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1 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 95 教 育 研 究 集 刊 第 五 十 一 輯 第 一 期 2005 年 3 月 頁 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 黃 國 勳 劉 祥 通 摘 要 針 對 兒 童 因 數 概 念 的 學 習 困 難, 研 究 者 分 別 設 計 了 二 個 不 同 功 能 的 因 數 教 學 活 動, 這 二 個 教 學 活 動 從 撲 克 牌 遊 戲 改 造 而 來 其 中 因 數 K 吉 棒 於 大 班 的 課 室 進 行 教 學, 試 圖 強 化 與 檢 驗 學 生 的 因 數 概 念 ; 因 數 對 對 碰 則 進 行 小 組 的 補 救 教 學, 用 以 強 化 因 數 配 對 的 隱 藏 性 知 識 本 研 究 透 過 合 作 行 動 研 究 的 方 式, 由 第 一 研 究 者 結 合 一 位 數 學 教 育 學 者 和 一 位 合 作 教 師 組 成 研 究 小 組, 實 際 進 入 教 學 現 場, 透 過 不 斷 的 討 論 反 省 和 辯 證, 以 探 討 教 學 方 案 的 實 踐 效 果 研 究 發 現, 教 學 活 動 可 使 學 童 的 數 學 知 識 與 生 活 經 驗 產 生 連 結, 幫 助 多 數 學 童 強 化 因 數 的 概 念, 並 檢 驗 因 數 概 念 的 理 解 此 外, 透 過 佈 題 活 動, 學 童 從 具 體 的 活 動 反 思 得 到 抽 象 的 因 數 概 念, 整 合 了 因 數 的 相 關 概 念, 促 進 了 學 童 較 深 度 的 數 學 思 考, 並 引 發 生 產 性 的 解 題 策 略 關 鍵 詞 : 創 意 教 學 因 數 遊 戲 活 動 黃 國 勳, 嘉 義 縣 南 新 國 小 教 師 劉 祥 通, 國 立 嘉 義 大 學 數 學 教 育 研 究 所 副 教 授 電 子 郵 件 為 投 稿 日 期 :2004 年 9 月 6 日 ; 修 正 日 期 :2004 年 11 月 12 日 ; 採 用 日 期 :2005 年 1 月 7 日

2 96 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 Bulletin of Educational Research March, 2005, Vol. 51 No. 1 pp OUsing Poker Games in Math as a Creative Means of Teaching Factors: An Action Research Approach Kuo-Hsun Huang Shiang-Tung Liu Abstract In this cooperative-action research project, the authors developed two instructional activities using poker games with modified playing rules in order to help students learn the mathematical concept of factors. The first activity, integrated into regular math lessons, attempts to test and enhance students understanding of factors. The second activity, employed in remedial lessons, intends to develop the students implicit knowledge of factors. The authors, working with an elementary school teacher, observed two classes of fifth graders, one regular class and one remedial class, as they used the poker-game activities. This research team discussed and reflected on what they had observed in the classroom in order to evaluate the effectiveness of the students math learning. The results indicate that the newly-designed activities may: (1) help students relate math knowledge to their daily life experience; (2)increase students understanding of factors; (3)provoke students to derive more abstract math concepts; (4)assist students in assimilating related math concepts. In sum, given the students

3 黃 Kuo-Hsun 國 勳 劉 Huang, 祥 通 Shiang-Tung Liu 撲 克 牌 融 入 因 數 教 Using 學 之 創 Poker 意 教 Games 學 行 動 in 研 Math 究 97 natural desire to compete and win their poker games, these activities motivate them to develop a deeper capacity for mathematical thinking and to formulate productive strategies for problem solving. Keywords: creative instruction, factors, poker games, math instruction Kuo-Hsun Huang, Teacher, Nan-Shin Elementary School, Chiayi, Taiwan Shiang-Tung Liu, Associate Professor, The Graduate Institute of Mathematics Education, National Chiayi University Manuscript received: Sep. 6, 2004; Modified: Nov. 12, 2004; Accepted: Jan. 7, 2005

4 98 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 壹 緒 言 在 當 前 全 球 強 調 知 識 經 濟 極 重 視 創 意 的 時 代 潮 流 中, 我 國 推 行 的 九 年 一 貫 課 程 也 順 應 此 趨 勢, 強 調 創 新 教 學 的 精 神, 鼓 勵 教 師 發 展 創 意 教 學, 來 完 成 課 程 改 革 的 理 想 和 培 養 優 質 的 下 一 代, 以 提 昇 國 家 競 爭 力 所 謂 創 意 教 學 是 指 教 師 於 教 學 過 程 中, 能 夠 採 用 多 元 活 潑 的 教 學 方 式 和 多 樣 豐 富 的 教 學 內 容, 激 發 學 生 內 在 的 學 習 興 趣, 以 培 養 學 生 樂 於 學 習 的 態 度 和 提 昇 學 習 的 能 力 ( 吳 清 山,2002) 換 言 之, 也 就 是 教 師 在 教 學 過 程 中 能 活 化 教 材 活 潑 教 學 實 施 創 意 教 學 的 方 式 有 很 多, 例 如 : 運 用 資 訊 科 技 融 入 教 學 使 用 多 元 評 量 的 方 式, 或 融 合 遊 戲 的 教 學 活 動 等 其 中, 在 兒 童 日 常 生 活 的 遊 戲 中, 都 隱 含 著 許 多 的 數 學 概 念 ( 蔡 文 煥 林 碧 珍,1998a;Haigh, 1999), 也 能 引 起 學 童 的 學 習 興 趣, 營 造 輕 鬆 活 潑 的 學 習 氣 氛, 因 此 將 遊 戲 融 入 教 學 成 了 創 意 教 學 常 見 的 方 式 之 一 Sobel 與 Maletsky (1988) 認 為 數 學 遊 戲 (mathematical games) 是 絕 佳 的 教 材 來 源, 如 果 有 效 多 元 地 運 用, 它 們 不 單 可 以 激 起 學 生 興 趣 的 娛 樂 設 計, 也 是 發 展 某 些 基 本 數 學 概 念 和 技 巧 的 有 效 方 法 以 常 見 的 撲 克 牌 遊 戲 而 言, 就 可 以 協 助 教 師 營 造 一 個 有 趣 豐 富 的 課 室 情 境, 也 能 透 過 非 例 行 性 的 活 動 發 展 最 佳 策 略, 並 引 導 學 童 建 立 機 率 和 統 計 等 概 念 (Everitt, 1999; Haigh, 1999) 蔡 文 煥 (2000) 的 研 究 指 出 : 撿 紅 點 遊 戲 有 助 於 學 童 湊 十 策 略 的 應 用, 同 時 可 增 進 學 童 在 校 內 之 數 學 學 習 成 就, 提 昇 解 決 校 外 工 作 問 題 之 能 力 教 導 學 童 理 解 因 數 概 念, 一 直 是 研 究 者 甚 感 困 擾 的 單 元 之 一 相 關 的 研 究 ( 林 珮 如,2002; 陳 清 義,1995; 陳 標 松,2003; 蕭 金 土,1995) 指 出 : 學 童 在 學 習 因 數 時 存 有 若 干 迷 思 概 念, 無 法 理 解 因 數 概 念, 以 致 產 生 學 習 上 的 瓶 頸 研 究 者 ( 黃 國 勳 劉 祥 通,2003) 從 教 學 的 實 務 經 驗 和 診 斷 學 童 因 數 教 材 迷 思 概 念 的 實 例 中, 亦 發 現 部 分 五 年 級 學 童 學 習 因 數 教 材 時, 可 能 在 認 知 運 思 能 力 先 備 知 識 生 活 經 驗 語 意 理 解 和 過 程 概 念 (pro-cept) 等 五 個 層 面, 產 生 學 習 困 難 的 現 象 綜 合 認 知 運 思 能 力 語 意 理 解 和 生 活 經 驗 三 個 面 向 來 說, 因 數 概 念 是 由 整 除 定 義 而 來, 屬 於 二 階 層 的 抽 象 概 念, 況 且 定 義 因 數 時 被 誰 整 除 或 整 除 誰 的 語 意, 不 僅 產 生 語 意 理 解 的 困 擾, 因 倍 數 之 間 的 相 對 關 係 也 容 易 產 生 混 淆 此 外,

5 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 99 在 學 生 的 生 活 經 驗 中, 也 缺 乏 與 因 數 概 念 結 合 的 活 動 對 學 童 而 言, 它 只 是 一 個 獨 立 於 生 活 之 外 的 數 學 名 詞, 比 較 難 透 過 具 體 的 活 動 讓 學 生 真 正 理 解 因 數 的 意 義 從 先 備 知 識 和 過 程 概 念 二 個 面 向 來 說, 學 童 在 整 數 除 法 的 運 算 上 有 較 多 的 困 難 ( 陳 博 文,1996), 而 找 因 數 的 運 算 歷 程 其 實 就 是 乘 除 法 的 計 算, 因 此, 要 窮 盡 所 有 的 因 數, 對 乘 除 法 計 算 能 力 不 足 的 學 童 而 言, 確 實 是 一 個 艱 苦 的 歷 程 尤 其 對 於 比 較 大 的 數 字, 往 往 會 遺 漏 較 大 的 因 數 這 個 現 象 若 以 Gray 與 Tall (1993) 提 出 的 過 程 概 念 來 看, 因 數 是 經 由 倍 數 除 以 因 數 的 過 程, 再 經 整 除 的 確 認 而 得 此 種 概 念 含 有 隱 藏 的 知 識 (tacit knowledge), 但 往 往 在 教 學 中 未 被 凸 顯 ( 朱 建 正,1997) 舉 例 來 說,54 能 被 3 整 除, 得 到 商 數 是 18,3 是 54 的 因 數,18 也 是 54 的 因 數, 因 此, 因 數 是 以 配 對 的 方 式 出 現 但 是,18 和 54 的 因 倍 數 關 係 是 隱 藏 的, 往 往 未 被 學 生 注 意, 所 以 在 找 尋 因 數 時 無 法 以 配 對 的 方 式 ( 整 除 同 時 找 到 二 個 因 數 ) 來 節 省 計 算 的 過 程, 造 成 繁 複 的 解 題 歷 程, 甚 至 在 找 尋 因 數 時 有 所 遺 漏 找 到 了 較 小 的 因 數 3, 卻 漏 掉 了 較 大 的 因 數 18 研 究 者 基 於 解 決 教 學 實 務 的 問 題 和 呼 應 創 新 教 學 的 精 神, 乃 於 2001 年 先 發 展 小 學 因 數 教 學 模 組, 並 進 行 大 班 課 室 教 學, 試 圖 取 代 教 科 書 上 因 數 教 學 活 動 的 內 容 之 後, 於 2003 年 再 發 展 因 數 配 對 教 學 模 組 來 進 行 小 組 補 救 教 學, 希 望 幫 助 程 度 較 差 的 學 童 建 立 因 數 配 對 出 現 的 概 念 ( 黃 國 勳,2003) 其 中, 因 數 K 吉 棒 和 因 數 對 對 碰 教 學 設 計 都 是 改 造 自 學 童 熟 悉 的 撲 克 牌 遊 戲, 目 的 是 希 望 藉 此 摒 除 紙 筆 測 驗 枯 燥 與 壓 迫 的 情 境, 使 學 童 在 遊 戲 中 進 行 因 數 概 念 的 練 習 與 評 量, 以 達 到 寓 評 量 於 遊 戲 的 境 地, 並 且 幫 助 學 童 發 展 因 數 基 本 概 念 和 獲 得 因 數 配 對 的 隱 藏 性 知 識, 以 建 立 更 周 延 的 因 數 概 念 總 結 言 之, 研 究 者 基 於 學 童 因 數 概 念 學 習 遭 遇 的 困 境, 又 受 創 新 教 學 之 鼓 勵, 乃 前 後 發 展 了 二 個 教 學 方 案, 以 協 助 學 童 突 破 因 數 學 習 的 困 難 這 二 個 經 由 改 造 的 撲 克 牌 遊 戲 融 入 教 學 活 動 並 經 課 室 實 踐 後, 學 生 在 教 學 實 踐 過 程 中 的 學 習 表 現 如 何? 二 個 教 學 活 動 在 教 學 中 發 揮 何 種 功 能? 此 即 為 本 研 究 所 要 探 究 的 主 要 議 題

