类 似 地, 又 可 定 义 变 下 限 的 定 积 分 : ( ). 与 ψ 统 称 为 变 限 积 分. f ( ) d f ( t) dt,, 注 在 变 限 积 分 (1) 与 () 中, 不 可 再 把 积 分 变 量 写 成 的 形 式 ( 例 如 ) 以 免 与 积 分 上 下 限 的

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1 5 ( 一 ) 微 积 分 学 基 本 定 理 当 函 数 的 可 积 性 问 题 告 一 段 落, 并 对 定 积 分 的 性 质 有 了 足 够 的 认 识 之 后, 接 着 要 来 解 决 一 个 以 前 多 次 提 到 过 的 问 题 在 定 积 分 形 式 下 证 明 连 续 函 数 必 定 存 在 原 函 数. 一 变 限 积 分 与 原 函 数 的 存 在 性 设 f 在 [,] 上 可 积, 根 据 定 积 分 的 性 质 4, 对 任 何 (,), f 在 [,] 上 也 可 积. 于 是, 由 f t dt,, 定 义 了 一 个 以 积 分 上 限 为 自 变 量 的 函 数, 称 为 变 上 限 的 定 积 分. (1)

2 类 似 地, 又 可 定 义 变 下 限 的 定 积 分 : ( ). 与 ψ 统 称 为 变 限 积 分. f ( ) d f ( t) dt,, 注 在 变 限 积 分 (1) 与 () 中, 不 可 再 把 积 分 变 量 写 成 的 形 式 ( 例 如 ) 以 免 与 积 分 上 下 限 的 相 混 淆. 由 于 变 限 积 分 所 定 义 的 函 数 有 着 重 要 的 性 质. f ( t) dt f ( t) dt, 因 此 下 面 只 讨 论 变 上 限 积 分 的 情 形. ()

3 定 理 9.9 若 f 在 [,] 上 可 积, 则 由 (1) 式 所 定 义 的 函 数 f t dt,, 在 [,] 上 连 续. 证 对 [,] 上 任 一 确 定 的 点, 只 要 + [,], 按 定 义 式 (1) 有 f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt. 因 f 在 [,] 上 有 界, 可 设 于 是, 当 > 时 有 f t M, t,, f ( t) dt f ( t) dt M; 当 < 时 则 有 M, 由 此 得 到 lim, 即 证 得 在 点 连 续. 由 的 任 意 性, 在 [,] 上 处 处 连 续.

4 定 理 9.1 ( 原 函 数 存 在 定 理 ) 若 f 在 [,] 上 连 续, 则 由 (1) 式 所 定 义 的 函 数, 在 [,] 上 处 处 可 导, 且 d f ( t) dt f ( ),,. (3) d 证 对 [,] 上 任 一 确 定 的, 当 且 + [,] 时, 按 定 义 式 (1) 和 积 分 第 一 中 值 定 理 有 1 f ( t) dt f ( ), 1. 由 于 f 在 点 连 续, 故 有 ( ) lim lim f ( ) f ( ). 由 在 [,] 上 的 任 意 性, 证 得 是 f 在 [,] 上 的 一 个 原 函 数.

5 注 本 定 理 沟 通 了 导 数 和 定 积 分 这 两 个 从 表 面 看 去 似 不 相 干 的 概 念 之 间 的 内 在 联 系 ; 同 时 也 证 明 了 连 续 函 数 必 有 原 函 数 这 一 基 本 结 并 论 以, 积 分 形 式 (1) 给 出 了 f 的 一 个 原 函 数. 正 因 为 定 理 9.1 的 重 要 作 用 而 被 誉 为 微 积 分 学 基 本 定 理, 且 可 用 它 可 以 给 出 牛 顿 - 莱 布 尼 茨 公 式 的 另 一 证 明. F( ) f ( t) dt C, f ( t) dt F( ) F( ).

