作为教学工具的数学史

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1 邹 腾 :19 世 纪 数 学 史 家 丹 麦 数 学 的 先 驱 者 赵 瑶 瑶 汪 晓 勤 ( 华 东 师 范 大 学 数 学 系, 上 海, ) 摘 要 : 作 为 19 世 纪 法 国 几 何 学 泰 斗 沙 勒 最 好 的 和 最 忠 实 的 弟 子, 丹 麦 数 学 家 邹 腾 继 承 了 沙 勒 的 有 关 理 论, 进 一 步 发 展 了 枚 举 几 何 学 在 数 学 史 方 面, 他 开 创 了 古 希 腊 数 学 史 研 究 传 统, 成 为 19 世 纪 末 最 重 要 的 数 学 史 家 之 一 邹 腾 为 丹 麦 数 学 登 上 国 际 舞 台 做 出 了 杰 出 的 贡 献, 对 丹 麦 大 学 数 学 教 育 产 生 了 深 远 的 影 响, 成 为 丹 麦 现 代 数 学 的 先 驱 者 对 于 后 人 而 言, 邹 腾 的 学 术 成 就 和 人 格 情 操 都 是 一 笔 宝 贵 的 精 神 财 富 关 键 词 : 邹 腾 ; 枚 举 几 何 学 ; 数 学 史 ; 希 腊 数 学 19 世 纪 下 半 叶 是 丹 麦 历 史 上 十 分 重 要 的 时 期 新 思 潮 的 引 入 民 主 宪 法 的 颁 布 铁 路 的 建 设 电 报 的 应 用 工 业 大 公 司 的 涌 现 新 创 造 发 明 的 叠 出, 所 有 这 一 切 都 深 刻 地 改 变 着 这 个 北 欧 国 家 的 社 会 人 们 开 始 崇 尚 理 性 重 视 自 然 科 学, 数 学 的 发 展 获 得 了 良 好 的 契 机 在 文 法 学 校, 数 学 课 程 的 地 位 日 益 提 高 ; 拥 有 大 学 数 学 学 位 的 年 轻 人 有 了 更 多 的 机 会 进 文 法 学 校 任 教 ; 数 学 和 自 然 科 学 专 业 从 哥 本 哈 根 大 学 哲 学 系 分 离 出 来 ; 专 业 数 学 杂 志 创 刊 ; 私 人 组 织 的 数 学 会 议 也 开 始 出 现 ; 丹 麦 数 学 会 成 立 有 人 把 19 世 纪 70 年 代 称 为 丹 麦 近 代 数 学 的 剧 变 期 [1] 在 这 个 特 殊 的 历 史 时 期, 有 一 位 数 学 家 为 自 己 的 祖 国 登 上 世 界 数 学 大 舞 台 做 出 了 杰 出 的 贡 献, 成 了 丹 麦 数 学 的 先 驱 者 之 一 他 就 是 本 文 的 主 人 公 邹 腾 (H. G. Zeuthen, 1839~1920) 邹 腾 这 个 名 字 对 大 多 数 普 通 中 国 人 来 说, 或 许 还 很 陌 生, 事 实 上, 介 绍 他 的 英 文 资 料 也 并 不 多 见 但 这 丝 毫 无 损 于 他 在 丹 麦 乃 至 世 界 数 学 史 上 的 地 位 和 影 响 邹 腾 的 整 个 职 业 生 涯 几 乎 都 是 在 哥 本 哈 根 度 过 的, 但 是 世 界 上 每 个 代 数 几 何 学 家 都 不 会 不 知 道 他 的 名 字 作 者 简 介 赵 瑶 瑶 (1982-), 女, 华 东 师 范 大 学 数 学 系 硕 士 研 究 生, 主 要 从 事 数 学 史 与 数 学 教 育 研 究 ; 汪 晓 勤 (1966-), 男, 博 士, 华 东 师 范 大 学 数 学 系 副 教 授, 主 要 从 事 数 学 史 与 数 学 教 育 研 究 - 1 -

2 他 也 是 19 世 纪 最 重 要 的 数 学 史 家 之 一, 我 们 今 天 所 了 解 的 古 希 腊 数 学 知 识 很 大 一 部 分 源 于 他 的 深 刻 的 历 史 研 究 1 求 学 时 期 邹 腾 于 1839 年 2 月 15 日 出 生 在 丹 麦 的 格 日 米 斯 托 (Grimstrup) 父 亲 邦 邹 腾 (F. L. B. Zeuthen, 1805~1874) 是 一 位 教 会 牧 师 邹 腾 祖 父 的 祖 父 是 一 位 名 叫 劳 理 得 森 邹 腾 (J. L. Zeuthen, 1573~1628) 的 牧 师, 他 曾 在 奥 胡 斯 (Aarhus) 的 拉 丁 学 校 读 书, 在 那 里, 老 师 给 他 取 了 邹 腾 (Zeuthenites) 这 个 拉 丁 姓 氏, 由 此 他 也 成 为 了 第 一 个 邹 腾 邦 邹 腾 是 一 位 聪 明 博 学 的 牧 师 年 轻 时, 他 如 饥 似 渴 地 读 书, 学 习 了 几 何 拉 丁 文 和 历 史 之 后, 他 又 着 迷 于 哲 学 和 神 学, 并 最 终 获 得 了 博 士 学 位 1835 年, 与 21 岁 的 劳 柏 (M. H. J. Laub) 结 为 伉 俪 他 们 有 三 儿 二 女 这 是 一 个 非 常 幸 福 美 满 的 家 庭, 孩 子 们 都 很 尊 敬 和 爱 戴 他 们 的 父 母 母 亲 劳 柏 是 一 位 牧 师 的 女 儿, 受 父 亲 的 影 响, 一 生 持 守 着 一 份 坚 定 的 宗 教 信 仰 她 温 柔 聪 慧 严 肃 快 乐 她 与 邦 邹 腾 为 孩 子 们 的 成 长 提 供 了 一 个 十 分 理 想 的 家 庭 环 境 父 亲 正 直 严 肃 内 向 自 律, 并 未 在 宗 教 思 想 上 直 接 影 响 他 的 孩 子 们, 但 他 却 是 小 邹 腾 的 启 蒙 老 师, 培 养 了 小 邹 腾 对 科 学 和 文 学 的 兴 趣, 以 及 不 迷 信 权 威 用 批 判 的 眼 光 看 待 一 切 问 题 的 倾 向 1849 年, 邹 腾 和 哥 哥 弗 雷 德 里 克 随 父 来 到 西 兰 岛 的 索 勒 (SorФ) 镇, 就 读 于 那 里 的 索 勒 学 院 索 勒 学 院 是 一 所 历 史 悠 久 的 著 名 中 学,1586 年 由 丹 麦 国 王 创 办, 索 勒 镇 正 是 因 为 这 所 学 校 而 发 展 起 来 的 虽 然 索 勒 学 院 是 一 所 传 统 的 寄 宿 学 校, 但 从 1822 年 起 它 也 接 受 像 邹 腾 兄 弟 这 样 的 走 读 生 兄 弟 俩 在 索 勒 学 院 主 修 的 是 大 学 预 科 的 课 程, 包 括 拉 丁 文 希 腊 文 数 学 法 文 德 文 和 希 伯 来 文 早 期 多 种 语 言 的 学 习 为 邹 腾 后 来 的 学 术 研 究, 特 别 是 数 学 史 研 究, 打 下 了 坚 实 的 基 础 邹 腾 的 学 习 成 绩 比 他 哥 哥 好, 以 全 校 第 一 的 优 异 成 绩 毕 业 邹 腾 在 成 长 过 程 中, 与 哥 哥 弗 雷 德 里 克 (F. Zeuthen, 1837~1915) 的 关 系 特 别 亲 密, 他 们 享 受 同 样 的 父 母 之 爱 接 受 同 样 的 学 校 教 育 持 有 同 样 的 宗 教 信 仰 弗 雷 德 里 克 后 来 成 了 一 位 有 名 的 牧 师 哥 哥 十 分 疼 爱 和 照 顾 邹 腾, 总 是 先 考 虑 弟 弟 的 需 要 1863 年, 当 邹 - 2 -

