第三讲 空间解析几何与向量代数

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1 第 三 讲 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 3.. 向 量 代 数. 数 量 积 ( 内 积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之 间 的 夹 角. 向 量 积 ( 外 积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构 成 右 手 系 a b( 含 共 线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐 标 表 示 : ab = xx + yy + zz, i j k a b = x y z, 其 中, a = ( x, y, z ), b = ( x, y, z ) x y z 4. 几 何 意 义 : a b 代 表 以 ab, 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 S ; 平 面 上 三 点 Ax (, y,), Bx (, 构 成 的 三 角 形 的 面 积 为, y,) Cx ( 3, y3,) i j k S ABC = AB AC = x x y y x3 x y3 y x x y y = 的 绝 对 值 x3 x y3 y x y 也 可 以 写 成 S ABC = x y 的 绝 对 值 x3 y3 5. 混 合 积 : ( abc,, ) = a ( b c) 注 意 : ( abc,, ) = ( bca,, ) = ( cab,, ) x y z 6. 坐 标 表 示 : ( abc,, ) = a ( b c) = x y z, 其 中, x3 y3 z3 a = ( x, y, z), b = ( x, y, z), c = ( x3, y3, z3) 7. 几 何 意 义 : ( abc,, ) 的 绝 对 值 表 示 以 abc,, 为 三 条 邻 边 的 平 行 六 面 体 的 体 积 abc,, 共 面 的 充 要 条 件 是 ( ab,,. c ) = 空 间 不 共 面 的 四 点 A( x, y, z ), B( x, y, z ), Cx ( 3, y3, z3), Dx ( 4, y4, z4) 构 成 的 四 面 体 的 体 积 为 x y z x x y y z z x y z V = = x3 x y3 y z3 z 的 绝 对 值 6 x3 y3 z3 6 x4 x y4 y z4 z x y z

2 ( 它 实 际 是 以 AB, ACAD, 为 邻 边 的 平 行 六 面 体 的 体 积 的 六 分 之 一 ) 题 目 精 选 :. 设 a b = 3, a b = {,, }, 试 求 a 与 b 的 夹 角 θ. 解 : 因 为 ab = abcosθ = 3. a b = a b θ = + + = 所 以 sin 3 3 π tan θ = θ = 设 单 位 向 量 abc,, 满 足 a+ b+ c =, 求 s= a b+ b c+ c a的 值 解 = a+ b+ c = ( a+ b+ c)( a+ b+ c) = = 所 以 s = a b+ b c+ c a = a b c ( a b b c c a) ( a b b c c a) 3. 设 a+ 3b和 7a 5b垂 直, a 4b和 7a b垂 直, 求 非 零 向 量 a 与 b 的 夹 角 解 : 由 ( a+ 3b) ( 7 a 5b), ( a 4b) ( 7a b) 得 ( a+ 3 b) (7a 5 b) = 7 a + 6a b 5 b = () ( a 4 b) (7a b) = 7 a 3a b+ 8b = () ()-(), 得 46ab = 3 b, 即 a b= b, b abcos ( ab, ) = b, cos( ab, ) = a () 8+() 5, 得 6 a = 3a b, a abcos ( ab, ) = a, cos( ab, ) = b b a 由 =, 推 得 a = b a b π 所 以, cos( ab, ) = ( ab, ) = 设 向 量 OA = a, OB = b, OC = c, 证 明 :A, B, C 三 点 共 线 的 充 要 条 件 是 a b+ b c+ c a = 证 明 : A, B, C, 三 点 共 线 ( c a) // ( b a) ( c a) ( b a) = c b c a a b+ a a= a b+ b c+ c a= 3 π 5. 设 ab, 是 三 维 空 间 R 中 的 两 个 非 零 向 量, 且 b =, ( ab, ) =, 3 74

