學 教 學 應 注 重 數 量 形 的 聯 繫, 讓 學 生 在 實 作 實 測 與 直 覺 中, 獲 得 數 量 形 及 其 相 互 關 係 的 概 念, 並 逐 步 抽 象 化 與 程 序 化 成 為 精 鍊 有 效 的 數 學 語 言, 再 經 由 反 思 論 證 練 習 與 解 題, 讓 學 生 逐 步 穩 定 掌 握 其 概 念, 並 在 熟 練 中 建 立 更 高 層 之 具 體 數 學 直 覺 (7) 教 學 過 程 可 透 過 引 導 啟 發 或 教 導, 使 學 生 能 在 具 體 的 問 題 情 境 中, 順 利 以 所 學 的 數 學 知 識 為 基 礎, 形 成 解 決 問 題 所 需 的 新 數 學 概 念, 並 有 策 略 地 選 擇 正 確 又 有 效 率 的 解 題 程 序 教 師 可 提 供 有 啟 發 性 的 問 題 關 鍵 性 的 問 題 現 實 生 活 的 應 用 問 題, 激 發 學 生 不 同 的 想 法 (8) 教 師 應 協 助 學 生 體 驗 生 活 情 境 與 數 學 的 連 結 過 程, 培 養 學 生 能 以 數 學 的 觀 點 考 察 周 遭 事 物 的 習 慣, 並 培 養 學 生 觀 察 問 題 中 的 數 學 意 涵 特 性 與 關 係, 養 成 以 數 學 的 方 式, 將 問 題 表 徵 為 數 學 問 題 再 加 以 解 決 的 習 慣, 以 提 高 應 用 數 學 知 識 的 能 力 同 時 在 發 展 解 題 策 略 的 過 程 中, 加 深 對 數 學 概 念 之 理 解 (9) 當 學 生 學 習 數 學 時, 在 生 活 應 用 解 題 與 抽 象 形 式 能 力 兩 課 題 間, 必 須 來 回 往 復 地 相 互 加 強, 才 能 真 正 順 利 地 發 展 數 學 能 力

17 二 創 意 教 學 的 意 義 : 所 謂 的 創 意 教 學, 其 實 就 是 教 師 將 創 造 力 表 現 於 教 學 中, 不 會 墨 守 成 規 永 遠 按 照 相 同 既 定 模 式 進 行 教 學 創 意 的 本 身, 本 來 就 沒 有 固 定 的 模 式, 會 因 事 物 的 發 展 和 需 要 產 生 相 對 應 的 變 化 一 個 有 創 意 的 教 師 會 不 斷 調 整 自 己 的 教 學 方 式, 讓 學 生 覺 得 學 習 是 有 趣 的, 使 教 學 達 到 最 高 的 成 效 創 意 教 學 並 非 單 指 某 一 種 教 學 過 程 或 是 全 新 的 教 學 方 法, 是 一 種 透 過 教 師 不 斷 的 自 我 充 實 發 揮 創 造 力, 去 重 視 學 生 的 需 求 和 感 受, 最 終 能 激 發 學 生 主 動 學 習 參 與 知 識 探 索 的 能 力 整 體 而 言 來 說, 我 們 期 待 一 個 有 創 意 教 師 能 做 到 下 列 幾 項 : 1. 教 師 要 用 多 元 富 有 彈 性 的 教 學 方 法, 來 增 強 學 生 學 習 的 效 果. 教 師 要 營 造 一 個 民 主 開 放 溫 馨 的 學 習 環 境, 和 學 生 能 夠 維 持 一 個 良 好 的 師 生 互 動 關 係 3. 教 師 要 學 會 善 用 各 式 教 學 媒 體, 不 再 永 遠 只 是 一 隻 粉 筆 走 遍 教 室 利 用 資 訊 科 技 的 教 學 媒 體 來 呈 現 教 材, 所 產 生 的 聲 光 刺 激, 會 是 吸 引 學 生 注 意 力 和 增 加 學 生 學 習 效 果 的 好 方 法 大 體 說 來, 雖 然 使 用 多 元 媒 體 是 個 好 事, 但 根 據 媒 體 理 論, 使 用 教 學 媒 體 還 是 得 適 量, 因 為 太 多 聲 光 刺 激 反 而 會 造 成 學 生 分 心 的 反 效 果 4. 教 師 要 重 視 學 生 動 機 的 引 起, 才 能 讓 學 生 的 學 習 產 生 持 久 性, 往 後 造 成 有 意 義 的 學 習 5. 教 師 要 透 過 不 同 的 教 學 評 量 來 衡 量 學 生 的 學 習 成 效, 並 非 只 是 紙 筆 測 驗 因 為 紙 筆 測 驗 所 能 衡 量 出 學 生 的 學 習 能 力, 僅 特 定 某 幾 項 6. 教 師 要 鼓 勵 學 生 主 動 參 與 分 組 討 論, 讓 學 生 確 實 能 參 與 各 項 學 習 活 動 教 師 要 扮 演 一 個 引 導 者 的 角 色, 讓 學 生 理 解 學 習 是 他 的 事 情, 方 能 確 實 提 昇 教 學 的 功 效 讓 教 學 富 有 創 意, 說 實 在 是 件 不 容 易 的 事 下 列 有 幾 個 可 以 教 師 增 進 教 學 創 造 力 的 方 法 [ 賴 麗 珍 引 述 Michaloko,1994] : 1. 創 造 力 自 我 肯 定 練 習 : 教 師 在 一 段 時 間 ( 五 天 或 一 禮 拜 ), 每 天 寫 下 0 句 不 同 的 句 子, 都 是 在 陳 述 我 是 最 有 創 意 的

18 . 創 意 配 額 : 每 天 指 定 一 定 數 量 的 創 意 構 想, 要 自 己 達 到 3. 改 變 生 活 習 慣 : 列 出 自 己 可 以 改 變 的 生 活 習 慣, 並 逐 項 改 變, 也 許 時 間 要 一 星 期 或 一 個 月 4. 創 意 撲 滿 : 隨 手 養 成 收 集 創 意 的 習 慣, 也 許 來 自 對 話 電 子 信 件 廣 告 書 本, 將 他 們 放 置 於 一 個 容 器 內 或 是 寫 在 紙 上, 當 思 索 創 意 時, 隨 便 取 出 兩 個 試 著 激 盪 看 看 5. 記 錄 創 意 : 針 對 自 己 生 活 中 所 關 心 的 事 情, 隨 時 將 自 己 的 創 意 錄 下 來 創 意 可 以 是 教 師 自 己 的 教 學 反 省, 並 隨 時 溫 習 這 些 紀 錄 三 創 意 教 學 的 特 色 校 創 意 教 學 的 特 色 為 何, 由 教 育 部 於 九 十 年 十 二 月 完 成 的 二 00 一 年 教 育 改 革 之 檢 討 與 改 進 會 議 報 告 書 草 案 及 九 十 一 年 十 一 月 的 九 年 一 貫 課 程 改 革 實 施 二 年 總 檢 討 專 案 報 告, 便 可 能 窺 知 一 二 ( 一 ) 鼓 勵 教 師 成 為 行 動 研 究 者, 並 以 學 生 為 中 心, 扮 演 從 旁 協 助 和 輔 導 的 角 色 ( 二 ) 推 動 並 落 實 班 群 觀 念, 以 利 協 同 教 學 的 推 動 ( 三 ) 型 塑 親 師 生 三 位 一 體 的 觀 念, 加 強 與 社 區 資 源 相 結 合, 以 利 教 學 進 行 四 創 意 教 學 方 式 : 創 意 活 潑 多 元 化 教 學 需 設 計 教 學 活 動 及 學 習 單 配 合 教 學, 方 式 如 下 : ( 一 ) 資 訊 融 入 數 學 科 教 學 ( 或 使 用 Power Point 教 學 ) ( 二 ) 數 學 史 融 入 數 學 科 教 學 ( 三 ) 教 具 模 型 及 電 算 器 輔 助 教 學 ( 四 ) 行 動 研 究 之 教 學 方 式 五 探 究 的 意 義 何 謂 探 究 (inquiry)? 探 究 就 是 尋 找 問 題 和 解 決 問 題 的 過 程 探 究 是 人 類 一 種 思 考 的 方 式, 尋 找 資 料 的 過 程, 及 瞭 解 事 物 的 過 程 六 探 究 教 學 法 探 究 教 學 法 和 講 述 教 學 法 是 完 全 不 同 的 教 學 法, 學 生 經 由 探 究 的 過 程, 練 習 科 學 方 法 在 探 究 的 過 程 中, 可 發 現 問 題, 同 時 也 可 以 尋 找 解 決 問 題 的 方 法

19 七 探 究 教 學 法 的 特 徵 探 究 教 學 有 四 種 特 徵 : 1. 學 生 對 自 然 事 物 與 現 象 主 動 地 去 研 究, 經 過 探 求 自 然 的 過 程 獲 得 科 學 上 的 知 識. 為 了 研 究 自 然 而 培 養 所 需 要 的 探 求 能 力 3. 有 效 地 形 成 認 識 自 然 基 礎 的 科 學 概 念 4. 培 養 探 究 未 知 自 然 的 積 極 態 度 5. 經 由 探 究 活 動 而 學 得 的 知 識 是 科 學 概 念 而 不 是 文 字 知 識 因 學 生 經 由 探 究 活 動 過 程, 能 在 腦 海 中 建 構 自 己 的 概 念 體 系 當 愈 多 的 活 動 被 學 生 探 究, 學 生 的 科 學 態 度 會 積 極, 科 學 方 法 的 層 次 愈 高, 會 愈 有 信 心 探 討 更 多 的 活 動 八 探 究 教 學 法 的 種 類 ( 一 ) 發 現 式 探 究 教 學 法 (Inquiry by discovery) 此 種 教 學 法 就 是 我 們 常 說 的 發 現 教 學 法 的 典 型 其 進 行 的 程 序 約 可 分 為 兩 個 階 段 第 一 階 段 : 老 師 將 預 先 準 備 的 教 具 交 給 學 生, 讓 學 生 或 分 組 或 以 個 人 活 動 的 方 式 ( 視 教 具 的 質 量 而 定 ) 完 成 操 作 這 些 教 具 此 時 老 師 巡 迴 於 各 組 之 間, 注 意 個 別 學 生 操 作 情 形 與 態 度, 以 及 學 生 彼 此 之 間 的 討 論 對 話 內 容, 儘 量 不 告 訴 學 生 怎 麼 操 作 或 觀 察 什 麼 ; 只 偶 而 以 口 頭 或 個 別 示 範 的 方 式, 協 助 特 別 有 困 難 的 學 生 第 二 階 段 : 讓 各 組 學 生 發 展 他 們 的 操 作 方 式 和 發 現, 並 鼓 勵 全 班 學 生 進 行 討 論 他 們 所 剛 獲 得 的 學 習 經 驗 此 時 老 師 與 學 生 間 的 口 頭 交 互 作 用, 與 學 生 根 據 討 論 的 內 容, 重 複 操 作 教 具, 構 成 主 要 的 活 動 內 容 老 師 以 問 問 題 的 方 式, 誘 導 學 生 依 據 既 得 的 經 驗 自 行 去 發 現 法 則 關 係, 以 完 成 教 學 老 師 所 問 的 問 題, 必 須 是 發 散 性 的 問 題, 而 不 是 收 斂 性 的 問 題, 否 則 就 剝 奪 了 學 生 自 行 思 考 發 現 的 機 會, 而 流 於 注 入 式 的 窠 臼 所 謂 收 斂 性 的 問 題, 是 指 固 定 答 案 的 問 題, 其 答 案 往 往 是 是 或 不 是 的 類 型 例 如 它 們 是 不 是 有 的 關 係 呢? 等 發 散 性 的 問 題 則 是 指 為 什 麼 會 這 樣 呢? 等 之 類 的 問 題 這 類 問 題 沒 有 固 定 的 答 案, 隨 學 生 程 度 而 有 不 同 的 發 揮, 同 時 也 能 給 予 學 生 較 多 的 思 考 機 會 若 干 人 士 認 為, 發 現 式 教 學 法 費 時 過 多, 進 行 緩 慢, 不 足 取 法 更 有 人 認 為, 要 求 學 生 以 科 學 家 的 身 分, 以 研 究 問 題 解 決 問 題 的 方 式 進 行 探 究, 自 行 發 現 法 則, 是 一 種 過 分 的 要 求 一 般 的 學 生 那 裡 有 科 學 家 所 具 有 的 智 慧 和 能 力 去 發 現 呢? 對 於 持 第 二 種 看 法 的, 我 們 應 提 醒 他 注 意 科 學 家 研 究 問 題 時, 並 沒 有 先 知 在 指 導 他, 但 學 生 卻 有 老 師 的 指 導 學 生 的 發 現 學 習 是 在 指 導 下 有 限 度 的 發 現 學 習 美 國 SCIS 小 學 課 程, 對 此 有 一 舉 兩 得 的 解 決 方 法 該 計 畫 主 持 人 凱 普 勒 斯 (R.Kaplus) 認 為, 只 要 把 第 二 階 段 再 分 成 兩 部 分, 前 一 部 分, 老 師 不 妨 把 學 生 無 法 自 行 發 現 的 重 要 概 念, 以 說 明 的 方 式 說 出 來, 在 後 一 部 分, 學 生 以 老 師 所 介 紹 的 概 念 為 基 礎, 作 驗 證 深 入 了 解 及 推 廣 應 用 等 探 究

