中 值 定 理 与 泰 勒 公 式 : 中 值 定 理 ; 不 定 式 的 定 值 法 ; 泰 勒 公 式 微 分 学 的 应 用 : 函 数 的 升 降 极 值 最 大 ( 小 ) 值 ; 凸 性 拐 点 渐 近 线 函 数 作 图 (1) 了 解 : 隐 函 数 和 参 数 方 程 表 示 的

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1 数 学 分 析 教 学 大 纲 程 编 号 :SC 程 名 称 : 数 学 分 析 英 文 名 称 :Mathematical Analysis 学 时 :260 学 分 :16 程 类 型 : 必 修 程 性 质 : 专 业 基 础 适 用 专 业 : 数 学 与 统 计 学 院 所 有 专 业 先 修 程 : 无 开 学 期 : 第 学 期 开 院 系 : 数 学 与 统 计 学 院 一 程 的 教 学 目 标 与 任 务 本 程 是 数 学 各 专 业 的 一 门 重 要 基 础 理 论 数 学 分 析 通 常 包 一 元 函 数 微 积 分 多 元 函 数 微 积 分 级 数 理 论 以 及 与 之 相 关 的 内 容 它 一 方 面 为 后 续 程 如 常 微 分 方 程 复 变 函 数 实 变 函 数 与 泛 函 分 析 概 率 论 普 通 物 理 理 论 力 学 等 基 础 以 及 有 关 选 修 提 供 所 需 的 数 学 理 论, 同 时 还 为 培 养 学 生 的 独 立 工 作 能 力 提 供 必 要 的 训 练 学 生 学 好 这 门 程 的 基 本 内 容 和 方 法, 对 今 后 的 学 习 研 究 和 应 用 具 有 奠 基 作 用 二 本 程 与 其 它 程 的 联 系 和 分 工 数 学 分 析 是 数 学 各 专 业 的 一 门 重 要 基 础 理 论, 它 为 后 续 程 提 供 必 需 的 数 学 理 论 基 础, 同 时 还 为 培 养 学 生 的 独 立 工 作 能 力 提 供 必 要 的 训 练 三 程 内 容 及 基 本 要 求 ( 一 ) 函 数 与 极 限 (38 学 时 ) 一 元 函 数 : 变 量 与 函 数, 反 函 数, 基 本 初 等 函 数, 复 合 函 数 数 列 的 极 限 : 数 列 极 限 的 概 念 (ε-n 定 义 ), 无 穷 小 量, 数 列 极 限 的 性 质 及 运 算, 单 调 有 数 列 必 有 极 限 ( 暂 不 证 明 ), 数 e, 无 穷 大 量 及 其 与 无 穷 小 量 的 关 系 函 数 的 极 限 : 函 数 极 限 的 概 念 (ε-δ 定 义 ), 性 质 及 运 算, 单 侧 极 限, 两 个 重 要 极 限, 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 阶 连 续 函 数 : 函 数 的 连 续 与 间 断 的 定 义 性 质 和 运 算, 复 合 函 数 的 连 续 性, 初 等 函 数 的 连 续 性, 间 断 点 的 判 定 (1) 了 解 : 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 阶 的 概 念 ; 无 穷 大 量 及 其 与 无 穷 小 量 的 关 系 ; 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 及 加 逼 准 则 ; 连 续 函 数 的 性 质 (2) 掌 握 : 函 数 的 概 念, 函 数 的 表 示 方 法 ; 数 列 极 限 的 概 念 (ε-n 定 义 ); 无 穷 小 量 ; 数 列 极 限 的 性 质 及 运 算 ; 函 数 极 限 的 概 念 (ε-δ 定 义 ) 性 质 及 运 算 ; 单 侧 极 限 ; 函 数 连 续 的 定 义 ; 连 续 函 数 的 性 质 及 运 算 ; 复 合 函 数 的 连 续 性 ; 初 等 函 数 的 连 续 性 ; 间 断 点 的 求 法 (3) 熟 练 掌 握 : 数 列 及 函 数 极 限 的 运 算 法 则 重 点 : 数 列 极 限 的 概 念 (ε-n 定 义 ); 函 数 极 限 的 概 念 (ε-δ 定 义 ); 极 限 的 性 质 及 运 算 ; 函 数 连 续 的 定 义 ; 连 续 函 数 的 性 质 及 运 算 ; 复 合 函 数 的 连 续 性 ; 初 等 函 数 的 连 续 性 难 点 : 求 极 限 的 方 法, 极 限 存 在 准 则 ( 二 ) 一 元 函 数 微 分 学 (30 学 时 ) 导 数 与 微 分 : 导 数 的 定 义 ; 初 等 函 数 的 导 数 ; 求 导 法 则 ; 微 分 ; 隐 函 数 和 参 数 方 程 表 示 的 函 数 的 微 分 法 ; 高 阶 导 数 与 高 阶 微 分 1

