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1 义 务 教 育 教 科 书 数 学 九 年 级 下 册 QINGDAOCHUBANSHE

2 亲 爱 的 同 学 : 时 间 过 得 真 快! 转 眼 之 间, 已 经 进 入 九 年 级 下 学 期 在 九 年 义 务 教 育 阶 段 的 最 后 一 学 期, 你 打 算 怎 样 学 习 数 学? 函 数 是 你 的 老 朋 友, 早 在 七 年 级, 就 结 识 了 函 数, 在 八 ( 下 ) 又 学 习 过 一 次 函 数 及 其 图 象 在 本 书 中, 你 将 在 此 基 础 上, 更 进 一 步 地 认 识 函 数, 通 过 研 究 两 种 常 见 的 函 数 反 比 例 函 数 二 次 函 数 和 它 们 的 图 象, 探 索 它 们 的 性 质, 熟 悉 它 们 的 应 用, 积 累 活 动 经 验, 从 而 进 一 步 体 会 研 究 函 数 的 基 本 方 法, 感 悟 数 学 模 型 和 数 形 结 合 的 思 想 在 本 书 中, 你 将 学 习 频 数 和 频 数 分 布 的 意 义, 会 画 频 数 直 方 图, 利 用 频 数 直 方 图 解 释 数 据 中 蕴 涵 的 信 息 你 还 将 通 过 一 些 大 量 的 重 复 试 验, 了 解 事 件 的 概 率 并 尝 试 用 频 率 估 计 概 率, 并 学 习 一 些 简 单 的 概 率 计 算 通 过 本 书, 你 还 将 进 一 步 认 识 几 种 简 单 的 几 何 体, 了 解 直 棱 柱 圆 锥 圆 锥 的 侧 面 展 开 图, 了 解 中 心 投 影 平 行 投 影 和 正 投 影, 会 画 几 种 简 单 几 何 体 的 三 视 图, 能 判 断 简 单 物 体 的 视 图, 并 会 根 据 视 图 描 述 简 单 的 几 何 体, 进 一 步 发 展 你 的 空 间 观 念 数 学 是 研 究 数 量 关 系 和 空 间 形 式 的 科 学, 数 学 与 人 类 的 发 展 和 社 会 的 进 步 息 息 相 关 学 习 数 学 不 仅 使 你 掌 握 必 要 的 数 学 知 识 与 技 能, 为 你 的 未 来 生 活 工 作 和 学 习 打 下 良 好 的 基 础, 还 可 使 你 的 思 维 能 力 和 创 新 意 识 都 得 到 培 养 和 发 展 在 学 习 数 学 的 过 程 中, 充 满 着 快 乐 也 充 满 着 挑 战 相 信 你 会 在 独 立 思 考 合 作 交 流 的 氛 围 中, 不 怕 困 难, 勤 于 思 考, 勇 于 探 索, 敢 于 创 新, 胜 利 地 完 成 本 学 期 和 义 务 教 育 阶 段 的 数 学 学 习 任 务

3 目 录 目 录 对函数的再探索 5. 函数与它的表示法 4 5. 反比例函数 二次函数 二次函数的图象和性质 确定二次函数的表达式 二次函数的图象与一元二次方程 二次函数的应用 50 第5章 回顾与总结 58 综合与实践 第6章 实际问题与分段函数模型 事件的概率 随机事件 7 6. 频数与频率 频数直方图 事件的概率 简单的概率计算 利用画树状图和列表计算概率 随机现象的变化趋势 3 回顾与总结 8 综合与实践 质数的分布 4

4 目 第7章 录 空间图形的初步认识 8 7. 几种常见的几何体 直棱柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开图 圆锥的侧面展开图 49 回顾与总结 54 第8章 58 投影与识图 8. 中心投影 平行投影 物体的三视图 回顾与总结 7 8

5 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索

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7 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 5. 函 数 与 它 的 表 示 法 观 察 与 思 考 你 还 记 得 什 么 是 函 数 吗? 在 现 实 生 活 中, 函 数 关 系 是 处 处 存 在 的. 你 知 道 表 示 函 数 关 系 的 方 法 通 常 有 哪 几 种 吗? () 黄 河 的 一 条 支 流 上 的 某 水 文 站 记 录 了 该 支 流 当 天 9 时 至 时 河 水 水 位 的 变 化 情 况 ( 图 5-). 你 从 图 中 能 获 取 哪 些 信 息? 在 这 个 实 际 问 题 中, 有 哪 图 5- 两 个 变 量? 这 两 个 变 量 之 间 是 函 数 关 系 吗? 如 果 是, 函 数 关 系 是 用 哪 种 方 法 表 示 的? 你 能 从 图 5- 中 看 出 自 变 量 是 在 哪 个 范 围 内 取 值 的 吗? 与 同 学 交 流. () 一 根 弹 簧 原 长 5 cm, 在 弹 簧 一 端 所 受 到 的 拉 力 不 超 过 40 N 的 弹 性 限 度 内, 每 增 加 0 N 的 拉 力, 弹 簧 就 伸 长 cm, 请 你 填 写 下 表 : 拉 力 x / N 弹 簧 长 度 y / cm 4 在 这 个 实 际 问 题 中, 弹 簧 长 度 y 与 拉 力 x 之 间 是 函 数 关 系 吗? 如 果 是, 函 数 关 系 是 用 哪 种 方 法 表 示 的? 其 中, 自 变 量 是 在 哪 个 范 围 内 取 值 的? (3) 物 体 从 490 m 的 高 度 处 自 由 下 落, 物 体 距 地 面 的 高 度 h(m) 与 物 体 下 落 的 时 间 t(s) 之 间 的 关 系 满 足 表 达 式 h = t. 在 这 个 实 际 问 题 中, 物 体 距 地 面 的 高 度 h 与 物 体 下 落 的 时 间 t 之 间 是 函 数 关 系 吗? 如 果 是, 它 们 之 间 的 函 数 关 系 是 用 哪 种 方 法 表 示 的? 其 中, 自 变 量 是 在 哪 个 范 围 内 取 值 的?

8 5. 函 数 与 它 的 表 示 法 (4) 上 述 问 题 ()()(3) 中, 分 别 是 用 图 象 法 列 表 法 及 解 析 法 来 表 示 两 个 变 量 之 间 的 函 数 关 系 的. 你 还 能 分 别 举 出 用 上 述 三 种 方 法 表 示 函 数 的 例 子 吗? 你 体 会 表 示 函 数 关 系 的 三 种 方 法 各 有 哪 些 优 点 和 不 足? 与 同 学 交 流. 图 象 法 的 优 点 是 直 观, 能 够 形 象 地 反 映 出 当 自 变 量 的 值 变 化 时 函 数 值 的 变 化 趋 势, 所 以 常 用 来 研 究 函 数 的 性 质 和 变 化 趋 势, 不 足 之 处 是 不 能 准 确 地 由 已 知 自 变 量 的 值 求 出 函 数 值 ; 列 表 法 的 优 点 是 已 知 表 中 给 出 的 部 分 自 变 量 的 值 时, 可 以 不 通 过 计 算 直 接 查 出 对 应 的 函 数 值, 不 足 之 处 是 只 能 表 示 出 自 变 量 的 有 限 个 离 散 值 及 其 函 数 值 ; 解 析 法 的 优 点 是 全 面 准 确 方 便, 对 于 自 变 量 在 可 以 取 值 的 范 围 内 任 取 一 个 确 定 的 值, 都 可 以 通 过 表 达 式 计 算 求 出 它 的 函 数 值, 不 足 之 处 是 不 够 形 象 直 观, 而 且 并 不 是 每 一 个 函 数 都 可 写 出 它 的 表 达 式, 例 如 上 面 问 题 () 中 的 函 数 关 系 就 无 法 用 一 个 表 达 式 表 示. 因 此 在 研 究 函 数 时, 往 往 将 三 种 表 示 方 法 联 合 运 用, 互 相 补 充. 过 去 学 习 一 次 函 数 时, 就 是 联 合 运 用 三 种 方 法, 研 究 它 的 特 征 图 象 和 性 质 的. (5) 利 用 问 题 () 表 中 给 出 的 数 据, 画 出 y 与 x 的 函 数 图 象. 你 发 现 弹 簧 的 长 度 y 是 拉 力 x 的 一 次 函 数 吗? 为 什 么? 写 出 y 与 x 的 表 达 式. 如 图 5-, 它 的 图 象 是 以 A(0,5) 和 B(40,3) 为 端 点 的 一 条 线 段. 由 此 可 设 函 数 的 表 达 式 为 y = kx + 5 (k 是 常 数,0 x 40). 将 x = 40,y = 3 代 入 上 式, 得 解 得 k = 5. 3 = 40k + 5, 所 以 这 个 函 数 的 表 达 式 为 y = x + 5 (0 x 40). 5 (6) 你 会 用 描 点 法 画 出 问 题 (3) 中 的 函 数 图 象 吗? 由 问 题 (3) 的 实 际 意 义 和 函 数 表 达 式 h = -4.9t + 490, 先 确 定 自 变 量 t 可 以 取 值 的 范 围 是 0 t 0. 根 据 函 数 的 表 达 式 和 自 变 量 可 以 取 值 的 范 围, 列 出 下 面 的 表 格 : y/cm 30 5 B(40,3) 0 5 A(0,5) 0 5 x/ N t / s h / m 图 5-5

9 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 以 时 间 t 为 横 轴 高 度 h 为 纵 轴 画 出 直 角 坐 标 系 ( 根 据 该 问 题 的 实 际 背 景, 横 轴 和 纵 轴 选 取 不 同 的 单 位 长 度 ), 然 后 以 上 表 中 的 每 一 个 有 序 实 数 对 (t,h) 为 坐 标, 在 直 角 坐 标 系 中 描 出 相 应 的 各 点, 用 一 条 平 滑 的 曲 线 按 自 左 向 右 的 顺 序 顺 次 连 接 它 们, 便 得 函 数 y = t (0 t 0) 的 图 象. 它 是 一 段 曲 线 ( 图 5-3) h / m t / s 图 5-3 练 习. 一 辆 汽 车 在 一 段 行 驶 过 程 中, 速 度 v 随 行 驶 时 间 t 变 化 的 情 况 如 图 所 示. () 在 这 个 问 题 中, 速 度 v 与 行 驶 时 间 t 之 间 的 函 数 关 系 是 用 哪 种 方 法 表 示 的? () 这 个 过 程 中 汽 车 共 行 驶 了 多 少 分 钟? 在 哪 个 时 间 段 内, 汽 车 行 驶 速 度 最 大? 最 大 速 度 是 多 少? (3) 在 哪 个 时 间 段 内 汽 车 的 行 驶 速 度 逐 渐 增 加? 在 哪 个 时 间 段 内 行 驶 速 度 逐 渐 减 少? 在 哪 个 时 间 段 内 汽 车 按 匀 速 运 动 行 驶? 按 匀 速 运 动 行 驶 时, 速 度 是 多 少? (4) 根 据 图 象, 填 写 下 表 : t / min v /(km/s) A v/(km/h) t/min B r O C ( 第 题 ) ( 第 题 ). 如 图, 正 三 角 形 ABC 内 接 于 圆 O, 设 圆 的 半 径 为 r. 你 能 写 出 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 S 与 半 径 r 之 间 的 函 数 关 系 吗? 你 认 为 用 哪 种 方 法 表 示 它 们 之 间 的 函 数 关 系 比 较 方 便? 6

10 5. 函数与它的表示法 观察与思考 进一步研究本节开始时的问题 3 思考下列问题 在这些问题中 自变量可以取值的范围分别是什么 在这些问题中 对于自变量在可以取值的范围内每取一个确定的值 另一个变量的值是否唯一确定 你是如何看出来的 在这些问题中 对于自变量每 取一个确定的值 另一个变量都有 唯一确定的值和它对应. 3 由此你对函数有了哪些进一步的认识 与同学交流. 在同一个变化过程中 有两个变量 x y. 如果对于变量 x 在可以取值的范 围内每取一个确定的值 变量 y 都有唯一确定的值与它对应 那么就说 y 是 x 的函数. 4 观察图 5-4 ① ~ ④ 你认为它们所表示的变量 y 与变量 x 之间的对应关 系都是函数关系吗 如果 y 是 x 的函数 请指出自变量的取值范围 如果 y 不是 x 的函数 请说明理由. y y y 0 ① x y 0 x ② - 0 ③ x 0 - x ④ 图 设 x 是非负数 如果 y 是 x 的算术平方根 当 x 变化时 y 是 x 的函数 吗 如果 y 是 x 的负的平方根呢 如果 y 是 x 的平方根呢 如果是 分别写出它们 之间的函数表达式 指出自变量可以取值的范围 并用描点法画出它的图象. 7

11 第5章 对函数的再探索 例 求下列函数中自变量x可以取值的范围 y = 3x - y = 3 y = 4 y = x- x+ x 3-5x. 当 x 取任意实数时 3x - 都有意义. 所以 自变量 x 可以取值 解 的范围是全体实数 函数有意义的条件是分式的分母 x + 0 即 x -. 所以 自变 的实数 3 函数有意义的条件是被开方式 x - 0 即 x. 所以 自变量 x 可 量 x 可以取值的范围是 x - 以取值的范围是 x 4 函数有意义的条件是分式分母中的被开方式 3-5x > 0 即 x < 以 自变量 x 可以取值的范围是 x < 3.所 对于用解析法表示的函数表达式 为确定其 自变量可以取值的范围 必须使函数表达式有意 义. 在解决实际问题时 还要使实际问题有意义. 挑战自我 如果函数 y = 中自变量 x 可以取值的范围是全体实数 你能确定 m x-x+m 的取值范围吗 与同学交流. 练习. 求下列函数中自变量 x 可以取值的范围 y = 8 3x- y = x x-4x+3

12 5. 函数与它的表示法 4 y = 3x+. 3 y = 6-x. 用 8 cm 的铁丝围成一个等腰三角形 写出底边长 y cm 与一腰腰长 x cm 之间的 函数表达式 指出自变量 x 可以取值的范围 并画出它的图象. 3. 油箱中有油 300 L 油从管道中匀速流出 小时流完. 写出油箱中剩余的油量 L 与油流出时间 t s 之间的函数表达式 指出自变量 t 可以取值的范围 并画出它的 图象. 观察与思考 为了鼓励节约用电 某市按以下标准对居民用户收取电费 当一户居民月 用电量不超过 00 kw h 时 按 0.5 元 / kw h 收费. 当一户居民月用电量超过 00 kw h 时 超过部分按 0.7 元 / kw h 收费. 设用电量为 x kw h 电费为 y 元 你能按上述标准写出一户居民的每 月应缴电费 y 元 与 x kw h 之间的函数表达式吗 上面的收费标准是分段收费的 当 0 x 00 时 y = 0.5x 当 x > 00 时 y = x - 00 = 0.7x 函数表达式是 y= x 00 { 0.5x 0 0.7x-40 x > 00. 你能用描点法画出这个函数的图象吗 与同学交流. 3 图 5-5 是所画出 y 与 x 的函数图象 你发现它的图象具有什么特征 y/元 00 它是由线段 OA 和以 A 为端点的一 条射线组成的. A 00 O 图 x /kw h 9