20 發 現 活 動, 即 可 節 省 時 間 並 輔 導 學 生 探 究 凱 普 勒 斯 說 : 如 果 學 生 不 能 自 行 發 明 新 的 科 學 概 念, 老 師 應 介 紹 給 他 們 在 介 紹 概 念 時, 老 師 應 明 白 指 出, 新 的 概 念 能 解 釋 學 生 所 觀 察 的 那 些 結 果, 接 著 應 給 予 學 生 充 分 的 機 會 去 發 現 新 的 學 習 經 驗 也 可 以 用 此 新 概 念 加 以 解 釋 老 師 介 紹 概 念 的 同 時, 也 引 導 學 生 的 認 識 思 考 方 向, 使 得 學 生 作 同 類 新 的 發 現 成 為 可 能 老 師 絕 對 不 能 以 完 整 的 確 定 的 和 模 威 的 方 式 介 紹 新 的 概 念, 因 為 概 念 是 沒 有 最 後 形 式 的, 概 念 老 是 可 以 修 的 改 進 的 因 此 SCIS(Science Curriculum Improvement Study) 的 教 學 過 程, 實 際 上 可 分 為 三 個 階 段 摸 索 階 段 (Exploration) 或 撥 弄 階 段 發 明 階 段 (Invention), 發 現 階 段 (Discovry) 發 現 階 段 稱 之 為 發 明, 是 因 為 在 這 一 階 段 中, 老 師 引 進 新 的 概 念 時, 常 須 定 義 新 的 名 詞 ;SCIS 就 稱 之 為 發 明, 意 謂 發 明 新 名 詞, 表 示 新 概 念 當 然 在 學 生 能 自 行 發 現 時, 發 明 階 段 自 可 略 去 ( 二 ) 推 理 性 探 究 式 教 學 法 (Rational inquiry): 有 些 教 學 單 元 由 於 教 材 內 容 本 身 的 性 質, 例 如 有 關 食 物 鏈 食 物 網 的 單 元, 或 由 於 所 探 究 的 概 念 頗 為 抽 象, 例 如 相 對 位 置 ( 看 誰 說 得 對?) 相 對 關 係 等 概 念, 使 得 這 些 單 元 的 設 計 沒 有 小 型 教 具 的 操 作, 撥 弄 階 段 因 此 其 進 行 的 方 式 與 發 現 式 探 究 教 學 法 顯 有 不 同 我 們 稱 之 為 推 理 性 探 究 式 教 學 法 此 種 教 學 法 的 進 行 方 式 是 這 樣 的 開 始 時, 老 師 以 下 列 的 方 式 之 一 ( 或 合 併 使 用 ) 向 兒 童 提 出 問 題 ( 這 一 方 式 取 代 教 具 摸 索 階 段 ): 1. 向 學 生 講 一 段 故 事 趣 聞. 給 學 生 看 一 些 圖 畫 或 圖 表 數 據 3. 給 學 生 看 一 段 影 片 4. 由 老 師 或 少 數 學 生 示 範 某 種 實 驗, 或 某 些 活 動 然 後 由 師 生 共 同 討 論, 使 學 生 運 用 理 性 推 理 進 行 了 解, 並 自 行 發 現 結 論 ( 包 括 發 明 及 發 現 階 段 ) 在 討 論 中, 老 師 當 然 不 應 告 訴 學 生 結 果, 應 以 發 散 式 的 問 題, 誘 導 學 生 下 結 論 ( 三 ) 實 驗 式 探 究 教 學 法 (Inquiry by experimentation): 在 此 種 學 習 過 程 中, 學 生 必 須 經 歷 發 現 問 題 指 出 變 因 形 成 假 設, 並 根 據 控 制 變 因 的 原 則, 自 行 設 計 實 驗 執 行 實 驗 以 驗 證 假 設 因 為 兒 童 在 此 探 究 過 程 中, 運 用 到 的 過 程 能 力 較 為 複 雜, 因 此 這 種 教 學 法 僅 能 適 用 於 高 年 級 實 驗 式 與 發 現 式 教 學 法 最 大 的 不 同, 是 在 發 現 式 教 學 法 中, 需 根 據 擬 定 的 實 驗 計 畫 步 驟 進 行 操 作, 並 藉 以 發 現 最 佳 的 假 設, 或 改 進 既 有 的 假 設 實 際 上, 實 驗 式 教 學 的 前 部 分 即 為 發 現 式 教 學, 學 生 須 藉 操 作 摸 索 以 發 現 問 題 發 現 變 因, 可 能 還 須 要 老 師 的 發 明 概 念, 以 幫 助 他 們 形 成 一 種 或 數 種 假 設 僅 從 設 計 實 驗 開 始, 才 把 實 驗 式 教 學 法 的 特 徵 顯 示 出 來

21 九 有 效 的 學 習 - 可 依 下 列 方 式 進 行 : 1. 觀 察 現 象. 發 現 問 題 ( 或 提 出 問 題 ) 3. 如 何 使 用 已 習 知 識 ( 或 概 念 ) 4. 回 答 問 題 ( 歸 納 結 果 ) 5. 說 明 理 由 十 範 例 練 習 1. 開 放 型 的 問 題 在 紙 上 以 硬 幣 用 筆 劃 出 一 個 圓 來, 試 問 如 何 得 到 圓 心 呢? 值. 分 數 與 循 環 小 數 的 分 數 (1) 已 知 1 =0.1666, 試 求 滿 足 條 件 6 a =0. abbb 的 所 有 異 於 零 的 數 字 a 與 b 的 b 1 () 已 知 , 7 有 趣 的 是 =999, 試 問 是 否 可 能 找 到 所 有 滿 足 這 樣 性 質 p q, 其 中 p, q 為 互 質 的 正 整 數, 將 此 分 數 化 成 循 環 小 數 時 其 循 環 節 有 n 位 數, 左 半 邊 n 位 數 令 為 A, 右 半 邊 n 位 數 令 為 B, 使 得 A B 99 9? 3. 我 們 知 道 4. 神 奇 的 數 字 n個 9, 試 問 是 否 還 有 其 他 的 根 號 數 滿 足 這 樣 的 性 質? 3 3 (1) 能 否 用 1 到 9 這 9 個 數 字, 每 個 數 字 只 能 用 一 次, 去 構 造 出 六 個 質 數? 如 果 可 能, 共 有 幾 種 不 同 的 構 造 方 法? () 同 上 題, 如 果 用 0,1,,,9 這 十 個 數 字 又 如 何 呢? (3) 能 否 用 1 到 9 這 9 個 數 字, 每 個 數 字 只 能 用 一 次, 去 構 造 出 分 數, 化 簡 後 其 值 分 別 為,,,,? 3 4 9

22 5. 正 整 數 與 其 數 字 和 的 關 係 (1) 設 a, b, c 為 三 個 都 不 是 零 的 數 字, 試 問 用 a, b, c 三 個 數 字 能 組 成 若 干 個 三 位 數? 並 說 明 這 些 三 位 數 的 和 與 a, b, c 的 關 係 () 試 將 問 題 1 改 為 四 個 數 字 五 個 數 字 等, 其 結 果 又 如 何? (3) 設 a, b, c 均 為 異 於 零 的 三 個 不 同 的 數 字, 共 可 組 成 六 個 相 異 的 三 位 數, 已 知 其 中 五 個 三 位 數 的 和 是 3185, 試 問 這 六 個 三 位 數 中 最 大 的 是 多 少? (Ans: 763) (4) 設 a, b, c 均 為 異 於 零 的 三 個 不 同 的 數 字, 共 可 組 成 六 個 相 異 的 三 位 數, 已 知 其 中 五 個 三 位 數 的 和 是 3194, 試 問 這 六 個 三 位 數 中 最 大 的 是 多 少? (Ans: 853) (5)114 這 個 數 有 一 特 點 : 將 114 的 各 位 數 字 的 數 字 和 乘 以 19 就 得 到 114. 試 問 是 否 還 有 這 樣 的 三 位 數 嗎? 如 果 有, 請 找 出 所 有 這 樣 的 三 位 數 你 能 否 觀 察 出 本 問 題 何 以 需 乘 以 19? 是 否 可 以 改 為 乘 以 其 他 數 而 有 類 似 結 果 呢? (6) 能 否 找 出 哪 些 正 整 數 可 被 其 數 字 和 所 整 除? 十 一 範 例 單 元 名 稱 一 正 整 數 與 其 數 字 的 關 係 1. 設 a, b, c 為 三 個 都 不 是 零 的 數 字, 試 問 用 a, b, c 三 個 數 字 能 組 成 若 干 個 三 位 數? 並 說 明 這 些 三 位 數 的 和 與 a, b, c 的 關 係. 試 將 問 題 1 改 為 四 個 數 字 五 個 數 字 等, 其 結 果 又 如 何? 3. 設 a, b, c 均 為 異 於 零 的 三 個 不 同 的 數 字, 共 可 組 成 六 個 相 異 的 三 位 數, 已 知 其 中 五 個 三 位 數 的 和 是 3185, 試 問 這 六 個 三 位 數 中 最 大 的 是 多 少? (Ans: 763) 4. 設 a, b, c 均 為 異 於 零 的 三 個 不 同 的 數 字, 共 可 組 成 六 個 相 異 的 三 位 數, 已 知 其 中 五 個 三 位 數 的 和 是 3194, 試 問 這 六 個 三 位 數 中 最 大 的 是 多 少? (Ans: 853) 這 個 數 有 一 特 點 : 將 114 的 各 位 數 字 的 數 字 和 乘 以 19 就 得 到 114. 試 問 是 否 還 有 這 樣 的 三 位 數 嗎? 如 果 有, 請 找 出 所 有 這 樣 的 三 位 數 你 能 否 觀 察 出 本 問 題 何 以 需 乘 以 19? 是 否 可 以 改 為 乘 以 其 他 數 而 有 類 似 結 果 呢? 6. 已 知 一 個 正 整 數 是 它 本 身 的 各 位 數 字 和 的 17 倍, 試 求 出 滿 足 這 種 性 質 的 所 有 數 7. 用 0, 1,, 3 這 四 個 數 字 可 組 成 若 干 個 一 位 數 二 位 數 三 位 數 與 四 位 數, 在 每 一 個 數 中, 0, 1,, 3 只 能 用 一 次, 試 問 這 些 數 中 3 的 倍 數 有 多 少 個? 8. 把 17 拆 成 若 干 個 正 整 數 的 和, 試 問 這 幾 個 正 整 數 的 乘 積 最 大 是 多 少? 9. 設 n 為 正 整 數, 若 n 是 3 的 倍 數, 且 n 的 每 個 數 字 正 好 是 由 1,, 3 中 的 一 個 數 字 組 成 ( 可 以 重 複 出 現 ), 試 求 自 1 至 以 內 滿 足 這 樣 條 件 之 不 同 的 n 值 3 (Ans: ) 10. 有 一 個 四 位 數 滿 足 下 列 條 件 : 用 此 四 位 數 的 末 二 位 數 ( 如 果 它 的 十 位 數 字 是 零, 就 只 用 個 位 數 字 ) 去 除 此 四 位 數, 其 商 為 一 個 完 全 平 方 數, 且 這 個 完 全 平 方 數 正 好 是 原 四 位 數 的 前 二 位 數 加 1 以 後 的 平 方, 試 求 滿 足 這 種 條 件 的 所 有 四 位 數 (Ans: 1805, 304, 480, 9801)

