内 容 简 介 本 书 是 在 中 国 科 学 技 术 大 学 高 等 数 学 教 研 室 编 写 的 高 等 数 学 导 论 基 础 之 上 并 由 参 与 微 积 分 教 学 多 年 的 教 师 分 工 编 写 而 成 的 内 容 结 构 方 面 得 以 重 新 组 织 和 优 化 而 且 部

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1 微 积 分 学 导 论 陈 祖 墀 宣 本 金 汪 琥 庭 吴 健 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社

2 内 容 简 介 本 书 是 在 中 国 科 学 技 术 大 学 高 等 数 学 教 研 室 编 写 的 高 等 数 学 导 论 基 础 之 上 并 由 参 与 微 积 分 教 学 多 年 的 教 师 分 工 编 写 而 成 的 内 容 结 构 方 面 得 以 重 新 组 织 和 优 化 而 且 部 分 过 于 烦 琐 的 内 容 也 得 到 了 删 除 或 简 化 以 适 应 当 今 工 科 数 学 教 育 的 发 展 并 满 足 培 养 学 生 的 要 求 本 书 分 上 下 两 册 出 版 内 容 包 含 微 积 分 学 的 核 心 内 容 及 其 应 用 本 书 是 上 册 内 容 包 括 实 数 与 函 数 极 限 理 论 单 变 量 函 数 的 微 分 学 单 变 量 函 数 的 积 分 学 微 分 方 程 等 五 章 本 书 的 编 写 充 分 考 虑 了 学 生 的 背 景 和 认 知 水 平 尽 量 由 具 体 问 题 引 入 数 学 概 念 同 时 采 用 语 言 描 述 公 式 表 达 数 值 列 表 以 及 图 形 说 明 等 多 种 方 式 以 使 抽 象 深 奥 的 数 学 概 念 思 想 和 方 法 变 得 具 体 生 动 形 象 和 直 观 为 加 深 对 概 念 定 理 等 的 理 解 和 掌 握 书 中 编 有 丰 富 的 例 题 并 有 详 细 的 解 答 可 给 学 生 提 供 一 个 解 决 问 题 的 范 本 还 提 供 了 大 量 的 习 题 或 复 习 题 供 学 生 练 习 另 外 每 章 末 的 复 习 都 很 好 地 总 结 了 该 章 的 内 容 以 供 学 生 参 考 和 总 结 本 书 可 作 为 理 工 科 院 校 非 数 学 专 业 或 师 范 类 院 校 数 学 专 业 的 教 材 或 教 学 参 考 书 也 可 供 具 有 一 定 数 学 基 础 的 读 者 自 学 图 书 在 版 编 目 数 据 微 积 分 学 导 论 上 册 陈 祖 墀 等 编 合 肥 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社 中 国 科 学 技 术 大 学 精 品 教 材 十 二 五 国 家 重 点 图 书 出 版 规 划 中 国 科 学 院 指 定 考 研 参 考 书 微 陈 微 积 分 高 等 学 校 教 材 中 国 版 本 图 书 馆 数 据 核 字 第 号 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社 出 版 发 行 地 址 安 徽 省 合 肥 市 金 寨 路 号 网 址!" "#$%&%!'$&' 合 肥 学 苑 印 务 有 限 公 司 印 刷 全 国 新 华 书 店 经 销 开 本 印 张 插 页 字 数 千 年 月 第 版 年 月 第 次 印 刷 定 价 元

3 总 序 年 为 庆 祝 中 国 科 学 技 术 大 学 建 校 五 十 周 年 反 映 建 校 以 来 的 办 学 理 念 和 特 色 集 中 展 示 教 材 建 设 的 成 果 学 校 决 定 组 织 编 写 出 版 代 表 中 国 科 学 技 术 大 学 教 学 水 平 的 精 品 教 材 系 列 在 各 方 的 共 同 努 力 下 共 组 织 选 题 种 经 过 多 轮 严 格 的 评 审 最 后 确 定 种 入 选 精 品 教 材 系 列 五 十 周 年 校 庆 精 品 教 材 系 列 于 年 月 纪 念 建 校 五 十 周 年 之 际 陆 续 出 版 共 出 书 种 在 学 生 教 师 校 友 以 及 高 校 同 行 中 引 起 了 很 好 的 反 响 并 整 体 进 入 国 家 新 闻 出 版 总 署 的 十 一 五 国 家 重 点 图 书 出 版 规 划 为 继 续 鼓 励 教 师 积 极 开 展 教 学 研 究 与 教 学 建 设 结 合 自 己 的 教 学 与 科 研 积 累 编 写 高 水 平 的 教 材 学 校 决 定 将 精 品 教 材 出 版 作 为 常 规 工 作 以 中 国 科 学 技 术 大 学 精 品 教 材 系 列 的 形 式 长 期 出 版 并 设 立 专 项 基 金 给 予 支 持 国 家 新 闻 出 版 总 署 也 将 该 精 品 教 材 系 列 继 续 列 入 十 二 五 国 家 重 点 图 书 出 版 规 划 年 学 校 成 立 之 时 教 员 大 部 分 来 自 中 国 科 学 院 的 各 个 研 究 所 作 为 各 个 研 究 所 的 科 研 人 员 他 们 到 学 校 后 保 持 了 教 学 的 同 时 又 作 研 究 的 传 统 同 时 根 据 全 院 办 校 所 系 结 合 的 原 则 科 学 院 各 个 研 究 所 在 科 研 第 一 线 工 作 的 杰 出 科 学 家 也 参 与 学 校 的 教 学 为 本 科 生 授 课 将 最 新 的 科 研 成 果 融 入 到 教 学 中 虽 然 现 在 外 界 环 境 和 内 在 条 件 都 发 生 了 很 大 变 化 但 学 校 以 教 学 为 主 教 学 与 科 研 相 结 合 的 方 针 没 有 变 正 因 为 坚 持 了 科 学 与 技 术 相 结 合 理 论 与 实 践 相 结 合 教 学 与 科 研 相 结 合 的 方 针 并 形 成 了 优 良 的 传 统 才 培 养 出 了 一 批 又 一 批 高 质 量 的 人 才 学 校 非 常 重 视 基 础 课 和 专 业 基 础 课 教 学 的 传 统 也 是 她 特 别 成 功 的 原 因 之 一 当 今 社 会 科 技 发 展 突 飞 猛 进 科 技 成 果 日 新 月 异 没 有 扎 实 的 基 础 知 识 很 难 在 科 学 技 术 研 究 中 作 出 重 大 贡 献 建 校 之 初 华 罗 庚 吴 有 训 严 济 慈 等 老 一 辈 科 学 家 教 育 家 就 身 体 力 行 亲 自 为 本 科 生 讲 授 基 础 课 他 们 以 渊 博 的 学 识 精 湛 的 讲 课 艺 术 高 尚 的 师 德 带 出 一 批 又 一 批 杰 出 的 年 轻 教 员 培 养

4 微 积 分 学 导 论 了 一 届 又 一 届 优 秀 学 生 入 选 精 品 教 材 系 列 的 绝 大 部 分 是 基 础 课 或 专 业 基 础 课 的 教 材 其 作 者 大 多 直 接 或 间 接 受 到 过 这 些 老 一 辈 科 学 家 教 育 家 的 教 诲 和 影 响 因 此 在 教 材 中 也 贯 穿 着 这 些 先 辈 的 教 育 教 学 理 念 与 科 学 探 索 精 神 改 革 开 放 之 初 学 校 最 先 选 派 青 年 骨 干 教 师 赴 西 方 国 家 交 流 学 习 他 们 在 带 回 先 进 科 学 技 术 的 同 时 也 把 西 方 先 进 的 教 育 理 念 教 学 方 法 教 学 内 容 等 带 回 到 中 国 科 学 技 术 大 学 并 以 极 大 的 热 情 进 行 教 学 实 践 使 科 学 与 技 术 相 结 合 理 论 与 实 践 相 结 合 教 学 与 科 研 相 结 合 的 方 针 得 到 进 一 步 深 化 取 得 了 非 常 好 的 效 果 培 养 的 学 生 得 到 全 社 会 的 认 可 这 些 教 学 改 革 影 响 深 远 直 到 今 天 仍 然 受 到 学 生 的 欢 迎 并 辐 射 到 其 他 高 校 在 入 选 的 精 品 教 材 中 这 种 理 念 与 尝 试 也 都 有 充 分 的 体 现 中 国 科 学 技 术 大 学 自 建 校 以 来 就 形 成 的 又 一 传 统 是 根 据 学 生 的 特 点 用 创 新 的 精 神 编 写 教 材 进 入 我 校 学 习 的 都 是 基 础 扎 实 学 业 优 秀 求 知 欲 强 勇 于 探 索 和 追 求 的 学 生 针 对 他 们 的 具 体 情 况 编 写 教 材 才 能 更 加 有 利 于 培 养 他 们 的 创 新 精 神 教 师 们 坚 持 教 学 与 科 研 的 结 合 根 据 自 己 的 科 研 体 会 借 鉴 目 前 国 外 相 关 专 业 有 关 课 程 的 经 验 注 意 理 论 与 实 际 应 用 的 结 合 基 础 知 识 与 最 新 发 展 的 结 合 课 堂 教 学 与 课 外 实 践 的 结 合 精 心 组 织 材 料 认 真 编 写 教 材 使 学 生 在 掌 握 扎 实 的 理 论 基 础 的 同 时 了 解 最 新 的 研 究 方 法 掌 握 实 际 应 用 的 技 术 入 选 的 这 些 精 品 教 材 既 是 教 学 一 线 教 师 长 期 教 学 积 累 的 成 果 也 是 学 校 教 学 传 统 的 体 现 反 映 了 中 国 科 学 技 术 大 学 的 教 学 理 念 教 学 特 色 和 教 学 改 革 成 果 希 望 该 精 品 教 材 系 列 的 出 版 能 对 我 们 继 续 探 索 科 教 紧 密 结 合 培 养 拔 尖 创 新 人 才 进 一 步 提 高 教 育 教 学 质 量 有 所 帮 助 为 高 等 教 育 事 业 作 出 我 们 的 贡 献 中 国 科 学 技 术 大 学 校 长 中 国 科 学 院 院 士 第 三 世 界 科 学 院 院 士