3 腾 还 在 巴 黎 学 习 时, 正 在 服 兵 役 的 弗 雷 德 里 克 致 信 父 亲, 要 求 父 亲 把 答 应 寄 给 他 过 圣 诞 的 钱 寄 给 弟 弟, 因 为 他 觉 得 弟 弟 会 更 好 地 使 用 这 笔 钱 此 外 当 邹 腾 在 科 学 界 崭 露 头 角 时, 弗 雷 德 里 克 既 高 兴 又 骄 傲, 也 尝 试 去 了 解 邹 腾 的 数 学 世 界 有 一 次, 邹 腾 给 一 个 大 学 纪 念 文 集 写 了 一 篇 文 章, 哥 哥 很 仔 细 地 研 读 了 该 文, 并 写 了 一 篇 短 评, 其 中 的 批 评 是 如 此 之 强 烈, 以 致 邹 腾 颇 受 打 击, 但 邹 腾 不 得 不 承 认 兄 长 的 批 评 是 正 确 的, 他 回 信 称, 自 己 以 前 从 未 听 到 过 如 此 尖 锐 的 批 评 在 索 勒 学 院, 邹 腾 结 识 了 彼 得 森 (P. C. J. Petersen, 1839~1910), 两 人 后 来 成 为 终 生 挚 友 彼 得 森 和 邹 腾 同 一 年 进 索 勒 学 院, 不 过 他 主 修 的 是 商 业 课 程, 其 中 包 括 数 学 与 自 然 科 学 以 及 法 德 英 文 就 学 期 间, 彼 得 森 完 全 着 迷 于 数 学, 他 常 常 和 邹 腾 彼 此 出 题, 还 曾 经 在 一 起 讨 论 过 三 等 分 角 问 题 1909 年, 邹 腾 回 忆 当 年 的 情 景 时 曾 说, 与 彼 得 森 的 相 识 与 多 年 合 作 让 他 在 科 学 研 究 上 受 益 良 多 1856 年, 彼 得 森 从 索 勒 学 院 毕 业, 进 丹 麦 工 学 院 ( 今 丹 麦 理 工 大 学 ) 就 读 土 木 工 程 专 业, 但 不 久 转 读 了 数 学 专 业 创 建 于 1829 年 的 丹 麦 工 学 院 培 养 了 很 多 在 丹 麦 工 业 化 进 程 中 扮 演 重 要 角 色 的 工 程 师 为 了 养 家 糊 口, 彼 得 森 一 边 学 习, 一 边 在 私 立 中 学 任 教 在 80 岁 生 日 接 受 哥 本 哈 根 大 学 校 报 采 访 时, 邹 腾 谈 到 了 他 在 索 勒 学 院 的 日 子 当 时 的 他 觉 得 数 学 是 一 门 特 别 简 单 的 科 目, 所 以 他 从 不 花 力 气 去 学 但 在 一 次 期 末 考 试 中 他 遇 到 了 麻 烦 口 试 部 分, 第 一 个 问 题 要 求 他 用 欧 几 里 得 的 方 法 证 明 勾 股 定 理 这 对 他 来 说 可 是 一 个 大 难 题, 因 为 不 能 像 其 他 问 题 那 样 靠 自 己 的 直 觉 去 做 了 平 时 他 可 都 是 靠 他 的 好 直 觉 打 天 下 的! 或 许 也 正 是 这 次 尴 尬 经 历, 让 他 明 白 数 学 自 身 也 有 不 容 忽 视 的 文 化 第 二 个 问 题 要 求 他 算 出 a b 的 乘 积, 他 又 依 靠 他 的 直 觉 给 出 了 答 案 ab, 浑 然 不 知 课 本 上 已 经 明 明 白 白 写 着 答 案 ab! 之 后 是 45 分 钟 的 代 数 笔 试 部 分, 由 于 另 外 一 个 学 生 比 他 早 交 卷, 邹 腾 觉 得 像 自 己 这 样 优 秀 的 学 生 不 应 该 还 呆 在 那 里 磨 蹭, 于 是 抓 紧 时 间 完 成 答 卷 由 于 他 的 匆 忙 交 卷, 居 然 忘 记 把 一 道 大 难 题 的 最 后 答 案 给 写 上 了 这 真 是 一 次 惨 痛 的 教 训, 难 怪 邹 腾 到 80 岁 还 记 忆 犹 新 邹 腾 的 字 写 得 很 糟 糕, 说 话 还 会 结 巴 索 勒 学 院 的 院 长 波 杰 森 (Bojesen) 曾 经 沮 丧 地 - 3 -

4 对 他 说 : 邹 腾 先 生, 将 来 你 能 做 什 么 呢? 不 能 做 牧 师, 因 为 在 讲 台 上 发 出 太 多 的 啊 啊 会 惹 听 众 发 笑 也 不 能 做 律 师, 因 为 没 有 一 个 部 门 主 任 能 忍 受 如 此 潦 草 的 字 迹 [1] 谁 也 没 有 想 到, 邹 腾 最 终 会 成 为 一 名 大 学 教 授, 并 且 还 当 上 丹 麦 艺 术 与 科 学 院 的 秘 书 虽 然 邹 腾 比 哥 哥 小 两 岁, 但 他 们 同 时 于 1857 年 从 索 勒 学 院 毕 业 之 后, 他 们 同 时 进 哥 本 哈 根 大 学 继 续 深 造 一 开 始, 他 们 和 姑 姑 索 菲 (Tante Sophie) 住 在 一 起 索 菲 觉 得 年 轻 人 都 需 要 吃 好 穿 好, 于 是 把 兄 弟 俩 照 顾 得 无 微 不 至 但 到 了 第 二 年, 兄 弟 俩 搬 到 了 柯 勒 吉 恩 ( Ehlers Kollegium) 的 学 生 宿 舍 在 农 学 院 学 习 的 弟 弟 史 蒂 芬 (H. S. Zeuthen, 1841~1929) 在 1859 和 1860 年 也 和 他 们 住 在 一 起 由 于 邹 腾 父 母 的 关 系, 兄 弟 俩 受 到 当 地 许 多 家 庭 的 欢 迎 和 优 待 很 快, 他 们 便 建 立 起 自 己 的 朋 友 圈 子, 其 中 很 多 人 后 来 都 成 了 丹 麦 的 名 流 学 生 时 代 的 生 活 也 不 尽 是 枯 燥 乏 味 的, 弗 雷 德 里 克 曾 在 1860 年 2 月 的 家 书 中 谈 到 一 次 狂 欢 节 的 情 景 辩 论 会 是 学 生 生 活 的 重 要 组 成 部 分 他 们 的 宿 舍 里 总 是 回 响 着 各 种 争 辩 的 声 音 : 诗 歌 戏 剧 哲 学 神 学 以 及 教 会 问 题, 他 们 无 所 不 谈 另 外, 还 有 一 些 正 式 的 辩 论 小 组 50 年 后, 当 邹 腾 回 忆 其 中 一 个 小 组 时 说 到 : 我 们 每 月 大 约 聚 一 次, 讨 论 科 学 社 会 政 治, 可 能 还 有 宗 教 问 题 与 其 他 小 组 不 同, 我 们 完 全 由 自 己 ( 而 不 是 应 邀 前 来 的 大 人 ) 组 织 和 展 开 讨 论 我 们 既 有 严 重 的 分 歧, 又 有 高 度 的 共 识, 因 此 这 些 讨 论 促 进 了 个 人 的 发 展 [2] 当 时, 这 些 小 组 的 水 平 已 经 相 当 高, 其 中 一 位 小 组 长 后 来 成 了 丹 麦 最 激 进 的 文 人, 另 一 位 小 组 长 后 来 成 了 丹 麦 最 保 守 的 宗 教 组 织 领 袖 1858 年, 在 以 优 异 成 绩 通 过 了 哲 学 考 试 之 后, 邹 腾 开 始 学 数 学 起 先, 他 打 算 去 读 工 程 学 学 位, 但 他 意 识 到 自 己 将 来 想 去 教 书, 于 是 就 在 1858 年 初 转 到 了 数 学 专 业 经 过 数 年 的 基 础 课 学 习 之 后, 邹 腾 开 始 独 立 钻 研 法 国 大 几 何 学 家 沙 勒 (M. Chasles, 1793~1880) 和 萨 勒 蒙 (G. Salmon, 1819~1904) 的 著 作 创 刊 于 1859 年 的 数 学 学 报 (Matematisk Tidsskrift) 是 丹 麦 历 史 上 第 一 份 数 学 期 刊 邹 腾 常 常 在 该 杂 志 上 提 出 问 题 刊 登 解 答, 还 发 表 各 方 面 的 小 文 章, 这 给 他 的 学 习 与 研 究 带 来 了 许 多 灵 感 他 后 来 在 自 传 里 谈 到, 不 管 这 些 文 章 对 读 者 来 说 是 否 重 要, 但 对 他 自 己 在 数 学 上 的 发 展 起 了 重 要 的 作 用 1862 年 春, - 4 -