6 100 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 一 研 究 方 法 與 流 程 貳 研 究 方 法 與 步 驟 合 作 行 動 研 究 最 能 幫 助 研 究 者 與 教 育 實 務 工 作 者 投 身 於 教 育 現 象 本 質 的 解 析, 並 且 能 具 體 有 效 的 發 揮 將 教 育 理 論 應 用 於 實 際 假 實 際 經 驗 修 正 理 論 的 功 能 ( 甄 曉 蘭,1995) 因 此, 本 研 究 採 用 合 作 行 動 研 究 的 方 式, 由 研 究 者 結 合 數 學 教 育 師 資 培 育 者 及 基 層 教 師 組 成 研 究 小 組, 探 討 研 究 者 自 行 設 計 的 教 學 活 動 在 教 室 實 際 情 境 中 的 可 行 性 及 效 果 希 望 經 由 不 斷 討 論 辯 證 省 思 與 修 正 的 過 程, 發 展 適 切 可 行 的 方 案, 以 改 善 學 生 因 數 概 念 的 學 習 研 究 架 構 如 圖 1 發 現 因 數 概 念 學 習 困 難 : 未 建 立 因 數 配 對 概 念 辯 證 設 計 創 意 教 學 方 案 成 立 研 究 小 組 實 踐 教 學 方 案 方 案 執 行 修 正 與 評 估 合 作 行 動 循 環 歷 程 改 善 學 習 效 果 增 進 因 數 與 因 數 對 偶 概 念 反 省 教 學 方 案 並 提 出 適 切 建 議 方 案 省 思 圖 1 研 究 架 構 圖 依 此 架 構, 研 究 者 從 多 年 的 教 學 經 驗 與 文 獻 的 探 討 中, 發 現 學 童 對 因 數 概 念 的 學 習 頗 感 困 擾, 繼 之 又 發 現 學 童 未 建 立 因 數 配 對 的 概 念, 因 此 分 別 設 計 了 創 意 的 教 學 方 案, 試 圖 改 善 學 童 因 數 概 念 的 學 習 情 形 在 尋 得 研 究 夥 伴 之 後, 便 組 成 研 究 小 組 進 行 合 作 行 動 研 究 在 研 究 歷 程 中, 小 組 成 員 不 斷 省 思 與 辯 證, 以 進 行 方 案 的 修 正 評 估, 同 時 確 認 教 學 方 案 的 實 踐 效 果, 最 後 反 省 批 判 方 案 的 設 計 與 實 踐 情 形, 並 提 出 適 切 可 行 的 建 議 方 案

7 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 101 本 研 究 二 個 教 學 活 動 分 別 是 因 數 K 吉 棒 和 因 數 對 對 碰, 它 們 都 是 研 究 者 所 發 展 的 小 學 高 年 級 因 數 教 學 模 組 ( 黃 國 勳,2003) 中 的 活 動 因 數 K 吉 棒 活 動 於 2001 年 9 月 進 行 大 班 的 課 室 教 學, 實 施 流 程 是 先 由 合 作 教 師 在 其 任 教 班 級 進 行 前 導 教 學, 教 學 活 動 結 束 後, 研 究 小 組 依 據 上 課 的 觀 察 記 錄 錄 音 與 錄 影 的 資 料 和 深 度 訪 談 資 料, 針 對 教 學 情 況 進 行 省 思 及 辯 證, 反 省 改 進 之 處 與 評 估 方 案 的 效 果, 並 共 同 協 商 出 修 正 方 案 研 究 者 依 據 新 修 訂 的 內 容 回 到 任 教 的 班 級 執 行 修 正 方 案 同 樣 的, 研 究 小 組 再 進 行 方 案 的 修 正 與 評 估, 最 後 確 認 本 教 學 方 案 的 實 踐 效 果, 並 提 出 適 切 可 行 的 建 議 方 案 因 數 對 對 碰 活 動 於 2003 年 5 月 進 行 小 組 補 救 教 學, 實 踐 的 過 程 是 由 研 究 者 擔 任 教 學 者, 在 教 學 活 動 結 束 後, 研 究 小 組 依 據 上 課 的 觀 察 記 錄 錄 音 與 錄 影 的 資 料 和 深 度 訪 談 資 料, 進 行 省 思 及 辯 證 反 省 教 學 活 動 的 效 果 和 需 要 改 進 的 地 方, 共 同 協 商 出 新 的 解 決 方 案, 並 以 學 生 的 學 習 效 果 為 重 心, 評 估 教 學 活 動 的 可 行 性 二 參 與 學 生 參 與 因 數 K 吉 棒 教 學 活 動 的 學 生, 分 別 是 黃 老 師 ( 第 一 研 究 者 ) 和 吳 老 師 ( 合 作 教 師 ) 所 任 教 的 五 年 級 學 生, 他 們 經 過 等 質 編 班 (S 型 編 班 法 ), 程 度 應 大 致 相 近 因 數 教 材 對 他 們 而 言, 是 屬 於 新 接 觸 的 數 學 概 念, 也 由 於 選 用 不 同 版 本 的 教 科 書, 以 致 課 程 銜 接 出 現 落 差, 他 們 在 整 數 除 法 的 計 算 或 概 念 理 解 上 尚 未 完 全 建 立, 所 以 求 因 數 的 計 算 練 習 對 程 度 較 差 的 學 生 來 說, 可 能 較 為 困 難, 對 因 數 概 念 的 理 解, 則 可 能 更 感 困 惑 參 與 因 數 對 對 碰 活 動 補 救 教 學 的 學 生, 是 原 參 與 黃 老 師 因 數 K 吉 棒 活 動 的 學 生, 此 教 學 活 動 實 施 時 他 們 已 升 上 六 年 級, 與 黃 老 師 將 近 二 年 的 相 處, 彼 此 已 非 常 熟 稔 他 們 均 未 具 備 因 數 的 過 程 概 念, 而 過 程 概 念 的 具 備 與 否, 是 以 擁 有 隱 藏 性 知 識 作 為 判 定 之 依 據 經 過 測 試 發 現 不 僅 程 度 差 的 學 生 未 具 備 因 數 的 隱 藏 性 知 識, 連 中 等 程 度 的 學 生 也 有 此 現 象 考 量 學 童 配 合 參 與 補 救 教 學 的 時 間, 以 及 教 學 效 果 的 評 估, 研 究 者 從 中 挑 選 出 中 等 程 度 學 生 ( 小 雯 和 小 庭 ) 與 中 下 程 度 學 生 ( 小 亮 和 小 成 ) 各 二 名, 作 為 補 救 教 學 的 對 象 其 中 程 度 最 差 的 小 成, 是 在 教 學 活 動 進 行 中 特 別 觀 察 的 對 象, 作 為 教 學 決 定 和 學 習 效 果 評 估 的 指 標

8 102 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 三 研 究 小 組 成 員 參 與 研 究 的 人 員 共 有 三 位, 包 括 黃 老 師 ( 第 一 研 究 者 ) 劉 老 師 ( 第 二 研 究 者 ) 和 吳 老 師 ( 合 作 教 師 ), 在 研 究 過 程 中 共 同 討 論 教 學 現 場 的 問 題 方 案 的 修 正 和 學 習 的 成 效 黃 老 師 是 研 究 問 題 的 發 動 者, 負 責 資 料 的 收 集 整 理 與 分 析, 並 擔 任 教 學 活 動 的 設 計 參 與 觀 察 和 教 學 者 的 角 色 劉 老 師 目 前 是 數 學 教 育 師 資 培 育 者, 並 親 自 至 現 場 觀 察 教 學 情 形, 提 供 專 業 的 指 導 與 諮 詢, 在 資 料 分 析 時, 也 參 與 檢 驗 原 案 分 析 的 適 當 性 吳 老 師 在 因 數 K 吉 棒 活 動 中 負 責 前 導 教 學 的 工 作, 於 因 數 對 對 碰 活 動 時 擔 任 觀 察 者, 並 提 供 教 學 實 務 的 意 見 四 學 習 效 果 的 評 估 本 研 究 因 數 K 吉 棒 活 動 於 大 班 實 施, 學 習 效 果 的 評 估 乃 透 過 以 下 三 個 方 式 : 檢 驗 學 生 的 學 習 表 現 觀 察 學 生 上 課 的 反 應 情 形 和 評 閱 學 生 數 學 日 誌 的 內 容, 尤 其 是 中 低 程 度 學 生 的 部 分 ( 研 究 對 象 中 小 亮 和 小 恬 等 人 ) 因 數 對 對 碰 教 學 活 動 設 計 則 用 於 小 組 的 補 救 教 學, 由 於 學 生 僅 有 四 位 且 程 度 差 異 明 顯, 教 學 時 比 較 容 易 掌 握 學 生 的 學 習 狀 況 因 此 學 習 效 果 的 評 估, 主 要 以 程 度 最 差 學 生 ( 小 成 ) 的 反 應 作 為 指 標, 且 輔 以 深 入 訪 談 和 數 學 日 誌 來 瞭 解 學 生 的 學 習 狀 況 五 資 料 分 析 本 研 究 採 取 參 與 觀 察 ( 觀 ) 座 談 ( 座 ) 討 論 ( 討 ) 深 度 訪 談 ( 訪 ) 學 生 數 學 日 誌 ( 誌 ) 佈 題 寫 作 單 ( 佈 ) 研 究 者 省 思 筆 記 ( 省 ) 和 隨 堂 札 記 ( 札 ) 等 方 式 來 收 集 資 料, 資 料 內 容 包 括 上 課 的 觀 察 記 錄 上 課 錄 音 錄 影 等 轉 譯 資 料, 教 學 活 動 前 後 研 究 者 合 作 教 師 與 指 導 教 授 的 座 談 與 討 論 記 錄, 兒 童 的 數 學 日 誌 和 佈 題 寫 作 單, 以 及 研 究 者 的 省 思 札 記 等 資 料 分 析 採 用 持 續 比 較 法 和 三 角 校 正 來 考 驗 學 生 的 學 習 成 效 實 踐 教 學 活 動 效 果 的 評 估 檢 閱 學 生 的 學 習 表 現 觀 察 學 生 的 上 課 反 應, 和 評 閱 數 學 日 誌, 是 為 資 料 來 源 的 三 角 校 正 例 如 本 文 中 研 究 結 果 : ( 二 ) 從 容 易 出 的 牌 的 討 論 中, 再 度 強 化 因 數 基 本 概 念 的 教 學 發 現, 先 呈 現 觀 察 的 小 恬 上 課 反 應, 再 接 著 呈 現 小 恬 的 數 學 日 誌, 以 這 二 種 不 同 資 料 來

9 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 103 佐 證 此 教 學 發 現 此 外, 再 藉 由 參 與 研 究 人 員 的 共 同 討 論 辯 證, 以 避 免 研 究 者 個 人 主 觀 的 認 定, 則 為 參 與 研 究 人 員 的 三 角 校 正 各 種 原 案 編 碼 的 意 義 舉 例 如 下 : 1.( 黃 討 ):2001 年 9 月 12 日 黃 老 師 的 討 論 記 錄 2.( 黃 座 ):2001 年 9 月 12 日 黃 老 師 的 座 談 記 錄 3.( 札 ):2001 年 9 月 12 日 隨 堂 札 記 4.( 誌 ):2001 年 9 月 12 日 25 號 的 數 學 日 誌 5.( 觀 ):2001 年 9 月 12 日 觀 察 記 錄 6.( 佈 ):2001 年 9 月 12 日 25 號 的 佈 題 寫 作 單 7.( 省 ):2001 年 9 月 12 日 省 思 札 記 參 創 意 的 發 想 活 動 設 計 的 理 念 與 內 涵 本 研 究 教 學 方 案 乃 提 供 學 生 應 用 與 建 構 因 數 知 識 的 機 會, 就 性 質 而 言, 因 數 K 吉 棒 和 因 數 對 對 碰 二 個 活 動 是 屬 於 應 用 性 的 教 學 活 動, 用 以 強 化 與 檢 驗 因 數 和 因 數 配 對 概 念 它 們 都 是 將 撲 克 牌 遊 戲 改 造 後 再 融 入 數 學 教 學 的 活 動, 目 的 是 藉 由 學 生 喜 歡 玩 的 撲 克 牌 遊 戲 來 激 發 學 習 興 趣, 以 避 免 反 覆 無 味 的 計 算 練 習, 使 學 生 對 數 學 產 生 厭 煩, 甚 至 只 知 道 計 算 的 方 法, 卻 不 理 解 因 數 的 概 念 換 句 話 說, 也 就 是 利 用 孩 童 喜 歡 遊 戲 的 天 性, 佈 置 一 個 具 有 挑 戰 與 思 考 的 課 室 情 境, 讓 學 生 在 真 實 的 情 境 中 主 動 操 作 與 探 索, 無 形 中 持 續 不 斷 的 進 行 因 數 計 算 練 習, 強 化 學 童 的 因 數 概 念, 並 透 過 佈 題 引 導 學 生 思 考, 提 供 鷹 架 幫 助 學 生 發 展 因 數 的 概 念 Dienes(1960: 31) 強 調 : 數 學 是 關 係 的 結 構 (mathematics as a structure of relationships); 且 有 些 數 學 概 念, 它 們 的 數 值 之 間 有 結 構 化 的 關 係 (structural relationships between concepts connected with numbers) 因 此, 為 協 助 學 生 建 立 數 值 之 間 的 對 應 關 係 而 設 計 的 教 材, 其 實 就 是 結 構 化 的 教 具 (Structured materials) Miles(1992) 曾 用 一 個 百 格 版, 十 條 條 狀 積 木, 與 一 百 個 小 積 木, 分 別 解 釋 1 100,10 10,100 1 的 關 係, 也 進 一 步 闡 釋 不 同 單 位 量 的 轉 換 可 以