5 前 言 本 教 材 是 在 中 国 科 学 技 术 大 学 高 等 数 学 教 研 室 编 写 的 高 等 数 学 导 论 基 础 之 上 编 写 而 成 的 而 高 等 数 学 导 论 脱 胎 于 中 国 科 学 技 术 大 学 成 立 之 初 由 曾 肯 成 教 授 主 编 的 高 等 数 学 讲 义 是 世 纪 年 代 由 当 时 的 任 课 教 师 集 体 改 编 而 成 的 这 两 部 教 材 在 中 国 科 学 技 术 大 学 的 教 学 历 程 中 都 起 到 了 积 极 的 作 用 培 养 了 一 批 又 一 批 学 子 功 不 可 没 随 着 时 代 的 发 展 高 等 数 学 导 论 改 编 重 版 的 必 要 性 就 显 得 越 来 越 紧 迫 了 这 主 要 表 现 在 以 下 几 点 高 等 数 学 导 论 自 年 出 版 以 来 已 经 二 十 多 年 了 虽 然 这 二 十 多 年 中 有 过 修 改 但 只 是 对 错 漏 的 订 正 后 来 为 了 适 应 中 国 科 学 技 术 大 学 学 制 五 改 四 的 需 要 教 学 课 时 和 周 期 大 大 缩 减 将 原 三 册 改 为 上 下 两 册 出 版 但 是 由 于 种 种 原 因 教 材 内 容 和 结 构 等 基 本 没 有 变 动 所 以 一 直 以 来 我 们 想 对 高 等 数 学 导 论 从 内 容 方 面 重 新 撰 写 并 从 结 构 方 面 重 新 组 织 和 优 化 添 加 一 部 分 新 内 容 删 除 或 简 化 一 部 分 过 于 烦 琐 的 内 容 以 适 应 今 天 培 养 大 学 生 的 要 求 在 本 教 材 中 有 若 干 定 理 的 证 明 加 上 了 星 号 表 示 该 证 明 利 用 了 后 面 的 结 论 或 者 附 录 中 的 结 论 对 于 课 时 比 较 紧 张 的 课 堂 可 以 只 要 求 学 生 会 利 用 该 定 理 的 结 论 即 可 定 理 证 明 的 细 节 可 以 跳 过 还 有 若 干 小 节 加 上 了 星 号 表 示 在 课 时 比 较 紧 张 时 可 以 跳 过 该 小 节 内 容 的 学 习 而 不 影 响 微 积 分 学 核 心 内 容 的 学 习 和 理 解 也 可 以 安 排 为 课 外 阅 读 内 容 由 授 课 教 师 根 据 教 学 进 度 以 及 学 生 接 受 能 力 等 决 定 取 舍 高 等 数 学 导 论 包 括 解 析 几 何 和 向 量 代 数 的 内 容 但 现 在 这 些 内 容 已 经 划 归 为 线 性 代 数 课 程 的 一 部 分 所 以 应 该 从 微 积 分 课 程 中 删 除 掉 还 有 一 些 内 容 也 要 删 除 比 如 实 数 的 完 备 性 等 由 于 非 数 学 系 学 生 对 于 数 学 逻 辑 证 明 的 接 受 能 力 以 及 教 学 时 间 紧 迫 等 原 因 这 些 内 容 一 般 在 课 堂 上 不

6 微 积 分 学 导 论 予 讲 授 但 还 穿 插 在 教 材 的 正 文 部 分 使 学 生 陷 入 学 与 不 学 的 两 难 境 地 给 学 生 带 来 困 惑 给 教 学 带 来 麻 烦 本 教 材 将 改 写 后 的 实 数 构 造 理 论 以 及 实 数 完 备 性 的 几 个 等 价 定 理 放 入 附 录 之 中 可 供 对 之 感 兴 趣 而 又 学 有 余 力 的 学 生 学 习 当 然 这 些 内 容 对 于 理 解 建 立 在 实 数 基 础 之 上 的 极 限 理 论 乃 至 整 个 微 积 分 学 都 有 很 大 的 帮 助 本 教 材 将 原 来 分 别 编 写 在 上 下 两 册 的 可 积 常 微 分 方 程 和 线 性 微 分 方 程 两 部 分 内 容 进 行 整 合 统 一 纳 入 到 上 册 的 微 分 方 程 一 章 这 样 有 利 于 教 学 安 排 节 省 课 时 又 方 便 学 生 学 习 理 解 同 时 由 于 上 册 没 有 讲 授 幂 级 数 知 识 所 以 应 用 幂 级 数 求 解 方 程 的 内 容 将 放 入 幂 级 数 的 应 用 之 中 讲 授 本 教 材 还 纠 正 了 高 等 数 学 导 论 中 若 干 错 漏 之 处 钱 学 森 先 生 是 中 国 科 学 技 术 大 学 近 代 力 学 系 首 任 系 主 任 他 对 非 数 学 系 用 的 微 积 分 教 材 的 编 写 有 过 指 导 性 建 议 既 要 写 出 从 哪 儿 来 即 数 学 概 念 的 来 龙 也 要 写 出 到 哪 儿 去 也 就 是 用 在 什 么 地 方 即 数 学 知 识 的 去 脉 钱 老 的 这 些 意 见 是 我 们 写 作 本 书 始 终 遵 守 的 原 则 在 教 材 编 写 过 程 中 我 们 充 分 考 虑 学 生 的 背 景 和 认 知 水 平 尽 量 由 具 体 问 题 引 入 数 学 概 念 同 时 辅 以 几 百 张 图 片 以 使 那 些 抽 象 深 奥 的 数 学 概 念 思 想 和 方 法 变 得 具 体 生 动 形 象 和 直 观 对 于 微 积 分 学 中 的 概 念 思 想 和 方 法 的 物 理 和 几 何 背 景 与 解 释 与 数 学 其 他 分 支 之 间 的 联 系 以 及 理 论 和 重 要 公 式 之 间 的 联 系 都 适 当 地 写 入 本 教 材 之 中 以 帮 助 学 生 理 解 使 其 不 但 知 其 然 也 知 其 所 以 然 数 学 理 论 学 习 之 后 本 教 材 都 有 意 地 编 排 一 些 物 理 和 几 何 甚 至 是 生 活 中 的 具 体 应 用 问 题 对 这 些 问 题 的 分 析 和 解 决 可 以 培 养 学 生 运 用 数 学 知 识 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 激 发 其 学 习 数 学 的 兴 趣 华 罗 庚 先 生 是 中 国 科 学 技 术 大 学 应 用 数 学 和 计 算 技 术 系 的 首 任 系 主 任 他 亲 自 写 作 的 高 等 数 学 在 内 容 的 取 舍 和 写 作 方 法 以 及 叙 述 论 证 的 风 格 等 方 面 始 终 是 我 们 本 书 写 作 过 程 中 模 仿 的 楷 模 我 们 尽 量 做 到 核 心 知 识 突 出 理 论 体 系 脉 络 清 晰 简 繁 适 当 论 证 简 洁 清 楚 枝 节 问 题 一 笔 带 过 例 题 针 对 性 强 并 且 分 析 透 彻 能 起 到 举 一 反 三 的 作 用 应 用 问 题 紧 贴 知 识 主 题 且 分 析 细 致 在 每 一 章 之 末 专 门 编 写 本 章 复 习 首 先 将 本 章 内 容 作 提 纲 挈 领 性 的 回 顾 这 就 是 华 老 提 出 的 由 厚 到 薄 的 学 习 过 程 其 次 提 出 一 些 与 正 文 内 容 紧 密 相 连 的 复 习 思 考 题 以 利 于 学 生 对 自 己 的 学 习 掌 握 情 况 作 检 验 引 导 学 生 再 由 薄 到 厚 同 时 本 教 材 用 许 多 开 放 式 的 思 考 题 引 导 学 生 将 数 学 与 其 他 自 然 科 学 以 及 日 常 生 活 紧 密 地 联 系 起 来 增 强 其 学 习 兴

7 前 言 趣 最 后 附 有 一 定 量 的 具 有 较 强 综 合 性 的 复 习 题 帮 助 学 生 将 所 学 知 识 进 行 融 会 贯 通 提 高 自 己 解 决 问 题 的 能 力 其 中 不 乏 近 年 来 的 考 研 试 题 本 书 由 参 与 微 积 分 教 学 多 年 的 教 师 分 工 合 作 编 写 而 成 分 上 下 两 册 上 册 由 陈 祖 墀 宣 本 金 汪 琥 庭 和 吴 健 编 写 其 中 宣 本 金 编 写 实 数 与 函 数 极 限 理 论 和 微 分 方 程 及 实 数 的 构 造 附 录 陈 祖 墀 和 吴 健 编 写 单 变 量 函 数 的 微 分 学 陈 祖 墀 和 汪 琥 庭 编 写 单 变 量 函 数 的 积 分 学 最 后 集 体 统 编 上 册 并 由 宣 本 金 描 绘 所 有 插 图 下 册 由 李 思 敏 宣 本 金 罗 罗 和 叶 盛 编 写 其 中 李 思 敏 编 写 多 变 量 微 分 学 罗 罗 编 写 多 变 量 积 分 学 叶 盛 和 宣 本 金 编 写 无 穷 级 数 和 广 义 积 分 收 敛 性 与 含 参 变 量 积 分 宣 本 金 编 写 傅 里 叶 级 数 与 傅 里 叶 变 换 并 绘 制 全 书 插 图 最 后 集 体 统 编 下 册 在 此 我 们 对 在 编 写 本 教 材 过 程 中 所 有 给 予 过 帮 助 的 同 事 和 朋 友 表 示 由 衷 的 感 谢 特 别 对 编 写 高 等 数 学 导 论 的 同 事 们 表 示 感 谢 初 写 微 积 分 学 导 论 错 误 和 不 足 之 处 在 所 难 免 恳 请 广 大 专 家 和 读 者 给 予 指 正 以 在 后 续 的 印 刷 中 或 再 版 时 改 正 编 者 年 月 中 国 科 学 技 术 大 学

8 目 次 总 序 前 言 第 章 实 数 与 函 数 实 数 有 理 数 与 无 理 数 确 界 原 理 不 等 式 函 数 函 数 的 定 义 函 数 的 运 算 函 数 的 表 示 方 法 复 习 第 章 极 限 理 论 数 列 极 限 数 列 极 限 的 定 义 数 列 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 数 列 收 敛 的 判 别 法 则 自 然 对 数 底 $ 函 数 极 限 函 数 极 限 的 定 义 函 数 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 复 合 函 数 的 极 限 函 数 极 限 的 判 别 法 则 两 个 重 要 极 限 及 其 应 用

9 微 积 分 学 导 论 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 无 穷 小 量 及 其 比 较 无 穷 大 量 及 其 比 较 函 数 的 连 续 性 函 数 连 续 性 的 概 念 连 续 函 数 的 性 质 与 四 则 运 算 初 等 函 数 的 连 续 性 有 界 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 一 致 连 续 性 复 习 第 章 单 变 量 函 数 的 微 分 学 函 数 的 导 数 导 数 的 定 义 函 数 的 求 导 法 则 函 数 的 求 导 公 式 高 阶 导 数 函 数 的 微 分 微 分 的 定 义 微 分 运 算 的 基 本 公 式 和 法 则 高 阶 微 分 微 分 的 应 用 近 似 计 算 与 误 差 估 计 微 分 中 值 定 理 罗 尔 定 理 拉 格 朗 日 中 值 定 理 柯 西 中 值 定 理 未 定 式 的 极 限 与 洛 必 达 法 则 洛 必 达 法 则 其 他 类 型 的 未 定 式 泰 勒 展 开 泰 勒 公 式 几 个 初 等 函 数 的 麦 克 劳 林 公 式 泰 勒 公 式 的 应 用

