4. 计 算 积 分 : ż ż βi fdl = f(x(t), y(t), z(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt L i α i ż ż βi 或 者 在 二 维 情 形 中 fdl = f(x(t), y(t)) a x 1 (t) 2 +

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1 微 积 分 B2 曲 面 曲 线 积 分 小 结 马 晓 光 2014 年 5 月 15 日 1 第 一 型 曲 线 曲 面 积 分 这 一 部 分 的 积 分 区 域 是 没 有 定 向 的 解 题 的 关 键 是 计 算 长 度 微 元 dl 和 面 积 微 元 ds 1.1 第 一 型 曲 线 积 分 积 分 区 域 是 一 条 曲 线 L, 可 以 在 二 维 平 面 内, 也 可 以 在 三 维 平 面 内 我 们 假 设 L 是 逐 段 光 滑 的, 因 此 可 以 假 设 L = L 1 Y L 2 Y L n, 其 中 每 一 段 是 一 个 光 滑 曲 线 这 里 光 滑 是 指 我 们 可 以 找 到 一 个 参 数 t, 使 得 在 每 一 段 L i 上, 参 数 化 x = x(t), y = y(t), z = z(t) ( 或 者 在 二 维 情 形 中 x = x(t), y = y(t)) 是 光 滑 函 数 我 们 假 设 我 们 的 参 数 化 使 得 曲 线 有 处 处 非 零 的 切 向 量, 即 在 L i 上 对 任 意 的 t, x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 0 ( 或 者 在 二 维 情 形 中 x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 0) 被 积 对 象 是 一 个 函 数 f(x, y, z), 可 以 假 定 函 数 只 定 义 在 L 上 dl 是 长 度 微 元, 他 和 参 数 微 元 dt 的 关 系 是 dl = a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt( 或 者 在 二 维 情 形 中 dl = a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 )dt 计 算 方 法 : 1. 将 被 积 曲 线 分 割 为 若 干 光 滑 曲 线 L i ; 2. 在 每 一 段 L i 上 找 到 参 数 化, 同 时 找 到 参 数 的 范 围 t P [α i, β i ]; 3. 在 每 一 段 上 计 算 dl = a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt ( 或 者 在 二 维 情 形 中 dl = a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 )dt) 1

2 4. 计 算 积 分 : ż ż βi fdl = f(x(t), y(t), z(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt L i α i ż ż βi 或 者 在 二 维 情 形 中 fdl = f(x(t), y(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 dt L i 由 于 这 里 没 有 定 向 问 题, 因 此 1.2 第 一 型 曲 线 积 分 的 应 用 α i ş βi α i 始 终 是 β i ě α i, 这 与 后 面 第 二 型 曲 线 积 分 不 同 如 果 被 积 函 数 是 线 密 度 函 数, 则 第 一 型 曲 线 积 分 表 示 曲 线 的 质 量 1.3 第 一 型 曲 面 积 分 积 分 区 域 是 三 维 空 间 中 的 一 个 曲 面. 我 们 假 设 是 逐 片 光 滑 的, 因 此 可 以 假 设 = 1 Y 2 Y n, 其 中 每 一 片 i 是 一 个 光 滑 曲 面 这 里 光 滑 是 指 我 们 可 以 找 到 参 数 u, v, 使 得 在 每 一 片 i 上, 参 数 化 x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) 是 光 滑 函 数 被 积 对 象 是 一 个 函 数 f(x, y, z), 可 以 假 定 函 数 只 定 义 在 上 ds 是 面 积 微 元, 他 和 参 数 微 元 dudv 的 关 系 是 i j k ds = Bx(u,v) By(u,v) Bx(u,v) Bx By(u,v) dudv =? A 2 + B 2 + C 2 dudv, 其 中 A = det ( By(u,v) By(u,v) ), B = det ( Bx(u,v) Bx(u,v) ), C = det ( Bx(u,v) Bx(u,v) By(u,v) By(u,v) ) 对 于 某 些 曲 面, 我 们 可 以 取 特 殊 的 参 数 化 使 得 上 面 的 表 达 式 非 常 简 单 例 如 1. u = x, v = y 即 曲 面 是 x = x, y = y, z = z(x, y), 此 时 b ds = 1 + (zx) (zy) 1 2 dxdy, ( 大 家 可 以 自 己 计 算 一 下 曲 面 是 x = x(y, z), y = y, z = z 的 例 子 ) 2

