龍騰100-B5-習作-CH3.doc

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1 8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b = 8, 所 以 當 a =, b = 時, ab 有 最 大 值.. 已 知 a >, 求 解 : 因 為 a >, 所 以 0 a + 的 最 小 值. a + + a+ = + + a+, a+ >, 又 因 為 a ( a ) a+ + a + + =. 所 以 由 算 幾 不 等 式 可 知 ( a ) ( a+ ) 因 為 當 a + = a +, 即 a = 時, 等 號 成 立, 所 以 ( a ) + + 的 最 小 值 為, a + 即 a + 的 最 小 值 為. a +

2 第 章 不 等 式 9. 已 知 正 數 a, b 滿 足 ab = 6, 求 a+ b的 最 小 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b+ b 解 : 考 慮 三 個 正 數 a, b, b 的 算 幾 不 等 式, 得 abb. a+ b 將 ab = 6 代 入 上 式, 得 將 兩 邊 三 次 方, 整 理 得 a+ b. 因 為 當 a = b = b時, 等 號 才 成 立, 且 6, ab = 所 以 當 a = b = 時, a+ b有 最 小 值. 6,. 已 知 正 數 a,b,c 滿 足 a + b+ c = 8, 求 ab c 的 最 大 值 及 此 時 a,b,c 的 值. a+ b+ b+ c 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 ab ( c). 將 a+ b+ c = 8代 入 上 式, 得 8 將 兩 邊 四 次 方, 整 理 得 ab c 8. ab c 因 為 當 a = b = c時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b+ c = 8, 所 以 當 a = b =, c = 時, ab c 有 最 大 值 8., 5. 已 知 三 實 數 x, y, z 滿 足 x + y + 9z =, 求 x+ y+ z的 最 大 值, 並 求 當 x+ y+ z為 最 大 值 時 x, y 與 z 的 值. 解 : 利 用 柯 西 不 等 式, 得 ( x y 9z )( ) ( x y z) 即 ( x y z) , + + x+ y+ z, 而 且 當 ( x, y,z) t(,, ) 令 ( x, y,z) t(,, ) = 時 等 號 成 立. t t =, 可 得 x = t, y =, z =, 代 入 x+ y+ z =, 得 t =, 並 推 得 x =, y =, z =. 故 當 x =, y =, z = 時, x+ y+ z有 最 大 值.

3 50 第 章 不 等 式 6. 已 知 三 實 數 x, y, z 滿 足 x+ y + z =, 求 x + y + z 的 最 小 值, 並 求 當 x + y + z 為 最 小 值 時 x, y 與 z 的 值. 解 : 利 用 柯 西 不 等 式, 得 ( x y z )( ) ( x y z) 即 ( x y z ) 而 且 當 x y z = = 時 等 號 成 立 , ( x y z ) + +, x y z 令 = = = t, 得 x = t, y = t, z = t, 代 入 x+ y+ z =, 得 t =, 並 推 得 x =, y =, z =. 故 當 x =, y =, z = 時, x + y + z 有 最 小 值. 7. 已 知 正 數 a, b, c 滿 足 a+ b+ c =, 求 解 : 因 為 a, b, c 為 正 數, 由 柯 西 不 等 式 可 知 a b c ( a b c) 將 a b c + + 的 最 小 值. a b c = ( a) + ( b) + ( c ) + + a b c a + b + c a b c a b c + + = 代 入 上 式, 得 ( ) a, b, c = t,, a b c 而 且 當 ( ) t 是 實 數 時 等 號 才 成 立. 由 ( a, b, c) t(,, ) 得, 即 + + 9, a b c, 即 ( a, b, c) t(,, ) =, =, 可 得 a= t, b = t, c= t, 代 入 a+ b+ c =, t =, 並 推 得 a =, b =, c =. 故 當 a =, b =, c = 時, + + 有 最 小 值 9. a b c

4 第 章 不 等 式 5 8. 已 知 三 實 數 x,y,z 滿 足 ( x ) ( y ) ( z ) 最 大 值 與 最 小 值. 解 : 利 用 柯 西 不 等 式, 得 ( x ) ( y ) ( z ) ( ) = 6, 求 x y+ z的 ( x ) ( y ) ( z ) ( ) ( x ) ( y ) ( z ) = 即 66 ( x y z 6) + 6 x y+ z x y+ z. 因 此 x y+ z的 最 大 值 為, 最 小 值 為 0., 9. 設 所 有 通 過 點 (, ) 的 直 線 中, 在 第 二 象 限 與 坐 標 軸 所 圍 成 之 三 角 形 的 面 積 有 最 小 值 的 直 線 為 L, 求 L 的 方 程 式 及 所 圍 成 之 三 角 形 的 面 積. 解 : 設 直 線 L 與 x 軸 交 於 ( a,0), 與 y 軸 交 於 ( 0, b ), x y 則 其 方 程 式 為 + = ( a < 0, b > 0 ), a b 且 其 在 第 二 象 限 與 坐 標 軸 所 圍 成 的 三 角 形 面 積 為 ( ) a b ab = =. 因 為 L 通 過 點 (, ) 又 由 算 幾 不 等 式, 得, 所 以 + =. a b + a b 將 兩 邊 平 方, 整 理 得. 因 為 當 = 時, 等 號 才 成 立, 而 且 a b =, a b + =, 所 以 當 = =, a b a b x y 即 a =, b = 時, 三 角 形 有 最 小 的 面 積, 而 且 L 的 方 程 式 為 + =.

