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1 控 江 中 学 新 教 材 二 次 开 发 丛 书 新 课 标 数 学 解 析 供 高 二 学 生 下 学 期 使 用 丛 书 主 编 张 群 本 书 主 编 高 长 山 编 者 ( 按 姓 氏 拼 音 排 列 ) 洪 晔 刘 灿 文 柳 敏 刘 玉 洁 沈 烨 谈 荣 王 蕙 萱 王 建 华 谢 镔 许 敏 杨 慧 曾 国 光 张 菁 璐 赵 琍 琍 朱 敏 慧

2 内 容 提 要 本 书 是 控 江 中 学 特 高 级 教 师 所 编 写 的 校 本 教 材, 它 与 上 海 市 最 新 审 定 的 二 期 课 改 教 材 相 匹 配. 全 书 与 教 材 同 步, 依 照 教 材 的 章 节 顺 序 编 排. 教 材 中 每 一 节 课 的 内 容 为 一 个 训 练 单 元, 每 一 单 元 分 为 八 个 部 分 : 问 题 驱 动, 例 题 思 考, 思 路 点 拨, 例 题 解 析, 效 果 反 馈, 反 馈 分 析, 简 要 答 案, 方 法 与 小 结. 本 书 为 高 二 学 生 提 供 了 最 新 颖 最 有 效 最 权 威 最 适 用 的 教 辅 资 料. 欢 迎 同 学 们 及 教 师 作 为 教 学 参 考 书 积 极 选 用. 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 新 课 标 数 学 解 析. 高 二. 下 / 高 长 山 主 编. 上 海 : 同 济 大 学 出 版 社,008. ( 控 江 中 学 新 教 材 二 次 开 发 丛 书 / 张 群 主 编 ) ISBN Ⅰ. 新 Ⅱ. 高 Ⅲ. 数 学 课 高 中 教 学 参 考 资 料 Ⅳ.G 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (008) 第 号 控 江 中 学 新 教 材 二 次 开 发 丛 书 新 课 标 数 学 解 析 供 高 二 学 生 下 学 期 使 用 高 长 山 主 编 责 任 编 辑 赵 黎 责 任 校 对 谢 惠 云 封 面 设 计 陈 益 平 出 版 发 行 同 济 大 学 出 版 社 ( 地 址 : 上 海 市 四 平 路 139 号 邮 编 :0009 电 话 : ) 经 销 全 国 各 地 新 华 书 店 印 刷 常 熟 华 顺 印 刷 有 限 公 司 开 本 787 mm 109 mm 印 张 9.75 印 数 字 数 版 次 008 年 月 第 1 版 008 年 月 第 1 次 印 刷 书 号 ISBN / G 357 定 价 17 畅 00 元 本 书 若 有 印 装 质 量 问 题, 请 向 本 社 发 行 部 调 换 版 权 所 有 侵 权 必 究

3 总 序 上 海 市 控 江 中 学 雄 踞 沪 上 东 北 一 隅, 襟 滔 滔 黄 浦 江 水, 扼 知 识 杨 浦 之 咽 喉, 早 在 0 世 纪 50 年 代, 便 跻 身 于 上 海 市 14 所 市 重 点 中 学 的 行 列, 而 今 又 是 首 批 命 名 的 上 海 市 实 验 性 示 范 性 高 中, 雄 风 依 旧. 朝 迎 旭 日, 夕 送 晚 霞, 六 十 寒 暑 谱 写 校 园 春 秋 ; 自 主 发 展, 自 我 砥 砺, 数 万 学 子 铸 就 控 江 丰 碑. 在 控 江 中 学 的 办 学 里 程 中, 素 以 大 批 量 高 素 质 向 著 名 高 校 输 送 人 才 而 享 誉 社 会 ; 在 控 江 中 学 的 青 青 校 园 里, 曾 镌 刻 下 不 少 高 考 状 元 的 风 华 正 茂 的 身 影. 抚 往 昔,0 世 纪 80 年 代, 控 江 中 学 曾 因 高 考 双 夺 冠 而 声 誉 鹊 起 ; 看 今 朝, 时 代 年 轮 滚 滚 挺 进 1 世 纪, 控 江 中 学 又 是 高 考 状 元 迭 出, 令 人 称 奇. 就 004 年 而 言, 上 海 高 考 理 科 总 分 的 状 元 榜 眼 第 四 名 和 语 文 的 第 一 名, 均 出 自 控 江 中 学,10 名 学 生 同 时 考 入 北 大 清 华 这 两 所 著 名 高 校, 令 人 刮 目 相 看 ;005 年, 仅 考 取 复 旦 大 学 的 就 有 78 名 学 生 之 多, 雄 冠 同 类 学 校. 俗 话 说, 凡 事 皆 有 其 本 原. 长 期 以 来, 上 海 市 控 江 中 学 之 所 以 能 有 其 稳 定 的 教 育 质 量, 不 仅 得 益 于 一 支 与 时 俱 进 富 有 钻 研 精 神 的 教 师 队 伍, 而 且 得 益 于 其 严 实 新 活 的 教 学 风 格. 值 此 上 海 市 二 期 课 改 全 面 推 广 之 际, 控 江 中 学 的 同 仁 为 使 新 教 材 更 为 贴 近 学 生 的 学 习 实 际, 使 新 教 材 更 具 实 践 性 和 操 作 性, 切 磋 琢 磨, 集 思 广 益, 对 上 海 市 最 近 审 定 的 新 教 材 进 行 了 卓 有 成 效 的 二 次 开 发, 并 愿 和 各 位 高 中 同 学 分 享 我 们 的 教 学 成 果, 共 同 提 高 学 习 成 效. 我 权 以 此 为 序. 张 群 007 年 11 月