23 11. 卡 布 列 克 (L. D. Kaprekar, 印 度 數 學 家 ) 怪 數 是 類 似 (30+5) =305 這 樣 的 數 : 即 一 個 n 位 數, 把 前 n 位 數 當 作 一 個 數 加 上 這 個 數 的 後 n 位 數, 它 們 之 和 的 平 方 正 好 等 於 這 個 n 位 數 試 問 四 位 數 中 有 那 些 卡 布 列 克 怪 數?( 能 否 找 出 所 有 卡 布 列 克 怪 數?) ( 提 示 : 共 有 三 組 解 -05, 305, 9801, 巴 納 德 找 出 :1, 81, , , 試 問 如 何 求 出 其 他 位 數? 例 如 六 位 數 只 有 兩 個 數 :49409, ) 註 : 對 於 奇 數 位 的 整 數, 偏 前 ( 或 偏 後 ) 的 斷 開 成 兩 個 數, 求 其 和 後 再 平 方 正 好 等 於 原 數, 仍 稱 為 卡 布 列 克 怪 數, 例 如 8809=(88+09), =( ). 1. 試 找 出 所 有 正 整 數 a 使 得 a 恰 好 等 於 它 的 所 有 數 字 的 平 方 和 加 上 1, 例 如 35= , 及 75= 等, 是 否 還 有 其 它 解? 13. 試 找 出 所 有 正 整 數 a 使 得 a 恰 好 等 於 它 的 所 有 數 字 的 三 次 方 的 和, 例 如 1=1 3, 153= , 370, 371, 407 等 五 個 數, 是 否 還 有 其 它 解? 試 說 明 理 由 單 元 名 稱 二 整 數 論 問 題 1. 設 n 為 正 整 數, 令 S(n) 表 示 n 的 所 有 正 因 數 的 和, 例 如 : S(1)=1, S()=1+=3, S(6)=1++3+6=1 等, 試 求 S(001) 的 值 並 求 滿 足 條 件 n. s(n) 004 的 最 小 正 整 數. 設 n 為 正 整 數, 令 D(n) 表 示 n 的 所 有 正 因 數 的 平 方 的 和, 例 如 : D(1)=1 =1, D()=1 + =5, D(4)= =1. 試 求 滿 足 條 件 D(n) 004 的 最 小 正 整 數 n. 3.(1) 請 寫 出 36 的 所 有 正 因 數 () 將 上 題 的 所 有 正 因 數 相 加 而 另 一 數 A, 請 寫 出 A 的 所 有 正 因 數 (3) 將 上 題 的 所 有 正 因 數 相 加 而 另 一 數 B, 請 寫 出 B 的 所 有 正 因 數 (4) 重 覆 上 面 的 步 驟, 繼 續 坐 下 去, 請 問 最 後 的 結 果 如 何? (5) 仿 照 上 面 的 做 法, 請 檢 驗 7, 0 是 否 有 相 同 結 果? 4. 用 1,, 3,,9 這 九 個 數 字 組 成 一 個 四 位 數 一 個 三 位 數 與 一 個 二 位 數, 每 個 數 字 只 許 用 一 次, 使 這 三 個 所 組 成 的 數 的 和 等 於 把 17 拆 成 若 干 個 正 整 數 的 和, 試 問 這 幾 個 正 整 數 的 乘 積 最 大 是 多 少? 如 何 推 廣 至 任 意 正 整 數?

24 單 元 名 稱 三 質 數 知 多 少 1. 試 求 17-1, 的 末 二 位 數 字 ( 個 位 數 字 及 十 位 數 字 ) 試 求 (005 1 年 月 6 日 找 到 的 第 4 個 Mersenne 質 數, 有 位 數, 是 目 前 已 知 最 大 的 質 數 ) 的 末 二 位 數 字 試 求 1 被 5 去 除 後 餘 數 是 多 少? 4. 試 判 斷 是 否 為 質 數? 並 說 明 理 由 5. 能 否 將 1 到 7 這 7 個 正 整 數, 填 寫 在 一 圓 周 上, 使 得 任 何 相 鄰 二 數 的 和 均 為 質 數? 6. 能 否 將 1 到 0 這 0 個 正 整 數, 填 寫 在 一 圓 周 上, 使 得 任 何 相 鄰 二 數 的 和 均 為 質 數 ( 提 示 : 有 許 多 解, 請 至 少 找 出 三 個 不 同 的 解 ) 7. 試 證 : 若 n -1 是 質 數, 其 中 n 為 證 整 數, 則 n 必 為 質 數 主 題 : 費 馬 數 與 梅 森 尼 數 : n 定 理 1 : 設 a 為 大 於 1 的 正 整 數, 若 a 1 是 質 數, 則 a 為 偶 數 且 n 是 的 冪 次 方 n 定 理 : 設 a 為 大 於 1 的 正 整 數, 若 a 1 是 質 數, 則 a 且 n 為 質 數 由 上 述 定 理 可 得 下 列 兩 特 殊 的 數 : (1) 費 馬 數 (Fermat number): n 1 () 梅 森 尼 數 (Mersenne number): p 1, 其 中 p 是 質 數 8. 試 求 的 末 二 位 數 9. 自 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 中 選 出 8 個 相 異 數 字 排 在 一 個 圓 周 上, 使 得 任 意 相 鄰 二 數 之 和 皆 為 質 數, 排 好 後 可 以 從 任 意 兩 個 數 字 之 間 切 開, 依 順 時 針 方 向 讀 這 些 八 位 數, 試 問 其 中 可 能 讀 到 之 最 大 數 是 多 少? 10. 已 知 有 五 個 正 整 數, 如 果 將 這 五 個 數 中 任 意 相 異 的 二 數 相 加, 所 得 到 的 結 果 正 好 是 637, 669, 794, 915, 919, 951, 1040, 107, 1197, 試 求 原 來 的 五 個 數 ( 提 示 : 這 五 個 數 中 任 意 相 異 的 二 數 相 加 的 結 果 可 能 有 十 個 數, 由 題 意 知 有 9 種 可 能 的 和, 因 此 這 五 個 數 必 相 異 且 有 三 個 奇 偶 性 質 相 同 由 此 可 解 得 這 五 個 數 分 別 是 56, 538, 381, 413, 659) 11. 已 知 1 =0.1666, 試 求 滿 足 條 件 6 a =0. abbb 的 所 有 異 於 零 的 數 字 a 與 b 的 值 b 1. 已 知 a, b, c 表 示 三 個 二 位 數, 且 a< b< c. 如 果 這 三 個 數 的 和 是 偶 數, 且 它 們 的 乘 積 是 3960, 試 求 a, b, c 的 值 單 元 名 稱 四 : 從 商 高 定 理 談 起 預 備 知 識 : 勾 股 定 理 ( 又 稱 商 高 定 理 畢 氏 定 理 ) 餘 弦 定 理 商 高 定 理 - 數 量 形 的 連 結

25 1. 直 角 ABC 中, C 90, a,b 為 二 股 長, 且 c 為 斜 邊 長, 試 證 : a+b c.. 試 證 : 任 意 n 個 正 方 形 經 過 適 當 的 切 割 成 數 個 圖 形 後, 可 重 拼 成 一 個 大 正 方 形, 其 中 n 為 任 意 正 整 數 n n n 3. 直 角 ABC 中, a, b 為 二 股 長, 且 c 為 斜 邊 長, 試 證 : a b c, 4. ABC 中, 三 邊 長 分 別 為 a, b, c, 若 a 形? n n n b c ( n >), 試 判 斷 ABC 其 中 n =3, 4, 5, 為 何 種 三 角 5. 設 a, b, c, d 都 是 正 數, 試 證 : 必 存 在 以 三 數 b c, a ( c d), ( a d b) 為 三 角 形 的 三 邊 長, 並 求 此 三 角 形 的 面 積 6. 設 a, b, c, d 為 正 有 理 數, 試 證 : a d, b c, a b c d ( cd ab ) 中 任 意 二 數 之 和 必 大 於 第 三 數 7. 已 知 三 角 形 ABC 的 三 邊 長 是 連 續 正 整 數, 且 最 大 角 的 度 數 是 最 小 角 度 數 的 倍, 試 求 此 三 邊 長 (Ans: 4, 5, 6) 8. ABC 中, AB =6, BC =3, CA =36, 若 P 和 Q 二 點 分 別 在 邊 AB 和 CA 上, 使 得 APQ 與 四 邊 形 PQCB 的 面 積 相 等 且 它 們 的 周 長 也 相 等, 試 求 PQ. 9. 設 a, b, c 為 一 直 角 三 角 形 的 三 邊 長, 其 中 c 為 斜 邊 長, 已 知 a, b, c 皆 為 正 整 數, 且 其 和 等 於 1000, 試 求 所 有 可 能 (a, b, c) 的 值 10. 已 知 一 直 角 整 數 三 角 形 的 三 邊 長 為 兩 兩 互 質, 若 其 面 積 值 為 630, 且 周 長 為 16, 試 求 此 三 角 形 的 三 邊 長 11. 已 知 八 邊 形 ABCDEFGH 的 內 角 都 相 等, 其 邊 長 分 別 為,, 4, 4,6, 7, 7, 8, 若 AB =8, 試 求 EF. 1. 已 知 一 長 方 形 ABCD 是 由 三 個 大 小 相 同 的 正 方 形 並 排 所 組 成, 且 只 有 邊 重 疊, 點 E, F 在 BC 上, 試 求 AEB AFB ACB 的 度 數 13. 若 三 正 數 a, b, c 滿 足 下 列 條 件 : a 1 ab b 3 5, 試 求 1 b 3 c 9, a ac c 16. ab bc 3 ac 的 值

26 單 元 名 稱 四 : 不 等 式 (Inequality) ( 一 ) 緒 言 : 代 數 不 等 式 組 合 不 等 式 幾 何 不 等 式 等 不 等 式 是 中 學 數 學 的 重 要 內 容 之 一, 也 是 解 題 的 一 種 重 要 思 考 方 法 之 一 ; 不 等 式 是 代 數 的 主 要 內 容 之 一, 它 的 證 明 對 於 提 高 同 學 的 基 本 運 算 和 推 理 能 力 是 有 很 大 的 幫 助 其 應 用 極 為 廣 泛, 尤 其 在 解 決 其 它 類 型 的 問 題 也 常 用 不 等 式 的 證 明 ( 二 ) 練 習 題 : 1. 設 a, b, c, d 都 是 正 數, 試 證 : 必 存 在 以 三 數 b c, a ( c d), ( a d b) 為 三 角 形 的 三 邊 長, 並 求 此 三 角 形 的 面 積. 設 a, b, c, d 為 正 有 理 數, 試 證 : a d, b c, a b c d ( cd ab ) 中 任 意 二 數 之 和 必 大 於 第 三 數 n n n 3. 直 角 ABC 中, a, b 為 二 股 長, 且 c 為 斜 邊 長, 試 證 : a b c, 4. ABC 中, 三 邊 長 分 別 為 a, b, c, 若 a n n n b c ( n >), 試 判 斷 ABC 其 中 n =3, 4, 5, 為 何 種 三 角 形? 5. 設 x 0,, 試 證 : (1). x. x 1 x x (). x. x x x x x 1 x x (3). 如 何 推 廣 上 述 問 題? 單 元 名 稱 五 倍 數 的 遊 戲 1. 請 畫 出 一 個 邊 長 為 4 單 位 的 正 方 形, 並 將 此 正 方 形 摺 成 16 個 邊 長 為 1 單 位 的 小 正 方 形. 請 將 0,1,,,9 填 入 小 正 方 形 空 格 上, 每 個 空 格 只 能 填 一 個 數 字, 且 不 得 重 覆 ; 再 將 0,1,,6 填 入 其 餘 四 個 空 格 內, 最 後 兩 個 空 格 都 填 上 0,0 3. 將 上 面 所 得 的 四 個 數 ( 每 一 橫 列 表 示 一 個 數 ) 相 加, 並 求 其 總 和 4. 在 總 和 這 個 數 裡, 請 在 任 意 兩 個 數 字 中 間 ( 或 頭, 或 尾 ) 插 入 自 1,,,9 中 的 一 個 數 字, 並 將 此 新 的 數 告 知 老 師, 那 麼 老 師 很 快 會 告 訴 你 所 加 入 的 數 字 是 多 少, 請 問 老 師 為 什 麼 會 知 道? 試 說 明 理 由

