《应用数学Ⅰ》教学大纲

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1 高 等 数 学 教 学 大 纲 学 时 数 :124 学 时. 适 用 专 业 : 计 算 机 系 电 子 系 建 工 系 机 电 系 各 专 业. 参 加 讨 论 人 员 : 数 学 研 究 室 全 体 成 员. 执 笔 人 : 朱 玉 清 审 定 人 : 许 洪 范 编 写 日 期 :2001 年 5 月 至 2001 年 11 月.2003 年 3 至 5 月 进 一 步 修 订.

2 高 等 数 学 教 学 大 纲 一 本 课 程 的 性 质 目 的 和 任 务 高 等 数 学 课 程 是 高 等 工 程 院 校 的 一 门 必 修 的 基 础 课, 要 求 学 生 通 过 该 门 课 程 的 学 习, 初 步 掌 握 学 习 后 继 课 程 和 解 决 实 际 问 题 所 必 备 的 数 学 基 础 知 识 及 常 用 数 学 方 法, 具 有 一 定 的 数 学 符 号 运 算 能 力 进 行 数 值 计 算 的 能 力 及 解 决 实 际 问 题 的 能 力. 二 本 课 程 的 教 学 内 容 与 基 本 要 求 教 学 内 容 第 一 章 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 向 量 的 概 念 及 其 坐 标 式 2 向 量 的 运 算 ( 向 量 的 线 性 运 算 数 量 积 向 量 积 ) 3 直 线 与 的 平 面 方 程 4 曲 线 与 曲 面 的 方 程 第 二 章 函 数 极 限 连 续 1 函 数 的 概 念 2 数 列 的 极 限 3 函 数 的 极 限 4 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 5 无 穷 小 量 阶 的 比 较 6 函 数 的 连 续 性 7 间 断 点 的 分 类 8 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 9 多 元 函 数 的 极 限 10 多 元 函 数 的 连 续 性 第 三 章 导 数 微 分 及 偏 导 数 1 导 数 的 概 念 2 函 数 的 求 导 法 则 及 求 导 公 式 3 基 本 求 导 公 式 4 高 阶 导 数 5 隐 函 数 的 导 数 6 由 参 数 方 程 确 定 函 数 的 导 数 7 微 分 8 偏 导 数 的 概 念 9 二 元 函 数 的 高 阶 偏 导 数 - 1 -

3 10 多 元 复 合 函 数 的 偏 导 数 11 多 元 隐 函 数 的 求 导 法 则 第 四 章 导 数 及 偏 导 数 的 应 用 1 微 分 中 值 定 理 2 罗 比 达 法 则 3 函 数 的 单 调 性 及 极 值 4 曲 线 的 凹 凸 性 及 拐 点 5 多 元 函 数 的 极 值 第 五 章 不 定 积 分 1 原 函 数 与 不 定 积 分 的 概 念 2 不 定 积 分 的 基 本 公 式 及 性 质 3 换 元 积 分 法 4 分 部 积 分 法 第 六 章 定 积 分 二 重 积 分 曲 线 积 分 1 定 积 分 的 概 念 2 定 积 分 的 几 何 意 义 3 定 积 分 的 性 质 4 微 积 分 的 基 本 公 式 5 定 积 分 的 换 元 积 分 法 6 定 积 分 的 分 部 积 分 法 7 定 积 分 在 几 何 上 的 应 用 ( 平 面 图 形 的 面 积 旋 转 体 的 体 积 平 行 截 面 面 积 已 知 的 立 体 的 体 积 ) 8 广 义 积 分 9 二 重 积 分 的 概 念 10 二 重 积 分 的 性 质 11 直 角 坐 标 系 下 二 重 积 分 的 计 算 12 极 坐 标 系 下 二 重 积 分 的 计 算 13 利 用 二 重 积 分 计 算 立 体 的 体 积 14 对 弧 长 的 曲 线 积 分 * 15 对 坐 标 的 曲 线 积 分 16 格 林 公 式 与 路 径 无 关 的 曲 线 积 分 的 计 算 * 第 七 章 常 微 分 方 程 1 常 微 分 方 程 的 概 念 2 可 分 离 变 量 微 分 方 程 3 一 阶 线 性 微 分 方 程 4 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程 5 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 第 八 章 级 数 1 数 项 级 数 及 其 收 敛 的 一 般 概 念 2 正 项 级 数 收 敛 性 的 判 别 法 3 交 错 级 数 4 级 数 的 绝 对 收 敛 * - 2 -

