国学思想与大学数学

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1 Pure Mathematics 理 论 数 学, 2013, 3, Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Chinese Traditional Culture and College Mathematics Huaming Wang 1, Yuanyuan Ji 2 1 School of Mathematics & Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 2 School of Laws, Anhui Normal University, Wuhu Received: Feb. 25 th, 2013; revised: Mar. 12 th, 2013; accepted: Mar. 21 st, 2013 Copyright 2013 Huaming Wang, Yuanyuan Ji. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: This study unveils the connections between chinese traditional culture and college mathematics. By interpreting the probability thought within I Ching and revealing the idea of Yin-Yang theory in calculus, we attempt to inject some new conceptions to college mathematics education, making college mathematics more interesting and comprehensible to Chinese students. Keywords: I Ching; Probability; Yin-Yang Theory 国 学 思 想 与 大 学 数 学 王 华 明 1, 纪 媛 媛 1 安 徽 师 范 大 学 数 学 与 计 算 计 科 学 学 院, 芜 湖 2 安 徽 师 范 大 学 法 学 院, 芜 湖 收 稿 日 期 :2013 年 2 月 25 日 ; 修 回 日 期 :2013 年 3 月 12 日 ; 录 用 日 期 :2013 年 3 月 21 日 摘 要 : 本 文 旨 在 探 究 国 学 思 想 与 大 学 数 学 之 间 的 联 系 通 过 解 读 易 经 中 的 概 率 思 想, 探 索 微 积 分 中 的 阴 阳 学 说 等 手 段, 力 图 为 大 学 数 学 教 育 注 入 新 的 元 素, 让 中 国 学 生 对 数 学 感 兴 趣, 更 容 易 理 解 数 学 思 想 关 键 词 : 易 经 ; 概 率 论 ; 阴 阳 2 1. 引 言 大 学 数 学 包 括 众 多 的 分 支, 它 以 微 积 分 为 基 础, 包 括 线 性 代 数 概 率 论 数 理 统 计 离 散 数 学 解 析 几 何 等 众 多 门 类 在 很 多 学 生 眼 中, 大 学 数 学 就 像 是 一 场 噩 梦 有 些 同 学 因 为 数 学 不 好 而 直 接 放 弃 考 研, 有 些 同 学 因 为 畏 惧 数 学 而 报 考 那 些 无 需 考 数 学 的 专 业, 更 有 甚 者, 不 少 同 学 因 为 不 能 通 过 数 学 课 程 考 试 而 无 法 毕 业 究 其 原 因, 一 方 面 是 大 学 数 学 本 身 由 于 高 度 抽 象 而 具 有 一 定 的 难 度, 另 一 方 面 是 现 行 的 数 学 体 系 主 要 形 成 于 西 方, 采 用 的 大 多 是 西 方 的 思 维 方 式, 其 教 科 书 的 行 文 方 式 也 基 本 采 用 西 方 的 语 言 习 惯 和 模 式, 不 太 符 合 中 国 学 生 的 思 维 方 式 和 阅 读 习 惯 因 此, 数 学 成 为 很 多 大 学 