3 487,,,,,, 50 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 3

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1 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y V o l132 N o13 M ay, (, ),, 1992,,,,, ( ) ( ) ( ) ; ; ; 1,,,, 19 (Gau ss, ),,,,,, ( ), 1, 2, 3, 4,,, ( ),,,,, 1 100,,, 19 K ronecker ( ),,, D ick son ( ) 20 H ardy ( ) H ardy, N um ber T heo ry fo r Computing, 2nd Edition, Sp ringer2v erlag, 2001, ( ), Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

2 3 487,,,,,, 50 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 50, 1; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47; 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50 1, ( ) (p rim e num ber), (com po site num ber),, 1,,, 1,,, 2, ( ) ; 2 ( ),, Π(x ) lim = 0, (1) x x Π(x ) 2 x,, 2000 (Euclid) ( E lem en ts ), lim Π(x ) = (2) x ( ),, Π(x ) lim = 1 (3) x x glnx ( ), 1, (3, 5), (5, 7), (11, 13), , (p, p + 2, p + 6) (p, p + 4, p + 6), p, p + 2, p + 4, p + 6 ; (5, 7, 11), (11, 13, 17) (17, 19, 23) (p, p + 2, p + 6), (7, 11, 13), (13, 17, 19) (37, 41, 43) (p, p + 4, p + 6), (p, p + 2, p + 4),, (3, 5, 7), ( (M ersenne, ) Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

3 ), 2 p - 1, p ( p 2 p - 1 ) ; 2 p - 1, 2 p - 1 (2 p - 1), 6, 6= Ρ(N ) N ( N ), N Ρ(N ) = 2N 28, Ρ(28) = = , 4 6, 28, 496, 8128,, 38 ; ( ), ( ), 2, N N = 2 p - 1 (2 p - 1), 2 p - 1, (Eu ler, ),, 2000 (, 2000 ),, ( ; ) (am icab le num ber), (M, N ) Ρ(M ) = Ρ(N ) = M + N ( ) (220, 284) 2500 (Pythago ras),,, (sociab le num ber), (M 1,M 2,,M n) Ρ(M 1) = M 1 + M 2 Ρ(M 2) = M 2 + M 3 Ρ(M n) = M n + M 1 ( ) [ 14,, ] ( Perfect, Am icab le and Sociab le N um bers, W o rld Scien tific, 1996 ), (4) N = p Α 1 1 p Α 2 2 p Α k k (5) p i, i= 1, 2,, k, Αi 15, 15= , 99= ,,,,, Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

4 = = = = = = = = = = = = 1011,, ( ),!,, 1 (, ),,,,,,,, 2,,, ( ),,,, ( ) 211,,,, 18, ( ) Π(x ) x, Π(x ), Π(x ) L i(x ), L i(x ) = x dt 0 ln t = lim Π(x ) x glnx, (6) Π(x ) lim = 1 (7) x x glnx Γ 0 1- Γ 0 Π(x ) lim x L i(x ) = 1 + x d t 1+ Γ ln t,, (7) ( 1) ; 1 Π(x ), Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

5 ,,!, H adam ard ( ), D e la V all e2 Pou ssin ( ) ; H adam ard 98, D e la V all e2pou ssin 96,,, (, ) Selberg ( 1917, ) Selberg 1949, 1950 (F ields) 2000 ( ),,,! x Π(x ) 1 x lnx Π(x ) x glnx (Goldbach) 1742, ( ) (Eu ler, ) ; (,,, ), 4, ( 1 + 1) Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

6 = = = 3+ 7= = = 3+ 11= = 3+ 13= = 5+ 13= = 3+ 17= 7+ 13,, ,,,,,! ( ) 1966 ( 1972 ), 1+ 2,, 40!,,, Faber , 100,!, ( ) ( ), 7, 9= , 11= , 13= , 15= , ;, ; ,, , (, ),,, (,,, ), n> 2, xy z 0, x n + y n = z n (8), (D iophantus, ) A rithm etica, 13, 6, 1g6, 1g12, 1g7 5, 4, Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

