HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 版 數 學 歸 納 法 是 什 麼 玩 意 兒 中 原 大 學 師 資 培 育 中 心 楊 凱 琳 教 授 一 數 學 歸 納 法 不 同 於 歸 納 法 數 學 歸 納 法 在 數 學 知 識 的 領 域 中, 是 屬 於 基 本 原 理

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1 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 版 數 學 歸 納 法 專 輯 發 行 人 : 洪 萬 生 ( 台 灣 師 大 數 學 系 教 授 ) 主 編 : 蘇 惠 玉 ( 西 松 高 中 ) 副 主 編 : 林 倉 億 ( 台 師 大 數 學 系 ) 助 理 編 輯 : 張 復 凱 歐 士 福 ( 台 灣 師 大 數 學 所 ) 編 輯 小 組 : 蘇 意 雯 ( 成 功 高 中 ) 蘇 俊 鴻 ( 北 一 女 中 ) 黃 清 揚 ( 北 縣 福 和 國 中 ) 葉 吉 海 ( 新 竹 高 中 ) 陳 彥 宏 ( 成 功 高 中 ) 陳 啟 文 ( 中 山 女 高 ) 王 文 珮 ( 桃 縣 青 溪 國 中 ) 黃 哲 男 ( 台 南 師 院 附 中 ) 英 家 銘 ( 台 師 大 數 學 系 ) 謝 佳 叡 ( 台 師 大 數 學 系 ) 蔡 寶 桂 ( 新 竹 縣 網 路 資 源 中 心 ) 創 刊 日 :998 年 0 月 5 日 每 月 5 日 出 刊 網 址 : 數 學 歸 納 法 專 輯 說 明 數 學 歸 納 法 是 什 麼 玩 意 兒 數 學 歸 納 法 的 分 析 數 學 歸 納 法 常 見 的 謬 誤 數 學 歸 納 法 的 教 學 心 得 數 學 歸 納 法 專 輯 說 明 台 師 大 數 學 系 助 教 林 倉 億 在 中 小 學 的 數 學 教 材 中, 大 概 沒 有 比 數 學 歸 納 法 更 弔 詭 的 了! 例 如, 明 明 就 是 個 道 道 地 地 的 演 繹 法, 卻 要 在 名 稱 上 冠 上 演 繹 法 的 死 對 頭 歸 納 法 三 個 字! 或 者, 明 明 看 起 來 就 只 有 證 明 n 成 立, 其 他 都 是 假 設 的, 卻 可 以 下 結 論 說 對 於 每 一 個 自 然 數 n 都 成 立! 再 如, 明 明 吃 個 幾 大 碗 飯 就 快 撐 死 了, 卻 可 以 利 用 數 學 歸 納 法 證 得 不 管 吃 幾 粒 飯 都 吃 不 飽! 最 後, 明 明 是 要 讓 學 生 認 識 數 學 歸 納 法, 卻 總 有 許 多 學 生 誤 把 各 種 解 題 技 巧 當 作 是 數 學 歸 納 法 的 重 點! 有 鑑 於 此, 本 刊 之 編 輯 小 組 決 定 推 出 以 高 中 教 材 中 的 數 學 歸 納 法 為 主 題 的 專 輯, 從 不 同 的 面 向 觀 點 切 入, 來 探 討 數 學 歸 納 法 及 其 歷 史 發 展 與 教 學, 希 望 能 對 數 學 歸 納 法 的 教 與 學 有 所 助 益 本 專 輯 共 有 九 篇 文 章, 分 為 四 個 部 分 第 一 個 部 分 由 楊 凱 琳 的 數 學 歸 納 法 是 什 麼 玩 意 兒 蘇 俊 鴻 的 數 學 歸 納 法 的 分 析 及 謝 佳 叡 的 數 學 歸 納 法 教 與 學 的 認 知 與 常 見 謬 誤 所 組 成, 此 部 分 除 了 對 數 學 歸 納 法 進 行 分 析 外, 更 從 教 與 學 的 角 度 來 探 討 數 學 歸 納 法 第 二 個 部 分 是 陳 啟 文 與 陳 敏 皓 兩 位 現 職 高 中 教 師 的 數 學 歸 納 法 教 學 心 得, 他 們 提 供 了 自 己 的 教 學 策 略 與 心 得 和 大 家 分 享 第 三 個 部 分 是 介 紹 數 學 歸 納 法 的 歷 史 發 展, 包 括 了 蘇 惠 玉 的 數 學 歸 納 法 的 證 明 形 式 之 完 成 黃 清 揚 的 歷 史 上 的 數 學 歸 納 法 : 以 阿 爾 - 凱 拉 吉 阿 爾 - 薩 毛 艾 勒 本 熱 爾 松 摩 洛 利 克 為 例 及 筆 者 的 叫 誰 第 一 名 最 後 則 是 蘇 意 雯 的 如 何 製 作 HPM 學 習 工 作 單 - 以 數 學 歸 納 法 單 元 為 例, 該 文 介 紹 了 在 製 作 HPM 學 習 工 作 單 時, 該 涵 蓋 的 面 向 與 應 注 意 的 事 項 上 述 數 學 歸 納 法 專 輯 的 九 篇 文 章, 原 訂 是 在 本 期 中 全 部 刊 載, 但 文 章 彙 整 之 後, 發 現 遠 遠 超 過 本 刊 一 期 所 能 負 載 的 篇 幅, 因 此 不 得 不 將 此 專 輯 分 為 兩 期 刊 載 本 期 先 載 第 一 二 部 分, 第 三 四 部 分 刊 於 下 一 期 此 專 輯 內 容 之 豐 富, 由 此 可 見! 請 各 位 讀 者 細 細 品 味!

2 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 版 數 學 歸 納 法 是 什 麼 玩 意 兒 中 原 大 學 師 資 培 育 中 心 楊 凱 琳 教 授 一 數 學 歸 納 法 不 同 於 歸 納 法 數 學 歸 納 法 在 數 學 知 識 的 領 域 中, 是 屬 於 基 本 原 理 的 地 位 ( 參 考 : 夏 興 國,999) 皮 亞 諾 (Peano, 858~9) 提 出 關 於 自 然 數 性 質 的 五 個 公 理, 其 中 第 五 個 公 理 是 : 若 屬 於 自 然 數 的 一 個 子 集 合 包 含, 且 一 旦 包 含 某 數 ( 如 :n), 也 包 含 其 後 繼 元 素 ( 如 :n), 則 此 集 合 為 所 有 自 然 數 所 成 的 集 合 如 果 捨 棄 了 這 個 公 理, 數 學 即 少 了 一 種 驗 證 有 關 對 所 有 自 然 數 都 成 立 的 方 法 在 高 中 介 紹 使 用 數 學 歸 納 法 來 證 明 一 些 對 所 有 自 然 數 都 成 立 的 敘 述 時, 常 用 下 列 方 式 : 步 驟 證 明 n 時, 敘 述 成 立 步 驟 假 設 nk 時, 敘 述 成 立 ; 證 明 nk, 敘 述 也 成 立 由 數 學 歸 納 法 得 證, n 為 任 意 自 然 數 時 都 成 立 而 且, 老 師 們 也 會 特 別 強 調 : 要 寫 成 上 述 兩 個 步 驟, 證 明 是 我 們 真 的 要 去 做 的 部 分 ; 步 驟 不 可 以 拆 成 兩 個 部 分, 不 然 要 扣 分 ; 最 後 記 得 寫 上 由 數 學 歸 納 法 故 得 證 另 一 方 面, 歸 納 法 是 透 過 觀 察 有 限 例 子, 從 中 抽 取 共 通 性 的 一 種 推 理 方 式 例 如 : 一 個 數 列 的 前 五 項 是,4,8,6,, 請 你 從 中 找 一 個 規 則 推 出 第 n 項 的 表 示 式 此 第 n 項 可 以 是 n, 也 可 能 是 (n-)(n-)(n-)(n-4)(n-5) n, 有 很 多 種 可 能 對 照 上 述 數 學 歸 納 法 的 原 理 與 證 明 格 式, 不 難 看 出 歸 納 法 和 數 學 歸 納 法 至 少 有 兩 點 大 不 同 : 歸 納 法 沒 有 基 本 原 理 所 以 推 論 的 結 果 不 是 唯 一 也 不 保 證 是 對 的, 歸 納 法 的 用 途 在 於 形 成 臆 測 而 數 學 歸 納 法 的 用 途 在 於 檢 驗 臆 測 是 對 的 二 數 學 歸 納 法 是 一 種 數 學 特 有 的 推 理 方 式 一 般 談 到 推 理 方 式 時, 大 致 可 分 成 三 類 : 演 繹 (deduction) 歸 納 (induction) 和 誘 導 (abduction) 我 先 介 紹 一 個 故 事 ( 引 自 大 阪 圭 吉 所 著 的 三 狂 人, 但 故 事 情 節 有 些 改 變 或 省 略 ), 再 來 舉 例 說 明 三 種 推 理 方 式 有 一 家 精 神 病 院, 裡 頭 只 剩 下 三 名 中 年 男 性 患 者 一 個 叫 咚 咚, 因 為 他 每 天 都 用 腳 跟 敲 擊 榻 榻 米 ; 一 個 叫 歌 姬, 因 為 他 喜 歡 穿 著 女 人 的 和 服 在 眾 人 面 前 高 歌 ; 一 個 叫 受 傷 人, 雖 然 他 沒 有 受 傷 但 總 是 將 自 己 從 頭 到 臉 用 繃 帶 包 起 來 一 天 早 上, 護 士 發 現 三 個 病 患 不 見 了, 而 且 發 現 穿 著 白 袍 的 院 長 全 身 血 淋 淋 地 躺 在 地 上, 更 慘 不 忍 睹 的 是 腦 漿 也 被 掏 出 警 方 在 市 區 找 到 了 歌 姬, 發 現 咚

3 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 三 版 咚 的 頭 被 火 車 輾 過 並 死 在 鐵 軌 上 但 是 探 員 檢 查 咚 咚 的 腳 後 跟 後, 便 說 這 不 是 咚 咚 的 屍 體 在 上 述 的 故 事 中, 探 員 用 了 哪 些 推 理 方 式 呢? 從 探 員 想 要 去 觀 察 死 者 的 腳 後 跟 來 說, 這 屬 於 誘 導 的 推 理 方 式 ; 探 員 先 臆 測 : 該 名 死 者 可 能 是 別 人 並 不 是 咚 咚, 或 是 懷 疑 : 這 真 的 是 咚 咚 嗎? 這 樣 的 臆 測 或 是 懷 疑 不 是 經 由 演 繹 或 歸 納 推 得, 是 一 種 建 設 性 與 創 造 性 思 考 這 種 推 論 方 式 不 僅 是 人 腦 的 特 殊 之 處, 也 是 至 目 前 為 止 電 腦 不 能 取 代 人 腦 的 部 分 當 探 員 看 到 死 者 的 腳 後 跟 沒 有 凹 陷, 來 推 斷 這 名 死 者 不 是 咚 咚 ; 這 是 基 於 咚 咚 的 腳 後 跟 一 定 有 凹 陷 的 理 由, 屬 於 演 繹 的 推 理 方 式 從 探 員 推 測 歌 姬 可 能 又 到 市 區 的 馬 路 上 了, 這 屬 於 歸 納 的 推 理 方 式 ; 因 為 他 依 據 歌 姬 經 常 跑 到 外 面 當 眾 隨 興 表 演 的 資 料, 來 設 想 這 次 可 能 也 是 跑 到 外 面 去 了 那 麼 數 學 歸 納 法 本 身, 是 基 於 哪 些 推 理 方 式 來 成 全 它 的 有 效 性 呢? 演 繹 的 推 理 方 式, 想 必 是 呼 聲 最 高 的 一 種 也 有 許 多 參 考 資 料 指 出 數 學 歸 納 法 的 邏 輯 依 據 是 : 無 限 次 具 遞 迴 性 的 modus ponens 推 理 茲 用 P(n) 來 表 示 待 證 明 的 敘 述, P() 成 立 ( 根 據 數 學 歸 納 法 的 步 驟 ) 且 P() P() ( 根 據 數 學 歸 納 法 的 步 驟 ) 所 以 P() 成 立 且 P() P() ( 根 據 數 學 歸 納 法 的 步 驟 ) 所 以 P() 成 立 且 P() P(4) ( 根 據 數 學 歸 納 法 的 步 驟 ) 所 以 P(4) 成 立 如 果 數 學 歸 納 法 只 依 據 邏 輯 推 理, 那 麼, 應 該 就 有 辦 法 請 電 腦 來 幫 我 們 用 此 法 證 明, 可 是, 事 實 上 還 做 不 到 這 是 因 為 想 要 完 成 數 學 歸 納 法 的 步 驟, 並 不 見 得 那 麼 容 易, 有 時 候 是 需 要 誘 導 (abduction) 的 推 理 方 式 來 洞 察 或 頓 悟 所 需 的 技 巧 三 對 數 學 歸 納 法 的 理 解 在 日 常 生 活 中, 我 們 通 常 都 只 是 遇 到 有 限 個 自 然 數 就 能 處 理 的 問 題 既 然 如 此, 為 什 麼 還 要 學 數 學 歸 納 法 呢?Henkin (96) 曾 明 白 表 示 :.the true significance of mathematical induction does not lie in its importance for practical applications. Rather I see it as a creation of man s intellect which symbolizes his ability to transcend the confines of his environment. ( 轉 引 自 Movshovitz-Hadar, 99) 但 是, 筆 者 認 為 這 種 理 由 並 不 足 以 說 服 高 中 生, 使 他 們 願 意 投 入 時 間 來 克 服 理 解 此 一 方 法 的 困 難 為 了 設 想 幫 助 學 生 克 服 此 困 難 的 教 學 方 法, 何 謂 對 數 學 歸 納 法 的 理 解, 則 是 一 個 值 得 探 討 的 問 題

