《微积分》教学大纲(上、下)

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1 微 积 分 教 学 大 纲 ( 上 下 ) 课 程 名 称 : 微 积 分 英 文 名 称 : calculus 学 分 : 6 总 学 时 :108 实 验 ( 上 机 ) 学 时 : 无 开 课 专 业 : 经 济 学 专 业 财 务 管 理 专 业 资 产 管 理 专 业 物 业 管 理 专 业 一 课 程 性 质 目 的 和 培 养 目 标 : 微 积 分 是 一 门 数 学 基 础 课 程, 它 的 主 要 内 容 包 括 函 数 极 限 连 续 导 数 与 微 分, 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用, 不 定 积 分, 定 积 分, 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用, 重 积 分, 无 穷 级, 数, 微 分 方 程 与 差 分 方 程 等 本 课 程 是 经 济 学 专 业 的 一 门 专 业 必 修 课 程 通 过 系 统 介 绍 微 积 分 的 基 本 内 容, 使 学 生 在 掌 握 微 积 分 的 基 本 知 识, 基 本 理 论 和 基 本 技 能 基 础 上, 提 高 抽 象 思 维, 逻 辑 推 理 与 运 算 的 能 力 和 自 学 能 力, 还 要 特 别 注 意 培 养 学 生 具 有 综 合 运 用 所 学 知 识 去 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 提 高 数 学 修 养 和 思 维 品 质, 为 学 习 相 关 的 后 续 课 程 准 备 必 要 的 数 学 知 识 二 预 修 课 程 : 高 中 数 学 三 课 程 内 容 和 建 议 学 时 分 配 :(120 学 时 含 108 课 时, 复 习 考 试 12 课 时 ) 章 节 内 容 学 时 第 一 章 函 数 与 极 限 18 课 时 第 一 节 函 数 1. 理 解 函 数 的 概 念 2. 理 解 函 数 奇 偶 性 单 调 性 周 期 性 有 界 性 3. 理 解 反 函 数 的 概 念 第 二 节 初 等 函 数 1. 熟 悉 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形 2. 理 解 复 合 函 数 3. 会 建 立 简 单 实 际 问 题 中 的 函 数 关 系 式 第 三 节 数 列 的 极 限 1. 理 解 数 列 极 限 的 概 念, 掌 握 极 限 四 则 运 算 法 2. 理 解 子 数 列 的 概 念, 掌 握 数 列 的 极 限 与 其 子 数 列 的 极 限 之 间 的 关 系 3. 理 解 极 限 的 唯 一 性 定 理.

2 4. 收 敛 数 列 的 有 界 性 定 理. 第 四 节 函 数 的 极 限 1. 自 变 量 趋 于 有 限 值 时 函 数 的 极 限 2. 自 变 量 趋 于 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 第 五 节 无 穷 小 与 无 穷 大 1. 理 解 无 穷 小 无 穷 大 2. 有 限 个 无 穷 小 量 的 和 为 无 穷 小 量. 3. 无 穷 小 量 与 有 界 函 数 的 积 为 无 穷 小 量. 4. 有 限 个 无 穷 小 量 的 积 为 无 穷 小 量 第 六 节 极 限 运 算 法 则 1. 掌 握 极 限 四 则 运 算 法 2. 掌 握 复 合 函 数 极 限 四 则 运 算 法 则 第 七 节 极 限 存 在 准 则 两 个 重 要 极 限 1. 理 解 极 限 存 在 的 夹 逼 准 则. 2. 了 解 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 的 原 理 3. 会 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限 第 八 节 无 穷 小 的 比 较 1. 理 解 无 穷 小 的 阶 的 概 念 2. 会 用 等 价 无 穷 小 求 极 限 第 九 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点 1. 理 解 函 数 在 一 点 连 续 和 在 一 个 区 间 上 连 续 的 概 念. 2. 了 解 间 断 点 的 概 念. 3. 会 判 别 间 断 点 的 类 型 第 十 节 连 续 函 数 的 运 算 与 初 等 函 数 的 连 续 性 1. 了 解 连 续 函 数 的 和 积 商 的 连 续 性. 2. 反 函 数 与 复 合 函 数 的 连 续 性 3. 了 解 初 等 函 数 的 连 续 性. 第 十 一 节 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 1. 了 解 最 大 最 小 值 定 理. 2. 了 解 介 值 定 理. 第 二 章 导 数 与 微 分 12 课 时 第 一 节 导 数 的 概 念 1. 理 解 导 数 的 概 念 2. 理 解 导 数 的 几 何 意 义 3. 理 解 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系