10 104 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 得 到 不 同 的 單 位 數, 這 些 積 木 即 為 結 構 化 的 教 具 本 研 究 因 數 K 吉 棒 的 活 動 裡,12 這 張 牌 ( 發 牌 數 ) 與 等 牌 ( 跟 牌 數 ) 之 間, 有 結 構 上 的 對 應 關 係 同 理, 在 因 數 對 對 碰 的 活 動 裡, 1 和 72 2 和 36 3 和 24 4 和 18 6 和 12 以 及 8 和 9 這 些 牌 彼 此 之 間 也 因 為 特 意 的 設 計, 而 產 生 結 構 上 的 對 應 關 係 因 此 改 造 這 二 種 撲 克 牌 遊 戲 融 入 教 學 時, 撲 克 牌 也 變 成 了 結 構 化 的 教 具 總 之, 在 本 研 究 的 教 學 方 案 中, 撲 克 牌 具 有 重 要 的 功 能, 它 除 了 是 學 童 遊 戲 的 玩 具, 也 是 教 師 進 行 教 學 的 教 具, 使 數 學 的 學 習 達 到 寓 教 於 樂 的 目 標 原 本 K 吉 棒 的 遊 戲 規 則 主 要 是 同 花 色 比 大 小 出 牌 和 跟 牌 和 最 先 出 完 牌 為 優 勝 例 如, 先 出 牌 者 打 出 了 梅 花 3, 後 面 跟 著 出 牌 的 人 也 必 須 是 梅 花, 而 且 要 比 3 還 大 ( 如 梅 花 4), 直 到 沒 有 跟 牌 者, 即 擁 有 新 的 發 牌 權 以 此 規 則 進 行 遊 戲, 看 哪 一 家 最 先 將 手 上 的 牌 出 完 即 為 優 勝 者 因 此, K 吉 棒 遊 戲 的 出 牌 情 形 就 以 四 種 花 色 分 為 四 個 群 組, 如 圖 2 因 數 K 吉 棒 教 學 活 動 將 同 花 色 比 大 小 改 為 同 一 數 的 因 數 才 能 跟 牌, 其 出 牌 情 形 就 以 1-13 這 13 個 數 分 為 十 三 個 群 組, 如 表 1 因 數 對 對 碰 活 動 改 造 自 撿 紅 點 遊 戲, 原 本 規 則 是 湊 十 : 1 和 9 2 和 8 3 和 7 4 和 6 5 和 5 配 對 互 吃, 其 他 的 大 數 10 J Q 和 K 則 是 自 己 配 對, 撿 紅 點 數 字 配 對 圖 如 圖 3 以 配 對 的 方 式 出 現 是 因 數 的 一 大 特 性 ( 如 圖 4 72 的 因 數 分 解 圖 ), 因 此, 因 數 對 對 碰 活 動 將 撿 紅 點 中 湊 十 的 規 則 修 改 為 72 的 配 對 因 數 : 1 和 72 2 和 36 3 和 24 4 和 18 6 和 12 8 和 9 5 和 5 才 可 以 配 對 互 吃 (5 雖 非 72 的 因 數, 但 為 了 遊 戲 的 順 暢, 必 須 保 持 撲 克 牌 原 來 的 張 數, 因 此 5 這 張 牌 沒 有 修 改 或 排 除 ( 如 圖 5 72 的 因 數 對 對 碰 數 字 配 對 圖 ) 希 望 透 過 此 教 學 活 動 來 發 展 學 童 因 數 配 對 的 概 念, 使 因 數 概 念 更 為 周 延

11 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 105 出 牌 能 跟 的 牌 ( 與 出 牌 同 花 色 且 較 大 的 數 ) 黑 桃 群 組 紅 心 群 組 梅 花 群 組 方 塊 群 組 圖 2 K 吉 棒 出 牌 情 形 圖 表 1 因 數 K 吉 棒 出 牌 情 形 一 覽 表 出 牌 能 跟 的 牌 ( 出 牌 數 字 的 因 數 ) 1(A) (J) (Q)

12 106 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 13(K) J J 3 7 Q Q K K 圖 3 撿 紅 點 數 字 配 對 圖 72 1=72 72= =36 72= =24 72= =18 72= =12 72= =9 72=8 9

13 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 107 圖 4 72 的 因 數 分 解 圖 1 72 (K) 5 ( 5 ( 特 特 2 36 (J) 例 ) 例 ) 3 24 (10) 6 12 (Q) 4 18 (7) 8 9 圖 5 72 的 因 數 對 對 碰 數 字 配 對 圖 肆 研 究 結 果 與 討 論 本 研 究 最 後 提 出 的 二 個 建 議 教 學 方 案 ( 如 附 錄 一 ), 乃 初 始 方 案 演 進 的 結 果 在 合 作 行 動 研 究 循 環 的 歷 程 中, 經 由 研 究 小 組 不 斷 反 省 辯 證 與 修 正, 將 初 始 方 案 修 正 的 較 為 適 切 可 行, 且 更 能 發 揮 活 動 的 功 能 例 如 詳 訂 規 則 以 符 合 實 際 教 學 的 實 行, 討 論 出 新 的 策 略 ( 如 合 作 學 習 堆 疊 牌 和 佈 題 活 動 ) 以 豐 富 學 生 的 學 習 內 容 限 於 篇 幅 無 法 敘 述 方 案 演 進 的 歷 程, 茲 將 二 個 活 動 實 踐 的 結 果 分 別 敘 述 於 下, 並 做 方 案 實 踐 後 的 綜 合 討 論 : 一 實 踐 因 數 K 吉 棒 方 案 的 教 學 發 現 在 進 行 熱 鬧 滾 滾 的 玩 牌 活 動 後, 發 現 學 生 熱 烈 參 與 學 習 活 動, 除 了 達 到 既 定 的 教 學 目 標 之 外, 透 過 佈 題 也 引 發 學 生 深 層 的 思 考, 學 習 的 效 果 真 令 研 究 小 組 喜

14 108 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 出 望 外, 教 學 發 現 分 述 如 下 : ( 一 ) 學 生 從 玩 撲 克 牌 遊 戲 中, 即 時 糾 正 錯 誤 並 反 覆 練 習 因 數 概 念 本 教 學 活 動 採 異 質 性 分 組 的 方 式, 希 望 使 教 學 順 利 進 行, 也 使 程 度 較 差 的 學 生 有 機 會 參 與 學 習 前 導 教 學 後, 吳 老 師 對 於 班 上 學 生 提 出 較 為 深 入 的 觀 察 : 程 度 差 的 學 生 接 受 了 程 度 好 的 學 生 的 指 導, 以 及 出 錯 牌 時 引 來 其 他 組 員 的 糾 正 他 們 正 在 打 6 的 因 數, 小 浩 打 出 了 12 這 張 牌, 馬 上 被 同 組 的 對 手 小 全 糾 正 : 耶!6 的 因 數 呢!12 又 不 是 6 的 因 數,6 才 是 12 的 因 數 咧! 小 浩 只 好 把 12 拿 回 去 我 發 現 這 個 情 形 覺 得 不 錯, 學 生 在 出 錯 牌 時 可 以 馬 上 被 糾 正, 可 以 導 正 他 們 的 觀 念 ( 吳 討 ) 吳 老 師 觀 察 到 的 是 : 分 組 玩 遊 戲 時, 發 揮 合 作 學 習 的 功 能, 程 度 好 的 可 以 隨 時 指 導 程 度 差 的 學 生, 提 供 立 即 回 饋 的 機 制, 學 生 正 確 打 出 指 定 數 的 因 數, 便 能 安 然 通 過, 否 則 會 馬 上 引 來 糾 正 的 聲 音 也 就 是 說, 學 生 在 每 打 一 張 牌 後, 都 能 立 即 得 知 他 所 認 為 的 數 是 否 為 指 定 數 的 因 數 在 黃 老 師 修 正 教 學 時 運 用 新 的 策 略 是 : 學 生 出 牌 時 順 手 將 每 個 出 牌 數 與 跟 牌 數 整 理 成 疊, 以 便 在 每 一 局 比 賽 後, 再 次 提 供 學 生 練 習 找 因 數 與 檢 驗 的 機 會 其 中, 發 現 一 個 令 人 印 象 深 刻 的 例 子 : 小 成 ( 程 度 中 下 的 學 生 ) 竟 也 當 起 主 持 人 的 角 色 ( 本 是 組 長 的 工 作 ), 自 信 大 方 的 問 同 組 的 組 員 原 案 一 小 成 ( 該 組 程 度 最 低 的 學 生 ): 9 的 因 數 有 誰? ( 拿 著 撲 克 牌 問 同 組 的 組 員 ) 152 小 輝 : 小 成 : 還 有 呢? ( 小 成 一 邊 把 手 中 1 和 9 的 撲 克 牌 現 出 來, 得 意 的 提 示 小 輝 ) 154 小 輝 : 還 有 小 成 : 對 了! 那 12 的 因 數 咧? 156 小 輝 :

15 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 小 成 : 還 有 一 個 喔? ( 小 成 一 邊 把 手 中 和 12 的 撲 克 牌 現 出 來, 然 後 再 提 示 ) 158 小 輝 : 啊! 還 有 6 ( 小 輝 也 露 出 滿 意 的 笑 容 )( 觀 ) 從 以 上 的 例 子 可 知 堆 疊 牌 相 互 問 答 策 略 發 揮 相 當 程 度 的 作 用, 讓 學 生 互 相 問 答, 從 而 互 相 監 督 或 糾 正, 這 樣 的 學 習 型 態 不 僅 學 生 之 間 有 良 好 的 互 動, 也 是 滿 有 效 能 的 教 學 活 動, 使 合 作 學 習 的 機 制 運 作 又 發 揮 了 另 一 種 效 果 透 過 如 此 頻 繁 的 驗 證 過 程, 學 生 對 於 1 到 13 這 13 個 數 的 因 數 有 哪 些 應 該 更 清 楚 了, 對 於 因 數 的 意 義 也 另 有 一 番 理 解 此 外, 從 教 學 的 效 能 來 看, 透 過 學 生 的 相 互 指 導, 優 秀 學 生 已 然 代 替 老 師 的 角 色, 在 各 組 的 學 習 情 境 中, 隨 時 處 理 著 各 種 的 狀 況 從 教 學 活 動 的 功 能 來 看, 因 數 K 吉 棒 活 動 讓 學 生 從 玩 撲 克 牌 中, 再 度 複 習 整 除 與 因 數 的 概 念, 老 師 也 可 用 以 檢 驗 學 生 對 因 數 意 義 的 瞭 解 ( 二 ) 從 容 易 打 出 的 牌 的 討 論 中, 再 度 強 化 因 數 基 本 概 念 在 哪 些 牌 最 容 易 打 出 去? 的 討 論 中, 學 生 們 在 老 師 的 問 話 後, 都 隨 即 斬 釘 截 鐵 的 回 答 原 案 二 黃 老 師 : 你 們 剛 玩 了 撲 克 牌, 你 覺 得 哪 些 牌 最 容 易 打 出 去? 026 學 生 齊 答 : 黃 老 師 : 為 什 麼? 028 學 生 齊 答 : 因 為 1 是 所 有 數 的 因 數 029 黃 老 師 : 還 有 哪 些 牌 也 是 容 易 打 出 去 的? 小 恬 妳 說 說 看? ( 黃 老 師 這 次 特 別 指 定 中 低 程 度 的 小 恬 回 答 ) 030 小 恬 : 黃 老 師 : 為 什 麼? 032 小 恬 : 因 為 2 也 是 很 多 數 的 因 數 033 黃 老 師 : 比 如 呢? 034 小 恬 : ( 觀 )

16 110 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 顯 然 的, 學 生 們 從 打 牌 中 理 解 了 1 是 所 有 數 的 因 數, 所 以 1 最 容 易 打 出 去 ( 行 號 025 到 028) 程 度 中 下 的 小 恬 也 從 打 牌 中 理 解 了 :2 是 偶 數 的 因 數 ( 行 號 034) 課 後 的 數 學 日 誌 小 恬 也 寫 著 : 知 道 1 到 13 的 因 數,1 是 最 好 打 出 去 的 牌, 因 為 每 個 數 的 因 數 裡 都 一 定 有 1 ( 誌 ) 她 先 從 打 牌 中 察 覺 1 是 最 容 易 打 出 去 的 牌, 進 而 理 解 了 1 是 每 個 數 的 因 數 Piaget(1970) 認 為 個 體 的 知 識 是 藉 由 活 動 逐 漸 發 展 建 構 而 成 的, 人 類 的 知 識 就 是 在 活 動 中 不 斷 的 發 展, 不 斷 的 再 建 構, 因 此 沒 有 活 動 就 沒 有 知 識 的 產 生 從 以 上 的 原 案 可 以 得 知 : 學 童 透 過 打 牌 的 活 動, 經 驗 到 1 和 2 是 比 較 容 易 打 出 去 的 牌, 再 經 由 佈 題 引 導 他 們 反 思 打 牌 與 因 數 知 識 之 間 的 關 聯 :1 是 所 有 數 的 因 數,2 是 所 有 偶 數 的 因 數 這 些 概 念 建 立 的 過 程, 與 一 般 教 學 要 求 找 出 某 一 個 數 的 因 數 的 運 思 歷 程 正 好 相 反, 可 使 學 生 對 於 因 數 概 念 的 思 考 更 為 多 元 而 這 些 概 念 都 是 從 打 牌 的 活 動 中 自 然 發 展 出 來 的, 他 們 從 真 實 活 動 中 建 構 出 自 己 的 知 識, 並 藉 由 老 師 鷹 架 的 協 助, 從 活 動 中 再 抽 離 出 概 念 ( 三 ) 思 考 難 打 出 去 的 牌 時 產 生 認 知 衝 突, 藉 此 釐 清 因 數 概 念 與 引 發 出 牌 策 略 進 行 哪 些 牌 較 難 打 出 去? 的 小 組 討 論 時, 第 六 組 進 行 不 甚 順 遂, 黃 老 師 於 是 介 入 了 第 六 組 的 討 論, 扮 演 引 導 者 的 角 色 首 先 提 問 : 哪 些 牌 較 難 打 出 去? 學 生 們 紛 紛 的 說 出 , 但 是 接 著 曜 鴻 說 出 12 時, 引 起 黃 老 師 的 好 奇 與 關 注 : 原 案 三 黃 老 師 : 還 有 哪 些 牌 較 難 打 出 去? 052 小 鴻 : 12 點 053 黃 老 師 : 12 為 什 麼 難 打 出 去? ( 追 問 曜 鴻 ) 054 小 鴻 : 因 為 12 只 有 別 人 出 12 時 才 可 以 打 出 去!

