1. 和 差 問 題 ( 五 年 級 適 用 ) 假 設 有 兩 個 未 知 數, 一 個 比 較 大, 一 個 比 較 小 而 題 目 只 告 訴 你, 這 兩 個 數 的 和, 以 及 這 兩 個 數 的 差, 然 後 要 你 去 計 算, 求 得 這 兩 個 數, 這 就 是 和 差 問 題

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1 左 腦 與 右 腦 的 數 學 ( 國 小 五 六 年 級 適 用 ) 目 錄 頁 數 1. 和 差 問 題 ( 五 年 級 適 用, 畫 圖 ) 父 子 年 齡 ( 五 年 級 適 用, 畫 圖 ) 雞 兔 同 籠 ( 五 年 級 適 用, 畫 圖 ) 和 差 問 題 ( 六 年 級 適 用, 代 數 ) 雞 兔 同 籠 ( 六 年 級 適 用, 代 數 ) 國 小 課 外 讀 物 / 網 路 免 費 下 載 歡 迎 拷 貝 / 廣 為 流 傳 6. 父 子 年 齡 ( 六 年 級 適 用, 代 數 ) 編 後 語 檔 案 名 稱 唐 詩 六 十 四 首 科 學 實 驗 左 腦 與 右 腦 的 數 學 適 合 程 度 國 小 一 二 年 級 國 小 三 四 年 級 國 小 五 六 年 級 作 者 : 高 怡 宣 / 文 字 編 輯 : 周 秋 惠 第 一 版 :2007 年 11 月

2 1. 和 差 問 題 ( 五 年 級 適 用 ) 假 設 有 兩 個 未 知 數, 一 個 比 較 大, 一 個 比 較 小 而 題 目 只 告 訴 你, 這 兩 個 數 的 和, 以 及 這 兩 個 數 的 差, 然 後 要 你 去 計 算, 求 得 這 兩 個 數, 這 就 是 和 差 問 題 這 類 的 題 目 可 以 用 畫 圖 的 方 式 解 題, 首 先 用 一 個 長 的 長 方 形, 代 表 大 的 未 知 數 然 後 再 用 一 個 短 的 長 方 形, 代 表 小 的 未 知 數 最 後 在 這 兩 個 長 方 形 的 外 側, 標 示 出 和 差 的 位 置, 如 下 圖 所 示 : 母 親 差 = 22 兒 子 = = = 32 和 = 42 從 上 圖 可 以 看 出 來, 若 將 42 減 去 22, 會 得 到 20 這 個 數 字 正 好 是 兩 個 斜 線 長 方 形 的 總 和, 把 這 個 數 除 以 2, 就 是 兒 子 的 年 齡 (20 2=10 歲 ), 媽 媽 的 年 齡 是 10+22=32 歲 大 數 小 數 差 和 [ 例 題 一 ] 現 在 讓 我 們 再 練 習 一 遍, 若 父 親 和 女 兒 年 齡 的 和 是 50 歲, 而 父 親 比 女 兒 大 26 歲, 請 問 父 親 和 女 兒 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 父 親 38 歲, 女 兒 12 歲 ) 例 如 : 母 子 年 齡 的 和 是 42 歲, 母 親 比 兒 子 大 22 歲, 請 問 母 親 及 兒 子 的 年 齡 是 幾 歲? 我 們 現 在 用 畫 圖 的 方 式, 來 解 釋 這 個 題 目 : 父 親 差 = 26 女 兒 = = = 38 和 = 50 ( 五 年 級 適 用 )

3 [ 例 題 二 ] 現 在 讓 我 們 自 已 來 練 習 畫 圖 姊 姊 和 弟 弟 年 齡 的 和 是 20 歲, 而 姊 姊 比 弟 弟 大 4 歲, 請 問 姊 姊 和 弟 弟 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 姊 姊 12 歲, 弟 弟 8 歲 ) [ 例 題 四 ] 學 校 的 數 學 考 試 成 績 公 佈 了, 小 楓 和 安 純 的 成 績 的 和 是 170 分, 而 小 楓 比 安 純 多 4 分, 請 問 兩 人 各 得 幾 分?( 解 答 : 小 楓 87 分, 安 純 83 分 ) 和 差 問 題 也 可 能 會 以 不 同 的 形 態 出 現, 例 如 例 題 三 到 例 題 五 [ 例 題 三 ] 大 雄 和 胖 虎 在 比 賽 吃 葡 萄, 兩 個 人 總 共 吃 61 顆 葡 萄, 而 胖 虎 比 大 雄 多 吃 5 顆 葡 萄, 請 問 兩 個 人 各 吃 了 幾 顆 葡 萄? ( 解 答 : 胖 虎 吃 了 33 顆 葡 萄, 大 雄 吃 了 28 顆 葡 萄 ) [ 例 題 五 ] 為 了 參 加 兒 童 畫 圖 比 賽, 小 丸 子 和 小 玉 在 家 裡 各 畫 了 一 張 圖, 兩 人 總 共 花 費 3 小 時 20 分 鐘, 而 小 丸 子 比 小 玉 多 畫 12 分 鐘, 請 問 兩 人 的 畫 圖 時 間 各 是 多 久? ( 解 答 : 小 丸 子 畫 了 106 分 鐘, 小 玉 畫 了 94 分 鐘 ) ( 五 年 級 適 用 )

