中鸿智业

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1 或 兰 州 市 007 年 高 三 诊 断 考 试 数 学 试 题 说 明 : 本 试 卷 分 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 ) 和 第 Ⅱ 卷 ( 非 选 择 题 ) 两 部 分, 共 50 分, 考 试 时 间 0 分 钟. 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 共 60 分 ) 一 选 择 题 ( 本 大 题 共 小 题, 每 小 题 5 分, 共 60 分. 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ). 设 集 合 A={ -, R},B={y y=-,- }, 则 A B 等 于 A.R B.{ R, 0} C.{0} D. 答 案 :C 由 -, 得 0. A=[0,]. 由 y=-,-, 知 - y 0. B=[-,0]. A B={0}.. 在 等 差 数 列 {a n } 中, 已 知 a =,a +a =, 则 a +a 5 +a 6 等 于 A.0 B. C. D.5 答 案 :B 由 a =,a +a =a +d=, 知 d=. a +a 5 +a 6 =a +a +a +9d=5+7=. m.( 理 ) 已 知 =-ni, 其 中 m n 是 实 数,i 是 虚 数 单 位, 则 m+ni 等 于 i A.+i B.-i C.-i D.+i ( 文 ) 已 知 直 线 l: +y+=0, 则 直 线 l 的 倾 斜 角 为 A. B. m m, m, 答 案 :( 理 )D 由 =-ni, 得 m-mi=-ni.. 解 得. m+ni=+i. i m n n C. ( 文 )D 由 +y+=0, 知 k=-, 倾 斜 角 α=..( 理 文 6) 对 于 不 重 合 的 两 直 线 m n 和 平 面 α, 下 列 命 题 中 的 真 命 题 是 A. 如 果 m n 是 异 面 直 线, 那 么 n α B. 如 果 mα,n α,m n 共 面, 那 么 m n C. 如 果 mα,n α,m n 是 异 面 直 线, 那 么 n 与 α 相 交 D. 如 果 m α,n α,m n 共 面, 那 么 m n ( 文 ) 已 知 向 量 a=(cosα,-),b=(sinα,), 且 a b, 则 tan(α- ) 等 于 D. A. B. C.- D.- 答 案 :( 理 文 6)B n α,n 与 α 可 相 交,A 不 正 确 ;m α,n α,m n 共 面, 则 m n 或 m 与 n 异 面, C 不 正 确 ;m α,n α,m n 共 面, 则 m n 或 m 与 n 是 两 条 相 交 直 线, D 不 正 确. 选 B. ( 文 )C a b, cosα=-sinα,tanα= tan tan. tan(α )= =-. tan tan

2 或 cos( ),,0, 5.( 理 ) 函 数 f()= 若 f(a)=0, 则 a 的 所 有 可 能 取 值 组 成 的 集 合 为 e, 0, A.{0} B.{0, } C.{0, } D.{, ( 文 ) 设 f()=lg, 则 f(+)+f(-) 的 定 义 域 为 A.(-,) B.(-,) C.(-,) D.(-,) 答 案 :( 理 )B 由 cos(πa )=0,-<a<0, 知 a =,a= ( 文 )A 由 >0, 得 -<<. f() 的 定 义 域 为 (-,). }. 由 e a -=0,a 0, 知 a=0. a=0 或.,,. -<<. f(+)+f(-) 的 定 义 域 为 (-,)... 6.( 理 )P 为 抛 物 线 y =p(p>0) 上 的 任 意 一 点,F 为 抛 物 线 的 焦 点, 以 PF 为 直 径 的 圆 与 y 轴 的 位 置 关 系 是 A. 相 切 B. 相 离 C. 相 交 D. 