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1

2 Black Scholes

3 I

4 II

5 III

6 IV

7 tow dimension tree model

8 Least-Square Monte Carlo simulation 2

9

10

11 -1 5

12

13 Tej 7

14

15 ( ) ( ) -1 ( )

16 ( ) 1 2 (Call on Call) (Call on Convertible bonds) 10

17 max{ CB (r, T, X,S)-X CB 0} CB ( r,t, X, S) S X r CB X (100 ) (Two-Factor Model) 3 ( ) 11

18

19 = ( ) ^ ( ) 4 13

20

21

22

23

24 -3 TCRI /( ) /8/ /6/ /4/ TCRI TEJ

25 /12/ /06/ /12/ /06/ /06/ Black Scholes 19

26 1. (Analytical Model) Black-Scholes Black and Sholes 1973 Black-Sholes Ingersoll 1977a Merton 1974 Contingent Claim Analysis CCA Black Sholes CCA CCA Black Scholes Ingersoll 1977a Black Scholes 20

27 2. 1 Longstaff and Schwartz 2001 Least-Square Least-Square Monte Carlo simulation,lsm 2 Brennan and Schwartz

28 Brennan and Schwartz 1980 McConnell and Schwartz 1986 LYON McConnell and Schwartz Peter Carayannopoulos 1996 Brennan and Schwartz 1980 Brennan and Schwartz 1980 Peter Carayannopoulos Cox,Ingersoll and Ross 1985 Hull and White Merton

29 Cox,Ingersoll and Ross 1985 Hull and White Hull and White 1990 Hull and White 1994 Extended Vasicek Model 23

30 1999 Brennan and Schwartz 1977 King Cox.Ross.Rubinstein 1997 Vasicek 1997 Hull and White

31 1999 Cox.Ingersoll and Ross Option Adjusted Spread OAS OAS OAS Hull and White 25

32 Least-Square Monte Carlo simulation 26

33 2002 Vasicek Longstuff Schwartz 2001 ( ) ( ) 27

34 Brennan and Schwartz

35

36 Kevin B.Connolly Pricing Convertible Bonds u 2 S us S uds ds d 2 S C uu ( u S ) = max 2 k,0 C u C Cud = max( uds k,0) C d Cdd = max( d 2 S k,0) 1 u d p u = e σ t d = e σ t r t e d p = u d 2 u d p 30

37 3 max 0 4 roll back node max CB ( CV Bond ) uu = max uu, CB u CB Cud = max ( CV, ud Bond ) CB d Cdd = max( CV dd, Bond) 1 2 max 3 roll back node 31

38 max,,min 4 coc ( CV Bond ) uu = max uu, coc u call on CB coc ( CV Bond ) ud = max ud, coc d coc dd = max( CV dd, Bond) max,0 roll back node max 32

39 1. max max -1-1 Time t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 CB Price

40 bond price par value/exp Risk dt Time t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Bond Price max( 0) max -2 34

41 -2 Time t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Stock Option

42 -3 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=

43 max

44 -4 Time t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Stock Option

45 -5 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=

46 max 0 max -6-6 Time t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Call on CB

47 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=

48 max max -8-8 Time t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 CB price

49 bond price put price/exp Risk dt Time t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Bond Price

50 -9 Time t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Call on CB

51 -10 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t= max max 45

52

53 -11 Time t=0 t=1 t=2 Call on CB t=0 t=1 t=

54 max max 48

55 compound option Boyle

56 1 S t = S t 1 e 2 ( r 0.5σ ) t+ σε t S t 1 S t t John C.Hull Options,Futures,AND OtherDerivatives Antithetic Method CB 1 1, 2 12 CB 2-1, CB 1 CB 2 CB + 1 CB 2 2 CB Var CB Var 1 C + 2 C 2 50

57 ( ρ ) σ σ σ CB 1 CB 2 CB 1 CB 2 Var CB σ 2-10 N 10 N / /

58 -13 N=100 N=500 N=1000 N=5000 N=

59

60 T CB bond price stock option Bond +stock option CB-bond -stock option call on CB Bond +call on CB CB-bond -call on CB call on CB Bond +call on CB CB-bond -call on CB

61

62 Least-Square Monte Carlo Simulation Longstaff and Schwartz 2001 Least-Square Monte Carlo Simulation Least-Square Monte Carlo Simulation M backward approach path t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=

