Transcription

1 邏 輯 映 射 串 流 加 密 器 國 中 組 第 一 名 縣 校 作 市 : 台 北 市 名 : 中 正 國 中 者 : 呂 任 棠 唐 維 澤 陳 毅 指 導 教 師 : 李 柏 翰 我 是 唐 維 澤, 今 年 14 歲 從 小 就 對 理 化 生 物 地 球 科 學 歷 史, 有 很 濃 厚 的 興 趣 在 父 母 親 的 引 導 下, 我 廣 泛 地 閱 讀 各 種 不 同 主 題 的 書 籍, 並 常 利 用 圖 書 館 書 店 和 網 際 網 路 搜 集 資 訊 曾 隨 父 母 到 澳 洲 住 過 兩 年, 後 又 至 香 港 新 加 坡 加 拿 大 及 日 本 等 地 旅 遊, 對 各 地 的 人 文 及 都 市 管 理 有 深 刻 的 體 認 我 期 許 自 己 在 未 來 的 人 生 道 路 上, 秉 持 著 自 律 與 毅 力, 善 盡 地 球 公 民 的 責 任 呈 任 棠, 民 國 75 年 2 月 2 日 生 琴 棋 書 畫 樣 樣 精, 優 點 多 得 數 不 清, 聰 明 優 秀 人 人 愛, 短 小 精 悍 是 辯 才, 這 是 我 在 金 華 國 小 競 選 自 治 市 長 時, 班 上 同 學 推 薦 給 全 校 同 學 的 競 選 標 語 金 華 國 小 畢 業 時, 獲 陳 水 扁 市 長 親 頒 市 長 獎 進 入 中 正 國 中 後 成 績 優 異, 曾 兩 次 在 段 考 時 得 到 全 校 第 一 名 ( 男 生 ), 亦 參 加 合 唱 團, 兩 次 代 表 學 校 參 加 全 國 比 賽, 獲 得 優 等 八 十 九 年 科 展 以 邏 輯 映 射 串 流 加 密 器 獲 全 國 科 展 第 一 名, 並 因 全 科 展 優 異 表 現 獲 李 總 統 接 見, 更 被 遴 選 為 總 統 頒 獎 時 之 全 體 受 獎 代 表 陳 毅,1986 生 於 臺 北 1991 舉 家 至 德 國 求 學,1995 返 國 銜 接 國 小 三 下 課 程 不 擅 辭 令, 然 開 朗 樂 觀 的 個 性, 使 學 習 路 上 充 滿 豐 沛 的 生 命 力 喜 好 音 樂, 尤 其 對 數 理 的 興 趣 及 執 著 更 是 " 一 路 走 來, 始 終 如 一 "! 期 望 在 資 訊 的 國 度 裡 一 展 所 長 關 鍵 詞 : 邏 輯 映 射 (logistic map) 一 研 究 動 機 自 從 看 了 電 影 駭 客 任 務 (MATRIX) 後, 就 深 深 為 其 動 人 的 劇 情 所 吸 引, 震 撼 之 深 非 筆 墨 所 能 言 喻 故 事 內 容 大 約 如 下 : 二 十 二 世 紀 的 地 球 已 被 電 腦 進 化 成 有 生 命 的 電 腦 人