与 P 点 的 位 置 有 关 答 案 :( 理 )A 方 法 一 : 如 示 意 图,PF=PP,OF =M M =OF. MM = (FF +PP ),MM =MM -M M = (FF +PP )-M M =M M + PP -M M = PP = PF. 以 PF 为 直 径 的 圆 与 y 轴 相 切. 方 法 二 : 设 P( 0,y 0 ), 则 M( 0 + p, y0 ), PF = 0 + p, PF = 0 + p, MM = PF. 以 PF 为 直 径 的 圆 与 y 轴 相 切. 7.( 理 ) 已 知 a>0,b>0,a b 的 等 差 中 项 是, 且 α=a+,β=b+, 则 α+β 的 最 小 值 是 a b A. B. C.5 D.6 ( 文 ) 已 知 加 密 规 则 为 : 明 文,y,z 对 应 密 文 +y,y+z,z, 例 如, 明 文,, 对 应 密 文 5,7, 9. 当 接 收 方 收 到 密 文 8,9, 时, 则 解 密 得 到 的 明 文 为 A.,6, B.7,6, C.6,,7 D.,6, 答 案 :( 理 )C a b 的 等 差 中 项 为, a+b=. 又 a+b ab, 0<ab.. ab α+β=(a+ )+(b+ )=(a+b)+( + )=+ +=5. a b a b ab

3 y 8, 6, ( 文 )C 由 题 意 得 y z 9, 解 得 y, z, z 7. 或 8.( 理 8 文 ) 将 函 数 y=sinω(ω>0) 的 图 象 按 向 量 a=(,0) 平 移, 平 移 后 的 图 象 如 图 所 示, 6 则 平 移 后 的 图 象 所 对 应 函 数 的 解 析 式 是 A.y=sin(+ ) B.y=sin( ) 6 6 C.y=sin(- ) D.y=sin(+ ) ( 文 ) 已 知 OM =(, ),ON =(0,), 则 满 足 条 件 0 OPOM, 0 OPON 的 动 点 P 的 变 动 范 围 是 ( 图 中 的 阴 影 部 分, 含 边 界 ) 答 案 :( 理 8 文 )D y=sinω(ω>0) 的 图 象 按 a=(,0) 平 移 后 图 象 对 应 的 解 析 式 为 6 7 y=sinω(+ ), 由 图 象 知 ω( + )=, ω=. y=sin(+ ). 6 6 ( 文 )A 设 P(,y), 由 0 OP OM,0 OP ON 0 y,, 知. 选 A. 0 y. 9.( 理 9 文 ) 已 知 集 合 A={5},B={,},C={,,}, 从 这 三 个 集 合 中 各 取 一 个 元 素 构 成 空 间 直 角 坐 标 系 中 点 的 坐 标, 则 确 定 的 不 同 点 的 个 数 为 A.5 B. C. D.6

4 或 ( 文 ) 若 双 曲 线 -y = 上 的 点 到 左 准 线 的 距 离 是 到 左 焦 点 距 离 的, 则 m 等 于 m A. B. C. 8 答 案 :( 理 9 文 )C 不 考 虑 限 定 条 件, 确 定 的 不 同 点 的 个 数 为 C D. 8 9 C A =6, 但 B C 中 有 相 同 元 素, 由 5,, 三 个 数 确 定 的 不 同 的 点 的 个 数 只 有 个, 故 所 求 的 个 数 为 6-= 个. ( 文 )C 由 第 二 定 义 知 e=, 又 e= m, 9m=m+,m=. m 8 0.( 理 ) 甲 乙 两 人 同 时 从 A 地 赶 往 B 地, 甲 先 骑 自 行 车 到 中 点 后 改 为 跑 步, 而 乙 则 是 先 跑 步 到 中 点 后 改 为 骑 自 行 车, 最 后 两 人 同 时 到 达 B 地. 又 知 甲 骑 自 行 车 比 乙 骑 自 行 车 的 速 度 快, 并 且 两 人 骑 车 速 度 均 比 跑 步 速 度 快. 若 某 人 离 开 A 地 的 距 离 s 与 所 用 时 间 t 的 函 数 关 系 可 用 图 ~ 中 的 某 一 个 来 表 示, 则 甲 乙 两 人 所 对 应 的 函 数 图 象 只 可 能 分 别 是 A. 甲 是 图, 乙 是 图 B. 甲 是 图, 乙 是 图 C. 甲 是 图, 乙 是 图 D. 