4 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 四 版 談 到 理 解 數 學 歸 納 法, 不 少 文 章 已 指 出, 學 生 對 該 法 的 理 解 只 限 於 表 面 儀 式 的 操 弄, 缺 乏 對 於 概 念 的 深 入 思 考 (Fischbein & Engel, 989; Movshovitz-Hadar, 99), 也 因 此 而 產 生 諸 如 下 列 的 問 題 或 疑 慮 :() 如 果 n 從 0 開 始, 此 法 適 用 嗎?() 多 檢 驗 幾 個 n 值, 是 否 比 只 檢 驗 n 更 有 保 障?() 先 假 設 要 證 明 的 敘 述 P(n) 在 nk 時 成 立, 這 樣 合 理 嗎?(4) 如 果 推 得 在 nk 時 的 式 子 和 敘 述 P(k) 不 合, 表 示 此 敘 述 P(n) 是 錯 的 嗎? 我 們 不 難 看 出 其 中 () 和 () 與 學 生 對 數 學 歸 納 法 步 驟 的 理 解 有 關, 而 () 和 (4) 則 是 他 們 在 數 學 歸 納 法 步 驟 中 可 能 面 臨 的 困 惑 如 果 把 能 夠 辨 識 數 學 歸 納 法 的 形 式 與 依 照 上 述 的 兩 個 步 驟 證 明 學 過 的 級 數 和 公 式 的 理 解 層 次, 標 籤 為 工 具 性 理 解, 也 就 是, 只 知 道 依 樣 畫 葫 蘆 的 階 段 那 麼, 什 麼 才 是 對 該 法 的 關 係 性 理 解 - 不 只 是 知 其 然, 還 知 其 所 以 然 之 故 的 階 段? 筆 者 先 主 觀 認 定 在 能 知 道 上 述 四 個 問 題 的 答 案, 才 是 到 達 關 係 性 理 解 我 們 所 以 提 出 這 兩 種 理 解 的 用 意, 是 想 請 教 師 們 留 意 : 如 何 從 學 習 數 學 歸 納 法 的 過 程 中, 幫 助 學 生 展 現 超 越 有 限 思 考 的 數 學 能 力 這 種 能 力 是 每 位 高 中 生 都 容 易 習 得 的 嗎? 學 生 只 習 得 工 具 性 理 解 的 數 學 歸 納 法 之 意 義 何 在? 另 外, 筆 者 也 提 出 一 個 合 理 的 假 設 : 對 數 學 歸 納 法 達 不 到 關 係 性 理 解 的 人, 無 法 從 事 數 學 專 業 的 研 究 可 是, 在 所 有 高 中 生 從 事 數 學 研 究 的 比 例 畢 竟 不 到 萬 分 之 一, 所 以, 期 待 每 個 高 中 生 都 要 花 時 間, 以 測 試 自 己 是 否 能 對 數 學 歸 納 法 達 到 關 係 性 的 理 解 層 次, 是 否 有 此 必 要 呢? 四 教 數 學 歸 納 法 不 可 不 知 的 事 上 述 的 假 設, 並 不 表 示 我 們 不 用 費 心 提 升 數 學 歸 納 法 的 教 學 能 力 反 而, 它 可 以 提 醒 我 們 再 深 入 思 考 : 究 竟 數 學 歸 納 法 的 教 學 目 標 是 什 麼? 如 果 我 們 把 數 學 當 成 一 種 人 類 展 現 嚴 密 推 理 的 活 動, 那 麼, 讓 每 個 人 都 有 機 會 學 一 點 理 性 思 考 的 方 法, 便 成 了 必 要 的 教 學 目 標 之 一 了 然 則, 藉 由 數 學 歸 納 法 可 以 傳 遞 哪 些 理 性 思 考 呢? 筆 者 認 為 下 列 四 個 與 數 學 證 明 相 關 的 概 念, 是 我 們 不 可 不 知 的 事 : 數 學 證 明 的 格 式 不 僅 利 於 溝 通 也 有 助 於 思 考 在 數 學 歸 納 法 中, 以 步 驟 和 的 方 式 呈 現, 可 以 讓 閱 讀 者 便 於 辨 識 出 特 定 的 證 明 方 式, 進 而 將 思 維 切 入 此 方 式 的 推 理 活 動 但 是, 如 何 超 越 特 定 證 明 方 式 的 辨 識 並 引 動 推 理 活 動 呢? 此 時, 老 師 的 提 問 與 引 導, 就 顯 得 非 常 重 要 問 問 學 生 :n 可 不 可 以 從 0 開 始? 或 是 n 可 不 可 以 是 某 個 自 然 數 以 後 的 自 然 數? 然 後, 再 提 出 可 以 造 成 學 生 認 知 衝 突 的 例 子 如 果 只 呈 現 格 式 而 忽 略 了 格 式 的 內 涵, 就 好 比 參 加 了 祭 孔 大 典, 只 看 到 儀 式 如 何 進 行 卻 不 知 各 項 禮 節 所 代 表 的 意 義, 是 一 件 捨 本 逐 末 的 事 數 學 證 明 以 有 效 性 為 主 解 釋 性 為 輔 寫 下 或 讀 過 一 個 證 明 之 後, 我 們 是 否 接 受 這 個 證 明? 這 裡 可 以 從 兩 種 觀 點 來 思 考 接 受 的 含 義, 一 種 是 意 義 上 的 接 受, 另 一 種 則 是 邏 輯 上 的 接 受 前 者 被 稱 為 具 有 解 釋 性 的 證 明, 後 者 則 是 具 備 有 效 性 的 證 明 例 如 : 有 些 學 生 認 為 多 檢 驗 幾 個 n

5 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 五 版 值 之 P(n) 是 否 為 真, 感 覺 上 整 個 證 明 是 更 能 保 障 P(n) 在 所 有 自 然 數 n 都 是 對 的 就 有 效 性 而 言, 端 看 步 驟 用 了 哪 些 假 設 來 推 得 nk 時 P(k) 成 立, 在 高 中 的 教 材 裡, 原 則 上 都 只 需 檢 驗 起 始 的 n 值 等 於 時 P() 成 立 即 可 印 此, 我 們 建 議 在 教 學 上, 除 了 注 意 對 證 明 有 效 性 的 判 斷, 也 要 讓 學 生 有 機 會 區 辨 解 釋 性 與 有 效 性 的 不 同 假 設 p 推 得 q 的 意 義 不 在 乎 p 是 否 為 真 即 使 能 夠 正 確 判 斷 整 個 證 明 過 程 是 否 有 效 的 學 生, 也 可 能 對 於 此 證 明 究 竟 是 證 明 了 什 麼 仍 然 是 一 知 半 解 茲 以 p q 表 示 數 學 命 題, 即 從 前 提 p 推 得 結 論 q 在 學 生 判 斷 對 一 個 命 題 p q 的 證 明 過 程 是 正 確 的 之 後, 如 問 他 此 一 證 明 過 程 可 以 證 明 什 麼 是 真 的?() p 是 真 的 () q 是 真 的 () p q 有 效 的, 他 或 許 會 認 為 () () () 都 真 或 有 效 所 以, 學 生 也 可 能 對 數 學 歸 納 法 步 驟 中 假 設 nk 時 P(k) 成 立 產 生 疑 惑, 而 對 於 步 驟 是 證 明 了 什 麼, 抱 持 了 一 知 半 解 的 狀 態 如 果 教 師 們 能 幫 助 學 生 建 立 這 種 假 設 性 的 推 理 概 念, 那 麼, 這 應 該 對 於 他 們 往 後 在 大 學 學 習 機 率 統 計 的 假 設 檢 定 概 念 時, 也 具 有 正 面 的 影 響 4 反 駁 不 同 於 證 明 的 思 考 方 式 如 果 學 生 需 要 證 明 一 個 n 從 開 始 是 不 成 立 的 不 等 式 時, 他 們 在 步 驟 發 現 推 得 的 結 果 和 P(k) 不 同, 是 否 表 示 P(n) 都 是 錯 的? 例 如 : 用 數 學 歸 納 法 證 明 對 所 有 的 自 然 數 n,5 n 是 的 倍 數 時, 我 們 發 現 在 步 驟 推 得 不 是 的 倍 數, 這 樣 的 結 果 表 示 什 麼? 在 數 學 上 針 對 某 個 敘 述 時, 一 個 反 例 就 足 以 反 駁 此 敘 述 一 般 的 高 中 生 或 許 都 已 具 有 這 樣 的 概 念, 但 是, 他 們 倒 不 一 定 瞭 解 什 麼 條 件 下 構 成 一 個 反 例, 以 及 某 個 反 例 可 以 反 駁 什 麼 這 或 許 和 我 們 的 相 關 課 程 主 要 都 是 以 建 構 證 明 為 核 心, 而 較 少 正 式 探 討 尋 找 反 例 的 教 學 活 動 有 關 我 們 不 妨 在 教 數 學 證 明 時, 也 設 計 一 些 錯 誤 的 命 題 讓 學 生 有 機 會 來 找 碴 五 數 學 歸 納 法 不 是 一 個 玩 意 兒 臆 測 : 對 數 學 歸 納 法 達 不 到 關 係 性 理 解, 則 S 是 無 法 從 事 數 學 的 研 究, 對 所 有 S 屬 於 人 都 成 立 證 明 : 步 驟. S 是 Peano 時, 臆 測 成 立 步 驟. 假 設 S 是 某 個 人 時, 臆 測 成 立 當 S 是 另 一 個 對 數 學 歸 納 法 達 不 到 關 係 性 理 解 的 人, 由 於 在 上 述 的 假 設 下 臆 測 成 立, 所 以,S 是 無 法 從 事 數 學 的 研 究 基 於 數 學 歸 納 法, 故 得 證!

6 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 六 版 各 位 看 官, 您 同 意 我 的 臆 測 嗎? 您 同 意 我 的 證 明 嗎? 無 論 您 的 看 法 如 何, 我 猜 您 一 定 認 同 : 數 學 歸 納 法 可 是 不 容 易 隨 便 玩 玩 的 啊! 致 謝 : 感 謝 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 洪 萬 生 教 授 建 國 高 中 陳 嘯 虎 老 師 和 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 林 倉 億 助 教 對 於 本 文 初 稿 的 指 正 與 建 議 註 解 :. 工 具 性 (instrumental) 理 解 和 關 係 性 (relational) 理 解 的 用 語, 取 自 Skemp (978) 所 寫 的 文 章 Relational Understanding and Instrumental Understanding 在 此, 筆 者 只 是 透 過 這 個 用 語, 點 出 know how ( 工 具 性 理 解 的 一 種 ) 和 know why ( 關 係 性 理 解 的 一 種 ) 的 差 別. 提 供 一 個 學 生 不 瞭 解 反 駁 了 或 證 明 了 什 麼 的 例 子 ( 引 自 Movshovitz-Hadar, 99): Is the following statement true or false? ( n ) n n?? Student A (і)for n the left side, the right side Now, > < Hence, the inequality holds. (іі)assume it hold for nk, i.e., ( k ) k k We want to show that it holds For nk, namely, that By our assumption: ( k )( k ) k ( k ) ( k ) ( k )( k ) k k ( k ) ( k ) k

7 [ k ] k ( k ) ( k ) HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 七 版 4k 4k 4k 4k > ( k ) ( k ) 參 考 資 料 This contradicts the statement and therefore it is false. 夏 國 興 (999), 數 學 歸 納 法 縱 橫 談, 台 北 : 九 章 出 版 社 Fishbein, E. & Engel, I. (989), Psychological Difficulties in Understanding the Principle of Mathematical Induction, in Vergnaud, G. et als. (eds.), Proceeding of the th International Conference for the Psychology of Mathematics Education (pp. 76-8). Movshovitz-Hadar, N. (99), Mathematical induction: A focus on the conceptual framework, School Science and Mathematics 9: Skemp, R. R. (978), Relational understanding and instrumental understanding, Arithmetic Teacher 6(): 9-5.