10 目 次 导 数 的 应 用 函 数 的 单 调 性 与 极 值 函 数 的 凹 凸 性 与 渐 近 线 函 数 图 像 的 描 绘 平 面 曲 线 的 曲 率 复 习 第 章 单 变 量 函 数 的 积 分 学 不 定 积 分 的 概 念 与 性 质 原 函 数 与 不 定 积 分 的 概 念 不 定 积 分 的 基 本 公 式 与 基 本 运 算 法 则 不 定 积 分 的 计 算 方 法 不 定 积 分 的 换 元 法 不 定 积 分 的 分 部 积 分 法 几 种 特 殊 类 型 函 数 的 积 分 定 积 分 的 概 念 和 可 积 函 数 定 积 分 的 概 念 可 积 性 判 别 准 则 与 可 积 函 数 类 定 积 分 的 基 本 性 质 与 微 积 分 基 本 定 理 定 积 分 的 基 本 性 质 微 积 分 基 本 定 理 定 积 分 的 计 算 方 法 定 积 分 的 换 元 法 定 积 分 的 分 部 积 分 法 定 积 分 的 应 用 定 积 分 在 几 何 上 的 应 用 举 例 定 积 分 在 物 理 上 的 应 用 举 例 广 义 积 分 无 穷 区 间 上 的 积 分 无 界 函 数 的 积 分 复 习 第 章 微 分 方 程 微 分 方 程 的 基 本 概 念

11 微 积 分 学 导 论 一 阶 微 分 方 程 变 量 分 离 方 程 齐 次 方 程 可 化 为 齐 次 方 程 的 方 程 一 阶 线 性 方 程 伯 努 利 方 程 可 降 阶 的 二 阶 微 分 方 程 不 显 含 未 知 函 数 的 二 阶 微 分 方 程 不 显 含 自 变 量 的 二 阶 微 分 方 程 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 二 阶 齐 次 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 二 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 欧 拉 方 程 微 分 方 程 的 应 用 贷 款 模 型 人 口 增 长 模 型 质 点 振 动 模 型 复 习 附 录 实 数 的 构 造 参 考 答 案 索 引

12 第 章 实 数 与 函 数 实 数 微 积 分 学 是 研 究 实 数 域 上 函 数 的 微 分 与 积 分 等 性 质 的 学 科 它 的 主 要 研 究 手 段 是 极 限 德 国 数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯 ())$*$#%!#+% 认 为 微 积 分 中 的 一 切 概 念 如 极 限 连 续 微 分 以 及 积 分 等 都 是 建 立 在 实 数 的 基 础 之 上 的 因 此 我 们 从 实 数 学 起 有 理 数 与 无 理 数 从 小 学 到 中 学 我 们 学 习 了 自 然 数 整 数 有 理 数 和 实 数 的 概 念 及 其 运 算 法 则 限 于 当 时 的 认 知 水 平 和 教 学 要 求 教 材 上 更 多 地 依 靠 直 观 经 验 和 语 言 文 字 进 行 描 述 将 有 理 数 看 成 整 数 分 数 有 限 小 数 和 无 限 循 环 小 数 的 全 体 事 实 上 有 理 数 可 以 统 一 为 可 以 表 示 成 两 个 整 数 之 比 的 数 有 限 小 数 总 可 以 表 示 为 一 个 整 数 除 以 的 某 次 幂 的 形 式 然 后 再 进 行 约 分 化 为 既 约 分 数 形 式 比 如 无 限 循 环 小 数 表 示 为 两 个 整 数 之 比 这 个 论 断 则 需 要 计 算 等 比 数 列 部 分 和 的 极 限 即 等 比 级 数 的 和 加 以 验 证 下 面 以 一 个 简 单 的 例 子 说 明 这 个 过 程 这 是 一 个 首 项 和 公 比 均 为 的 等 比 数 列 的 无 穷 多 项 之 和 由 中 学 数 学 可 知 这 个 等

13 微 积 分 学 导 论 比 数 列 的 前 项 和 为, 这 里 需 要 知 道 当 求 和 的 项 数 越 来 越 大 时 等 比 数 列 前 项 和 的 变 化 情 况 事 实 上 当 趋 向 于 无 穷 大 时 其 值 趋 向 于 在 以 后 的 章 节 中 还 将 详 细 讲 解 其 值 趋 向 于 的 精 确 含 义 有 理 数 的 全 体 称 为 有 理 数 集 由 附 录 - 知 有 理 数 集 不 仅 具 有 序 和 加 减 乘 除 四 则 运 算 并 且 对 加 减 乘 除 运 算 是 封 闭 的 即 两 个 有 理 数 的 和 差 积 商 分 母 不 为 零 还 是 有 理 数 更 进 一 步 下 面 我 们 会 证 明 有 理 数 集 具 有 稠 密 性 即 任 意 两 个 不 同 的 有 理 数 之 间 都 有 无 穷 多 个 有 理 数 这 些 性 质 使 得 有 理 数 集 已 经 基 本 满 足 我 们 日 常 生 活 和 科 学 技 术 中 的 测 量 等 实 用 性 需 要 有 理 数 集 具 有 一 个 严 重 的 缺 陷 即 它 不 是 完 备 的 这 种 不 完 备 性 导 致 许 多 实 实 在 在 的 几 何 或 物 理 量 不 能 够 用 有 理 数 精 确 表 达 例 如 边 长 为 的 正 方 形 的 对 角 线 长 度 就 无 法 用 有 理 数 表 达 事 实 上 由 勾 股 定 理 知 此 长 度 为 槡 正 如 后 文 所 证 槡 不 是 有 理 数 类 似 地 可 以 做 出 许 多 几 何 上 确 实 存 在 但 其 长 度 却 无 法 用 有 理 数 表 达 的 量 为 此 我 们 必 须 引 入 一 些 不 是 有 理 数 的 数 来 表 达 这 样 的 量 这 就 是 无 理 数 初 等 数 学 将 无 理 数 定 义 为 像 槡 槡 和 等 无 限 不 循 环 小 数 这 个 定 义 虽 然 当 时 让 人 觉 得 比 较 形 象 易 于 理 解 但 是 这 是 一 个 不 具 操 作 性 的 定 义 首 先 人 们 无 法 说 明 槡 槡 或 是 无 限 不 循 环 小 数 因 为 不 可 能 人 工 地 对 作 无 穷 次 的 开 平 方 根 运 算 进 而 说 明 它 是 无 限 不 循 环 的 即 使 是 利 用 计 算 机 也 无 法 做 到 因 为 计 算 机 和 人 工 一 样 只 能 作 有 限 次 计 算 其 次 人 们 无 法 利 用 上 述 形 象 化 的 定 义 进 行 有 关 无 理 数 的 运 算 和 推 理 在 高 等 数 学 中 将 无 理 数 定 义 为 不 是 有 理 数 的 实 数 即 不 能 表 示 成 两 个 整 数 之 比 的 实 数 这 个 定 义 首 先 需 要 有 实 数 这 个 概 念 而 初 等 数 学 中 又 将 实 数 定 义 为 有 理 数 和 无 理 数 的 全 体 这 样 无 理 数 和 实 数 两 者 之 间 就 是 循 环 定 义 了 为 了 解 决 这 个 循 环 定 义 的 问 题 历 史 上 许 多 数 学 家 做 出 了 艰 苦 的 努 力 最 终 发 展 出 几 种 通 过 有 理 数 构 造 性 地 定 义 无 理 数 和 实 数 的 方 法 例 如 戴 德 金.)/0$$1* 分 割 法 和 康 托 尔 +!# 有 理 基 本 序 列 法 等 有 关 实 数 的 构 造 请 参 看 附 录 - 利 用 不 能 表 示 成 两 个 整 数 之 比 的 实 数 这 个 定 义 和 反 证 法 我 们 可 以 证 明 某 个 具 体 数 如 槡 槡 或 是 无 理 数 例 证 明 槡 是 无 理 数

14 第 章 实 数 与 函 数 证 明 反 证 法 假 设 槡 是 有 理 数 即 它 可 表 示 为 两 个 正 整 数 之 比 的 形 式 因 为 槡 是 正 数 不 妨 设 槡 为 正 整 数 且 为 既 约 分 数 即 和 互 素 则 即 易 知 为 偶 数 断 言 平 方 为 偶 数 的 整 数 自 身 也 是 偶 数 或 等 价 地 奇 数 的 平 方 仍 是 奇 数 这 只 需 经 简 单 计 算 便 知 设 为 奇 数 为 整 数 那 么 也 是 奇 数 由 上 述 断 言 可 知 也 是 偶 数 不 妨 设 代 入 表 达 式 中 化 简 可 得 即 也 是 偶 数 同 理 由 上 述 断 言 可 知 也 是 偶 数 这 样 同 为 偶 数 的 和 至 少 有 公 因 数 这 与 假 设 和 互 素 矛 盾 从 而 槡 是 无 理 数 类 似 地 可 以 证 明 槡 槡 槡 等 都 是 无 理 数 当 然 的 无 理 性 证 明 还 需 要 深 刻 的 数 学 知 识 我 们 将 在 后 面 适 当 的 时 候 给 出 证 明 无 理 数 的 发 现 揭 示 了 这 样 的 事 实 有 理 数 在 数 轴 上 所 对 应 的 有 理 点 不 能 充 满 整 个 数 轴 在 数 轴 上 除 了 有 理 点 之 外 还 有 空 隙 这 些 空 隙 所 对 应 的 数 就 是 无 理 数 表 示 无 理 数 的 点 称 为 无 理 点 我 们 把 有 理 数 和 无 理 数 的 全 体 称 为 实 数 附 录 - 中 的 实 数 完 备 性 定 理 说 明 实 数 能 够 充 满 整 个 数 轴 故 称 数 轴 为 实 数 轴 每 个 实 数 与 实 数 轴 上 的 一 点 对 应 反 之 亦 然 以 后 将 不 再 区 分 实 数 及 其 在 数 轴 上 对 应 的 点 为 了 对 无 理 数 进 行 运 算 和 推 理 我 们 需 要 将 对 有 理 数 施 行 的 运 算 和 推 理 推 广 到 无 理 数 和 全 体 实 数 上 附 录 - 列 举 了 一 些 有 理 数 的 重 要 性 质 例 如 有 理 数 的 序 加 法 和 乘 法 及 其 运 算 规 律 减 法 和 除 法 分 别 作 为 加 法 和 乘 法 的 逆 运 算 而 被 引 入 利 用 有 理 数 的 序 四 则 运 算 的 性 质 我 们 可 以 证 明 有 理 数 的 稠 密 性 定 理 有 理 数 的 稠 密 性 若 有 理 数 则 必 存 在 有 理 数 使 得 且 事 实 上 可 以 选 取 即 有 再 对 及 及 应 用 定 理 并 一 直 递 推 下 去 可 以 知 道 在 数 和 之 间 有 无 穷 多 个 有 理 数 有 理 数 是 我 们 日 常 生 活 和 科 学 技 术 中 用 于 测 量 和 计 算 的 数 它 的 稠 密 性 保 证 了 测 量 和 计 算 可 以 达 到 我 们 所 需 要 的 精 度 因 此 就 实 用 性 而 言 有 理 数 是 完 全 够 用 的 下 面 以 一 条 简 单 而 重 要 的 性 质 结 束 对 有 理 数 基 本 性 质 的 讨 论 性 质 有 理 数 的 阿 基 米 德 公 理 对 任 意 有 理 数 总 存 在 自 然 数 使 得