3 a + xb a 求 极 限 lim x x a+ xb a a+ xb a 解 lim = lim x x x x a+ xb + a [ ] ( a+ xb) ( a+ xb) a a ab + xbb = lim = lim x x a+ xb + a x a+ xb + a [ ] ab π = = b cos( a, b) = cos =. a 3 6. 以 O 为 圆 心 的 单 位 圆 周 上 有 相 异 的 两 点 P Q, 向 量 OP 与 OQ 的 夹 角 为 θ, a, b 为 正 常 数, 求 极 限 lim ( aop + boq aop+ boq ) θ θ 解 lim ( a OP + boq aop+ boq ) θ θ ( a+ b) aop+ boq = lim θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) a + b + ab a + b + ab OP OQ ( cosθ ) = lim θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) ab ab( cos θ ) lim ab = = = θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) a+ b+ a+ b ( a+ b) 3.. 平 面 与 直 线 方 程. 平 面 方 程 的 各 种 形 式 n r r () 点 法 式 : ( ) =, 即 A( x x) + ( y y) + C( z z) =, 式 中 n= { A, B, C} 为 平 面 的 法 向 量, M ( x, y, z ) 和 (,, ) 上 的 定 点 和 动 点, r = OM r = OM 是 向 径, M xyz 分 别 为 平 面 () 一 般 式 : Ax + By + Cz + D = x y z (3) 截 距 式 : + + =, 式 中 abc,, 分 别 为 平 面 在 三 个 坐 标 轴 上 的 截 距 a b c x x y y z z (4) 三 点 式 : x x y y z z = x3 x y3 y z3 z 式 中 Pi( xi, yi, zi)( i=,,3) 为 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ( 相 当 于 PP, PP, PP 共 面 面 积 ( PP, PP, PP ) = ). 直 线 方 程 的 各 种 形 式

4 x x y y z z () 点 向 式 ( 或 标 准 式 对 称 式 ): r = r + ts, 即 = = ( = t) m n p 式 中 s= { n, m, p} 为 直 线 的 方 向 向 量, M ( x, y, z ) 和 (,, ) 的 定 点 和 动 点, r = OM, r = OM 是 向 径 Ax+ By+ Cz+ D = () 一 般 式 ( 交 面 式 ): Ax + By + Cz + D = 这 里, 把 直 线 看 作 两 个 平 面 的 交 线 x x y y z z (3) 两 点 式 : = = x x y y z z i i i i) 式 中 M ( x, y, z (i=, ) 为 直 线 上 相 异 的 两 点 x = x + mt (4) 参 数 式 : y = y + nt z = z + pt s m, n, p ( < t <+ ) M xyz 分 别 为 直 线 上 式 中, = { } 为 直 线 的 方 向 向 量, M ( x, y, z ) 和 (,, ) 直 线 上 的 定 点 和 动 点,t 为 参 数 3. 两 平 面 两 直 线 以 及 平 面 和 直 线 之 间 的 关 系 () 两 平 面 的 关 系 : 给 定 两 平 面 : Ax By Cz D i i i i i M xyz 分 别 为 π =, 其 中 n { A, B, C} 为 平 面 π i 的 法 向 量 ( i =, ), 则 两 平 面 垂 直 : n n n n = AA + BB + CC = A B C 两 平 面 平 行 : n// n n n = = = A B C A B C D 两 平 面 重 合 : = = = A B C D 两 平 面 相 交 : 与 n 不 平 行 n i = i i i x xi y yi z zi () 两 直 线 的 关 系 : 给 定 两 直 线 li : = =, Mi( xi, yi, zi) 为 直 线 li m n p 上 的 点, s { m, n, p} i i i i i i = i 为 直 线 l 的 方 向 向 量 ( i =,, 则 两 直 线 垂 直 : s s s s = mm + nn + p p = i m n p 两 直 线 平 行 : s// s s s = = = m n p 两 直 线 重 合 : M M // s // s x x y y z z MM s s = l m n 两 直 线 异 面 : l m n 两 直 线 相 交 : MM s s =, 且 与 s 不 平 行 s (3) 直 线 与 平 面 的 关 系 : 给 定 平 面 π : Ax + By + Cz + D = 和 直 线 76

