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1 數 學 百 子 櫃 系 列 ( 一 ) 漫 談 數 學 學 與 教 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 作 者 張 家 麟 黃 毅 英 韓 藝 詩 教 育 局 課 程 發 展 處 數 學 教 育 組

2 版 權 009 本 書 版 權 屬 香 港 特 別 行 政 區 政 府 教 育 局 所 有 本 書 任 何 部 分 之 文 字 及 圖 片 等, 如 未 獲 版 權 持 有 人 之 書 面 同 意, 不 得 用 任 何 方 式 抄 襲 節 錄 或 翻 印 作 商 業 用 途, 亦 不 得 以 任 何 方 式 透 過 互 聯 網 發 放 ISBN

3 目 錄 前 言...v 作 者 簡 介...vi 1. 緒 論...1. 一 元 二 次 方 程 函 數 及 其 圖 像 指 數 及 對 數 函 數 續 多 項 式 續 方 程 變 分 等 差 與 等 比 數 列 不 等 式 與 線 性 規 劃 續 圖 形 與 空 間 圓 形 的 基 本 性 質 軌 跡 直 線 與 圓 的 方 程 續 三 角 排 列 與 組 合 續 概 率 iii

4 17. 離 差 的 度 量 統 計 之 應 用 與 誤 用...41 結 論 : 課 程 教 師 與 專 業 化...46 其 他 相 關 網 站...5 參 考 書 目...55 附 錄...63 iv

5 前 言 為 配 合 香 港 數 學 教 育 的 發 展, 並 向 教 師 提 供 更 多 參 考 資 料, 課 程 發 展 處 數 學 教 育 組 於 007 年 開 始 邀 請 大 學 學 者 及 資 深 老 師 撰 寫 專 文, 並 蒐 集 及 整 理 講 座 資 料, 輯 錄 成 數 學 百 子 櫃 系 列 本 書 漫 談 數 學 學 與 教 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 是 這 個 系 列 的 其 中 一 冊, 作 者 黃 毅 英 教 授 張 家 麟 博 士 和 韓 藝 詩 女 士 對 中 學 數 學 教 學 素 有 研 究, 本 書 除 談 及 高 中 數 學 課 程 的 學 科 知 識 外, 對 學 科 教 學 知 識 學 習 難 點 等, 都 有 精 闢 的 見 解 本 書 不 僅 可 供 教 師 參 考, 亦 可 作 為 學 生 讀 物 作 者 撰 文 期 間, 高 中 數 學 課 程 仍 在 修 訂, 本 書 內 容 或 與 課 程 最 後 定 稿 偶 有 出 入, 祈 請 讀 者 留 意 此 外, 本 書 只 屬 作 者 個 人 觀 點, 並 不 代 表 教 育 局 的 意 見 本 系 列 能 夠 出 版, 實 在 是 各 方 教 育 工 作 者 共 同 努 力 的 成 果 在 此, 謹 向 提 供 資 料 撰 寫 文 章 的 老 師 學 者, 以 及 所 有 為 本 書 勞 心 勞 力 的 朋 友, 致 以 衷 心 的 感 謝 如 有 任 何 意 見 或 建 議, 歡 迎 致 函 : 九 龍 油 麻 地 彌 敦 道 405 號 九 龍 政 府 合 署 4 樓 教 育 局 課 程 發 展 處 總 課 程 發 展 主 任 ( 數 學 ) 收 ( 傳 真 : 電 郵 :ccdoma@edb.gov.hk ) 教 育 局 課 程 發 展 處 數 學 教 育 組 v

6 作 者 簡 介 黃 毅 英, 文 學 學 士 哲 學 碩 士 教 育 證 書 哲 學 博 士 ( 香 港 大 學 ), 文 科 教 育 碩 士 ( 香 港 中 文 大 學 ), 現 任 香 港 中 文 大 學 課 程 與 教 學 學 系 教 授 於 境 內 外 學 報 發 表 學 術 論 文 二 百 餘 篇 001 年 獲 香 港 研 究 資 助 局 重 點 專 案 資 助 (Competitive Earmarked Grant) 005 年 獲 學 院 優 秀 教 學 獎 006 年 第 三 屆 全 國 教 育 科 學 研 究 優 秀 成 果 獎 三 等 獎 008 年 獲 香 港 中 文 大 學 研 究 卓 越 獎 編 著 有 邁 向 大 衆 數 學 的 數 學 教 育 數 學 教 育 實 地 觀 察 數 學 教 育 實 地 再 觀 察 香 港 近 半 世 紀 漫 漫 數 教 路 : 從 新 數 學 談 起 華 人 如 何 學 數 學 ( 與 范 良 火 蔡 金 法 李 士 錡 合 編 ) 迎 接 新 世 紀 : 重 新 檢 視 香 港 數 學 教 育 蕭 文 強 教 授 榮 休 文 集 香 港 近 半 世 紀 漫 漫 小 學 數 教 路 : 現 代 化 本 土 化 普 及 化 規 範 化 與 專 業 化 ( 與 鄧 國 俊 霍 秉 坤 黃 家 樂 顏 明 仁 合 寫 ) 變 式 教 學 課 程 設 計 原 理 : 數 學 課 程 改 革 的 可 能 出 路 ( 與 林 智 中 孫 旭 花 合 寫 ) 等 香 港 數 學 教 育 學 會 創 會 會 長, 現 爲 上 海 師 範 大 學 小 學 教 育 研 究 所 客 座 研 究 員 天 津 數 學 教 育 學 報 及 韓 國 數 學 教 育 研 究 學 報 編 委 張 家 麟, 學 數 於 香 港 中 文 大 學 數 學 系, 先 後 獲 學 士 碩 士 及 博 士 學 位 研 究 興 趣 為 非 綫 性 偏 微 分 方 程 曾 任 職 中 學 教 師 香 港 教 育 學 院 及 香 港 中 文 大 學 數 學 系 導 師,005 年 獲 中 文 大 學 理 學 院 優 秀 教 學 獎 006 年 7 月 任 香 港 教 育 學 院 助 理 教 授 至 今, 對 數 學 解 難, 以 及 幾 何 的 教 與 學 至 感 興 趣 韓 藝 詩, 香 港 科 技 大 學 獲 得 理 學 士 ( 數 學 ) 和 哲 學 碩 士 ( 數 學 ) 學 位, 香 港 浸 會 大 學 取 得 學 位 教 師 教 育 文 憑, 現 於 香 港 中 文 大 學 修 讀 教 育 碩 士 課 程 曾 於 香 港 教 育 學 院 擔 任 專 任 導 師, 亦 曾 於 中 學 任 教 數 學 vi

7 緒 論 1. 緒 論 新 高 中 數 學 課 程 推 行 在 即, 一 些 前 線 老 師 對 新 課 程 有 關 學 科 知 識 的 要 求 感 到 憂 慮, 在 施 教 方 面, 未 具 信 心 作 為 教 師 的 培 訓 者, 理 應 協 助 他 們 鞏 固 這 方 面 的 知 識 但 細 心 審 視 新 課 程 的 內 容 時, 便 會 發 現 其 必 修 部 分 中 超 出 現 行 數 學 與 附 加 數 學 範 圍 的 內 容 不 多 故 此, 教 師 似 乎 並 不 需 要 學 習 什 麼 新 的 數 學 知 識 來 裝 備 自 己 我 們 估 計 老 師 的 憂 慮, 一 方 面 是 源 於 新 高 中 並 無 文 理 分 流, 致 使 一 些 先 前 只 任 教 初 中 數 學 的 老 師 需 要 教 高 中 數 學 ; 另 一 方 面, 可 能 是 一 些 老 師 對 高 等 數 學 生 疏 了 也 許, 這 是 一 個 讓 我 們 重 溫 這 些 內 容 的 好 機 會 縱 使 將 來 的 教 科 書 會 把 教 學 內 容 清 楚 列 出, 詳 細 講 解, 但 我 們 仍 希 望 多 走 一 步, 就 是 為 老 師 說 明 每 一 個 課 程 的 知 識 結 構, 分 析 當 中 一 些 難 點, 提 供 一 些 活 動 建 議, 與 及 網 上 資 源 等 換 言 之, 本 文 不 只 是 學 科 知 識 的 介 紹, 更 是 學 科 教 學 知 識 ( Pedagogical Content Knowledge) 的 闡 述! 不 過, 我 們 並 不 打 算 ( 亦 不 可 能 ) 在 這 本 小 冊 子 中 介 紹 所 有 相 關 的 資 料, 我 們 只 能 把 其 中 一 些 放 在 註 腳 內 簡 述, 有 興 趣 的 讀 者 請 繼 續 沿 這 些 資 料 進 一 步 搜 尋 事 實 上, 本 文 的 介 紹 距 完 整 的 教 學 指 引 尚 遠, 不 過, 我 們 相 信 與 其 朝 發 展 一 套 教 學 藍 本 的 方 向 邁 步, 倒 不 如 啟 動 老 師 及 老 師 群 體, 透 過 專 業 討 論, 讓 他 們 自 行 建 立 知 識 基 礎 我 們 不 會 說 什 麼 拋 磚 引 玉, 然 而, 藉 此 引 發 更 深 入 的 討 論 與 探 究, 這 正 是 我 們 的 期 望 1

8 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分. 一 元 二 次 方 程 一 元 二 次 方 程 其 實 已 在 現 行 中 學 課 程 中 存 在 故 此 不 難 掌 握 其 中 的 教 學 1 這 裡 有 所 不 同 的 當 然 是 引 進 了 複 數 系 C 首 先 我 們 看 到 ( 猶 如 不 少 代 數 / 分 析 上 的 問 題 ), 把 考 慮 的 範 圍 擴 充, 圖 像 更 為 完 整 例 如 在 複 數 系 統 裡 就 會 有 任 何 ( 係 數 為 複 數 的 ) 二 次 方 程 均 有 兩 個 根 ( 只 是 有 時 是 重 根 ) 一 般 來 說, 當 n 為 正 整 數 時,n 次 方 程 均 有 n 個 根, 這 是 代 數 基 本 定 理, 在 未 擴 展 到 C 前, 這 件 事 是 不 明 顯 的 此 外, 數 系 之 擴 展 往 往 受 到 忽 略, 對 於 由 R 擴 至 到 C, 這 個 問 題 顯 得 尤 為 重 要, 因 為 我 們 要 知 道 哪 些 R 中 的 法 則 可 以 保 有 同 時 哪 些 不 可 過 檔 - 又 為 甚 麼? 例 如 有 一 例 題 是 求 3 + 4i 的 平 方 根 當 然 透 過 比 較 ( a + bi) = 3 + 4i 的 實 與 虛 部 份 就 可 求 出 但 怎 知 複 數 必 有 平 方 根? 複 數 是 否 一 切 如 常 的 當 作 實 數 的 進 行 運 算? 眾 所 周 知, 由 N 到 Z 是 為 了 減 法 之 緣 故 ( 群 ), 而 卻 喪 失 了 首 元 ( first element- 0), 由 Z 到 Q 是 為 了 除 法 ( 域 ), 但 沒 有 了 下 一 個 元 ( 在 Z 中 7 之 下 一 個 元 素 是 8, 在 Q 中 7/8 的 下 一 個 元 素 沒 有 意 義 ), 由 Q 到 R 不 是 為 了 x = 0 有 解 而 是 使 到 所 有 收 歛 序 列 均 有 極 限 ( 拓 樸 完 備 topologically complete), 而 R 卻 喪 失 了 可 數 性 ( countability), 由 R 擴 展 到 C 才 能 使 所 有 非 常 數 的 多 項 式 皆 有 根 ( 代 數 封 閉 algebraically 1 黃 毅 英 (004) 二 次 方 程 這 一 課 所 講 的 是 甚 麼? 進 志 數 學 通 訊 3 月, 3-4

9 一 元 二 次 方 程 closed), 然 而 C 中 沒 有 了 序 之 關 係 由 於 C 是 R 的 擴 展 ( 嚴 格 來 說, 就 是 C = R(i)), 實 數 的 四 則 運 算 得 以 保 持, 故 此 我 們 可 以 用 處 理 實 數 二 項 式 之 形 式 處 理 複 數 的 + - 和, 除 則 沒 有 那 麼 直 接 了, 於 是 就 動 用 p 了 共 軛 雖 說 學 生 在 低 年 班 見 過 (a Z) 一 類 數 型 的 有 a 理 化 ( 嚴 格 來 說 是 將 分 母 有 理 化 ), 但 其 實 做 法 轅 出 一 轍 首 先 是 利 用 分 子 分 母 各 乘 以 a 以 消 滅 分 母 中 的 a : p p a p a = = a a a a 推 而 廣 之, 利 用 (a + b)(a b) = a b 或 p ( r + s )( r s ) = r s 消 滅 (r, s Z) 分 母 中 的 r + s r + s, 如 a + bi 8 ± ) c + di 3 + (a ± c) + (b ± d)i 8( 3 ) = ( 3 + )( 3 ) a + bi ) c + di 8( 3 ) = ac + bci 3 adi + bdi = 8( 3 ) 類 似 地 : (ac bd)+ (bc + ad)i a + bi ( a + bi)( c di) ac + bd bc ad = = + i c + di ( c + di)( c di) c + d c + d 有 些 人 認 為 i 是 正 數, i 是 負 數 其 實 所 謂 a 是 正 數 是 指 a > 0, 既 然 在 C 中 沒 有 > 的 關 係, 就 沒 有 正 負 數 可 言 事 實 上, 假 若 當 初 我 們 用 了 所 謂 i 作 為 擴 展 元 數, 得 出 的 數 系 是 一 樣 ( 同 構 ) 的, 即 : 若 x + 1 = 0之 Wong, N.Y. (1981). What is a real number, Mathematics Bulletin, 1,