4 序 本 书 是 由 上 海 市 名 校 控 江 中 学 所 编 写 的 校 本 教 材, 它 与 上 海 市 二 期 课 改 教 材 相 匹 配. 说 到 教 材, 记 得 解 放 前, 使 用 英 美 教 材, 解 放 后 又 照 搬 苏 联 教 材, 我 国 零 教 材 直 至 1958 年, 其 后 的 教 材 建 设 经 历 了 多 次 重 大 变 革. 最 近 的 一 次 变 革 即 为 由 历 来 的 一 纲 一 本 转 变 为 一 纲 多 本, 上 海 的 一 期 教 材 即 此 产 物. 在 此 基 础 上, 现 在 又 进 入 了 二 期 课 改, 教 材 一 次 次 编 写, 一 次 次 改 进, 现 在 上 海 市 控 江 中 学 又 勇 于 把 编 写 校 本 教 材 提 上 了 议 事 日 程. 有 了 上 海 自 编 教 材, 再 编 校 本 教 材, 是 否 背 带 裤 再 束 皮 带 多 此 一 举? 这 种 想 法, 仅 是 误 解. 打 个 比 喻 : 有 了 大 米, 尚 需 杂 粮 ; 有 了 青 菜 萝 卜, 尚 需 其 他 蔬 菜, 以 便 多 种 维 生 素 相 辅 相 成, 帮 助 主 食 消 化 吸 收. 又 如 有 了 一 个 电 影 剧 本, 尚 需 分 镜 头 剧 本 等 与 之 匹 配. 有 人 说, 书 店 里 各 种 教 辅 读 物 已 泛 滥, 何 必 自 找 麻 烦, 编 什 么 校 本 教 材? 其 实, 校 本 教 材 与 市 场 上 的 教 辅 读 物 是 风 马 牛 不 相 及, 完 全 是 两 码 事. 编 一 本 与 本 校 学 生 的 实 际 情 况 最 大 程 度 相 贴 切 的 读 物 已 是 当 务 之 急. 下 面 介 绍 一 下 本 书 别 开 生 面 的 编 写 体 例 别 具 匠 心 的 内 容 处 理 多 层 面 和 多 循 环 的 螺 旋 式 编 排 等 特 点, 预 计 上 述 疑 问 便 可 迎 刃 而 解 了. 第 一 层 面 问 题 层 面 即 对 问 题 初 认 识 通 过 栏 目 问 题 驱 动, 精 选 若 干 本 单 元 中 最 为 关 键 值 得 深 思 的 核 心 问 题, 正 如 抓 衣 抓 领 整 件 衣 服 就 能 拎 起 一 样, 这 些 问 题 使 整 个 单 元 基 础 内 容 及 能 力 要 求 尽 量 囊 括 其 中, 尤 其 注 意 培 养 学 生 提 出 问 题 分 析 问 题 及 解 决 问 题 的 能 力. 本 栏 目 书 写 一 般 以 为 什 么? 怎 样? 什 么 是? 有 哪 些? 等 提 问 形 式 出 现, 引 导 学 生 逐 步 思 考 并 理 解 这 些 疑 问, 使 对 这 些 问 题 有 个 初 步 认 识. 显 然, 这 与 传 统 教 辅 读 物 中 硬 灌 的 知 识 提 要 有 本 质 差 别. 第 二 层 面 例 题 层 面 即 对 问 题 再 认 识

5 在 例 题 层 面 中, 给 出 了 以 下 三 循 环 : 通 过 栏 目 例 题 思 考, 使 每 个 例 题 各 自 带 动 知 识 面 一 片. 这 里, 只 有 题 目 及 说 明, 暂 不 给 出 解 答. 在 说 明 中, 或 说 明 题 意, 暗 示 条 件 及 结 论 ; 或 说 明 数 学 文 字 语 言 符 号 语 言 图 像 语 言 的 翻 译 转 换 ; 或 说 明 某 些 解 题 注 意 事 项 ; 或 说 明 应 用 拓 广 这 是 帮 助 审 题 阶 段, 期 望 学 生 独 立 思 考. 通 过 栏 目 方 法 点 拨, 适 度 进 行 必 要 的 点 拨 诱 导, 诱 发 思 维 内 化, 这 是 启 发 阶 段. 通 过 操 作 并 参 考 栏 目 例 题 解 析, 边 看 边 想 边 验 算 正 确 率, 这 是 核 验 阶 段. 另 外, 在 每 个 例 题 解 答 的 后 面, 有 说 明 注 意 拓 展 等 注 解, 希 望 学 生 能 举 一 反 三, 触 类 旁 通. 通 过 以 上 三 循 环, 使 对 问 题 驱 动 中 的 问 题 也 是 本 单 元 的 核 心 知 识 及 方 法 再 认 识. 第 三 层 面 习 题 层 面 即 对 问 题 有 效 训 练 在 习 题 层 面 中, 给 出 以 下 三 循 环 : 通 过 栏 目 效 果 反 馈, 给 出 一 批 习 题, 这 是 审 题 阶 段, 希 望 学 生 独 立 完 成. 通 过 栏 目 反 馈 分 析, 进 行 简 要 的 点 拨 诱 导, 包 括 习 题 的 难 点 构 图 建 模 变 式 等 解 题 规 律 应 用 及 拓 广 等, 这 是 启 发 阶 段. 通 过 栏 目 简 要 答 案, 核 对 解 题 正 确 率, 这 是 验 证 阶 段. 第 四 层 面 反 思 提 高 即 对 问 题 完 全 认 识 通 过 栏 目 方 法 小 结, 引 导 学 生 回 顾 知 识 和 解 题 方 法 的 获 得 过 程, 体 验 其 中 蕴 含 的 数 学 思 想 和 数 学 方 法, 使 学 生 在 反 思 过 程 中 达 到 对 问 题 的 完 全 认 识 以 及 对 知 识 的 深 刻 理 解. 由 此 可 见, 本 书 的 编 写 凸 出 了 以 人 为 本 自 主 学 习 的 思 想, 有 新 意, 也 有 创 意, 是 控 江 中 学 编 写 教 师 丰 富 的 教 学 经 验 的 结 晶. 本 书 对 学 生 来 说, 是 雪 中 送 炭, 对 上 海 二 期 课 改 来 说, 是 锦 上 添 花. 007 年 5 月

