. 如 果 四 个 两 位 质 数 a,b,c,d 两 两 不 同, 并 且 满 足, 等 式 a+b=c+d. 那 么, (1)a+b 的 最 小 可 能 值 是 多 少? ()a+b 的 最 大 可 能 值 是 多 少? 分 析 与 解 两 位 的 质 数 有 11,13,17,19,3,9,3

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1 涉 及 知 识 点 多 解 题 过 程 比 较 复 杂 的 整 数 综 合 题, 以 及 基 本 依 靠 数 论 手 段 求 解 的 其 他 类 型 问 题. 1. 如 果 把 任 意 n 个 连 续 自 然 数 相 乘, 其 积 的 个 位 数 字 只 有 两 种 可 能, 那 么 n 是 多 少? 分 析 与 解 我 们 知 道 如 果 有 5 个 连 续 的 自 然 数, 因 为 其 内 必 有 的 倍 数, 也 有 5 的 倍 数, 则 它 们 乘 积 的 个 位 数 字 只 能 是 0 所 以 n 小 于 5. : 当 n 为 4 时, 如 果 其 内 含 有 5 的 倍 数 ( 个 位 数 字 为 O 或 5), 显 然 其 内 含 有 的 倍 数, 那 么 它 们 乘 积 的 个 位 数 字 为 0; 如 果 不 含 有 5 的 倍 数, 则 这 4 个 连 续 的 个 位 数 字 只 能 是 1,,3,4 或 6,7,8,9; 它 们 的 积 的 个 位 数 字 都 是 4; 所 以, 当 n 为 4 时, 任 意 4 个 连 续 自 然 数 相 乘, 其 积 的 个 位 数 字 只 有 两 科 可 能. 数 字 为 0,, 不 满 足. : 当 n 为 3 时, 有 1 3 的 个 位 数 字 为 6, 3 4 的 个 位 数 字 为 4,3 4 5 的 个 位 : 当 n 为 时, 有 1, 3,3 4,4 5 的 个 位 数 字 分 别 为,6,4,0, 显 然 不 满 足. 至 于 n 取 1 显 然 不 满 足 了. 所 以 满 足 条 件 的 n 是 4.

2 . 如 果 四 个 两 位 质 数 a,b,c,d 两 两 不 同, 并 且 满 足, 等 式 a+b=c+d. 那 么, (1)a+b 的 最 小 可 能 值 是 多 少? ()a+b 的 最 大 可 能 值 是 多 少? 分 析 与 解 两 位 的 质 数 有 11,13,17,19,3,9,3l,37,41,43,47,53,59,6l, 67,71,73,79,83,89,97. 可 得 出, 最 小 为 11+19=13+17=30, 最 大 为 97+71=89+79=168. 所 以 满 足 条 件 的 a+b 最 小 可 能 值 为 30, 最 大 可 能 值 为 如 果 某 整 数 同 时 具 备 如 下 3 条 性 质 : 1 这 个 数 与 1 的 差 是 质 数 ; 这 个 数 除 以 所 得 的 商 也 是 质 数 ; 3 这 个 数 除 以 9 所 得 的 余 数 是 5. 那 么 我 们 称 这 个 整 数 为 幸 运 数. 求 出 所 有 的 两 位 幸 运 数. 分 析 与 解 条 件 1 也 就 是 这 个 数 与 1 的 差 是 或 奇 数, 这 个 数 只 能 是 3 或 者 偶 数, 再 根 据 条 件 3, 除 以 9 余 5, 在 两 位 的 偶 数 中 只 有 14,3,50,68,86 这 5 个 数 满 足 条 件. 其 中 86 与 50 不 符 合 1,3 与 68 不 符 合, 三 个 条 件 都 符 合 的 只 有 14. 所 以 两 位 幸 运 数 只 有 在 的 约 数 中, 最 大 的 三 位 数 是 多 少? 分 析 与 解 =

3 = 显 然 其 最 大 的 三 位 数 约 数 为 777. 仁 华 学 校 6 年 级 奥 数 思 维 导 引 下 教 师 版 5. 从 一 张 长 00 毫 米, 宽 847 毫 米 的 长 方 形 纸 片 上, 剪 下 一 个 边 长 尽 可 能 大 的 正 方 形, 如 果 剩 下 的 部 分 不 是 正 方 形, 那 么 在 剩 下 的 纸 片 上 再 剪 下 一 个 边 长 尽 可 能 大 的 正 方 形. 按 照 上 面 的 过 程 不 断 地 重 复, 最 后 剪 得 正 方 形 的 边 长 是 多 少 毫 米? 分 析 与 解 从 长 00 毫 米 宽 847 毫 米 的 长 方 形 纸 板 上 首 先 可 剪 下 边 长 为 847 毫 米 的 正 方 形, 这 样 的 正 方 形 的 个 数 恰 好 是 00 除 以 847 所 得 的 商. 而 余 数 恰 好 是 剩 下 的 长 方 形 的 宽, 于 是 有 : = 308, = 31,308 31= =3. 不 难 得 知, 最 后 剪 去 的 正 方 形 边 长 为 77 毫 米. 6. 已 知 存 在 三 个 小 于 0 的 自 然 数, 它 们 的 最 大 公 约 数 是 1, 且 两 两 均 不 互 质. 请 写 出 所 有 可 能 的 答 案. 分 析 与 解 设 这 三 个 数 为 a b c, 且 a<b<c, 因 为 两 两 不 互 质, 所 以 它 们 均 是 合 数. 小 于 0 的 合 数 有 4,6,8,9,10,1,14,15,16,18. 其 中 只 含 1 种 因 数 的 合 数 不 满 足, 所 以 只 剩 下 6,10,1,14,15,18 这 6 个 数, 但 是 14= 7, 其 中 质 因 数 7 只 有 14 含 有, 无 法 找 到 两 个 不 与 14 互 质 的 数. 所 以 只 剩 下 6,10,1,15,18 这 5 个 数 存 在 可 能 的 排 列. 所 以, 所 有 可 能 的 答 案 为 (6,10,15);(10,1,15);(10,15,18). 7. 把 6,33,34,35,63,85,91,143 分 成 若 干 组, 要 求 每 一 组 中 任 意 两 个 数 的 最 大 公 约 数 是 1.

4 那 么 最 少 要 分 成 多 少 组? 分 析 与 解 6= 13,33=3 11,34= 17,35=5 7,63= 3 7,85=5 17,91=7 13,143= 由 于 质 因 数 13 出 现 在 三 个 数 中, 故 至 少 要 分 成 三 组, 可 以 分 成 如 下 3 组 : 将 分 为 一 组, 分 为 一 组, 而 分 为 一 组. 所 以, 至 少 要 分 成 3 组. 8. 图 10-1 中 两 个 圆 只 有 一 个 公 共 点 A, 大 圆 直 径 48 厘 米, 小 圆 直 径 30 厘 米. 两 只 甲 虫 同 时 从 A 出 发, 按 箭 头 所 指 的 方 向 以 相 同 的 速 度 分 别 爬 了 几 圈 时, 两 只 甲 虫 首 次 相 距 最 远? 分 析 与 解 圆 内 的 任 意 两 点, 以 直 径 两 端 点 得 距 离 最 远. 如 果 沿 小 圆 爬 行 的 甲 虫 爬 到 A 点, 沿 大 圆 爬 行 的 甲 虫 恰 好 爬 到 B 点, 两 甲 虫 的 距 离 便 最 远. 小 圆 周 长 为 π 30=307r, 大 圆 周 长 为 48π, 一 半 便 是 4π,30 与 4 的 最 小 公 倍 数 时 =4.10 4=5. 所 以 小 圆 上 甲 虫 爬 了 4 圈 时, 大 圆 上 甲 虫 爬 了 5 个 只 甲 虫 相 距 最 远. 1 圆 周 长, 即 爬 到 了 过 A 的 直 径 另 一 点 B. 这 时 两 9. 设 a 与 b 是 两 个 不 相 等 的 非 零 自 然 数. (1) 如 果 它 们 的 最 小 公 倍 数 是 7, 那 么 这 两 个 自 然 数 的 和 有 多 少 种 可 能 的 数 值? () 如 果 它 们 的 最 小 公 倍 数 是 60, 那 么 这 两 个 自 然 数 的 差 有 多 少 种 可 能 的 数 值? 分 析 与 解 (1)a 与 b 的 最 小 公 倍 数 7= 3 3, 有 1 个 约 数 :1,,3,4,6,8,9, 1,18,4,36,7. 不 妨 设 a>b.

5 : 当 a=7 时,b 可 取 小 于 7 的 11 种 约 数,a+b 7+1=73; : 当 a=36 时,b 必 须 取 8 或 4,a+b 的 值 为 44 或 60, 均 不 同 第 一 种 情 况 中 的 值 ; : 当 a=4 时,b 必 须 取 9 或 18,a+b 的 值 为 33 或 4, 均 不 同 第 一 二 种 情 况 中 的 值 ; 当 a=18 时,b 必 须 取 8,a+b=6, 不 同 于 第 一 二 三 种 情 况 的 值 ; : 当 a=1 时,b 无 解 ; : 当 a=9 时,b 必 须 取 8,a+b=17, 不 同 于 第 一 二 三 四 情 况 中 的 值. 总 之,a+b 可 以 有 ll+++1+1=17 种 不 同 的 值. ()60= 3 5, 有 1 个 约 数 :1,,3,4,5,6,10,1,15,0,30,60.a b 为 60 的 约 数, 不 妨 设 a>b. : 当 a=60 时,b 可 取 60 外 的 任 何 一 个 数, 即 可 取 11 个 值, 于 是 a-b 可 取 11 种 不 同 的 值 : 59,58,57,56,55,54,50,48,45,40,30;. 当 a=30 时,b 可 取 4,1,0, 于 是 a-b 可 取 6,18,10; : 当 a=0 时,b 可 取 3,6,1,15, 所 以 a-b 可 取 17,14,8,5; 当 a=15 时,b 可 取 4,1, 所 以 a-b 可 取 11,3; : 当 a=1 时,b 可 取 5,10, 所 以 a-b 可 取 7,. 总 之,a-b 可 以 有 = 种 不 同 的 值 狐 狸 和 黄 鼠 狼 进 行 跳 跃 比 赛, 狐 狸 每 次 跳 4 米, 黄 鼠 狼 每 次 跳 米, 它 们 每 秒 钟 都 只 跳 一 次. 4 3 比 赛 途 中, 从 起 点 开 始 每 隔 1 米 设 有 一 个 陷 阱, 当 它 们 之 中 有 一 个 掉 进 陷 阱 时, 另 一 个 跳 了 多 少 米? 8 3 分 析 与 解 由 于 = , = 所 以 狐 狸 跳 4 个 1 米 的 距 离 时 将 掉 进 陷 阱, 黄 鼠 狼 跳 个 1 米 的 距 离 时, 将 掉 进 陷 阱. 8 8 又 由 于 它 们 都 是 一 秒 钟 跳 一 次, 因 此 当 狐 狸 掉 进 陷 阱 时 跳 了 11 秒, 黄 鼠 狼 掉 进 陷 阱 时 跳 了 9 秒, 因 此 黄 鼠 狼 先 掉 进 陷 阱, 此 时 狐 狸 跳 了 9 秒.

6 距 离 为 =40.5( 米 ). 仁 华 学 校 6 年 级 奥 数 思 维 导 引 下 教 师 版 11. 在 小 于 1000 的 自 然 数 中, 分 别 除 以 18 及 33 所 得 余 数 相 同 的 数 有 多 少 个?( 余 数 可 以 为 0) 分 析 与 解 我 们 知 道 18,33 的 最 小 公 倍 数 为 [18,33]=198, 所 以 每 198 个 数 一 次. 1~198 之 间 只 有 1,,3,,17,198( 余 O) 这 18 个 数 除 以 18 及 33 所 得 的 余 数 相 同, 而 =5 9, 所 以 共 有 =99 个 这 样 的 数. 1. 甲 乙 丙 三 数 分 别 为 603,939,393. 某 数 A 除 甲 数 所 得 余 数 是 A 除 乙 数 所 得 余 数 的 倍,A 除 乙 数 所 得 余 数 是 A 除 丙 数 所 得 余 数 的 倍. 求 A 等 于 多 少? 分 析 与 解 由 题 意 知 4 倍 393 除 以 A 的 余 数, 等 于 倍 939 除 以 A 的 余 数, 等 于 甲 603 除 以 A 的 余 数. 即 603 A=a k;( 939) A=b k;(4 393) A=c k. 于 是 有 ( ) A=b-a;( ) A=b-c;( ) A=c-a. 所 以 A 为 175,306,969 的 约 数,(175,306,969)=17 3=51. 于 是,A 可 能 是 51,17( 不 可 能 是 3, 因 为 不 满 足 余 数 是 另 一 余 数 的 4 倍 ). 当 A 为 51 时, 有 =11 4;939 51=18 1;393 51=7 36. 不 满 足 ; 当 A 为 17 时, 有 =35 8;939 17=55 4;393 17=3 ; 满 足. 所 以, 除 数 4 为 证 明 : 形 如 11,111,1111,11111, 的 数 中 没 有 完 全 平 方 数. 分 析 与 解 我 们 知 道 奇 数 的 完 全 平 方 数 是 奇 数, 偶 数 的 完 全 平 方 数 为 偶 数, 而 奇 数 的 完 全 平 方 数 除 以 4 余 1, 偶 数 的 完 全 平 方 数 能 被 4 整 除. 现 在 这 些 数 都 是 奇 数, 它 们 除 以 4 的 余 数 都 是 3, 所 以 不 可 能 为 完 全 平 方 数. 评 注 : 设 奇 数 为 n+1, 则 它 的 平 方 为 4n +4n+1, 显 然 除 以 4 余 1.