甲 是 图, 乙 是 图 ( 文 ) 已 知 函 数 f() 的 导 数 为 f ()= -, 当 函 数 f() 取 得 极 大 值 时, 则 对 应 的 值 为 A.- B.0 C. D.± 答 案 :( 理 )B 线 段 的 斜 率 表 示 速 度, 斜 率 越 大, 速 度 越 大, 故 选 B. ( 文 )B 由 f ()= ->0, 解 得 -<<0 或 >; 由 f ()= -<0, 得 <- 或 0<<. =0 为 函 数 f() 的 极 大 值 点..( 理 ) 已 知 球 O 的 半 径 为,A B C 三 点 都 在 球 面 上,A B 两 点 和 A C 两 点 的 球 面 距 离 都 是,B C 两 点 的 球 面 距 离 是, 则 二 面 角 BOAC 的 大 小 是 A. B. C. D. 答 案 :( 理 )C 球 O 的 半 径 为,AB 和 AC 间 的 球 面 距 离 为, AOB= AOC=,AB=AC; 又 B C 两 点 的 球 面 距 离 为, BOC=,BC=; 过 B 作 BD AO 于 D, 连 结 CD, 则 CD AO, 则 BDC 是 二 面 角 BOAC 的 平 面 角.

5 或 又 BD=CD=, BDC=, 即 二 面 角 BOAC 的 大 小 是..( 理 ) 用 n 个 不 同 的 实 数 a,a,a,,a n, 得 到 n! 个 不 同 的 排 列, 每 个 排 列 为 一 行, 可 写 出 一 个 n! 行 的 数 阵. 第 i 行 为 a i,a i,a i,,a in, 记 b i =-a i +a i -a i + +(-) n na in,i=,,,,n!. 例 如 : 用,, 可 得 数 阵 ( 如 下 图 ). 由 于 每 行 都 是,, 的 一 个 排 列, 其 中 作 排 头 的 有 A = 个, 于 是 每 一 列 中,, 都 分 别 出 现 次, 所 以 此 数 阵 每 一 列 各 数 之 和 都 是 (++) =, 所 以 b +b +b + +b 6 =-+ - =-. 那 么 用,,,,5, 形 成 的 数 阵 中 b +b +b + +b 0 等 于 A B. 800 C D.-70 答 案 :( 理 )C 当 n=5 时,n!=0, 故 所 研 究 的 数 阵 有 0 行 5 列, 每 行 都 是,,,,5 的 一 个 排 列, 其 中 作 排 头 的 有 A = 个. 于 是 每 一 列 中,,,,,5 都 分 别 出 现 次, 故 每 列 数 之 和 相 等 为 (++++5) =60, b +b + +b 0 =60 (-+-+-5)= 第 Ⅱ 卷 ( 非 选 择 题 共 90 分 ) 二 填 空 题 ( 本 大 题 共 小 题, 每 小 题 分, 共 6 分. 把 答 案 填 在 题 中 横 线 上 ).( 理 ) 若 曲 线 y= 的 一 条 切 线 l 与 直 线 -y=8 平 行, 则 l 的 方 程 为 ( 文 ) 若 函 数 y= ( [0,]), 则 反 函 数 f - () 的 定 义 域 是 答 案 :( 理 )-y-=0 切 线 与 -y=8 平 行, l 的 斜 率 为. 由 y =,y =, 得 =. 切 点 为 (,), 切 线 方 程 为 y-=(-), 即 -y-=0. ( 文 )[0,] y= ( ), [0,], -(-) + [0,]. y= 的 值 域 为 [0,], 即 反 函 数 的 定 义 域 为 [0,].( 理 ) 已 知 实 数 y 满 足 9 +6y =, 则 +y 的 取 值 范 围 是 ( 文 ) 若 f()=atan(+ )+btan(- )(ab 0) 是 偶 函 数, 则 有 序 实 数 对 (a,b) 可 以 是 正 确 的 一 组 数 字 即 可 ) y 答 案 :( 理 )[, ] 由 9 +6y =, 得 =, 令 =cosθ,y=sinθ, 6 9 +y=cosθ+sinθ= sin(θ+φ) [, ]. ( 文 )(,-)( 答 案 不 唯 一 ) f() 是 偶 函 数, f(-)=f(), 即 atan(+ )+btan( )=atan(-+ )+btan(- ). (a+b) [ tan(+ )+tan( =0. a+b=0. 例 如 a=,b=-. ) ]

