分 層 隨 機 抽 樣 (Stratfed Radom Samplg) ( Str. RS )

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1 第 五 章 : 綱 要. 序 論. 如 何 抽 取 分 層 隨 機 樣 本. 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 4. 估 計 母 群 體 平 均 數 與 總 數 樣 本 的 選 擇 5. 樣 本 的 配 置 6. 母 群 體 比 例 估 計 7. 選 擇 樣 本 大 小 來 配 置 估 計 比 例 所 需 樣 本 8. 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 9. 選 擇 層 級 的 合 適 法 則 0. 樣 本 選 擇 後 的 分 層. 分 層 雙 重 抽 樣

2 分 層 隨 機 抽 樣 (Stratfed Radom Samplg) ( Str. RS )

3 序 論 () 在 現 有 的 成 本 下 來 大 量 的 蒐 集 資 訊, 這 是 抽 樣 調 查 的 目 的 最 基 本 的 抽 樣 方 法, 簡 單 隨 機 抽 樣, 時 常 在 低 成 本 的 情 況 下, 提 供 好 的 母 群 體 估 計 分 層 隨 機 抽 樣 (ratfed radom samplg, Str.. R. S.), 此 方 法 在 限 定 的 成 本 下, 可 以 給 予 較 多 的 資 訊

4 序 論 () 分 層 隨 機 抽 樣 是 將 母 群 體 元 素 分 為 不 重 複 的 組 別, 稱 為 層 (rata rata), 然 後 在 每 一 層 中 利 用 簡 單 隨 機 抽 樣 抽 取 樣 本 ( 定 義 5 )

5 序 論 () 在 台 北 市 的 民 意 調 查 裏, 為 何 使 用 分 層 隨 機 抽 樣? 而 捨 棄 簡 單 隨 機 抽 樣

6 序 論 (4) 以 下 是 種 可 能 的 答 案 :. 問 卷 調 查 主 要 的 目 的 是 在 有 限 的 成 本 ( 或 固 定 成 本 ) 下 獲 得 最 大 的 資 訊 ( 或 將 誤 差 減 至 最 低 ) 樣 本 在 測 量 中 呈 現 小 的 變 異 將 會 產 生 小 的 估 計 誤 差

7 序 論 (5). 調 查 設 計 方 法 的 不 同, 成 本 也 不 同 ; 在 良 好 定 義 的 地 域 裏 ( 台 北 市 ), 藉 由 仔 細 的 分 層 隨 機 抽 樣, 可 使 得 抽 樣 樣 本 訪 談 員 時 間 及 交 通 成 本, 以 及 整 體 抽 樣 程 序 執 行 成 本 減 低 在 同 樣 的 花 費 裏, 分 層 隨 機 抽 樣 比 起 簡 單 隨 機 抽 樣, 研 究 者 可 以 以 更 節 省 的 成 本 來 探 討 更 多 的 樣 本

8 序 論 (6). 母 群 體 參 數 估 計 在 母 群 體 次 群 中 達 到 理 想 狀 態, 分 層 隨 機 抽 樣 可 以 允 許 在 每 一 層 內 分 別 估 計 母 群 體 參 數

9 序 論 (7) 由 以 上 的 個 答 案, 可 以 獲 得 下 列 個 結 論 :. 分 層 比 起 簡 單 隨 機 抽 樣 可 以 產 生 較 小 估 計 誤 差, 特 別 是 在 層 間 測 量 是 為 同 質 性 時. 抽 樣 時 每 個 觀 察 值 成 本 可 藉 由 母 群 體 元 素 分 層 為 便 利 的 群 組 而 減 少. 母 群 體 參 數 估 計 在 母 群 體 次 組 中 達 到 最 佳 狀 態, 這 些 次 組 應 隨 即 分 層

10 序 論 (8) Summary Summary Summary 以 上 個 結 論 總 合 起 來, 可 以 作 為 是 否 讓 母 群 體 採 取 分 層 或 如 何 分 層 的 標 準

11 序 論 (9) 大 部 份 主 要 的 調 查 都 會 在 設 計 中 併 入 某 種 程 度 上 的 分 層 ; 例 如, 以 下 美 國 勞 工 局 個 重 要 組 織 所 執 行 的 調 查 案 例 : 消 費 價 格 指 標 (cosumer( prce dex, CPI) 是 都 市 消 費 者 測 量 固 定 物 品 及 服 務 平 均 價 格 改 變 的 測 量 ;CPI; 真 實 地 最 少 由 四 種 調 查 計 算 而 得 的, 分 別 是 城 市 都 市 家 庭 提 供 商 品 服 務 廠 商 和 特 定 商 品 及 服 務 本 身

12 序 論 (0) 案 例 : 當 代 人 口 調 查 (curret( populato survey, CPS) 主 要 在 測 量 職 業 未 受 僱 及 失 業 型 態 ;CPS; 將 全 美 國 分 層 為 9 個 抽 樣 單 位, 這 方 式 如 同 CPI 一 樣, 只 不 過 在 鄉 下 地 方 的 抽 樣 單 位 是 以 農 場 數 作 為 分 層 數 的 基 準

13 序 論 () 案 例 : 建 立 機 構 調 查 (eablshmet( survey, ES) 蒐 集 工 作 時 間 資 料 及 美 國 非 農 業 機 構 的 獲 利 ; 建 立 機 構 的 分 層 是 根 據 工 業 型 態 及 大 小, 主 要 是 測 量 同 質 性, 但 也 包 括 不 同 型 態 工 業 的 估 計

14 分 層 隨 機 抽 樣 程 序 () 步 驟 確 認 母 群 體 中 的 每 一 個 抽 樣 單 位 步 驟 決 定 母 群 體 的 分 層 ()( 步 驟 將 母 群 體 中 的 每 個 個 體 分 到 適 當 的 分 層 中 步 驟 4 將 每 個 分 層 內 的 個 體 分 別 予 以 編 號 步 驟 5 決 定 樣 本 大 小 步 驟 6 決 定 使 用 比 例 或 非 比 例 分 層 抽 樣, 在 分 別 以 下 列 步 驟 完 成 步 驟 7 決 定 每 一 層 所 要 抽 出 的 個 體 數 樣 本 大 小 ( ) 分 層 數 ( ) 步 驟 8 以 簡 單 隨 機 抽 樣 抽 出 每 一 層 所 需 的 個 體 數 分 層 非 比 例 抽 樣 非 比 例 分 層 抽 樣 便 無 須 考 慮 每 一 層 的 大 小 及 其 所 佔 母 群 體 的 比 例 因 此 稱 之 為 非 比 例 抽 樣 步 驟 7 決 定 每 一 層 所 佔 母 群 體 的 比 率 ( p ) 每 一 個 分 層 的 個 體 數 母 群 體 個 體 總 數 步 驟 8 決 定 每 一 分 層 所 需 抽 出 的 個 數 ( 樣 本 大 小 ) * p 步 驟 9 以 簡 單 隨 機 抽 樣 抽 出 每 一 層 所 需 的 個 體 數 分 層 比 例 抽 樣 比 例 分 層 抽 樣 每 一 層 所 抽 出 來 的 個 數 是 依 據 每 一 層 所 佔 整 個 母 群 體 的 比 例 乘 上 所 欲 抽 出 的 樣 本 總 數 而 來 因 此 稱 為 分 層 比 例 抽 樣 圖 5 呈 現 的 是 分 層 隨 機 抽 樣 程 序 的 步 驟 圖 ( 胡 龍 騰 等 合 譯,00, 00,99 頁 )