15 微 积 分 学 导 论 实 际 上 阿 基 米 德 -#'*$$% 约 前 前 曾 说 明 一 个 关 于 几 何 线 段 测 量 的 命 题 即 众 所 周 知 的 阿 基 米 德 公 理 若 在 直 线 上 给 定 任 意 线 段 及 则 重 复 相 加 若 干 次 后 其 和 总 可 以 大 于 上 述 命 题 事 实 上 就 是 说 对 于 任 意 有 限 长 的 给 定 线 段 和 带 刻 度 的 尺 子 我 们 总 可 以 用 测 量 出 的 长 度 在 一 定 精 度 之 下 将 这 个 命 题 转 而 对 整 数 及 来 叙 述 就 是 存 在 自 然 数 使 得 次 即 这 就 是 性 质 利 用 附 录 - 中 戴 德 金 分 割 的 方 式 可 以 由 有 理 数 集 构 造 性 地 定 义 无 理 数 和 实 数 并 且 可 以 以 上 述 有 理 数 诸 性 质 为 基 础 演 绎 推 导 出 实 数 也 满 足 类 似 性 质 事 实 上 只 要 将 性 质 和 定 理 中 的 有 理 数 直 接 替 换 成 实 数 即 可 实 数 集 合 由 于 也 满 足 加 法 和 乘 法 的 运 算 性 质 所 以 也 称 为 实 数 域 我 们 将 不 再 列 举 实 数 情 形 的 序 和 加 减 乘 除 四 则 运 算 的 性 质 为 了 后 文 需 要 我 们 介 绍 邻 域 和 去 心 邻 域 这 两 个 概 念 对 于 给 定 的 实 数 和 正 实 数 区 间,/, 称 为 以 为 中 心 为 半 径 的 邻 域 或 的 邻 域 图 而 集 合 /, 是 上 述 区 间 去 除 中 心 后 得 到 的 称 为 的 去 心 邻 域 图 BS B BS 图 的 邻 域 示 意 BS B BS 图 的 去 心 邻 域 示 意 确 界 原 理 本 小 节 研 究 实 数 的 另 外 一 个 极 为 重 要 的 性 质 完 备 性 正 是 这 条 性 质 使 得 实 数 域 在 本 质 上 异 于 有 理 数 域 实 数 域 可 以 毫 无 缝 隙 地 铺 满 整 个 数 轴 而 有 理 数 则 不 可 能 铺 满 整 个 数 轴 实 数 的 完 备 性 也 是 微 积 分 的 极 限 运 算 得 以 在 实 数 域 上 施 行 的 重 要 保 证 所 以 它 是 整 个 微 积 分 概 念 的 基 础 实 数 的 完 备 性 具 有 很 多 等 价 的 形 式 为 了 便 于 后 面 的 应 用 这 里 我 们 将 选 取 一 种 叙 述 形 式 确 界 原 理 为 此 我 们 需 要 数 集 的 界 这 个 概 念 集 合 在 数 学 上 是 一 个 无 法 明 确 定 义 的 概 念 只 能 描 述 其 基 本 性 质 即 确 定 性 无 序 性 和 互 异 性 中 学 教 材

16 第 章 实 数 与 函 数 也 对 集 合 有 一 定 的 介 绍 特 别 是 集 合 的 几 种 表 示 方 法 以 及 集 合 之 间 交 并 补 等 运 算 在 此 不 再 重 复 如 有 需 要 请 查 阅 相 关 书 籍 满 足 一 定 性 质 的 实 数 全 体 构 成 一 个 数 集 通 常 用 大 写 字 母 表 示 而 小 写 字 母 表 示 数 集 中 的 元 素 数 全 体 实 数 所 构 成 的 实 数 集 本 身 记 为 / 全 体 自 然 数 所 构 成 的 自 然 数 集 记 为 全 体 整 数 所 构 成 的 整 数 集 记 为 全 体 有 理 数 所 构 成 的 有 理 数 集 记 为 2 无 理 数 集 可 看 做 有 理 数 集 在 实 数 集 中 的 补 集 所 以 记 之 为 2 ' 不 含 任 何 数 的 空 集 记 为 设 是 实 数 集 的 非 空 子 集 如 果 存 在 实 数 不 必 属 于 集 合 使 得 对 所 有 的 都 有 则 称 实 数 是 集 合 的 一 个 上 界 此 时 称 集 合 有 上 界 在 现 实 物 理 世 界 中 一 切 物 体 的 运 动 速 度 都 不 可 能 超 过 光 速 所 以 光 速 就 是 所 有 速 度 集 合 的 一 个 上 界 类 似 地 定 义 数 集 的 下 界 和 集 合 有 下 界 物 体 的 温 度 不 可 能 低 于 零 开 故 零 开 就 是 所 有 温 度 集 合 的 一 个 下 界 既 有 上 界 又 有 下 界 的 集 合 称 为 有 界 集 容 易 看 出 集 合 有 界 的 充 要 条 件 是 存 在 正 数 使 得 对 所 有 的 都 有 任 意 一 个 数 集 可 能 没 有 上 界 或 下 界 或 者 两 者 都 没 有 例 如 自 然 数 集 就 只 有 下 界 而 没 有 上 界 整 数 集 有 理 数 集 和 实 数 集 都 既 无 上 界 也 无 下 界 集 合 2 2 且 没 有 下 界 但 有 上 界 由 此 可 见 数 集 的 上 下 界 未 必 存 在 而 即 使 存 在 也 是 不 唯 一 的 因 为 任 意 比 上 界 大 的 数 都 是 数 集 的 上 界 比 下 界 小 的 数 都 是 数 集 的 下 界 为 了 得 到 唯 一 性 考 察 有 界 数 集 所 有 上 界 中 的 最 小 值 或 者 所 有 下 界 中 的 最 大 值 这 就 是 上 下 确 界 的 概 念 定 义 上 下 确 界 设 给 定 非 空 的 数 集 / 假 设 存 在 实 数 满 足 对 一 切 都 有 即 是 的 一 个 上 界 对 任 意 总 存 在 使 得, 即 是 的 上 界 中 的 最 小 值 我 们 称 是 的 上 确 界 记 为 %&" 类 似 地 若 存 在 实 数 满 足 对 一 切 都 有 即 是 的 一 个 下 界 对 任 意 总 存 在 使 得 即 是 的 下 界 中 的 最 大 值 我 们 称 是 的 下 确 界 记 为 *3 利 用 反 证 法 可 以 证 明 上 下 确 界 如 果 存 在 则 必 唯 一 见 习 题 若 数 集 无 上 界 即 对 任 何 给 定 的 数 中 总 有 大 于 的 数 存 在 则 也 无 上 确 界 同 理 若 数 集 无 下 界 则 它 也 无 下 确 界 如 果 数 集 中 有 最 大 小 数 则 它 有 上 下 确 界 且 上 下 确 界 就 是 最 大 小 数 但 是 一 般 而 言 的 上 下 确 界 即 使 存 在 也 未 必 属 于 例 如 开 区 间 的 上 确 界 和 下 确 界 都 不 属 于 关 于 上 下 确

17 微 积 分 学 导 论 界 的 存 在 性 有 下 面 的 确 界 原 理 它 是 实 数 系 完 备 性 的 一 个 等 价 叙 述 在 附 录 - 中 利 用 戴 德 金 基 本 定 理 证 明 了 确 界 原 理 本 书 后 面 用 到 实 数 系 完 备 性 时 尽 量 采 取 这 种 叙 述 形 式 定 理 确 界 原 理 非 空 有 上 下 界 的 数 集 必 有 上 下 确 界 利 用 确 界 原 理 可 以 证 明 实 数 的 许 多 性 质 定 理 取 整 数 部 分 对 任 意 / 存 在 唯 一 的 整 数 使 得 证 明 令 易 知 且 就 是 的 一 个 上 界 由 确 界 原 理 存 在 数 %&" 且 下 证 是 整 数 且 反 证 法 假 设 不 是 整 数 在 中 任 意 选 定 一 个 数 则 是 非 空 有 限 集 合 故 有 最 大 数 可 以 验 证 是 的 一 个 上 界 且 这 与 %&" 的 最 小 性 矛 盾 这 个 矛 盾 说 明 是 整 数 假 设 则 这 样 %&" 此 为 矛 盾 对 / 用 记 定 理 中 唯 一 的 整 数 称 为 的 整 数 部 分 定 理 的 结 论 可 以 写 成 或, 以, 记 的 小 数 部 分 在 这 个 记 号 之 下 小 数 部 分 总 是 非 负 的 且 上 面 的 定 理 有 一 个 直 观 的 几 何 看 法 设 想 数 轴 被 所 有 整 数 点 分 成 长 度 为 的 无 穷 多 段 每 一 段 包 含 左 端 点 但 不 包 含 右 端 点 则 任 意 给 定 的 实 数 必 然 落 在 某 一 段 上 且 只 落 在 唯 一 的 一 段 上 由 上 面 的 定 理 可 以 证 明 实 数 情 形 的 阿 基 米 德 公 理 和 有 理 数 在 实 数 中 的 稠 密 性 推 论 实 数 的 阿 基 米 德 公 理 对 任 意 实 数 存 在 自 然 数 使 得 证 明 对 应 用 定 理 可 知 存 在 比 大 的 自 然 数 即 或 推 论 有 理 数 在 实 数 中 稠 密 任 意 两 个 不 同 的 实 数 之 间 都 存 在 无 穷 多 个 有 理 数 证 明 设 有 两 个 不 同 的 实 数 不 妨 设 下 证 存 在 一 个 有 理 数 满 足 分 两 种 情 形 证 明 + 如 果, 即 和 之 间 的 距 离 大 于 此 时 由 定 理 可 知 存 在 整 数 满 足 则 取 即 可 4 如 果, 先 应 用 推 论 知 存 在 自 然 数 使 得, 此 时 和 之 间 的 距 离 就 大 于 应 用 + 可 知 存 在 自 然 数