7 14. 有 8 个 盒 子, 各 盒 内 分 别 装 有 奶 糖 9,17,4,8,30,31,33,44 块. 甲 先 取 走 一 盒, 其 余 各 盒 被 乙 丙 丁 3 人 所 取 走. 已 知 乙 丙 取 到 的 糖 的 块 数 相 同 且 为 丁 的 倍. 问 : 甲 取 走 的 一 盒 中 有 多 少 块 奶 糖? 分 析 与 解 我 们 知 道 乙 丙 丁 三 人 取 走 的 七 盒 中, 糖 的 块 数 是 丁 所 取 糖 块 数 的 5 倍. 八 盒 糖 总 块 数 为 =16. 从 16 减 去 5 的 倍 数, 所 得 差 的 个 位 数 字 只 能 是 1 或 6. 观 察 各 盒 糖 的 块 数 发 现, 没 有 个 位 数 字 是 6 的, 只 有 一 个 个 位 数 字 是 1 的 数 31. 因 此 甲 取 走 的 一 盒 中 有 3l 块 奶 糖. 15. 在 一 根 长 木 棍 上, 有 三 种 刻 度 线. 第 一 种 刻 度 线 将 木 棍 分 成 10 等 份 ; 第 二 种 将 木 棍 分 成 1 等 份 ; 第 三 种 将 木 棍 分 成 15 等 份. 如 果 沿 每 条 刻 度 线 将 木 棍 锯 断, 那 么 木 棍 总 共 被 锯 成 多 少 段? 分 析 与 解 10,1,15 的 最 小 公 倍 数 [10,1,15]=60, 把 这 根 木 棍 的 1 作 为 一 个 长 度 单 位, 这 样, 60 木 棍 10 等 份 的 每 一 等 份 长 6 个 单 位 ;1 等 份 的 每 等 份 长 5 个 单 位 ;15 等 份 的 每 等 份 长 4 单 位. 减 去. 减 去 4. 不 计 木 棍 的 两 个 端 点, 木 棍 的 内 部 等 分 点 数 分 别 是 9,11,14( 相 应 于 10,1,15 等 份 ), 共 计 34 个. 由 于 5,6 的 最 小 公 倍 数 为 30, 所 以 10 与 1 等 份 的 等 分 点 在 30 单 位 处 相 重, 必 须 从 34 中 减 1. 又 由 于 4,5 的 最 小 公 倍 数 为 0, 所 以 1 与 15 等 份 的 等 分 点 在 0 单 位 和 40 单 位 两 处 相 重, 必 须 再 同 样,6,4 的 最 小 公 倍 数 为 1, 所 以 15 与 10 等 份 的 等 分 点 在 1,4,36,48 单 位 处 相 重, 必 须 再 由 于 这 些 相 重 点 各 不 相 同, 所 以 从 34 个 内 分 点 中 减 去 1, 再 减 去, 再 减 去 4, 得 7 个 刻 度 点. 沿 这 些 刻 度 点 把 木 棍 锯 成 8 段.

8 各 种 涉 及 长 方 体 立 方 体 圆 柱 圆 锥 等 立 体 图 形 表 面 积 与 体 积 的 计 算 问 题, 解 题 时 考 虑 沿 某 个 方 向 的 投 影 常 能 发 挥 明 显 的 作 用. 较 为 复 杂 的 是 与 剪 切 拼 接 染 色 等 相 关 联 的 立 体 几 何 问 题. 第 六 届 : 华 罗 庚 金 杯 少 年 数 学 邀 请 赛 初 赛 第 1 题 ( 略 有 改 动 ) 1. 用 棱 长 是 1 厘 米 的 立 方 块 拼 成 如 图 11-1 所 示 的 立 体 图 形, 问 该 图 形 的 表 面 积 是 多 少 平 方 厘 米? 分 析 与 解 显 然, 图 11-1 的 图 形 朝 上 的 面 与 朝 下 的 面 的 面 积 相 等, 都 等 于 3 3=9 个 小 正 方 形 的 面 积, 朝 左 的 面 和 朝 右 的 面 的 面 积 也 相 等, 等 于 7 个 小 正 方 形 的 面 积 ; 朝 前 的 面 和 朝 后 的 面 的 面 积 也 相 等, 都 等 于 7 个 小 正 方 形 的 面 积, 因 此, 该 图 形 的 表 面 积 等 于 (9+7+7) =46 个 小 正 方 形 的 面 积, 而 每 个 小 正 方 形 面 积 为 l 平 方 厘 米, 所 以 该 图 形 表 面 积 是 46 平 方 厘 米.. 如 图 11-, 有 一 个 边 长 是 5 的 立 方 体, 如 果 它 的 左 上 方 截 去 一 个 边 分 别 是 5,3, 的 长 方 体, 那 么 它 的 表 面 积 减 少 了 百 分 之 几?

9 分 析 与 解 原 来 正 方 体 的 表 面 积 为 5 5 6=150. 现 在 立 体 图 形 的 表 面 积 截 了 两 个 面 向 我 们 的 侧 面, 它 们 的 面 积 为 (3 ) =1,1 150=0.08=8%. 即 表 面 积 减 少 了 百 分 之 八. 3. 如 图 11-3, 一 个 正 方 体 形 状 的 木 块, 棱 长 l 米, 沿 水 平 方 向 将 它 锯 成 3 片, 每 片 又 锯 成 4 长 条, 每 条 又 锯 成 5 小 块, 共 得 到 大 大 小 小 的 长 方 体 60 块. 那 么, 这 60 块 长 方 体 表 面 积 的 和 是 多 少 平 方 米? 分 析 与 解 我 们 知 道 每 切 一 刀, 多 出 的 表 面 积 恰 好 是 原 正 方 体 的 个 面 的 面 积. 现 在 一 共 切 了 (3-1)+(4-1)+(5-1)=9 刀, 而 原 正 方 体 一 个 面 的 面 积 1 l=1( 平 方 米 ), 所 以 表 面 积 增 加 了 9 1=18( 平 方 米 ). 原 来 正 方 体 的 表 面 积 为 6 1=6( 平 方 米 ), 所 以 现 在 的 这 些 小 长 方 体 的 表 积 之 和 为 6+18=4( 平 方 米 ). 4. 图 11-4 中 是 一 个 边 长 为 4 厘 米 的 正 方 体, 分 别 在 前 后 左 右 上 下 各 面 的 中 心 位 置 挖 去 一 个 边 长 l 厘 米 的 正 方 体, 做 成 一 种 玩 具. 它 的 表 面 积 是 多 少 平 方 厘 米? 分 析 与 解 原 正 方 体 的 表 面 积 是 4 4 6=96( 平 方 厘 米 ).

10 每 一 个 面 被 挖 去 一 个 边 长 是 1 厘 米 的 正 方 形, 同 时 又 增 加 了 5 个 边 长 是 1 厘 米 的 正 方 体 作 为 玩 具 的 表 面 积 的 组 成 部 分. 总 的 来 看, 每 一 个 面 都 增 加 了 4 个 边 长 是 1 厘 米 的 正 方 形. 从 而, 它 的 表 面 积 是 =10 平 方 厘 米. 5. 图 11-5 是 一 个 边 长 为 厘 米 的 正 方 体. 在 正 方 体 的 上 面 的 正 中 向 下 挖 一 个 边 长 为 1 厘 米 的 正 方 体 1 小 间 ; 接 着 在 小 洞 的 底 面 正 中 再 向 下 挖 一 个 边 长 为 厘 米 的 小 洞 ; 第 三 个 小 洞 的 挖 法 与 前 两 个 相 同, 边 长 1 为 厘 米. 那 么 最 后 得 到 的 立 体 图 形 的 表 面 积 是 多 少 平 方 厘 米? 4 分 析 与 解 因 为 每 挖 一 次, 都 在 原 来 的 基 础 上, 少 了 1 个 面, 多 出 了 5 个 面, 即 增 加 了 4 个 面. 所 以, 最 后 得 到 的 立 体 图 形 的 表 面 积 是 : 6+1 l =9.5( 平 方 厘 米 ). 6. 有 大 中 小 3 个 正 方 形 水 池, 它 们 的 内 边 长 分 别 是 6 米 3 米 米. 把 两 堆 碎 石 分 别 沉 没 在 中 小 水 池 的 水 里, 两 个 水 池 的 水 面 分 别 升 高 了 6 厘 米 和 4 米. 如 果 将 这 两 堆 碎 石 都 沉 没 在 大 水 池 的 水 里, 大 水 池 的 水 面 升 高 了 多 少 厘 米 分 析 与 解 放 在 中 水 池 里 的 碎 石 的 体 积 为 :0.54 立 方 米 ; 放 在 小 水 池 里 的 碎 石 的 体 积 为 0.04=0.16 立 方 米 ; 则 两 堆 碎 石 的 体 积 和 为 =0.7 立 方 米, 现 在 放 到 底 面 积 为 6 6=36 平 方 米 的 大 水 池 中, 则 使 大 水 池 的 水 面 升 高 = 米 = 700 厘 米 = 1 17 厘 米

11 7. 如 图 11-6, 从 长 为 13 厘 米, 宽 为 9 厘 米 的 长 方 形 硬 纸 板 的 四 角 去 掉 边 长 米 的 正 方 形, 然 后, 沿 虚 线 折 叠 成 长 方 体 容 器. 这 个 容 器 的 体 积 是 多 少 立 方 厘 米? 分 析 与 解 容 器 的 底 面 积 是 (13-4) (9-4)=45( 平 方 厘 米 ), 高 为 厘 米, 所 以 容 器 得 体 积 为 : 45 =90( 立 方 厘 米 ). 8. 今 有 一 个 长 宽 高 分 别 为 1 厘 米 15 厘 米 1 厘 米 的 长 方 体. 现 从 它 的 上 面 尽 可 能 大 的 切 下 一 个 正 方 体, 然 后 从 剩 余 的 部 分 再 尽 可 能 大 的 切 下 一 个 正 方 体, 最 后 再 从 第 二 次 剩 余 的 部 分 尽 可 能 大 的 切 下 一 个 正 方 体. 问 剩 下 的 体 积 是 多 少 立 方 厘 米? 分 析 与 解 本 题 首 先 要 确 定 三 次 切 下 的 正 方 体 的 棱 长, 因 为 1:15:1=7:5:4, 为 了 叙 述 方 便, 我 们 先 考 虑 长 宽 高 分 别 为 7 厘 米 5 厘 米 4 厘 米 的 长 方 体. 易 知 第 一 次 切 下 的 正 方 体 的 棱 长 应 为 4 厘 米, 第 二 次 切 下 的 正 方 体 棱 长 为 3 厘 米 时 符 合 要 求, 第 三 次 切 下 的 正 方 体 的 棱 长 为 厘 米 时 符 合 要 求. 于 是, 在 长 宽 高 分 别 为 1 厘 米 15 厘 米 1 厘 米 的 长 方 体 中, 第 一 二 三 次 切 下 的 正 方 体 的 棱 长 为 1 厘 米 9 厘 米 6 厘 米. 所 以 剩 下 的 体 积 应 为 : ( )=1107( 立 方 厘 米 ). 9. 如 图 11-7, 有 一 个 圆 柱 和 一 个 圆 锥, 它 们 的 高 和 底 面 直 径 都 标 在 图 上, 单 位 是 厘 米. 那 么, 圆 锥 体 积 与 圆 柱 体 积 的 比 是 多 少?

12 1 16 分 析 与 解 圆 锥 的 体 积 是 4 π = π,, 圆 柱 的 体 积 是 4 8 π = 18π. 3 3 所 以, 圆 锥 体 积 与 圆 柱 体 积 的 比 是 16 :18 1: 4 3 π π =. 10. 张 大 爷 去 年 用 长 米 宽 1 米 的 长 方 形 苇 席 围 成 容 积 最 大 的 圆 柱 形 粮 囤. 今 年 改 用 长 3 米 宽 米 的 长 方 形 苇 席 围 成 容 积 最 大 的 圆 柱 形 的 粮 囤. 问 : 今 年 粮 囤 的 容 积 是 去 年 粮 囤 容 积 的 多 少 倍? 3 分 析 与 解 底 面 周 长 是 3, 半 径 是 π, 3 3 π ( ) π = 3 所 以 今 年 粮 囤 底 面 积 是 4π 4π, 高 是. 同 理, 去 年 粮 囤 底 面 积 是 4π, 高 是 1. 3 ( ) ( 1) = π 4π 因 此, 今 年 粮 囤 容 积 是 去 年 粮 囤 容 积 的 4.5 倍. 11. 一 个 盛 有 水 的 圆 柱 形 容 器 底 面 内 半 径 为 5 厘 米, 深 0 厘 米, 水 深 15 厘 米. 今 将 一 个 底 面 半 径 为 厘 米, 高 为 18 厘 米 的 铁 圆 柱 垂 直 放 人 容 器 中. 求 这 时 容 器 的 水 深 是 多 少 厘 米? 分 析 与 解 若 铁 圆 柱 体 能 完 全 浸 入 水 中, 则 水 深 与 容 积 底 面 积 的 乘 积 应 等 于 原 有 水 的 体 积 与 圆 柱 体 在 水 中 体 积 之 和, 因 而 水 深 为 : 5 π 15 + π 18 = π ( 厘 米 );

13 它 比 铁 圆 柱 体 的 高 度 要 小, 那 么 铁 圆 柱 体 没 有 完 全 浸 入 水 中. 此 时 容 器 与 铁 圆 柱 组 成 一 个 类 似 于 下 图 的 立 体 图 形. 底 面 积 为 5 π π = 1π, 水 的 体 积 保 持 不 变 为 5 π 15 = 315π. 315π 6 所 以 有 水 深 为 17 1π = 7 ( 厘 米 ), 小 于 容 器 的 高 度 0 厘 米, 显 然 水 没 有 溢 出 6 于 是 17 厘 米 即 为 所 求 的 水 深 如 图 ll-8, 用 高 都 是 1 米, 底 面 半 径 分 别 为 1.5 米 1 米 和 0.5 米 的 3 个 圆 柱 组 成 一 个 物 体. 问 这 个 物 体 的 表 面 积 是 多 少 平 方 米?(π 取 3.14) 分 析 与 解 物 体 的 表 面 积 恰 好 等 于 一 个 大 圆 柱 的 表 面 积 加 上 中 小 圆 柱 的 侧 面 积, 即 π π π 1 1+ π = 4.5π + 3π + π + π = 10.5π 3.97( 平 方 米 ) 即 这 个 物 体 的 表 面 积 是 3.97 平 方 米. 13. 某 工 人 用 薄 木 板 钉 成 一 个 长 方 体 的 邮 件 包 装 箱, 并 用 尼 龙 编 织 条 如 图 11-9 所 示 在 三 个 方 向 上 加