6 或 5.( 理 ) 设 常 数 a>0,(a + ) 展 开 式 中 的 系 数 为, 则 lim (a+a + +a n )= n ( 文 ) 若 直 线 y=+m 与 曲 线 y= 有 两 个 不 同 的 交 点, 则 m 的 取 值 范 围 是 答 案 :( 理 ) T r+ = r 5r r r 8r r r 8 C a = C a C r a -rr =,a=. lim (a+a + +a n )= =. n, 令 8 5r =, 得 r=. ( 文 )(,-] 曲 线 y= 表 示 在 轴 及 轴 下 方 的 半 个 单 位 圆, 直 线 y=+m 与 y= 平 行,m=- 时, 有 两 个 交 点 ;m= 时, 相 切, 有 一 个 交 点. m (,-]. S 6. 已 知 数 列 {a,a,,a n } 的 前 n 项 和 为 S n, 定 义 M n = S S n S n 为 数 列 {a,a,,a n } 的 凯 森 和. 若 M 500 = 00, 则 数 列 {7,a,a,,a 500 } 的 凯 森 和 为 答 案 : 007 由 题 意 得 S +S + +S 500 = , {7,a,a,,a 500 } 的 凯 森 和 为 S' S ' S' S50' 50 7 (7 S) (7 S ) (7 S500) S S S500 =7+ 500= 三 解 答 题 ( 本 大 题 共 6 小 题, 共 7 分. 解 答 应 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ) 7.( 本 小 题 满 分 分 ) 已 知 向 量 m=(cos, cos ),n=(sin, () 求 f() 的 解 析 式 ; () 求 f() 的 单 调 递 增 区 间 ; cos ), 函 数 f()=m n. () 如 果 ABC 的 三 边 a b c 满 足 b =ac, 且 边 b 所 对 的 角 为, 试 求 的 范 围 及 此 时 函 数 f() 的 值 域. 解 :()f()=cos sin + cos 分

7 或 = sin cos sin( ). 分 () 由 kπ- + kπ+,6 分 5 5 得 kπ- kπ+. f() 的 单 调 递 增 区 间 为 [kπ-,kπ+ ](k Z).8 分 a ()cos= c b ac a c ac ac ac ac ac ac ac, 是 ABC 的 内 角, (0, ].0 分 5 + (, ]. <sin( + ). f() 的 值 域 是 ( 9,+ ]. 分 8.( 本 小 题 满 分 分 ) 某 小 组 中 有 男 生 女 生 若 干 人, 如 果 从 中 选 一 人 参 加 某 项 测 试, 女 生 被 选 中 的 概 率 是 ; 如 果 从 中 选 两 人 参 加 测 试, 两 人 都 是 女 生 的 概 率 为 ( 每 个 人 被 选 中 是 5 等 可 能 的 ). () 求 该 小 组 男 生 女 生 各 多 少 人? () 从 该 小 组 中 选 出 人, 求 男 女 生 都 有 的 概 率 ; () 若 对 该 小 组 的 同 学 进 行 某 项 测 试, 其 中 女 生 通 过 的 概 率 为, 男 生 通 过 的 概 率 为, 现 对 5 5 该 小 组 中 男 生 甲 乙 和 女 生 丙 三 人 进 行 测 试, 求 至 少 有 人 通 过 测 试 的 概 率. n 解 :() 设 该 小 组 男 女 生 共 n 人, 其 中 女 生 有 人, 据 题 意, 得 C Cn 6, 解 得 答 : 男 生 有 人, 女 生 有 6 人. 分 n 0. C C () 由 题 意, 得 - C 0 6 = 5.8 分, 5,, 分 9 ()( ) ( )+ C (- +( =5. 分 ) 5 5 ) 5 9.( 本 小 题 满 分 分 ) 如 图, 在 底 面 为 平 行 四 边 形 的 四 棱 锥 P ABCD 中,AB AC,PA 平 面 ABCD, 且 PA=AB, 点 E 是 PD 的 中 点.