10 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 二 根 為 α 及 β, R (α) 與 R (β) 同 構 3 阿 根 圖 / 阿 氏 圖 (Argand diagram) 並 非 課 程 範 圍, 但 可 順 帶 一 提 其 實 在 R 時 已 很 難 如 Q 的 以 代 數 定 義 (Q = Z Z*/~, (a,b) ~ ( c,d ) 當 ad = bc), 必 須 透 過 數 線 作 圖 像 的 表 示,Argand 圖 之 用 意 也 是 如 是 建 議 課 堂 活 動 : 軟 件 Winplot 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 同 學 利 用 軟 件 製 作 不 同 的 一 元 二 次 方 程 圖 像, 明 白 函 數 ax + bx + c = 0 中,a, c 與 圖 像 的 關 係 和 各 係 數 與 根 的 關 係 同 學 利 用 軟 件 製 作 不 同 的 一 元 二 次 方 程 圖 像 3 Fung, C.I., Siu, M.K., Wong, K.M., & Wong, N.Y. (1998). A dialogue on the teaching of complex numbers and beyond. Mathematics Teaching, 164,

11 一 元 二 次 方 程 相 關 網 站 : 1. 計 算 機 程 式 (a) (b) %05.htm (c) 與 一 元 二 次 方 程 有 關 的 數 學 史 3. 教 案 範 例 4. 一 元 二 次 方 程 軟 件 M- Lab( 試 用 版 ) 5

12 漫 談 數 學 學 與 教 - 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 3. 函 數 及 其 圖 像 這 亦 不 是 新 的 課 題, 但 可 以 看 到 其 中 強 調 了 函 數 與 圖 像 間 的 連 繫 其 實 函 數 的 概 念 與 數 的 變 動 關 係 密 切, 在 小 學 階 段, 我 們 見 到 的 數 學 是 定 態 的, 但 後 來 一 個 數 就 可 以 有 多 個 表 徵 ( 如 0.4 = 40% = 4/10 = /5, 故 有 互 化 的 計 算 ), 透 過 比 (ratio) 率 (rate) 變 (variation), 有 所 轉 變 學 生 所 接 觸 到 的 x 亦 從 一 個 代 號 一 個 未 知 數 ( 定 態 ) 慢 慢 變 成 動 態 ( 最 後 引 出 變 數 的 概 念 ), 故 此 函 數 是 走 入 變 量 數 學 ( 微 積 分 ) 之 門 檻 4 而 函 數 也 有 不 同 的 表 示 方 法, 如 代 數 式 表 格 ( table), 而 從 圖 像 則 可 看 到 整 體 的 畫 像, 有 強 烈 的 視 覺 效 果 例 如 由 y = x 轉 到 y = x + 1, 整 個 圖 就 會 上 升 一 個 單 位 等 本 課 題 以 二 次 方 程 這 個 簡 單 的 函 數 為 例, 考 究 其 頂 點 對 稱 軸 等, 若 能 配 合 電 腦 效 果, 學 生 就 會 對 一 般 的 函 數 及 其 圖 像 ( 不 局 限 於 二 次 方 程 ) 有 整 體 的 認 識 而 不 是 只 機 b 械 性 地 背 誦 頂 點 為 x = 之 類 a 當 然 要 確 切 找 出 各 特 徵 值 (characteristic value), 便 要 倚 重 代 數 方 法 了 4 黃 毅 英 (003) 從 認 識 論 的 課 程 分 析 看 現 行 中 小 學 課 程 的 幾 個 問 題 載 鄧 幹 明 曾 倫 尊 ( 編 ) 學 會 學 習 : 數 學 課 程 改 革 評 析,3-4 香 港 : 香 港 數 學 教 育 學 會 6

13 函 數 及 其 圖 像 相 關 網 站 : 1. 種 籽 計 畫 試 教 材 料 三 角 函 數 7

14 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 4. 指 數 及 對 數 函 數 當 然 不 少 老 師 會 把 注 意 力 集 中 於 幾 條 公 式 上, 但 這 樣 是 很 枯 燥 的, 其 實 我 們 可 考 究 : 1. 指 數 之 定 義 涉 及 定 義 上 之 擴 展, 這 是 數 學 上 常 見 的 思 維 方 式 : a n 0 就 是 自 乘 n 次, 故 此 a 起 初 ( a 0 ) 沒 有 定 義 理 論 上 既 然 沒 有 定 義, 我 們 可 以 加 以 任 何 定 義 0 但 我 們 希 望 仍 能 保 持 各 指 數 定 律, 故 此 a 別 無 選 擇, 只 可 能 是 1( a 0 n n = a n n = a / a = 1, n Z + )( 這 裡 就 是 吊 0 詭 之 處, 既 然 a 暫 未 有 定 義, 何 以 能 動 用 指 數 定 律 呢?) 我 們 繼 續 探 討 在 各 指 數 定 律 仍 能 滿 足 的 前 提 下, 當 n Z {0} 時 a n 的 定 義 為 讓 a m a n m n = a + 得 以 成 立, 當 n = 0, m Z +, a 0 有 a m a 0 = a m+ 0 = a m m 0 m a a a = = 1 m m a a 8 a 0 = 1 故 此 有 a 0 = 1 當 n = m, m Z +, a 0 有 a m a n = a m a m = a m m = a 0 = 1 m 1 a = m a ( m) 1 因 為 m > 0 即 m < 0, 所 有 a = a m 此 a = 1 m a 當 指 數 推 廣 至 有 理 數 時, 為 使 a p q m a p q m 1 = a m, 故 = a 等 仍 能 成 立,

15 指 數 及 對 數 函 數 其 中 p q Z, 就 限 定 了 a > 0 對 於 a < 0, 情 況 變 得 複 雜, 以 下 討 論 規 限 於 R 若 n 為 奇 數, 由 於 x n = a 只 1 n 有 一 個 實 根, 故 理 論 上 我 們 仍 可 以 論 a ( 因 為 是 唯 一 定 義 ) 例 如 3 8 = 上 面 的 定 義 是 與 指 數 定 律 有 衝 突 的, 例 如 = ( 8) = ( 8) = [( 8) ] = 64 = 6 故 此, 一 般 來 說, 我 們 把 討 論 規 範 在 a > 0 此 外, 我 們 還 需 要 注 意 a 的 意 義 它 在 a > 0, 用 以 表 示 取 a 的 正 根, 即 取 x > 0, 使 x = a 成 立 這 做 法 會 使 當 a b > 0 時, ab = a b 成 立 然 而, 當 a < 0 時, 則 記 號 a 便 會 失 卻 了 取 正 根 的 選 擇 而 變 得 意 義 含 糊 作 為 例 子, 我 們 可 考 慮 1 的 意 義, 記 號 i 和 i 5 表 示 從 實 數 軸 的 1 出 發, 沿 複 平 面 反 時 針 分 別 轉 90 及 70 所 得 的 虛 數, 這 樣 i 和 i 均 是 虛 數, 無 所 謂 正 負, 但 ( i ) = ( i ) = 1 雖 然, 我 們 會 沿 用 慣 常 的 做 法, 取 1 = i 及 在 a < 0 時, 取 a = ( a) i ( 例 如 10 = ( 10 )i ), 但 這 做 法 的 缺 點 是 不 能 保 證 ab = a b 的 成 立 例 如 取 a = b = 1, 則 ( 1)( 1) 1 1 = 1 1 =. 指 數 定 律 與 對 數 定 律 會 一 對 對 的 出 現, 指 數 與 對 數 其 實 是 孿 生 的, 因 為 指 數 函 數 與 對 數 函 數 根 本 有 著 互 逆 之 關 係, 即 exp (log (x)) = x 教 師 在 介 紹 i 的 時 候, 常 常 會 利 用 解 方 程 x + 1 =0 作 引 入 但 要 注 意, 數 學 歷 史 上, 人 類 認 識 i 是 從 解 三 次 方 程 開 始 的 有 關 這 段 歷 史 可 參 閱 Nahin, Paul J. (1998). An imaginary tale: the story of 1. New Jersey: Princeton University Press. 9

16 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 3. 指 數 與 對 數 除 了 代 數 ( 算 術 ) 之 定 義 外, 它 們 本 身 其 實 是 一 個 常 見 的 函 數, 在 不 少 現 實 情 境 中 都 能 找 到 指 數 和 對 數 的 趨 勢 6 6 Wong, N.Y. (1984). The teaching of logarithms in junior forms. Datum, 4, 黃 毅 英 (005) 再 談 學 這 些 東 西 幹 嗎? 從 0 多 年 前 一 文 談 起 數 學 教 育 期 刊 (Datum)4 期,6-1 黃 毅 英 (006) 如 何 溫 習 數 學 科? 以 指 數 一 課 爲 例 香 港 數 理 教 育 學 會 會 刊 3 期 1 號,

17 續 多 項 式 5. 續 多 項 式 學 生 在 初 中 已 學 過 多 項 式 了, 這 又 是 一 次 將 數 字 的 技 巧 ( 四 則 ) 推 到 符 號 來 故 此 除 了 多 項 式 所 涉 及 特 徵 ( 如 冪 常 數 係 數 等 ) 之 引 入 外 ( 其 實 引 入 這 些 定 義 也 可 技 巧 一 些, 不 一 定 一 股 腦 兒 抽 離 處 境 out of context 的 要 學 生 記 住 ), 就 是 要 借 助 數 學 的 方 法 進 行 四 則, 同 樣 地,+ - 和 比 較 易 辦, 由 於 R[x] 不 是 一 個 域 (field), 故 兩 多 項 式 相 除 不 一 定 是 多 項 式, 故 有 長 除 並 有 可 能 有 餘 式, 這 與 小 學 課 程 所 牽 涉 的 整 除 性 概 念 相 關, 即 對 於 任 何 p Z,p = q g + r, 其 中 0 r < g 和 q g r Z 把 p q g r 延 伸 至 多 項 式, 有 p(x) = q(x) g(x) + r(x), 其 中 0 deg r ( x) < deg g( x) 這 便 是 歐 氏 算 法 (Euclidean algorithm) 由 此 引 入 餘 式 定 理 及 因 式 定 理 對 於 一 些 分 式 ( 即 兩 個 多 項 式 的 相 除 ), 透 過 因 式 定 理 可 以 得 到 簡 化 這 類 法 則 之 引 申 ( 由 數 字 到 多 項 式 ) 往 往 在 大 部 分 情 況 下 都 能 借 助 舊 有 法 則 不 過, 有 時 就 要 有 所 調 節 了, 例 如 多 項 式 之 公 因 式 就 與 數 字 的 有 所 不 同 ( 只 是 對 於 常 數 倍 數 唯 一, 所 謂 unique up to scalar multiple) 7 換 言 之,( 1 x) 是 1 1 ( 1 x )( x + 1) 及 ( x ) 的 最 大 公 因 式 但 ( x 1) ( x ) 等 也 1 是, 其 實 k( x ) ( k R \ {0}) 均 是 不 過 這 是 指 實 系 數 多 項 式 集 R [] x 若 指 明 規 限 於 整 數 系 數 多 項 式 又 不 同, 在 這 種 情 況, 在 計 算 4( x + 1)( x ) 及 6 ( x + 1) 的 最 大 公 因 式 時, 仍 須 運 算 4 和 7 見 黃 毅 英 (005) 最 大 公 因 數 最 小 公 倍 數 要 講 的 是 些 甚 麼? 數 學 教 育 0 期,70-74 又 見 Leung, K. T., Mok, I. C. & Suen, S. N. (1994). Polynomials and equations. Hong Kong: Hong Kong University Press. 11

18 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 6 的 最 大 公 因 數 得 出 ( x + 1) 相 關 網 站 : 內 容 和 公 式 概 要 1

19 續 方 程 6. 續 方 程 雖 然 這 單 位 內 容 在 原 來 的 中 學 課 程 已 存 在 ( 且 現 時 撥 入 非 基 礎 部 分 ), 學 生 常 感 混 亂 的 是 何 時 用 代 數 解 何 時 用 圖 解, 這 應 超 越 按 題 意 選 定 解 法 的 應 試 技 巧, 而 是 兩 種 取 向 之 根 本 差 異 縱 然 代 數 解 較 為 精 確, 且 對 於 二 次 方 程 不 難 得 代 數 解, 但 我 們 要 為 日 後 作 準 備, 不 少 方 程 是 沒 法 有 代 數 解 的, 只 能 以 數 值 迫 近 圖 解 便 是 為 數 值 解 而 鋪 路 的 現 時 開 發 了 的 分 半 法 其 實 便 是 結 合 了 圖 像 意 識 的 數 值 解, 雖 然 分 半 法 不 在 課 程 範 圍 內, 但 於 此 我 們 仍 介 紹 一 個 相 關 活 動 給 讀 者 參 考 建 議 課 堂 活 動 : 我 有 一 對 透 視 眼?( 分 半 法 ) 活 動 目 標 : 學 生 能 透 過 發 問 懂 得 把 目 標 範 圍 不 斷 減 半, 從 而 掌 握 分 半 法 的 概 念 活 動 內 容 : 兩 位 同 學 為 一 組, 其 中 一 位 同 學 於 紙 寫 上 一 字 母 不 讓 對 方 知 道 另 一 位 同 學 只 能 向 他 發 問 是 非 題 ( 例 如 : 字 母 是 不 是 a m), 希 望 能 發 問 最 少 問 題 找 出 答 案 13