5 邹 腾 获 得 硕 士 学 位 在 此 后 的 一 年 半 时 间 里, 邹 腾 继 续 在 数 学 领 域, 特 别 是 几 何 学 方 面 做 研 究 1863 年 秋, 24 岁 的 邹 腾 获 奖 学 金 去 巴 黎 学 习, 成 为 沙 勒 的 学 生 他 在 法 兰 西 学 院 和 巴 黎 大 学 听 沙 勒 和 其 他 著 名 数 学 家 的 课 七 十 高 龄 的 沙 勒 是 当 时 法 国 几 何 学 的 泰 斗 [3] 他 的 深 刻 的 洞 察 力 渊 博 的 学 识 以 及 对 学 生 所 表 现 出 的 友 善 与 大 度, 都 深 深 打 动 了 邹 腾 沙 勒 在 研 究 方 向 上 的 引 导 在 研 究 方 法 上 的 指 点 以 及 在 精 神 上 的 热 情 鼓 励 对 这 位 年 轻 的 丹 麦 数 学 家 产 生 了 深 远 的 影 响 通 过 沙 勒, 邹 腾 还 认 识 了 其 他 一 些 著 名 数 学 家, 包 括 法 国 数 学 家 达 布 (G. Darboux, 1842~1927) 德 国 数 学 家 克 莱 茵 (F. Klein, 1849~1925) 以 及 挪 威 数 学 家 李 ( S. Lie, 1842~ 1899) 1864 年 2 月, 普 鲁 士 和 奥 地 利 对 丹 麦 发 动 了 侵 略 战 争 4 月, 邹 腾 回 到 丹 麦, 应 征 参 加 炮 兵 军 官 训 练, 但 是 还 没 等 到 训 练 结 束, 战 争 就 于 当 年 10 月 以 丹 麦 的 战 败 而 结 束 到 了 1865 年 1 月, 参 加 训 练 的 人 员 有 机 会 离 开 军 营, 于 是, 邹 腾 提 前 8 个 月 退 役 他 又 回 到 了 柯 勒 吉 恩 的 学 生 宿 舍 邹 腾 重 拾 他 在 巴 黎 所 做 的 研 究 工 作, 进 一 步 发 展 了 沙 勒 关 于 平 面 圆 锥 曲 线 的 枚 举 理 论 6 月, 他 将 自 己 的 工 作 整 理 成 文 作 为 博 士 论 文 递 交, 同 年 10 月 22 日 被 答 辩 委 员 会 接 受,11 月 21 日 顺 利 通 过 答 辩, 获 得 数 学 博 士 学 位 在 柯 勒 吉 恩, 他 常 常 在 午 休 时 间 里 和 各 专 业 的 学 生 一 道, 一 边 喝 着 咖 啡, 一 边 天 南 地 北 地 高 谈 阔 论 1867 年 12 月 18 日 是 邹 腾 结 婚 的 大 喜 之 日, 他 搬 出 了 学 生 宿 舍 新 娘 是 他 的 挚 友 和 室 友 吉 佩 尔 森 (Emil Jespersen) 的 妹 妹 朱 丽 亚 (J. H. Jespersen, 1846~1876) 后 来, 邹 腾 又 结 了 两 次 婚, 第 一 任 妻 子 朱 丽 亚 去 世 后, 他 于 1879 年 再 娶 朱 丽 亚 的 姐 姐 玛 利 亚 (L. M. C. Jespersen, 1842~1886), 玛 利 亚 生 有 一 子 第 三 任 妻 子 是 索 非 亚 (S. C. F. Lawaetz, 1860~ 1936), 她 比 邹 腾 小 21 岁, 生 有 两 个 儿 子 和 一 个 女 儿 2 职 业 生 涯 从 1866 年 开 始 到 1869 年, 邹 腾 一 直 是 哥 本 哈 根 大 学 的 一 名 无 薪 讲 师 在 教 了 六 个 学 期 的 高 等 几 何 之 后, 他 又 教 了 一 个 学 期 的 动 力 几 何 学 无 薪 讲 师 顾 名 思 义 是 没 有 薪 水 的, 但 是 他 们 所 开 设 的 课 程 是 被 列 入 大 学 课 程 目 录 中 的 据 邹 腾 1909 年 回 忆, 在 他 的 学 生 时 代, - 5 -

6 很 少 有 人 敢 去 研 究 数 学, 因 为 这 是 一 个 没 有 面 包 的 领 域 然 而, 邹 腾 是 幸 运 的, 因 为 他 一 直 得 到 父 亲 的 资 助 1850 年, 数 学 与 自 然 科 学 专 业 从 哥 本 哈 根 大 学 哲 学 系 中 分 离 出 来, 独 立 成 系 1861 年, 丹 麦 数 学 家 斯 汀 (A. Steen, 1816~1886) 成 了 根 本 哈 根 大 学 数 学 与 自 然 科 学 系 的 第 一 个 数 学 教 授, 同 时 也 兼 任 工 学 院 的 数 学 教 授 在 当 时 的 丹 麦, 惟 有 这 两 所 高 校 设 有 数 学 教 职 虽 然 斯 汀 的 数 学 才 能 不 及 邹 腾, 但 他 却 是 邹 腾 的 伯 乐 1870 年, 在 斯 汀 的 极 力 推 荐 下, 邹 腾 被 聘 为 临 时 几 何 学 讲 师 1871 年 初, 斯 汀 在 哥 本 哈 根 大 学 成 功 添 设 了 第 二 个 数 学 教 职 [1] 同 年 7 月 4 日, 邹 腾 被 正 式 聘 为 数 学 助 理 教 授 1875 年, 数 学 与 自 然 科 学 系 任 命 他 为 教 授, 因 为 他 事 实 上 已 经 在 做 教 授 的 工 作 了 1883 年 5 月 1 日, 在 斯 汀 教 授 的 坚 持 下, 邹 腾 才 被 正 式 聘 任 为 副 教 授 1885 年, 斯 汀 教 授 退 休, 邹 腾 接 替 了 他 在 工 学 院 的 数 学 教 职 翌 年, 斯 汀 教 授 逝 世, 邹 腾 才 于 当 年 10 月 1 日 被 哥 本 哈 根 大 学 正 式 任 命 为 正 教 授 而 好 友 彼 得 森 在 1871 年 获 得 博 士 学 位 之 后 一 直 在 工 学 院 任 讲 师 1887 年, 在 当 时 全 丹 麦 唯 一 的 数 学 教 授 邹 腾 的 强 烈 要 求 下, 哥 本 哈 根 大 学 聘 任 彼 得 森 为 第 二 个 数 学 教 授 就 这 样, 索 勒 学 院 当 年 的 两 个 伙 伴 成 了 当 时 丹 麦 唯 一 一 所 大 学 惟 有 的 两 位 数 学 教 授, 此 后, 他 们 共 同 主 宰 了 丹 麦 数 学 界 整 整 40 年 ( ), 他 们 的 工 作 为 19 世 纪 末 丹 麦 数 学 赶 上 国 际 水 平 做 出 了 重 要 贡 献 多 年 来, 邹 腾 在 哥 本 哈 根 大 学 和 工 学 院 教 书 的 同 时, 编 写 了 解 析 几 何 流 体 静 力 学 动 力 学 图 解 静 力 学 圆 锥 曲 线 论 枚 举 几 何 学 以 及 数 学 史 方 面 的 课 本 或 讲 义 在 哥 本 哈 根 大 学, 邹 腾 还 开 课 给 学 生 介 绍 自 己 在 几 何 学 和 数 学 史 方 面 的 研 究 成 果 直 到 1910 年 2 月, 将 近 71 岁 的 邹 腾 终 于 到 达 工 作 年 龄 的 界 限, 不 得 不 退 休 了 在 哥 本 哈 根 大 学, 邹 腾 不 仅 是 一 位 数 学 教 授, 还 担 任 各 种 社 会 职 务, 积 极 参 与 学 校 管 理 从 1886 年 开 始 他 就 是 学 校 最 高 管 理 机 构 的 成 员 ; 从 1891 年 开 始 他 是 学 校 的 两 个 审 计 员 之 一 ; 他 也 曾 是 学 生 住 宿 管 理 机 构 的 主 席 ; 分 别 于 年 和 年 两 度 担 任 校 长 在 社 会 上, 他 也 积 极 参 与 各 种 社 会 组 织 的 工 作, 多 年 担 任 丹 麦 传 教 会 理 事 圣 雅 各 教 会 协 会 理 事, 哥 本 哈 根 教 会 建 设 基 金 会 理 事 等 等 邹 腾 一 生 中 与 数 学 学 报 结 下 了 不 解 之 缘 在 长 达 60 年 时 间 里, 他 一 直 协 助 该 期 刊 - 6 -