8 或 () 求 证 :AC PB; () 求 证 :PB 平 面 AEC; ()( 理 ) 求 二 面 角 EACB 的 大 小. ( 文 ) 求 二 面 角 EACD 的 大 小. 答 案 :() 证 明 : PA 平 面 ABCD, AB 是 PB 在 平 面 ABCD 上 的 射 影. 分 又 AB AC,AC 平 面 ABCD, AC PB. 分 () 证 明 : 连 结 BD, 与 AC 相 交 于 O, 连 结 OE. ABCD 是 平 行 四 边 形, O 是 BD 的 中 点. 又 E 是 PD 的 中 点, OE PB.6 分 又 PB 平 面 AEC,OE 平 面 AEC, PB 平 面 AEC.8 分 ()( 理 ) 解 法 一 : 过 E 作 EF 平 面 ABCD, 垂 足 为 F, PA 平 面 ABCD, F 在 AD 上, 且 为 AD 的 中 点. 连 结 OF, 则 OF AB. AB AC, OF AC. OE AC. 故 EOF 为 二 面 角 EACD 的 平 面 角.0 分 在 Rt EOF 中,EF= PA,OF= AB, PA=AB, EF=OF. EOF=. 二 面 角 EACB 为. 分 解 法 二 : 以 A 点 为 坐 标 原 点,AC 所 在 直 线 为 轴,AB 所 在 直 线 为 y 轴,AP 所 在 直 线 为 z 轴, 建 立 空 间 直 角 坐 标 系, 设 AC=a,AB=b( 图 略 ). 取 BC 中 点 G, 连 结 OG, 则 OG =(0, b,0),oe = BP =(0,- b, b ), AC =(a,0,0). b b b AC OG =(a,0,0) (0,,0)=0, AC OE =(a,0,0) (0,-, )=0, OG AC,OE AC. EOG 是 二 面 角 EACB 的 平 面 角.0 分 OE OG cos EOG=cos OE, OG = OE OG, EOG=. 二 面 角 EACB 的 大 小 为. 分 ( 文 ) 解 法 一 : 过 E 作 EF 平 面 ABCD, 垂 足 为 F, PA 平 面 ABCD, F 在 AD 上, 且 为 AD 的 中 点. 连 结 OF, 则 OF AB. AB AC, OF AC. OE AC. 故 EOF 为 二 面 角 EACD 的 平 面 角.0 分 在 Rt EOF 中,EF= PA,OF= AB. PA=AB, EF=OF. EOF=. 二 面 角 EACD 的 大 小 为. 分 解 法 二 : 以 A 点 为 坐 标 原 点,AC 所 在 直 线 为 轴,AB 所 在 直 线 为 y 轴,AP 所 在 直 线 为 z 轴, 建 立 空 间 直 角 坐 标 系, 设 AC=a,AB=b( 图 略 ). b b b 取 AD 中 点 F, 取 AC 中 点 O, 连 结 OF, 则 OF =(0,-,0),OE = BP =(0,-, ), AC =(a,0,0).