生 面 前 一 道 不 可 逾 越 的 鸿 沟 作 者 之 一 在 大 学 期 间 数 学 并 不 优 秀, 只 能 勉 强 通 过 考 核, 但 最 终 还 是 战 胜 了 自 己, 顺 利 考 上 数 学 系 的 研 究 生 并 获 得 硕 士 和 博 士 学 位 作 者 之 二 在 大 学 期 间 一 直 感 觉 数 学 枯 燥 无 味, 所 有 的 数 学 课 基 本 都 是 靠 蒙 混 过 关 因 为 惧 怕 数 学, 最 终 放 弃 了 理 科, 考 研 时 选 择 了 无 需 考 数 学 的 教 育 学 专 业 而 今 两 位 作 者 都 已 经 完 成 从 学 生 到 老 师 角 色 的 转 变, 走 上 高 校 的 讲 台 联 系 自 己 在 求 学 和 教 学 实 践 中 的 感 悟, 作 者 试 图 抛 砖 引 玉 地 道 出 数 学 与 国 学 之 间 的 联 系, 一 方 面 揭 示 隐 藏 于 国 学 中 的 数 学 思 想, 另 一 方 面 也 用 国 学 思 想 对 部 分 数 学 理 论 进 行 新 的 解 读 Copyright 2013 Hanspub 201

2 希 望 助 力 教 师 们 在 教 学 中 添 加 一 些 新 的 元 素, 在 激 发 学 生 国 学 兴 趣 的 同 时, 让 学 生 更 容 易 理 解 看 似 生 涩 难 懂 的 数 学 知 识, 领 会 数 学 的 思 想 本 文 主 要 分 为 三 个 部 分 第 2 节 主 要 讨 论 易 经 与 概 率 论 的 相 互 关 系, 揭 示 易 经 六 十 四 卦 之 中 所 蕴 藏 的 古 典 概 率 模 型, 以 条 件 概 率 的 理 论 赋 予 占 卜 学 全 新 的 理 论 基 础 第 3 节 用 阴 阳 学 说 的 观 点 解 读 微 积 分, 所 谓 孤 阴 不 生, 独 阳 不 长, 微 分 对 应 积 分, 无 穷 大 对 应 无 穷 小, 连 续 对 应 间 断, 微 积 分 的 很 多 理 论 都 可 用 阴 阳 学 说 进 行 全 新 解 读 第 4 节 用 一 个 例 子 阐 述 了 微 积 分 中 无 穷 的 概 念 和 道 德 经 中 所 阐 述 的 道 的 联 系, 让 读 者 在 掌 握 数 学 中 无 穷 的 概 念 的 同 时, 更 深 刻 地 理 解 老 子 所 描 述 的 道 中 华 国 学 博 大 精 深 包 罗 万 象, 是 古 代 先 贤 智 慧 的 结 晶 虽 然 从 表 面 上 看 来, 国 学 和 大 学 数 学 好 像 没 有 什 么 关 系, 但 实 际 上, 这 两 者 有 很 多 相 通 之 处 国 学 经 典 中 蕴 含 着 丰 富 的 数 学 思 想, 而 数 学 作 为 一 门 自 然 科 学, 其 中 的 很 多 思 想 和 理 论 也 可 以 用 国 学 进 行 全 新 的 解 释 但 由 于 作 者 对 国 学 的 理 解 程 度 有 限, 本 文 只 是 试 图 通 过 寻 找 国 学 和 数 学 的 一 些 联 系, 一 方 面 为 数 学 课 堂 引 入 新 的 教 学 思 想, 让 学 生 对 枯 燥 乏 味 的 数 学 课 更 感 兴 趣, 另 一 方 面 用 数 学 的 观 点 去 解 读 国 学 经 典, 以 期 提 高 其 严 谨 性 和 科 学 性 2. 易 经 八 卦 与 概 率 论 20 世 纪 30 年 代,Kolmogorov 引 入 了 概 率 论 的 公 理 化 定 义, 从 此 概 率 论 获 得 了 蓬 勃 发 展 虽 然 此 事 距 今 并 不 遥 远, 但 概 率 论 实 际 上 有 着 更 为 悠 久 的 发 展 史 早 在 遥 远 的 商 周 时 代, 国 学 经 典 易 经 之 中 就 已 经 蕴 藏 着 丰 富 的 概 率 论 思 想 易 经 在 国 学 专 著 中 有 着 重 要 的 地 位, 它 描 述 宇 宙 万 物 的 运 行 规 律, 揭 示 人 与 社 会 人 与 自 然 的 相 互 依 存 关 系, 被 尊 为 群 经 之 首 然 而, 易 经 之 中 也 蕴 含 着 丰 富 的 数 学 特 别 是 概 率 论 思 想, 这 些 思 想 却 很 