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伐支
7 years ago
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1 011 第期獨家發行數學專刊有 Fu feelig 的歸納法與遞迴教學以河內塔大象尺與九連環等Puzzle遊戲為例台北市立麗山高級中學彭良禎老師一前言長久以來數學歸納法一直是臺灣高中生認識數學證明的重要課題之一雖然國中基測與高中學測兩大升學考試的題型皆已改為選擇題或選填題的模式呈現但高中數學在歷經九五暫綱與九八課綱兩波課程系統大翻修之後數學歸納法依舊是屹立不搖足見其舉足輕重的地位反倒是遞迴單元的出現與消失有了較為戲劇性的變化九年一貫之後因為國中數學的等比數列與等比級數單元被挪到高一課程因此在九五暫綱裡高中數學新增了遞迴關係但其定位卻有意擺脫遞迴數列的窠臼而被刻意安排在高二數學的排列組合章節之後該單元的教學內容雖涉及複雜的二階遞迴關係但因為被數甲與數乙定位為一顆星的單元即老師要教學生該學而大考並不青睞的單元所以第一線的教師並未因為如此的調整而感受到太大的教學與備課壓力如今在最新的九八課綱中有關遞迴的內容又從排列組合處消聲匿跡悄悄地回歸到數列與級數的懷抱

九年一貫之後因為國中數學的等比數列與等比級數單元被挪到高一課程因此在九五暫綱裡高中數學新增了遞迴關係但其定位卻有意擺脫遞迴數列的窠臼而被刻意安排在高二數學的排列組合章節之後該單元的教學內容雖涉及複雜的二階遞迴關係

2 二教學單元本文介紹的趣味教案設計起源於十幾年前筆者替遠哲科學教育基金會冬夏令營研發規劃學校學不到的的課程教學後來雖因故不曾在該基金會的數學發現之旅活動中上場但已陸陸續續在全臺多所國高中的數學資優營或教師研習活動中操作分享且經歷過多次的增修與調整本教案曾於去年 010 參加國立臺灣大學師資培育中心所舉辦的第三屆臺大 Super 教案獎有幸榮獲教師組佳作今在此分享筆者實際教學的心得與經驗期能拋磚引玉增添大家課堂教學的創意與新意 99 學年度下學期的高中數學教師可搭配以下單元安插並改良本教學設計一高一九八課綱數列與級數發現數列的規律性由具體實例讓學生從前項推測下一項並歸納出遞迴關係或公式再以數學歸納法加以證明核心的公式不含一階遞迴不等式與二階遞迴關係只處 a+1=ra 即等比數列 a+1=a+ 即等差級數或理諸如 a+1=a+d 即等差數列 a+1=(+1)a 等一階線性遞迴關係二階等差數列 a+1=a+ 即三階等差數列二高二九五暫綱排列組合遞迴關係以 a=αa-1+ƒ() 及 a=βa-1+γa- 的形式為主其中 α β γ 為常數 f 是次數小於的多項式三藝數 Fu 手玩一河內塔準備數組河內塔益智玩具或上網下載電玩遊戲從初階操作到進階的紙筆探索與引導約需一小時的教學時間建議杕介紹河內塔遊戲時一般都會伴隨著一個引人入勝的印度古老神廟裡和尚搬塔的傳說此一虛擬情境雖有助於柔化數學學習的歷程但在數學教學的最後當學生得知該傳說好人上天堂壞人下地獄的結局約需 5840 億年共 64 1 秒才可能達成時這堂課卻變成是一種教壞小孩的負面教育因為我們的地球誕生至今也才不過 46 億年左右結論反變成好人不上天堂壞人不下地獄故宜謹慎處理如南一版本寫成世界末日

理諸如 a+1=a+d 即等差數列 a+1=(+1)a 等一階線性遞迴關係二階等差數列 a+1=a+ 即三階等差數列二高二九五暫綱排列組合遞迴關係以 a=αa-1+ƒ() 及 a=βa-1+γa- 的形式為主其中 α β γ 為常數 f 是次數小於的多項式三藝數 Fu 手玩一河內塔準備數組河內塔益智玩具或上網下載電玩遊戲從初階操作到進階的紙筆探索與引導

3 杌杈杝 5 OK S S 1 =1 S = S =7 S 4 =15 S 5 =1 S 6 =6 S 7 =17 S +1 =S +1 杍 S +1 =S +1 S +1 +1= S +1 S = 1 1 ( 1) S ( 1) ( ) 1 ( 1 ) ( ) S