4 5 幂 级 数 第 九 章 行 列 式 矩 阵 1 行 列 式 的 定 义 2 行 列 式 的 性 质 3 行 列 式 的 计 算 4 克 莱 姆 法 则 5 矩 阵 的 概 念 6 矩 阵 的 运 算 7 方 阵 的 行 列 式 与 矩 阵 的 逆 8 矩 阵 的 初 等 变 换 初 等 矩 阵 9 矩 阵 的 秩 第 十 章 n 维 向 量 与 线 性 方 程 组 1 n 维 向 量 的 概 念 1 n 维 向 量 的 线 性 相 关 性 3 最 大 线 性 无 关 组 与 向 量 组 的 秩 4 线 性 方 程 组 解 的 存 在 性 5 线 性 方 程 组 解 的 结 构 6 方 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 7* 二 次 型 的 定 义 及 其 化 简 基 本 要 求 第 一 章 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1. 理 解 空 间 直 角 坐 标 系. 掌 握 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式. 2. 理 解 向 量 的 概 念, 掌 握 向 量 的 运 算 ( 线 性 运 算 数 量 积 向 量 积 ). 熟 练 掌 握 用 坐 标 表 示 式 进 行 向 量 的 运 算. 3. 了 解 平 面 方 程 直 线 方 程. 知 道 它 们 之 间 的 位 置 关 系. 4. 了 解 曲 面 方 程 的 概 念, 知 道 以 坐 标 轴 为 旋 转 轴 的 旋 转 曲 面 及 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 方 程 及 图 形. 5. 会 求 简 单 曲 线 在 坐 标 平 面 上 的 投 影. 6. 知 道 常 用 二 次 曲 面 ( 球 面 椭 球 面 椭 圆 抛 物 面 锥 面 ) 的 标 准 方 程 及 其 图 形. 第 二 章 函 数 极 限 与 连 续 1. 理 解 一 元 函 数 和 多 元 函 数 的 概 念. 2. 了 解 函 数 的 几 种 常 见 的 形 态 ( 单 调 性 周 期 性 有 界 性 奇 偶 性 ). 3. 理 解 初 等 函 数 的 概 念, 会 求 初 等 函 数 的 定 义 域, 会 把 复 合 函 数 分 解 为 简 单 函 数. 4. 了 解 数 列 及 函 数 极 限 的 概 念 ( 对 极 限 的 精 确 定 义 不 作 要 求 ), 知 道 函 数 的 单 侧 极 限. 5. 掌 握 极 限 的 四 则 运 算 法 则 及 复 合 函 数 的 极 限, 并 会 求 数 列 与 函 数 的 极 限. 6. 了 解 两 个 重 要 极 限