20 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 7. 變 分 這 亦 是 耳 熟 能 詳 的 一 課, 正 變 反 變 等 機 械 性 運 算 亦 不 困 難, 但 這 種 數 學 的 變 動 不 單 涉 及 數 學 上 變 量 的 觀 念, 學 生 亦 應 從 中 感 受 到 量 與 量 之 間 可 以 有 的 美 妙 關 係 ( 例 如 與 日 俱 增 此 消 彼 長 日 盡 江 河 每 個 成 功 男 士 背 同 面 積 矩 形 後 必 定 有 一 個 女 人 女 人 愈 多 愈 成 ( 及 周 界 ) 的 變 化 功? ) 而 關 係 性 理 解 (relational understanding) 8 正 是 數 學 理 解 中 重 要 一 環, 透 過 圖 像 的 變 化 例 如 同 面 積 矩 形 的 變 化, 這 種 理 解 更 能 深 刻 電 腦 當 然 也 能 加 以 協 助 建 議 課 堂 活 動 : 身 體 質 量 指 數 (BMI) 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 透 過 活 動 引 入 聯 變 的 概 念, 讓 學 生 知 道 日 常 生 活 中 應 用 聯 變 的 例 子 學 生 可 於 課 堂 中 量 度 自 己 的 身 高 和 體 重, 利 體 重 用 公 式 BMI = 計 算 自 己 的 BMI, 從 而 身 高 討 論 自 己 身 體 脂 肪 存 量 與 身 高 和 體 重 的 關 係 8 黃 毅 英 (007) 數 學 化 過 程 與 數 學 理 解 數 學 教 育 5 期,-18 14

21 變 分 / 等 差 與 等 比 數 列 8. 等 差 與 等 比 數 列 有 人 說 數 學 是 關 於 規 律 的 科 學 ( mathematics is a science of pattern), 而 有 限 序 列 (finite sequence 即 背 後 的 意 思 ) 正 是 體 現 一 種 規 律 一 種 趨 勢 的 甚 佳 例 子 9, 故 此 只 背 誦 了 六 道 公 式 了 事 實 屬 可 惜, 這 概 念 可 上 連 到 極 限 和 數 學 歸 納 式 的 思 維 (inductive thinking) 事 實 上, 學 生 在 初 中 時 已 有 接 觸, 它 又 可 連 繫 到 指 數 與 對 數 間 的 關 係, 中 間 亦 可 連 結 到 數 學 名 10 題, 如 三 角 形 數 正 方 形 數 高 斯 的 故 事 中 國 的 隙 積 術 等 11 故 事 建 議 課 堂 活 動 : 河 內 塔 活 動 目 標 : 學 生 透 過 遊 戲 歸 納 出 1. 圓 板 移 動 的 方 向. 圓 板 數 目 與 移 動 圓 板 次 數 間 的 關 係 若 設 n 為 圓 板 數 目,T n 為 移 動 圓 板 的 最 少 次 數, 則 T n = n 1 和 T n = T n 活 動 內 容 : 首 先 在 檯 桌 豎 立 三 根 棒 子, 其 中 一 根 棒 子 已 經 把 圓 板 依 大 小 順 序 疊 放 著 其 餘 兩 根 棒 子 上 沒 有 圓 板 按 照 規 則, 把 圓 板 全 部 移 到 另 一 根 棒 子 上 圓 板 移 動 的 規 則 Wong, N.Y. (1994). Some key concepts in school mathematics-ideas for better learning, Horizon, 35, Bell, E.T. (1937). Men of mathematics. New York: Simon & Schuster. 黃 毅 英 (004) 把 數 學 史 引 進 數 學 教 學 真 是 那 麽 困 難 嗎? 數 學 教 育 期 刊 (Datum)41 期,7-15 後 載 HPM 通 訊 第 八 卷 第 十 期 (10/005),

22 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 ( 1) 每 次 只 能 移 動 一 枚 圓 板 ( ) 較 小 的 圓 板 上 方 不 可 放 置 較 大 的 圓 板 ( 3) 圓 板 一 定 要 套 在 棒 子 上, 不 可 拿 在 手 上 或 放 在 其 他 地 方 而 再 拿 另 一 枚 圓 板 按 照 以 上 的 方 法, 並 盡 量 減 少 拿 起 圓 板 的 次 數, 將 全 部 的 圓 板 從 一 根 棒 子 移 到 另 一 根 棒 子 而 圓 板 的 排 列 與 原 來 相 同 下 圖 是 三 枚 圓 板 的 移 動 方 法, 可 作 參 考 逆 時 針 方 向 順 時 針 方 向 逆 時 針 方 向 逆 時 針 方 向 逆 時 針 方 向 順 時 針 方 向 逆 時 針 方 向 是 指 由 細 至 大 第 一 二 三 個 圓 板 如 選 定 了 第 一 步 是 逆 時 針 方 向 的 話, 永 遠 逆 時 針 方 向, 永 遠 順 時 針 方 向, 永 遠 逆 時 針 方 向 這 種 遊 戲 最 易 玩, 除 非 陷 入 不 斷 重 複 狀 態, 否 則 解 決 途 徑 只 有 一 個 ( 沒 有 岔 口 ) 1 13 關 於 這 個 遊 戲 也 有 一 段 傳 說 : 在 印 度 北 部 的 印 度 教 聖 地 貝 那 拉 斯 的 一 座 大 寺 院 裡, 有 3 支 金 剛 鑽 的 針 柱 豎 1 13 倪 進 朱 明 書 (1986) 智 力 遊 戲 中 的 數 學 方 法 南 京 : 江 蘇 教 育 出 版 社 關 於 河 內 塔 的 故 事 可 見 Gamow, G. (1988). 1,, 3, infinity: Facts and speculation of science. New York: Dover Publications. Bell, W. W. R. & Coxeter, H.S.M. (1987). Mathematical recreations and essays. New York: Dover Publications. 16

23 等 差 與 等 比 數 列 立 在 一 塊 黃 鋼 的 合 金 板 上 在 宇 宙 初 創 時, 神 用 金 子 鑄 成 64 枚 圓 板, 依 大 小 順 序 套 在 一 支 針 柱 上 寺 院 內 的 僧 侶 們 需 要 不 分 晝 夜 地 把 圓 板 從 一 支 針 移 到 另 一 支 針 據 說 當 這 件 事 完 成 的 時 候, 也 就 是 世 界 末 日 來 臨 之 時 倘 若 僧 侶 們 以 每 秒 移 動 圓 板 一 次, 還 需 要 5800 億 年 才 能 完 成 全 部 移 舉 因 此 不 必 擔 心 世 界 末 日 來 臨, 我 們 還 是 很 安 全 呢! 14 另 一 個 關 於 等 比 數 列 的 有 趣 傳 說 是 印 度 的 舍 罕 王 ( Shirham) 打 算 重 賞 發 明 象 棋 的 宰 相 宰 相 要 求 在 象 棋 的 棋 盤 第 一 格 內 賞 一 粒 麥 子, 第 二 格 內 賞 二 粒 麥 子, 下 一 格 賞 的 麥 子 比 前 一 格 多 一 倍, 直 至 第 64 格 換 句 話 說, 宰 相 可 得 顆 麥 子, 即 全 世 界 在 000 年 內 所 生 產 的 全 部 小 麥 這 都 是 要 表 現 等 比 數 列 上 升 速 度 的 震 撼 性 其 實 可 讓 學 生 ( 借 助 電 腦 ) 比 較 等 差 數 列 10000, 11000, 1000 ( 即 n,n = 0, 1,, 等 比 數 列 1, 1.1, (1.1), ( 即 (1.1)n, n = 0, 1,, ), 雖 然 前 者 開 始 很 大, 步 幅 也 不 小, 最 終 會 被 後 者 趕 上 這 亦 可 為 將 來 學 習 極 限 鋪 路 14 亦 見 Gamow, G. (1988). 1,, 3, infinity: Facts and speculation of science. New York: Dover Publications. 17

24 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 建 議 課 堂 活 動 : 摺 報 紙 活 動 目 標 : 學 生 透 過 摺 報 紙 的 活 動, 找 出 對 摺 報 紙 的 次 數 與 報 紙 厚 度 與 面 積 成 等 比 的 關 係 活 動 內 容 : 詢 問 同 學 究 竟 把 51 張 報 紙 同 一 時 間 對 摺 一 次 還 是 把 1 張 報 紙 不 斷 重 複 對 摺 9 次 較 困 難? 同 學 把 一 張 報 紙 不 斷 對 摺, 寫 出 摺 報 紙 的 次 數 與 報 紙 厚 度 與 面 積 的 關 係, 並 發 現 報 紙 厚 度 隨 對 摺 次 數 以 等 比 數 列 增 加, 而 其 面 積 則 以 同 樣 比 例 減 少 相 關 網 站 : 1. 黃 金 比 例 斐 波 那 契 數 列 3. 數 學 趣 題 0and%0algebra.pdf 4. 網 上 練 習 題 5. 香 港 校 本 資 優 數 學 課 程 試 驗 實 例 18

25 不 等 式 與 線 性 規 劃 9. 不 等 式 與 線 性 規 劃 雖 然 不 少 學 生 感 到 不 等 式 的 處 理 有 點 麻 煩, 這 正 正 體 現 到 一 個 體 系 的 法 則 轉 移 到 另 一 體 系 時 需 要 ( 按 其 性 質 ) 調 整 的 這 種 數 學 思 維 首 先 方 程 之 確 切 性 於 不 等 式 遭 到 打 破, 不 等 式 方 程 往 往 沒 有 唯 一 解 此 外, 歷 來 處 理 方 程 的 移 項 工 序 有 時 可 以 照 做, 有 時 卻 不 可 以, 例 如 移 項 x + 3 > 4 x > x > 16 x > = 8 x > 7 x > 7 x + 1 > 8 x + 1 > 8x x 由 一 元 不 等 式 推 廣 到 複 合 不 等 式 涉 及 邏 輯 推 理 及 配 合 圖 示, 雖 然 二 次 不 等 式 可 透 過 圖 像 把 數 線 分 成 三 段, 但 亦 可 看 到 複 合 不 等 式 的 一 種 運 用 : (x a)(x b) > 0 (x a > 0 及 x b > 0) 或 (x a < 0 及 x b < 0) a b 而 二 元 不 等 式 把 問 題 擴 展 到 坐 標 平 面 的 領 域, 帶 出 解 集 的 觀 念 ( 即 所 謂 容 許 解 feasible solution), 而 線 性 規 劃 把 問 題 牽 到 高 潮 同 時 引 入 最 優 化 的 這 種 數 學 思 維 方 式 19

26 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 相 關 網 站 : 1. 工 作 紙 - Schwarz 不 等 式 之 本 質 與 意 義 3. 網 上 練 習 題 4. 拋 物 線 與 不 等 式 0

27 續 圖 形 與 空 間 10. 續 圖 形 與 空 間 前 已 談 到, 假 若 只 是 想 求 解, 而 對 於 低 冪 多 項 式 方 程 ( 如 一 次 二 次 ), 求 代 數 解 往 往 比 較 方 便 故 此 我 們 不 應 把 眼 光 局 限 於 求 解, 而 是 希 望 對 函 數 的 完 整 理 解 圖 像 就 能 給 出 函 數 上 升 下 降, 最 終 趨 勢 (eventual tendency) 等 認 識 對 於 非 多 項 式 函 數, 如 三 角 對 數 指 數 等, 就 有 更 多 的 討 論 透 過 簡 單 的 變 換 ( 如 f (x) + k f (x + k) kf (x) 和 f (kx) 等 )( 電 腦 可 發 揮 不 少 作 用 ), 更 能 突 顯 函 數 與 圖 像 的 整 體 認 識, 故 此 本 課 重 點 應 在 認 識 上 之 整 體 性, 亦 可 銜 接 將 來 可 能 有 機 會 學 到 的 曲 線 描 繪 (curve sketching) 建 議 課 堂 活 動 : 軟 件 M-Lab 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 同 學 利 用 軟 件 製 作 不 同 的 一 元 二 次 方 程 圖 像, 從 圖 像 角 度 研 究 f (x) f (x) + k f (x + k) kf (x) 和 f (kx) 的 變 換 同 學 利 用 軟 件 製 作 不 同 的 一 元 二 次 方 程 圖 像 1