5 5 第 章 不 等 式 0. 由 周 長 之 三 角 形 的 三 邊 分 別 向 外 作 正 方 形, 如 右 圖 所 示. 問 當 三 角 形 為 何 種 三 角 形 時, 三 個 正 方 形 的 面 積 和 會 有 最 小 值? 又 其 值 是 多 少? 解 : 設 三 角 形 的 三 邊 長 為 x, y, z, 三 個 正 方 形 的 面 積 和 為 S. 根 據 題 意 可 得 x+ y+ z = 且 S = x + y + z. 利 用 柯 西 不 等 式, 得 ( x y z )( ) ( x y z) 整 理 得 到 S = x + y + z = 8, = =, x y z 且 等 號 成 立 的 條 件 為 = = = t 且 x+ y+ z = x= y = z =. 因 此 當 三 角 形 為 正 三 角 形 時, 此 三 個 正 方 形 的 面 積 和 會 有 最 小 值 8.

6 第 章 不 等 式 5 - 條 件 不 等 式. 解 下 列 兩 個 不 等 式 : () xx ( + )( x+ ) < 0. () x + x x x. 解 :() 設 f ( x) = x( x+ )( x+ ), 先 將 方 程 式 ( ) 0 小 標 示 在 數 線 上, 並 將 f ( x ) 的 正 負 值 標 示 如 下 圖 : f x = 的 實 根,,0 依 大 因 此 不 等 式 的 解 為 x < 或 < x < 0. () 設 ( ) = +, 利 用 牛 頓 定 理 將 x + x x x因 式 分 解 f x x x x x 得 x + x x x= x( x+ )( x )( x+ ), 將 ( ) 0 f x = 的 實 根,, 0, 依 大 小 標 示 在 數 線 上, 並 將 f ( x ) 的 正 負 值 標 示 如 下 圖 : 又 將,,0, 分 別 代 入 不 等 式 f ( x) 均 成 立, 因 此 不 等 式 的 解 為 x 或 x 0或 x.. 解 下 列 兩 個 不 等 式 : () x( x ) ( x ) < 0. () x x + 5x x. 解 :() 將 f ( x) x( x ) ( x ) = 的 正 負 值 表 示 如 下 圖 : 因 為 f ( x ) 在 () 設 ( ) x = 時, 其 值 為 0, 所 以 不 等 式 的 解 為 0< x <, 但 x. = +, 利 用 牛 頓 定 理 將 x x + 5x x因 式 分 f x x x 5x x 解 得 x x + 5x x = x( x ) ( x ), 將 ( ) 0 大 小 標 示 在 數 線 上, 並 將 f ( x ) 的 正 負 值 標 示 如 下 圖 : f x = 的 實 根 0,, 依 又 將 0,, 分 別 代 入 不 等 式 f ( x) 均 成 立, 因 此 不 等 式 的 解 為 x 0 或 x = 或 x.

7 5 第 章 不 等 式. 解 下 列 不 等 式 : () x 解 :() 因 為 x x < 0. (). + x+ x x < 0 x + x+ 的 解 與 ( x )( x x ) + + < 0的 解 相 同, 7 又 x + x+ = x+ +, 其 值 恆 為 正 數, 所 以 將 x < 0 x + x+ 與 ( ) x 因 式 分 解 得 ( x )( x ) x < 0的 解 相 同. +, 並 得 ( x )( x ) + 的 正 負 值 如 下 圖 所 示 : 因 此 不 等 式 x < 0的 解 為 < x <. x + x+ x x () 將 不 等 式 移 項 得 0, 再 通 分 整 理 得 x x 即 x > 0. x 因 此 不 等 式 的 解 為 x >. x, x. 圖 解 下 列 各 不 等 式 : ()x+ y> 6. () x+ y. 解 :() 因 為 不 等 式 x+ y > 6沒 有 等 號, 所 以 我 們 將 直 線 L:x+ y = 6以 虛 線 表 示. 將 ( ) 0, 0 代 入 x+ y得 0 + 0= 0< 6, 因 此 x y 6 如 右 圖 所 示 : + > 的 解 為 不 包 含 ( ) () 先 畫 出 直 線 L: x+ y =. 將 ( ) 0, 0 代 入 x y 因 此 x y + 得 ( ) 0, 0 的 半 平 面 = 0<, + 的 解 為 不 包 含 ( ) 與 直 線 L. 如 右 圖 所 示 : 0, 0 的 半 平 面

