40 數 學 傳 播 23 卷 4 期 民 88 年 2 月 思 考 問 題 和 解 決 問 題 的 取 之 不 盡 用 之 不 竭 的 豐 富 源 泉 了 [2] 所 有 這 些, 也 硬 要 說 成 是 由 於 數 學 教 育 的 外 部 原 因 所 造 成 的, 未 免 就 有 點 迂 腐 自

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1 數 學 方 法 論 與 新 世 紀 數 學 教 學 一 一 MM 數 學 教 育 方 式 縱 橫 談 徐 瀝 泉 科 學 普 及 工 作 取 得 的 成 就, 不 像 發 現 了 一 個 金 礦 那 樣 令 人 歡 欣 鼓 舞, 但 它 對 人 類 的 意 義 更 為 深 遠, 給 社 會 帶 來 的 利 益 遠 遠 超 過 這 種 有 形 的 財 富 牛 津 格 言 摘 要 : 本 文 漫 談 了 在 世 紀 之 交 即 將 到 來 的 時 刻, 一 種 新 的 數 學 教 育 方 式, 即 MM 方 式 是 如 何 產 生 的, 有 什 麼 優 越 性, 怎 樣 操 作, 效 果 如 何 等 等, 作 者 是 該 方 式 的 設 計 與 組 織 實 施 者, 一 切 身 歷 其 境. 問 題 出 在 哪 裡 人 類 很 快 就 要 進 入 2 世 紀, 2 世 紀, 不 僅 是 一 個 現 代 高 新 技 術 繼 續 處 於 更 大 變 革 的 新 世 紀, 而 且 是 一 個 更 側 重 於 研 究 人 的 發 展 的 新 世 紀, 而 高 新 技 術 從 本 質 上 講 是 一 種 數 學 技 術 且 數 學 科 學 對 於 人 的 教 育 作 用 是 非 常 巨 大 的, 數 學 是 人 類 文 明 的 重 要 組 成 部 分 [] 994 年 春, 作 者 接 到 湖 北 省 天 門 市 一 位 中 學 生 的 來 信, 信 中 有 這 樣 的 一 句 話 : 學 生 愛 學 習, 是 因 為 學 生 愛 生 命 ; 學 生 愛 數 學, 是 因 為 生 命 需 要 數 學 的 確, 在 現 代 生 活 中, 在 今 天, 數 學 對 於 人 類 來 說, 是 此 君 不 可 一 日 無 了 因 此, 目 前 世 界 上 大 多 數 國 家 都 已 經 把 數 學 教 育 作 為 提 高 國 民 素 質 的 重 要 手 段, 並 且 越 來 越 認 識 到 發 展 數 學 科 學 的 極 端 重 要 性 中 國 更 應 該 這 樣, 因 為 數 學 是 中 國 人 民 擅 長 的 科 學 然 而, 與 此 形 成 強 烈 反 差 的 是 : 在 現 代 學 校 的 基 礎 教 育 中, 成 千 上 萬 的 差 生 對 數 學 不 感 興 趣, 他 們 厭 惡 數 學 也 許 有 人 會 說, 這 都 是 外 部 原 因 造 成 的 可 是, 三 年 的 數 學 教 材 用 兩 年 時 間 匆 匆 教 完, 留 下 一 年 作 復 習 題, 選 學 內 容 不 選 學, 必 學 內 容 也 未 必 學 ( 原 因 是 高 考 不 作 要 求 ) 數 學 課 上 數 學 滋 味 不 濃, 師 生 們 品 嘗 不 到 數 學 味 道 的 精 美, 更 不 用 說 到 現 代 數 學 的 廣 闊 原 野 上 去 領 悟 百 花 齊 放 推 陳 出 新 的 意 境, 去 汲 取 39

2 40 數 學 傳 播 23 卷 4 期 民 88 年 2 月 思 考 問 題 和 解 決 問 題 的 取 之 不 盡 用 之 不 竭 的 豐 富 源 泉 了 [2] 所 有 這 些, 也 硬 要 說 成 是 由 於 數 學 教 育 的 外 部 原 因 所 造 成 的, 未 免 就 有 點 迂 腐 自 七 十 年 代 末 以 來, 余 目 睹 眾 多 中 學 數 學 教 師 天 天 疲 於 奔 命, 收 羅 五 洲 四 海 的 復 習 題 習 題 冊 ; 廣 大 青 少 年 學 生 日 夜 奮 戰 在 題 海 之 中 而 毫 無 喘 息 之 機 的 情 景 ( 據 說 這 方 面 臺 灣 的 聯 招 與 大 陸 的 高 考 同 樣 嚴 酷 無 情, 乃 至 整 個 東 亞 皆 如 此 [3] ), 頗 有 點 欲 濟 無 舟 楫, 端 居 聇 聖 明 2 之 感, 乃 棄 官 還 鄉 3, 致 力 於 教 育 科 學 的 研 究, 尋 求 普 度 眾 生 攻 破 題 海 的 法 寶 與 武 器 那 麼 到 底 什 麼 才 是 攻 破 題 海 的 有 力 武 器? 使 用 什 麼 法 寶 才 能 調 動 主 體 ( 學 生 ) 學 習 數 學 的 強 烈 興 趣? 這 正 是 數 學 教 育 本 身 迴 避 不 了 的 現 實 問 題 這 裡 我 們 暫 不 考 慮 數 學 教 育 的 外 部 影 響, 因 為 數 學 教 育 質 量 的 提 高 其 最 終 的 落 腳 點 還 是 要 落 實 到 數 學 教 育 內 部 如 何 採 取 最 有 效 的 教 育 方 式 這 個 核 心 問 題 上 來 那 麼, 又 什 麼 才 是 最 有 效 的 數 學 教 育 方 式 呢? 採 取 實 用 主 義 的 態 度, 在 數 學 教 材 中 引 進 三 機 一 泵 行 不 行? 顯 然, 文 革 期 間 的 做 法 已 給 中 國 大 陸 帶 來 了 嚴 重 的 災 害 和 深 刻 的 教 訓 ; 一 味 地 強 調 數 學 教 育 的 現 代 化, 對 數 學 教 材 進 行 公 理 化 處 理, 行 不 行? 歐 美 等 國 新 數 運 動 的 失 敗, 則 使 人 們 認 識 到 應 當 回 到 基 礎 去 (Back to Basics)! 一 而 再, 再 而 三 地 降 低 教 材 難 度 行 不 行? 把 較 複 雜 一 點 的 內 容 逐 步 刪 去, 把 抽 像 程 度 較 高 一 些 的 內 容 也 逐 步 刪 去 ( 實 際 上 是 在 把 數 學 的 精 美 內 容 和 完 美 形 式 都 逐 步 逐 步 地 刪 去 ) 最 後 數 學 課 本 越 來 越 薄 ( 註 : 配 套 練 習 冊 和 參 考 書 卻 越 來 越 厚 ), 內 容 越 來 越 少, 只 剩 骨 架 沒 有 血 肉, 這 仍 然 調 動 不 了 主 體 ( 學 生 ) 學 習 數 學 的 興 趣 恰 恰 相 反, 為 了 遷 就 學 生 而 片 面 降 低 對 學 生 的 要 求, 只 會 縱 容 一 種 好 逸 惡 勞 和 見 難 即 退 的 心 態, 造 成 人 的 素 質 下 降 [4] 為 什 麼 一 方 面 數 學 教 育 急 需 改 革, 但 另 一 方 面 一 改 就 會 出 問 題, 甚 至 遭 到 失 敗 呢? 問 題 出 在 哪 裡? 怎 麼 辦? 從 失 敗 中 吸 取 教 訓, 從 成 功 中 總 結 經 驗, 我 們 的 回 答 是 : 貫 徹 數 學 方 法 論 的 教 育 方 式 ( 簡 稱 MM 方 式 ), 全 面 提 高 學 生 素 質 2. 這 樣 回 答 行 嗎 MM 方 式 是 怎 樣 提 出 來 的? 為 什 麼 要 在 數 學 教 學 中 貫 徹 這 種 方 式? 即, 它 的 理 論 依 據 和 客 觀 背 景 是 什 麼? 2.. 第 一, 我 們 要 搞 清 楚 什 麼 是 數 學 方 法 論? 近 年 來, 國 內 外 一 些 著 名 數 學 家 都 致 力 於 對 數 學 哲 學 的 研 究 他 們 從 本 體 論 與 認 識 論 的 角 度 提 出 了 數 學 是 一 種 模 式 真 理 的 數 學 觀 [5] 按 照 這 種 觀 點, 數 學 模 式 在 本 體 上 具 有 兩 重 性, 就 其 內 容 而 言, 具 有 明 確 的 客 觀 意 義, 是 思 維 對 於 客 觀 實 在 的 能 動 反 映, 任 何 數 學 模 型 都 有 它 的 現 實 原 型 ; 就 其 形 式 結 構 而 言, 數 學 並 非 客 觀 世 界 中 的 真 實 存 在, 而 只