14 固. 所 用 尼 龙 编 织 条 的 长 分 别 为 365 厘 米 405 厘 米 485 厘 米. 若 每 个 尼 龙 条 加 固 时 接 头 处 都 重 叠 5 厘 米, 则 这 个 长 方 体 包 装 箱 的 体 积 是 多 少 立 方 米? 分 析 与 解 长 方 体 中, 高 + 宽 =+(365-5)=180, 1 高 + 长 = 1 (405-5)=00, 长 + 宽 = 1 (485-5)=40, 3-1 得 长 - 宽 =0, 得 长 =130, 则 宽 =110, 代 入 1 得 高 =70, 所 以 长 方 体 得 体 积 为 : = ( 立 方 厘 米 )=1.001( 立 方 米 ). 14. 有 甲 乙 丙 3 种 大 小 不 同 的 正 方 体 木 块, 其 中 甲 的 棱 长 是 乙 的 棱 长 的 1, 乙 的 棱 长 是 丙 的 棱 长 的 3. 如 果 用 甲 乙 丙 3 种 木 块 拼 成 一 个 体 积 尽 可 能 小 的 大 正 体, 每 种 至 少 用 一 块, 那 么 最 少 需 要 这 3 种 木 块 一 共 多 少 块? 分 析 与 解 设 甲 的 棱 长 为 1, 则 乙 的 棱 长 为, 丙 的 棱 长 为 3. 显 然, 大 正 方 体 棱 长 不 可 能 是 4, 否 则 无 法 放 下 乙 和 丙 各 一 个. 于 是, 大 正 方 体 的 棱 长 至 少 是 5. 事 实 上, 用 甲 乙 丙 三 种 木 块 可 以 拼 成 棱 长 为 5 的 大 正 方 体, 其 中 丙 种 木 块 只 能 用 1 块 ; 乙 种 木 块 至 多 用 7 块 ( 使 总 的 块 数 尽 可 能 少 ) ; 甲 种 木 块 需 用 : =4( 块 ). 因 此, 用 甲 乙 丙 三 种 木 块 拼 成 体 积 最 小 的 大 正 方 体, 至 少 需 要 这 三 种 木 块 一 共 1+7+4=50( 块 ). 15. 有 6 个 相 同 的 棱 长 分 别 是 3 厘 米 4 厘 米 5 厘 米 的 长 方 体, 把 它 们 的 某 划 面 染 上 红 色, 使 得 有 的 长 方 体 只 有 1 个 面 是 红 色 的, 有 的 长 方 体 恰 有 个 面 是 红 色 的, 有 的 长 方 体 恰 有 3 个 面 是 红 色 的, 有 的

15 长 方 体 恰 有 4 个 面 是 红 色 的, 有 的 长 方 体 恰 有 5 个 面 是 红 色 的, 还 有 一 个 长 方 体 6 个 面 都 是 红 色 的, 染 色 后 把 所 有 长 ; 方 体 分 割 成 棱 长 为 1 厘 米 的 小 正 方 体. 分 割 完 毕 后, 恰 有 一 面 是 红 色 的 小 正 方 体 ; 最 多 有 多 少 个? 分 析 与 解 一 面 染 红 的 长 方 体, 显 然 应 将 4 5 的 长 方 体 染 红, 这 时 产 生 0 个 一 面 染 成 红 色 的 小 正 方 体, 个 数 最 多. 二 面 染 红 的 长 方 体, 显 然 应 将 两 个 4 5 的 长 方 体 染 红, 这 时 产 生 40 个 一 面 染 成 红 色 的 小 正 方 体, 个 数 最 多. 三 面 染 红 的 长 方 体, 显 然 应 将 4 5,4 5,4 3 的 面 染 红, 于 是 产 生 4 ( )=36 个 一 面 染 成 红 色 的 小 正 方 体, 其 他 方 法 得 出 的 一 面 染 成 红 色 的 正 方 体 均 少 于 36 个. 四 面 染 红 的 长 方 体, 显 然 应 将 4 5,4 5,4 3,4 3 的 面 染 红, 产 生 4 ( )=3 个 一 面 染 成 红 色 的 正 方 体, 其 他 方 法 得 到 的 一 面 染 成 红 色 的 小 正 方 体 均 少 于 3 个. 五 面 染 红 的 长 方 体, 应 只 留 一 个 3 5 的 面 不 染, 这 时 就 产 生 (3-) (5-)+(4-1) ( )=7 个 一 面 染 成 红 色 的 小 正 方 体, 其 他 染 法 得 到 的 一 面 染 成 红 色 的 小 正 方 体 均 少 于 7. 六 面 染 红 的 长 方 体, 产 生 [(3-) (5-)+(5-) (4-)+(4-) (3-)]= 个 一 面 染 成 红 色 的 小 正 方 体. 于 是 最 多 得 到 : =177 个 一 面 染 成 红 色 的 小 正 方 体. 几 何 图 形 的 设 计 与 构 造. 涉 及 比 例 与 整 数 分 解, 需 要 添 加 辅 助 线 寻 找 规 律 或 利 用 对 称 性 解 的 较 为 复 杂 的 直 线 形 和 圆 的 周 长 与 面 积 计 算 问 题.

16 1. 今 有 9 盆 花 要 在 平 地 上 摆 成 9 行, 其 中 每 盆 花 都 有 3 行 通 过, 而 且 每 行 都 通 过 3 盆 花. 请 你 给 出 一 种 设 计 方 案, 画 图 时 用 点 表 示 花, 用 直 线 表 示 行. 分 析 与 解 如 下 图 所 示, 我 们 给 出 四 种 不 同 的 排 法.. 已 知 如 图 1-1, 一 个 六 边 形 的 6 个 内 角 都 是 10, 其 连 续 四 边 的 长 依 次 是 厘 米. 求 这 个 六 边 形 的 周 长. 分 析 与 解 如 下 图 所 示, 将 六 边 形 的 六 条 边 分 别 延 长, 相 交 至 三 点, 并 将 其 标 上 字 母, 因 为 BAF=10, 而 么 IAF=180 - BAF=60. 又 EFA=10, 而 IFA=180 - EFA:60, 则 IAF 为 等 边 三 角 形. 同 理 BCG EHD IGH 均 为 等 边 三 角 形. 在 IAF 中, 有 IA=IF=AF=9( 厘 米 ), 在 BGC 中, 有 BG=GC=BC=1( 厘 米 ), 有 IA+AB+BG=IG=9+9+1=19, 即 为 大 正 三 角 形 的 边 长, 所 以 有 IG=IH=GH=19( 厘 米 ).

17 则 EH=IH-IF-FE=19-9-5=5( 厘 米 ), 在 EDH 中,DH=EH=5( 厘 米 ), 所 以 CD=GH-GC-DH=19-1-5=13( 厘 米 ). 于 是, 原 图 中 六 边 形 的 周 长 为 =4( 厘 米 ). 3. 图 1- 中 共 有 16 条 线 段, 每 两 条 相 邻 的 线 段 都 是 互 相 垂 直 的. 为 了 计 算 出 这 个 图 形 的 周 长, 最 少 要 量 出 多 少 条 线 段 的 长 度? 分 析 与 解 如 下 图 所 示, 我 们 想 像 某 只 昆 虫 绕 图 形 爬 行 一 周, 回 到 原 出 发 点, 那 么 往 右 的 路 程 等 于 往 左 的 路 程, 往 上 的 路 程 等 于 往 下 的 路 程. 于 是 只 用 量 出 往 右 的 路 程, 往 下 的 路 程, 再 将 它 们 的 和 乘 以 即 为 所 求 的 周 长. 所 以, 最 少 的 量 出 下 列 6 段 即 可. 4. 将 图 1-3 中 的 三 角 形 纸 片 沿 虚 线 折 叠 得 到 图 1-4, 其 中 的 粗 实 线 图 形 面 积 与 原 三 角 形 面 积 之 比 为 :3. 已 知 图 1-4 中 3 个 画 阴 影 的 三 角 形 面 积 之 和 为 1, 那 么 重 叠 部 分 的 面 积 为 多 少? 分 析 与 解 设 重 叠 部 分 的 面 积 为 x, 则 原 三 角 形 面 积 为 1+x, 粗 实 线 的 面 棚 为 1+x. 因 此 (1+x):(1+x)=3:, 解 得 x=1, 即 重 叠 部 分 面 积 为 1.

18 米? 仁 华 学 校 6 年 级 奥 数 思 维 导 引 下 教 师 版 5. 如 图 1-5, 涂 阴 影 部 分 的 小 正 六 角 星 形 面 积 是 16 平 方 厘 米. 问 : 大 正 六 角 星 形 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 分 析 与 解 如 下 图 所 示, 在 正 六 边 形 ABCDEF 中, 与 面 积 相 等,1 个 组 成 小 正 六 角 星 形, 那 么 由 6 个 及 1 个 组 成 的 正 六 边 形 的 面 积 为 16 1 (1+6)=4( 平 方 厘 米 ). 而 通 过 下 图, 我 们 知 道, 正 六 边 形 ABCDEF 可 以 分 成 6 个 小 正 三 角 形, 并 且 它 们 面 积 相 等, 且 与 六 个 角 的 面 积 相 等, 所 以 大 正 六 角 星 形 的 积 为 4 6 1=48( 平 方 厘 米 ). 是 多 少? 6. 如 图 1-6 所 示, 在 三 角 形 ABC 中,DC=3BD,DE=EA. 若 三 角 形 ABC 的 面 积 是 1. 则 阴 影 部 分 的 面 积 DC 3 3 分 析 与 解 ABC ADC 同 高, 所 以 底 的 比 等 于 面 积 比, 那 么 有 S ADC = S ABC = S ABC =. BC 4 4

19 而 E 为 AD 中 点, 所 以 S DEC 仁 华 学 校 6 年 级 奥 数 思 维 导 引 下 教 师 版 1 3 = S ADC =. 8 连 接 FD, DFE FAE 面 积 相 等, 设 S FEA = x, 则. S FDE 的 面 积 也 为 x, S ABD 1 1 = S ABC = S BDF = S ABD S FEA S FDE = x, 而 S FDC = S FDE + S DEC = x S BDF : S FDC = ( x);( x + ) = 1:3, 解 得 x = 所 以, 阴 影 部 分 面 积 为 S DEC + S FEA = + = 如 图 1-7,P 是 三 角 形 ABC 内 一 点,DE 平 行 于 AB,FG 平 行 于 BC,HI 平 行 于 CA, 四 边 形 AIPD 的 面 积 是 1, 四 边 形 PGCH 的 面 积 是 15, 四 边 形 BEPF 的 面 积 是 0. 那 么 三 角 形 ABC 的 面 积 是 多 少? 分 析 与 解 有 平 行 四 边 形 AIPD 与 平 行 四 边 形 PGCH 的 面 积 比 为 IP 与 PH 的 比, 即 为 1:15=4:5. 同 理 有 FP:PG=0:15=4:3, DP:PE=1:0=3:5. 15 如 图 1-7(a), 连 接 PC HD, 有 PHC 的 面 积 为 DPH 与 PHC 同 底 PH, 同 高, 所 以 面 积 相 等, 即 15 S DPH =, 而 DPH 与 EPH 的 高 相 等, 所 以 底 的 比 即 为 面 积 的 比, 有 S DPH : S EPH = DP : PE = 3:5, 所 以 S EPH = S DPH =. 3 3

20 IP IP 4 如 图 1-7(b) 所 示, 连 接 FH BP, S IFP = S EPH = S FBP = 10 = 8; PH PH 5 PG PG 3 9 如 图 1-7(c) 所 示, 连 接 FD AP, S DPG = S DFP = S APD = 6 =. FP FP 有 S ABC = S AIPD + S BEPF + S CGPH + S IFP + S DGP + S EHP = = 如 图 1-8, 长 方 形 的 面 积 是 小 于 100 的 整 数, 它 的 内 部 有 三 个 边 长 是 整 数 的 正 方 形,1 号 正 方 形 5 的 边 长 是 长 方 形 长 的 1, 1 号 正 方 形 的 边 长 是 长 方 形 宽 的 8. 那 么, 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 多 少? 5 分 析 与 解 有 1 号 正 方 形 的 边 长 为 长 方 形 长 的 1, 7 则 图 中 未 标 号 的 正 方 形 的 边 长 为 长 方 形 长 的 1. 1 而 号 正 方 形 的 边 长 为 宽 的 8, 7 所 以 未 标 号 的 正 方 形 的 边 长 为 长 方 形 宽 的 8. 所 以 在 长 方 形 中 有 : 7 长 = 7 宽, 则 长 : 宽 =1:8, 不 妨 设 长 的 为 1k, 宽 为 8k, 则 1 号 正 方 形 的 边 1 8 长 为 5k, 又 是 整 数, 所 以 k 为 整 数, 有 长 方 形 的 面 积 为 96 k, 不 大 于 100. 所 以 k 只 能 为 1, 即 长 方 形 的 长 为 1, 宽 为 8. 于 是, 图 中 1 号 正 方 形 的 边 长 为 5, 号 正 方 形 的 边 长 为 1, 则 未 标 号 的 正 方 形 的 边 长 为 7, 所 以 剩 余 的 阴 影 部 分 的 面 积 为 : = 如 图 1-9, 三 个 一 样 大 小 的 正 方 形 放 在 一 个 长 方 形 的 盒 内,A 和 B 是 两 个 正 方 形 重 叠 部 分,C,D,

21 E 是 空 出 的 部 分, 这 些 部 分 都 是 长 方 形, 它 们 的 面 积 比 是 A:B:C:D:E=1::3:4:5. 那 么 这 个 长 方 形 的 长 与 宽 之 比 是 多 少? 分 析 与 解 以 下 用 E 横 表 示 E 部 分 横 向 的 长 度, E 坚 竖 表 示 E 部 分 竖 向 的 长 度, 其 他 下 标 意 义 类 似. 有 E 横 : D 横 =5:4, A 横 : B 横 =l:. 而 E 横 + A 横 = D 横 + B 横, 所 以 有 E 横 : D 横 : A 横 : B 横 =5:4:1:. 而 A 横 + B 横 + C 横 = E 横 + A 横 对 应 为 5+1=6, 那 么 C 横 对 应 为 3. 而 A 面 积 :B 面 积 :C 面 积 =1::3, 所 以 A 坚 = B 坚 = C 坚. 有 A 坚 + C 坚 竖 对 应 为 6, 所 以 A 坚 = C 坚 对 应 为 3. 那 么 长 方 形 的 竖 边 为 6+ C 坚 对 应 为 9, 长 方 形 横 边 为 E 横 +6+ D 横 对 应 为 5+6+4=15. 所 以 长 方 形 的 长 与 宽 的 比 为 15:9=5: 如 图 1-10, 红 黄 绿 三 块 大 小 一 样 的 正 方 形 纸 片, 放 在 一 个 正 方 形 盒 内, 它 们 之 间 互 相 叠 合. 已 知 露 在 外 面 的 部 分 中, 红 色 的 面 积 是 0, 黄 色 的 面 积 是 14, 绿 色 的 面 积 是 lo. 那 么, 正 方 形 盒 子 的 底 面 积 是 多 少? 分 析 与 解 如 下 图 所 示, 我 们 将 黄 色 的 正 方 形 纸 片 向 左 推 向 纸 盒 的 过 缘, 有 露 在 外 面 的 部 分, 黄 色 减 少 的 面 积 等 于 绿 色 增 加 的 面 积, 也 就 是 说 黄 色 绿 色 部 分 露 在 外 面 部 分 的 面 积 和 不 变.