15 分 層 隨 機 抽 樣 程 序 () 步 驟 清 楚 的 界 定 層 級 ; 然 後 每 個 母 群 體 的 抽 樣 單 位 放 置 到 適 當 的 層 級 內

16 分 層 隨 機 抽 樣 程 序 () 步 驟 在 抽 樣 單 位 分 層 之 後, 每 一 個 分 層 選 擇 簡 單 隨 機 抽 樣 來 進 行, 隨 後 會 提 到 層 間 合 適 的 樣 本 大 小, 但 在 這 之 前, 我 們 必 須 確 定 層 內 的 樣 本 是 獨 立 的

17 分 層 隨 機 抽 樣 程 序 (4) 為 確 實 瞭 解 分 層 隨 機 抽 樣 的 運 作, 需 要 認 識 以 下 的 符 號 : 分 層 數 層 級 中 的 抽 樣 單 位 數 母 群 體 中 的 抽 樣 單 位 數

18 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 () 令 y 表 示 從 層 中 簡 單 隨 機 抽 樣 的 樣 本 平 均 數,, 是 層 中 的 樣 本 大 小,μ 是 層 的 母 群 體 平 均 數 且 τ 是 層 的 母 群 體 總 數 母 群 體 總 數 τ 是 相 等 於 τ τ τ 在 每 一 個 層 級 裏 有 簡 單 隨 機 抽 樣, 因 此, 是 為 μ 的 不 偏 估 計 值, 以 及 是 為 層 級 總 數 τ 的 不 偏 估 計 值 似 乎 形 成 τ 的 估 計 值 是 合 理 的, µ 就 是 將 的 估 計 值 加 總 起 來 相 同 的, 既 然 母 群 體 平 均 數 μ 相 當 於 母 群 體 總 數 τ 除 以, 一 個 μ 的 不 偏 估 計 值 是 由 所 有 層 級 的 τ ' τ ' s s y y 估 計 值 加 總 起 來, 且 除 以 所 以,Scheaffer, 等 人 (996)) 將 此 估 計 值 標 示 y, 下 標 代 表 分 層 隨 機 抽 樣

19 分 層 隨 機 抽 樣 估 計 分 層 隨 機 抽 樣 估 計 μ 與 估 計 誤 差 計 算 公 式 : 與 估 計 誤 差 計 算 公 式 : ( 公 式 ( 公 式 5 ) 的 估 計 變 異 數 : 的 估 計 變 異 數 : ( 公 式 ( 公 式 5 ) [ ] y y y y y... y ( ) ( ) ( ) ( ) s s s y V y V y V y V 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 () ()

20 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 () 例 題 5. 一 家 廣 告 公 司 想 要 瞭 解 其 在 澎 湖 發 展 的 潛 力, 所 以 他 們 訪 談 了 40 個 家 庭, 並 且 決 定 從 馬 公 市 抽 取 0 家 (( ) 望 安 鄉 抽 取 8 家 ( ) 以 及 七 美 鄉 抽 取 家 (( ), 假 設 55, 6 及 9 利 用 簡 單 隨 機 抽 樣 進 行 訪 談, 表 格 5 列 示 了 各 鄉 市 抽 取 家 庭 每 週 觀 賞 他 們 製 作 廣 告 的 時 數, 請 估 計 平 均 觀 賞 電 視 時 間 ( 每 週 時 數 )() ) 在 澎 湖 地 區 所 有 的 家 庭 以 及 ()( ) 在 七 美 鄉 所 有 的 家 庭, 在 兩 個 例 子 中, 再 請 算 出 估 計 誤 差

21 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 (4) 例 題 5. () 澎 湖 地 區 個 鄉 市 隨 機 抽 取 家 庭 每 週 觀 看 廣 告 時 數 馬 公 市 望 安 鄉 七 美 鄉

22 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 (5) 例 題 5. 解 () 表 5 澎 湖 地 區 個 鄉 市 隨 機 抽 取 家 庭 每 週 觀 看 廣 告 時 數 敘 述 統 計 城 市 平 均 數 中 位 數 標 準 差 馬 公 市 望 安 鄉 七 美 鄉

23 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 (6) 例 題 5. 解 () 問 題 ():( (a) 母 群 體 平 均 數 (b) 估 計 變 異 數 y ( y ) [ y y ] y ( 0 ) (c) 估 計 誤 差 SD V [( 55 )(. 9 ) ( 6 )( 5. ) ( 9 )( 9 )] ( 55 ) (. 87 )( ) ( 6 ) (. 87 )( 5. 5 ) 0 ( 9 ) (. 87 )( 9. 6 ) s ] (d) 整 體 表 示 y ± ( y ) V ± (e) 結 論 澎 湖 地 區 平 均 每 週 觀 賞 該 廣 告 商 時 數 是 介 於 4.89 至 0.5 個 小 時 內

24 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 (7) 例 題 5. 解 () 問 題 ():( (a) 母 群 體 平 均 數 及 估 計 誤 差 y ± 5. ± 0. 0 s 5. ± (b) 結 論 此 估 計 值 有 大 的 估 計 誤 差, 因 為 s 大 且 樣 本 大 小 小, 因 此 母 群 體 平 均 數 的 估 計 值 是 層 級 估 計 y y 是 非 常 好, 但 的 平 均 數 是 非 常 的 差, 如 果 估 計 特 別 層 級 理 想 的 話, 在 該 層 集 中 的 樣 本 需 要 大 到 能 夠 提 供 合 理 的 估 計 誤 差

25 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 (8) 既 然 τ 是 等 於 μ,τ 的 非 偏 差 估 計 值 是 等 於 y 分 層 隨 機 抽 樣 估 計 τ 計 算 公 式 : y y y... y y y 的 估 計 變 異 數 : ( 公 式 5 ) V ( ) ( ) y V y s ( 公 式 5 4)

26 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 (9) 例 題 5. 延 續 例 題 5,, 請 估 計 ()μ,( 並 且 ()( ) 算 出 估 計 誤 差

27 母 群 體 平 均 數 及 總 數 估 計 (0) 例 題 5. 解 () (a) y (b) 估 計 變 異 數 y 0 7 V (. 7 ) 8587 小 時 ( ) ( ) y V y ( 0 ) (. 97 ) 89, 7 (c) 估 計 誤 差 SD 89, (d) 整 體 表 示 8, 587 ± 870. (e) 結 論 澎 湖 地 區 每 週 觀 賞 該 廣 告 商 總 時 數 是 8,587 個 小 時, 誤 差 應 低 於 870. 個 小 時

28 母 群 體 平 均 數 及 總 數 樣 本 大 小 () 樣 本 的 資 訊 量 端 賴 於 樣 本 大 小, 因 為 當 增 加, 設 我 們 特 定 y 機 率, 換 句 話 說, 就 減 少 假 估 計 應 該 介 於 母 群 體 平 均 數 B 單 位 中, 相 當 於.95 的 ( ) B V y 或 ( y ) V B 4 V ( y ) 以 上 的 式 子 是 真 實 於 大 的 來 說, 實 際 的 來 取 代,,..., y 的 母 群 體 變 異 數, 而 不 是 估 計 變 異 數 對 ( y ) V 變 異 數 與 公 式 5 類 似, 只 是 用 s, s,..., s