28 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 11. 圓 形 的 基 本 性 質 這 其 實 是 原 有 的 課 題, 不 過 往 往 學 生 對 眾 多 的 性 質 比 較 恐 慌, 我 們 應 對 這 些 性 質 適 當 的 分 類 和 向 學 生 解 釋 每 個 性 質 在 做 數 學 題 時 的 作 用, 學 生 才 會 覺 得 這 些 是 活 生 生 的 性 質 詳 可 參 閱 其 實 平 面 幾 何 這 一 課 所 講 的 是 甚 麼? 一 文 15, 於 此 不 贅 不 過 除 了 分 類 外, 亦 可 點 出 不 同 定 理 之 關 係, 例 如 三 角 形 的 SSS 三 點 決 定 一 三 角 形 圓 心 垂 線 平 分 弦 四 點 卻 不 一 定 決 定 一 圓 ( 除 非 圓 內 接 四 邊 形 ) 16 等 之 關 係 龍 門 建 議 課 堂 活 動 : 最 有 利 位 置 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 學 生 能 明 白 同 弓 形 內 的 圓 周 角 的 概 念 學 生 在 足 球 場 的 圓 形 場 地 內 找 出 射 門 的 最 有 利 位 置 足 球 場 黃 毅 英 (1990) 解 題 與 數 學 教 育 數 學 傳 播 54 期,71-81 後 載 黃 毅 英 ( 編 )(1997) 邁 向 大 眾 數 學 的 數 學 教 育 ( 頁 59-8) 台 北 : 九 章 出 版 社 黃 毅 英 (003) 其 實 平 面 幾 何 這 一 課 所 講 的 是 甚 麼? 數 學 教 育 17 期,43-50 見 註 7

29 圓 形 的 基 本 性 質 相 關 網 站 : 圓 形 的 基 本 性 質 (a) (b) (c) (d) (e) ng_materials.htm. 3

30 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 1. 軌 跡 軌 跡 的 概 念 在 新 課 程 中, 於 初 中 階 段 經 已 出 現, 軌 跡 可 以 有 動 態 和 靜 態 的 理 解 動 態 就 是 參 數 的 觀 念, 就 是 一 個 變 量 ( 因 變 量 ) 隨 著 另 一 變 量 ( 自 變 量 ) 走, 甚 至 想 像 自 變 量 是 時 間, 因 變 量 是 自 由 落 體 的 位 移 d = gt ( 見 圖 (a)) 又 或 可 考 慮 動 點 ( x, y ) 因 θ 而 變 化 y = sinθ x = cosθ ( 見 圖 (b)) 靜 態 就 是 解 集 的 想 法, 就 是 問 在 平 面 中 哪 些 點 適 合 既 定 之 條 件, 例 如 拋 物 線 產 生 軌 跡 的 方 式 有 多 種, 最 簡 單 是 參 照 著 固 定 的 物 體 而 變 所 得 的 軌 跡, 如 對 兩 定 點 等 距 的 動 點 軌 跡 就 是 這 兩 ( x a) PL = FP + y = ( x + a) y = 4ax ( 見 圖 (c)) L Q P θ a F (a, 0 ) 圖 (a) 圖 (b) 圖 (c) 4

31 軌 跡 定 點 連 的 垂 直 平 分 線 ( 見 圖 (d)) 參 照 的 物 體 也 可 以 是 不 固 定 的 如 對 定 點 及 直 線 等 距, 直 線 中 之 接 觸 點 Q 就 是 變 動, 又 例 如 圖 ( 見 圖 (e)) 中 半 徑 之 中 點 就 更 複 雜 及 有 趣 了, 不 過 此 例 不 在 課 程 範 圍 17 P Q 圖 (d) 圖 (e) 17 Wong, N.Y. (1987). The tackling of locus problems. Mathematics Bulletin. 14, 1-5. Wong, N.Y. (1989). Locus problems. Mathematics Bulletin, 18,

32 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 13. 直 線 與 圓 的 方 程 這 亦 是 原 有 的 課 題, 但 若 只 列 舉 甚 麼 兩 點 式 點 斜 式 等 就 太 八 股 和 枯 燥 乏 味 了 我 們 可 用 以 下 基 本 思 路 串 透 這 課 : 兩 點 決 定 一 直 線, 一 般 而 言, 兩 個 特 徵 就 可 定 義 一 條 直 線 這 些 特 徵 基 本 上 是 點 或 斜 率, 又 或 加 上 截 距 而 截 距 提 供 的 資 料 基 本 上 是 一 點 故 此 整 個 直 線 方 程 的 部 分 就 是 知 道 這 些 特 徵 求 直 線 方 程, 又 或 反 過 來 知 直 線 方 程 找 回 這 些 特 徵 ( 例 如 測 驗 一 點 是 否 在 直 線 上 或 求 直 線 的 斜 率 ) 18 圓 的 方 程 兩 直 線 的 相 交 及 直 線 與 圓 之 相 交 其 實 可 連 繫 到 早 段 聯 立 方 程 二 次 方 程 及 軌 跡 之 學 習 直 線 與 圓 之 相 交 雖 屬 非 基 礎 部 分, 但 若 選 教, 不 少 學 生 會 對 之 轉 化 成 一 元 二 次 方 程, 並 考 慮 判 別 式 感 到 迷 惑, 這 其 實 在 聯 立 方 程 ( 一 為 線 性 一 為 二 次 ) 經 已 出 現 首 先 有 時 學 生 會 因 疏 忽 而 無 法 消 去 其 中 一 元, 如 y = x + x x = y + 7 y = x + y + 7 此 外, 他 們 不 明 白 何 以 一 個 圖 形 ( 平 面 上 之 物 件 ) 會 變 成 一 元 之 方 程 如 果 在 聯 立 一 次 方 程 時 已 經 有 限 制 條 件 數 量 的 意 識, 整 個 關 係 就 會 更 為 清 楚, 而 這 個 關 係 亦 是 應 嘗 試 讓 學 生 體 會 18 黃 毅 英 (1997) 讓 數 學 變 得 耐 人 尋 味 數 學 教 育 期 刊 36 期,6-10 黃 毅 英 (1997) 從 一 節 數 學 課 談 起 數 學 教 育 期 刊 36 期,

33 直 線 與 圓 的 方 程 的 就 是 一 般 而 言 ( 當 然 有 特 例 ),n 條 方 程 恰 恰 足 夠 解 n 個 未 知 數 故 此 聯 立 兩 條 二 元 方 程 組 ( 無 論 一 次 或 二 次 ), 用 了 消 去 法 或 代 入 法 之 後 就 可 消 去 一 元, 變 成 一 條 的 一 元 方 程, 如 此 類 推 相 關 網 站 : 1. 有 趣 例 題 (a) (b) (c) (d) (e) 軌 跡 方 程 (a) 1 (b) (c) 3. 教 學 範 例 (a) (b) (c) 4. 圓 錐 曲 線 7

34 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 14. 續 三 角 這 亦 是 原 有 之 課 題, 我 們 首 先 要 了 解 三 角 比 不 能 單 靠 算 式 定 義 的 特 性, 在 計 算 過 程 中 ( 包 括 求 解 ) 往 往 要 對 照 圖 像 ( 包 括 單 位 圖 和 直 角 三 角 形 ) 19 此 外, 正 弦 公 式 和 餘 弦 公 式 是 解 三 角 的 重 要 工 具, 它 們 的 使 用 源 自 一 個 重 要 的 基 本 概 念 以 直 角 三 角 形 來 解 三 角! 在 教 學 時, 應 嘗 試 讓 學 生 將 之 與 解 題 連 繫 起 來 就 是 若 有 全 等 三 角 形 之 任 一 條 件 ( 即 SSS SAS ASA RHS), 則 三 角 形 已 完 全 決 定, 故 應 可 找 出 三 角 形 之 所 有 邊 長 和 角, 若 是 RHS 就 簡 單 了, 至 於 其 他 情 況 把 三 角 形 分 割 成 直 角 三 角 形 就 可 找 出 邊 和 角 了, 正 弦 和 餘 弦 公 式 基 本 上 只 是 將 這 些 步 驟 一 次 過 做 了? 這 亦 牽 涉 到 上 面 所 談 的 關 係 性 理 解 ; 兩 三 角 形 之 全 等 條 件 和 一 個 三 角 形 的 決 定 ( 甚 至 是 最 少 決 定 性 ) 條 件 三 角 形 0 求 解 正 / 餘 弦 公 式, 其 實 互 相 連 繫 着 至 於 立 體 問 題 的 解 決, 雖 然 是 學 生 較 害 怕 的 課 題, 但 其 實 有 不 少 可 加 強 的 空 間, 首 先 我 們 可 以 讓 學 生 有 ( 按 題 意 ) 製 作 立 體 模 型 的 經 驗, 使 他 們 了 解 立 體 圖 形 中 各 部 分 間 之 關 19 0 黃 毅 英 (003) 其 實 三 角 學 一 課 所 講 的 是 甚 麼? 香 港 數 理 教 育 學 會 會 刊 1 期 號,1-8 見 註 7 8

35 續 三 角 1 係 在 新 的 初 中 數 學 課 程 中, 這 部 分 的 活 動 其 實 已 加 強 了 許 多 以 下 是 按 過 往 會 考 題 的 一 些 分 析 給 大 眾 參 考 此 外, 我 們 也 可 分 析 學 生 在 立 體 三 角 應 用 題 的 解 題 過 程 中 所 需 要 到 的 技 巧, 並 加 以 逐 一 培 養 I. 先 備 知 識 ( 三 角 學 ) (a) 等 腰 三 角 形 性 質 與 畢 氏 定 理 (b) 於 直 角 三 角 形 利 用 正 弦 餘 弦 正 切 找 未 知 邊 和 角 (c) 用 正 弦 / 餘 弦 公 式 找 未 知 邊 和 角 30 設 為 h 45 II. 先 備 知 識 ( 平 面 幾 何 ) (a) 認 定 圖 形 是 否 與 長 度 有 關 (b) 若 有 關, 試 從 已 知 長 度 出 發, 找 出 未 知 (c) 若 有 關, 又 或 需 要 設 定 一 邊 長 為 h, 再 嘗 試 找 回 該 值 (d) 若 無 關, 試 從 已 知 角 找 未 知 角 (e) 若 無 關, 又 或 先 設 定 一 邊 長 為 h, 最 後 消 去, 如 005 年 中 學 會 考 數 學 科 卷 II, 47 及 48 題, 見 圖 1 黃 毅 英 (1990) 立 體 數 學 遊 戲 與 空 間 想 像 力 之 訓 練 數 學 傳 播 56 期, 後 載 黃 毅 英 ( 編 )(1997) 邁 向 大 眾 數 學 的 數 學 教 育 ( 頁 94 38) 台 北 : 九 章 出 版 社 陳 美 恩 徐 雪 燕 (006) 數 學 變 式 教 學 的 研 究 教 育 碩 士 專 題 研 習 論 文 香 港 : 香 港 中 文 大 學 課 程 與 教 學 系 9

36 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 III. 所 涉 及 之 基 本 技 巧 1. 對 於 要 找 的 角 能 集 中 注 意 力 於 相 關 的 三 角 形 上, 如 005 年 中 學 會 考 數 學 科 卷 I, 14 題 (c) 求 圖 中 CDE E D C. 對 於 要 找 的 邊, 能 集 中 注 意 力 於 相 關 的 三 角 形 上, 如 F 004 年 中 學 會 考 數 學 科 卷 I,0 題 (a)(i) 求 圖 中 FF F 考 慮 ΔFF E, 而 非 ΔFF A A E 3. 找 出 相 關 的 三 角 形 後, 把 它 畫 出 來 ( 這 種 技 巧 不 絕 對 需 要, 眼 利 的 可 省 去 此 步 驟 ) 如 005-I-14(b) 雖 說 不 一 定 需 要, 但 其 實 這 是 將 立 體 問 題 化 成 平 面 問 題 A A B? 60? 正 弦 法 則 80 C B 10 C 30

37 續 三 角 4. 利 用 其 他 三 角 形 的 資 料 搬 到 相 關 三 角 形 來 例 如 005 年 中 學 會 考 數 學 科 卷 II, 47 題 ( 這 亦 牽 涉 II (e) 的 技 巧 ) 設 為 h 又 例 如 00 年 中 學 會 考 數 學 科 卷 I, 1 題 (a) A C h 15 B A C B 餘 弦 法 則 5. 加 補 助 線 例 如 004 年 中 學 會 考 數 學 科 卷 II, 48 題? 涉 及 技 巧 (4) 31

38 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 建 議 課 堂 活 動 : 最 慳 位 方 法 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 學 生 能 利 用 三 角 學 知 識, 找 到 並 解 釋 超 級 市 場 在 有 限 空 間 堆 疊 最 多 圓 罐 貨 品 的 方 法 學 生 利 用 不 同 大 小 的 紙 箱, 找 出 能 盛 裝 最 多 大 小 相 同 的 圓 罐 的 方 法 活 動 後 學 生 能 發 現 採 用 品 形 排 法 與 井 形 排 法 各 優 缺 點 品 形 排 法 : 三 個 相 鄰 的 圓 罐, 其 圓 心 可 成 一 等 邊 三 角 形 井 形 排 法 : 四 個 相 鄰 的 圓 罐, 其 圓 心 可 成 一 正 方 形 建 議 課 堂 活 動 : 重 差 術 3 ( 量 度 大 廈 高 度 ) 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 學 生 能 利 用 三 角 學 知 識, 透 過 所 提 供 工 具 計 算 出 大 廈 的 高 度 已 知 校 舍 的 高 度, 在 量 度 θ 和 φ 後 同 學 需 計 算 出 大 廈 的 高 度 學 校 θ φ 大 廈 3 這 其 實 源 自 海 島 算 經 見 李 儼 杜 石 然 (1986) 中 國 數 學 簡 史 濟 南 : 山 東 敎 育 出 版 社 不 過 現 時 利 用 三 角 比, 問 題 變 得 容 易 得 多 3