2 (agent) 所 控 制 主 宰, 人 類 大 部 分 都 活 在 agent 設 計 的 虛 擬 夢 幻 世 界 中, 而 實 際 上 是 熟 睡 在 保 育 箱 中, 成 為 agent 所 飼 養 的 動 物, 只 有 一 小 部 份 人 類 是 清 醒 並 躲 入 地 下 伺 機 而 動, 在 女 主 角 崔 妮 蒂 的 帶 領 下, 男 主 角 尼 歐 結 識 了 一 群 抵 抗 agent 電 腦 王 國 的 自 由 鬥 士, 那 時 活 在 地 底 下 的 人 類 生 活 行 動 是 依 賴 一 部 錫 安 電 腦 主 機 來 掌 控, 錫 安 電 腦 主 機 是 由 人 類 所 操 控, 藉 著 其 強 大 的 密 碼 系 統 抵 抗 保 衛 agent 的 入 侵, 最 後 終 因 密 碼 系 統 的 強 固 以 及 密 碼 (password) 沒 有 外 洩 的 情 形 下, 爭 取 到 時 間 使 得 尼 歐 領 悟 電 腦 電 子 世 界 的 奧 秘, 進 而 消 滅 了 電 腦 人 這 部 令 人 想 一 看 再 看 的 電 影 深 深 吸 引 著 我, 因 而 有 個 念 頭 也 想 設 計 出 強 大 而 無 法 被 人 破 解 的 密 碼 系 統, 可 以 抵 抗 未 來 agent 的 入 侵 二 研 究 目 的 機 緣 巧 合 下 在 接 觸 到 天 下 文 化 出 版 社 所 發 行 的 渾 沌 (chaos) 以 及 楊 吳 泉 先 生 所 著 的 現 代 密 碼 學 入 門 與 程 式 設 計 兩 本 書, 反 覆 熟 讀 思 索, 發 現 在 現 在 熱 門 的 非 線 性 科 學 渾 沌 (chaos) 中, 有 一 種 稱 為 邏 輯 映 射 圖 (Logistic map) 的 一 元 二 次 方 程 式, 其 形 式 非 常 簡 單, 適 當 的 參 數 控 制 下, 其 迭 代 軌 跡 會 出 現 渾 沌 現 象, 所 以 想 利 用 電 腦 程 式 演 算 此 軌 跡 圖 形, 利 用 數 論 中 的 模 運 算 來 取 得 加 解 密 所 需 要 的 亂 數, 配 合 密 碼 學 中 串 流 加 密 的 方 式 (Stream Ciphers), 是 可 以 發 展 出 一 套 安 全 性 高 的 加 解 密 軟 體 系 統, 媲 美 錫 安 電 腦 主 機 密 碼 系 統 來 抵 抗 agent 的 入 侵 三 研 究 設 備 器 材 : ( 一 )pentium(k) 450 個 人 電 腦,Win98 作 業 平 台 :1 台 ; ( 二 )Visual C++6.0 版 軟 體 :1 套 ; ( 三 )Matlab5.1 版 軟 體 :1 套 ; ( 四 )PUTeX 論 文 編 輯 軟 體 :1 套 ; 四 研 究 過 程 或 方 法 : ( 一 ) 研 究 過 程 : 1. 渾 沌 理 論 : 邏 輯 映 射 圖 (Logistic map) 方 程 式 : Xn+1 =μ *Xn(1-Xn),Xn [0,1], (1) 邏 輯 映 射 圖 在 米 = 開 始 出 現 渾 沌, 其 分 析 圖 形 如 下 : 圖 (2): Xn+1=0.4 Xn (1- Xn ),X0=0.8, 幾 次 迭 代 後 很 快 進 入 固 定 點 0 不 再 改 變, 屬 於 週 期 數 為 1 的 邏 輯 映 射 圖 圖 (3): Xn+1=2 Xn (1- Xn ),X0=0.2, 幾 次 迭 代 後 很 快 進 入 固 定 點 0.5 不 再 改 變, 屬 於 週 期 數 為 1 的 邏 輯 映 射 圖