6 因 为 f 的 任 意 两 个 原 函 数 只 能 相 差 一 个 常 数, 所 以 当 f 为 连 续 函 数 时, 它 的 任 一 函 数 F 必 满 足 F ( ) f ( t) dt C. 若 在 此 式 中 令 =, 得 到 C=F(), 从 而 有 再 令 =, 即 得 f ( t) dt F( ) F( ). f ( t) dt F( ) F( ). 这 是 牛 顿 一 菜 布 尼 茨 公 式 的 又 一 证 明. 比 照 定 理 9.1, 现 在 只 需 假 设 被 积 函 数 f 为 连 续 函 数, 其 原 函 数 F 的 存 在 性 已 为 定 理 9.1 所 保 证, 无 需 另 作 假 设. (4)

7 定 理 9.11 ( 积 分 第 二 中 值 定 理 ) (i) 若 函 数 g 在 [,] 上 减, 且 g(), 则 存 在 ξ [,] 使 得 设 函 数 f 在 [,] 上 可 积, (ii) 若 函 数 g 在 [,] 上 增, 且 g(), 则 存 在 ξ [,], 使 得 f g d g f d. f ( ) g( ) d g( ) f ( ) d (5) (6)

8 证 下 面 只 证 (i), 类 似 地 可 证 (ii). 设 F f t dt,, 由 于 f 在 [,] 上 可 积, 因 此 F 在 [,] 上 连 续, 从 而 存 在 最 大 值 M 和 最 小 值 m. 若 g()=, 由 假 设,,, 此 时 对 任 何 g (5) 式 恒 成 立. 下 面 设 g()>, 这 时 (5) 式 即 为 F 1 ( ) f ( t ) dt ( ) ( ). g( ) f g d 所 以 问 题 转 化 为 只 须 证 明 1 m f ( ) g( ) d M, g( ) (5 ) (7),,

9 因 为 由 此 可 借 助 F 的 介 值 性 立 刻 证 得 (5 ). 当 然 (7) 式 mg( ) f ( ) g( ) d Mg( ), 又 等 同 于 下 面 就 来 证 明 这 个 不 等 式. 由 条 件 f 有 界, 设 f ( ) L,,, 而 g 必 为 可 积, 从 而 对 任 给 的 ε>, 必 有 分 割 T: 1, I i 1 i i1 g i i1 f ( ) g( ) d i i g( ) g( ) f ( ) d g( ) f ( ) d. L 使 得 i 现 把 按 积 分 区 间 可 加 性 写 成 i1 i1 i1 i1 I I. 1 i1 i1

10 对 于 I 1, 必 有 i I g( ) g( ) f ( ) d 1 i1 i1 i1 g L i i L i1 L 对 于 I, 由 于 F( )=F()=, 和 可 得 i o i 1 f ( ) d f ( ) d f ( ) d F ( i ) F ( i1), i1 I g( 1) F( ) F( ) i i i 1 i1 g( ) F( 1 ) F( ) g( 1) g( ) g( 1) F( 1 ) g( ) g( 1 ) F( 1) g( ) g( 1) F( ) g( 1) 1 i1. F( i ) g( i1) g( i ) F( ) g( 1).

11 再 由 于 是 利 用 估 计 得 综 合 且 减, 使 得 其 中 i 1,,, 1. g( ) g( ), g( ) g( ), 1 i1 i F( ) M, i 1,,,, i 1 I M g( ) g( ) Mg( ) Mg( ), i1 i 1 i1 同 理 由 F( i ) m,i=1,,,, 又 有 I mg(). I I I, I, mg( ) I Mg( ), 1 1 mg( ) I Mg( ). 得 到 由 ε 为 任 意 小 正 数, 这 便 证 得 mg( ) I mg( ), 即 不 等 式 (7 ) 成 立, 随 之 有 (7),(5 ) 和 (5) 式 成 立

12 推 论 设 函 数 f 在 [,] 上 可 积, 若 g 为 单 调 函 数, 则 存 在 ξ [,], 使 得 f ( ) g ( ) d g ( ) f ( ) d g ( ) f ( ) d. (8) 证 若 g 为 单 调 递 减 函 数, 令 h()=g()-g(), 则 f h d h f d ( ) h 为 非 负 递 减 函 数 由 定 理 9.11(ⅰ), 存 在 使 得 由 于 因 此 证 得 g( ) g( ) f ( ) d. f ( ) h( ) d f ( ) g( ) d g( ) f ( ) d, f ( ) g( ) d g( ) f ( ) d g( ) g( ) f ( ) d. g ( ) f () g ( ) f ( ) d.,, 若 g 为 单 调 递 增 函 数, 只 须 令 h()=g()-g(), 并 由 定 理 9.11(ii) 和 (6), 同 样 可 证 得 (8) 式 成 立.