2 中 值 定 理 与 泰 勒 公 式 : 中 值 定 理 ; 不 定 式 的 定 值 法 ; 泰 勒 公 式 微 分 学 的 应 用 : 函 数 的 升 降 极 值 最 大 ( 小 ) 值 ; 凸 性 拐 点 渐 近 线 函 数 作 图 (1) 了 解 : 隐 函 数 和 参 数 方 程 表 示 的 函 数 的 微 分 法 ; 微 分 的 运 算 法 则 和 一 阶 微 分 形 式 的 不 变 性 ; 高 阶 导 数 与 高 阶 微 分 ; 柯 西 中 值 定 理 ; 泰 勒 公 式 ; 曲 线 的 凸 性 拐 点 渐 近 线 函 数 作 图 (2) 掌 握 : 导 数 的 定 义 ; 初 等 函 数 的 导 数 ; 求 导 法 则 ; 微 分 的 定 义 ; 罗 尔 及 拉 格 朗 日 中 值 定 理, 函 数 的 升 降 极 值 最 大 ( 小 ) 值 的 求 法 (3) 熟 练 掌 握 : 导 数 的 定 义 ; 初 等 函 数 的 导 数 ; 求 导 法 则 ; 函 数 的 极 值 最 大 ( 小 ) 值 的 求 法 重 点 : 导 数 的 定 义 ; 求 导 法 则 ; 中 值 定 理 ; 函 数 的 极 值 最 大 ( 小 ) 值 难 点 : 高 阶 导 数 与 高 阶 微 分 ; 中 值 定 理 ; 泰 勒 公 式 ( 三 ) 极 限 续 论 (16 学 时 ) 关 于 实 数 的 基 本 定 理 ; 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 基 本 性 质 的 证 明 (1) 了 解 : 实 数 集 上 下 确 界 的 定 义 ; 确 界 存 在 定 理 ; 有 限 覆 盖 定 理 ; 闭 区 间 套 定 理 ; 柯 西 收 敛 原 理 ; 一 致 连 续 性 定 理 (2) 掌 握 : 单 调 有 界 准 则 ; 致 密 性 定 理 ; 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 最 大 ( 小 ) 值 定 理 ; 介 值 定 理 (3) 熟 练 掌 握 : 单 调 有 界 准 则 ; 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 最 大 ( 小 ) 值 定 理 ; 介 值 定 理 3. 重 点 难 点 重 点 : 单 调 有 界 准 则 ; 致 密 性 定 理 ; 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 最 大 ( 小 ) 值 定 理 ; 介 值 定 理 难 点 : 有 限 覆 盖 定 理 ; 闭 区 间 套 定 理 ; 柯 西 收 敛 原 理 ; 一 致 连 续 性 定 理 ( 四 ) 一 元 函 数 积 分 学 (38 学 时 ) 不 定 积 分 : 不 定 积 分 的 概 念 运 算 基 本 积 分 公 式 ; 不 定 积 分 的 换 元 法 ; 不 定 积 分 的 分 部 法 ; 有 理 函 数 的 积 分 定 积 分 : 定 积 分 的 定 义 ; 基 本 性 质 ; 积 分 的 存 在 性 定 理 ; 定 积 分 基 本 定 理 ; 定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 法 定 积 分 的 应 用 : 面 积 体 积 曲 线 弧 长 及 简 单 的 物 理 应 用 (1) 了 解 : 不 定 积 分 的 概 念 ; 定 积 分 的 概 念 ; 性 质 ; 有 理 函 数 的 积 分 ; 定 积 分 的 存 在 性 定 理 (2) 掌 握 : 不 定 积 分 的 基 本 积 分 公 式 ; 不 定 积 分 的 换 元 法 及 分 部 法 ; 定 积 分 基 本 定 理 ; 定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 法 ; 平 面 图 形 的 面 积 ; 立 体 的 体 积 ; 曲 线 弧 长 及 简 单 的 物 理 应 用 (3) 熟 练 掌 握 : 不 定 积 分 的 换 元 法 及 分 部 法 ; 定 积 分 基 本 定 理 ; 定 积 分 的 分 部 法 和 换 元 法 ; 平 面 图 形 的 面 积 重 点 : 不 定 积 分 的 换 元 法 及 分 部 法 ; 定 积 分 基 本 定 理 ; 定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 