8 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 八 版 數 學 歸 納 法 的 分 析 台 師 大 學 數 學 系 研 究 所 博 士 生 蘇 俊 鴻 一 前 言 在 高 中 的 數 學 課 程 中, 由 於 學 生 在 數 學 歸 納 法 的 學 習 上 出 現 極 大 的 困 難, 使 得 數 學 歸 納 法 的 教 與 學, 一 直 是 關 注 的 課 題, 相 關 的 論 文 也 不 在 少 數 例 如 學 生 迷 思 概 念 (misconceptions) 類 型 的 探 討 ; 或 是 注 意 到 數 學 歸 納 法 的 教 學 中, 過 於 強 調 證 明 形 式 的 儀 式 操 弄, 缺 乏 對 於 概 念 深 入 的 探 討, 而 導 致 學 生 對 數 學 歸 納 法 的 理 解 多 半 只 停 留 在 一 知 半 解, 以 及 只 對 某 些 特 定 類 型 問 題 的 證 明 ( 例 如 : 級 數 和 公 式 ) 才 能 上 手 因 此, 教 師 本 身 對 於 數 學 歸 納 法 具 備 怎 樣 的 理 解, 必 定 會 左 右 學 生 學 習 時 所 獲 知 的 概 念, 或 是 影 響 對 迷 思 概 念 的 診 斷 與 處 理 本 文 的 目 的, 是 引 介 數 學 教 育 上 對 於 這 個 主 題 的 一 些 研 究 結 果, 希 望 能 提 供 數 學 教 師 對 於 這 個 主 題 更 多 的 理 解 一 般 說 來, 對 於 數 學 歸 納 法 的 分 析 大 概 有 三 個 面 向 :() 數 學 面 向 的 分 析 ;() 行 為 技 能 面 向 的 分 析 ;() 概 念 面 向 的 分 析 以 下, 我 們 就 針 對 這 三 個 面 向 逐 一 說 明 二 數 學 面 向 的 分 析 在 數 學 面 向 的 分 析 中, 我 們 不 難 發 現 幾 個 學 生 常 見 的 疑 問, 都 和 數 學 歸 納 法 的 數 學 原 理 有 關 疑 問 之 一 : 數 學 歸 納 法 和 歸 納 法 有 什 麼 差 異 呢? 歸 納 法 是 我 們 用 來 觀 察 有 限 個 例 子 所 共 有 的 性 質 時 常 使 用 的 推 理 方 法, 由 比 較 歸 納 的 程 序, 我 們 便 能 提 出 假 設 然 而, 這 個 假 設 的 有 效 性, 只 能 適 用 於 這 些 我 們 所 觀 察 的 有 限 例 子 上 如 何 證 明 這 個 假 設 的 有 效 性 可 以 推 廣 到 一 般 的 情 形 呢? 這 時, 就 必 須 借 助 數 學 歸 納 法 來 幫 忙, 而 數 學 歸 納 法 本 質 上 卻 是 邏 輯 演 繹, 關 於 這 點, 我 們 也 可 以 在 接 下 來 的 說 明 中 看 出 疑 問 之 二 : 數 學 歸 納 法 的 數 學 基 礎 是 什 麼? 對 於 數 學 教 師 而 言, 了 解 它 的 數 學 基 礎 奠 定 在 義 大 利 數 學 家 皮 亞 諾 (Peano, 858-9) 於 889 年 所 提 出 的 皮 亞 諾 公 設 (Peano s axioms) 之 上, 應 該 是 基 本 的 素 養 皮 亞 諾 從 不 加 定 義 的 集 合 自 然 數 後 繼 元 素 和 屬 於 等 概 念 出 發, 給 出 了 關 於 自 然 數 的 五 條 公 設 : () 是 一 個 自 然 數 () 不 是 任 何 其 他 自 然 數 的 後 繼 元 素 () 每 一 個 自 然 數 a 都 有 一 個 後 繼 元 素 (4) 如 果 a 與 b 的 後 繼 元 素 相 等, 則 ab (5) 若 一 個 由 自 然 數 所 組 成 的 集 合 S 包 含, 並 且 當 S 包 含 某 一 自 然 數 a 時, 它 一 定 也 含 有 a 的 後 繼 元 素, 則 S 就 包 含 有 全 體 自 然 數 其 中 的 公 設 (5) 就 是 所 謂 的 數 學 歸 納 法 原 理 (the Principle of Mathematical Induction)

9 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 九 版 但 是, 我 們 要 如 何 向 學 生 解 釋 呢? 事 實 上, 想 要 嚴 密 地 回 答 這 個 問 題, 就 高 中 階 段 所 習 得 的 數 學 內 容 是 很 難 達 成 的, 但 我 們 借 助 自 然 數 的 良 序 性 (the well ordering of the natural number) 與 骨 牌 ( 或 是 其 他 相 似 例 子 ) 的 類 比, 讓 學 生 直 觀 地 核 證 卻 是 可 行 筆 者 認 為 我 們 毋 須 迴 避 這 個 問 題, 雖 然 我 們 只 能 用 類 比 的 例 子 讓 學 生 去 感 受, 但 這 或 許 是 學 生 學 習 後 設 思 考 的 起 點 在 高 中 課 程 內 容 中, 數 學 歸 納 法 原 理 常 利 用 以 下 的 兩 步 驟 呈 現 : 步 驟 證 明 n 時, 敘 述 成 立 步 驟 假 設 nk 時, 敘 述 成 立 ; 證 明 nk, 敘 述 也 成 立 ( 歸 納 起 點,the basis of Induction) ( 歸 納 假 設,Induction hypothesis) ( 歸 納 步 驟,Induction step) 由 數 學 歸 納 法 得 證, n 為 任 意 自 然 數 時 都 成 立 不 知 讀 者 是 否 想 過 : 數 學 歸 納 法 原 理 只 能 用 這 樣 的 形 式 來 呈 現 嗎? 或 者 是, 為 什 麼 大 家 總 是 用 這 樣 的 形 式 來 描 述 呢? 在 這 樣 的 形 式 表 達 下, 什 麼 重 點 是 教 學 上 必 須 強 調 的? 這 種 形 式 的 優 點, 是 我 們 可 以 看 到 數 學 歸 納 法 原 理 的 循 環 性 (circularity, 或 是 有 人 稱 為 無 限 次 具 遞 迴 性 的 modus ponens 推 理 ), 透 過 步 驟 的 確 立 與 步 驟 的 遞 推, 被 精 準 恆 動 地 保 持 但 是, 這 卻 也 使 得 下 列 迷 思 概 念 產 生 : 數 學 歸 納 法 是 個 假 設 所 要 證 明 的 事 情 為 真, 然 後 又 證 明 它 為 真 的 方 法 ; 既 然 已 經 假 設 敘 述 成 立 ( 歸 納 假 設 ), 為 什 麼 又 大 費 周 章 地 用 個 複 雜 的 形 式 結 構 來 證 明 它 成 立 呢? 這 個 問 題 的 關 鍵, 在 於 歸 納 假 設 的 有 效 性 只 是 侷 限 在 整 個 步 驟 之 中, 並 沒 有 指 涉 原 本 所 要 證 明 之 敘 述 的 有 效 性 上 述 數 學 歸 納 法 原 理 兩 步 驟 形 式 的 完 整 呈 現, 正 是 教 師 在 數 學 歸 納 法 的 教 學 上 最 強 調 的 重 點 不 可 否 認 的, 教 師 如 何 賣 力 地 再 三 說 明 與 要 求 練 習, 學 生 的 作 答 表 現 總 還 是 有 不 足 之 處 這 意 味 著 想 要 在 形 式 上 構 造 出 正 確 的 數 學 歸 納 法 證 明, 學 生 需 要 擁 有 什 麼 樣 的 能 力? 教 師 需 要 注 意 哪 些 能 力 的 培 養? 或 許 對 於 數 學 歸 納 法 在 行 為 技 能 面 向 上 的 分 析, 可 以 幫 助 我 們 解 答 此 一 困 惑 三 行 為 技 能 面 向 的 分 析 在 這 個 面 向 上, 我 們 想 要 回 答 下 列 的 問 題 : 若 要 構 造 出 正 確 的 數 學 歸 納 法 證 明, 學 生 必 須 擁 有 什 麼 樣 的 技 能 (skills)? 當 然 回 答 這 個 問 題 前, 我 們 得 先 設 定 好 學 生 所 要 證 明 的 數 學 問 題 的 難 度, 這 當 然 會 影 響 學 生 作 答 的 表 現 這 裏, 我 們 將 問 題 設 定 為 多 數 學 生 均 能 理 解, 並 且 能 表 示 成 代 數 式 或 是 恆 等 式 常 見 的 有 級 數 和 公 式 遞 迴 數 列 數 論 ( 整 除 性 問 題 ) 以 及 幾 何 上 的 結 論 ( 常 表 示 成 代 數 式 ) 由 上 節 說 明 中 可 知, 數 學 歸 納 法 的 形 式 中 包 含 兩 個 步 驟 證 明,Paul Ernest 認 為 要 構 造 出 正 確 的 數 學 歸 納 法 證 明, 有 三 個 必 須 達 到 的 能 力 項 目 :( 圖 一,Ernest,984) () 證 明 歸 納 起 點 的 能 力 ;

10 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 版 () 證 明 歸 納 步 驟 的 能 力 ; () 用 正 確 形 式 呈 現 數 學 歸 納 法 證 明 的 能 力 對 於 代 數 表 示 的 例 行 性 問 題, 具 有 構 造 出 正 確 的 數 學 歸 納 法 証 明 的 能 力 用 正 確 的 形 式 呈 現 數 學 歸 納 法 証 明 的 能 力 証 明 歸 納 起 點 的 能 力 証 明 歸 納 步 驟 的 能 力 能 交 流 數 學 歸 納 法 証 明 形 式 的 知 識 用 特 定 的 數 字 來 核 証 (verify) 一 個 確 定 性 質 的 能 力 證 明 蘊 涵 的 能 力 具 有 代 數 代 換 (algebraic substitution) 的 能 力 對 代 數 恆 等 式 進 行 演 繹 (deduction) 的 能 力 圖 一 熟 練 地 處 理 代 數 式 和 恆 等 式 的 能 力 在 每 個 能 力 項 目 之 下, 均 包 含 有 欲 達 到 這 個 項 目 必 須 先 具 備 的 子 項 目 舉 例 來 說, 當 學 生 想 要 寫 出 歸 納 步 驟 的 證 明, 不 僅 要 知 道 由 歸 納 假 設 出 發 進 行 演 繹, 也 要 有 對 代 數 式 ( 或 是 恆 等 式 ) 進 行 演 繹 的 能 力 才 行 因 此, 教 師 在 設 計 教 學 活 動 時, 想 要 達 到 能 正 確 地 呈 現 出 數 學 歸 納 法 證 明 的 形 式 的 教 學 目 標, 便 要 掌 握 學 生 在 那 個 能 力 項 目 的 基 礎 是 否 已 經 建 立, 例 題 與 練 習 題 的 選 擇 就 顯 得 重 要 然 而, 我 們 如 果 只 是 建 立 起 學 生 在 數 學 歸 納 法 的 行 為 技 能, 由 於 特 定 類 型 的 問 題 出 現 較 多 ( 如 級 數 和 公 式 ), 便 會 造 成 學 生 認 為 數 學 歸 納 法 只 能 用 來 證 明 某 些 特 定 種 類 問 題 目 前 已 有 不 少 研 究 指 出, 學 生 如 此 一 來 將 會 陷 入 儀 式 性 的 操 弄, 而 無 法 更 深 入 做 概 念 性 的 理 解 4 不 過, 行 為 技 能 面 向 的 分 析, 顯 然 無 法 深 入 說 明 數 學 歸 納 法 相 關 的 證 明 理 論 基 礎 ( 比 如 為 何 要 採 用 二 步 驟 的 形 式? 各 步 驟 間 的 關 聯 性 為 何?) 先 備 知 識 或 概 念, 連 帶 地, 也 無 法 進 一 步 幫 助 我 們 解 說 某 些 形 式 上 看 來 正 確 卻 是 錯 誤 證 明 的 問 題 5 因 此, 我 們 對 於 數 學 歸 納 法 進 一 步 做 概 念 面 向 的 分 析, 的 確 有 其 必 要 性 四 概 念 面 向 的 分 析 對 於 這 個 面 向 的 研 究,Paul Ernest 算 是 最 早 有 系 統 從 事 研 究, 並 且 提 出 了 一 個 概 念 網 絡 圖 ( 圖 二,Ernest,984) 在 這 個 圖 中, 數 學 歸 納 法 位 處 中 心, 相 關 概 念 環 繞 周 圍 ; 各 個 概 念 間 有 著 單 向 或 是 雙 向 的 關 聯 性 在 上 一 節 有 關 行 為 技 能 分 析 中 所 涉 及 到 的 概 念, 像 是 基 本 證 明 蘊 涵 ( 指 兩 個 敘 述 間 的 連 結 關 係, 通 常 都 是 源 自 基 本 証 明 ) 及 代 數 恆 等 式 ( 包 括 代 數 上 用 法 的 普 遍 規 約 及 運 算 律, 以 及 代 數 恆 等 式 的 證 明 ), 可 以 算 是 數 學 歸 納 法 的 相 關 概 念