3 2. 球 坐 标 :x = a cos θ sin ϕ, y = a sin θ sin ϕ, z = a cos ϕ, 计 算 方 法 : 1. 将 被 积 曲 面 分 割 为 若 干 光 滑 曲 面 i ; ds = a 2 sin ϕdθdϕ ( 见 课 本 p193 的 计 算 ) 2. 在 每 片 i 上 找 到 参 数 化, 同 时 找 到 参 数 的 范 围 u P [α 1 i, α 2 i ], u P [β 1 i, β 2 i ]; 3. 在 每 一 片 上 计 算 ds =? A 2 + B 2 + C 2 dudv 4. 计 算 积 分 : i fds = ż α 2 i α 1 i ż β 2 i β 1 i f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))? A 2 + B 2 + C 2 dudv 由 于 这 里 没 有 定 向 问 题, 因 此 不 同 ş α 2 i α 1 i 始 终 是 α 2 i ě α 1 i β k i 类 似 这 与 后 面 第 二 型 曲 面 积 分 1.4 第 一 型 曲 面 积 分 的 应 用 如 果 被 积 函 数 是 面 密 度 函 数, 则 第 一 型 曲 面 积 分 表 示 曲 面 的 质 量 第 一 型 曲 面 积 分 可 以 用 来 计 算 静 力 矩 :ρ(x, y, z) - 面 密 度 函 数 M xoy = zρ(x, y, z)ds, M yoz = xρ(x, y, z)ds, M zox = yρ(x, y, z)ds; 曲 面 总 质 量 是 M = ť ρ(x, y, z)ds; 曲 面 的 质 心 x = M yoz M, ȳ = M zox M, z = M xoy M 3

4 2 第 二 型 曲 线 曲 面 积 分 这 一 部 分 的 积 分 区 域 是 有 定 向 的 解 题 的 关 键 是 两 步 : 把 第 二 型 积 分 化 为 第 一 型 积 分 ; 计 算 第 一 型 积 分 2.1 曲 线 与 曲 面 的 定 向 曲 线 的 定 向 是 由 切 方 向 确 定 的 曲 线 上 任 何 一 点 的 切 线 给 出 了 两 个 方 向, 选 取 一 个 为 正 方 向, 则 给 整 条 曲 线 一 个 定 向 我 们 讨 论 的 都 是 空 间 中 的 简 单 曲 线, 也 就 是 不 自 交 求 曲 线 的 切 方 向 : 如 果 曲 线 由 参 数 给 出 :x = x(t), y = y(t), z = z(t) 1. 切 方 向 是 v = (x 1 (t), y 1 (t), z 1 (t)) 2. 注 意 v 不 是 单 位 向 量, 所 以 要 单 位 化 :ṽ = v v = 1?x 1 (t) 2 +y 1 (t) 2 +z 1 (t) 2 (x1 (t), y 1 (t), z 1 (t)) 3. 但 这 个 还 不 是 我 们 定 向 曲 线 的 单 位 切 方 向, 我 们 还 要 判 断 他 的 方 向 是 否 与 定 向 一 致, 相 同 则 τ = ṽ; 如 果 正 好 相 反 τ = ṽ 如 果 曲 线 由 两 个 曲 面 的 交 给 出 :F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 1. 切 方 向 是 两 个 曲 面 法 向 量 的 叉 积 :v = (F ) ˆ (G) 2. 注 意 v 不 是 单 位 向 量, 所 以 要 单 位 化 :ṽ = v v 3. 但 这 个 还 不 是 我 们 定 向 曲 线 的 单 位 切 方 向, 我 们 还 要 判 断 他 的 方 向 是 否 与 定 向 一 致, 相 同 则 τ = ṽ; 如 果 正 好 相 反 τ = ṽ 曲 面 的 定 向 是 由 法 方 向 给 的 在 任 意 一 点, 曲 面 的 法 线 给 出 了 两 个 方 向, 我 们 选 取 其 中 之 一 为 正 方 向 注 意, 我 们 还 要 求 这 个 选 定 的 正 法 向 量 沿 着 曲 面 上 任 意 闭 合 曲 线 走 一 圈 后 会 合 开 始 的 方 向 相 同 特 别 的, 我 们 有 不 可 定 向 曲 面! 求 曲 面 的 切 方 向 : 如 果 曲 面 由 方 程 给 出 :F (x, y, z) = 0 1. 切 方 向 是 v = (F ) = (F 1 x, F 1 y, F 1 z) 2. 注 意 v 不 是 单 位 向 量, 所 以 要 单 位 化 :ṽ = v =? 1 (F v (F 1 x ) 2 +(Fy 1 )2 +(F x, 1 Fy, 1 Fz) 1 z 1 )2 3. 但 这 个 还 不 是 我 们 定 向 曲 线 的 单 位 切 方 向, 我 们 还 要 判 断 他 的 方 向 是 否 与 定 向 一 致, 相 同 则 τ = ṽ; 如 果 正 好 相 反 τ = ṽ 如 果 曲 面 由 参 数 方 程 给 出 :x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) 1. 切 方 向 是 两 个 曲 面 法 向 量 的 叉 积 :v = (F ) ˆ (G) 4

