一 问 题 重 述 某 公 司 生 产 一 种 可 折 叠 的 桌 子, 桌 面 呈 圆 形, 桌 腿 随 着 铰 链 的 活 动 可 以 平 摊 成 一 张 平 板 桌 腿 由 若 干 根 木 条 组 成, 分 成 两 组, 每 组 各 用 一 根 钢 筋 将 木 条 连 接, 钢 筋 两 端 分

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1 创 意 平 板 折 叠 桌 的 优 化 设 计 摘 要 本 文 主 要 讨 论 了 平 板 折 叠 桌 的 动 态 变 化 过 程 及 最 优 加 工 参 数 的 设 计 问 题 在 问 题 一 中, 本 文 将 折 叠 桌 的 动 态 变 化 过 程 简 化 为 杆 件 的 定 轴 转 动, 先 利 用 空 间 解 析 几 何 与 平 面 几 何 的 知 识 计 算 出 各 桌 脚 的 长 度 及 开 槽 深 度, 从 而 计 算 出 各 桌 脚 的 位 置 与 高 度 的 函 数 关 系 来 描 述 了 折 叠 桌 的 动 态 变 化 过 程, 并 使 用 MATLAB 画 出 三 维 动 态 图 形, 进 一 步 直 观 地 展 示 了 其 动 态 变 化 过 程 最 后 据 构 建 的 模 型 给 出 了 最 优 加 工 参 数, 并 用 参 数 方 程 的 形 式 描 述 了 理 想 的 桌 脚 边 缘 线, 且 与 实 际 桌 脚 边 缘 的 连 线 进 行 了 对 比 在 问 题 二 中, 本 文 从 结 构 的 稳 固 性 节 省 材 料 和 加 工 方 便 几 个 角 度 出 发, 考 虑 了 几 何 约 束 运 动 约 束 静 力 学 平 衡 约 束, 而 从 建 立 了 一 个 关 于 重 心 位 置 与 材 料 用 量 的 多 目 标 优 化 模 型 (MOP) 此 模 型 为 非 线 性 规 划 模 型, 在 求 解 时, 本 文 利 用 MATLAB 采 用 图 像 法 确 定 模 型 的 可 行 域, 而 从 得 出 木 板 尺 寸 与 钢 筋 位 置 最 佳 选 择 对 于 题 目 中 桌 高 70cm 桌 面 直 径 80cm 的 情 形, 文 中 给 出 了 最 优 加 工 参 数, 板 长 为 70cm, 钢 筋 位 于 最 外 侧 木 条 上 距 桌 面 中 心 线 53cm 处, 各 桌 腿 长 度 及 其 滑 槽 长 度 见 文 中 表 格 在 问 题 三 中, 首 先 根 据 客 户 给 出 的 桌 面 边 缘 线 和 桌 脚 边 缘 线 对 应 点 之 间 的 距 离 作 为 桌 腿 木 条 的 长 度, 然 后 根 据 问 题 一 中 计 算 出 的 运 动 约 束 关 系 计 算 出 实 际 桌 脚 边 缘 的 坐 标, 计 算 出 实 际 桌 脚 边 缘 线 与 客 户 提 供 的 桌 脚 边 缘 线 之 间 距 离 的 平 方 和 作 为 目 标 函 数, 得 到 使 其 取 最 小 值 的 钢 筋 位 置, 验 证 问 题 二 中 约 束 条 件, 进 而 计 算 出 其 他 设 计 参 数 最 后, 本 文 设 计 出 了 两 种 创 意 平 板 折 叠 桌, 并 给 出 了 相 应 的 加 工 参 数 及 动 态 变 化 过 程 示 意 图 关 键 词 : MOP 非 线 性 规 划 平 板 折 叠 桌