7 的 出 版 工 作, 从 1871 年 开 始 直 到 1889 年, 他 连 续 担 任 了 18 年 的 主 编 1 这 份 期 刊 随 着 邹 腾 的 声 誉 远 播 而 渐 渐 广 为 人 知, 常 常 被 称 为 邹 腾 杂 志, 一 如 德 国 的 克 雷 尔 杂 志 和 法 国 的 刘 维 尔 杂 志 此 外, 邹 腾 也 担 任 过 三 份 国 外 著 名 数 学 期 刊 巴 勒 摩 数 学 会 学 报 2 (Rendiconti del circolo Matematico di Palermo) 数 学 学 报 3 (Acta Mathematica) 数 学 科 学 公 报 4 (Bulletin des Sciences Mathématiques) 的 编 委 邹 腾 还 参 与 创 建 了 丹 麦 数 学 会 后 任 哥 本 哈 根 大 学 天 文 学 教 授 的 蒂 勒 (T. N. Thiele, 1838~1910) 最 早 提 出 创 建 数 学 会 的 设 想 1873 年 10 月 8 日, 哥 本 哈 根 大 学 数 学 教 授 斯 汀 在 学 会 成 立 大 会 开 幕 时 作 了 关 于 19 世 纪 丹 麦 数 学 发 展 史 的 论 文 会 上 制 定 了 学 会 规 章, 并 选 出 了 委 员 会 委 员 会 由 蒂 勒 邹 腾 和 彼 得 森 三 人 组 成, 当 时 的 邹 腾 还 是 根 本 哈 根 大 学 的 一 名 助 理 教 授, 而 他 的 挚 友 彼 得 森 则 是 丹 麦 工 学 院 的 数 学 讲 师 在 此 后 的 30 年 中, 邹 腾 和 彼 得 森 经 常 为 数 学 会 例 会 做 学 术 演 讲 1872 年 12 月 6 日,33 岁 的 邹 腾 当 选 丹 麦 皇 家 艺 术 与 科 学 院 院 士 约 5 年 后, 他 当 选 为 艺 术 与 科 学 院 的 秘 书, 仅 他 一 人 就 获 得 22 张 选 票, 而 其 余 候 选 人 一 共 才 得 到 11 张 选 票, 显 然, 邹 腾 是 这 一 重 要 职 位 的 众 望 所 归 的 候 选 人 之 后, 他 协 助 即 将 退 休 的 秘 书 的 工 作, 直 到 1878 年 10 月 1 日 正 式 接 任 秘 书 一 职 他 任 职 长 达 39 年, 是 所 有 秘 书 中 任 期 最 长 的 一 位, 每 五 年 一 次 的 重 选, 他 总 是 毫 无 异 议 地 再 次 当 选 1917 年, 由 于 年 龄 的 关 系, 他 主 动 要 求 退 出 选 举 作 为 艺 术 与 科 学 院 的 院 士, 邹 腾 做 了 很 多 数 学 和 数 学 史 演 讲, 但 大 多 数 演 讲 内 容 都 没 有 正 式 发 表 作 为 秘 书, 他 主 持 艺 术 与 科 学 院 的 日 常 工 作, 参 与 审 稿 批 阅 科 学 院 奖 金 方 案 记 录 科 学 院 日 志 起 草 书 信 和 提 案 等 等, 一 丝 不 苟 鞠 躬 尽 瘁 除 了 因 为 在 国 外 长 途 旅 行 而 缺 席 一 次 会 议 外, 他 没 有 错 过 科 学 院 的 其 他 任 何 会 议 1888 年 2 月 17 日, 邹 腾 与 同 事 联 合 发 起 了 一 项 允 许 在 艺 术 与 科 学 院 院 刊 上 使 用 外 语 的 运 第 一 任 主 编 是 提 奇 森 (Camillo Tychsen, 1826~1888)( ), 邹 腾 之 后, 第 三 和 第 四 任 主 编 分 别 为 朱 尔 (Christian S. Juel, 1855~1935)( ) 和 希 加 德 (P. Heegaard, 1871~1948)( ) 1918 年, 丹 麦 数 学 会 接 管 了 这 份 杂 志 意 大 利 的 巴 勒 摩 数 学 会 创 建 于 1884 年, 是 当 时 最 著 名 的 数 学 会 之 一, 拥 有 众 多 的 会 员, 包 括 外 籍 会 员 到 1914 年 5 月, 它 的 会 员 多 达 932 人, 其 中 美 国 和 德 国 会 员 各 有 141 人 巴 勒 摩 数 学 会 会 刊 创 办 于 1885 年,1887 年 出 版 第 一 期 1914 年 在 巴 勒 摩 数 学 会 成 立 30 周 年 之 际, 哥 丁 根 的 德 国 著 名 数 学 家 兰 道 (E. Landau, 1877~1938) 称 该 杂 志 是 当 时 世 界 上 最 好 的 数 学 杂 志 瑞 典 数 学 杂 志, 创 办 于 1882 年, 是 一 本 国 际 性 的 数 学 杂 志 法 国 数 学 杂 志, 创 办 于 1873 年 - 7 -

8 动, 引 起 丹 麦 学 术 界 的 激 烈 争 论 邹 腾 是 一 位 具 有 国 际 视 野 的 大 数 学 家, 他 十 分 重 视 国 际 交 流, 迫 切 希 望 丹 麦 的 学 术 早 日 走 向 世 界 他 认 为, 丹 麦 艺 术 与 科 学 院 拥 有 一 份 外 国 人 也 能 阅 读 的 机 关 刊 物 是 很 有 必 要 的, 可 以 藉 此 加 强 与 国 外 学 者 的 交 流, 有 利 于 艺 术 与 科 学 院 院 士 们 在 国 外 期 刊 上 发 表 论 文 ; 也 可 以 增 加 艺 术 与 科 学 院 的 国 际 影 响 提 高 其 国 际 知 名 度 然 而, 反 对 者 却 认 为, 在 丹 麦 出 版 物 中 夹 杂 其 他 语 言 并 不 合 适, 他 们 担 心 外 语 可 能 会 被 用 错, 各 种 语 言 中, 德 语 可 能 会 用 得 过 多, 那 就 可 能 会 重 蹈 他 人 覆 辙, 把 科 学 院 变 成 德 国 的 附 庸 后 来 双 方 达 成 妥 协 只 接 受 法 文, 争 论 才 得 以 暂 时 平 息 显 然, 这 次 运 动 对 于 数 学 学 报 也 产 生 了 影 响, 因 为 从 1890 年 开 始, 它 接 受 外 文 稿 件, 包 括 外 国 数 学 家 的 稿 件 第 一 次 世 界 大 战 之 后, 艺 术 与 科 学 院 遇 到 了 一 个 棘 手 的 政 治 难 题 战 争 期 间, 协 约 国 与 同 盟 国 的 科 学 界 断 绝 了 关 系 1918 年, 协 约 国 的 科 学 家 组 建 了 新 的 国 际 科 学 合 作 组 织 国 际 研 究 会 (International Research Council), 他 们 邀 请 中 立 国 的 科 学 家 加 入, 但 拒 绝 接 纳 战 败 的 同 盟 国 的 科 学 家 作 为 中 立 国 的 丹 麦 是 否 应 加 入 国 际 研 究 会? 这 引 起 丹 麦 科 学 界 的 争 论 邹 腾 和 他 的 合 作 者 丹 麦 著 名 语 言 学 家 海 伯 格 (J. L. Heiberg, 1854~1928) 提 出, 是 否 加 入 一 个 新 的 国 际 科 学 组 织 的 标 准 应 该 是 看 该 组 织 是 否 能 够 促 进 广 泛 的 ( 而 非 狭 隘 的 ) 国 际 合 作 的 恢 复 1819 年, 丹 麦 艺 术 与 科 学 院 加 入 了 国 际 研 究 会, 但 保 留 恢 复 战 前 已 有 国 际 合 作 的 权 利 [1] 历 史 雄 辩 地 证 明 : 邹 腾 和 海 伯 格 的 观 点 是 正 确 的 邹 腾 为 丹 麦 数 学 的 发 展 做 出 了 巨 大 贡 献, 并 为 丹 麦 争 得 了 许 多 国 际 荣 誉 他 的 博 士 论 文 是 丹 麦 大 学 论 文 标 准 提 高 后 20 年 内 的 第 一 篇 他 是 丹 麦 历 史 上 第 一 个 在 国 际 重 要 学 术 刊 物 上 发 表 大 量 论 文 的 数 学 家, 也 是 丹 麦 历 史 上 第 一 个 多 产 的 数 学 家, 共 发 表 论 文 约 150 篇, 出 版 著 作 10 部 另 外, 他 还 为 丹 麦 传 记 辞 典 撰 写 了 许 多 19 世 纪 丹 麦 数 学 家 的 传 记 继 沙 勒 1867 年 成 为 伦 敦 数 学 会 外 籍 会 员 之 后, 邹 腾 于 1875 年 当 选 为 该 会 外 籍 会 员 邹 腾 也 是 第 一 个 成 为 国 外 主 要 科 学 院 ( 共 计 16 个 ) 院 士 的 丹 麦 数 学 家 1888 年, 柏 林 科 学 院 授 予 他 斯 坦 纳 (Steiner) 奖, 表 彰 他 在 几 何 学 上 所 取 得 的 非 凡 成 就 1902 年, 在 挪 威 首 都 克 里 斯 蒂 安 ( 今 奥 斯 陆 ) 举 行 的 阿 贝 尔 百 年 诞 辰 纪 念 会 上, 他 被 授 予 荣 誉 数 学 博 士 学 位 他 担 任 了 1900 年 ( 巴 黎 ) 1904 年 ( 海 德 堡 ) 和 1909 年 ( 罗 马 ) 国 际 数 学 家 大 会 的 副 主 席 他 还 担 任 1909 年 在 瑞 典 首 都 斯 德 哥 尔 摩 举 行 的 第 一 届 斯 堪 的 纳 维 亚 数 学 家 大 会 的 副 主 席 - 8 -