29 母 群 體 平 均 數 及 總 數 樣 本 大 小 () 雖 然 ( y ) 設 定 相 當 於 V 4, 但 若 不 知 道,,..., 及 之 間 的 關 係, 不 可 能 求 解 ; 有 許 多 的 方 式 在 不 同 的 層 級 中 來 分 配 的 樣 本 大 小, 然 而, 在 每 一 個 個 案 第 個 層 級 的 觀 察 值 數, 是 一 些 總 樣 本 大 小 的 比 例,Scheaffer, 等 人 (996( 996) ) 將 其 標 示 為 B w,,,, ( ) 利 用 上 述 公 式, 可 以 設 定 V y 相 等 於 4 B, 並 且 解 ( 公 式 5 5)

30 母 群 體 平 均 數 及 總 數 樣 本 大 小 () 相 同 的, 母 群 體 總 數 τ 及 B 單 位 估 計 誤 差 產 生 下 列 方 程 式 : V ( y ) B 或 使 用 公 式 5 4: B V 4 ( y )

31 母 群 體 平 均 數 及 總 數 樣 本 大 小 (4) 分 層 隨 機 抽 樣 估 計 μ 或 τ 的 樣 本 計 算 公 式 : 其 中 的 w 是 在 層 級 中 分 佈 觀 察 值 的 比 例, 變 異 數, 且 D w D B 4 * 課 本 及 勘 誤 表 請 更 正 ( 公 式 5 6) 是 層 級 母 群 體 ( 估 計 μ) D B 4 ( 估 計 τ)

32 母 群 體 平 均 數 及 總 數 樣 本 大 小 (5) 在 應 用 公 式 5 6 前, 必 須 獲 得,..., 方 式 是 使 用 先 前 試 驗 估 計 近 似 值, 一 種 可 行 的 的 樣 本 變 異 s, s,..., s, 第 二 個 方 法 需 要 知 道 每 個 層 級 內 觀 察 值 的 範 圍, 根 據 T. Chebysheff 理 論 及 中 央 極 限 定 理, 範 圍 大 約 應 該 是 4 到 6 個 標 準 差 (SD( SD),,...,,

33 母 群 體 平 均 數 及 總 數 樣 本 大 小 (6) 例 題 5. 延 續 例 題 5,, 若 是 之 前 的 研 究 透 露 各 層 間 的 變 異 數 近 似 於 5,, 0, 請 應 用 y 來 估 計 母 體 平 均 數 並, 在 假 設 估 計 誤 差 是 個 小 時 計 算 所 需 抽 取 樣 本, 分 配 比 例 分 別 為, w, w 一 層 內 的 觀 察 值 數 是 一 樣 的 w, 換 句 話 說, 在 每

34 母 群 體 平 均 數 及 總 數 樣 本 大 小 (7) 例 題 5. 解 () (a) 誤 差 小 時 或, 因 此,D, D V y V ( y ) ( ) (b) (c) w w ( 405 )( 75 ) ( 844 )( 4 ) ( 8649 )( 00 ) 6, 057, 8 w w ( 55 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 44 ) ( 9 ) ( 00 ) ( 55 )( 5 ) ( 6 )( 44 ) ( 9 )( 00 ), 0 (d) D ( 0 ) ( ) 96, 00 (e) 利 用 公 式 5 6, 算 出 D w 6, 057, 8 96, 00, (f) 結 論 研 究 者 應 抽 取 5 個 樣 本, 其 中 5 ( w ) ( 因 層 級 樣 本 較 大, 故 可 多 給 予 一 個 樣 本 )

35 母 群 體 平 均 數 及 總 數 樣 本 大 小 (8) 例 題 5. 4 延 續 例 題 5,, 若 是 之 前 的 研 究 透 露 各 層 間 的 變 異 數 近 似 於 5,, 0, 請 估 計 母 群 體 總 數 τ, 在 估 計 誤 差 是 400 個 小 時 之 下 計 算 所 需 抽 取 樣 本, 假 設 每 一 層 內 的 觀 察 值 數 是 一 樣 的

36 母 群 體 平 均 數 及 總 數 樣 本 大 小 (9) 例 題 5.4 解 () (a) 誤 差 400 小 時 (b) (c) w ( 400 ) B D w 4 4 ( 405 )( 75 ) ( 844 )( 4 ) ( 8649 )( 00 ) 6, 057, 8 w w 40, 000 ( 55 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 44 ) ( 9 ) ( 00 ) ( 55 )( 5 ) ( 6 )( 44 ) ( 9 )( 00 ), 0 (d) 40, 000 D 40, 000 (e) 利 用 公 式 5 6, 算 出 (f) 結 論 D w 6, , 000, 8, 研 究 者 應 抽 取 98 個 樣 本, 其 中 5 ( w )

37 樣 本 的 配 置 (). 抽 樣 調 查 的 目 標, 如 前 多 次 所 述 在 於 以 最 少 的 成 本 提 供 估 計 值 最 小 的 變 異 數. 在 樣 本 確 認 後, 有 許 多 方 式 來 將 切 割 成 個 別 層 級 樣 本 大 小,,,,, 每 個 切 割 部 份 會 造 成 樣 本 平 均 數 不 同 的 變 異 數, 所 以 切 割 的 目 的 ( 或 稱 為 樣 本 的 配 置 ) 在 最 小 成 本 下, 給 予 特 定 的 資 訊 量

38 樣 本 的 配 置 () 在 這 樣 的 目 標 下, 最 佳 配 置 受 個 因 素 影 響 :. 每 個 層 級 內 的 總 元 素 數. 每 一 層 級 內 觀 察 值 的 變 異 性. 每 一 層 級 內 獲 得 觀 察 值 的 成 本

39 樣 本 的 配 置 () 近 似 配 置 以 減 少 固 定 小 化 V ( y ) V ( y ) 值 的 成 本 或 為 固 定 成 本 最 計 算 公 式 ( 又 稱 分 層 談 明 抽 樣 法 ): ( 公 式 5 7) 其 中 的 代 表 層 級 大 小, 是 層 級 母 群 體 變 異 數, 且 c c... c c 代 表 從 層 級 中 獲 得 單 一 觀 察 值 的 成 本, 注 意 是 直 接 與 成 比 例, 且 與 c 成 反 比 例 c k c k k c k

40 樣 本 的 配 置 (4) 在 抽 樣 前 必 須 在 每 一 層 算 出 近 似 變 異 數 以 使 用 配 置 公 式 ( 公 式 5 7); ; 此 近 似 值 可 以 從 之 前 的 研 究 或 每 一 層 測 量 範 圍 知 識 中 獲 得, 將 公 式 5 7 中 的 的 w, 可 得 替 換 公 式 5 6 中 k k k c D k c 上 述 公 式 合 適 配 置 用 在 y 固 定 在 D 的 變 異 數 ( 公 式 5 8)

41 樣 本 的 配 置 (5) 例 題 5 5 : 例 題 5 的 廣 告 商 發 現 跑 七 美 鄉 的 成 本 較 高, 這 樣 的 成 本 增 加 主 要 是 家 庭 距 離 較 大, 每 個 成 本 在 馬 公 市 及 望 安 鄉 為 8 元, 而 七 美 郷 是 00 元, 分 層 的 標 準 差 ( 之 前 研 究 獲 得 的 層 級 樣 本 變 異 數 ) 分 別 為,, 0, 5 請 在 最 小 成 本 下, 估 計 母 群 體 平 均 數, 在 估 計 誤 差 是 個 小 時 之 下 計 算 所 需 抽 取 總 樣 本 及 各 層 間 的 樣 本 數