22 并 且 有 变 化 后, 黄 色 露 出 面 积 + 红 色 部 分 面 积, 绿 色 露 出 面 积 + 红 色 部 分 面 积, 都 是 小 正 方 形 纸 片 边 长 乘 以 大 正 方 形 盒 子 边 长 的 积. 所 以, 黄 色 露 出 面 积 + 红 色 部 分 面 积 = 绿 色 露 出 面 积 + 红 色 部 分 面 积, 于 是. 黄 色 露 出 面 积 = 绿 色 露 出 面 积, 而 它 们 的 和 为 14+10=4, 即 黄 色 露 出 面 积 = 绿 色 露 出 面 积 =1. 有 黄 : 空 白 = 红 : 绿, 1 : 空 白 =0 :1, 解 得 空 白 =7., 所 以 整 个 正 方 形 纸 盒 的 底 面 积 为 = 如 图 1-11, 在 长 60 厘 米, 宽 150 厘 米 的 台 球 桌 上, 有 6 个 球 袋 A,B,C,D,E,F, 其 中 AB=EF=130 厘 米. 现 在 从 4 处 沿 45 方 向 打 出 一 球, 碰 到 桌 边 后 又 沿 45 方 向 弹 出, 当 再 碰 到 桌 边 时, 仍 沿 45 方 向 弹 出, 如 此 继 续 下 去. 假 如 球 可 以 一 直 运 动, 直 至 落 入 某 个 球 袋 中 为 止, 那 么 它 将 落 人 哪 个 袋 中? 分 析 与 解 将 每 个 点 的 位 置 用 一 组 数 来 表 示, 前 一 个 数 是 这 个 点 到 FA 的 距 离, 后 一 个 数 是 点 到 FD 的 距 离, 于 是 A 的 位 置 为 (0,150), 球 经 过 的 路 线 为 : (0,150) (150,0) (60,110) (0,150) (70,0) (0,70) (80,150) (30,0) (60, 30) (140,150) (0,10) (10,0) (160,150) (60,50) (10,0) (60,150) (0,90) (90,0) (40,150) (60,130) (130,0). 因 此, 该 球 最 后 落 入 E 袋. 1. 长 方 形 ABCD 是 一 个 弹 子 盘, 四 角 有 洞. 弹 子 从 A 出 发, 路 线 与 边 成 45 度 角, 撞 到 边 界 即 反 弹, 并 一 直 按 此 规 律 运 动, 直 到 落 人 一 个 洞 内 为 止. 如 图 1-1. 当 AB=4,AD=3 时, 弹 子 最 后 落 入 B 洞. 问 : 若 AB=1995,AD=1994 时, 弹 子 最 后 落 入 哪 个 洞? 在 落 入 洞 之 前, 撞 击 BC 边 多 少 次?

23 分 析 与 解 撞 击 AD 边 的 点, 每 次 由 A 向 D 移 动 ; 撞 击 BC 边 的 点, 每 次 由 C 向 B 移 动. 因 为 第 一 次 撞 击 BC 边 的 点 距 C 点 1, 第 一 次 撞 击 AB 边 的 点 距 A 点 为,1994 =997. 所 以 最 后 落 人 D 洞, 在 此 之 前 撞 击 BC 边 997 次 个 一 样 大 的 圆 摆 成 如 图 1-13 所 示 的 形 状. 过 图 中 所 示 两 个 圆 心 A,B 作 直 线, 那 么 直 线 右 上 方 圆 内 图 形 面 积 总 和 与 直 线 左 下 圆 内 图 形 面 积 总 和 的 比 是 多 少? 分 析 与 解 直 线 AB 的 右 上 方 的 有 个 完 整 的 圆, 个 半 圆,1 个 1 个 而 1 个 1 个 正 好 组 成 一 个 完 整 的 圆, 即 共 有 4 个 完 整 的 圆. 那 么 直 线 AB 的 左 下 方 有 10-4=6 个 完 整 的 圆, 每 个 圆 的 面 积 相 等, 所 以 直 线 右 上 方 圆 内 图 形 面 积 总 和 与 直 线 左 下 圆 内 图 形 面 积 总 和 的 比 是 4:6=: 在 图 1-14 中, 一 个 圆 的 圆 心 是 0, 半 径 r=9 厘 米, 1= =15. 那 么 阴 影 部 分 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米?(π 取 3.14)

24 分 析 与 解 有 AO=OB, 所 以 AOB 为 等 腰 三 角 形,AO=OC, 所 以 AOC 为 等 腰 三 角 形. ABO= 1=15, AOB= ABO=150. ACO= =15, AOC= ACO= 所 以 BOC=360 - AOB- AOC=60, 所 以 扇 形 BOC 的 面 积 为 9 π 4.39 ( 平 方 厘 米 ) 图 1-15 是 由 正 方 形 和 半 圆 形 组 成 的 图 形. 其 中 P 点 为 半 圆 周 的 中 点,Q 点 为 正 方 形 一 边 的 中 点. 已 知 正 方 形 的 边 长 为 10, 那 么 阴 影 部 分 的 面 积 是 多 少?(π 取 3.14) 分 析 与 解 过 P 做 AD 平 行 线, 交 AB 于 O 点,P 为 半 圆 周 的 中 点, 所 以 0 为 AB 中 点 有 SABCD = = 100, S半 圆 DPC = ( ) π = 1.5π S AOP = 5 ( 10+ ) = 37.5, S梯 形 OPQB = = 50. 阴 影 部 分 面 积 为 SABCD + S -S AOP S = π = π 半 圆 DPC 梯 形 OPQB 内 容 概 述 第 14 讲 数 字 谜 综 合 各 种 具 有 相 当 难 度 求 解 需 要 综 合 应 用 多 方 面 知 识 的 竖 式 横 式 数 字 及 数 阵 图 等 类 型 的 数 字 谜 问 题. 典 型 问 题 1.ABCD 表 示 一 个 四 位 数,EFG 表 示 一 个 三 位 数,A,B,C,D,E,F,G 代 表 1 至 9 中 的 不 同 的 数 字. 已 知 ABCD+EFG=1993, 问 : 乘 积 ABCD EFG 的 最 大 值 与 最 小 值 相 差 多 少?

25 分 析 与 解 因 为 两 个 数 的 和 一 定 时, 两 个 数 越 紧 接, 乘 积 越 大 ; 两 个 数 的 差 越 大, 乘 积 越 小. A 显 然 只 能 为 1, 则 BCD+EFG=993, 当 ABCD 与 EFG 的 积 最 大 时,ABCD EFG 最 接 近, 则 BCD 尽 可 能 小,EFG 尽 可 能 大, 有 BCD 最 小 为 34, 对 应 EFG 为 759, 所 以 有 是 满 足 条 件 的 最 大 乘 积 ; 当 ABCD 与 EFG 的 积 最 小 时,ABCD EFG 差 最 大, 则 BCD 尽 可 能 大,EFG 尽 可 能 小, 有 EFG 最 小 为 34, 对 应 BCD 为 759, 所 以 有 是 满 足 条 件 的 最 小 乘 积 ; 它 们 的 差 为 =( ) 759 一 ( ) 34=1000 (759 34)= 有 9 个 分 数 的 和 为 1, 它 们 的 分 子 都 是 1. 其 中 的 5 个 是 3, 1 7, 1 9, 1 11, 1 另 外 4 个 数 的 分 母 个 位 33 数 字 都 是 5. 请 写 出 这 4 个 分 数. 分 析 与 解 l 一 ( )= = 需 要 将 1010 拆 成 4 个 数 的 和, 这 4 个 数 都 不 是 5 的 倍 数, 而 且 都 是 l 的 约 数. 因 此, 它 们 可 能 是 3,7,9,11,1,33,77,63,99,31,693. 经 试 验 得 =1010. 所 以, 其 余 的 4 个 分 数 是 : 1 5, 1 15, 1 45, 请 在 上 面 算 式 的 每 个 方 格 内 填 入 一 个 数 字, 使 其 成 为 正 确 的 等 式. 分 析 与 解 1988= 7 7l=4 497, = 1 3, 1 在 等 式 两 边 同 时 乘 上 497, 1 就 得 = 显 然 满 足 题 意. 1 又 = 1 10, 1 两 边 同 乘 以 14, 1 就 得 = 显 然 也 满 足 = 1 104, = 1 均 满 足 小 明 按 照 下 列 算 式 : 乙 组 的 数 口 甲 组 的 数 1= 对 甲 乙 两 组 数 逐 个 进 行 计 算, 其 中 方 框 是 乘 号 或 除 号, 圆 圈 是 加 号 或 减 号 他 将 计 算 结 果 填 入 表 14 1 的 表 中. 有 人 发 现 表 中 14 个 数 中 有 两 个 数 是 错 的 请 你 改 正. 问 改 正 后 的 两 个 数 的 和 是 多 少?

26 分 析 与 解 甲 组 的 前 三 个 数 0.65, 3, 9 都 是 小 于 1 的 数, 17 与 这 三 个 数 运 算 后, 得 5.05, , ; 不 论 减 1 还 是 加 l 后, 这 三 个 数 都 比 17 大, 而 这 是 17 与 小 于 1 的 数 运 算 的 结 果, 因 此 3 3 可 以 猜 想 方 框 内 是 除 号. 现 在 验 算 一 下 : = = 81 0 =4.05; = =3 64 ; = = = ; = 3 3. 从 上 面 四 个 算 式 来 看, 圆 圈 内 填 加 号, 这 样 有 三 个 结 果 是 对 的, 而 4 5 是 错 的. 16 按 照 算 式 乙 组 的 数 甲 组 的 数 +1 * 3+1=1 3, 显 然 不 为 1.5, 上 面 已 认 定 3 是 正 确 的, 因 此, 只 有 把 改 为 1.5, 才 有 =1 1, 而 l=3.4, =3.5. 由 此 可 见, 确 定 的 算 式 * 是 正 确 的. 表 中 有 两 个 错 误,4 5 应 改 为 , 应 改 为 1.5, = = 改 正 后 的 两 个 数 的 和 是 图 14 3 中 有 大 中 小 3 个 正 方 形, 组 成 了 8 个 三 角 形. 现 在 先 把 1,,3,4 分 别 填 在 大 正 方 形 的 4 个 顶 点 上, 再 把 1,,3,4 分 别 填 在 中 正 方 形 的 4 个 顶 点 上, 最 后 把 1,,3,4 分 别 填 在 小 正 方 形 的 4 个 项 点 上. (1) 能 否 使 8 个 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 都 相 等? 如 果 能, 请 给 出 填 数 方 法 : 如 果 不 能, 请 说 明 理 由.

27 () 能 否 使 8 个 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 各 不 相 同? 如 果 能, 请 给 出 填 数 方 法 ; 如 果 不 能, 请 说 明 理 由. 分 析 与 解 (1) 无 论 怎 样 填 法, 都 不 可 以 使 八 个 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 相 等. 事 实 上, 假 设 存 在 某 种 填 法 使 得 八 个 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 都 相 等, 不 妨 设 每 个 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 为 k. 在 计 算 八 个 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 时, 大 正 方 形 四 个 顶 点 上 每 个 数 字 恰 好 使 用 过 一 次 ; 中 正 方 形 四 个 顶 点 上 每 个 数 字 各 使 用 过 三 次 ; 小 正 方 形 四 个 顶 点 上 每 个 数 字 各 使 用 过 二 次. 因 此, 这 八 个 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 的 总 和 为 : 8k=(1++3+4)+3 (1++3+4)+ (1++3+4), 即 8k=60,k 不 为 整 数, 矛 盾, 所 以 假 设 是 错 误 的. () 易 知 : 不 可 能 做 到 三 角 形 的 三 个 顶 点 上 数 字 完 全 相 同, 所 以 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 最 小 为 1 +1+=4, 最 大 为 3+4+4=11. 而 4~11 共 8 个 数, 于 是 有 可 能 使 得 8 个 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 各 不 相 同, 可 如 下 构 造, 且 填 法 不 惟 一. 图 (a) 和 图 (b) 是 两 种 填 法. 6. 图 14 5 中 有 11 条 直 线. 请 将 1 至 11 这 11 个 数 分 别 填 在 11 个 圆 圈 里, 使 每 一 条 直 线 上 所 有 数 的 和 相 等. 求 这 个 相 等 的 和 以 及 标 有 * 的 圆 圈 中 所 填 的 数.

28 分 析 与 解 表 述 1: 设 每 行 的 和 为 S, 在 左 下 图 中, 除 了 a 出 现 次, 其 他 数 字 均 只 出 现 了 1 次, 并 且 每 个 数 字 都 出 现 了, 于 是 有 4S=( )+a=66+a; 在 右 上 图 中 除 了 a 出 现 5 次, 其 他 数 字 均 只 出 现 了 1 次, 并 且 每 个 数 字 都 出 现 了, 于 是 有 5S=( )+4a=66+4a. 4S = 66 + a(1) 综 合 以 上 两 式, 5S = a() 得 66-11a=0, 所 以 a=6, 则 S=18. 考 虑 到 含 有 * 的 五 条 线, 有 4*+( )-t=5S=90. 即 4*-t=4, 由 t 是 1~11 间 的 数 且 t *, 可 知 *=7, 而 每 行 相 等 的 和 S 为 18. 表 述 : 如 下 图 所 示, 在 每 个 圆 圈 内 标 上 字 母, 带 有 * 的 圆 圈 标 为 x, 首 先 考 虑 以 下 四 条 直 线 :(h f a),(i g a),(x d b),(j e c), 除 了 标 有 a 的 圆 圈 外, 其 余 每 个 圆 圈 都 出 现 了 一 次, 而 标 有 a 的 圆 圈 出 现 了 两 次, 设 每 条 直 线 上 数 字 之 和 为 S, 则 有 : (1+11) 11 +a=4s, 即 66+a=4S. 再 考 虑 以 下 五 条 直 线 :(h f a),(i g a),(j x a),(e d a),(c b a), 同 理 我 们 可 得 到 66+4a=5S.