4 2. 父 子 年 齡 ( 五 年 級 適 用 ) 父 子 年 齡 題 目 的 敘 述 方 式 以 及 解 題 方 式, 都 和 前 面 的 和 差 問 題 非 常 類 似 父 親 的 年 齡 比 較 大, 所 以 是 大 數 ; 兒 子 的 年 齡 比 較 小, 所 以 是 小 數 ; 解 題 時 也 要 用 兩 個 長 方 形, 分 別 表 示 父 子 的 年 齡 但 是, 父 子 年 齡 的 題 目 不 會 直 接 告 訴 你, 這 兩 個 數 的 和 差, 而 是 用 比 較 迂 迴 的 方 式, 說 明 這 兩 個 數 之 間 的 關 係 這 類 型 的 題 目 的 解 題 密 訣, 是 父 親 和 兒 子 的 年 齡, 每 年 都 會 增 加 1 歲, 所 以 要 在 兩 個 長 方 形 的 左 側, 畫 出 年 齡 的 增 加 歲 數, 如 下 圖 所 示 : 大 數 小 數 父 親 的 年 齡, 由 大 數 的 白 色 長 方 形 表 示 兒 子 的 年 齡, 由 小 數 的 白 色 長 方 形 表 示 而 灰 色 的 斜 線 部 份 則 是 年 齡 增 加 的 部 份 例 如 : 父 子 年 齡 的 差 是 26 歲,6 年 後, 父 子 年 齡 的 和 是 58 歲, 請 問 父 親 及 兒 子 的 年 齡 是 幾 歲? 差 和 父 親 兒 子 6 6 差 = 26 從 上 圖 可 以 看 出 來, 若 將 58 減 去 26, 會 得 到 32, 這 個 數 字 代 表 斜 線 長 方 形 和 空 白 長 方 形 的 兩 倍, 也 就 是 兒 子 在 6 年 後 時 年 齡 的 2 倍 將 此 數 除 以 2 即 為 兒 子 六 年 後 的 年 齡, 再 將 所 得 的 數 減 去 6, 即 是 兒 子 目 前 的 年 齡 = = = 10 ( 兒 子 的 年 齡 ) 另 外 一 個 做 法 是 將 58 加 上 26, 會 得 到 84, 這 是 父 親 在 6 年 後 年 齡 的 2 倍 將 此 數 除 以 2 即 為 父 親 六 年 後 的 年 齡, 再 將 所 得 的 數 減 去 6, 即 是 父 親 目 前 的 年 齡 = = = 36 ( 父 親 的 年 齡 ) 和 = 58 ( 五 年 級 適 用 )

5 有 的 題 目 會 變 形 得 比 較 複 雜, 你 必 需 要 發 揮 豐 富 的 想 像 力, 才 能 把 圖 畫 出 來, 讓 我 們 來 試 試 以 下 幾 題 [ 例 題 一 ] 父 子 年 齡 的 和 是 50 歲,5 年 後, 父 親 的 年 齡 是 兒 子 的 3 倍, 請 問 父 親 及 兒 子 的 年 齡 是 幾 歲? 這 個 題 目 的 畫 圖 法 及 解 題 法 如 下 : 先 依 題 目 畫 出 5 年 後, 父 親 的 年 齡 是 兒 子 的 3 倍, 以 紅 色 的 長 方 型 表 示, 再 用 藍 色 畫 出 目 前 父 子 年 齡 的 和 是 50 歲 從 下 圖 可 以 看 出 來, 若 將 50 加 上 10, 會 得 到 60 而 60 這 數 字 正 好 是 紅 色 方 塊 的 4 倍 而 兒 子 目 前 的 年 齡 即 是 紅 色 方 塊 減 去 5 歲, 父 親 的 年 齡 則 是 3 倍 的 紅 色 方 塊 減 去 5 歲, 如 下 圖 所 示 : 父 5 現 在, 讓 我 們 自 已 來 練 習 畫 圖 [ 例 題 二 ] 父 子 年 齡 的 和 是 40 歲, 而 4 年 後, 父 親 的 年 齡 是 兒 子 的 3 倍, 請 問 父 親 和 兒 子 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 父 親 32 歲, 兒 子 8 歲 ) [ 例 題 三 ] 父 親 年 齡 是 兒 子 年 齡 的 5 倍, 而 4 年 後, 父 子 年 齡 的 和 是 44 歲, 請 父 親 和 兒 子 的 年 齡 各 是 幾 歲? ( 解 答 : 父 親 30 歲, 兒 子 6 歲 ) 子 5 和 = = 60 (4 個 紅 色 方 塊 的 總 和 ) 60 4 = 15 (1 個 紅 色 方 塊 代 表 的 年 齡 ) 15 5 = 10 ( 兒 子 的 年 齡 ) = 40 ( 父 親 的 年 齡 ) 或 (50-10=40) ( 五 年 級 適 用 )