4 二大象尺兩人一支或一人一支大象尺益智玩具或至教育部高中數學學科中心網站從電子報第 0 期下載電玩遊戲與操作教學影片網址 tw/resources/epaper/ 僅初階操作即可進階的規律探索留待九連環上手之後一節課的教學操作時間綽綽有餘若是連堂運作可集合過關者提早解說九連環少數學生將可成為下一節課的得力助教規則杕配合電玩的方向先將大象從左至右編號大象必須移至轉彎處才能轉彎且大象只能轉彎朝上或朝左即出口方向杌 1 號大象可隨時自由地移至轉彎處轉彎杈 k 號大象要能轉彎朝上或朝左的充要條件有二坽 k-1 號大象必須朝上夌 1 號號號 k- 號大象必須全部朝左號象要轉彎朝上的條件號象要轉彎朝左的條件說明杕目前臺灣有出版社代理專售大象尺益智玩具因價格不斐一般學校或專案活動無此大筆經費採購故推廣不易第一代的產品大象大象扭出來設計有大象模型圖中方便操作者判定大象的方向且有貼心的後門設計萬一臨時不玩或無充足時間還原時大象可直接從後門推出並歸零第二代的產品扭轉脫逃較為大型圖上仍有後門但卻少了大象此為一大敗筆因為初玩者易將向左轉錯轉為向右轉會造成條件看似正確但卻轉不動的意外筆者手邊購得的萬年教具則是早期臺灣市面上販售的玩具尺圖下因無後門設計故教師需花費較多的時間善後杌九五暫綱將遞迴關係納入排列組合單元時臺大數學系張鎮華教授與交大應數系傅恆霖教授曾指導高中數學學科中心資訊組的教師群產出並分享豐富的遞迴教案設計與遞迴教學模組其中建國中學的翁福永老師特別指導該校楊涵傑同學設計出大象轉彎 Flash 程式互動遊戲約 840KB 且可自行調整大象的數量二至十隻此遊戲除了闖關挑戰之外還貼心地替老師們設計有教學解說功能與自動播放功能的選項唯一的小小缺點就是當滑鼠移至轉彎處時不論條件是否吻合轉彎處 4

號大象要能轉彎朝上或朝左的充要條件有二坽 k-1 號大象必須朝上夌 1 號號號 k- 號大象必須全部朝左 1 4 5 4 號象要轉彎朝上的條件 1 4 5 5 號象要轉彎朝左的條件說明杕目前臺灣有出版社代理專售大象尺益智玩具因價格不斐一般學校或專案活動無此大筆經費採購故推廣不易第一代的產品大象大象扭出來設計有大象模型圖中方便操作者判定大象的方向且有貼心的後門

5 數學專刊仍會顯示轉彎的圖像以至於少數自行摸索此電玩遊戲的學生常常會誤以為是電腦當機而減損其挑戰興致杈大象尺的操作是筆者後來新增的教學設計引進電玩遊戲的替代方案雖有其缺點但因破解手法與九連環一致故仍非常適合作為認識九連環的熱身操作學生剛開始把玩時多半需要一直反覆思考所謂的轉彎條件但玩到後來不少學生都能很快演化成機械式的反射動作甚至曾有學生掌握到不須思考的破解規律上演盲解的快速過關法當然也會有學生因為是這輩子頭一次密集地推論與思考導致用腦過度而當機好不容易七隻大象轉出來時已變得無心也無力還原三九連環準備兩人一組或一人一組九連環益智玩具目前尚未發現相關的電玩遊戲全班從五環至七環的初階操作到進階的規律賞析至少需一小時的教學時間九環的挑戰則可留作功課下次全班 PK 的目標規則杕仿大象尺電玩方位將鐵環從左至右編號鐵環必須移至出口處弓的前端才能從弓的中央空隙取下或裝上杌 1 號鐵環可隨時自由地移至出口處取下或裝上杈 k 號鐵環要能取下或裝上的充要條件有二坽 k-1 號鐵環必須掛在弓上夌 1 號號號 k- 號鐵環必須全部取下說明杕筆者認知破解九連環的規則與大象尺相同曾見識過成功高中游經祥老師於數資營傳達不同的操作手法簡言之就是要不斷地創造出如同泝號環與沴號環的結構關係如此便可輕易地取下位在沴號環位置的鐵環不過不論是哪一種理解模式要將鐵環順利地從弓中穿越藉以取下或裝上的操作機制卻是一大門檻學生最常見的求救狀況就是未通過弓的中央空隙而將鐵環直接從外側掛在弓上或是將鐵環直接推出弓 5

時的教學時間九環的挑戰則可留作功課下次全班 PK 的目標規則杕仿大象尺電玩方位將鐵環從左至右編號鐵環必須移至出口處弓的前端才能從弓的中央空隙取下或裝上杌 1 號鐵環可隨時自由地移至出口處取下或裝上杈 k 號鐵環要能取下或裝上的充要條件有二坽 k-1 號鐵環必須掛在弓上夌 1 號號號 k- 號鐵環必須全部取下說明

6 泝沴杌杈 D D 1 1 D D 1 D +1 1 D +1 D + (-1) D 1 =1 D = D =5 D 4 =10 D 5 =1 D 6 =4 D 7 =85 U 1 =1 U = U =5 U 4 =10 U 5 =1 U 6 =4 U 7 =85 泝沴 D 1 D 1 1 Puzzle 6