6 前 言 自 从 进 入 二 期 课 改 阶 段 以 来, 我 们 一 直 在 思 考 : 如 何 在 课 堂 教 学 中 贯 彻 实 施 二 期 课 改 理 念, 促 进 学 生 主 动 学 习, 培 养 学 生 的 创 新 精 神 和 实 践 能 力? 结 合 控 江 中 学 的 教 学 传 统, 我 们 在 组 内 提 出 并 实 践 问 题 驱 动 教 学, 主 张 以 问 题 为 载 体, 组 织 引 导 学 生 在 分 析 问 题 解 决 问 题 的 过 程 中 积 极 思 维, 获 得 知 识, 提 高 能 力. 005 年 9 月, 我 校 进 入 二 期 课 改 第 二 批 改 革 试 点 校, 给 了 我 们 在 新 教 材 环 境 下 的 实 践 机 会. 同 时, 学 校 根 据 新 教 材 的 特 点 及 时 提 出 对 新 教 材 进 行 二 次 开 发, 希 望 能 更 好 地 发 扬 新 教 材 的 优 点, 结 合 学 生 的 学 习 实 际, 编 写 一 本 适 合 教 师 和 学 生 的 教 学 参 考 和 辅 导 材 料. 于 是, 我 们 考 虑 结 合 自 己 的 特 色 问 题 驱 动 教 学, 着 眼 于 为 学 生 配 备 恰 当 的 习 题 训 练 体 系, 对 数 学 新 教 材 进 行 二 次 开 发. 全 书 以 章 节 编 排, 与 教 材 同 步. 一 节 为 一 个 训 练 体 系, 分 八 个 部 分 : 第 一 部 分 : 问 题 驱 动. 以 问 题 为 主 线, 展 现 本 节 知 识 的 获 得 过 程. 通 过 解 决 问 题, 获 得 本 节 所 包 含 的 新 的 数 学 知 识, 通 过 问 题 解 决 的 过 程 体 验 获 得 知 识 所 蕴 含 的 数 学 方 法, 体 会 其 中 的 数 学 思 想. 学 生 可 以 以 此 为 线 索 学 习 和 回 顾 本 节 课 所 学 习 主 要 知 识, 教 师 可 以 以 此 为 参 考, 组 织 课 堂 教 学. 第 二 部 分 : 例 题 思 考. 根 据 各 节 知 识 的 要 求, 列 出 相 应 的 典 型 例 题. 在 每 个 例 题 的 后 面 有 一 个 说 明, 点 明 解 题 要 求, 期 望 学 生 读 懂 题 意, 少 走 弯 路, 留 下 空 白, 可 由 学 生 独 立 思 考, 解 决 问 题. 教 师 可 以 以 此 作 为 课 堂 教 学 的 例 题. 第 三 部 分 : 思 路 点 拨. 在 学 生 思 考 例 题 的 基 础 上, 若 不 能 独 立 解 决, 可 参 看 思 路 点 拨, 点 出 解 题 的 关 键, 让 学 生 有 思 路, 再 尝 试 ; 若 学 生 能 独 立 解 决 所 思 考 的 例 题, 则 也 可 以 参 看 思 路 点 拨, 对 照 比 较 分 析 问 题 的 方 法 有 何 异 同, 自 我 提 高. 第 四 部 分 : 例 题 解 析. 为 每 一 个 例 题 配 备 完 整 的 解 题 过 程, 在 解 题 过 程 的 后 面 附 有 注 意 说 明 探 究 拓 展 等 小 结. 希 望 学 生 阅 读 后 能 独 立 完 成 该 题, 知 道 思 路 是

7 怎 样 想 到 的, 总 结 规 律, 举 一 反 三. 第 五 部 分 : 效 果 反 馈. 为 本 节 知 识 配 备 自 测 题 一 套, 供 学 生 自 我 检 测, 也 可 作 为 教 师 课 堂 作 业 的 延 伸 和 补 充. 第 六 部 分 : 反 馈 分 析. 对 自 测 题 进 行 分 析 点 拨, 帮 助 学 生 解 决 在 练 习 时 可 能 遇 到 的 困 难. 第 七 部 分 : 简 要 答 案. 为 效 果 反 馈 中 的 练 习 题 配 备 答 案, 方 便 学 生 进 行 自 我 反 馈. 第 八 部 分 : 方 法 小 结. 从 数 学 思 想 数 学 方 法 解 题 技 巧 等 角 度 进 行 整 理, 帮 助 学 生 回 顾 与 反 思 本 节 中 的 知 识 和 例 题 中 涉 及 的 数 学 思 想 方 法, 完 善 学 生 的 认 知 结 构. 体 例 的 修 改 和 完 善, 文 字 的 加 工, 得 到 邹 一 心 教 授 的 悉 心 指 点 和 帮 助, 本 书 的 体 系 被 邹 一 心 教 授 称 为 训 练 体 系 三 循 环. 我 们 为 邹 一 心 教 授 认 真 严 谨 的 工 作 作 风 深 深 感 动, 感 谢 邹 一 心 教 授 为 本 书 所 作 的 贡 献. 本 书 也 是 数 学 组 全 体 教 师 汗 水 的 结 晶. 尤 其 是 王 蕙 萱 张 进 兴 刘 灿 文 沈 烨 等 老 师 在 全 书 的 统 稿 和 修 改 过 程 中 倾 注 了 大 量 的 心 血, 在 此 一 并 致 谢. 全 书 成 稿, 历 时 一 年. 然 而 水 平 限 制, 尚 有 很 多 不 足 之 处, 望 读 者 批 评 指 正, 以 便 来 年 更 正 修 改. 编 者 007 年 1 月