13 5 ( 二 ) 定 积 分 的 计 算 二 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法 对 原 函 数 的 存 在 性 有 了 正 确 的 认 识, 就 能 顺 利 地 把 不 定 积 分 的 换 元 积 分 法 和 分 部 积 分 法 移 植 到 定 积 分 计 算 中 来

14 定 理 9.1 ( 定 积 分 换 元 积 分 法 ) 若 函 数 f 在 [,] 上 连 续,, 且 满 足 ( ), ( ), ( t), t,, 定 积 分 换 元 公 式 : d F ( ( t )) F '( ( t )) '( t ) f ( ( t )) '( t ), dt f ( ) d f t ( t) dt. (9) 证 由 于 (9) 式 两 边 的 被 积 分 函 数 都 是 连 续 函 数, 因 此 它 们 的 原 函 数 都 存 在. 设 F 是 f 在 [,] 上 的 一 个 原 函 数, 由 复 合 函 数 微 分 法 可, 见 F( ( t)) 是 f ( ( t)) '( t) 的 一 个 原 函 数. 根 据 牛 顿 菜 布 尼 茨 公 式, 证 得 f ( ( t)) '( t) dt F ( ) F F( ) F( ) 在 上 连 续 可 微, 则 有 f ( ) d.

15 注 1 从 以 上 证 明 看 到, 在 用 换 元 法 计 算 定 积 分 时, 一 旦 得 到 了 用 新 变 量 表 示 的 原 函 数 后, 不 作 变 量 还 原, 而 只 要 用 新 的 积 分 限 代 入 并 求 其 差 值 就 可 以 了. 这 就 是 定 积 分 换 元 积 分 法 与 不 定 积 分 法 的 区 别. 这 一 区 别 的 原 因 在 于 不 定 积 分 所 求 的 是 被 积 函 数 的 原 函 数, 理 应 保 留 与 原 来 相 同 的 自 变 量 ; 而 定 积 分 的 算 结 果 是 一 确 定 的 数, 如 果 (9) 式 一 边 的 定 积 分 计 算 出 来 了, 那 么 另 一 边 的 定 积 分 自 然 也 求 得 了. 注 如 果 在 定 理 9.1 的 条 件 中 只 假 定 f 为 可 积 函 数, 但 还 要 求 是 单 调 的, 那 么 (9) 式 仍 然 成 立.( 本 节 习 题 第 14 题 )

16 例 1 计 算 1 1 d. 解 令 当 t由 变 到 时, 由 增 到 1, 故 取,,. 应 用 公 式 (9), 并 注 意 到 在 第 一 象 限 中 cost, 则 有 si cos cos d t tdt tdt (1 cos t) dt t si t. 4

17 例 计 算 si t cos tdt. 解 逆 向 使 用 公 式 (9), 令 cos t, 则 有 d si tdt, 当 t 由 变 到 时, 由 1减 到, 从 而 si cos 1 t tdt d 1 d 1. 3

18 例 3 解 1 l(1 ) 计 算 J d. 1 t t, 当 t从 变 到 时, 从 增 到 1. d 4 于 是 由 公 式 (9) 及. dt, 得 到 1 令 cos t si t J 4 l(1 t t) dt 4 l dt cos( t) cos t 4 l 4 cos t 4 l dt 4 l cos( t) dt 4 l cos tdt. 4 对 最 末 第 二 个 定 积 分 作 变 换 有 l cos( t) dt l cos ( d) l cos d, 它 与 上 面 第 三 个 定 积 分 相 消. 故 得 4 dt l dt l. 8

19 事 实 上, 例 3 中 的 被 积 函 数 的 原 函 数 虽 然 存 在, 但 难 以 用 初 等 函 数 来 表 示, 因 此 无 法 直 接 使 用 牛 顿 菜 布 尼 茨 公 式. 可 以 像 上 面 那 样, 利 用 定 积 分 性 质 和 换 元 公 式 (9), 消 去 了 其 中 无 法 求 出 原 函 数 的 部 分, 最 终 得 出 这 个 积 分 的 值. 换 元 积 分 法 还 可 用 来 证 明 一 些 特 殊 的 积 分 性 质, 如 本 节 习 题 中 的 第 5,6,7 等 题.