3 圖 (4): Xn+1=3.3 Xn (1- Xn ),X0=0.2 幾 次 迭 代 後 很 快 進 入 兩 個 固 定 點 0.48 和 0.83, 屬 於 週 期 數 為 2 的 邏 輯 映 射 圖 圖 (5): Xn+1=3.53 Xn (1- Xn ),X0=0.37 幾 次 迭 代 後 很 快 進 入 四 個 固 定 點 , 屬 於 週 期 數 為 4 的 邏 輯 映 射 圖 圖 (6): Xn+1=3.9 Xn (1- Xn ),X0=0.2 很 多 幾 次 迭 代 後 仍 無 法 進 入 固 定 點, 屬 於 週 期 數 為 的 邏 輯 映 射 圖, 此 時 已 出 現 渾 沌 現 象 圖 (7): μ = 1 ~ 4, 倍 週 期 分 叉 到 混 沌 映 射 圖, 其 中 μ = ~ 4 的 黑 色 區 域 表 示 渾 沌 現 象 圖 (8):,μ = 3 ~ 4 倍 週 期 分 叉 到 混 沌 映 射 圖, 其 中 黑 色 區 域 中 三 條 白 紋 表 示 再 次 出 現 穩 定 倍 週 期 現 象 2. 密 碼 學 : 串 流 加 密 方 式 如 下, 今 有 明 文 (plaintext)p: 八 個 位 元 ; 亂 數 (random number)r: 八 個 位 元 ; 欲 產 生 密 文 (ciphertext)c: 八 個 位 元, 如 下 所 示, 方 程 組 (2) 為 互 斥 運 算 : P R C C R P (2) ( 二 ) Return map 檢 測 : Return map( 遞 迴 映 射 ) 是 一 種 可 以 測 量 出 亂 數 序 列 週 期 性 的 測 量 方 法, 舉 例 說 明 : 今 有 一 數 字 序 列 為 (X1,X2,,Xn), 遞 迴 映 射 檢 測 方 式 為 :Xi 對 Xi+1 作 圖, 其 中 1 i (n-1), 若 數 字 序 列 是 週 期 性, 則 遞 迴 映 射 將 出 現 一 些 固 定 點 圖, 若 數 字 序 列 是 非 週 期 性, 則 遞 迴 映 射 圖 將 出 現 一 些 複 雜 的 圖 形 ( 三 ) FIPS PUB 亂 數 檢 測 方 式 : FIPS PUB 是 美 國 聯 邦 資 訊 處 理 標 準 公 告 (Federal Information Processing Standards Publication) 對 密 碼 模 組 的 秘 密 安 全 規 定 (Security Requirements for Cryptographic Modules), 其 中 所 包 含 對 密 碼 模 組 亂 數 檢 測 方 式 如 下 : 1. 單 一 位 元 測 試 (Monobit Test): 亂 數 產 生 器 產 生 20,000 個 連 續 位 元 (0 或 1), 將 20,000 個 連 續 位 元 相 加 總 數 定 義 為 X, 若 9,654 < X < 10,346, 則 此 項 亂 數 測 試 通 過

4 2. 樸 克 測 試 (Poker Test): 亂 數 產 生 器 產 生 20,000 個 連 續 位 元, 將 此 20,000 個 位 元 切 割 成 連 續 5,000 個 4 位 元 整 數, 此 整 數 之 數 值 範 圍 為 0-15 定 義 f(i) 為 整 數 i 出 現 之 次 數, 而 i 的 範 圍 為 0 i 15, 計 算 下 列 數 值 : (3) 若 1.03 < X < 57.4, 則 此 項 亂 數 測 試 通 過 3. 位 元 重 複 值 測 試 (Runs Test): 位 元 重 複 值 定 義 為 連 續 20,000 亂 數 位 元 中 所 出 現 的 連 續 為 1 的 長 度 或 連 續 為 0 的 長 度, 統 計 累 積 此 數 值, 不 論 是 1 或 是 0 的 位 元, 位 元 重 複 值 的 長 度 對 統 計 數 值 大 小 需 符 合 下 表 (1) 累 積 數 之 範 圍, 共 計 12 項 測 試 ( 包 含 1 和 0 的 測 試 ), 若 不 符 合 其 中 一 項, 則 此 項 亂 數 測 試 不 通 過 位 元 重 複 值 累 積 數 1 2,267-2, ,079-1, 長 位 元 重 複 值 測 試 (Long Run Test): 長 位 元 重 複 值 定 義 為 連 續 20,000 亂 數 位 元 中 所 出 現 的 連 續 為 1 的 長 度 為 34 或 34 以 上, 或 連 續 為 0 的 長 度 為 34 或 34 以 上, 統 計 累 積 此 長 位 元 重 複 值, 共 計 2 項 測 試 ( 包 含 1 和 0 的 測 試 ), 若 此 兩 項 統 計 值 其 中 一 項 不 為 0, 則 此 項 亂 數 測 試 不 通 過 五 研 究 結 果 以 實 際 例 子 來 說 : 輸 入 密 碼 為 : chaos 輸 入 明 文 為 : Quantum mechanics is the basis for all modern descriptions of the structure and behaviour of matte ( 一 ) 加 密 : 假 設 尼 歐 欲 加 密 一 段 明 文 m(k) = (m1,m2,,mk) 給 崔 妮 蒂, 並 且 輸 入 密 碼 h(i) = (h1,h2,,hk), 在 此 5 i 200 ; hi 代 表 ASCII 電 腦 字 元 碼, 進 入 電 腦 LSC 密 碼 系 統, 其 運 算 過 程 如 下 :