8 目 录 总 序 序 前 言 第 十 一 章 直 线 方 程 ( 1 ) 第 一 节 直 线 的 方 程 ( 1 ) 第 二 节 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 (11 ) 第 三 节 两 条 直 线 的 位 置 关 系 (17 ) 第 四 节 点 到 直 线 的 距 离 (7 ) 第 十 二 章 圆 锥 曲 线 (34 ) 第 一 节 曲 线 和 方 程 (34 ) 第 二 节 圆 (41 ) 第 三 节 椭 圆 的 标 准 方 程 (5 ) 第 四 节 椭 圆 的 性 质 (58 ) 第 五 节 双 曲 线 的 标 准 方 程 (67 ) 第 六 节 双 曲 线 的 性 质 (76 ) 第 七 节 抛 物 线 的 标 准 方 程 (87 ) 第 八 节 抛 物 线 的 性 质 (96 ) 第 十 三 章 复 数 (107) 第 一 节 复 数 的 概 念 (107) 第 二 节 复 数 的 坐 标 表 示 (111) 第 三 节 复 数 的 加 法 和 减 法 (117) 第 四 节 复 数 的 乘 法 和 除 法 (13) 第 五 节 复 数 的 平 方 根 与 立 方 根 (13) 第 六 节 实 系 数 一 元 二 次 方 程 (137)

9 第 十 一 章 直 线 方 程 第 一 节 直 线 的 方 程 问 题 驱 动 在 17 世 纪 前 半 叶, 产 生 了 数 学 的 全 新 的 一 支 解 析 几 何. 它 使 平 面 上 的 曲 线 与 有 两 个 未 知 数 的 代 数 方 程 之 间 建 立 了 联 系, 它 又 称 坐 标 几 何. 建 立 坐 标 系, 使 点 有 坐 标, 然 后 建 立 曲 线 方 程, 用 方 程 的 代 数 性 质 研 究 曲 线 的 几 何 性 质, 用 代 数 研 究 几 何, 用 数 研 究 形. 本 章 研 究 最 简 单 的 图 形 : 点 与 直 线. 点 和 直 线 是 几 何 中 的 基 本 元 素, 初 中 时, 我 们 已 经 学 习 过 建 立 平 面 直 角 坐 标 系, 点 可 以 与 有 序 实 数 对 ( 坐 标 ) 一 一 对 应, 也 就 是 说, 我 们 可 以 用 坐 标 ( 代 数 形 式 ) 来 表 示 点 ( 几 何 元 素 ). 那 么, 直 线 可 以 由 什 么 代 数 形 式 描 述 呢? 1 畅 什 么 是 直 线 的 方 程? 对 于 坐 标 平 面 内 的 一 条 直 线 l, 如 果 存 在 一 个 方 程 f( x, y) = 0, 满 足 :(1) 直 线 l 上 所 有 的 点 的 坐 标 ( x, y) 都 满 足 方 程 f( x, y) = 0;() 以 方 程 f( x, y) = 0 的 所 有 的 解 (x, y) 为 坐 标 的 点 都 在 直 线 l 上, 那 么, 我 们 把 方 程 f(x, y) = 0 叫 做 直 线 l 的 方 程, 直 线 l 叫 做 方 程 f(x, y) = 0 的 直 线. 从 上 述 定 义 可 见, 满 足 (1) (), 直 线 l 上 的 所 有 点 的 集 合 与 方 程 f( x, y) = 0 的 所 有 解 的 集 合 就 建 立 了 对 应 关 系. 设 集 合 A = {P P l},b= {( x, y) f(x, y) = 0}, 若 集 合 A 中 的 点 用 坐 标 表 示, 则 上 面 的 条 件 (1) 的 意 思 就 是 A 彻 B ; 条 件 () 的 意 思 即 为 B 彻 A, 所 以 A = B. 也 就 是 满 足 (1) (), 就 是 说, 在 点 用 坐 标 形 式 表 示 的 前 提 下, 直 线 l 上 的 点 的 集 合 与 方 程 f( x, y) = 0 的 解 的 集 合 相 同. 畅 如 何 确 定 直 线 的 方 程? 在 几 何 上, 要 确 定 一 条 直 线 需 要 一 些 条 件, 如 两 个 点 ( 原 因 是 两 点 确 定 一 条 直 线 ), 又 如 一 个 点 和 一 个 平 行 方 向 ( 原 因 是 过 已 知 点 作 平 行 于 一 条 直 线 的 直 线 有 且 只 有 一 条 ), 再 如 一 个 点 和 一 个 垂 直 方 向, 等 等. 思 考 : 已 知 一 个 点 和 一 个 垂 直 方 向 可 以 确 定 一 条 直 线 的 原 因 是 什 么? 我 们 将 这 些 条 件 用 代 数 形 式 描 述 出 来, 从 而 建 立 方 程. 若 此 方 程 满 足 定 义 中 的 (1) () 就 找 到 了 直 线 的 方 程. 3 畅 什 么 是 直 线 的 点 方 向 式 方 程? 3 畅 1 什 么 是 直 线 的 点 方 向 式 方 程? 在 平 面 上 过 一 已 知 点 P, 且 与 某 一 方 向 平 行 的 直 线 l 是 唯 一 确 定 的. 我 们 在 直 角 坐 标 平 面 1