20 定 理 9.13 ( 定 积 分 分 部 积 分 法 ) 若 ( ), v( ) 为 [,] 上 的 连 续 可 微 函 数, 定 积 分 分 部 积 分 公 式 : 证 ( ) v( ) d ( ) v( ) ( ) v( ) d. v ' ' 因 为 是 v v 在 [,] 上 的 一 原 函 数, 所 以 有 ( ) v'( ) d '( ) v( ) d ( ) v'( ) '( ) v( ) d ( ) v( ). 移 项 后 即 为 (1) 式. 为 方 便 起 见, 公 式 (1) 允 许 写 成 ( ) dv( ) u( ) v( ) v( ) du( ). 则 有 (1)

21 例 4 解 例 5 解 计 算 e 1 l d. 1 1 e l d l d( ) ( l d) e 1 3 ( e ) (e 1) e e e 计 算 si d和 cos" d, 1,,. 当 时, 用 分 部 积 分 求 得 1 J si d si cos ( 1) si cos d ( 1) si d ( 1) si d ( 1) J ( 1) J.

22 移 项 整 理 后 得 到 递 推 公 式 : 由 于 t, 1 J J, J d, J 1 si d 1, 重 复 应 用 递 推 式 (11) 便 得 令 可 得 m 1 m 3 1 (m 1)!! J m. m m ( m)!! m m ( m)!! J m 1 1. m 1 m 1 3 (m 1)!! cos d cos ( t) dt si d. 因 而 这 两 个 定 积 分 是 等 值 的.

23 公 式 : 由 例 5 结 论 (1) 可 导 出 著 名 的 沃 利 斯 (Wllis) 事 实 上, 由 A m ( m)!! 1 lim. m (m 1)!! m 1 把 (1) 代 入, 得 到 由 此 又 得 m1 m m1 si d si d si d, ( m)!! (m 1)!! (m )!!, (m 1)!! ( m)!! (m 1)!! (13) ( m)!! 1 ( m)!! 1 (m 1)!! m 1 (m 1)!! m B m.

24 因 为 ( m)!! 1 1 Bm Am ( m ), (m 1)!! m(m 1) m 所 以 故 得 ( B A ), 而 A B A, lim m m m m m m lim m m A. ( 即 (13) 式 ). 沃 利 斯 公 式 (13) 揭 示 了 π 与 整 数 之 间 的 一 种 很 不 寻 常 的 关 系

25 三 泰 勒 公 式 的 积 分 型 余 项 若 在 [,] 上 u() v() 有 +1 阶 连 续 导 函 数, 则 有 ( 1) ( ) ( ) u v d u v u v u v ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) u ( ) v ( ) d ( 1,, ). (14) 这 是 推 广 的 分 部 积 分 公 式, 读 者 不 难 用 数 学 归 纳 法 加 以 证 明 下 面 应 用 公 式 (14) 导 出 泰 勒 公 式 的 积 分 型 余 项.

26 设 函 数 f 在 点 的 某 一 领 域 U( ) 内 有 +1 阶 连 续 导 函 数. 令 U( ), u( t) ( t), v( t) f ( t), t, ( 或, ), 利 用 (14) 式 得 ( 1) ( t) f ( t) dt ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) ( ) t f t t f t f t f t dt ( ) f ( )! f ( )! f ( ) f '( )( ) ( ) m!! R ( ) 这 就 是 泰 勒 公 式 的 积 分 型 余 项.

27 由 于 连 续 (-t), 在 [,]( [, ]) 上 保 持 同 号, 其 中 ( f 1) ( t) 因 此 由 推 广 的 积 分 第 一 中 值 定 理, 可 将 (15) 式 写 作 1 ( 1) R ( ) f ( ) ( t) dt! 1 ( 1)! f ( )( ), ( 1) 1 ( ), 1, 这 就 是 以 前 所 熟 悉 的 拉 格 朗 日 型 余 项. 如 果 直 接 用 积 分 第 一 中 值 定 理 于 (15), 则 得 1 ( 1) R ( ) f ( )( ) ( ),! ( ), 1.

28 注 由 于 因 此 又 进 一 步 把 公 式 (16) (17) 称 为 泰 勒 公 式 的 柯 西 型 余 项 各 种 形 式 的 泰 勒 公 式 余 项, 将 在 第 十 四 章 里 显 示 它 们 的 功 用. ( ) ( ) ( ) 1 (1 ) ( ), R ( ) 改 写 为 1 R f! 1 ( ) ( 1)( ( ))(1 ) ( ), 特 别 当 = 时 又 有 其 中 1. 1 R f! ( 1) 1 ( ) ( )(1 ), 1. (16) (17)

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