少 引 起 人 们 的 重 视 首 先, 由 于 学 科 之 间 的 巨 大 差 异, 要 同 时 精 通 易 经 和 数 学 两 门 学 问 有 较 大 的 难 度 其 次, 数 学 是 一 门 严 谨 的 学 科, 一 切 数 学 定 理 都 建 立 在 严 格 的 定 义 和 推 理 之 上, 而 易 经 研 究 的 是 事 物 发 展 变 化 的 义 理, 有 着 很 强 的 相 对 性 和 灵 活 性, 所 以 从 表 面 上 看, 很 难 将 之 与 数 学 紧 密 联 系 起 来 本 节 旨 在 揭 示 隐 藏 于 易 经 之 中 的 概 率 论 思 想, 以 期 用 概 率 论 思 想 来 解 读 易 经 六 十 四 卦 的 形 成 过 程, 尝 试 将 易 经 建 立 在 严 格 的 数 学 基 础 之 上 另 一 方 面, 也 期 望 抛 砖 引 玉, 使 更 多 的 数 学 工 作 者 尤 其 是 高 校 数 学 教 师 能 够 了 解 易 经 研 究 易 经, 以 激 发 学 生 兴 趣, 拓 展 学 生 视 野, 为 大 学 数 学 课 堂 添 加 一 些 新 的 元 素 2.1. 易 经 六 十 四 卦 与 古 典 概 率 模 型 古 典 概 率 模 型, 简 称 古 典 概 型, 是 概 率 论 中 一 个 经 典 和 基 础 的 模 型 如 果 从 数 学 的 观 点 来 解 读 易 经, 整 部 易 经 可 以 说 正 是 建 立 在 古 典 概 型 之 上 中 国 人 崇 尚 圆, 因 为 圆 利 于 变 化, 有 变 化 才 会 有 发 展, 才 会 有 生 机 生 活 中 最 常 见 的 圆 莫 过 于 硬 币, 将 硬 币 抛 向 天 空, 掉 下 来, 就 会 有 正 反 两 个 结 果, 而 这 一 正 一 反, 在 中 国 的 传 统 文 化 之 中, 正 好 对 应 于 阴 阳 两 面 这 枚 被 抛 起 的 硬 币, 可 视 为 中 国 传 统 哲 学 中 的 太 极 太 极 生 两 仪, 两 仪 生 四 象, 四 象 生 八 卦 ( 关 于 八 卦 的 推 演 过 程, 参 阅 图 1), 八 卦 再 相 互 重 叠, 产 生 了 易 经 六 十 四 卦 然 后, 由 隐 藏 于 六 十 四 卦 之 中 的 易 理 推 演 出 宇 宙 万 物 的 运 行 规 律, 描 述 人 与 自 然 人 与 社 会 之 间 的 相 互 关 系 上 述 易 经 六 十 四 卦 的 形 成 过 程, 从 数 学 的 观 点 来 看, 生 动 地 描 述 了 古 典 概 率 模 型 易 经 六 十 四 卦 由 太 极 而 生, 而 古 典 概 型 可 以 用 抛 硬 币 的 方 式 产 生 抛 一 次 硬 币, 结 果 出 现 反 面 和 正 面 的 概 率 相 等, 各 为 1/2 这 对 应 于 易 经 中 的 阴 阳 抛 两 次 硬 币, 共 有 4 种 可 能 结 果 正 正 正 反 反 正 反 反, 这 四 种 可 能 的 结 果 出 现 的 概 率 相 等, 各 为 1/4 这 在 易 经 的 理 论 中 对 应 于 四 象, 即 太 阳 少 阳 少 阴 太 阴 抛 三 次 硬 币, 共 有 8 种 可 能 结 果, 即 正 正 正 反 反 反 反 反 正 正 202 Copyright 2013 Hanspub

3 正 反 正 反 反 反 正 正 反 正 反 正 反 正, 每 种 可 能 的 结 果 发 生 的 概 率 各 为 1/8 这 对 应 于 易 经 八 卦 中 的 乾 坤 震 巽 艮 兑 坎 离, 即 天 地 雷 风 山 泽 水 火, 这 八 种 元 素 相 互 作 用 构 成 了 宇 宙 万 物 的 运 行 图 从 如 上 描 述 中 可 见, 易 经 六 十 四 卦 的 演 化 过 程 与 古 典 概 型 的 理 论 惊 人 地 相 似 易 经 被 尊 为 群 经 之 首, 刻 画 了 宇 宙 万 物 的 运 行 规 律 而 古 典 概 型 可 谓 是 概 率 论 的 基 础, 整 个 概 率 论 产 生 和 发 展 几 乎 都 与 古 典 概 型 有 关, 下 文 中 将 进 一 步 阐 述 易 经 与 概 率 论 之 间 的 关 系 乾 兑 离 震 巽 坎 艮 坤 八 卦 四 象 两 仪 太 极 Figure 1. The deduction of Bagua 图 1. 