9 3 学 术 成 就 1863 年, 邹 腾 在 熟 悉 了 恩 师 沙 勒 的 工 作 后, 便 开 始 自 己 的 枚 举 几 何 学 研 究 他 发 现 这 是 一 片 非 常 肥 沃 的 研 究 领 域, 在 这 方 面 他 最 初 的 成 果 是 他 的 博 士 论 文 求 圆 锥 曲 线 系 特 征 的 新 方 法, 后 来 该 文 被 译 成 法 文 发 表 在 法 国 的 新 数 学 年 刊 上 圆 锥 曲 线 系 之 特 征 概 念 是 沙 勒 提 出 来 的, 指 的 是 过 平 面 上 任 一 点 的 圆 锥 曲 线 数 以 及 与 平 面 上 任 一 已 知 直 线 相 切 的 圆 锥 曲 线 数, 这 两 个 数 确 定 了 一 个 圆 锥 曲 线 系 邹 腾 继 承 了 沙 勒 的 特 征 理 论, 同 时 也 提 出 自 己 的 新 方 法, 他 先 确 定 过 一 点 或 与 一 条 直 线 相 切 的 圆 锥 曲 线 数, 然 后 应 用 它 们 去 求 特 征 数 沙 勒 认 为 邹 腾 的 研 究 难 度 很 大, 赞 扬 他 严 谨 有 才 能 判 断 准 确 [4] 继 博 士 论 文 之 后, 邹 腾 在 枚 举 几 何 学 领 域 的 研 究 成 果 一 发 而 不 可 收 他 把 沙 勒 的 特 征 理 论 推 广 到 三 次 和 四 次 曲 线 系 [5][6], 正 如 沙 勒 所 评 论 的 那 样, 在 曲 线 一 般 理 论 中 跨 出 了 一 大 步 ; 他 将 沙 勒 的 对 应 原 理 用 于 德 国 数 学 家 普 吕 克 (J. Plücker, 1801~1868) 所 提 出 的 平 面 曲 线 奇 点 关 系 的 证 明, 并 完 善 了 英 国 数 学 家 凯 莱 (A. Caylay, 1821~1895) 关 于 空 间 曲 线 和 代 数 曲 面 奇 点 的 理 论 [7] ; 他 还 对 具 有 一 一 对 应 点 的 曲 线 或 曲 面 的 性 质 做 了 研 究 [8] 由 于 枚 举 几 何 方 面 的 杰 出 工 作, 邹 腾 被 人 们 公 认 为 是 沙 勒 最 好 最 忠 实 的 弟 子 1875 年 之 后, 邹 腾 的 研 究 领 域 更 广 泛 了 他 开 始 撰 写 力 学 方 面 的 著 作, 同 时 在 代 数 曲 面 理 论 方 面 做 出 了 重 要 贡 献 他 又 发 展 了 枚 举 运 算 : 计 算 与 给 定 曲 线 束 相 切 的 曲 线 的 数 目 由 于 几 何 学 的 走 势 逐 渐 趋 近 严 格, 导 致 这 个 理 论 被 忽 视 了 好 多 年, 直 到 近 年 来 用 它 计 算 出 了 一 些 著 名 的 数 值 结 果 之 后, 它 才 重 新 得 到 人 们 的 肯 定 [9] 19 世 纪 70 年 代 以 前, 人 们 丝 毫 没 有 看 出 沙 勒 的 数 学 史 研 究 对 邹 腾 有 何 影 响 然 而, 约 从 1876 年 开 始, 邹 腾 对 数 学 史 研 究 产 生 了 日 益 浓 厚 的 兴 趣, 他 的 研 究 方 向 开 始 拓 展 到 该 领 域 在 他 一 生 所 发 表 或 出 版 的 论 著 中, 数 学 史 论 著 约 有 40 余 种, 一 些 数 学 史 的 优 秀 课 本 相 继 被 翻 译 成 德 语 法 语 俄 语 和 英 语, 其 中 一 些 今 天 已 成 为 经 典 之 作 1903 年, 法 国 科 学 院 为 了 表 彰 他 在 数 学 史 领 域 所 做 的 贡 献, 授 予 他 首 届 比 努 (Binoux) 奖 邹 腾 认 为, 每 一 位 拿 数 学 学 位 的 学 生 都 应 该 熟 悉 欧 几 里 得 的 几 何 原 本 和 笛 卡 儿 的 几 何 学 在 写 于 1876 年 的 第 一 篇 数 学 史 论 文 中, 他 强 调 数 学 专 业 学 生 学 习 数 学 史 的 必 - 9 -

10 要 性, 他 认 为, 通 过 数 学 史 的 学 习, 学 生 不 仅 能 获 得 一 种 历 史 感, 而 且, 通 过 从 新 的 角 度 看 数 学 学 科, 他 们 将 对 数 学 产 生 更 敏 锐 的 理 解 力 和 鉴 赏 力 实 际 上, 邹 腾 在 课 堂 教 学 中 经 常 讲 述 数 学 史 波 尔 回 忆 道 : 在 与 学 生 谈 话 时, 邹 腾 很 喜 欢 带 领 我 们 大 家 回 溯 数 学 的 历 史 听 过 他 讲 课 的 人 永 远 都 不 会 忘 怀 我 们 真 幸 运, 在 这 些 课 上, 他 自 己 几 乎 一 直 在 滔 滔 不 绝 地 讲 [2] 邹 腾 的 第 一 部 重 要 的 数 学 史 著 作 是 1884 年 出 版 的 古 代 圆 锥 曲 线 的 历 史, 此 书 为 我 们 展 现 了 古 代 几 何 学 的 重 要 历 史, 恢 复 了 古 代 几 何 学 的 原 貌, 其 学 术 价 值 与 沙 勒 的 几 何 方 法 的 产 生 与 发 展 历 史 概 述 相 伯 仲 邹 腾 详 细 阐 述 了 阿 波 罗 尼 斯 关 于 圆 锥 曲 线 的 研 究, 发 现 阿 波 罗 尼 斯 是 利 用 斜 坐 标 系 得 出 圆 锥 曲 线 性 质 的, 还 发 现 他 是 通 过 两 束 直 线 的 投 影 来 生 成 圆 锥 曲 线 的 与 邹 腾 同 时 代 的 法 国 著 名 数 学 史 家 坦 纳 里 (P. Tannery, 1843~1904) 对 此 书 作 了 高 度 评 价 : 邹 腾 的 工 作 开 启 了 一 个 新 的 时 代 ; 在 他 之 前, 人 们 对 古 代 圆 锥 曲 线 历 史 的 认 识 是 不 完 整 的 邹 腾 不 仅 仅 为 我 们 提 供 了 一 把 开 启 历 史 的 钥 匙, 而 且 还 为 我 们 指 明 了 一 种 研 究 方 法, 使 我 们 不 再 误 入 歧 途 [10] 法 国 著 名 数 学 家 皮 卡 (É. Picard, 1856~1941) 称 : 可 以 说, 没 有 人 能 比 这 位 丹 麦 几 何 学 家 更 好 地 理 解 古 人 的 数 学 思 想 方 法 和 推 理 方 法 了! [10] 自 1885 年 起, 邹 腾 的 数 学 史 研 究 领 域 更 广, 研 究 问 题 更 趋 多 样 化, 并 保 持 着 丰 硕 的 成 果 他 研 究 了 微 积 分 最 初 的 发 展 历 史 以 及 无 理 数 理 论 的 起 源 等 他 的 研 究 极 富 启 发 性, 关 于 古 希 腊 数 学 的 众 多 研 究 成 果 被 英 国 著 名 数 学 史 家 希 斯 (T. L. Heath, 1861~1940) 写 进 他 的 名 著 希 腊 数 学 史 中 例 如, 泰 奥 多 鲁 斯 (Theodorus, 465~398 B.C.) 是 如 何 证 明 是 无 理 数 的? 邹 腾 推 测, 他 是 利 用 毕 达 哥 拉 斯 学 派 熟 悉 的 求 两 正 整 数 最 大 公 约 数 的 方 法 借 助 反 证 法 来 证 明 的 [11] 世 纪 之 交, 学 术 界 兴 起 了 对 古 希 腊 数 学 的 系 统 研 究 邹 腾 和 坦 纳 里 等 人 开 创 了 一 种 研 究 传 统, 其 目 标 是 通 过 对 欧 几 里 得 几 何 原 本 这 样 的 原 始 文 献 进 行 技 术 性 和 理 论 性 分 析, 以 此 重 构 公 元 前 5-4 世 纪 希 腊 数 学 的 发 展 情 况 1896 年, 邹 腾 出 版 了 一 部 更 具 影 响

11 力 的 数 学 史 著 作 古 代 与 中 世 纪 数 学 史 [12], 该 书 原 文 是 丹 麦 文, 后 来 相 继 被 译 成 法 文 和 德 文 等, 中 国 学 者 也 曾 计 划 将 其 译 成 中 文 书 中, 他 着 重 讲 述 那 些 对 教 师 和 学 生 来 说 非 常 必 要 的 数 学 史 知 识, 用 通 俗 的 语 言 将 过 去 的 数 学 概 念 带 回 到 了 今 天 邹 腾 描 述 了 大 量 真 实 的 历 史 细 节, 展 现 了 数 学 概 念 从 原 始 的 简 单 形 式 到 今 天 相 对 完 整 的 形 式 的 缓 慢 发 展 过 程 因 此 这 本 书 在 学 生 和 教 师 之 间 广 受 好 评 此 书 导 言 部 分 简 要 介 绍 了 史 前 数 学 以 及 古 代 埃 及 与 巴 比 伦 的 数 学, 全 书 分 三 部 分 详 细 介 绍 了 古 希 腊 印 度 以 及 中 世 纪 的 数 学 古 希 腊 数 学 部 分 首 先 介 绍 了 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 数 学 以 及 几 何 代 数 这 一 具 有 古 希 腊 特 色 的 理 论 之 后 介 绍 了 其 他 代 数 以 及 几 何 方 面 的 内 容 如 开 方 比 例 的 一 般 理 论 球 面 几 何 希 腊 几 何 的 衰 落 等, 还 介 绍 了 几 何 原 本 第 诸 章 的 内 容 正 如 他 在 前 言 中 所 说, 在 介 绍 几 何 原 本 的 内 容 时, 他 尝 试 对 所 引 用 的 每 一 个 内 容 加 上 注 解, 以 便 读 者 能 更 好 地 理 解 并 欣 赏 这 些 历 史 著 作 他 以 尽 可 能 贴 近 读 者 的 方 式 去 呈 现 古 代 著 作 中 的 思 想 和 方 法, 因 为 他 觉 得 读 者 很 少 有 机 会 阅 读 这 些 原 始 文 献 邹 腾 用 几 何 原 本 来 解 释 古 希 腊 数 学 家 们 所 严 格 遵 循 的 逻 辑 形 式, 他 并 没 有 像 其 他 学 者 那 样 发 表 支 持 或 者 反 对 的 意 见, 他 只 是 研 究 了 这 些 严 格 形 式 本 身 的 内 在 特 征, 并 且 告 诉 世 人, 他 的 目 的 是 保 存 这 些 历 史 遗 产 不 让 其 丢 失 印 度 数 学 部 分 重 点 介 绍 了 数 的 符 号 演 算, 代 数 理 论 以 及 几 何 中 世 纪 部 分 重 点 介 绍 了 阿 拉 伯 的 算 术 代 数 和 三 角 学 以 及 欧 洲 数 学 邹 腾 为 我 们 理 解 古 希 腊 数 学 提 供 了 重 要 的 视 角 例 如, 邹 腾 认 识 到, 作 图 在 古 代 被 认 为 是 一 种 存 在 性 证 明, 波 尔 认 为, 这 一 发 现 具 有 划 时 代 的 意 义 另 一 个 例 子 是, 邹 腾 曾 经 推 断, 古 希 腊 人 是 借 助 直 觉 的 无 穷 小 方 法 求 得 结 果, 然 后 再 用 穷 竭 法 对 结 果 加 以 证 明 的 1906 年, 海 伯 格 在 土 耳 其 君 士 坦 丁 堡 ( 今 伊 斯 坦 布 尔 ) 的 耶 路 撒 冷 圣 墓 隐 修 院 发 现 了 遗 失 的 阿 基 米 德 重 要 著 作 方 法 的 手 抄 本, 证 实 了 邹 腾 的 推 断 : 阿 基 米 德 在 方 法 中 正 是 利 用 无 穷 小 方 法 ( 阿 基 米 德 只 将 其 看 作 发 现 的 手 段 ) 获 得 曲 边 形 ( 抛 物 弓 形 ) 面 积 和 曲 面 体 ( 球 椭 球 体 等 ) 体 积 的, 而 已 知 的 阿 基 米 德 著 作, 如 论 球 与 圆 柱 论 劈 锥 曲 面 体 和 球 体 论 抛 物 弓 形 求 积 等 都 是 用 穷 竭 法 对 有 关 结 果 作 出 严 格 证 明 的 之 后, 海 伯 格 与 邹 腾 在 数 学 文 献 上 联 合 发 表 了 新 发 现 的 阿 基 米 德 著 作 一 文, 其 中 海 伯 格 提 供 了 原 文 的 翻 译, 邹 腾 做 了 长 篇 评 注 [13] 邹 腾 认 为, 我 们 不 应 该 只 是 盲 目 地 去 问 : 古 人 用 他 们