3 數 學 方 法 論 與 新 世 紀 數 學 教 學 4 是 創 造 性 思 維 亦 即 理 性 的 創 造 物 從 前 者 而 言, 數 學 是 人 們 所 發 現 的 ; 從 後 者 而 論, 數 學 是 人 們 所 發 明 的 而 數 學 的 每 一 次 重 大 的 發 現 和 發 明, 都 是 以 決 定 數 學 向 本 質 上 的 嶄 新 狀 態 過 渡 的 傑 出 成 就 為 標 誌 的 這 中 間 伴 隨 著 認 識 論 與 方 法 論 上 的 突 破, 伴 隨 著 數 學 思 想 方 法 的 革 命 性 的 變 革, 有 一 門 學 問 就 是 專 門 以 數 學 的 思 想 方 法 作 為 研 究 對 像 的 數 學 分 支, 它 就 是 數 學 方 法 論 [6] 徐 利 治 教 授 指 出 : 數 學 方 法 論 主 要 是 研 究 和 討 論 數 學 的 發 展 規 律, 數 學 的 思 想 方 法 以 及 數 學 中 的 發 現 發 明 與 創 新 等 法 則 的 一 門 學 問 [7] 2.2. 第 二, 我 們 要 搞 清 楚 數 學 教 育 與 數 學 方 法 論 有 什 麼 關 係? 從 數 學 方 法 論 觀 點 看, 數 學 具 有 兩 重 性, 它 既 是 一 門 系 統 的 演 繹 科 學 ( 從 最 後 被 確 定 的 定 型 的 數 學 來 看 ), 又 是 一 門 實 驗 性 的 歸 納 科 學 ( 從 創 造 過 程 中 的 數 學 來 看 ) [8] 因 此, 數 學 教 學 應 充 分 體 現 數 學 的 這 兩 個 側 面, 使 學 生 受 到 全 面 的 數 學 教 育, 忽 視 數 學 的 歸 納 性 的 一 面 是 不 完 全 的 數 學 教 育 另 外, 運 用 數 學 方 法 論 的 觀 點 和 高 級 神 經 活 動 生 理 學 已 有 的 研 究 成 果, 分 析 數 學 思 維, 我 們 看 到, 數 學 思 維 也 有 兩 重 性, 一 類 是 進 行 邏 輯 推 理 的 抽 像 思 維 ( 左 腦 思 維 ); 另 一 類 是 進 行 合 情 推 理 或 似 真 推 理 (Plausible Reasoning) 的 形 像 思 維 ( 右 腦 思 維 ) [9] 這 後 一 類 思 維 的 具 體 表 現 形 式 是 觀 察 實 驗 類 比 聯 想 不 完 全 歸 納 等 它 們 不 僅 在 數 學 的 發 現 過 程 中 起 著 十 分 重 要 的 作 用, 而 且 廣 泛 應 用 於 社 會 生 活 之 中 因 此, 我 們 不 應 該 把 數 學 單 純 地 理 解 為 一 門 工 具 學 科, 而 應 該 把 它 當 作 一 種 文 化 形 態 來 對 待, 在 數 學 教 學 中 致 力 於 提 高 人 們 的 一 般 文 化 修 養 當 然 要 充 分 發 揮 數 學 的 這 種 文 化 教 育 功 能, 就 必 須 採 用 一 定 的 方 式 來 組 織 教 學 G. Polya 曾 以 解 題 為 例, 說 明 離 開 似 真 推 理 ( 合 情 推 理 ), 人 們 無 法 接 受 數 學 中 抽 像 結 論 的 道 理 這 個 例 子 說 的 是 他 在 證 明 (a a 2 a n ) n < e a n ) (a n 是 不 全 為 零 的 非 負 實 數 ) 這 個 不 等 式 的 時 候, 他 用 一 個 等 式 來 定 義 正 數 c c 2 c 3 c n = (n + ) n, 從 而 (a a 2 a n ) n (a c a 2 c 2 a n c n ) n = n + a c + a 2 c a n c n n(n + ) = a n c n n= k=n k(k + ) = a n c n ( k=n k k + ) (n + ) n = a n n= n n n < e a n 證 明 本 身 是 非 常 簡 潔 而 巧 妙 的, 但 是 這 裡 推 理 的 關 鍵 是 定 義 序 列 c c 2 c 3..., 學 生 對 此 就 無 法 理 解, 會 感 到 它 是 突 然 從 天 而 降 的, 只 有 作 者 知 道 這 一 步 的 目 的 這 就 是 人 們 接 受 抽 象 結 論 的 困 難 所 在, 古 人 云 : 像 顯 可 徵, 雖 愚 不 惑, 形 潛 莫 睹, 在 智 猶 迷 就 是 這 個 道 理 因 為 人 們 無 法 了 解 到 它 的 來 源

4 42 數 學 傳 播 23 卷 4 期 民 88 年 2 月 與 構 想, 只 能 被 動 地 承 認 其 正 確, 若 整 個 教 材 基 本 上 是 按 這 種 體 系 編 寫, 教 師 又 不 對 它 進 行 教 學 法 加 工, 學 生 就 只 能 被 動 地 接 受 與 理 解 這 些 法 則, 靠 套 公 式, 摹 仿 例 題 而 日 復 一 日 年 復 一 年 地 機 械 操 練, 這 對 他 們 智 力 水 平 的 提 高 很 難 有 成 效 學 生 的 智 力 得 不 到 發 展, 而 所 學 內 容 卻 不 斷 深 化, 長 此 以 往, 他 們 就 會 感 到 困 惑 而 對 數 學 產 生 厭 惡 情 緒 G. Polya 指 出, 要 讓 學 生 真 正 理 解 與 掌 握 數 學 中 的 抽 象 結 論, 就 必 須 採 用 一 種 所 謂 啟 發 式 的 敘 述 形 式, 把 抽 象 結 論 的 來 龍 去 脈 完 全 剖 析 給 學 生, 他 以 c c 2 c 3 這 個 序 列 定 義 的 發 現 為 例, 詳 細 敘 述 了 他 是 如 何 觀 察 聯 想 猜 測 到 可 以 用 平 均 不 等 式 來 加 以 證 明 : (a a 2 a n ) n a + a a n n 卻 出 師 不 利, 級 數 k = a n n= k=n k 發 散, 完 全 失 敗 啦! [8] 然 後 他 仔 細 分 析 了 原 因, 發 現 可 能 是 a i (i =, 2,...,n) 這 些 數 之 間 差 異 懸 殊, 因 為 平 均 不 等 式 當 且 僅 當 a i 全 相 等 時 等 式 成 立, 當 a i 不 全 相 等 時, 兩 邊 是 不 同 的, 而 當 a i 很 不 相 等 時, 兩 邊 的 差 距 就 會 更 大 故 想 到 構 造 補 償 因 子, 在 a i 之 間 插 入 c i 來 解 決 矛 盾 : (a a 2 a n ) n (a c a 2 c 2 a n c n ) n = (c c 2 c n ) n a c + a 2 c a n c n n(c c 2 c n ) n = a n c n n= k=n k(c c 2 c k ) k 到 此, 我 們 已 不 難 理 解, 為 什 麼 要 定 義 : (c c 2 c k ) k =k+, 即 c c 2 c k =(k+) k 了, 因 為 k=n = k(k+) k=n ( ) = k k+ + + n n+ n+ n+2 n+2 ( 註 : 這 裡 我 們 已 經 濃 縮 了 G. Polya 的 探 索 過 程 ) 這 一 典 型 例 子 基 本 上 反 映 了 數 學 中 發 明 創 造 的 一 般 過 程 揭 示 了 任 何 真 理 的 出 現, 都 得 經 歷 一 番 磨 煉, 說 明 了 在 失 敗 的 現 實 中 往 往 蘊 含 成 功 的 全 部 信 息, 關 鍵 是 能 否 破 譯 事 實 所 提 供 的 這 無 形 的 密 碼 美 國 哥 倫 比 亞 大 學 生 物 學 家 拉 夫 赫 路 威 指 出 : 總 的 說 來, 智 能 就 是 指 處 理 信 息 的 能 力 由 失 敗 的 事 實 提 供 的 信 息 完 成 獲 取 成 功 的 過 程 這 正 是 智 能 的 的 特 徵 近 代 人 工 智 能 科 學 指 出 : 思 維 的 特 徵 是 自 尋 目 標, 而 自 尋 目 標 是 通 過 負 反 饋 來 實 現 的 這 就 是 說 對 原 擬 訂 達 到 目 標 的 計 劃, 是 由 受 挫 折 提 供 的 信 息 不 斷 進 行 調 整, 才 得 以 實 現 的 這 既 是 思 維 的 特 徵, 又 是 智 能 的 表 現, 但 在 現 代 教 材 中 沒 有 似 真 推 理 的 內 容, 當 然 也 不 可 能 有 這 樣 符 合 思 維 規 律 提 高 智 能 的 有 效 訓 練 了 由 此 看 來, 學 數 學 的 困 難, 原 因 不 是 它 本 身 的 抽 象 形 式, 而 是 離 開 了 抽 象 的 背 景, 離 開 了 用 似 真 推 理 來 發 現 它 的 過 程, 離 開 了 在 受 挫 折 中 對 反 饋 信 息 的 分 析, 離 開 了 生 動 活 潑 的 創 造 發 明 與 創 新 的 活 動 機 制 現 在, 我 們 似 乎 有 更 充 分 的 理 由 來 回 答 第 部 分 末 所 提 出 的 問 題 了 即 : 為 什 麼 一 方 面 數 學 教 學 急 需 改 革, 但 另 一 方 面 一 改 就 會 出 問 題 甚 至 遭 到 失 敗, 而 傳 統 的 教 學 形 式 雖