八 卦 形 成 图 2.2. 易 经 中 的 - 代 数 概 率 论 的 公 理 化 定 义 建 立 在 测 度 论 的 基 础 之 上, 而 - 代 数 是 测 度 论 中 最 为 基 础 的 内 容 易 经 六 十 四 卦 相 当 于 一 个 古 典 概 率 模 型, 六 十 四 卦 的 全 体 对 应 一 个 样 本 空 间, 共 有 64 个 样 本 点, 即 {64 卦 的 全 体 } 记 = { 所 有 子 集 构 成 的 全 体 } 容 易 验 证 满 足 - 代 数 的 条 件, 所 以 是 一 个 - 代 数 由 易 经 六 十 四 卦 的 形 成 过 程 来 看, 中 每 个 样 本 点 出 现 的 概 率 相 等, 皆 为 1/64, 即 任 意, P 164 于 是 三 元 组,,P 就 构 成 了 一 个 概 率 空 间 通 过 这 种 方 法, 可 以 建 立 起 整 部 易 经 的 概 率 论 基 础, 从 而 用 概 率 论 的 理 论 去 研 究 易 经 同 样 可 以 根 据 各 卦 象 的 不 同 属 性 将 卦 象 分 为 不 同 的 集 合, 以 定 义 的 子 - 代 数, 进 而 研 究 卦 象 之 间 的 关 系 与 属 性 例 如, 将 易 经 六 十 四 卦 中 下 三 爻 为 乾 的 卦 象 放 在 一 起 记 为 集 合 A, 将 其 余 卦 象 放 在 一 起 记 为 c 集 合 A, 即 A ={ 下 三 爻 构 成 乾 的 卦 象 }, A c { 下 三 爻 不 构 成 乾 的 卦 象 } 若 用 表 示 不 包 括 任 何 卦 象 的 空 集, 则 AA, c,, 满 足 - 代 数 的 条 件, 它 构 成 的 一 个 子 - 代 数 由 于 每 个 卦 象 出 现 的 概 率 各 为 1/64, c 而 下 三 爻 构 成 乾 的 卦 象 共 有 八 个, 所 以 A 的 概 率 P A 18, 其 他 卦 象 出 现 的 概 率 P A 1 P A 7 8 有 了 - 代 数 的 概 念, 下 文 中 将 引 入 条 件 概 率 的 定 义 2.3. 占 卜 与 条 件 概 率 占 卜 自 古 以 来 就 带 着 神 秘 的 色 彩 有 的 人 完 全 否 定 占 卜, 认 为 这 纯 粹 是 江 湖 术 士 骗 人 的 把 戏 但 也 有 很 多 人 相 信 占 卜, 作 重 大 决 策 或 者 是 选 定 某 些 重 要 日 子 时 都 要 请 人 卜 上 一 卦 如 果 从 概 率 论 的 观 点 来 看, 占 卜 术 的 背 后 其 实 有 着 坚 实 的 数 学 基 础 所 以 占 卜 并 不 神 秘, 并 有 其 科 学 的 一 面, 如 果 用 科 学 的 眼 光 去 看 待 它, 对 我 们 决 策 和 行 事 是 有 指 导 意 义 的 这 首 先 得 从 条 件 概 率 说 起 前 文 说 道, 易 经 六 十 四 卦 构 成 了 一 个 古 典 概 率 模 型 的 概 率 空 间 从 而 根 据 卦 象 的 不 同 特 点, 可 以 在 上 定 义 - 代 数, 例 如 上 文 中 定 义 的 AA, c,, 于 是 由 高 等 概 率 论 的 知 识 可 知, 可 以 定 义 在 给 定 - 代 数 的 条 件 下 某 个 特 定 卦 象 出 现 的 概 率 例 如, 若 用 A 4 表 示 大 有 卦 出 现 这 一 事 件, 则 P A 就 表 示 在 给 定 的 条 件 下, 大 有 卦 出 现 的 概 率 当 然, 因 为 这 里 作 为 条 件 的 4 是 一 个 非 平 凡 的 - 代 数, 所 以 P A 4 本 身 并 不 是 一 个 确 定 的 值, 而 是 一 个 随 机 变 量 这 里 的 随 机 性, 很 容 易 给 出 合 理 的 解 释 一 个 求 卦 者 走 到 占 卜 师 面 前, 占 卜 师 对 他 的 情 况 一 无 所 知, 一 切 Copyright 2013 Hanspub 203