17 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 黃 老 師 : 那 你 手 中 如 果 有 12 的 牌 要 先 打 出 去 嗎? 056 小 儀 和 小 廷 : 不 要! ( 同 時 立 即 明 確 的 回 答 ) 057 黃 老 師 : 為 什 麼? 058 小 儀 : 因 為 打 12 出 去, 別 人 就 有 很 多 支 牌 可 以 打 了, 不 就 幫 了 別 人 害 了 自 己 了 嘛! ( 觀 ) 起 初 學 生 回 答 這 些 數 是 最 不 容 易 打 出 去 的 牌, 而 和 8 等 數 學 生 卻 無 法 立 即 說 出, 這 樣 的 情 形 是 可 以 理 解 的 其 中 原 因 可 能 是 受 到 容 易 跟 牌 的 數 的 影 響, 舉 例 來 說, 學 生 們 以 為 12 這 個 數 能 跟 牌 的 數 ( 因 數 ) 很 多, 所 以 它 不 會 難 打 出 去 但 事 實 上, 哪 些 牌 容 不 容 易 打 出 去 與 其 因 數 的 多 寡 並 無 關 係, 真 正 的 關 鍵 在 於 它 是 否 為 很 多 數 的 因 數 也 就 是 說, 這 個 佈 題 引 發 了 學 生 的 認 知 衝 突 認 為 難 打 出 去 的 牌 其 跟 牌 數 ( 因 數 ) 應 該 是 少 的 於 是 黃 老 師 回 到 講 台, 引 導 全 班 學 生 們 探 討 這 個 問 題 : 手 中 的 牌 什 麼 情 況 下 可 以 打 出 去? 它 出 牌 的 機 會 有 多 少? 由 同 學 先 前 談 到 的 這 些 數 開 始, 接 著 再 請 學 生 思 考 12 這 個 數 什 麼 時 候 可 以 出 牌? 最 後 學 生 們 發 現 原 來 12 和 等 數 一 樣, 出 牌 的 機 會 只 有 一 個, 就 是 只 有 別 人 出 的 牌 也 是 本 身 這 個 數 時, 才 能 跟 著 打 出 去 因 為 自 己 是 自 己 的 因 數 和 撲 克 牌 中 沒 有 7-13 的 倍 數, 所 以 7-13 這 些 數 都 很 難 打 出 去! 藉 由 這 個 佈 題 和 引 導, 幫 助 學 生 釐 清 了 哪 些 是 難 打 出 去 的 牌? 為 什 麼 這 些 牌 難 打? 以 及 自 己 是 自 己 的 因 數 這 個 基 本 的 概 念 在 全 班 後 續 的 討 論 中, 學 生 也 歸 納 出 大 的 偶 數 (12 10 和 8) 的 因 數 比 較 多, 所 以 不 可 以 輕 易 打 出 去 小 禎 的 學 習 日 誌 便 強 調 這 一 個 策 略 : 12 這 張 牌 不 能 打, 因 為 12 的 因 數 有 很 多, 所 以 如 果 放 出 去 可 能 會 對 自 己 不 利, 所 以 要 放 就 要 放 對 自 己 有 利 的 ( 誌 ) 此 外, 這 個 佈 題 也 激 發 了 學 生 出 牌 的 策 略, 在 原 案 三 中, 小 儀 ( 行 號 058) 的 意 思 是 12 這 個 數 有 很 多 的 因 數, 隨 意 將 12 打 出 去, 別 人 就 可 將 手 上 是 12 的 因 數 打 出 去, 這 便 是 她 所 謂 的 幫 了 別 人 害 了 自 己 了! 因 著 競 賽 帶 給 他 們 求 勝 的

18 112 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 意 念, 進 而 反 向 思 考 8 10 和 12 較 大 的 偶 數 的 因 數 有 很 多, 雖 然 難 打 出 去, 卻 不 能 亂 打 出 去, 否 則 會 幫 助 別 人 出 牌 而 害 了 自 己! ( 四 ) 藏 牌 玄 機 中 低 程 度 學 生 出 牌 的 策 略 在 黃 老 師 教 學 的 現 場, 發 生 了 一 段 插 曲, 程 度 普 通 的 小 亮 被 同 組 的 牌 友 抗 議 他 有 藏 牌 的 行 為 : 原 案 四 黃 老 師 : 什 麼 是 藏 牌? 062 小 雯 : 就 是 阿 亮 人 家 打 10 的 時 候, 他 明 明 有 2 卻 不 打 出 來 063 黃 老 師 : 阿 亮! 你 為 什 麼 不 把 2 打 出 去? 064 小 亮 : 我 其 他 的 牌 都 不 好 打 出 去 啊! 我 把 2 留 著 才 能 有 機 會 換 我 發 牌 啊! ( 阿 亮 一 邊 說 著 一 邊 拿 出 手 中 的 牌 給 黃 老 師 看, 他 手 中 的 牌 只 剩 下 和 9 四 張 牌 ) 065 黃 老 師 : 什 麼 意 思? ( 黃 老 師 乍 聽 之 下 不 懂 阿 亮 的 意 思 ) 066 小 亮 : 就 是 說 我 2 打 出 去 了, 剩 下 的 就 只 能 跟 人 家 出 了! 067 黃 老 師 : 跟 人 家 出 沒 錯 啊!? ( 黃 老 師 不 懂 阿 亮 的 意 思 ) 068 小 亮 : 那 我 就 不 能 贏 了 069 黃 老 師 : 那 跟 留 2 有 什 麼 關 係? ( 黃 老 師 還 是 不 懂 阿 亮 的 意 思 ) 070 小 亮 : ㄝ!ㄝ!2 比 較 好 打 出 去 啊, 留 著 當 王 牌 071 黃 老 師 : 王 牌? 什 麼 王 牌? ( 黃 老 師 還 是 有 點 迷 惑 ) 072 小 亮 : 這 個 嘛, 就 是 說 把 2 留 下 來, 等 到 最 後 別 人 的 牌 快 出 完 了 ( 意 指 容 易 打 出 去 的 牌 ) 我 再 出 2, 就 換 我 發 牌 了 接 下 去 我 就 可 以 一 直 出 自 己 的 牌 了 啊! 073 黃 老 師 : 原 來 這 樣! ( 黃 老 師 終 於 懂 阿 亮 的 意 思 ) 074 小 亮 : 對 啊! ( 靦 腆 又 得 意 的 微 笑 著 )( 觀 ) 從 行 號 064 可 以 知 道 小 亮 手 上 的 牌 只 有 2 這 張 牌 是 容 易 打 出 去 的, 其 他 三 張 牌 (7 11 9) 都 是 只 有 等 待 別 人 也 出 相 同 的 牌 時, 才 能 跟 著 打 出 去 因 此 小 亮 認 為 不 可 以 把 2 打 出 去, 否 則 其 他 剩 下 的 牌 就 只 能 跟 著 別 人 打 ( 行 號 066), 如

19 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 113 此 一 來, 他 就 沒 有 贏 的 機 會 了 ( 行 號 068) 最 後, 小 亮 終 於 解 釋 清 楚 2 為 什 麼 要 藏 起 來 了, 原 來 他 也 懂 得 忍 住 跟 牌 的 機 會, 直 到 別 人 把 容 易 打 的 牌 出 完 後, 他 才 將 留 住 的 王 牌 打 出 去, 以 獲 得 發 牌 權 接 著 就 可 以 將 手 上 難 打 的 牌 打 出 去 ( 行 號 072), 如 此 他 才 可 能 有 獲 勝 的 機 會 小 亮 的 說 法 著 實 給 黃 老 師 一 些 震 撼, 想 不 到 以 小 亮 的 程 度 竟 也 能 掌 握 玩 牌 的 奧 妙 或 許 平 日 他 玩 撲 克 牌 遊 戲 經 驗 豐 富, 懂 得 王 牌 要 在 適 當 的 時 機 出 牌, 才 能 掌 握 發 牌 權, 製 造 有 利 自 己 的 局 面 此 經 驗 他 很 快 便 轉 換 到 這 個 遊 戲 上, 運 用 了 藏 牌 的 策 略 而 此 教 學 發 現 可 貴 之 處 在 於, 因 數 的 撲 克 牌 遊 戲 是 他 剛 接 觸 到 的 玩 法, 他 有 此 想 法, 至 少 表 示 他 能 分 辨 1 到 13 這 些 數 的 因 數 的 個 數 是 不 同 的, 有 些 數 的 因 數 較 多, 有 些 數 的 因 數 較 少 在 小 亮 的 藏 牌 例 子 中,2 就 是 很 多 數 的 因 數, 而 就 只 有 是 自 己 的 因 數 在 理 解 了 小 亮 的 藏 牌 行 為 後, 黃 老 師 當 下 對 全 班 說 明 藏 牌 的 策 略, 並 允 許 大 家 使 用 這 個 方 法 之 後, 除 了 讚 揚 小 亮 外, 也 順 便 問 問 還 有 誰 用 這 個 方 法 原 來 藏 牌 的 策 略 不 只 發 生 在 小 亮 身 上, 聰 明 的 小 涂 也 是 箇 中 好 手 呢! 他 也 隨 後 發 表 他 的 秘 訣 並 非 常 得 意 的 在 數 學 日 誌 寫 著 : 我 們 一 邊 玩 老 師 一 邊 問 我 們 問 題, 我 就 說 出 了 我 的 秘 訣, 我 都 先 故 意 跳 過 去, 等 大 家 的 牌 都 出 完 了 我 再 出 牌, 就 可 以 換 我 有 發 牌 權 了 ( 誌 ) 以 上 藏 牌 的 技 巧 其 實 隱 含 著 因 數 相 關 概 念 的 理 解 : 藏 住 2 這 張 牌 代 表 瞭 解 2 是 很 多 數 ( 偶 數 ) 的 因 數, 所 以 容 易 打 出 去, 可 以 暫 時 留 住, 不 要 隨 便 打 出 去, 必 要 時 才 出 牌 以 取 得 發 牌 權 這 樣, 才 能 將 其 他 難 打 的 牌 7 9 和 11 搶 先 出 清 從 認 知 學 習 的 角 度 來 看, 藏 牌 也 是 將 因 數 知 識 應 用 於 撲 克 牌 遊 戲 中, 也 可 以 說, 他 們 從 真 實 的 活 動 中 驗 證 了 學 校 的 數 學 知 識, 並 結 合 了 學 校 與 日 常 生 活 的 數 學 知 識 進 行 致 勝 的 思 考, 這 些 都 是 這 個 撲 克 牌 活 動 所 發 揮 的 功 能! 二 實 踐 因 數 對 對 碰 方 案 的 教 學 發 現 因 數 對 對 碰 教 學 方 案 實 踐 的 結 果, 發 現 學 童 在 活 動 過 程 中 可 以 流 暢 地 玩 牌, 不 致 發 生 中 斷 或 吃 錯 牌 的 情 形 在 後 續 的 訪 談 也 可 以 發 現 學 生 理 解 因 數 配

20 114 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 對 的 概 念 ( 一 ) 從 玩 因 數 對 對 碰 的 遊 戲 中 再 度 強 化 與 檢 驗 72 的 因 數 配 對 關 係 進 行 因 數 對 對 碰 的 撲 克 牌 遊 戲 之 前, 黃 老 師 先 讓 學 生 們 找 出 72 的 因 數, 以 作 為 遊 戲 的 先 備 活 動 接 著, 黃 老 師 介 紹 因 數 對 對 碰 的 遊 戲 規 則, 興 致 勃 勃 的 學 生 們 很 快 的 瞭 解 規 則, 也 很 快 就 進 入 狀 況 第 一 回 合 玩 遊 戲 時 學 生 就 能 順 暢 完 成, 沒 有 遭 遇 阻 礙 例 如, 小 成 在 第 一 回 合 時, 手 上 拿 到 的 六 張 牌 分 別 是 黑 桃 5 梅 花 9 黑 桃 4 方 塊 2 方 塊 A(1) 和 紅 心 18, 他 能 辨 別 多 少 配 多 少 的 關 係, 在 因 數 對 對 碰 的 遊 戲 中 沒 有 發 生 吃 錯 牌 的 情 形 : 原 案 五 ( 第 一 次 ) 出 紅 心 18 吃 方 塊 4, 機 會 牌 翻 到 黑 桃 12 沒 得 吃 ( 第 二 次 ) 出 方 塊 A 吃 黑 桃 72, 機 會 牌 翻 到 梅 花 5 沒 得 吃 ( 第 三 次 ) 出 方 塊 2 吃 梅 花 36, 機 會 牌 翻 到 紅 心 9 沒 得 吃 ( 第 四 次 ) 出 黑 桃 4 沒 得 吃, 機 會 牌 翻 到 紅 心 2 吃 黑 桃 36 ( 第 五 次 ) 出 黑 桃 5 沒 得 吃, 機 會 牌 翻 到 梅 花 8 沒 得 吃 ( 第 六 次 ) 出 梅 花 9 吃 到 梅 花 8, 機 會 牌 翻 到 紅 心 36 吃 黑 桃 2 ( 觀 ) 在 玩 牌 的 過 程 中, 必 須 先 辨 認 72 各 因 數 的 配 對 關 係, 才 不 會 有 吃 錯 牌 的 情 形 ( 如 以 紅 心 24 吃 方 塊 4) 雖 然 小 成 在 第 二 次 和 第 三 次 出 牌 時, 很 快 就 將 可 以 吃 到 高 分 的 方 塊 A 和 方 塊 2 去 吃 沒 有 分 數 的 黑 桃 72 和 梅 花 36, 這 樣 的 玩 法 很 不 高 明, 完 全 沒 有 致 勝 的 考 量 沒 有 等 待 最 佳 的 時 機 才 出 牌 ( 等 紅 色 的 72 和 36 出 現 再 吃 ) 但 從 這 個 觀 察 可 以 知 道 小 成 心 中 有 因 數 配 對 的 關 係, 只 是 沒 有 獲 勝 的 策 略, 也 許 還 需 要 多 一 些 的 練 習 他 才 能 體 會 箇 中 的 訣 竅 從 學 生 們 一 輪 到 自 己 出 牌 時, 便 能 很 快 打 出 牌 且 沒 有 吃 錯 牌 的 情 形 看 來, 他 們 對 於 72 各 因 數 的 配 對 關 係 顯 然 已 經 建 立 的 相 當 穩 固 此 外, 他 們 打 牌 時 那 種 全 神 貫 注 且 胸 有 成 竹 的 神 情, 是 進 行 數 學 學 習 時 所 罕 見 的