9 或 b b b AC OF =(a,0,0) (0,-,0)=0, AC OE =(a,0,0) (0,-, )=0. OE AC,OF AC. EOF 是 二 面 角 EACD 的 平 面 角.0 分 OE OF cos EOF=cos OE, OF = OE OF, EOF=. 二 面 角 EACD 的 大 小 为. 分 0.( 理 )( 本 小 题 满 分 分 ) 某 地 区 的 一 种 特 色 水 果 上 市 时 间 能 持 续 5 个 月, 预 测 上 市 初 期 和 后 期 会 因 供 不 应 求 使 价 格 呈 连 续 上 涨 态 势, 而 中 期 又 将 出 现 供 大 于 求 使 价 格 连 续 下 跌, 现 有 三 种 价 格 模 拟 函 数 : f()=p q ; f()=log q +p; f()=(-)(-q) +p( 以 上 三 式 中 p q 均 为 常 数, 且 q>). () 为 准 确 研 究 其 价 格 走 势, 应 选 哪 种 价 格 模 拟 函 数, 为 什 么? () 若 f()=,f()=6, 求 出 所 选 函 数 f() 的 解 析 式 ( 注 : 函 数 的 定 义 域 是 [,6]. 其 中 = 表 示 月 日,= 表 示 5 月 日,= 表 示 6 月 日,, 以 此 类 推 ); () 为 保 证 果 农 的 收 益, 打 算 在 价 格 下 跌 期 间 积 极 拓 宽 销 路, 请 你 预 测 该 水 果 在 哪 几 个 月 内 价 格 下 跌. ( 文 )( 本 小 题 满 分 分 ) 某 地 区 的 一 种 特 色 水 果 上 市 时 间 能 持 续 5 个 月, 预 测 上 市 初 期 和 后 期 会 因 供 不 应 求 使 价 格 呈 连 续 上 涨 态 势, 而 中 期 又 将 出 现 供 大 于 求 使 价 格 连 续 下 跌, 现 有 三 种 价 格 模 拟 函 数 : f()= ;f()=log ; f()=(-)(-) + ( 以 上 三 函 数 的 定 义 域 都 是 [,6]. 其 中 = 表 示 月 日,= 表 示 5 月 日,= 表 示 6 月 日,, 以 此 类 推 ). () 为 准 确 研 究 其 价 格 走 势, 应 选 哪 种 价 格 模 拟 函 数, 为 什 么? () 为 保 证 果 农 的 收 益, 打 算 在 价 格 下 跌 期 间 积 极 拓 宽 销 路, 请 你 预 测 该 水 果 在 哪 几 个 月 内 价 格 下 跌. 答 案 :( 理 ) 解 :() 由 已 知 水 果 的 价 格 先 上 涨, 再 下 跌, 然 后 再 次 上 涨, 反 映 到 函 数 的 图 象 上 就 是 : 先 是 增 函 数, 后 是 减 函 数, 又 是 增 函 数. f()=p q 是 单 调 递 增 函 数, f()=log q +p 是 单 调 递 增 函 数, f()=(-)(-q) +p 中 f ()= -(q+)+q +q, q 令 f ()=0, 得 =q, =,f() 有 两 个 零 点, 既 有 递 增 区 间, 又 有 递 减 区 间, 应 选 f()=(-)(-q) +p 为 其 模 拟 函 数. 分 p, () 由 f()=,f()=6, 得 ( q),5 分 p 6, p, 解 之, 得 ( 其 中 q= 舍 去 ). f()=(-)(-) += -9 +-( 6).8 分 q () 由 f ()= -8+<0, 解 得 <<,0 分

10 或 函 数 f()=(-)(-) += 在 区 间 (,) 上 单 调 递 减. 这 种 果 品 在 5 6 月 份 价 格 连 续 下 跌. 分 ( 文 ) 解 :() 由 已 知 水 果 的 价 格 先 上 涨, 再 下 跌, 然 后 再 次 上 涨, 反 映 到 函 数 的 图 象 上 就 是 : 先 是 增 函 数, 后 是 减 函 数, 又 是 增 函 数. f()= 是 单 调 递 增 函 数,f()=log 是 单 调 递 增 函 数, 分 f()=(-)(-) + 中 f ()= -8+, 令 f ()=0, 得 =, =, 分 f() 有 两 个 零 点, 既 有 递 增 区 间, 又 有 递 减 区 间, 应 选 f()=(-)(-) + 为 其 模 拟 函 数.6 分 () 由 f ()= -8+<0, 解 得 <<,8 分 函 数 f()=(-)(-) += 在 区 间 (,) 上 单 调 递 减.0 分 这 种 果 品 在 5 6 月 份 价 格 连 续 下 跌. 