7 數學專刊利用飯匙衣架鞋帶製成的九連環換湯不換藥的四連環與五連環四後記依數學歸納法可知當 N 時原式成立筆者於高一學習數學歸納法時印象最深刻的就是每次在證明流程的最後階段數學老師都會帶領大家脫口而出的經典結語依數學歸納法可知當屬於正整數時原式成立當時只夢想著若能將這句例行公事的術語每次都以剪下貼上的方式處理那該有多好當 =1 時先驗證原式一定成立然後假設 =k 時原式會成立最後想辦法利用已知條件來拼湊出當 =k 1 時原式也會成立在數學系大一的數論課程裡第一次從幾個經典的數學歸納法悖論認識到還有所謂的第二數學歸納法時筆者對於上述數學歸納法千篇一律的證明框架才有了較深一層的體會然而在教學碩士班的教學反芻過程中卻又被教授當頭棒喝地提醒我們在課堂上教授數學歸納法時習慣只將重點放在已知的數學等式要如何證明而忘了在原式是如何從觀察歸納到猜想的過程中著墨以至於下述的數學課堂情景會不斷地歷史重演數學老師明明是在教數學歸納法結果卻是百分之百地利用演繹法來證明當 =k 1 時原式會成立過程中全然不見歸納的影子筆者教書之後才有機會第一次把玩到九連環當時尚不知如何解析其結構即已被其緊密的推論規律深深著迷嚴格說來九連環的操作過程雖無關乎歸納法但卻是筆者這輩子頭一次強烈地感受到從 =1 牽扯到 = 再牽扯到 = =4... 依此骨牌規律推ㄉㄠ ˇ 的經典設計要形容九連環這個數學味極其濃厚的古童玩相信非環環相扣莫屬而因為心靈的觸動所以引發教學的行動不也是如此環環相扣嗎在正常的教學進度下教師不易挪出節課來操作本教案設計但可規劃成課外的數學社團或營隊課程或是善用諸如段考後畢旅前校慶前等一些青黃不接的時段為之 7

習慣只將重點放在已知的數學等式要如何證明而忘了在原式是如何從觀察歸納到猜想的過程中著墨以至於下述的數學課堂情景會不斷地歷史重演數學老師明明是在教數學歸納法結果卻是百分之百地利用演繹法來證明當 =k 1 時原式會成立過程中全然不見歸納的影子筆者教書之後才有機會第一次把玩到九連環當時尚不知如何解析其結構即已被其緊密的推論規律深深著迷嚴格說來

8 數學專刊備註在九八課綱的細則說明裡希望教師能引領學生歸納出的基本求和公式有三則 k 1 Σ Σ Σ k(k+1) 第一則是基本的等差級數求和公式但國中小已學過梯形面 k 積法公式而第三則的計算題與變化國中生早已算過遍故皆過了最佳的歸納學習時機 (+1)(+1) 的結論 6 至於第二則的結構過於複雜如何期待學生能歸納出筆者以為 k ( ) ( Σ Σk) 應是學生陌生卻又適宜歸納的較佳例子五參考資料 ᨧ 教育部 98 普通高級中學課程數學科綱課程綱要專刊台北教育部高中數學學科中心 010 ᨨ 俞崇恩張衛著千變萬化的九連環台北九章出版社 004 ᨩ 吳鶴齡編著七巧板九連環和華容道中國古典智力遊戲三絕北京科學出版社 004 頁 14~186 ᨪ 楊壬孝主編高級中學數學四教師手冊台北全華圖書 008 頁 164~168 誠摯邀請老師分享您精闢的見解及投稿投稿請寄 we04@chwa.com.tw 您的稿件企劃部將視情況刪修修改後會寄給您過目您同意後才會刊登投稿作品視同授權本刊書面及電子版刊載作品一經刊登將依字數致贈稿酬來稿請勿侵害他人著作權如有引文請註明參考資料來源來稿請附作者資料姓名任教學校聯絡電話地址電子郵件信箱如有任何疑問歡迎您或來電詢問楊先生本公司已盡力處理刊物中圖文的著作權事宜倘有疏漏惠請著作權人能與本公司聯繫僅此致謝總公司北區高中營業處中區高中營業處南區高中營業處地址新北市土城區忠義路 1 號地址臺中市南區樹義一巷 6 號樓地址高雄市三民區應安街 1 號電話電話電話傳真傳真傳真

全華圖書 008 頁 164~168 誠摯邀請老師分享您精闢的見解及投稿投稿請寄 we04@chwa.com.

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<A5FEB5D8BCC6BEC7B14DA55A2D DB2C43131B4C12E696E6464> 2015 第11 期獨家發行數學專刊科能能力力測驗測驗 104 年學科數學考科趨勢分析程昱揚老師一前言學科能力測驗以下簡稱學測的旨意從 83 年以測驗考生是否具有接受大學教育的初衷經過 95 課綱課程內容的變化調整到 99 課綱或稱 101 年課綱等都是各大學校系初步篩選學生的門檻就數學科而言其測驗的目標已經從測驗考生是否有能力進入大學之門接受教育