5 7. 了 解 无 穷 大 无 穷 小 的 概 念, 了 解 无 穷 小 阶 的 比 较. 并 会 利 用 重 要 极 限 及 等 价 无 穷 小 量 计 算 极 限. 8. 理 解 函 数 连 续 性 的 概 念, 会 判 断 函 数 的 连 续 性. 9. 知 道 间 断 点 的 概 念 及 分 类, 会 判 断 其 类 型. 10. 知 道 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质. 11. 知 道 多 元 函 数 的 极 限 的 概 念. 12. 了 解 多 元 函 数 的 连 续 性 概 念, 知 道 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质. 第 三 章 导 数 微 分 偏 导 数 1. 理 解 导 数 概 念 及 其 几 何 意 义. 2. 掌 握 导 数 基 本 公 式 及 求 导 法 则, 熟 练 掌 握 初 等 函 数 的 一 阶 导 数. 3. 掌 握 隐 函 数 及 参 数 方 程 所 确 定 函 数 的 一 阶 导 数 4. 理 解 高 阶 导 数 概 念, 掌 握 显 函 数 的 二 阶 导 数 的 求 法 5. 理 解 微 分 概 念 及 微 分 与 导 数 的 关 系. 6. 理 解 多 元 函 数 偏 导 数 的 概 念. 知 道 二 元 函 数 偏 导 数 的 存 在 性 和 连 续 性 之 间 的 关 系. 7. 掌 握 多 元 函 数 一 阶 偏 导 数 的 计 算. 8. 知 道 二 阶 混 合 偏 导 数 相 等 的 条 件, 会 计 算 某 些 简 单 函 数 的 二 阶 偏 导 数. 9. 会 利 用 多 元 隐 函 数 的 求 导 公 式 计 算 隐 函 数 的 导 数 或 偏 导 数. 10. 知 道 多 元 函 数 全 微 分 的 概 念, 会 利 用 偏 导 数 表 示 多 元 函 数 的 全 微 分. 11. 知 道 二 元 函 数 可 微 分 的 充 分 条 件 和 必 要 条 件. 第 四 章 导 数 及 偏 导 数 的 应 用 1. 知 道 罗 尔 中 值 定 理 和 拉 格 朗 日 中 值 定 理 掌 握 罗 必 塔 法 则, 会 求 未 定 型 与 的 极 限 理 解 函 数 极 值 的 概 念. 掌 握 利 用 导 数 求 函 数 极 值 与 判 断 函 数 单 调 性 的 方 法. 4. 会 求 函 数 的 最 值, 能 解 一 些 典 型 的 极 值 应 用 问 题 5. 掌 握 函 数 的 凹 凸 性 及 拐 点. 会 利 用 导 数 描 绘 函 数 的 图 形. 6. 了 解 多 元 函 数 极 值 的 概 念, 会 求 函 数 的 极 值. 第 五 章 不 定 积 分 1. 理 解 原 函 数 与 不 定 积 分 概 念. 2. 掌 握 不 定 积 分 性 质, 掌 握 积 分 基 本 公 式. 3. 熟 练 掌 握 不 定 积 分 的 第 一 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法, 掌 握 变 量 置 换 法. 4. 会 计 算 一 些 常 用 的 简 单 有 理 函 数 的 不 定 积 分. 第 六 章 定 积 分 二 重 积 分 曲 线 积 分 1. 理 解 定 积 分 概 念 和 定 积 分 的 几 何 意 义. 2. 掌 握 定 积 分 的 性 质. 3. 会 计 算 变 限 积 分 所 确 定 函 数 的 导 数. 4. 理 解 微 积 分 基 本 定 理