3 4. 会 用 导 数 描 述 一 些 物 理 量, 经 济 量. 第 二 节 函 数 的 和 差 积 商 的 求 导 法 则 1. 掌 握 导 数 的 四 则 运 算 法 则 第 三 节 反 函 数 的 导 数 复 合 函 数 的 求 导 法 则 1. 会 求 反 函 数 的 导 数 2. 掌 握 复 合 函 数 的 求 导 法 第 四 节 初 等 函 数 的 求 导 问 题 1. 掌 握 基 本 初 等 函 数 第 五 节 高 阶 导 数 1. 了 解 高 阶 导 数 的 概 念 2. 会 求 基 本 初 等 函 数 一 阶 二 阶 导 数 3. 会 求 几 个 基 本 初 等 函 数 n 阶 导 数 第 六 节 隐 函 数 和 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 导 数 1. 会 求 隐 函 数 的 导 数 2. 会 求 参 数 式 所 确 定 的 函 数 的 一 阶 二 阶 导 数 第 七 节 函 数 的 微 分 1. 理 解 微 分 的 概 念 2. 了 解 微 分 的 四 则 运 算 法 则 3. 了 解 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 第 八 节 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 1. 掌 握 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 12 课 时 第 一 节 中 值 定 理 1. 理 解 罗 尔 (Rolle) 定 理 2. 理 解 拉 格 朗 日 (Lagrange) 定 理 3. 了 解 柯 西 (Cauchy) 定 理 第 二 节 洛 必 达 法 则 1. 会 用 洛 必 达 (L Hospital) 法 则 求 不 定 式 的 极 限 第 三 节 泰 勒 公 式 1. 了 解 泰 勒 (Taylor) 定 理 2. 了 解 麦 克 劳 林 (Maclaurin) 公 式 第 四 节 函 数 的 单 调 性 1. 掌 握 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 第 五 节 函 数 的 极 值 及 其 求 法 1. 理 解 函 数 的 极 值 概 念

4 2. 掌 握 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 和 求 极 值 的 方 法 第 六 节 最 大 值 和 最 小 值 的 问 题 1. 会 求 最 大 值 和 最 小 值 2. 会 求 解 较 简 单 的 最 大 值 和 最 小 值 的 应 用 问 题 第 七 节 函 数 的 凹 凸 性 与 拐 点 1. 会 用 导 数 判 断 函 数 图 形 的 凹 凸 性 2. 会 求 拐 点 第 八 节 函 数 图 形 的 描 绘 1. 会 描 绘 函 数 的 图 形 ( 包 括 水 平 和 铅 直 渐 近 线 ) 第 九 节 变 化 率 及 相 对 变 化 率 在 经 济 中 的 应 用 1. 了 解 变 化 率 及 相 对 变 化 率 在 经 济 中 的 应 用 ( 边 际 分 析 与 弹 性 分 析 ) 第 四 章 不 定 积 分 12 课 时 第 一 节 不 定 积 分 的 概 念 及 性 质 1. 理 解 原 函 数 与 不 定 积 分 的 概 念 及 性 质 2. 掌 握 不 定 积 分 的 基 本 公 式 第 二 节 换 元 积 分 法 1. 掌 握 不 定 积 分 的 换 元 法 第 三 节 分 部 积 分 法 1. 掌 握 不 定 积 分 的 分 部 积 分 法 第 四 节 几 种 特 殊 类 型 函 数 的 积 分 1. 会 求 简 单 的 有 理 函 数 及 三 角 函 数 有 理 式 的 积 分 第 五 章 定 积 分 12 课 时 第 一 节 定 积 分 概 念 1. 理 解 定 积 分 的 概 念 第 二 节 定 积 分 的 性 质 和 中 值 定 理 1. 理 解 定 积 分 的 性 质 2. 理 解 定 积 分 的 中 值 定 理 第 三 节 微 积 分 的 基 本 公 式 1. 理 解 变 上 限 函 数 的 求 导 2. 掌 握 牛 顿 (Newton) 莱 布 尼 兹 (Leibniz) 公 式 第 四 节 定 积 分 的 换 元 法 1. 掌 握 定 积 分 的 换 元 积 分 法 第 五 节 定 积 分 的 分 部 积 分 法 1. 掌 握 定 积 分 的 分 部 积 分 法

