泛函分析

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仁季
7 years ago
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1 泛函分析导引 Hongxin Zhang State Key Lab of CAD&CG, ZJU

2 泛函分析概览形成于 20 世纪 30 年代的数学分支从变分问题, 积分方程和理论物理的研究中发展而来综合运用了函数论, 几何学, 代数学的观点可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分析

3 研究内容无限维向量空间上的函数, 算子和极限理论研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射

4 泛函分析的产生十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段对欧几里得第五公设的研究, 引出了非欧几何对于代数方程求解的研究, 建立并发展了群论对数学分析的研究又建立了集合论二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作希尔伯特空间的提出分析学中许多新理论的形成, 揭示出分析几何代数的许多概念和方法常常存在相似的地方代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法, 并且解的存在和唯一性条件也极其相似非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知,n 维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响

分析学中许多新理论的形成, 揭示出分析几何代数的许多概念和方法常常存在相似的地方代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法, 并且解

5 泛函分析的产生函数概念被赋予了更为一般的意义古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系在数学上, 把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论, 就产生了一门新的分析数学, 叫做泛函分析

6 泛函分析的特点把古典分析的基本概念和方法一般化几何化从有限维到无穷维泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具从质点力学过渡到连续介质力学, 就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统

7 泛函分析的主要研究内容泛函分析自身算子谱理论巴拿赫代数拓扑线性空间理论广义函数论与其他数学学科的关联微分方程概率论函数论连续介质力学计算数学控制论最优化理论等学科中都有重要的应用, 建立群上调和分析理论的基本工具与其他科学学科的关联连续介质力学量子物理学, 是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一

8 L p [a,b] 空间表示区间 [a,b] 绝对值的 p 次幂 L 可积函数的全体, 并把几乎处处相等的函数看成是同一个函数 p xt () L[ ab, ], xt () d t( p 1) 存在拓展古典分析中的概念 Lebesgue 测度 Lebesgue 积分 b a p

9 从 Riemann 积分到 Lebesgue 积分 Riemann 积分的定义 : 设 f (x) 是定义在 [a, b] 上的有界函数在 [a, b] 上任意取一组分点 a=x 0 <x 1 <x n-1 <x n =b, 并任意取 ξ i [x i-1,x i ] (i=1,2,,n), 作和式 S = f( ξi) Δx i= 1 若其极限存在则称 Riemann 可积 b n ( R) f( x)dx= lim f( ξi) Δx a n Δx 0 i = 1 i i

10 从 Riemann 积分到 Lebesgue 积分 Riemann 积分的思想是, 将曲边梯形分成若干个小曲边梯形, 并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形来代替, 小矩形的面积之和就是积分值的近似剖分越精细, 近似程度越好不可积分的反例 :Dirichlet 函数 Dx ( ) 1, = 0, 当 x为有理数当 x为无理数该函数太不连续了, 在小区间内变化很大

11 从 Riemann 积分到 Lebesgue 积分 Legesgue 积分的思想是, 优先照顾函数取值, 将函数值相差不大的那些 x 集中起来, 考虑集合 E i = { x y i-1 <f (x)< y i }, 然后求其长度, y i m(e i ) 和 y i-1 m(e i ) 用来近似所对应的那块面积, 最后再对所有的小块积分 Dirichlet 函数仍旧可以积分 Dx ( ) 1, = 0, 当 x为有理数当 x为无理数

12 从 Riemann 积分到 Lebesgue 积分 Legesgue 积分方法所面临的问题 : 给定直线上的点集 E, 如何定义它的长度? 引出了集合测度的概念对于任何实数 a 和 b, 点集 { x a f (x)< b} 是否有长度? 该问题与函数 y = f (x) 的性质密切相关, 引出了可测函数的概念

13 泛函分析中的三个空间概念距离空间 Banach 空间 ( 完备的赋范线性空间 ) Hilbert 空间 ( 完备的内积空间 ) 大千世界, 具云 : 三千大千世界四大部洲之上, 加须弥山半腰的四天王天, 及须弥山顶的忉利天, 并空间中的夜摩天兜率天化乐天他化自在天等六天为欲界再加上层的大梵天梵众天梵辅天等, 色界初禅天为一世界, 千个世界为小千世界又一小千世界, 具千日千月千须弥山千四大部洲千四天王天千忉利天千夜摩天千兜率天千化乐天千他化自在天千梵天等又千个小千世界为中千世界, 具百万日月百万须弥山百万四天下百万六欲天百万初禅天及千个二禅天又千个中千世界为大千世界, 具百亿日月百亿须弥山百亿四天下百亿六欲天百亿初禅天百亿二禅天及千个三禅天所谓三千世界, 乃小千中千大千之所指三数目的千世界又云大千, 即指三千之中的大为目标, 故说三千大千世界, 略云大千世界