5 x x y y z z l : m n p = = n= { A, B, C} 为 平 面 π 的 法 向 量, M ( x, y, z ) 和 s { m, n, p} = 分 别 为 直 线 l 上 的 定 点 和 方 向 向 量 则 直 线 与 平 面 相 交 : ns A B C 直 线 与 平 面 垂 直 : n// s n s = = = m n p 直 线 与 平 面 平 行 : n s n s = ma+ nb+ pc = 直 线 在 平 面 上 : ns = 且 Ax + By + Cz + D = 4. 点 到 平 面 的 距 离 : 定 点 D( x, y, z ) 到 给 定 平 面 Ax + By + Cz + D = 的 距 离 Ax + By + Cz + D d = A + B + C 补 充 :. 点 到 直 线 的 距 离 : P( x, y, z ) 到 直 线 L ( 过 点 A( abc,, ), 方 向 向 量 为 S = (, l m, n) 点 AP S sin θ AP S d = AP sinθ = = S S i j k ( a x, b y, c z ) ( l, m, n) = = a x b y c z l m n l + m + n l + m + n ) 的 距 离. 两 条 异 面 直 线 的 公 垂 线 方 程 两 条 异 面 直 线 L, L 的 公 垂 线 L 可 以 看 作 是 过 LL 的 平 面 与 过 LL 的 平 面 的 交 线, 即 ( P P, S,S S) = ( P P, S,S S) = 写 成 分 量 的 形 式 为 x x y y z z l m n = l m n x x y y z z l m n = l m n 此 处, ( l,m,n) = ( l,m,n) ( l,m,n ) 3. 两 条 异 面 直 线 之 间 的 距 离 : 等 于 P P 在 S 上 的 投 影, 即 77

6 PP S ( PP, S, S d = = ) S S S 典 型 例 题 x = cy + bz. 三 个 平 面 y = az + cx 过 同 一 条 直 线 的 充 要 条 件 是. z = bx + ay 应 填 a + b + c + abc =. 解 一 这 三 个 平 面 都 过 原 点, 因 此 x cy bz = 这 三 个 平 面 过 同 一 条 直 线 齐 次 线 性 方 程 组 cx y + az = bx + ay z = c b 有 非 零 解 = =. c a a b c abc b a 解 二 这 三 个 平 面 都 过 原 点, 因 此 这 三 个 平 面 过 同 一 条 直 线 三 个 法 向 量 (, cb, ), ( c,, a), ( ba,, ) 共 面 c b c a = a + b + c + abc =. b a x y z+ x + y z. 已 知 二 直 线 L : = =, L : = = () 说 明 它 们 异 面 ;() 求 它 们 的 公 垂 线 方 程 ;(3) 求 它 们 之 间 的 距 离 解 () ( PP, S, S) = = 3, 所 以 异 面 i j k () S S = = (,,), 公 垂 线 方 程 为 x y z+ = x+ y+ 4z+ 3=, 即 x + y z x y z + 3 = = PP S ( PP, S, S) 3 (3) 距 离 为 d = = = = S S S

7 x = 3z y = x 5 同 类 型 题 : 求 直 线 l : 和 直 线 l : 的 公 垂 线 l 的 方 程 y = z 3 z = 7x + 及 两 条 直 线 之 间 的 距 离. 解 : 先 将 给 定 的 直 线 及 l 的 一 般 方 程 转 化 成 对 称 式 方 程 l 3 5 : x + y + z, : x y + z l = = l = = 3 7 x 3z+ = 再 按 第 二 题 的 做 法 答 案 : 37x+ y z+ = 3. 一 直 线 L 过 点 (,6,3), 与 平 面 α : x y + 3z 5 = 平 行, 且 和 直 线 x y z 6 l : = = 相 交, 求 此 直 线 方 程 5 8 解 不 妨 设 直 线 方 程 为 L : x y z 6 = =, 其 中 lmn,, 待 定 l m n L 与 l 相 交 L 与 l 共 面 L// α l m+ 3 n= () = 6l 5m n= () l m n 由 () 和 () 得 l = 5 n, m= 4n, 代 入 L 的 方 程 得 x y z 6 L : = = 5 4 x y + z 5 x y + 3 z + 4. 平 面 通 过 两 直 线 L : = = 和 L : = = 的 公 垂 线 L, 3 且 平 行 于 向 量 c = (,, ), 求 此 平 面 的 方 程 i j k i j k 解 s = s s = = (,,), n= s c= = (,,) 3 设 L 与 L, L 的 交 点 分 别 为 A, B, 则 A( + t, + t, t+ 5), B( λ, 3λ 3, λ ), AB( λ t,3λ t,λ t 6) λ t 3λ t λ t 6 AB // s = =, 解 得 t = 6, λ = 5, A(7,,), 所 求 平 面 方 程 为 ( x 7) + ( y ) + ( z ) =, 即 x+ y+ z 38= 5. 试 求 过 点 A (,,) 和 B(,,), 且 与 锥 面 x + y = z 交 成 抛 物 线 的 平 面 方 程 79