7 492 32, (,, ax + by = c x 2 - N y 2 = n ) 350,, (8),, 350,, A ndrew W iles 213 (R iemann) ( ), ( ), 1 Φ(s) = (9) p 1 - p - s (, s ) s= Ρ+ it (Ρ> 1), 1 Φ(s) = (10) n s n= 1,, ,,, ( ),,,, H adam ard D e la V all e2pou ssin,, 40 ( ), Φ(s) Ρ= 1 2,,, Φ 1, 500, 000, 001,, 1, ;, 1, , (H illbert, ) , 21,, Ferm at ( ),, Ferm at Ferm at Ferm at Ferm at p, a> 1, gcd (a, p ) = 1, a p (mod p ); Ferm at n> 2, xy z 0, x n + y n = z n ;, Ferm at Pascal Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

8 C lay , 100,,, 22! 214 1,,,,, 1,, ; ( ), ( ),,, O ( logn ) k, k, N O ( logn ) k ( ) O ( logn ) 11, O ( N ) 0 1, O ( N ) 0 1 = O (20 1 (logn ) ) Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

9 494 32, 1, 1 N ( 1 ), N 2 N ( N N, 133 = = 11), N 2, N 3, N 5,, NN 0, N ; N, N N m od M M, 97 m od 3= ( 32, ) N = 113, 113 = 10, 2 10, 113 m od 2= 1, 113 m od 3= 2, 113 m od 5= 3, 113 m od 7= 1, 113 m od 9= , 113 m od 2= 1, 113 m od 3= 2, 113 m od 5= 3, 113 m od 7= 1 0, 113 N = 133, 133 = 11, 2 11 ( ) 133 m od 2= 1, 133 m od 3= 1, 133 m od 5= 3, 133 m od 7= 0 7, 0, 133, N, N, O ( N ) 1g2 ( ),, ( ),,O ( N ) 1g2 O (2 (logn ) g2 ),! O ( log N ) c log log log N,, N, N, Ferm at N, 2 N (mod N ) (11) 2 N - 1 g 1 (m od N ), N,, 2 N (m od N ), N, 1g4,, M iller2r ab in N = 1+ 2 j d ( d ), {b d, b 2d, b 4d, b 8d,, b 2j- 1d, b 2j d } mod N (12) (1, 1,, 1, 1, 1,, 1), (13) (?,?,,?, - 1, 1,, 1), (14) 1< b< N,? 1 N,, b= 2, n= 2047, n- 1= Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

10 , d = 1023, (m od 2047), (m od 2047), 2047, 2047= b, b, Carm ichael ; Robert Carm icheal ( ),, 561, 1105, 1729 Carm ichael, a (i) a N (m od N ), (ii) a (N - 1) gp g 1 (m od N ), N - 1 p, N,, N, N - 1, N - 1 N,, ( ),,, (zero2erro r) M iller2r ab in (one2sided erro r),, 215,,,,,,,,,, 20 70,,,,, ( ) Po llard, O ( exp (c (log N ) 1g3 (log log N ) 2g3 ) ) L en stra, y 2 = x 3 + ax + b, (15) ( 2) E, P 1 P 2 P 3, P 1g P 2 P 3 X, Q = P 1+ P 2,, P 1= John Po llard,, R uth, R uth 1958 F ields ( N obel ), Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

11 (x 1, y 1), P 2= (x 2, y 2) E, E P 3= P 1g P 2= (x 3, y 3) (x 3, y 3) = (Κ 2 - x 1- x 2, Κ(x 1- x 3) - y 1) (16) Κ= (3x a), P 1 = P 2, 2y 1 (y 2 - y 1), P 1 P 2 (x 2 - x 1) (17) Q = P + P + + P (m od N ) (18) Q, Q k P N = 187 k = 6 2 (k,, k 1, 2, 3 ) P = (0, 5) E y 2 = x 3 + x + 25, 4a b 2 0 6P, 2P = P g P = (0, 5) g (0, 5) 3P = P g 2P = (0, 5) g (144, 18) Κ= m 1 = (m od 187) m 2 10 x (m od 187) y 3 18 (m od 187) Κ= m 1 = (m od 187) m x (m od 187) y (m od 187) 6P = 2 (3P ) = 2 (124, 176) = (124, 176) g (124, 176) Κ= m 1 = m ( m od 187) 127g165 m od 187,! gcd (N, m 2) = gcd (187, 165) = 11, 187, 187 = Z187, Zn n Z187,,, Z187,, 187,, Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