29 66 + a = 4S 综 合 两 个 等 式, 可 得 a 为 6, 每 条 直 线 上 和 S 为 a = 5S 最 后 考 虑 含 x 的 五 条 直 线 :(x h),(x g f),(j x a),(x d b),(i x c). 其 中 除 了 x 出 现 了 5 次,e 没 有 出 现, 其 他 数 字 均 只 出 现 了 一 次, 于 是 可 以 得 到 : 66+4x-e=5S=90, 即 4x-e=4, 由 e 是 1 11 间 的 数 且 e x 可 知 x=7. 即 每 行 相 等 的 和 S 为 18,* 所 填 的 数 为 一 个 六 位 数, 把 个 位 数 字 移 到 最 前 面 便 得 到 一 个 新 的 六 位 数, 再 将 这 个 六 位 数 的 个 位 数 字 移 到 最 前 面 又 得 到 一 个 新 的 六 位 数, 如 此 共 进 行 5 次 所 得 的 新 数 连 同 原 来 的 六 位 数 共 6 个 数 称 为 一 组 循 环 数. 已 知 一 个 六 位 数 所 生 成 的 一 组 循 环 数 恰 巧 分 别 为 此 数 的 l 倍, 倍,3 倍,4 倍,5 倍,6 倍, 求 这 个 六 位 数. 分 析 与 解 方 法 一 : 1 7 = , 7 = , 3 7 = , 4 7 = , 5 7 = , 6 7 = 倍. 对 应 有 14857,85714,48571,57148,71485,85714, 它 们 依 次 是 的 且 只 用 了 这 6 个 数 字, 满 足 题 意. 所 以 这 个 六 位 数 为 方 法 二 : 首 先 可 以 确 定 最 小 的 六 位 数 的 首 位 为 1, 不 然 ***** 的 6 倍 就 不 是 六 位 数, 于 是 不 妨 设 这 个 六 位 数 为 1abcde, 那 么 6 个 六 位 数 中 必 定 存 在 一 个 数 为 abcde 1. 而 个 位 数 字 1, 只 能 由 1 1,3 7 或 9 9 得 到. 但 是 abcde 1只 能 对 应 为 1abcde ( 6), 所 以 只 能 是 1abcde 3 得 到. 即 abcde 1=1abcde 3. 于 是, 我 们 不 难 递 推 出 d 为 5,c 为 8,b 为,a 为 4, 所 以 这 个 六 位 数 为 方 法 三 : 部 分 同 方 法 二, abcde 1=1abcde 3. 那 么 有 abcde 10+l=( abcde) 3, 解 得 abcde=4857. 所 以 这 个 六 位 数 为 内 容 概 述 第 15 讲 计 数 综 合 1 将 关 键 的 已 知 数 据 看 作 变 量, 得 到 一 类 结 构 相 同 的 计 数 问 题, 通 过 建 立 这 些 问 题 的 结 果 所 构 成 数 列 的

30 递 推 关 系, 逐 步 地 求 得 原 问 题 的 答 案. 与 分 数 几 何 等 相 关 联 的 计 数 综 合 题. 典 型 问 题 1. 一 个 长 方 形 把 平 面 分 成 两 部 分, 那 么 3 个 长 方 形 最 多 把 平 面 分 成 多 少 部 分? 分 析 与 解 一 个 长 方 形 把 平 面 分 成 两 部 分. 第 二 个 长 方 形 的 每 一 条 边 至 多 把 第 一 个 长 方 形 的 内 部 分 成 部 分, 这 样 第 一 个 长 方 形 的 内 部 至 多 被 第 二 个 长 方 形 分 成 五 部 分. 同 理, 第 二 个 长 方 形 的 内 部 至 少 被 第 一 个 长 方 形 分 成 五 部 分. 这 两 个 长 方 形 有 公 共 部 分 ( 如 下 图, 标 有 数 字 9 的 部 分 ). 还 有 一 个 区 域 位 于 两 个 长 方 形 外 面, 所 以 两 个 长 方 形 至 多 把 平 面 分 成 10 部 分. 第 三 个 长 方 形 的 每 一 条 边 至 多 与 前 两 个 长 方 形 中 的 每 一 个 的 两 条 边 相 交, 故 第 一 条 边 被 隔 成 五 条 小 线 段, 其 中 间 的 三 条 小 线 段 中 的 每 一 条 线 段 都 把 前 两 个 长 方 形 内 部 的 某 一 部 分 一 分 为 二, 所 以 至 多 增 加 3 4=1 个 部 分. 而 第 三 个 长 方 形 的 4 个 顶 点 都 在 前 两 个 长 方 形 的 外 面, 至 多 能 增 加 4 个 部 分. 所 以 三 个 长 方 形 最 多 能 将 平 面 分 成 =6.. 一 个 楼 梯 共 有 10 级 台 阶, 规 定 每 步 可 以 迈 1 级 台 阶 或 级 台 阶, 最 多 可 以 迈 3 级 台 阶. 从 地 面 到 最 上 面 1 级 台 阶, 一 共 可 以 有 多 少 种 不 同 的 走 法? 分 析 与 解 我 们 知 道 最 后 一 步 可 以 迈 1 级 台 阶 级 台 阶 或 3 级 台 阶, 也 就 是 说 可 以 从 倒 数 第 1 或 3 级 台 阶 直 接 迈 入 最 后 一 级 台 阶. 即 最 后 一 级 台 阶 的 走 法 等 于 倒 数 第 1 和 3 级 台 阶 的 走 法 和. 而 倒 数 第 l 级 台 阶 的 走 法 等 于 倒 数 第 3 和 4 级 台 阶 的 走 法 和, 如 果 将 1 3 级 台 阶 的 走 法 依 次 排 成 一 个 数 列, 那 么 从 第 4 项 开 始, 每 一 项 等 于 前 3 项 的 和. 有 1,,3 级 台 阶 的 走 法 有 1,,4 种 走 法, 所 以 4,5,6,7,8,9,10 级 台 阶 的 走 法 有 7,13,4, 44,81,149,74 种 走 法. 3. 一 个 圆 上 有 1 个 点 A 1,A,A 3,,A 11,A 1. 以 它 们 为 顶 点 连 三 角 形, 使 每 个 点 恰 好 是 一 个 三 角 形 的 顶 点, 且 各 个 三 角 形 的 边 都 不 相 交. 问 共 有 多 少 种 不 同 的 连 法?

31 分 析 与 解 我 们 采 用 递 推 的 方 法. I 如 果 圆 上 只 有 3 个 点, 那 么 只 有 一 种 连 法. Ⅱ 如 果 圆 上 有 6 个 点, 除 A 1 点 所 在 三 角 形 的 三 顶 点 外, 剩 下 的 三 个 点 一 定 只 能 在 A 1 所 在 三 角 形 的 一 条 边 所 对 应 的 圆 弧 上, 表 1 给 出 这 时 有 可 能 的 连 法. Ⅲ 如 果 圆 上 有 9 个 点, 考 虑 A 1 所 在 的 三 角 形. 此 时, 其 余 的 6 个 点 可 能 分 布 在 : 1A 1 所 在 三 角 形 的 一 个 边 所 对 的 弧 上 ; 也 可 能 三 个 点 在 一 个 边 所 对 应 的 弧 上, 另 三 个 点 在 另 一 边 所 对 的 弧 上. 在 表 中 用 + 号 表 示 它 们 分 布 在 不 同 的 边 所 对 的 弧. 如 果 是 情 形 1, 则 由 Ⅱ, 这 六 个 点 有 三 种 连 法 ; 如 果 是 情 形, 则 由 1, 每 三 个 点 都 只 能 有 一 种 连 法. 共 有 1 种 连 法. Ⅳ 最 后 考 虑 圆 周 上 有 1 个 点. 同 样 考 虑 A 1 所 在 三 角 形, 剩 下 9 个 点 的 分 布 有 三 种 可 能 : 19 个 点 都 在 同 一 段 弧 上 : 有 6 个 点 是 在 一 段 弧 上, 另 三 点 在 另 一 段 弧 上 ; 3 每 三 个 点 在 A 1 所 在 三 角 形 的 一 条 边 对 应 的 弧 上. 得 到 表 3.

32 共 有 =55 种. 所 以 当 圆 周 上 有 1 个 点 时, 满 足 题 意 的 连 法 有 55 种. 4. 现 在 流 行 的 变 速 自 行 车, 在 主 动 轴 和 后 轴 分 别 安 装 了 几 个 齿 数 不 同 的 齿 轮. 用 链 条 连 接 不 同 搭 配 的 齿 轮, 通 过 不 同 的 传 动 比 获 得 若 干 挡 不 同 的 车 速. 希 望 牌 变 速 自 行 车 主 动 轴 上 有 3 个 齿 轮, 齿 数 分 别 是 48,36,4; 后 轴 上 有 4 个 齿 轮, 齿 数 分 别 是 36,4,16,1. 问 : 这 种 变 速 车 一 共 有 多 少 挡 不 同 的 车 速? 分 析 与 解 算 出 全 部 的 传 动 比, 并 列 成 表 : 这 里 有 4 对 传 动 比 是 相 同 的 :1, 3,,3, 将 重 复 的 传 动 比 去 掉, 剩 下 8 个 不 同 的 比, 所 以 共 有 8 挡 不 同 的 车 速. 5. 分 子 小 于 6, 分 母 小 于 60 的 不 可 约 真 分 数 有 多 少 个? 分 析 与 解 分 子 的 取 值 范 围 是 从 1 到 5. 当 分 子 为 1 时, 分 母 可 从 到 59, 共 有 58 个 真 分 数, 它 们 当 然 都 是 不 可 约 分 数. 由 于,3,5 都 是 质 数, 因 此 当 分 子 分 别 为,3,5 时, 分 母 必 须 而 且 只 需 适 合 下 列 两 个 条 件 : 1 分 母 大 于 分 子 且 小 于 60.

33 7 分 母 不 是 分 子 的 倍 数. 易 知 : 当 分 子 为 时, 适 合 条 件 的 分 母 有 9 个 ; 当 分 子 为 3 时, 适 合 条 件 的 分 母 有 38 个 : 当 分 子 为 5 时, 适 合 条 件 的 分 母 有 44 个 ; 最 后 来 看 分 子 为 4 的 情 形, 与 分 子 为 基 本 相 同, 分 母 不 能 为 偶 数, 此 外 分 母 不 能 为 3. 所 以 共 有 8(=9 1) 个. 总 之, 符 合 要 求 的 分 数 共 有 =197 个. 6. 一 个 正 方 形 的 内 部 有 1996 个 点, 以 正 方 形 的 4 个 顶 点 和 内 部 的 1996 个 点 为 顶 点, 将 它 剪 成 一 些 三 角 形. 问 : 一 共 可 以 剪 成 多 少 个 三 角 形? 如 果 沿 上 述 这 些 点 中 某 两 点 之 间 所 连 的 线 段 剪 开 算 作 一 刀, 那 么 共 需 剪 多 少 刀? 分 析 与 解 方 法 一 : 如 下 图, 采 用 归 纳 法, 列 出 1 个 点 个 点 3 个 点 时 可 剪 出 的 三 角 形 个 数, 需 剪 的 刀 数. 不 难 看 出, 当 正 方 形 内 部 有 n 个 点 时, 可 以 剪 成 n+ 个 三 角 形, 需 剪 3n+l 刀, 现 在 内 部 有 1996 个 点, 所 以 可 以 剪 成 1996+=3994 个 三 角 形, 需 剪 =5989 刀. 方 法 二 : 我 们 知 道 内 部 一 个 点 贡 献 360 度 角, 原 正 方 形 的 四 个 顶 点 共 贡 献 了 360 度 角, 所 以 当 内 部 有 n 个 点 时, 共 有 360n+360 度 角, 而 每 个 三 角 形 的 内 角 和 为 180 度 角, 所 以 可 剪 成 (360n+360) 180=n+ 个 三 角 形. n+ 个 三 角 形 共 有 3 (n+)=6n+6 条 边, 但 是 其 中 有 4 条 是 原 有 的 正 方 形 的 边, 所 以 正 方 形 内 部 的 三 角 形 边 有 6n+6 4=6n+ 条 边, 又 知 道 每 条 边 被 个 三 角 形 共 用, 即 每 条 边 是 重 合 的, 所 以 只 用 剪 (6n+) =3n+1 刀. 本 题 中 n=1996, 所 以 可 剪 成 3994 个 三 角 形, 需 剪 5989 刀. 7. 如 图 15 3, 某 城 市 的 街 道 由 5 条 东 西 与 7 条 南 北 向 马 路 组 成. 现 在 要 从 西 南 角 的 A 处 沿 最 短 路

34 线 走 到 东 北 角 的 B 处, 由 于 修 路 十 字 路 口 C 不 能 通 过, 那 么 共 有 多 少 种 不 同 走 法? 分 析 与 解 因 为 每 个 路 口 ( 点 ) 只 能 由 西 边 相 邻 点 南 边 相 邻 点 走 过 来, 所 以 达 到 每 个 点 的 走 法 为 西 边 相 邻 点 南 边 相 邻 点 的 走 法 之 和, 并 且 最 南 方 一 排 最 西 方 一 排 的 所 有 点 均 只 有 1 种 走 法. 因 为 C 点 不 能 通 过, 所 以 C 处 所 标 的 数 字 为 0. 如 下 图 所 示 : 所 以, 从 A 到 B 满 足 条 件 的 走 法 共 有 10 种 8. 经 理 将 要 打 印 的 信 件 交 给 秘 书, 每 次 给 一 封, 且 放 在 信 封 的 最 上 面, 秘 书 一 有 空 就 从 最 上 面 拿 一 封 信 来 打. 有 一 天 共 有 9 封 信 打, 经 理 按 第 1 封, 第 封,, 第 9 封 的 顺 序 交 给 秘 书. 午 饭 时, 秘 书 告 诉 同 事, 已 把 第 8 封 信 打 印 好 了, 但 未 透 露 上 午 工 作 的 其 他 情 况, 这 个 同 事 很 想 知 道 是 按 什 么 顺 序 来 打 印. 根 据 以 上 信 息, 下 午 打 印 的 信 的 顺 序 有 多 少 种 可 能?( 没 有 要 打 的 信 也 是 一 种 可 能 ) 分 析 与 解 我 们 根 据 最 后 一 封 信 来 计 数 : (1) 第 9 封 信 在 上 午 送 给 秘 书 ; 于 是,T={1,,3,4,5,6,7,9} 则 下 午 打 印 的 每 种 可 能 都 是 T 的 一 个 子 集, 因 为 秘 书 可 以 把 不 在 子 集 中 的 信 件 上 午 一 送 来 就 打 完 了, 而 未 打 别 的 信. 集 T 有 8 个 元 素, 故 有 8 =56 个 不 同 子 集 ( 包 括 空 集 ). () 第 9 封 信 在 午 后 才 送 给 秘 书. 令 S={1,,3,4,5,6,7}, 则 上 午 未 打 印 的 信 的 号 码 是 S 的 一 个 子 集. 若 将 9 排 在 子 集 之 后, 则 与 ⑴ 中 的 情 形 相 同, 故 只 有 子 集 中 至 少 有 一 封 信 已 把 号 码 9 放 在 该 子 集 的 非 最 后 的 位 置 上. 对 于 有 k 个 元 素 的 子 集, 号 码 9 有 k 个 位 置 可 放, 即 可 放 在 第 i 一 1 个 元 素 之 后 和 i 个 元 素 之 前,i=1,,,k. 于 是 不 同 的 顺 序 总 数 为 : 0 C C 1 7+ C C 7 7=7 7 =7 6 =448