8 第 章 不 等 式 圖 解 下 列 各 二 元 一 次 聯 立 不 等 式 : x+ y x y (). (). x y x y 解 :() 先 畫 出 直 線 x+ y = 及 x y = 0. 因 為 將 (, 0 ) 代 入 兩 個 不 等 式 皆 滿 足, x+ y 所 以 聯 立 不 等 式 x y () 先 畫 出 直 線 x y = 及 x y =. 的 解 如 右 圖 所 示 : 因 為 將 ( 0, 0 ) 代 入 兩 個 不 等 式 皆 滿 足, x y 所 以 聯 立 不 等 式 x y 示 : 的 解 如 右 圖 所 6. 設 A ( 0, 0) 與 (,) 的 範 圍. B k. 已 知 直 線 L:x y = 6與 線 段 AB 相 交, 求 實 數 k 解 : 直 線 L:x y = 6將 坐 標 平 面 分 成 兩 個 半 平 面, 一 個 為 x y > 6, 另 一 個 為 x y < 6. 因 為 將 ( 0, 0) 所 以 ( 0, 0) A 代 入 x y得 到 0, A 在 x y > 6這 個 半 平 面 上. 又 因 為 直 線 L:x y = 6與 線 段 AB 相 交, 因 此, (,) 即 (,) B k 不 在 半 平 面 x y > 6上, B k 滿 足 x y 6. 故 將 (,) B k 代 入 x y 6得 k 6, 解 得 k. 本 題 亦 可 由 圖 觀 察 得 k.

9 56 第 章 不 等 式 7. 如 圖, 若 點 P( x, ) ( 包 含 邊 上 ), 則 y 為 四 邊 形 區 域 ABCD 內 任 一 點 () 當 P 為 A, B, C, D 哪 一 點 時, 00 x + y 有 最 大 值. () 當 P 為 A, B, C, D 哪 一 點 時, x + 00y 有 最 大 值. 解 :() 先 畫 出 直 線 00x+ y = 0, 如 右 圖 所 示 : 因 為 直 線 00x+ y = k中 x 的 係 數 00< 0, 所 以 當 直 線 由 00x+ y = 0向 右 方 平 行 移 動 時, k 的 值 會 越 來 越 小, 因 此 當 P 為 C 點 時, 00x+ y有 最 大 值. () 先 畫 出 直 線 x+ 00y = 0, 如 右 圖 所 示 : 因 為 直 線 x+ 00y = k 中 y 的 係 數 00 > 0, 所 以 當 直 線 由 x+ 00y = 0向 上 方 移 動 時, k 的 值 會 越 來 越 大, 因 此 當 P 為 B 點 時, x+ 00y有 最 大 值. 8. 寫 出 聯 立 不 等 式, 使 其 圖 形 為 圖 中 的 四 邊 形 區 域 ( 含 邊 界 ). 解 : 求 出 過 點 ( 0, ) 與 ( ) 過 點 (, ) 與 ( ) 因 為 點 ( 0, 0 ) 在 四 邊 形 區 域 內, 所 以 將 點 ( 0, 0 ) 代 入 x y, 的 直 線 方 程 式 為 x y =,, 0 的 直 線 方 程 式 為 x+ y = 9. 及 x+ y內 分 別 可 得 0 0 且 , 故 四 邊 形 區 域 在 x y 及 x+ y 9的 解 區 域 內. 又 因 為 四 邊 形 區 域 在 x 軸 的 上 方, y 軸 的 右 方, 所 以 滿 足 x, y. x y x+ y 9 即 此 四 邊 形 區 域 為 聯 立 不 等 式 x y 0 所 代 表 的 圖 形.

10 第 章 不 等 式 57 x y 9 x+ y 6 9. 設 x, y 滿 足 聯 立 不 等 式, 求 x+ y的 最 大 值. x y 0 解 : 先 將 聯 立 不 等 式 的 解 圖 示 在 坐 標 平 面 上, 如 圖 所 示. 因 為 不 等 式 的 解 區 域 為 一 封 閉 四 邊 形, 所 以 將 其 個 頂 點 分 別 代 入 x+ y, 求 出 其 值 如 下 表 所 示 : ( x, y ) ( 0, 0 ) (, 0 ) (, ) ( 0, ) x+ y 0 6 由 上 表 中 的 資 料 可 知 : 當 (, ) (, ) x y = 時, x+ y有 最 大 值. x+ 5y< 0. 圖 示 二 元 一 次 聯 立 不 等 式 x 5y< x > 個 格 子 點. 解 : 圖 解 二 元 一 次 聯 立 不 等 式 如 圖. 的 解, 並 求 在 此 解 區 域 內 有 多 少 由 圖 可 知 : 聯 立 不 等 式 的 解 滿 足 < x <, 故 () 當 x = 時, 解 區 域 內 有 (, 0),(, ),(, ), 共 個 格 子 點. () 當 x = 0 時, 解 區 域 內 有 ( 0,0 ),( 0, ), ( 0, ), 共 個 格 子 點. () 當 x = 時, 解 區 域 內 有 (, ), 個 格 子 點. () 當 x = 時, 解 區 域 內 有 (, ), 個 格 子 點. 綜 合 ()()()() 得 共 有 8 個 格 子 點.