11 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 一 版 源 自 於 代 數 恆 等 式 的 自 然 數 的 性 質 ( 以 具 有 某 些 性 質 的 自 然 數 為 歸 納 範 圍 ) 以 及 與 代 數 恆 等 式 息 息 相 關 的 函 數, 則 可 視 為 數 學 歸 納 法 的 先 備 知 識 事 實 上, 自 然 數 的 某 些 性 質 若 用 單 變 數 的 形 式 表 示 時, 就 可 以 視 為 某 種 特 殊 的 函 數, 這 類 的 函 數 就 稱 為 以 歸 納 定 義 的 函 數 此 外, 與 歸 納 定 義 的 函 數 緊 密 相 繫 的 概 念, 就 是 遞 迴 ( 這 是 數 學 歸 納 法 的 核 心, 遞 推 步 驟 及 自 然 數 性 質 得 以 一 般 化 的 關 鍵 ); 而 遞 迴 的 概 念, 則 是 建 立 在 反 覆 與 流 程 圖 的 概 念 上 反 過 來, 反 覆 與 流 程 圖 也 幫 助 以 歸 納 定 義 的 函 數 概 念 的 發 展 至 於 反 覆 與 流 程 圖 以 歸 納 定 義 的 函 數 及 遞 迴 等 概 念, 則 是 源 自 於 自 然 數 的 良 序 性, 因 此, 自 然 數 的 良 序 性 可 說 是 數 學 歸 納 法 的 最 主 要 概 念 蘊 涵 基 本 證 明 遞 迴 數 學 歸 納 法 代 數 恆 等 式 以 歸 納 定 義 的 函 數 自 然 數 的 性 質 反 覆 與 流 程 圖 自 然 數 的 良 序 性 函 數 圖 二 在 上 述 的 概 念 面 向 分 析 中,Paul Ernest 特 別 強 調 有 兩 個 概 念 叢 集 (conceptual clusters) 是 在 行 為 技 能 面 向 的 分 析 上 無 法 提 及 的 :() 由 自 然 數 定 義 的 性 質 和 函 數 ;() 遞 迴 和 自 然 數 的 良 序 性 前 者 對 於 數 學 歸 納 法 的 證 明 非 常 重 要, 因 為 數 學 歸 納 法 證 明 要 求 的, 正 是 對 自 然 數 的 性 質 有 所 認 識 (recognition) 理 解 (understanding) 及 運 用 (use) 後 者 則 提 供 了 數 學 歸 納 法 論 證 的 基 礎, 數 學 歸 納 法 的 運 作 機 制, 正 是 奠 基 於 自 然 數 的 良 序 性 及 連 續 的 遞 迴 在 概 念 網 絡 圖 的 分 析 下, 的 確 讓 吾 人 能 有 更 多 觀 察 思 考 數 學 歸 納 法 的 角 度, 像 是 點 出 遞 迴 的 重 要 性 然 而, 這 個 網 絡 圖 也 有 著 讓 人 商 榷 的 部 份, 例 如,Ernest 對 於 概 念 間 的 關 係 的 描 述, 是 基 於 發 生 的 順 序 來 的 ( 誰 源 自 誰 ) 在 這 樣 的 看 法 下, 會 讓 吾 人 以 為 自 然 數 的 良 序 性 比 數 學 歸 納 法 更 為 基 本 事 實 上, 這 兩 者 是 互 為 等 價 的 觀 念 此 外, 對 比 現 行 高 中 課 程 在 數 學 歸 納 法 之 主 題 - 希 望 學 生 學 會 的 具 體 概 念 ( 圖 三, 高 中 數 學 第 一 冊 教 師 手 冊, 康 熙 版 ),Paul Ernest 所 提 的, 主 要 是 幫 助 教 師 能 在 教 學 上 進 行 後 設 認 知 的 反 思, 並 非 是 教 學 上 的 題 材

12 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 二 版 自 然 數 的 特 性 數 學 歸 納 法 不 等 式 的 證 明 利 用 歸 納 法 求 數 列 ( 含 遞 迴 數 列 ) 與 級 數 利 用 數 學 歸 納 法 證 明 數 學 命 題 圖 三 多 項 式 因 式 與 倍 式 的 關 係 棣 美 弗 定 理 五 結 論 透 過 數 學 歸 納 法 在 數 學 面 向 行 為 技 能 面 向 及 概 念 面 向 等 面 向 上 的 分 析, 我 們 希 望 數 學 教 師 們 對 於 數 學 歸 納 法, 能 有 更 深 入 一 層 的 理 解 本 文 中 除 了 讓 讀 者 看 到 數 學 教 育 在 相 關 研 究 上 的 成 果 外, 也 展 現 了 教 育 研 究 工 作 細 緻 的 一 面, 它 對 於 我 們 平 日 所 知 的 概 念 或 是 能 力, 總 能 仔 細 地 分 辨 出 其 中 的 差 異, 提 供 我 們 更 多 思 考 的 向 度 因 此, 本 文 所 論, 是 對 教 師 們 在 實 際 教 學 活 動 中, 提 供 更 多 的 關 照 角 度, 以 及 更 多 有 益 於 後 設 認 知 思 考 的 資 料 本 文 雖 然 並 沒 有 提 供 實 際 教 學 活 動 的 建 議, 但 在 各 節 中 的 分 析, 相 信 可 以 提 供 設 計 教 學 活 動 的 基 礎 透 過 適 當 安 排 的 教 學 序 列 (teaching sequence), 一 定 可 以 避 免 學 生 迷 思 概 念 與 概 念 學 習 的 困 難 的 產 生 這 也 是 關 於 數 學 歸 納 法 的 教 學 研 究 中, 愈 來 愈 重 要 的 課 題 註 解 :. 像 是 無 法 接 受 數 學 歸 納 法 的 證 明 形 式 ; 無 法 完 整 呈 現 數 學 歸 納 法 的 形 式 ; 在 歸 納 步 驟 ( 由 n k 推 到 n k) 上 的 證 明 出 現 的 困 難 等 等 以 及 一 些 似 是 而 非 的 證 明 ( 如 註 解 5). 參 考 Paul Ernest 在 984 年 發 表 的 Mathematical Induction: A Pedagogical Discussion 本 文 對 數 學 歸 納 法 三 個 面 向 的 分 析, 是 沿 用 Paul Ernest 的 說 法. Paul Ernest 將 這 一 類 的 問 題 稱 為 代 數 表 示 的 例 行 性 問 題 (routine problems expressed algebraically) 4. Paul Ernest 也 認 為 教 學 若 是 只 達 成 這 些 行 為 技 能 目 標 的 話, 就 只 是 讓 學 生 對 數 學 歸 納 法 有 著 工 具 性 的 理 解 (instrumental understanding), 這 是 他 借 用 Skemp 的 術 語 5. 例 如, 我 們 可 以 推 論 : 若 要 找 出 一 堆 硬 幣 中 的 一 枚 偽 幣, 無 論 硬 幣 的 數 量 為 何, 最 多 用 天 平 量 四 次, 均 可 找 出 ( 量 法 任 意, 只 要 能 找 出 即 可 ) 用 數 學 歸 納 法 証 明 如 下 : 步 驟 當 n 時, 只 要 量 一 次, 便 可 找 出 步 驟 假 設 n k 時 成 立, 也 就 是 k 枚 硬 幣 中 找 出 一 枚 偽 幣, 最 多 用 天 平 量 四 次 當 n k 時, 我 們 先 從 這 k 枚 隨 意 拿 出 枚 放 在 一 旁, 則 剩 下 的 n 枚 硬 幣, 依

13 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 三 版 照 上 述 假 設, 我 們 最 多 量 四 次, 便 可 找 到 偽 幣 若 找 到 偽 幣, 表 示 一 開 始, 我 們 拿 出 的 硬 幣 為 真 若 找 不 到 偽 幣, 表 示 我 們 一 開 始 拿 出 的 硬 幣 是 偽 幣, 如 此 一 來, 我 們 也 找 到 偽 幣 依 照 數 學 歸 納 法, 我 們 可 以 推 論 : 若 要 找 出 一 堆 硬 幣 中 的 一 枚 偽 幣, 無 論 硬 幣 的 數 量 為 何, 最 多 用 天 平 量 四 次, 均 可 找 出 ( 量 法 任 意, 只 要 能 找 出 即 可 ) 如 何 說 明 其 中 的 錯 誤 呢? 參 考 文 獻 徐 道 寧 (997), 數 學 歸 納 法, 凡 異 出 版 社 Ernest P. (984), Mathematical Induction: A Pedagogical Discussion, Educational Studies in Mathematics5: Movshovitz-Hadar, N. (99), Mathematical induction: A focus on the conceptual framework, School Science and Mathematics 9: 現 在 上 數 學 歸 法 時, 我 都 用 禿 頭 故 事 當 啟 蒙 例, 我 覺 得 學 生 非 常 有 感 覺... 禿 頭 故 事 如 下 ( 我 自 己 加 入 了 一 些 情 境 啦 ) 老 師 昨 天 經 過 體 育 館 看 到 排 隊 排 超 長 的, 看 不 到 盡 頭 在 哪, 正 在 想 發 生 了 什 麼 事 時, 突 然 發 現 了 二 件 奇 怪 的 事. 排 第 一 個 的 人 是 禿 頭 耶 ( 這 時 學 生 會 笑 ). 每 個 禿 頭 後 面 也 是 禿 頭 耶 ( 這 時 學 生 會 狂 笑? 但 三 秒 後 會 有 學 生 說 那 不 就 全 部 都 禿 頭??) ( 台 南 女 中 李 宜 芬 老 師 提 供 ) 這 個 例 子 雖 然 不 很 嚴 謹, 但 充 分 的 表 現 出 數 學 歸 納 法 的 精 髓, 我 覺 得 比 課 本 什 麼 河 內 塔 或 骨 牌 好 太 多 了 而 且 我 每 次 都 講 得 好 像 真 的 看 到 一 樣, 學 生 還 會 問 " 哪 裡 的 體 育 館?" " 真 的 全 部 都 禿 頭 嗎? " 由 台 南 女 中 李 宜 芬 老 師 提 供

14 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 四 版 數 學 歸 納 法 常 見 的 謬 誤 前 言 台 師 大 數 學 系 助 教 謝 佳 叡 本 文 主 要 是 從 大 一 學 生 和 大 四 準 教 師 的 兩 個 實 例 引 入, 來 考 察 學 生 對 於 數 學 歸 納 法 的 認 知, 進 而 探 討 教 師 在 教 學 上 需 注 意 的 事 項, 以 及 學 生 對 於 數 學 歸 納 法 的 常 犯 的 錯 誤 數 學 歸 納 法 這 個 名 稱, 在 Dedekind (8-96) 後 也 開 始 流 行 稱 為 完 全 歸 納 法 (complete induction) (Miller, 00), 其 相 對 比 的 名 稱 就 是 不 完 全 歸 納 法 所 謂 完 全 歸 納 法, 在 自 然 科 學 和 數 學 中 各 有 不 同 的 意 涵 在 自 然 科 學 中, 指 的 透 過 觀 察 某 類 事 物 的 所 有 例 子, 從 而 得 到 關 於 這 類 事 物 一 般 性 的 結 論 ( 田,996), 換 言 之, 透 過 完 全 歸 納 所 得 到 的 結 論 具 有 確 定 性, 但 具 體 操 作 卻 不 見 得 可 行 相 對 地, 在 數 學 上, 完 全 歸 納 法 卻 有 另 一 個 意 義, 它 是 意 指 : 若 (i) n 時 成 立, 且 (ii) 若 n k 成 立, 可 推 得 n k 也 成 立, 則 對 每 個 自 然 數 都 成 立 (Daintith & Nelson,997), 此 定 義 常 被 某 些 數 學 教 材 指 稱 為 第 二 型 的 數 學 歸 納 法 ( 若 只 假 設 n k 成 立 就 稱 第 一 型 ) 不 難 辦 別, 將 數 學 歸 納 法 稱 為 完 全 歸 納 法 並 不 完 全 適 當, 它 既 不 是 科 學 上 指 涉 的 完 全 歸 納 法 ( 去 觀 察 所 有 的 自 然 數, 來 證 明 所 有 的 自 然 數 滿 足 所 要 的 條 件 ), 即 使 在 數 學 上, 完 全 歸 納 法 也 僅 是 數 學 歸 納 法 其 中 的 一 個 類 型 雖 然 如 此, 完 全 歸 納 法 這 個 名 稱 倒 也 讓 數 學 歸 納 法 中 的 歸 納 一 詞 有 了 一 個 解 釋 空 間, 觀 察 n k 多 個 情 形 再 到 n k 的 確 會 帶 來 一 股 歸 納 感, 不 像 一 般 科 學 所 稱 的 歸 納 法 都 必 須 先 觀 察 一 定 數 量 的 例 子, 再 進 行 一 般 性 質 的 抽 離 臆 測, 而 數 學 歸 納 法 只 驗 證 n 或 是 一 個 起 始 例 子 再 者, 歸 納 法 所 得 的 結 果 其 內 容 會 超 越 觀 察 值 ( 或 說 是 前 提 ) 本 身 的 內 容, 但 是 數 學 歸 納 法 這 種 證 明 方 法 並 不 會 超 越 前 提 的 內 容, 自 然 數 的 性 質 也 無 法 經 由 這 種 方 法 得 到 擴 充 ( 頂 多 得 到 驗 證 ), 這 些 都 顯 示 出 數 學 歸 納 法 本 質 上 是 一 種 演 繹 方 法 當 然, 這 個 方 法 要 稱 做 什 麼 名 稱 實 無 損 於 它 本 身 的 價 值, 為 何 會 稱 為 數 學 歸 納 法, 這 個 問 題 或 許 可 以 留 給 有 興 趣 的 人! 除 了 名 稱 經 常 造 成 誤 解 之 外, 這 個 方 法 本 身 的 思 維 方 式, 也 是 許 多 人 所 不 瞭 解 或 難 以 接 受 的, 因 此, 對 此 方 法 的 疑 問 層 出 不 窮 譬 如 在 學 校 中, 可 以 聽 到 學 生 提 出 如 下 的 疑 問 : 知 道 n k 和 n k 成 立 又 如 何, 仍 不 知 道 後 面 幾 項 是 否 也 成 立? 為 何 只 證 明 兩 個 數 就 可 以 代 表 所 有 的 數? 自 然 數 有 無 限 多 個, 無 法 知 道 確 實 性 k 是 假 設 成 立 的, 就 算 k 成 立 和 全 體 有 什 麼 關 係? 假 設 n k 成 立, 若 n k 真 的 不 成 立 呢? 用 假 設 來 證 明 很 沒 有 說 服 力, 假 設 成 立, 畢 竟 還 是 假 設! 如 果 第 一 隻 烏 鴉 是 黑 的, 如 果 第 k 隻 烏 鴉 是 黑 的, 第 k 隻 烏 鴉 也 是 黑 的, 那 也 只 能 說 三 隻 烏 鴉 是 黑 的 等 之 疑 問 ( 朱, 999) 我 們 也 看 過 一 些 書 上 利 用 數 學 歸 納 法 來 證 明 : 每 個 人 都 是 禿 頭 人 力 無 限 大 永 遠 吃 不 飽 所 有 人 都 一 樣 高 等 荒 謬 的 命 題