35 即 下 午 有 448 种 可 能 的 打 印 顺 序. 所 以, 下 午 共 有 =704 种 打 印 的 方 法. 第 16 讲 逻 辑 推 理 内 容 概 述 体 育 比 赛 形 式 的 逻 辑 推 理 问 题, 其 中 存 在 的 呼 应 一 队 的 胜 负 平 分 对 应 着 另 一 队 的 负 平 胜 对 解 题 有 重 要 作 用, 有 时 宜 将 比 赛 情 况 用 点 以 及 连 这 些 点 的 线 来 表 示. 需 要 从 整 体 考 虑, 涉 及 数 量 比 较 整 数 分 解 等 具 有 一 定 综 性 的 逻 辑 推 理 问 题. 典 型 问 题 1. 共 有 4 人 进 行 跳 远 百 米 铅 球 跳 高 4 项 比 赛, 规 定 每 个 单 项 中, 第 一 名 记 5 分, 第 二 名 记 3 分, 第 三 名 记 分, 第 四 名 记 1 分. 已 知 在 每 一 单 项 比 赛 中 都 没 有 并 列 名 次, 并 且 总 分 第 一 名 共 获 17 分, 其 中 跳 高 得 分 低 于 其 他 项 得 分 ; 总 分 第 三 名 共 获 11 分, 其 中 跳 高 得 分 高 于 其 他 项 得 分. 问 总 分 第 二 名 在 铅 球 项 目 中 的 得 分 是 多 少? 分 析 与 解 每 个 单 项 的 4 人 共 得 分 =11 分, 所 以 4 个 单 项 的 总 分 为 11 4=44 分, 而 第 一, 三 名 得 分 为 分, 所 以 第 二 四 名 得 分 之 和 为 44 ( ) = 16分 其 中 第 四 名 得 分 最 少 为 4 分, 此 时 第 二 名 得 分 最 高, 为 16-4=1 分 ; 又 因 为 第 三 名 为 11 分, 那 么 第 二 名 最 低 为 1 分 ; 那 么 第 二 名 只 能 为 1 分, 此 时 第 四 名 4 分. 于 是, 第 一 二 三 四 名 的 得 分 依 次 为 l 4 分, 而 17 只 能 是 ,4 只 能 是 不 难 得 到 下 表 : 由 表 知 总 分 第 二 名 在 铅 球 项 目 中 的 得 分 是 3 分..4 支 足 球 队 进 行 单 循 环 比 赛, 即 每 两 队 之 间 都 比 赛 一 场. 每 场 比 赛 胜 者 得 3 分, 负 者 得 0 分, 平 局 各 得 1 分. 比 赛 结 果, 各 队 的 总 得 分 恰 好 是 4 个 连 续 的 自 然 数. 问 : 输 给 第 一 名 的 队 的 总 分 是 多 少? 4 3 分 析 与 解 四 个 队 共 赛 了 C4 = = 6 场,6 场 总 分 m 在 1(=6 ) 与 18(=6 3) 之 间.

36 由 于 m 是 4 个 连 续 自 然 数 的 和, 所 以 m =+3+4=5=14 或 m =3+4+5=18. 如 果 m =18, 那 么 每 场 都 产 生 3 分, 没 有 平 局, 但 5=3+1+1 表 明 两 场 踢 平, 矛 盾. 所 以 m =14,14=3 + 4 表 明 6 场 中 只 有 场 分 出 胜 负. 此 时 第 一 二 三 四 名 得 分 依 次 为 则 第 三 名 与 所 有 人 打 平, 那 么 第 二 名 没 有 了 平 局, 只 能 是 第 一 名 与 第 四 名 打 平, 这 样 第 一 名 还 有 1 局 胜, 第 二 名 还 有 1 局 负, 所 以 第 一 名 胜 第 二 名. 即 输 给 第 一 名 的 队 得 4 分. 如 下 图 所 示, 在 两 队 之 间 连 一 条 线 表 示 两 队 踢 平, 画 一 条 A B,, 表 示 A 胜 B, 各 队 用 它 们 的 得 分 来 表 示. 评 注 : 常 见 的 体 育 比 赛 模 式 N 个 队 进 行 淘 汰 赛, 至 少 要 打 N 1场 比 赛 : 每 场 比 赛 淘 汰 一 名 选 手 ; N( N 1) N 个 队 进 行 循 环 赛, 一 共 要 打 C N = 场 比 赛 : 每 个 队 要 打 N 1场 比 赛. 循 环 赛 中 常 见 的 积 分 方 式 : 1 两 分 制 : 胜 一 场 得 分, 平 一 场 得 1 分, 负 一 场 得 0 分 ; 核 心 关 系 : 总 积 分 = 比 赛 场 次 ; 三 分 制 : 胜 一 场 得 3 分, 平 一 场 得 1 分, 负 一 场 得 O 分 ; 核 心 关 系 : 总 计 分 =3 比 赛 场 次 -1 赛 平 场 次 支 足 球 队 进 行 单 循 环 比 赛, 即 每 两 队 之 间 都 比 赛 一 场. 每 场 比 赛 胜 者 得 3 分, 负 者 得 0 分, 平 局 各 得 1 分. 现 在 比 赛 已 进 行 了 4 轮, 即 每 队 都 已 与 4 个 队 比 赛 过, 各 队 已 赛 4 场 的 得 分 之 和 互 不 相 同. 已 知 总 得 分 居 第 三 位 的 队 共 得 7 分, 并 且 有 4 场 球 踢 成 平 局, 那 么 总 得 分 居 第 五 位 的 队 最 多 可 得 多 少 分? 最 少 可 得 多 少 分? 分 析 与 解 每 轮 赛 3 场, 最 多 产 生 3 3 = 9 分, 四 轮 最 多 4 9 = 36 分. 现 在 有 4 场 踢 成 平 局, 每 平 一 场 少 1 分, 所 以 总 分 为 = 3. 前 三 名 得 分 的 和 至 少 为 = 4. 所 以 后 三 名 的 得 分 的 和 至 多 为 3 4 = 8. 第 5 名 如 果 得 4 分, 则 后 三 名 的 得 分 的 和 至 少 为 = 9, 这 不 可 能, 所 以 第 5 名 最 多 得 3 分, 图 ( a ) 为 取 3 分 时 的 一 种 可 能 的 赛 况 图. 显 然 第 5 名 最 少 得 1 分, 图 (b) 为 取 1 分 时 的 一 种 可 能 的 赛 况 图.

37 评 注 : 以 下 由 第 5 名 得 分 情 况 给 出 详 细 赛 况 : 4. 某 商 品 的 编 号 是 一 个 三 位 数. 现 有 5 个 三 位 数 :874,765,13,364,95, 其 中 每 一 个 数 与 商 品 编 号, 恰 好 在 同 一 位 上 有 一 个 相 同 的 数 字. 那 么 这 个 三 位 数 是 多 少? 分 析 与 解 方 法 一 : 每 一 个 与 商 品 编 号, 恰 好 在 同 一 位 上 有 一 个 相 同 的 数 字. 五 个 数, 就 要 有 五 次 相 同, 列 出 这 五 个 数 :874,765, 13,364,95 百 位 上 五 个 数 各 不 相 同, 十 位 上 有 两 个 6 和 两 个, 个 位 上 有 两 个 4 和 两 个 5. 因 此, 商 品 编 号 的 个 位 数 字 一 定 和 给 定 5 个 数 中 的 两 个 个 位 数 字 相 同, 商 品 编 号 的 十 位 数 字 一 定 和 给 定 5 个 数 中 的 两 个 十 位 数 字 相 同, 商 品 编 号 的 百 位 数 字 只 能 跟 5 个 数 中 的 一 个 百 位 数 字 相 同. 若 商 品 编 号 的 个 位 数 字 是 5, 我 们 就 把 第 二 个 和 第 五 个 数 拿 走, 剩 下 的 三 个 数 的 十 位 数 字 各 不 相 同, 无 法 满 足 题 目 的 要 求 ( 事 实 上, 十 位 数 字 只 能 取 7, 而 十 位 上 只 有 一 个 7). 若 商 品 编 号 的 个 位 数 字 是 4, 拿 走 第 一 和 第 四 个 数 后, 十 位 上 仍 有 两 个, 可 取 十 位 数 字 为, 再 拿 走 第 三 和 第 五 个 数, 剩 第 二 个 数, 它 的 百 位 是 7, 所 以 商 品 的 编 号 为 74. 如 果 一 个 数 与 商 品 编 号 在 某 一 位 有 相 同 数 字, 那 么 这 个 数 与 商 品 编 号 不 会 再 有 另 外 相 同 数 字. 因 此 解 的 过 程 中 用 拿 走 这 一 说 法 是 恰 当 的. 方 法 二 : 商 品 编 号 的 个 位 数 字 只 可 能 是

38 如 果 是 3, 那 么 874,765,364,95 这 4 个 数 中 至 多 有 三 个 数 与 商 品 编 号 有 相 同 数 字 ( 百 位 有 一 个 相 同, 十 位 有 两 个 相 同 ), 还 有 一 个 数 与 商 品 编 号 无 相 同 数 字, 矛 盾. 如 果 是 5, 那 么 765,95 的 个 位 数 字 是 5, 从 而 商 品 号 码 的 十 位 数 字 不 是 6, 因 此 必 须 是 7. 这 时 中 至 少 有 一 个 与 商 品 号 码 无 相 同 数 字, 矛 盾. 所 以, 该 商 品 号 码 的 个 位 数 字 只 能 是 4, 而 且 这 个 号 码 应 为 74. 即 这 个 三 位 数 为 某 楼 住 着 4 个 女 孩 和 个 男 孩, 他 们 的 年 龄 各 不 相 同, 最 大 的 10 岁, 最 小 的 4 岁, 最 大 的 女 孩 比 最 小 的 男 孩 大 4 岁, 最 大 的 男 孩 比 最 小 的 女 孩 大 4 岁. 求 最 大 的 男 孩 的 岁 数. 分 析 与 解 本 题 中 最 大 的 孩 子, 可 能 是 男 孩, 可 能 是 女 孩. 当 最 大 的 孩 子 为 女 孩 时, 即 最 大 的 女 孩 为 10 岁, 那 么 最 小 的 男 孩 为 10-4 = 6 岁, 则 4 岁 定 是 最 小 的 女 孩, 那 么 最 大 的 男 孩 是 4+4:8 岁, 满 足 题 意 ; 当 最 大 的 孩 子 为 男 孩 时, 即 最 大 的 男 孩 为 10 岁, 那 么 最 小 的 女 孩 为 10 4=6 岁. 则 4 岁 一 定 时 最 小 的 男 孩, 那 么 最 大 的 女 孩 为 4+4=8 岁, 也 就 是 说 4 个 年 龄 不 同 的 女 孩 的 年 龄 在 6 8 之 间, 显 然 得 不 到 满 足. 于 是, 最 大 的 男 孩 为 8 岁.. 6. 某 次 考 试 满 分 是 100 分,A,B,C,D,E 这 5 个 人 参 加 了 这 次 考 试. A 说 : 我 得 了 94 分. B 说 : 我 在 5 个 人 中 得 分 最 高. C 说 : 我 的 得 分 是 A 和 D 的 平 均 分, 且 为 整 数. D 说 : 我 的 得 分 恰 好 是 5 个 人 的 平 均 分. E 说 : 我 比 C 多 得 了 分, 并 且 在 5 个 人 中 居 第 二. 问 这 5 个 人 各 得 了 多 少 分? 分 析 与 解 B E 分 别 为 第 一 二 名,C 介 于 A D 之 间, 则 当 A 为 第 三 时,C 为 第 四,D 为 第 五, 得 5 人 平 均 分 的 人 为 最 后 一 名, 显 然 不 满 足. 于 是 D C A 只 能 依 次 为 第 三 四 五 名, 有 B E D C A 依 次 为 第 一 二 三 四 五 名,A 为 94 分,C 为 D A 得 平 均 分, 且 为 整 数, 所 以 D 的 得 分 为 偶 数, 只 可 能 为 98 或 96( 如 果 为 100, 则 B E 无 法 取 值 ),D C A 得 分 依 次 为 或 , 有 E 比 C 高 分, 则 E D C A 得 分 依 次 为 或 对 应 5 个 人 的 平 均 分 为 98 或 96, 而 B 的 得 分 对 应 为 104 或 98, 显 然 B 得 不 到 104 分. 所 以 B E D C A 的 得 分 只 能 依 次 是 在 一 次 射 击 练 习 中, 甲 乙 丙 3 位 战 士 各 打 了 4 发 子 弹, 全 部 中 靶. 其 命 中 情 况 如 下 : 1 每 人 4 发 子 弹 所 命 中 的 环 数 各 不 相 同 ;

39 每 人 4 发 子 弹 所 命 中 的 总 环 数 均 为 17 环 ; 3 乙 有 发 命 中 的 环 数 分 别 与 甲 其 中 的 发 一 样, 乙 另 发 命 中 的 环 数 与 丙 其 中 的 发 一 样 : 4 甲 与 丙 只 有 1 发 环 数 相 同 ; 5 每 人 每 发 子 弹 的 最 好 成 绩 不 超 过 7 环. 问 : 甲 与 丙 命 中 的 相 同 环 数 是 几? 分 析 与 解 条 件 较 多, 一 次 直 接 求 出 满 足 所 有 条 件 的 情 况 有 些 困 难, 争 把 条 件 分 类, 再 逐 个 满 足 之. 第 一 步 : 使 用 枚 举 法 找 出 符 合 每 发 最 多 不 超 过 7 环 四 发 子 弹 命 中 的 环 型 不 相 同, 和 为 17 环 的 所 有 情 况 ; 第 二 步 : 在 这 些 情 况 中 去 掉 不 符 合 条 件 3 4 的, 剩 下 的 就 是 符 合 全 部 条 利 的 情 况, 即 为 答 案. 满 足 条 件 1 5 的 只 有 如 下 四 种 情 况 : 甲 乙 丙 A = 17( 杯 ) 都 有 1和 7; B = 17( 杯 ) C = 17( 杯 ) 都 有 4和 5 D = 17( 杯 ) 从 上 述 四 个 式 子 中 看 出 式 A 与 式 B 有 数 字 1 7 相 同 ; 式 B 与 式 D 有 数 字 4 和 5 相 同. 式 B 既 与 式 A 有 两 个 数 字 相 同, 又 与 式 D 有 两 个 数 字 相 同, 式 B 就 是 乙. 式 A 与 式 D 对 应 为 甲 和 丙. 式 A 与 式 D 相 同 的 数 字 是 6, 所 以 甲 和 丙 相 同 的 环 数 是 6. 内 容 概 述 第 0 讲 列 方 程 解 应 用 题 列 方 程 解 决 问 题 是 一 种 很 重 要 的 通 法, 以 前 我 们 往 往 将 应 用 题 分 成 : 鸡 兔 同 笼 年 龄 问 题 还 原 问 题 等 等, 再 归 纳 出 每 一 类 问 题 的 解 法. 而 现 在 我 们 就 可 以 利 用 方 程 统 一 来 考 虑 这 些 问 题. 方 程 思 想 的 建 立 可 以 说 是 一 个 很 大 的 飞 跃. 下 面 我 们 就 如 何 找 好 等 量 关 系, 如 何 建 立 方 程 给 出 一 些 示 范, 希 望 大 家 体 会 掌 握 以 提 高 自 己 的 解 题 能 力.