6 有 關 父 子 年 齡 的 題 目, 還 有 一 種 題 目 會 告 訴 你, 幾 年 前 的 歲 數 關 係, 請 看 以 下 例 題 [ 例 題 四 ] 母 親 的 年 齡 是 女 兒 的 3 倍,4 年 前, 母 親 和 女 兒 年 齡 的 和 是 40 歲, 請 問 母 親 和 女 兒 的 年 齡 是 幾 歲? [ 例 題 五 ] 母 女 年 齡 的 差 是 24 歲, 而 3 年 前, 母 親 的 年 齡 是 女 兒 的 4 倍, 請 問 母 親 和 女 兒 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 母 親 35 歲, 女 兒 11 歲 ) 先 依 題 目 畫 出 母 親 的 年 齡 是 女 兒 的 3 倍, 從 下 圖 可 以 看 出 來, 用 1 個 紅 色 方 塊 代 表 女 兒 的 年 齡, 母 親 的 年 齡 是 3 倍 的 紅 色 方 塊, 再 用 藍 色 線 段 畫 出 4 年 前, 母 親 和 女 兒 年 齡 的 和 是 40 歲, 灰 色 的 斜 線 部 份 代 表 4 年 前 這 個 題 目 的 關 鍵 是 要 求 出 一 個 紅 色 方 塊 所 代 表 的 年 齡 母 4 和 = 40 [ 例 題 六 ] 母 親 的 年 齡 是 女 兒 年 齡 的 5 倍, 而 4 年 前, 母 女 年 齡 的 和 是 28 歲, 請 問 母 親 和 女 兒 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 母 親 30 歲, 女 兒 6 歲 ) 女 = 48 (4 個 紅 色 方 塊 的 總 和 ) 48 4 = 12 (1 個 紅 色 方 塊 代 表 的 年 齡 ) 12 1 = 12 ( 女 兒 的 年 齡 是 1 個 方 塊 ) 12 3 = 36 ( 母 親 的 年 齡 是 3 個 方 塊 ) 我 們 可 以 驗 証 一 下, 母 親 年 齡 是 女 兒 的 3 倍 : =3 4 年 前, 母 親 和 女 兒 年 齡 的 和 是 (36-4) + (12-4) = 32+8 = 40 ( 五 年 級 適 用 )

7 3. 雞 兔 同 籠 ( 五 年 級 適 用 ) (2) 每 頭 雞 有 2 隻 脚, 用 籃 色 直 線 表 示, 畫 圖 得 出 共 20 隻 脚, 這 是 計 算 全 部 的 雞 有 幾 隻 腳 : 以 前 小 時 候, 在 做 雞 兔 同 籠 的 題 目 時, 自 己 會 在 想, 為 什 麼 要 把 雞 和 兔 放 在 同 一 個 籠 子 內, 牠 們 不 會 打 架 嗎? 長 大 以 後, 發 現 很 多 人, 在 小 時 候 都 有 相 同 的 疑 問 其 實, 這 類 型 的 題 目 是 在 教 小 朋 友 如 何 思 考 問 題 雞 兔 同 籠 的 題 目 和 前 面 的 和 差 問 題 有 一 半 類 似 首 先, 題 目 會 告 訴 你, 雞 和 兔 總 共 幾 頭, 這 是 和 然 後, 題 目 會 告 訴 你, 每 頭 雞 有 2 隻 腳, 每 頭 兔 有 4 隻 腳, 雞 和 兔 總 共 有 幾 隻 腳 有 了 以 上 兩 個 條 件 之 後, 要 請 你 計 算, 雞 和 兔 各 有 幾 頭? 譬 如 說, 雞 和 兔 的 數 目 總 和 是 10 頭, 雞 和 兔 總 共 有 26 隻 腳, 請 問 雞 和 兔 各 有 幾 頭? 2 10 = 20 (3) 可 是 題 目 說 有 26 隻 脚, 算 算 看 還 多 出 幾 隻 腳 : = 6 (4) 把 多 餘 的 腳, 以 兩 隻 為 一 組, 接 回 到 雞 的 身 上, 並 把 4 隻 腳 的 雞 改 名 字, 叫 做 兔 : 這 種 題 目 的 解 題 步 驟 是 : 可 以 先 假 設 全 部 都 是 雞, 然 後 慢 慢 地 推 理 步 驟 如 下 : (1) 假 設 10 頭 全 部 都 是 雞, 畫 圖 用 圓 圈 表 示 : 6 2 = 3 (5) 所 以 答 案 是,3 頭 兔,7 頭 雞 ( 五 年 級 適 用 )