42 樣 本 的 配 置 (6) 解 答 () (a) k k c k k ( ) 6 ( ) 9 ( 0 ) c c c (b) c c c c ( 5 ) 8 6 ( ) ( ) 00 6, 975 6, 696 9, 00, (c) 計 算 總 樣 本 k k c k k D c ( )(, 97 ) ( 0 ) ( ), 0 6, 0, 48. 8, 0

43 樣 本 的 配 置 (7) 解 答 () (d) 55 ( 5 ) c 9. k k k c k 7 (e) 計 算, ( ) ( 0 ) (f) 結 論 研 究 者 應 抽 取 5 個 樣 本, 其 中 7 6 8

44 樣 本 的 配 置 (8) 在 一 些 分 層 抽 樣 的 問 題 中, 獲 得 觀 察 值 的 成 本 在 所 有 層 中 是 一 樣 的, 因 此 假 設 樣 本 中 的 成 本 是 一 樣 的, 若 c c... c, 在 公 式 5 7 的 成 本 將 被 取 消 且 ( 公 式 5 9)

45 樣 本 的 配 置 (9) 這 種 方 法 稱 為 eyma ( 紐 門 ) 配 置 法, 在 eyma 配 置 下, 計 算 總 樣 本 的 公 式 5 8 變 形 為 : D C 成 本 不 見 了 ( 公 式 5 0)

46 樣 本 的 配 置 (0) 例 題 5 6 : 例 題 5 的 廣 告 商 決 定 用 電 話 訪 談 的 方 式 以 取 代 面 談 的 方 式, 因 為 每 個 家 庭 都 有 電 話, 而 且 這 樣 的 方 式 減 少 成 本, 因 此 個 層 間 獲 得 樣 本 的 成 本 是 一 樣 的 層 間 標 準 差 同 樣 的 是 5,, 0 此 廣 告 商 想 要 估 計 母 群 體 平 均 數 μ 且 估 計 誤 差 是 個 小 時, 請 計 算 所 需 抽 取 總 樣 本 及 各 層 間 的 樣 本 數

47 樣 本 的 配 置 () (a) 解 答 () ( 55 )( 5 ) ( 6 )( ) ( 9 )( 0 ), 449 (b) 計 算,, ( 55 )( 5 ), 449 (. ) ( 6 )( ), 449 ( 9 )( 0 ), 449 (. 0 ) (. 8 ) (c) 樣 本 配 置 w., w. 0, w. 8

48 樣 本 的 配 置 () 解 答 () (d) D (, 449 ) 96, 00, (e) 計 算,, w w ( 5 )(. ) 6 w ( 5 )(. 0 ) ( 5 )(. 8 ) 9 6

49 樣 本 的 配 置 () 除 了 會 遇 到 成 本 相 同 外, 有 時 還 會 遇 到 近 似 相 同 變 異 數 的 情 形, 在 這 樣 的 情 況 下, 公 式 5 9 的 就 消 失 了 且 改 寫 如 下 : ' s ( 公 式 5 )

50 樣 本 的 配 置 (4) 將 樣 本 大 小 安 排 到 各 層 中 稱 為 比 例 配 置, 因 為 樣 本 大 小,..., 成 比 例 ; 當 然, 比 例 配 置 時 常 是 處 於 層 間 變 異 數 及 成 本 不 一 樣 的 時 候, 應 用 此 方 法 的 優 勢 是 簡 單 地 變 成 整 體 樣 本 的 樣 本 平 均 數 在 比 例 配 置 公 式 5 6 計 算 方 面, 產 生 變 成, 與 層 級 大 小,,..., y D V ( y ) D, 所 以, 公 式 ( 公 式 5 )

51 樣 本 的 配 置 (5) 例 題 5 7 : 例 題 5 的 廣 告 商 認 為 之 前 所 用 的 近 似 變 異 數 是 錯 誤 的 且 層 裏 的 變 異 數 應 近 似 相 等 在 之 前 的 研 究, 於 0,, 是 使 用 電 話 訪 談 且 成 本 在 所 有 層 裏 將 會 是 相 等 廣 告 商 想 要 估 計 澎 湖 居 民 每 週 看 電 視 的 平 均 時 近 似 數, 且 估 計 誤 差 為 個 小 時 請 找 出 樣 本 大 小 及 達 到 準 確 性 的 層 樣 本 數

52 樣 本 的 配 置 (6) (a) 解 答 () ( 55 )( 00 ) ( 6 )( 00 ) ( 9 )( 00 ), 000 (b) 計 算 因 為 D, 公 式 5 0, ( ) (, 000 ) (c) 計 算,, (. 5 ) (. ) 6 0 (. ) 5 (d) 結 論 此 結 果 與 先 前 的 案 例 不 同, 因 在 此 假 設 所 有 層 內 的 變 異 數 是 相 等 的, 且 由 共 同 值 來 近 似

53 樣 本 的 配 置 (7) 花 在 抽 樣 上 的 錢 有 時 是 在 抽 樣 開 始 前 就 固 定 了, 之 後 研 究 者 須 在 固 定 的 花 費 上 找 尋 樣 本 大 小 及 使 得 變 異 最 小 化 的 配 置

54 樣 本 的 配 置 (8) 例 題 5 8 : 假 設 如 例 題 5 5 中, 每 一 個 成 本 在 馬 公 市 及 望 安 鄉 是 為 8 元, 而 七 美 鄉 是 00 元, 令 分 層 的 標 準 差 分 別 為 5,, 0, 請 在 最 小 成 本 下, 假 設 該 廣 告 商 只 有 7,500 元 的 抽 樣 成 本, 請 選 擇 樣 本 大 小 且 使 得 最 小 化 的 配 置 V ( y )

55 樣 本 的 配 置 (9) 解 答 () (a) w, w, w w, w., w. 5. (b) 總 成 本 c 8 c 8 c 00 7, 500 7, 500 (c) 因 為 8 (. ) 8 (. ) 00 (. 5 ) 7, 500 w 8 w 8 w 00 w 7, 500 (d)) 解 , (e) 計 算,, w w ( 00 )(. ) 66, w ( 00 )(. ) ( 00 )(. 5 ) (f) 結 論 研 究 者 應 抽 取 00 個 樣 本, 其 中, 在 成 本 於 7,500 元 以 下

56 樣 本 的 配 置 (0) 以 上 一 系 列 的 例 題, 可 獲 得 一 個 結 論 就 是, 比 例 配 置 分 層 隨 機 抽 樣 比 起 SRS 將 會 產 生 較 小 變 異 數 估 計 值 ( 在 相 同 樣 本 情 形 下 ), 如 果 在 層 平 均 數 相 當 變 異 的 情 形 下 ; 如 果 層 與 層 間 抽 樣 成 本 幾 乎 相 等, 合 適 分 層 隨 機 抽 樣 配 置 ( 公 式 5 6) ) 將 會 產 生 比 比 例 配 置 較 小 的 變 異 數, 當 層 變 異 數 有 變 異 產 生 時

57 母 群 體 比 例 估 計 () 在 之 前 的 例 題, 大 致 上 是 估 計 每 週 花 在 看 電 視 的 時 數, 相 對 的, 假 設 廣 告 商 想 要 估 計 觀 賞 特 別 節 目 的 比 例, 誠 如 之 前 的 做 法, 母 群 體 分 為 幾 個 層 級, 每 一 層 內 採 用 簡 單 隨 機 抽 樣 ; 接 下 來 執 行 面 談 以 確 認 層 級 中 觀 賞 特 別 節 目 此 所 述, p p 層 級 中 觀 賞 特 別 節 目 家 庭 的 比 例, 是 p 的 不 偏 估 計 值, 是 為 層 級 中 母 群 體 比 例 如 同 之 前 p p... 是 層 級 中 觀 賞 特 別 節 目 家 庭 的 總 數 ; 因 此, p 是 在 母 群 體 中 觀 賞 家 庭 總 數 最 好 的 估 計 值, 若 再 除 以, 可 以 獲 得 母 群 體 比 例 p 的 不 偏 估 計 值 p