40 典 型 问 题 1 1. 有 一 篮 子 鸡 蛋 分 给 若 干 人, 第 一 人 拿 走 1 个 鸡 蛋 和 余 下 的 9, 1 第 二 人 拿 走 个 和 余 下 的 9, 第 三 人 1 拿 走 3 个 和 余 下 的 9,, 最 后 恰 好 分 完, 并 且 每 人 分 到 的 鸡 蛋 数 相 同, 问 : 共 有 多 少 鸡 蛋? 分 给 几 个 人? 分 析 与 解 设 原 有 x 个 鸡 蛋, 那 么 第 一 人 拿 了 1 8 ( 1) 9 9 x + 个 鸡 蛋 ( 1) 8 + x = + ( x 1) ( 1) 9 x 个 鸡 蛋, 第 二 人 拿 了 解 得 x = 64 1, 则 第 一 人 拿 了 1 + (64 1) = 8 个 鸡 蛋, 所 以 共 有 64 8=8 人. 9 即 共 有 64 个 鸡 蛋, 分 给 8 个 人.. 某 人 每 日 下 午 5 时 下 班 后 有 一 辆 汽 车 按 时 接 他 回 家. 有 一 天, 他 提 前 l 小 时 下 班, 因 汽 车 未 到, 遂 步 行 返 家, 在 途 中 遇 到 来 接 他 的 汽 车, 因 而 比 平 日 早 16 分 钟 到 家, 问 此 人 是 步 行 几 分 钟 后 遇 见 汽 车 的? 分 析 与 解 设 此 人 在 步 行 x 分 钟 以 后 遇 见 汽 车, 汽 车 的 速 度 为 1, 汽 车 从 家 到 单 位 需 要 y 分 钟. 由 家 到 单 位 的 总 路 程 为 y, 如 果 汽 车 在 4 时 就 在 单 位 接 他, 他 应 该 提 前 1 小 时 到 家, 但 是 现 在 只 提 前 16 分 钟 到 家, 说 明 相 对 汽 车 他 在 x 分 钟 这 段 路 程 上 耽 搁 44 分 钟, 所 以 汽 车 走 这 段 路 程 只 需 要 x -44 分 钟. 而 汽 车 是 从 5:00- y 从 家 出 发, 在 4:00+ x 达 到 相 遇 点. 所 以 行 驶 x + y -60 分 钟. x 44 + ( x + y 60) = y, 有 x 104 = 0, x = 5. 所 以, 此 人 是 在 步 行 5 分 钟 后 遇 见 汽 车 的. 3. 一 次 数 学 竞 赛 中 共 有 A B C 三 道 题,5 名 参 赛 者 每 人 至 少 答 对 了 一 题. 在 所 有 没 有 答 对 A 的 学 生 中, 答 对 B 的 人 数 是 答 对 C 的 人 数 的 两 倍, 只 答 对 问 题 A 的 人 数 比 既 答 对 A 又 至 少 答 对 其 他 一 题 的 人 数 多 1. 又 已 知 在 所 有 恰 好 答 对 一 题 的 参 赛 者 中, 有 一 半 没 有 答 对 A. 请 问 有 多 少 学 生 只 答 对 B?

41 分 析 与 解 设 不 只 答 对 A 的 为 x 人, 仅 答 对 B 的 为 y 人, 没 有 答 对 A 但 答 对 B 与 C 的 为 z 人. 5 x y = 解 得 : 3, z = 3 3x y z, x 6, x =7 时, y z 都 是 正 整 数, 所 以 x = 7, y = 6, z = 故 只 答 对 B 的 有 6 人. 4. 河 水 是 流 动 的, 在 Q 点 处 流 入 静 止 的 湖 中, 一 游 泳 者 在 河 中 顺 流 从 P 到 Q, 然 后 穿 过 湖 到 R, 共 用 3 小 时. 若 他 由 R 到 Q 再 到 P, 共 需 6 小 时. 如 果 湖 水 也 是 流 动 的, 速 度 等 于 河 水 的 速 度, 那 么 从 P 到 Q 再 到 R 需 5 小 时. 问 在 这 样 的 条 件 下, 从 R 到 Q 再 到 P 需 几 小 时? 分 析 与 解 设 游 泳 者 的 速 度 为 1, 水 速 为 y,pq=a,qr=b, 则 有 :, 且 有 1+y 1 y y 均 不 为 0. by 1 1- 得 1+ y = 1+ y, 即 b = 4 y

42 a + y 3(1 y ) 3-1 得 = 3, 即 a = 5 1 y y 由 4 5 得 5 1+ y (1 + y) = a + b = (4 3 y), 即 5y = 4 3y. y 于 是, 1 y = 由 得 a + b = (1 + ) =. 4 a + b = (1 ) = 小 时. 1 y 4 即 题 中 所 述 情 况 下 从 R 到 Q 再 到 P 需 15 小 时. 内 容 概 述 第 4 讲 应 用 题 综 合 较 为 复 杂 的 以 成 本 与 利 润 溶 液 的 浓 度 等 为 内 容 的 分 数 与 百 分 数 应 用 题. 要 利 用 整 数 知 识, 或 进 行 分 类 讨 论 的 综 合 性 和 差 倍 分 问 题. 典 型 问 题 1. 某 店 原 来 将 一 批 苹 果 按 100% 的 利 润 ( 即 利 润 是 成 本 的 100%) 定 价 出 售. 由 于 定 价 过 高, 无 人 购 买. 后 来 不 得 不 按 38% 的 利 润 重 新 定 价, 这 样 出 售 了 其 中 的 40%. 此 时, 因 害 怕 剩 余 水 果 腐 烂 变 质, 不 得 不 再 次 降 价, 售 出 了 剩 余 的 全 部 水 果. 结 果, 实 际 获 得 的 总 利 润 是 原 定 利 润 的 30.%. 那 么 第 二 次 降 价 后 的 价 格 是 原 定 价 的 百 分 之 多 少? 分 析 与 解 第 二 次 降 价 的 利 润 是 : (30.%-40% 38%) (1-40%)=5%,

43 价 格 是 原 定 价 的 (1+5%) (1+100%)=6.5%. 仁 华 学 校 6 年 级 奥 数 思 维 导 引 下 教 师 版. 某 商 品 76 件, 出 售 给 33 位 顾 客, 每 位 顾 客 最 多 买 三 件. 如 果 买 一 件 按 原 定 价, 买 两 件 降 价 10%, 买 三 件 降 价 0%, 最 后 结 算, 平 均 每 件 恰 好 按 原 定 价 的 85% 出 售. 那 么 买 三 件 的 顾 客 有 多 少 人? 分 析 与 解 3 (1-0%)+1 100%=340%=4 85%, 所 以 1 个 买 一 件 的 与 1 个 买 三 件 的 平 均, 正 好 每 件 是 原 定 价 的 85%. 由 于 买 件 的, 每 件 价 格 是 原 定 价 的 1-10%=90%, 所 以 将 买 一 件 的 与 买 三 件 的 一 一 配 对 后, 仍 剩 下 一 些 买 三 件 的 人, 由 于 3 ( 90%)+ (3 80%)=1 85%. 所 以 剩 下 的 买 三 件 的 人 数 与 买 两 件 的 人 数 的 比 是 :3. 于 是 33 个 人 可 分 成 两 种, 一 种 每 人 买 4 件, 一 种 每 5 人 买 1 件. 共 买 76 件, 所 以 后 一 种 ( ) ( )=5( 人 ). 其 中 买 二 件 的 有 :5 3 5 =15( 人 ). 前 一 种 有 33-5=8( 人 ), 其 中 买 一 件 的 有 8 =4( 人 ). 于 是 买 三 件 的 有 =14( 人 ). 3. 甲 容 器 中 有 纯 酒 精 11 立 方 分 米, 乙 容 器 中 有 水 15 立 方 分 米. 第 一 次 将 甲 容 器 中 的 一 部 分 纯 酒 精 倒 入 乙 容 器, 使 酒 精 与 水 混 合 ; 第 二 次 将 乙 容 器 中 的 一 部 分 混 合 液 倒 人 甲 容 器. 这 样 甲 容 器 中 的 纯 酒 精 含 量 为 6.5%, 乙 容 器 中 的 纯 酒 精 含 量 为 5%. 那 么, 第 二 次 从 乙 容 器 倒 入 甲 容 器 的 混 合 液 是 多 少 立 方 分 米? 分 析 与 解 设 最 后 甲 容 器 有 溶 液 x 立 方 分 米, 那 么 乙 容 器 有 溶 液 ( x ) 立 方 分 米. 有 6.5% x +5% (6- x )=11, 解 得 x =1, 即 最 后 甲 容 器 有 溶 液 1 立 方 分 米, 乙 容 器 则 有 溶 液 6-1=14 立 方 分 米. 而 第 二 次 操 作 是 将 乙 容 器 内 溶 液 倒 入 甲 容 器 中, 所 以 乙 溶 液 在 第 二 次 操 作 的 前 后 浓 度 不 变, 那 么 在 第 二 次 操 作 前, 即 第 一 次 操 作 后, 乙 容 器 内 含 有 水 15 立 方 分 米, 则 乙 容 器 内 溶 液 15 (1-5%):0 立 方 分 米. 而 乙 容 器 最 后 只 含 有 14 立 方 分 米 的 溶 液, 较 第 二 次 操 作 前 减 少 了 0-14=6 立 方 分 米, 这 6 立 方 分 米 倒 给 了 甲 容 器. 即 第 二 次 从 乙 容 器 倒 入 甲 容 器 的 混 合 液 是 6 立 方 分 米.

44 年 我 国 粮 食 总 产 量 达 到 4500 亿 千 克, 年 人 均 375 千 克. 据 估 测, 我 国 现 有 耕 地 1.39 亿 公 顷, 其 中 约 有 一 半 为 山 地 丘 陵. 平 原 地 区 平 均 产 量 已 超 过 每 公 顷 4000 千 克, 若 按 现 有 的 潜 力, 到 030 年 使 平 原 地 区 产 量 增 产 七 成, 并 使 山 地 丘 陵 地 区 产 量 增 加 二 成 是 很 有 把 握 的. 同 时 在 0 世 纪 末 把 我 国 人 口 总 数 控 制 在 1.7 亿 以 内, 且 在 1 世 纪 保 持 人 口 每 年 的 自 然 增 长 率 低 于 千 分 之 九 或 每 十 年 自 然 增 长 率 不 超 过 10%. 请 问 : 到 030 年 我 国 粮 食 产 量 能 超 过 年 人 均 400 千 克 吗? 试 简 要 说 明 理 由. 分 析 与 解 山 地 丘 陵 地 区 耕 地 为 亿 公 顷, 那 么 平 原 地 区 耕 地 为 =0.69 亿 公 顷, 因 此 平 原 地 区 耕 地 到 030 年 产 量 为 : =469( 亿 千 克 ); 山 地 丘 陵 地 区 的 产 量 为 :( ) 1.=088( 亿 千 克 ); 粮 食 总 产 量 为 =6780( 亿 千 克 ). 而 人 口 不 超 过 ( 亿 ), 按 年 人 均 400 千 克 计 算. 共 需 =6760( 亿 千 克 ). 所 以, 完 全 可 以 自 给 自 足. 5. 要 生 产 基 种 产 品 100 吨, 需 用 A 种 原 料 00 吨,B 种 原 料 00.5 吨, 或 C 种 原 料 吨, 或 D 种 原 料 19 吨, 或 E 种 原 料 180 吨. 现 知 用 A 种 原 料 及 另 外 一 种 ( 指 B,C,D,E 中 的 一 种 ) 原 料 共 19 吨 生 产 此 种 产 品 10 吨. 试 分 析 所 用 另 外 一 种 原 料 是 哪 一 种, 这 两 种 原 料 各 用 了 多 少 吨? 分 析 与 解 我 们 知 道 题 中 情 况 下, 生 产 产 品 100 吨, 需 原 料 190 吨 生 产 产 品 100 吨, 需 A 种 原 料 00 吨,00 > 190, 所 以 剩 下 的 另 一 种 原 料 应 是 生 产 100 吨, 需 原 料 小 于 190 吨 的,B C D E 中 只 有 E 是 生 产 100 吨 产 品 只 需 180 吨 (180 < 190), 所 以 另 一 种 原 料 为 E, 设 A 原 料 用 了 x 吨, 那 么 E 原 料 用 了 19- x 吨, 即 可 生 产 产 品 10 吨 : x 100 +(19- x ) =10, 解 得 x =10. 即 A 原 料 用 了 10 吨, 而 E 原 料 用 了 19-10=9 吨. 6. 有 4 位 朋 友 的 体 重 都 是 整 千 克 数, 他 们 两 两 合 称 体 重, 共 称 了 5 次, 称 得 的 千 克 数 分 别 是 99,113, 15,130,144. 其 中 有 两 人 没 有 一 起 称 过, 那 么 这 两 个 人 中 体 重 较 重 的 人 的 体 重 是 多 少 千 克? 分 析 与 解 在 已 称 出 的 五 个 数 中, 其 中 有 两 队 之 和, 恰 好 是 四 人 体 重 之 和 是 43 千 克, 因 此 没 有 称 过 的 两 人 体 重 之 和 为 43-15=118( 千 克 ). 设 四 人 的 体 重 从 小 到 大 排 列 是 a b c d, 那 么 一 定 是 a +b =99, a + c :=113.

45 因 为 有 两 种 可 能 情 况 : a + d =118,b + c =15; 或 b + c =118. a + d =15. 因 为 99 与 113 都 是 奇 数, b =99- a, c =113- a, 所 以 b 与 c 都 是 奇 数, 或 者 b 与 c 都 是 偶 数, 于 是 b + c 一 定 是 偶 数, 这 样 就 确 定 了 b + c =118. a b c 三 数 之 和 为 :( ) =165. b c 中 较 重 的 人 体 重 是 c, c =( a +b + c )-( a +b )=165-99=66( 千 克 ). 没 有 一 起 称 过 的 两 人 中, 较 重 者 的 体 重 是 66 千 克. 补 充 选 讲 问 题 1 A B C 四 个 整 数, 满 足 A+B+C=001, 而 且 1<A<B<C, 这 四 个 整 数 两 两 求 和 得 到 六 个 数, 把 这 6 个 数 按 从 小 到 大 排 列 起 来, 恰 好 构 成 一 个 等 差 数 列 请 问 :A B C 分 别 为 多 少? 试 题 分 析 我 们 注 意 到 : 11+A<1+B<1+C<A+B<A+C<B+C 1+A<1+B<A+B<1+C<A+C<B+C 这 两 种 情 况 有 可 能 成 立. 先 看 11+A<l+B<l+C<A+B<A+C<B+C (A-1):(B-1):(C-1)=:3:4,A+B+C=001 A-1+B-l+C-1=1998. 于 是 A-l= =444,A=444+1=445; B= l=667;c= l=889. 再 看 l+a<l+b<a+b<1+c<a+c<b+c (A-1):(B-1):(C-1)=1::4,A+B+C=001.