8 現 在, 我 們 試 著 做 比 較 複 雜 的 例 題 [ 例 題 一 ] 雞 和 兔 的 數 目 總 和 是 125 頭, 雞 和 兔 總 共 有 462 隻 腳, 請 問 雞 和 兔 各 有 幾 頭? 解 題 的 步 驟 是 : (1) 假 設 125 頭 全 部 都 是 雞 (2) 計 算 全 部 的 雞 有 幾 隻 腳 : = 250 (3) 看 看 還 多 餘 幾 隻 腳 : = 212 (4) 把 多 餘 的 腳, 以 兩 隻 為 一 組, 接 回 到 雞 的 身 上, 並 把 4 隻 腳 的 雞 改 名 字, 叫 做 兔 : = = 19 (5) 所 以 答 案 是,106 頭 兔,19 頭 雞 (6) 我 們 可 以 驗 証 一 下, 算 算 總 共 有 幾 隻 腳 : = = 462 雞 兔 同 籠 的 題 目 也 會 有 變 形, 請 看 例 題 二 到 例 題 四 [ 例 題 二 ] 小 新 和 媽 媽 去 菜 市 場 買 水 果, 橘 子 一 粒 12 元, 蘋 果 一 粒 30 元 小 新 只 知 道, 媽 媽 總 共 買 15 粒, 花 費 288 元, 請 問 蘋 果 和 橘 子 各 幾 粒? ( 解 答 : 蘋 果 6 粒, 橘 子 9 粒 ) 解 題 的 步 驟 是 : (1) 假 設 全 部 15 粒 都 是 橘 子, (2) 計 算 全 部 的 橘 子 要 花 費 多 少 元 : = 180 (3) 看 看 還 多 餘 幾 元 : = 108 (4) 把 多 餘 的 錢, 以 18 (=30-12) 元 為 一 組, 補 回 去 給 橘 子, 並 將 30 元 的 橘 子 改 名 字, 叫 做 蘋 果 : = = 9 (5) 所 以 答 案 是,6 粒 蘋 果,9 粒 橘 子 ( 五 年 級 適 用 )

9 [ 例 題 三 ] 妹 妹 喜 歡 收 集 1 元 和 5 元 的 硬 幣, 她 把 這 兩 種 硬 幣 放 入 一 個 撲 滿 今 年 的 除 夕 夜, 她 把 撲 滿 打 開, 發 現 裡 面 有 82 枚 硬 幣, 總 金 額 是 154 元, 請 問 1 元 和 5 元 的 硬 幣 各 有 幾 枚? ( 解 答 :1 元 的 硬 幣 有 64 枚,5 元 的 硬 幣 有 18 枚 ) [ 例 題 四 ] 爸 爸 去 買 茶 葉, 高 山 茶 每 斤 1300 元, 普 通 茶 每 斤 800 元 只 知 道 爸 爸 總 共 買 了 24 斤 茶 葉, 花 費 元, 請 問 爸 爸 各 買 了 幾 斤 高 山 茶 和 普 通 茶? ( 解 答 : 高 山 茶 13 斤, 普 通 茶 11 斤 ) ( 五 年 級 適 用 )

10 4. 和 差 問 題 ( 六 年 級 適 用 ) 假 設 有 兩 個 未 知 數, 一 個 比 較 大, 一 個 比 較 小 而 題 目 只 告 訴 你, 這 兩 個 數 的 和, 以 及 這 兩 個 數 的 差, 然 後 要 你 去 計 算, 求 得 這 兩 個 數, 這 就 是 和 差 問 題 例 如 : 母 子 年 齡 的 和 是 42 歲, 母 親 比 兒 子 大 22 歲, 然 後 問 母 親 及 兒 子 的 年 齡 是 幾 歲? 這 類 的 題 目 可 以 用 代 數 (algebra) 的 方 式 解 題, 首 先 用 兩 個 方 程 式 表 示 題 目 所 提 供 的 條 件, 如 式 [1] 及 [2] 然 後 將 兩 式 相 加, 如 紅 色 所 示, 等 式 的 左 邊 相 加, 得 到 2 母 等 式 的 右 邊 相 加, 得 到 64, 如 式 [3]: 母 + 子 = 42 [1] 我 們 也 可 以 換 一 個 解 題 的 方 式, 將 式 [1] 減 去 式 [2], 如 下 面 紅 色 計 算 方 式 等 式 的 左 邊 相 減, 得 到 2 子 等 式 的 右 邊 相 減, 得 到 22, 如 式 [4]: 母 + 子 = 42 [1] - ) 母 子 = 22 [2] 2 子 = 20 [4] 根 據 式 [4], 我 們 計 算 得 到 兒 子 是 10 歲, 所 以 母 親 是 = 32 歲 現 在 讓 我 們 自 己 練 習 一 遍 [ 例 題 一 ] 若 父 親 和 女 兒 年 齡 的 和 是 50 歲, 而 父 親 比 女 兒 大 26 歲, 請 問 父 親 和 女 兒 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 父 親 38 歲, 女 兒 12 歲 ) + ) 母 子 = 22 [2] 2 母 = 64 [3] 根 據 式 [3], 我 們 計 算 得 到 母 親 是 32 歲, 所 以 兒 子 是 = 10 歲 ( 六 年 級 適 用 )