5 第 七 节 广 义 积 分 1. 了 解 广 义 积 分 的 概 念 2. 了 解 广 义 积 分 的 换 元 法 3. 了 解 广 义 积 分 的 分 步 积 分 法 第 六 章 定 积 分 的 应 用 3 课 时 第 二 节 平 面 图 形 的 面 积 1. 掌 握 用 定 积 分 计 算 平 面 图 形 的 面 积 第 三 节 体 积 1. 掌 握 旋 转 体 体 积 的 计 算 第 八 章 多 元 函 数 微 分 学 法 及 其 应 用 12 课 时 第 一 节 多 元 函 数 的 基 本 概 念 1. 理 解 多 元 函 数 的 概 念 2. 了 解 二 元 函 数 的 极 限 的 概 念 3. 了 解 二 元 函 数 连 续 性 的 概 念 4. 了 解 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质 第 二 节 偏 导 数 1. 理 解 偏 导 数 的 概 念 2. 掌 握 偏 导 数 的 计 算 3. 掌 握 高 阶 偏 导 数 的 计 算 第 三 节 全 微 分 及 其 应 用 1. 理 解 全 微 分 的 概 念 2. 了 解 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 和 充 分 条 件 3. 了 解 一 阶 全 微 分 形 式 的 不 变 性 第 四 节 多 元 复 合 函 数 求 导 法 则 1. 掌 握 复 合 函 数 一 阶 偏 导 数 的 求 法 2. 会 求 复 合 函 数 的 二 阶 偏 导 数 第 五 节 隐 函 数 的 求 导 公 式 会 求 隐 函 数 ( 包 括 由 两 个 方 程 组 成 的 方 程 组 确 定 的 隐 函 数 ) 的 偏 导 数 第 八 节 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 1. 理 解 多 元 函 数 极 值 与 条 件 极 值 的 概 念 2. 会 求 多 元 函 数 的 极 值 3. 了 解 求 条 件 极 值 的 拉 格 朗 日 乘 数 法 4. 会 求 解 一 些 较 简 单 的 最 大 值 和 最 小 值 的 应 用 问 题 第 九 章 重 积 分 6 课 时 第 一 节 二 重 积 分 的 概 念 及 性 质