2 一 问 题 重 述 某 公 司 生 产 一 种 可 折 叠 的 桌 子, 桌 面 呈 圆 形, 桌 腿 随 着 铰 链 的 活 动 可 以 平 摊 成 一 张 平 板 桌 腿 由 若 干 根 木 条 组 成, 分 成 两 组, 每 组 各 用 一 根 钢 筋 将 木 条 连 接, 钢 筋 两 端 分 别 固 定 在 桌 腿 各 组 最 外 侧 的 两 根 木 条 上, 并 且 沿 木 条 有 空 槽 以 保 证 滑 动 的 自 由 度 桌 子 外 形 由 直 纹 曲 面 构 成, 造 型 美 观 试 建 立 数 学 模 型 讨 论 下 列 问 题 :. 给 定 长 方 形 平 板 尺 寸 为 0 cm 50 cm 3 cm, 每 根 木 条 宽.5 cm, 连 接 桌 腿 木 条 的 钢 筋 固 定 在 桌 腿 最 外 侧 木 条 的 中 心 位 置, 折 叠 后 桌 子 的 高 度 为 53 cm 试 建 立 模 型 描 述 此 折 叠 桌 的 动 态 变 化 过 程, 在 此 基 础 上 给 出 此 折 叠 桌 的 设 计 加 工 参 数 ( 例 如, 桌 腿 木 条 开 槽 的 长 度 等 ) 和 桌 脚 边 缘 线 ( 图 4 中 红 色 曲 线 ) 的 数 学 描 述. 折 叠 桌 的 设 计 应 做 到 产 品 稳 固 性 好 加 工 方 便 用 材 最 少 对 于 任 意 给 定 的 折 叠 桌 高 度 和 圆 形 桌 面 直 径 的 设 计 要 求, 讨 论 长 方 形 平 板 材 料 和 折 叠 桌 的 最 优 设 计 加 工 参 数, 例 如, 平 板 尺 寸 钢 筋 位 置 开 槽 长 度 等 对 于 桌 高 70 cm, 桌 面 直 径 80 cm 的 情 形, 确 定 最 优 设 计 加 工 参 数 3. 公 司 计 划 开 发 一 种 折 叠 桌 设 计 软 件, 根 据 客 户 任 意 设 定 的 折 叠 桌 高 度 桌 面 边 缘 线 的 形 状 大 小 和 桌 脚 边 缘 线 的 大 致 形 状, 给 出 所 需 平 板 材 料 的 形 状 尺 寸 和 切 实 可 行 的 最 优 设 计 加 工 参 数, 使 得 生 产 的 折 叠 桌 尽 可 能 接 近 客 户 所 期 望 的 形 状 你 们 团 队 的 任 务 是 帮 助 给 出 这 一 软 件 设 计 的 数 学 模 型, 并 根 据 所 建 立 的 模 型 给 出 几 个 你 们 自 己 设 计 的 创 意 平 板 折 叠 桌 要 求 给 出 相 应 的 设 计 加 工 参 数, 画 出 至 少 8 张 动 态 变 化 过 程 的 示 意 图 二 问 题 分 析. 问 题 一 对 于 问 题 一, 在 考 虑 长 方 形 平 板 材 料 尺 寸 折 叠 后 桌 子 高 度 要 求 和 桌 腿 木 条 与 钢 筋 的 运 动 约 束 条 件 等 目 标 要 求 的 情 况 下, 主 要 解 决 三 个 问 题 : 描 述 折 叠 桌 动 态 变 化 过 程 给 出 折 叠 桌 设 计 加 工 参 数 给 出 桌 脚 边 缘 线 的 数 学 描 述 首 先 假 设 桌 面 圆 形 的 直 径 为 50cm, 根 据 长 方 形 平 板 尺 寸 及 木 条 宽 度 确 定 剪 裁 方 案 根 据 钢 筋 固 定 在 桌 腿 最 外 侧 木 条 的 中 心 位 置 和 运 动 过 程 中 的 几 何 关 系, 可 以 计 算 出 钢 筋 在 每 根 桌 腿 木 条 中 的 初 始 位 置 和 最 终 位 置, 两 者 作 差 即 可 求 出 每 根 桌 腿 木 条 所 需 要 的 的 开 槽 长 度, 结 合 剪 裁 方 案, 给 出 设 计 加 工 参 数 由 于 每 组 桌 腿 中 的 钢 筋 固 定 在 最 外 侧 的 两 根 木 条 上, 且 钢 筋 在 每 组 桌 腿 木 条 的 空 槽 中 自 由 滑 动, 故 每 组 中 最 外 侧 的 两 条 桌 腿 木 条 的 运 动 状 态 决 定 了 本 组 中 间 所 有 桌 腿 木 条 的 运 动 状 态 首 先 建 立 空 间 直 角 坐 标 系, 用 木 条 边 缘 点 的 坐 标 ( 由 于 桌 腿 木 条 有 一 定 宽 度 和 厚 度, 故 取 边 缘 截 面 中 心 点 为 边 缘 点 ) 描 述 桌 腿 木 条 的 运 动 状 态, 根 据 运 动 过 程 中 的 几 何 关 系, 通 过 数 学 计 算 得 出 每 条 桌 腿 木 条 边 缘 点 的 坐 标 随 最 外 侧 桌 腿 木 条 边 缘 点 高 度 变 化 的 函 数 关 系 再 由 此 计 算 出 运 动 过 程 中 每 条 桌 腿 木 条 的 倾 斜 角 度 距 桌 面 的 高 度 及 钢 筋 在 滑 槽 中 的 位 置 等 参 数, 并 用 matlab 画 三 维 图 仿 真, 给 出 动 态 过 程 的 中 间 步 骤 图, 结 合 以 上 参 数 共 同 描 述 折