63 backward approach max(, ) path t=1 t=2 t=3 t=4 t= path2 path4 path5 path7 path8 5 4 Y=a+bX+cX 2 y 5 4 X time4 E[Y/X] X 0.092X

64 -17 4 path y x x^ max, path conversion continue CB at time

65 -22 path2 path4 path5 path7 path path1 path3 path6 CB path t=1 t=2 t=3 t=4 t= E[Y/X] X+0.196X

66 -20 3 path y x x^ path conversion continue CB at time path2 path4 path

67 -22 3 path t=1 t=2 t=3 t=4 t= path t=1 t=2 t=3 t=4 t=

68 max 0 Least-Square Monte Carlo Simulation 3 Y=aX+bX 2 OLS a b 8 Least-Square Monte Carlo Simulation 8 Least-Square Monte Carlo Simulation Least-Square Monte Carlo Simulation Least-Square Monte Carlo Simulation 62

69 Tej -1 63

70 NT % NT

71

72 Cox Robinstein 1985 S j R i = j=1,2,,n S j

73 ^ u ^ 2 = 1 n ln ( ) s R k n k = 1 1 σ = s n ^ ( ) = ln Rk u s n k 1 ^ 2 ^ σ 2 s = 1 1 n k 1 ^ n ^ ( ) = ln R k u s

74

75 ~1 ( ) 100~ % 1~2 ( ) 103.1~ % 2~3 ( ) 106.3~ % %

76 %

77

78

79 / /

80 (1) (2) (3) (1)-(2)-(3) (4) (1)-(2)-(4)

81 (1) (2) (3) (1)-(2)-(3) (4) (1)-(2)-(4)

82

83 t (1) (2) (3) (2)+(3) (1)-(2)-(3) t=

84 CB CB CB CB

85 -1-2 CB CB CB 91/9/15 91/12/16 79

86

87 (1) (2) (3) (1)-(2)-(3) (1) (2) (3) (1)-(2)-(3)

88 -3 implied credit spread

89

90 CB CB CB CB

91

92 (1) (2) (3) (1)-(2)-(3) (1) (2) (3) (1)-(2)-(3)

93

94 CB CB CB CB CB CB

95 CB CB CB CB

96

97 -8 91

98 Least-Square Monte Carlo simulation

99

100 ECB 94

101 95

102 Brenna,M.J.,and E.S.Schwartz, 1977 Convertible bonds : Valuation and optimal strategies for call and conversion, Journal of Finance,vol.32, Brenna,M.J.,and E.S.Schwartz, 1980 Analyzing convertible bonds, Journal of Finance and Quantitative Analysis, Vol.15, Cox,J.C.,S.A.Ross and M.Rubinstein, 1985 Option Pricing A Simplified of Interest Rates. Econometrica,Vol.53,No.2,March, Hull,J., and A. White, 1990a Valuation Derivatives Securities Using the Explicit Finite Difference Method Journal of Financial and Quantitative Analysis,May, Ingersoll, J.E., 1977An Contingent Claims Valuation of Convertible Securities, Journal of Financial Economics, Vol.4, John C.Hull, Options, Futures, and Other Derivatives,Fourth Wdition,

103 Kevin B.Connolly, Pricing Convertible Bonds,1998 King, R., 1986 Convertible Bond Valution An Empirical Test, Journal of Financial Research, Vol.9, No.1, Longstaff, F. A.,and E.S. Schwartz (2001): Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Square Approach, The Review of Financial Studies, Vol. 14(1), Longstaff, F. A.,and E.S. Schwartz, (1995) A Simple Approach to Valuing Risky Fixed and Floating Rate Debt, Journal of Finance, Vol. 50(3), McConnell,J.J., and E.S.Schwartz, 1986 LYON Taming,Journal of Finance 41, Merton, R. C., 1974 On the pricing of corporate debt The risk structure of interest rates, Journal of Finance29, Peter Carayannopoulos, 1996Valuing Convertible Bonds Under the Assumption of Stochastic Interest Rate An Empirical Investigation, Quarterly Journal of Business and Economics, Vol.35, No.3, R.Geske, 1979 The Valuation of Compound Option, Journal of Financial Economics7,

104 % ( % 3.3%) % 98

105 41.2 ( ) 1 ( )

106

107 ( ) 1. : (1) ( ) (2) 80% % (1) 82.96% (2) 77.29% 101

108 3. 2 (1)(2) ( ) ( ) % ( % 3.1 ) 102

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