6 1. 理 解 二 重 积 分 的 概 念 及 性 质 第 二 节 二 重 积 分 的 计 算 法 1. 掌 握 二 重 积 分 的 计 算 方 法 ( 直 角 坐 标 极 坐 标 ) 第 十 一 章 无 穷 级 数 9 课 时 第 一 节 常 数 项 级 数 的 概 念 和 性 质 1. 理 解 无 穷 级 数 收 敛 发 散 以 及 和 函 数 的 概 念 2. 熟 悉 无 穷 级 数 基 本 性 质 及 收 敛 的 必 要 条 件 3. 掌 握 几 何 级 数 和 p-- 级 数 的 收 敛 性 第 二 节 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 1. 了 解 正 项 级 数 的 比 较 审 敛 法 2. 掌 握 正 项 级 数 的 比 值 审 敛 法 3. 了 解 交 错 级 数 的 莱 布 尼 兹 定 理 4. 了 解 无 穷 级 数 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 的 概 念 以 及 绝 对 收 敛 与 收 敛 的 关 系 第 三 节 幂 级 数 1. 了 解 函 数 项 级 数 的 收 敛 域 的 概 念 及 和 函 数 2. 掌 握 比 较 简 单 的 幂 级 数 收 敛 域 的 求 法 3. 了 解 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 基 本 性 质 第 四 节 函 数 展 开 成 幂 级 数 1. 了 解 函 数 展 开 为 泰 勒 级 数 的 充 分 必 要 条 件 x 2. 会 利 用 e sin x cos x ln(1 + x) 和 ( 1+ x) α 的 马 克 劳 林 (Maclaurin) 展 开 式 将 一 些 简 单 的 函 数 间 接 展 开 成 幂 级 数 第 十 二 章 常 微 分 方 程 12 课 时 第 一 节 微 分 方 程 的 基 本 概 念 1. 了 解 微 分 方 程 解 阶 通 解 初 始 条 件 和 特 解 等 概 念 第 二 节 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 1. 掌 握 变 量 可 分 离 的 方 程 第 三 节 齐 次 方 程 1. 会 解 齐 次 方 程 第 四 节 一 阶 线 性 微 分 方 程 1. 掌 握 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 解 法 2. 会 解 伯 努 利 (Bernoulli) 方 程 第 七 节 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程 ( ) 1. 会 用 降 阶 法 解 下 列 方 程 : y n = f ( x ), y '' = f ( x, y' ), y '' = f ( y, y')

7 第 九 节 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 1. 了 解 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法 第 十 节 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 1. 了 解 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法 第 十 一 节 差 分 方 程 初 步 1. 了 解 差 分 差 分 方 程 的 概 念 2. 会 解 一 阶 常 系 数 线 性 差 分 方 程 四 教 材 和 参 考 书 目 : 教 材 : 高 等 数 学 ( 第 四 版 ) 上 下 册, 同 济 大 学 应 用 数 学 系 主 编, 高 等 教 育 出 版 社 参 考 书 目 : 1. 微 积 分 赵 树 嫄 主 编, 中 国 人 民 大 学 出 版 社 2. 数 学 分 析 上 下 册, 复 旦 大 学 陈 传 璋 等 编, 高 等 教 育 出 版 社 3. 考 研 数 学 常 考 知 识 点 ( 经 济 类 ) 严 守 权 主 编, 中 国 人 民 大 学 出 版 社 4. 高 等 数 学 教 与 学 参 考 阎 国 辉 主 编, 西 北 工 业 大 学 出 版 五 课 外 学 习 要 求 : 课 前 预 习, 课 后 复 习, 并 做 适 量 的 习 题, 阅 读 相 关 参 考 资 料 六 考 核 方 式 : 1. 平 时 成 绩 30 分 2. 期 末 闭 卷 考 试 70 分 七 其 他 说 明 : (1) 教 学 大 纲 为 本 课 程 教 学 主 体 框 架, 但 不 排 斥 教 师 在 教 学 过 程 中 作 适 当 的 增 删 (2) 考 试 的 主 要 内 容 为 教 材 中 重 要 的 基 本 原 理 和 基 本 概 念, 但 亦 会 少 量 涉 及 到 布 置 的 参 考 资 料 内 容 编 写 者 : 张 芝 华 ( 任 课 教 师 ) 审 定 者 : 沈 品 发 ( 专 业 负 责 人 ) 上 海 师 范 大 学 商 学 院 专 业 建 设 与 教 学 指 导 委 员 会

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