6 5. 掌 握 定 积 分 的 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法. 6. 掌 握 常 见 曲 线 所 围 平 面 图 形 的 面 积 的 计 算. 7. 掌 握 旋 转 体 体 积 的 计 算. 8. 会 计 算 平 行 截 面 面 积 为 已 知 的 立 体 的 体 积. 9. 了 解 广 义 积 分 概 念, 会 判 断 简 单 无 穷 限 广 义 积 分 的 敛 散 性. 10. 了 解 二 重 积 分 的 概 念. 11. 知 道 二 重 积 分 的 性 质 及 几 何 意 义. 12. 熟 练 掌 握 直 角 坐 标 系 下 二 重 积 分 的 计 算, 掌 握 极 坐 标 系 下 二 重 积 分 的 计 算. 13. 会 用 二 重 积 分 计 算 立 体 的 体 积. 14. 了 解 对 坐 标 曲 线 积 分 的 概 念, 掌 握 对 坐 标 曲 线 积 分 的 计 算. 15. 知 道 格 林 公 式, 会 用 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件. 第 七 章 常 微 分 方 程 1. 理 解 微 分 方 程 及 其 阶 解 通 解 特 解 等 概 念. 2. 熟 练 掌 握 一 阶 可 分 离 变 量 方 程 及 一 阶 线 性 方 程 的 解 法. 3. 会 用 降 阶 法 解 特 殊 的 高 阶 微 分 方 程 ( ) y n f ( x) 及 y f ( x, y ). 4. 知 道 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构. 5. 熟 练 掌 握 二 阶 线 性 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法. 6. 会 用 微 分 方 程 知 识 解 一 些 简 单 应 用 题. 第 八 章 无 穷 级 数 1. 了 解 级 数 收 敛 发 散 的 概 念, 知 道 级 数 收 敛 的 必 要 条 件. 2. 熟 悉 几 何 级 数 和 p 级 数 的 收 敛 条 件. 3. 熟 练 掌 握 正 项 级 数 的 比 较 判 别 法 和 比 值 判 别 法. 4. 知 道 绝 对 收 敛 和 条 件 收 敛 的 概 念, 掌 握 交 错 级 数 的 莱 布 尼 兹 判 别 法. 5. 理 解 幂 级 数 收 敛 半 径 的 概 念, 掌 握 收 敛 半 径 的 求 法. 6*. 了 解 幂 级 数 在 收 敛 区 间 内 的 一 些 性 质 ( 和 函 数 连 续 逐 项 微 分 逐 项 积 分 ). 7*. 了 解 泰 勒 级 数 概 念, 会 求 简 单 级 数 的 泰 勒 级 数. 第 九 章 行 列 式 矩 阵 1. 知 道 n 阶 行 列 式 的 定 义, 了 解 行 列 式 的 性 质. 2. 掌 握 三 四 阶 行 列 式 的 计 算. 3. 了 解 克 莱 姆 法 则. 4. 理 解 矩 阵 的 概 念, 熟 练 掌 握 矩 阵 的 运 算 及 其 运 算 规 律. 5. 理 解 逆 矩 阵 的 概 念, 掌 握 矩 阵 可 逆 的 充 要 条 件 及 求 逆 的 方 法. 6. 熟 练 掌 握 矩 阵 的 初 等 变 换, 会 用 初 等 变 换 的 方 法 求 矩 阵 的 逆 及 矩 阵 的 秩. 第 十 章 n 维 向 量 与 线 性 方 程 组 1. 理 解 n 维 向 量 的 概 念, 掌 握 向 量 的 运 算. 2. 了 解 向 量 组 线 性 相 关 线 性 无 关 的 概 念, 知 道 有 关 的 重 要 结 论. 3. 知 道 向 量 组 的 最 大 无 关 组 及 向 量 组 秩 的 概 念, 会 求 向 量 组 的 秩

