4. 计算积分 : ż ż βi fdl = f(x(t), y(t), z(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt L i α i ż ż βi 或者在二维情形中 fdl = f(x(t), y(t)) a x 1 (t) 2 +

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1 微积分 B2 曲面曲线积分小结马晓光 2014 年 5 月 15 日 1 第一型曲线曲面积分这一部分的积分区域是没有定向的解题的关键是计算长度微元 dl 和面积微元 ds 1.1 第一型曲线积分积分区域是一条曲线 L, 可以在二维平面内, 也可以在三维平面内我们假设 L 是逐段光滑的, 因此可以假设 L = L 1 Y L 2 Y L n, 其中每一段是一个光滑曲线这里光滑是指我们可以找到一个参数 t, 使得在每一段 L i 上, 参数化 x = x(t), y = y(t), z = z(t) ( 或者在二维情形中 x = x(t), y = y(t)) 是光滑函数我们假设我们的参数化使得曲线有处处非零的切向量, 即在 L i 上对任意的 t, x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 0 ( 或者在二维情形中 x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 0) 被积对象是一个函数 f(x, y, z), 可以假定函数只定义在 L 上 dl 是长度微元, 他和参数微元 dt 的关系是 dl = a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt( 或者在二维情形中 dl = a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 )dt 计算方法 : 1. 将被积曲线分割为若干光滑曲线 L i ; 2. 在每一段 L i 上找到参数化, 同时找到参数的范围 t P [α i, β i ]; 3. 在每一段上计算 dl = a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt ( 或者在二维情形中 dl = a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 )dt) 1

L i 上, 参数化 x = x(t), y = y(t), z = z(t) ( 或者在二维情形中 x = x(t), y = y(t)) 是光滑函数我们假设我们的参数化使得曲线有处处非零的切向量, 即在 L i 上对任意的 t, x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 0 ( 或者

2 4. 计算积分 : ż ż βi fdl = f(x(t), y(t), z(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt L i α i ż ż βi 或者在二维情形中 fdl = f(x(t), y(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 dt L i 由于这里没有定向问题, 因此 1.2 第一型曲线积分的应用 α i ş βi α i 始终是 β i ě α i, 这与后面第二型曲线积分不同如果被积函数是线密度函数, 则第一型曲线积分表示曲线的质量 1.3 第一型曲面积分积分区域是三维空间中的一个曲面. 我们假设是逐片光滑的, 因此可以假设 = 1 Y 2 Y n, 其中每一片 i 是一个光滑曲面这里光滑是指我们可以找到参数 u, v, 使得在每一片 i 上, 参数化 x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) 是光滑函数被积对象是一个函数 f(x, y, z), 可以假定函数只定义在上 ds 是面积微元, 他和参数微元 dudv 的关系是 i j k ds = Bx(u,v) By(u,v) Bx(u,v) Bx By(u,v) dudv =? A 2 + B 2 + C 2 dudv, 其中 A = det ( By(u,v) By(u,v) ), B = det ( Bx(u,v) Bx(u,v) ), C = det ( Bx(u,v) Bx(u,v) By(u,v) By(u,v) ) 对于某些曲面, 我们可以取特殊的参数化使得上面的表达式非常简单例如 1. u = x, v = y 即曲面是 x = x, y = y, z = z(x, y), 此时 b ds = 1 + (zx) (zy) 1 2 dxdy, ( 大家可以自己计算一下曲面是 x = x(y, z), y = y, z = z 的例子 ) 2

我们假设是逐片光滑的, 因此可以假设 = 1 Y 2 Y n, 其中每一片 i 是一个光滑曲面这里光滑是指我们可以找到参数 u, v, 使得在每一片 i 上, 参数化 x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) 是光滑函数被积对象是一个函数 f(x,

3 2. 球坐标 :x = a cos θ sin ϕ, y = a sin θ sin ϕ, z = a cos ϕ, 计算方法 : 1. 将被积曲面分割为若干光滑曲面 i ; ds = a 2 sin ϕdθdϕ ( 见课本 p193 的计算 ) 2. 在每片 i 上找到参数化, 同时找到参数的范围 u P [α 1 i, α 2 i ], u P [β 1 i, β 2 i ]; 3. 在每一片上计算 ds =? A 2 + B 2 + C 2 dudv 4. 计算积分 : i fds = ż α 2 i α 1 i ż β 2 i β 1 i f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))? A 2 + B 2 + C 2 dudv 由于这里没有定向问题, 因此不同 ş α 2 i α 1 i 始终是 α 2 i ě α 1 i β k i 类似这与后面第二型曲面积分 1.4 第一型曲面积分的应用如果被积函数是面密度函数, 则第一型曲面积分表示曲面的质量第一型曲面积分可以用来计算静力矩 :ρ(x, y, z) - 面密度函数 M xoy = zρ(x, y, z)ds, M yoz = xρ(x, y, z)ds, M zox = yρ(x, y, z)ds; 曲面总质量是 M = ť ρ(x, y, z)ds; 曲面的质心 x = M yoz M, ȳ = M zox M, z = M xoy M 3

计算积分 : i fds = ż α 2 i α 1 i ż β 2 i β 1 i f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))?