11 58 第 章 不 等 式 - 線 性 規 劃. 清 新 蔬 菜 攤, 今 早 向 包 鮮 有 機 農 場 買 進 蔬 菜, 其 總 重 量 不 超 過 600 公 斤, 總 價 錢 不 高 於 000 元. 已 知 買 進 的 蔬 菜 中 含 單 價 為 每 公 斤 0 元 的 高 麗 菜, 和 每 公 斤 0 元 的 小 白 菜. 如 果 清 新 高 麗 菜 的 售 價 為 每 公 斤 58 元, 小 白 菜 的 售 價 為 每 公 斤 5 元, 而 且 所 有 的 蔬 菜 均 能 於 當 天 銷 售 完 畢 ; 那 麼, 清 新 應 買 進 高 麗 菜 與 小 白 菜 各 多 少 公 斤, 才 能 有 最 大 的 利 潤. 解 : 設 清 新 買 進 x 公 斤 的 高 麗 菜 和 y 公 斤 的 小 白 菜, 其 利 潤 為 ( ) ( ) P= 58 0 x+ 5 0 y = 8x+ 5y元. x+ y 600 x+ y 600 0x+ 0y 000 x+ y 00 依 題 意 列 式 得, 整 理 得. x x y 0 y 0 此 聯 立 不 等 式 的 解 如 下 圖 所 示 : 將 ( 55, 0,( ) 00,00 ), ( ) 表 : 0, 600 代 入 P= 8x+ 5y, 所 得 對 應 的 值 如 下 ( x, y ) ( 55, 0 ) ( 00,00 ) ( 0, 600 ) P= 8x+ 5y 因 此 當 清 新 買 進 00 公 斤 的 高 麗 菜 和 00 公 斤 的 小 白 菜 時, 有 最 大 的 利 潤 9900 元.

12 第 章 不 等 式 59. 安 華 帶 了 60 元 上 市 場 買 柳 丁 和 葡 萄 柚. 如 果 柳 丁 每 個 6 元, 葡 萄 柚 每 個 0 元, 安 華 購 買 柳 丁 的 個 數 至 少 是 葡 萄 柚 個 數 的 倍, 且 柳 丁 與 葡 萄 柚 至 少 各 買 一 個, 那 麼 安 華 有 多 少 種 購 買 的 方 法? 解 : 設 安 華 購 買 柳 丁 x 個, 葡 萄 柚 y 個. x y x y 6x+ 0y 60 x+ 5y 0 依 題 意 列 式 得, 整 理 得, x x y y 且 x, y 均 為 整 數. 畫 出 解 區 域 內 的 格 子 點 如 右 : 共 有 0 個 格 子 點, 因 此 共 有 0 種 買 法.. 一 農 民 有 田 甲, 根 據 他 的 經 驗 : 若 種 水 稻, 則 每 甲 每 期 產 量 為 8000 公 斤, 若 種 花 生, 則 每 甲 每 期 產 量 為 000 公 斤, 但 水 稻 成 本 較 高, 每 甲 每 期 需 000 元, 而 花 生 只 要 8000 元, 且 花 生 每 公 斤 可 賣 0 元, 稻 米 每 公 斤 只 賣 6 元. 現 在 他 手 頭 只 能 湊 足 0000 元, 並 假 定 他 只 種 水 稻 與 花 生 ; 問 : 這 位 農 民 對 這 兩 種 作 物 應 各 種 若 干 甲, 才 能 得 到 最 大 利 潤? 解 : 設 農 民 水 稻 種 x 甲, 花 生 種 y 甲, 其 利 潤 為 ( ) ( ) P= x y = 000x+ 000y元. x+ y x+ y 000x+ 8000y 0000 x+ y 5 依 題 意 列 式 得, 整 理 得. x x y 0 y 0 此 聯 立 不 等 式 的 解 如 右 圖 所 示 : 0,,,, 5,0 代 入 將 ( ) P= 000x+ 000y, 所 得 對 應 的 值 如 下 表 : ( x, y ) ( 0, ), 5, 0 P= 000x+ 000y 因 此 當 農 民 水 稻 種 甲, 花 生 種 甲 時, 有 最 大 的 利 潤 000 元.