5 數 學 方 法 論 與 新 世 紀 數 學 教 學 43 弊 病 很 多, 卻 能 在 多 次 改 革 之 後, 仍 立 於 不 敗 之 地? 原 因 就 是 缺 乏 正 確 的 理 論 指 導 正 像 當 年 牛 頓 時 代 的 微 積 分, 人 們 無 法 理 解 微 商 分 母 的 意 義 一 樣, 你 說 它 是 零 講 不 通, 不 是 零 也 講 不 通 數 學 教 學 的 改 革 似 乎 也 處 於 一 種 進 退 維 谷 的 境 地, 眾 所 周 知, 是 因 為 柯 西 極 限 論 的 誕 生 才 消 除 了 人 們 對 微 商 分 母 的 困 惑 ; 同 樣 數 學 方 法 論 的 創 立 終 使 人 們 看 清 了 傳 統 數 學 中 弊 病 的 根 源 及 其 解 決 它 的 正 確 途 徑 所 以 徐 利 治 教 授 指 出, 要 用 G. Polya 思 想 改 革 數 學 教 材 和 教 法, 要 培 養 G. Polya 型 的 數 學 工 作 者, 把 數 學 方 法 論 的 原 則 貫 徹 到 數 學 教 學 中 去 2.3 第 三, 我 們 再 扼 要 地 回 顧 一 下 國 內 外 數 學 方 法 論 研 究 與 數 學 教 育 的 實 際 相 結 合 的 歷 史 與 現 狀 遠 的 姑 且 不 論, 近 年 來, 由 美 國 伊 利 諾 依 大 學 阿 爾 巴 納 香 檳 分 校 和 俄 亥 俄 州 大 學 共 同 開 發 的 calculus & Mathematica ( 簡 記 為 c&m) 課 題, 其 目 的 就 是 向 學 生 頭 腦 中 灌 輸 數 學 思 想 的 方 法, 激 勵 學 生 學 習 的 方 式 強 調 要 把 數 學 作 為 一 種 科 學 進 行 探 討, 而 不 是 把 它 作 為 一 種 宗 教 教 義, c&m 把 通 常 的 學 習 過 程 課 堂 講 授 記 憶 測 驗 替 換 為 Saunders Maclane 提 出 的 過 程 直 覺 探 試 出 錯 思 索 猜 想 證 明 [0] 這 與 MM 方 式 是 不 謀 而 合 的 在 中 國, 尤 其 是 本 世 紀 80 年 代 以 來, 民 間 的 許 多 組 織 和 個 人 對 G. Polya 和 數 學 方 法 論 的 研 究 也 明 顯 地 活 躍 起 來 徐 利 治 教 授 曾 親 自 主 持 了 全 國 數 學 方 法 論 與 數 學 史 數 學 教 育 史 研 討 會 (987 年 8 月 於 大 連 理 工 大 學 ) 在 楊 之 ( 楊 世 明 先 生 的 筆 名, 諧 楊 輝 與 祖 沖 之 之 音, 一 心 振 興 中 國 數 學 ) 和 周 春 荔 教 授 ( 北 京 首 都 師 大 ) 等 的 主 持 下, G. Polya 數 學 教 育 思 想 和 數 學 方 法 論 研 討 會 在 北 京 (P. M. I, 989, 5) 上 海 (P. M. II. 992, 0) 湖 北 襄 樊 (P. M. III, 995, 0) 武 漢 (P. M. IV, 997, ) 等 地 相 繼 召 開 大 連 理 工 大 學 南 京 大 學 曲 阜 師 範 大 學 等 許 多 學 校 還 專 門 組 織 讀 書 討 論 班, 系 統 地 研 究 G. Polya, 有 意 識 地 應 用 方 法 論 觀 點 設 計 和 指 導 大 學 的 數 學 教 學 改 革 曲 阜 師 大 還 建 立 了 由 徐 利 治 教 授 兼 任 主 任 的 科 學 方 法 論 研 究 中 心 綜 上 所 述, 作 者 審 時 度 勢, 於 989 年 5 月 設 計 了 貫 徹 數 學 方 法 論 的 教 育 方 式, 全 面 提 高 學 生 素 質 數 學 教 育 實 驗 ( 簡 稱 MM 實 驗 ) 而 大 連 研 討 會 和 北 京 研 討 會 等 學 術 會 議 的 召 開, 恰 如 知 時 節 的 好 雨, 為 在 中 國 大 地 上 MM 方 式 的 破 土 滋 生 起 到 了 當 春 乃 發 生 的 作 用 3. 怎 樣 操 作 那 麼, 到 底 什 麼 是 MM 方 式? 怎 樣 在 數 學 教 學 中 恰 當 而 有 效 地 組 織 和 實 施 這 種 方 式? 笛 卡 爾 指 出 : 數 學 是 在 一 切 領 域 中 建 立 真 理 的 方 式