13 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 (4) 当 某 户 居 民 月 用 电 量 是 90 kw h 时, 电 费 是 多 少? 如 果 月 用 电 量 是 0 kw h 时 呢? 分 别 在 图 象 上 用 B,C 表 示 出 相 应 的 点. 像 这 样, 函 数 关 系 是 分 段 给 出 的, 我 们 把 它 叫 做 分 段 函 数. (5) 图 5-5 中 点 A 是 图 象 中 线 段 OA 的 一 个 端 点, 又 是 射 线 AC 的 端 点, 因 此, 它 是 图 象 上 的 一 个 分 段 点. 你 发 现 分 段 点 与 图 象 上 其 他 点 的 区 别 是 什 么? 在 图 5-5 中, 随 着 自 变 量 的 增 加, 当 图 象 上 的 点 经 过 分 段 点 时, 函 数 的 对 应 关 系 发 生 了 变 化 : 分 段 点 左 边 函 数 关 系 满 足 y = 0.5x, 右 边 满 足 y = 0.7x 例 某 校 住 校 生 放 学 后 到 学 校 锅 炉 房 水 箱 打 水, 每 人 接 水 L. 开 始 时 水 箱 中 有 水 96 L, 两 个 龙 头 同 时 放 水, 经 过 min 后, 水 箱 内 的 余 水 量 为 80 L. 此 时 其 中 一 个 龙 头 因 故 障 而 关 闭. 如 果 前 后 两 人 接 水 间 隔 时 间 忽 略 不 计, 且 不 发 生 泼 洒, 水 箱 内 的 余 水 量 y(l) 与 放 水 时 间 x(min) 的 函 数 图 象 如 图 5-6 所 示. 已 知 放 水 4 min 时, 水 箱 中 的 余 水 量 为 7 L. () 写 出 水 箱 的 余 水 量 y 与 放 水 时 间 x 之 间 的 函 数 表 达 式 ; () 前 5 位 同 学 接 水 共 用 了 多 少 时 间? 解 () 由 题 意 和 图 5-6 知,y 与 x 之 间 的 函 数 是 分 段 函 数. 其 中 线 段 AB y/l A B 0 4 x/ min 图 5-6 C 0 表 示 两 个 水 龙 头 同 时 放 水 时 y 与 x 的 对 应 关 系. 设 这 段 函 数 的 表 达 式 是 y = k x + b, 将 (0,96),(,80) 代 入 该 式, 得 { b = 96, k + b = 80. 解 得 k = -8,b = 96. 所 以 这 段 函 数 的 表 达 式 是 y = -8x + 96,0 x. 同 样 地 将 (,80),(4,7) 代 入 y = k x + b, 可 以 求 出 当 只 有 一 个 水 龙 头 放 水 时,y 与 x 之 间 函 数 的 表 达 式 为 y = -4x 令 y = 0, 得 x = (min). 所 以 当 只 有 一 个 水 龙 头 放 水 时, 函 数 表 达 式 是

14 5. 函 数 与 它 的 表 示 法 y = -4x + 88, < x. 由 此 得 到 y 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 是 -8x + 96,0 x ; y = { -4x + 88, < x. () 前 5 位 同 学 共 接 水 5 = 30(L), 当 第 5 位 同 学 接 完 水 时 水 箱 余 水 量 为 = 66 < 80. 由 图 5-6 可 以 看 出, 此 时 只 有 一 个 水 龙 头 放 水. 将 y = 66 代 入 y = -4x + 88, 得 66 = -4x + 88, 解 得 x = 5.5(min). 所 以, 前 5 位 同 学 接 水 共 用 时 间 5.5 min. 你 还 能 利 用 例 的 情 境, 提 出 一 个 可 以 解 决 的 数 学 问 题 吗? 与 同 学 交 流. 挑 战 自 我 天 泉 村 服 装 厂 今 年 前 5 个 月 中 生 产 服 装 的 总 件 数 S / 件 S( 件 ) 与 时 间 t( 月 ) 的 函 数 关 系 如 图 5-7 所 示. 在 下 面 的 四 个 说 法 中, 你 能 判 断 哪 个 是 正 确 的 吗? (A) 月 至 3 月 每 月 生 产 总 件 数 逐 月 增 加,4, O t / 月 5 两 月 每 月 生 产 总 件 数 逐 月 减 少 图 5-7 (B) 月 至 3 月 每 月 生 产 总 件 数 逐 月 增 加,4,5 两 月 停 止 生 产 (C) 月 至 3 月 每 月 生 产 总 件 数 逐 月 增 加,4,5 两 月 每 月 生 产 总 件 数 与 3 月 持 平 (D) 月 至 3 月 每 月 生 产 总 件 数 不 变,4,5 两 月 停 止 生 产 练 习. 某 工 程 队 开 挖 一 段 河 渠, 施 工 进 度 y(m) 与 施 工 时 间 x( 天 ) 之 间 的 函 数 关 系 如 图 所 示. 根 据 图 象 所 提 供 的 信 息, 解 答 下 列 问 题 : () 开 挖 到 5 m 时, 用 了 多 少 时 间? () 写 出 开 工 后 前 6 天 内 y 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 ; (3) 前 天 施 工 进 度 是 每 天 m, 从 第 3 天 开 始 到 ( 第 题 ) 第 6 天 施 工 进 度 是 每 天 m.

15 第5章 对函数的再探索 习题5. 复习与巩固. 一个竖直放置的圆柱形容器 原有水面的高度为 50 cm 继续向容器内均匀注水 注 水时间和容器内水面高度如下表所示 注水时间 t/ s 水面高度 h /cm 写出 h 与 t 之间的函数表达式 当 t = 8 s 时 水面高度是多少. 某航空公司托运行李的费用 y 元 与托运行李的质量 x kg 之间的函数关系如右图所示. 根据图中的信息 求免费托运行李质量的范围. 3. 小球由静止开始沿斜面向下滚动 速度每秒增加 m/s. 当 小球到达斜面底部时 小球速度达到 40 m/s. 写出小球速度 v m/s 与时间 t s 之间的函数表 第 题 达式 指出 t 可以取值的范围 3 当 t = 3.5 s 时 求小球的速度 4 当 t 为何值时 小球的速度为 6 m/s 4. 某实验田的农作物在生长期每天的需水量 y kg 与生长 y / kg 时间 x 天 之间的函数关系如图所示. 这些农作物在生 长期第 0 天 第 30 天的需水量分别为 000 kg kg. 在第 40 天后每天的需水量比前一天增加 00 kg O 写出 y 与 x 之间的函数表达式 x / 天 0 第 4 题 如果这些作物每天的需水量大于等于 kg 时需 要进行人工灌溉 那么应从第几天开始进行人工灌溉 5. 一根合金棒在不同的温度下 其长度也不同. 经测定 该合金棒长度与温度之间有如 表所示的关系 温 度 / 长 度 /cm 上表反映了合金棒长度与温度之间的函数关系 其中 函数 是自变量 是

16 5. 函数与它的表示法 当温度是 0 时 合金棒的长度是多少 3 如果合金棒的温度在 时 根据表中数据推测 此时合金棒长度应 在 cm cm 的范围内 4 假设温度为 x 合金棒的长度是 y cm 根据表中数据 写出 y 与 x 之间的函数 表达式 5 当温度是 -0 或 00 时 合金棒的长度分别是多少 拓展与延伸 6. 小亮设计了一个计算机的计算程序 输入数 x 和输出数 y 如下表所示 x y 在这个问题中 输出数 y 与输入数 x 之间的函数关系是用哪种方法表示的 你能用图 象法及解析法表示它们之间的函数关系吗 7. 如图 在边长为 的正方形 ABCD 的一边 BC 上 有一点 P 从 D C B 点运动到 C 点 设 PB = x 四边形 APCD 的面积为 y. 写出 y 与 x 之间的函数表达式 P 指出自变量 x 可以取值的范围 A 3 求函数值 y 的变化范围. B 第 7 题 探索与创新 乙两队比赛时 路程 y m 与时间 x min 8. 某地端午节举行龙舟比赛 赛程为 800 m. 甲 的函数关系如图所示. 最先到达终点的是哪个队 比另一个队提前多少时间到达 写出图中点 A 和点 B 的坐标 并解释它们的实际意义 3 假设乙队在第一次加速后 继续保持这个速度前进 那么乙队何时到达终点 y/m O 第 8 题 乙甲 B A x / min 3

17 第5章 对函数的再探索 5. 反比例函数 观察与思考 思考下面的问题 并与同学交流 时代中学要修建一个面积为 84 m 的矩形花圃 写出矩形的宽 y m 与长 x m 之间的函数表达式 甲 乙两地相距 00 km 一辆汽车从甲地驶往乙地. 写出汽车行驶的 时间 t h 与汽车的平均速度 v km/h 之间的函数表达式 3 已知两个实数的乘积为 -0. 写出其中的一个因数 q 与另一个因数 p 之 间的函数表达式 这三个问题中的函数表达式分别 为y = t = q =. x v p 4 想一想 上述问题中的函数表达式在形式上具有什么共同特征 k 上述问题中的函数表达式都具有 y = x 的形式 其中 k 为不等于 0 的常数. k 一般地 形如 y = x k 是常数 k 0 的函数叫做反比例函数 inverse proportional function. k 当 k > 0 时 变 x 量 y 与 x 是成反比例的量. 对于函数 y = 4 你能举出一些反比例函数的例子吗 与同学交流.

18 5. 反比例函数 写出下列问题中 y 与 x 之间的函数表 例 小资料 达式 并判断是否为反比例函数. 在同一个变化过程 三角形的面积为 36 cm 底边长 y cm 中 如果两个变量 x 与 y 的 与该底边上的高 x cm 积等于一个不为 0 的常数 圆柱的体积为 60 cm 3 它的高 h cm k 那么变量 y 是自变量x 与底面的面积 S cm 的反比例函数. 3 圆柱的体积为 60 cm 它的高 h cm 3 与底面的半径 r cm. 解 由三角形的面积公式 得 7 xy = 36 于是 y = x. 所以当三角形的面积为定值 36 cm 时 y 是 x 的反比例函数. 由圆柱的体积公式 得 Sh = 60 于是 h = 60. S 所以当圆柱的体积为定值 60 cm3 时 h 是 S 的反比例函数. 3 由圆柱的体积公式得 π r h = 60 于是 h = 60 由于分母上自变量 r 的 πr 次数是 所以 h 不是底面半径 r 的反比例函数. 已知 y 是 x 的反比例函数 且当 x = 时 y = -3 求这个反比例函 例 数的表达式. k 设所求的反比例函数的表达式为 y = x. 将 x = y = - 3. 代入上式 得 解 k -3 = 解得 k = -6. 所以 这个反比例函数的表达式为 y = -6. x 想一想 例 中确定常数 k 时 运用了什么方法 挑战自我 以下三个表格分别列出了三个函数的两个变量之间的部分对应值 你认为哪 个表格中的函数关系可能是反比例函数 如果可能是 写出可能的反比例函数表 达式. 5

19 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 表 x 3 y 3 表 x 3 y 0 5 表 3 x y 3 6 练 习. 分 别 写 出 下 列 函 数 的 表 达 式, 并 指 出 哪 些 是 反 比 例 函 数 : () 当 物 体 的 质 量 m 一 定 时, 物 体 的 密 度 ρ 与 体 积 V 之 间 的 函 数 关 系 ; () 当 压 力 F 一 定 时, 压 强 p 与 受 力 面 积 S 之 间 的 函 数 关 系 ; (3) 当 电 压 U 一 定 时, 电 流 I 与 电 阻 R 之 间 的 函 数 关 系 ; (4) 当 梯 形 面 积 S 与 上 底 a 一 定 时, 梯 形 高 h 与 下 底 x 之 间 的 函 数 关 系.. 已 知 y 与 x 成 反 比 例, 并 且 当 x = 3 时,y = 7. () 写 出 y 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 ; () 当 x = 时, 求 y 的 值 ; (3) 当 y = 时, 求 x 的 值. 我 们 过 去 曾 经 学 习 过 一 次 函 数, 还 记 得 当 时 是 怎 样 研 究 一 次 函 数 的 图 象 及 其 性 质 的 吗? 类 比 一 次 函 数 的 研 究 方 法, 你 认 为 应 当 怎 样 探 索 反 比 例 函 数 的 性 质? 实 验 与 探 究 6 () 反 比 例 函 数 y = 8 x 的 自 变 量 x 可 以 取 值 的 范 围 是 什 么?