12 的 原 始 方 法 能 够 做 些 什 么, 而 是 要 重 新 检 查 这 些 方 法, 看 它 们 是 否 并 不 如 我 们 想 像 的 有 效, 是 否 在 今 天 已 毫 无 用 处 海 伯 格 和 邹 腾 的 合 作 可 谓 珠 联 璧 合 相 得 益 彰 邹 腾 曾 经 说 过, 他 需 要 求 助 于 那 些 有 深 厚 文 学 功 底 又 关 注 数 学 史 的 人, 这 个 人 就 是 海 伯 格 了 他 们 的 每 次 合 作 总 会 给 人 们 带 来 惊 喜, 他 们 的 名 声 也 因 此 远 播 国 内 外 关 于 古 希 腊 数 学, 邹 腾 的 重 要 贡 献 之 一 是 几 何 代 数 观 点 的 提 出 在 邹 腾 看 来, 欧 几 里 得 的 几 何 原 本 第 二 卷 就 像 是 一 本 用 几 何 语 言 写 的 代 数 书 例 如 命 题 4: 如 果 一 条 直 线 段 被 任 意 分 成 两 段, 那 么 整 段 长 度 的 平 方 就 等 于 两 小 段 长 度 的 平 方 和 加 上 以 两 小 段 为 2 2 边 长 的 矩 形 面 积 的 两 倍 这 就 是 代 数 恒 等 式 ( a b) = a + b + 2ab 2 + 的 几 何 描 述 邹 腾 将 这 种 用 几 何 命 题 来 解 决 代 数 问 题 的 方 法 称 为 几 何 代 数 后 来 有 人 对 此 提 出 异 议, 如 罗 马 尼 亚 - 以 色 列 科 学 史 家 萨 贝 泰 (Sabetai Unguru) 认 为, 几 何 原 本 第 二 卷 前 十 个 命 题 可 以 翻 译 成 今 天 的 代 数 形 式, 并 不 等 于 古 希 腊 数 学 家 知 道 这 种 形 式, 几 何 代 数 之 说 唐 突 天 真 从 历 史 上 看 站 不 住 脚 [14], 但 以 范 德 瓦 登 (B. L. van der Waerden, 1903~1996) 为 代 表 的 数 学 史 家 们 则 支 持 并 继 承 了 邹 腾 的 这 种 对 于 古 希 腊 数 学 的 诠 释, 今 天, 几 何 代 数 法 已 经 成 为 人 们 熟 悉 的 古 希 腊 数 学 方 法 1903 年, 邹 腾 出 版 世 纪 的 数 学 史 书 中, 邹 腾 一 方 面 介 绍 了 世 纪 的 代 数 学 和 解 析 几 何, 其 中 大 篇 幅 描 述 了 笛 卡 儿 和 韦 达 的 工 作 另 一 方 面, 邹 腾 也 介 绍 了 微 积 分 的 历 史, 除 了 牛 顿 和 莱 布 尼 兹 的 工 作 外, 邹 腾 还 特 别 讨 论 了 牛 顿 的 老 师 英 国 数 学 家 巴 罗 (I. Barrow 1630~1677) 对 微 积 分 的 诞 生 所 起 的 重 要 作 用 1917 年, 邹 腾 又 出 版 归 功 于 科 学 推 理 的 数 学 改 革 从 柏 拉 图 到 欧 几 里 得 一 书 [15] 该 书 简 单 回 顾 了 柏 拉 图 的 逻 辑 思 想, 以 及 他 所 提 出 的 科 学 推 理 的 一 些 特 征, 着 重 分 析 欧 几 里 得 几 何 原 本 中 的 推 理 方 法 通 过 介 绍 几 何 原 本 中 角 概 念 的 起 源 无 穷 小 量 的 研 究 二 次 方 程 求 解 立 体 体 积 等 问 题, 分 析 了 欧 几 里 得 所 使 用 的 推 理 方 法, 体 现 了 从 原 始 的 直 觉 想 像 到 通 过 图 形 变 换 到 证 明 的 一 般 化 再 到 表 述 的 一 般 化 这 样 一 个 发 展 过 程 虽 然 在 他 的 著 作 中, 邹 腾 常 常 很 自 然 地 引 用 或 者 参 考 其 他 学 者 的 发 现, 然 而, 他 的 结

13 论 从 本 质 上 看 都 是 在 仔 细 研 究 原 始 文 献 后 所 得 到 的 邹 腾 总 是 力 求 使 自 己 的 想 法 与 古 代 数 学 家 的 想 法 相 融 和, 以 期 对 这 些 古 代 文 献 及 方 法 的 价 值 作 出 客 观 评 价 与 其 他 科 学 史 家 不 同 的 是, 邹 腾 总 是 把 自 己 放 在 与 古 代 数 学 家 同 等 的 地 位 上 来 解 读 古 代 文 献 从 1876 年 开 始 研 究 数 学 史 起, 他 一 直 用 严 谨 的 态 度 来 分 析 数 学 的 历 史, 力 求 全 面 完 整 地 追 溯 前 人 的 成 就 对 邹 腾 的 著 作, 人 们 的 评 价 是 : 阅 读 他 的 数 学 史 著 作 是 倾 听 历 史 的 很 好 的 途 径, 读 者 在 了 解 古 代 数 学 家 生 平 轶 事 的 同 时 也 准 确 把 握 了 他 们 的 著 作 邹 腾 和 康 托 (M. Cantor, 1829~1920) 被 公 认 为 是 19 世 纪 末 最 重 要 的 两 位 数 学 史 家 但 是 两 者 的 研 究 方 法 截 然 不 同 康 托 是 史 料 的 集 大 成 者, 他 所 关 注 的 是 每 一 位 数 学 家 所 做 的 工 作 他 搜 集 了 从 古 代 到 18 世 纪 的 不 计 其 数 的 一 手 或 二 手 文 献, 将 这 些 资 料 以 及 观 点 融 合 成 为 数 学 的 发 展 史, 并 把 它 串 到 人 类 的 文 明 史 中 在 某 种 程 度 上, 康 托 的 数 学 史 缺 乏 对 这 些 数 学 内 容 之 间 内 在 逻 辑 关 系 的 分 析 邹 腾 则 是 一 位 思 想 敏 锐 的 数 学 家, 他 所 关 注 的 是 数 学 思 想 与 方 法 的 发 展 轨 迹 通 过 考 察 古 代 著 名 学 者 的 数 学 著 作, 展 现 其 中 的 数 学 方 法 及 其 逻 辑 联 系, 并 加 以 深 刻 的 分 析, 尝 试 去 把 握 其 中 的 基 本 思 想, 不 时 还 通 过 自 己 的 证 明 来 填 补 历 史 的 空 白 他 认 为, 数 学 思 想 是 独 立 于 时 代 的, 尽 管 其 表 达 方 式 会 随 时 代 而 改 变 ; 因 此 数 学 家 可 以 通 过 仔 细 分 析 前 人 的 工 作, 揭 示 出 他 们 的 动 机 与 思 想 邹 腾 总 是 强 调, 他 是 作 为 数 学 家 而 不 是 历 史 学 家 去 研 究 数 学 史 的 早 期, 康 托 的 数 学 史 讲 义 对 邹 腾 产 生 重 要 影 响, 邹 腾 称 此 书 以 非 同 一 般 的 完 整 以 及 值 得 信 任 的 方 式 再 现 历 史 事 实 [12], 他 也 谈 到 : 在 我 自 己 做 研 究 时, 康 托 的 著 作 让 我 看 到 了 更 多 重 要 的 历 史 资 料, 只 是 我 在 理 解 和 使 用 这 些 材 料 时, 持 有 不 同 的 观 点 [12] 后 来, 由 于 两 人 在 学 术 上 的 不 同 见 解 导 致 了 一 些 争 端, 也 影 响 到 了 他 们 的 个 人 关 系 邹 腾 是 数 学 史 名 家 中 唯 一 一 位 没 有 为 康 托 70 周 岁 生 日 写 纪 念 文 章 的 人 4 人 格 情 操 邹 腾 的 个 人 魅 力 是 有 目 共 睹 的, 他 的 谦 逊 与 才 华 更 加 凸 显 出 他 的 高 尚 情 操 从 他 工 作 以 及 生 活 中 的 点 点 滴 滴 中 我 们 都 可 以 感 受 到 这 位 受 人 敬 爱 的 数 学 家 的 风 采 1865 年, 当 他 的 博 士 论 文 还 在 印 刷 时, 收 到 了 恩 师 沙 勒 于 当 年 9 月 4 日 发 表 在 法 国 科