58 母 群 體 比 例 母 群 體 比 例 p 的 估 計 值 : 的 估 計 值 : ( 公 式 ( 公 式 5 ) 的 估 計 變 異 數 : 的 估 計 變 異 數 : ( 公 式 ( 公 式 5 4 4) p p p p p... p q p p V p V p V p V p V... 母 群 體 比 例 估 計 母 群 體 比 例 估 計 () ()

59 母 群 體 比 例 估 計 () 例 題 5 7 : 金 視 廣 告 公 司 想 要 估 計 澎 湖 縣 觀 看 澎 湖 七 美 特 別 節 目 的 比 例, 所 以 將 其 分 為 個 層 級 : 馬 公 市 (( ) 望 安 鄉 (( ) 及 七 美 鄉 (( ), 各 層 級 包 含 55, 6 及 9 為 了 作 比 例 配 置, 分 層 隨 機 抽 取 40 個 家 庭 每 一 層 中 使 用 簡 單 隨 機 抽 樣, 各 層 抽 出 的 樣 本 數 分 別 為 0, 8 及 表 5 是 訪 調 的 結 果, 請 估 計 澎 湖 縣 觀 看 澎 湖 七 美 特 別 節 目 的 比 例 及 估 計 誤 差

60 母 群 體 比 例 估 計 (4) 表 5 例 題 5 9 的 調 查 結 果 層 級 樣 本 大 小 觀 看 澎 湖 七 美 家 庭 數 p

61 母 群 體 比 例 估 計 (5) 解 答 () (a) p ( 55 )(. 80 ) 6 (. 5 ) 9 (. 50 ) 0 [ ]. 60 (b) (c) V p V p V V V q p (. 8 )(. ) p 9 q (. 87 )(. 008 ). 007 p (. 5 )(. 75 ) p 7 q 9 9 (. 87 )(. 07 ). 04 p (. 5 )(. 5 ) p ( 0 ) (. 87 )(. 0 ). 00 [( 55 ) (. 007 ) ( 6 ) (. 04 ) ( 9 ) (. 00 )] V p

62 母 群 體 比 例 估 計 (6) 解 答 () (d) 結 果 及 結 論 p ± V. 60 ± ± p. 4 (e) 建 議 此 案 例 的 誤 差 太 大, 改 善 的 方 式 就 是 增 大 樣 本

63 選 擇 樣 本 大 小 來 配 置 估 計 比 例 所 需 樣 本 () 估 計 比 例 所 需 樣 本 計 算 公 式 與 公 式 5 6 近 似, 但 需 將 轉 換 成 p, 以 下 是 相 關 公 式 說 明 : q 估 計 p 及 誤 差 的 近 似 樣 本 公 式 : D w p q p q ( 公 式 5 5) w 是 層 級 中 觀 察 值 的 比 例, p 是 層 級 中 母 群 體 比 例, 且 D B 4

64 選 擇 樣 本 大 小 來 配 置 估 計 比 例 所 需 樣 本 () 從 之 前 成 本 的 觀 念 考 量, 同 樣 公 式 5 7 中 的 代 換 成 p q : 固 定 V p 或 固 定 成 本 下 最 小 V p 近 似 最 小 成 本 樣 本 配 置 公 式 : p q c p q p q... c c p q c k k p q c k p q c k k 是 層 級 中 的 樣 本, p 層 級 中 單 一 觀 察 值 的 成 本 是 層 級 中 母 群 體 比 例, 且 ( 公 式 5 6) c 是 獲 得

65 選 擇 樣 本 大 小 來 配 置 估 計 比 例 所 需 樣 本 () 例 題 5 0 : 假 設 表 5 是 00 年 的 資 料, 金 是 廣 告 公 司 現 今 想 要 估 計 澎 湖 縣 觀 看 澎 湖 七 美 特 別 節 目 的 比 例, 雖 然 p,p 及 p 未 知, 但 根 據 00 年 的 資 料 可 以 知 道,. 及 研 究 進 行 p. 8 p 5 p. 5 時 仍 分 為 個 層 級 : 馬 公 市 (( ) 望 安 鄉 (( ) 及 七 美 郷, 各 層 級 包 含 55, 6 及 9, 其 中,, 及 中 獲 得 每 一 個 觀 察 值 的 成 本 為 0 元, 而 為 5 元 金 是 廣 告 公 司 想 要 估 計 母 體 比 例 p, 且 已 知 估 計 誤 差 為. 請 算 出 在 最 小 成 本 下 的 樣 本 大 小 及 各 層 間 樣 本 大 小 ((, 及 )

66 選 擇 樣 本 大 小 來 配 置 估 計 比 例 所 需 樣 本 (4) 例 題 5 0 : 層 級 樣 本 大 小 表 5 例 題 5 9 的 調 查 結 果 觀 看 澎 湖 七 美 家 庭 數 p

67 選 擇 樣 本 大 小 來 配 置 估 計 比 例 所 需 樣 本 (5) 解 答 () (a) p c q 55 p c q (. 8 )(. ) (. 5 )(. 75 ) (. 5 )(. 5 ) p c q p c q (b) p q c p q c

68 選 擇 樣 本 大 小 來 配 置 估 計 比 例 所 需 樣 本 (6) 解 答 () (c) 所 以, w. 4889, w. 7, w. 994 w (d) p w q p w ( 55 ) (. 8 )(. ) ( 6 ) (. 5 )(. 75 ) ( 9 ) (. 5 )(. 5 ) , q p w q. 7 p w q. 994 (e) p q ( 55 )(. 8 )(. ) ( 6 )(. 5 )(. 75 ) ( 9 )(. 5 )(. 5 ) p q p q p q

69 選 擇 樣 本 大 小 來 配 置 估 計 比 例 所 需 樣 本 (7) 解 答 () (f)d 令 V p. ( 給 定 誤 差 條 件 ), 因 此 : (. ) V p D (g) (h) D ( 0 ) (. 005 ) D w p q p q 8, , () w ( 6 )( ) 0 w ( 6 )(. 7 ) ( 6 )(. 994 ) 9 w

70 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 () 分 層 隨 機 抽 樣 不 總 是 像 簡 單 隨 機 抽 樣 產 生 最 小 的 變 異 數, 以 下 舉 例 說 明