15 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 五 版 一 個 例 子 這 是 發 生 在 數 學 系 大 一 微 積 分 課 程 某 個 學 生 的 一 個 例 子, 雖 僅 為 一 特 例, 倒 也 提 供 許 多 思 考 之 空 間 題 目 是 這 樣 的 : Show that 設 M 為 正 整 數, 試 證 : 數 列 n! M n! n M a 在 n M 時 遞 減 (Let M be a positive integer. n n a decreases for n M. )(Salas, Hille & Etgen, 00) n 這 個 學 生 的 證 明 方 式 如 下 : n M, 且 M 為 正 整 數, (i) 在 n 時, a, M M! a 因 為 M n, 所 以 a > 成 立 k M (ii) 若 n k 時, 使 得 a k k! > 則 n k a ( 因 為 M k < k ) a M M M! 成 立,( 其 中 M k) k M a k ( k )! > a k M k M k k M M k M k ( k )! ( k )! k ( k )! k ( k )! k 由 數 學 歸 納 法 可 知, 對 於 實 數 n, 正 整 數 M,( n M ), n! n M a 為 遞 減 數 列, 得 證 n 這 一 題 在 證 明 上 無 需 用 到 數 學 歸 納 法 便 可 證 明, 只 要 說 明 : 在 n M 時, n a n M n! M <, 就 可 證 得 這 個 數 列 在 n M 時 遞 減 這 位 同 學 卻 選 擇 了 使 n a ( n )! M n n 用 數 學 歸 納 法 而 當 學 生 拿 到 批 改 為 錯 後 的 作 業, 很 不 解 的 跑 來 問 我 錯 在 哪 裡?( 如 是 各 位, 你 們 會 如 何 答?) 當 下 要 完 整 回 答 他 的 問 題 並 不 容 易, 因 為 他 的 作 法 裡 頭 涉 及 到 的 概 念 太 多 了, 但 撇 開 其 他 部 分 不 管, 就 數 學 歸 納 法 的 使 用 以 及 概 念, 至 少 就 有 幾 個 迷 思 :( 一 ) 使 用 數 學 歸 納 法 的 時 機 ;( 二 ) 為 何 他 從 n 開 始?( 三 ) 他 所 指 的 成 立 到 底 是 指 什 麼 成 立? 以 及 ( 四 ) 從 n k 成 立, 到 n k 成 立 時, 兩 者 之 間 根 本 沒 有 遞 推 的 關 係,( 五 ) 數 學 歸 納 法 怎 會 用 在 證 明 對 於 實 數 n? 雖 然 腦 中 閃 過 了 一 大 堆 錯 的 理 由, 一 時 之 間 竟 挑 不 到 關 鍵 點 (key point) 告 訴 他, 只 得 敷 衍 似 的 回 答 這 一 題 不 用 數 學 歸 納 法, 而 且 你 的 數 學 歸 納 法 也 用 錯 了! 他 點 點 頭, 滿 臉 疑 惑 的 離 開 了, 我 卻 滿 懷 愧 疚, 因 為 我 並 沒 有 解 決 他 的 問 題 而 四 年 後, 他 很 有 可 能 成 為 教 室 中 教 學 生 數 學 歸 納 法 的 老 師 在 重 新 檢 閱 此 題 時, 發 現 有 許 多 的 問 題 是 可 以 進 一 步 思 考 的 姑 且 不 論 本 題 是 否 適 合 用 數 學 歸 納 法 證 明, 從 題 目 的 形 式 來 看, 正 整 數 數 列 等 式, 以 及 從 某 一 項 之 後 如 何 如 何 等 等 這 些 字 詞, 的 確 經 常 在 使 用 數 學 歸 納 法 的 題 目 中 出 現, 因 而 可 能 讓 這 位 學 生 將 本 題 與 數 學 歸 納 法 產 生 了 的 連 結, 並 啟 動 數 學 歸 納 法 的 程 序 性 套 裝 思 維 進 行 證 明 ( 謝, 00) 然 而, 這 一 題 真 地 不 能 用 數 學 歸 納 法 證 明 嗎? 仔 細 思 考 後, 由 於 n M 恰 是 此 數 列 遞 減 的 充 分 且 必 要 條 件, 因 此 只 要 從 n M 開 始, 稍 加 設 計 的 確 可 利 用 數 學 歸 納 法 加

16 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 六 版 以 證 明 ( 留 給 讀 者 自 行 證 明 ) 只 是, 這 位 同 學 選 擇 了 使 用 數 學 歸 納 法, 但 這 卻 不 是 他 在 本 題 所 犯 的 最 大 的 錯 誤 ( 比 起 來, 他 將 M 在 定 數 與 變 數 之 間 任 意 切 換, 以 及 將 n M 視 為 定 設 條 件 可 能 還 更 為 嚴 重 ), 單 就 數 學 歸 納 法 的 使 用 而 言, 也 明 顯 的 忽 略 了 幾 個 應 注 意 的 要 素! 一 個 教 學 活 動 在 本 系 固 定 每 週 四 節 的 數 學 教 學 實 習 課 堂 中, 筆 者 參 與 了 一 位 大 四 的 準 教 師 進 行 數 學 歸 納 法 單 元 的 教 學 演 示, 由 其 他 同 修 該 課 程 的 同 學 充 當 高 一 學 生 這 位 準 教 師 一 開 始 引 進 的 活 動, 是 操 作 河 內 塔 -- 一 個 經 常 在 此 單 元 教 學 被 引 用 的 活 動 這 位 準 教 師 還 精 心 製 作 了 幾 組 河 內 塔 模 型, 讓 學 生 可 以 實 際 動 手 操 作 一 開 始, 他 敘 述 一 個 經 過 包 裝 的 古 老 故 事 故 事 中 提 到 了 六 十 四 個 由 大 至 小 的 金 盤, 盤 中 有 孔, 並 放 置 在 寶 石 製 成 的 針 上 這 些 金 盤 可 以 根 據 底 下 三 個 規 則 移 動, 目 標 是 將 金 盤 由 其 中 一 根 針 移 到 另 一 根 針 上 :. 一 次 只 能 移 動 一 個 盤 子. 大 盤 子 永 遠 不 能 放 在 小 盤 子 上. 這 一 疊 盤 子 可 以 藉 由 另 外 的 一 個 外 加 的 暫 時 位 置 從 某 個 位 置 移 到 另 外 一 個 位 置 ( 在 此 暫 且 不 去 考 慮 這 三 個 規 則 所 引 發 的 邏 輯 問 題, 例 如 : 規 則 和 規 則 是 不 相 容 的, 以 及 如 果 規 則 成 立, 哪 還 玩 什 麼? 但 我 們 不 難 看 出, 這 位 準 教 師 設 計 奇 怪 的 規 則 是 為 接 下 來 要 教 的 數 學 歸 納 法 所 鋪 設 的 ) 首 先, 他 先 請 同 學 示 範 一 個 和 兩 個 圓 盤 接 著, 讓 同 學 分 組 操 作 三 個 及 四 個 圓 盤 的 情 形, 並 分 別 請 同 學 上 台 示 範 在 示 範 四 個 圓 盤 時, 其 中 一 個 同 學 利 用 剛 剛 已 經 做 過 的 三 個 圓 盤 可 以 搬 完, 而 把 三 個 當 成 一 個 單 位 一 起 先 移 動, 再 移 第 四 個 最 大 的, 最 後 在 一 起 移 動 那 三 個, 完 成 任 務! 最 後, 老 師 讓 同 學 試 著 去 猜 猜 看 當 圓 盤 有 64 個 時, 可 否 搬 完? 在 同 學 討 論 結 束 後, 老 師 開 始 進 行 如 下 的 講 解 : 當 三 個 可 以 搬 時, 用 剛 剛 那 同 學 的 作 法 四 個 也 就 可 以 搬 ; 同 樣 的, 假 設 四 個 可 以 搬, 那 麼 五 個 也 可 以 搬, 一 直 延 續 下 去,64 個 也 就 可 以 搬 完!( 此 時, 有 同 學 提 出 反 駁 : 如 果 可 以 假 設, 那 就 直 接 假 設 64 個 可 以 搬 就 好, 何 必 一 個 一 個 推? 準 老 師 回 答 數 學 必 須 要 經 由 邏 輯 推 導 才 行!) 接 著, 這 位 準 老 師 以 此 為 引 子, 開 始 進 行 何 謂 數 學 歸 納 法? 的 教 學, 並 直 接 利 用... n? 的 例 題, 先 藉 由 觀 察, 歸 納 出 級 數 的 和, 再 利 用 數 學 歸 納 法 加 以 證 明 在 接 下 來 的 教 學 中, 這 位 準 老 師 將 教 學 的 重 點 放 在 各 類 級 數 恆 等 式 的 觀 察 及 歸 納, 以 及 如 何 從 n k 導 到 n k 的 計 算 上 教 學 的 迷 思 不 可 否 認 地, 這 位 準 教 師 的 教 學 案 例, 不 是 一 個 成 熟 且 完 善 的 教 學 活 動 在 某 種 程 度 上, 也 反 映 出 這 位 準 教 師 心 中 關 於 數 學 歸 納 法 的 數 學 知 識 (MK) 和 教 學 內 容 知 識 (PCK) 這 個 教 學 活 動 結 束 後, 在 指 導 教 授 的 引 導 下, 同 學 們 進 行 了 激 烈 的 討 論, 也 提 出 了 豐 富 的 批 判 與 建 議 藉 著 討 論 的 過 程, 筆 者 也 有 機 會 窺 探 其 他 同 學 心 中 對 數 學 歸 納