13 60 第 章 不 等 式. 承 題, 試 回 答 下 列 問 題 : () 如 果 收 成 時, 花 生 市 價 上 漲 為 每 公 斤 元, 稻 米 下 跌 為 每 公 斤 5 元, 那 麼 他 在 播 種 時 的 決 定, 仍 然 是 最 好 的 嗎? () 如 果 他 另 外 從 農 會 再 貸 得 6000 元 作 為 下 種 的 資 本, 那 麼 他 應 該 如 何 下 種? () 假 設 這 位 農 民 不 必 考 慮 資 本, 他 又 應 如 何 下 種? 解 :() 當 條 件 改 變 時, 其 利 潤 為 ( ) ( ) P= x y = 6000x+ 6000y元, 而 聯 立 不 等 式 並 未 改 變, 其 圖 解 與 題 同. 現 將 ( ) 如 下 表 : 0,,,, 5,0 ( x, y ) ( 0, ) 代 入 P= 6000x+ 6000y, 所 得 對 應 的 值, P= 6000x+ 6000y 因 此 當 農 民 水 稻 種 5, 甲, 花 生 種 甲, 仍 然 是 最 佳 的 選 擇. () 如 果 他 另 外 從 農 會 再 貸 得 6000 元 作 為 下 種 的 資 本, x+ y x+ y 000x+ 8000y x+ y 7 那 麼 聯 立 不 等 式 為, 整 理 為. x x y 0 y 0 聯 立 不 等 式 的 解 如 下 圖 所 示 :

14 將 ( 0, ),( ) 第 章 不 等 式 6, 0 代 入 P= 000x+ 000y, 所 得 對 應 的 值 如 下 表 : ( x, y ) ( 0, ) (, 0 ) P= 000x+ 000y 因 此 當 農 民 水 稻 種 甲 時, 有 最 大 的 利 潤 8000 元. x+ y () 如 果 他 不 必 考 慮 資 本, 那 麼 聯 立 不 等 式 為 x, y 聯 立 不 等 式 的 解 如 下 圖 所 示 : 將 ( 0, ),( ), 0 代 入 P= 000x+ 000y, 所 得 對 應 的 值 如 下 表 : ( x, y ) ( 0, ) (, 0 ) P= 000x+ 000y 因 此 當 農 民 水 稻 種 甲 時, 有 最 大 的 利 潤 8000 元.

15 6 第 章 不 等 式 5. 某 汽 車 公 司 有 兩 家 裝 配 廠, 生 產 甲 乙 兩 種 不 同 型 的 汽 車. 若 A 廠 每 小 時 可 完 成 輛 甲 型 車 與 輛 乙 型 車 ; B 廠 每 小 時 可 完 成 輛 甲 型 車 與 輛 乙 型 車, 今 欲 製 造 0 輛 甲 型 車 0 輛 乙 型 車. 問 : 這 兩 家 裝 配 廠 各 工 作 幾 小 時, 才 能 使 所 費 的 總 工 作 時 數 最 少? 解 : 設 A 廠 工 作 x 小 時, B 廠 工 作 y 小 時, 其 總 工 作 時 數 為 P= x+ y小 時. A 廠 B 廠 限 制 甲 型 輛 輛 0 輛 乙 型 輛 輛 0 輛 x+ y 0 x+ y 0 依 題 意 列 式 得, 此 聯 立 不 等 式 的 解 如 下 圖 所 示 : x y 0 將 ( 0, 0 ), (,6 ),( 0,0 ) 代 入 P= x+ y, 所 得 對 應 的 值 如 下 表 : ( x, y ) ( 0, 0 ) (,6 ) ( 0,0 ) P= x+ y 因 此 當 A 廠 工 作 小 時, B 廠 工 作 6 小 時, 其 總 工 作 時 數 最 少 為 8 小 時.

16 第 章 不 等 式 6 6. 某 工 廠 用 兩 種 不 同 原 料 均 可 生 產 同 一 產 品 若 採 用 甲 種 原 料, 每 公 噸 成 本 000 元, 運 費 500 元, 可 得 產 品 90 公 斤 ; 若 採 用 乙 種 原 料, 每 公 噸 成 本 500 元, 運 費 00 元, 可 得 產 品 00 公 斤. 今 工 廠 每 天 預 算 為 : 總 成 本 不 得 超 過 6000 元, 總 運 費 不 得 超 過 000 元. 問 : 此 工 廠 每 天 最 多 可 生 產 幾 公 斤 的 產 品? 解 : 設 此 工 廠 每 天 採 用 甲 種 原 料 x 公 噸, 乙 種 原 料 y 公 噸, 每 天 可 生 產 P= 90x+ 00y公 斤 的 產 品. 甲 種 乙 種 限 制 成 本 000 元 500 元 6000 元 運 費 500 元 00 元 000 元 000x+ 500y 6000 x+ y 500x+ 00y 000 5x+ y 0 依 題 意 列 式 得, 整 理 得. x x y 0 y 0 此 聯 立 不 等 式 的 解 如 下 圖 所 示, 0, 將 ( 0,,( ) ) 0, 7 7 代 入 P= 90x+ 00y, 所 得 對 應 的 值 如 下 表 : ( x, y ) ( 0, ) (, 0 ) 0, 7 7 P= 90x+ 00y 因 此 當 工 廠 使 用 甲 種 原 料 品 0 公 斤. 7 公 噸, 乙 種 原 料 0 7 公 噸 時, 可 得 最 多 的 產