20 5. 反 比 例 函 数 () 为 了 画 出 y = 8 x 的 图 象, 需 要 先 列 表. 列 表 时, 应 选 取 哪 些 自 变 量 x 的 值 呢? (3) 在 x 0 的 范 围 内, 选 定 x 的 下 列 值, 计 算 出 对 应 的 y 值, 完 成 下 面 的 表 格 : 必 须 在 自 变 量 可 以 取 值 的 范 围 内 选 取 x 的 值. 所 取 的 x 的 值 应 有 利 于 计 算 对 应 的 y 值 和 描 点, 还 要 能 整 体 地 反 映 出 函 数 的 图 象. x y (4) 以 表 中 每 对 x,y 的 值 作 为 点 的 坐 标, 在 直 角 坐 标 系 中 描 出 对 应 的 点 ( 图 5-8). (5) 连 线 时, 所 描 出 的 相 邻 两 点 如 A(,4) 与 B(4,) 之 间, 能 不 能 用 线 段 来 连 接? 为 什 么? 如 果 不 能, 应 当 如 何 连 接? 在 < x < 4 的 范 围 内, 取 x = 3, 代 入 y = 8 x, 得 点 C(3, 8 3 ), 因 为 线 段 AB 的 表 达 式 为 y = -x + 6, 如 果 将 x = 3 代 入 该 式, 得 y = 3. 由 图 < 3, 可 知 点 C 在 线 段 AB 的 下 方. 然 后 再 分 别 在 < x < 3 和 3 < x < 4 范 围 内 各 取 一 点, 同 样 可 以 判 断 这 段 y = 8 x 图 象 上 的 点 也 都 在 相 应 线 段 的 下 方. 类 似 地 可 以 判 断, 当 x > 0 时 在 其 他 描 出 的 相 邻 的 各 点 中, 函 数 y = 8 x 的 图 象 上 的 各 点 都 分 别 在 以 它 们 为 端 点 的 线 段 的 下 方, 8 y O x 因 此 连 线 时 要 用 向 下 凹 的 平 滑 曲 线 连 接 描 出 的 各 点. 而 当 x < 0 时, 情 况 相 反, 连 线 时 要 用 向 上 凸 的 平 滑 曲 线 连 接 描 出 的 各 点. 7

21 第5章 对函数的再探索 6 想一想 在图 5-8 中能用线段或平滑的曲线将点 - -8 与点 8 连接吗 为什么 7 用平滑的曲线按自变量由小到大的顺序顺次连接在图 5-8 中各点 便 8 画出函数 y = x 的图象 图 你能用上面的方法画出反比例函数 y = - x 的图象吗 试一试 图 5-0. y y O x O x 图 5-9 图 类似地 可以画出反比例函数 y = x 和 y = x 的图象 图 5- ① ②. 6 y y O O x ① 4 6 x ② 图 5- 观察与思考 类比利用一次函数的图象研究其性质的过程 你认为可以通过观察图 象 图 5-9 图 5-0 图 5- 的哪些特征认识反比例函数的性质 可以通过观察这些图象的形状 位置和变化趋势 归纳出函数的性质. 8

22 5. 反 比 例 函 数 () 观 察 函 数 y = 8 x 与 y = -8 x 形 状 位 置 有 哪 些 共 同 特 征 和 不 同 点? 以 及 y = 6 x 与 y = -6 x 的 图 象, 你 发 现 它 们 的 它 们 的 形 状 基 本 相 同, 都 由 两 支 曲 线 组 成 ; 图 象 都 不 经 过 原 点 ; 并 且 与 两 坐 标 轴 都 不 相 交. 但 它 们 在 坐 标 系 中 的 位 置 不 同,y = 8 x 和 y = 6 x 的 图 象 在 第 一 三 象 限,y = -8 x 和 y = -6 x 的 图 象 在 第 二 四 象 限. (3) 由 () 你 猜 测 反 比 例 函 数 y = k x 的 图 象 的 位 置 是 受 什 么 因 素 决 定 的? 你 能 利 用 函 数 的 表 达 式 说 明 你 的 结 论 吗? 反 比 例 函 数 y = k x 的 图 象 的 位 置 是 由 k 决 定 的. 当 k > 0 时, 图 象 的 两 个 分 支 分 别 在 第 一 三 象 限 ; 当 k < 0 时, 分 别 在 第 二 四 象 限. 这 是 因 为 由 表 达 式 可 得 xy = k, 当 k > 0 时, 点 的 横 纵 坐 标 x,y 同 号 ; 当 k < 0 时,x 与 y 异 号. (4) 在 第 一 象 限 内, 随 着 图 象 上 点 的 横 坐 标 不 断 增 大,y = 8 x 图 象 的 变 化 情 况 是 怎 样 的? 这 说 明 在 第 一 象 限, 当 x 的 值 不 断 增 大 时, 对 应 的 y 值 增 大 还 是 减 小? 当 x > 0 且 x 越 来 越 接 近 0 时 图 象 的 变 化 情 况 又 是 怎 样 的 呢? 类 似 地, 请 你 讨 论 双 曲 线 y = 8 x 在 第 三 象 限 内 的 情 况. 在 第 一 象 限 内, 如 果 在 反 比 例 函 数 y = 8 x 的 图 象 上 任 取 两 点 (x,y ), (x,y ), 且 0 < x < x, 那 么 可 以 画 出 这 两 点 的 纵 坐 标 y,y 所 对 应 的 线 段. 比 较 它 们 的 长 度, 可 以 发 现 y > y. 观 察 y = 8 x 在 第 三 象 限 内 的 分 支, 也 会 得 出 同 样 的 结 论. 这 说 明 y = 8 x 在 每 一 象 限 内,y 随 x 值 的 增 大 而 减 小. 由 xy = 8 可 知 在 双 曲 线 y = 8 x 上 总 有 x 0 且 y 0, 因 此, 图 象 永 远 不 会 与 x 轴 及 y 轴 相 交. (5) 反 比 例 函 数 y = -8 x 与 y = -6 x 的 图 象 的 变 化 情 况 是 怎 样 的? 反 比 例 函 数 y = 6 x 呢? 由 此 你 能 归 纳 出 当 k > 0 和 k < 0 时, 函 数 y = k x 图 象 的 变 化 情 况 分 9

23 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 别 是 怎 样 的 吗? 通 过 以 上 探 索, 可 以 得 到 反 比 例 函 数 的 以 下 性 质 : 反 比 例 函 数 y = k x 的 图 象 称 作 双 曲 线 (hyperbola). 当 k > 0 时, 图 象 的 两 个 分 支 分 别 位 于 第 一 三 象 限 内, 在 每 个 象 限 内,y 随 x 的 增 大 而 减 小 ; 当 k < 0 时, 图 象 的 两 个 分 支 分 别 位 于 第 二 四 象 限 内, 在 每 个 象 限 内,y 随 x 的 增 大 而 增 大. (6) 通 过 以 上 探 索 过 程, 你 对 运 用 数 形 结 合 思 想 研 究 函 数 的 性 质 解 决 与 函 数 相 关 的 问 题 有 什 么 体 会? 挑 战 自 我 () 已 知 P (x,y ),P (x,y ),P 3 (x 3,y 3 ),P 4 (x 4,y 4 ) 是 反 比 例 函 数 y = -3 x 上 的 四 个 点, 且 x < x < 0 < x 3 < x 4, 如 何 比 较 y,y,y 3,y 4 的 大 小 关 系? () 已 知 点 P (,b ),P (,b ) 分 别 在 双 曲 线 y = k x 和 y = k x 上, 如 果 b < b, 如 何 比 较 k,k 的 大 小 关 系? 练 习. 画 出 函 数 y = 3 x 与 y = - 3 x 的 图 象, 并 分 别 说 出 它 们 的 性 质.. 将 正 比 例 函 数 y = kx 与 反 比 例 函 数 y = k x 的 图 象 和 性 质 进 行 对 比, 填 写 下 面 的 表 格, 找 出 它 们 有 哪 些 相 同 点 和 不 同 点 : 表 达 式 y = kx(k 0) k > 0 k < 0 自 变 量 可 以 取 值 范 围 图 象 形 状 位 置 变 化 情 况 y = k x (k 0) 0

24 5. 反 比 例 函 数 例 3 如 图 5-, 已 知 点 A, 的 坐 标 分 别 为 (3,0) y 和 (5,0), 过 点 A, 作 直 线 AC,P 平 行 于 y 轴, 分 别 交 反 比 例 函 数 y = 5 x 的 图 象 于 点 C,P, 过 点 C,P 分 别 作 直 线 CB,PR 平 行 于 x 轴, 交 y 轴 于 点 B,R. () 矩 形 OACB 与 矩 形 O PR 的 面 积 分 别 是 多 少? 由 此 你 得 出 什 么 结 论? B C R D P O A x 图 5- () 设 CA 与 PR 交 于 点 D, 求 矩 形 OACB 与 矩 形 O PR 公 共 部 分 的 面 积. 解 () 设 C 点 坐 标 为 (x,y), 则 x = 3,y = 5 3 = 5. 所 以 矩 形 OACB 的 面 积 为 3 5 = 5. 同 样 可 知,P 点 横 坐 标 为 5, 纵 坐 标 为 3. 矩 形 O PR 的 面 积 为 5 3 = 5. 因 此, 矩 形 OACB 和 O PR 的 面 积 相 等, 且 都 等 于 表 达 式 中 的 常 数 5. 一 般 地, 从 反 比 例 函 数 y = k x 图 象 上 任 一 点 P, 向 x 轴 和 y 轴 作 垂 线, 由 点 P 与 两 个 垂 足 及 坐 标 原 点 形 成 的 矩 形 面 积 等 于 常 数 k. () 点 D 的 横 坐 标 等 于 点 A 的 横 坐 标 3, 即 DR = 3, 点 D 的 纵 坐 标 等 于 点 P 的 纵 坐 标 3, 即 DA = 3. 所 以, 矩 形 OACB 与 矩 形 O PR 的 公 共 部 分 即 矩 形 OADR 的 面 积 为 3 3 = 9. 例 4 如 图 5-3, 已 知 反 比 例 函 数 y = k x 的 图 象 与 y 直 线 y = ax + b 相 交 于 点 A(-,3),B(3,m). 求 k 及 a,b 的 值. 解 因 为 A(-,3) 在 函 数 y = k x 的 图 象 上, 所 以 3 = k,k = 又 因 为 B(3,m) 在 函 数 y = -6 x 坐 标 为 (3,-). 图 象 上, 所 以 m = -6 3 = -, 因 此 点 B 的 A - 3 O 图 B x

25 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 将 A(-,3),B(3,-) 分 别 代 入 y = ax + b, 得 3 = -a + b, - = 3a + b, 解 这 个 二 元 一 次 方 程 组, 得 { { a = -, b =. 挑 战 自 我 在 同 一 个 直 角 坐 标 系 中, 反 比 例 函 数 y = k x 于 一 点 吗? 说 明 理 由. 与 y = k x (k k ) 的 图 象 能 交 练 习. 如 图 A 是 反 比 例 函 数 y = k x 的 图 象 上 的 一 点, 过 A 作 AB Ox, 垂 足 为 B. 已 知 OAB 面 积 为 3, 求 这 个 反 比 例 函 数 的 表 达 式. y A R R P P O B x O ( 第 题 ) ( 第 题 ). 如 图, 已 知 函 数 y = 4 x 的 图 象 与 直 线 y = x,y = x 分 别 交 于 第 一 象 限 内 的 点 P 和 P, 过 P 分 别 作 x 轴 y 轴 的 垂 线 P,P R, 垂 足 分 别 为,R, 过 P 分 别 作 x 轴 y 轴 的 垂 线 P,P R, 垂 足 分 别 为,R. 你 能 分 别 求 出 四 边 形 O P R 和 O P R 的 周 长 并 比 较 它 们 的 大 小 吗? 例 5 一 辆 汽 车 以 80 km/h 的 平 均 速 度 从 甲 地 驶 往 乙 地, 用 5 h 到 达. () 当 汽 车 按 原 路 返 回 时, 如 果 规 定 该 车 限 速 0 km/h, 写 出 返 回 甲 地 所 用 的 时 间 t 与 平 均 速 度 v 的 函 数 表 达 式, 并 画 出 它 的 图 象 ;

26 5. 反比例函数 如果汽车必须在 4 h 内回到甲地 求返程时的平均速度的范围. 解 由已知 可求出从甲地到乙地的路程为 S = 80 5 = 400 km. 由 v t = 400 及限速条件 可得 t 与 v 之间函数的表达式为 t= 其图象为双曲线 t = < v 0. v 400 上的一段 图 5-4. v 当 t = 4 时 v= 400 = 00 km/h. 4 所以 如果汽车必须在 4 h 内回到甲地 那么返程时平均速度的范围是 不低于 00 km/h 不大于 0 km/h. 加油站 t/ h 反比例函数是实际生活和生产中的 一类问题的数学模型. 解决这类问题时 5 O 需要先列出符合题意的函数表达式 然后 v/ km/h 图 5-4 例6 利用反比例函数的性质 以及综合运用方 程 方程组 不等式等相关知识求解. y / mg/m3 某校对教室采用药薰法进行灭蚊. 根据药 品使用说明 药物燃烧时 室内每立方米空气中含药 6 量 y mg / m 3 与药物点燃后的时间 x min 成正比 3 例 药物燃尽后 y 与 x 成反比例 图 5-5. 已知药 物点燃后 8 min 燃尽 此时室内每立方米空气中含药 x/min 图 5-5 量为 6 mg. 求药物燃烧时 y 与 x 之间函数的表达式 求药物燃尽后 y 与 x 之间函数的表达式 3 根据灭蚊药品使用说明 当空气中每立方米的含药量低于.6 mg 时 对人体是安全的. 那么从开始药薰 至少经过多少时间 学生才能进入教室 3

27 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 (4) 根 据 灭 蚊 药 品 使 用 说 明, 当 每 立 方 米 空 气 中 含 药 量 不 低 于 3 mg 且 持 续 时 间 不 低 于 0 min 时, 才 能 有 效 杀 灭 室 内 的 蚊 虫, 那 么 此 次 灭 蚊 是 否 有 效? 为 什 么? 解 () 当 药 物 燃 烧 时,y 是 x 的 正 比 例 函 数, 设 它 的 表 达 式 为 y = k x(0 x 8). 将 (8,6) 代 入 上 式, 得 6 = 8k, 解 得 k = 3 4. 所 以, 药 物 燃 烧 时,y 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 为 y = 3 4 x,0 x 8. () 当 药 物 燃 尽 后,y 是 x 的 反 比 例 函 数, 设 它 的 表 达 式 是 y = k x (x > 8). 将 (8,6) 代 入 上 式, 得 6 = k 8, 解 得 k = 48. 所 以, 药 物 燃 尽 后,y 与 x 之 间 函 数 的 表 达 式 为 y = 48 x,x > 8. (3) 将 y =.6 代 入 y = 48 x, 得 x = 30(min). 所 以, 从 灭 蚊 开 始 至 少 需 经 过 30 min, 学 生 才 能 进 入 教 室. (4) 将 y = 3 分 别 代 入 y = 3 4 x 和 y = 48 x, 分 别 得 x = 4 和 x = 6( 图 5-5), 因 此, 从 药 物 点 燃 4 min 到 6 min 时, 室 内 每 立 方 米 空 气 中 含 药 量 超 过 3 mg, 由 于 x - x = 6-4 = (min)> 0(min), 所 以 此 次 灭 蚊 有 效. 练 习 P / Pa. 在 压 力 不 变 的 情 况 下, 某 物 体 承 受 的 压 强 P(Pa) 是 它 的 受 力 面 积 S(m ) 的 反 比 例 函 数, 其 图 象 如 右 000 图 所 示. () 求 P 与 S 之 间 的 函 数 表 达 式 ; 000 () 求 当 S = 0.5 m 时 的 物 体 承 受 的 压 强 P. O S / m. 选 择 题 : 已 知 某 种 品 牌 电 脑 显 示 屏 的 使 用 寿 命 大 约 ( 第 题 ) 为 0 4 h. 如 果 该 显 示 屏 工 作 天 数 为 d( 天 ), 平 均 每 天 工 作 时 间 为 t(h), 那 么 能 4