10 中 考 虑 此 问 题, 设 点 P 的 坐 标 是 ( x0, y0 ), 方 向 用 非 零 向 量 d = (u, v) 表 示. 方 程 y - y0 v 叫 做 直 线 l 的 点 方 向 式 方 程, 非 零 向 量 d 3 畅 如 何 得 到 直 线 的 点 方 向 式 方 程? 叫 做 直 线 l 的 方 向 向 量. x - x0 u = PQ 设 直 线 l 上 任 意 一 点 Q 的 坐 标 为 ( x, y), 由 于 直 线 平 行 于 非 零 向 量 d, 故 PQ d. 根 据 d 的 充 要 条 件, 得 v( x - x0 ) = u( y - y0 )1 ; 反 之, 若 (x1, y1) 为 方 程 1 的 任 意 一 解, 即 v( x1 - x0 ) = u(y1 - y0 ), 记 (x1,y1) 为 坐 标 的 点 为 点 Q1, 可 知 PQ1 d, 即 点 Q1 在 直 线 l 上. 综 上, 根 据 直 线 方 程 的 定 义 知, 方 程 1 是 直 线 l 的 方 程, 直 线 l 是 方 程 1 的 直 线. 当 u 0 且 v 0 时, 方 程 x - x0 1 可 化 为 u = y - y0 v, 这 就 是 直 线 l 的 点 方 向 式 方 程. 值 得 注 意 的 是 : 由 u 0 且 v 0, 方 程 不 能 表 示 过 点 P( x0, y 0 ) 且 与 坐 标 轴 垂 直 的 直 线 ; 当 u = 0 时,v 0, 方 程 1 可 化 为 x - x0 = 03, 表 示 过 点 P( x0, y0 ) 且 与 x 轴 垂 直 的 直 线 ; 当 v = 0 时,u 0, 方 程 1 可 化 为 y - y0 =04, 表 示 过 点 P( x0, y0 ) 且 与 y 轴 垂 直 的 直 线. 思 考 : 从 上 面 的 推 导 看, 方 向 向 量 d 是 否 唯 一? 向 量 满 足 什 么 条 件 可 以 作 为 方 向 向 量? 思 考 : 若 直 线 m 过 不 同 的 两 点 P1( x1, y1 ),P(x,y), 能 否 给 出 此 直 线 的 方 程? 4 畅 什 么 是 直 线 的 点 法 向 式 方 程? 4 畅 1 什 么 是 直 线 的 点 法 向 式 方 程? 在 平 面 上 过 一 已 知 点 P, 且 与 某 一 方 向 垂 直 的 直 线 l 是 唯 一 确 定 的. 在 直 角 坐 标 平 面 中, 点 P 的 坐 标 是 (x0, y0 ), 与 直 线 l 垂 直 的 非 零 向 量 n =(a,b). 则 方 程 a( x - x0 )+ b(y- y0)=0 叫 做 直 线 l 的 点 法 向 式 方 程, 非 零 向 量 n 4 畅 如 何 得 到 直 线 的 点 法 向 式 方 程? 叫 做 直 线 l 的 法 向 量. 直 线 的 方 程 1 是 通 过 向 量 平 行 的 充 要 条 件 得 到 的 ; 现 在 我 们 的 条 件 是 一 个 与 直 线 垂 直 的 向 量, 能 否 通 过 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 得 到 直 线 的 点 法 向 式 方 程 呢? 点 P(x0, y0 ) 为 直 线 l 上 的 已 知 点. 设 直 线 l 上 任 意 一 点 Q 的 坐 标 为 (x, y), 由 直 线 垂 直 于 非 零 向 量 n, 故 PQ n. 根 据 PQ n 的 充 要 条 件 知 PQ n =0, 即 :a(x- x0)+b(y- y0) = 05 ; 反 之, 若 (x1,y1 ) 为 方 程 5 的 任 意 一 解, 即 a( x1 - x0 )+b(y1 - y0) =0, 记 (x1,y1) 为 坐 标 的 点 为 点 Q1, 可 知 PQ1 n, 即 Q1 在 直 线 l 上. 综 上, 根 据 直 线 方 程 的 定 义 知, 方 程 5 是 直 线 l 的 方 程, 直 线 l 是 方 程 5 的 直 线. 我 们 把 方 程 5 叫 做 直 线 l 的 点 法 向 式 方 程. 思 考 : 法 向 量 是 否 唯 一? 向 量 满 足 什 么 条 件 可 以 作 为 直 线 的 法 向 量? 思 考 : 能 否 由 直 线 的 点 方 向 式 方 程 得 到 直 线 的 点 法 向 式 方 程 呢? 5 畅 什 么 是 直 线 的 一 般 式 方 程? 5 畅 1 什 么 是 直 线 的 一 般 式 方 程? 直 线 的 方 程 1 和 直 线 的 点 法 向 式 方 程 经 过 整 理, 成 为 x, y 的 一 次 方 程 ax + by + c =