11 [ 例 題 二 ] 姊 姊 和 弟 弟 年 齡 的 和 是 20 歲, 而 姊 姊 比 弟 弟 大 4 歲, 請 問 姊 姊 和 弟 弟 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 姊 姊 12 歲, 弟 弟 8 歲 ) [ 例 題 四 ] 學 校 的 數 學 考 試 成 績 公 佈 了, 小 楓 和 安 純 的 成 績 的 和 是 170 分, 而 小 楓 比 安 純 多 4 分, 請 問 兩 人 各 得 幾 分? ( 解 答 : 小 楓 得 87 分, 安 純 得 83 分 ) 和 差 問 題 也 可 能 會 以 不 同 的 形 態 出 現, 請 看 例 題 三 到 例 題 五 [ 例 題 三 ] 大 雄 和 胖 虎 在 比 賽 吃 葡 萄, 兩 個 人 總 共 吃 61 顆 葡 萄, 而 胖 虎 比 大 雄 多 吃 5 顆 葡 萄, 請 問 兩 個 人 各 吃 了 幾 顆 葡 萄? ( 解 答 : 胖 虎 吃 了 33 顆 葡 萄, 大 雄 吃 了 28 顆 葡 萄 ) [ 例 題 五 ] 為 了 參 加 全 國 兒 童 畫 圖 比 賽, 小 丸 子 和 小 玉 在 家 裡 各 畫 了 一 張 圖, 兩 人 總 共 花 費 3 小 時 20 分 鐘, 而 小 丸 子 比 小 玉 多 畫 12 分 鐘, 請 問 兩 人 的 畫 圖 時 間 各 是 多 久? ( 解 答 : 小 丸 子 畫 了 106 分 鐘, 小 玉 了 畫 94 分 鐘 ) ( 六 年 級 適 用 )

12 5. 雞 兔 同 籠 ( 六 年 級 適 用 ) 雞 兔 同 籠 的 題 目, 也 可 以 用 代 數 的 方 法 解 題 譬 如 說, 雞 和 兔 的 數 目 總 和 是 10 頭, 雞 和 兔 總 共 有 26 隻 腳, 請 問 雞 和 兔 各 有 幾 頭? 我 們 知 道 雞 有 2 隻 脚, 兔 有 4 隻 脚, 題 目 所 提 供 的 條 件, 可 以 用 兩 個 方 程 式 表 示 如 下 : 雞 + 兔 = 10 [5] 2 雞 + 4 兔 = 26 [6] 為 了 將 兩 式 中 的 雞 消 除, 可 以 將 式 [5] 乘 以 2, 成 為 式 [7]: 2 雞 + 2 兔 = 20 [7] 將 式 [6] 減 去 式 [7], 如 下 所 示 : 2 雞 + 4 兔 = 26 [6] - ) 2 雞 + 2 兔 = 20 [7] 2 兔 = 6 [8] [ 例 題 一 ] 雞 和 兔 的 數 目 總 和 是 125 頭, 雞 和 兔 總 共 有 462 隻 腳, 請 問 雞 和 兔 各 有 幾 頭? 首 先 用 兩 個 方 程 式 表 示 題 目 所 提 供 的 條 件 如 下 : 雞 + 兔 = 125 [9] 2 雞 + 4 兔 = 462 [10] 為 了 將 兩 式 中 的 雞 消 除, 可 以 將 式 [9] 乘 以 2, 成 為 式 [11]: 2 雞 + 2 兔 = 250 [11] 將 式 [10] 減 去 式 [11], 如 下 所 示 : 2 雞 + 4 兔 = 462 [10] - ) 2 雞 + 2 兔 = 250 [11] 2 兔 = 212 [12] 所 以 得 到 兔 = = 106, 然 後 再 計 算 雞 = = 19 所 以 得 到 兔 = 3, 然 後 再 計 算 雞 = 10-3 = 7 ( 六 年 級 適 用 )