6 44 數 學 傳 播 23 卷 4 期 民 88 年 2 月 3.. 數 學 方 法 論 的 教 育 方 式 在 數 學 教 學 過 程 中, 師 生 自 覺 地 遵 循 教 學 研 究 發 現 同 步 協 調 原 則 和 既 教 ( 學 ) 證 明 又 教 ( 學 ) 猜 想 的 原 則 ; 充 分 發 揮 數 學 的 科 學 技 術 功 能 和 文 化 教 育 功 能 ; 教 師 恰 當 地 不 失 時 機 地 對 學 生 進 行 數 學 的 反 璞 歸 真 教 育 數 學 的 美 育 數 學 發 現 法 教 育 數 學 家 優 秀 品 質 教 育 數 學 史 志 教 育, 進 行 數 學 中 的 合 情 推 理 邏 輯 推 理 和 一 般 解 題 方 法 的 教 學 ; 並 引 導 學 生 不 斷 地 自 我 增 進 一 般 科 學 素 養, 社 會 文 化 修 養, 形 成 和 發 展 數 學 品 質, 全 面 提 高 自 身 素 質 這 就 是 數 學 方 法 論 的 數 學 教 育 方 式 ( 簡 稱 MM 方 式 ) 3.2. MM 方 式 的 實 施 與 操 作 為 明 確 起 見, 先 給 出 該 方 式 的 基 本 操 作 表 : MM 基 本 操 作 表 ( 供 調 控 實 驗 變 量 參 考 ) MM 因 子 MM 可 控 變 量 水 平 MM 狀 態 變 量 水 平 數 學 的 對 象 數 學 的 反 璞 歸 真 教 育 數 學 意 識 及 性 質 研 究 密 切 聯 繫 生 活 應 用 能 力 提 倡 問 題 解 決 數 學 美 學 數 學 教 學 中 的 美 育 數 學 美 感 數 方 法 研 究 運 用 審 美 原 則 審 美 能 力 學 引 進 美 學 機 制 方 宏 數 學 發 明 心 數 學 發 現 法 教 育 數 學 機 智 法 觀 理 學 的 研 究 揭 示 創 造 活 動 創 新 能 力 論 操 再 造 心 智 過 程 的 作 數 學 家 成 長 數 學 家 優 秀 品 質 教 育 科 學 態 度 教 規 律 的 研 究 介 紹 生 平 事 蹟 競 技 能 力 育 分 析 成 敗 緣 由 方 數 學 史 與 數 學 數 學 史 志 教 育 唯 物 史 觀 式 教 育 史 的 研 究 巧 用 數 學 史 料 洞 察 能 力 編 制 軼 事 趣 聞 觀 察 實 驗 歸 納 合 情 推 理 的 教 學 合 情 推 理 能 力 類 比 聯 想 猜 測 教 ( 學 ) 猜 想 教 ( 學 ) 發 現 一 般 科 學 思 維 方 式 微 等 合 情 推 理 的 方 法 形 像 思 維 的 能 力 觀 數 學 模 型 法 公 理 邏 輯 推 理 的 教 學 邏 輯 推 理 能 力 操 化 方 法 和 抽 像 分 析 教 ( 學 ) 證 明 教 ( 學 ) 反 駁 具 體 事 物 數 學 化 的 本 領 作 法 等 邏 輯 推 理 方 法 徐 利 治 RMI 原 則 一 般 解 題 方 法 的 教 學 運 籌 布 算 能 力 波 利 亞 解 題 模 式 等 教 ( 學 ) 規 則 教 ( 學 ) 策 略 數 學 智 力 活 動 結 構 一 般 解 題 方 法 研 究 教 ( 學 ) 算 法 教 ( 學 ) 應 變 和 綜 合 應 用 的 能 力 註 : 在 水 平 欄 的 每 一 空 格 中, 請 填 上 您 認 為 最 合 適 的 等 級 碼 : (4) 或 (3) 或 (2) 或 (), 它 們 分 別 標 誌 著 優 或 良 或 中 或 下 4 個 不 同 級 別 的 水 平, 如 您 覺 得 本 課 無 該 項 操 作 也 可 不 填

7 數 學 方 法 論 與 新 世 紀 數 學 教 學 45 MM 方 式 具 體 採 用 8 個 可 控 變 量 來 落 實 數 學 的 科 學 技 術 功 能 和 文 化 教 育 功 能 相 對 於 數 學 的 技 術 教 育 功 能 而 言, MM 方 式 更 有 利 於 發 揮 數 學 的 文 化 教 育 功 能 因 為 這 種 方 式 要 帶 領 學 生 去 研 究 和 發 現 數 學 中 的 原 理 和 方 法, 要 讓 學 生 的 思 維 方 式 與 處 理 問 題 的 方 法 與 數 學 家 越 來 越 接 近, 就 必 須 把 人 類 精 神 財 富 中 最 精 華 的 東 西 授 給 學 生, 要 讓 學 生 在 探 索 鑽 研 的 實 踐 中 像 歐 拉 希 爾 伯 特 那 樣 具 有 頑 強 的 拼 搏 毅 力, 無 私 奉 獻 與 自 我 犧 牲 精 神 並 能 遵 循 哲 學 美 學 心 理 學 和 認 知 科 學 等 規 律, 更 會 客 觀 地 認 識 世 界, 反 映 它 的 本 來 面 目, 要 學 會 正 確 地 觀 察 猜 測, 正 確 地 抽 象 概 括, 表 達 總 結 回 顧 和 完 善, 這 就 是 一 個 系 統 的 文 化 教 育 工 程 數 學 的 反 璞 歸 真 教 育, 指 教 師 能 否 引 導 學 生 從 日 常 事 物 的 具 體 問 題 中 去 感 知 與 此 有 關 的 數 學 對 象 去 其 枯 燥 之 外 飾, 還 其 生 動 之 本 真 日 本 數 學 教 育 家 橫 地 清 教 授 ( 山 梨 大 學 ) 曾 說 過, 我 們 在 數 學 課 上 講 了 那 多 的 關 於 角 的 概 念 和 知 識, 許 多 孩 子 卻 不 知 道 樹 丫 之 間 存 在 角 這 是 傳 統 教 學 的 嚴 重 缺 陷 傳 統 教 學 中, 對 於 數 學 理 論 不 能 給 人 以 豐 富 性 和 多 樣 性 的 觀 念 內 容 之 貧 乏 又 沒 有 什 麼 有 趣 的 應 用 教 學 中 不 善 於 引 導 學 生 從 直 接 接 觸 的 變 化 多 端 的 外 部 世 界 中 去 考 察 數 學 對 象, 不 會 把 具 體 問 題 數 學 化 這 種 造 成 數 學 理 論 和 生 產 生 活 相 脫 節 的 現 象, 與 教 師 在 教 學 過 程 中 把 實 踐 僅 僅 理 解 為 用 數 學 語 言 表 述 的 大 量 習 題 的 訓 練 不 無 相 關 這 種 教 學 的 結 果, 學 生 也 能 獲 得 相 當 的 解 題 技 能 技 巧, 但 大 量 的 很 簡 單 的 日 常 生 活 中 所 碰 到 的 實 際 問 題, 卻 感 到 無 能 為 力, 不 善 於 把 它 歸 結 為 數 學 問 題, 所 謂 高 分 低 能 與 其 說 還 有 什 麼 別 的 理 解 的 話, 倒 不 如 就 按 此 意 義 來 理 解 如 前 所 述, 為 什 麼 許 多 學 生 對 數 學 課 不 感 興 趣? 簡 而 言 之, 他 們 聽 不 懂 先 生 的 講 解, 看 不 懂 教 材 的 編 寫 也 就 是 說, 他 們 對 數 學 的 內 容 和 方 法 不 甚 理 解 何 為 理 解? 懂 就 是 理 解, 錢 偉 長 教 授 說 得 好 : 七 七 四 十 九 者, 乃 七 個 七 加 起 來 等 於 四 十 九 也 因 此, 課 堂 教 學 的 首 要 問 題 就 是 要 考 慮 教 師 的 思 維 活 動 ( 先 生 講 的 ) 和 學 生 的 思 維 活 動 ( 學 生 想 的 ) 和 教 材 編 者 的 思 維 活 動 ( 數 學 家 是 怎 麼 做 的 ) 怎 樣 才 能 掛 上 鉤, 也 就 是 說 要 進 行 數 學 發 現 法 教 育 教 師 必 須 對 數 學 創 造 活 動 中 的 心 智 過 程 作 必 要 的 闡 述 和 分 析 在 必 要 和 可 能 情 況 下, 把 數 學 思 維 活 動 的 慢 鏡 頭 充 分 暴 露 出 來 ( 像 G. Polya 剖 析 小 高 斯 關 於 數 列 求 和 過 程 中 的 思 維 活 動 那 樣, 像 電 視 錄 像 中 把 足 球 比 賽 場 上 精 彩 的 射 門 過 程 重 現 一 樣 ) 而 數 學 的 這 種 或 那 種 發 現 發 明 與 創 新 過 程, 卻 總 是 要 遵 循 和 體 現 美 學 原 則 的 存 在 性 特 徵 因 此, 數 學 教 學 中 在 對 學 生 進 行 數 學 發 現 法 教 育 的 同 時, 還 必 進 行 數 學 的 美 育 比 如, 球 體 積 公 式 的 教 學, 如 果 教 師 無 意 識 地 進 行 美 育 的 話, 他 就 不 可 能 把 同 底 ( 半 徑 都 是 R) 等 高 ( 也 是 R) 的 圓 錐 半 球 和 圓 柱 三 者 的 體 積 具 體 地 表 達 為 3 πr3 (V 錐 )<V 半 球 <(V 柱 )πr 3 = 3 3 πr3 之 所 以 這 樣 處 理, 是 為 了 不 失 時 機 地 引 進 美 學 機 制, 引 導 學 生 猜 想 ( 進 行 美 的 選 擇!): V 半 球 = 2 3 πr3