7 4. 理 解 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 充 要 条 件 及 其 解 的 结 构, 掌 握 齐 次 线 性 方 程 组 5. 础 解 系 及 其 通 解 的 求 法. 6. 理 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 判 断 及 其 解 的 结 构, 掌 握 非 齐 次 线 性 方 程 组 通 解 的 求 法. 三 教 学 的 重 点 和 难 点 : 第 一 章 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 重 点 : 向 量 的 运 算 直 线 与 的 平 面 方 程 曲 面 的 方 程. 难 点 : 向 量 积 曲 线 与 曲 面 的 方 程. 第 二 章 函 数 极 限 连 续 重 点 : 极 限 的 计 算 无 穷 小 量 函 数 的 连 续 性 的 判 断. 难 点 : 极 限 的 计 算 多 元 函 数 的 连 续 性 的 判 断 间 断 点 的 分 类. 第 三 章 导 数 微 分 及 偏 导 数 重 点 : 函 数 导 数 与 偏 导 数 的 计 算 函 数 的 微 分. 难 点 : 复 合 函 数 的 导 数 与 偏 导 数 高 阶 偏 导 数. 第 四 章 导 数 及 偏 导 数 的 应 用 重 点 : 罗 比 达 法 则 函 数 的 单 调 性 及 极 值 曲 线 的 凹 凸 性 及 拐 点. 难 点 : 中 值 定 理 曲 线 的 凹 凸 性 及 拐 点 多 元 函 数 的 极 值. 第 五 章 不 定 积 分 重 点 : 不 定 积 分 的 积 分 方 法. 难 点 : 换 元 积 分 法. 第 六 章 定 积 分 二 重 积 分 曲 线 积 分 重 点 : 定 积 分 的 计 算 及 几 何 应 用 二 重 积 分 的 计 算 曲 线 积 分 的 计 算. 难 点 : 二 重 积 分 的 计 算 曲 线 积 分 的 计 算. 第 七 章 常 微 分 方 程 重 点 : 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 求 解 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 的 求 解. 难 点 : 高 阶 微 分 方 程 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 的 求 解. 第 八 章 级 数 重 点 : 数 项 级 数 收 敛 性 的 判 别 法 交 错 级 数 幂 级 数. 难 点 : 数 项 级 数 收 敛 性 的 判 别 法 级 数 的 绝 对 收 敛 幂 级 数. 第 九 章 行 列 式 矩 阵 重 点 : 行 列 式 的 计 算 矩 阵 的 运 算 矩 阵 的 初 等 变 换 矩 阵 的 逆 矩 阵 的 秩. 难 点 : 行 列 式 的 计 算 矩 阵 的 初 等 变 换

8 第 十 章 n 维 向 量 与 线 性 方 程 组 重 点 : 向 量 的 线 性 相 关 性 最 大 线 性 无 关 组 与 向 量 组 的 秩 线 性 方 程 组 的 解 方 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量. 难 点 : 向 量 的 线 性 相 关 性 最 大 线 性 无 关 组 方 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量. 四 各 教 学 环 节 要 求 : 习 题 课 有 计 划 的 分 配 在 各 有 关 教 学 内 容 中. 每 次 课 结 束 布 置 适 当 的 作 业. 布 置 的 作 业 要 有 代 表 性, 能 反 映 大 纲 及 课 堂 教 学 内 容 的 要 求, 注 重 总 结 所 学 知 识, 培 养 学 生 抽 象 概 括 问 题 的 能 力. 五 学 时 分 配 建 议 : 第 一 章 向 量 代 数 空 间 解 析 几 何 (8 学 时 ) 第 二 章 函 数 极 限 与 连 续 (12 学 时 ) 第 三 章 导 数 微 分 偏 导 数 (18 学 时 ) 第 四 章 导 数 与 偏 导 数 的 应 用 (12 学 时 ) 第 五 章 不 定 积 分 (12 学 时 ) 第 六 章 定 积 分 二 重 积 分 曲 线 积 分 (20 学 时 ) 第 七 章 常 微 分 方 程 (10 学 时 ) 第 八 章 无 穷 级 数 (8 学 时 ) 第 九 章 行 列 式 矩 阵 (14 学 时 第 十 章 n 维 向 量 与 线 性 方 程 组 (10 学 时 ) 六 推 荐 教 材 及 教 学 参 考 书 : 教 材 : 自 编 参 考 书 : 高 等 数 学 盛 祥 耀 主 编 高 等 教 育 出 版 社 高 等 数 学 同 济 大 学 高 等 教 育 出 版 社 线 性 代 数 彭 玉 芳 主 编 高 等 教 育 出 版 社 线 性 代 数 张 文 忠 主 编 重 庆 大 学 出 版 社 - 7 -

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