4 2 第二型曲线曲面积分这一部分的积分区域是有定向的解题的关键是两步 : 把第二型积分化为第一型积分 ; 计算第一型积分 2.1 曲线与曲面的定向曲线的定向是由切方向确定的曲线上任何一点的切线给出了两个方向, 选取一个为正方向, 则给整条曲线一个定向我们讨论的都是空间中的简单曲线, 也就是不自交求曲线的切方向 : 如果曲线由参数给出 :x = x(t), y = y(t), z = z(t) 1. 切方向是 v = (x 1 (t), y 1 (t), z 1 (t)) 2. 注意 v 不是单位向量, 所以要单位化 :ṽ = v v = 1?x 1 (t) 2 +y 1 (t) 2 +z 1 (t) 2 (x1 (t), y 1 (t), z 1 (t)) 3. 但这个还不是我们定向曲线的单位切方向, 我们还要判断他的方向是否与定向一致, 相同则 τ = ṽ; 如果正好相反 τ = ṽ 如果曲线由两个曲面的交给出 :F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 1. 切方向是两个曲面法向量的叉积 :v = (F ) ˆ (G) 2. 注意 v 不是单位向量, 所以要单位化 :ṽ = v v 3. 但这个还不是我们定向曲线的单位切方向, 我们还要判断他的方向是否与定向一致, 相同则 τ = ṽ; 如果正好相反 τ = ṽ 曲面的定向是由法方向给的在任意一点, 曲面的法线给出了两个方向, 我们选取其中之一为正方向注意, 我们还要求这个选定的正法向量沿着曲面上任意闭合曲线走一圈后会合开始的方向相同特别的, 我们有不可定向曲面! 求曲面的切方向 : 如果曲面由方程给出 :F (x, y, z) = 0 1. 切方向是 v = (F ) = (F 1 x, F 1 y, F 1 z) 2. 注意 v 不是单位向量, 所以要单位化 :ṽ = v =? 1 (F v (F 1 x ) 2 +(Fy 1 )2 +(F x, 1 Fy, 1 Fz) 1 z 1 )2 3. 但这个还不是我们定向曲线的单位切方向, 我们还要判断他的方向是否与定向一致, 相同则 τ = ṽ; 如果正好相反 τ = ṽ 如果曲面由参数方程给出 :x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) 1. 切方向是两个曲面法向量的叉积 :v = (F ) ˆ (G) 4

x(t), y = y(t), z = z(t) 1. 切方向是 v = (x 1 (t), y 1 (t), z 1 (t)) 2. 注意 v 不是单位向量, 所以要单位化 :ṽ = v v = 1?x 1 (t) 2 +y 1 (t) 2 +z 1 (t) 2 (x1 (t), y 1 (t), z 1 (t)) 3.

5 2. 注意 v 不是单位向量, 所以要单位化 :ṽ = v v 3. 但这个还不是我们定向曲线的单位切方向, 我们还要判断他的方向是否与定向一致, 相同则 τ = ṽ; 如果正好相反 τ = ṽ 曲面定向会诱导边界定向, 边界定向也会诱导曲面定向方法是用右手法则 2.2 第二型曲线积分积分区域是一条有向曲线 L, 可以在二维平面内, 也可以在三维平面内我们假设 L 是逐段光滑的, 因此可以假设 L = L 1 Y L 2 Y L n, 其中每一段是一个光滑有向曲线这里光滑与以前一样我们假设我们的参数化使得曲线有处处非零的切向量, 即在 L i 上对任意的 t, x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 0 ( 或者在二维情形中 x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 0) 注意选取参数化时, 参数的范围与大小无关, 只与曲线定向有关例如如果曲线是从 A = (x(t), y(t), z(t))) 到 B = (x(s), y(s), z(s)), 则参数积分时是从 t 积到 s, 即使有可能 s ă t. 被积对象是一个向量场 v(x, y, z), 可以假定只定义在 L 上 dl 是有向长度微元, 他和普通长度微元 dl 的关系是 dl = τ dl, ( 其中 τ 是我们求的单位切方向, 与定向有关 ) 计算方法 ( 一般 ): 1. 将被积曲线分割为若干有向光滑曲线 L i ; 2. 在每一段 L i 上找到参数化, 同时找到参数的范围 t:α i Ñ β i ; 3. 在每一段上计算 dl = τ dl 4. 计算积分 : 这是一个第一型曲线积分 ż v dl = L i ż βi α i v τ dl ş βi 注意由于定向, 因此 α i 中始终是 A = (x(α i ), y(α i ), z(α i ) 是起始点,B = (x(β i ), y(β i ), z(β i ) 是终点 5