8 解 设 n= ( abc,, ) 为 所 求 平 面 的 单 位 法 向 量, 则 n AB = (,,) a = b 所 求 平 面 与 锥 面 交 成 抛 物 线, 故 平 面 与 xoy 面 成 45 角, 因 此 π n k cos( nk, ) = cos = c= 4 n k 又 a + b + c = a = b=±, 所 求 平 面 方 程 为 ± ( x+ ) ± ( y ) + ( z ) =, 即 x+ y± z+ = 6. 已 知 曲 面 x y + z 4yz 8zx + 4xy x + 8y 4z = 与 某 一 平 面 的 交 线 的 对 称 中 心 在 坐 标 原 点, 求 该 平 面 方 程 解 已 知 平 面 经 过 原 点, 若 平 面 为 yoz, 则 y + z 4yz+ 8y 4z = x = 该 曲 线 关 于 原 点 不 对 称, 故 yoz 不 为 所 求 ; 同 样, xoy, xoz 都 不 为 所 求 设 所 求 平 面 方 程 为 : x+ by+ cz = ( 也 可 以 y+ bx+ cz =, z+ bx+ cy = ) 将 x = ( by + cz) 代 入 原 曲 面 方 程, 得 by + cz y + z 4yz + 8 z( by + cz) 4( by + cz) y + ( by + cz) + 8y 4z = 即 ( b 4b ) y + ( c + 8c+ ) z + ( bc+ 4b c ) yz+ ( b+ 4) y+ ( c ) z = 它 关 于 原 点 对 称 相 当 于 y, z 用 y, z 代 替 不 变, 这 只 需 要 一 次 项 y, z 的 系 数 为, 即 ( b+ 4) =,( c ) = b= 4, c=, 得 所 求 平 面 方 程 为 : x 4y+ z = 3.3. 曲 线 曲 面 方 程. 空 间 曲 面 F x, y, z = ; () 曲 面 方 程 的 一 般 形 式 : 曲 面 方 程 的 显 示 形 式 : z f ( x, y) x = x( u, v) 曲 面 方 程 的 参 数 形 式 : y = y( u, v) z = z( u, v) f ( x, y) = ( ) 旋 转 曲 面 : 曲 线 f x, ± y + z = ; = ; z = 绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 曲 面 方 程 为 f ( x z y) 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 曲 面 方 程 为 ± +, = 8

9 (, ) (3) 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 : 母 线 平 行 于 z 轴 的 柱 面 方 程 为 F x y = (4) 常 见 二 次 曲 面 : 椭 球 面 : x + y + z = a b c 单 叶 双 曲 面 : x + y z = a b c 双 叶 双 曲 面 : x + y z = a b c 二 次 锥 面 : x + y z = a b c x y 椭 圆 抛 物 面 : + = z a b x y 双 曲 抛 物 面 : = z ( 马 鞍 面 ) a b. 空 间 曲 线 F x, y, z = y = y x () 空 间 曲 线 方 程 的 一 般 形 式 : 用 ( 隐 式 ) 或 G( x, y, z) = z = z x ( 显 式 ) 或 () () () x = x t y = y t z = z t ( 参 数 式 ) 表 示 空 间 曲 线 方 程 F x, y, z = () 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影 : 设 G( x, y, z) = f x, y 面 两 个 方 程 式 消 去 z, 得 f ( x, y ) =, 则 = z = 上 的 投 影 曲 线 的 方 程 有 关 知 识 补 充 :. 柱 面 方 程 F(x, y,z) = 给 定 准 线, 母 线 方 向 S = (, l m, n), 有 G(x, y,z) = Fx,y,z ( ) = Gx,y,z ( ) =, x x y y z z = = l m n 消 去 x, y, z 即 为 所 求 柱 面. 锥 面 方 程 : 表 示 空 间 曲 线 C, 通 过 上 表 示 空 间 曲 线 C 在 xoy 面 8