39 續 三 角 相 關 網 站 : 1. 幾 何 簡 史 與 互 動 教 材 庫 三 角 學 (a) (b) (c) (d) math_my_teaching_materials.htm 3. 三 維 空 間 的 三 角 學 (a) (b) 33

40 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 15. 排 列 與 組 合 n 當 然 排 列 組 合 ( 尤 以 P r C n r 的 符 號 ) 在 將 來 的 學 習 ( 如 二 項 式 定 理 ) 會 用 得 著, 但 在 這 核 心 部 分 與 其 他 課 題 之 關 係 甚 少, 這 其 實 可 看 成 是 一 個 自 給 自 足 的 課 題 首 先, 過 往 十 數 年 來, 香 港 與 外 地 都 提 出 了 中 學 學 習 較 為 側 重 連 續 量 而 忽 4 略 數 學 中 之 離 散 技 巧, 外 國 甚 至 提 出 淡 化 微 積 分 之 想 法 無 論 如 何, 數 ( count) 之 方 法 是 很 值 得 學 習 的, 而 這 些 數 n 的 方 法 其 實 在 概 率 等 是 用 得 著 的, 而 不 是 區 限 於 P r C n r 這 兩 個 符 號 ( 及 其 定 義 與 法 則 ) 故 此 應 配 合 不 同 之 實 例 ( 如 用 較 小 的 n 去 表 明 通 則 ) 圖 表 (table) 樹 形 圖 (tree diagram) 等, n n 先 培 養 學 生 這 種 數 的 方 法 與 技 巧, 才 轉 到 P r 及 C r 之 定 義 和 法 則 5 建 議 課 堂 活 動 : 幻 方 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 從 同 學 討 論 必 勝 方 法 中, 同 學 能 寫 出 相 方 對 壘 時 所 有 組 合 的 可 能 性, 從 而 研 究 排 列 與 組 合 的 關 係 兩 個 同 學 輪 流 在 九 格 紙 上 分 別 寫 上 1 至 9 九 個 數 目, 數 字 不 能 重 複, 最 快 能 使 橫 行 縱 列 或 斜 對 角 線 之 和 是 15 的 三 個 數 的 組 合 便 勝 4 5 Kenny, M. J. & Hirsch C. R. (1991). Discrete mathematics across the curriculum, K-1 (The 1991 NCTM Yearbook). Reston, Virginia: National Council of Teacher of Mathematics. 其 歷 史 故 事 可 在 不 少 文 獻 中 找 到, 亦 可 參 考 註 10 34

41 排 列 與 組 合 建 議 課 堂 活 動 : 數 一 數 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 從 活 動 中, 讓 同 學 明 白 火 柴 的 數 目 分 別 與 行 數 和 長 方 形 的 關 係, 從 而 建 立 排 列 組 合 的 概 念 同 學 數 一 數 下 列 的 圖 形 共 用 了 多 少 根 火 柴 和 有 多 少 個 長 方 形, 並 討 論 火 柴 的 數 目 分 別 與 行 數 和 長 方 形 的 關 係 相 關 網 站 : 1. e 的 引 入 排 列 與 組 合 35

42 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 16. 續 概 率 到 了 高 中 學 習 概 率, 應 已 脫 離 了 概 率 實 驗 而 正 式 轉 入 概 率 空 間 之 運 算 ( 所 謂 理 論 概 率 : 雖 然 我 們 不 必 提 及 概 率 空 間 之 名 稱 關 於 實 驗 概 率 與 理 論 概 率 之 分 別 與 關 係, 雖 非 本 課 題 之 範 圍, 但 小 心 不 要 墮 進 實 驗 次 數 越 多, 實 驗 概 率 6 會 趨 於 理 論 概 率 的 常 見 誤 解 例 如 圖 中 的 兩 顆 骰 子, 一 個 呈 正 方 體, 另 一 個 呈 長 方 體, 直 覺 上 認 為 後 者 較 前 者 偏 差, 但 其 實 很 難 證 明 這 點, 亦 很 難 算 出 偏 差 的 程 度 一 些 老 師 讓 40 多 名 學 生 各 自 擲 毫 得 出 P(H) = 0.6 之 類 便 說 若 有 時 間 多 擲 一 點 即 令 其 趨 近 0.5 就 是 犯 了 這 個 毛 病 ( 況 且 這 個 擲 40 多 個 毫 而 不 重 覆 擲 一 個 毫 ) 首 先, 一 些 概 率 根 本 沒 有 所 謂 理 論 概 率 ( 當 然 這 句 有 語 病, 更 確 切 的 是 沒 有 公 認 的 理 論 概 率 ) 如 1969 年 版 ( The School Mathematics Project Book 5, Cambridge University Press) 第 五 冊 第 十 二 章 第 5 節 中 ( 頁 5) 便 指 出 實 驗 概 率 是 大 量 試 驗 後 的 總 結 它 並 不 準 確, 因 為 再 多 點 實 驗 會 輕 微 影 響 結 果, 雖 然 正 常 情 況 下 這 種 調 整 是 細 的 故 此 在 過 往 0 年, 生 男 之 機 會 十 6 蕭 文 強 黃 毅 英 (009) 實 驗 概 率 和 理 論 概 率 的 關 係 中 學 數 學 教 學 如 何 受 益 于 大 學 數 學 數 學 教 育 7 期 36

43 續 概 率 分 接 近 51.4%( 於 前 文 介 紹 了 英 國 於 1966 年 共 有 男 孩 及 女 孩 出 生 ), 但 於 上 世 紀 末, 其 概 率 為 51.1% 此 外 以 擲 毫 為 例, 我 們 不 應 亦 不 可 能 斷 定 其 得 到 正 面 的 概 率 是 二 分 之 一, 若 經 過 一 連 串 實 驗, 其 概 率 是 0.48, 就 是 0.48 了, 不 能 說 多 擲 點 就 會 變 成 0.5 假 定 P(H) = 0.5 只 是 一 種 約 定 俗 成, 也 之 所 以 叫 做 理 論 (a priori) 概 率 更 準 確 的 是 給 P(H) 指 派 為 0.5( 或 其 他 數 值 ) 完 全 沒 問 題 只 要 它 遵 守 概 率 空 間 的 公 設 就 可 以 了 即 概 率 乃 為 由 抽 樣 空 間 S 到 R 之 函 數, 對 於 S 中 每 一 事 件 A: 1. 0 P ( A) 1. P ( S) = 1 3. 若 A A = φ, i j, 則 i j P ( A1 A A3...) = P( A1 ) + P( A ) + P( A3 ) +... 其 實 統 計 學 上 共 有 兩 條 大 數 定 律 : 弱 大 數 定 律 和 強 大 數 定 律 和 我 們 有 較 密 切 關 係 的 是 弱 大 數 定 律 詳 情 在 附 錄 中 介 紹 在 高 中 階 段, 概 率 的 討 論 其 實 已 進 入 數 學 建 模 所 以 一 切 應 在 概 率 法 則 ( 所 謂 公 設 ) 的 層 面 上 操 作, 故 此, 由 實 際 處 境 中 引 出 ( 其 實 不 是 證 明 ) 幾 條 公 設 後, 便 應 依 照 這 些 法 則 運 作 利 用 集 合 符 號 不 只 是 為 了 方 便 的 緣 故, 更 是 與 學 習 相 輔 相 成 的 在 以 往 利 用 符 號 邏 輯 運 算 ( 所 謂 statement calculus) 介 紹 數 學 中 重 要 的 和 或 非 等 邏 輯 關 係 比 較 抽 離 乏 味, 而 以 方 程 或 不 等 式 之 解 集, 又 或 概 率 關 係 是 比 較 自 然 的 方 法 37

44 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 建 議 課 堂 活 動 : 相 同 生 日 活 動 目 標 : 學 生 在 計 算 概 率 過 程 中 明 白 互 補 事 件 的 應 用 活 動 內 容 : 老 師 就 班 內 同 學 作 一 生 日 日 期 的 統 計, 統 計 有 多 少 位 同 學 有 相 同 生 日 假 設 一 班 同 學 有 n 人, 然 後 計 算 那 麼 同 一 班 同 學 最 少 有 兩 個 人 同 一 天 生 日 的 概 率 P( 最 少 有 兩 個 人 同 一 天 生 日 ) = 1 P( 沒 有 人 同 一 天 生 日 ) = n n P(E) 相 關 網 站 : 1. 教 育 局 教 學 資 源 套 ( 照 顧 學 習 差 異 ) 教 學 討 論 ( 教 育 局 數 學 教 育 組 ) (a) (b) 0game.pdf 38

45 離 差 的 度 量 17. 離 差 的 度 量 一 些 老 師 可 能 比 較 集 中 留 意 各 統 計 量 之 計 算, 這 不 一 定 是 統 計 學 上 之 原 意, 反 而 各 統 計 量 之 適 用 性 及 詮 釋 更 為 重 要 例 如, 在 實 際 來 說, 計 算 連 續 分 佈 之 四 分 位 數 間 距 ( inter-quartile range), 利 用 累 積 頻 數 曲 線, 在 圖 像 上 畫 出 來 就 可 以 了, 不 必 太 準 確, 只 不 過 香 港 太 著 重 標 準 答 案 吧 了 比 如 三 種 常 用 的 集 中 趨 勢, 其 實 各 有 用 處 例 如 眾 數 ( mode) 不 一 定 少 用 比 如 報 告 幾 個 候 選 人 ( 或 明 星 ) 之 支 持 度, 眾 數 就 最 直 接 至 於 中 位 數, 除 了 避 開 了 極 端 數 據 外, 不 少 常 用 的 事 件 如 公 屋 住 戶 的 租 金 訂 定 是 根 據 公 屋 住 戶 的 入 息 比 例 中 位 數 政 府 統 計 處 每 五 年 公 佈 香 港 人 入 息 中 位 數 等 都 會 利 用 到 中 位 數 的 與 此 相 連 的, 分 佈 域 (range) 四 分 位 數 間 距 (inter-quartile range) 及 標 準 差 亦 各 有 運 用 的 場 合 理 論 上, 連 續 分 佈 的 分 佈 域 沒 有 多 大 意 義, 因 為 它 的 分 佈 域 就 是 (, )! 但 對 於 不 少 實 際 問 題, 分 佈 域 就 常 常 會 用 得, 例 如 在 一 項 對 年 青 人 進 行 的 調 查 中, 說 明 如 受 訪 者 年 齡 的 分 佈 域 是 13 至 18 歲, 就 很 常 見 且 甚 有 意 義 了 同 理, 在 教 一 班 學 生 前, 知 道 這 班 青 年 的 成 績 為 分 就 提 供 了 重 要 的 資 料 四 分 位 數 間 距 是 中 位 之 延 伸, 故 此 其 作 用 亦 是 排 除 了 極 端 的 數 據 當 然 標 準 差 是 最 常 用 了, 因 為 它 可 以 用 代 數 式 ( 或 用 計 數 機 電 腦 ) 機 械 地 計 算 出 來, 且 每 個 數 據 都 動 用 了, 亦 有 圖 像 上 的 意 義, 即 各 數 據 與 平 均 值 距 離 平 方 之 總 和 ( 再 除 以 數 據 總 數 N) 的 平 方 根 至 於 為 何 用 N 而 非 N 當 然 39

46 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 是 為 了 統 計 上 的 意 義, 使 之 成 為 無 偏 估 量 (unbiased estimate) 在 計 算 方 面, 如 課 程 中 說, 可 分 開 分 組 數 據 (grouped data) 及 不 分 組 數 據 (ungrouped data) 的 不 同 處 理 方 法 非 基 礎 部 分 有 涉 及 將 數 據 組 移 動 後, 這 些 統 計 量 之 變 化 這 當 然 有 其 實 際 用 途, 例 如 我 們 派 了 數 個 資 料 搜 隻 員 得 出 了 不 同 樣 本 的 平 均 和 標 準 差, 如 何 可 將 之 計 算 出 合 起 來 (pooled) 的 平 均 和 標 準 差 與 此 同 時, 亦 可 以 幾 何 變 換 去 看 待 這 個 問 題, 例 如 加 入 常 數 乃 為 平 移, 乘 以 非 單 位 常 數 則 為 放 大 / 縮 小 ( enlargement / contraction) 這 亦 可 看 成 為 單 位 的 轉 變 ( 例 如 以 cm 為 單 位, 平 均 值 為 35cm, 若 換 以 m 為 單 位, 平 均 值 為 3.5m, 至 為 明 顯!) 建 議 課 堂 活 動 : 評 判 團 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 學 生 能 找 到 體 操 比 賽 中 剔 除 評 判 團 中 給 出 最 高 和 最 低 分 的 原 因 和 剔 除 分 數 的 數 目 準 則, 從 而 引 入 四 分 位 數 和 標 準 差 的 概 念 讓 學 生 討 論 在 體 操 比 賽 中 剔 除 評 判 團 中 給 出 最 高 和 最 低 分 的 原 因 和 剔 除 分 數 的 數 目 準 則 40