12 3 497,, (N um ber F ield Sieve) R SA 2155, 155 (512 ), , , A T &T Peter Sho r 1996,, O (log N ) 2 (log log N ) (log log log N ) = O (log N ) 2+ Ε x r Z 3 N x r 1 (mod N ) (19) r,, x, 1 N = , x = 3, r= N 3 1 m od = m od = m od = m od = m od = m od = m od = 1 gcd (x rg2 + 1, N ), gcd (x rg2-1,n ) = (67, 2677), N = = Z 3 N,, , 1000, , ( Fou rier ), ( ),! (, ), N P2, N P2,,, Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

13 N P2, Sho r, Sho r,,,, , a, y,n, x ( x ), y a x (mod N ) (20) a (p rim itive roo t), y Z 3 N, x, y a x (m od N ) Z 3 N x y m od N, x logay (m od N ), (21) x = indn, a (y ) (22), 2 Z 3 13, y = 1, 2, 3,, 12 2 ind13, 2 (a) y ind13, 2 (y ) ,,, N FS,, Silver, Poh lig H ellm an 1978 Fq, O p, p q- 1, q, ( q q- 1 ) [1 ] q- 1 q - [2 ], k 1 = p Α 1 1 p Α 2 2 p Α k k i= 1 rp i, j = a j (q- 1) gp i mod q, 0 Φ j < p i (23) [ 3 ] x = logab m od q, x m od p Α i i x m od p Α i i, p i x mod p Α i i = x 0 + x 1p i + + x Α i - 1p Α i - 1 i, (24) 0Φ x n< p i- 1, x 0, x 1,, [321 ] x 0, b (q- 1) gp i, j,, j, x 0= j b (q- 1) gp i mod q = rp i, j, Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved rp i

14 3 499 b (q- 1) gp i a x (q- 1) gp i a x 0 (q- 1) gp i m od q = rp i, x 0 [322 ] x 1, b1= ba - x 0 b (q- 1) gp 2 i 1 mod q = rp i, j x 1= j, b (q- 1) gp 2 i 1 a (x - x 0 ) (q- 1) gp 2 i a (x 1 + x 2 p i + ) (q- 1) gp i a x 1 (q- 1) gp i mod q = rp i, x 1 [323 ] x 2, b2= ba - x 0 - x 1 p i, b (q- 1) gp 3 i 2 mod q, x 0, x 1,, x Α i - 1 [4 ] x, x m l m od p Α l l, l = 1, 2,, k,,,, F Α p, ( P, Q, p Α ), P, Q E, p Α, k, Q = kp (m od p Α ) (25), k, k = logpq (m od p Α ) (26) k, 3, ( ), ( ) 311,, En igm a En igm a,,, 100 M ilton Kynes ( B letch ley Park, B letch ley Park), ( T u ring M ich ie), En igm a, T u ring, En igm a Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

15 500 32,,,, ,,,,,,,,,,,,,, 1976, Stanfo rd H ellm an D iffie M erk le,, (,, ), (,, ),, ( ), ( ) Stanfo rd,,, (A lice) B (Bob) ( ), A B q Fq g A a {1, 2,, q- 1} g a m od q B B b {1, 2,, q- 1} g b m od q A A (g b ) a m od q, B (g a ) b m od q (g b ) a m od q= (g a ) b m od q= g ab m od q, A B g ab m od q,, 3 3 D iffie2h ellm an2m erk le g key, Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

16 3 501, g, q, g a m od q, g b m od q,,, g, q, g a m od q, g b m od q a b, g ab m od q,, F q, a b A B q= ( ) g6+ 1 g = 7 A a, 7 a (m od q), B ( a ) B 7 a (m od q) = B b, 7 b (m od q), A ( b ) A 7 b (m odq) = A B 7 ab (m od q),, a b, q 129, N FS a b, 7 ab (m od q), q 155, , Stanfo rd ( ), M IT, R ivest, Shm ir A dlem an, R SA C = M e mod N (27) M = C d mod N (28) M, C, (N, e) ( ), (N, d ) ( ), N = p q, p q 100, ed 1 (m od <(N ) ), < (e, N ),,, p q ( d ),, N = p q, <(N ) = (p - 1) (q - 1) (29) d 1ge (mod <(N ) ) (30), Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