28 5. 反比例函数 正确表示 d 与 t 之间函数关系的图象是 d/天 d/天 04 O. d/天 04 t/h A d/天 04 O O t/h B O t/h C 04 t/h D 第 题 习题5. 复习与巩固. 指出下列函数中的反比例函数 y = -x y = x 3 y = - x 4 y = 3. 3x. 学校食堂用 00 元购买大米 写出所购买的大米质量 y kg 与单价 x 元 / kg 之间的函数表达式. y 是 x 的反比例函数吗 水池中蓄水 90 m3 现用放水管以 x m3 / h 的速度排水 经过 y h 排空. 写出 y 与 x 之间的函数表达式. y 是 x 的反比例函数吗 3. 某县现有人口 8 万 人均占有耕地面积为 0.5 公顷. 如果该县的总耕地面积不变 写出该县人均占有耕地面积 y 公顷/人 与人口总数 x 人 之间的函数表达式. y 是 x 的反比例函数吗 当该县人口增加到 00 万时 人均占有耕地面积是多少公顷 4. 一定质量的氧气 它的密度 ρ kg / m3 是它的体积 V m3 的反比例函数. 当 V = 0 m3 时 ρ =.43 kg / m3. 求 ρ 与 V 之间的函数表达式 当 V = m3 时 求氧气的密度 ρ. k 5. 已知反比例函数 y = k 0 的图象过点 求 k 的值. x 6. 已知 y 是 x 的反比例函数 - 是它图象上的一点. 写出这个反比例函数的表达式 3 该图象是否经过点 P m- 的图象在第一 三象限 求 m 的取值范围. 7. 已知反比例函数 y = x 5

29 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 8. 如 果 点 (x,y ),(x,y ) 都 在 反 比 例 函 数 y = 5 x 的 图 象 上, 并 且 x < x < 0, 试 比 较 y,y 的 大 小. 9. 如 图,P 是 反 比 例 函 数 y = k x 图 象 上 一 点. 如 果 图 中 矩 形 阴 6 影 部 分 面 积 是, 求 这 个 反 比 例 函 数 的 表 达 式. 0. 某 市 计 划 修 建 一 条 长 80 km 的 轻 轨 铁 路. () 原 计 划 每 月 修 建 x km,y 个 月 可 修 建 完. 求 y 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 ; () 为 使 工 程 能 提 前 3 个 月 完 成, 需 要 将 原 定 的 工 作 效 率 提 高 %. 原 计 划 完 成 这 项 工 程 用 多 少 个 月?. 甲 乙 丙 丁 各 指 出 函 数 的 一 个 性 质 : 甲 : 函 数 的 图 象 经 过 第 二 四 象 限 ; 乙 : 函 数 的 图 象 不 经 过 原 点 ; 丙 : 在 每 个 象 限 内,y 随 x 增 大 而 减 小 ; 丁 : 函 数 图 象 经 过 点 (5,-3). 请 你 根 据 他 们 的 叙 述, 写 出 满 足 上 述 性 质 的 一 个 函 数 表 达 式.. 某 玻 璃 器 皿 厂 根 据 需 要, 打 算 设 计 一 种 容 积 为 00 cm 3 的 圆 锥 形 漏 斗, 要 求 漏 斗 口 面 积 不 得 少 于 30 cm. () 写 出 漏 斗 深 h(cm) 与 漏 斗 口 面 积 S(cm 3 ) 之 间 的 函 数 表 达 式. () 如 果 漏 斗 口 直 径 设 计 为 8 cm, 那 么 漏 斗 深 应 是 多 少? 3. 某 勘 探 队 在 进 行 野 外 考 察 时, 途 中 遇 到 一 段 湿 地. 为 P / Pa 了 安 全, 他 们 沿 着 前 进 的 路 线 铺 设 了 若 干 块 木 板, 构 筑 成 一 条 临 时 通 道. 已 知 木 板 对 地 面 的 压 强 P(Pa) 00 是 木 板 面 积 的 反 比 例 函 数, 其 图 象 如 图 所 示. () 写 出 这 个 反 比 例 函 数 的 表 达 式 和 自 变 量 的 取 值 O S / m ( 第 3 题 ) 范 围 ; () 当 木 板 面 积 为 0. m 时, 木 板 对 地 面 的 压 强 是 多 少? (3) 如 果 要 求 压 强 不 超 过 Pa, 木 板 的 面 积 至 少 要 多 大? 4. 某 蓄 水 池 排 水 管 的 排 水 量 为 8 m 3 / h 时,6 h 可 将 满 池 水 全 部 排 空. () 这 个 蓄 水 池 容 积 是 多 少? () 如 果 增 加 排 水 管, 使 排 水 量 达 到 (m 3 / h), 那 么 将 满 池 水 排 空 所 需 时 间 t(h) 将 如 何 变 化? (3) 写 出 t 与 之 间 的 函 数 表 达 式 ; (4) 如 果 准 备 5 h 内 将 满 池 水 排 空, 那 么 排 水 量 至 少 是 多 少? ( 第 9 题 )

30 5.3 二次函数 5 如果排水量最大为 m3 / h 那么至少用多少时间可将满池水全部排空 拓展与延伸 y 5. 如图 点 O 为原点 点 A 在 x 轴上 点 C 在 y 轴上 点 B 和 k P m n 是函数 y = k > 0 x > 0 在第一象限内图象上 x 的点 过 P 分别作 x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为 E F 正 方形 OABC 的面积为 9 矩形 OAGF 的面积为 S. 求点 B 的坐标和 k 值 9 当 S = 时 求点 P 的坐标 B C F G O A E P x 第 5 题 3 写出 S 与 m 之间的函数表达式 写出第一象限内函数 y = x 的图象上所有横 纵坐标都是整数的点 如果 P m y -3 y 是该函数图象上的点 且 y > y 求 m 的取值范 围. 探索与创新 7. 在矩形 ABCD 中 AB = BC = 3 P 是 BC 边上一个动 A D 点. 设 PA = x 点 D 到 PA 的距离为 y. 求 y 与 x 之间的函 数表达式 并求出自变量 x 的取值范围. B E P C 第 7 题 5.3 二次函数 观察与思考 思考下列问题 并与同学交流 把一根长为 60 cm 的铁丝 围成一个矩形. 写出矩形的面积 S cm 与 它的一边长 x cm 之间的函数表达式. 7

31 第5章 对函数的再探索 矩形的一边长为 x cm 则它的另一边为 30-x cm 因此矩形的面积 S = x 30 - x S = - x + 30 x. 整理得 如图 5-6 一个小球由静止开始沿斜坡向下滚 动 5 s 时到达斜坡的底部. 测得小球滚动的距离 s m 与 时间 t s 的对应数据如下表所示 图 5-6 时间 t/s 距离 s/m 分析上面的数据 你发现当 t 增加时 s 的变化有什么规律 你能写出 s 与 t 之间的函数表达式吗 3 某企业去年的产值为 00 万元. 如果三年内该企业年产值平均每年的 增长率为 x 你能写出明年该企业年产值 y 万元 与 x 之间的函数表达式吗 因为去年的年产值为 00 万元 所以该企业今年的年产值为 x 即 00 + x. 因而 明年该企业的年产值 y 万元 与增长率 x 之间的函数表达式为 y = 00 + x x x = 00 + x. 上面的函数表达式还可以进一步整理成 y = 00 x x 经过整理 以上三个问题中的函数表达式分别是 S = - x + 30 x s = t y = 00 x x 观察这些函数表达式 你发现它们具有什么共同特征 这些函数表达式都是关于自 变量的二次整式. 一般地 形如 y = ax + bx + c a b c 是常数 且 a 0 的函数叫做二次 函数 quadratic function. 8

32 5.3 二次函数 你能分别说出上述三个二次函数表达式中的二次项系数 一次项系数和常数 项吗 5 你能说出二次函数 y = ax + bx + c 中自变量 x 的取值范围吗 你能分 别说出问题 3 中自变量可以取值的范围吗 二次函数 y = ax + bx + c 的自变量 x 可以 取值的范围是全体实数 但在具体问题中 还要结合实际背景确定自变量的取值范围. 例 如图 5-7 从半径为 5 的圆形铁片上 挖去一个半径为 x 的圆. 写出 剩余部分的面积 y 与 x 之间的函数表达式 并指出自变量 x 可以取值的范围. 解 原来圆形铁片的面积为 S = π 5 = 5π. 挖去部分的面积为 πx. x 5 所以 剩余部分的面积 y 与 x 之间的函数表达式为 y = 5π - πx = - πx + 5 π. 图 5-7 根据题意 小圆在大圆的内部 所以自变量 x 可以取值的范围是 0 < x < 5. 练习. 当系数 a b c 满足什么条件时 函数 y = a x + b x + c 是二次函数 是一次函数 是 正比例函数. 已知正方形的边长是 3 当边长增加 x 时 面积增加 y. 写出 y 与 x 之间的函数表达式. 9

33 第5章 对函数的再探索 习题5.3 复习与巩固. 指出下列函数中哪些是二次函数. 如果是二次函数 写出它的二次项系数 一次项系 数和常数项 y = x + y = x + 3 y = x - x 5 4 y = x y = 8 3x 6 y = x x 已知直角三角形的一个锐角是 30 写出它的面积 y cm 与斜 A D 边长 x cm 之间的函数表达式 并指出自变量 x 可以取值的 F y 范围. 3. 如图 在正方形 ABCD 中 AB = 4. E F 分别是边 BC CD 边 上的动点 且 AE = AF. 设 AEF 的面积为 y EC 的长为 x. 写 出 y 与 x 之间的函数表达式 并指出自变量 x 可以取值的范围. B E x C 第 3 题 拓展与延伸 4. 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x 一年到期后 银行将本金和利息自动按一年定 期储蓄转存. 如果本金是 元 写出两年后的本息之和 y 元 与年利息 x 之间的 函数表达式. 5. 如图 一块草地是长为 00 m 宽为 50 m 的矩形 要在中间修 筑互相垂直且宽为 x m 的小路 如果草坪面积为 y m 求 y 与 x 之间的函数表达式. 小 路 第 5 题 探索与创新 6. 某商品的进价为每件 0 元 如果按标价为每件 30 元销售 商店每月可售出 400 件. 为 了提高利率商店拟提高每件的售价 但根据销售经验 销售价格每提高 元 每月的 销售量会相应减少 0 件. 写出每月的利润 y 与单价 x 之间的函数表达式 求自变量 x 可以取值的范围. 30

34 5.4 二次函数的图象和性质 5.4 二次函数的图象和性质 我们已经知道 一次函数的图象是直线 反比例函数的图象是双曲线 并 且根据它们的图象 得到了一次函数和反比例函数的性质. 二次函数的图象形状 是怎样的 它有哪些性质 根据我们的经验 研究二次函数的图象应该从最简单的二次函数即 y = a x 开始 取得对它的图象和性质的认识 进而再研究更复杂 更一般的二次函数 的图象和性质. 实验与探究 如何用描点法作出函数 y = x 的图象呢 与同学交流. 在自变量可以取值的范围内 选定 x 的一些值 求出对应的 y 值 列出表格. x y 以表中的每个有序实数对 x y 作为点的坐标 在直角坐标系中描出相 应的各点 图 y y -3-- O 3 x -3-- O 3 x 图 5-8 图 5-9 3

35 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 () 用 平 滑 的 曲 线 由 左 至 右 顺 次 连 接 描 出 的 各 点, 便 得 出 函 数 y = x 的 图 象 ( 图 5-9). (3) 观 察 () 中 得 到 的 函 数 y = x 的 图 象 形 状 开 口 方 向 和 轴 对 称 性, 找 出 图 象 与 对 称 轴 的 交 点, 研 究 图 象 在 交 点 的 左 边 和 右 边 的 变 化 情 况, 你 有 什 么 发 现? 与 同 学 交 流. 函 数 y = x 的 图 象 是 一 条 抛 物 线 (parabola). 它 的 开 口 向 ; 图 象 是 轴 对 称 图 形, 它 的 对 称 轴 是 ; 图 象 与 对 称 轴 的 交 点 坐 标 是, 交 点 是 图 象 的 最 点 ; 当 x < 0 时,y 随 x 的 增 大 而 ; 当 x > 0 时,y 随 x 的 增 大 而. (4) 请 你 再 画 出 二 次 函 数 y = -x 的 图 象, 研 究 它 的 特 征, 并 与 同 学 交 流. 观 察 二 次 函 数 y = -x 的 图 象 ( 图 5-0) 可 以 看 出, 函 数 y = -x 的 图 象 也 是 一 条 抛 物 线. 它 的 开 口 向 ; 图 象 是 轴 对 称 图 形, 它 的 对 称 轴 是 ; 图 象 与 对 称 轴 的 交 点 坐 标 是, 交 点 是 图 象 的 最 点 ; 当 x < 0 时,y 随 x 的 增 大 而 ; 当 x > 0 时,y 随 x 的 增 大 而. y -3-- O 图 5-0 x y O y=x y=x y= x x y=- x y=-x y=-x 图 5- (5) 在 同 一 直 角 坐 标 系 中, 分 别 画 出 二 次 函 数 y = x,y = x,y = x, y = - x,y = -x,y = -x 的 图 象 ( 图 5-). 观 察 这 些 图 象, 你 发 现 二 次 3 函 数 y = ax 的 图 象 有 什 么 共 同 性 质? 二 次 函 数 y = ax 的 图 象 是 抛 物 线. 我 们 把 二 次 函 数 y = ax 的 图 象 也 叫 做 抛 物 线 y = ax, 它 的 对 称 轴 是 y 轴. 抛 物 线 与 对 称 轴 的 交 点 叫 做 抛 物 线 的 顶 点. 抛 物 线 y = ax 的 顶 点 是 坐 标 原 点. 当 a > 0 时, 它 的 开 口 向 上, 顶 点 是 它 的 最 低 点 ; 当 a < 0 时, 它 的 开 口 向 下, 顶 点 是 它 的 最 高 点.