27 單 元 名 稱 六 商 高 定 理 的 聯 想 ( 一 ) 商 高 定 理 1. 如 何 證 明 四 點 在 同 一 直 線 上?( 請 在 空 白 紙 上 剪 下 四 個 都 是 邊 長 分 別 為 3, 4, 5 公 分 的 直 角 三 角 形 及 一 個 邊 長 是 5 公 分 的 正 方 形, 請 依 說 明 用 膠 水 粘 起 來 ). 將 邊 長 是 3 公 分 的 正 方 形 放 在 邊 長 是 5 公 分 的 正 方 形 的 裡 面, 試 問 如 何 將 剩 下 的 圖 形 剪 成 四 個 形 狀 大 小 一 樣 的 圖 形, 使 得 此 四 個 圖 形 可 重 拼 成 一 個 邊 長 是 4 公 分 的 正 方 形 3. 試 證 : 任 意 n 個 正 方 形 經 過 適 當 的 切 割 成 數 個 圖 形 後, 可 重 拼 成 一 個 大 正 方 形, 其 中 n 為 任 意 正 整 數 4. 商 高 定 理, 又 稱 畢 氏 定 理 或 勾 股 定 理, 是 數 學 中 最 早 描 述 數 與 形 的 連 結, 亦 是 幾 何 學 重 要 的 基 石, 其 敘 述 如 下 : 直 角 三 角 形 ABC 中, c 90, BC a, AC b, CA c, 則 a b c (1) 從 式 子 a b c 知, 這 是 數 的 關 係 () 若 分 別 以 三 邊 長 為 邊 分 別 向 外 各 作 一 個 正 方 形, 則 a, b, c 分 別 表 示 正 方 形 的 面 積, 故 a b c 表 示 面 積 和 的 概 念, 這 是 量 的 關 係 (3) 將 兩 股 為 邊 分 別 向 外 各 作 正 方 形, 經 過 適 當 切 割 後, 可 重 拼 成 以 斜 邊 為 邊 向 外 所 作 正 方 形 來, 這 是 形 的 關 係 ( 二 ) 商 高 定 理 的 發 展 史 商 高 定 理 被 發 現 至 今 有 三 四 千 年 歷 史, 茲 將 商 高 定 理 在 東 西 方 世 界 的 發 展 史 略 述 於 下 : 1. 古 巴 比 倫 : 由 已 出 土 的 四 塊 泥 版 上 的 記 載 得 知, 古 巴 比 倫 在 西 元 前 約 1800 年 至 1650 年, 他 們 已 知 道 及 應 用 商 高 定 理, 且 知 道 大 約 有 畢 氏 數 組 ( 例 如 出 現 的 最 小 畢 氏 數 組 為 45,60,75 等 ). 古 埃 及 : 相 傳 古 埃 及 人 在 建 築 宏 偉 的 金 字 塔 和 尼 羅 河 氾 濫 後, 重 新 測 量 尼 羅 河 兩 岸 土 地 的 面 積 時, 曾 應 用 商 高 定 理 的 逆 定 理 例 如 他 們 曾 用 結 繩 的 方 法, 在 地 面 上 畫 出 邊 長 分 別 為 3:4:5 的 三 角 形 來 確 定 直 角, 此 即 為 商 高 定 理 的 逆 定 理 的 特 殊 情 形 3. 古 中 國 : 約 西 元 前 110 年 前, 我 國 最 古 老 的 數 學 書 周 髀 算 經 曾 記 載 商 高 回 答 周 公 提 及 : 勾 廣 三, 股 修 四, 徑 隅 五 其 中 徑 指 斜 邊 ; 另 記 載, 中 國 學 者 陳 子 ( 約 西 元 前 七 至 六 世 紀 ) 與 榮 方 討 論 測 量 問 題 時, 曾 提 及 將 勾 股 平 方 後 相 加, 再 開 平 方, 即 得 弦 長 ( 斜 邊 ), 他 已 得 到 了 商 高 定 理 的 一 般 性 質 但 我 們 不 知 是 否 有 證 明 此 外, 我 國 古 書 曾 記 載 大 禹 ( 約 西 元 前 二 十 一 世 紀 ) 治 水 時 初 步 應 用 了 商 高 定 理 的 傳 說 4. 古 希 臘 :Samos 的 畢 達 哥 拉 斯 (Pythagoras, 約 西 元 前 ) 最 早 證 明 商 高 定 理 因 此, 西 方 數 學 通 常 稱 為 畢 達 哥 拉 斯 定 理, 以 紀 念 古 希 臘 傑 出 的 哲 學 家 及 數 學 家 畢 達 哥 拉 斯

28 ( 三 ) 商 高 定 理 的 證 明 : 茲 略 述 常 見 即 與 本 文 相 關 證 明 如 下 : 1. 已 知 商 高 定 理 的 最 早 證 明, 出 現 在 歐 幾 里 德 (Euclid, 約 西 元 前 年 ) 所 著 的 的 幾 何 原 本 (Elments) 中. Loomis (1968) 的 書 中 列 出 371 個 不 同 證 明, 其 中 多 數 都 是 圖 解 證 明 3. 商 高 定 理 的 圖 解 證 明 - 折 半 證 明 (1) 趙 君 卿 弦 圖 - 平 方 和 公 式, 其 證 明 如 下 : 正 方 形 ABCD 的 面 積 正 好 是 1 積 和, 即 ( a b) 4 ab c ( a b), 且 等 於 四 個 直 角 三 角 形 及 小 正 方 形 的 面, 整 理 可 得 a b c. (). 美 國 第 二 十 任 總 統 加 菲 爾 德 (J. A. Garfield, ) 於 西 元 1876 年 提 出 梯 形 圖 解 法, 其 證 明 如 下 : 1 梯 形 ABDE 的 面 積 為 ( a b) ( a b ), 因 此 可 得 1 ( a b ) 1 1 ab c 整 理 後 亦 可 得 a b c. 我 們 觀 察 到 上 述 梯 形 圖 形 正 好 是 趙 君 卿 弦 圖 的 一 半, 所 以 其 面 積 正 好 是 原 正 方 形 面 積 的 一 半, 這 可 從 比 較 上 述 (1) 及 () 得 知, 我 們 不 妨 稱 後 者 是 前 者 的 折 半 證 明 (3). 我 們 是 否 可 再 將 梯 形 圖 進 行 折 半 證 明, 並 得 到 商 高 定 理 的 圖 解 證 明? 實 際 上 是 對 的, 如 下 所 述 : 首 先 需 將 上 述 的 圖 形 ( 即 梯 形 的 一 半 ) 轉 化 成 正 方 形, 即 利 用 三 角 形 全 等 概 念 ( 四 ) 商 高 定 理 餘 弦 定 理 及 商 高 定 理 之 逆 定 理 餘 弦 定 理 是 商 高 定 理 的 推 廣, 適 用 於 一 般 三 角 形, 是 高 中 數 學 課 程 重 要 定 理 之 一, 其 用 途 極 為 廣 泛, 請 參 考 後 列 練 習 題 因 此, 商 高 定 理 可 視 為 直 角 三 角 形 之 餘 弦 定 理 的 特 例 1. 有 關 餘 弦 定 理 的 證 明, 請 參 考 翰 林 版 高 中 數 學 第 二 冊 第 二 章. 商 高 定 理 之 逆 定 理 :( 利 用 餘 弦 定 理 證 明 ) 已 知 ABC 中, A, B 及 C 的 對 應 邊 分 別 為 若 滿 足 a b c, 則. C 90 a, b 及 c. 證 明 : 由 餘 弦 定 理 知, c a b ab cos C, 因 為 C 90. 又 0 C 180, 故 C 90. a b c, 可 得 則 ( 五 ) 費 瑪 最 後 定 理 (Fermat's Last Theorem): 十 七 世 紀 法 國 一 位 大 數 學 家 費 瑪 (Fermat, ) 過 世 後, 他 兒 子 在 整 理 他 的 遺 稿 時 發 現 了 許 多 數 學 的 猜 想, 其 中 最 著 名 即 為 方 程 式 最 後 問 題 關 於 此 方 程 式 : x n n n y z ( 3 1. 當 n 1 時, 此 方 程 式 有 無 限 多 組 正 整 數 解 n ) 沒 有 正 整 數 解 ( x, y, z ), 當 時 稱 為 費 瑪. 當 n 時, 即 為 商 高 定 理 的 方 程 式, 有 無 限 多 組 正 整 數 解 ( 至 少 有 基 本 畢 氏 數 組, 即 x m n, y mn, z m n, 其 中 m, n 為 互 質 的 正 整 數 ) 3. 當 n 3 時, 由 近 代 偉 大 數 學 家 歐 拉 (Euler, ) 證 明 沒 有 正 整 數 解

29 4. 當 n 4 時, 由 阿 貝 爾 (Abel, ) 證 明 沒 有 正 整 數 解 5. 其 後 一 直 未 能 完 全 解 決 本 問 題, 直 至 1993 年 6 月 3 日 由 美 國 普 林 斯 頓 大 學 數 學 系 Wiles(1953- ) 教 授 在 英 國 劍 橋 大 學 牛 頓 學 院 發 表 一 系 列 有 關 費 瑪 最 後 問 題 的 證 明 但 當 他 正 式 發 表 時, 尚 有 少 許 內 容 被 質 疑 有 漏 洞, 他 又 花 了 一 年 時 間 研 究, 其 間 幾 乎 想 放 棄 證 明, 直 到 1994 年 9 月 19 日 終 於 完 成 於 1995 年 他 證 明 費 瑪 最 後 定 理 的 文 章 題 目 為 "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem", 正 式 被 登 在 著 名 數 學 期 刊 "Annals of Mathematics" 上, 費 瑪 最 後 問 題 歷 經 三 百 多 年 正 式 被 解 決 附 錄 : 國 小 數 學 計 算 競 賽 =.3.5 [6.8-( )] 84= = = ( ) = = ( )= = ( 0.1 ) +1 1 = ( ) = = = ( ) 99 = [ ]+[1.75 ( 1 + )+5.5]= = = ( )( ) ( )

30 (1- ) (1- ) (1- )= (1+ + )+( + + ) +( + + ) + +( ) ( ) ( ) -( ) ( ) 參 教 學 示 例 教 學 示 例 內 容 依 據 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 之 學 習 主 題 區 分 為 下 列 三 個 主 題 : 數 與 量 代 數 與 幾 何 以 下 先 介 紹 由 龍 華 國 中 許 健 銘 老 師 位 本 工 作 坊 所 設 計 教 學 之 教 學 活 動 及 參 考 解 答, 提 供 教 師 教 學 參 考 及 使 用 :

31 國 中 資 優 班 數 學 課 程 活 動 設 計 設 計 人 : 龍 華 國 中 許 建 銘 壹 教 學 主 題 : 變 臉 的 魅 力 貳 教 學 目 標 : 了 解 幾 何 圖 形 的 基 礎 切 拼 觀 念 參 教 學 時 間 : 兩 節 課 ( 約 90 分 鐘 ) 肆 教 學 資 源 : 學 習 單 (math01.doc 書 面 如 附 件 一 ) Word 作 業 單 (math01.doc 書 面 如 附 件 二 ) PowerPoint 簡 報 (math01.ppt 含 學 習 單 解 答 ) 伍 教 學 內 容 : 時 間 分 配 教 學 進 度 ( 分 鐘 ) 一 引 起 動 機 : 第 1 題 老 農 夫 年 紀 大 了, 決 定 將 兩 塊 面 積 相 同 的 正 方 形 土 地 分 給 四 個 兒 子 有 一 塊 土 地 上 種 了 7 棵 梨 樹, 另 一 塊 土 地 上 種 了 76 棵 蜜 桃, 為 了 公 平 起 見, 每 個 兒 子 在 每 一 塊 正 方 形 土 地 上 分 配 到 的 果 樹 數 量 與 土 地 面 積 形 狀 都 要 相 同, 請 畫 出 每 人 分 到 的 土 地.5 第 1 題 解 答 : 由 得 知 : 每 個 兒 子 可 分 到 18 棵 梨 樹 ; 由 得 知 : 每 個 兒 子 可 分 到 19 棵 蜜 桃, 而 分 割 土 地 成 相 同 大 小 形 狀 的 方 式 如 下 圖 :

32 第 題 老 農 夫 打 算 將 56 塊 正 方 形 土 地 中 的 6 塊 ( 畫 斜 線 區 域 ) 留 給 自 己, 而 將 其 餘 的 50 塊 劃 分 成 14 個 矩 形 區 域, 分 給 8 個 兒 子 ( 分 到 的 矩 形 形 狀 相 同 ) 與 6 個 女 兒 ( 分 到 的 矩 形 形 狀 相 同 ), 而 且 每 個 兒 子 分 到 的 土 地 面 積 必 須 比 每 個 女 兒 多 一 塊 正 方 形, 請 在 標 示 區 分 出 14 個 矩 形 區 域 7.5 第 題 解 答 : 每 個 女 兒 分 到 ( 50 8) 14 3 塊 正 方 形 土 地, 每 個 兒 子 分 到 塊 正 方 形 土 地, 下 圖 是 其 中 兩 種 可 行 的 分 割 方 式, 小 方 格 中 的 代 號 指 的 是 那 一 個 兒 子 或 女 兒 分 到 的 土 地 第 一 種 : 第 二 種 :

33 二 單 位 圖 形 分 析 法 : 第 3 題 請 將 下 圖 分 割 成 四 個 全 等 圖 形 5 第 3 題 解 答 :

34 第 4 題 請 將 下 圖 分 割 成 四 個 全 等 圖 形 10 第 4 題 解 答 : 第 一 種 分 割 方 式 : 第 二 種 分 割 方 式 :

35 第 5 題 請 將 下 圖 分 割 成 五 個 全 等 圖 形, 且 每 個 圖 形 內 部 恰 有 一 朵 花 5 第 5 題 解 答 : 第 一 種 分 割 :

36 第 二 種 分 割 : 第 三 種 分 割 : 第 四 種 分 割 :

37 三 格 線 切 割 法 : 第 6 題 下 圖 有 三 張 邊 長 分 別 是 整 數 的 矩 形 紙 張, 而 其 內 部 恰 有 一 個 短 邊 長 恰 為 1 單 位 長 的 漏 空 矩 形, 請 找 出 這 種 紙 張 恰 能 切 拼 成 邊 長 為 整 數 的 正 方 形 紙 張 的 算 式 規 律 ( 每 一 張 矩 形 紙 張 都 恰 好 切 成 兩 片 ), 並 畫 出 它 的 切 拼 方 式 15 第 6 題 解 答 : 由 整 個 矩 形 邊 長 與 鏤 空 矩 形 邊 長 的 長 度 變 化 ( 如 下 圖 ), 我 們 可 找 出 圖 形 樣 式 的 規 則 : 當 整 個 矩 形 的 兩 鄰 邊 長 分 別 為 n 1 n 4 時, 鏤 空 矩 形 的 兩 鄰 邊 長 分 別 為 1 與 n, 所 以 紙 張 面 積 ( n 1)( n 4) n 1 4 n 8 n 4 ( n ), 可 見 紙 張 面 積 可 拼 成 一 個 邊 長 為 整 數 的 正 方 形 紙 張, 而 切 拼 方 式 如 下 圖 1.