17 6 第 章 不 等 式 7. 已 知 甲 種 維 他 命 丸 每 粒 含 5 個 單 位 維 他 命 A,9 個 單 位 維 他 命 B, 乙 種 維 他 命 丸 每 粒 含 6 個 單 位 維 他 命 A, 個 單 位 維 他 命 B; 已 知 甲 種 維 他 命 丸 每 粒 5 元, 乙 種 維 他 命 丸 每 粒 元, 且 每 次 維 他 命 丸 都 需 要 吞 下 完 整 的 一 粒.( 若 每 人 每 天 最 少 需 9 個 單 位 維 他 命 A,5 個 單 位 維 他 命 B.) 問 : 這 兩 種 維 他 命 丸 每 天 各 要 吃 多 少 粒 才 能 使 消 費 最 少, 而 且 能 從 中 攝 取 足 夠 的 維 他 命 A 與 B? 解 : 設 每 天 吃 甲 種 維 他 命 丸 x 粒, 乙 種 維 他 命 丸 y 粒, 每 天 花 費 P= 5x+ y元. 甲 種 乙 種 限 制 維 他 命 A 5 單 位 6 單 位 9 單 位 維 他 命 B 9 單 位 單 位 5 單 位 每 粒 單 價 5 元 元 5x+ 6y 9 9x+ y 5 依 題 意 列 式 得, 此 聯 立 不 等 式 的 解 如 下 圖 所 示 : x y 0 考 慮 解 區 域 內 接 近 邊 線 的 格 子 點, 如 下 表 所 示 : ( 6, 0 ) ( 5, ) (, ) (, ) (,5 ) (, 7 ) ( 0, 9 ) P= 5x+ y 因 此 每 天 吃 甲 種 維 他 命 丸 粒, 乙 種 維 他 命 丸 粒 時, 有 最 少 的 消 費 7 元, 而 且 能 攝 取 足 夠 的 維 他 命 A 與 B.

18 第 章 不 等 式 某 農 夫 有 一 塊 菜 圃, 至 少 須 施 氮 肥 5 公 斤 磷 肥 公 斤 及 鉀 肥 7 公 斤. 已 知 農 會 出 售 甲 乙 兩 種 肥 料, 甲 種 肥 料 每 公 斤 0 元, 其 中 含 氮 0%, 磷 0%, 鉀 0%, 乙 種 肥 料 每 公 斤 5 元, 其 中 含 氮 0%, 磷 0%, 鉀 0 %. 問 他 須 向 農 會 購 買 甲 乙 兩 種 肥 料 各 多 少 公 斤 加 以 混 合 施 肥, 才 能 使 花 費 最 少, 而 且 又 有 足 夠 分 量 的 氮 磷 與 鉀 肥? 解 : 設 農 夫 購 買 甲 種 肥 料 x 公 斤, 乙 種 肥 料 y 公 斤, 總 花 費 為 P= 0x+ 5y元. 甲 種 乙 種 限 制 氮 肥 0% 0% 5 公 斤 磷 肥 0% 0% 公 斤 鉀 肥 0% 0% 7 公 斤 每 公 斤 價 格 0 元 5 元 x 0% + y 0% 5 x+ y 50 x 0% + y 0% x + y 0 依 題 意 列 式 得, 整 理 得. x 0% + y 0% 7 x + y 5 x 0, y 0 x 0, y 0 此 聯 立 不 等 式 的 解 如 下 圖 所 示 : 將 ( 0, 50 ), ( 5, 0 ), ( 0,5 ), ( ) 值 如 下 表 : 0,0 代 入 P= 0x+ 5y, 所 得 對 應 的 ( x, y ) ( 0, 50 ) ( 5, 0 ) ( 0,5 ) ( 0,0 ) P = 0x+ 5y 因 此 當 農 夫 向 農 會 購 買 甲 種 肥 料 0 公 斤, 乙 種 肥 料 5 公 斤 時, 有 最 少 的 花 費, 而 且 有 足 夠 分 量 的 氮 磷 與 鉀 肥.