8 46 數 學 傳 播 23 卷 4 期 民 88 年 2 月 然 後 再 加 以 證 明 [] 巧 用 數 學 史 料 編 制 趣 聞 軼 事, 對 提 高 學 生 的 學 習 積 極 性, 激 發 學 生 的 最 佳 學 習 動 機 總 是 十 分 奏 效 的 巧 用 者, 恰 到 好 處 也! 下 面 給 出 一 個 較 為 綜 合 一 點 的 例 子 圓 錐 曲 線 的 第 二 定 義 及 其 爾 後 的 統 一 定 義, 貫 穿 在 圓 錐 曲 線 這 一 章 中, 占 有 重 要 地 位 這 部 分 內 容, 到 底 怎 麼 教? 我 們 對 此 作 了 如 下 的 教 學 法 加 工 ) 引 導 學 生 從 計 算 橢 圓 的 焦 半 徑 ( 橢 圓 焦 點 到 橢 圓 周 的 距 離 ) 出 發, 讓 橢 圓 的 第 二 定 義 從 經 驗 歸 納 中 發 現 ; 2) 把 雙 曲 線 與 橢 圓 性 質 相 類 比, 使 雙 曲 線 的 第 二 定 義 從 類 比 推 理 中 獲 證 拋 物 線 怎 麼 辦? 後, 編 者 安 排 了 這 樣 一 道 習 題 : 雙 曲 線 一 節 教 材 的 最 當 α 從 0 到 80 變 化 時, 曲 線 x 2 + y 2 cosα = 怎 樣 變 化? 根 據 以 往 的 經 驗, 學 生 在 解 答 此 題 時 總 是 忽 略 了 α = 90 的 情 形 ( 即 曲 線 變 為 兩 條 平 行 線 ) 該 題 也 給 我 們 以 參 數 變 化 連 續 性 的 啟 示 對, 通 過 對 離 心 率 e 的 連 續 性 討 論, 讓 拋 物 線 的 第 二 定 義 ( 相 對 於 初 中 數 學 中 的 二 次 函 數 定 義 ), 從 數 學 的 分 劃 思 想 中 呼 之 欲 出! 於 是 老 師 引 述 了 8 世 紀 中 葉, 天 文 學 家 提 丟 斯 和 數 學 大 師 高 斯 合 作 的 一 段 佳 話, 發 現 在 火 星 和 木 星 之 間 存 在 著 一 個 小 行 星 帶 的 故 事 [2] 這 時, 學 生 已 經 知 道 下 列 事 實 : P={M MF =e} = 橢 圓 e (, ) d 雙 曲 線 e (, + ) 因 此, 十 分 自 然 地 預 感 到 當 e = 時, 必 有 介 於 橢 圓 和 雙 曲 線 之 間 的 某 一 理 想 曲 線 存 在 對 它 的 求 解 欲 望 也 就 可 想 而 知 了 而 且 以 後 在 答 題 時 他 們 也 很 少 再 犯 忽 略 分 叉 點 或 特 殊 值 的 錯 誤 這 一 史 料 的 引 用 與 編 制, 可 謂 是 恰 到 好 處 又 如, 排 列 組 合 二 項 式 定 理 這 一 單 元 的 教 學 中, 教 師 運 用 歧 路 亡 羊 的 成 語 故 事, 引 導 學 生 對 它 的 數 學 含 義 進 行 討 論, 樂 於 邏 輯 地 發 現, 得 出 了 二 項 式 定 理 同 學 們 在 評 教 時 說 道 : 老 師 的 課 生 動 有 趣, 引 人 入 勝 歧 路 亡 羊 的 故 事 非 常 吸 引 人, 這 樣 的 教 學 方 法 令 人 耳 目 一 新 順 便 提 及, 只 要 善 於 發 掘, 我 國 的 許 多 典 故 和 膾 炙 人 口 的 著 名 詩 句 中, 也 蘊 涵 了 極 其 豐 富 的 數 學 思 想 比 如, 在 解 釋 整 體 與 部 分 的 對 等 (- 對 應 ) 時, 南 柯 一 夢 4 便 是 很 好 的 題 材 ( 短 短 的 一 頓 飯 功 夫, 竟 與 幾 十 年 光 陰 對 等 起 來 ) 李 白 的 名 句 孤 帆 遠 影 碧 空 盡, 惟 見 長 江 天 際 流 5 是 極 限 概 念 的 生 動 寫 照 韓 愈 有 詩 曰 : 天 街 小 雨 潤 如 酥, 草 色 遙 看 近 卻 無 6 可 見, 這 種 遠 看 清 楚 近 看 模 糊 的 模 糊 數 學 思 想 ( 事 物 之 間 存 在 著 的 一 種 分 劃 上 的 中 介 過 渡 性 ), 早 在 200 多 年 前, 在 我 們 古 人 的 頭 腦 中 就 開 始 萌 發 了 從 數 學 科 學 的 嚴 密 性 抽 象 性 和 形 式 化 等 基 本 特 徵 來 看, 數 學 的 發 展 和 完 善, 數 學 體 系 的 建 立, 必 須 依 賴 於 抽 象 分 析 法 數 學 模 型 和 公 理 化 方 法 ; 而 要 恢 復 數 學 思 維 的 生 動 機 智, 充 滿 創 造 活 力 的 本 來 面 目, 就 必 須 歸 功 於 數 學 發 現 過 程 中 所 使 用 的 那 些 觀 察 實 驗 類 比 聯 想 猜 測 經 驗 歸 納 和 一 般 化

9 數 學 方 法 論 與 新 世 紀 數 學 教 學 47 特 殊 化 等 方 法 了 我 們 不 妨 把 前 者 稱 為 邏 輯 推 理 的 方 法, 而 把 後 者 稱 為 數 學 中 的 合 情 推 理 或 似 真 推 理 的 方 法, 當 然, 這 種 劃 分 並 不 是 絕 對 的 機 械 的, 要 看 到 它 們 兩 者 之 間 的 辯 證 統 一 因 此, 在 數 學 教 學 中 必 須 做 到 合 情 推 理 與 邏 輯 推 理 並 舉, 歸 納 與 演 繹 並 舉, 分 析 與 綜 合 並 舉, 發 現 與 質 疑 並 舉, 真 正 做 到 既 教 證 明 又 教 猜 想, 不 斷 引 導 學 生 達 到 數 學 中 的 發 現 和 發 明 如 上 所 述, 對 圓 錐 曲 線 第 二 定 義 那 樣 的 教 學 設 計, 使 問 題 的 展 開 逐 步 深 入, 逐 步 完 善, 在 探 索 式 教 學 中 培 養 了 學 生 思 維 的 深 刻 性 和 靈 活 性, 導 致 該 實 驗 班 學 生 發 現 教 科 書 中 在 求 軌 跡 方 程 時 排 除 了 定 點 在 定 直 線 上 的 可 能 性, 因 而 他 們 給 出 了 當 定 點 恰 在 定 直 線 上 時 的 補 充 定 義, 完 善 了 該 單 元 的 教 學 [3] 這 裡 需 要 指 出 的 是, 有 人 擔 心 運 用 數 學 中 的 合 情 推 理 模 式 會 削 弱 邏 輯 推 理 的 教 學 這 種 擔 心 是 不 必 要 的, 合 情 推 理 中 並 非 沒 有 邏 輯 因 素 我 們 的 合 情 推 理 模 式 是 這 樣 的 一 種 模 式, 那 就 是 : 從 低 度 可 靠 到 高 度 可 靠, 直 至 完 全 可 靠! 這 裡 同 樣 需 要 指 出 的 是, 教 學 過 程 中 重 視 數 理 邏 輯 的 作 用, 加 強 邏 輯 推 導 的 訓 練, 正 是 要 摒 棄 那 種 貌 似 嚴 密 性 而 實 質 有 許 多 漏 洞 的 證 明 的 教 學 另 外, 數 學 與 解 題 從 來 就 結 下 了 不 解 之 緣 教 師 要 善 於 把 解 題 的 學 問 上 升 到 理 論 和 方 法 論 的 高 度 來 認 識, 再 用 以 指 導 學 生 的 練 習, 在 解 題 中 引 入 興 趣 激 發 機 制, 誘 發 學 生 的 最 佳 解 題 動 機 充 分 發 揮 他 們 解 題 的 主 動 性 和 積 極 性, 使 他 們 既 能 提 高 解 題 能 力 又 能 階 段 序 進 地 接 受 一 般 數 學 思 想 方 法 的 熏 陶, 自 我 增 進 數 學 營 養 [4][5] 俗 話 說, 道 高 一 尺, 魔 高 一 丈, 一 般 解 題 方 法 的 教 學, 正 是 攻 破 題 海 戰 術 最 有 力 的 武 器 4. 效 果 如 何 4.. 有 發 現 的 設 計 必 有 發 現 的 經 歷 MM 方 式 的 出 現, 一 改 過 去 學 生 學 習 的 被 動 局 面, 使 他 們 對 既 教 證 明 又 教 猜 想 的 探 索 規 律 產 生 濃 厚 興 趣, 整 個 教 學 過 程 也 就 融 入 發 現 發 明 的 主 旋 律 中, 詳 細 可 參 閱 專 題 論 文 發 現 的 設 計 & 發 現 的 經 歷 [6] 現 擇 其 一 二 () 比 如 從 方 法 論 觀 點 看, 極 其 抽 象 的 群 論, 與 中 學 生 不 再 有 任 何 隔 閡 群 論 的 思 想 能 使 中 學 生 學 會 從 整 體 的 觀 點 對 稱 的 觀 點 層 次 結 構 的 觀 點 去 處 理 問 題, 能 像 高 明 的 棋 手 一 樣, 不 去 計 較 一 兵 一 卒 的 得 失, 而 著 眼 於 全 局 的 安 排, 有 效 地 克 敵 制 勝, 這 裡 有 一 個 生 動 的 例 子, 正 好 說 明 這 個 問 題 : 設 a b c 是 互 不 相 等 且 大 於 零 的 整 數, 又 a b c 成 G. P, log c a log b c log a b 成 A. P, 求 其 公 差 d 此 題 就 是 在 條 件 b 2 = ac, 2 log b c = log c a + log a b 成 立 的 情 況 下, 求 d = log b c log c a 之 值 過 去 我 們 曾 以 各 種 不 同 方 法 求 解, 但 計 算 都 很 複 雜, 不 能 令 人 滿 意,