13 雞 兔 同 籠 的 題 目 也 會 有 變 形, 請 看 例 題 [ 例 題 二 ] 小 新 和 媽 媽 去 菜 市 場 買 水 果, 蘋 果 一 粒 30 元, 橘 子 一 粒 12 元 小 新 只 知 道, 媽 媽 總 共 買 15 粒, 花 費 288 元, 請 問 蘋 果 和 橘 子 各 幾 粒? ( 解 答 : 蘋 果 6 粒, 橘 子 9 粒 ) [ 例 題 四 ] 爸 爸 去 買 茶 葉, 高 山 茶 每 斤 1300 元, 普 通 茶 每 斤 800 元 只 知 道 爸 爸 總 共 買 24 斤 茶 葉, 花 費 元, 請 問 爸 爸 各 買 了 幾 斤 的 高 山 茶 和 普 通 茶? ( 解 答 : 高 山 茶 13 斤, 普 通 茶 11 斤 ) 蘋 + 橘 = 蘋 + 12 橘 = 288 [ 例 題 三 ] 妹 妹 喜 歡 收 集 1 元 和 5 元 的 硬 幣, 她 把 這 兩 種 硬 幣 放 入 一 個 撲 滿 今 年 的 除 夕 夜, 她 把 撲 滿 打 開, 發 現 裡 面 有 82 枚 硬 幣, 總 金 額 是 154 元, 請 問 1 元 和 5 元 的 硬 幣 各 有 幾 枚? ( 解 答 :1 元 的 硬 幣 有 64 枚,5 元 的 硬 幣 有 18 枚 ) ( 六 年 級 適 用 )

14 6. 父 子 年 齡 ( 六 年 級 適 用 ) 父 子 年 齡 的 題 目 也 可 以 用 代 數 (algebra) 來 解, 只 是 在 解 題 時, 會 使 用 到 簡 單 的 移 項 技 巧, 可 以 為 國 中 一 年 級 的 數 學 做 準 備 [ 例 題 一 ] 父 子 年 齡 的 和 是 50 歲,5 年 後, 父 親 的 年 齡 是 兒 子 的 3 倍, 請 問 父 親 及 兒 子 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 父 親 40 歲, 兒 子 10 歲 ) 父 + 子 = 50 ( 父 +5) = 3 ( 子 +5) 父 子 年 齡 的 差 是 26 歲,6 年 後, 父 子 年 齡 和 是 58 歲, 請 問 父 親 及 兒 子 的 年 齡 是 幾 歲? 首 先 用 兩 個 方 程 式 表 示 題 目 所 提 供 的 條 件 : 父 - 子 = 26 [13] ( 父 +6) + ( 子 +6) = 58 [14] 由 於 式 [14] 比 較 複 雜, 我 們 可 以 予 以 簡 化, 修 改 成 式 [15]: 父 + 子 + 12 = 58 [15] 然 後 將 式 [13] 和 [15] 相 加, 等 式 的 左 邊 相 加, 得 到 (2 父 +12) 等 式 的 右 邊 相 加, 得 到 84 : [ 例 題 二 ] 父 子 年 齡 的 和 是 40 歲, 而 4 年 後, 父 親 的 年 齡 是 兒 子 的 3 倍, 請 問 父 親 和 兒 子 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 父 親 32 歲, 兒 子 8 歲 ) 父 + 子 = 40 ( 父 +4) = 3 ( 子 +4) 2 父 + 12 = 84 [16] 根 據 式 [16], 我 們 計 算 得 到 父 親 是 36 歲, 因 為 父 子 相 差 26 歲, 所 以 兒 子 是 = 10 歲 ( 六 年 級 適 用 )

15 [ 例 題 三 ] 父 親 的 年 齡 是 兒 子 年 齡 的 5 倍, 而 4 年 後, 父 子 年 齡 的 和 是 44 歲, 請 問 父 親 和 兒 子 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 父 親 30 歲, 兒 子 6 歲 ) [ 例 題 五 ] 母 女 年 齡 的 差 是 24 歲, 而 3 年 前, 母 親 的 年 齡 是 女 兒 的 4 倍, 請 問 母 親 和 女 兒 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 母 親 35 歲, 女 兒 11 歲 ) 父 = 5 子 ( 父 +4) + ( 子 +4) = 44 [ 例 題 四 ] 母 親 的 年 齡 是 女 兒 的 3 倍,4 年 前, 母 親 和 女 兒 年 齡 的 和 是 40 歲, 請 問 母 親 和 女 兒 的 年 齡 是 幾 歲?( 解 答 : 母 親 36 歲, 女 兒 12 歲 ) [ 例 題 六 ] 母 親 的 年 齡 是 女 兒 年 齡 的 5 倍, 而 4 年 前, 母 女 年 齡 的 和 是 28 歲, 請 問 母 親 和 女 兒 的 年 齡 是 幾 歲? ( 解 答 : 母 親 30 歲, 女 兒 6 歲 ) ( 六 年 級 適 用 )