4 都 是 随 机 的 正 如 看 病 讲 究 望 闻 问 切, 医 生 必 须 了 解 病 人 的 病 情 才 能 开 方 下 药, 占 卜 师 也 必 须 了 解 求 卦 者 的 信 息, 才 能 够 给 他 所 问 之 事 作 出 合 理 的 预 测 易 经 是 博 大 精 深 的, 从 大 处 说, 它 揭 示 了 宇 宙 万 物 的 运 行 规 律, 从 小 处 说, 它 描 述 了 一 个 人 成 长 的 历 程, 描 述 了 一 件 事 的 发 展 过 程 作 为 占 卜 师, 首 先 需 获 知 求 卦 者 所 处 的 人 生 阶 段, 了 解 求 卦 者 的 过 去 和 现 在, 还 需 弄 清 求 卦 者 所 问 之 事 所 处 的 发 展 阶 段, 然 后 给 出 预 测 例 如, 如 果 根 据 对 求 卦 者 过 去 和 现 在 的 信 息 的 把 握, 占 卜 师 确 定 所 问 卦 象 的 下 三 爻 为 乾 为 了 确 定 剩 下 的 上 三 爻, 占 卜 师 应 取 出 三 枚 铜 钱, 抛 撒 在 地 上, 根 据 铜 钱 出 现 的 正 或 反 来 确 定 上 三 爻 从 而 得 出 整 个 卦 象 纵 观 易 经 六 十 四 卦, 下 三 爻 为 乾 的 卦 象 共 有 乾 需 小 畜 泰 大 有 大 畜 大 壮 夬 八 个 卦 象 用 初 等 概 率 知 识 可 知, 在 下 三 爻 构 成 乾 的 条 件 下, 大 有 卦 出 现 的 概 率 为 P A A 如 果 占 卜 师 的 三 枚 铜 钱 抛 出 的 结 果 正 好 是 正 反 正, 那 么 他 就 可 以 用 大 有 卦 来 为 求 卦 者 提 供 应 对 之 策 多 数 人 脑 海 之 中 也 许 对 电 视 电 影 中 的 一 个 场 景 非 常 熟 悉, 那 就 是 占 卜 师 将 一 把 铜 钱 放 进 罐 子 里 摇 几 下, 倾 倒 在 地 上, 看 着 这 些 铜 钱 若 有 所 思, 然 后 就 算 出 了 将 来 会 发 生 什 么 事 有 了 如 上 的 概 率 解 释, 占 卜 师 的 这 个 行 为 就 不 难 理 解 了, 这 里 边 其 实 并 没 有 神 秘 之 处 占 卜 师 所 做 的 只 不 过 是 对 未 知 事 件 的 一 个 模 拟 有 了 概 率 论 的 知 识, 其 实 占 卜 就 变 成 了 一 件 简 单 的 事 情, 每 个 人 都 可 以 做 无 论 做 什 么 事 情 之 前, 都 可 以 卜 上 一 卦, 从 而 趋 吉 避 凶 当 然 这 种 方 法 并 不 是 最 好 的, 因 为 每 个 卦 象 出 现 的 概 率 都 是 1/64 如 果 对 易 经 有 一 定 的 研 究, 可 以 根 据 对 过 去 和 现 在 的 信 息 的 掌 握, 在 一 定 的 条 件 下 去 卜 卦, 这 样 得 到 的 结 果 会 更 加 具 有 指 导 意 义 3. 微 积 分 与 阴 阳 学 说 微 积 分, 或 者 称 为 高 等 数 学, 成 为 了 很 多 非 数 学 专 业 本 科 生 的 噩 梦 究 其 原 因 有 很 多 方 面, 但 最 主 要 的 原 因, 或 许 是 因 为 微 积 分 形 成 于 西 方, 其 思 维 方 式 和 教 科 书 的 行 文 方 式 都 采 用 了 西 方 的 模 式, 所 以 中 国 的 学 生 不 太 适 应 其 实 换 一 种 角 度 看, 可 以 用 中 国 传 统 哲 学 中 的 阴 阳 学 说 对 微 积 分 的 很 多 内 容 进 行 解 读 中 国 传 统 哲 学 一 个 基 本 观 点 就 是 阴 阳 学 说 易 经 [1] 云 : 一 阴 一 阳 之 谓 道 道 德 经 [2] 云 : 道 生 一, 一 生 二, 二 生 三, 三 生 万 物, 这 个 二 亦 指 阴 阳 阴 阳 描 述 了 事 物 的 正 反 两 个 方 面, 然 而 阴 与 阳 并 不 是 孤 立 的, 它 们 是 对 立 统 一 的 关 系, 在 相 互 作 用 的 过 程 之 中, 可 向 其 对 立 面 转 化 微 积 分 研 究 的 主 体 是 函 数, 旨 在 研 究 函 数 的 性 质, 这 些 性 质 包 