71 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 () 例 題 5 : 國 內 雲 林 斗 六 市 某 一 泡 麵 食 品 供 應 商 想 要 知 道 市 場 對 於 他 們 推 出 的 新 貨 是 否 有 需 求 且 足 以 將 其 加 入 到 庫 存 中, 為 了 幫 助 作 下 決 策, 該 供 應 商 計 畫 從 他 的 連 鎖 商 店 抽 樣 估 計 該 新 產 品 每 月 平 均 銷 售 量 在 斗 六 市, 他 只 有 4 個 大 的 經 銷 商, 為 了 行 政 上 處 理 的 方 便, 他 使 用 分 層 隨 機 抽 樣, 且 以 經 銷 商 作 為 層 級 ; 在 層 級 中 有 4 個 連 鎖 商 店, 層 級 中 有 6 個 連 鎖 商 店, 層 級 中 有 0 個 連 鎖 商 店, 以 及 層 級 4 中 有 0 個 連 鎖 商 店 如 此, 4, 6, 0 及 0, 所 以, 0 4 該 供 應 商 只 有 足 夠 調 查 0 連 鎖 商 店 的 時 間 與 金 錢, 因 為 沒 有 層 級 變 異 數 的 歷 史 參 考 資 料, 加 上 每 一 層 中 的 抽 樣 成 本 都 一 樣, 他 決 定 使 用 比 例 配 置, 如 此, 該 新 產 品 樣 本 抽 取 狀 況 在 層 級 中 隨 機 抽 取 4 家 層 級 中 抽 取 6 家 層 級 及 層 級 4 中 各 抽 取 5 家, 表 5 4 列 示 各 層 級 中 每 家 連 鎖 商 店 月 平 均 銷 售 情 形, 請 估 計 月 平 均 銷 售, 且 算 出 估 計 誤 差 4 0 4, 同 理 可 得 6, 5, 4 5 0

72 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 () 表 5 4 各 層 級 中 每 家 連 鎖 商 店 月 平 均 銷 售 情 形 層 級 層 級 層 級 層 級 4,800,70,40,760,700,970,880,00,050,790,000,80,00,50,790,70,0,790,90,00 y,96.5 y,000 y,940 y 4,000 s 7, s 50, 040 s 5, 550 s 0, 50 4

73 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 (4) 解 答 () (a) y 4 y [( 4 * ) ( 6 * 000 ) ( 0 * 940 ) ( 0 * 000 )] (b) ,,, 4 (c) V ( ) y ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 4 ) ( 6 ) 5550 ( 0 ) ( 0 ) ( 0, 40, , 808, 640 6, 99, 000 8, 5, 000 ) ( 45, 84, ) (c) 結 論 y ( ) ± ± V ± y

74 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 (5) y 假 使 該 供 應 商 只 使 用 簡 單 隨 機 抽 樣 來 處 理 上 述 問 題 : y 95 V. 5 但 是 估 計 變 異 數 為 s 5 4 ( ) y 0. 4 所 以, 簡 單 隨 機 抽 樣 的 估 計 變 異 數 較 小, 因 此, 我 們 可 以 下 結 論 說 在 這 個 案 例 中, 簡 單 隨 機 抽 樣 比 起 分 層 隨 機 抽 樣 來 得 好 從 供 應 商 的 角 度 來 看, 當 他 以 經 銷 商 作 層 級 分 類 時, 他 不 會 考 慮 連 鎖 店 之 間 的 差 異 大 小 6 0

75 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 (6) 在 許 多 抽 樣 調 查 問 題 中, 在 抽 樣 單 位 中 會 採 用 超 過 一 個 測 量 來 估 計 一 個 以 上 的 母 群 體 參 數, 這 種 情 形 導 致 在 合 適 樣 本 選 擇 上 及 配 置 上 更 為 複 雜, 以 下 舉 例 說 明

76 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 (7) 例 題 5 : 基 隆 市 公 園 管 理 處 執 行 有 關 基 隆 市 露 營 設 施 的 研 究 調 查 在 基 隆 市 有 兩 種 地 區, 一 個 是 在 山 區, 另 一 個 是 在 海 邊, 該 處 想 要 估 計 在 特 別 假 期 中 每 一 個 露 營 區 的 平 均 人 數, 以 及 所 有 露 營 區 來 自 其 他 外 縣 市 旅 客 的 比 例 平 均 人 數 已 知 估 計 誤 差 為,, 而 外 縣 市 旅 客 比 例 估 計 誤 差 為. 這 兩 類 的 露 營 地 區 剛 好 可 分 兩 層, 山 區 為 層 級,, 而 海 岸 區 為 層 級 假 設 0 個 露 營 區 以 及 80 個 露 營 區 請 估 計 特 別 假 期 中 每 一 個 露 營 區 的 平 均 人 數 以 及 所 有 露 營 區 來 自 其 他 外 縣 市 旅 客 比 例 的 樣 本 ( 假 設 大 部 份 的 露 營 區 為 到 9 個 人 )

77 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 (8) 解 答 () 假 設 每 層 中 的 抽 樣 成 本 相 同, 可 以 使 用 之 前 的 eyma 配 置 來 算 出 最 小 樣 本 ; 然 而, 這 種 配 置 仰 賴 層 級 變 異 數, 並 且 問 題 中 將 牽 涉 到 兩 種 測 量 型 態 給 予 不 同 的 配 置 結 果, 取 代 的, 採 用 比 例 配 置 通 常 是 合 適 的, 因 為 這 樣 可 以 給 予 任 何 想 要 的 測 量, 產 生 相 同 的 配 置, 因 此 :

78 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 (9) 特 別 假 期 中 每 一 個 露 營 區 平 均 人 數 樣 本 解 答 () (a) (b) w 0 80 w. 6 w , 4 (c) ( 0 ) ( 4 ) ( 80 ) ( 4 ) w , 000 (d) ( )( ) ( )( )

79 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 (0) 特 別 假 期 中 每 一 個 露 營 區 平 均 人 數 樣 本 解 答 () (e) B D ( 00 ) 0, (f) D w 60, , (g) 結 論 基 隆 市 特 別 假 期 中 每 一 個 露 營 區 的 平 均 人 數 是 5

80 分 層 隨 機 抽 樣 額 外 說 明 () 解 答 (4) 特 別 假 期 中 所 有 露 營 區 來 自 其 他 外 縣 市 旅 客 比 例 的 樣 本 (a) 5 p q ( 0 ) (. 5 )(. 5 ) ( 80 ) (. 5 )(. 5 ) w , 000 (b) (c) (f) p q ( 0 )(. 5 )(. 5 ) ( 80 )(. 5 )(. 5 ) 50 (g) 結 論 B 4 D ( 00 ) 00 D w w w p q p q , ( 67 )(. 6 ) 40 ( 67 )(. 4 ) 7 67

81 選 擇 層 級 的 合 適 法 則 () 如 果 分 層 的 主 要 目 標 是 在 於 產 生 小 變 異 數 估 計 值, 然 後 最 好 的 標 準 去 界 定 層 級 是 一 組 可 採 用 的 反 應 值 例 如, 假 設 我 們 想 要 估 計 在 一 個 社 區 裏, 每 個 家 庭 的 平 均 收 入, 我 們 可 以 精 確 地 估 計 這 些 平 均 數, 如 果 我 們 在 實 際 抽 樣 前 將 低 收 入 戶 放 在 一 個 層 級 內, 高 收 入 戶 放 入 另 一 個 層 級 內 ; 當 然, 這 樣 的 配 置 通 常 是 不 可 能 發 生 的, 因 為, 抽 樣 前 首 先 知 道 詳 細 收 入 會 導 致 沒 有 必 要 的 統 計 問 題 然 而, 有 時 候 我 們 會 有 一 些 相 關 次 數 資 料 與 研 究 重 心 的 變 數 有 高 度 相 關 存 在, 在 這 樣 的 情 況 下,, 累 積 次 數 平 方 根 法 適 用 於 層 級 線 性 關 係, 通 常, 這 種 方 式 不 鼓 勵 用 到 超 過 5 或 6 個 層 級 的 情 形