10 48 數 學 傳 播 23 卷 4 期 民 88 年 2 月 也 曾 考 慮 過 巧 法, 但 長 期 未 能 發 現, 當 我 們 用 MM 方 式 來 組 織 教 學 時, 群 論 思 想 滲 透 到 解 題 過 程 中, 我 們 不 再 關 心 個 別 數 字 的 代 入 化 簡 ; 而 是 注 意 整 體 的 對 稱, 化 簡 的 層 次, 使 各 項 處 於 平 等 地 位, 呈 現 對 稱 性 : 設 a b c 三 數 為 a aq aq 2, 即 a = c q 2, b = aq, c = bq 則 2 log b bq = log c c q 2 + log a aq ( ) 這 樣 我 們 就 可 以 整 體 同 步 協 調 地 化 簡, 效 果 相 當 於 圍 棋 中 一 下 吃 去 敵 方 一 大 片, 由 ( ), 請 看 : log b q= 2 log c q++log a q 2(log b q + log c q) = log a q log b a + log c a = 2, 且 又 有 d = log b c log c a, b 2 = ac 於 是 d = log b ac 2 = log b b 2 2 = 3 2 如 此 簡 潔 地 得 出 結 果, 計 算 中 各 部 分 配 合 得 如 此 默 契 和 諧, 其 原 因 就 在 於 初 始 佈 局 中 就 蘊 涵 著 對 稱 與 和 諧 (2) 再 看 一 個 先 由 經 驗 歸 納 再 用 抽 象 分 析 達 到 數 學 中 又 一 發 現 的 例 初 中 一 年 級 的 一 堂 代 數 課 上, 師 生 正 在 共 同 討 論 一 個 火 車 追 及 問 題 突 然, 一 位 同 學 舉 起 手 來, 向 老 師 提 出 了 一 個 似 乎 與 此 無 關 的 問 題 : 3 點 鐘 之 後 多 長 時 間, 手 錶 上 的 分 鐘 和 時 針 又 互 相 垂 直? 生 活 中 處 處 有 數 學 老 師 馬 上 意 識 到 這 是 增 強 學 生 的 數 學 意 識 提 高 學 生 學 習 興 趣 的 極 好 ( 素 材 ) 時 機,... 課 後, 我 們 從 某 時 刻 起 多 久 鐘 錶 之 長 短 針 ( 分 針 和 時 針 ) 相 互 直 交? 這 一 較 具 一 般 性 的 問 題 人 手, 通 過 經 驗 歸 納, 得 到 公 式 t = {[T ] } T 或 t = { (T )} () 360 T 80 T 80 其 中 T 的 單 位 是 分 鐘, [ ] 和 ( ) 分 別 表 示 該 數 的 最 大 整 數 部 分 和 小 數 部 分 公 式 () 就 是 已 知 變 量 T( 某 時 刻 ) 和 未 知 變 量 t( 多 久 ) 之 間 的 函 數 關 係, 記 作 t(t), 爾 後 經 證 明, 再 把 它 發 展 成 Fourier 級 數 : t = sin π Σ( )k, k T ((2k ) 80, (2k+)80 ) k N (2) 十 分 有 趣 的 是 由 () 和 (2) 可 導 出 一 系 列 參 80 kπt π 考 級 數, 如 = + + 等, 還 有 優 美 比 2 2 = 一 個 日 常 生 活 中 人 所 共 知 的 現 象, 但 也 是 人 們 所 易 於 忽 略 的 小 小 算 術 題, 竟 能 導 出 這 麼 多 有 趣 而 重 要 的 結 果, 真 是 晴 空 一 鶴 排 雲 上, 更 引 詩 情 到 碧 霄 7 了 由 鐘 面 上 時 針 分 針 之 間 的 垂 直 與 重 合, 自 然 又 可 類 比 聯 想 到 宇 宙 間 諸 如 日 食 月 食 火 星 大 沖 慧 木 相 撞, 乃 至 日 月 合 壁 五 星 聯 珠 七 曜 同 宮 等 天 像 奇 觀 的 周 而 復 始 現 象, 並 由 此 可 能 會 發 現 隱 含 於 其 中 的 更 多 更 有 趣 的 數 學 規 律 ( 那 怕 是 似 真 的 ) 實 際 上, 我 們 引 入 一 個 變 換 x = (T 80/)/(360/) 和 y = T/(360/)