18 第 章 实 数 与 函 数 满 足 即 则 取 即 可 对 或 再 作 上 述 论 证 然 后 对 新 得 到 的 中 间 数 再 反 复 论 证 可 以 得 到 无 穷 多 个 有 理 数 介 于 和 之 间 在 上 述 4 的 论 述 中 可 以 想 象 数 轴 是 一 个 弹 性 橡 皮 筋 和 距 离 很 近 时 先 把 皮 筋 拉 一 拉 使 其 伸 长 倍 时 和 的 距 离 变 得 足 够 大 从 而 约 化 为 情 形 + 然 后 利 用 情 形 + 的 论 证 得 到 新 的 两 点 之 间 有 个 整 数 最 后 再 将 皮 筋 松 开 这 样 就 得 到 一 个 有 理 数 类 似 地 可 以 设 想 数 轴 被 所 有 形 如 槡 的 点 分 成 长 度 为 槡 的 无 穷 多 段 其 中 为 整 数 每 一 段 包 含 左 端 点 而 不 包 含 右 端 点 即 得 到 类 似 于 定 理 的 结 论 然 后 利 用 推 论 可 以 证 明 任 意 两 个 不 同 的 实 数 之 间 都 存 在 无 穷 多 个 无 理 数 不 等 式 在 微 积 分 学 课 程 中 不 等 式 是 证 明 许 多 定 理 与 公 式 的 工 具 而 微 积 分 学 中 的 一 些 定 理 和 公 式 又 可 导 出 许 多 不 等 式 不 等 式 表 达 了 许 多 微 积 分 学 问 题 的 结 果 而 不 等 式 的 证 明 又 蕴 含 着 许 多 微 积 分 学 的 技 巧 所 以 掌 握 不 等 式 与 不 等 式 的 应 用 对 学 习 微 积 分 学 是 十 分 重 要 的 例 三 角 不 等 式 设 为 任 意 实 数 则 有! " 证 明 因 为,, 所 以 有, 即 得 将 式 中 改 为, 上 式 仍 然 成 立 所 以 " 由 于, 所 以, 同 理 可 得, 从 而 得 到, 将 式 中 改 为, 上 式 仍 然 成 立 所 以! " 例 伯 努 利 不 等 式 设, 为 自 然 数 则 有 证 明 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 当 时 原 不 等 式 成 立 对, 设 不 等 式,, 成 立 则!!!!

19 微 积 分 学 导 论 于 是 对 一 切 自 然 数 当, 时 不 等 式 成 立 例 柯 西 不 等 式 设 ### 为 两 组 实 数 则 有! $ 证 明 对 任 意 实 数 % 总 有 $# $!! $%#$! $ $ 应 用 二 次 三 项 式 的 判 别 法 得 从 而 命 题 得 证! $ $!# $ $ $ $# $!! $ %! $# $ $!# $ $ $ $ %! $ # $ 习 题 证 明 槡 是 无 理 数 更 进 一 步 任 何 质 数 的 平 方 根 都 是 无 理 数 证 明 槡 是 无 理 数 更 进 一 步 如 果 在 自 然 数 的 质 数 分 解 中 至 少 有 一 个 质 数 因 子 出 现 奇 数 次 则 槡 是 无 理 数 证 明 任 意 两 个 不 同 的 实 数 之 间 都 存 在 无 穷 多 个 无 理 数 证 明 上 下 确 界 如 果 存 在 则 必 唯 一 下 列 集 合 中 哪 些 有 上 下 确 界 和 最 大 最 小 值! 如 果 存 在 试 求 出 这 些 值 自 然 数 集 中 的 所 有 有 理 数 /, 设 &2 证 明 & 没 有 最 大 数 与 最 小 数 & 在 2 内 没 有 上 确 界 与 下 确 界 证 明 若 是 / 中 的 非 空 有 界 集 则 和 也 是 有 界 集 并 且 *3 **3*3 %&" +5%&"%&" *3 +5*3*3 %&" *%&"%&" 后 面 两 式 仅 当 时 成 立 设 是 / 中 的 非 空 有 界 集 如 果 存 在 对 任 意 都 有 试 证 明 %&"%&" 也 请 对 下 确 界 的 情 形 提 出 并 证 明 类 似 的 性 质 设 为 任 意 两 个 实 数 求 证

20 第 章 实 数 与 函 数! +5!! * 设 是 / 中 的 非 空 有 界 集 记,/, 证 明 *3!!%&"%&"!!*3 设 是 / 中 的 非 空 有 界 集 记 ## 证 明 *3*3*3%&" %&"%&" 设 是 / 中 的 非 空 有 界 集 并 且 中 的 数 都 是 非 负 实 数 记 # # 证 明 计 算 *3*3*3%&" %&"%&" 设 为 自 然 数 证 明 证 明 不 等 式 槡! 槡!!! 槡 证 明 调 和 几 何 算 术 平 均 值 不 等 式 设 为 个 正 实 数 则 有 槡 设 实 数 满 足 证 明 证 明 推 广 的 伯 努 利 不 等 式 若 $, $ 且 同 号 则 有 证 明 不 等 式 当 时 " $ 证 明 不 等 式 对 任 意 实 数 和 上 式 等 号 成 立 的 充 要 条 件 是 什 么! $! $ $ " 赫 尔 德 不 等 式 设 和 ### 为 两 组 实 数 并 设 且 满 足

21 微 积 分 学 导 论 则 有! $ $#$! $! # $ $ $ 函 数 函 数 是 重 要 的 数 学 概 念 之 一 微 积 分 学 就 是 研 究 各 类 函 数 的 微 分 与 积 分 等 性 质 及 其 应 用 的 学 科 微 积 分 学 以 及 其 他 高 等 数 学 中 所 说 的 函 数 不 仅 包 括 初 等 函 数 还 包 括 各 种 显 式 函 数 隐 式 函 数 或 由 参 数 方 程 级 数 和 积 分 所 表 达 的 函 数 甚 至 由 某 个 微 分 方 程 定 解 问 题 所 确 定 的 特 殊 函 数 等 函 数 的 定 义 在 世 纪 科 学 家 们 致 力 于 运 动 学 的 研 究 如 计 算 天 体 的 位 置 远 距 离 航 海 中 对 经 度 和 纬 度 的 测 量 炮 弹 的 速 度 对 于 高 度 和 射 程 的 影 响 等 诸 如 此 类 的 问 题 都 需 要 探 究 两 个 变 量 之 间 的 关 系 并 根 据 这 种 关 系 对 事 物 的 变 化 规 律 做 出 判 断 如 根 据 炮 弹 的 速 度 推 测 它 能 达 到 的 高 度 和 射 程 这 正 是 函 数 产 生 和 发 展 的 背 景 在 日 常 生 活 以 及 研 究 自 然 社 会 和 工 程 技 术 过 程 中 也 时 常 遇 到 函 数 这 个 概 念 如 一 天 之 中 气 温 的 变 化 可 以 看 做 是 关 于 时 间 的 函 数 自 由 落 体 运 动 过 程 中 物 体 垂 直 下 落 的 距 离 也 可 以 看 做 是 时 间 的 函 数 在 中 学 课 程 中 从 具 体 函 数 入 手 如 一 元 二 次 三 项 式 幂 函 数 指 数 函 数 对 数 函 数 以 及 三 角 函 数 和 反 三 角 函 数 等 逐 步 加 深 对 函 数 及 其 构 成 要 素 的 理 解 重 点 学 习 了 这 几 类 函 数 的 解 析 表 达 图 像 描 绘 和 数 值 列 表 等 表 示 方 法 这 几 类 具 体 函 数 为 以 后 的 学 习 提 供 了 具 体 生 动 的 实 例 但 是 以 后 会 发 现 仅 用 这 几 类 函 数 还 不 足 以 描 述 丰 富 多 彩 的 物 理 世 界 和 变 化 多 端 的 现 实 生 活 随 着 科 学 技 术 的 进 步 以 及 人 们 对 客 观 世 界 认 识 的 不 断 深 化 人 们 对 函 数 的 认 识 也 是 不 断 发 展 的 和 世 纪 占 统 治 地 位 的 思 想 是 函 数 是 由 一 个 公 式 表 达 的 其 图 像 是 一 条 连 绵 不 断 的 曲 线 随 着 对 微 积 分 学 研 究 的 深 入 在 世 纪 末 世 纪 初 人 们 对 函 数 的 认 识 向 前 推 进 了 德 国 数 学 家 狄 利 克 雷 6 0*#*'7$! 在 年 提 出 了 与 现 代 数 学 十 分 接 近 的 函 数 定 义 如 果

22 第 章 实 数 与 函 数 对 于 的 每 一 个 值 # 总 有 一 个 完 全 确 定 的 值 与 之 对 应 则 称 # 是 的 函 数 这 个 定 义 较 清 楚 地 说 明 了 函 数 的 内 涵 只 要 有 一 个 法 则 使 得 取 值 范 围 中 的 每 一 个 值 有 一 个 确 定 的 # 和 它 对 应 就 行 了 不 管 这 个 法 则 是 公 式 图 像 表 格 还 是 其 他 形 式 例 如 以 后 将 学 习 的 一 般 函 数 项 级 数 幂 级 数 或 含 参 变 量 积 分 等 世 纪 年 代 以 后 随 着 集 合 概 念 的 出 现 及 其 向 其 他 数 学 领 域 的 全 面 渗 透 人 们 对 函 数 概 念 又 进 而 用 了 更 加 严 谨 的 集 合 及 其 对 应 语 言 进 行 表 述 定 义 函 数 设 '#/ 为 非 空 数 集 如 果 按 照 某 种 确 定 的 法 则 或 对 应 关 系 对 于 每 个 ' 都 有 唯 一 的 一 个 实 数 # 与 其 对 应 则 称 这 个 对 应 关 系 定 义 了 从 ' 到 / 中 的 函 数 记 为 # 或 G '$/ 称 为 自 变 量 # 为 因 变 量 为 函 数 在 处 的 函 数 值 自 变 量 的 变 化 范 围 ' 称 为 函 数 的 定 义 域 记 为 当 自 变 量 在 定 义 域 Y 上 任 意 变 动 时 函 数 值 # 的 变 化 范 围 称 为 函 数 的 值 域 记 为 即 %G 3 G 如 图 所 示 图 函 数 的 定 义 示 意 从 函 数 的 上 述 定 义 可 以 看 到 一 个 函 数 的 构 成 要 素 为 定 义 域 值 域 和 对 应 关 系 而 值 域 又 是 由 定 义 域 和 对 应 关 系 决 定 的 因 此 在 给 出 一 个 函 数 时 必 须 同 时 说 明 其 对 应 关 系 和 定 义 域 这 样 才 能 构 成 一 个 完 整 的 函 数 设 '$/ 为 一 个 给 定 函 数 集 合 #'#/ 称 集 合 % 为 集 合 在 函 数 下 的 像, %' 为 集 合 关 于 函 数 的 原 像 例 设 集 合 ' 则 图 就 定 义 了 一 个 函 数 其 定 义 域 和 B C D B C D 值 域 都 是 集 合 ' 对 应 关 系 即 函 数 取 值 例 常 值 函 数 对 任 意 / 令 其 中 为 常 数 这 个 函 数 的 取 值 就 是 一 个 给 定 常 数 称 为 常 值 函 数 其 定 义 域 为 实 数 集 / 值 域 为 独 点 集 其 图 像 是 一 条 与 轴 平 行 的 直 线 图 画 的 是 在 区 间, 上 的 图 例 中 的 函 数 定 义 示 意 图 像 例 取 整 函 数 对 任 意 / 利 用 定 理 中 的 取 整 数 部 分 定 义 取 整 函 数 其 定 义 域 为 实 数 集 / 值 域 为 整 数 集 其 图 像 呈 阶 梯 形