38 . 3. 第 7 題 下 圖 是 一 矩 形 紙 張, 其 內 部 有 十 字 形 的 漏 空, 請 將 它 切 割 成 兩 部 分, 再 拼 成 一 張 內 部 恰 好 完 全 密 合 的 矩 形 紙 張, 並 畫 出 它 的 切 割 線 樣 式

39 5 第 7 題 解 答 : 第 8 題 請 將 下 圖 分 割 為 二 片, 並 利 用 它 們 重 組 成 一 個 8 8 的 正 方 形

40 7.5 第 8 題 解 答 : 第 9 題 有 些 國 家 的 國 旗 非 常 相 似 有 一 次 A 國 的 貴 賓 要 到 某 大 學 訪 問, 在 佈 置 會 場 時, 接 待 人 員 發 現 總 務 單 位 準 備 的 A 國 國 旗 竟 誤 為 B 國 的 國 旗 而 時 間 已 急 迫 請 聰 明 的 您 將 左 圖 9 1 的 旗 子 沿 格 線 剪 為 4 片, 使 7.5

41 它 們 能 重 新 縫 合 成 右 圖, 並 且 三 種 顏 色 的 安 排 也 完 全 符 合 第 9 題 解 答 : 第 10 題 木 匠 有 一 塊 木 板 ( 如 下 圖 ), 他 想 將 它 鋸 成 若 干 塊, 然 後 再 拼 成 一 張 正 方 形 的 桌 面 鋸 成 的 塊 數 越 少, 表 示 使 用 的 方 法 越 好 請 設 法 將 10

42 它 鋸 成 3 塊, 再 拼 成 一 個 正 方 形, 並 畫 出 切 拼 的 方 法 第 10 題 解 答 : 共 有 81 塊 小 正 方 形, 若 要 拼 成 正 方 形, 則 此 正 方 形 的 邊 長 必 為 9 個 小 正 方 形 第 一 步, 鋸 下 粉 紅 色 的 部 分 第 二 步, 將 粉 紅 色 的 部 分 移 至 最 下 方

43 第 三 步, 鋸 下 藍 色 的 部 分 第 四 步, 將 藍 色 的 部 分 拼 合, 完 成 共 鋸 成 黃 藍 粉 紅 三 塊

44 四 對 稱 思 考 法 : 第 11 題 將 下 圖 沿 著 格 線 切 割 為 3 塊 全 等 的 圖 形, 並 請 用 粗 線 畫 出 切 割 的 方 法 5 第 11 題 解 答 :

45 第 1 題 將 下 圖 沿 著 格 線 切 割 為 全 等 的 4 部 分, 而 且 每 一 部 分 中 都 必 須 恰 有 一 個, 請 用 粗 線 畫 出 切 割 的 方 法 10 第 1 題 解 答 :

46 完 成 :

47 附 件 一 : 學 習 單 第 1 題 : 老 農 夫 年 紀 大 了, 決 定 將 兩 塊 面 積 相 同 的 正 方 形 土 地 分 給 四 個 兒 子 有 一 塊 土 地 上 種 了 7 棵 梨 樹, 另 一 塊 土 地 上 種 了 76 棵 蜜 桃, 為 了 公 平 起 見, 每 個 兒 子 在 每 一 塊 正 方 形 土 地 上 分 配 到 的 果 樹 數 量 與 土 地 面 積 形 狀 都 要 相 同, 請 畫 出 每 人 分 到 的 土 地 第 題 : 老 農 夫 打 算 將 56 塊 正 方 形 土 地 中 的 6 塊 ( 畫 斜 線 區 域 ) 留 給 自 己, 而 將 其 餘 的 50 塊 劃 分 成 14 個 矩 形 區 域, 分 給 8 個 兒 子 ( 分 到 的 矩 形 形 狀 相 同 ) 與 6 個 女 兒 ( 分 到 的 矩 形 形 狀 相 同 ), 而 且 每 個 兒 子 分 到 的 土 地 面 積 必 須 比 每 個 女 兒 多 一 塊 正 方 形, 請 在 標 示 區 分 出 14 個 矩 形 區 域

48 第 3 題 : 請 將 下 圖 分 割 成 四 個 全 等 圖 形 第 4 題 : 請 將 下 圖 分 割 成 四 個 全 等 圖 形 第 5 題 : 請 將 下 圖 分 割 成 五 個 全 等 圖 形, 且 每 個 圖 形 內 部 恰 有 一 朵 花

49 第 6 題 : 下 圖 有 三 張 邊 長 分 別 是 整 數 的 矩 形 紙 張, 而 其 內 部 恰 有 一 個 短 邊 長 恰 為 1 單 位 長 的 漏 空 矩 形, 請 找 出 這 種 紙 張 恰 能 切 拼 成 邊 長 為 整 數 的 正 方 形 紙 張 的 算 式 規 律 ( 每 一 張 矩 形 紙 張 都 恰 好 切 成 兩 片 ), 並 畫 出 它 的 切 拼 方 式 第 7 題 : 下 圖 是 一 矩 形 紙 張, 其 內 部 有 十 字 形 的 漏 空, 請 將 它 切 割 成 兩 部 分, 再 拼 成 一 張 內 部 恰 好 完 全 密 合 的 矩 形 紙 張, 並 畫 出 它 的 切 割 線 樣 式 第 8 題 : 請 將 下 圖 分 割 為 二 片, 並 利 用 它 們 重 組 成 一 個 8 8 的 正 方 形

50 第 9 題 : 有 些 國 家 的 國 旗 非 常 相 似 有 一 次 A 國 的 貴 賓 要 到 某 大 學 訪 問, 在 佈 置 會 場 時, 接 待 人 員 發 現 總 務 單 位 準 備 的 A 國 國 旗 竟 誤 為 B 國 的 國 旗 而 時 間 已 急 迫 請 聰 明 的 您 將 左 圖 9 1 的 旗 子 沿 格 線 剪 為 4 片, 使 它 們 能 重 新 縫 合 成 右 圖, 並 且 三 種 顏 色 的 安 排 也 完 全 符 合 第 10 題 : 木 匠 有 一 塊 木 板 ( 如 下 圖 ), 他 想 將 它 鋸 成 若 干 塊, 然 後 再 拼 成 一 張 正 方 形 的 桌 面 鋸 成 的 塊 數 越 少, 表 示 使 用 的 方 法 越 好 請 設 法 將 它 鋸 成 3 塊, 再 拼 成 一 個 正 方 形, 並 畫 出 切 拼 的 方 法

51 第 11 題 : 將 下 圖 沿 著 格 線 切 割 為 3 塊 全 等 的 圖 形, 並 請 用 粗 線 畫 出 切 割 的 方 法 第 1 題 : 將 下 圖 沿 著 格 線 切 割 為 全 等 的 4 部 分, 而 且 每 一 部 分 中 都 必 須 恰 有 一 個, 請 用 粗 線 畫 出 切 割 的 方 法

52 附 件 二 : 作 業 單 第 1 題 : 下 圖 有 兩 個 邊 長 分 別 為 3 與 4 的 正 方 形, 請 將 正 方 形 沿 格 線 各 分 成 兩 塊, 再 拼 合 成 一 個 5 5 的 正 方 形 第 題 : 將 下 圖 切 割 成 形 狀 面 積 完 全 相 同 的 兩 片 ( 只 能 延 著 虛 線 切 割 )

53 主 題 一 : 數 與 量 單 元 一 : 奇 幻 方 陣 益 智 數 與 量 壹 教 學 主 題 : 奇 幻 方 陣 貳 適 用 年 級 : 七 八 九 年 級 參 教 學 目 標 : 能 察 覺 數 字 與 數 字 的 組 合 是 有 趣 且 變 化 無 窮 肆 背 景 知 識 : 1. 具 備 數 ( 整 數 分 數 小 數 ) 的 四 則 運 算. 具 備 乘 法 公 式 的 運 用 伍 教 學 內 容 : 一 引 起 動 機 : 正 整 數 與 其 數 字 的 關 係 1. 奇 妙 的 這 個 數 字 實 在 很 有 趣, 例 如 要 將 3 個 9 排 列 為 10, 9 10 則 可 列 出 的 算 式 那 麼, 請 使 9 用 4 個 9 利 用 加 減 乘 除 運 算 符 號, 排 出 4 個 算 式 解 出 (1) ()19 (3)0 (4)100 的 答 案 9 9 解 : (1) () (3) (4)

54 . 4 個 4 4 個 4 利 用 加 減 乘 除 運 算 符 號 寫 出 答 案 為 1 到 10 的 算 式 有 很 多 種 方 法, 例 如 答 案 是 3 的 算 式 之 一 即 如 下 例 例 答 : 1,, 4 4, 5, 4 6, , 4 4 9, (44-4) 設 有 一 四 位 數 的 正 整 數 ABCD, 乘 以 4 後 為 數 會 顛 倒, 即 ABCD 4 DCBA, 試 求 原 來 ABCD 此 四 位 數 答 : 奇 異 的 四 位 數 猜 猜 看 最 不 可 思 議 的 數 是 什 麼? 四 位 數 就 是 非 常 奇 妙 的 將 四 物 數 的 前 二 位 數 拆 開, 成 為 兩 個 二 位 數, 將 這 兩 個 二 位 數 相 加 後 予 以 平 方, 又 會 變 成 原 來 的 四 位 數, 這 個 四 位 數 究 竟 是 多 少? 四 位 數 : A B C D ( A B + C D ) = X X = A B C D 解 : 此 為 四 位 卡 布 列 克 怪 數 卡 布 列 克 (L. D. Kaprekar, 印 度 數 學 家 ) 怪 數 是 類 似 (30+5) =305 這 樣 的 數 : 即 一 個 n 位 數, 把 前 n 位 數 當 作 一 個 數 加 上 這 個 數 的 後 n 位 數, 它 們 之 和 的 平 方 正 好 等 於

55 這 個 n 位 數 試 問 四 位 數 中 有 那 些 卡 布 列 克 怪 數?( 能 否 找 出 所 有 卡 布 列 克 怪 數?) 100a b ( a b ) 如 何 引 進 未 知 數 99a n ( n 1) 其 中 : n a b ( 提 示 : 共 有 三 組 解 -05, 305, 9801, 巴 納 德 找 出 :1, 81, , , 試 問 如 何 求 出 其 他 位 數? 例 如 六 位 數 只 有 兩 個 數 :49409, ) 註 : 對 於 奇 數 位 的 整 數, 偏 前 ( 或 偏 後 ) 的 斷 開 成 兩 個 數, 求 其 和 後 再 平 方 正 好 等 於 原 數, 仍 稱 為 卡 布 列 克 怪 數, 例 如 8809=(88+09), =( ) 將 整 數 分 組 的 概 念 5. 使 答 案 變 成 0 下 列 算 式 是 以 1 到 9 的 順 序 排 列 的, 其 間 填 上 加 減 記 號, 使 答 案 變 成 100 現 在, 試 著 填 上 加 減 乘 的 記 號, 使 答 案 變 成 0, 耐 心 的 想 想 吧! =100 答 : =0 三 奇 幻 方 陣 6. 三 原 色 圖 下 圖 中 的 三 個 圓, 請 以 1~7 的 數 填 入 這 三 個 圓 所 分 割 的 7 個 部 份, 使 每 個 圓 加 起 來 的 總 數 都 相 同 解 : 或 4 3

56 7. 五 連 環 請 把 九 個 數 字 填 入 下 圖 五 個 圓 內 的 九 個 區 域 中 ( 每 一 個 區 域 只 能 填 入 一 個 數 字 ), 使 得 每 一 個 圓 中 數 字 的 總 和 皆 相 等 解 : 三 重 三 角 形 在 圖 中 大 中 小 三 個 三 角 形 的 頂 角 畫 一 個 圓, 使 圓 與 圓 及 三 條 直 線 連 結 在 一 起 在 元 中 填 入 1~9 的 不 同 數 字, 使 各 三 角 形 的 總 數 盒 與 各 直 線 的 總 數 何 均 為 15

57 答 : 雙 重 圓 的 魔 術 方 陣 在 圓 中 填 入 ~9 的 數 字, 使 的 圓 周 上 的 4 個 圓 加 上 中 央 的 1 的 總 數, 和 連 接 直 線 成 為 十 字 的 5 個 元 總 數 相 同 1 答 :

58 10. 四 個 三 角 形 的 魔 術 方 陣 表 中, 直 橫 斜 之 總 數 均 為 15, 是 魔 術 方 陣 中 最 具 代 表 性 的 例 子 現 在, 在 左 下 圖 的 圓 中, 填 入 1~9 的 數 字, 使 四 個 三 角 形 圓 內 總 數 相 同 答 :

59 學 習 單 1. 奇 妙 的 這 個 數 字 實 在 很 有 趣, 例 如 要 將 3 個 9 排 列 為 10, 9 10 則 可 列 出 的 算 式 那 麼, 請 使 9 用 4 個 9 利 用 加 減 乘 除 運 算 符 號, 排 出 4 個 算 式 解 出 (1) ()19 (3)0 (4)100 的 答 案 () 想 想 看, 上 述 結 果 如 何 得 到, 是 否 還 有 其 他 的 解?. 4 個 4 4 個 4 利 用 加 減 乘 除 運 算 符 號 寫 出 答 案 為 1 到 10 的 算 式 有 很 多 種 方 法, 例 如 答 案 是 3 的 算 式 之 一 即 如 下 例 例 3 4 () 想 想 看, 上 述 結 果 如 何 得 到, 是 否 還 有 其 他 的 解?