21 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 115 打 完 第 一 回 合, 劉 老 師 提 出 一 個 建 議 : 學 生 們 打 牌 的 時 候, 每 打 出 一 張 牌 或 翻 開 機 會 牌 時, 可 以 請 他 們 喊 出 多 少 吃 多 少 ( 例 如 18 吃 4), 這 樣 可 以 瞭 解 學 生 的 想 法 是 否 正 確, 也 可 以 讓 我 們 方 便 觀 察 於 是, 第 二 回 合 開 始, 學 生 除 了 一 邊 打 牌 翻 牌 外, 還 要 將 所 要 吃 的 牌 喊 出 來, 這 樣 確 實 更 能 發 揮 這 個 遊 戲 的 功 能, 並 使 心 中 的 想 法 透 過 語 言 表 徵 出 來 學 生 們 打 牌 時 都 能 正 確 喊 出 他 們 所 要 吃 的 牌, 顯 示 學 生 都 知 道 72 的 因 數 配 對 的 情 形! ( 劉 討 ) National Council of Teachers of Mathematics(2000) 強 調 有 效 的 數 學 教 學 必 須 要 有 一 個 挑 戰 和 支 持 的 課 室 環 境 所 以 在 學 習 的 過 程 中, 不 應 只 是 在 上 課 剛 開 始 引 起 學 習 動 機, 而 是 讓 學 生 都 處 於 刺 激 挑 戰 與 腦 力 激 盪 的 情 境 中, 一 直 保 有 學 習 的 續 航 力, 才 是 學 習 成 功 的 基 礎 因 數 對 對 碰 就 是 透 過 遊 戲 來 提 昇 學 生 的 學 習 興 趣, 使 他 們 全 神 貫 注 積 極 參 與 教 學 活 動 撲 克 牌 的 高 度 娛 樂 效 果 讓 學 生 忘 情 於 此, 而 不 覺 是 在 上 數 學 課! 這 似 乎 是 一 種 可 以 減 少 數 學 學 習 挫 折 的 處 方 呢!( 省 ) ( 二 ) 小 成 能 窮 盡 並 理 解 72 的 因 數 配 對 概 念 在 因 數 對 對 碰 的 活 動 結 束 後, 黃 老 師 訪 談 四 位 學 生 中 程 度 最 低 的 小 成, 以 再 次 確 認 這 個 教 學 活 動 是 否 有 效 : 原 案 六 黃 老 師 : 3 可 以 吃 多 少? 202 小 成 : 24! 203 黃 老 師 : 為 什 麼 3 可 以 吃 24? 204 小 成 : 因 為 3 是 72 的 因 數,24 也 是 72 的 因 數 212 小 成 : 72 等 於 3 乘 以 黃 老 師 : 意 思 是 什 麼? 214 小 成 : 因 數 分 解!3 和 24 都 是 72 的 因 數 ( 很 流 利 的 說 出 ) 215 黃 老 師 : 很 好! 你 再 說 說 看 72 還 可 以 怎 樣 因 數 分 解? 216 小 成 : 6 乘 以 12,4 乘 以 18 ( 停 頓 了 一 會 兒 )

22 116 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 217 黃 老 師 : 你 再 重 頭 開 始 算 比 較 不 會 漏 掉 218 小 成 : 2 乘 以 36,3 乘 以 24,6 乘 以 12,8 乘 以 9,1 乘 以 72,4 乘 以 黃 老 師 : 4 乘 以 18 意 思 是 什 麼? 220 小 成 : 4 和 18 都 是 72 的 因 數 221 黃 老 師 : 為 什 麼? 222 小 成 : 72 除 以 4 等 於 18,72 除 以 18 等 於 4 ( 訪 ) 從 小 成 的 回 答 ( 行 號 218 和 220), 知 道 他 能 以 因 數 分 解 的 方 式 來 窮 盡 72 所 有 的 因 數, 也 理 解 因 數 配 對 出 現 的 關 係 ( 行 號 222) 教 學 至 此 一 階 段 的 效 果, 可 以 說 已 達 到 原 先 設 定 的 教 學 目 標, 學 生 們 已 懂 得 運 用 因 數 配 對 的 簡 便 法 來 找 尋 因 數 三 綜 合 討 論 由 前 述 的 教 學 發 現, 可 知 二 教 學 方 案 確 實 發 揮 強 化 與 檢 驗 因 數 概 念 的 功 能 以 下 再 從 學 生 於 撲 克 牌 遊 戲 中 的 算 牌 表 現 所 引 發 的 策 略 性 思 考, 做 進 一 步 的 探 討 與 分 析 其 次, 再 反 省 檢 討 教 學 方 案 的 設 計 實 踐 與 成 效 ( 一 ) 牌 局 中 的 精 算 師 激 發 學 生 策 略 性 的 思 考 雖 然 參 與 因 數 對 對 碰 教 學 活 動 者 都 是 中 等 程 度 以 下 的 學 生, 但 在 活 動 中 透 過 佈 題 使 他 們 更 深 入 的 思 考 例 如, 小 庭 針 對 你 希 望 拿 到 哪 些 牌? 為 什 麼? 這 個 問 題, 寫 下 了 : 拿 到 四 張 1 和 二 張 紅 72 因 為 如 果 拿 四 張 1 和 二 張 紅 72, 就 先 出 紅 72 一 張, 而 四 張 1 在 我 這 裡, 所 以 他 們 就 不 能 吃 紅 72 ( 小 庭 佈 ) 紅 72 在 因 數 對 對 碰 中 是 最 高 的 分 數, 吃 到 二 張 紅 72 就 得 到 144 分 了, 早 已 贏 了 許 多 分 解 析 小 庭 的 想 法 : 拿 到 四 張 1 和 二 張 紅 72, 其 實 是 想 吃 到 二 張 紅 72, 這 個 的 想 法 寶 貴 之 處 在 於 不 只 是 拿 到 紅 72 而 已, 她 還 理 解 到 如 何 運 用 配 套 的 策 略 來 使 自 己 可 以 穩 穩 的 吃 到 紅 72 她 的 想 法 是 :

23 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 117 已 經 拿 到 四 張 1 和 二 張 紅 72, 自 己 就 先 出 紅 72 一 張, 因 為 四 張 1 在 自 己 手 上, 所 以 別 人 就 沒 有 機 會 吃 到 紅 72 了 換 句 話 說, 小 庭 已 經 認 知 到 紅 72 對 於 致 勝 的 重 要 性, 她 也 能 周 延 的 思 考 讓 自 己 如 何 吃 到 小 雯 對 於 什 麼 情 況 下 你 就 可 以 成 為 超 級 大 贏 家? 這 個 問 題 的 回 答, 則 更 詳 細 更 具 體 的 說 出 三 個 想 法 : 什 麼 情 況 下 你 就 可 以 成 為 超 級 大 贏 家? ( 一 ) 拿 到 四 張 1, 和 兩 張 紅 72 因 為 大 家 都 有 牌, 就 算 我 第 一 張 打 72, 也 不 會 被 吃, 這 樣 兩 張 72 合 起 來 是 144, 再 加 其 他 的, 就 可 以 變 成 超 級 大 贏 家 ( 二 ) 還 有 一 種 是 全 部 的 72 都 在 手 上, 加 上 兩 張 1, 因 為 4 張 72 都 在 我 這, 就 算 我 放 1, 也 不 會 有 人 吃, 如 果 我 放 黑 的 72, 別 人 吃 了 也 不 算 分, 所 以 也 可 以 當 超 級 大 贏 家 ( 三 ) 兩 張 72 黑 紅 各 一 張,1 張 黑 的 1,1 張 36 和 6, 因 為 我 們 可 以 先 把 36 和 6 打 出 去, 等 每 人 剩 四 張 牌 時, 可 以 打 一 張 72 黑 的 72, 如 果 對 手 有 1 張 紅 1, 大 約 不 會 吃, 最 後 打 到 對 手 逼 不 得 已 打 了 1 張 紅 1, 或 72, 就 可 以 吃 掉, 變 成 超 級 大 贏 家 ( 小 雯 佈 ) 小 雯 的 第 一 個 想 法 與 小 庭 的 想 法 相 同, 拿 到 四 張 1 就 可 以 穩 穩 的 吃 到 二 張 紅 72 第 二 個 想 法 則 與 第 一 個 想 法 類 似, 這 次 是 拿 到 四 張 72 和 二 張 1, 她 先 把 1 打 出 去, 四 張 72 在 自 己 手 上, 就 可 以 一 定 吃 到 紅 72 她 還 進 一 步 考 慮 到 : 就 算 她 打 的 黑 72 被 別 人 吃 去, 也 不 會 增 加 別 人 的 分 數, 因 此 可 以 成 為 超 級 大 贏 家 小 雯 第 三 個 想 法 中 只 拿 到 一 張 紅 72 和 一 張 1, 並 不 一 定 可 以 吃 到 二 張 紅 72, 而 變 成 超 級 大 贏 家 雖 然 不 像 第 一 和 第 二 個 想 法 來 得 周 延, 但 是 在 這 個 想 法 裡 有 自 己 形 成 的 假 設 : 等 每 個 人 剩 四 張 牌 時, 可 以 先 打 一 張 黑 的 72 如 果 對 手 有 一 張 紅 1, 大 約 不 會 吃, 最 後 打 到 對 手 逼 不 得 已 打 了 一 張 紅 1 或 72, 我 就 可 以 吃 掉, 穩 變 成 超 級 大 贏 家 就 實 際 情 形 來 看, 除 了

24 118 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 像 第 一 和 第 二 個 想 法 是 能 掌 握 吃 到 紅 72 的 之 外, 想 吃 到 高 分 的 牌, 還 牽 涉 到 別 人 拿 到 什 麼 牌? 別 人 翻 到 什 麼 牌? 以 及 自 己 翻 到 什 麼 牌? 所 以 第 三 個 想 法 ( 推 測 ) 雖 然 是 一 個 不 圓 熟 和 不 成 功 的 假 設, 但 透 過 這 個 佈 題 讓 學 生 有 機 會 去 反 思 學 習 的 內 容, 更 能 整 合 所 學 得 的 知 識 而 在 反 思 的 歷 程 中, 為 了 想 出 致 勝 的 策 略 也 是 一 種 較 高 層 次 的 思 考 前 述 曾 提 到 因 數 K 吉 棒 的 藏 牌 的 玄 機, 這 齣 絕 妙 好 戲 的 續 集 更 精 彩 呢! 聰 明 的 小 巫 在 數 學 日 誌 寫 下 了 黃 老 師 觀 察 不 到 的 層 面 : 小 亮 說 最 後 才 出 牌, 我 就 想 到 也 可 以 算 牌, 例 如, Q=12 它 的 因 數 有 , 一 個 數 有 4 張 牌,6 4 = 24, 就 算 到 23 張, 那 時 候 就 可 以 出 牌 了 ( 誌 ) 在 小 巫 所 謂 的 算 牌 的 策 略 中, 必 須 先 理 解 因 數 的 意 義 並 進 一 步 找 出 12 所 有 的 因 數, 然 後 結 合 1 張 牌 有 四 種 花 色 和 12 的 因 數 有 6 個, 所 以 總 共 有 24 張 牌, 精 確 的 算 出 已 經 出 了 23 張 牌 後, 便 能 穩 穩 獲 得 發 牌 權 撲 克 牌 遊 戲 是 一 種 具 有 結 構 且 能 立 即 完 成 數 學 目 標 的 活 動, 學 童 可 以 透 過 遊 戲 中 社 會 互 動 的 歷 程 獲 得 經 驗 重 組 的 機 會, 有 助 於 相 關 概 念 的 連 結 ( 蔡 文 煥 林 碧 珍,1998a,1998b) 小 巫 在 小 亮 說 出 藏 牌 的 策 略 後, 觸 發 他 算 牌 的 想 法, 使 玩 牌 與 因 數 知 識 相 結 合, 也 拓 展 了 他 的 數 學 思 考 另 外, 針 對 黃 老 師 的 第 三 個 佈 題 手 中 握 有 哪 些 牌 可 以 穩 操 勝 券?, 小 恬 有 令 人 覺 得 驚 奇 的 佈 局 能 力 與 打 牌 的 策 略 : 手 中 握 有 哪 些 牌 可 以 穩 操 勝 券? 黑 桃 2 1( 兩 張 ) ( 兩 張 ) 10( 兩 張 ) 5( 兩 張 ) 我 會 覺 得 拿 到 這 些 牌 會 穩 贏 因 為 : 你 拿 到 黑 桃 2 就 可 以 先 放 ( 意 指 擁 有 發 牌 權 ), 就 先 放 12, 再 把 12 的 因 數 全 部 放 出 去, 再 放 10, 再 把 10 的 因 數 全 部 放 出 去 就 贏 了 ( 誌 ) 小 恬 能 掌 握 題 目 的 要 旨, 知 道 從 手 中 拿 到 的 13 張 牌 來 佈 局 : 首 先 她 知 道 拿 到 黑 桃 2 以 便 取 得 發 牌 權 來 控 制 整 個 局 面 ( 誰 先 拿 到 黑 桃 2 者 即 擁 有 第 一 次 的 發 牌