11 06, 其 中 a,b 不 全 为 零. 我 们 把 方 程 6 叫 做 直 线 的 一 般 式 方 程, 其 中 非 零 向 量 (a, b) 恰 为 直 线 的 一 个 法 向 量. 一 般 地, 我 们 常 常 把 一 个 直 线 方 程 整 理 为 一 般 式 方 程. 5 畅 如 何 得 到 直 线 的 一 般 式 方 程? 由 直 线 的 点 法 向 式 方 程 a( x - x0 ) + b(y - y0 ) = 0 整 理 得 ax + by + (- ax0 - by0 ) = 0, 令 c= (- ax0 - by0 ), 即 可 把 点 法 向 式 方 程 化 为 一 次 方 程 ax + by + c = 0, 其 中 a,b 不 全 为 零, 由 此 我 们 知 道 直 线 的 方 程 一 定 是 一 次 方 程. 反 之, 任 意 一 次 方 程 ax + by + c = 0(a,b 不 全 为 零 ) 都 是 直 线 方 程 么? 回 答 是 肯 定 的. 首 先, 当 b 0 时, 方 程 可 化 为 ax + b y + c b = 0, 根 据 直 线 点 法 向 式 方 程 可 知, 这 是 过 点 0,- c b, 以 (a,b) 为 一 个 法 向 量 的 直 线 的 方 程 ; 当 b = 0 时, 方 程 为 ax + c = 0, 由 于 a 0, 方 程 化 为 x =- c a, 表 示 过 点 - c a,0 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线. 所 以, 一 次 方 程 ax + by + c =0 (a,b 不 全 为 零 ) 是 直 线 的 方 程, 叫 做 直 线 的 一 般 式 方 程. 从 上 述 推 导 可 见,(a,b) 是 一 个 法 向 量. 那 么, 能 否 从 直 线 的 方 程 1 导 出 直 线 的 一 般 式 方 程 呢? 同 样 也 是 可 以 的. 由 方 程 1 v( x - x0 ) = u( y - y 0 ) 整 理 得 vx - uy +(- vx0 + uy 0)=0, 只 需 令 a = v, b =-u,c= uy 0 - vx0 即 可 得 到 直 线 一 般 式 的 形 式, 反 过 来 的 一 部 分 请 读 者 自 行 思 考 完 成. 在 上 面 的 过 程 中, 读 者 会 注 意 到 a = v, b =- u, 前 面 证 明 了 一 次 方 程 ax + by + c =0(a, b 不 全 为 零 ) 的 系 数 组 成 的 向 量 ( a, b) 是 一 个 法 向 量, 那 么,(u, v) = (- b,a) 是 直 线 的 一 个 方 向 向 量. 思 考 : 我 们 可 以 证 明 一 次 函 数 以 及 常 值 函 数 的 图 像 是 一 条 直 线, 那 么, 坐 标 平 面 内 任 意 一 条 直 线 的 方 程 是 否 一 定 可 以 用 方 程 y = kx + b( 其 中 k, b R) 来 表 示 呢? 例 题 思 考 例 1 ABC 中, 已 知 点 A(-1,),B(3,4),C(-,5), 求 (1) BC 边 所 在 直 线 的 点 方 向 式 方 程 ; () BC 边 上 高 所 在 直 线 的 点 法 向 式 方 程 ; (3) AB 边 的 中 垂 线 的 一 般 式 方 程. 说 明 : 本 题 全 面 考 察 学 生 对 三 种 基 本 直 线 方 程 的 理 解 和 简 单 应 用. 解 : 例 (1) 求 过 点 A(-,5) 且 平 行 于 直 线 l1 :4x - 3y - 9 = 0 的 直 线 方 程 ; () 求 过 点 B(3,-4) 且 垂 直 于 直 线 l :3 x +7y-6 = 0 的 直 线 方 程. 说 明 : 本 题 考 察 与 某 直 线 平 行 或 垂 直 的 直 线 的 设 与 求. 解 : 3

12 例 3 (1) 若 直 线 过 两 点 A(a,0),B(0,b), 则 a,b 分 别 叫 做 该 直 线 在 x, y 轴 上 的 截 距. 当 ab 0 时, 求 直 线 AB 的 方 程 ; () 若 过 点 P(4,-3) 的 直 线 l 在 两 坐 标 轴 上 截 距 相 等, 求 直 线 l 的 方 程. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 直 线 方 程 的 应 用 以 及 直 线 的 截 距 式 方 程 的 应 用. 解 : 例 4 已 知 直 线 l 过 点 P( -,3) 且 与 x, y 轴 分 别 交 于 A, B 两 点.(1) 若 P 为 AB 中 点, 求 直 线 l 的 方 程 ;() 若 P 分 AB 所 成 的 比 为 -, 求 l 的 方 程. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 向 量 和 直 线 截 距 式 方 程 的 应 用. 解 : 例 5 已 知 直 线 l 的 方 程 为 :( a +) x +(1 -a)y+4-3a= 0( 常 数 a R). (1) 求 证 : 不 论 a 取 何 值, 直 线 l 恒 过 定 点 ; () 记 (1) 中 的 定 点 为 P, 若 l OP( O 为 原 点 ), 求 实 数 a 的 值. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 直 线 方 程 的 复 杂 应 用. 解 : 例 6 ABC 的 一 个 顶 点 A(3,0), B C 的 平 分 线 所 在 直 线 方 程 分 别 是 x = 1 和 y = x, 求 直 线 BC 的 方 程. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 利 用 三 角 形 角 平 分 线 的 性 质, 通 过 对 称 性 求 直 线 方 程. 解 : 例 7 磰 ABCD 中, 三 个 顶 点 坐 标 依 次 为 A(,-3) B(-,4) C(-6,-1), 求 :(1) 直 线 AD 与 直 线 CD 的 方 程 ;() D 点 坐 标. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 求 直 线 方 程 和 直 线 方 程 的 应 用. 解 : 例 8 过 点 P(-5,-4) 作 一 直 线 l, 使 它 与 两 坐 标 轴 相 交 且 与 两 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积 为 5 个 单 位 面 积, 求 直 线 l 的 方 程. 4