14 学 院 院 刊 的 论 文 文 中, 沙 勒 把 他 的 特 征 理 论 推 广 到 空 间 上 的 圆 锥 曲 线, 并 且 承 诺, 在 以 后 的 论 文 中, 他 会 把 他 的 理 论 推 广 到 二 次 曲 面 邹 腾 读 了 沙 勒 的 论 文 之 后, 便 在 自 己 博 士 论 文 的 最 后 加 了 一 段 评 论 那 个 夏 天, 邹 腾 显 然 将 沙 勒 的 理 论 推 广 到 了 二 次 曲 面 但 是, 无 论 是 在 这 段 评 论 中, 还 是 在 40 年 后 他 为 数 学 百 科 全 书 所 写 的 长 文 中, 邹 腾 都 没 有 提 及 自 己 当 时 的 研 究 事 实 上, 在 收 到 沙 勒 的 论 文 后 不 久, 他 就 向 丹 麦 艺 术 与 科 学 院 递 交 了 一 份 关 于 二 次 曲 面 的 手 稿, 他 把 论 文 装 在 一 个 密 封 的 信 封 里, 并 附 上 了 说 明 : 在 沙 勒 发 表 他 所 承 诺 的 论 文 之 前, 不 得 打 开 信 封 这 充 分 反 映 出 邹 腾 的 品 格 及 他 对 沙 勒 的 尊 敬 虽 然 他 已 经 做 出 了 结 果, 却 并 不 急 着 将 其 公 之 于 世, 而 是 等 到 老 师 的 论 文 发 表 之 后 当 邹 腾 的 论 文 公 布 之 后, 人 们 发 现 他 的 结 果 远 远 超 过 了 沙 勒 的 结 果 [2] 邹 腾 面 对 优 先 权 问 题 所 表 现 出 来 的 无 私 和 平 常 心 也 是 令 人 钦 佩 的 1873 年, 邹 腾 对 平 面 四 次 曲 线 作 了 深 入 研 究, 发 现 一 般 四 次 平 面 曲 线 的 24 个 拐 点 中 至 多 只 有 8 个 是 实 的 1875 年, 德 国 大 数 学 家 F 克 莱 茵 (F.Klein, 1849~1925) 推 广 了 这 一 结 果 : 一 般 n 次 平 面 曲 线 至 多 有 n(n-2) 个 实 拐 点, 正 好 是 总 拐 点 数 的 1/3 克 莱 茵 给 出 这 个 结 果 的 时 候, 并 没 有 提 到 邹 腾 的 工 作 对 于 这 件 事, 邹 腾 并 没 有 懊 恼 ; 相 反, 他 感 到 很 高 兴, 自 己 的 研 究 导 致 了 进 一 步 的 发 展 邹 腾 十 分 尊 重 前 人 所 做 的 数 学 工 作 他 相 信 每 个 人 都 是 持 一 份 美 好 的 信 念 去 做 研 究, 所 以 即 使 犯 了 错, 他 们 的 工 作 中 还 是 会 有 一 些 有 价 值 的 成 分 在 博 士 论 文 的 开 头, 他 讨 论 了 法 国 数 学 家 容 凯 尔 (J. P. E. Jonquières, 1820~1901) 于 1861 年 所 做 的 工 作 容 凯 尔 讨 论 了 法 国 数 学 家 毕 晓 夫 (Bischoff) 于 1859 年 给 出 的 枚 举 公 式, 得 出 与 5 条 直 线 相 切 的 圆 锥 曲 线 数 是 32, 但 事 实 上 正 确 答 案 是 1 对 此, 邹 腾 说 : 容 凯 尔 的 名 声 确 保 他 所 犯 错 误 是 绝 对 诚 实 的, 他 本 人 后 来 也 承 认 自 己 的 结 果 是 错 误 的 尽 管 结 果 是 错 的, 但 容 凯 尔 的 方 法 所 包 含 的 东 西 正 构 成 我 们 今 后 研 究 的 一 个 起 点 [2] 作 为 传 记 作 者, 邹 腾 的 措 辞 有 很 高 的 技 巧, 对 人 的 批 评 丝 毫 不 含 贬 低 意 味 沙 勒 曾 用 拉 丁 谚 语 无 母 的 雏 鸟 来 形 容 笛 卡 儿 的 几 何 学, 邹 腾 对 此 提 出 了 异 议 他 认 为 笛 卡 儿 的 思 想 实 际 上 来 源 于 别 的 数 学 家, 特 别 是 费 马 对 此, 他 写 道 : 沙 勒 的 赞 扬 并 不 过 份 确 实, 笛 卡 儿 的 思 想 超 越 了 他 的 前 人, 并 且 渗 入 到 了 更 广 阔 的 领 域, 标 志 着 数 学 发 展 新 时 期

15 的 来 临 但 是, 沙 勒 的 表 述 似 乎 完 全 误 导 了 我 们 [2] 1925 年, 邹 腾 的 两 位 学 生 为 庆 祝 他 们 与 老 师 25 年 后 的 重 聚 写 了 一 本 书, 其 中 回 忆 了 邹 腾 在 大 学 教 书 时 的 情 形 学 生 汉 森 (A. Hansen) 回 忆 说, 邹 腾 先 生 既 不 善 于 辞 令 也 不 风 趣, 但 却 是 一 位 友 善 慈 祥 的 老 人 他 对 自 己 的 专 业 和 听 众 都 表 现 出 了 无 比 的 热 忱 与 兴 趣, 他 总 是 把 课 讲 得 尽 可 能 清 晰 而 富 有 教 育 意 义 他 谦 逊, 不 摆 架 子, 学 生 常 常 能 从 他 那 里 得 到 一 些 中 肯 的 建 议 和 指 导 与 今 天 的 大 学 教 授 截 然 不 同, 邹 腾 担 任 几 乎 所 有 数 学 专 业 课 程 的 教 学 工 作, 伴 随 着 每 一 个 数 学 专 业 学 生 的 成 长 他 还 常 常 帮 助 学 生 找 工 作, 为 他 们 出 主 意 工 学 院 学 生 哈 特 曼 (J. Hartmann) 觉 得 邹 腾 说 起 话 来 不 会 中 断, 几 乎 都 在 结 巴, 但 与 他 所 流 露 出 来 的 对 数 学 的 热 爱 相 比, 这 一 缺 点 变 得 微 不 足 道 他 对 自 己 的 要 求 很 高, 有 一 次 他 对 自 己 的 课 感 到 不 满 意, 就 当 场 在 全 班 学 生 面 前 作 了 自 我 批 评, 承 诺 以 后 决 不 会 有 类 似 的 事 情 发 生 邹 腾 的 另 一 名 学 生 他 的 教 授 职 务 继 承 者 丹 麦 著 名 数 学 家 波 尔 (H. Bohr, 1887~1951) 60 岁 时 回 忆 起 自 己 1904 年 左 右 在 工 学 院 听 邹 腾 的 数 学 课, 写 道 : 正 是 邹 腾 教 授 这 位 杰 出 的 科 学 家 和 特 别 慈 爱 的 大 好 人, 对 我 们 这 些 学 生 产 生 了 最 为 深 刻 的 影 响 邹 腾 算 不 上 是 一 位 出 色 的 演 讲 者, 因 为 他 常 常 要 用 很 长 很 复 杂 的 句 子 来 表 达 自 己 的 意 思 虽 然 年 事 已 高, 但 对 于 教 新 生, 他 依 然 表 现 出 浓 厚 的 兴 趣 同 时, 他 也 十 分 尽 职, 总 是 亲 自 批 阅 布 置 给 我 们 的 作 业, 也 知 道 怎 样 给 我 们 写 一 些 富 有 启 发 性 的 评 论 记 得 有 一 次, 在 我 的 一 组 练 习 后 面, 留 下 了 他 那 独 特 的 笨 拙 的 笔 迹 : 通 过 不 同 的 坐 标 系, 用 多 种 方 法 来 解 同 一 个 问 题, 这 也 许 很 有 启 发 性, 但 你 要 记 住, 坐 标 系 本 身 只 是 一 种 工 具 而 已 [2] 邹 腾 不 仅 对 工 学 院 数 学 专 业 的 学 生, 而 且 也 对 土 木 工 程 专 业 的 学 生 产 生 了 巨 大 的 影 响 如, 后 来 成 为 工 学 院 名 师 的 奥 斯 登 夫 德 (A. S. Ostenfeld, 1866~1931) 即 为 其 中 之 一 邹 腾 深 受 学 生 和 同 事 的 尊 敬 与 爱 戴, 在 他 七 十 岁 生 日 时, 他 们 送 给 他 一 本 纪 念 文 集 八 十 华 诞, 他 们 把 他 的 肖 像 制 成 一 枚 纪 念 章, 并 举 办 了 数 学 界 的 庆 祝 会 邹 腾 自 比 圣 经 中 站 在 山 上 的 摩 西, 俯 瞰 应 许 之 地, 心 中 充 满 着 满 足 与 喜 乐 在 学 术 界 之 外, 他 也 备 受 尊 崇, 曾 先 后 于 1880 年 1898 年 和 1910 年 被 丹 麦 国 王 授 以 丹 麦 国 旗 骑 士 丹 麦 二 级 国 旗 骑 士