60 3. 設 有 一 四 位 數 的 正 整 數 ABCD, 乘 以 4 後 為 數 會 顛 倒, 即 ABCD 4 DCBA, 試 求 原 來 ABCD 此 四 位 數 () 想 想 看, 上 述 結 果 如 何 得 到, 是 否 還 有 其 他 的 解? 4. 奇 異 的 四 位 數 猜 猜 看 最 不 可 思 議 的 數 是 什 麼? 四 位 數 就 是 非 常 奇 妙 的 將 四 物 數 的 前 二 位 數 拆 開, 成 為 兩 個 二 位 數, 將 這 兩 個 二 位 數 相 加 後 予 以 平 方, 又 會 變 成 原 來 的 四 位 數, 這 個 四 位 數 究 竟 是 多 少? 四 位 數 : A B C D ( A B + C D ) = X X = A B C D () 想 想 看, 上 述 結 果 如 何 得 到, 是 否 還 有 其 他 的 解?

61 5. 使 答 案 變 成 0 (1) 下 列 算 式 是 以 1 到 9 的 順 序 排 列 的, 其 間 填 上 加 減 記 號, 使 答 案 變 成 100 現 在, 試 著 填 上 加 減 乘 的 記 號, 使 答 案 變 成 0, 耐 心 的 想 想 吧! =100 () 想 想 看, 上 述 結 果 如 何 得 到, 是 否 還 有 其 他 的 解? 三 奇 幻 方 陣 6. 三 原 色 圖 下 圖 中 的 三 個 圓, 請 以 1~7 的 數 填 入 這 三 個 圓 所 分 割 的 7 個 部 份, 使 每 個 圓 加 起 來 的 總 數 都 相 同

62 7. 五 連 環 請 把 九 個 數 字 填 入 下 圖 五 個 圓 內 的 九 個 區 域 中 ( 每 一 個 區 域 只 能 填 入 一 個 數 字 ), 使 得 每 一 個 圓 中 數 字 的 總 和 皆 相 等 8. 三 重 三 角 形 在 圖 中 大 中 小 三 個 三 角 形 的 衣 角 劃 一 個 圓, 使 圓 與 圓 及 三 條 直 線 連 結 在 一 起 在 元 中 填 入 1~9 的 不 同 數 字, 使 各 三 角 形 的 總 數 盒 與 各 直 線 的 總 數 何 均 為 15

63 9. 雙 重 圓 的 魔 術 方 陣 在 圓 中 填 入 ~9 的 數 字, 使 的 圓 周 上 的 4 個 圓 加 上 中 央 的 1 的 總 數, 和 連 接 直 線 成 為 十 字 的 5 個 元 總 數 相 同 四 個 三 角 形 的 魔 術 方 陣 表 中, 直 橫 斜 之 總 數 均 為 15, 是 魔 術 方 陣 中 最 具 代 表 性 的 例 子 現 在, 在 左 下 圖 的 圓 中, 填 入 1~9 的 數 字, 使 四 個 三 角 形 圓 內 總 數 相 同

64 單 元 二 : 尋 找 規 律 性 益 智 數 與 量 壹 教 學 主 題 : 尋 找 規 律 性 貳 適 用 年 級 : 七 八 九 年 級 參 教 學 目 標 : 能 觀 察 出 規 律 性, 並 歸 納 解 題 肆 背 景 知 識 :1. 具 備 平 方 根 的 知 識. 知 道 完 全 平 方 數 3. 具 備 數 列 級 數 的 概 念 伍 教 學 內 容 : 一 引 起 動 機 1. 走 迷 宮 16 個 房 間 規 定 從 A 入 口, 要 參 觀 每 一 間 且 每 一 間 只 能 走 一 次 : (1) 求 證 : 出 口 不 可 能 是 B () 問 出 口 設 在 哪 裡? B A 解 : T U S B R (1) 在 A 的 相 鄰 兩 邊 塗 上 藍 白 由 A 進 入 藍 白 藍 白 藍 白 走 完 16 間, 第 16 間 是 白 色, 但 B 是 黑 色, 所 以 出 口 不 可 能 是 B A P Q ()P Q R S T U

65 . 數 字 金 字 塔 右 下 圖 是 由 一 堆 正 整 數 所 組 成 的 金 字 塔, 稱 為 數 字 金 字 塔 試 問 : (1) 數 字 金 字 塔 共 有 幾 個 數? () 這 些 數 的 總 和? 10 9,10,11 8,9,10,11,1. 3,,17,3,4,,10,,17,18 1,,3,4,,10,,17,18,19 解 : (1) (1 9) 100 ( 個 ) 數 (1) (10 190) 猜 一 猜 我 在 哪 裡? ( 1 1 ),( 1, 1 ),( 1 3,, 3 1 ),( 1 4, 3, 3, 4 1 ),( 1 5, 4, 3 3, 4, 5 1 ) (1) 15 7 在 第 群 的 第 個 數 () m n 在 第 群 的 第 個 數 (3) 第 006 群 元 素 是 (4) 從 頭 算 起 m 是 第 項 n 解 : 觀 察 到 分 數 在 第 幾 群 是 分 子 + 分 母 1 ; 判 斷 分 數 是 在 第 幾 個 數 則 是 看 分 母 (1) 15 7 在 第 1 群 的 第 15 個 數 n () 在 第 n m 1 群 的 第 m 個 數 m (3) 第 006 群 元 素 是 (4) 從 頭 算 起 ,,,, m 是 第 n 項 n

66 二 尋 找 規 律 性 4. 甲 燒 杯 裝 101 ml 的 食 鹽 水, 乙 燒 杯 是 空 的 第 一 天, 甲 燒 杯 倒 了 1 給 乙 燒 杯 1 1 第 二 天, 乙 燒 杯 倒 了 給 甲 燒 杯 ( 3 3 第 三 天, 甲 燒 杯 倒 了 1 是 指 食 鹽 水 的 ) 給 乙 燒 杯 ( 是 指 食 鹽 水 的 ) 以 此 類 推, 問 第 一 百 天 甲 燒 杯 共 有 多 少 ml 的 食 鹽 水? 解 : 第 一 天 甲 燒 杯 剩 全 部 的 第 二 天 甲 燒 杯 的 量 是 全 部 的 第 三 天 甲 燒 杯 的 量 是 全 部 的 1 1, 乙 燒 杯 的 量 是 全 部 的 1 1 1, 乙 燒 杯 的 量 是 全 部 的 (1 ) (1 ), 乙 燒 杯 的 量 是 全 部 的 ( ) 第 四 天 是 乙 燒 杯 倒 了 給 甲 燒 杯 甲 燒 杯 的 量 是 全 部 的, 第 五 天 是 甲 燒 杯 倒 了 1 6 乙 燒 杯 的 量 是 全 部 的 給 乙 燒 杯 甲 燒 杯 的 量 是 全 部 的 (1 ), 5 6 乙 燒 杯 的 量 是 全 部 的 以 此 類 推, 可 發 現 奇 數 天 時 甲 燒 杯 的 量 是 全 部 的 , 因 此 第 100 天 是 乙 燒 杯 到 了 給 甲 燒 杯, 所 以 第 100 天 甲 燒 杯 的 量 是 101 ( ) (1) m ( 1)(4 1)(16 1) ( 18 1 ), 試 求 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 多 少? 4 64 () m (3 1)(3 1)(3 1) (3 1 ), 試 求 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 多 少? 4 64 (3) m (4-1)(4 1)(16 1)(4 1) (4 1 ) 試 求 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 多 少? 4 3 (4) m (5-1)(5 1)(5 1)(5 1) (5 1 ) 試 求 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 多 少?

67 解 :(1) m ( 1)( 1)(4 1)(16 1) ( 1) ( 1)(4 1) ( 1) 1 n 個 位 數 的 規 律 :, 4,8, 6, 每 4 個 數 循 環 一 次 56 因 為 整 除, 所 以 個 位 數 為 6, 所 以 答 : 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 () m (3 1)(3 1)(3 1) (3 1 ) 觀 察 : 第 二 項 (3 1 ) 10, 所 以 m 的 個 位 數 為 0 答 : 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 (3) m (4-1)(4 1)(16 1)(4 1) (4 1 ) 觀 察 : 第 二 項 (4 1 ) 5,5 乘 任 何 奇 數 的 個 位 數 都 是 5, 所 以 m 的 個 位 數 為 5 答 : 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 (4) m ( 5-1)( 5 1)( 5 1) (5 1) ( 5 1 ) 因 為 (5 1 ), ( 5 1), ( 5 4 1), ( 5 8 1), ( ), ( 5 3 1) 這 六 個 數 的 個 位 數 都 是 6, 這 6 個 數 的 連 乘 的 個 位 數 也 都 是 6, 而 (5 1 ) 4, 所 以 m 的 個 位 數 為 4 答 : 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 4 6. 恰 有 19 個 連 續 自 然 數 的 平 方 根 的 整 數 部 分 相 同, 試 求 這 19 個 連 續 數 和 的 平 方 根 的 整 數 部 分 解 : 思 考 點 : 完 全 平 方 數 1,4,9,16,5,36,49,64,81,100,11, 找 到 81,8,,99 合 乎 所 求 所 以 的 平 方 根 為 答 : 41 三 數 列 級 數 7. 如 右 下 圖, 在 直 角 坐 標 平 面 的 第 一 象 限 中, 把 坐 標 都 是 整 數 的 點 依 下 列 方 式 編 序 : 第 1 點 為 (0,0) 第 5 點 為 (0,) 第 9 點 為 (,0) 第 點 為 (1,0) 第 6 點 為 (1,) 第 10 點 為 (3,0) y 第 3 點 為 (1,1) 第 7 點 為 (,) 第 4 點 為 (0,1) 第 8 點 為 (,1) 依 右 圖 箭 頭 之 順 序, 則 第 006 號 的 坐 標 為 解 : n 006 n 第 1936 點 為 (0,43) 第 05 點 為 (44,0) 第 04 點 為 (44,1) ( 0, 1) ( 0, 0) ( 1, 0) x

68 第 03 點 為 (44,) 第 007 點 為 (44,18) 第 006 點 為 (44,19) 8. 在 下 列 圖 表 中, 我 們 稱 橫 的 為 列, 直 的 為 行, 例 如 : 第 5 列, 第 3 行 的 數 是 4 (1) 求 第 1 列 的 第 n 項 是 ()100 在 第 列 第 行 (3) 對 角 線 1,5,13, 第 n 項 是 第 一 行 第 二 行 第 三 行 第 四 行 第 五 行 第 六 行 第 一 列 第 二 列 第 三 列 第 四 列 第 五 列 第 六 列 16 3 解 :(1) 第 一 列 1,3,6,10, ; 第 一 列 第 五 項 是 n( 1 n ) 所 以 第 一 列 第 n 項 是 n(1 n ) () 第 n 行 是 100 n( 1 n ) 00 n 14 當 n 14 14(1 14) 105 第 一 列 第 14 行 第 1+5=6 列, 第 行 (3)1,5,13,5,41, b n b 1 1, b 5 1 4, b , b 所 以 ( n 4 ) b n

69 9.(1) 將 正 整 數 依 下 圖 方 式 排 列, 排 列 的 次 序 如 箭 頭 所 示 在 此 圖 形 中, 我 們 稱 橫 的 為 列, 直 的 為 行, 例 如 : 第 5 列, 第 3 行 的 數 是 19, 試 求 1000 這 個 數 位 於 第 幾 列, 第 幾 行 繼 續 () 將 正 整 數 依 下 圖 之 方 式 排 列 在 坐 標 平 面 的 格 子 點 上, 排 列 的 位 置 及 次 序 如 箭 頭 所 示, 其 中 相 鄰 二 平 行 線 之 距 離 為 1 試 求 1001 這 個 數 所 在 的 位 置 之 座 標 15(-4,4) 14(4,4) y (3,-3) x 解 :(1) 位 於 第 3 行 104,103,10, 依 次 位 於 第 3 行 之 第 一 列 第 二 列 第 三 列, 故 1000 位 於 第 5 列 () 由 觀 察 可 得 位 於 第 三 象 限 的 數 4,8,1, 都 是 4 的 倍 數, 而 位 於 第 四 象 限 中 的 數 5,9,13, 都 是 4k 1 的 形 式, 又 繞 一 圈 需 要 4 個 數, 所 以 4k 1 ( k 1,,3,4, ) 的 數 也 必 在 第 四 象 限