13 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 截 距 和 直 线 方 程 的 应 用. 解 : 例 9 已 知 两 直 线 a1 x + b1y +1= 0 和 ax + by +1= 0 都 通 过 点 P(,3), 求 证 : 经 过 两 点 Q1 (a1, b1 ),Q(a,b) 的 直 线 方 程 是 x + 3 y + 1 = 0. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 直 线 方 程 的 理 解 和 应 用. 解 : 例 10 如 图 11 1 所 示,P 是 直 线 3 x - y = 0 上 位 于 第 一 象 限 的 点, M(3,) 为 一 定 点, 直 线 PM 交 x 轴 正 半 轴 于 点 Q, 求 POQ 面 积 的 最 小 值 及 此 时 直 线 PQ 的 方 程. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 直 线 方 程 的 应 用 和 函 数 求 最 值. 解 : 图 11 1 例 11 已 知 x, y 满 足 3 x - 4 y + 4 = 0,m= x + y +6x- 10 y x + y - 4 x - 30y + 9 (1) 试 用 所 学 解 析 几 何 知 识 解 释 m 的 几 何 意 义 ;() 利 用 (1) 求 m 的 最 小 值. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 两 点 间 距 离 公 式 和 直 线 方 程 的 复 杂 应 用. 解 : 方 法 点 拨 例 1 (1) () 根 据 要 求 找 到 方 向 向 量 和 法 向 量 ;(3) 先 根 据 条 件 找 到 合 适 的 直 线 方 程, 再 化 到 一 般 式. 例 可 以 从 已 知 条 件 中 寻 找 方 向 向 量 或 法 向 量. 例 3 (1) 利 用 点 方 向 式 方 程 ;() 利 用 (1) 中 的 结 论. 例 4 本 题 直 线 与 坐 标 轴 相 交 于 两 点, 点 P 的 坐 标 与 截 距 有 关, 故 先 求 A, B 两 点 坐 标, 再 用 截 距 式 表 示 直 线 方 程. 例 5 (1) 取 特 殊 值 先 求 出 定 点, 再 验 证 直 线 经 过 这 点 ;() OP 为 直 线 l 的 一 个 法 向 量. 例 6 点 A 关 于 B C 的 平 分 线 的 对 称 点 落 在 直 线 BC 上. 例 7 利 用 直 线 方 程 的 点 方 向 式. 例 8 可 以 设 出 直 线 的 点 方 向 式 方 程, 不 妨 设 方 向 向 量 为 (1,k), 由 于 直 线 和 两 轴 围 成 三 角 5

14 形, 可 求 出 直 线 与 两 轴 的 交 点, 再 利 用 三 角 形 面 积 建 立 等 式. 例 9 两 点 确 定 一 条 直 线, 若 两 点 坐 标 满 足 同 一 个 直 线 方 程, 则 这 个 方 程 就 是 这 条 直 线 的 方 程. 例 10 P 是 直 线 3 x - y = 0 上 位 于 第 一 象 限 的 点, 可 设 点 P 的 坐 标 为 P( a,3a)(a> 0). 将 POQ 面 积 表 示 为 a 的 函 数, 再 求 面 积 最 小 值. 例 11 m = x + y + 6 x - 10 y x + y - 4 x - 30y + 9 例 题 解 析 = ( x + 3) + ( y - 5) + ( x - ) + ( y - 15) 可 见 m 的 最 小 值 的 几 何 意 义 是 直 线 l :3 x - 4 y + 4 = 0 上 的 点 P( x, y) 到 A(- 3,5) 和 B(,15) 两 点 的 距 离 和 的 最 小 值. 例 1 解 :(1) d = BC = ( - 5,1), 直 线 过 点 B(3,4), 故 点 方 向 式 方 程 为 x = y -4 1 ; () n = BC = ( - 5,1), 直 线 过 点 A(- 1,), 故 点 法 向 式 方 程 为 - 5(x + 1) + 1 ( y - ) = 0; (3) 直 线 过 AB 中 点 D(1,3), n = AB = (4,), 则 其 点 法 向 式 方 程 为 4(x -1) +( y -3) =0, 整 理 为 一 般 式 方 程 为 x + y -5 = 0. 说 明 : 已 知 三 个 顶 点, 通 过 直 线 点 方 向 式 和 点 法 向 式 方 程 可 求 三 角 形 中 的 边 中 线 中 垂 线 和 高 所 在 的 直 线 方 程, 学 习 了 后 面 的 知 识 后, 我 们 还 可 以 求 三 角 形 的 角 平 分 线 所 在 直 线. 例 (1) 解 法 1:n = (4,- 3), d = (3,4), 又 直 线 过 点 A(-,5), 故 直 线 的 方 程 为 4( x +) = 3( y - 5), 化 简 得 4x-3y+3 = 0. 解 法 :n = (4,- 3), 又 直 线 过 点 A( -,5), 故 直 线 的 点 法 向 式 方 程 为 4( x + ) - 3( y - 5) = 0, 化 简 得 4x- 3y+ 3 = 0. 解 法 3: 设 与 l1 :4 x - 3 y - 9 = 0 平 行 的 直 线 方 程 为 4 x - 3 y + c = 0, 又 直 线 过 点 A(-, 5), 故 4 (- ) c = 0,c = 3, 所 以, 直 线 的 方 程 是 4 x - 3 y + 3 = 0. () 解 法 1:l 的 法 向 量 n = (3,7) 为 所 求 直 线 的 方 向 向 量, 又 直 线 过 点 B(3,-4), 故 直 线 的 方 程 为 7(x - 3) = 3( y + 4), 化 简 得 7x - 3y- 33 = 0. 解 法 : 设 与 l :3 x + 7 y - 6 = 0 垂 直 的 直 线 方 程 为 7 x - 3 y + c = 0, 又 直 线 过 点 B(3, - 4), 故 (- 4) + c = 0,c =-33, 所 以, 直 线 的 方 程 是 7 x - 3 y - 33 = 0. 说 明 : 一 般 地, 与 直 线 ax + by + c = 0 平 行 的 直 线 可 设 为 ax + by + c =0( 其 中 c c) ; 而 与 直 线 ax + by + c = 0 垂 直 的 直 线 可 设 为 bx - ay + c = 0. 证 明 比 较 简 单, 留 给 读 者 自 行 完 成. 例 3 解 :(1) d = AB = ( - a, b), 故 直 线 的 点 方 向 式 方 程 为 x - a - a = y - 0, 整 理 得 b x a + y b = 1. () 当 截 距 非 零 时, 设 直 线 方 程 为 x a + y a = 1, 将 (4,-3) 代 入 方 程, 得 a = 1, 故 直 线 方 6