3 叠 桌 的 动 态 变 化 过 程 利 用 前 面 求 出 的 桌 腿 木 条 边 缘 点 的 坐 标 随 最 外 侧 桌 腿 木 条 边 缘 点 高 度 变 化 的 函 数 关 系, 可 以 求 出 折 叠 后 各 桌 腿 木 条 边 缘 点 的 坐 标, 列 表 或 画 成 散 点 图 描 述 桌 脚 边 缘 线 ; 另 外 可 以 令 桌 腿 木 条 宽 度 趋 于 零, 使 桌 脚 边 缘 线 变 成 连 续 曲 线, 进 而 求 出 解 析 表 达 式, 近 似 描 述 真 实 的 桌 脚 边 缘 线. 问 题 二 对 于 给 定 折 叠 桌 高 度 h 和 桌 面 直 径 R, 我 们 主 要 从 结 构 的 稳 固 性 和 节 省 材 料 及 加 工 方 便 几 个 角 度 考 虑 来 给 出 其 优 化 设 计 方 案 我 们 需 要 设 计 的 有 平 板 尺 寸 钢 筋 的 位 置 开 槽 深 度, 其 中 开 槽 深 度 可 以 由 前 两 者 及 运 动 过 程 决 定 () 对 于 稳 固 性, 我 们 主 要 从 三 方 面 考 虑, 一 方 面, 我 们 以 桌 子 的 重 心 来 衡 量 其 稳 定 性, 重 心 的 相 对 位 置 越 低, 其 稳 定 性 越 强 ; 另 一 方 面, 我 通 过 选 取 合 [] 理 的 桌 脚 截 面 来 增 加 其 抗 压 及 抗 弯 矩 的 强 度 ; 另 外, 我 们 保 证 四 条 桌 腿 的 倾 角 在 其 摩 擦 角 的 范 围 内 () 对 于 材 料 用 量, 我 们 在 保 证 一 定 稳 固 性 和 运 动 约 束 的 前 提 下, 尽 量 让 用 料 最 少, 即 木 板 体 积 尽 可 能 小 (3) 对 于 加 工 方 便, 我 们 认 为 桌 腿 的 数 量 不 宜 过 多, 过 多 会 导 致 桌 腿 间 距 变 小, 一 方 面 结 构 的 强 度 难 以 保 证, 另 一 方 面 加 工 难 度 变 大 这 样, 我 们 可 以 建 立 关 于 设 计 的 一 个 优 化 模 型.3 问 题 三 首 先 根 据 桌 面 边 缘 线 和 桌 脚 边 缘 线 对 应 点 之 间 的 距 离 计 算 出 桌 腿 木 条 的 长 度, 再 根 据 前 面 计 算 出 的 运 动 约 束 关 系 计 算 出 实 际 桌 脚 边 缘 的 坐 标, 计 算 出 实 际 桌 脚 边 缘 线 与 客 户 提 供 的 桌 脚 边 缘 线 之 间 距 离 的 平 方 和 作 为 目 标 函 数, 得 到 使 其 取 最 小 值 的 钢 筋 位 置, 进 而 计 算 出 其 他 设 计 参 数 三 模 型 假 设. 木 板 匀 质, 密 度 为 常 数 且 厚 度 均 匀 ;. 忽 略 钢 筋 与 滑 槽 的 摩 擦 力, 及 相 邻 桌 腿 之 间 的 摩 擦 力 3. 剪 裁 时 忽 略 桌 腿 木 条 之 间 的 剪 裁 缝 隙, 且 每 条 桌 腿 等 宽 ; 4. 各 桌 腿 都 在 相 互 平 行 的 平 面 内 做 圆 周 运 动,; 5. 设 计 时 所 用 平 板 材 料 的 厚 度 不 变, 为 3cm 四 符 号 说 明 a b l 长 方 形 平 板 的 长, 单 位 cm 长 方 形 平 板 的 宽, 单 位 cm 第 根 桌 腿 木 条 的 长 度, 单 位 cm d 第 根 桌 腿 木 条 中 滑 槽 的 长 度, 单 位 cm p 钢 筋 的 位 置 比, 即 钢 筋 的 转 动 半 径 占 整 个 最 外 侧 木 条 长 度 的 比 例 3

4 五 模 型 的 建 立 与 求 解 5. 问 题 一 5.. 折 叠 桌 设 计 加 工 参 数 的 求 解 以 长 方 形 平 板 的 中 心 为 坐 标 原 点, 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 图 0 y 图 根 据 假 设, 以 长 方 形 平 板 中 心 为 圆 心 做 相 切 于 长 方 形 平 板 长 边 的 圆, 根 据 假 设, 将 长 方 形 平 板 的 宽 以.5cm 为 单 位 平 分 成 0 份, 由 于 对 称 性, 只 需 考 虑 4 部 分 的 桌 腿 木 条, 如 图 所 示 平 行 于 长 边 的 分 割 线 与 圆 周 共 同 形 成 了 0 个 曲 边 梯 形, 考 虑 到 桌 面 图 形 的 美 观 和 桌 腿 木 条 长 度 适 中, 取 每 个 曲 边 梯 形 上 下 底 边 的 平 均 值 作 为 桌 腿 木 条 的 长 度, 桌 腿 木 条 由 外 侧 向 内 依 次 编 号 为 -0, 长 度 分 别 记 为 l, 经 计 算 得 l 见 表 : x 4

5 l (cm) 表 下 面 计 算 每 根 桌 腿 木 条 中 的 滑 槽 长 度 由 于 桌 腿 木 条 有 一 定 宽 度 和 厚 度, 故 取 边 缘 截 面 中 心 点 为 边 缘 点, 转 轴 截 面 中 心 点 为 转 轴 点 设 第 根 桌 腿 木 条 转 轴 点 为 A, 边 缘 点 为 B, 钢 筋 所 在 点 为 C 折 叠 过 程 中 的 yoz 投 影 图 如 图 3 所 示, 其 中 A B 即 为 最 外 侧 木 条 的 转 轴 点 和 边 缘 点, 钢 筋 初 始 位 置 在 C 点, 木 条 边 缘 点 初 始 位 置 在 B 点 图 3 为 桌 子 折 叠 高 度 达 到 H 53cm 时 最 外 侧 木 条 与 水 平 方 向 的 夹 角, H l arcsn 76.3 AC A B BC l, 钢 筋 最 终 位 置 C 与 转 轴 点 l 为 A 的 距 离 为 AC, 在 A AC 中 应 用 余 弦 定 理, 有 l l 5 AC AC A A AC A A cos l l l l cos 76.3 由 公 式 可 以 看 出, 随 着 的 增 大, AC 逐 渐 增 大, 故 可 以 判 断 钢 筋 在 滑 槽 内 始 终 沿 一 个 方 向 运 动, 不 会 出 现 往 复 运 动 的 现 象, 故 第 根 桌 腿 木 条 的 开 槽 长 ' 度 d AC AC 代 入 数 据 计 算 得 到 各 桌 腿 木 条 的 开 槽 长 度 d 见 表 : d (cm) 表