23 微 积 分 学 导 论 状 图 画 的 是 在 区 间, 上 的 图 像 0 Y 图 常 值 函 数 0 Y 图 取 整 函 数 例 狄 利 克 雷 函 数 对 任 意 / 定 义 函 数 ' & ' 称 为 狄 利 克 雷 函 数 其 定 义 域 是 实 数 集 / 值 域 为 ' 的 取 值 规 则 很 简 单 就 是 看 自 变 量 是 否 为 有 理 数 我 们 无 法 画 出 它 的 精 确 函 数 图 像 只 能 近 似 地 画 出 示 意 图 为 什 么! 图 仅 是 狄 利 克 雷 函 数 在 区 间 上 的 示 意 图 0 Y 图 狄 利 克 雷 函 数 的 定 义 示 意 例 黎 曼 函 数 对 任 意 / 定 义 函 数 互 素 ' & 称 为 黎 曼 函 数 其 定 义 域 是 实 数 集 / 值 域 为 为 正 整 数 的 取 值 规 则 比 狄 利 克 雷 函 数 稍 微 复 杂 一 些 但 是 由 有 理 数 的 定 义 知 它 是 有 确 切 定 义 的 我 们 也 无 法 画 出 它 的 精 确 函 数 图 像 只 能 近 似 地 画 出 示 意 图 图 仅 是 黎 曼 函 数

24 第 章 实 数 与 函 数 在 区 间 上 的 示 意 图 0 Y 图 黎 曼 函 数 的 定 义 示 意 注 由 函 数 的 定 义 对 于 函 数 的 定 义 域 中 每 一 个 只 能 相 应 地 有 一 个 函 数 值 # 即 函 数 有 单 值 性 单 值 性 表 现 在 函 数 图 像 上 就 是 平 行 于 # 轴 的 任 一 直 线 与 函 数 图 像 最 多 只 能 相 交 于 一 点 所 以 我 们 无 法 只 用 一 个 函 数 来 显 式 地 表 达 一 个 完 整 的 圆 周 函 数 的 运 算 在 中 学 课 程 中 通 过 对 多 项 式 指 数 函 数 对 数 函 数 幂 函 数 三 角 函 数 和 反 三 角 函 数 等 具 体 函 数 的 研 究 大 家 熟 悉 和 掌 握 了 许 多 有 关 函 数 的 运 算 及 其 性 质 如 函 数 之 间 的 加 减 乘 除 四 则 运 算 具 体 函 数 的 奇 偶 性 或 单 调 性 等 等 微 积 分 学 中 更 多 地 是 从 这 些 具 体 函 数 中 抽 取 其 共 性 研 究 满 足 一 定 条 件 的 某 类 函 数 的 分 析 性 质 因 而 更 多 地 采 用 符 号 等 来 表 示 函 数 读 者 应 逐 步 适 应 这 种 变 化 在 理 解 抽 象 概 念 和 性 质 时 结 合 具 体 函 数 作 为 实 例 从 而 加 深 理 解 对 两 个 函 数 和 定 义 其 四 则 运 算 所 得 的 新 函 数 时 不 仅 需 要 理 解 对 应 法 则 的 变 化 还 需 特 别 注 意 定 义 域 的 变 化 例 函 数 的 四 则 运 算 设 $/ $/ 记 则 有 如 下 定 义 " "

25 微 积 分 学 导 论 除 了 上 述 四 则 运 算 实 际 应 用 中 还 会 遇 到 一 种 重 要 的 函 数 运 算 称 为 复 合 运 算 定 义 函 数 的 复 合 设 $/ $/ 当 %, 时 定 义 即 是 一 个 定 义 在 上 的 函 数 称 为 和 的 复 合 函 数 Y " " H G GHY HY # $ GH 图 复 合 函 数 的 定 义 示 意 直 观 地 复 合 函 数 就 是 和 的 接 力 作 用 首 先 将 变 成 然 后 将 变 成 当 然 前 提 是 即, 可 以 证 明 复 合 运 算 满 足 结 合 律 即 但 是 不 满 足 交 换 律 即 例 设 / (78( ( 求 复 合 函 数 和 解 因 为 的 定 义 域 (/( 要 使 落 在 中 只 需 即 记,99 对 复 合 函 数 同 理 的 定 义 域 / 故 对 任 意 ( 都 有 ( 从 而 对 ( 复 合 函 数 ( ( 78( 78( 78 ( 例 设 槡, 试 将 分 解 成 两 个 函 数 的 复 合 解 令, / ( 槡 ( ( 则 复 合 函 数 例 画 出 函 数 #%*#%*,#%* #%* 的 图 像 并 与 函 数 # %* 的 图 像 作 比 较 解 函 数 图 像 分 别 如 图 所 示 由 图 可 知 函 数 %* 是 将 %* 的 周 期 缩 小 即 频 率 扩 大 倍 得 到 的 函 数 %*, 的 图 像 是 将 %* 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 而 得 到 的 函 数 %* 的 图 像 是 将 %* 的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 而 得 到 的 函 数 %* 的 图 像 是 将 %* 的 图 像 向 上 平 移 个 单 位 而 得 到 的

26 第 章 实 数 与 函 数 TJOY TJOY Y 图 %* 与 %* 的 图 像 TJOY / 0 Y TJOY 图 %*, 与 %* 的 图 像 TJOY TJOY / Y 图 %* 与 %* 的 图 像 / TJOY TJOY 0 Y 图 %* 与 %* 的 图 像

27 微 积 分 学 导 论 类 似 可 得 函 数 %*, 的 图 像 是 将 %* 的 图 像 向 下 平 移 个 单 位 而 得 到 的 更 一 般 地 对 任 意 非 零 常 数 可 以 考 虑 函 数 : 以 及 : 的 图 像 与 函 数 的 图 像 之 间 的 关 系 例 函 数 的 正 负 部 设 函 数 #+5 #,* / 对 任 意 函 数 $/ 定 义 函 数 %# +5, %#,* 则,, 其 中 称 为 函 数 的 正 部, 称 为 函 数 的 负 部 利 用 函 数 的 复 合 运 算 可 以 定 义 反 函 数 这 个 概 念 使 得 和 定 义 反 函 数 设 $ 如 果 存 在 一 个 函 数 $ GY Y YH % G 3 G 图 反 函 数 的 定 义 示 意 # ## 同 时 成 立 那 么 称 为 的 反 函 数 记 为 #, # 或 简 记 为, 如 图 所 示 由 上 述 定 义 知 如 果 是 的 反 函 数 则 也 是 的 反 函 数 故 称 和 互 为 反 函 数 例 如 乘 方 与 开 方 指 数 函 数 与 对 数 函 数 等 关 于 反 函 数 我 们 需 要 研 究 其 存 在 性 和 唯 一 性 问 题 定 理 反 函 数 的 唯 一 性 若 函 数 有 反 函 数 则 有 唯 一 的 反 函 数 证 明 假 设 $ 有 两 个 反 函 数 和 由 反 函 数 的 定 义 知 对 任 意 # 有 # # 故 有 # # # 另 外 # # # 从 而 得 到 # # # 即 利 用 反 函 数 的 定 义 容 易 证 明 下 面 的 反 函 数 存 在 的 充 要 条 件 定 理 反 函 数 存 在 的 充 要 条 件 函 数 $ 有 反 函 数 的 充 要 条 件 是 是 一 一 的 注 若 在 同 一 个 坐 标 平 面 内 同 时 画 出 函 数 # 和 反 函 数, # 的 图 像 可 以 发 现 两 者 是 重 合 的 图 但 习 惯 上 总 是 用 表 示 自 变

28 第 章 实 数 与 函 数 量 # 表 示 因 变 量 因 此 函 数 # 的 反 函 数, # 常 改 写 为 #, 这 样 在 同 一 个 坐 标 平 面 内 同 时 画 出 函 数 # 和 反 函 数 #, 的 图 像 可 以 发 现 两 者 是 关 于 直 线 # 对 称 的 例 证 明 函 数 # 9 是 一 一 的 并 求 出 其 反 函 数 画 出 函 数 和 反 函 数 的 图 像 证 明 将 函 数 表 达 式 改 写 为 G Y 0 # YG Y G GY G Y G 图 函 数 和 反 函 数 的 图 像 重 合 Y 可 知 函 数 # 9 关 于 是 严 格 单 调 增 的 从 而 是 一 一 的 所 以 存 在 反 函 数 为 求 其 反 函 数 先 确 定 函 数 的 值 域 由 于 9 从 而 Y Y Y Y Y Y 图 例 中 的 函 数 和 反 函 数 图 像 函 数 的 表 示 方 法 即 得 # 反 之 对 任 意 # 存 在 #,# 使 得 # 所 以 函 数 # 9 的 值 域 是 并 且 其 反 函 数 为 #,# 改 变 自 变 量 的 记 号 得 所 求 反 函 数 为 #, 函 数 和 反 函 数 的 图 像 如 图 所 示 显 式 函 数 在 初 等 数 学 课 程 中 读 者 学 习 了 形 如 ## 等 多 项 式 以 及 #%*#+#'!+ 等 三 角 与 反 三 角 函 数 这 些 函 数 都 是 利 用 具 体 的 表 达 式 给