分.( 理 文 )( 本 小 题 理 科 满 分 分, 文 科 满 分 分 ) 已 知 f()=a +a +a + +a n n (n N * ), 且 a,a,a,,a n 构 成 一 个 数 列, 又 f()=n, () 求 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 ; () 求 证 :f( )<. 答 案 :( 理 文 )() 解 : f()=a +a +a + +a n (n N * ), S n =a +a +a + +a n =n. 理 分 a =S =,a n =S n -S n- =n -(n-) =n-(n ). a n =n-. 理 分, 文 6 分 () 证 明 : f( + ( ) )= +5 ( ) + +(n-)( ) n- +(n-)( ) n, f( )= ( ) + ( ) +5 ( ) + +(n-)( ) n +(n-)( ) n+. 理 6 分, 文 8 分 两 式 相 减, 得 f( )= + [( ) +( ) +( ) + +( ) n ]-(n-)( ) n+. 文 0 分 n ( ) [ ( ) ] f( )= +. 理 8 分 f( )= + -( ) n -(n-)( ) n+. 理 0 分, 文 分 n f( )=- n <. 理 分, 文 分.( 本 小 题 理 科 满 分 分, 文 科 满 分 分 ) 已 知 圆 M:(+ 5 ) +y =6, 定 点 N( 5,0), 点 P 为 圆 M 上 的 动 点, 点 Q 在 NP 上, 点 G 在 MP 上, 且 满 足 NP NP, GQ NP =0. ()( 理 () 文 ()) 求 点 G 的 轨 迹 C 的 方 程 ; ()( 理 ()) 过 点 (,0) 作 直 线 l, 与 曲 线 C 交 于 A B 两 点,O 是 坐 标 原 点, 设 OS OA OB, 是 否 存 在 这 样 的 直 线 l, 使 四 边 形 OASB 的 对 角 线 相 等 ( 即 OS = AB )? 若 存 在, 求 出 直 线 l 的 方 程, 若 不 存 在, 试 说 明 理 由. ( 文 ()) 直 线 l 的 方 程 为 l:-y-6=0, 与 曲 线 C 交 于 A B 两 点,O 是 坐 标 原 点, 且

11 或 OS OA OB, 求 证 : 四 边 形 OASB 为 矩 形. () 解 :( 理 () 文 ()) NP NQ Q为 NP的 中 点 且 GQ NP GQ 为 NP 的 中 垂 线 GQ PN 0 GP = GN, 分 GN + GM = MP =6. 故 G 点 的 轨 迹 是 以 M N 为 焦 点 的 椭 圆, 其 半 长 轴 长 a=, 半 焦 距 c= 5. y 半 短 轴 长 b=. 点 G 的 轨 迹 方 程 是 =.6 分 9 ()( 理 ()) 解 : OS OA OB, 四 边 形 OASB 为 平 行 四 边 形. 若 存 在 l 使 得 OS = AB, 则 四 边 形 OASB 为 矩 形, OA OB =0. 若 l 的 斜 率 不 存 在, 直 线 l 的 方 程 为 =,,, 6 由 y 得 5. OA OB = >0, 与 OA OB, y. 9 9 在.8 分 设 l 的 方 程 为 y=k(-),a(,y ),B(,y ), y k( ) 由 y (9k +) -6k +6(k -)=0.0 分 9 5 6k 6( k ) + =, =, 9k 9k y y =[k( -)][ k( -)]=k [ -( + )+]= 0k. 分 9 k =0 矛 盾, 故 l 的 斜 率 存 把 代 入 +y y =0, 得 k=±. 存 在 直 线 l:-y-6=0 或 +y-6=0 使 得 四 边 形 OASB 的 对 角 线 相 等. 分 ( 文 ()) 证 明 : OS OA OB, 四 边 形 OASB 为 平 行 四 边 形.7 分 y 设 A(,y ),B(,y ), 由 y = -8+5= =, =.0 分 OA OB =+yy=+ (-)(-)=. 四 边 形 OASB 为 矩 形. 分 (+)+9= +9=

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