6 给 出 了 据 此 可 以 得 到 这 长 方 形 平 板 的 设 计 加 工 的 尺 寸, 由 于 桌 子 的 对 称 性, 我 们 只 木 板 的 加 工 示 意 图, 见 图 4 4 图 折 叠 桌 动 态 变 化 过 程 的 求 解 与 描 述 坐 标 系 如 图 所 示, 用 木 条 边 缘 点 的 坐 标 ( 如 前 所 述, 取 边 缘 截 面 中 心 点 为 边 缘 点 ) 描 述 桌 腿 木 条 的 运 动 状 态 每 组 桌 腿 中 的 钢 筋 固 定 在 最 外 侧 的 两 根 木 条 上, 且 钢 筋 在 每 组 桌 腿 木 条 的 空 槽 中 自 由 滑 动, 故 每 组 中 最 外 侧 的 两 条 桌 腿 木 条 的 运 动 状 态 决 定 了 本 组 中 间 所 有 桌 腿 木 条 的 运 动 状 态 设 最 外 侧 桌 腿 边 缘 点 距 桌 面 的 距 离 为 h, 反 映 了 最 外 侧 桌 腿 的 运 动 状 态 下 面 求 解 第 根 木 条 边 缘 点 的 坐 标 x, y, z 的 侧 面 投 影 图 如 图 5 所 示, 随 h 变 化 的 函 数 关 系 折 叠 过 程 图 5 6

7 其 中 第 根 桌 腿 木 条 转 轴 点 为 A, 边 缘 点 为 B, 钢 筋 所 在 点 为 C, 则 x , A B l, A A l l, A B 即 为 最 外 侧 木 条 的 转 轴 点 和 边 缘 点, A B l, 图 中 BD AB, B E A B, CF A B, B D h 长 方 形 平 板 长 a 0cm, 钢 筋 位 置 AC p A B p l, C F p h p 在 AC F 中 应 用 勾 股 定 理, 得 : A F AC C F p l h, A F A F A A p l h l l 在 AC F 中 应 用 勾 股 定 理, 得 : AC A F C F pl l l p l h l l AE A B AF AC p l h l l A E A B l AF AC pl l l p l h l l p l h l l y A E A E A A l l l pl l l p l h l l 又 BE A B CF AC CF ph z B E A B l AC pl l l p l h l l 最 终 得 出 第 根 木 条 边 缘 点 的 坐 标 x, y, z 7 随 h 变 化 的 函 数 关 系 为 x p l h l l y l l l pl l l p l h l l ph z l pl l l p l h l l

8 其 中 p, a 0, l 是 的 函 数, 其 值 见 表,,,3...0 利 用 对 称 性 求 出 所 有 桌 腿 木 条 边 缘 点 的 坐 标, 用 matlab 画 出 三 维 动 态 图 形, 见 图 6 图 图 6 图 7 图 8 图 9 图 0 图 通 过 坐 标 解 析 表 达 式 结 果 数 据 列 表 和 动 态 图 形 展 示 三 种 途 径, 我 们 可 以 多 角 度 多 层 次 地 了 解 折 叠 桌 变 化 过 程 中 的 不 同 侧 面, 从 而 对 其 动 态 变 化 过 程 有 了 系 统 深 入 的 了 解 5..3 桌 脚 边 缘 线 的 数 学 描 述 在 5.. 中 得 出 的 桌 腿 木 条 边 缘 点 坐 标 的 解 析 表 达 式 中, 取 h 53cm, 可 得 到 折 叠 后 各 桌 腿 木 条 边 缘 点 的 坐 标 在 三 维 坐 标 系 中 画 出 这 些 散 点, 并 用 直 线 连 接, 得 到 描 述 桌 脚 边 缘 线 的 近 似 曲 线, 见 图 中 虚 线 8

9 图 另 外, 还 可 以 令 桌 腿 木 条 宽 度 趋 于 零, 这 样 桌 腿 木 条 就 变 成 直 线, 桌 脚 边 缘 线 就 变 成 连 续 曲 线, 下 面 求 解 此 理 想 桌 脚 边 缘 线 的 解 析 表 达 式 首 先 求 出 桌 腿 木 条 直 线 的 边 缘 点 坐 标 x, y, z 随 最 外 侧 桌 腿 木 条 高 度 h 变 化 的 函 数 关 系 折 叠 过 程 的 侧 面 投 影 图 如 图 0 所 示, 俯 视 图 如 图 所 示, 其 中 桌 面 圆 周 半 b 径 R 5cm, x OA a a 则 A A R x, AB, B D h, AC p A B p, C F p h, 经 过 与 5.. 中 类 似 的 计 算, 可 以 得 到 边 缘 点 坐 标 x, y, z 随 h 变 化 的 函 数 关 系 如 下 : x x a a p h R x R x y R x a a p R x p h R x a ph R x z a a p R x p h R x 其 中 p, a 0, R 5, 令 hh 53, 即 可 得 到 理 想 桌 脚 边 缘 线 的 参 数 方 程 : 9