括 连 续 性 可 微 性 可 积 性 等 等 函 数 描 绘 的 是 不 同 变 量 之 间 的 依 赖 关 系, 它 包 含 自 变 量 因 变 量 和 对 应 法 则 三 个 要 素 y f x, 这 就 是 一 个 函 数 的 表 达, 其 中 x 是 自 变 量, y 为 因 变 量, 而 f 为 对 应 法 则, 这 个 对 应 法 则 是 函 数 的 核 心 微 积 分 研 究 的 就 是 函 数 对 应 法 则 f 的 性 态 微 分 与 积 分 其 实 形 成 了 一 对 阴 阳 转 换 的 关 系 古 语 云 : 孤 阴 不 生, 独 阳 不 长 从 某 种 意 义 上 说, 阴 阳 学 说 可 以 看 做 是 微 积 分 学 的 一 个 基 础 组 成 部 分 它 隐 藏 于 微 积 分 学 的 每 个 角 落 连 续 对 应 间 断 ( 不 连 续 ), 可 微 性 对 应 可 积 性, 无 限 对 应 有 限, 无 穷 大 有 无 穷 小 与 之 对 应 所 以 微 积 分 并 不 是 什 么 神 秘 的 东 西, 将 阴 阳 变 换 的 义 理 引 入 微 积 分 的 教 学 之 中, 一 些 非 常 晦 涩 的 概 念 和 性 质 就 会 忽 然 显 出 生 机, 变 得 更 加 生 动 有 趣 易 于 理 解 了 所 以, 学 习 微 积 分 的 过 程 中, 不 应 该 孤 立 地 将 知 识 分 为 很 多 支 离 破 碎 的 片 段, 而 是 要 用 对 立 统 一 的 眼 光 看 问 题 理 解 了 无 穷 小 量 的 性 质, 自 然 也 就 能 够 把 握 无 穷 大 量 的 特 点 学 习 函 数 连 续 性 的 过 程 中, 如 果 把 握 了 连 续 的 定 义, 自 然 也 就 能 够 理 解 间 断 点 及 其 分 类 熟 练 掌 握 了 微 分 中 值 定 理, 也 就 能 够 理 解 积 分 中 值 定 理 的 证 明 及 其 应 用 微 分 与 积 分 虽 然 在 形 式 上 有 很 大 的 差 异, 然 而 它 们 却 有 着 紧 密 的 联 系 微 分 与 积 分 都 是 建 立 在 极 限 理 论 的 基 础 之 上, 都 是 由 极 限 定 义 的 道 德 经 云 : 道 生 一, 一 生 二, 二 生 三, 三 生 万 物 如 果 说 微 分 与 积 分 对 应 于 二, 即 阴 与 阳, 那 么 极 限 就 可 看 为 一 有 了 极 限 作 为 基 础, 微 积 分 才 204 Copyright 2013 Hanspub

5 得 以 产 生, 然 后 由 微 分 与 积 分 的 相 互 作 用 衍 生 出 整 个 微 积 分 学 既 然 极 限 理 论 的 完 善 导 致 了 微 积 分 的 产 生, 进 一 步 的 问 题 是 : 极 限 理 论 是 怎 么 产 生 的? 极 限 理 论 的 产 生, 源 自 于 人 们 对 无 穷 这 个 概 念 的 把 握 道 德 经 云 : 天 下 万 物 生 于 有, 有 生 于 无 无 名, 万 物 之 始 世 间 万 物, 都 是 从 无 名 中 产 生, 这 个 无 名 其 实 就 是 道 无 独 有 偶, 微 积 分 开 始 的 地 方, 也 是 无, 这 个 无 有 多 层 含 义, 它 包 括 无 限 接 近 无 穷 小 无 穷 大 等 等 无 穷 是 学 生 在 微 积 分 中 所 遭 遇 的 第 一 个 抽 象 且 不 易 理 解 的 概 念, 它 也 是 极 限 理 论 的 基 础 下 一 节 中, 本 文 用 道 的 观 点 阐 释 无 穷, 同 时 也 通 过 微 积 分 中 无 穷 的 观 念 更 为 具 体 地 认 识 道 4. 道 与 无 穷 顾 名 思 义, 微 积 分 的 核 心 内 容 分 为 两 个 部 分, 一 是 微 分, 二 是 积 分 无 论 是 微 分 还 是 积 分, 都 建 立 在 极 限 理 论 的 基 础 之 上, 可 以 说, 极 限 理 论 是 微 积 分 学 的 基 础, 而 极 限 是 从 一 个 被 称 为 无 穷 的 概 念 开 始 的 在 数 学 中, 无 穷 包 括 无 穷 小 与 无 穷 大 两 层 含 义 无 穷 大 一 般 用 记 号 表 示 学 1 生 首 先 碰 到 的 是 数 列 的 极 限 lim a n a, 例 如 lim 0, 即 n 趋 向 于 时, 1 趋 向 于 0 细 心 的 同 学 会 追 问, 这 n n n n 其 中 的 无 穷 大 到 底 在 哪 里? 