36 5.4 二次函数的图象和性质 广角镜 漫谈抛物线 炮弹发射之后飞行的路线是怎样的 火炮发明之后 人们对这个问题并不十分明白. 从发射炮弹的一方看来 以为炮弹 离开炮筒后是沿着炮筒所在的射线飞出的 敌方也以为炮弹是从空中沿直线方向飞下来 的 于是当时人们总认为炮弹飞行的路线是一条折线 图 5-. 图 5- 意大利著名学者伽利略更正了这种错误认识. 他指出炮弹并不是沿着折线飞行的 而是沿着一条曲线飞行的 他把这条曲线叫 抛物线. 就像斜抛一个物体后 物体在 空中划过的曲线的形状 抛物 的名称正是从此而来. 在现实生活中 你会发现有不少曲线的形状是抛物线 如喷泉喷出的水滴行进的路 线 跳水运动员起跳后至入水前运动的路线 某些桥梁的桥拱等. 抛物线有许多有用的性质. 如果将一束平行于抛物线的对称轴 的光线射入抛物线 经过抛物线反射后 这些光线会聚于一点 F 点 F 叫做抛物线的焦点 图 5-3. 反之 在抛物线的焦点处安装 F 一个点光源 经抛物线反射出的是平行光线. 利用这个原理 人们 制出锅型天线 太阳灶 探照灯等器具. 图 5-3 练习. 分别说出抛物线 y = - 4 x y = x 的开口方向 对称轴 并分别写出它们的顶点 最高点或最低点的坐标.. 已知抛物线 y = a x 通过点 3 求 a 的值. 33

37 第5章 对函数的再探索 观察与思考 在上一课时 你已经知道了最简单的二次函数 y = ax 的图象和性质. 在此基 础上 我们继续从一些特殊的二次函数入手 探索更一般的二次函数的图象和 性质. 思考下面的问题 比较 y = x + 与 y = x 的表达式 你发现它们有哪些联系与区别 它们都是二次函数 二次项的系数都 是 一次项都是 0 区别是它们的常数 项不同 前者是 后者为 0. 对于自变量x的同一个值 函数 y = x+ 的对应值比 y = x 的对应值多. 你会利用描点法画出二次函数 y = x + 的 图象吗 利用列表 描点 得到二次函数 y = x + 的图 象 图 观察图 5-4 你发现二次函数 y = x + 的 图象的形状 开口方向 对称性 顶点坐标有什么 特征 y O 图 5-4 二次函数 y = x + 的图象是抛物 线 开口向上 对称轴是 y 轴 顶点是 图象的最低点 顶点坐标为 x

38 5.4 二次函数的图象和性质 4 利用 3 中的结论 比较你在画 y = x + 和 y = x 的图象时列出 的表格以及图 5-9 和图 5-4 你猜想如果把这两条抛物线画在同一个直角坐 标系中 它们有怎样的关系 它们的形状相同 只是在坐标系中的 位置不同 如果将抛物线 y = x 沿 y 轴向上 平移 个单位长度 就得到抛物线 y = x +. 5 类似地 把 y = x - 和 y = x 的图象画在同一个直角坐标系中 图 5-5 你有什么发现 它们的形状相同 只 是在坐标系中的位置不同. 将抛物线 y = x 沿 y 轴向 下平移 个单位长度就得到抛 物线 y = x -. 图 5-5 一般地 二次函数 y = ax + c 的图象是抛物线 它与抛物线 y = ax 的形 状相同 将抛物线 y = ax 沿 y 轴向上或向下平移 c 个单位长度便得到抛物线 y = a x + c. 当 c > 0 时 向上平移 当 c < 0 时 向下平移. 6 比较 y = - x y = - x- y = - x+ 的表达式 你发现 它们之间有什么联系和区别 7 在同一直角坐标系中 分别画出二次函数 y = - x y = - x- 与 y = - x+ 的图象 图 5-6. 你有什么发现 35

39 第5章 对函数的再探索 可以看出 二次函数 y = - x- y = - x+ 的图象也都是抛物 线. 它们与抛物线 y = - x 的形状相同 只是位置不同. 8 观察图 5-6 抛物线 y = - x- y = - x+ 可由抛物线 y = - x 分别经过怎样的平移而得到 将抛物线 y = - x 沿 x 轴向右平移 个单位长度就 y=- x+ y=- x- 得到 y = - x- 向左 平移 个单位长度就得到抛 物线 y = - x +. y=- x 图 一般地 由抛物线 y = ax 经过怎样的平移得到抛物线 y = a x+h 与同学交流. 练习. 如图 在同一直角坐标系中 有五条抛物线 它们对应的二 次函数表达式分别是 y = x y = x + 3 y = x + 4 y = x - 5 y = x -. 你能把图中的抛物线用它们的表达式的编号分别标注出来 吗. 写出满足下列条件的一个二次函数的表达式 图象的顶点在 x 轴的负半轴上 图象的开口方向向下. 36 第 题

40 5.4 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 观 察 与 思 考 () 观 察 二 次 函 数 y = (x - 4) + 3 的 表 达 式, 它 与 y = (x - 4) 有 什 么 联 系 和 区 别? 它 与 y = x 有 什 么 联 系 和 区 别? () 在 同 一 个 直 角 坐 标 系 中, 用 描 点 法 y= (x-4) +3 分 别 画 出 二 次 函 数 y = x,y = (x - 4) 和 y= x y = (x - 4) + 3 的 图 象. 比 较 它 们 之 间 的 联 y= (x-4) 系 与 区 别, 你 能 说 出 二 次 函 数 y = (x - 4) + 3 的 图 象 有 哪 些 性 质 吗? 图 5-7 二 次 函 数 y = (x - 4) + 3 的 图 象 是 抛 物 线, 它 的 形 状 与 抛 物 线 y = x 相 同, 顶 点 是 (4,3), 对 称 轴 是 直 线 x = 4( 图 5-7). (3) 由 二 次 函 数 y = (x - 4) 的 图 象, 经 过 怎 样 的 平 移, 可 以 得 到 二 次 函 数 y = (x - 4) + 3 的 图 象? (4) 由 二 次 函 数 y = x 的 图 象, 如 果 沿 x 轴 方 向 和 y 轴 方 向 依 次 进 行 怎 样 的 平 移, 便 得 到 二 次 函 数 y = (x - 4) + 3 的 图 象? (5) 一 般 地, 二 次 函 数 y = a(x - h) + k 的 图 象 可 以 由 抛 物 线 y = ax 经 过 怎 样 的 平 移 而 得 到? 由 此 你 能 说 出 二 次 函 数 y = a(x - h) + k 有 哪 些 性 质 吗? 与 同 学 交 流. 二 次 函 数 y = a(x - h) + k 的 图 象 是 抛 物 线, 它 与 y = ax 的 图 象 形 状 相 同, 只 是 位 置 不 同. 因 此, 它 可 由 抛 物 线 y = ax 经 过 平 移 而 得 到. 二 次 函 数 y = a(x - h) + k 及 其 图 象 有 如 下 性 质 : ()a > 0 时, 开 口 向 上, 顶 点 是 图 象 最 低 点 ;a < 0 时, 开 口 向 下, 顶 点 是 图 象 最 高 点 ; 37

41 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 () 对 称 轴 是 经 过 点 (h,0) 且 平 行 于 y 轴 的 直 线 x = h; (3) 顶 点 坐 标 是 (h,k); (4) 如 果 a > 0, 当 x < h 时,y 随 x 的 增 大 而 减 小 ; 当 x > h 时,y 随 x 的 增 大 而 增 大. 如 果 a < 0, 当 x < h 时,y 随 x 的 增 大 而 增 大 ; 当 x > h 时,y 随 x 的 增 大 而 减 小. 例 试 讨 论 二 次 函 数 y = - 5 (x + 3) - 的 性 质. 解 由 函 数 y = - 5 (x + 3) - 的 表 达 式 可 知, 它 有 以 下 性 质 : () 图 象 是 抛 物 线, 开 口 向 下 ; () 对 称 轴 为 x = -3; (3) 顶 点 是 图 象 的 最 高 点, 坐 标 为 (-3,-); (4) 当 x < -3 时, 函 数 值 随 x 的 增 大 而 增 大 ; 当 x > -3 时, 函 数 值 随 x 的 增 大 而 减 小.. 填 表 : 练 习 抛 物 线 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标 y = x + 3 y = - (x - ) y = 4(x + 5) +. 写 出 符 合 下 列 两 个 条 件 的 一 个 二 次 函 数 的 表 达 式 : () 图 象 的 顶 点 在 第 四 象 限 ; () 当 x < 3 时,y 随 x 的 增 大 而 减 小. 交 流 与 发 现 () 你 已 经 知 道 了 二 次 函 数 y = a(x - h) + k 的 图 象 和 性 质, 一 般 地, 怎 样 画 出 一 个 二 次 函 数 的 图 象 呢? 例 如 二 次 函 数 y = x - 6x + 能 通 过 配 方, 把 38 它 的 表 达 式 化 成 y = a(x - h) + k 的 形 式 吗?

42 5.4 二次函数的图象和性质 x - 6x + = x - x + 4 = x - x = x y= 根据配方后的表达式 y = x 你能说出二次函数 y = x - 6x + 有哪些性质 与同学交流. 3 上面 中所得到的结论 对于用描点法画出二次函数 y = x - 6x + 的图象会有哪些帮助 通过把 y = x - 6x + 配方 可知它的图象是一 条开口向上的抛物线 其顶点坐标是 6 3 于是 大致了解它在坐标系中的位置. 列表时可以先确定顶 点 描出对称轴一侧的图象上的若干个点 然后利用 对称性 描出这些点关于这条直线的对称点. 4 列表时先填入顶点坐标 6 3 适当选取满足 x > 6 或 x < 6 的一 些值 再根据表达式求出相应的 y 值 得到下表 x y = x 然后利用对称性 在表中的空白处直接写出与 对应的各有序数对 并在直角坐标系中描出对应各点 再用平滑的 曲线连接 便得到 y = x - 6x + 的图象 图

43 第5章 对函数的再探索 x - 6x + 的图象和性质的探索 你认为 应当怎样得到二次函数 y = ax + bx + c 图象的性质 6 通过以上对二次函数 y = 0 y 8 先把函数表达式 通 过 6 配方化成 y = a x - h + k 4 的形式 O - y = ax + bx + c y= x-6x x 图 5-8 b c = a x + a x + a b b b c = a x + x a a a a = a x + b 4ac-b. + 4a a 一般地 二次函数 y = ax + bx + c 的图象是抛物线 它的对称轴是直线 x=- b b 4ac-b. 若 a > 0 抛物线的开口向上. 当 x < 顶点坐标是 - 4a a a b b 时 y 随 x 的增大而减小 当 x > - 时 y 随 x 的增大而增大 顶点是这 a a 条抛物线的最低点. 若 a < 0 抛物线的开口向下. 当 x < 而增大 当 x > - b 时 y 随 x 的增大 a b 时 y 随 x 的增大而减小 顶点是这条抛物线的最高点. a 挑战自我 抛物线 y = ax + bx + c 与抛物线 y = ax 有什么联系和区别 它可以由抛 物线 y = a x 经过怎样的平移得到 40

44 5.4 二次函数的图象和性质 练习. 利用配方法写出下列抛物线的开口方向 对称轴和顶点坐标. 这些抛物线分别有最高 点还是有最低点 当 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 当 x 取何值时 y 随 x 的增大 而减小 y = x - 3x 3 y = 5 x + 3x + y = x + 3x - 4 y = 5 x - - 3x.. 画出二次函数 y = -x + 4x + 3 的图象. 习题5.4 复习与巩固. 写出与抛物线 y = - x 关于 x 轴对称的抛物线的表达式. 4. 判断下列说法的正误 抛物线 y = a x 经过点 - a 如果点 m n 在抛物线 y = a x 上 那么点 -m n 也在这条抛物线上 3 抛物线 y = - x 有最低点 6 4 抛物线 y = 6x 与抛物线 y = - 6x 关于 x 轴成轴对称. 3. 画出二次函数 y = - x 的图象 根据图象 求 当 x = -.7 时 y 的值 精确到 0. 当 y = -5.8 时 x 的值 精确到 在同一直角坐标系中 画出下列二次函数的图象 y = x y = x + y = x 观察这三个函数图象的位置关系 分别指出它们的开口方向 顶点坐标 对称轴 最 低点或最高点的坐标. 当 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 当 x 取何值时 y 随 x 的增 大而减小 5. 指出下列抛物线的开口方向 顶点坐标和对称轴 并说明当 x 取何值时 y 随 x 的增大 而增大 当 x 取何值时 y 随 x 的增大而减小 y = 4 x y = - x 写出把二次函数 y = x 的图象向左平移 个单位长度再向下平移 个单位长度后 所 得到的图象的表达式. 4

45 第5章 对函数的再探索 7. 画出函数 y = x - x - 3的图象 根据图象回答下列问题 写出图象的开口方向和顶点坐标 当 x 取什么值时 y 随 x 的增大而增大 3 当 x 取什么值时 y 随 x 的增大而减小 8. 小亮在用描点法画二次函数 y = a x + bx + c 的图象时 列出了下面的表格 x y - 5 由于粗心 他算错了其中一个 y 值 你能帮他指出表中的错误吗 9. 当 b < 0 时 抛物线 y = x + bx - 5 的顶点在哪个象限 0. 如何平移二次函数 y = 4 x 的图象 可得到二次函数 y = 4 x 的图象. 如果点 a 与 b -8 都在抛物线 y = - x 上 求 a 和 b 的值.. 已知点 A - 和 B -3 m 在抛物线 y = a x 上 求 m 的值. 拓展与延伸 3. 已知抛物线 y = a x + bx + c 其中 a < 0 b > 0 c > 0. 回答下 4 3 列问题 并说明理由 抛物线与 y 轴的交点在原点的上方还是原点的下方 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧还是右侧 3 抛物线的顶点在哪一象限或哪条坐标轴上 4. 抛物线 y = x - 6 x + c 的一段如图所示. 求这条抛物线的对称轴 y O x 第 4 题 它可以由抛物线 y = x 经过怎样的平移而得到 3 画出这条抛物线. 5. 选择一组你认为适当的 a b c 的值 使二次函数 y = ax + bx + c 满足以下条件 ① 它的图象开口向下 ② 对称轴为 x =. 满足上述条件的 a b c 有多少组 如果不止一组 请你再写出一组与 不 同的答案. 探索与创新 6. 二次函数 y = a x 的图象与过 A 0 B 0 的直 线 l 交于 P 两点 P 点横坐标为. 求直线 l 及二次函数的表达式 4 求 OP 的面积.