19 66 第 章 不 等 式 第 章 總 習 作. 圖 中 A, B,C, D, E 為 坐 標 平 面 上 的 五 個 點. 如 果 將 這 五 個 點 的 坐 標 ( xy, ) 分 別 代 入 ax+ y, 以 A 點 代 入 所 得 的 值 最 大, 那 麼 a 可 能 為 下 列 何 值? (). (). (). (). (5). 解 : 令 ax+ y = k, 因 為 以 A 點 代 入 ax+ y所 得 的 值 最 大, 所 以 當 直 線 ax+ y = k向 右 方 移 動 時, 其 值 將 越 來 越 小, 因 此, a < 0. 故 可 能 的 選 項 為 () 與 (5). xx ( ). 下 列 哪 些 不 等 式 的 解 與 0 的 解 相 同? x x x () x( x )( x ) 0. () x( x )( x ) < 0. () x x ( x ) () 0. (5) 0. x x( x )( x ) ( ) x 解 : ( x ) 0 x 的 解 與 x( x )( x ) 即 其 解 為 x < 或 x 0. () x( x )( x ) ( ) < 0, 或 x = 0, x = 的 解 相 同, ( ) x x 0的 解 比 x () x( x )( x ) x x () x 和 ( ) x x < 0的 解 比 x ( ) 0 ( ) x x x ( ) ( ) x x () x (5) x x x ( )( ) 的 解 與 x( x )( x ) 0 的 解 多 了 x =. 0 的 解 少 了 x = 0 或 x =. 0. < 0, 或 x = 0, x = 的 解 相 同, 0 的 解 相 比, 多 了 x =, 少 了 x =. ( ) x x 0 的 解 與 x 0 的 解 相 同. ( ) x x 0的 解 比 x 由 上 面 的 討 論 可 知 : 正 確 的 選 項 為 (). 0 的 解 少 了 x = 0 或 x =.

20 第 章 不 等 式 67 x x 6. 解 不 等 式 <. x x x x 6 x x 6 解 : 將 不 等 式 < 移 項 得 < 0, x x x x 再 通 分 整 理 得 x x x < 0, x 此 不 等 式 與 ( x x )( x x ) 即 與 ( x )( x )( x )( x ) < 0的 解 相 同, + + < 0的 解 相 同. 將 ( x ) ( x )( x ) + 的 正 負 值 標 示 如 下 圖 : 可 得 不 等 式 的 解 為 < x <.. 已 知 不 等 式 ax + bx+ c > 0的 解 為 < x < 5, 求 ax + bx c< 0的 解. 解 : x 5 < < 與 不 等 式 ( x )( x ) 即 與 ( x )( x ) 5 + < 0的 解 相 同, 5 + > 0的 解 相 同. 因 此, ax bx c > 與 ( x )( x ) 即 與 x + x+ 0> 0的 解 相 同. 故 a b c = = 0. a b c 令 = = = k > 0, > 0的 解 相 同, 則 ax + bx c< 0的 解 與 kx + 9kx 0k < 0的 解 相 同. 因 為 k > 0 即 與 x 解 x, 所 以 kx + 9kx 0k < 0的 解 與 x + 9x 0< 0, 9x+ 0> 0的 解 相 同. 9x+ 0> 0得 x > 5或 x <, 因 此 ax + bx c< 0的 解 為 x > 5或 x <.

21 68 第 章 不 等 式 5. 已 知 三 實 數 x,y,z 滿 足 解 : 由 柯 西 不 等 式 可 知 x + ( y ) + ( z ) = 6, 求 x+ y+ z的 最 大 值. x + ( y ) + ( z ) ( + + ) x+ ( y ) + ( z ) x 將 + ( y ) + ( z ) = 6代 入 上 式, 得 66 ( x y z ) 即 6 x+ y+ z 6 x+ y+ z 9. x 而 且 當, y, z = t(,, ) x 由, y, z = t(,, ) x + + = 6, 得 t =±. 代 入 ( y ) ( z ). + +,,t 是 實 數 時 等 號 才 成 立., 可 得 x = t, y = t+, z = t +, 當 t =, 即 x =, y =, z = 時, x+ y+ z有 最 大 值 9. x+ y 0 6. 設 x, y 滿 足 聯 立 不 等 式 x y, 求 y x的 最 大 值 與 最 小 值. x y x+ y 0 解 : 畫 出 聯 立 不 等 式 x y x y 如 右 圖 所 示 : 的 解, 將 其 頂 點 坐 標 (, ),(, ),( ) y x, 如 下 表 所 示 :, 代 入 ( x, y ) (, ) (, ) (, ) y x 7 7 得 在 (, ) (, ) 小 值 7. x y = 時, y x 有 最 大 值 7, 而 在 (, ) (, ) x y = 時 有 最

22 第 章 不 等 式 已 知 正 數 a, b, c 滿 足 + + =, 求 a b c () abc 的 最 小 值. () 的 最 大 值. a+ b+ c + + 解 :() 由 算 幾 不 等 式 可 知 a b c. a b c 將 + + = 代 入 上 式, 得, a b c abc 將 兩 邊 三 次 方, 整 理 得 abc. 因 為 當 = = 時, 等 號 才 成 立, 而 且 + + =, a b c a b c 所 以 當 a = b = c = 時, abc 有 最 小 值. () 由 柯 西 不 等 式 可 知 ( a) ( b) ( c + + ) + + ( + + ). a b c 將 + + = 代 入 上 式, 得 ( a+ b+ c), 即, a b c a + b + c 而 且 當 ( a, b, c) = t,, a b c,t 是 實 數 時 等 號 才 成 立. 由 ( a, b, c) = t,, a b c, 可 得 a = t, b = t, c= t, 代 入 + + =, 得 t =, 並 推 得 a = b = c =. a b c 因 此 當 a = b = c = 時, 有 最 大 值 a+ b+ c.