29 微 积 分 学 导 论 出 函 数 的 对 应 关 系 由 此 只 需 代 入 自 变 量 的 值 就 可 以 算 出 因 变 量 # 的 值 这 类 给 出 具 体 表 达 式 的 函 数 称 为 显 式 函 数 前 文 例 都 是 显 式 函 数 显 式 函 数 是 微 积 分 学 及 其 应 用 中 最 常 用 也 是 最 简 单 的 函 数 表 达 形 式 一 般 而 言 一 元 函 数 # 的 图 像 在 )# 坐 标 平 面 内 对 应 于 集 合 * # # 当 满 足 一 定 条 件 时 其 图 像 * 描 绘 出 一 条 连 绵 不 断 的 曲 线 反 过 来 平 面 上 的 一 条 曲 线 却 未 必 可 以 用 某 个 函 数 图 像 来 描 绘 这 是 因 为 函 数 具 有 单 值 性 即 对 于 任 意 一 个 自 变 量 的 取 值 只 能 对 应 唯 一 的 函 数 值 # 因 此 由 # 描 绘 的 曲 线 不 能 往 回 拐 最 简 单 的 例 子 如 以 原 点 为 中 心 半 径 为 的 单 位 圆 就 不 能 用 一 个 函 数 描 绘 此 时 #: 槡, 即 至 少 需 要 两 个 函 数 # 槡, 和 #, 槡, 而 对 于 更 一 般 的 拐 弯 多 次 的 曲 线 用 一 个 确 定 的 函 数 显 式 地 表 达 这 样 的 曲 线 就 更 困 难 甚 至 是 不 可 能 的 为 了 克 服 上 述 局 限 需 要 有 其 他 如 隐 式 函 数 参 数 方 程 和 极 坐 标 等 表 示 方 法 隐 式 函 数 变 量 和 # 的 依 赖 关 系 通 过 一 个 二 元 方 程 *# 给 出 在 这 种 表 示 式 中 变 量 和 # 的 地 位 是 平 等 的 并 没 有 指 定 哪 个 是 自 变 量 哪 个 是 因 变 量 我 们 可 以 根 据 需 要 和 方 便 自 行 指 定 例 椭 圆 的 隐 式 表 达 隐 式 函 数 # 表 示 )# 坐 标 平 面 内 以 原 点 为 中 心 的 椭 圆 显 然 当 时 上 述 隐 式 方 程 表 示 的 就 是 单 位 圆 图 中 0 Y 图 椭 圆

30 第 章 实 数 与 函 数 例 星 形 线 的 隐 式 表 达 隐 式 函 数 # 表 示 )# 坐 标 平 面 内 的 一 个 星 形 线 图 中 参 数 方 程 在 动 力 学 或 运 动 学 中 一 个 质 点 的 平 面 运 动 可 以 分 解 成 水 平 方 向 上 的 运 动 和 竖 直 方 向 上 的 运 动 取 时 间 变 量 % 为 参 数 即 图 星 形 线 Y % ' # % % + 这 时 相 应 于 % 由 变 到 + 点 # 随 着 % 的 变 化 就 描 绘 出 一 条 曲 线 更 一 般 地 未 必 选 时 间 变 量 % 作 为 参 数 几 何 问 题 可 能 更 多 地 选 择 某 个 角 度 作 为 参 数 例 椭 圆 椭 圆 的 参 数 方 程 为 '% ' " # %* #. 图 中 长 轴 在 轴 上 短 轴 在 # 轴 上 参 数 是 椭 圆 上 动 点 所 对 应 θ 0 1 / Y 圆 的 半 径 ) 或 ) 的 旋 转 角 称 为 点 的 离 心 角 一 般 不 是 ) 的 旋 转 角 当 时 椭 圆 就 退 化 成 圆 此 时 参 数 就 是 ) 的 旋 转 角 例 摆 线 半 径 为 的 圆 在 轴 上 滚 动 时 圆 周 上 一 个 定 点 在 平 面 上 所 描 出 的 图 椭 圆 轨 迹 称 为 摆 线 其 参 数 方 程 为!%* ' #!'% 9 图 画 出 了 摆 线 的 一 拱 其 中 圆 半 径 参 数 是 圆 周 上 定 点 和 圆 心 ) 的 连 线 与 竖 直 线 ), 之 间 的 夹 角 例 心 脏 线 外 摆 线 动 圆 绕 与 其 半 径 相 同 的 定 圆 圆 周 外 滚 动 时 动 圆 上 一 个 定 点 在 平 面 上 所 描 出 的 轨 迹 称 为 心 脏 线 它 是 外 摆 线 的 一 个 特 例 其 参 数 方 程 为

31 微 积 分 学 导 论 0. θ 1 0 Y 图 摆 线 '%!'% # %*!%* 图 中 动 圆 和 定 圆 的 半 径 都 是, 为 两 圆 的 切 点 参 数 是 动 圆 上 定 点 和 圆 心 - 的 连 线 与 线 段 -, 之 间 的 夹 角 例 星 形 线 内 摆 线 半 径 为 的 动 圆 环 绕 半 径 为 的 定 圆 在 定 圆 圆 周 内 滚 动 时 动 圆 上 一 个 定 点 在 平 面 上 所 描 出 的 轨 迹 是 一 个 星 形 线 它 是 内 摆 线 的 一 个 特 例 其 参 数 方 程 为 '% # %* 图 中 定 圆 半 径 为 动 圆 半 径 为, 为 两 圆 的 切 点 参 数 是 半 径 ), 的 旋 转 角 $ 1θ. 0 " / Y 0 θ $ 1. / " Y 图 心 脏 线 图 内 摆 线

32 第 章 实 数 与 函 数 极 坐 标 方 程 在 许 多 场 合 建 立 极 坐 标 系 用 曲 线 上 点 的 极 坐 标 参 数 和 之 间 的 函 数 关 系 来 表 达 曲 线 显 得 更 为 简 单 例 如 单 位 圆 的 方 程 在 极 坐 标 下 就 是 如 同 直 角 坐 标 系 和 之 间 的 函 数 关 系 也 可 以 表 示 为 显 式 隐 式 或 参 数 方 程 等 形 式 我 们 这 里 仅 讨 论 最 简 单 的 显 式 形 式 即 例 阿 基 米 德 螺 线 考 察 动 点 在 从 极 点 射 出 的 射 线 上 做 匀 速 运 动 而 与 此 同 时 这 条 射 线 又 绕 极 点 做 匀 速 转 动 这 个 动 点 在 平 面 上 所 描 出 的 轨 迹 称 为 阿 基 米 德 螺 线 图 其 极 坐 标 方 程 为 0 Y 0 Y 图 阿 基 米 德 螺 线 图 对 数 螺 线 例 对 数 螺 线 考 察 动 点 在 从 极 点 射 出 的 射 线 上 做 速 度 为 指 数 增 加 的 加 速 运 动 而 与 此 同 时 这 条 射 线 又 绕 极 点 做 匀 速 转 动 这 个 动 点 在 平 面 上 所 描 出 的 轨 迹 称 为 对 数 螺 线 图 其 极 坐 标 方 程 为 $ 习 题 设 满 足, 其 中 均 为 常 数 且 求 的 表 达 式 已 知, 写 出 和 的 表 达 式

33 微 积 分 学 导 论 设 求 和 并 验 证 是 否 有 设 函 数 满 足 求 次 构 造 一 个 函 数 满 足 下 列 条 件 + 对 定 义 域 中 的 一 切 成 立 4. 验 证 函 数 #7 槡 是 奇 函 数 并 求 这 个 函 数 的 反 函 数 设 下 面 函 数 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 证 明 两 个 偶 函 数 的 和 是 偶 函 数 两 个 奇 函 数 的 和 是 奇 函 数 两 个 偶 函 数 的 乘 积 是 偶 函 数 两 个 奇 函 数 的 乘 积 也 是 偶 函 数 一 个 偶 函 数 与 一 个 奇 函 数 的 乘 积 则 是 奇 函 数 任 意 一 个 函 数 都 可 以 分 解 成 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 和 并 且 这 种 分 解 是 唯 一 的 将 下 列 函 数 分 解 成 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 和 的 形 式 #$ # # #! 设 是 以 为 周 期 的 周 期 函 数 且 当 时 试 写 出 在,99 上 的 表 达 式 并 画 出 草 图 证 明 狄 利 克 雷 函 数 ' 是 周 期 函 数 并 且 任 何 有 理 数 皆 为 其 周 期 证 明 函 数 %* 和 %* 不 是 周 期 函 数 设 函 数 定 义 在 整 个 实 数 轴 上 并 且 对 于 任 意 两 个 实 数 # 都 有 # # 求 证 存 在 常 数 使 得 对 于 所 有 的 有 理 数 都 有 设 $$- 都 是 一 一 的 证 明 $- 也 是 一 一 的 并 且,,, 做 出 以 下 函 数 的 图 像 # 箕 舌 线 # 牛 顿 蛇 形 线 # 双 曲 线 # 牛 顿 三 次 曲 线 #: 槡, %* %* 三 瓣 玫 瑰 线 '% 伯 努 利 双 纽 线 证 明 当 时 有 不 等 式 %*!+,

34 第 章 实 数 与 函 数 复 习 本 章 主 要 内 容 有 理 数 和 实 数 的 基 本 性 质 四 则 运 算 稠 密 性 和 阿 基 米 德 公 理 等 确 界 原 理 及 其 推 论 函 数 的 定 义 运 算 性 质 及 其 几 种 表 示 方 法 复 习 思 考 题 数 集 的 最 大 数 最 小 数 与 该 数 集 的 上 下 确 界 有 什 么 关 系! 为 什 么 要 引 入 上 下 确 界! 实 数 的 四 则 运 算 法 则 与 有 理 数 的 四 则 运 算 法 则 有 区 别 吗! 为 什 么 要 引 入 无 理 数! 确 定 函 数 的 定 义 域 时 需 要 注 意 哪 些 问 题! 三 角 不 等 式 中 等 号 成 立 的 条 件 是 什 么! 平 均 值 不 等 式 中 等 号 成 立 的 充 要 条 件 是 什 么! 柯 西 不 等 式 中 等 号 成 立 的 充 要 条 件 是 什 么! 两 个 单 调 增 函 数 的 复 合 函 数 是 否 一 定 单 调 增! 它 们 的 乘 积 又 如 何! 证 明 严 格 单 调 是 函 数 为 一 一 的 充 分 条 件 但 不 是 必 要 的 是 否 存 在 这 样 的 函 数 它 在 区 间 上 的 每 一 点 取 有 限 值 但 在 此 区 间 的 任 何 一 点 的 任 意 邻 域 内 都 无 界! 调 查 你 所 在 城 市 水 电 气 的 定 价 方 式 并 将 一 个 家 庭 的 水 电 气 的 费 用 表 示 成 用 量 的 函 数 调 查 你 所 在 城 市 出 租 车 的 定 价 方 式 并 将 出 租 车 费 用 表 示 成 所 乘 路 程 1 的 函 数 调 查 银 行 贷 款 存 款 的 利 率 并 将 利 息 表 示 成 贷 款 额 存 款 额 和 时 间 的 函 数 调 查 邮 局 邮 资 设 置 方 式 并 将 邮 费 表 示 成 邮 寄 物 的 重 量 等 相 关 量 的 函 数 调 查 个 人 所 得 税 税 率 的 设 置 方 式 并 将 个 人 所 交 所 得 税 款 表 示 成 个 人 收 入 的 函 数