47 統 計 之 應 用 與 誤 用 18. 統 計 之 應 用 與 誤 用 當 然,The Use and Abuse of Statistics 及 How to Lie with Statistics 7 為 必 不 可 錯 過 之 讀 物, 這 個 課 題 最 好 配 合 專 題 研 習 去 學 習 統 計 習 作 亦 可 分 階 段 進 行, 以 避 免 混 亂 香 港 統 計 習 作 比 賽 早 期 要 求 參 賽 者 只 分 析 / 表 述 已 發 表 ( 現 成 ) 的 數 據, 雖 然 8 不 涉 及 數 據 搜 集, 但 亦 大 有 可 為 而 這 些 統 計 習 作 最 好 由 小 做 起 ; 例 如 初 中 的 習 作 只 運 用 現 成 數 據, 而 高 中 則 擴 展 到 自 行 搜 集 數 據 等 至 於 統 計 之 誤 用, 對 現 成 的 報 章 雜 誌 及 各 種 報 告 進 行 分 析 最 實 際, 且 能 令 學 生 覺 得 有 實 質 之 需 要 ( 誤 導 就 在 你 身 邊!) 不 過 可 注 意 的 是, 有 一 種 誤 用 其 實 是 一 種 誤 導, 例 如 圖 中 用 視 覺 ( 縱 軸 不 以 0 為 起 點, 即 所 謂 off origin design ) 誇 大 了 Y 的 銷 量, 但 這 個 圖 基 本 上 是 準 確 的, 只 是 利 用 了 視 覺 效 果, 精 明 的 讀 者 仍 可 由 此 得 出 準 確 的 數 據 - 這 亦 正 正 是 這 課 的 一 個 重 要 目 的, 讓 學 生 變 成 精 明 統 計 圖 表 / 報 告 的 解 讀 者! 7 8 P.H. Cheung, K. Lam, M.K. Siu, & N.Y. Wong (1986). An appraisal of the teaching of statistics in secondary school of Hong Kong. Paper presented at the nd International Conference on the Teaching of Statistics. Victoria, Canada. 黃 毅 英 (199) 習 作 在 統 計 教 學 上 的 效 能 學 校 數 學 通 訊 11 期,11-1 黃 毅 英 (1993) 統 計 圖 表 誤 用 學 校 數 學 通 訊 1 期,1-4 41

48 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 銷 量 數 學 測 驗 成 績 各 等 級 之 分 佈 1000 X Y Z 5% 30% 9% 6% 11% 19% F A B C D E 各 牌 子 之 飲 品 其 他 如 常 見 的 橢 圓 形 圓 形 圖 ( pie chart) 的 情 況 也 類 似 圖 中 C D E 的 人 數 其 實 相 約, 但 視 覺 上 好 像 D 比 C E 多 得 多, 而 其 實 沒 有 用 橢 圓 形 的 必 要 某 報 章 根 據 1995 年 各 間 巴 士 公 司 的 營 運 數 據 如 下 : 中 巴 九 巴 城 巴 車 隊 平 均 車 齡 * 13 年 8.1 年 5.6 年 班 次 失 誤 比 率 * 5.65% 4.90% 3.80% 巴 士 意 外 數 目 ( 以 每 百 萬 公 里 計 算 ) 3.36 宗 3.61 宗 3.8 宗 交 通 投 訴 組 年 度 接 獲 的 投 訴 數 目 934 宗 191 宗 434 宗 * 中 巴 居 首 位 項 目 除 了 是 統 計 圖 表 的 表 達 方 法 可 誤 用 外, 表 達 數 據 的 方 法 亦 可 製 造 誤 會, 上 表 中 便 是 最 佳 例 子 在 表 中, 中 巴 車 隊 的 平 均 車 齡 與 班 次 失 誤 比 率 被 刻 意 地 加 上 記 號, 容 易 令 讀 者 覺 得 眾 多 巴 士 公 司 的 服 務 中 以 中 巴 最 差, 使 讀 者 聯 想 到 中 巴 的 車 齡 高, 故 班 次 失 誤 比 率 自 然 高, 但 想 深 一 層 兩 者 似 乎 沒 有 必 然 關 係 其 次, 是 九 巴 接 獲 的 投 訴 數 目 最 多, 原 因 不 一 定 4

49 統 計 之 應 用 與 誤 用 是 九 巴 的 服 務 質 素 差, 可 能 是 九 巴 的 車 隊 之 數 目 在 三 間 公 司 中 最 龐 大, 故 被 投 訴 的 機 會 也 隨 之 而 增 加 那 麼 如 實 報 數 都 是 一 種 統 計 誤 用 嗎? 當 然 不 是 這 個 意 思, 我 們 是 希 望 學 生 在 學 習 閱 讀 和 分 析 數 據 時 不 要 純 綷 考 慮 數 據 的 表 徵 而 作 草 率 的 結 論 又 例 如 不 少 活 動 均 有 意 見 調 查, 例 如 攤 位 遊 戲 請 玩 過 的 評 分, 但 這 種 取 樣 沒 有 問 沒 有 去 玩 的 有 一 個 可 能 是 一 些 參 加 者 見 遊 戲 不 好 玩, 根 本 不 去 玩, 就 更 不 要 說 收 到 他 的 評 分 了 此 外, 一 些 問 卷 亦 有 引 導 性, 以 下 便 是 一 些 例 子 同 意 不 同 意 請 說 明 原 因 : 填 答 者 會 因 不 耐 煩 寫 原 因 而 傾 向 回 答 同 意 極 同 意 頗 同 意 同 意 不 同 意 同 意 的 佔 三 格, 不 同 意 的 佔 一 格 請 問 今 次 講 座 中 需 改 善 的 地 方 佈 置 講 者 衣 著 燈 光 效 果 但 可 能 最 大 問 題 在 於 內 容! 除 了 問 題 有 否 引 導 性 被 訪 者 會 否 說 真 話 及 樣 本 是 否 足 夠 大 外, 我 們 還 可 考 慮 1. 用 什 麼 方 式 進 行 調 查 如 用 家 用 電 話 涵 蓋 有 多 全 面?. 如 用 街 頭 訪 問, 在 那 一 區? 訪 問 員 會 否 刻 意 避 用 某 一 類 人 ( 如 貌 似 凶 神 惡 煞 者 )? 3. 是 否 會 有 一 類 人 總 是 拒 絕 受 訪 ( 如 掛 線 )? 43

50 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 再 舉 個 生 活 例 子 下 表 是 某 兩 牌 子 的 米 的 營 養 成 份 白 米 含 鈉 (Sodium) 量 是 100 g 有 0.7 mg, 紅 米 含 鈉 量 是 100 g 有 1.6 mg 紅 米 的 含 鈉 量 是 白 米 的 兩 倍 多, 雖 然 紅 米 看 似 較 不 健 康, 但 事 實 上 是 無 關 緊 要 的 營 養 成 分 紅 米 白 米 熱 量 (kcal) 蛋 白 質 (g) 脂 肪 總 量 (g) 0.1 飽 和 脂 肪 (g) 1. 0 膽 固 醇 (mg) 1 < 1 碳 水 化 合 物 (g) 糖 (g) 0.5 < 0.5 膳 食 纖 維 (g) 鈉 (mg) 鈣 (mg) 數 據 以 每 100g 表 示 在 樣 本 (sample) 劃 分 的 方 法 抽 取 樣 本 的 數 目 和 樣 本 的 特 性 每 一 項 目 均 有 可 能 產 生 誤 導, 甚 至 是 自 己 對 數 據 背 景 的 了 解 不 足 所 產 生, 故 多 討 論 有 關 問 題 絶 對 是 了 解 統 計 之 運 用 與 誤 用 的 不 二 法 門 44

51 統 計 之 應 用 與 誤 用 建 議 課 堂 活 動 : 設 計 電 腦 鍵 盤 上 的 字 母 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 透 過 活 動 引 入 相 關 的 統 計 學 概 念, 讓 學 生 知 道 日 常 生 活 中 應 用 統 計 學 的 例 子 讓 學 生 重 新 設 計 電 腦 鍵 盤 上 字 母 的 位 置, 希 望 同 學 在 設 計 時 能 引 入 考 慮 字 母 在 一 篇 文 章 中 出 現 的 頻 率 相 對 頻 率 的 統 計 學 概 念 建 議 課 堂 活 動 : 剪 報 活 動 目 標 : 活 動 內 容 : 讓 學 生 知 道 在 日 常 生 活 中 利 用 統 計 圖 表 的 不 同 例 子 讓 學 生 從 各 報 章 中 尋 找 不 同 的 統 計 圖 表, 並 討 論 利 用 該 圖 表 的 優 缺 點 建 議 課 堂 活 動 : 問 卷 調 查 設 計 活 動 目 標 : 在 設 計 問 卷 過 程 中, 讓 學 生 明 白 了 解 調 查 目 標 的 重 要 性 活 動 內 容 : 分 組 設 計 問 卷 調 查, 由 其 他 組 評 論 相 關 網 站 : 統 計 學 軟 件 統 計 學 的 用 處 ex.html 45

52 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 結 論 : 課 程 教 師 與 專 業 化 從 事 教 師 教 育 以 來, 在 不 同 場 合 中 不 斷 收 到 甚 麼 是 現 時 最 新 教 學 法 的 提 問 自 然, 隨 着 社 會 之 轉 型, 學 校 任 務 的 轉 變, 學 生 群 體 的 不 同 ( 如 面 向 全 民 ) 以 及 我 們 對 學 生 學 習 過 程 認 識 之 加 深, 教 學 策 略 可 能 有 所 調 整 但 是 我 們 可 以 反 過 來 想, 幾 千 年 來, 人 類 的 學 習 模 式 和 過 程, 究 竟 有 否 根 本 上 的 不 同 呢? 難 怪 J. Barzun 早 在 1955 新 聞 周 刊 1 月 號 中 曾 這 樣 說 教 學 不 是 一 個 遺 失 了 的 藝 術,( 只 不 過 ) 對 它 的 重 視 是 一 個 失 去 了 的 傳 統 當 年 ( 又 過 了 15 載!) 引 用 9 Barzun 之 言 時, 作 者 們 便 指 出 這 話 雖 道 於 三 十 多 年 前, 但 其 依 舊 鏗 鏘 有 聲 ( 甚 或 更 響 亮!)( 頁 3) 1999 年 教 改 以 一 句 世 界 變 了 揭 開 序 幕, 之 後 各 種 新 猷 ( 及 其 相 關 之 字 母 縮 寫 ) 可 謂 令 人 目 迷 五 色 單 就 新 高 中 數 學 課 程 中, 除 了 數 學 內 容 本 身 的 編 排 外, 就 同 時 提 出 校 本 評 估 促 進 學 習 的 評 估 (assessment for learning) 及 不 同 的 教 學 等 一 連 串 觀 念 不 是 說 這 些 提 法 不 對, 也 許 我 們 應 該 在 眾 多 口 號 之 上 重 新 掌 握 問 題 的 實 質, 在 眾 多 變 革 中 抓 緊 30 不 變 的 道 理, 難 怪 蕭 文 強 教 授 在 一 本 書 的 序 文 中 提 出 9 30 Siu, F.K., Siu, M.K, & Wong, N.Y. (1993). Changing times in mathematics education: The need of a scholar-teacher. In C.C. Lam, H.W. Wong, & Y.W. Fung (Eds.), Proceedings of the International Symposium on Curriculum Changes for Chinese Communities in Southeast Asia: Challenges of the 1st Century, 3-6. 鄧 國 俊 黃 毅 英 霍 秉 坤 顏 明 仁 黃 家 樂 (006) 香 港 近 半 世 紀 漫 漫 小 學 數 教 路 : 現 代 化 本 土 化 普 及 化 規 範 化 與 專 業 化 香 港 : 香 港 數 學 教 育 學 會 46