10 x x x x y 65 x 55 x x x z 55 x x 其 中 x 5,5 用 matlab 画 出 理 想 桌 脚 边 缘 线 与 实 际 桌 脚 边 缘 点, 如 图 3, 符 合 的 相 当 好 图 3 5. 问 题 二 5.. 问 题 二 附 加 假 设 () 折 叠 桌 的 桌 面 直 径 即 为 原 长 方 形 木 板 材 料 的 宽 度, 为 已 知 量 ; () 桌 子 仅 以 最 外 侧 的 四 条 腿 接 触 地 面 ; (3) 不 计 钢 筋 质 量 及 桌 腿 因 滑 槽 而 损 失 的 质 量 (4) 忽 略 钢 筋 与 滑 槽 的 摩 擦 力 (5) 地 面 与 桌 子 之 间 的 最 大 静 摩 擦 因 素 s 5.. 优 化 参 数 的 设 计 由 于 桌 子 关 于 x 轴,y 轴 对 称, 我 们 仅 考 虑 在 第 一 卦 限 中 的 运 动 情 况 : 如 下 图 所 示 : 0

11 图 4 我 们 认 为 圆 桌 直 径 即 为 所 用 长 方 形 木 料 的 宽 b, 即 R= b 图 中 所 示 n 条 腿 b ( 从 长 到 短 ) 的 总 宽 度 为 b/, 那 么 每 条 桌 腿 宽 度 = 每 条 桌 腿 的 运 动 都 在 n 一 个 平 面 内, 我 们 用 x (,,3...n) 来 表 示 每 条 桌 腿 所 处 平 面 的 位 置, 我 们 记 第 条 腿 所 处 的 位 置 为 x = b ( ) 为 了 便 于 计 算 我 们 取 第 条 腿 的 长 度 l 为 该 曲 边 梯 形 的 下 底 长, 则 有 : l a b x 桌 子 运 动 过 程 中, 钢 筋 在 每 条 腿 中 单 向 运 动 ( 问 题 一 中 已 证 明 ), 且 越 靠 中 间 的 桌 腿, 钢 筋 在 滑 槽 内 经 过 的 距 离 越 长, 即 对 应 的 滑 槽 长 度 越 长 证 明 如 下 : 图 5 ' 如 图 5, AB 与 AB j j 分 别 为 第 与 第 j 条 桌 腿, 圆 弧 CC 为 钢 筋 走 过 的 轨 迹, 对 于 长 方 形 木 板, 有 : A A A B A A A B j j j

12 移 项 合 并 得 : A Aj AjB j A B ' 在 A AC 中 有 : j A A AC AC ' j j ' 故 可 得 : ' C Bj ' C B 即 对 于 靠 近 中 间, 编 号 较 大 的 j 号 桌 腿, 其 剩 余 长 度 要 小 于 号 桌 腿, 故 滑 槽 长 度 应 该 是 中 间 长, 靠 近 边 缘 逐 渐 减 短 证 毕 我 们 首 先 将 各 条 腿 的 运 动 抽 象 为 均 质 细 杆 的 定 轴 转 动, 转 动 半 径 分 别 为 其 腿 长 l, 钢 筋 也 做 定 轴 转 动, 转 动 半 径 为 a p 运 动 到 最 终 状 态 时, 我 们 记 第 条 桌 脚 顶 点 的 坐 标 为 (x,y,z ), x 已 由 前 述 计 算 给 出, y z 则 由 问 题 一 中 的 公 式 : a b a b p h ( ) x ( ) x b y ( ) x a b a b p ( ) x p h ( ) x a b ph ( ) x z a b a b p ( ) x p h ( ) x 下 面 我 们 考 虑 桌 子 在 运 动 过 程 中 的 约 束 条 件 : I. 钢 筋 在 每 条 桌 腿 滑 槽 内 滑 动 时, 不 能 超 过 桌 腿 长 度 的 限 制, 由 于 中 间 桌 腿 钢 筋 移 动 范 围 最 大, 只 需 考 虑 中 间 的 桌 腿 的 限 制 即 可 ; a a 数 学 表 达 式 即 为 : dn p ( 槽 长 d n 的 计 算 方 法 与 问 题 一 相 同 ) II. 桌 子 在 从 木 板 展 开 的 过 程 不 能 出 现 干 涉, 即 关 于 x 轴 对 称 的 两 条 木 腿 不 能 出 现 相 交 的 情 况 ; 数 学 表 达 式 即 为 : y ( 0,,3n) III. 桌 子 展 成 最 终 形 态 时 要 保 证 最 外 侧 的 桌 脚 着 地 数 学 表 达 式 即 为 : z max{z,z...z } h (h 为 桌 子 高 度 ) n 下 面 我 们 考 虑 目 标 函 数 的 数 学 表 达 式 : () 对 于 桌 子 重 心 位 置, 我 们 记 为 Z G ( 由 对 称 性 易 知 /4 桌 子 的 重 心 也 为