46 5.5 确定二次函数的表达式 5.5 确定二次函数的表达式 如果已知二次函数图象上某些点的坐标 你能利用待定系数法确定二次函 数的表达式吗 如果已知图象的顶点坐标 把它的表达式 写成 y = a x + h + k 的形式 其中 -h k 已 知 那么只要再知道抛物线上其他一点的坐标便 可以利用待定系数法确定系数 a 的值. 例 二次函数图象的顶点坐标是 - -6 并且图象经过点 3. 求这个函数的表达式. 解 因为二次函数图象的顶点坐标是 - -6 所以 可以设二次函数的表达式为 y = a x 又因为图象经过点 3 将这点的坐标代入上式 得 3 = a 解得 a=. 所以 这个二次函数的表达式是 y = x = x + x - 5. * 例 已知点 A - 6 B 4 6 和 C 3 求经过这三点的二次 函数的表达式. 解 设所求的二次函数的表达式为 y = ax + bx + c. 由给定不共线三点的坐标确定一个二次函数的表达式是选学内容 不作为考试要求. 43

47 第5章 对函数的再探索 二次函数的图像经过点 A - 6 B 4 6 和 C 3. 将这三点坐标分别代入 y = ax + bx + c 得 解得 { { a - b + c = 6 加油站 6a + 4b + c = 6 在二次函数 y = a x + b x + c 的表达 9a + 3b + c =. 式中 a b c 是待定系数 如果已知 a = 不共线的三点的坐标将它们分别代入这 b = -3 个表达式 便可得到一个关于a b c 的三元一次方程组 解这个方程组 c =. 便可确定表达式中的未知系数. 这就是 说 知道不共线的三点的坐标 便可确 所以 这个二次函数的表达式为 定经过这三点的抛物线. y = x - 3x +. 智趣园 有趣的 切饼问题 如图 5-9 把一张烙饼切一刀可以把它切成两块 切两刀最多可以把它切成 4 块 切三刀最多可以把它切成 7 块. 如果切四刀 切五刀 最多能把这张烙饼切成几块 切 n 刀呢 图 5-9 用 y 表示切 x 刀最多可以把一张烙饼切成的块数. 列出下表 x y 你能写出 y 与 x 之间的函数表达式吗 在如图 5-30 所示的直角坐标系中 横轴表示切的刀数 x 纵轴表示最多可切成的块 数 y 以表中每对 x y 的值作为点的坐标 描出对应的各点 把这些点用平滑的曲线连 接起来 观察这条曲线的形状 可以猜测这些点分布在一个二次函数的图象上. 设这个 二次函数的表达式为 44

48 5.5 确定二次函数的表达式 y = a x + bx + c. ① 将其中三点 0 4 的坐标代入 ① 式 得到 { c = a + b + c = 4a + b + c = 4. 解这个三元一次方程组 得 y O x 图 5-30 a = b = c =. 因此 经过这三点的抛物线的表达式是 y = x + x +. 我们还需要验证点 是否都满足这个二次函数的表达式. 分别令 x = 依次代入 y = x + x + 得 y = 7 6. 这说明 上面 表中列出的前 6 个有序数对 x y 所对应的点都在这个二次函数的图象上. 你还可以继续验证 当 x = 时 切的刀数和最多可以切成的块数也满足 y = x + x +. 事实上 对于 x 为任意正整数时 这个结论仍然成立 其严格证明将会在今后的学 习中得到解决. 练习. 抛物线 y = a x + b x + c 的顶点坐标为 且抛物线与 x 轴的一个交点坐标是 3 0. 求 这条抛物线的表达式 这条抛物线与 x 轴另一个交点的坐标. *. 已知二次函数的图象经过点 A 和 -9 求这个二次函数的 表达式. 习题5.5 复习与巩固. 二次函数 y = x + b x + c 的图象经过 A 0 与 B - 试判断点 P - 45

49 第5章 对函数的再探索 是否在这个二次函数的图象上.. 某涵洞的横断面呈抛物线形 现测得底部的宽 AB =.6 m 涵洞顶部到底面的最大高 度为.4 m. 在如图所示的直角坐标系中 求抛物线所对应的二次函数的表达式. y x O B A 第 题 第 3 题 3. 已知二次函数 y = a x + b x + c 的图象如图所示 求这个函数的表达式. 4. 二次函数 y = a x + b x + c 的图象 经过 0 - 与 3 5 两点 对称轴是直线 x =. 求这个二次函数的表达式. 拓展与延伸 y E A D *5. 在如图所示的直角坐标系中 正方形 ABCD 的边长为 4. 求 中二次函数图象的顶点坐标. 探索与创新 F x O 求图象经过 B E F 三点的二次函数的表达式 B C 第 5 题 6. 抛物线 y = ax + b x + c 经过点 0 与点 -3. 写出满足上述条件的两个函数的表达式 当抛物线开口向下 对称轴在 y 轴的左侧时 求 a 的取值范围. 5.6 二次函数的图象与一元二次方程 观察与思考 比较二次函数 y = x - x - 3 的表达式与一元二次方程 x - x - 3 = 0 你能说出二者之间有什么联系吗 46 一元二次方程 x - x - 3 = 0 有没有实根 如果有实根 它的实根是

50 5.6 二 次 函 数 的 图 象 与 一 元 二 次 方 程 什 么? (3) 观 察 二 次 函 数 y = x - x - 3 的 图 象 ( 图 5-3). 图 象 与 x 轴 有 公 共 点 吗? 如 果 有, 有 几 个 公 共 点? 公 共 点 的 坐 标 分 别 是 什 么? (4) 当 x 取 何 值 时, 函 数 y = x - x - 3 的 值 是 0? (5) 一 元 二 次 方 程 x - x - 3 = 0 的 实 根 和 二 次 函 数 y = x - x - 3 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 有 什 么 关 系? O 3 x y 3 - O - 图 5-3 图 5-3 y 3 x (6) 通 过 以 上 的 探 索 活 动, 你 发 现 一 元 二 次 方 程 x - x + 4 = 0 与 二 次 函 数 y = x - x + 的 图 象 ( 图 5-3) 有 什 么 联 系? 4 (7) 一 般 地, 如 果 一 元 二 次 方 程 ax + bx + c = 0 有 实 根, 那 么 该 方 程 的 实 根 和 二 次 函 数 y = ax + bx + c 的 图 象 与 x 轴 的 公 共 点 的 横 坐 标 有 什 么 关 系? 如 果 一 元 二 次 方 程 ax + bx + c = 0 有 实 根, 那 么 二 次 函 数 y = ax + bx + c 的 图 象 与 x 轴 有 公 共 点, 且 公 共 点 的 横 坐 标 是 这 个 一 元 二 次 方 程 的 实 根 ; 反 之, 如 果 二 次 函 数 y = ax + bx + c 的 图 象 与 x 轴 有 公 共 点, 那 么 公 共 点 的 横 坐 标 就 是 一 元 二 次 方 程 ax + bx + c = 0 的 实 根. 例 利 用 二 次 函 数 图 象, 求 一 元 二 次 方 程 x - 3x - = 0 的 近 似 解 ( 精 确 到 0.). 解 () 画 出 二 次 函 数 y = x - 3x - 的 图 象 ( 图 5-33). () 观 察 图 象, 发 现 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点, 左 交 点 在 (-,0) 与 (0,0) 之 间, 右 交 点 在 (3,0) - - O x y 图

51 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 与 (4,0) 之 间, 由 此 可 知 一 元 二 次 方 程 x - 3x - = 0 在 - 与 0 之 间 以 及 3 与 4 之 间 各 有 一 个 实 根. 观 察 图 5-33 可 知, 当 x 由 - 增 加 到 0 时, 图 象 由 x 轴 上 方 穿 过 x 轴 下 降 到 y 轴 的 下 方, 也 就 是 说, 当 x = - 时,y > 0, 当 x = 0 时,y < 0. 为 了 进 一 步 确 定 图 象 与 x 轴 的 左 交 点 的 位 置, 在 - 与 0 之 间 取 x = -0.5, 求 出 对 应 的 y = -0.5,y < 0, 因 此 图 象 与 x 轴 的 左 交 点 在 (-,0) 到 (-0.5,0) 之 间. 为 了 求 出 左 交 点 横 坐 标 精 确 到 0. 的 近 似 值. 再 将 点 (-,0) 与 (-0.5,0) 之 间 的 线 段 分 为 5 等 份, 把 每 个 分 点 的 横 坐 标 作 为 x 值, 分 别 代 入 y = x - 3x -, 利 用 计 算 器 求 出 所 对 应 的 函 数 值, 列 表 得 x y 由 上 表 看 出, 当 x = -0.6 时,y > 0; 当 x = -0.5 时,y < 0. 这 就 是 说, 图 象 上 的 点 (-0.6,0.6) 在 x 轴 上 方, 点 (-0.5,-0.5) 在 x 轴 下 方. 因 此 图 象 与 x 轴 左 交 点 在 点 (-0.6,0) 和 (-0.5,0) 之 间. 所 以 -0.6 或 -0.5 都 可 作 为 图 象 与 x 轴 左 交 点 的 横 坐 标 的 近 似 值, 因 此 二 次 方 程 x - 3x - = 0 的 较 小 根 的 近 似 值 为 x -0.6 或 x -0.5( 精 确 到 0.). 同 样 地, 可 以 求 出 函 数 y = x - 3x - 与 x 轴 的 右 交 点 横 坐 标 的 近 似 值. 列 表 得 x y 由 上 表 看 出, 当 x = 3.5 时,y < 0; 当 x = 3.6 时,y > 0. 这 就 是 说, 图 象 与 x 轴 的 右 交 点 的 横 坐 标 在 3.5 和 3.6 之 间, 所 以 一 元 二 次 方 程 x - 3x - = 0 较 大 根 的 近 似 值 为 x 3.5 或 x 3.6( 精 确 到 0.). 例 利 用 二 次 函 数 的 图 象 讨 论 一 元 二 次 方 程 x - x + 3 = 0 的 根. 解 () 画 出 二 次 函 数 y = x - x + 3 的 图 48 象 ( 图 5-34). 图 5-34

52 5.6 二次函数的图象与一元二次方程 由于图象与 x 轴没有公共点 所以一元二次方程 x - x + 3 = 0 没有 实根. 挑战自我 已知抛物线 y = ax + bx + c 当 a b c 满足什么条件时 抛物线与 x 轴有两个公共点 抛物线与 x 轴只有一个公共点 3 抛物线与 x 轴没有公共点 练习. 求二次函数 y = x - 4 x - 的图象与 x 轴的公共点的坐标.. 利用二次函数的图象求一元二次方程 x - 8 x + 6 = 0 的近似解 精确到 0.. 习题5.6 复习与巩固. 判断下列二次函数的图象与 x 轴是否有公共点. 如果有 有几个公共点 y = - x + x - 4 y = x + x + 3 y = x - 3 x 利用二次函数的图象 求方程 - x - x + = 0 的近似解 精确到 0.. 拓展与延伸 3. 当 m 取何值时 抛物线 y = x + 3x + m 与 x 轴有两个交点 4. 二次函数 y = a x + b x + c 的图象如图所示. 不求 a b c 的值 写出方程 a x + b x + c = 0 的两 个根 当 x 取何值时 y > 0 由此写出不等式 a x + b x + c > 0 的解集 3 不用待定系数法 写出二次函数的表达式. 49

53 第5章 对函数的再探索 y 5. 如图所示的抛物线是二次函数 y = a x - 3 x + a - 的图 象 求 a 的值. O 探索与创新 x 6. 如果关于 x 的一元二次方程 a x + x - 5 = 0 的两根中有一 个根大于 0 而小于 求 a 的取值范围. 5.7 二次函数的应用 二次函数也是一个重要的数学模型. 生活实际中的许多问题 可以运用二次 函数的知识加以解决. 例 用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园 已知篱笆的长度为 60 m. 应该怎样设计才使菜园的面积最大 最大面积是多少 解 如图 5-35 设矩形菜园的宽为 x m 则菜园的长为 60 - x m 面积为 y m. 根据题意 y 与 x 之间的函数表达式为 y = x 60 - x = - x - 30 x = - x - 30 x 图 5-35 = - x = - x 因为 a = - < 0 所以这个二次函数的图象开口向下 顶点 是 图象的最高点. 这就是说 当 x = 5 时 y 有最大值 最大值为 450. 根据问题的实际意义 自变量 x 可以取值的范围是 0 < x < 30. 由于 x = 5 在这个范围内 所以二次函数 y = x 60 - x 的最大值 就是该实际问题的最 大值. 50 所以 当菜园的宽为 5 m 时 菜园面积最大 最大面积是 450 m.