5 1. 取 得 初 值 : password= chaos,h1 代 表 c(99), h_2 代 表 h(104), h3 代 表 a(97), h4 代 表 o (111), h5 代 表 s(115) ((((99) 104 ) 97 ) 111 ) (mod 65537) 99 * 104 * 97 * 111 * (mod 65537) * (mod 109) (mod 139) (mod 13) 2. 取 得 明 文 m(k) 和 明 文 長 度 k= 取 得 邏 輯 映 射 初 值 條 件 X0 = * = (0.1~ ) Y0 = * = (0.1 ~ ) μx = * 90 = 3.72 (3.63~ 3.74 ) μy = * 109 = (3.86 ~ 4.0 ) t0 = = 15 (10 ~ 22 ) 如 圖 (9): Xn+1=3.72 Xn(1-Xn),X0= 很 多 幾 次 迭 代 後 仍 無 法 進 入 固 定 點, 屬 於 週 期 數 為 的 邏 輯 映 射 圖, 此 時 出 現 渾 沌 現 象 如 圖 (13): Yn+1=3.969Yn(1-Yn),Y0= 很 多 幾 次 迭 代 後 仍 無 法 進 入 固 定 點, 屬 於 週 期 數 為 的 邏 輯 映 射 圖, 此 時 出 現 渾 沌 現 象 4. 得 到 亂 數 序 列 讓 邏 輯 映 射 軌 跡 從 t=0 開 始 演 化 直 到 t 15, 開 始 取 出 x,y 變 數 值 亂 數 序 列 表 示 為 U(800)=U1,U2, U *Xn Tx(n) (mod 2 8 ) 10 7 *Yn Ty(n) (mod 2 8 ) Tx(n) Ty(n) H(n) H(1) U1,U2, U8 H(2) U9,U10, U16 生 的 亂 數 序 列 (4) U1,U2 U800 為 產 5. 產 生 密 文 Ck. m k Uk Ck ( 二 ) 解 密 : 如 上 述 加 密 的 步 驟 六 討 論

6 ( 一 )FIPS PUB 亂 數 檢 測 : 1. 邏 輯 映 射 圖 Xn+1=μXn(1-Xn),X0=0.2 在 經 由 FIPS PUB 亂 數 檢 測, 如 圖 (17),μ =3.5 到 4, 共 16 項 亂 數 測 試 全 部 通 過 為 T=16 或 T=-16( 一 項 測 試 通 過 為 1, 二 項 測 試 通 過 為 2,,T=-16 和 T=16 意 義 相 同, 方 便 圖 形 對 稱 比 較 ), 明 顯 看 出 有 四 區 可 以 通 過 測 試, 米 =3.55 到 4 三 條 測 試 不 過 範 圍, 表 示 再 次 出 現 穩 定 倍 週 期 現 象, 故 無 法 通 過 亂 數 測 試 2. 邏 輯 映 射 圖 在 單 一 位 元 總 和 亂 數 測 試, 如 圖 (18): μ=3.5 到 4, 明 顯 看 出 有 三 條 測 試 不 過 範 圍, 表 示 再 次 出 現 穩 定 倍 週 期 現 象, 故 無 法 通 過 亂 數 測 試, 9,654 < X < 10, 邏 輯 映 射 圖 在 樸 克 亂 數 測 試, 如 圖 (19): μ=3.5 到 4, 明 顯 看 出 有 四 區 可 以 通 過 測 試, 三 條 測 試 不 過 範 圍, 表 示 再 次 出 現 穩 定 倍 週 期 現 象, 故 無 法 通 過 亂 數 測 試, 1.03 < X < 亂 數 映 射 遞 迴 圖 如 圖 (12), 混 亂 而 無 法 辨 別 軌 跡, 可 以 確 保 LSC 系 統 的 安 全 性 ( 二 ) 邏 輯 映 射 圖 固 定 點 穩 定 性 分 析 及 倍 週 期 分 叉 圖 米 範 圍 計 算 : 1. 邏 輯 映 射 圖 方 程 式 及 微 分 後 斜 率 m 方 程 式 如 下 : 2. 固 定 點 穩 定 性 分 析 : 定 義 固 定 點 為 Xf f(xn) = Xn+1 = μ *Xn(1-Xn), Xn [0,1],μ [0,4] f(xn)' = Xn+1' = μ-2μxn (5)