16 7. 編 後 語 雞 兔 同 籠 和 父 子 年 齡 的 題 目, 很 多 年 前 就 已 經 從 國 小 數 學 教 材 刪 除 據 說, 是 因 為 數 學 教 育 的 專 家 們 認 為 這 兩 類 問 題, 到 國 中 時 可 以 用 x+y 的 二 元 一 次 方 程 式 來 解 題 我 認 為 這 個 決 定 是 錯 誤 的, 我 會 詳 細 地 說 明 理 由 7.1 關 於 國 中 數 學 首 先, 我 要 引 用 李 家 同 教 授 在 他 的 數 學 參 考 書 專 門 為 中 學 生 寫 的 數 學 課 本 代 數 內 所 寫 的 序 言, 來 說 明 國 中 數 學 的 情 況 : 我 小 的 時 候, 學 代 數 就 只 學 代 數, 學 幾 何 就 只 學 幾 何 沒 有 想 到, 時 代 變 了, 一 些 學 者 發 明 一 種 螺 旋 式 教 法, 數 學 裡 混 合 了 代 數 和 幾 何, 前 兩 章 可 能 是 代 數, 後 兩 章 卻 可 能 又 是 幾 何 我 曾 為 此 事 吃 足 了 苦 頭, 我 教 一 個 小 孩 子 國 中 數 學, 好 不 容 易, 費 了 九 牛 二 虎 之 力, 教 會 了 他 一 些 代 數 的 觀 念, 他 卻 又 要 我 教 他 幾 何 了, 等 我 滿 頭 大 汗 地 幫 他 弄 懂 了 一 些 幾 何 的 觀 念, 他 又 要 回 去 學 代 數 了, 但 這 小 鬼, 早 已 忘 記 一 個 月 以 前 所 學 的 代 數 觀 念 看 完 這 段 前 言, 您 可 能 在 想, 為 什 麼 要 學 幾 何 (geometry) 與 代 數 (algebra)? 以 下 是 我 的 個 人 意 見 : 因 為 前 者 與 圖 形 ( 例 如 向 量 的 投 影 ) 有 關, 後 者 與 文 字 ( 例 如 x+y) 有 關, 而 數 學 的 解 題 方 式, 主 要 就 是 依 靠 這 兩 招 這 個 現 象, 就 像 有 人 慣 用 右 手 寫 字, 有 人 慣 用 左 手 寫 字 另 外 舉 一 個 例 子, 人 類 的 腦 部 可 以 區 分 成 左 右 兩 半 球, 左 腦 處 理 與 圖 形 相 關 的 資 訊, 而 右 腦 處 理 與 語 文 相 關 的 資 訊 然 而 左 右 手 需 要 相 互 輔 助, 左 右 腦 也 需 要 並 存, 生 活 才 能 多 采 多 姿 因 此, 我 們 必 需 學 習 幾 何 和 代 數, 才 能 靈 活 地 運 用 數 學

17 7.2 關 於 國 小 數 學 雞 兔 同 籠 和 父 子 年 齡 的 題 目 可 以 用 畫 圖 或 文 字 來 解 題, 也 就 是 說, 這 一 類 的 題 目, 可 以 讓 小 朋 友 們 發 現 幾 何 與 代 數 的 相 關 性 換 句 話 說, 這 兩 種 題 目, 可 以 讓 他 們 練 習 運 用 左 右 手 及 左 右 腦 由 於 小 朋 友 在 三 四 年 級 時, 習 慣 於 用 畫 圖 來 解 題 而 他 們 在 進 入 國 中 一 年 級 後, 又 會 對 代 數 感 到 陌 生 因 此, 這 份 講 義 的 內 容 分 成 兩 階 段, 可 以 先 讓 五 年 級 的 小 朋 友 利 用 畫 圖 來 解 題, 這 是 練 習 數 與 量 最 好 的 應 用 題 等 到 他 們 升 到 六 年 級 時, 再 用 簡 單 的 代 數 來 解 釋 相 同 的 題 目 如 此 一 來, 雞 兔 同 籠 和 父 子 年 齡 的 題 目 就 肩 負 著 承 先 啟 後 繼 往 開 來 的 使 命, 可 謂 任 重 而 道 遠 在 2007 年 5 月 5 日, 我 到 台 北 市 耕 莘 文 教 院, 參 加 人 本 基 金 會 所 舉 辦 的 國 小 數 學 講 座, 看 到 人 本 基 金 會 的 數 學 想 想 教 材 大 綱, 其 中 九 九 乘 法 表 直 式 乘 法 直 式 除 式 都 列 在 二 到 四 年 級 的 教 材 內 主 講 人 也 提 到, 雞 兔 同 籠 和 父 子 年 齡 會 列 入 五 年 級 的 教 材 按 照 我 個 人 的 學 習 經 驗, 以 上 五 項 內 容 都 是 必 要 的, 個 人 舉 雙 手 贊 成 與 支 持 7.3 學 習 數 學 的 方 法 在 前 面 所 提 到 李 家 同 教 授 的 那 本 書 中, 有 一 篇 短 文 談 到 如 何 教 數 學? 如 何 學 數 學?, 其 中 有 段 話 : 對 於 比 較 不 聰 明 的 中 學 生, 我 們 採 取 的 策 略 就 是 將 進 度 變 慢, 任 何 一 個 孩 子, 如 果 學 數 學 的 時 候 慢 慢 來, 他 就 不 怕 了 這 也 讓 我 回 想 起 自 己 的 學 習 過 程, 經 常 會 覺 得 自 己 跟 不 上 進 度, 記 得 剛 開 始 接 觸 -1 i = 1 高 斯 平 面 極 座 標 這 些 觀 念 時, 都 會 產 文 化 震 撼 (culture shock), 要 花 費 6 個 月 以 上 才 能 接 受 其 實 也 不 只 數 學, 在 物 理 方 面, 中 學 時 候 在 看 到 考 試 題 目 時, 經 常 有 不 知 所 云 無 從 下 手 的 感 覺 還 記 得 我 的 初 中 化 學 老 師, 也 是 我 的 初 中 及 高 中 的 班 級 導 師, 她 曾 經 說 過 : 當 你 覺 得 功 課 很 難 的 時 候, 就 表 示 你 快 要 學 會 了, 不 要 放 棄, 再 多 努 力 一 點 點 就 可 以 學 會 了 那 時 候 還 以 為 是 金 玉 良 言, 每 次 遇 到 困 難, 都 以 為 自 己 快 要 學 會 了 其 實 這 段 話 的 重 點 是 在 最 後 兩 句, 前 面 兩 句 應 該 是 安 慰 人 心 的 話 從 這 兩 段 經 驗, 我 所 得 到 的 啟 示 是 慢 慢 學 和 努 力 想 才 是 正 確 的 學 習 方 式, 才 能 發 揮 龜 兔 賽 跑 的 精 神, 慢 慢 地 跟 上 腳 步 其 實, 從 長 遠 的 角 度 來 看, 學 習 的 興 趣 和 有 恆 心 的 努 力 才 是 學 習 是 否 能 夠 成 功 的 關 鍵