54 5.7 二 次 函 数 的 应 用 一 般 地, 因 为 抛 物 线 y = ax + bx + c 的 顶 点 是 抛 物 线 的 最 低 ( 高 ) 点, 所 以 当 x = - b a 时, 二 次 函 数 y = ax + bx + c 有 最 小 ( 大 ) 值, 最 小 ( 大 ) 值 为 4ac-b. 4a 例 如 图 5-36,ABCD 是 一 块 边 长 为 m 的 正 方 形 铁 板, 在 边 AB 上 选 取 一 点 M, 分 别 以 AM 和 MB 为 边 截 取 两 块 相 邻 的 正 方 形 板 材. 当 AM 的 长 为 何 值 时, 截 取 的 板 材 面 积 最 小? D C 解 设 AM 的 长 为 x(m), 则 BM 的 长 为 ( - x)m, 以 AM 和 BM 为 边 的 两 个 正 方 形 面 积 之 和 为 y(m ). 根 据 题 意,y 与 x 之 间 函 数 的 表 达 式 为 y = x +( - x) = x - 4x + 4 = (x - ) +. 因 为 a = > 0, 于 是, 当 x = 时,y 有 最 小 值, 最 小 值 是. A x M B 图 5-36 根 据 问 题 的 实 际 意 义, 自 变 量 x 可 以 的 取 值 范 围 是 0 < x <, 由 于 x = 在 这 个 范 围 内, 所 以 二 次 函 数 y = x +( - x) 的 最 小 值 就 是 该 实 际 问 题 的 最 小 值. 所 以, 当 AM = m 时, 截 取 的 板 材 面 积 最 小, 最 小 面 积 为 m. 挑 战 自 我 如 图 5-37, 用 篱 笆 围 成 一 个 一 面 靠 墙 ( 墙 的 最 大 可 用 长 度 为 0 m) 中 间 隔 有 一 道 篱 笆 的 矩 形 菜 园. 已 知 篱 笆 的 长 度 为 4 m. 设 菜 园 的 宽 AB 为 x(m), 面 积 为 y(m ). 0 m A B 图 5-37 () 写 出 y 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 及 自 变 量 x 可 以 取 值 的 范 围 ; () 围 成 菜 园 的 最 大 面 积 是 多 少? 这 时 菜 园 的 宽 x 等 于 多 少? D C 5

55 第 5 章 对 函 数 的 再 探 索 练 习. 菱 形 的 两 条 对 角 线 的 和 为 40 cm. () 如 果 菱 形 的 面 积 为 y(cm ), 一 条 对 角 线 的 长 为 x(cm), 写 出 y 与 x 之 间 函 数 的 表 达 式, 并 指 出 自 变 量 x 可 以 取 值 的 范 围 ; () 当 这 两 条 对 角 线 的 长 分 别 为 多 少 时, 菱 形 的 面 积 最 大? 最 大 面 积 是 多 少? 5 例 3 运 动 员 掷 一 枚 铅 球, 铅 球 抛 出 时 离 地 面 的 高 度 为 3 m, 抛 出 后, 铅 球 行 进 的 路 线 是 一 段 抛 物 线, 行 进 时 距 离 地 面 的 最 大 高 度 是 3 m, 此 时 铅 球 沿 水 平 方 向 行 进 了 4 m. 求 铅 球 从 抛 出 到 落 地 走 过 的 水 平 距 离. 解 如 图 5-38, 以 铅 球 出 手 点 A 所 在 的 铅 垂 线 为 y 轴, 铅 垂 线 与 地 面 的 交 点 为 O 点, 射 线 OA 的 方 向 为 y 轴 的 正 方 向. 铅 球 的 落 地 点 为 C 点, 直 线 OC 为 x 轴, 射 线 OC 的 方 向 为 x 轴 的 正 方 向,x 轴 y 轴 均 以 m 为 单 位 长 度, 建 立 直 角 坐 标 系. 由 题 意 可 知, 抛 物 线 的 顶 点 B 的 坐 标 是 (4,3). 3 y B A O 4 C x 图 5-38 设 抛 物 线 的 表 达 式 为 y = a(x - 4) + 3. 这 里,y 表 示 铅 球 运 行 时 离 地 面 的 高 度,x 表 示 铅 球 沿 水 平 方 向 运 行 的 距 离. 当 x = 0 时,y = 5 3, 代 入 y = a(x - 4) + 3, 得 5 3 = a(0-4) + 3. 解 得 a = -. 所 以, 抛 物 线 的 表 达 式 为 y = - (x - 4)

56 5.7 二次函数的应用 令 y = 0 得 - x = 0. 解这个一元二次方程 得 x = - x = 0. 代入实际问题中检验 x = - m 不合题意 舍去 x = 0 m 符合题意. 所以 铅球从抛出到落地走过的水平距离为 0 m. 图 5-39 是龙泉镇最近 5 年财政总收 * 例4 6.9 入情况的折线统计图. 图中点 A B C D E 5 的横坐标分别代表年度 纵坐标代表该年度的.6 3 B A 财政总收入 单位 亿元. 试根据折线图的发 3.8 E D C 展趋势 预测该镇第 6 年的财政总收入. 设图象过 A C D 三点的二次函数 解 图 5-39 的表达式为 加油站 y = ax + bx + c. 将这三点的坐标 分别代入上式 得 { 解得.6 = a + b + c 3.8 = a 3 + b 3 + c 5 = a 4 + b 4 + c. { a = 0. b = -0. 由图 5-39 可以看出 A B C D E 近似分布在一条抛物 线上 因此可以选取其中的三个 点 求出由这三点确定的二次函 数的表达式 然后验证其他各点 是否也靠近这条抛物线 如果靠 近 便可推测第 6 年的财政总收 入也符合以上规律. 从而可以预测 第 6 年的财政总收入. c =.6. 所以 经过 A C D 三点的二次函数的表达式为 y = 0.x - 0. x +.6. 当 x = 时 代入 y = 0.x - 0. x +.6 得 y = 3 与 B 点纵坐标相等 这 说明点 B 在经过 A C D 三点的二次函数的图象上 即这条抛物线上相应的点的 纵坐标反映了该镇第 年的财政收入. 当 x = 5 时 代入 y = 0.x - 0.x +.6 得 y = 6.6 E 点纵坐标为 6.9 相差 0.3 亿元 这说明点 E 虽不在经过 A C D 三点的二次函数的图象上 但比较接近 即这条抛物线上相应的点的纵坐标 53

57 第5章 对函数的再探索 可以近似反映该镇第 5 年的财政收入. 由此可知 二次函数 y = 0.x - 0.x +.6 可以近似地反映该镇最近 5 年财政收入情况的发展趋势 因此可利用前 5 年的发 展趋势 预测第 6 年的财政收入. 当 x = 6 时 代入 y = 0.x - 0.x +.6 得 y = 8.6. 所以 可以预测 00 年该镇的财政收入约为 8.6 亿元. 挑战自我 将若干小正方形按图 5-40 的方式排列 自上而下 自左而右填入正整数 3 4 按这个规律 继续做下去 再把其中奇数行的中间的小正方形 用粗线条描出 则这些小正方形的序号及小正方形中的数 字组成一个 整数对序列 写出这个序列中第 个数对 将这些数对在直角坐标系中描出 你猜测这些点分布在一条什么样的曲线上 你 图 5-40 能验证你的猜测是正确的吗 广角镜 平均数 方差与二次函数 在科学实验中 经常需要测定某一个量 a 的大小. 由于受到测量工具和测量方法的 限制 所得到测量的结果往往只是 a 的近似值. 为此 需对它作 n 次观测 测得 n 个数据 _ a+a+ +an 作为对 a 的测定值. 你能说出这 a a a n. 然后取它们的平均数 x = n 种方法的道理吗 设 x 是一个未知的可以用来近似表示量 a 大小的变量 考虑 x 的二次函数 y = x - a + x - a + + x - an. n 对 a 的测定值应使这个二次函数的值达到最小. 将 式展开并化为二次函数的一般形式 得 54

58 5.7 二次函数的应用 y = nx - a + a + + an x + a + a + + an n = x - a + a + + an x + a + a + + an. n n a+a+ +an 当x = = x 时 这个二次函数取得最小值 将 x = x 代入 式 得 n _ y 最小= x - a + x - a + + x - an. n y 最小正是数据 a a an 的方差. _ 因此 在科学实验中通常把 n 次观测数据的平均数 x 作为所要观测量的测定值. 练习. 某排球队员站在发球区发球 排球发出后向正前方行进 行进高度 y m 与水平距 离 x m 之间函数的表达式是 y = - 0 x + x +. 求 已知发球点到排球网的水平距离为 9 m 网高.43 m 排球是否能打过网 当排球走过的水平距离是多少时 排球距离地面最高 3 已知排球场地的长为 8 m 排球将落在界内还是界外 *. 图 ① 是某条河流河床横断面的示意图 设河面的最大宽度为 x m 相应的河水 的最大深度为 y m. 查阅河段的水文资料 得到下表中的数据 x/m y/m 以上表中的各对数据 x y 作为点的坐标 在图 ② 所示的坐标系中画出 y 关 于 x 的函数图象 x x O ① y/m x / m ② 第 题 55

59 第5章 对函数的再探索 根据所画出的函数图象 猜想 y 与 x 之间的函数表达式 3 利用你猜想的函数表达式 判断当水面宽度为 36 m 时 一艘吃水深度 船底到 水面的距离 为.8 m 的货船能否在这个河段安全通过 请说明理由. 习题5.7 复习与巩固. 炮弹以一定的初速度和发射角射出后 上升的高度 y m 与相应的水平距离 x m 之间的函数表达式是 y=- x + x 试求炮弹能达到的最大高度.. 某种烟花点燃后垂直升空 其离地面的高度 h m 和点燃后的时间 t s 的函数表达式 为 h = v 0t - g t 0 < t 其中重力加速度 g 0 m / s. 烟花点燃后以 v0 = 0 m / s 的初速度上升. 这种烟花在地面上点燃后 经过多少时间离地面 5 m 在烟花点燃后的.5 s 至.8 s 这段时间内 判断烟花是上升 或是下降 说明理由. 3. 某公园草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线形组成的. 为牢固起见 每段护栏需按 间距 0.4 m 加设不锈钢管支柱 如图 ① 单位 m. 为了计算所需不锈钢管的总长 度 设计人员建立如图 ② 所示的直角坐标系进行计算. 求该抛物线的表达式 并计算 所需不锈钢管的总长度至少为多少 精确到 m. ① ② 拓展与延伸 4. 把边长为 40 cm 的正方形硬纸板 图 ① 在四个顶点处分别剪掉一个小正方形 折 成一个长方体形的无盖盒子 折纸厚度忽略不计. 56

60 5.7 二次函数的应用 要使折成的盒子的底面积为 484 cm 剪掉的正方形边长应是多少 折成的长方体盒子侧面积有没有最大 值 如果没有 说明理由 如果有 求出这个最大值 并求出此时剪掉的 ① ② 正方形边长. 5. 某公司开发一种新的软件 年初上市后 公司经历了扭亏为盈的过程. 下图中的图象 是抛物线的一段 它刻画了该软件上市以来累积利润 S / 万元 S 万元 与销售时间 t 月 之间的函数关系 即前 t 4 3 个月的利润总和 S 与 t 之间的函数关系. 根据图象提供 的信息 解答下列问题 由图象上的哪些点的坐标 便可求出 S 与 t 之间的 函数表达式 - -O t /月 截止到几月末 公司累积利润可达 30 万元 3 求公司第 5 个月所获的利润. 6. 如图 公园要建造圆形的喷水池 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA 点 O 恰在圆形水面中心 OA =.5 m. 由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水 水流在各个方向 的路线都是抛物线. 为使水流形状美观 要求设计成水流在与柱子 OA 的水 B 平距离为 m 处达到距水面最大高度.5 m. 如果不计 A 其他因素 那么水池的半径至少为多少时才能使喷出的 水流不致落到池外 如果水池的半径为 3.5 m 要使水流不落到池外 此时 O C 水流的最大高度应达到多少 精确到 0. m 探索与创新 A 7. 在生产中 为了节约原材料 常利用一些边角余料加 工零件. 如图所示 A B C为一块锐角三角形余料 P BC = cm BC 边上的高 AD = 8 cm. 在 ABC 上截 取矩形 P MN 使点 M 在 BC 边上 点 P N 分别 在边 AB AC 上. 设 MN = x PN = y. B E D N M C 用含 x 的代数式表示 y 当 x 和 y 分别取什么值时 矩形 P MN 面积最大 最大面积是多少 57

61 第5章 对函数的再探索 回顾与总结. 本章学习了哪些内容 总结一下 并与同学交流.. 你学过本章后 对函数的概念有了哪些进一步的认识 函数有哪三种表示法 举出例 子说明. 3. 什么是分段函数 你能举出分段函数的实例吗 4. 什么是反比例函数 你是怎样通过图象了解反比例函数性质的 5. 什么是二次函数 请说明二次函数 y = a x + b x + c 的图象及性质. 6. 抛物线 y = ax + b x + c 与抛物线 y = a x 有哪些区别与联系 7. 怎样确定二次函数的表达式 你学了哪些方法 8. 一元二次方程 a x + b x + c = 0 与二次函数 y = a x + b x + c 之间有怎样的联系 9. 怎样利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 0. 举出利用反比例函数 二次函数解决实际问题的例子 并与同学交流.. 你对利用数形结合思想研究函数的图象和性质有哪些体会 请以你在本章中学过的 函数为例 谈谈研究函数的基本方法. 综合练习 复习与巩固. 填空 函数 y = 的图象是 3x 随 x 的增大而 当 x < 0 时 图象在第 象限 y 函数 y = x - + 的图象是 当 x > 时 y 随 x 的增大而 3 抛物线 y = - x - x + 6 与 y 轴的交点坐标是 与 x 轴的交点坐标是.. 一辆汽车出发后 前 30 km 在柏油路面行驶 速度为 00 km/h 然后转入沙石路 面 速度为 60 km/h 行驶了 40 km 到达目的地. 写出行驶总路程 y km 与行驶时 间 t h 的函数表达式. 58

62 回 顾 与 总 结 3. 求 下 列 函 数 自 变 量 x 可 以 取 值 的 范 围 : ()y = -6x - x + ; ()y = x +x-3 ; (3)y = x- - ; (4)y = x+ -x. 4. 如 图, 已 知 一 次 函 数 y = kx + b 的 图 象 与 x 轴,y 轴 分 别 相 交 于 A,B 两 点, 且 与 反 比 例 函 数 y = m x 在 第 一 象 限 的 图 象 交 于 点 C,CD 垂 直 于 x 轴, 垂 足 为 D. 如 果 OA = OB = OD =, 求 : () 点 C 的 坐 标 ; () 这 个 一 次 函 数 和 这 个 反 比 例 函 数 的 表 达 式. ( 第 4 题 ) ( 第 5 题 ) 5. 小 亮 利 用 一 个 最 大 电 阻 为 00 Ω 的 滑 动 变 阻 器 及 一 个 电 流 表 测 一 个 电 源 两 端 的 电 压, 随 着 滑 动 变 阻 器 的 电 阻 R 的 改 变, 电 流 I 也 随 之 改 变, 且 它 们 之 间 的 函 数 关 系 如 图 所 示. () 该 电 源 两 端 的 电 压 是 多 少? 电 流 I 与 电 阻 R 之 间 的 函 数 关 系 怎 样 表 示? () 如 果 滑 动 变 阻 器 的 可 变 电 阻 在 Ω ~ 00 Ω 之 间, 那 么 通 过 该 滑 动 变 阻 器 的 电 流 应 在 什 么 范 围 内? (3) 如 果 该 滑 动 变 阻 器 的 限 制 电 流 不 超 过 0 A, 那 么 该 滑 动 变 阻 器 的 可 变 电 阻 应 在 什 么 范 围 内? 6. 指 出 下 列 抛 物 线 的 开 口 方 向 对 称 轴 和 顶 点 坐 标, 并 判 断 有 最 大 值 还 是 有 最 小 值 : ()y = x - 4x + 5; ()y = - 4 x - 3 x + 4; (3)y = 3x - x + ; (4)y = - x + x 二 次 函 数 的 图 象 经 过 点 (-,-), 且 不 经 过 第 一 象 限, 写 出 满 足 上 述 条 件 的 一 个 二 次 函 数 的 表 达 式. 59