23 70 第 章 不 等 式 8. 欲 設 計 一 個 直 圓 柱 形 飲 料 罐, 其 容 量 為 8π 立 方 公 分, 並 使 其 表 面 積 有 最 小 值, 求 此 直 圓 柱 飲 料 罐 的 直 徑 與 高 分 別 為 多 少 公 分? 解 : 設 此 直 圓 柱 飲 料 罐 的 半 徑 為 r 公 分, 高 為 h 公 分, 則 其 容 積 為 π rh立 方 公 分, 即 rh= 8. 又 其 表 面 積 A= πr + πrh. 由 算 幾 不 等 式 可 知 : 即 π π π r + rh+ rh ( ) ( ) πr πrh = π πrh, A ( ) π 8π = π. 當 πr = πrh, 即 r = h = 8時, 有 最 小 的 表 面 積 96π 平 方 公 分. 故 直 徑 為 8 公 分, 高 為 8 公 分.

24 第 章 不 等 式 7 9. 某 機 車 製 造 公 司 有 F 和 F 兩 個 工 廠, 這 兩 個 工 廠 每 天 各 生 產 機 車 0 部 和 0 部. 欲 將 所 生 產 的 機 車 運 往 M 和 M 兩 個 市 場 銷 售, 從 工 廠 運 往 市 場 每 部 機 車 的 運 費 如 下 表 所 示 : 工 廠 F 工 廠 F 市 場 M 00 元 50 元 市 場 M 00 元 500 元 又 這 兩 個 市 場 每 天 的 需 要 量 分 別 為 0 部 和 0 部. 問 : 應 如 何 輸 送, 才 能 使 運 費 最 少? 解 : 設 從 工 廠 F 運 送 x 部 機 車 到 M 市 場, 運 送 y 部 機 車 到 M 市 場, 則 需 從 工 廠 F 運 送 ( 0 x) 且 需 要 運 費 部 機 車 到 M 市 場, 運 送 ( 0 y) ( ) ( ) 部 機 車 到 M 市 場, P= 00x+ 00y x y = 50x 00y+ 000 元. x+ y 0 ( 0 x) + ( 0 y) 0 0 x+ y 0 x 0 依 題 意 列 式 得 :, 整 理 得 0 x 0, y 0 0 y 0 x 0 0 y 0 其 可 行 解 區 域 如 右 圖 所 示. 利 用 頂 點 法 將 可 行 解 區 域 的 頂 點 代 入 P= 50x 00y+ 000, 得 對 應 的 值 如 下 : ( xy, ) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) P 因 此 當 從 工 廠 F 運 送 0 部 機 車 到 M 市 場,0 部 機 車 到 M 市 場, 而 從 工 廠 F 運 送 0 部 機 車 到 M 市 場 時, 有 最 少 的 運 費 0000 元.

25 7 第 章 不 等 式 0. 設 某 公 司 用 兩 種 機 器 來 生 產 某 產 品, 第 一 種 機 器 每 臺 要 價 萬 美 元 及 每 年 新 臺 幣 50 萬 元 的 維 護 費, 第 二 種 機 器 每 臺 要 價 5 萬 美 元 及 每 年 新 臺 幣 0 萬 元 的 維 護 費, 而 第 一 種 機 器 的 年 利 潤 每 臺 是 9 萬 元, 第 二 種 機 器 的 年 利 潤 是 6 萬 元. 今 公 司 購 買 機 器 的 預 算 為 5 萬 美 元, 而 且 每 年 的 維 護 費 不 得 超 過 新 臺 幣 800 萬 元 ; 問 : 每 種 機 器 應 該 各 購 買 幾 臺, 才 能 有 最 大 的 年 利 潤? 解 : 設 第 一 種 機 器 購 買 x 臺, 第 二 種 機 器 購 買 y 臺, 其 年 利 潤 為 P= 9x+ 6y萬 元. x+ 5y 5 50x+ 0y 800 依 題 意 列 式 得, 其 中 x, y 均 為 整 數. x y 0 此 聯 立 不 等 式 的 解 如 下 圖 所 示 : 0, 7,,7 9 9 將 ( ),( ) ( x, y ) ( 0, 7 ) P= 9x+ 6y 6 由 上 表 可 知 最 佳 解 在,7 9 9 (,5 ), 再 代 入 下 表, 得 6,0 代 入 P= 9x+ 6y, 所 得 對 應 的 值 如 下 表 :,7 9 9 ( 6,0 ) 9 附 近, 因 此 找 鄰 近 的 格 子 點 (, 7, ) ( x, y ) (, 7 ) (,5 ) P= 9x+ 6y 9 6 因 此 當 第 一 種 機 器 購 買 臺, 第 二 種 機 器 購 買 7 臺 時, 每 年 有 最 大 利 潤 9 萬 元.

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