2 第二型曲线积分积分区域是一条有向曲线 L, 可以在二维平面内, 也可以在三维平面内我们假设 L 是逐段光滑的, 因此可以假设 L = L 1 Y L 2 Y L n, 其中每一段是一个光滑有向曲线这里光滑与以前一样我们假设我们的参数化使

6 第二型曲线积分的微分形式表达 : ż ż v dl = Xdx + Y dy + Zdz, L L 其中 v = Xi + Y j + Zk 这时候计算也很简单, 将 x = x(t), y = y(t), z = z(t) 带入并且利用 d(x(t)) = x 1 (t)dt 等, 即可转化为 t 的积分, 求解就可以了注意右侧的表达式里面体现了方向性, 方向是由 t 的积分上下限决定的 2.3 第二型曲线积分的应用力做功问题 2.4 第二型曲面积分积分区域是三维空间中的一个定向曲面. 我们假设是逐片光滑的, 因此可以假设 = 1 Y 2 Y n, 其中每一片 i 是一个光滑定向曲面被积对象是一个向量场 v(x, y, z), 可以假定只定义在上 ds 是有向面积微元, 他和普通面积微元 ds 的关系是 ds = nds. 计算方法 : 1. 将被积曲面分割为若干光滑定向曲面 i ; 2. 在每片 i 上计算单位正法向量 n; 3. 在每一片上计算 v ds = v nds. 4. 计算第一型曲面积分 : i fds = i v nds 第二型曲面积分的微分形式表达 : 利用正法向量的几何意义, 我们可以得到 ( 假设 v = Xi + Y j + Zk) v ds = v (cos α, cos β, cos γ)ds = X cos αds + Y cos βds + Z cos γds. 6

我们假设是逐片光滑的, 因此可以假设 = 1 Y 2 Y n, 其中每一片 i 是一个光滑定向曲面被积对象是一个向量场 v(x, y, z), 可以假定只定义在上 ds 是有向面积微元, 他和普通面积微元 ds 的关系是 ds = nds. 计算方法 : 1.

7 这里 cos αds 的绝对值可以看作是 ds 在 y z 平面的投影, 即 dydz 但他有方向性 ( 这是为什么我们加了绝对值 ) 我们定义 dy ^ dz 来表示这个在 y z 平面的有向投影类似的我们可以定义 dz ^ dx, dx ^ dy. 于是我们有 v ds = Xdy ^ dz + Y dz ^ dx + Zdx ^ dy 注意, 在计算中, 我们不能直接将 dx ^ dy 换为 dxdy 计算, 因为有可能相差一个负号第二型曲面积分的微分形式表达的计算 : 计算这个形式的积分有下面三种方法 ť 方法 I: 从表达式 Xdy ^ dz + Y dz ^ dx + Zdx ^ dy 中读出 v, 然后用一般的办法求解 ( 参见例 ); 此方法用于曲面有简单的参数化可以利用这个方法是最基础的方法 ť 方法 II: 将积分 Xdy^dz+Y dz^dx+zdx^dy ť 拆成三个积分 Xdy^dz, ť Y dz^dx, ť ť Zdx ^ dy 分别用方法 I 计算这时候, 你可以选取简单的参数例如计算 Xdy ^ dz 时选取 y, z 当参数 ( 作业 11, 补充题 1 ) 方法 III: 通过几何判断 dy ^ dz 是 dydz 还是 dydz 如果 α 是锐角, 则 dy ^ dz = dydz, 否则 dy ^ dz = dydz 类似的可以判断其余两项则积分直接变成在投影区域上的积分 P 就是是利用这个方法在那个例题中, 在曲面上任意一点, 三个夹角显然都是锐角, 所以都取 +1 这个方法最简单, 但需要曲面不大, 从而在每点处正法向量的夹角都大或者都小 2.5 第二型曲面积分的应用物理学中通量的概念总结 : 积分的计算步如下分割曲线或者曲面 Ñ 通过计算 v τ 或者 v n 化为第一型积分 Ñ 选取参数化化为一重或者二重积分 3 Green, tokes,gauss 3.1 Green 公式 Green 公式的基本要求是 :D 有界区域,BD 逐段光滑曲线, 而且有定向课本中对定向有要求, 我们可以用另一个方法把这个要求去掉 X(x, y) 与 Y (x, y) 在 D 内部连续可微在 D = D Y BD 上面连续 7

表达式 Xdy ^ dz + Y dz ^ dx + Zdx ^ dy 中读出 v, 然后用一般的办法求解 ( 参见例 13.4.