63 第5章 对函数的再探索 8. 小莹用描点法画二次函数 y = a x + b x + c 时 列出了下表 x y 你能根据表格中的信息 求出该二次函数当 x = 3 时 y 的值吗 试从表中选择适当的数据 求出该二次函数的表达式. 9. 二次函数 y = a x + x - c 的图象经过点 - -6 和点 3. 求这个二次函数的表达式 并写出它的对称轴 写出两个二次函数的表达式 使它们图象的对称轴都与上面的二次函数图象的 对称轴相同 并且常数项也相同. 0. 利用二次函数图象求下列一元二次方程的近似解 精确到 0. x - 5x + = 0 x + x - 7 = 0.. 已知抛物线 y = x - b x + 4 的顶点在 x 轴上 求 b 的值.. 已知 a > 0 b > 0 c < 0 且 a - b + c = 0 请在直角坐标系中画出函数 y = a x + bx + c 的图象的草图. 3. 某蓄水池有两个进水口和一个出水口 每个进水口的进水速度是 0 m3 / h 出水口的 出水速度是 0 m3 / h. 如果某天蓄水池排空水后 从 0 时到 时打开两个进水口 关 闭出水口 从 时到 3 时 只开一个进水口 同时打开出水口 从 3 时到 6 时 两个 进水口和一个出水口全部打开. 写出这天从 0 时到 6 时该水池的蓄水量 y m3 与时间 x h 之间的函数表达 式 画出 y 与 x 之间的函数图象. 拓展与延伸 4. 选择题 如图 A B 是函数 y = x 的图象上关于原点 O 对称 的任意两点 AC 平行于y 轴 BC 平行于 x 轴 ABC 的面积 为 S 那么. A S = B S > C S = D < S < 5. 如图 在反比例函数 y = x x > 0 图象上 有点 P P 第 4 题 P3 P4 它们的横坐标依次为 3 4. 分别过这些点 作 x 轴的垂线 过 P 60

64 回顾与总结 P P3 P4 再分别作 y 轴的垂线. 图中阴影部分的面积从左到右依次为 S S S3 则 S + S + S3 等于多少 y P S S O P S3 P3 3 P4 4 x 第 6 题 第 5 题 6. 已知二次函数 y = a x + b x + c 的图象如图所示 在以下四个结论中 试判断哪些是 正确的 哪些是错误的 并说明理由. abc > 0 b < a + c 3 4a + b + c > 0 4 a + b > 已知抛物线 C 的表达式是 y = x - 4x + 5 抛物线 C 与抛物线 C 关于 x 轴对称 求 抛物线 C 的表达式. 探索与创新 k 8. 如图 A B 是反比例函数 y = x k > 0 图象上的两个 点 AC x 轴 垂足为点C BD y 轴 垂足为点 D 连接 AD AB BC. 比较 ADB 与 ACB 面积的大小. 9. 已知抛物线 y = x - x + a 与直线 y = x + 有两个公共点 A x y B x y 且 x > x 0. 第 8 题 求 a 的取值范围 作 AE x 轴 E 为垂足 BF x 轴 F 为垂足. 求四边形 ABFE 面积的最大值. 0. 如图 在直角坐标系中 四边形 OABC 为矩形 点 A B 的 坐标分别为 动点 M 从点 O 出发 以每 y N C B 秒 个单位长度的速度 沿 OA 向终点 A 移动 点 N 从点 B 出发沿 BC 向终点 C 以同样速度移动. 过点 N 作 NP BC 交 P AC 于 P 连接 MP. 当动点运动了 x s 时 求 P 点的坐标 用含 x 的代数式 表示 O M x A 第 0 题 求 MPA 面积的最大值 并求此时的 x 值 3 当x为何值时 MPA 是一个等腰三角形 6

65 综 合 与 实 践 综 合 与 实 践 实 际 问 题 与 分 段 函 数 模 型 数 学 模 型 是 由 数 字 字 母 或 其 他 数 学 符 号 组 成, 描 述 现 实 对 象 规 律 的 数 学 式 子 图 形 或 算 法. () 在 初 中 数 学 的 学 习 中, 你 已 认 识 了 哪 些 数 学 模 型? 方 程 ( 一 元 一 次 方 程 一 次 方 程 组 分 式 方 程 一 元 二 次 方 程 ), 不 等 式 ( 一 元 一 次 不 等 式 一 元 一 次 不 等 式 组 ), 函 数 ( 一 次 函 数 反 比 例 函 数 二 次 函 数 ) 6 () 函 数 是 刻 画 现 实 世 界 数 量 变 化 关 系 的 数 学 模 型. 你 能 结 合 本 册 第 5 章 的 学 习, 谈 谈 是 如 何 建 立 和 求 解 函 数 模 型 的 吗? 函 数 反 映 了 事 物 间 的 广 泛 联 系, 揭 示 了 现 实 世 界 中 的 运 动 和 变 化 规 律, 现 实 生 活 中 的 许 多 实 际 问 题 诸 如 合 理 下 料 最 大 获 利 最 小 成 本 前 景 预 测 方 案 最 优 化 问 题, 常 常 可 以 建 立 函 数 模 型 求 解. 建 立 模 型 的 过 程, 包 括 从 现 实 生 活 或 具 体 情 境 中 发 现 并 提 出 数 学 问 题, 然 后 把 这 一 问 题 由 普 通 语 言 转 化 成 数 学 文 字 语 言, 再 抽 象 为 符 号 语 言, 识 别 问 题 中 的 常 量 和 变 量 以 及 自 变 量 和 函 数, 利 用 函 数 的 表 示 方 法 ( 解 析 法 列 表 法 或 图 象 法 ) 刻 画 数 学 问 题 中 的 数 量 关 系 和 变 化 规 律, 从 而 建 立 实 际 问 题 的 数 学 模 型. 然 后 运 用 相 关 的 数 学 知 识, 对 数 学 模 型 求 解, 最 后 回 归 到 实 际 问 题, 检 验 数 学 模 型 的 解 答 是 否 合 理, 从 而 做 出 实 际 问 题 的 解 答. 数 学 建 模 不 仅 是 一 种 解 决 实 际 问 题 的 强 有 力 的 手 段, 而 且 还 是 一 种 重 要 的 数 学 思 维 方 式, 同 时, 求 解 数 学 模 型 的 研 究 也 推 动 了 数 学 自 身 的 发 展. 在 本 次 综 合 与 实 践 活 动 中, 你 将 再 一 次 经 历 建 立 和 求 解 数 学 模 型 的 过 程, 体 验 和 感 受 数 学 模 型 的 思 想 方 法.

66 实 际 问 题 与 分 段 函 数 模 型 观 察 与 思 考 问 题 : 为 了 保 持 室 内 空 气 的 清 新, 某 车 间 的 自 动 换 气 窗 采 用 了 以 下 设 计 : 如 图, 窗 子 的 形 状 是 一 个 五 边 形, 它 可 看 作 是 由 一 个 矩 形 和 一 个 边 长 与 矩 形 的 长 相 等 的 等 边 三 角 形 组 成 的. 该 窗 子 关 闭 时 可 以 完 全 密 封, 根 据 室 内 的 温 度 和 湿 度 也 可 以 自 动 打 开 窗 子 上 的 通 风 口 换 气. 通 风 口 是 一 个 倒 立 的 等 腰 三 角 形, 其 顶 点 固 定 在 矩 形 的 底 边 的 中 点 上, 底 边 是 可 以 沿 换 气 窗 的 左 右 边 框 上 下 滑 动 且 长 度 可 自 动 伸 缩 的 水 平 横 杆. 图 图 是 通 风 口 打 开 时 横 杆 的 两 种 不 同 位 置. 如 果 已 知 矩 形 的 长 为 m, 高 为 m, 当 横 杆 沿 窗 子 的 边 框 上 下 平 移 时, 通 风 口 的 最 大 面 积 是 多 少? E B P N F C A M D 图 图 图 3 () 为 了 建 立 数 学 模 型, 请 你 在 上 面 的 图 形 中, 标 出 适 当 的 字 母, 并 结 合 实 际 问 题 的 背 景, 对 图 形 的 性 质 进 行 初 步 的 探 究, 你 有 什 么 发 现? 以 下 是 小 亮 的 探 究 结 果 : 设 五 边 形 为 EBADC,M 为 AD 的 中 点 ( 图 3),P, 分 别 在 边 AB,BE 和 边 DC,CE 上, 且 P AD, 连 接 EM 交 P 于 N, 连 接 BC 交 EM 于 F. 由 于 四 边 形 BADC 是 矩 形, EBC 可 看 作 是 以 矩 形 的 一 边 BC 向 外 作 的 等 边 三 角 形, 根 据 矩 形 和 等 边 三 角 形 的 轴 对 称 性 可 知, 五 边 形 EBADC 是 以 EM 所 在 直 线 为 对 称 轴 的 轴 对 称 图 形, MP 也 是 关 于 这 条 直 线 成 轴 对 称 的 等 腰 三 角 形. 由 轴 对 称 的 基 本 性 质,EM 垂 直 并 平 分 AD,BC 与 P. 当 点 P 在 边 AB 上 移 动 时 ( 图 ),P AD, 当 点 P 在 边 BE 上 移 动 时 ( 图 ),P AD, 但 P 的 长 发 生 变 化. () 在 上 面 的 问 题 中, 如 果 用 S 表 示 MP 的 面 积, 你 认 为 S 与 哪 些 量 的 大 小 有 关? 要 表 示 S 的 变 化 规 律, 你 认 为 哪 个 量 作 为 自 变 量 比 较 合 理 和 方 便? 63

67 综 合 与 实 践 可 以 选 取 MP 的 高 即 MN 的 长 作 为 自 变 量 x, 然 后 把 S 表 示 为 x 的 函 数. (3) 如 何 根 据 图 和 图, 确 定 面 积 S 与 MP 的 高 x 之 间 函 数 的 表 达 式 以 及 自 变 量 x 的 可 以 取 值 的 范 围 呢? 因 为 MF = AB =,EB = BC =,BF = AM =, 所 以 EF = EB - BF = 3, 从 而 EM = MF + EF = + 3. 由 于 当 P 沿 换 气 窗 的 左 右 边 框 由 AD 滑 动 到 BC, 进 而 滑 动 到 点 E 时, 面 积 S 与 高 x 的 对 应 关 系 不 同, 所 以 应 当 分 0 x 和 < x + 3 两 种 情 况, 分 别 列 出 S 与 x 的 函 数 表 达 式. (4) 根 据 以 上 的 分 析, 可 以 列 出 函 数 的 表 达 式 S = { x, 0 x, x +( )x,<x + 3. 这 便 是 上 面 实 际 问 题 中 通 风 口 的 面 积 与 它 的 面 积 之 间 关 系 的 数 学 模 型, 它 是 一 个 分 段 函 数. (5) 你 会 根 据 上 面 的 分 段 函 数 的 表 达 式, 画 出 这 个 分 段 函 数 的 图 象 吗? 能 结 合 图 象 求 出 函 数 S 的 最 大 值 吗? 最 大 值 在 x 取 什 么 值 时 达 到? 你 能 将 根 据 数 学 模 型 求 出 的 结 果 代 回 到 原 实 际 问 题 进 行 检 验, 并 给 出 实 际 问 题 的 答 案 吗? 小 莹 的 解 答 是 : 在 0<x 范 围 内, 函 数 是 正 比 例 函 数, 图 象 是 一 条 线 段, 当 x = 时 取 得 这 一 范 围 的 最 大 值 S =. 64 在 <x + 数, 图 象 是 一 段 抛 物 线 S = x +( + 3 范 围 内, 函 数 是 二 次 函 3 3 )x = (x ) +( ). 0 S / m 图 4 x / m

68 实 际 问 题 与 分 段 函 数 模 型 因 而 当 x = + 3 (m) 时,S 取 得 这 一 范 围 的 最 大 值 (m ). 因 为 >, 所 以 函 数 在 0 x + 3 整 个 范 围 内, 最 大 值 应 是 两 段 函 数 的 最 大 值 中 的 较 大 者, 即 S 最 大 = (m ). 这 就 是 说, 当 图 3 中 MN = + 3 m, 即 N 为 EM 的 中 点 时, 通 风 口 面 积 最 大, 最 大 面 积 是 ( )m. 经 检 验, 与 实 际 问 题 相 符 合. (6) 在 以 上 建 立 和 求 解 数 学 模 型 的 过 程 中, 你 运 用 了 哪 些 数 学 知 识 和 方 法? 你 对 模 型 思 想 有 了 哪 些 新 的 体 会 和 感 受? 交 流 与 发 现 () 某 商 场 为 了 促 销, 开 展 购 物 积 分 换 奖 品 活 动, 积 分 的 方 法 是 : 以 百 元 为 单 位, 顾 客 一 次 购 物 每 满 百 元 记 分, 不 足 百 元 的 部 分 不 记 分. 如 果 一 位 顾 客 一 次 购 物 55 元 应 记 多 少 分? 如 果 一 次 购 物 899 元 呢? 一 般 地, 如 果 某 顾 客 一 次 购 物 钱 数 为 x( 百 元 ),x 的 整 数 部 分 ( 单 位 : 百 元 ) 用 符 号 [x] 表 示, 那 么 该 顾 客 本 次 购 物 应 记 [x] 分. () 在 实 数 范 围 内, 任 何 一 个 数 都 可 以 写 成 一 个 整 数 与 0 或 一 个 正 的 纯 小 数 的 和 的 形 式. 例 如.5 = + 0.5, = , = + 0,-.5 = ,- 3 = , 其 中 的 整 数 叫 做 这 个 数 的 整 数 部 分,0 或 正 的 纯 小 数 叫 做 这 个 数 的 小 数 部 分, 你 能 分 别 说 出 0.5,-,-.9,-5 的 整 数 部 分 和 小 数 部 分 吗? (3) 设 x 为 一 个 实 数,x 的 整 数 部 分 记 作 [x]( 可 读 作 方 括 号 x), 你 能 利 用 [x] 的 定 义, 分 别 求 出 [.8],[ ],[-3],[- ] 的 值 吗? (4) 如 果 x 是 一 个 变 量,y 是 不 大 于 x 的 最 大 整 数,y 是 x 的 函 数 吗? 如 果 是, 它 的 表 达 式 可 以 怎 样 写 出? 因 为 当 0 x < 时,[x]= 0; 当 x < 时,[x]= ; 当 x < 3 时,[x]=. 65

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