82 選 擇 層 級 的 合 適 法 則 () 例 題 5 : 管 科 會 研 究 員 想 要 估 計 56 家 美 商 公 司 平 均 年 銷 售 ( 以 美 金 為 單 位 ), 遂 抽 取 5 家 公 司, 公 司 的 次 數 分 配 資 料 可 以 在 表 5 5 中 找 到, 次 數 分 配 以 50,000 元 美 金 為 上 限, 並 區 隔 成 8 個 類 別, 請 將 公 司 分 為 個 層 級 作 最 佳 配 置

83 選 擇 層 級 的 合 適 法 則 () 表 5 5 抽 取 5 家 公 司 次 數 分 配 資 料 收 入 ( 單 位 : 千 元 ) 次 數 次 數 累 積 次 數

84 選 擇 層 級 的 合 適 法 則 (4) 解 答 () 後 面 兩 欄 是 次 數 開 平 方 以 及 累 積 的 次 數 開 平 方, 分 層 的 近 似 合 適 方 法 是 在 ( 0. 7 ) 累 積 平 方 根 尺 度 間 為 同 區 間 ( 如 表 5 5), 因 此 6. 76, 而 且 層 級 界 限 應 盡 可 能 的 接 近 6.76 及 (6.76).5.5 在 實 際 的 尺 度 上,7.06, 最 接 近 6.76, 以 及 4.0 最 接 近.5,, 因 此, 下 列 個 層 級 的 結 果 為 : 層 級 : : 尺 度 從 00,000 到 00,000 的 公 司 層 級 : : 尺 度 從 00,00 到 50,000 的 公 司 層 級 : : 尺 度 從 50,00 到 500,000 的 公 司 以 上 需 假 設 在 層 級 中 的 公 司 在 抽 樣 前 可 以 被 識 別,5, 個 樣 本 可 個 別 分 配 5 個 到 各 層 級 中 ( 在 此 所 用 的 方 法 幾 近 要 求 相 同 層 級 樣 本 大 小 )

85 樣 本 選 擇 後 的 分 層 () 偶 而, 抽 樣 問 題 的 產 生 在 於 我 們 想 要 分 層 化 重 要 變 數, 但 是 在 樣 本 選 擇 後, 就 不 能 將 抽 樣 單 位 放 置 在 正 確 的 層 級 中, 例 如, 我 們 想 要 以 性 別 來 分 層 公 眾 民 意 調 查, 如 果 是 用 電 話 號 碼 來 執 行 調 查, 回 答 者 就 不 能 放 置 在 男 性 或 女 性 層 級 中, 直 到 電 話 打 通 接 觸 後, 相 同 的, 一 個 審 計 人 員 想 要 根 據 是 否 是 批 發 商 或 零 售 商 來 分 層 帳 目, 但 他 可 能 沒 辦 法 有 這 樣 的 資 訊, 除 非 該 帳 戶 確 實 拉 出 來 作 為 樣 本

86 樣 本 選 擇 後 的 分 層 () 假 設 簡 單 隨 機 抽 樣 個 人 來 作 民 意 調 查, 在 訪 談 過 後 可 分 為 男 性 及 女 性, 然 後 與 其 用 y 來 估 計 μ, 可 以 用 提 供 的 來 估 計 已 知 的 男 性 及 女 性, 注 意 在 這 種 情 形 下,, 及 既 然 可 從 樣 本 及 樣 本 間 改 變 都 是 隨 機, 即 使 為 固 定, 因 此, 根 據 定 義 5,, 這 種 樣 本 並 不 確 實 是 分 層 隨 機 抽 樣 然 而, 如 果 每 一 層 級 中, 0 為 已 知 且 如 果 法 就 幾 近 於 分 層 隨 機 抽 樣 比 例 配 置 y, 這 種 在 樣 本 選 擇 後 分 層 的 方

87 樣 本 選 擇 後 的 分 層 () 樣 本 選 擇 後 的 分 層 ( 或 稱 為 後 分 層,poratfcato, poratfcato) 是 時 常 適 用 於 簡 單 隨 機 抽 樣 不 能 適 當 平 衡 母 群 體 中 重 要 分 組 舉 例 來 說, 假 使 從 母 群 體 抽 取 00 個 樣 本, 照 情 形 應 均 分 男 性 與 女 性, 若 樣 本 測 量 主 要 是 在 於 體 重, 且 給 予 下 列 結 果 : 男 性 0 80 女 性 y 8 公 斤 y 50 公 斤 y 公 斤

88 樣 本 選 擇 後 的 分 層 (4) 看 看 以 上 y 低, 所 以 可 以 作 以 下 調 整 : 公 斤 的 結 果, 似 乎 對 男 性 有 失 公 平 且 太 y y y ( ). 5 ( 50 )

89 樣 本 選 擇 後 的 分 層 (5) 以 上 的 66 公 斤 似 乎 比 較 合 理, 因 為 男 性 及 女 性 有 相 同 的 比 重, 注 意 y 為 已 知, 程 度 上 近 似, 即 使 給 予 或, 的 後 分 層 估 計 值 將 不 會 與 前 面 所 談 的 分 層 隨 機 抽 樣 平 均 數 擁 有 相 同 的 變 異 數, 因 為 分 層 在 抽 樣 計 畫 中 並 沒 有 被 設 計, 然 而 近 似 變 異 數 可 以 被 使 用, 以 下 作 說 明 :

90 樣 本 選 擇 後 的 分 層 (6) 為 簡 化 起 見, 令 隨 機 變 數, E 在 後 分 層 中, 此 為, 因 此, 後 分 層 估 計 值 應 有 像 比 例 配 置 的 分 層 隨 機 抽 樣, 而 確 實 是 如 此, 假 使 為 固 定, 公 式 5 可 轉 換 成 : W ( ) W,,...,,,..., V ( ) y W W s s W s ( 公 式 5 8)

91 樣 本 選 擇 後 的 分 層 (7) 注 意 為 隨 機, 在 此 情 形 下, V ( y ) 的 通 式 可 以 由 的 期 望 值 來 近 似 取 代, 但 很 不 幸 的, 對 於 找 尋 隨 機 變 數 倒 數 期 望 值 是 很 困 難 的, 但 在 此 可 以 提 供 一 個 好 的 近 似 值 公 式 : E W W W ( 公 式 5 9)

92 ( 公 式 ( 公 式 5 0 0) 用 公 式 用 公 式 中 的 中 的 替 換 公 式 替 換 公 式 5 8 8, 得 到 下 列 公 式 :, 得 到 下 列 公 式 : ( ) ( ) ( ) ( ) p s W s W s W s W s W s W s W y V 樣 本 選 擇 後 的 分 層 樣 本 選 擇 後 的 分 層 (8) (8)

93 樣 本 選 擇 後 的 分 層 (9) 此 公 式 中 的 下 標 p 是 指 後 分 層, 第 一 個 名 稱 總 括 來 說, 公 式 5 9 近 似 法 在 當 是 大 的 時 候 及 為 正 時, 才 有 好 的 作 用, 因 此, 後 分 層 產 生 好 的 結 果 只 有 當 是 大 的 且 所 有 都 相 當 大 的 時 候, 以 下 舉 例 說 明 : V p ( y ) 是 為 比 例 配 置 分 層 樣 本 平 均 數 所 獲 得 的 變 異 數 第 二 個 名 稱 總 是 非 負 且 表 示 在 分 層 前 所 增 加 變 異 數 的 值, 分 母 的 是 非 常 小 的 數 值