10 F(x, y,z) = 给 定 准 线, 定 点 A( abc,, ), 有 G(x, y,z) = Fx,y,z ( ) = Gx,y,z ( ) =, x a y b z c = = x a y b z c 消 去 x, y, z 即 为 所 求 锥 面 3. 旋 转 曲 面 : F(x, y,z) = 给 定 母 线 C:, 它 绕 直 线 L: P= A+ ts 旋 转 的 曲 面, 相 当 于 以 G(x, y,z) = A 为 球 心 AP 长 为 半 径 的 球 面, 与 过 P 以 S = (, l m, n) 为 法 向 量 的 平 面 的 交 线 为 曲 线 族 形 成 的 曲 面, 从 而 有 Fx,y,z ( ) = Gx,y,z ( ) =, ( x a) + ( y b) + ( z c) = ( x a) + ( y b) + ( z c) lx ( x) + my ( y) + nz ( z) = 消 去 x, y, z 即 为 所 求 旋 转 曲 面 特 别, 当 定 直 线 L 为 坐 标 轴, 如 z 轴 时, 取 a=b=c=, S = k = (,), 此 时, 后 两 个 方 程 变 为 : x + y + z = x + y + z, 即 x + y = x + y z = z, z = z, 再 由 前 两 个 方 程 ( 指 Fx,y,z ( ) =,G( x,y,z ) = ) 将 x, y 用 z = z 表 示, 即 得 所 求 旋 转 曲 面 典 型 例 题 x = z. 直 线 绕 z 轴 旋 转, 得 到 的 旋 转 曲 面 方 程 为 y = 解 : 在 该 直 线 上 取 点 ( x, y, z ), 绕 z 轴 旋 转 到 ( x, yz), 由 关 系 z = z, x + y = x + y 可 得 旋 转 面 方 程 : x + y 4z =. x y z. 求 直 线 L : = = 在 平 面 π : x y + z = 上 的 投 影 直 线 l 的 方 程, 并 求 l 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 得 曲 面 的 方 程 解 : 过 直 线 L 作 一 垂 直 于 π 的 平 面 π, π 与 π 的 交 线 即 为 l 的 方 程 π 的 法 向 量 既 垂 直 于 L 的 方 向 向 量, 又 垂 直 于 π 的 法 向 量, 因 此, 可 取 8