16 勋 章 和 丹 麦 一 级 国 旗 骑 士 勋 章 关 于 邹 腾 的 逝 世 时 间, 有 两 份 杂 志 曾 错 误 地 宣 布 为 1919 年 2 月 15 日 一 是 美 国 数 学 会 公 报, 一 是 数 学 教 学 ( 法 国 ) 前 者 在 6 月 做 了 纠 正, 解 释 说 15 日 那 天 是 庆 祝 邹 腾 80 华 诞, 也 遥 祝 他 快 乐 后 者 解 释 说, 他 们 只 是 转 载 了 前 者 的 报 道, 很 高 兴 获 悉 邹 腾 还 健 在 对 于 提 前 宣 布 自 己 逝 世 消 息 的 这 两 家 报 刊, 邹 腾 将 自 己 刚 在 艺 术 与 科 学 院 院 刊 上 发 表 的 论 文 论 代 数 的 起 源 作 为 礼 物 寄 给 了 他 们, 邹 腾 的 风 度 和 胸 襟 令 世 人 折 服 1920 年 1 月 5 日, 邹 腾 做 完 每 天 例 行 的 散 步 之 后, 突 发 心 脏 病, 于 第 二 天 早 上 平 静 的 离 开 了 人 世, 享 年 81 岁 他 被 安 葬 在 哥 本 哈 根 最 大 的 墓 地 阿 西 斯 顿 公 墓 安 葬 在 附 近 的 名 人 还 有 丹 麦 物 理 学 家 和 化 学 家 奥 斯 特 (H. C. Ørsted, 1777~1851) 著 名 童 话 作 家 安 徒 生 (H. C. Andersen, 1805~1875), 以 及 著 名 数 学 家 波 尔 和 他 的 哥 哥 丹 麦 著 名 物 理 学 家 尼 尔 斯 波 尔 (N. Bohr, 1885~1962) 邹 腾 的 去 世 后 使 丹 麦 学 界 陷 入 巨 大 悲 痛, 法 国 数 学 界 也 为 失 去 这 样 一 位 伟 大 的 数 学 家 和 数 学 史 家 而 深 感 痛 惜 皮 卡 为 此 在 法 国 科 学 院 院 刊 上 为 邹 腾 撰 写 了 讣 告, 对 邹 腾 做 了 高 度 评 价 : 在 他 身 上 闪 耀 的 是 智 慧 的 光 芒, 体 现 的 是 人 类 纯 朴 与 美 好 的 品 质 他 将 一 生 的 时 间 都 奉 献 给 了 科 学 和 他 的 家 庭 法 国 人 民 从 此 失 去 了 一 位 忠 诚 的 朋 友 以 及 他 那 颗 对 法 国 的 挚 爱 之 心 [10] 丹 麦 著 名 数 学 家 希 加 德 曾 经 就 读 哥 本 哈 根 大 学, 是 邹 腾 的 得 意 门 生 希 加 德 一 直 牢 记 自 己 学 生 时 代 邹 腾 的 谆 谆 教 诲, 十 分 感 激 恩 师 对 他 一 生 的 影 响 在 1926 出 版 的 丹 麦 传 记 辞 典 中, 希 加 德 亲 自 为 邹 腾 写 了 传 记, 以 缅 怀 这 位 伟 大 的 数 学 家 1989 年 7 月 30 日 到 8 月 6 日, 为 纪 念 邹 腾 诞 辰 150 周 年, 哥 本 哈 根 大 学 数 学 研 究 所 举 办 了 邹 腾 研 讨 会 研 讨 会 还 受 到 了 丹 麦 自 然 科 学 研 究 理 事 会 尼 尔 斯 波 尔 奖 学 金 等 5 个 项 目 的 资 助 此 次 研 讨 会 为 数 学 家 们 提 供 了 一 次 聚 集 的 机 会, 一 起 研 究 当 代 数 学 中 与 邹 腾 最 初 的 研 究 相 关 的 领 域 此 前 近 十 年 间, 代 数 几 何 学 家 们 重 新 考 察 了 邹 腾 曾 经 的 研 究 工 作, 从 中 获 得 了 许 多 灵 感, 并 且 着 手 做 了 一 些 研 究 随 着 研 究 的 深 入, 人 们 越 来 越 感 觉 到 邹 腾 先 前 工 作 的 重 要 性, 这 一 点 也 更 加 彰 显 了 他 的 数 学 才 能 邹 腾 在 数 学 以 及 数 学 史 领 域 筚 路 蓝 缕 辛 勤 开 拓 硕 果 累 累 一 代 先 驱, 名 垂 青 史

17 虽 然 他 没 有 创 立 什 么 学 派, 他 对 丹 麦 的 大 学 数 学 教 育 产 生 了 深 远 的 影 响 斯 人 已 逝, 风 范 长 存 他 为 后 世 留 下 了 宝 贵 的 精 神 财 富, 人 们 永 远 怀 念 他 [ 参 考 文 献 ] [1] K. Ramskov. The Danish Mathematical Society through 125 years [J]. Historia Mathematica, 2000, 27: [2] S. L. Kleiman. Hieronymus Georg Zeuthen (1839~1920) [C]. Contemparary Mathematics, 1991, 123: [3] 汪 晓 勤. 沙 勒 : 博 学 的 数 学 家 和 天 真 的 收 藏 家 [J]. 自 然 辩 证 法 通 讯, 2005, 27: [4] M. Chasles. Correspondance. Comptes Rendus des Séances de L Académie des Sciences, 1967, 64: [5] H. G. Zeuthen. Détermination des caractéristiques des systèmes élémentaires de cubiques [J]. Comptes Rendus des Séances de L Académie des Sciences, 1872, 74 : ; ; [6] H. G. Zeuthen. Résultats d une recherche des caractéristiques des systèmes élémentaires de quartiques[j]. Comptes Rendus des Séances de L Académie des Sciences, 1872, 75 : [7] H. G. Zeuthen. Sur les singularités ordinaires des courbes géométriques à double courbure [J]. Comptes Rendus des Séances de L Académie des Sciences, 1868, 67: [8] H. G. Zeuthen. Sur les points fondamentaux de deux surfaces dont les points se correspondent un à un [J]. Comptes Rendus des Séances de L Académie des Sciences, 1870, 70 : [9] K. Hass. Hieronymus Georg Zeuthen [C]. Dictionary of Scientific Biography. New York: Scribners, 1976, [10] É. Picard. H. G. Zeuthen [J].Comptes Rendus des Séances de L Académie des Sciences, 1923, 177: [11] T. L. Heath. A History of Greek Mathematics [J]. London: Oxford University Press,

18 [12] H. G. Zeuthen. Histoire des Mathématiques dans l Antiquité et le Moyen Age [M]. Paris: Gathier-Villars, 1902 [13] H. L. Heiberg, H. G. Zeuthen. Eine neue schrift des Archimedes [J]. Bibliotheca Mathematica, , 7: [14] Fauvel, J. & Gray, J. The History of Mathematics: A Reader. [M] Hampshire: Macmillan Education, 1987 [15] H. G. Zeuthen, Hvorledes mathematiken i tiden fra Platon til Euklid blev rationel videnskab [M]. Københaven: A. F. Høst & søn, 1917 H. G. Zeuthen: A Forerunner of Danish Mathematics and Historian of Mathematics in the 19 th Century Zhao Yaoyao Wang Xiaoqin (Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai, ) Abstract: As the best and most loyal student of M. Chasles, the prince of geometry in the 19 th century, the Danish mathematician Hieronymus Georg Zeuthen extended Chasles relevant ideas and further developed the enumerative geometry. As a historian of mathematics, he initiated a research tradition to reconstruct the history of mathematics in ancient Greece by providing a technical and conceptual analysis of the available source texts and is considered to be one of the two foremost historians of mathematics at the end of the 19 th century. Zeuthen made great contributions to make Danish mathematics attain international level and had an enormous effect on mathematics education at the university in Denmark. With his academic achievements and exceptionally fine and humane personality, Zeuthen bequeathed to us precious spiritual wealth. Key Words: H. G. Zeuthen; enumerative geometry; history of mathematics; Greek mathematics