5 2. 注 意 v 不 是 单 位 向 量, 所 以 要 单 位 化 :ṽ = v v 3. 但 这 个 还 不 是 我 们 定 向 曲 线 的 单 位 切 方 向, 我 们 还 要 判 断 他 的 方 向 是 否 与 定 向 一 致, 相 同 则 τ = ṽ; 如 果 正 好 相 反 τ = ṽ 曲 面 定 向 会 诱 导 边 界 定 向, 边 界 定 向 也 会 诱 导 曲 面 定 向 方 法 是 用 右 手 法 则 2.2 第 二 型 曲 线 积 分 积 分 区 域 是 一 条 有 向 曲 线 L, 可 以 在 二 维 平 面 内, 也 可 以 在 三 维 平 面 内 我 们 假 设 L 是 逐 段 光 滑 的, 因 此 可 以 假 设 L = L 1 Y L 2 Y L n, 其 中 每 一 段 是 一 个 光 滑 有 向 曲 线 这 里 光 滑 与 以 前 一 样 我 们 假 设 我 们 的 参 数 化 使 得 曲 线 有 处 处 非 零 的 切 向 量, 即 在 L i 上 对 任 意 的 t, x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 0 ( 或 者 在 二 维 情 形 中 x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 0) 注 意 选 取 参 数 化 时, 参 数 的 范 围 与 大 小 无 关, 只 与 曲 线 定 向 有 关 例 如 如 果 曲 线 是 从 A = (x(t), y(t), z(t))) 到 B = (x(s), y(s), z(s)), 则 参 数 积 分 时 是 从 t 积 到 s, 即 使 有 可 能 s ă t. 被 积 对 象 是 一 个 向 量 场 v(x, y, z), 可 以 假 定 只 定 义 在 L 上 dl 是 有 向 长 度 微 元, 他 和 普 通 长 度 微 元 dl 的 关 系 是 dl = τ dl, ( 其 中 τ 是 我 们 求 的 单 位 切 方 向, 与 定 向 有 关 ) 计 算 方 法 ( 一 般 ): 1. 将 被 积 曲 线 分 割 为 若 干 有 向 光 滑 曲 线 L i ; 2. 在 每 一 段 L i 上 找 到 参 数 化, 同 时 找 到 参 数 的 范 围 t:α i Ñ β i ; 3. 在 每 一 段 上 计 算 dl = τ dl 4. 计 算 积 分 : 这 是 一 个 第 一 型 曲 线 积 分 ż v dl = L i ż βi α i v τ dl ş βi 注 意 由 于 定 向, 因 此 α i 中 始 终 是 A = (x(α i ), y(α i ), z(α i ) 是 起 始 点,B = (x(β i ), y(β i ), z(β i ) 是 终 点 5

6 第 二 型 曲 线 积 分 的 微 分 形 式 表 达 : ż ż v dl = Xdx + Y dy + Zdz, L L 其 中 v = Xi + Y j + Zk 这 时 候 计 算 也 很 简 单, 将 x = x(t), y = y(t), z = z(t) 带 入 并 且 利 用 d(x(t)) = x 1 (t)dt 等, 即 可 转 化 为 t 的 积 分, 求 解 就 可 以 了 注 意 右 侧 的 表 达 式 里 面 体 现 了 方 向 性, 方 向 是 由 t 的 积 分 上 下 限 决 定 的 2.3 第 二 型 曲 线 积 分 的 应 用 力 做 功 问 题 2.4 第 二 型 曲 面 积 分 积 分 区 域 是 三 维 空 间 中 的 一 个 定 向 曲 面. 我 们 假 设 是 逐 片 光 滑 的, 因 此 可 以 假 设 = 1 Y 2 Y n, 其 中 每 一 片 i 是 一 个 光 滑 定 向 曲 面 被 积 对 象 是 一 个 向 量 场 v(x, y, z), 可 以 假 定 只 定 义 在 上 ds 是 有 向 面 积 微 元, 他 和 普 通 面 积 微 元 ds 的 关 系 是 ds = nds. 计 算 方 法 : 1. 将 被 积 曲 面 分 割 为 若 干 光 滑 定 向 曲 面 i ; 2. 在 每 片 i 上 计 算 单 位 正 法 向 量 n; 3. 在 每 一 片 上 计 算 v ds = v nds. 4. 计 算 第 一 型 曲 面 积 分 : i fds = i v nds 第 二 型 曲 面 积 分 的 微 分 形 式 表 达 : 利 用 正 法 向 量 的 几 何 意 义, 我 们 可 以 得 到 ( 假 设 v = Xi + Y j + Zk) v ds = v (cos α, cos β, cos γ)ds = X cos αds + Y cos βds + Z cos γds. 6