13 Z Z G ), 则 G h 代 表 了 重 心 的 相 对 位 置, 相 对 位 置 越 低, 稳 定 性 越 强,h 可 当 做 常 数, 故 Z 越 大, 稳 定 性 越 高 又 密 度 为 常 数 且 厚 度 均 一, 故 可 用 面 积 来 表 示 质 G 量, 计 算 如 下 : Z ( m (0.5 z ) ( l ) 0.5 z ) G = = m 0.5a0.5b ab n z l () 对 于 桌 脚 的 倾 角, 如 图 所 示, 我 们 做 简 单 的 受 力 分 析 [] : 对 于 底 端 未 着 地 的 杆 件, 若 看 做 二 力 杆 件, 那 么 只 受 铰 链 约 束 力 与 钢 筋 约 束 力, 达 到 二 力 平 衡 即 F, F,, 从 钢 筋 受 力 平 衡 易 分 析 得 出, 钢 筋 对 最 外 端 桌 脚 的 作 用 力 使 桌 脚 有 顺 时 针 转 动 趋 势, 故 要 使 桌 脚 受 力 平 衡, 地 面 给 桌 脚 的 作 用 力 需 使 桌 脚 有 逆 时 针 转 动 趋 势, 那 么 桌 腿 的 倾 斜 方 位 必 须 得 在 摩 擦 角 的 范 围 内, 又 因 为 摩 擦 力 小 于 最 大 静 摩 擦 力, 即 f f max, 故 桌 腿 的 倾 角 应 该 小 于 摩 擦 角 即 可 h 表 述 成 : arccos( ) arctan s a / 图 6 (3) 对 于 材 料 用 量, 尽 可 能 减 少 材 料 用 量, 且 能 保 证 满 足 运 动 约 束 和 重 心 相 对 位 置 达 到 一 个 较 低 值 材 料 用 量 直 接 取 决 于 体 积, 而 长 方 形 木 板 宽 度 b 已 知, 厚 度 与 成 正 比, 故 材 料 用 量 仅 与 桌 腿 宽 度 与 长 度 a 乘 积 有 关, 记 S= a a b n (4) 对 于 加 工 方 便, 我 们 在 此 仅 考 虑 /4 桌 腿 的 数 量 n, 在 桌 腿 数 量 能 满 足 其 截 面 要 求 时, 我 们 尽 可 能 选 取 较 小 值 故 我 们 得 到 了 如 下 的 一 个 优 化 问 题 : 3

14 max Z, mn n, mn G a a dn p y ( 0,,3n) z max{z, z...z n} h b a a p h arccos( ) arctan s a / a h 0 p b n3 S 这 是 一 个 非 线 性 的 规 划 问 题, 将 之 前 坐 标 带 入, 变 量 仅 有 n,a,p,( b,h 为 常 数 ) 故 我 们 给 出 优 化 设 计 方 案 的 步 骤 如 下 : () 对 于 给 定 的 高 度 h 和 圆 桌 直 径 即 木 板 宽 度 b, 首 先 我 们 利 用 截 面 强 度 要 求 对 n 的 限 制 ( 即 最 后 一 式 ), 求 出 n 的 最 小 值, 同 时 还 要 保 证 n 为 整 数, 故 n 的 选 取 比 例 灵 活 ; () 这 样 确 定 n 之 后, 变 量 就 只 有 a 与 p( 板 长 与 钢 筋 位 置 ), 问 题 得 到 了 简 化 考 虑 到 S 表 达 式 简 洁 且 与 目 标 函 数 Z 之 间 存 在 相 互 制 约 的 关 系, 我 们 进 一 步 做 如 下 处 理 ; (3) 采 用 局 部 优 化 的 方 法 且 优 先 考 虑 目 标 函 数 S, 即 优 先 考 虑 部 分 约 束 条 件, 然 后 验 证 是 否 满 足 其 他 的 约 束 条 件, 若 满 足, 则 是 我 们 需 要 的 解, 若 不 满 足, 重 新 选 择 约 束 条 件, 这 样 可 以 算 出 一 系 列 的 a,p 值, 再 利 用 目 标 函 数 Z 选 出 最 合 理 的 解, 从 而 得 出 最 终 的 板 长 和 钢 筋 位 置 ; (4) 最 后 再 利 用 问 题 一 中 同 样 的 方 法 算 出 槽 长, 从 而 给 出 最 优 的 设 计 参 数 5..3 具 体 实 例 的 设 计 b 当 所 给 高 度 h=70cm, 木 板 宽 度 b=80cm 时, 首 先 确 定 n, 由, n 可 解 得 n, 为 了 使 n 取 较 小 整 数 且 便 于 计 算, 我 们 取 n=0 3 3 a 为 了 便 于 计 算 我 们 记 y p即 为 钢 筋 初 始 位 置 的 坐 标, 取 s =0.7 [], 这 样 变 量 仅 有 a 与 y, 我 们 将 所 有 已 知 数 据 代 入 约 束 条 件 并 化 简 可 得 a 与 y 的 约 束 关 系 如 下 : G G 4

15 a y 40 - y ^ 40 a 0 a a ( 600 (44 4 ) y )( 600 (44 4) ) 600 (44 4) a 0(,, 3...0) y 600 (44 4) y 600 (44 4) a a y ( 600 (44 4) ) y (600 (44 4) ) y 600 (44 4) 0(,,3...0) a a a 40 y 40 h a40 s 容 易 看 出 前 三 个 为 非 线 性 约 束, 后 两 个 为 线 性 约 束 直 接 利 用 现 成 优 化 软 件 求 解 十 分 困 难, 且 计 算 量 大 故 我 们 采 取 作 图 法 求 其 可 行 域 : 首 先 我 们 在 利 用 matlab 取 约 束 条 件 对 应 的 二 元 函 数, 作 图 如 下 : 图 7 其 中 黑 色 平 面 为 z=0, 红 色 曲 面 为 约 束 条 件, 蓝 色 曲 面 簇 对 应 约 束 条 件 3, 紫 色 曲 面 对 应 约 束 条 件 4, 在 黑 色 平 面 上 方 对 应 的 区 域 交 集 即 为 可 行 域 从 下 往 上 看, 如 图 所 示 图 8 5