7 所 以 圖 (4), 屬 於 週 期 數 為 2 的 邏 輯 映 射 圖 (xf=0.48 和 0.83) 倍 週 期 分 叉 μ 出 現 範 圍 分 析 : 4. 定 義 倍 週 期 斜 率 m, 兩 個 固 定 點 為 p, q: m=μ2(1-2p)(1-2q) (12) 將 方 程 式 (17) 之 固 定 點 帶 入 方 程 式 (19), 可 得 m=μ 2 (1-2p)(1-2q)= μ 2 [1-2(p+q)+4pq] m= -μ 2 +2μ+ 4 m 1, -μ 2 +2μ μ 1+ 3 μ (13) 由 上 可 知,2 倍 週 期 分 叉 米 出 現 範 圍 為 3 米 , 如 圖 (8): 2 倍 週 期 分 叉 出 現 在 μ =3 ~ 3.45, 且 固 定 點 有 兩 個 ( 三 ) 邏 輯 映 射 串 流 加 密 系 統 (LSC) 加 解 密 速 度 分 析 : 如 下 表, 加 解 密 速 度 最 快 約 為 19456bytes/s, 也 就 是 bites/s, 也 等 於 152 kbits/s CPU 作 業 平 台 加 密 解 密 Pentium(k)450 Windows ( 四 )Return map 檢 測 : 1. 圖 (11): 代 表 方 程 式 Xn+1=3.72 Xn(1-Xn),X0= 之 Xn 遞 迴 映 射 圖, 由 圖 形 可 知 Xn 序 列 會 分 布 在 拋 物 線 上 2. 圖 (12): 代 表 在 上 述 方 程 式 下,R(n) X(n) (mod 256), 在 經 過 模 運 算 後 所 得 亂 數 序 列 R(n) 遞 迴 映 射 圖, 由 圖 形 可 發 現 亂 數 序 列 R(n) 沒 有 一 定 之 週 期 3. 圖 (15):

8 代 表 方 程 式 yn+1=3.969 yn(1-yn),y0= 之 yn 遞 迴 映 射 圖, 由 圖 形 可 知 yn 序 列 會 分 布 在 拋 物 線 上 4. 圖 (16): 代 表 在 上 述 方 程 式 下,R(n) y(n) (mod 256), 在 經 過 模 運 算 後 所 得 亂 數 序 列 R(n) 遞 迴 映 射 圖, 由 圖 形 可 發 現 亂 數 序 列 R(n) 沒 有 一 定 之 週 期 ( 五 )LSC 密 碼 系 統 抵 抗 暴 力 攻 擊 法 數 值 值 域 範 圍 : 以 輸 入 密 碼 字 數 而 言,LSC 可 輸 入 密 碼 字 數 為 5 ~200 個 字 ( 猜 出 password: 機 率 約 1/2 1600, 顯 然 優 於 傳 統 4 ~ 6 字 元 機 率 約 1/2 48, 而 以 輸 入 起 始 值 參 數 範 圍 為 五 次 模 運 算 中 質 數 相 乘 之 乘 積 65537*65537*109*139*13, 猜 出 起 始 值 機 率 約 為 1/2 50, 一 般 來 說 LSC 加 解 密 系 統 是 已 經 編 譯 成 電 腦 執 行 檔, 所 以 使 用 者 使 用 時 並 須 先 面 對 輸 入 密 碼 的 檢 測, 是 以 LSC 仍 優 於 傳 統 密 碼 系 統 加 解 密 的 方 式 七 結 論 一 個 渾 沌 系 統 意 謂 著 在 相 空 間 中 的 數 值 軌 跡 演 化 會 展 現 非 週 期 性 複 雜 和 對 初 值 敏 感 的 現 象 根 據 邏 輯 映 射 圖 的 渾 沌 性 質, 我 們 詳 述 一 個 簡 單 的 亂 數 產 生 器, 利 用 適 當 的 模 運 算, 乘 法 運 算, 截 掉 小 數 處 理,LSC 系 統 所 產 生 之 亂 數 可 用 來 當 作 加 解 密 金 鑰 (key) 在 本 文 中, 我 們 示 範 遞 迴 運 算 (return map) 分 析 邏 輯 映 射 圖 並 了 解 其 無 週 期 性, 再 利 用 FIPS PUB 亂 數 檢 測 方 式 證 明 亂 數 具 有 高 度 的 安 全 性 LSC 加 解 密 系 統 可 適 用 於 任 何 文 件 之 加 解 密, 如 各 式 中 英 文 檔 案, 圖 形 檔, 執 行 檔 等, 使 用 LSC 加 解 密 系 統 有 容 易 完 成 高 隱 密 性 高 效 率 安 全 性 高 可 抵 抗 竊 密 者 等 優 點 八 參 考 資 料 及 其 他 ( 一 ) 參 考 資 料 : (1) 楊 吳 泉. 現 代 密 碼 學 入 門 與 程 式 設 計. 全 華 出 版 社.1996 (2)James Cleick, 林 和 譯. 渾 沌. 天 下 文 化.1997 (3) 閔 嗣 鶴, 嚴 士 健. 初 等 數 論. 凡 異 出 版 社.1993 (4) 美 國 密 碼 模 組 (FIPS 140-1) 檢 驗 認 證 講 習 會 手 冊. 中 華 民 國 資 訊 安 全 學 會.1999 年 四 月. (5) 劉 秉 正, 非 線 性 動 力 學 與 渾 沌 基 礎 }, 徐 氏 基 金 會.1994 (6)E. Ott Chaos in Dynamical Systems}. Cambridge Univ. Press (7) Brauce Schneier Applied Cryptography:Protocols,Algorithms, and Source Code in C,seconded. John (8)R.A. Rueppel Analysis and Design of Stream Ciphers. Springer-- Verlag Berlin, Heidelberg 評 語 該 作 品 以 數 學 渾 沌 理 論 中 的 邏 輯 映 射 方 程 式, 應 用 到 密 碼 系 統 之 中, 以 達 成 加 密 與 解 密 的 作 用 此 方 法 雖 在 文 獻 中 有 提 出 過, 然 而 實 做 方 法 完 整 且 有 創 新, 同 時 作 者 對 整 個 系