法 难 点 : 不 定 积 分 的 换 元 法 ; 定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 法 ( 五 ) 级 数 论 (58 学 时 ) 数 项 级 数 : 上 极 限 与 下 极 限 ; 无 穷 级 数 的 概 念 及 其 收 敛 性 ; 收 敛 级 数 的 一 般 性 质 ; 正 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 ( 比 较 判 别 法, 柯 西 判 别 法, 达 朗 贝 尔 判 别 法, 积 分 判 别 法 ); 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 ; 任 意 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 ( 莱 布 尼 兹 判 别 法 阿 贝 尔 判 别 法 狄 利 克 雷 判 别 法 ); 2

3 绝 对 收 敛 级 数 的 性 质 广 义 积 分 : 无 穷 限 的 广 义 积 分 ; 无 界 函 数 的 广 义 积 分 ; 广 义 积 分 的 敛 散 性 判 别 法 函 数 项 级 数 : 一 致 收 敛 性 的 概 念 ; 一 致 收 敛 级 数 的 性 质 ( 和 函 数 的 连 续 性, 逐 项 求 导, 逐 项 积 分 ); 一 致 收 敛 判 别 法 (M- 判 别 法 阿 贝 尔 判 别 法 狄 利 克 雷 判 别 法 ); 绝 对 收 敛 级 数 的 性 质 ; 幂 级 数 的 收 敛 半 径 ; 幂 级 数 的 性 质 ; 求 幂 级 数 的 和 函 数 ; 求 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 ; 逼 近 定 理 傅 立 叶 级 数 : 三 角 函 数 系 的 正 交 性 ; 傅 立 叶 系 数 ; 傅 立 叶 级 数 ; 黎 曼 引 理 ; 收 敛 性 定 理 ; 正 弦 展 开 与 余 弦 展 开 ; 傅 立 叶 级 数 的 一 致 连 续 性 ; 傅 立 叶 级 数 的 复 数 形 式 ;Fourier 变 换 (1) 了 解 : 上 极 限 与 下 极 限 ; 收 敛 级 数 的 一 般 性 质 ; 任 意 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 ( 阿 贝 尔 判 别 法 狄 利 克 雷 判 别 法 ); 绝 对 收 敛 级 数 的 性 质 ; 广 义 积 分 的 敛 散 性 判 别 法 ; 一 致 收 敛 的 判 别 法 ( 阿 贝 尔 判 别 法 狄 利 克 雷 判 别 法 ); 黎 曼 引 理 ; 收 敛 性 定 理 ; 傅 立 叶 级 数 的 一 致 连 续 性 ; 傅 立 叶 级 数 的 复 数 形 式 ; 傅 立 叶 变 换 (2) 掌 握 : 正 项 级 数 的 收 敛 性 判 别 法 ( 比 较 判 别 法 柯 西 判 别 法 达 朗 贝 尔 判 别 法 积 分 判 别 法 ); 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 ; 任 意 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 ( 莱 布 尼 兹 判 别 法 ); 广 义 积 分 的 概 念, 一 致 收 敛 性 的 概 念 及 其 判 别 ; 一 致 收 敛 级 数 的 性 质 ( 和 函 数 的 连 续 性, 逐 项 求 导, 逐 项 积 分 ), 一 致 收 敛 的 判 别 法 (M- 判 别 法 ); 幂 级 数 的 收 敛 半 径 ; 幂 级 数 的 性 质 ; 求 幂 级 数 的 和 函 数 ; 求 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 ; 三 角 函 数 的 正 交 性 及 傅 立 叶 级 数 的 展 开 方 法 (3) 熟 练 掌 握 : 正 项 级 数 的 收 敛 性 判 别 法 ( 比 较 判 别 法 柯 西 判 别 法 达 朗 贝 尔 判 别 法 积 分 判 别 法 ); 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 ; 任 意 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 ( 莱 布 尼 兹 判 别 法 ); 傅 立 叶 级 数 的 展 开 方 法 重 点 : 正 项 级 数 