16 现 在 我 们 加 上 条 件 40 a 70.9 则 可 得 出 可 行 域, 即 为 图 中 左 上 角 的 曲 边 三 角 形 首 先 考 虑 用 材 的 约 束, 即 要 求 a 尽 可 能 小, 故 我 们 从 左 边 界 线 开 始 取 值, 并 且 取 整 数 解 :(6,40) (6,4) (6,4) (63,43) ( 64,44) (64,45) (65,46) (66,47) (66,48) (67,49) (68,50) (69, Z 5) (69,5) (70,53) 接 下 来 我 们 利 用 重 心 相 对 位 置 公 式 G 来 计 算 h 并 作 图 如 下 : 图 9 可 以 看 出 重 心 呈 下 降 趋 势, 故 我 们 最 终 取 (70,53) 即 板 长 70cm, 钢 筋 位 置 距 中 心 线 53cm 桌 脚 长 槽 长 设 计 如 下 : 桌 腿 编 号 桌 腿 长 度 l (cm) 槽 长 d (cm) 5.3 问 题 三 5.3. 折 叠 桌 设 计 软 件 的 数 学 模 型 首 先 明 确 折 叠 桌 设 计 软 件 的 输 入 和 输 出 内 容 坐 标 系 与 5.. 中 相 同 输 入 :. 折 叠 桌 高 度 H( cm ); y f ( x). 桌 面 边 缘 线 的 方 程, xoy 平 面 内 的 闭 合 曲 线 方 程, 且 关 z 0 于 x 轴 和 y 轴 轴 对 称 ; 6

17 y g( x) 3. 桌 脚 边 缘 线 方 程, 关 于 xoz 平 面 对 称 的 曲 线 段 方 程, 最 z g( x) 低 点 与 xoy 平 面 的 距 离 为 H 输 出 :. 所 需 平 板 材 料 形 状, 即 加 工 示 意 图 ;. 每 根 木 条 的 长 度 ; 3. 钢 筋 位 置 ; 4. 开 槽 长 度 由 于 桌 子 关 于 x 轴,y 轴 对 称, 我 们 仅 考 虑 在 第 一 卦 象 中 的 运 动 情 况 假 定 桌 面 边 缘 线 沿 x 轴 方 向 的 最 大 宽 度 为 b, 沿 y 轴 方 向 的 最 大 宽 度 为 c, 所 用 平 板 材 料 的 形 状 为 曲 边 长 方 形, 其 宽 取 为 b 根 据 加 工 难 易 程 度 选 定 每 一 b 侧 有 n 条 桌 腿, 由 外 向 内 记 为 第 (,,3...n) 条 桌 腿, 那 么 每 条 桌 腿 宽 度 = n 我 们 用 x (,,3...n) 来 表 示 每 条 桌 腿 运 动 平 面 的 x 坐 标, 我 们 记 第 条 腿 所 处 的 位 置 为 x = b ( ) 桌 腿 长 度 为 l 程 序 流 程 如 下 : 步 骤 一 : 确 定 桌 腿 木 条 长 度 取 桌 腿 木 条 长 度 为 桌 面 边 缘 线 与 桌 脚 边 缘 线 上 对 应 两 点 间 的 距 离 即 对 于 第 条 桌 腿, 其 对 应 的 桌 面 边 缘 上 的 转 轴 点 为 x, y,0, 其 中 y f ( x ) y g ( x ), z g ( x ) ; 对 应 的 桌 脚 边 缘 线 上 的 点 为,, ; 则 取 l y y 0 z x y z, 其 中 由 此 可 以 保 证 折 叠 后 的 实 际 桌 脚 边 缘 线 与 客 户 提 供 的 桌 脚 边 缘 线 粗 略 一 致 步 骤 二 : 确 定 桌 脚 木 条 边 缘 点 坐 标 x, y, z 随 最 外 侧 木 条 高 度 h 变 化 的 函 数 关 系, 函 数 中 含 有 参 量 : 钢 筋 位 置 p 根 据 运 动 过 程 中 钢 筋 对 中 间 桌 腿 木 条 的 几 何 约 束 关 系, 用 类 似 于 5.. 中 的 方 法 可 以 得 到 : x = b () p l h y y h l y ph z( h) l pl y p y l h ( ) pl y p y l h 7

18 其 中 h 是 自 变 量, p 是 参 量, 其 余 均 为 关 于 的 已 知 量 步 骤 三 : 求 解 最 优 的 p 使 实 际 桌 脚 边 缘 线 尽 可 能 接 近 客 户 提 供 的 桌 脚 边 缘 线 为 此, 定 义 折 叠 后 的 桌 脚 边 缘 点 与 对 应 的 客 户 期 望 的 桌 脚 边 缘 线 上 的 点 之 间 距 离 0 的 平 方 和 函 数 Q( p) y ( H) y z ( H) z 线 与 客 户 提 供 的 桌 脚 边 缘 线 的 接 近 程 度 将 Qp ( ) 作 为 目 标 函 数, 在, 用 以 描 述 实 际 桌 脚 边 缘 c p ( 保 证 l 钢 筋 初 始 位 置 在 桌 面 边 缘 线 以 外 ) 的 范 围 内 求 出 目 标 函 数 的 最 小 值, 得 到 取 最 小 值 时 的 p 值, 即 为 所 求 步 骤 四 : 验 证 问 题 二 中 所 列 约 束 条 件, 保 证 设 计 的 可 行 性 p 值 确 定 后, 可 以 计 算 出 y ( H), z ( H ), 代 入 问 题 二 中 约 束 条 件, 检 验 钢 筋 在 桌 腿 滑 槽 内 滑 动 时, 不 能 超 过 桌 腿 长 度 限 制, 展 开 过 程 不 出 现 干 涉, 展 开 后 最 外 侧 的 桌 脚 着 地 等 约 束 条 件, 若 存 在 不 满 足 的 情 况, 水 平 移 动 调 整 客 户 提 供 的 桌 脚 边 缘 线, 再 重 复 步 骤 一, 直 至 结 果 满 足 所 有 约 束 条 件 步 骤 五 : 计 算 在 最 优 p 值 下 的 开 槽 长 度 程 序 结 束 5.3. 创 意 平 板 折 叠 桌 设 计 实 例 以 下 是 两 个 设 计 实 例 y x 设 计 一 : 桌 面 边 缘 线 在 第 一 卦 限 内 的 方 程, x [0,5], 桌 脚 边 缘 线 在 35 5 y x 0 0 第 一 卦 限 内 的 方 程 x [0, 5], 折 叠 桌 高 度 H 60cm, 即 桌 面 为 菱 形, z y 桌 脚 边 缘 线 为 直 线 钢 筋 位 置 p 0.59 桌 腿 木 条 长 度 见 下 表 l 开 槽 长 度 见 下 表 : 表 3 8