天千忉利天千夜摩天千兜率天千化乐天千他化自在天千梵天等又千个小千世界为中千世界, 具百万日月百万须弥山百万四天下百万六欲天百万初禅天及千个二禅天又千个中千世界为大千世界, 具百亿

14 距离空间 : 定义设 X 是非空集合, 对于 X 中的任意两元素 x 与 y, 按某一法则都对应唯一的实数 ρ(x, y), 并满足以下三条公理 ( 距离公理 ): 1. 非负性 : ρ(x, y) 0, ρ(x, y) =0 当且仅当 x=y; 2. 对称性 : ρ(x, y) =ρ(y, x); 3. 三角不等式 ; 对任意的 x, y, z ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) 则称 ρ(x, y) 为 x 与 y 间的距离 ( 或度量 ), 并称 X 是以 ρ 为距离的距离空间 ( 或度量空间 ), 记成 (X, ρ), 或简记为 X;X 中的元素称为 X 中的点.

15 距离空间 : 注记所谓距离空间, 就是在集合 X 内引入了距离. 在一个集合中, 定义距离的方式不唯一如果对同一个集合 X 引入的距离不同那么所构成的距离空间也不同在集合互中引入距离后, 我们就说在 X 中引入了拓扑结构极限是数学分析中的基本概念之一, 有了它可以派生出许多其它概念. 泛函分析用距离来导出一般化的极限概念. 如 n 时 x n a, 我们应理解为 x n 与 a 的距离当 n 时趋向于零.

16 距离空间 : R n n 维实 ( 或复 )Euclid 空间 R n 是 n 维向量 x = (a 1,a 2,,a n ) 的全体, 其中 a i 是实 ( 或复 ) 数. 对任何的 x = (a 1,a 2,,a n ), y = (b 1,b 2,,b n ), 规定 ρ( xy, ) = ( ai bi) i 2 1/2 则 R n 是距离空间

17 距离空间 : L p [a,b] L p [a,b] 表示区间 [a,b] 绝对值的 p 次幂 L 可积函数的全体, 并把几乎处处相等的函数看成是同一个函数, 对于 x, y L p [a,b], 规定 1/ p b p ρ( xy, ) = xt ( ) yt ( ) d t, p 1 a 则 L p [a,b] 构成一个距离空间, 称之为 p 次幂可积函数空间

18 距离空间 : 开集与闭集邻域 : 给定距离空间 X 开集 : δ ( x) = { y ρ( x, y) < δ, y X} 设 G X, x G, 若存在 δ ( x) G, 则 x为 G的内点若 G上的每一点都是内点, G是 X的开集闭集 : 其补集是开集

19 距离空间 : 稠密性设 A,B 为距离空间 ( X, ρ) 中的两个集合, 若对任意的 x A, 总存在 y n A, 使得 y n x, 则称 B 在 A 中稠密例子有理数集 R 0 在实数集 R 中稠密多项式集 P 在连续函数集 C[a, b] 中稠密

20 距离空间 : 可分性设 X 是距离空间, 如果 X 中存在一个可列子集 X 0, 使得 X 0 在 X 中稠密, 则距离空间 X 是可分的例子 n 维 Euclid 空间是可分的连续函数集 C[a, b] 是可分的目的 : 用简单的逼近复杂的

21 距离空间的完备性柯西序列设 {x n } 是 (X, ρ) 中的点列, 若对任意的 ε>0, 存在 N>0, 当 n, m>n 时, 有 ρ(x n, x m )< ε. 则称 {x n } 是 X 中的柯西 (Cauchy) 序列, 或称基本序列收敛的序列必然是柯西序列, 而柯西序列未必是收敛的序列空间的不完备性若距离空间 (X, ρ) 中的每一个柯西序列都收敛于 (X, ρ) 中的某一元素, 则称 (X, ρ) 是完备的距离空间

22 距离空间的完备性 C[a,b] 和 L p [a,b] 都是完备距离空间

23 距离空间 : 不动点原理定义 : 设 (X, ρ) 为距离空间,T 是 X 到 X 中的映照, 如果存在数 a (0<a<1), 使得对所有的 x,y X 都有 ρ(tx, Ty)<aρ(x, y), 则称 T 是压缩映照定理 : 完备距离空间 X 上的压缩映照 T, 必存唯一的不动点 x*, 使得 Tx*=x*. (Banach 压缩映照定理 )

24 距离空间 : 不动点原理应用 : 微分方程, 代数方程, 积分方程解的唯一存在性例子 :Fredholm 第二类积分方程 b xs () = f () s + λ K(,)()d s t x t t 对充分小的 λ, 可证当 f C[a, b], K(s, t) C[a, b; a, b] 时有唯一连续解当 f L 2 [a, b], K(s, t) L 2 [a, b; a, b] 时有唯一平方可积解 a