25 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 119 權 ) 接 著, 打 出 12 這 張 牌, 使 自 己 大 多 數 的 牌 ( 和 6) 都 能 跟 著 打 出 去 最 後, 再 打 出 10 這 張 牌, 讓 本 身 剩 下 的 牌 (5 和 10) 都 能 出 清 這 樣 一 路 控 制 整 個 局 面, 她 便 是 最 後 的 贏 家 總 之, 她 能 從 整 體 的 觀 點 來 思 考 出 牌 的 順 序, 讓 自 己 一 直 保 有 發 牌 權 的 優 勢, 最 後 便 能 取 得 勝 利 以 小 恬 平 常 的 數 學 表 現 能 寫 出 如 此 具 體 且 明 確 的 想 法, 真 令 人 欣 慰 與 感 動! 因 為 這 樣 的 思 考 已 超 乎 了 簡 單 的 求 因 數 的 計 算 方 法 和 因 數 意 義 的 理 解, 而 是 一 種 綜 觀 全 局, 仔 細 分 析 出 牌 的 流 程 的 高 層 次 思 考 能 力 小 恬 這 樣 的 想 法 看 起 來 像 是 個 天 衣 無 縫 的 牌 局, 不 過, 嚴 格 來 看, 在 打 牌 的 沙 場 上, 不 應 只 是 顧 全 自 己 而 已 更 高 的 境 界 應 是 能 掌 握 對 手 的 戰 情, 才 能 知 彼 知 己, 百 戰 百 勝 反 應 敏 捷 的 小 巫 精 算 的 程 度 可 不 止 於 此, 他 思 考 出 了 先 發 制 人 的 策 略, 再 度 展 現 算 牌 的 功 力, 精 準 的 算 出 敵 我 的 實 力, 讓 整 個 局 勢 都 在 掌 握 之 中 : ( 佈 ) 小 巫 的 想 法 是 希 望 拿 到 :2 黑 色 和 紅 色 各 二 張 ( 四 張 ),4 黑 色 和 紅 色 各 二 張 ( 四 張 ),12 黑 色 和 紅 色 各 二 張 ( 四 張 ),6(1 張 ) 也 就 是 拿 到 4 種 數 字 的 牌 (2 4 6 和 12) 且 都 能 集 中 火 力 ( 各 四 張 ), 這 便 是 他 心 目 中 的 理 想 牌 更 詳 細 的 說, 在 1 至 13 的 數 字 中,12 的 因 數 最 多, 因 此 他 選 擇 的 牌 都 是 12 的 因

26 120 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 數 12 的 因 數 共 有 6 個 ( ), 每 個 數 字 有 4 種 花 色, 一 共 有 24 張 牌, 其 中 他 獲 得 了 13 張 牌 ( 四 張 2 四 張 4 四 張 12 和 一 張 6), 其 他 三 人 也 只 拿 到 剩 下 的 11 張 牌 而 黑 桃 2 又 在 自 己 手 上, 因 此 握 有 第 一 次 的 發 牌 權 首 先, 他 知 道 拿 到 黑 桃 2 以 便 取 得 發 牌 權 來 控 制 整 個 局 面, 這 時, 他 知 道 先 出 12 這 張 牌, 就 可 以 讓 自 己 一 路 衝 鋒 陷 陣 到 底, 完 全 沒 有 讓 對 手 有 喘 息 換 其 他 牌 的 機 會, 如 此 輕 舟 已 過 萬 重 山, 所 以 他 贏 定 了! 難 得 的 是, 他 還 從 其 他 三 個 對 手 的 角 度 來 思 考 戰 場 的 情 勢 自 己 13 張 牌 可 以 出, 其 他 三 人 合 起 來 也 只 不 過 11 張 牌 可 以 出 而 已, 因 此 勝 負 可 以 立 判 換 個 角 度 來 看, 他 雖 然 只 取 簡 單 的 幾 種 牌, 但 這 些 牌 彼 此 相 關 聯 ( 都 是 12 的 因 數 ), 也 是 重 要 且 關 鍵 的, 加 上 取 得 主 動 進 擊 ( 黑 桃 2) 的 機 會, 因 此 可 以 一 鼓 作 氣, 讓 對 手 毫 無 招 架 之 力 算 牌 是 撲 克 牌 遊 戲 中 致 勝 與 否 非 常 重 要 的 關 鍵, 因 為 懂 得 算 牌 才 能 知 彼 知 己, 也 才 能 掌 握 牌 局 發 展 的 情 況 學 生 們 能 將 算 牌 的 技 巧 應 用 到 改 造 的 教 學 活 動 上, 是 可 喜 的 地 方 從 另 一 角 度 來 看, 算 牌 也 是 種 策 略 性 的 思 考, 考 慮 面 向 之 廣, 思 慮 程 度 之 深, 其 實 已 超 乎 了 學 習 形 式 數 學 知 識 的 思 考 因 為 相 較 於 一 般 教 科 書 上 的 習 作 練 習, 只 是 提 供 學 生 找 因 數 的 練 習, 學 生 也 許 反 覆 練 習 就 可 以 得 到 滿 意 的 結 果, 但 是 從 中 卻 無 法 這 般 發 展 學 生 高 度 的 數 學 思 考 而 學 生 們 善 於 算 牌, 評 估 情 勢 的 特 質, 已 是 將 因 數 的 知 識 融 於 策 略 應 用 的 一 部 分, 這 樣 的 思 考 正 也 是 結 合 了 學 童 日 常 生 活 的 數 學 經 驗 與 學 校 的 數 學 知 識 ( 二 ) 教 學 方 案 成 效 之 評 估 與 檢 討 本 研 究 二 個 教 學 方 案 經 實 踐 的 結 果, 學 生 們 學 習 氣 氛 熱 絡, 主 動 參 與 學 習 的 活 動, 完 全 不 覺 得 是 在 上 數 學 課, 與 傳 統 講 述 法 表 現 出 無 趣 與 被 動 的 反 應, 實 在 大 異 其 趣, 如 此 專 注 積 極 的 學 習 態 度, 為 學 習 成 效 奠 下 良 好 的 基 礎 誠 如 研 究 小 組 所 觀 察 的, 在 因 數 K 吉 棒 活 動 中, 大 多 數 學 生 都 能 獨 立 完 成 打 牌 的 活 動, 也 就 是 他 們 能 理 解 因 數 的 意 義 分 辨 是 否 能 整 除, 再 確 認 是 否 為 指 定 數 的 因 數 在 打 牌 的 過 程 中, 其 實 是 個 抽 象 思 考 的 歷 程, 學 生 們 必 須 先 瞭 解 某 一 個 數 是 否 能 整 除 指 定 數, 而 後 才 確 認 是 否 為 指 定 數 的 因 數 他 們 也 必 須 理 解 能 整 除 指 定 數 的 數, 才 可 能 是 指 定 數 的 因 數, 無 法 整 除 指 定 數 的 數, 就 不 可 能 是 指 定 數 的 因 數 學 生 能 正 確 打 出 牌, 基 本 上, 他 們 已 將 整 除 的 概 念

27 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 121 與 因 數 的 意 義 連 結 成 功 同 理, 在 因 數 對 對 碰 活 動 中, 四 個 參 與 補 救 教 學 的 學 生 都 能 正 確 的 打 出 所 對 應 的 因 數 配 對 牌, 在 活 動 後 的 深 入 訪 談 小 成 的 結 果, 也 能 具 體 明 確 的 說 出 因 數 配 對 的 理 由 因 此, 這 個 二 個 教 學 活 動 發 揮 了 持 續 強 化 與 檢 驗 因 數 概 念 與 因 數 配 對 的 功 能 就 如 Nesher(1986) 所 指 出 的 : 認 識 程 序 與 演 算 法 也 可 以 增 進 概 念 的 瞭 解 Piaget(1985) 也 認 為 : 不 斷 透 過 程 序 行 動 (action) 與 運 算 (operation) 過 程 可 以 理 論 化 為 思 考 的 物 件 (objects of thought) Gray 與 Tall(1993) 更 進 一 步 強 調 : 從 操 作 數 學 程 序 (procedure) 進 入 可 操 作 的 心 理 物 件 (mental object) 的 認 知 改 變, 是 學 習 數 學 概 念 最 重 要 的 過 程 本 研 究 因 數 K 吉 棒 和 因 數 對 對 碰 二 個 教 學 方 案, 讓 學 童 從 打 撲 克 牌 的 過 程 中 操 作 乘 法 或 除 法 的 演 算 與 程 序, 分 別 先 理 解 因 數 和 因 數 分 解 的 概 念, 並 將 所 得 知 識 應 用 於 打 牌 活 動 這 個 歷 程 中 學 生 不 僅 操 作 因 數 的 程 序 而 已, 還 將 因 數 概 念 當 做 心 理 物 件 予 以 抽 象 運 思 在 這 樣 遊 戲 情 境 的 佈 置 下, 讓 學 童 持 續 地 強 化 因 數 和 因 數 配 對 的 概 念, 以 及 活 用 所 學 得 的 因 數 知 識, 加 深 了 因 數 概 念 的 理 解 此 外, 結 合 佈 題 活 動 也 使 學 童 有 機 會 進 行 反 思 及 深 入 的 思 考, 並 發 展 許 多 策 略, 連 結 了 學 校 與 日 常 生 活 的 數 學 知 識 這 些 學 習 表 現 除 了 程 度 好 的 學 童 ( 如 小 巫 ) 有 著 超 級 的 演 出 精 準 的 算 牌 思 考 和 傑 出 的 致 勝 策 略 等, 中 低 程 度 的 學 童 ( 如 小 亮 小 恬 和 小 成 等 人 ) 也 有 著 令 人 驚 喜 的 表 現 歡 樂 之 中 建 立 相 關 因 數 知 識 與 因 數 配 對 概 念 整 體 而 言, 學 童 的 學 習 效 果 良 好 這 二 個 教 學 方 案 雖 然 實 施 成 效 佳, 但 在 以 下 二 個 層 面 對 學 童 之 學 習 可 能 會 有 負 面 的 影 響 : 第 一, 獲 勝 是 遊 戲 教 學 過 程 中 學 童 學 習 動 力 的 來 源, 而 致 勝 的 關 鍵 除 了 機 運 和 靈 活 的 頭 腦 之 外, 玩 牌 經 驗 的 豐 富 與 否 仍 然 影 響 學 童 出 牌 時 的 思 考, 小 亮 的 藏 牌 策 略 便 可 能 是 他 豐 富 的 玩 牌 經 驗 有 效 遷 移 所 致 但 其 他 程 度 不 錯 卻 缺 乏 類 似 玩 牌 經 驗 的 學 童, 在 初 步 的 打 牌 經 驗 中, 可 能 因 為 對 於 規 則 或 經 驗 的 不 夠 熟 悉, 導 致 玩 牌 的 挫 敗 感 例 如, 在 進 行 因 數 K 吉 棒 遊 戲 時, 黃 老 師 班 上 程 度 不 錯 的 小 伶, 就 因 之 前 完 全 沒 有 玩 過 類 似 的 撲 克 牌 遊 戲, 加 上 她 所 搭 檔 的 隊 友 ( 程 度 較 低 ) 也 缺 乏 此 經 驗, 以 致 他 們 屢 戰 屢 敗, 在 玩 遊 戲 的 歡 喜 臉 上 也 難 掩 失 望 的 神 情 雖 然 在 活 動 後 的 訪 談 和 日 誌 中, 她 並 未 因 玩 牌 的 失 敗 而 覺 得 不 好,