17 N = k p Α i i= 1 <(N ) = N k 1 - i= 1 i (31) 1 p i (32), ( ), d, <(N ), <(N ), N,,, N 200, N,,,, R SA (, ),,, 1) D iffie2h ellm an2m erk le A B F q (q= p r ), F q E, E P,, E A a {1, 2,, q- 1} ap m od q B B b {1, 2,, q- 1} bp m od q A A a (bp ) m od q, B b (ap ) m od q a (bp ) m od q= b (ap ) m od q= (ab) P m od q, A B (ab) P m od q,,, g, P, ap m od q, bp m od q,, P, q, ap m od q, bp m od q a b, (ab) P m od q ( ), (, ), F q P, a b P E 2) E lgam al A lice Bob Fq (q= p r, p ) E, A lice ra, rap ; Bob rb, rbp Bob M, A lice k, (kp,m + k ( rbp ) ) M, Bob M + k (rbp ) - rb (kp ) = M (33) Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

18 3 503 rb,, P rbp, ( ),, ( R SA ),,,,,!,,,! 312,,,,?, x 2 (mod 3), x 3 (mod 5), x 2 (mod 7), x = = 23, x a 1 (m od m 1), x a 2 (m od m 2), x a n (m od m n), (34) x n a im im i (mod m ) (35) i= 1 m = m 1m 2 m n (36) M i = m gm i (37) M i = M - 1 i (mod m i) (38) i= 1, 2,, n ( ) (, ), ( ),,,,, Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

19 504 32,,,,,,,, ;,,,,,,,,,, z = x + y = , 100,,,,,,, ;,, x 33 (m od 99), y 32 (m od 99), x 8 (m od 98), y 92 (m od 98), x 9 (m od 97), y 42 (m od 97), x 89 (m od 95), y 16 (m od 95), z = x + y 65 (m od 99), z = x + y 2 (mod 98), z = x + y 51 (m od 97), z = x + y 10 (m od 95) (39) i= 1, 2, 3, 4 x + y mod z 4 M im iz i (mod m ), i= 1 m = m 1m 2m 3m 4, M i = m gm i, M im i 1 (m od m i), M = = , M 1 = M g99 = , Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved (39)

20 3 505 M 2 = M g98 = , M 3 = M g97 = , M 4 = M g95 = i= 1, 2, 3, 4 M i x + y 4 z im im i (m od m ) i= M 1 91M 1 1 (mod 99), M 2 3M 2 1 (m od 98), M 3 93M 3 1 (mod 97), M 4 24M 4 1 (mod 95) M 1 37 (m od 99), M 2 38 (m od 98), M 3 24 (m od 97), M 4 4 (m od 95) (mod ) (mod ) (mod ) 0< x + y = < , x + y = ,, n k (k Φ n) ( 5 3 ), (k, n), S n n k,, k k S, ; k S,, (k, n) (, k= 3, n= 5) m i m 1 = 97, m 2 = 98, m 3 = 99, m 4 = 101, m 5 = 103, M = m 1m 2m 3m 4m 5 = m in (k) = m 1m 2m 3 = m ax (k - 1) = m 4m 5 = Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

21 S < S = < P i I i (I i,m i,m ) P i S I 1 (m od m 1) ] I 1 = 53 S I 2 (m od m 2) ] I 2 = 85 S I 3 (m od m 3) ] I 3 = 61 S I 4 (m od m 4) ] I 4 = 23 S I 5 (m od m 5) ] I 5 = 6 P 1, P 2, P 3 S M 1 = M gm 1 = M 2 = M gm 2 = M 3 = M gm 3 = N 1 M (m od m 1) ] N 1 = 95 N 2 M (m od m 2) ] N 2 = 13 N 3 M (m od m 3) ] N 3 = 31 S I 1gM 1gN 1 + I 2gM 2gN 2 + I 3gM 3gN 3 (mod m 1gm 2gm 3) 53g g g g g g 31 (mod 97g 98g 99) (mod ) = S, I 1, I 2, I 3, I 4, I 5 S, I 1 I 4 S, S I 1gM 1gN 1 + I 4gM 4gN 4 (m od m 1gm 4) 53g g g g 61 (mod 97g 101) (m od 9791) = 5679 S, I 1, I 2, I 3, I 4, I 5 S 4,, ( H ardy D ick son ),, Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