46 A-1+B-1+C-1=1998. 仁 华 学 校 6 年 级 奥 数 思 维 导 引 下 教 师 版 于 是 A-1= ,A 不 是 整 数, 所 以 不 满 足. 于 是 A 为 445,B 为 667,C 为 甲 乙 两 人 参 加 同 一 场 考 试, 又 同 时 在 上 午 10 点 离 开 考 场, 同 时 午 饭. 但 甲 说 : 我 是 在 午 饭 前 小 时 与 考 试 开 始 后 1.5 小 时 这 两 个 时 间 中 较 早 的 一 个 时 间 离 开 考 场 的. 乙 说 : 我 是 在 午 饭 前.5 小 时 与 考 试 后 1 小 时 这 两 个 时 间 中 较 晚 的 一 个 时 间 离 开 考 场 的. 求 考 试 开 始 和 午 饭 开 始 的 时 间. 分 析 与 解 由 题 中 条 件 知, 午 饭 前 小 时, 考 试 开 始 后 1.5 小 时, 早 者 为 10 点 ; 于 是, 有 两 种 情 况 : 第 一 种 情 况 : 午 饭 开 始 前 小 时 较 早, 为 10 点, 有 午 饭 (10+=)1 点 开 始, 而 考 试 开 始 后 1.5 小 时 应 超 过 10 时, 即 考 试 开 始 的 时 间 在 8 点 30 分 以 后 ; 那 么 午 饭 前.5 小 时 为 1-.5 为 9 点 30 分, 而 考 试 开 始 后 1 小 时 在 9 点 30 分 后, 所 以, 晚 者 为 考 试 开 始 后 1 小 时, 为 10 点, 所 以 10-1=9 点 开 始 考 试 的 ; 第 二 种 情 况 : 考 试 开 始 后 1.5 小 时 较 早, 为 10 点, 有 为 8 点 30 分 开 始 考 试, 午 饭 前 小 时 超 过 10 点, 则 午 饭 应 在 1 点 以 后 ; 那 么 午 饭 前.5 小 时 应 在 9 点 30 分 之 后, 而 考 试 后 1 小 时 为 9 点 30 分, 有 午 饭 前.5 小 时 为 晚 者, 为 10 点, 所 以 午 饭 是 在 即 1 点 30 分 开 始 的. 综 合 这 两 种 情 况, 有 下 表 内 容 概 述 第 17 讲 赛 况 分 析 赛 况 分 析 是 一 些 学 校 近 年 考 试 的 热 点, 我 们 再 给 出 几 例, 希 望 大 家 在 掌 握 了 下 面 的 知 识 点 以 后, 多 多 练 习. 常 见 的 体 育 比 赛 模 式 : N 个 队 进 行 淘 汰 赛, 至 少 要 打 N-1 场 比 赛 : 每 场 比 赛 淘 汰 一 名 选 手 ;

47 N 个 队 进 行 循 环 赛, 一 共 要 打 C 仁 华 学 校 6 年 级 奥 数 思 维 导 引 下 教 师 版 N N N-1 = ( ) 场 比 赛 : 每 个 队 要 打 N-1 场 比 赛. 循 环 赛 中 常 见 的 积 分 方 式 : 1 两 分 制 : 胜 一 场 得 分, 平 一 场 得 1 分, 负 一 场 得 0 分 ; 核 心 关 系 : 总 积 分 = 比 赛 场 次 ; 三 分 制 : 胜 一 场 得 3 分, 平 一 场 得 1 分 负 一 场 得 0 分 ; 核 心 关 系 : 总 计 分 =3 比 赛 场 次 一 1 赛 平 场 次. 典 型 问 题. 一 次 围 棋 比 赛 共 有 10 名 选 手 参 加, 他 们 分 别 来 自 甲 乙 丙 三 个 队, 每 队 不 少 于 人, 每 个 人 都 与 其 他 的 9 人 比 赛, 每 盘 胜 者 得 分, 负 者 得 0 分, 平 居 各 得 1 分. 结 果 乙 队 平 均 得 分 为 5. 分, 丙 队 平 均 分 17 分, 试 求 甲 队 的 平 均 分. 分 析 与 解 因 为 每 队 的 总 分 均 为 整 数, 所 以 乙 队 为 5 人, 那 么 乙 队 的 总 为 6 分. 考 虑 丙 队 的 情 况 : 选 手 所 能 得 到 的 最 高 分 为 18 分, 而 丙 队 中 的 最 高 不 少 于 17 分. 当 最 高 分 为 18 分, 次 高 分 至 多 为 16 分, 第 三 名 至 多 14 分,, 前 两 名 的 平 均 分 为 17 分. 当 最 高 分 为 17 分, 次 高 分 至 多 为 17 分, 第 三 名 至 多 14 分,, 第 一 名 / 前 两 名 的 平 均 分 为 17 分. 因 为 丙 队 不 少 于 人, 所 以 丙 队 人, 则 丙 队 的 总 分 为 34 分. 所 以 甲 队 有 10-5-=3 人, 总 分 为 C 6 34 = 30 分, 所 以 平 均 分 为 30 3=10 分 五 支 足 球 队 进 行 单 循 环 赛, 每 两 队 之 间 进 行 一 场 比 赛. 胜 一 场 得 3 分, 平 一 场 得 1 分, 负 一 场 得 0 分. 最 后 发 现 各 队 得 分 都 不 相 同, 第 三 名 得 了 7 分, 并 且 和 第 一 名 打 平, 那 么 这 五 支 球 队 的 得 分 从 高 到 低 依 次 是 多 少? 分 析 与 解 每 个 队 各 赛 4 场, 共 赛 5 4 :10 场. 第 三 名 得 7 分, 与 第 一 名 打 平, 那 么 剩 下 的 3 场, 得 6 分, 只 能 是 3+3+0, 即 第 二 名 的 比 赛 输 了, 所 以 只 能 是 1+0+/+3+3. 那 么, 第 一 名 为 / , 第 二 名 为 0+/+3+3+3, 第 三 名 为 1+0+/+3+ 第 四 名 为 /+3, 第 五 名 为 /. 所 以, 这 五 支 球 队 的 得 分 从 高 到 低 依 次 是 有 五 支 足 球 队 进 行 循 环 赛, 每 两 个 队 之 间 进 行 一 场 比 赛, 胜 者 得 3 分, 平 者 各 得 1 分, 负 者 得 0 分. 现 在 还 有 一 些 比 赛 没 有 进 行, 各 个 队 目 前 的 得 分 恰 好 是 五 个 连 续 的 偶 数, 其 中 甲 队 积 分, 并 且 负 于 乙 队, 那 么 乙 队 现 在 积 多 少 分? 分 析 与 解 最 高 分 为 3 4=1, 而 赛 完 后 5 支 队 伍 的 最 高 分 为 C 3=30 分, 因 为 出 现 分, 所 以 5 个 连 续 的 偶 数, 可 能 是 ;

48 但 是, =30 分, 而 还 有 些 比 赛 没 有 进 行, 所 以 只 能 是 甲 : ~, 乙 :3+1+~, 丙 :1+~, 丁 :1+~, 戊 :~ 所 以, 只 能 是 戊 为 0 分. 1 当 乙 为 8 分 时, 只 能 是 3+/+1+1+3, 因 为 丙 丁 在 我 们 看 来 完 全 等 价, 当 丁 为 6 分 时 1+1+~+1+3, 此 时 丙 只 能 是 4 分, 只 能 是 1+1+~+1+1, 而 这 时 戊 一 定 有 得 分. 所 以 不 满 足. 当 乙 为 6 分 时, 只 能 是 3+/+0+0+3, 当 丙 为 8 分 时 1+3+/+1+3, 此 时 丁 只 能 是 4 分, 但 是 只 能 是 /+~, 超 过 4 分. 所 以 不 满 足. 3 当 乙 为 4 分 时, 只 能 是 3+/+l+0+~, 当 丁 为 8 分 时 l+3+1+/+3, 此 时 丙 只 能 为 6 分, 为 1+1+/+l+3. 满 足. 所 以, 乙 的 得 分 为 五 支 足 球 队 A B C D E 进 行 单 循 环 比 赛, 即 每 两 队 之 间 都 比 赛 一 场. 每 场 比 赛 胜 者 得 分, 负 者 得 0 分, 平 局 各 得 1 分. 已 知 :(1)4 队 获 得 了 冠 军 ;()B 队 C 队 和 D 队 的 得 分 相 同, 且 无 其 它 并 列 情 况 ;(3) 在 C 队 参 加 的 比 赛 中, 平 局 只 有 一 场, 那 场 的 对 手 是 B 队 ;(4)D 队 战 胜 了 A 队. 请 你 根 据 上 述 信 息, 分 析 出 每 场 比 赛 的 胜 平 负 情 况. 分 析 与 解 根 据 已 知 条 件 可 以 画 出 如 下 赛 况 图 : 因 为 每 场 比 赛 个 队 共 得 分, 所 以 5 个 队 的 总 分 为 C =0 分. (1) 当 B C D 均 得 分, 而 A 最 多 得 到 6 分,E 最 少 得 到 0-3-6=8 分, 超 过 A, 而 A 是 冠 军, 所 以 不 满 足 ; () 当 B C D 均 得 3 分, 此 时 E 的 得 分 最 少 为 =5 分, 所 以 此 时 只 能 是 A 得 6 分,B C D 均 得 3 分,E 得 5 分. 于 是,A 的 另 外 三 场 均 是 A 胜 5 E 于 是 只 能 一 场 平, 另 外 的 场 为 胜. 由 条 件 3 知,E 不 可 能 与 C 平, 所 以 只 能 是 与 B 或 D 打 平. 1 当 E 与 D 平, 有, 有 如 左 下 图 的 赛 况 表.

49 当 E 与 B 平, 有, 有 如 右 上 图 的 赛 况 表. (3) 当 B C D 均 得 4 分, 因 为 C 只 能 平 一 场 得 到 1 分, 而 其 他 情 况, 要 么 得 到 分, 要 么 不 得 分, 所 以 不 可 能 ; (4) 当 B C D 均 得 5 分, 那 么 只 能 是 A 得 5 分,E 得 0 分, 不 满 足. 综 上 所 述, 有 种 赛 况 表 满 足, 内 容 概 述 第 8 讲 数 论 综 合 3 具 有 相 当 难 度, 需 要 灵 活 运 用 各 种 整 数 知 识, 或 与 其 他 方 面 内 容 相 综 合 的 数 论 同 题. 典 型 问 题. 有 3 个 自 然 数, 其 中 每 一 个 数 都 不 能 被 另 外 两 个 数 整 除, 而 其 中 任 意 两 个 数 的 乘 积 却 能 被 第 三 个 数 整 除. 那 么 这 样 的 3 个 自 然 数 的 和 的 最 小 值 是 多 少? 分 析 与 解 设 这 三 个 自 然 数 为 A,B,C, 且 A= a b,b= b c,c= c a, 当 a b c 均 是 质 数 时 显 然 满 足 题 意, 为 了 使 A,B,C 的 和 最 小, 则 质 数 a b c 应 尽 可 能 的 取 较 小 值, 显 然 当 a b c 为 3 5 时 最 小, 有 A= 3=6, B=3 5=15,C=5 =10. 于 是, 满 足 这 样 的 3 个 自 然 数 的 和 的 最 小 值 是 = 对 于 两 个 不 同 的 整 数, 如 果 它 们 的 积 能 被 和 整 除, 就 称 为 一 对 好 数, 例 如 70 与 30. 那 么 在 1,,, 16 这 16 个 整 数 中, 有 好 数 多 少 对?

50 分 析 与 解 设 这 两 个 数 为 a b, 且 a <b, 有 a b = k ( a +b ), 即 =. a b k a = 3 a = 4 当 k = 时, 有 + =, 即 ( a -) ( b -)= =4, 有,, 但 是 要 求 a b. 所 以 只 有 a b b = 6 b = 4 a = 3 满 足 ; b = a = 4 a = 6 当 k =3 时, 有 + =, 即 ( a -3) ( b -3)=3 =9, 有,, 但 是 要 求 a b. 所 以 只 有 a b 3 b = 1 b = 6 a = 4 满 足 ; b = 1 逐 个 验 证 k 的 值, 好 数 对 有 3 与 6,4 与 1,6 与 1,10 与 15. 所 以 好 数 对 有 4 个. 6. 甲 乙 两 人 进 行 下 面 的 游 戏 : 两 人 先 约 定 一 个 自 然 数 N, 然 后 由 甲 开 始, 轮 流 把 0,1,,3,4,5,6, 7,8,9 这 10 个 数 字 中 的 一 个 填 入 图 8-1 的 某 个 方 格 中, 每 一 方 格 只 能 填 一 个 数 字, 但 各 方 格 所 填 的 数 字 可 以 重 复. 当 6 个 方 格 都 填 有 数 字 后, 就 形 成 一 个 六 位 数. 如 果 这 个 六 位 数 能 被 N 整 除, 那 么 乙 获 胜 ; 如 果 这 个 六 位 数 不 能 被 N 整 除, 那 么 甲 获 胜. 设 N 小 于 15, 问 当 N 取 哪 几 个 数 时. 乙 能 取 胜? 分 析 与 解 当 N 取,4,6,8,10,1,14 这 7 个 偶 数 时, 当 甲 将 某 个 奇 数 放 到 最 右 边 的 方 格 中, 则 这 个 六 位 数 一 定 是 奇 数, 奇 数 显 然 不 能 被 偶 数 整 除, 所 以 此 时 乙 无 法 取 胜 ; 而 当 N 取 5 时, 当 甲 在 最 右 边 的 方 格 内 填 人 一 个 非 0 非 5 的 数 字 时, 则 这 个 六 位 数 一 定 不 能 被 5 整 除, 所 以 此 时 乙 无 法 获 胜 : 此 时 还 剩 下 1,3,7,9,11,13 这 6 个 数, 显 然 当 N 取 l 时, 乙 一 定 获 胜 ; 当 N 取 3 或 9 时, 只 要 数 字 对 应 是 3 或 9 的 倍 数 时, 这 个 六 位 数 就 能 被 对 应 的 3 或 9 整 除, 显 然 乙 可 以 做 到 ; 当 N 取 7,1l 或 13 时, 只 要 前 三 位 数 字 和 与 后 三 位 数 字 和 的 差 对 应 是 7,11,13 的 倍 数 时, 这 个 六 位 数 就 对 应 是 7,11,13 的 倍 数, 乙 可 以 做 到. 于 是, 当 N 取 1,3,7,9,11,13 时, 乙 适 当 的 操 作 能 保 证 自 己 一 定 获 胜.