7 这 里 cos αds 的 绝 对 值 可 以 看 作 是 ds 在 y z 平 面 的 投 影, 即 dydz 但 他 有 方 向 性 ( 这 是 为 什 么 我 们 加 了 绝 对 值 ) 我 们 定 义 dy ^ dz 来 表 示 这 个 在 y z 平 面 的 有 向 投 影 类 似 的 我 们 可 以 定 义 dz ^ dx, dx ^ dy. 于 是 我 们 有 v ds = Xdy ^ dz + Y dz ^ dx + Zdx ^ dy 注 意, 在 计 算 中, 我 们 不 能 直 接 将 dx ^ dy 换 为 dxdy 计 算, 因 为 有 可 能 相 差 一 个 负 号 第 二 型 曲 面 积 分 的 微 分 形 式 表 达 的 计 算 : 计 算 这 个 形 式 的 积 分 有 下 面 三 种 方 法 ť 方 法 I: 从 表 达 式 Xdy ^ dz + Y dz ^ dx + Zdx ^ dy 中 读 出 v, 然 后 用 一 般 的 办 法 求 解 ( 参 见 例 ); 此 方 法 用 于 曲 面 有 简 单 的 参 数 化 可 以 利 用 这 个 方 法 是 最 基 础 的 方 法 ť 方 法 II: 将 积 分 Xdy^dz+Y dz^dx+zdx^dy ť 拆 成 三 个 积 分 Xdy^dz, ť Y dz^dx, ť ť Zdx ^ dy 分 别 用 方 法 I 计 算 这 时 候, 你 可 以 选 取 简 单 的 参 数 例 如 计 算 Xdy ^ dz 时 选 取 y, z 当 参 数 ( 作 业 11, 补 充 题 1 ) 方 法 III: 通 过 几 何 判 断 dy ^ dz 是 dydz 还 是 dydz 如 果 α 是 锐 角, 则 dy ^ dz = dydz, 否 则 dy ^ dz = dydz 类 似 的 可 以 判 断 其 余 两 项 则 积 分 直 接 变 成 在 投 影 区 域 上 的 积 分 P 就 是 是 利 用 这 个 方 法 在 那 个 例 题 中, 在 曲 面 上 任 意 一 点, 三 个 夹 角 显 然 都 是 锐 角, 所 以 都 取 +1 这 个 方 法 最 简 单, 但 需 要 曲 面 不 大, 从 而 在 每 点 处 正 法 向 量 的 夹 角 都 大 或 者 都 小 2.5 第 二 型 曲 面 积 分 的 应 用 物 理 学 中 通 量 的 概 念 总 结 : 积 分 的 计 算 步 如 下 分 割 曲 线 或 者 曲 面 Ñ 通 过 计 算 v τ 或 者 v n 化 为 第 一 型 积 分 Ñ 选 取 参 数 化 化 为 一 重 或 者 二 重 积 分 3 Green, tokes,gauss 3.1 Green 公 式 Green 公 式 的 基 本 要 求 是 :D 有 界 区 域,BD 逐 段 光 滑 曲 线, 而 且 有 定 向 课 本 中 对 定 向 有 要 求, 我 们 可 以 用 另 一 个 方 法 把 这 个 要 求 去 掉 X(x, y) 与 Y (x, y) 在 D 内 部 连 续 可 微 在 D = D Y BD 上 面 连 续 7