这 个 问 题 对 于 很 多 同 学 来 说, 可 能 直 到 微 积 分 课 程 结 束 都 还 是 心 中 的 一 个 疑 惑 n 1 另 外 一 个 与 无 穷 相 关 的 概 念 是 无 穷 小 量, 例 如 当 n 趋 向 于 无 穷 大 时, 是 一 个 无 穷 小 量 n 越 2 大 时, 这 个 量 越 接 近 于 0 然 而, 它 永 远 也 不 会 达 到 0 这 个 无 穷 小 量 的 概 念 也 给 学 生 带 来 很 大 的 困 惑 其 实, 在 中 国 的 很 多 古 籍 之 中, 很 早 就 有 关 于 无 穷 大 与 无 穷 小 的 描 述 庄 子 逍 遥 游 [3] 中 描 写 道 : 北 冥 有 鱼, 其 名 为 鲲 鲲 之 大, 不 知 其 几 千 里 也 ; 化 而 为 鸟, 其 名 为 鹏 鹏 之 背, 不 知 其 几 千 里 也 ; 怒 而 飞, 其 翼 若 垂 天 之 云 这 里 其 实 就 是 对 无 穷 大 概 念 的 一 种 形 象 的 描 述 庄 子 天 下 [3] 中 描 写 道 : 一 尺 之 棰, 日 取 其 半, 万 世 不 竭 这 其 中 就 包 括 有 无 穷 小 量 的 思 想, 极 限 的 定 义 已 经 呼 之 欲 出 了, 只 是 古 人 没 有 将 之 抽 象 成 为 严 格 的 数 学 定 义 而 已 无 穷 的 概 念, 可 以 从 侧 面 去 描 写, 但 是 却 极 难 从 正 面 去 下 一 个 定 义 纵 观 历 史, 数 学 家 和 哲 学 家 们 一 直 对 无 穷 这 一 概 念 纠 缠 不 清 例 如, 微 积 分 的 创 始 人 之 一 牛 顿 逝 世 后 不 久, 哲 学 家 毕 晓 普 伯 克 利 在 他 的 分 析 家 一 书 中 对 微 积 分 进 行 了 公 然 的 抨 击, 他 侮 辱 数 学 家 是 相 信 消 失 的 量 的 幽 灵 的 异 教 徒 [4] 微 积 分 中 的 无 穷 与 道 德 经 一 书 中 的 道 有 着 相 通 之 处 作 为 道 德 经 的 开 篇, 老 子 云 : 道 可 道, 非 常 道 ; 名 可 名, 非 常 名 无 名, 万 物 之 始 ; 有 名, 万 物 之 母 故 常 无 欲, 以 观 其 妙 ; 常 有 欲 以 观 其 徼 此 两 者 同 出 而 异 名, 同 谓 之 玄, 玄 之 又 玄, 众 妙 之 门 而 在 道 德 经 第 四 章 中, 老 子 云 : 道 冲, 而 用 之 或 不 盈 渊 兮, 似 万 物 之 宗 老 子 认 为, 道 源 于 虚 空, 唯 其 虚 空, 所 以 能 包 容 万 物 道 是 玄 奥 而 又 玄 奥 的 东 西, 蕴 藏 着 创 造 一 切 的 因 子, 是 开 启 大 千 世 界 无 穷 奥 妙 的 总 门 道 是 构 成 世 界 的 实 体, 是 万 物 变 化 的 动 力, 是 人 类 行 为 的 准 则 它 幽 微 深 远, 却 不 可 言 说, 超 乎 于 言 辞 纵 观 整 部 道 德 经, 老 子 都 没 有 从 正 面 描 写 道, 没 有 直 接 说 明 道 是 什 么, 而 是 通 过 各 种 侧 面 的 描 写, 让 人 们 领 会 道 的 内 涵 下 面, 我 们 简 述 数 学 中 阐 述 无 穷 大 的 一 个 例 子, 以 期 获 得 对 道 更 为 深 刻 的 认 识 和 启 示 无 穷 大 在 哪 儿? 这 样 一 个 问 题 虽 然 很 难 正 面 回 答, 但 是 却 可 以 通 过 一 一 映 射 去 认 识 无 穷 大 这 一 概 念 下 面 给 一 个 从 直 观 上 很 容 易 理 解 的 命 题 命 题 : 区 间 [0,1] 四 分 之 一 圆 弧 与 区 间 [1, ] 具 有 相 同 的 基 数 ( 同 样 多 的 点 ) 注 : 由 于 实 数 轴 上 任 意 长 度 的 区 间 内 的 点 都 是 不 可 数 的 所 以 两 个 区 间 有 同 样 多 的 点 这 种 说 法 并 不 确 切, 这 里 只 是 一 个 直 观 的 说 明 只 需 证 明 这 三 者 之 上 的 点, 可 以 用 某 种 方 式 建 立 一 一 映 射 即 可 如 图 2 所 示 Copyright 2013 Hanspub 205