18 7.4 關 於 這 份 講 義 我 的 的 女 兒 在 六 年 級 的 時 候 曾 告 訴 我, 有 些 同 學 是 用 背 公 式 的 方 法 來 做 數 學 題 目 這 倒 讓 我 覺 得 很 驚 訝, 國 小 數 學 怎 麼 會 有 公 式 可 以 背 呢? 這 一 定 是 外 行 人 在 編 教 科 書 或 參 考 書, 才 會 讓 國 小 學 生 背 公 式, 而 放 棄 理 解 能 力 這 個 現 象 的 後 果, 會 影 響 到 小 朋 友 進 入 國 中 後, 學 習 數 學 物 理 化 學 的 態 度, 誤 以 為 科 學 是 用 背 的 他 們 會 覺 得 背 公 式 有 效 並 且 可 以 速 成, 而 逐 漸 放 棄 努 力 想 的 理 解 能 力 後 來, 我 的 女 兒 告 訴 我, 那 些 背 公 式 的 同 學, 遇 到 有 點 變 化 的 文 章 題 就 考 垮 了, 因 為 他 們 想 不 懂 該 用 乘 法, 還 是 除 法 所 以 在 小 學 階 段 的 數 學, 要 著 重 於 理 解 能 力, 為 國 中 和 高 中 的 課 程 打 基 礎, 而 不 是 急 著 做 題 目 拿 分 數 我 在 2007 年 7 月 遇 見 一 位 小 學 時 候 的 隔 壁 班 同 學, 我 們 分 別 由 不 同 的 老 師 教 數 學, 他 也 記 得 在 小 學 五 六 年 級 時, 用 畫 圖 和 代 數 的 方 法 來 解 雞 兔 同 籠 和 父 子 年 齢 的 題 目 所 以 這 份 講 義 的 內 容, 並 不 是 我 個 人 的 新 發 明, 在 當 年 ( 大 約 35 年 前 ) 應 該 是 舊 數 學 的 標 準 教 材 只 是 時 光 荏 苒 物 換 星 移, 新 數 學 的 內 容 已 不 再 有 這 兩 類 題 目 所 以, 這 份 講 義 就 像 是 失 傳 已 久 的 武 林 密 笈 重 現 江 湖, 希 望 能 得 到 大 家 的 珍 惜 與 推 荐 目 前 國 小 數 學 教 材 的 大 綱 及 內 容, 還 有 很 大 的 進 步 空 間, 希 望 教 育 部 和 書 商 能 夠 密 切 配 合, 為 百 年 樹 人 的 教 育 工 作 而 共 同 努 力 然 而, 在 大 綱 及 內 容 有 所 改 進 之 前, 只 能 希 望 由 熱 心 的 老 師 或 家 長, 發 揮 幼 吾 幼 以 及 人 之 幼 的 精 神, 為 您 自 己 的 小 孩 或 鄰 居 的 小 孩, 做 一 些 補 救 的 措 施 高 怡 宣 2007 年 10 月

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