25 线性空间设 V 是一个非空集合,K 是实 ( 或复 ) 数域, 并可在其上定义加法, 数乘运算, 而且满足以下公理加法交换律 :x+y = y+x 加法结合律 :(x+y)+z = x+(y+z) 存在零元 :x+0=x 存在逆元 :x+(-x)=0 数乘 :1x=x a(bx)= (ab)x (a+b)x=ax+bx a(x+y)=ax+ay 则称 V 是数域 K 上的线性空间 x,y,z V a,b K

26 范数与赋范线性空间设 X 是实 ( 或复 ) 线性空间, 如果对于 X 中每个元素 x, 按照一定的法则对应于实数 x, 且满足 : x 0, x =0 当且仅当 x 等于零元 (x=0) ax = a x, a 是实 ( 或复 ) 数 x+y x + y 则称 X 是实 ( 或复 ) 赋范线性空间, x 称为 x 的范数赋范线性空间必然是距离空间 : 定义 ρ(x, y)= x- y

27 范数与赋范线性空间距离空间未必是赋范空间反例 : 所有数列构成的空间定义距离 : S = {( x, x,..., x,...) x R} 1 2 n i ρ( xy, ) = 1 x y i i i i= xi + yi 取 x = (1,1,...,1,...), θ = (0,0,...,0,...) ρ( x, θ) = = i= 1 2 i ρ(2 x, θ) = = i= 1 2 i 2 ρ( x, θ) ρ(2 x, θ)

28 巴拿赫 (Banach) 空间如果赋范线性空间 (X,. ) 是完备的, 则称 (X,. ) 是 Banach 空间例子 n 维 Euclid 空间 R n 是 Banach 空间 L p [a,b] (p 1) 是 Banach 空间, 定义范数 1/ p b p x = x() t d t, p 1 a

29 巴拿赫 (Banach) 空间例子 :C k [a,b] 是 Banach 空间 C k [a,b] 表示定义在区间 [a,b] 上 k 阶连续可导的函数全体. 在 C k [a,b] 定义范数 k x = x t x t = x t C a b j= 0 ( j) (0) max (), () () [, ] 回忆在变分中提到的 k 阶接近度

30 有限维赋范线性空间线性空间的维数 : 若线性空间 X 中存在 n 个线性无关的元素 e 1,e 2,,e n, 使得任意的 x X 都可以唯一的表示为 x = ce ce ce n n 则称 {e 1,e 2,,e n } 是 X 的基底, 数组 {c 1,c 2,,c n } 是 x 关于基底的坐标,n 是线性空间的维数有限维赋范线性空间可以等价于 Euclid 空间有限维线性空间与 Euclid 空间是线性同构的有限维赋范线性空间上的范数定义是等价的有限维赋范线性空间是完备, 可分的

31 有界线性算子设 T 是由赋范线性空间 X 中的某个子集 D 到赋范线性空间 X 1 中的一个映照, 则称 T 是算子. D 是 T 的定义域, 记为 D(T), 像集 {y y=tx, x D} 是 T 的值域, 记为 T(D). 若 T 进一步满足可加性 :T(x+y)=Tx+Ty 齐次性 :T(ax)=aT(x) 则 T 是线性算子若存在正数 M 使得对于一切 x D(T), 有 Tx M x, 则 T 是有界算子

32 有界线性算子 T 是有界线性算子等价于 T 是连续线性算子算子的范数 : 对于一切 x D(T) 有 Tx M x 都成立的 M 的下确界, 称作算子的范数, 记为 T

33 有界线性算子对于任何 x L[a,b] 定义 t ( Tx)( t) = x( s)ds 则 T 为 L[a,b] 到其自身的有界线性算子, 且 a T = b a 容易证明线性其次等号成立情况 b b t Tx = Tx()d t t = x( s)ds dt b a a a a ( t a ) ( ) xs ()dsdt b b b b xs ()dsdt= d t xs ()d s= ( b a) x a a a a

34 有界线性算子空间定理 : 设 X 和 X 1 都是赋范线性空间, 在 B(X, X 1 ) 中定义加法和数乘运算 : (T 1 +T 2 )x=t 1 x+t 2 x (T 1,T 2 B(X, X 1 ),x X) (at)x=a(tx) (T B(X, X 1 ),a 是数 ) 则 B(X, X 1 ) 按照以上的线性运算是一个线性空间, 并以前述算子范数的定义构成赋范线性空间若 X 1 是 Banach 空间, 则 B(X, X 1 ) 也是 Banach 空间

35 有界线性算子空间 : 共轭空间若 X 1 是实数 ( 或复数 ) 域 R, 则 B(X, X 1 ) 称为共轭空间, 记为 X* X* 是定义在 X 上的所有有界线性泛函所构成的赋范线性空间, 泛函 f X* 的范数是 f = sup f( x) x = 1 实数 ( 或复数 ) 域 R 是完备的, 因此共轭空间必定是 Banach 空间