22 3 507,, [ ],,,!,,,,,, ( ), -,,,,,,!,,, ;,, [ 1 ] A tk in A O L, M o rain F E llip tic curves and p rim ality p roving[j ] M athem atics of Computation, 1993, [ 2 ] B rickell E F, Go rdon D M, M ccurley K S, W ilson D S Fast Exponentiation w ith P recomputation [M ] P roceedings of Eurocryp t 92, L ecture N o tes in Computer Science 658, Sp ringer2v erlag, 1992 [ 3 ] 1 [J ]1, 1992, 21 (4) [ 4 ] D iffie W, H ellm an E N ew directions in C ryp tography [J ] IEEE T ransactions on Info rm ation T heo ry, 1976, 22 (5) [ 5 ] E lgam al T A public key cryp to system s and a signature schem e based on discrete logarithm s [ J ] IEEE T ransactions on Info rm ation T heo ry, 1985, 31 (5) [ 6 ] E llis G R ings and F ields[m ] O xfo rd U niversity P ress, 1992 [ 7 ] Go rdon D M, M ccurley K S M assively Parallel Computato in of D iscrete L ogarithm s[m ] P roceedings of C ryp t 92, L ecture N o tes in Computer Science 740, Sp ringer2v erlag, 1992 [ 8 ] Koblitz N E llip tic curve cryp tography[j ] M athem atics of Computato in, 1987, [ 9 ] Koblitz N A Course in N um ber T heo ry and C ryp tography[m ] 2nd Edition, Sp ringer2v erlag, 1994 [ 10 ] L enstra H W, J r Facto ring integers w ith ellip tic curves[j ] A nnals of M athem atics, 1987, [ 11 ] R ivest R L, Sham ir A, A dlem an L A m ethod fo r obtaining digital signatures and public key cryp to system s[j ] Comm unications of the A CM, 1978, 21 (2) [ 12 ] Silverm an J H T he A rithm etic of E llip tic Curves[M ] Sp ringer2v erlag, 1986 [ 13 ] W iles A M odular ellip tic curves and the ferm at s last theo rem [J ] A nnals ofm athem atics, 1995, [ 14 ] Yan S Y perfect, Am icable and Sociable N um bers[m ] W o rld Scientific, 1996 [ 15 ] Yan S Y N um ber T heo ry fo r Computing[M ] 2nd Edition, Sp ringer2v erlag, Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

23 Num ber Theory and its Application s D edicated to P rof Sh iing2shen Chern fo r h is 90th B irthday YAN Song2yuan (Co llege of Info rm ation Science, N ankai U n iversity, T ian jin , Ch ina) Abstract N um ber theo ry had long been considered as the purest branch of m athem atics, w ith very few app lications to o ther areaṡ R ecent years, how ever, have seen considerable increase in interest in several central top ics of num ber theo ry, p recisely because of their impo rtance and app lication s in o ther areas, particu larly in com pu ting and info rm ation techno logy Today, num ber theo ry has been app lied to such diverse areas as physics, chem istry, engineering, acou stics, b io logy, com pu ting, coding and cryp tography, digital comm un ication s, graph ics design, and even m usic T hus, num ber theo ry, as po inted out by the em inent m athem atican Sh iing2shen Chern, is no mo re just a pure branch of m athem atics but also a very app licable subject of m athem aticṡ In th is paper, w e shall first review som e basic concep ts of num ber theo ry, then w e shall introduce som e impo rtant (mo stly difficult and unso lved) p roblem s in num ber theo ry F inally, w e shall discuss various app lications of num ber theo ry (particularly the difficult and unso lved num ber2theo retic p roblem s) in cryp tography (including netw o rk and info rm ation secu rity) and com pu ting science (particu larly fast and parallel com pu tation) Keywords num ber theo ry; computational num ber theo ry; cryp tography; fast computation Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved

7 53 1 [5, 7 ],,,,,,,,,,, 111, (,,, ) : (a,m, b ) [A,M B ]; (a,m, b ), [A,M, B ], (a, m, b, (a, m, b ), [A,M, B ], A, A + ( ) ( ), A - ( ) ( ) ;M,M +,

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