11 i j k π 的 法 向 量 为 = i 3j k 由 点 法 式 知 π 的 方 程 为 : x 3y z+ =, 从 而 l 的 方 程 为 x= y x y+ z = l : 将 l 写 成, x 3y z + = z = ( y ) 设 l 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 成 的 曲 面 为 S, 点 px ( p, yp, zp) S, 则 y p = y, ) ( ( ) ( ) 7 x p zp = x + z = y + y = yp + yp = yp y 4 去 掉 下 角 P, 即 得 S 的 方 程 为 4x 7y + 4z + y = + p + 4, 3. 已 知 A (,,) 与 B(,,), 线 段 AB 绕 z 轴 旋 转 一 周 所 成 的 曲 面 为 S, 求 S 与 两 平 面 z =, z = 所 围 立 体 的 体 积 解 : 过 A (,,) 和 B(,,) 的 直 线 方 程 为 x y z x = z = =, 即. y = z 在 z 轴 上 截 距 为 z 的 水 平 面 截 此 旋 转 体 所 得 截 面 为 一 个 圆, 此 截 面 与 z 轴 交 于 点 Q(,, z), 与 AB 交 于 点 M( z, z, z), 故 截 面 圆 半 径 rz = ( z) + z = z+ z 从 而 截 面 面 积 S( z) = π ( z+ z ), 旋 转 体 的 体 积 V = π ( z+ z ) dz = π. 3 x y z 4. 求 直 线 l : = = 绕 直 线 l : x= y = z 旋 转 一 周 所 得 旋 转 曲 面 的 方 程 F(x, y,z) = 解 这 是 旋 转 曲 面 方 程 给 定 母 线 C :, 它 绕 直 线 L: P= A+ ts 旋 转 的 G(x, y,z) = 曲 面, 相 当 于 以 A 为 球 心 AP 长 为 半 径 的 球 面, 与 过 P 以 S = (, l m, n) 为 法 向 量 的 平 面 的 交 线 为 曲 线 族 形 成 的 曲 面, 从 而 有 F( x, y, z) = Gx (, y, z) = ( x - a) + ( y- b) + ( z- c) = ( x- a) + ( y - b) + ( z- c) lx ( - x) + my ( - y) + nz ( - z) = 消 去 x, y, z 即 为 所 求 旋 转 曲 面 ( 见 前 面 ) x y z 本 题 : 母 线 l : = =, A(,,), s = (,, ),, 83

12 x + y + z = x + y + z () ( x- x) + ( y- y) + ( z- z) = (), x y z = = (3) 由 (3) 得 y = z = x, 由 () 得 x+ y+ z = x + y + z = 5x 4, x + y + z + 4 (, x + y + x y z ) = = z =, 再 代 入 () 得 5 5 x+ y+ z+ 4 8( x+ y+ z+ 4) x + y + z = x + y = 5x 8x + 4 = + 4, 5 5 化 简 得 x + y + z xy xz yz+ = 5. 求 椭 球 面 x + y + z xy = 在 三 个 坐 标 面 上 的 投 影 区 域 解 先 考 虑 椭 球 面 x + y + z xy = 在 xoy 平 面 上 的 投 影 该 投 影 即 通 过 所 给 曲 面 上 的 每 一 点 向 xoy 平 面 作 垂 线 所 得 的 垂 足 的 全 体, 它 是 xoy 平 面 上 的 一 个 区 域, 这 个 区 域 的 边 界 由 曲 面 上 这 样 的 点 的 投 影 构 成 : 这 一 点 向 xoy 平 面 所 作 的 垂 线 在 它 的 切 面 内 ( 与 椭 球 面 相 切 ), 即 该 点 的 法 线 与 xoy 平 面 平 行 注 意 到 该 点 的 法 向 量 为 { n= { x y, y x, z} } 因 此, 该 点 的 坐 标 满 足 z =, z =,, 这 些 点 的 投 影 为, x + y + z xy =. x + y xy = 它 即 椭 球 面 在 xoy 平 面 上 投 影 的 边 界 曲 线, 于 是 在 xoy 平 面 上 的 投 影 区 域 为 圆 : x + y xy, z = ; 同 样 的 方 法 可 考 虑 切 面 与 xoz 平 面 垂 直, 则 有 y x = 因 此, 对 xoz 平 面 投 影 为 边 界 点 的 椭 球 面 上 的 点 应 满 足 方 程 y x=, x + y + z xy =. y x=, 这 是 椭 球 面 与 平 面 的 交 线, 将 它 改 写 为 柱 面 与 平 面 的 交 线 3x + z =. 4 y =, 于 是, 椭 球 面 在 xoz 平 面 上 投 影 的 边 界 由 方 程 3x + z = 4 3 所 确 定, 面 上 的 投 影 区 域 为 椭 圆 :,. 4 x + z y = 同 样 的 方 法 可 确 定 椭 球 面 在 yoz 平 面 上 投 影 的 边 界 由 方 程 x =, 3y 4 + z = 所 确 定, 在 yoz 平 面 上 的 投 影 区 域 为 椭 圆 : 3 +, = 4 y z x 84

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