28 122 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 還 是 感 到 非 常 有 趣, 但 此 較 為 負 面 的 感 覺 還 是 在 學 習 過 程 中 衍 生 第 二, 在 本 研 究 二 個 方 案 結 束 教 學 之 後, 學 童 都 因 撲 克 牌 引 入 教 學 情 境 而 啟 動 了 玩 牌 的 風 潮, 課 後 時 間 仍 然 樂 此 不 疲 這 個 現 象 雖 然 可 更 穩 固 學 童 的 學 習 效 果, 但 缺 乏 老 師 引 導 或 督 促 的 情 形 下, 學 童 可 能 荒 廢 了 其 他 知 識 的 學 習 以 上 因 著 教 學 方 案 可 能 產 生 的 負 面 影 響, 未 來 在 實 施 這 二 個 方 案 時, 老 師 應 該 多 所 注 意 與 防 備 畢 竟 沒 有 一 個 教 學 方 案 是 十 全 十 美 毫 無 瑕 疵, 本 研 究 教 學 方 案 也 不 例 外, 仍 有 其 發 展 空 間 或 改 善 之 處, 以 下 為 本 研 究 二 個 教 學 方 案 設 計 與 實 踐 的 檢 討 : 數 字 大 小 影 響 著 因 數 之 計 算 與 判 斷, 數 字 越 大 運 算 和 判 斷 的 難 度 越 高 因 數 K 吉 棒 方 案 所 使 用 的 數 字 較 小 (1 至 13), 如 此 未 能 進 一 步 提 供 較 高 難 度 的 練 習, 與 對 較 大 數 字 因 數 概 念 的 檢 驗 再 者, 只 限 定 打 出 牌 數 之 因 數, 未 能 提 供 學 生 經 驗 因 數 和 倍 數 的 互 逆 關 係, 例 如 可 以 提 供 學 生 3 是 12 的 因 數 的 經 驗, 卻 缺 乏 12 也 是 3 的 倍 數 的 相 對 思 考, 是 修 正 教 學 方 案 時 可 以 再 加 深 加 廣 的 地 方 此 外, 本 活 動 也 無 法 凸 顯 因 數 配 對 的 概 念, 因 此 需 再 設 計 因 數 對 對 對 碰 的 方 案, 以 補 其 之 不 足 因 數 對 對 碰 方 案 設 計 僅 以 72 作 為 因 數 配 對 遊 戲 的 數 字, 可 能 不 夠 周 延, 若 以 其 他 較 大 的 數 字 進 行 遊 戲 時, 是 否 能 產 生 學 習 遷 移 的 效 果, 則 尚 待 考 驗 另 外, 本 活 動 僅 以 四 位 學 童 作 為 補 救 教 學 的 對 象, 若 有 更 多 學 生 加 入, 則 能 蒐 集 更 豐 富 的 資 料 本 研 究 以 質 性 的 方 法 來 蒐 集 與 分 析 資 料, 主 要 以 中 低 程 度 學 生 的 學 習 表 現, 來 作 為 檢 驗 學 習 效 果 的 指 標, 整 體 而 言, 成 效 良 好 但 受 限 於 研 究 小 組 的 人 力, 教 學 中 進 行 的 觀 察 工 作, 無 法 每 一 組 或 每 一 個 學 生 都 兼 顧 得 到, 因 此 可 能 有 所 疏 漏 此 外, 若 再 增 加 量 化 的 資 料, 作 為 檢 驗 的 證 據, 會 使 學 習 效 果 的 考 驗 更 為 周 延 嚴 謹 伍 結 論 與 建 議 實 踐 本 研 究 二 個 教 學 活 動 所 得 之 結 論 與 建 議 如 下 :

29 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 123 一 結 論 本 研 究 教 學 活 動 付 諸 實 踐 的 結 果, 發 現 這 二 個 改 造 的 撲 克 牌 遊 戲 發 揮 了 相 當 大 的 功 能, 可 作 為 強 化 與 檢 驗 因 數 概 念 的 機 制 茲 將 本 研 究 之 結 論 敘 述 如 下 : ( 一 ) 改 造 撲 克 牌 為 結 構 化 的 教 具, 提 供 了 檢 驗 與 強 化 因 數 概 念 的 機 制 日 常 生 活 中 的 撲 克 牌 遊 戲 都 有 其 遊 戲 規 則, 因 此 在 各 種 的 撲 克 牌 遊 戲 中 每 張 牌 的 意 義 都 不 盡 相 同 在 本 研 究 的 教 學 活 動 中, 修 改 K 吉 棒 和 撿 紅 點 的 遊 戲 規 則, 以 對 應 因 數 的 概 念 在 此, 撲 克 牌 已 轉 化 為 結 構 化 的 教 具, 蘊 含 著 數 學 知 識 的 學 習 對 學 童 來 說, 在 玩 撲 克 牌 的 過 程 中, 即 是 持 續 地 練 習 因 數 的 相 關 概 念 對 教 師 來 說, 觀 察 學 童 的 打 牌 行 為, 也 可 進 行 學 童 因 數 概 念 的 檢 驗 工 作, 研 究 小 組 觀 察 學 生 打 牌, 便 是 檢 驗 學 生 因 數 概 念 理 解 的 一 種 評 量 形 式 此 外, 分 析 學 童 打 牌 的 運 思 歷 程, 他 們 必 須 先 辨 別 手 中 的 牌 哪 些 是 可 以 出 牌 的 ( 即 是 否 整 除 要 跟 牌 的 數 ) 或 哪 些 是 可 以 吃 牌 的 ( 即 是 否 為 因 數 配 對 的 數 ), 然 後 才 出 牌 也 就 是 說, 透 過 活 動 的 操 作 ( 實 踐 ) 可 以 讓 學 生 經 驗 種 種 的 因 數 概 念, 再 藉 由 經 驗 後 的 反 思, 使 學 生 的 因 數 概 念 更 為 成 熟 情 境 認 知 學 者 強 調 知 識 即 工 具, 學 習 者 若 能 夠 把 所 獲 得 的 知 識 當 成 工 具 主 動 的 使 用, 不 僅 可 以 改 變 使 用 者 對 世 界 的 認 識, 也 會 對 工 具 ( 知 識 ) 有 更 深 刻 的 瞭 解 ( 黃 幸 美,2003) 本 研 究 在 教 學 情 境 佈 置 上, 主 要 提 供 學 童 主 動 使 用 所 學 得 因 數 知 識 的 機 會, 因 為 在 無 法 預 料 且 詭 異 多 變 的 牌 局 中, 學 童 必 須 立 即 且 反 覆 的 思 索, 並 應 用 學 得 的 因 數 知 識 來 打 牌 也 可 以 說, 撲 克 牌 遊 戲 是 一 種 具 有 結 構 且 需 立 即 完 成 數 學 目 標 的 活 動 ( 蔡 文 煥,2000), 學 童 於 無 形 之 中 已 將 學 得 的 因 數 知 識 當 成 武 器, 他 們 必 須 彈 性 地 思 考 與 運 用 這 些 數 學 知 識 才 能 產 生 致 勝 的 策 略 同 時, 學 生 不 斷 的 在 撲 克 牌 遊 戲 中 使 用 因 數 的 知 識, 對 於 因 數 的 特 性 將 更 清 楚 掌 握, 使 學 生 更 深 入 理 解 因 數 的 概 念 ( 二 ) 競 賽 式 遊 戲 結 合 佈 題 活 動, 可 以 擴 展 學 生 的 思 考 層 次 競 賽 式 遊 戲 除 了 引 起 學 童 熱 絡 的 學 習 氣 氛 之 外, 更 重 要 的 是 無 形 的 激 勵 動 力 學 童 為 了 獲 得 勝 利, 逼 迫 自 己 想 出 好 的 策 略 當 然 策 略 的 優 劣 與 學 童 的 智

30 124 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 能 經 驗 有 密 切 的 關 係 但 遊 戲 教 學 所 著 重 的 並 非 遊 戲 結 果 的 輸 贏, 而 是 遊 戲 過 程 中 展 現 引 發 學 生 的 種 種 思 考 與 表 現 ( 饒 見 維,1996) 前 述 學 生 種 種 的 學 習 表 現, 也 都 是 致 勝 的 這 個 誘 因 所 引 發 的, 並 帶 給 學 生 們 不 一 樣 的 刺 激 Sobel 與 Maletsky(1988) 就 認 為 學 生 在 競 賽 式 的 數 學 遊 戲 中 形 成 假 設 並 考 驗 假 設, 進 而 發 現 致 勝 策 略 的 思 考 型 式, 便 是 問 題 解 決 最 重 要 的 要 素 本 教 學 活 動 透 過 競 爭 遊 戲 促 使 學 生 產 生 致 勝 的 策 略, 提 供 學 生 深 度 思 考 與 運 用 數 學 知 識 的 機 會, 對 於 這 些 學 生 因 數 概 念 的 學 習 是 有 助 益 的 另 外, 這 二 個 教 學 活 動 最 大 的 特 色 是 希 望 藉 由 佈 題 活 動, 提 供 學 生 反 思 打 牌 與 因 數 知 識 的 關 聯, 進 而 強 化 因 數 的 概 念 實 際 執 行 本 研 究 因 數 K 吉 棒 佈 題 的 結 果 發 現, 除 了 可 作 為 學 童 溝 通 討 論 的 平 台, 也 引 導 他 們 在 打 牌 的 歷 程 中 進 行 另 一 個 方 向 的 思 考 本 研 究 發 現 學 童 在 佈 題 活 動 的 表 現, 能 夠 跳 脫 單 純 因 數 的 概 念 和 計 算, 以 統 合 的 觀 點 來 理 解 因 數 的 相 關 概 念 因 數, 並 創 造 出 致 勝 的 絕 佳 牌 局, 例 如 小 巫 的 數 學 日 誌 但 也 不 可 否 認 的, 相 較 於 因 數 K 吉 棒 活 動 中 學 生 思 考 的 表 現, 在 因 數 對 對 碰 活 動 的 過 程 中, 受 限 於 參 與 學 生 程 度 較 低, 思 考 的 層 次 是 較 低 的 雖 然 小 雯 等 人 在 佈 題 活 動 的 表 現 思 慮 有 不 夠 周 延 的 地 方, 但 是 藉 由 佈 題 活 動 也 激 發 他 們 進 行 數 學 思 考 總 之, 本 研 究 二 個 競 賽 式 的 撲 克 牌 遊 戲 結 合 佈 題 活 動, 提 供 學 童 解 非 例 行 性 問 題 的 機 會, 因 而 引 發 許 多 生 產 性 的 數 學 解 題 策 略, 促 進 了 學 童 主 動 理 解 因 數 的 概 念, 引 發 他 們 深 度 的 思 考, 並 建 構 了 屬 於 自 己 的 數 學 知 識 ( 三 ) 撲 克 牌 遊 戲 融 入 教 學, 連 結 了 學 校 與 日 常 生 活 的 數 學 知 識 以 功 能 而 言, 本 研 究 因 數 K 吉 棒 和 因 數 對 對 碰 二 個 教 學 活 動 設 計 不 只 是 一 種 文 化 活 動 或 遊 戲, 而 是 將 遊 戲 數 學 化, 也 將 數 學 遊 戲 化 了, 達 到 了 寓 教 於 樂 的 目 的 此 外, 將 文 化 活 動 轉 化 為 數 學 教 學 活 動, 可 以 激 發 學 童 強 烈 的 學 習 動 機, 奠 定 學 習 成 功 的 基 礎 本 研 究 中 學 生 在 玩 撲 克 牌 的 遊 戲 過 程 藏 牌 算 牌 和 穩 操 勝 券 的 表 現, 都 顯 現 出 學 童 為 了 致 勝 而 主 動 積 極 的 理 解 因 數 的 知 識, 和 進 一 步 設 想 打 牌 的 策 略 在 這 樣 的 歷 程 中 已 讓 學 校 與 日 常 生 活 的 數 學 知 識 結 合 在 一 起, 二 者 相 輔 相 成 達 到 良 好 的 學 習 效 果

31 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 125 二 建 議 茲 對 教 學 活 動 設 計 和 未 來 相 關 研 究 提 出 三 點 建 議 : ( 一 ) 實 施 本 研 究 因 數 K 吉 棒 教 學 活 動 時, 受 限 於 撲 克 牌 數 字 較 小, 僅 讓 學 生 進 行 1 到 13 等 數 字 的 因 數 練 習 建 議 教 師 教 學 時 可 以 自 行 製 作 紙 牌 教 具, 重 新 改 編 數 字 ( 如 改 變 成 二 組 1-26), 使 數 字 變 得 大 些, 也 可 以 修 改 遊 戲 規 則 ( 如 跟 牌 時 一 次 不 只 出 一 張 ), 以 提 昇 活 動 的 難 度 和 豐 富 學 習 內 容 同 時 可 進 一 步 研 究 當 數 字 變 大 或 不 同 的 遊 戲 規 則 時, 學 生 學 習 的 情 形 是 否 受 到 影 響 ( 二 ) 本 研 究 教 學 方 案 設 計 與 實 施 的 背 景 是 1996 年 版 課 程, 該 課 程 綱 要 強 調 簡 化 教 材 內 容, 因 此 教 學 的 內 容 僅 止 於 基 本 的 因 數 概 念, 其 他 延 伸 的 相 關 概 念, 如 質 數 和 合 數 的 概 念, 並 未 在 教 學 目 標 之 中 為 了 補 足 這 二 個 概 念, 仍 可 透 過 因 數 K 吉 棒 方 案 進 行 哪 些 牌 較 容 易 打 出 去? 和 哪 些 牌 較 難 打 出 去? 這 二 個 佈 題 活 動, 進 一 步 將 每 一 張 牌 可 以 跟 牌 的 情 形 列 出 ( 即 每 個 數 的 因 數 有 哪 些?), 再 以 此 引 導 學 生 質 數 與 合 數 的 概 念 ( 三 ) 本 研 究 將 撲 克 牌 遊 戲 改 造 為 結 構 化 的 教 具, 在 教 學 上 能 增 強 學 生 的 因 數 與 因 數 配 對 的 概 念 尋 找 適 當 的 撲 克 牌 遊 戲 予 以 轉 化 或 利 用 其 他 文 化 活 動 來 幫 助 學 生 獲 得 其 他 數 學 概 念 ( 例 如, 排 七 接 龍 撲 克 牌 遊 戲, 其 實 也 內 含 數 序 與 分 類 的 數 學 知 識 ), 是 未 來 可 以 繼 續 探 討 的 研 究 方 向 致 謝 : 本 研 究 是 國 科 會 專 題 計 畫 九 年 一 貫 數 學 教 學 模 組 的 開 發 與 實 踐 (91-NSC-2521-S ) 的 研 究 成 果, 感 謝 國 科 會 的 經 費 補 助 嘉 義 縣 前 南 新 國 小 陳 福 來 校 長 對 於 本 研 究 全 力 的 支 持, 及 合 作 夥 伴 吳 佳 玲 老 師 用 心 的 投 入, 使 本 研 究 得 以 順 遂 進 行 又 蒙 審 查 委 員 細 心 的 指 正, 使 本 文 之 品 質 得 以 提 昇, 在 此 一 併 致 謝 參 考 文 獻 朱 建 正 (1997) 國 小 數 學 課 程 的 數 學 理 論 基 礎 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 成 果 報 告 (NSC S ) 臺 北 市 : 國 立 臺 灣 大 學 數 學 系