19 d 动 态 变 化 过 程 示 意 图 如 下 : 表 4 30, x[0,5] 设 计 二 : 桌 面 边 缘 线 在 第 一 卦 限 内 的 方 程 y, 桌 脚 边 缘 75 3 xx, (5,5] 9

20 x y 40 5 线 在 第 一 卦 限 内 的 方 程 y z 0 0 H 60cm, 即 桌 面 为 梯 形, 桌 脚 边 缘 线 为 半 个 椭 圆 l d 钢 筋 位 置 p 0.50 桌 腿 木 条 长 度 见 下 表 x[0,5], y40, 折 叠 桌 高 度 开 槽 长 度 见 下 表 : 表 动 态 变 化 过 程 示 意 图 如 下 : 表 6 0

21 六 模 型 的 评 价 应 用 及 推 广 6. 模 型 的 评 价 模 型 的 优 点 如 下 :. 从 几 何 约 束 力 学 运 动 学 材 料 等 多 角 度 考 虑 折 叠 桌 的 设 计 优 化 问 题, 考 虑 问 题 比 较 全 面, 使 模 型 更 加 接 近 实 际 情 况, 增 强 了 模 型 的 可 行 性 与 应 用 性. 对 于 问 题 二 中 含 有 复 杂 约 束 条 件 的 非 线 性 规 划 问 题, 本 模 型 没 有 采 用 复 杂 的 遗 传 算 法 等 算 法 求 解, 而 是 通 过 matlab 画 出 约 束 条 件 方 程 表 示 的 曲 面, 找 到 可 行 域, 最 终 确 定 使 目 标 函 数 最 优 的 最 优 解, 操 作 简 便, 形 象 直 观 3. 对 于 问 题 一 和 问 题 三 中 的 设 计 方 案, 都 用 matlab 画 出 动 态 仿 真 图, 可 以 清 晰 地 描 述 每 种 设 计 下 折 叠 桌 的 动 态 变 化 过 程, 使 折 叠 桌 动 态 变 化 过 程 中 桌 腿 木 条 和 钢 筋 等 的 运 动 制 约 关 系 更 加 明 确, 也 直 观 地 验 证 了 设 计 方 案 的 可 行 性 4. 对 于 桌 脚 边 缘 线 的 描 述, 建 立 了 令 桌 腿 木 条 宽 度 趋 于 零, 从 而 计 算 出 连 续 曲 线 解 析 表 达 式 的 方 法, 近 似 程 度 高, 表 现 力 强 5. 对 于 问 题 三, 通 过 定 义 距 离 平 方 和 函 数 Qp ( ) 很 好 地 度 量 了 所 得 桌 脚 边 缘 线 与 客 户 提 供 的 桌 脚 边 缘 线 之 间 的 近 似 程 度, 作 为 目 标 函 数 求 出 使 其 取 最 小 值 的 p, 很 好 地 解 决 了 使 得 生 产 的 折 叠 桌 尽 可 能 接 近 客 户 所 期 望 的 形 状 这 一 问 题 6. 模 型 的 应 用 与 推 广 本 模 型 不 仅 可 以 用 来 解 决 给 定 尺 寸 的 平 板 折 叠 桌 的 设 计 参 数 的 计 算 问 题, 还 可 以 根 据 给 定 的 任 意 形 状 给 出 设 计 方 案, 并 直 接 为 相 关 软 件 的 编 写 做 了 基 础 性 的 建 模 工 作 另 外, 本 模 型 还 可 以 推 广 到 其 他 折 叠 家 具 的 设 计 生 产 过 程 中, 在 工 业 中 类 似 的 折 叠 机 构 的 设 计 制 造 过 程 中 也 有 应 用

22 七 参 考 文 献 [] 单 辉 组, 材 料 力 学, 北 京, 高 等 教 育 出 版 社,008 [] 谢 传 锋, 王 琪, 理 论 力 学, 北 京, 高 等 教 育 出 版 社,009 [3] 刘 来 福 黄 海 洋 曾 文 艺, 数 学 模 型 与 数 学 建 模, 北 京 : 北 京 师 范 大 学 出 版 社,997 [4] 姜 启 源 谢 金 星 叶 俊, 数 学 模 型, 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,003

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