17 法 的 想 法 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 七 版 對 這 位 準 教 師 而 言, 整 個 數 學 歸 納 法 的 概 念 關 鍵 點, 其 實 是 在 那 位 上 台 演 示 的 學 生 上 但 是, 整 堂 課 中 這 位 準 教 師 卻 未 將 之 強 調 出 來 怎 麼 說 呢? 大 多 數 的 同 學 在 操 作 四 個 圓 盤 時 是 獨 立 的, 也 就 是 說, 在 完 成 四 個 圓 盤 時 並 非 透 過 三 個 圓 盤 能 完 成 來 協 助, 而 是 重 新 開 始 更 重 要 的 是, 對 這 位 準 教 師 缺 了 將 這 個 想 法 轉 成 一 般 的 情 形, 也 就 是 當 某 個 圓 盤 數 可 完 成 時, 再 圓 盤 多 一 個 時 是 可 以 藉 由 前 一 個 可 完 成 來 協 助 的, 這 也 是 初 任 教 師 最 容 易 忽 略 的 地 方 在 教 學 活 動 的 討 論 中, 這 些 準 教 師 們 認 為 數 學 歸 納 法 的 教 學 上, 最 困 難 的 地 方 在 於 如 何 從 假 設 n k 成 立, 導 出 n k 成 立 ; 而 他 們 認 為 學 生 學 習 數 學 歸 納 法 最 困 難 的 地 方, 也 在 如 何 從 n k 成 立, 導 出 n k 成 立 彷 彿 整 個 數 學 歸 納 法 的 精 神 就 在 這 個 地 方 不 可 否 認 地, 高 中 生 實 際 所 接 觸 到 的 數 學 歸 納 法, 其 證 明 過 程 以 及 書 寫 中, 從 n k 成 立, 導 出 n k 成 立 的 確 是 整 個 證 明 最 費 力 之 處, 但 並 不 表 示 數 學 歸 納 法 的 概 念 最 困 難 的 地 方 在 這 裡, 相 對 的, 這 只 是 一 個 技 巧 (skill) 問 題 如 果 將 數 學 歸 納 法 的 粗 分 成 下 列 幾 個 部 分 : 如 果 (i) n 成 立 ; ( 此 僅 為 一 代 表, 有 時 不 一 定 從 n 開 始 ) 以 及 (ii) 假 設 n k 成 立, 可 導 出 n k 也 成 立 那 麼 n 為 任 意 自 然 數 時 都 成 立 則 會 發 現, 在 教 學 上 至 少 必 須 注 意 五 個 問 題 ( 當 然, 實 際 要 注 意 的 問 題 更 多 ): ( 一 ) 為 何 需 要 驗 證 (i)n 成 立? ( 二 ) 為 何 要 有 (ii) 這 一 項? 假 設 n k 成 立 導 出 n k 也 成 立 背 後 的 意 義 是 什 麼? ( 三 ) 怎 麼 從 n k 成 立, 推 導 出 n k 也 成 立? ( 四 ) 為 何 (i)(ii) 成 立, 可 保 證 n 為 任 意 自 然 數 時 都 成 立? 且 缺 一 不 可? ( 五 ) 怎 麼 樣 的 情 境 適 合 用 數 學 歸 納 法 來 證 明? Avital & Libeskind (978) 指 出 學 生 在 使 用 數 學 歸 納 法 證 明 時, 會 出 現 概 念 上 數 學 上, 以 及 技 術 上 的 困 難 所 謂 概 念 上 的 困 難, 主 要 來 自 這 個 方 法 本 身 的 邏 輯 推 理, 例 如 學 生 提 出 : 我 們 又 不 知 道 假 設 的 n k 是 否 真 的 成 立, 怎 可 用 它 來 建 立 n k 成 立? 為 何 一 下 子 從 n 成 立 跳 到 n k 成 立? 又 為 何 這 樣 就 可 以 說 全 部 自 然 數 成 立?, 均 屬 此 類 ; 數 學 上 的 困 難, 是 指 學 生 的 困 惑 不 在 這 個 方 法 的 概 念 上, 而 在 推 論 上 的 數 學 問 題, 比 如 先 證 明 了 n 成 立, 但 在 n k 到 n k 的 推 論 過 程 中, 卻 又 要 求 k 必 須 大 於 這 經 常 發 生 在 待 證 命 題 成 立 之 起 始 例 子 不 是 時 一 個 好 的 例 子 就 是 n < n, 這 個 式 子 在 n 以 及 5 的 自 然 數 是 對 的, 但 在 n 4 是 錯 的! 因 此, 若 在 證 明 時, 證 明 了 n 成 立, 卻 沒 留 意 到 n k 到 n k 的 推 論 過 程 中, 必 須 要 求 k 大 於, 將 會 認 為 明 明 已 具 備 所 有 數 學 歸 納 法 的 要 件, 為 何 不 是 所 有 自 然 數 都 對? 而 技 術 上 的 困 難, 指 的 是 學 生 對 不 同

18 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 八 版 類 型 的 題 目, 從 n k 到 n k 之 推 論 過 程 中, 所 遇 到 的 技 巧 及 代 數 操 作 上 的 困 難 我 們 不 難 辨 別, 問 題 ( 三 ) 是 屬 於 上 述 所 說 技 術 上 的 問 題, 其 所 需 要 的 能 力 較 偏 重 於 代 數 計 算 能 力 數 學 符 號 使 用 及 演 繹 能 力, 這 個 跟 其 他 幾 項 需 偏 重 概 念 理 解 演 繹 推 理 建 立 數 學 結 構 等 能 力 是 不 同 的 因 此, 在 教 學 上, 我 們 必 須 釐 清 我 們 想 要 學 生 學 會 的 到 底 是 什 麼? 根 據 前 言 中 曾 提 及 國 內 研 究 關 於 學 生 數 學 歸 納 法 的 學 習 困 惑, 我 們 不 難 辨 別 大 都 屬 於 概 念 上 的 迷 思 ( 當 然, 這 並 不 表 示 他 們 在 技 術 上 沒 問 題!); 同 樣 地,Ernest (984) 也 指 出 學 生 在 學 習 數 學 歸 納 法 時 會 有 下 列 六 個 迷 思, 包 括 :() 對 歸 納 法 一 詞 的 混 淆 () 對 用 假 設 來 證 明 的 存 疑 () 對 量 詞 (quantifiers) 或 變 數 角 色 的 混 淆 ( 一 下 子 n, 一 下 子 又 n k n k,n 是 什 麼?k 又 是 什 麼?) (4) 認 為 數 學 歸 納 法 的 某 個 要 素 不 是 真 的 必 要, 常 見 如 認 為 n 不 重 要 (5) 誤 認 為 數 學 歸 納 法 僅 能 特 定 用 在 有 限 級 數 和, 以 及 (6) 懷 疑 這 麼 複 雜 且 看 似 武 斷 的 原 理 竟 然 可 以 用 這 些 都 屬 於 概 念 上 的 迷 思, 也 是 教 師 教 學 上 必 須 克 服 的 然 而, 準 老 師 們 最 關 心 的, 且 認 為 學 習 最 困 難 的 地 方, 卻 是 在 如 何 從 n k 成 立, 推 出 n k 也 成 立 的 技 術 性 操 作, 就 連 學 生 自 己 也 認 為 這 是 最 困 難 的 地 方! 問 題 到 底 出 在 哪? 如 果 我 們 希 望 學 生 學 會 的, 是 數 學 歸 納 法 的 概 念 及 數 學 結 構, 那 麼, 為 何 要 出 現 過 於 複 雜 且 困 難 的 例 子, 而 讓 學 生 在 技 術 性 的 操 作 上 到 處 碰 壁? 如 果 我 們 要 學 生 熟 練 的 代 數 符 號 技 術 性 的 操 作 能 力, 那 又 何 必 挑 數 學 歸 納 法 這 個 概 念 困 難 的 單 元? 如 果 我 們 要 學 生 兩 者 都 兼 顧, 那 當 然 會 有 學 生 只 會 機 械 式 的 操 作 學 習 時 數 太 少 太 難 了, 學 生 只 模 仿 格 式, 不 理 解 結 構 等 等 的 抱 怨 產 生 題? 另 一 方 面, 我 們 不 禁 也 要 問 : 教 師 們 又 真 地 完 全 理 解 數 學 歸 納 法, 以 及 其 教 學 上 的 問 學 生 常 犯 的 幾 個 錯 誤 在 數 學 歸 納 法 縱 橫 談 ( 夏,999) 一 書 中, 作 者 具 體 地 提 出 了 三 個 初 學 數 學 歸 納 法 常 見 的 錯 誤, 這 些 錯 誤 也 包 含 在 Avital & Libeskind 和 Ernest 所 提 的 幾 個 學 習 者 的 迷 思 概 念 內 第 一 個 錯 誤 稱 為 忽 略 奠 基 的 必 要, 也 就 是 忽 略 了 n 需 要 成 立 例 如 : 試 證 : n( n ) n, 這 個 結 論 當 然 是 荒 謬 的, 但 如 果 不 驗 證 n 的 情 形, 僅 假 設 n k 成 立, 是 可 以 導 出 n k 也 成 立 的 更 簡 單 的 例 子 是 證 明 n 是 偶 數 第 二 種 錯 誤 稱 為 忽 略 歸 納 遞 推 的 必 要 性, 就 是 僅 證 明 有 限 多 項 成 立, 未 證 明 一 般 項 之 結 論 是 否 成 立, 例 如 : 試 證 : 當 n 為 任 意 自 然 數 時, n n 749為 質 數 如 果 你 有 耐 心 試, 當 n,,,000 都 是 對 的, 但 事 實 上, 這 個 結 論 也 是 錯 的 (n 7490 就 不 是 ), 特 例 驗 證 再 多, 也 不 能 代 替 一 般 證 明 第 三 種 錯 誤 驗 稱 為 忽 略 歸 納 遞 推 與 奠 基 的 協 同 配 合, 也 就 是 證 明 了 n 成 立, 也

19 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 一 九 版 證 明 了 n k 成 立 可 推 到 n k 成 立, 但 兩 者 之 間 卻 不 相 配 合 ( 即 此 Avital & Libeskind 所 稱 數 學 上 的 困 難 類 型 之 一 ) 這 種 錯 誤 本 身 並 不 容 易 察 覺, 甚 至 明 知 有 錯 誤 也 一 時 難 以 看 出 舉 一 個 例 子 : 試 證 : 對 一 切 自 然 數 n, 不 等 式 (... n)(... n) n n 成 立 證 明 : 當 n, 不 等 式 兩 邊 都, 原 式 成 立 設 n k 時 原 式 成 立, 即 (... k)(... ) k k 成 立, 則 當 n k 時, [... k ( k )](... ) k( k ) k k k (... k)(... ) (... k) ( k )(... ) ( k k ) ( k )( ) k k ( k ) ( k ) k k k > ( k ) ( k ) 這 說 明,n k 時 不 等 式 成 立 根 據 數 學 歸 納 法, 當 n 是 任 意 自 然 數 時, 原 不 等 式 成 立 k 但 這 個 命 題 卻 是 錯 的, 因 為 在 n 時, 不 等 式 並 不 成 立 怪 哉! 這 個 證 明 中 數 學 歸 納 法 的 步 驟 明 明 都 具 備 了, 為 什 麼 會 這 樣 呢? 難 道 真 有 n k k 對, 但 n 卻 錯 的 情 形? 當 然 不 是! 原 因 就 在, 畫 底 線 的 部 分 是 推 導 過 程 中 關 鍵 的 步 驟, 但 這 個 步 驟 中,k 是 不 能 等 於 的, 也 就 是 在 從 n k 推 到 n k 時, 必 須 假 定 k 要 大 於, 此 與 n 是 不 配 合 的 這 種 類 型 的 謬 證, 也 經 常 出 現 在 大 學 數 學 系 的 課 程 中, 以 用 來 訓 練 學 生 找 出 其 中 的 錯 誤 點, 如 證 明 : 若 任 n 個 人 中, 有 一 個 人 是 近 視, 則 此 n 個 人 皆 為 近 視 或 證 明 : 所 有 的 自 然 數 都 相 等, 都 是 利 用 此 一 謬 點 儘 管 該 書 十 分 結 構 化 的 將 錯 誤 分 成 這 三 個 類 別, 筆 者 卻 認 為 這 三 種 錯 誤 不 是 國 內 學 生 經 常 表 現 出 來 的 錯 誤 類 型, 更 貼 切 的 說, 這 不 是 學 生 經 常 有 機 會 犯 錯 的 類 型 一 來 國 內 的 數 學 課 程 環 境 中 ( 包 含 練 習 或 測 驗 ), 不 會 讓 學 生 去 證 明 一 個 錯 誤 的 命 題, 而 學 生 還 用 錯 誤 的 數 學 歸 納 法 證 明 出 命 題 是 對 的 ( 除 非 設 計 成 一 個 勘 誤 題 ); 再 者, 以 第 一 個 錯 誤 類 型 為 例, 就 算 學 生 真 地 認 為 驗 證 n 不 重 要, 在 我 們 的 數 學 寫 作 訓 練 之 下, 也 經 常 有 能 力 寫 得 出 來 暫 且 不 管 技 術 性 的 計 算 錯 誤, 在 學 生 的 答 題 上 確 實 還 能 看 得 到 其 他 類 型 的 錯 誤, 如 : ( 一 ) 僅 得 數 學 歸 納 法 之 法 貌, 未 得 其 法 髓 這 種 拿 起 框 架 就 硬 套 的 例 子, 比 比 皆 是 ;( 二 ) 不 知 適 用 時 機, 用 於 不 需 ( 當 ) 用 之 處, 如 本 文 第 二 節 所 舉 之 例 子 各 位 有 興 趣, 不 妨 可 以 考 考 學 生 : 試 證 : n, ( n ) n 5 ( 可 不 先 告 知 n 是 否 為 正 整 數 ); ( 三 ) 明 明 知 道 可 以 用 數 學 歸 納 法, 卻 完 全 不 知 如 何 下 手, 尤 其 遇 到 一 些 非 數 列 型 的 題 目 ; ( 四 ) n 時 帶 入 原 式, 卻 只 有 一 部 分 成 立 所 產 生 的 邏 輯 混 淆, 此 最 多 發 生 在 不 等 式 的 時