94 樣 本 選 擇 後 的 分 層 (0) 例 題 5 4 : 一 家 南 科 大 型 科 技 公 司 知 道 40% 可 收 帳 戶 來 自 於 批 發 商, 及 60% 來 自 於 零 售 商, 然 而, 確 認 個 別 帳 戶 沒 有 將 檔 案 叫 出 來 細 細 查 看 是 一 件 困 難 的 事, 一 個 審 計 員 想 要 從 這 些 帳 戶 中 抽 出 00 個 樣 本, 以 估 計 這 家 公 司 可 收 到 帳 款 平 均 數 值, 應 用 簡 單 隨 機 抽 樣 70% 的 批 發 商 帳 戶 及 0% 零 售 商 帳 戶, 在 抽 樣 後, 資 料 分 為 上 述 兩 種 帳 戶, 並 產 生 下 列 結 果 :

95 樣 本 選 擇 後 的 分 層 () 批 發 商 零 售 商, 450, 050 y 8, 00 y 9, 800 s 7, 50 s, 50 請 估 計 μ 及 該 公 司 可 收 平 均 帳 款 數 及 誤 差

96 樣 本 選 擇 後 的 分 層 () 解 答 () (a) y y y (. 4 )( 8, 00 ) (. 6 )( 9800 ), 60 (b) (c) V ( ) p y ( ) V p y (, 500 ) W s 77. 5, 500 [ ] ( W ) s. 4 ( 7, 50 ). 6 (, 50 ) [. 6 ( 7, 50 ). 4 (, 50 ) ] 7, , (d) 結 論, 60 ± 77. 5

97 分 層 雙 重 抽 樣 () 討 論 至 此, 已 假 設, 為 抽 樣 開 始 前 的 已 知 常 數 有 關 雙 重 抽 樣 ( 二 階 段 抽 樣 ) 的 基 本 觀 念 並 不 簡 單, 假 設 初 步 資 料 ( 諸 如 選 民 的 性 別 或 車 的 里 程 ) 這 些 都 容 易 取 得, 然 而 詳 細 想 要 研 究 的 變 數 卻 不 易 取 得 ( 諸 如 政 治 意 見 或 車 子 的 品 質 ), 這 樣 的 方 式 可 以 用 大 樣 本 來 確 認 層 級, 及 較 小 樣 本 來 蒐 集 詳 細 的 資 料, 舉 例 來 說, 可 以 在 第 一 階 段 時 打 給 許 多 選 民 來 確 認 性 別 或 收 入 狀 況, 在 第 二 階 段 再 針 對 少 數 人 進 行 詳 細 問 卷 的 訪 問 假 設 第 一 階 段 樣 本, 稱 為, 用 來 作 為 決 定 落 入 不 同 層 級 的 元 素, 令 : W,,..., w,,..., ( 公 式 5 )

98 分 層 雙 重 抽 樣 () 假 設 第 一 階 段 樣 本, 稱 為, 用 來 作 為 決 定 落 入 不 同 層 級 的 元 素, 令 : 表 示 第 一 次 抽 樣 落 入 層 級 中 的 比 例, 值, 假 定 第 一 階 段 樣 本 的 隨 機 性 第 二 階 段 抽 樣,, 從 元 素 中 獲 得, 且 每 個 層 級 中 可 算 出 公 式 5 改 寫 成 : w,,..., w ( 公 式 5 ) 是 W 的 不 偏 估 計 中 的 層 級 中 隨 機 抽 出, 測 量 從 這 些 y 及 s, 因 此, 可 將 y w y ( 公 式 5 )

99 分 層 雙 重 抽 樣 () 如 果 第 二 階 段 每 層 的 抽 樣 比 例, 時 候, y 的 近 似 變 異 數 公 式 為 :, 全 都 很 小 及 很 大 的 V y w w s w y y ( 公 式 5 )

100 分 層 雙 重 抽 樣 (4) 如 果 w 大 到 可 以 忽 略, 上 述 變 異 數 估 計 公 式 可 以 縮 減 為 : V y w s w y y ( 公 式 5 4)

101 分 層 雙 重 抽 樣 (5) 去 除 有 限 母 群 體 修 正 因 子, 公 式 5 4 中 的 第 一 部 份 像 公 式 5, 其 中 取 代 ; 第 二 部 份 是 變 異 數 額 外 的 組 成 來 自 於 樣 本 中 的 估 計, 因 為 並 不 知 道 正 確 比 重 w 注 意 並 不 需 要 想 要 使 得 第 二 部 份 很 小, 因 為 有 必 要 使 得 明 w y s 大 約 相 等 以 下 舉 例 說

102 分 層 雙 重 抽 樣 (6) 例 題 5 5 : 教 育 部 目 前 比 較 關 心 的 是 各 大 專 院 校 的 生 師 比, 教 師 與 學 生 的 比 例 作 為 學 校 評 估 的 要 件 之 一 ; 所 以, 相 關 單 位 針 對 9 學 年 度 各 大 專 院 校 日 間 部 平 均 大 學 註 冊 人 數 作 估 計 資 料 顯 示, 私 立 學 校 註 冊 人 數 似 乎 比 公 立 學 校 來 得 少 ( 與 美 國 情 況 相 反 ) 利 用 簡 單 隨 機 抽 樣 (0% 0%) ) 以 獲 得 表 5 6 公 立 及 私 立 學 校 結 果 :

103 分 層 雙 重 抽 樣 (7) 表 5 6 簡 單 隨 機 抽 樣 0% 國 內 公 私 立 大 專 院 校 樣 本 分 佈 公 立 大 專 院 校 私 立 大 專 院 校 總 計 ( 9 )(. ) 8 ( 66 )(. ) 再 接 著 以 家 公 立 及 4 家 私 立 大 學 日 間 部 的 註 冊 學 生 人 數 及 專 任 教 師 人 數 作 為 次 樣 本 如 表 5 7( ( 資 料 來 源 : 教 育 部 統 計 處 網 站, 請 估 計 9 學 年 度 平 均 註 冊 人 數 μ 及 誤 差

104 分 層 雙 重 抽 樣 (8) 表 5 7 國 內 9 學 年 度 抽 取 公 私 立 大 學 日 間 部 註 冊 學 生 及 專 任 教 師 數 ( 次 樣 本 ) 公 立 ( ) 私 立 ( 4 ) 抽 取 學 校 註 冊 學 生 專 任 教 師 抽 取 學 校 註 冊 學 生 專 任 教 師 政 治 大 學 9, 東 海 大 學 0, 清 華 大 學 5, 輔 仁 大 學 6, 台 灣 大 學 6,5 5,7 8 4 東 吳 大 學, 台 灣 師 範 大 學 6, 中 原 大 學, 成 功 大 學 9,4 9 6, 0 5 淡 江 大 學 0, 中 興 大 學 7, 文 化 大 學, 交 通 大 學 4, 逢 甲 大 學 6, 中 央 大 學 5,4 5 0 靜 宜 大 學 8, 4 4 中 山 大 學, 長 庚 大 學, 海 洋 大 學 4, 元 智 大 學 6, 中 正 大 學 6, 中 華 大 學 6, 大 葉 大 學 7, 世 新 大 學 7, 銘 傳 大 學,

105 分 層 雙 重 抽 樣 (9) (a) (b) V 解 答 () y 8 ( ) 50 w ( ) y w y 7,. 46, , , , y 78 [. 590 (, )] [. 640 ( 5, )] [(. 590 )( 7, ) (. 640 )(, , ) ] 5, , w y y 4 ( w s ) ( w s ) w y y 5, , 88, 5. 5 (c) V y, (d) 結 論 0, ±, 80. 4