70 5 4 k 1,( k 1) 位 置 在 (, 1) 9 4 k 1,( k ) 位 置 在 (3, ) 13 4 k 1,( k 3) 位 置 在 (4, 3) 一 般 情 況 為 : 4k 1 的 數, 其 位 置 在 ( k 1, k ), k 1, 其 中 k 50 故 令 k 50 即 得 ( k 1, k ) (51, 50) 10. 如 右 下 圖, 在 直 角 坐 標 平 面 的 上 半 平 面 ( 含 x 軸 ), 把 坐 標 都 是 整 數 的 點 按 圖 中 箭 頭 的 順 序 編 號, 即 (0,0) 點 第 1 號 (1,0) 點 第 號 (1,1) 點 第 3 號 (0,1) 點 第 4 號 (-1,1) 點 第 5 號 (-1,0) 點 第 6 號 (-,0) 點 第 7 號 (-,1) 點 第 8 號 - 4 問 編 號 第 006 號 的 坐 標 是 什 麼? y x 解 : 觀 察 : 原 點 第 1 號 一 個 點, 第 一 層 第 號 到 第 6 號 有 5 個 點, 第 二 層 第 7 號 到 第 15 號 有 9 個 點 成 等 差 數 列 a0 1, a1 5, a 9 設 a 006 a, a 5, a 9, an 1 4n s n n ( n 1)(1 1 4 n) a 0 a 1 a a n ( n 1)( n 1) 006 取 n 31, 從 ( 31,0) 開 始 倒 數 第 11 個 006 號 坐 標 ( 31,10 ) 取 n 30, ( 31,30) 開 始 第 1 個 是 ( 31,10 )

71 11. 觀 察 下 列 三 表 中, 正 方 形 格 內 之 數 字 的 生 成 規 律 : 假 設 表 ( 一 ) 的 數 字 和 為 a 1, 表 ( 二 ) 的 數 字 和 為 a, 表 ( 三 ) 的 數 字 和 為 a 3, 若 k 為 大 於 1 的 正 整 數, 由 上 面 的 生 成 規 律, 設 表 (k-1) 的 數 字 和 為 a 為 k a, 而 且 a 880, 則 k 值 為 k a k 1 k 1, 表 (k) 的 數 字 和 1 ( 一 ) 1 ( 二 ) ( 三 ) 解 : a a k [( k 1) ( k 3) ] 880 k k 1 k[( k 1) ( k 3)][( k 1) ( k 3)] 880 k [ 4k 4][] 880, k 4 ( k 1) 880 k( k 1) k 一 組 數 a 1, a, a 3, a 4, 當 每 個 後 項 減 前 項 的 差 為 一 定 值, 及 當 a a a 定 值, 則 稱 為 這 組 數 字 為 等 差 數 列 今 有 5 5, 4 4 方 格, 原 1 3 a 來 每 個 方 格 內 均 有 一 數, 而 且 每 一 行 每 一 列 的 從 上 到 下 或 從 左 到 右 的 4 個 數 都 為 等 差 數 列 則 (1)K=, ()a = b = (1) 1 () b a K 70

72 1 ( 1) 解 :(1) 1 第 一 行 K 第 二 列 0,3,6,9, 第 三 列 4 1,4,9,14, 19 第 四 行 公 差 ,19,6, 33 所 以 k=33 () 0 b b 3b a b a 89 3a 1 49 第 一 列 0, a,a, 3a 第 一 行 0, b,b, 3b 第 二 列 b 89 b b 89 b 第 四 項 89 b 67 b 67 b 第 四 行 a3 3 a ( 3 a) 149 b 89 第 二 行 a4 a 3( a ) 70 所 以 a 37, b 將 自 然 數 按 下 列 規 律 排 列, 每 一 列 比 前 一 列 多 一 個 數, 如 下 圖 所 示 : 第 1 列 1 第 列,3 第 3 列 4,5,6 第 4 列 7,8,9,10 第 5 列 11,1,13,14,15 則 第 100 列 第 三 個 數 是 解 : 前 99 列 共 有 個 數 第 99 列 最 後 一 個 數 為 4950 所 以 第 100 列 第 3 個 數 是 =4953

73 14 下 圖 表 是 蜂 巢 的 平 面 圖, 第 一 層 只 有 一 個 正 六 邊 形 ABCDEF, 第 二 層 有 六 個 正 六 邊 形, 依 此 排 列 下 去, 若 此 蜂 巢 由 十 層 的 正 六 邊 形 所 組 成 則 頂 點 的 總 數 F E A D B C 解 : 第 一 層 6, 第 二 層 18, 第 三 層 30 和 a 10 n[ a1 ( n 1) d] 10[ 6 9 1] 600 等 差 a 6, n 10, d 1 1

74 學 習 單 1. 走 迷 宮 16 個 房 間 規 定 從 A 入 口, 要 參 觀 每 一 間 且 每 一 間 只 能 走 一 次 : (1) 求 證 : 出 口 不 可 能 是 B () 問 出 口 設 在 哪 裡? B A. 數 字 金 字 塔 右 下 圖 是 由 一 堆 正 整 數 所 組 成 的 金 字 塔, 稱 為 數 字 金 字 塔 試 問 : (1) 數 字 金 字 塔 共 有 幾 個 數? 10 () 這 些 數 的 總 和? 9,10,11 8,9,10,11,1. 3,,17,3,4,,10,,17,18 1,,3,4,,10,,17,18,19

75 3. 猜 一 猜 我 在 哪 裡? ( 1 1 ),( 1, 1 ),( 1 3,, 3 1 ),( 1 4, 3, 3, 4 1 ),( 1 5, 4, 3 3, 4, 5 1 ) (1) 15 7 在 第 群 的 第 個 數 () m n 在 第 群 的 第 個 數 (3) 第 006 群 元 素 是 (4) 從 頭 算 起 m 是 第 項 n 4. 甲 燒 杯 裝 101 ml 的 食 鹽 水, 乙 燒 杯 是 空 的 第 一 天, 甲 燒 杯 倒 了 1 給 乙 燒 杯 1 1 第 二 天, 乙 燒 杯 倒 了 給 甲 燒 杯 ( 3 3 第 三 天, 甲 燒 杯 倒 了 1 是 指 食 鹽 水 的 ) 給 乙 燒 杯 ( 是 指 食 鹽 水 的 ) 以 此 類 推, 問 第 一 百 天 甲 燒 杯 共 有 多 少 ml 的 食 鹽 水?

76 5.(1) m ( 1)(4 1)(16 1) ( 18 1 ), 試 求 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 多 少? 4 64 () 令 m (3 1)(3 1)(3 1) (3 1 ), 試 求 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 多 少? 4 64 (3) m (4-1)(4 1)(16 1)(4 1) (4 1 ) 試 求 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 多 少? 4 3 (4) m (5-1)(5 1)(5 1)(5 1) (5 1 ) 試 求 乘 開 後 m 的 個 位 數 為 多 少? 6. 恰 有 19 個 連 續 自 然 數 的 平 方 根 的 整 數 部 分 相 同, 試 求 這 19 個 連 續 數 和 的 平 方 根 的 整 數 部 分 7. 如 右 圖, 在 直 角 坐 標 平 面 的 第 一 象 限 中, 把 坐 標 都 是 整 數 的 點 依 下 列 方 式 編 序 : 第 1 點 為 (0,0) 第 5 點 為 (0,) 第 9 點 為 (,0) 第 點 為 (1,0) 第 6 點 為 (1,) 第 10 點 為 (3,0) y 第 3 點 為 (1,1) 第 7 點 為 (,) 第 4 點 為 (0,1) 第 8 點 為 (,1) 依 右 圖 箭 頭 之 順 序, 則 第 006 號 的 坐 標 為 ( 0, 1) ( 0, 0) ( 1, 0) x

77 8. 在 下 列 圖 表 中, 我 們 稱 橫 的 為 列, 直 的 為 行, 例 如 : 第 5 列, 第 3 行 的 數 是 4 (1) 求 第 1 列 的 第 n 項 是 ()100 在 第 列 第 行 (3) 對 角 線 1,5,13, 第 n 項 是 第 一 行 第 二 行 第 三 行 第 四 行 第 五 行 第 六 行 第 一 列 第 二 列 第 三 列 第 四 列 第 五 列 第 六 列 (1) 將 正 整 數 一 右 下 圖 方 式 排 列, 排 列 的 次 序 如 箭 頭 所 示 在 此 圖 形 中, 我 們 稱 橫 的 為 列, 直 的 為 行, 例 如 : 第 5 列, 第 3 行 的 數 是 19, 試 求 1000 這 個 數 位 於 第 幾 列, 第 幾 行 繼 續

78 () 將 正 整 數 依 下 圖 之 方 式 排 列 在 坐 標 平 面 的 格 子 點 上, 排 列 的 位 置 及 次 序 如 箭 頭 所 示, 其 中 相 鄰 二 平 行 線 之 距 離 為 1 試 求 1001 這 個 數 所 在 的 位 置 之 座 標 15(-4,4) 14(4,4) y (3,-3) x 10. 如 右 下 圖, 在 直 角 坐 標 平 面 的 上 半 平 面 ( 含 x 軸 ), 把 坐 標 都 是 整 數 的 點 按 圖 中 箭 頭 的 順 序 編 號, 即 (0,0) 點 第 1 號 (1,0) 點 第 號 (1,) 點 第 3 號 (0,1) 點 第 4 號 (-1,1) 點 第 5 號 (-1,0) 點 第 6 號 (-,0) 點 第 7 號 (-,1) 點 第 8 號 - 4 問 編 號 第 001 號 的 坐 標 是 什 麼? y x

79 11. 觀 察 下 列 三 表 中, 正 方 形 格 內 之 數 字 的 生 成 規 律 : 假 設 表 ( 一 ) 的 數 字 和 為 a 1, 表 ( 二 ) 的 數 字 和 為 a, 表 ( 三 ) 的 數 字 和 為 a 3, 若 k 為 大 於 1 的 正 整 數, 由 上 面 的 生 成 規 律, 設 表 (k-1) 的 數 字 和 為 a 為 k a, 而 且 a 880, 則 k 值 為 k a k 1 k 1, 表 (k) 的 數 字 和 1 ( 一 ) 1 ( 二 ) ( 三 ) 1. 一 組 數 a 1, a, a 3, a 4, 當 每 個 後 項 減 前 項 的 差 為 一 定 值, 及 當 a a a 定 值, 則 稱 為 這 組 數 字 為 等 差 數 列 今 有 5 5, 4 4 方 格, 原 1 3 a 來 每 個 方 格 內 均 有 一 數, 而 且 每 一 行 每 一 列 的 從 上 到 下 或 從 左 到 右 的 4 個 數 都 為 等 差 數 列 則 (1)K=, ()a = b = (1) 1 () b a K 70

80 13. 將 自 然 數 按 下 列 規 律 排 列, 每 一 列 比 前 一 列 多 一 個 數, 如 下 圖 所 示 : 第 1 列 1 第 列,3 第 3 列 4,5,6 第 4 列 7,8,9,10 第 5 列 11,1,13,14,15 則 第 100 列 第 三 個 數 是 14. 下 圖 表 是 蜂 巢 的 平 面 圖, 第 一 層 只 有 一 個 正 六 邊 形 ABCDEF, 第 二 層 有 六 個 正 六 邊 形, 依 此 排 列 下 去, 若 此 蜂 巢 由 十 層 的 正 六 邊 形 所 組 成 則 頂 點 的 總 數 F E A D B C

81 單 元 三 : 魔 術 數 學 有 趣 數 學 遊 戲 - 戲 幻 紙 卡 一 適 用 年 級 : 七 年 級 二 教 學 目 標 1. 能 明 瞭 的 次 方 的 運 算 以 及 1~100 正 整 數 值 的 組 合. 能 明 瞭 任 何 一 個 正 整 數 值 皆 可 用 等 來 組 合 3. 能 學 習 到 有 趣 數 學 遊 戲 三 學 生 背 景 1. 具 備 的 次 方 概 念. 能 運 用 資 訊 科 技 Excel 試 算 表, 做 數 值 的 計 算 與 驗 證 四 活 動 指 引 1. 藉 由 七 張 魔 幻 紙 卡 的 組 合 遊 戲, 讓 表 演 者 以 數 學 的 方 式, 預 測 學 生 之 前 預 寫 的 數 字 魔 幻 0 紙 卡 魔 幻 1 紙 卡