53 結 論 : 課 程 教 師 與 專 業 化 timeliness 31 及 timelessness 的 一 對 觀 念, 大 有 反 璞 歸 真 的 意 味 當 然, 我 們 可 以 說 教 師 不 是 教 學 的 全 部, 甚 至 近 人 刻 意 將 教 與 學 倒 過 來 說 學 與 教, 強 調 學 生 才 是 學 習 的 主 體 ( 所 謂 ownership) 然 而, 在 現 時 ( 及 可 見 未 來 ) 的 體 制 中, 我 們 仍 是 需 要 教 師 去 實 施 課 程 要 教 師 去 推 行 教 改 我 們 說 給 學 生 多 點 ownership 3, 我 們 同 樣 也 要 讓 教 師 在 課 程 實 施 上 ( 實 還 應 包 括 課 程 的 製 訂 過 程 ) 多 點 ownership 故 此, 在 課 程 文 件 中 闡 述 教 學 法 是 不 尋 常 亦 未 必 是 好 事 給 人 中 央 規 範 教 學 33 的 聯 想 鄭 毓 信 一 文 便 對 中 國 內 地 大 綱 卡 教 材 教 材 卡 34 教 師 教 師 卡 學 生 的 現 象 有 所 批 評, 有 樣 板 化 之 嫌 35 當 時 在 提 出 學 養 教 師 的 想 法 時, 作 者 們 便 指 出 學 養 教 師 看 似 一 種 烏 托 邦, 但 我 們 要 嘗 試 其 他 辦 法 嗎? 我 們 仍 是 需 要 一 個 學 養 教 師 的 族 群 去 啟 導 新 的 嘗 試 ( 頁 5) Stigler 和 Hiebert 36 關 於 專 業 化 的 再 定 義 一 再 印 證 了 這 個 想 法, 他 們 提 出 教 師 必 須 是 解 答 的 核 心 ( teacher must be the heart of the 37 solution) ( 頁 174) 在 探 討 變 式 課 程 時, 作 者 們 更 明 確 地 說 蕭 教 授 在 序 文 中 表 明 刻 意 不 強 行 中 譯, 因 難 以 準 確 地 譯 出 可 勉 強 的 譯 作 通 時 及 不 受 時 間 影 響 同 樣 地,ownership 不 好 譯 一 般 譯 作 擁 有 感, 但 其 實 這 不 已 是 一 種 感 覺, 而 是 有 實 質 的 影 響 力 鄭 毓 信 (00) 文 化 視 角 下 的 中 國 教 育 課 程 教 材 教 法 005 年 第 10 期,49-51 又 見 黃 毅 英 (007) 從 華 人 學 習 者 現 象 到 香 港 學 習 者 現 象 兩 岸 四 地 教 學 理 論 研 討 會 香 港 5-6/5 見 註 8 Stigler, J., & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world s teachers for improving education in the classroom. New York: Free Press. 黃 毅 英 林 智 中 孫 旭 花 (006) 變 式 教 學 課 程 設 計 原 理 : 數 學 課 程 改 革 的 可 能 出 路 香 港 : 香 港 中 文 大 學 教 育 學 院 香 港 教 育 研 究 所 47

54 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 明 變 式 課 程 並 非 一 個 範 本, 這 畢 竟 是 一 個 課 程 設 計, 它 和 許 多 課 程 設 計 一 樣, 還 需 要 教 師 以 其 專 業 知 識, 按 照 學 生 和 各 種 實 際 情 況 調 節, 因 時 制 宜, 靈 活 調 動 ( 頁 7) 而 事 實 上, 我 們 實 不 可 能 透 過 兩 三 份 中 央 課 程 文 件 去 處 理 萬 別 千 差 的 課 堂 教 學 變 式 教 學 的 實 踐 恰 恰 說 明, 教 師 必 須 掌 握 為 何 變 如 何 變 又 何 時 不 變 以 變 凸 顯 之 不 變 等 等, 臨 場 去 調 節 才 能 達 致 有 效 的 教 學 縱 然 教 師 之 外 還 有 課 程 學 校 系 統 學 生 等, 他 顯 然 在 教 學 過 程 ( 乃 至 課 改 中 ) 仍 有 重 要 的 地 位, 而 其 中 的 決 定 性 因 素 是 其 學 養 ( 功 力 ) 這 種 功 力 包 括 多 方 面 關 於 學 38 養 教 師 的 一 篇 文 章 便 提 出 學 養 教 師 應 對 數 學 教 育 及 學 生 性 向 去 均 能 掌 握 ( 頁 54) 當 然, 也 包 括 對 校 本 評 估 課 程 評 準 化 進 步 主 義 等 等 教 育 理 念 的 底 蘊 有 所 認 識 和 批 判 在 協 助 學 生 數 學 化 的 過 程 中, 對 數 學 和 教 育 的 認 識 同 樣 重 要 而 教 師 正 正 就 是 要 為 學 生 搭 建 一 條 由 ( 學 生 ) 現 實 世 39 界 到 數 學 世 界 的 這 麼 一 條 數 學 化 之 路 教 師 的 數 學 學 科 知 識, 當 然 並 不 是 功 力 的 全 部, 教 師 對 課 程 中 數 學 內 容 的 通 達 不 等 於 就 有 好 的 教 學, 本 文 的 分 析 其 實 正 正 希 望 嘗 試 超 越 這 點 本 文 希 望 對 每 個 課 題 中 的 來 龍 去 脈 整 體 知 識 結 構 與 及 背 後 的 數 學 原 理 作 出 分 析, 希 望 藉 此, 不 只 能 熟, 亦 做 到 通 這 樣 教 學 才 能 突 出 關 係 性 知 識 數 學 問 題 解 決 ( 作 為 數 學 教 育 的 主 要 部 分 ) 也 能 40 得 心 應 手 觸 類 旁 通 陳 鳳 潔 黃 毅 英 蕭 文 強 (1994) 教 ( 學 ) 無 止 境 : 數 學 學 養 教 師 的 成 長 載 林 智 中 韓 考 述 何 萬 貫 文 綺 芬 施 敏 文 ( 編 ) 香 港 課 程 改 革 : 新 時 代 的 需 要 研 討 會 論 文 集 ( 頁 53-56) 香 港 : 香 港 中 文 大 學 課 程 與 教 學 學 系 見 註 7 韓 繼 偉 林 智 中 黃 毅 英 馬 雲 鵬 (008) 西 方 國 家 教 師 知 識 研 究 與 啟 48

55 結 論 : 課 程 教 師 與 專 業 化 一 些 老 師 驟 眼 以 為 這 種 具 數 學 味 道 的 教 學 十 分 高 檔, 難 教 難 學 然 而 在 一 個 方 面, 以 SSS 表 示 三 角 形 的 三 邊 決 定 了 全 個 三 角 形 為 例, 如 果 不 認 識 這 點, 學 SSS 除 了 做 一 大 堆 數 學 題, 求 未 知 的 邊 與 角 外, 還 有 什 麼 意 義 呢? 這 些 數 學 題 很 可 能 在 大 部 分 學 生 考 過 試 後 拋 諸 腦 後, 離 開 學 校 時 留 41 下 一 個 名 為 數 學 的 噩 夢 之 深 刻 印 象 另 一 方 面, 有 了 SSS 後 有 全 等 三 角 形 的 對 應 角, 不 講 上 述 事 情 還 在 說 些 什 麼 呢? 4 本 文 所 舉 出 的 教 學 示 例 只 是 略 舉 一 偶, 筆 者 等 絶 非 以 之 為 最 佳 的 活 動, 更 不 願 見 到 它 們 變 成 大 眾 必 用 之 樣 板 事 實 上, 每 課 的 相 關 活 動 仍 多 不 勝 枚 舉, 有 賴 大 眾 繼 續 探 索 在 探 討 過 往 半 世 紀 香 港 小 學 數 學 課 程 的 發 展 時, 我 們 發 現, 當 年 (1983 年 版 本 ) 課 程 綱 要 中 列 舉 的 教 學 建 議,( 起 碼 在 其 程 度 上 如 是 ) 並 非 課 程 製 訂 者 躲 在 辦 公 室 拓 造 的, 而 是 經 年 累 月, 經 教 師 教 育 及 研 習 班 等 試 驗 之 總 結 課 程 發 展 細 43 水 長 流 的 原 意 至 為 明 顯 這 當 然 是 一 個 互 動 過 程, 而 本 文 還 有 不 足 之 處 的 是 所 提 44 供 的 活 動 仍 未 經 廣 泛 的 實 踐, 故 此 第 三 份 香 港 數 學 教 育 另 類 報 告 45 中 提 出 了 學 養 教 師 自 強 運 動, 而 現 時 亦 流 行 說 學 習 社 群 課 程 少 點 規 範 之 同 時, 教 師 隊 伍 亦 應 自 強 不 示 教 育 研 究 336 期 88-9 註 8, 頁 3 見 註 7 見 註 9 有 關 實 踐 理 念 見 黃 毅 英 (1998) 數 學 教 育 實 地 觀 察 香 港 : 香 港 數 學 教 育 學 會 頁 47 黃 毅 英 (004) 第 三 份 香 港 數 學 教 育 另 類 報 告 天 翻 地 覆 教 改 話 滄 桑 載 鄧 幹 明 黃 家 樂 李 文 生 莫 雅 慈 ( 編 ) 香 港 數 學 教 育 研 討 會 004 論 文 集 頁 8-9 香 港 : 香 港 大 學 教 育 學 院 及 香 港 數 教 育 學 會 49

56 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 息, 集 體 地 提 升 功 力 筆 者 的 一 點 卑 微 願 望 就 是 藉 本 文 提 供 一 個 教 師 專 業 化 的 引 發 點 最 後 得 魚 忘 栓, 本 文 最 終 可 以 束 之 高 閣, 乃 是 我 們 所 樂 見 的 與 此 同 時, 學 生 常 常 問 學 這 些 東 西 有 什 麼 用, 其 實 這 提 問 的 背 後 不 只 是 要 知 道 數 學 在 日 常 生 活 或 其 他 學 科 的 用 途, 除 了 蘊 含 了 不 明 白 這 一 課 究 竟 是 講 些 什 麼 外 ( 一 般 來 說, 若 教 得 很 順, 聽 得 明 白, 學 生 就 不 會 有 這 麼 一 問 ), 也 會 包 括 某 一 數 學 技 巧 在 數 學 內 部 的 用 途, 就 是 這 技 巧 能 協 助 我 們 解 決 一 些 先 前 無 法 解 決 的 問 題, 例 如 直 角 三 角 形 已 知 兩 條 短 邊 的 長 度, 斜 邊 的 長 度 理 應 定 了, 透 過 畢 氏 定 理 就 可 找 出 來 了 ( 解 決 先 前 無 法 找 出 的 答 案 畢 氏 定 理 有 用!) 利 用 三 角 比, 角 也 可 找 出 來 ( 故 學 三 角 比 有 用 ) 推 而 廣 之, 透 過 正 弦 / 餘 弦 公 式 可 解 任 意 三 角 形, 這 些 在 需 要 老 師 打 通 整 個 課 題 以 至 課 題 間 之 來 龍 去 脈, 這 也 是 本 文 的 一 個 主 旨 除 了 數 學 理 念 的 通, 還 要 對 問 題 解 決 的 通 ( 所 以 數 學 老 師 其 實 應 該 經 常 找 些 數 學 題 自 己 作 練 習 - 要 讓 學 生 成 為 有 能 力 的 問 題 解 決 者, 老 師 自 己 必 先 成 為 熱 愛 和 有 能 力 的 問 題 解 決 者!) 例 如 學 生 不 只 知 道 要 記 得 公 式 和 技 巧, 更 須 讓 他 們 知 道 每 條 公 式 的 作 用 和 如 何 透 過 蛛 絲 馬 跡 知 道 要 動 用 某 條 公 式 例 如 a b = ( a b)( a + b) 是 因 式 分 解 ( a b)( a + b) = a b 是 展 開 ( 所 謂 拆 括 號 ), 畢 氏 定 理 在 直 角 三 角 形 的 情 況 下, 知 兩 邊 邊 長 可 找 出 餘 下 的 邊 長 三 角 形 內 角 和 ; 知 二 角 求 餘 下 第 三 角 餘 弦 公 式 是 畢 氏 定 理 的 推 廣 加 上 正 弦 公 式 即 可 解 任 何 ( 已 決 定 ) 之 三 角 形 sin θ + cos θ = 1 是 由 畢 氏 定 理 推 導 ( 故 此 造 型 很 相 似 而 它 可 以 由 sinθ 轉 成 cos θ (sin θ = 1 cos θ ), 或 反 是 (cos θ = 1 sin θ ) ( 但 若 不 涉 及 平 方 這 種 轉 換 便 有 點 不 智 ) 除 了 讓 學 生 了 解 每 一 50

57 結 論 : 課 程 教 師 與 專 業 化 道 公 式 的 作 用 外, 還 要 讓 他 們 對 一 些 形 態 (form) 有 所 敏 感, 例 如 a ab + b y, 一 看 而 知 是 A B 的 形 態 ( m + m + 1) + 6( m + m + 1)( m + 1) + 9( m + 1) 是 A + AB + B 的 形 1 1+ sinθ 態 若 要 簡 化, 會 把 cos θ 轉 成 sin θ 而 非 sin θ 轉 成 sinθ cos θ 1+ sinθ cos θ, 而 且 一 望 而 知, 分 子 分 母 ( 在 把 cos θ 轉 成 sin θ 後 ) cos θ 將 可 約 簡 這 些 遠 超 於 抽 出 關 鍵 詞 ( 如 見 到 共 就 用 加 法 ) 等 非 數 學 化 的 問 題 解 決 技 巧, 更 不 應 以 題 型 對 號 入 座 了 事 這 種 敏 感 度 是 學 生 能 把 注 意 力 集 中 在 問 題 解 決 的 關 鍵 上 ( 所 謂 focal point ) 這 種 能 力 對 將 來 就 算 不 從 事 數 學 工 作 的 人 也 是 有 幫 助 的 要 達 到 這 點 老 師 本 身 也 需 要 先 有 這 種 功 底 就 是 說 教 師 要 由 知 識 傳 遞 者 到 學 習 提 供 者 的 範 式 轉 移, 老 師 的 地 位 更 形 重 要! 51