9 統 的 理 論 與 應 用 有 非 常 深 刻 的 了 解 在 程 式 設 計 方 面 ( 有 附 原 始 程 式 碼 ) 不 但 了 解, 且 超 過 同 年 齡 之 程 度 總 體 而 言, 相 當 符 合 科 學 研 究 的 方 法 與 精 神, 故 推 薦 之 ( 二 ) 圖 形 說 明 : ( 圖 3) 圖 (3): 週 期 -1 邏 輯 映 射 圖,xn+1=2 xn(1-xn),x0=0.2 ( 圖 4) 圖 (4): 週 期 -2 邏 輯 映 射 圖,xn+1=3.3 xn(1-xn),x0=0.2

10 ( 圖 5) 圖 (5): 週 期 -4 邏 輯 映 射 圖,xn+1=3.53 xn(1-xn),x0=0.37 ( 圖 6) 圖 (6): 週 期 - 邏 輯 映 射 圖,xn+1=3.9xn (1-xn),x0=0.2 ( 圖 7) 圖 (7):μ 到 4, 倍 週 期 分 叉 到 混 沌 映 射 圖 ( 圖 8) 圖 (8):μ 到 4, 倍 週 期 分 叉 到 混 沌 映 射 圖

11 ( 圖 9) 圖 (9): 週 期 - 邏 輯 映 射 圖,xn+1=3.72xn(1-xn),x0= ( 圖 10) 圖 (10): 邏 輯 映 射 圖 中 xn+1=3.72xn(1-xn), x0= ,xn+1 震 盪 圖 ( 圖 11) 圖 (11):xn 遞 迴 映 射 圖,xn+1=3.72xn(1-xn),x0=

12 ( 圖 12) 圖 (12):R(n) 亂 數 映 射 遞 迴 圖,xn+1=3.72xn(1-xn),x0= ( 圖 13) 圖 (13): 週 期 - 邏 輯 映 射 圖,yn+1=3.969yn(1-yn),y0= ( 圖 14) 圖 (14): 邏 輯 映 射 圖 中 yn+1=3.969yn(1-yn),y0= , yn 震 盪 圖 ( 圖 15) 圖 (15):yn 遞 迴 映 射 圖,yn+1=3.969yn(1-yn),y0=

13 ( 圖 16) 圖 (16):R(n) 亂 數 遞 迴 映 射 圖,yn+1=3.969yn(1-yn),y0 ( 圖 17) 圖 (17):μ=3.5 到 4, 16 項 亂 數 測 試 圖 ( 圖 18) 圖 (18):μ=3.5 到 4, 單 一 位 元 總 和 亂 數 測 試 圖

14 ( 圖 19) 圖 (19):μ=3.5 到 4, 樸 克 亂 數 測 試 圖 回 到 目 錄 頁../Index.htm