20 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 版 n 候 如 證 明 若 n 為 自 然 數, 則 n 學 生 帶 入 n, 卻 發 現 兩 邊 是 相 等 的, 這 樣 到 底 原 式 成 立 還 是 不 成 立?( 五 ) 知 道 原 理 和 實 際 使 用 是 不 一 致 的, 明 知 數 學 歸 納 法 需 要 哪 些 要 素, 實 際 用 到 解 題 時, 卻 又 東 漏 西 漏 還 有 許 許 多 多 的 例 子, 相 信 有 經 驗 的 老 師 皆 可 信 手 拈 來, 我 們 就 不 在 此 班 門 弄 斧 了 最 後, 還 是 參 考 數 學 歸 納 法 縱 橫 談 一 書, 我 們 在 此 提 供 兩 個 更 為 鮮 明 的 錯 誤 類 型 錯 誤 類 型 四 : 假 設 n k 成 立, 但 在 證 明 n k 成 立 時, 卻 未 用 到 n k 成 立 的 式 子 或 是 兩 者 之 間 根 本 沒 有 遞 推 的 關 係 這 算 是 錯 誤 類 型 二 的 變 形, 例 如 : 證 明 : 0.9 <, 若 證 法 如 下 : 設 若 n 代 表 小 數 點 後 9 的 個 數 當 n 時, 0.9 < 設 n k 成 立, 即 < (k 個 9) 則 n k 時, < (k 個 9) 由 數 學 歸 納 法,n 為 任 意 自 然 數 都 成 立, 故 0.9 < 乍 看 之 下, 數 學 歸 納 法 的 要 素 都 具 備 了, 但 卻 忽 略 了 n k 和 n k 之 間 並 無 遞 推 關 係 當 然 了, 此 題 也 牽 涉 到 極 限 問 題, 那 就 更 複 雜 了 又 如 本 文 第 二 節 所 舉 之 例 子, 以 及 在 河 內 塔 教 學 上 準 老 師 也 經 常 忽 略 了 這 個 問 題 更 多 這 種 類 型 的 子 類, 是 學 生 明 知 要 從 n k 推 出 n k, 卻 怎 麼 湊 也 湊 不 出 來, 乾 脆 來 個 魚 目 混 珠, 前 後 該 有 的 式 子 寫 一 寫, 中 間 就 故 意 製 造 一 些 煙 霧, 反 正 這 類 型 的 題 目 式 子 都 十 分 複 雜, 說 不 定 老 師 一 時 不 察 就 給 矇 混 過 去 了, 遇 到 這 類 學 生 真 是 哭 笑 不 得 錯 誤 類 型 五 : 將 數 學 歸 納 法 用 在 生 活 上 的 例 子 大 概 很 少 數 學 家 會 願 意 承 認 數 學 方 法 不 適 用 在 日 常 生 活 上, 但 一 牽 涉 到 人 的 感 覺, 有 些 數 學 方 法 就 變 調 了 最 常 見 的 就 是 最 後 一 根 稻 草 (the last straw) 問 題 ( 謝,00), 例 如 : 試 證 每 個 人 都 是 禿 頭 人 力 無 限 大 永 遠 吃 不 飽, 都 是 想 藉 由 人 的 感 覺, 將 n k 偷 渡 到 n k 上, 如 : 只 有 根 頭 髮 當 然 是 禿 頭, 假 設 有 k 根 頭 髮 是 禿 頭, 那 多 加 根 仍 是 禿 頭 ( 你 能 說 有 錯 嗎?), 因 此 根 據 數 學 歸 納 法, 每 個 人 都 是 禿 頭 ; 又 如 飢 餓 時 吃 粒 飯 不 會 飽, 假 設 吃 k 粒 飯 不 會 飽, 那 多 吃 粒 飯 仍 不 會 飽, 根 據 數 學 歸 納 法, 只 要 吃 的 是 自 然 數 粒 飯 就 吃 不 飽, 因 此, 人 永 遠 吃 不 飽 你 相 信 嗎? 教 學 上 的 反 思 數 學 歸 納 法 本 身 概 念 之 難 應 用 範 圍 之 廣 題 目 型 態 之 多 樣 要 求 的 先 備 知 識 之 豐 富, 都 使 得 它 在 高 中 數 學 課 程 中, 不 是 一 個 教 師 容 易 教 與 學 生 容 易 學 的 單 元 再 加 上 許 多 老 師 反 映, 高 中 數 學 課 中 並 沒 有 給 予 教 師 足 夠 的 時 間 來 好 好 的 教 授 這 個 單 元 ( 朱,999), 教 師 往 往 在 趕 進 度 的 壓 力 下, 在 學 生 尚 未 確 實 掌 握 這 個 方 法 的 精 神 時, 就 必 須 提 供 複 雜 且 多 樣 的 題 目 供 學 生 練 習 ( 不 得 不 如 此, 因 為 考 試 就 會 考 這 麼 難 的 ), 學 生

21 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 一 版 在 囫 圇 吞 棗 地 學 習 情 形 下, 導 致 學 習 只 流 於 格 式 的 套 用, 而 教 師 也 只 能 對 這 個 情 形 表 示 無 奈 對 於 學 生 在 數 學 歸 納 法 學 習 上 所 犯 的 迷 思, 教 師 也 無 暇 顧 及 然 而, 這 並 不 表 示 我 們 對 改 善 這 個 現 象 無 能 為 力 儘 管 數 學 歸 納 法 這 個 單 元 教 學 時 數 是 這 麼 的 有 限, 教 師 們 只 要 有 共 識 地 去 釐 清 幾 個 問 題 : 我 們 到 底 需 要 在 這 個 單 元 教 給 學 生 什 麼? 要 學 會 這 個 單 元, 學 生 需 要 具 備 什 麼 樣 的 能 力? 而 我 們 的 學 生 在 學 習 這 個 單 元 時, 是 否 已 經 具 備 了 這 些 能 力? 是 否 掌 握 到 學 生 經 常 犯 錯 的 地 方? 是 否 熟 悉 解 決 這 些 錯 誤 的 方 法? 以 及 該 出 現 什 麼 樣 的 題 目 來 讓 學 生 練 習 及 考 試? 等, 相 信, 對 於 教 學 的 成 效 會 有 幫 助 的 而 這 些 問 題 的 相 關 研 究, 雖 稱 不 上 多 如 牛 毛, 倒 也 非 十 分 罕 見 加 上 資 訊 發 達, 如 教 師 們 能 共 同 合 作, 建 立 教 師 教 學 溝 通 管 道, 集 思 廣 益, 相 信 這 些 問 題 終 能 找 到 解 決 方 法 最 後, 再 次 提 醒 自 己, 對 於 數 學 歸 納 法 的 認 知, 我 們 是 否 已 正 確 無 誤? 參 考 文 獻 : Daintith, J & Nelson, R.D.(997), 牛 頓 數 學 辭 典 (The penguin dictionary of mathematics), 余 文 卿 謝 暉 光 譯, 台 北 市 : 牛 頓 出 版 社 田 運 (996), 思 維 辭 典, 上 海 市 : 浙 江 教 育 出 版 社 出 版 朱 綺 鴻 (999), 高 中 師 生 對 數 學 歸 納 法 瞭 解 的 情 況 與 教 學 因 應 之 研 究, 八 十 七 學 年 度 博 士 論 文, 國 立 台 灣 師 大 學 科 學 教 育 研 究 所 夏 國 興 (999), 數 學 歸 納 法 縱 橫 談, 台 北 : 九 章 出 版 社 謝 佳 叡 (00), 國 中 生 配 方 法 學 習 歷 程 中 之 數 學 思 維 研 究, 九 十 一 學 年 度 碩 士 論 文, 國 立 台 灣 師 大 學 數 學 系 謝 佳 叡 (00), 數 學 雜 談 -- 從 數 學 歸 納 法 談 起, HPM 通 訊 第 六 卷 第 八 九 期 Avital,S. & Libeskind, S.(978), Mathematical Induction in the Classroom: Didactical and Mathematical Issues, Educational Studies in Mathematics 9: Ernest, P. (984), Mathematical Induction: A Pedagogical Discussion, Educational Studies in Mathematics 5: Miller, J. (00), Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (M),

22 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 二 版 數 學 歸 納 法 的 教 學 心 得 中 山 女 高 陳 啟 文 老 師 在 數 學 歸 納 法 的 教 學 上, 源 自 古 印 度 神 廟 中 搬 動 64 個 大 小 圓 環 的 河 內 塔 (Tower of Hanoi) 問 題, 算 是 最 好 的 教 學 素 材 從 個 環 個 環 個 環 的 操 作, 可 以 很 明 確 的 讓 學 生 了 解 到 k 個 圓 環 是 之 所 以 能 夠 完 成, 是 建 立 在 k 個 圓 環 能 夠 完 成 的 基 礎 上, 如 果 對 照 歷 史 上 的 一 些 典 故, 例 如, 費 馬 猜 想 對 任 何 自 然 數 n, 式 子 n 的 值 都 是 質 數, 結 果 n 在 n 5 時, 卻 是 合 數, 或 是 n,,,,5 的 時 候, 雖 然 n n 7 的 值 都 是 質 數, 而 在 n 6 時, n n 卻 不 成 立, 相 信 在 這 樣 的 比 較 下, 應 該 更 能 夠 強 調 一 個 涉 及 自 然 數 的 命 題, 如 果 無 法 從 n k 成 立 的 條 件 下, 去 推 得 n k 也 成 立, 那 麼 僅 靠 有 限 個 的 猜 測, 恐 怕 都 要 畫 上 問 號 用 骨 牌 效 應 來 表 達 數 學 歸 納 法 的 內 涵 十 分 貼 切, 所 以, 它 常 是 老 師 們 的 最 愛 在 完 成 河 內 塔 活 動 後, 筆 者 都 會 要 求 學 生 觀 察 兩 種 不 同 排 列 的 骨 牌 ( 如 下 圖 ), 希 望 他 們 能 用 自 己 的 語 言 想 辦 法 說 服 老 師 相 信 從 某 一 個 骨 牌 開 始 倒 下 後, 圖 中 代 表 後 續 的 骨 牌 也 會 跟 著 相 繼 倒 下 透 過 適 切 地 的 引 導, 學 生 的 描 述 都 會 集 中 於 前 一 塊 和 後 一 塊 的 微 妙 關 係, 最 後, 大 家 的 焦 點 會 放 在 骨 牌 的 長 寬 高 骨 牌 的 密 度, 並 深 信 第 k 塊 與 第 k 塊 的 間 隔 大 小 是 影 響 後 續 骨 牌 相 繼 倒 下 的 重 要 因 素 不 管 如 何, 筆 者 想 要 把 學 生 的 話 題 引 到 n k 與 n k 的 目 的 就 達 到 了 整 體 的 教 學 中, 要 求 學 生 去 驗 證 自 然 數 n 從 多 少 開 始 時, 命 題 的 敘 述 方 為 真 確, 較 為 容 易, 但 要 學 生 建 構 並 相 信 數 學 歸 納 法 中, 從 n k 成 立, 推 得 n k 的 必 要 性 就 頗 為 棘 手! 因 此, 為 了 避 免 過 於 純 代 數 符 號 的 操 作, 筆 者 便 選 擇 較 能 表 現 由 n k 來 推 得 n k 的 例 題, 如 : 5... (n ) n 以 及... n n( n )(n 6 ), 輔 以 具 體 的 圖 形 變 化 ( 如 下 圖 ) 與 學 生 討 論 一 般 而 言, 帶 領 學 生 學 習 如 何 從 n k 成 立, 推 得 n k 也 成 立 的 工 作 固 然 重 要, 但 鼓 勵 學 生 主 動 觀 察 歸 納 找 到 結 論, 再 利 用 數 學 歸 納 法 來 證 明 的 活 動 亦 不 能 忽 略 如 果 我 們 能 夠 提 出 大 部 分 學 生 能 力 足 以 勝 任 的 問 題, 讓 學 生 有 發 現 的 樂 趣, 相 信 教 學 者 會 更 滿 意 自 己 的 角 色 扮 演 只 是 目 前 教 科 書 在 切 入 這 個 單 元 時, 大 都 把 型 如 f ( n) 5 n 6 n 的 函 數, 要 求 學 生 找 到 P, 並 證 明 對 所 有 自 然 數 n, P f (n) 恆 成 立, 當 成 教 學 實 例 可 惜, 本 例 不 夠 直 觀, 很 難 引 起 初 學 者 的 共 鳴 根 據 筆 者 的 經 驗, 型 如... n 的 總 和 公 式 為 何? 相 當 適 合 在 課 堂 上 與 學 生 討 論, 與 學 生 一 起 寫 出

23 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 三 版 下 面 幾 個 式 子, 並 提 示 他 們 觀 察,,,,,6,,,4,0 的 規 律, 尋 找 與 證 明 公 式 並 不 難, 而 且 十 分 有 成 就 感! 如 果 直 接 要 學 生 用 數 學 歸 納 法 證 明 ) (... n n n 成 立, 便 錯 失 了 一 次 與 學 生 互 動 的 機 會 ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k ) ( ) ( 5 5 ) ( ) (

24 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 四 版 翻 轉 6 ( ) ()( )( ) 外 圍 補 上 6 個 翻 轉 6 ( ) ()( )( ) 外 圍 補 上 6 個 翻 轉 6 ( ) ()( )( ) 外 圍 補 上 6 4 個 6 翻 轉 6 ( ) (4)(4 )( 4 ) 4 4 n n n n 6 ( 4... ) ( )( )( ) nn ( )(n ) 4... n 6