58 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 其 他 相 關 網 站 1. 新 高 中 數 學 課 程 綱 要 新 高 中 數 學 科 課 程 詮 釋 3. 教 育 局 數 學 教 學 資 源 套 4. Algebra Net 5. 香 港 教 育 城 6. 香 港 教 育 圖 書 公 司 7. 數 學 漫 畫 8. 文 達 出 版 ( 香 港 ) 有 限 公 司 9. 興 倫 電 子 學 習 5

59 其 他 相 關 網 站 10. 朗 文 中 學 數 學 網 頁 教 師 電 視 1. 數 裡 天 地 數 學 趣 題 (a) games%0and%0puzzles.pdf (b) PowerPoint Presentation Packages (CUHK) 數 學 教 學 參 考 資 料 Dave's Math Tables Manipula Math with JAVA 數 學 資 料 庫 53

60 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 19. 網 上 練 習 0. 梁 子 傑 網 上 文 集 1. 幾 何 數 學 家 的 故 事 3. 計 算 機 程 式 (a) (b) 4. 教 學 範 例 5. 有 趣 的 計 算 機 54

61 參 考 書 目 參 考 書 目 [1] Peressini, A., Usiskin, Z., Marchisotto, E.A. & Standley, D. (003). Mathematics for high school teachers: An advanced perspective. Upper Saddle River, N.J.: Pearson Education. 此 書 可 讓 讀 者 廣 泛 地 了 解 在 教 授 數 學 過 程 中 所 牽 涉 的 重 要 概 念, 當 中 包 括 實 數 函 數 全 等 相 似 面 積 和 體 積 三 角 學 等 這 是 一 本 我 期 待 已 久 的 數 學 教 師 用 書! [] Stein, S. K. (1996). Strength in Numbers. New York: John Wiley & Sons, Inc. 葉 偉 文 ( 譯 )( 1999) 幹 嘛 學 數 學? 台 北 : 天 下 文 化 對 數 學 基 本 概 念 有 啟 迪 性 的 介 紹 [3] Posamentier, A. S. & Hauptman, H. A. (006) great ideas for introducing key concepts in mathematics ( nd edition). Thousand Oaks, California: Corwin Press. [4] Posamentier, A. S. (003). Math wonders to inspire teachers and students. Alexandria, Virginia: Association for Supervision and Curriculum Development [3] 和 [4] 提 供 大 量 有 關 教 授 數 學 的 技 巧 雖 然 部 分 方 法 未 必 適 用 於 香 港, 但 亦 可 為 老 師 提 供 很 多 有 用 的 教 材 [5] Lambourne, R. & Tinker, M. (000). Basic mathematics for the physical sciences. New York: John Wiley & Sons, Ltd. 對 於 高 中 學 生 來 說, 這 是 一 本 很 不 錯 的 數 學 教 科 書 55

62 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 [6] 木 棉 (006) 睡 夢 中, 學 三 角 台 北 : 天 下 文 化 這 本 書 是 專 為 不 想 死 背 三 角 公 式 的 學 生 而 寫 的, 它 以 生 動 有 趣 的 方 式, 透 過 書 中 人 物 的 對 ( 夢 ) 話, 幫 助 學 生 熟 習 三 角 函 數 的 運 算 法 則, 培 養 他 們 運 用 靈 活 的 策 略 來 解 三 角 問 題 [7] Huff, D. (1973). How to lie with statistics. Harmondsworth: Penguin Books. 鄭 惟 厚 ( 譯 )(005) 別 讓 統 計 數 字 騙 了 你 台 北 : 天 下 文 化 [8] Jones, G. E. (000). How to lie with charts. San Jose: Authers Choice Press. 葉 偉 文 ( 譯 )( 005) 別 讓 統 計 圖 表 唬 弄 你 台 北 : 天 下 文 化 面 對 各 式 各 樣 的 統 計 數 字 時, 要 洞 悉 個 中 玄 機, 揭 穿 各 種 統 計 騙 術? 讀 一 讀 [7] 和 [8], 他 們 道 出 了 統 計 騙 術 的 重 點, 讓 你 不 再 上 當 受 騙 [9] Moore, D. S. (000). The basic practice of statistics (3 rd edition). New York: W.H. Freeman and Co. [10] Crawshaw, J. & Chambers, J. (001). A concise course in advanced level statistics with worked examples (4 th edition). Cheltenham: Nelson Thornes Limited. [9] 和 [10] 是 兩 本 統 計 學 入 門 常 用 和 寫 得 精 采 的 教 科 書 56

63 參 考 書 目 [11] Niven, I. M. (1965). Mathematics of choice: Or, how to count without counting (New Mathematical Library). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. 對 於 學 習 排 列 與 組 合, 這 是 其 中 一 本 不 可 錯 過 的 好 書 它 的 內 容 扼 要 精 簡, 一 針 見 血, 課 題 排 序 邏 輯 性 高 且 有 說 服 力 [1] Bolts, B. & Hobbs, D. (1989). 101 mathematical projects. Cambridge: Cambridge University Press. 蔡 信 行 ( 譯 )(1996) 數 學 樂 園 觸 類 旁 通 台 北 : 牛 頓 出 版 社 簡 體 字 版 : 浙 江 科 技 出 版 社,1998 [13] Bolts, B. (198). Mathematical activities. Cambridge: Cambridge University Press. 林 傑 斌 ( 譯 )(1995) 數 學 樂 園 茅 塞 頓 開 台 北 : 牛 頓 出 版 社 簡 體 字 版 : 浙 江 科 技 出 版 社,1998 [14] Bolts, B. (1985). More mathematical activities. Cambridge: Cambridge University Press. 黃 啟 明 ( 譯 )(1995) 數 學 樂 園 老 謀 深 算 台 北 : 牛 頓 出 版 社 簡 體 字 版 : 浙 江 科 技 出 版 社,1998 [15] Bolts, B. (1987). Even more mathematical activities. Cambridge: Cambridge University Press. 林 傑 斌 ( 譯 )(1996) 數 學 樂 園 趣 味 盎 然 台 北 : 牛 頓 出 版 社 簡 體 字 版 : 浙 江 科 技 出 版 社,

64 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 [16] Bolts, B. (1989). Mathematical funfair. Cambridge: Cambridge University Press. 王 榮 輝 ( 譯 )( 1996) 數 學 樂 園 舉 一 反 三 台 北 : 牛 頓 出 版 社 簡 體 字 版 : 浙 江 科 技 出 版 社,1998 [1]-[16] 是 英 國 數 學 家 專 為 改 革 傳 統 的 數 學 教 學 而 精 心 編 寫 的 全 書 注 重 問 題 的 分 析 數 學 本 質 和 方 法 的 掌 握, 想 像 力 與 創 意 思 維 的 培 養 ; 沒 有 繁 瑣 的 計 算, 冗 長 的 推 導 各 類 數 學 問 題 以 謎 題 遊 戲 趣 味 題 小 課 題 等 形 式 穿 插 於 書 中 藉 着 難 題 的 巧 問 妙 答, 深 入 的 分 析 和 精 闢 的 討 論, 激 發 學 生 的 興 趣, 並 鼓 勵 學 生 運 用 數 學, 探 索 奇 妙 的 數 學 世 界 [17] Cundy, H. M., & Rollett, A. P. (1961). Mathematical models. Oxford: Oxford University Press. 這 是 關 於 數 學 立 體 模 型 及 相 關 活 動 的 經 典 著 作 [18] 王 元 等 ( 編 )(1984) 華 羅 庚 科 普 著 作 選 集 上 海 : 上 海 教 育 出 版 社 華 羅 庚 是 近 代 中 國 數 學 的 泰 山 北 斗, 他 用 心 為 普 羅 大 眾 寫 的 科 普 作 品, 思 想 深 刻 數 理 精 到, 自 然 是 我 們 所 不 容 錯 過 的! [19] 蔡 凌 志 ( 編 )(00) 數 學 大 師 講 數 學 系 列 ( 共 十 八 冊 ) 香 港 : 智 能 教 育 這 十 八 本 名 著, 都 是 出 自 數 學 大 師 的 手 筆, 說 理 精 闢 之 餘, 又 能 深 入 淺 出, 近 代 數 學 的 重 要 課 題, 在 大 師 們 的 悉 心 安 排 下, 娓 娓 道 來, 令 人 在 數 學 天 地 中, 樂 而 忘 返! 其 中 包 括 華 羅 庚 的 數 學 歸 納 法 及 從 孫 子 的 神 奇 58

65 參 考 書 目 妙 算 談 起 吳 文 俊 的 力 學 在 幾 何 中 的 一 些 應 用 史 濟 懷 的 平 均 閔 嗣 鶴 的 格 點 和 面 積 姜 伯 駒 的 一 筆 畫 和 郵 遞 路 線 問 題 范 會 國 的 幾 種 類 型 的 極 值 問 題 蔡 宗 熹 的 等 周 問 題 江 澤 涵 的 多 面 形 的 歐 拉 定 理 和 閉 曲 面 的 拓 撲 分 類 常 庚 哲 和 伍 潤 生 的 複 數 與 幾 何 及 柯 召 和 孫 琦 的 單 位 分 數 作 者 位 位 赫 赫 有 名, 小 書 本 本 引 人 入 勝! [0] 朴 炅 美 ( 王 海 娟 譯 )(005) 無 所 不 在 的 數 學 現 象 臺 中 : 晨 星 出 版 社 本 書 用 大 家 熟 知 的 實 例, 解 析 數 學 原 理, 探 索 在 生 活 中 到 處 可 見 的 數 學 現 象, 闡 述 數 學 和 藝 術 間 的 關 聯, 並 介 紹 東 西 方 歷 史 中 的 數 學 及 數 學 家 [1] 林 壽 福 (006) 數 學 樂 園 從 胚 騰 (pattern) 學 好 數 學 台 北 : 如 何 出 版 社 本 書 收 錄 作 者 的 四 個 得 獎 教 案, 內 容 以 台 灣 中 學 的 數 學 教 學 為 主 趣 味 的 設 計, 既 能 提 供 大 量 的 學 習 策 略 和 方 法, 又 能 兼 顧 台 灣 中 小 學 課 程 的 涵 接, 讓 學 生 逐 步 拾 級 而 上, 學 習 數 學 [] 曹 亮 吉 (1997) 阿 草 的 葫 蘆 : 文 化 活 動 中 的 數 學 台 北 : 發 行 所 財 團 法 人 遠 哲 科 學 敎 育 基 金 會 作 者 用 一 個 接 一 個 的 小 故 事, 把 中 學 數 學 跟 人 類 文 化 生 活 緊 密 地 聯 結 在 一 起 哥 倫 布 航 海 探 險 時, 用 對 用 錯 了 哪 些 數 學? 常 態 分 布 圖 也 可 當 控 告 人 的 證 據! 蜘 蛛 網 和 無 理 數 e 有 什 麼 關 係? 戈 巴 契 夫 額 頭 的 胎 記 和 海 岸 線 有 何 關 連? 這 些 有 趣 問 題 的 答 案, 均 可 往 書 中 尋 59

66 漫 談 數 學 學 與 教 一 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 [3] 羅 浩 源 (1997) 生 活 的 數 學 香 港 : 香 港 教 育 圖 書 公 司 連 繫 生 活 與 數 學 的 書 籍 不 少, 本 書 特 別 採 用 了 以 數 學 解 讀 數 學 的 角 度, 亦 提 了 供 不 少 中 學 可 能 實 際 運 用 的 活 動 [4] 蕭 文 強 (1993) 1,, 3, 以 外 : 數 學 奇 趣 錄 香 港 : 三 聯 書 店 ( 香 港 ) 有 限 公 司 本 書 由 蕭 文 強 教 授 的 一 系 列 普 及 數 學 講 座 整 理 而 成, 說 理 由 淺 入 深, 敍 事 活 潑 生 動, 是 一 本 中 學 生 不 多 得 的 數 學 課 外 讀 物 [5] 杜 石 然 (003) 數 學 歷 史 社 會 瀋 陽 : 遼 寧 教 育 出 版 社 本 書 收 錄 了 作 者 從 上 個 世 紀 50 年 代 初 期 以 來 所 寫 作 的 關 於 中 國 古 代 數 學 史 的 各 種 論 著 內 容 包 括 : 中 國 古 代 數 學 通 史 中 國 古 代 計 算 工 具 數 學 思 想 漢 唐 數 學 史 各 論 宋 元 數 學 史 各 論 [6] 李 學 數 ( ) 數 學 和 數 學 家 的 故 事 (1-8) 香 港 : 廣 角 鏡 出 版 社 書 如 其 名, 要 尋 找 有 趣 的 數 學 和 數 學 家 的 故 事, 這 一 系 列 的 聞 名 已 久 的 書 是 你 的 必 然 選 擇 [7] 李 儼 杜 石 然 (1976) 中 國 古 代 數 學 簡 史 香 港 : 商 務 印 書 館 李 儼 是 近 代 中 國 數 學 史 研 究 的 巨 匠, 他 與 學 生 杜 石 然 所 寫 的 這 本 數 學 簡 史, 是 了 解 我 國 數 學 發 展 與 成 就 的 一 本 不 可 多 得 的 入 門 著 作 60