8 ű 我 们 引 入 记 号 : 封 闭 曲 线 上 的 积 分. BD Green 公 式 : BD Xdx + Y dy = ( BY Bx BX )dx ^ dy. By D 注 意, 上 面 的 式 子 中, 我 们 用 dx ^ dy 代 替 了 课 本 中 dxdy, 特 别 的, 两 侧 都 是 第 二 型 积 分 ( 课 本 中 右 侧 是 第 一 型 曲 面 积 分 ) 这 样 的 好 处 如 下 : 如 果 D 的 定 向 是 由 纸 面 向 外, 也 就 是 延 BD 走 的 时 候,D 总 在 左 侧, 这 时 候 可 以 计 算 dx ^ dy = +dxdy 于 是 我 们 得 到 的 是 课 本 上 的 公 式 假 如 定 向 相 反, 也 就 是 说 D 的 定 向 是 由 纸 面 向 内, 也 就 是 延 BD 走 的 时 候,D 总 在 右 侧, 这 时 候 可 以 计 算 dx ^ dy = dxdy 可 以 验 证 等 式 仍 然 成 立 ( 作 业 11, 补 充 题 1 ) 上 面 的 这 个 形 式 的 Green 公 式 可 以 从 tokes 公 式 得 到 Green 公 式 的 外 法 向 量 表 达 : 对 于 一 条 平 面 曲 线, 我 们 可 以 定 义 法 向 量, 按 定 义, 法 向 量 就 是 与 切 方 向 垂 直 的 方 向, 因 此 有 两 个 假 如 平 面 曲 线 是 某 个 区 域 的 边 界, 那 么 我 们 可 以 在 两 个 法 方 向 中 选 取 指 向 区 域 外 侧 的 方 向, 这 个 称 为 外 法 向 量 具 体 的, 单 位 外 法 向 量 n 可 以 这 样 取 得 :D 定 向 从 纸 面 向 外, 则 n 是 由 τ 逆 时 针 旋 转 90 度 得 到 ;D 定 向 从 纸 面 向 外, 则 n 是 由 τ 顺 时 针 旋 转 90 度 得 到 一 句 话, 方 向 是 指 向 区 域 外 侧 与 切 方 向 垂 直 Green 公 式 的 外 法 方 向 表 达 :n 是 单 位 外 法 向 量,v = Xi + Y j v ndl = ( BX Bx + BY )dx ^ dy. By BD D Green 公 式 的 应 用 : 计 算 第 二 型 曲 线 积 分 利 用 Green 公 式 可 以 把 一 些 第 二 型 曲 线 积 分 转 换 为 曲 面 积 分 3.2 tokes 公 式 tokes 公 式 是 Green 公 式 在 三 维 空 间 的 推 广 : 曲 线 B 是 三 维 空 间 中 的 曲 线, 不 一 定 是 平 面 曲 线 ; 曲 面 也 是 空 间 曲 面, 而 不 是 一 个 平 面 上 的 区 域 8

9 tokes 公 式 的 条 件 与 Green 公 式 类 似 tokes 公 式 : Xdx + Y dy + Zdz = B ( BZ By BY )dy ^ dz + (BX Bz Bz BZ Bx )dz ^ dx + (BY Bx BX By )dx^dy. 公 式 的 右 侧 是 一 个 第 二 型 曲 面 积 分, 是 第 二 型 曲 面 积 分 的 微 分 形 式 表 达 特 别 的 被 积 向 量 场 是 ( 这 里 记 v = Xi + Y j + Zk ) w = ( BZ By BY )i + (BX Bz Bz BZ )j + (BY Bx Bx BX )k = ˆ v = curlv = rotv. By 于 是 右 侧 可 以 表 示 为 wds = w nds = ( ˆ v) nds = (curlv) nds = (rotv) nds 当 曲 面 是 平 面 x y 中 的 曲 面 时,tokes 公 式 退 化 为 Green 公 式 ; tokes 公 式 揭 示 了 旋 度 的 物 理 含 义 :rotv 是 一 个 方 向, 使 得 向 量 场 v 环 绕 此 方 向 强 度 最 大 而 (rotv) n 表 示 向 量 场 v 的 平 均 环 流 量 3.3 Gauss 公 式 Gauss 公 式 是 对 Green 或 者 tokes 公 式 的 推 广, 被 积 对 象 曲 线 和 曲 面 换 为 曲 面 BΩ 和 体 Ω Gauss 公 式 的 条 件 和 Green 以 及 tokes 公 式 类 似 Gauss 公 式 : BΩ Xdy ^ dx + Y dz ^ dx + Zdx ^ dy = Ω ( BX Bx + BY By + BZ Bz )dv. 假 设 v = Xi + Y j + Zk 利 用 散 度 的 定 义, 我 们 有 divv = v = BX Bx + BY By + BZ Bz 于 是 Gauss 公 式 可 以 表 示 为 v ds = vdv = divvdv. BΩ Ω Ω Gauss 公 式 揭 示 了 散 度 的 物 理 含 义 :divv 表 示 流 量 密 度 9

d y dy P x Q x y 0. dx dx d d P x Q x C C 1y1 y dx dx d d P x Q x C 1y 1 dx dx d d P x Q x C y 0. dx dx d x 1dx F. ox1 dt dt d x1 1dx1 x 0 1 F 1 dt dt d x 1dx x 0 F dt dt d y 1dy y F 0 1 F1 y x1 x. dt

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