35 微 积 分 学 导 论 复 习 题 构 造 一 个 从 自 然 数 集 到 整 数 集 的 一 一 函 数 构 造 一 个 从 自 然 数 集 到 有 理 数 集 的 一 一 函 数 推 导 例 中 摆 线 的 参 数 方 程 推 导 例 中 心 脏 线 的 参 数 方 程 推 导 例 中 星 形 线 的 参 数 方 程 推 导 例 中 阿 基 米 德 螺 线 的 极 坐 标 方 程 推 导 例 中 对 数 螺 线 的 极 坐 标 方 程 设 一 质 点 以 初 速 % 沿 与 水 平 面 成 角 度 ; 的 方 向 射 出 求 出 质 点 的 运 动 轨 迹 方 程 并 求 出 其 最 大 升 高 及 水 平 射 程 设 为 正 整 数 证 明 设 # 为 正 整 数 证 明 其 中 等 号 成 立 当 且 仅 当 # 设 # 为 正 整 数 证 明 其 中 等 号 成 立 当 且 仅 当 # 已 知!!!!! # # # # # 槡 求 的 表 达 式 次 假 设 '% %* 证 明 槡 '% 槡 %* 槡 设 对 一 切 实 数 有 槡, 证 明 是 周 期 函 数 并 求 出 其 周 期 设 函 数 在 整 个 实 数 轴 上 严 格 单 调 增 且 恒 有 证 明 设 函 数 在 9 上 有 定 义 并 且 单 调 下 降 证 明 对 任 意 有 设 均 为 单 调 增 函 数 且 证 明 双 镜 效 应 设 函 数 在 整 个 实 数 轴 上 有 定 义 并 且 的 图 像 以 直 线 和

36 第 章 实 数 与 函 数 为 其 对 称 轴 试 证 明 必 是 周 期 函 数 且 其 周 期 为, % 试 将 参 数 方 程 ' # %,9%9 化 为 直 角 坐 标 系 方 程 并 画 出 函 % 数 的 图 像 试 将 直 角 坐 标 系 方 程 #, 化 为 参 数 方 程 并 画 出 函 数 的 图 像 伯 努 利 双 纽 线 试 写 出 平 面 内 到 两 定 点 距 离 的 乘 积 等 于 这 两 个 定 点 间 距 离 的 的 平 方 的 点 的 轨 迹 方 程 并 画 出 函 数 的 图 像 卵 形 线 试 写 出 平 面 内 到 两 定 点 距 离 的 乘 积 等 于 定 值 的 点 的 轨 迹 方 程 并 画 出 函 数 的 图 像

37 第 章 极 限 理 论 极 限 的 思 想 是 由 求 某 些 实 际 问 题 的 精 确 解 而 产 生 的 例 如 古 希 腊 数 学 家 阿 基 米 德 利 用 圆 内 接 正 多 边 形 和 外 切 多 边 形 来 推 算 圆 面 积 以 及 计 算 圆 周 率 的 近 似 值 首 创 穷 竭 法 证 明 了 圆 的 面 积 公 式 圆 面 积 是 圆 周 长 与 其 半 径 之 积 的 一 半 并 利 用 割 圆 术 求 出 圆 周 率 的 上 下 界 我 国 古 代 数 学 家 刘 徽 公 元 世 纪 在 利 用 割 圆 术 求 圆 周 率 的 近 似 值 时 说 对 圆 周 割 之 弥 细 所 失 弥 少 割 之 又 割 以 至 于 不 可 割 则 与 圆 周 合 体 而 无 所 失 矣 这 些 都 是 极 限 思 想 在 几 何 学 中 的 应 用 又 如 春 秋 战 国 时 期 的 哲 学 家 庄 子 公 元 前 世 纪 在 庄 子 天 下 篇 中 对 截 丈 问 题 有 段 名 言 一 尺 之 棰 日 截 其 半 万 世 不 竭 其 中 也 隐 含 了 深 刻 的 极 限 思 想 世 纪 牛 顿 求 运 动 质 点 瞬 时 速 度 和 莱 布 尼 茨 求 曲 边 梯 形 面 积 都 利 用 了 极 限 思 想 对 这 些 问 题 的 研 究 直 接 导 致 了 微 积 分 学 的 诞 生 通 过 学 习 微 积 分 学 发 展 的 历 史 读 者 可 以 了 解 到 极 限 理 论 是 整 个 微 积 分 学 坚 实 的 理 论 基 础 自 牛 顿 $! 和 莱 布 尼 茨 )6$*4* 创 建 微 积 分 学 之 后 一 百 多 年 里 历 经 波 尔 查 诺 7+ 柯 西 -6+&' 至 魏 尔 斯 特 拉 斯 逐 步 完 善 起 来 极 限 的 / 或 方 法 将 极 限 这 种 无 穷 运 算 约 化 为 一 系 列 不 等 式 的 推 导 将 基 于 直 观 的 含 混 不 清 的 无 穷 小 分 析 改 造 为 可 以 精 确 计 算 和 严 格 演 绎 推 理 的 科 学 论 述 从 而 使 得 微 积 分 学 摆 脱 了 单 纯 几 何 与 运 动 的 直 观 理 解 和 解 释 成 为 一 门 有 严 密 理 论 基 础 的 科 学

38 第 章 极 限 理 论 数 列 极 限 为 了 引 入 数 列 我 们 考 虑 银 行 存 款 模 型 设 初 始 本 金 为 元 银 行 年 利 率 为 首 先 考 虑 单 利 模 型 即 前 一 期 存 款 利 息 不 计 入 下 次 本 金 中 则 第 一 年 末 本 息 和 为 第 二 年 末 本 息 和 为 以 此 类 推 第 年 末 本 息 和 为, 注 意 到 这 是 首 项 为 公 差 为 的 等 差 数 列 现 在 考 虑 复 利 模 型 即 前 一 期 存 款 利 息 计 入 下 次 本 金 中 则 第 一 年 末 本 息 和 为 第 二 年 末 本 息 和 为 以 此 类 推 第 年 末 本 息 和 为,, 注 意 到 这 是 首 项 为 公 比 为 的 等 比 数 列 前 面 是 对 确 定 的 年 利 率 及 假 定 银 行 每 年 支 付 一 次 利 息 的 情 形 来 讨 论 的 下 面 再 讨 论 银 行 每 年 多 次 支 付 利 息 的 情 形 设 银 行 一 年 分 次 支 付 利 息 对 于 单 利 模 型 由 于 利 息 都 不 计 入 本 金 故 一 年 末 的 本 息 和 为 0 即 年 末 的 本 息 和 与 支 付 利 息 的 次 数 无 关 但 对 复 利 模 型 由 于 每 次 支 付 的 利 息 都 将 计 入 本 金 则 一 年 末 的 本 息 和 为 0 可 见 一 年 末 的 本 息 和 是 依 赖 于 支 付 利 息 的 次 数 并 且 随 着 支 付 次 数 的 增 加 而 增 加 的 试 问 当 支 付 次 数 无 限 增 加 时 一 年 末 的 本 息 和 会 无 限 增 大 吗! 这 就 涉 及 数 列 的 极 限 问 题 数 列 极 限 的 定 义 什 么 叫 数 列! 简 单 地 说 数 列 就 是 按 顺 序 排 列 的 一 列 无 穷 多 个 数 本 课 程 中 研 究 的 都 是 实 数 情 形 数 列 极 限 研 究 的 是 数 列 的 变 化 趋 势 利 用 函 数 的 概 念 可 以 将 数 列 定 义 为 一 个 从 正 整 数 集 到 实 数 集 / 的 一 个 函 数 $/ 记 并 将 按 照 下 标 的 顺 序 排 列 起 来 得 到 一 列 数

39 微 积 分 学 导 论 简 记 为 其 中 为 数 列 的 通 项 下 标 表 示 项 数 例 如 就 分 别 表 示 数 列!!!!!!!! 在 上 面 所 列 举 的 数 列 中 容 易 看 出 随 着 项 数 无 限 增 大 这 些 数 列 的 变 化 趋 势 是 不 一 样 的 前 三 个 数 列 的 项 无 限 接 近 于 定 数 图 而 第 四 个 数 列 的 值 无 限 接 近 于 定 数 图 但 是 最 后 一 个 数 列 的 值 反 复 取, 和 这 两 个 数 它 不 会 像 前 四 个 数 列 那 样 无 限 接 近 于 任 何 一 个 定 数 在 科 学 实 验 和 近 似 计 算 中 经 常 有 这 样 的 情 况 随 着 试 验 和 计 算 次 数 的 增 加 得 到 的 结 果 数 值 无 限 地 逼 近 于 某 个 常 数 一 般 地 如 果 当 项 数 无 限 增 大 时 数 列 的 值 无 限 接 近 于 某 个 定 数 就 称 数 列 的 极 限 是 无 限 接 近 于 就 是 说 和 要 多 近 就 有 多 近 例 如 对 于 第 一 个 数 列 任 意 给 定 一 个 正 数 譬 如 说 是, 只 要 下 标 和 的 距 离 就 小 于, 如 果 重 新 给 定 一 个 正 数 一 般 需 要 重 新 计 0 Y 图 的 前 项 0 Y 图 的 前 项

40 第 章 极 限 理 论 算 下 标 开 始 的 值 习 惯 上 用 代 替 那 个 给 定 的 正 数 用 来 刻 画 和 的 接 近 程 度 // 表 示 依 赖 于 而 取 定 的 自 然 数 用 来 表 示 下 标 开 始 的 值 将 上 述 语 言 表 述 改 为 精 确 的 数 学 公 式 就 抽 象 出 了 数 列 极 限 的 / 定 义 定 义 数 列 的 极 限 设 有 数 列 和 定 数 若 对 任 意 总 存 在 一 个 自 然 数 // 使 得 当 / 时 有 不 等 式! 成 立 则 称 当 趋 于 无 穷 大 时 数 列 是 收 敛 的 其 极 限 为 或 收 敛 于 或 趋 于 记 为 7* $9 或 $ $ 9 由 极 限 的 定 义 可 以 看 出 极 限 是 考 察 当 下 标 趋 向 无 穷 大 时 数 列 取 值 的 变 化 趋 势 所 以 删 除 或 改 变 数 列 中 有 限 多 项 的 值 不 影 响 数 列 的 收 敛 性 及 其 极 限 值 如 果 把 实 数 和 数 轴 上 的 点 相 对 应 则 数 列 收 敛 于 的 几 何 意 义 是 在 数 轴 上 标 出 定 数 和 数 列 的 各 项 作 的 邻 域, 则 自 第 / 项 开 始 后 面 所 有 的 项 均 落 在 区 间, 内 图 是 数 列 极 限 定 义 的 示 意 图 B B B B ε B /B OO/ B Bε B / B 图 数 列 极 限 定 义 的 示 意 图 下 面 给 出 几 个 例 题 都 是 直 接 利 用 定 义 来 证 明 数 列 极 限 的 例 常 值 数 列 设 / 为 固 定 常 数 则 数 列 称 为 常 值 数 列 直 接 验 证 可 得 7* $9 例 设 则 7* $9 分 析 按 照 定 义 对 任 意 只 需 寻 找 适 当 的 自 然 数 / 使 得 对 所 有 的 / 都 有 如 下 不 等 式 成 立! 为 此 先 从 上 面 的 不 等 式 中 解 出 来 易 得 一 般 而 言 数 是 自 然 数 与 定 义 叙 述 比 较 可 以 取 / 未 必