的 收 敛 性 判 别 法 ; 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 ; 任 意 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 ; 一 致 收 敛 性 的 概 念 ; 一 致 收 敛 级 数 的 性 质 ; 幂 级 数 的 收 敛 半 径 ; 幂 级 数 的 性 质 ; 求 幂 级 数 的 和 函 数 ; 求 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 难 点 : 任 意 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 ( 阿 贝 尔 判 别 法 狄 利 克 雷 判 别 法 ); 广 义 积 分 的 敛 散 性 判 别 法 ;; 一 致 收 敛 的 判 别 法 ( 阿 贝 尔 判 别 法 狄 利 克 雷 判 别 法 ); 黎 曼 引 理 ; 收 敛 性 定 理 ; 傅 立 叶 级 数 的 一 致 连 续 性 ( 六 ) 多 元 函 数 的 微 分 学 (32 学 时 ) 极 限 和 连 续 : 平 面 点 集 ; 聚 点 原 理 ; 有 限 覆 盖 定 理 ; 多 元 函 数 的 极 限 ; 累 次 极 限 ; 连 续 函 数 ; 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 的 性 质 偏 导 数 与 全 微 分 : 偏 导 数 与 全 微 分 的 定 义 ; 可 微 与 可 导 可 微 与 连 续 的 关 系 ; 微 分 学 的 几 何 应 用 ; 高 阶 偏 导 数 ; 连 锁 规 则 ; 方 向 导 数 ; 梯 度 ; 泰 勒 公 式 极 值 : 极 值 与 条 件 极 值 隐 函 数 : 隐 函 数 的 存 在 性 定 理 ; 反 函 数 的 存 在 性 定 理 ; 隐 函 数 的 求 导 法 ; 雅 比 行 列 式 的 一 些 性 质 (1) 了 解 : 平 面 点 集 ; 聚 点 原 理 ; 多 元 函 数 的 极 限 ; 连 续 函 数 ; 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 的 性 质 ; 可 微 与 可 导 可 微 与 连 续 的 关 系 ; 方 向 导 数 ; 梯 度 ; 泰 勒 公 式 ; 隐 函 数 的 存 在 性 定 理 ; 反 函 数 的 存 在 性 定 理 ; 隐 函 数 的 求 导 法 ; 雅 比 行 列 式 的 一 些 性 质 (2) 掌 握 : 偏 导 数 与 全 微 分 的 定 义 ; 可 微 与 可 导 ; 可 微 与 连 续 的 关 系 ; 高 阶 偏 导 数 ; 连 锁 规 则 ; 微 分 学 的 几 何 应 用 ; 极 值 与 条 件 极 值 的 求 法 ; 隐 函 数 的 求 导 法 (3) 熟 练 掌 握 : 偏 导 数 与 全 微 分 的 定 义 ; 可 微 与 可 导 可 微 与 连 续 的 关 系 ; 高 阶 偏 导 数 ; 连 锁 规 则 3

4 重 点 : 偏 导 数 与 全 微 分 的 定 义 ; 高 阶 偏 导 数 ; 连 锁 规 则 ; 微 分 学 的 几 何 应 用 ; 极 值 与 条 件 极 值 的 求 法 难 点 : 可 微 与 可 导 可 微 与 连 续 的 关 系 ; 方 向 导 数 ; 梯 度 ; 泰 勒 公 式 ; 隐 函 数 的 存 在 性 定 理 ; 条 件 极 值 ( 七 ) 含 参 变 量 积 分 (8 学 时 ) 含 参 变 量 常 义 积 分 的 连 续 性 ; 积 分 号 下 求 导 数 ; 积 分 次 序 的 交 换 ; 含 参 变 量 反 常 积 分 的 一 致 收 敛 性 ; 一 致 收 敛 判 别 法 ; 含 参 变 量 一 致 收 敛 的 反 常 积 分 的 性 质 ; 欧 拉 积 分 (1) 了 解 : 含 参 变 量 反 常 积 分 的 一 致 收 敛 性 ; 一 致 收 敛 判 别 法 (2) 掌 握 : 参 变 量 常 义 积 分 的 连 续 性 ; 积 分 号 下 求 导 数 ; 积 分 次 序 的 交 换 (3) 熟 练 掌 握 : 积 分 号 下 求 导 数 ; 积 分 次 序 的 交 换 重 点 : 参 变 量 常 义 积 分 的 连 续 性 ; 积 分 号 下 求 导 数 ; 积 分 次 序 的 交 换 难 点 : 含 参 变 量 反 常 积 分 的 一 致 收 敛 性 ; 一 致 收 敛 判 别 法 ; 含 参 变 量 一 致 收 敛 的 反 常 积 分 