8 ű 我们引入记号 : 封闭曲线上的积分. BD Green 公式 : BD Xdx + Y dy = ( BY Bx BX )dx ^ dy. By D 注意, 上面的式子中, 我们用 dx ^ dy 代替了课本中 dxdy, 特别的, 两侧都是第二型积分 ( 课本中右侧是第一型曲面积分 ) 这样的好处如下 : 如果 D 的定向是由纸面向外, 也就是延 BD 走的时候,D 总在左侧, 这时候可以计算 dx ^ dy = +dxdy 于是我们得到的是课本上的公式假如定向相反, 也就是说 D 的定向是由纸面向内, 也就是延 BD 走的时候,D 总在右侧, 这时候可以计算 dx ^ dy = dxdy 可以验证等式仍然成立 ( 作业 11, 补充题 1 ) 上面的这个形式的 Green 公式可以从 tokes 公式得到 Green 公式的外法向量表达 : 对于一条平面曲线, 我们可以定义法向量, 按定义, 法向量就是与切方向垂直的方向, 因此有两个假如平面曲线是某个区域的边界, 那么我们可以在两个法方向中选取指向区域外侧的方向, 这个称为外法向量具体的, 单位外法向量 n 可以这样取得 :D 定向从纸面向外, 则 n 是由 τ 逆时针旋转 90 度得到 ;D 定向从纸面向外, 则 n 是由 τ 顺时针旋转 90 度得到一句话, 方向是指向区域外侧与切方向垂直 Green 公式的外法方向表达 :n 是单位外法向量,v = Xi + Y j v ndl = ( BX Bx + BY )dx ^ dy. By BD D Green 公式的应用 : 计算第二型曲线积分利用 Green 公式可以把一些第二型曲线积分转换为曲面积分 3.2 tokes 公式 tokes 公式是 Green 公式在三维空间的推广 : 曲线 B 是三维空间中的曲线, 不一定是平面曲线 ; 曲面也是空间曲面, 而不是一个平面上的区域 8

dy = +dxdy 于是我们得到的是课本上的公式假如定向相反, 也就是说 D 的定向是由纸面向内, 也就是延 BD 走的时候,D 总在右侧, 这时候可以计算 dx ^ dy = dxdy 可以验证等式仍然成立 ( 作业 11, 补充题 1 ) 上面的这个形式的

9 tokes 公式的条件与 Green 公式类似 tokes 公式 : Xdx + Y dy + Zdz = B ( BZ By BY )dy ^ dz + (BX Bz Bz BZ Bx )dz ^ dx + (BY Bx BX By )dx^dy. 公式的右侧是一个第二型曲面积分, 是第二型曲面积分的微分形式表达特别的被积向量场是 ( 这里记 v = Xi + Y j + Zk ) w = ( BZ By BY )i + (BX Bz Bz BZ )j + (BY Bx Bx BX )k = ˆ v = curlv = rotv. By 于是右侧可以表示为 wds = w nds = ( ˆ v) nds = (curlv) nds = (rotv) nds 当曲面是平面 x y 中的曲面时,tokes 公式退化为 Green 公式 ; tokes 公式揭示了旋度的物理含义 :rotv 是一个方向, 使得向量场 v 环绕此方向强度最大而 (rotv) n 表示向量场 v 的平均环流量 3.3 Gauss 公式 Gauss 公式是对 Green 或者 tokes 公式的推广, 被积对象曲线和曲面换为曲面 BΩ 和体 Ω Gauss 公式的条件和 Green 以及 tokes 公式类似 Gauss 公式 : BΩ Xdy ^ dx + Y dz ^ dx + Zdx ^ dy = Ω ( BX Bx + BY By + BZ Bz )dv. 假设 v = Xi + Y j + Zk 利用散度的定义, 我们有 divv = v = BX Bx + BY By + BZ Bz 于是 Gauss 公式可以表示为 v ds = vdv = divvdv. BΩ Ω Ω Gauss 公式揭示了散度的物理含义 :divv 表示流量密度 9

By 于是右侧可以表示为 wds = w nds = ( ˆ v) nds = (curlv) nds = (rotv) nds 当曲面是平面 x y 中的曲面时,tokes 公式退化为 Green 公式 ; tokes 公式揭示了旋度的物理含义 :rotv 是一个方向, 使得向量场 v 环绕此方向强度

. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.

() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :

4. 计 算 积 分 : ż ż βi fdl = f(x(t), y(t), z(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt L i α i ż ż βi 或 者 在 二 维 情 形 中 fdl = f(x(t), y(t)) a x 1 (t) 2 +

4. 计算积分 : ż ż βi fdl = f(x(t), y(t), z(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt L i α i ż ż βi 或者在二维情形中 fdl = f(x(t), y(t)) a x 1 (t) 2 +