36 不同的收敛方式定义 T n,t B(X, X 1 ),n=1,2, 若 T n -T 0, 称 T n 按算子范数收敛于 T (n ), 或称 T n 一致收敛于 T 若对于任意的 x, 均有 T n x-tx 0, 则称 T n 强收敛于 T 定义 f n,f X*,n=1,2, 若 f n f 0, 则称 f n 强收敛于 f (n ) 若对于任意的 x, 均有 f n x fx 0, 则称 f n 弱 * 收敛于 f (n ) 若对于任意的 f, 均有 f(x n ) f(x) 0, 则称 x n 弱收敛于 x (n )

37 L p [a,b] (p>1) 上的有界线性泛函设 x L p [a,b],y L q [a,b], 且 1/p+1/q=1, 则 L p [a,b] 上的有界线性泛函是且 (L p [a,b])*= L q [a,b] b f ( x) = x() t y()d t t a 当 p=q=2 时, (L p [a,b])*= L q [a,b], 故空间 L 2 [a,b] 是自共轭空间

38 赋范线性空间的几个重要定理非零有界线性泛函存在定理逆算子定理类似于反函数定理 : 单调函数必存在反函数有界线性算子 T 将 Banach 空间 X 一一的映照到 Banach 空间 Y, 则 T 的逆算子线性有界特例 :Fourier 变换,Laplace 变换

39 赋范线性空间的几个重要定理闭图象定理设 T 是定义在 Banach 空间 X 上值域包含在 Banach 空间 Y 上的线性算子, 则 T 是有界算子的充要条件是 T 是闭算子线性算子 T 的图像 G = ( x, Tx) x D( T) X Y T { } 是 X Y 中的闭集, 则称 T 是闭算子闭图象定理常用来验证算子的连续性

40 赋范线性空间的几个重要定理共鸣定理 : 对于有界线性算子序列, 若代入每一个值都有上界, 则有界线性算子序列本身有界可用于证明 Lagrange 插值多项式作为连续函数近似表达时, 插值点无限增多并不能更好的逼近插值函数存在连续函数其 Fourier 级数无法一致收敛

41 有界线性算子的正则集与谱相似性矩阵的特征分解 Ax λx = y Fourier 级数展开

42 内积空间几何化 : 引入正交投影的概念定义 : 设 X 是定义在实 ( 或复 ) 数域 K 上的线性空间, 若对于 X 任意一对有序元素 x,y, 恒对应数域 K 的值 (x, y), 且满足 (ax, y) = a(x, y); (x+y, z) = (x, z) + (x, z) ( xy, ) = ( yx, ) (x, x) 0, 且 (x, x)=0 的充要条件是 x=0 则称 X 为内积空间,(x, y) 称为 x, y 的内积

43 Hilbert 空间可由内积导出范数 x = ( xx, ) 完备的内积空间称为希尔伯特 (Hilbert) 空间 Hilbert 空间必为 Banach 空间

44 Hilbert 空间 L 2 [a,b] 中定义 x, y 的内积 (x, y) 为 b 2 ( x, y) = x( t) y( t)d t, x( t), y( t) L [ a, b] a 因此, L 2 [a,b] 是一个可分的 Hilbert 空间 L p [a,b] (p 2) 不可能诱导由范数诱导出内积空间

45 Hilbert 空间赋范线性空间 X 成为内积空间的充要条件是它的范数满足中线公式 x+ y + x y = 2 x + 2 y 而且内积可表示为 ( xy, ) = ( x + y x y + i x+ iy i x y ) 4

46 Hilbert 空间正交 (x, y) = 0, 记为 x y 正交补 {, } A = x x A x X X 勾股定理 x y x+ y = x + y 正交分解 : 设 M 是内积空间 X 的完备子空间, 则对任意 x X, 均有以下唯一的正交分解 x = x + z, x M, z M 0 0

47 内积空间中的标准正交系定义 : 内积空间 X 中的元素列 {e k }, 如果满足则称 {e k } 是一正交系. 进一步, 如果满足则称 {e k } 是一标准正交系 ( e, e ) = 0, i j i 0 ( ei, ej) = δij = 1 j 有限维空间, 将给定向量展开成正交单位向量的线性组合无限维空间, 将给定函数展开成 Fourier 级数 i i = j j

48 内积空间中的标准正交系 L 2 [-π, π] 中, 三角函数列 , cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x... π π π π π 是标准正交系

49 Gram-Schmidt 正规化过程

50 Gram-Schmidt 正规化过程

51 完备的标准正交系

52 可列的完备标准正交系

53 Hilbert 空间的自共轭性

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