82 魔 幻 紙 卡 魔 幻 3 紙 卡 魔 幻 4 紙 卡 魔 幻 5 紙 卡 魔 幻 6 紙 卡

83 . 請 學 生 在 空 白 紙 上 寫 出 1 到 100 中 的 一 個 數 字 ( 請 以 1 到 100 的 正 整 數 填 寫 ) 3. 讓 學 生 從 7 張 魔 幻 紙 卡 中 找 出 所 寫 的 數 字 有 那 幾 張 ( 因 為 1 到 100 的 正 整 數 皆 可 由 來 加 總 組 成 ) 4. 進 行 加 總 計 算, 即 可 得 之 學 生 在 空 白 紙 上 寫 出 的 數 字 例 :37 是 乃 由 魔 幻 5 紙 卡 魔 幻 紙 卡 魔 幻 0 紙 卡 組 成 68 是 64+4 乃 由 魔 幻 6 紙 卡 魔 幻 紙 卡 組 成 99 是 乃 由 魔 幻 6 紙 卡 魔 幻 5 紙 卡 魔 幻 1 紙 卡 魔 幻 0 紙 卡 組 成 5. 請 善 用 您 的 教 學 技 巧, 讓 次 方 的 教 學 更 加 生 動 活 潑

84 魔 幻 0 紙 卡 活 動 單 戲 幻 紙 卡 GoGoGo 魔 幻 1 紙 卡 魔 幻 紙 卡 魔 幻 3 紙 卡 魔 幻 4 紙 卡 魔 幻 5 紙 卡 魔 幻 6 紙 卡

85 活 動 單 戲 幻 紙 卡 GoGoGo 活 動 步 驟 : 一 請 一 位 同 學 從 1 到 100 中 寫 一 個 數 字, 並 給 全 部 的 同 學 看 ( 老 師 可 背 對 同 學 五 秒 ) 二 拿 出 七 張 魔 幻 紙 卡, 並 給 同 學 查 到 是 否 有 魔 幻 的 排 列 數 字 三 一 一 拿 起 魔 幻 紙 卡 問 同 學 數 字 是 否 在 其 中 四 將 數 字 在 其 中 的 分 類 在 一 起 五 進 行 魔 幻 數 字 的 組 合 六 對 學 生 大 聲 說 出 選 擇 的 數 字 是 後 續 活 動 : 七 為 什 麼 老 師 會 猜 中 數 字 呢? 八 請 問 數 字 是 如 何 組 成 加 總 的 活 動 照 片 老 師 在 魔 幻 紙 卡 遊 戲 中 教 學 知 道 原 理 的 學 生 與 同 學 互 動 分 享

86 活 動 單 戲 幻 紙 卡 GoGoGo 經 由 以 下 排 列, 即 可 得 知 魔 幻 紙 卡 的 卡 內 數 字 如 何 而 來 數 字 驗 證 乖 冪 ^0 ^1 ^ ^3 ^4 ^5 ^6 數 字 驗 算 乖 冪 ^0 ^1 ^ ^3 ^4 ^5 ^6 數 字 驗 算

87 活 動 單 戲 幻 紙 卡 GoGoGo 數 字 驗 證 乖 冪 ^0 ^1 ^ ^3 ^4 ^5 ^6 數 字 驗 算 乖 冪 ^0 ^1 ^ ^3 ^4 ^5 ^6 數 字 驗 算

88 主 題 二 : 代 數 費 氏 數 列 一. 適 用 年 級 : 八 年 級 二. 教 學 目 標 : 從 日 常 生 活 中 接 觸 到 的 數 與 量 的 關 係, 來 找 尋 數 與 數 之 間 的 規 律 性, 進 而 探 討 令 人 感 興 趣 的 費 氏 數 列 三. 學 生 背 景 : 具 備 數 型 規 律 的 概 念 四. 教 學 指 引 : 人 物 介 紹 Fibonacci( 約 約 150) 是 中 世 紀 最 傑 出 的 數 學 家 義 大 利 數 學 家, 他 原 名 Leonardo of Pisa, 後 以 波 那 契 之 子 而 聞 名 他 於 1175 年 出 生 於 比 薩, 父 親 是 個 商 人, 很 早 就 激 發 了 這 個 小 孩 對 算 術 的 興 趣 他 們 旅 行 到 西 西 里, 埃 及 和 敘 利 亞, 實 際 上 接 觸 到 阿 拉 伯 的 數 學 歷 練 Fibonacci 很 快 就 發 現 了 十 進 位 數 字 系 統 的 好 處, 在 數 字 及 計 算 上 比 當 時 通 行 的 但 十 分 笨 拙 的 羅 馬 數 字 系 統 優 越 得 太 多 10 年, 他 回 到 家 鄉, 發 表 了 著 名 的 算 盤 書, 將 阿 拉 伯 數 字 系 統 引 進 歐 洲, 立 刻 大 受 歡 迎, 並 且 很 快 地 流 傳 開 來, 不 久 便 取 代 了 羅 馬 數 系 這 本 書 共 十 五 章, 包 括 了 阿 拉 伯 數 字 的 寫 法 與 讀 法, 整 數 及 分 數 的 計 算, 平 方 根 與 立 方 根 的 計 算, 用 試 位 法 及 代 表 解 法 解 線 性 及 二 次 方 程 等 等 書 中 包 含 了 許 多 問 題, 其 中 又 以 兔 子 問 題 最 為 有 名 : 一 對 兔 子, 每 月 生 一 對 小 兔 子, 新 生 的 小 兔 子 過 了 兩 個 月 以 後 又 開 始 生 小 兔 子, 問 : 一 對 兔 子 一 年 能 繁 殖 多 少 兔 子? 題 目 假 定 一 對 大 兔 子 每 一 個 月 可 以 生 一 對 小 兔 子, 而 小 兔 子 出 生 後 兩 個 月 就 有 生 殖 能 力, 問 從 一 對 大 兔 子 開 始, 一 年 後 能 繁 殖 成 多 少 對 兔 子? 這 導 致 費 波 那 契 數 列 :1,1,,3,5,8,13,1,, 其 規 律 是 每 一 項 ( 從 第 3 項 起 ) 都 是 前 兩 項 的 和 這 個 數 列 就 叫 作 Fibonacci 數 列 ( 或 稱 費 氏 數 列 ), 引 起 了 後 世 源 源 不 斷 的 興 趣 費 氏 數 列 介 紹 十 三 世 紀 初, 義 大 利 出 版 了 本 研 究 算 術 和 代 數 的 書 籍 算 盤 書, 它 是 當 時 歐 洲 人 推 廣 阿 拉 伯 數 字 的 重 要 書 籍 數 學 家 費 波 那 契 在 書 中 提 出 一 個 有 趣 的 題 目 : 假 設 一 對 兔 子 成 配 偶 後, 在 二 個 月 時 便 可 以 生 下 一 對 ( 一 雌 一 雄 ) 兔 子 以 後, 每 過 足 一 個 月 可 以 生 下 另 一 對 兔 子, 如 果 每 隻 兔 子 都 能 健 康 存 活, 一 年 之 後, 會 有 多 少 對 兔 子 呢? 第 1 個 月 : 只 有 一 對 兔 子 a 第 個 月 : 仍 只 一 對 兔 子 a 第 3 個 月 :a 生 下 一 對 兔 子 b, 共 有 對 兔 子

89 第 4 個 月 :a 又 生 下 一 對 兔 子 c, 加 上 一 對 兔 子 b, 共 有 3 對 兔 子 第 5 個 月 :a 又 生 下 一 對 兔 子 d, 而 這 對 兔 子 b 也 生 下 一 對 兔 子 e, 加 上 一 對 兔 子 c, 共 有 5 對 兔 子 第 6 個 月 :a 又 生 下 一 對 兔 子 f, 而 這 對 兔 子 c 也 生 下 一 對 兔 子 g, 同 時 這 對 兔 子 b 也 生 下 一 對 兔 子 h, 加 上 一 對 兔 子 d 和 一 對 兔 子 e, 共 有 8 對 兔 子 如 此 下 去, 每 個 月 兔 子 的 成 對 個 數 分 別 是 1,1,,3,5,8,13,1,... 這 數 列 我 們 稱 之 為 費 波 那 契 數 列 推 論 1,1,,3,5,8,13,1,34,55,89,144,. 仔 細 觀 察 這 個 數 列, 會 發 現 : 1+1=;1+=3;+3=5, 它 的 每 一 項 都 是 前 兩 項 的 和 設 f n 表 示 它 的 第 n 項,n 是 任 意 正 整 數, 則 : f 1 f 1, f 3 f 1 f, f 4 f f 3 這 個 由 兔 子 繁 殖 問 題 所 衍 生 出 來 的 數 列, 被 賦 予 了 它 的 發 現 者 的 名 字, 叫 做 費 波 那 契 數 列, 簡 稱 費 氏 數 列 費 波 那 契 數 列 f n f n 1 f n, 這 個 關 係 式 到 了 1634 年 才 由 數 學 家 齊 拉 特 提 出 1680 年 卡 希 尼 找 到 關 係 式 : f 1 1 ( 1) n n f n f n 圖 解 費 氏 數 列 性 質 費 氏 數 列 是 指 數 列 1,1,,3,5,8,13,1,34,55,89,...,,.. 其 中 第 n 項 依 此 類 推, f n = fn fn 1 此 規 則 其 實 是 符 合 費 氏 數 列 ~~ 引 自 昌 爸 工 作 坊

90 骨 牌 排 列 裡 的 費 氏 數 列 以 1的 骨 牌 覆 蓋 等 棋 盤, 我 們 可 以 動 手 排 排 看, 並 紀 錄 下 不 同 的 覆 蓋 方 式 不 同 棋 盤 的 所 有 骨 牌 覆 蓋 種 類 數 之 間, 是 否 有 其 特 殊 關 係 呢? 棋 盤 骨 牌 覆 蓋 方 式 種 類 上 表 裡 的 不 同 類 型 的 棋 盤, 骨 牌 覆 蓋 種 類 數 分 別 是 , 這 跟 費 波 那 契 數 列 , 的 第 二 項 至 第 五 項 相 同, 那 麼 6 棋 盤 的 骨 牌 覆 蓋 種 類 數 是 否 是 13 呢? 7 棋 盤 的 骨 牌 覆 蓋 種 類 數 是 否 是 1 呢? 不 同 類 型 n 的 棋 盤, 其 骨 牌 覆 蓋 種 類 數 其 實 就 是 費 氏 數 列 ~~ 引 自 昌 爸 工 作 坊

91 走 樓 梯 到 費 布 那 西 數 列 如 果 樓 梯 只 有 一 級, 上 樓 梯 的 方 法 當 然 只 有 一 種 ; 樓 梯 有 兩 級, 你 可 以 一 步 一 級, 也 可 以 一 步 兩 級, 如 此 上 樓 梯 的 方 法 有 兩 種, 你 可 以 一 級 一 級 的 走, 也 可 以 一 步 跨 兩 級 而 上 但 是 樓 梯 三 級 以 上, 你 會 有 多 少 走 法 呢? 基 於 安 全 考 量, 我 們 不 鼓 勵 一 步 三 級, 其 實 一 步 兩 級 也 具 危 險 性 的, 現 在 為 了 研 究 上 樓 梯 的 走 法, 我 們 限 定 一 步 可 走 一 級 或 兩 級, 但 是 一 定 要 注 意 行 走 安 全 下 圖 是 三 級 樓 梯 的 三 種 走 法, 我 們 分 別 以 數 對 (1,1,1) (1,) (,1) 表 示 樓 梯 級 數 各 走 法 步 驟 走 法 次 3 (1, 1, 1)(1, )(, 1) 3 4 (1,1,1,1)(1,1,)(1,,1)(,1,1)(,) (1,1,1,1,1)(1,1,1,)(1,1,,1)(1,,1,1)(,1, 1,1)(1,,)(,1,)(,,1) (1,1,1,1,1,1)(1,1,1,1,)(1,1,1,,1)(1,1,, 1,1)(1,,1,1,1)(,1,1,1,1) (1,1,,)(1,,1,)(1,,,1)(,,1,1)(,1,, 1)(,,1,1)(,,) 樓 梯 級 數 是 1,, 3, 4, 5, 6, 一 步 最 多 二 級 的 樓 梯 走 法 分 別 是 1,, 3, 5, 8,13, 如 果 七 級 的 樓 梯, 其 走 法 是 否 是 1 呢? 上 樓 梯 的 走 法 也 是 費 氏 數 列 ~~ 引 自 昌 爸 工 作 坊

92 自 然 界 中 的 費 氏 數 列 自 然 界 中 到 處 可 見 費 氏 數 列 的 蹤 跡 多 數 花 的 瓣 數 都 是 費 氏 數 : 火 鶴 1 百 合 3, 梅 花 5, 桔 梗 常 為 8, 金 盞 花 13, 等 等 向 日 葵 常 見 的 螺 線 數 目 為 34 及 55, 較 大 的 向 日 葵 的 螺 線 數 目 則 為 89 及 144, 更 大 的 甚 至 還 有 144 及 33 這 些 全 都 是 費 氏 數 列 中 相 鄰 兩 項 的 數 值 雛 菊 常 見 的 螺 線 數 目 則 是 1 及 34, 也 有 些 品 種 雛 菊 的 螺 線 數 目 是 13 及 1 樹 木 的 分 枝 花 草 或 樹 木, 其 枝 幹 的 分 枝 成 長 符 合 費 氏 數 列 的 排 列, 如 下 圖