25 數 學 歸 納 法 教 學 心 得 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 五 版 蘭 陽 女 中 陳 敏 皓 老 師 談 論 數 學 歸 納 法 (mathematical induction), 就 必 須 提 及 義 大 利 數 學 家 皮 亞 諾 (Giuseppe Peano, 858-9) 的 五 個 公 設 他 總 結 了 自 然 數 的 有 關 性 質, 提 出 五 條 公 理, 後 人 稱 之 為 自 然 數 的 皮 亞 諾 公 理, 其 內 容 如 下 :. 是 一 個 自 然 數. 不 是 任 何 其 他 自 然 數 的 後 繼 數. 每 一 個 自 然 數 a 都 有 一 個 後 繼 數 4. 如 果 a 與 b 的 後 繼 數 相 等, 則 a 與 b 亦 相 等 5. 若 一 個 由 自 然 數 組 成 的 集 合 s 包 含 有, 又 若 當 s 包 含 有 某 一 數 a 時, 它 一 定 也 含 有 a 的 後 繼 數, 則 s 就 包 含 有 全 體 自 然 數 上 述 第 5 條 即 所 謂 的 數 學 歸 納 法 的 原 理, 也 就 是 目 前 中 學 生 所 熟 悉 的 解 題 模 式 (problem-solving module) 之 依 據, 其 步 驟 如 下 :. 證 明 當 n 取 第 一 個 元 素 n0 時 ( 起 始 元 素 ), 原 式 成 立. 假 設 n k ( k n0 ) 時 ( 中 繼 元 素 ), 原 式 成 立. 利 用. 證 明 n k 時 ( 後 繼 元 素 ), 原 式 成 立 這 種 想 法 是 利 用 遞 迴 (recursion) 的 方 式, 從 有 限 步 驟 推 得 一 般 化 的 結 論, 也 就 是 能 將 有 限 項 問 題 推 廣 至 無 窮 多 項 的 作 法 這 通 常 是 一 般 學 生 解 數 學 歸 納 法 的 三 部 曲, 而 在 教 學 過 程 中, 學 生 最 常 問 的 問 題 是 : 真 的 需 要 三 個 嗎? 缺 一 個 可 以 嗎? 通 常, 我 會 舉 反 例 說 明, 以 加 強 她 們 對 於 數 學 歸 納 法 的 概 念 瞭 解 反 例 一 : 僅 提 供 步 驟 及. 這 種 例 子 以 數 學 史 上 曾 發 生 過 為 佳, 這 樣 對 學 生 而 言 是 更 具 有 說 服 力 的, 而 且 也 較 為 貼 近 例 如 : 著 名 的 費 馬 (Pierre de Fermat,60-665) 猜 想 : f ( n) n 是 否 為 質 數? 費 馬 曾 試 過 前 幾 項, 發 現 n 0,,,,4 時, 所 得 到 的 都 是 質 數, 可 是, 後 來 尤 拉 (Leonard Euler, ) 計 算 5 時, 得 到 f n ( 5) 並 不 是 質 數, 而 導 致 f ( n) n 為 質 數 的 猜 想 不 成 立 類 似 的 情 形, 尤 拉 曾 舉 過 一 例, 即 ( ) 4 ( 40 ) n N, f n n n 的 值 是 否 為 質 數? 當 n,,,..., 9 確 實 都 是 質 數, 然 n 40 代 入 時, f 為 完 全 平 方 數, 並 非 質 數 反 例 二 : 僅 提 供 步 驟. 及.

26 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 六 版 如 果 沒 有 考 慮 起 始 元 素, 也 是 會 發 生 錯 誤 的 例 如, ( ) n n n N,... n 0 顯 而 易 見, 這 是 個 錯 誤 的 命 題! 然 而, 若 只 有 考 慮 中 繼 元 素 後 繼 元 素 兩 項 時 : ( ) k k 假 設 n k 時,... k 0 成 立, ( ) ( )( ) k k k k 則 n k 時,... k ( k ) 0 ( k ) 0成 立 若 僅 依 此 來 斷 定 原 命 題 成 立, 那 就 大 錯 特 錯 了! 讀 者 可 從 此 角 度 出 發, 自 行 練 習 一 個 錯 誤 命 題 : 所 有 的 正 整 數 都 相 等 您 更 會 發 覺 到 起 始 元 素 的 重 要 性 反 例 三 : 僅 提 供 步 驟 及. ( ) n 如 果 沒 有 考 慮 中 繼 元 素 時, 同 樣 地 也 是 會 發 生 問 題 的 例 如 : n N, f n x k 否 為 x 的 倍 式? 當 n 時, f ( ) x 成 立 ; 若 n k, x x 成 立 時, 是 否 代 k 表 n k, x x 必 成 立? 舉 4 即 可 反 證, 因 為 x 以 x x 5, 但 是, x 4 卻 不 是 x 的 倍 式 5 4 k ( x )( x x x x ) 是, 所 總 之, 數 學 歸 納 法 是 高 中 數 學 課 程 內 容 中 的 重 要 一 環, 尤 其 在 恆 等 式 證 明 方 面, 更 是 不 可 或 缺 的 利 器 我 個 人 認 為 在 數 學 歸 納 法 的 教 學 中, 重 心 應 擺 在 讓 學 生 體 認 數 學 歸 納 法 的 精 髓, 而 不 是 一 味 地 解 題 與 熟 練 各 種 不 同 的 解 題 技 巧 本 文 意 在 拋 磚 引 玉, 希 望 與 分 享 我 的 教 學 策 略, 利 用 舉 反 例 的 方 式, 來 增 進 學 生 對 數 學 歸 納 法 的 真 正 了 解 註 解 :. 繼 數 (next number), 是 指 自 然 次 序 中 的 次 數, 引 自 羅 素 著, 傅 種 孫 張 邦 銘 譯, 算 理 哲 學, 台 北 : 臺 灣 商 務 印 書 館 印 行,970 年. 此 處 的 解 題 模 式 (problem-solving module) 是 以 數 學 問 題 為 出 發 點, 根 據 此 問 題 讓 學 生 經 由 解 決 問 題 的 過 程 中, 學 習 到 相 關 數 學 歸 納 法 的 概 念 及 運 算 技 能, 並 培 養 學 生 對 於 該 歸 納 法 問 題 的 思 考 模 式, 這 種 解 題 的 方 式, 筆 者 稱 之 為 解 題 模 式. 此 處 所 謂 起 始 元 素 (initial element) 中 繼 元 素 後 繼 元 素, 為 筆 者 在 教 學 過 程 中 所 採 用 的 名 稱, 在 一 些 專 論 數 學 歸 納 法 的 書 中, 只 有 起 始 元 素 (initial element) 繼 數 (next number) 等 詞, 筆 者 為 求 學 生 學 習 方 便 聯 想, 故 引 入 此 感 覺 連 貫 的 用 語

27 第 七 屆 科 學 史 研 討 會 論 文 宣 讀 篇 名 主 辦 單 位 : 國 際 科 學 史 與 科 學 哲 學 聯 合 會 科 學 史 組 中 華 民 國 委 員 會 時 間 :005 年 月 6-7 日 地 點 : 國 立 台 灣 師 範 大 學 分 部 數 學 系 館 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 七 版 姓 名 篇 名 王 成 程 海 娟 中 國 獸 醫 史 研 究 60 年 回 顧 王 道 還 敘 事 在 科 學 中 的 地 位 李 學 勇 達 爾 文 學 說 在 二 十 世 紀 中 的 演 變 周 維 強 試 論 鄭 和 使 用 火 銃 來 源 種 類 戰 術 及 數 量 林 炳 炎 火 山 灰 混 凝 土 技 術 在 台 灣 林 倉 億 蘇 俊 鴻 算 數 書 各 家 校 勘 之 比 較 與 評 析 林 聰 益 顏 鴻 森 古 機 械 復 原 研 究 的 方 法 與 程 序 城 地 茂 關 孝 和 之 故 居 與 他 的 楊 輝 算 法 抄 本 洪 萬 生 中 國 近 代 數 學 三 百 年 ( ) 徐 光 台 明 末 清 初 西 方 格 致 學 的 衝 擊 與 反 應 : 熊 明 遇 對 分 野 問 題 的 看 法 徐 志 豪 被 污 名 化 的 腎 : 近 代 腎 虧 概 念 的 演 化 與 形 成 張 之 傑 鄭 和 下 西 洋 與 麒 麟 貢 張 志 強 宋 人 的 蝗 蟲 觀 及 其 科 學 認 知 張 淑 卿 年 代 台 灣 國 民 學 校 的 衛 生 教 育 工 作 : 以 結 核 病 為 例 張 澔 五 行 學 說 緣 起 與 中 國 古 代 科 學 思 想 之 探 討 陳 久 金 新 發 現 的 十 二 星 次 圖 及 其 研 究 陳 美 東 中 國 古 代 的 漏 箭 制 度 陳 政 宏 台 灣 管 筏 演 變 簡 史 陳 恒 安 Ludwik Fleck 的 思 惟 樣 式 思 維 集 體 與 科 學 普 及 陳 敏 晧 初 探 歷 學 疑 問 歷 學 疑 問 補 陳 瑞 麟 赫 茲 的 陰 極 射 線 實 驗 被 複 製 了 嗎? 楊 龢 之 猩 猩 考 溫 如 梅 西 學 東 漸 對 蒙 書 天 文 知 識 的 影 響 萬 輔 彬 銅 鼓 的 傳 播 與 發 展 及 其 反 映 的 文 化 多 樣 性 趙 瑞 隆 張 學 文 中 國 古 籍 中 的 唇 足 動 物 劉 昭 民 台 灣 日 據 時 代 動 物 學 之 研 究 劉 廣 定 從 一 些 兵 器 與 車 輪 再 探 考 工 記 龍 村 倪 青 花 - 科 技 的 創 新

28 HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 三 期 合 刊 第 二 八 版. 為 節 省 影 印 成 本, 本 通 訊 將 減 少 紙 版 的 的 發 行, 請 讀 者 盡 量 改 訂 PDF 電 子 檔 要 訂 閱 請 將 您 的 大 名, 地 址, 至 本 通 訊 若 需 影 印 僅 限 教 學 用, 若 需 轉 載 請 洽 原 作 者 或 本 通 訊 發 行 人. 歡 迎 對 數 學 教 育 數 學 史 教 育 時 事 評 論 等 主 題 有 興 趣 的 教 師 家 長 及 學 生 踴 躍 投 稿 H 投 稿 請 至 4. 本 通 訊 內 容 可 至 網 站 下 載 網 址 :Hhttp://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/hpmletter.htmH 5. 以 下 是 本 通 訊 在 各 縣 市 學 校 的 聯 絡 員, 有 事 沒 事 請 就 聯 絡 HPM 通 訊 駐 校 連 絡 員 日 本 東 京 市 : 陳 昭 蓉 ( 東 京 工 業 大 學 ) 英 國 劍 橋 : 李 佳 嬅 ( 李 約 瑟 研 究 所 ) 台 北 市 : 楊 淑 芬 ( 松 山 高 中 ) 杜 雲 華 陳 彥 宏 游 經 祥 蘇 意 雯 蘇 慧 珍 ( 成 功 高 中 ) 蘇 俊 鴻 ( 北 一 女 中 ) 陳 啟 文 ( 中 山 女 高 ) 蘇 惠 玉 ( 西 松 高 中 ) 蕭 文 俊 ( 中 崙 高 中 ) 郭 慶 章 ( 建 國 中 學 ) 李 秀 卿 ( 景 美 女 中 ) 王 錫 熙 ( 三 民 國 中 ) 謝 佩 珍 葉 和 文 ( 百 齡 高 中 ) 彭 良 禎 ( 麗 山 高 中 ) 邱 靜 如 ( 實 踐 國 中 ) 郭 守 德 ( 大 安 高 工 ) 林 裕 意 ( 開 平 中 學 ) 台 北 縣 : 顏 志 成 ( 新 莊 高 中 ) 陳 鳳 珠 ( 中 正 國 中 ) 黃 清 揚 ( 福 和 國 中 ) 董 芳 成 ( 海 山 高 中 ) 林 旻 志 ( 錦 和 中 學 ) 孫 梅 茵 ( 海 山 高 工 ) 周 宗 奎 ( 清 水 中 學 ) 莊 嘉 玲 ( 林 口 高 中 ) 吳 建 任 ( 樹 林 中 學 ) 陳 玉 芬 ( 明 德 高 中 ) 宜 蘭 縣 : 陳 敏 皓 ( 蘭 陽 女 中 ) 吳 秉 鴻 ( 國 華 國 中 ) 林 肯 輝 ( 羅 東 國 中 ) 桃 園 縣 : 許 雪 珍 ( 陽 明 高 中 ) 王 文 珮 ( 青 溪 國 中 ) 陳 威 南 ( 平 鎮 中 學 ) 洪 宜 亭 ( 內 壢 高 中 ) 鐘 啟 哲 ( 武 漢 國 中 ) 徐 梅 芳 ( 新 坡 國 中 ) 郭 志 輝 ( 內 壢 高 中 ) 新 竹 縣 : 洪 誌 陽 李 俊 坤 葉 吉 海 ( 新 竹 高 中 ) 陳 夢 琦 陳 瑩 琪 陳 淑 婷 ( 竹 北 高 中 ) 洪 正 川 ( 新 竹 高 商 ) 陳 春 廷 ( 寶 山 國 中 ) 台 中 縣 : 洪 秀 敏 ( 豐 原 高 中 ) 楊 淑 玲 ( 神 岡 國 中 ) 台 中 市 : 阮 錫 琦 ( 西 苑 高 中 ) 嘉 義 市 : 謝 三 寶 ( 嘉 義 高 工 ) 台 南 縣 : 李 建 宗 ( 北 門 高 工 ) 高 雄 市 : 廖 惠 儀 ( 大 仁 國 中 ) 屏 東 縣 : 陳 冠 良 ( 枋 寮 高 中 ) 金 門 : 楊 玉 星 ( 金 城 中 學 ) 馬 祖 : 王 連 發 ( 馬 祖 高 中 )

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