的 性 质 ; 欧 拉 积 分 ( 八 ) 多 元 函 数 的 积 分 学 (40 学 时 ) 重 积 分 : 二 重 积 分 的 定 义 和 基 本 性 质 ; 可 积 的 充 要 条 件 ; 可 积 函 数 类 ; 化 二 重 积 分 为 累 次 积 分 ; 二 重 积 分 的 换 元 法 应 用 三 重 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 : 第 一 类 曲 线 积 分 ; 第 一 类 曲 面 积 分 ; 第 二 类 曲 线 积 分 ; 格 林 公 式 ; 保 守 场 与 力 函 数 ; 第 二 类 曲 面 积 分 ; 奥 高 公 式 ; 斯 托 克 斯 公 式 (1) 了 解 : 二 重 积 分 的 定 义 和 基 本 性 质 ; 可 积 的 充 要 条 件 ; 可 积 函 数 类 ; 二 重 积 分 的 应 用 ; 保 守 场 与 力 函 数 ; 斯 托 克 斯 公 式 (2) 掌 握 : 化 二 重 积 分 为 累 次 积 分 ; 二 重 积 分 的 换 元 法 ; 三 重 积 分 ; 三 重 积 分 的 换 元 法 ; 三 重 积 分 在 直 角 坐 标 柱 坐 标 球 坐 标 系 下 的 算 法 ; 第 一 类 曲 线 积 分 ; 第 一 类 曲 面 积 分 ; 第 二 类 曲 线 积 分 ; 第 二 类 曲 面 积 分 的 计 算 公 式 ; 格 林 公 式 ; 奥 高 公 式 (3) 熟 练 掌 握 : 化 二 重 积 分 为 累 次 积 分 ; 二 重 积 分 的 换 元 法 ; 三 重 积 分 在 直 角 柱 坐 标 球 坐 标 系 下 的 算 法 ; 格 林 公 式 ; 奥 高 公 式 重 点 : 化 二 重 积 分 为 累 次 积 分 ; 二 重 积 分 的 换 元 法 ; 三 重 积 分 在 直 角 坐 标 ; 柱 坐 标 球 坐 标 系 下 的 算 法 ; 第 一 类 曲 线 积 分 ; 第 一 类 曲 面 积 分 ; 第 二 类 曲 线 积 分 ; 第 二 类 曲 面 积 分 的 计 算 公 式 ; 格 林 公 式 ; 奥 高 公 式 难 点 : 二 重 积 分 的 换 元 法, 斯 托 克 斯 公 式 4

5 四. 教 学 安 排 及 方 式 总 学 时 260 学 时, 讲 202 学 时, 习 题 58 学 时 教 学 时 数 程 内 容 教 学 环 节 讲 实 验 习 题 函 数 与 极 限 一 元 函 数 微 分 学 极 限 续 论 一 元 函 数 积 分 学 级 数 论 多 元 函 数 的 微 分 学 含 参 变 量 积 分 多 元 函 数 积 分 学 讨 论 上 机 看 录 像 参 观 或 小 计 五 考 核 方 式 笔 试 ( 闭 卷 ), 其 中 平 时 及 期 中 占 20%, 期 末 占 80%. 六 推 荐 教 材 与 参 考 资 料 复 旦 大 学 编 数 学 分 析 高 等 教 育 出 版 社 华 东 师 范 大 学 数 学 系 编 数 学 分 析 高 等 教 育 出 版 社 常 庚 哲 史 济 怀 编 数 学 分 析 高 等 教 育 出 版 社 ( 执 笔 人 : 李 广 民 审 核 : 刘 三 阳 ) 2005 年 7 月 19 日 5

导 数 和 微 分 的 概 念 导 数 的 几 何 意 义 和 物 理 意 义 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系 平 面 曲 线 的 切 线 和 法 线 导 数 和 微 分 的 四 则 运 算 基 本 初 等 函 数 的 导 数 复 合 函 数 反 函 数 隐 函 数 以

导 数 和 微 分 的 概 念 导 数 的 几 何 意 义 和 物 理 意 义 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系 平 面 曲 线 的 切 线 和 法 线 导 数 和 微 分 的 四 则 运 算 基 本 初 等 函 数 的 导 数 复 合 函 数 反 函 数 隐 函 数 以 2015 年 考 研 数 学 二 考 试 大 纲 考 试 科 目 : 高 等 数 学 线 性 代 数 考 试 形 式 和 试 卷 结 构 一 试 卷 满 分 及 考 试 时 间 试 卷 满 分 为 150 分, 考 试 时 间 为 180 分 钟. 二 答 题 方 式 答 题 方 式 为 闭 卷 笔 试. 三 试 卷 内 容 结 构 高 等 教 学 约 78% 线 性 代 数 约 22% 四 试 卷

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