11 數 學 方 法 論 與 新 世 紀 數 學 教 學 49 則 上 述 公 式 () 變 為 高 斯 函 數 y = (x), 在 此 意 義 上 說 函 數 t(t) 便 是 y = (x) 的 一 個 現 實 原 型, 凡 數 學 對 象 都 具 有 客 體 背 景 存 在 性 這 一 特 徵 [7] 其 實 高 斯 函 數 y = (x) 或 y = x [x] 也 是 前 人 從 具 體 問 題 具 體 對 象 中 抽 取 出 來 的 一 個 數 學 模 型, 不 過 不 一 定 是 處 於 同 一 客 體 背 景 之 下 罷 了 而 人 們 之 所 以 習 慣 於 把 它 們 展 成 Fourier 級 數 或 是 其 他 的 什 麼 級 數, 無 非 是 為 更 方 便 地 研 究 其 性 質 而 把 這 些 數 學 模 型 進 一 步 理 論 化 或 技 術 化 [8][9] 4.2. 實 驗 結 果 實 驗 過 程 989 年 9 月, MM 實 驗 方 案 通 過 了 專 家 咨 詢 和 可 行 性 論 證, 在 無 錫 市 區 的 4 所 中 學 ( 高 中 階 段 ) 正 式 實 施, 開 始 了 為 期 3 年 的 第 輪 實 驗 我 們 採 取 分 層 取 樣 隨 機 編 班 領 導 推 薦 自 願 承 擔 ( 指 實 驗 教 師 ) 相 結 合 的 辦 法 確 定 被 試, 他 們 是 無 鍚 市 第 3 中 學 ( 前 身 是 私 立 無 鍚 中 學, 民 國 9 年 (920 年 )9 月 9 日 由 高 陽 父 子 創 辦 ) 高 一 (2) 班, 第 2 中 學 ( 前 身 為 私 立 競 志 女 中, 由 侯 鴻 鑒 於 光 緒 三 十 一 年 (905 年 ) 正 月 創 辦 ) 的 江 南 大 學 預 科 班, 青 山 中 學 的 高 一 (4) 班 和 無 鍚 市 輕 工 職 業 中 學 的 家 用 電 器 班 他 們 分 別 表 徵 著 無 鍚 市 區 4 種 不 同 類 型 的 樣 本 水 平 實 驗 一 年 後 即 初 見 成 效 990 年 8 月, 實 驗 點 由 無 鍚 市 區 的 4 個 擴 大 到 江 陰 宜 興 等 地 的 20 個, 此 後 每 年 都 有 新 增 實 驗 班, 到 994 年, 已 擴 展 到 江 蘇 浙 江 江 西 福 建 湖 北 湖 南 四 川 天 津 北 京 等 省 市 的 7 個 地 區 的 66 個 實 驗 點 和 實 驗 研 究 協 作 單 位 實 驗 結 論 及 其 意 義 MM 實 驗 可 觀 察 資 料 的 數 據 分 析 和 定 性 概 括 的 已 有 成 果, 完 全 支 持 了 它 的 研 究 假 設, 即 在 數 學 教 學 中, 如 能 貫 徹 MM 方 式, 必 將 有 利 於 提 高 學 生 的 一 般 科 學 素 養, 增 進 其 社 會 文 化 修 養, 形 成 和 發 展 數 學 品 質, 從 而 全 面 提 高 學 生 素 質 ; 同 時 可 以 培 養 和 造 就 一 支 既 能 從 事 教 學 又 能 從 事 科 研 的 G. Polya 型 的 數 學 教 師 隊 伍 據 不 完 全 統 計, 自 989 年 5 月 以 來, MM 課 題 組 在 省 級 以 上 刊 物 出 版 社 和 有 關 學 術 會 議 上 發 表 出 版 和 交 流 的 專 題 論 文 論 著 研 究 課 教 案 研 究 報 告 等 百 餘 篇 從 實 驗 的 許 多 物 化 成 果 來 看, 尤 其 是 通 過 實 驗 研 究 論 文 集 和 教 案 集 的 概 括 與 提 煉, 它 不 僅 產 生 了 許 多 實 際 效 果, 而 且 還 揭 示 了 數 學 教 學 中 的 德 育 原 則 美 育 原 則 充 分 暴 露 數 學 思 維 活 動 過 程 的 原 則 數 學 家 學 習 機 制 激 勵 原 則 既 教 證 明 又 教 猜 想 原 則 和 一 般 解 題 方 法 教 學 的 原 則 等 6 條 狹 義 性 原 則 這 正 是 實 驗 教 師 自 己 在 他 們 的 教 學 設 計 中 體 會 和 總 結 出 來 的 在 此 意 義 上 說, MM 方 式 正 是 培 訓 高 層 次 數 學 教 師 的 有 效 途 徑 在 實 驗 過 程 中 我 們 可 以 看 到 實 驗 怎 樣 使 老 教 師 煥 發 出 教 學 青 春, 也 使 青 年 教 師 脫 穎 而 出 的 許 多 生 動 事 例

12 50 數 學 傳 播 23 卷 4 期 民 88 年 2 月 如 前 所 述, MM 方 式 的 目 標 是 既 要 提 高 學 生 的 一 般 科 學 素 養 和 社 會 文 化 修 養, 又 要 形 成 和 發 展 他 們 的 數 學 品 質, 因 此, 其 最 終 成 果 必 然 會 內 化 為 學 生 的 智 能 素 質 並 且 在 適 當 的 時 候 外 顯 出 來 從 無 鍚 市 第 輪 實 驗 班 在 中 學 生 一 般 8 能 力 傾 向 測 驗 和 當 年 參 加 全 國 高 考 及 江 蘇 省 預 考 數 學 成 績 上 的 統 計 檢 驗 表 明, 實 驗 班 學 生 在 中 學 生 一 般 能 力 傾 向 的 4 個 測 驗 項 目 上, 實 驗 後 均 極 其 顯 著 地 優 於 實 驗 初 的 水 平 另 外, MM 方 式 也 提 高 了 升 學 率 這 至 少 說 明 人 家 做 到 的 事 情 我 們 可 以 做 到, 人 家 做 不 到 的 事 情 我 們 也 能 做 到 994 年 5 月, 以 中 國 科 學 院 院 士, 澳 大 利 亞 麥 克 里 大 學 名 譽 科 學 博 士 原 北 京 師 範 大 學 校 長 王 梓 坤 教 授 和 中 國 科 學 院 數 學 研 究 所 顧 問 數 學 研 究 與 評 論 雜 誌 主 編 一 級 教 授 徐 利 治 先 生 為 首 的 專 家 鑒 定 委 員 會, 對 MM 實 驗 進 行 正 式 鑒 定 並 給 予 高 度 評 價 鑒 定 意 見 指 出 : 該 實 驗 所 確 證 的 MM 方 式, 只 需 對 原 有 教 材 適 當 進 行 教 學 法 加 工, 操 作 簡 便, 能 與 各 種 優 秀 的 教 學 方 法 協 同 使 用, 既 能 減 輕 師 生 負 擔, 又 能 提 高 教 學 效 益, 從 而 大 幅 度 提 高 數 學 教 學 質 量 鑒 定 組 認 為 : 這 種 數 學 教 育 方 式 在 小 學 中 學 以 及 職 教 和 成 人 教 育 中, 都 是 可 行 的 有 效 的, 值 得 繼 續 實 驗 和 大 力 推 廣 討 論 那 麼, 為 什 麼 MM 方 式 會 具 有 素 質 教 育 和 應 試 教 育 的 雙 重 功 能? 如 前 所 述, 因 為 數 學 方 法 論 本 身 是 一 門 新 興 的 數 學 分 支, 它 汲 取 了 現 代 科 學 現 代 哲 學 的 新 成 果, 它 的 原 則 性 高 普 適 性 強, 而 MM 方 式 正 是 以 此 作 為 其 重 要 的 理 論 基 礎, 故 一 旦 把 它 自 覺 地 應 用 於 數 學 教 學, 就 能 最 有 效 地 揭 示 數 學 科 學 趣 美 真 的 特 點 趣 者, 來 自 實 踐 返 回 生 活, 有 血 有 肉 生 動 活 潑, 合 乎 情 理 順 乎 自 然 之 所 謂 也 ; 真 者, 內 容 的 抽 象, 形 式 的 簡 潔, 應 用 的 廣 泛, 結 論 的 明 確 無 誤 和 推 理 的 嚴 密 ; 美 即 數 學 的 廣 泛 聯 繫 和 內 在 規 律 因 此, 它 能 從 多 方 位 多 渠 道 發 揮 對 人 的 教 育 作 用, 至 於 它 為 什 麼 會 在 題 海 戰 術 盛 行 之 時 能 立 於 不 敗 之 地, 是 因 為 一 般 解 題 方 法 和 G. Polya 數 學 教 育 思 想 等 正 是 來 自 於 對 學 生 解 題 的 觀 察, 解 題 正 是 它 的 拿 手 好 戲 那 麼, 為 什 麼 它 又 會 如 此 突 出 而 又 明 顯 地 具 有 既 能 提 高 學 生 又 能 提 高 教 師, 使 教 學 雙 方 都 能 獲 益 的 雙 重 作 用? 為 什 麼 在 實 踐 過 程 中 執 教 者 們 又 會 發 自 內 心 地 感 受 到 教 師 自 己 的 提 高 更 大 於 學 生 的 提 高 呢? 這 是 因 為 這 種 教 育 方 式 較 之 其 他 一 些 教 學 方 式 更 能 緊 密 地 結 合 和 充 分 運 用 數 學 本 身 的 特 點, 所 以 它 能 更 有 效 地 喚 起 教 師 自 身 的 教 學 經 驗, 從 而 提 高 他 們 的 教 學 積 極 性 這 使 我 們 體 會 到, 只 有 當 數 學 教 育 改 革 在 正 確 的 理 論 導 向 下, 其 目 標 預 示 著 數 學 教 師 本 身 的 提 高 方 向 時, 才 能 使 一 種 先 進 的 教 育 方 式 轉 變 為 教 育 者 們 的 自 覺 行 動, 才 能 使 數 學 師 資 隊 伍 的 培 訓 和 建 設 更 具 有 現 實 意 義, 無 疑 地, MM 實 驗 促 使 教 師 站 到 學 科 教 育 的 最 前 沿, 且 通 過 教 學 研 究 發 現 這 樣 一 種 有 效 途 徑, 等 於 為 他 們 的 繼 續 教 育 和 在 職 提 高 創 辦 了 一 所 開 放 型 的 超 級 進 修 學 校 另 外, 教 師 的 教 和 學 生 的 學 總 是 緊 密 地 聯 繫 在 一 起 的 ( 它 們 處 於 同 一 教 學 系 統 之 中 ),