6 Figure 2. Zero and infinity 图 2. 0 与 无 穷 在 区 间 1, 上 取 定 一 点 x, 0 过 该 点 作 圆 弧 的 切 线, 这 条 切 线 交 于 圆 弧 上 某 个 点 x 0, y 0, 这 个 点 是 唯 一 的, 即 通 过 区 间 1, 上 不 同 的 点 作 切 线, 必 然 交 于 圆 弧 上 不 同 的 点 反 过 来, 取 定 第 一 象 限 四 分 之 一 圆 弧 上 的 一 个 点 x 0, y 0, 作 切 线 也 交 于 直 线 上 某 一 个 点 x 0 而 且 通 过 圆 弧 上 不 同 的 点 作 切 线, 也 必 然 交 于 直 线 上 不 同 的 点 通 过 切 线 这 个 桥 梁, 我 们 建 立 了 区 间 1, 上 的 点 和 第 一 象 限 四 分 之 一 圆 弧 上 的 点 的 一 一 映 射, 所 以, 区 间 1, 上 的 点 和 第 一 象 限 四 分 之 一 圆 弧 上 的 点 是 同 样 多 的 同 理, 要 证 明 区 间 [0,1] 与 四 分 之 一 圆 弧 上 的 点 同 样 多, 只 需 通 过 区 间 [0,1] 上 的 点 作 垂 线, 就 可 建 立 起 区 间 [0,1] 与 四 分 之 一 圆 弧 上 的 点 的 一 一 映 射 那 么, 无 穷 大 到 底 在 哪 儿 呢? 不 难 发 现, 当 直 线 上 取 的 点 越 来 越 远 时, 所 作 切 线 就 越 来 越 平, 那 么 当 切 线 和 横 轴 平 行 时, 就 达 到 了 无 穷 大 也 就 是 说, 无 穷 大 就 对 应 于 半 圆 与 纵 轴 的 交 点, 即 点 (0,1) 所 以 无 穷 并 不 是 遥 不 可 及 的, 用 这 种 作 切 线 的 方 法, 可 以 将 无 穷 和 半 圆 上 的 (0,1) 点 对 应 起 来, 无 穷 大 虽 然 看 不 见 摸 不 着, 但 是 (0,1) 点 却 真 实 地 存 在 于 那 里 而 圆 弧 上 的 (0,1) 点 对 应 于 区 间 [0,1] 上 的 0 点, 所 以 无 穷 大 其 实 与 0 点 相 对 应 故 道 德 经 言 : 万 物 并 作, 吾 以 观 复 夫 物 芸 芸, 各 复 归 其 根 万 物 蓬 勃 生 长, 人 们 可 以 从 中 观 察 到 天 道 往 复 循 环 的 道 理 万 物 纷 纷 芸 芸, 但 最 终 都 将 各 自 返 回 到 它 们 的 本 根 事 物 虽 不 断 发 展, 但 达 到 一 定 极 限, 就 可 能 一 变 而 到 自 己 的 反 面 如 此 循 环 往 复, 生 生 不 息 正 如 通 过 0 可 以 认 识 无 穷 大 一 样, 道 亦 然, 世 间 万 物 常 常 可 以 通 过 其 反 面 呈 现 出 它 的 本 真 5. 致 谢 感 谢 评 阅 人 为 本 文 提 出 了 很 多 具 有 启 发 性 的 修 改 意 见, 这 些 意 见 对 本 文 的 完 善 有 着 重 要 的 作 用 参 考 文 献 (References) [1] 邹 学 熹, 佘 贤 武, 主 编 : 易 经 [M]. 成 都 : 四 川 科 学 技 术 出 版 社, [2] 辜 正 坤, 译. 道 德 经 [M]. 北 京 : 中 国 对 外 翻 译 出 版 公 司, [3] 张 庆 利, 著 译. 庄 子 [M]. 武 汉 : 崇 文 书 局, [4] 理 查 德 曼 凯 维 奇, 著. 冯 速, 译. 数 学 的 故 事 [M]. 海 口 : 海 南 出 版 社, Copyright 2013 Hanspub

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