32 126 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 吳 清 山 (2002) 創 意 教 學 的 重 要 理 念 與 實 施 策 略 臺 灣 教 育,614,2-8 林 珮 如 (2002) 國 小 學 童 因 數 解 題 與 迷 思 概 念 之 研 究 國 立 屏 東 師 範 學 院 數 理 教 育 研 究 所 碩 士 論 文, 未 出 版, 屏 東 縣 陳 清 義 (1995) 國 小 五 年 級 學 童 因 數 倍 數 問 題 學 習 瓶 頸 之 研 究 臺 北 市 立 師 範 學 院 初 等 教 育 學 系 碩 士 論 文, 未 出 版, 臺 北 市 陳 標 松 (2003) 國 小 六 年 級 數 學 學 習 困 難 學 生 因 數 倍 數 問 題 解 題 之 研 究 國 立 彰 化 師 範 大 學 特 殊 教 育 系 碩 士 論 文, 未 出 版, 彰 化 縣 陳 博 文 (1996) 國 小 學 童 四 則 運 算 能 力 的 研 究 國 立 中 正 大 學 心 理 學 研 究 所 碩 士 論 文, 未 出 版, 嘉 義 縣 黃 幸 美 (2003) 兒 童 的 問 題 解 決 思 考 研 究 臺 北 市 : 心 理 黃 國 勳 (2003) 實 踐 小 學 高 年 級 因 數 教 學 模 組 之 研 究 國 立 嘉 義 大 學 國 民 教 育 研 究 所 碩 士 論 文, 未 出 版, 嘉 義 市 黃 國 勳 劉 祥 通 (2003) 五 年 級 學 童 學 習 因 數 教 材 困 難 之 探 討 科 學 教 育 研 究 與 發 展 季 刊,30,52-70 甄 曉 蘭 (1995) 合 作 行 動 研 究 進 行 教 育 研 究 的 另 一 種 方 式 嘉 義 師 院 學 報,9, 蔡 文 煥 (2000,12 月 ) 以 日 常 生 活 活 動 為 基 礎 促 進 兒 童 數 學 學 習 以 撲 克 牌 為 例 載 於 國 立 新 竹 師 範 學 院 舉 辦 之 八 十 九 學 年 度 師 範 學 院 教 育 學 術 論 文 發 表 會 論 文 集 ( 頁 ), 新 竹 市 蔡 文 煥 林 碧 珍 (1998a,12 月 ) 數 學 文 化 和 認 知 整 合 教 學 研 究 ( 一 ): 兒 童 文 化 活 動 類 型 與 結 構 載 於 國 立 高 雄 師 範 大 學 舉 辦 之 中 華 民 國 第 十 四 屆 科 學 教 育 學 術 研 討 會 暨 第 十 一 屆 科 學 教 育 學 會 年 會 短 篇 論 文 彙 編 ( 頁 70-77), 高 雄 市 蔡 文 煥 林 碧 珍 (1998b,12 月 ) 數 學 文 化 和 認 知 整 合 教 學 研 究 ( 二 ): 兒 童 文 化 活 動 類 型 與 結 構 載 於 國 立 高 雄 師 範 大 學 舉 辦 之 中 華 民 國 第 十 四 屆 科 學 教 育 學 術 研 討 會 暨 第 十 一 屆 科 學 教 育 學 會 短 篇 論 文 彙 編 ( 頁 ), 高 雄 市 饒 見 維 (1996) 國 小 數 學 遊 戲 教 學 法 臺 北 市 : 五 南 蕭 金 土 (1995) 國 小 數 學 學 習 障 礙 學 生 的 鑑 定 學 習 問 題 診 斷 及 學 習 策 略 教 學 效 果 之 研 究 國 立 政 治 大 學 教 育 研 究 所 博 士 論 文, 未 出 版, 臺 北 市 Everitt, B. S. (1999). Chance rules: An informal guide to probability, risk and statistics. New York: Springer-Verlag. Dienes, Z. P. (1960). Building up mathematics. London: Hutchinson Educational. Haigh, J. (1999). Taking Chances: Winning with probability. New York: Oxford University Press. Gray, E. M., & Tall, D. (1993). Success and failure in mathematics: The flexible meaning of

33 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 127 symbols as process and concept. Mathematics Teaching, 142, Miles, T. R. (1992). The use of structured materials with older pupils. In T. R. Miles & E. Miles (Eds.), Dyslexia and mathematics (pp ). London: Routledge. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM. Nesher, P. (1986). Are mathematical understanding and algorithmic performance related? For the Learning of Mathematics, 6, 2-9. Piaget, J. (1970). Genetic epistemology. New York: Columbia University Press. Piaget, J. (1985). The equilibration of cognitive structures. Cambridge, MA: Harvard University Press. Sobel, M. A., & Maletsky, E. M. (1988). Teaching mathematics: A sourcebook of aids, activities, and strategies (2nd ed). Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.

34 128 教 育 研 究 集 刊 第 51 輯 第 1 期 附 錄 一 為 了 讓 本 研 究 教 學 方 案 透 過 實 踐 所 修 正 的 內 容 能 清 晰 呈 現, 以 下 將 各 個 初 始 教 學 方 案 和 建 議 教 學 方 案 並 列, 同 時 顯 現 修 正 的 內 容 ( 標 楷 體 字 部 分 ) 教 學 目 標 強 化 與 檢 驗 學 生 的 因 數 概 念 活 動 名 稱 : 因 數 K 吉 棒 活 動 說 明 透 過 玩 撲 克 牌 (K 吉 棒 ) 的 遊 戲, 讓 學 生 做 因 數 的 計 算 練 習, 並 深 入 發 展 教 學 時 間 教 師 視 實 際 教 學 狀 況 彈 性 決 定 之 教 學 準 備 一 教 具 或 媒 體 : 每 組 一 副 撲 克 牌 二 教 室 佈 置 : 二 個 人 一 隊 ( 程 度 高 配 程 度 差 的 學 生 ), 四 隊 組 成 一 組 方 案 修 正 情 形 方 案 類 型 初 始 方 案 建 議 方 案 遊 戲 規 則 ( 一 ) 類 似 (K 吉 棒 ) 或 ( 大 老 二 ) 的 玩 法, 以 跟 牌 為 主 要 規 則 ( 二 ) 一 副 撲 克 牌 分 給 四 個 人, 每 人 分 得 13 張, 最 先 將 牌 出 完 為 優 勝 者 ( 三 ) 由 拿 到 黑 桃 2 者 先 出 牌 ( 出 什 麼 牌 都 可 以 ), 跟 牌 者 的 點 數 只 要 是 第 一 出 牌 者 點 數 的 因 數 即 可, 不 分 牌 的 點 數 和 花 色 大 小, 若 無 牌 可 出 時, 則 輪 空 由 下 一 人 跟 牌 ( 四 ) 當 沒 有 人 可 以 跟 牌 時, 則 由 最 後 跟 牌 者 取 得 新 的 出 牌 權 ( 一 ) 類 似 (K 吉 棒 ) 或 ( 大 老 二 ) 的 玩 法, 以 跟 牌 為 主 要 規 則 ( 二 ) 每 兩 人 組 一 小 隊, 每 組 分 四 隊 競 賽 ( 三 ) 一 副 撲 克 牌 分 給 四 隊, 每 隊 分 得 13 張, 最 先 將 牌 出 完 為 優 勝 者 ( 四 ) 由 拿 到 黑 桃 2 者 先 出 牌 ( 出 什 麼 牌 都 可 以 ), 跟 牌 者 的 點 數 只 要 是 第 一 出 牌 者 點 數 的 因 數 即 可, 不 分 牌 的 點 數 和 花 色 大 小, 若 無 牌 可 出 時, 則 輪 空 由 下 一 隊 跟 牌 ( 五 ) 當 沒 有 人 可 以 跟 牌 時, 則 由 最 後 跟 牌 者 取 得 新 的 出 牌 權 ( 六 ) 當 有 一 隊 將 牌 出 完 取 得 第 一 優 勝 後, 其 餘 三 隊 仍 然 繼 續 玩, 新 的 發 牌 權 則 由 第 一 優 勝 者 的 下 一 隊 取 得 以 此 類 推, 直 到 四 隊 都 分 出 勝 負 為 止 ( 七 ) 每 出 完 某 一 數 的 因 數 後, 由 組 長 將 該 數 的 因 數 的 撲 克 牌 整 理 成 一 疊, 並 於 一 局 的 比 賽 結 束 後, 以 展 示 各 疊 撲 克 牌 的 方 式, 詢 問 組 員 各 數 的 因 數 ( 八 ) 佈 題 : 1. 哪 一 張 牌 最 容 易 打 出 去? 為 什 麼? 2. 哪 些 牌 比 較 難 打 出 去? 為 什 麼? 3. 手 中 握 有 哪 些 牌 比 較 可 以 穩 操 勝 券?

35 黃 國 勳 劉 祥 通 撲 克 牌 融 入 因 數 教 學 之 創 意 教 學 行 動 研 究 129 活 動 名 稱 : 因 數 對 對 碰 教 學 目 標 強 化 與 檢 驗 因 數 配 對 概 念, 以 完 備 因 數 概 念 活 動 說 明 教 學 時 間 教 學 準 備 透 過 玩 撲 克 牌 ( 撿 紅 點 ) 的 遊 戲, 讓 學 生 做 因 數 的 配 對 練 習, 使 其 能 簡 化 計 算 程 序, 窮 盡 所 有 的 因 數 教 師 視 實 際 教 學 狀 況 彈 性 決 定 之 教 具 或 媒 體 : 撲 克 牌 一 副, 並 修 改 撲 克 牌 的 數 字 :(A 1),(2 2),(3 3),(4 4),(5 5),(6 6),(7 18),(8 8),(9 9),(10 24),(J 36),(Q 12),(K 72) 方 案 修 正 情 形 方 案 類 型 初 始 方 案 建 議 方 案 遊 戲 規 則 佈 題 修 改 自 撲 克 牌 撿 紅 點 的 玩 修 改 自 撲 克 牌 撿 紅 點 的 玩 法 法 ( 一 ) 每 四 人 為 一 競 賽 單 位 ( 一 ) 每 四 人 為 一 競 賽 單 位 ( 二 ) 一 副 撲 克 牌 分 給 四 家, 每 家 分 得 6 張 ( 二 ) 一 副 撲 克 牌 分 給 四 家, 每 家 後, 再 現 出 4 牌 張 作 為 被 吃 牌, 分 得 6 張 後, 再 現 出 4 牌 張 其 餘 的 牌 置 於 中 間 當 作 機 會 牌, 作 為 被 吃 牌, 其 餘 的 牌 置 供 放 牌 者 掀 開 吃 牌 由 頭 家 開 始 放 於 中 間 當 作 機 會 牌, 供 放 牌, 每 放 一 張 牌 可 掀 起 機 會 牌 一 牌 者 掀 開 吃 牌 由 頭 家 開 始 張, 最 後 所 有 牌 都 放 完, 各 自 計 算 紅 放 牌, 每 放 一 張 牌 可 掀 起 機 點 的 分 數, 吃 最 多 分 者 為 優 勝 者 會 牌 一 張, 最 後 所 有 牌 都 ( 三 ) 原 來 撿 紅 點 的 遊 戲 規 則 主 要 是 以 放 完, 各 自 計 算 紅 點 的 分 湊 十 配 對 作 為 吃 牌 的 條 件 此 活 數, 吃 最 多 分 者 為 優 勝 者 動 遊 戲 規 則 改 為 因 數 配 對 的 方 ( 三 ) 原 來 撿 紅 點 的 遊 戲 規 則 式, 若 非 指 定 數 的 因 數 時, 則 為 自 主 要 是 以 湊 十 配 對 作 為 己 成 對 例 如 : 指 定 以 72 的 因 數 進 吃 牌 的 條 件 此 活 動 遊 戲 規 行 配 對 時, 1 配 72(K 牌 ) 2 配 則 改 為 因 數 配 對 的 方 式, 36(J 牌 ) 3 配 24(10 牌 ) 4 若 非 指 定 數 的 因 數 時, 則 為 配 18(7 牌 ) 6 配 12(Q 牌 ) 8 自 己 成 對 例 如 : 指 定 配 9 5 配 5 以 72 的 因 數 進 行 配 對 時, ( 四 ) 要 吃 牌 時, 必 須 先 喊 所 出 的 牌 乘 以 所 1 配 72(K 牌 ) 2 配 要 吃 的 牌 等 於 72, 一 方 面 確 定 學 生 是 36(J 牌 ) 3 配 24(10 否 真 的 瞭 解, 還 是 隨 便 打 出 去 而 已 牌 ) 4 配 18(7 牌 ) 6 另 一 方 面 也 可 強 化 因 數 配 對 的 概 配 12(Q 牌 ) 8 配 9 念 5 配 5 你 喜 歡 拿 到 哪 些 牌? 為 什 麼? 手 中 握 有 哪 些 牌 比 較 可 以 穩 操 勝 券?

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