13 數 學 方 法 論 與 新 世 紀 數 學 教 學 5 由 於 這 種 教 育 方 式 能 夠 充 分 調 動 學 生 學 習 數 學 的 積 極 性 和 主 動 性, 因 而 解 除 了 由 於 學 生 的 厭 學 而 帶 來 的 煩 惱 師 生 都 從 研 究 科 學 方 法 論 和 數 學 方 法 論, 尤 其 是 解 題 方 法 論 中 獲 益, 擺 脫 了 題 海 的 羈 絆, 從 而 使 數 學 教 學 步 入 良 性 循 環 結 束 語 面 臨 新 世 紀 科 技 的 挑 戰, 有 識 之 士 率 先 認 識 到 一 切 競 爭 歸 根 到 底 是 人 才 的 競 爭 而 社 會 要 求 數 學 科 學 作 出 貢 獻 的, 首 先 是 用 數 學 開 發 人 的 智 力, 提 高 人 們 的 科 學 思 維 水 平 眾 所 周 知, 一 些 新 技 術 的 掌 握 和 使 用 並 沒 有 給 人 們 的 智 力 水 平 帶 來 多 大 的 變 化, 而 整 個 文 化 水 平 的 提 高 才 促 進 了 人 類 智 力 的 發 展 MM 方 式 正 是 通 過 數 學 的 文 化 教 育 功 能 和 技 術 教 育 功 能 的 交 互 作 用 來 改 變 人 的 智 力 結 構, 把 開 發 人 的 智 力 落 實 到 具 體 的 程 序 中, 科 學 家 能 把 現 代 的 科 研 成 果 用 於 設 計 高 效 的 電 腦, 而 MM 方 式 則 通 過 數 學 文 化 的 方 式 來 培 訓 無 與 倫 比 的 人 腦 ( 數 學 頭 腦 ), 使 科 技 的 發 展 與 人 類 智 力 的 發 展 形 成 一 個 自 組 織 自 適 應 自 完 善 的 具 有 生 命 力 的 新 體 系 這 樣, 教 育 與 科 技 將 永 遠 息 息 相 關 教 育 與 時 代 脫 節 的 現 象, 教 與 學 脫 節 的 現 象 將 一 去 不 復 返, 正 是 在 此 意 義 上 說, MM 方 式 是 完 成 新 世 紀 數 學 教 育 現 代 化 的 根 本 方 式 一 種 嶄 新 的 數 學 教 育 方 式 在 新 世 紀 即 將 到 來 的 時 刻, 在 世 紀 之 交, 已 經 開 始 了! 註 : MM 是 Mathematical Methodology 的 縮 寫 2 出 自 孟 浩 然 ( ), 望 洞 庭 湖 贈 張 丞 相 3 指 作 者 放 棄 洪 澤 縣 教 育 局 教 學 研 究 室 主 任 一 小 吏 之 職 4 唐 李 公 佐 小 說 南 柯 太 守 傳, 說 淳 于 棼 與 友 人 喝 酒, 醉 臥 入 夢, 到 大 槐 安 國 被 招 為 駙 馬, 配 瑤 芳 公 主, 官 拜 南 柯 太 守, 為 政 幾 十 年, 生 五 男 二 女, 極 盡 天 倫 之 樂 一 覺 醒 來, 餘 樽 猶 溫 5 李 白 (70-762), 黃 鶴 樓 送 孟 浩 然 之 廣 陵, 前 二 句 是 故 人 西 辭 黃 鶴 樓, 煙 花 三 月 下 揚 州 6 韓 愈 ( ), 早 春 呈 水 部 張 十 八 員 外, 後 二 句 是 最 是 一 年 春 好 處, 絕 勝 煙 柳 滿 皇 都 7 唐 劉 禹 鍚 秋 詞 二 首, 前 二 句 是 : 自 古 逢 秋 悲 寂 寥, 我 言 秋 日 勝 春 朝 8 代 號 SS-GATB-No , 由 上 海 市 教 育 科 學 研 究 所 修 訂 參 考 文 獻. 王 梓 坤, 今 日 數 學 及 其 應 用 數 學 通 報 ( 北 京 ), 995, 2. 徐 瀝 泉, 用 現 代 數 學 思 想 指 導 中 數 教 育 曲 阜 師 大 學 報 ( 自 然 科 學 版, 山 東 曲 阜 ), Vol. 5, No.4, 989, 0 3. 張 奠 宙, 可 以 說 東 亞 數 學 教 育 學 派 嗎? 數 學 教 育 學 報 ( 天 津 ), Vol., No., 992, 2 4. 陳 鳳 潔 黃 毅 英 蕭 文 強, 教 ( 學 ) 無 止 境 : 數 學 學 養 教 師 的 成 長 數 學 教 學 ( 上 海 ), 994, 5 5. 徐 利 治 鄭 毓 信, 略 論 數 學 真 理 6. 徐 瀝 泉, 數 學 方 法 論 與 數 學 教 育 實 驗 數 學 教 育 學 報, Vol., No., 992, 2

14 52 數 學 傳 播 23 卷 4 期 民 88 年 2 月 7. 徐 利 治, 數 學 方 法 論 選 講 華 中 工 學 院 出 版 社, ( 美 )G. 波 利 亞 著, 李 心 燦 等 譯, 數 學 與 猜 想 ( 第 二 卷 ) 科 學 出 版 社, 徐 利 治, 王 前, 數 學 與 思 維 河 南 教 育 出 版 社 ( 鄭 州 ), W. J. Davis, Horacio Porta, and J. J. Uhl, Is the mathematics we teach the lame as the mathematics we do? ( 中 譯 文, 數 學 譯 林, Vol.6, No., 997, 3). 陳 漢 治, 既 教 猜 想, 又 教 證 明 球 體 積 公 式 的 教 學 設 計 中 學 數 學 ( 武 漢 ), 990, 0 2. 馮 建 華, 關 於 圓 錐 曲 線 第 二 定 義 的 教 學 中 學 數 學 ( 蘇 州 ), 99, 0 3. 梁 穎, 張 麗 ( 實 驗 班 學 生 ), 關 於 求 拋 物 線 方 程 的 一 點 思 考 及 其 他 中 學 數 學 教 學 參 考 ( 西 安 ), 992, 6 4. 趙 國 華, 王 安 甫 主 編, 數 學 解 題 訓 練 方 法 論 同 步 滲 透 叢 書 ( 初 中 卷 -8 冊 ) 北 京 師 大 出 版 社, 周 家 禧, 周 公 賢 主 編, 數 學 解 題 訓 練 方 法 論 同 步 滲 透 叢 書 ( 高 中 卷 全 冊 ) 南 京 大 學 出 版 社, 倪 瑞 榮 等, 發 現 的 設 計 & 發 現 的 經 歷 數 學 教 育 學 報, Vol.5, No.2, 996, 5 7. 徐 瀝 泉, 星 形 線 作 為 直 線 族 與 橢 圓 族 的 公 包 絡 數 學 通 報, 987, 2 8. 王 繼 岳, 徐 瀝 泉, 冪 平 均 函 數 及 其 平 均 不 等 式 數 學 通 報, 985, 6 9. 徐 瀝 泉, 對 Neyman Pearson 基 本 引 理 的 改 進 南 京 師 大 學 報 ( 自 然 科 學 版 ), Vol.6, Sup, 993, 0 本 文 作 者 任 職 於 無 鍚 市 教 育 研 究 中 心

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