15 程 为 x + y - 1 = 0; 当 截 距 为 零 时, 直 线 过 点 (0,0) (4,- 3), d = (4,-3) 的 直 线 方 程 为 - 3( x - 0) = 4(y - 0), 化 简 为 3x + 4y = 0. 综 上, 所 求 的 直 线 方 程 是 x + y - 1 = 0 或 3x + 4y = 0. 说 明 : 直 线 的 截 距 式 方 程 可 以 用 于 研 究 直 线 与 坐 标 轴 相 交 的 一 些 问 题, 但 截 距 式 中,a, b 不 能 为 零, 故 截 距 式 方 程 不 能 用 来 表 示 与 坐 标 轴 垂 直 的 直 线, 也 不 能 表 示 过 原 点 ( 截 距 为 零 ) 的 直 线. 例 4 解 :(1) 设 点 A( a,0),b(0,b), 由 于 点 P 为 AB 中 点, 故 有 a + 0 = (- ) 且 0 + b = 3, a=-4,b = 6,l 的 方 程 为 x y 6 = 1, 即 3x - y+ 1 = 0. () 由 题 意 AP =- PB, 而 AP = (-,3) -(a,0) = (-- a,3),pb = (0,b) -(-,3) = (,b-3), (--a,3) =-(,b-3) = (-4,-b+6). = - 4,3 =-b+6. a= 且 b= 3, 所 以,l 的 方 程 为 x + y 3 -- a = 1, 即 3x+4y-6 = 0. 思 考 : 若 本 题 先 设 直 线 的 一 般 式 方 程 ax + by + c = 0, 再 用 l 经 过 点 P 和 条 件 (1)[ 或 ()], 能 否 求 出 直 线 的 方 程 呢? 要 注 意 什 么? 例 5 (1) 解 法 1: 令 a =-, 得 l 的 方 程 为 y =-; 令 a = 1, 得 l 的 方 程 为 x =-1. 两 直 线 y =-,x =-1 的 交 点 只 有 (-1,- ). 当 x =-1, 时, 原 直 线 方 程 y =- 左 边 = (a +)(-1) +(1 -a )(-) +4-3a= 0. 故 直 线 恒 过 定 点 (-1,-). 解 法 : 将 直 线 方 程 整 理 为 以 a 为 未 知 数 的 方 程 :(x - y - 3)a + x + y + 4 = 0, 由 于 a R 方 程 恒 成 立, 故 方 程 系 数 - ). x - y - 3 = 0, 所 以, x + y+ 4 = 0, x =-1, 即 直 线 恒 过 定 点 (- 1, y =-, () l OP, 则 OP = ( - 1,-) 为 直 线 l 的 一 个 法 向 量, 又 由 直 线 方 程 的 形 式 知 直 线 l 的 一 个 法 向 量 为 ( a +,1 - a), 所 以, 这 两 个 向 量 平 行, 即 a + -1 = 1-a -, 解 得 a= 说 明 : 解 法 1 的 思 路 是 从 特 殊 到 一 般 的, 注 意 取 特 殊 值 求 出 点 后, 第 二 步 的 验 证 不 可 少 ( 证 明 所 以 直 线 均 过 这 点 ); 另 外, 根 据 方 程 的 思 想, f1 ( x, y) + af ( x, y) = 0, 所 以, 实 数 a 均 成 立 的 充 要 条 件 是 f1( x, y) = 0, 读 者 可 以 自 行 验 证. f(x,y) = 0, 例 6 解 : 点 A(3,0) 关 于 x = 1 的 对 称 点 A1 ( - 1,0), 关 于 y = x 的 对 称 点 A (0,3) 均 在 直 线 BC 上, 直 线 A1 A 就 是 直 线 BC, 其 方 程 为 x y 3 = 1, 即 3x- y+ 3 = 0. 例 7 解 :(1) 由 于 AD BC, 故 直 线 AD 的 一 个 方 向 向 量 是 BC =(-4,-5), 故 直 线 AD 的 点 方 向 式 方 程 为 x = y + 3-5, 即 5 x -4y- = 0. 同 理 可 得 直 线 CD 的 方 程 为 7 x + 4y + 46 = 0. 7

16 () D 为 直 线 AD 与 直 线 CD 的 交 点, 故 解 例 8 解 : 设 直 线 的 方 向 向 量 为 (1,k), 则 直 线 的 点 方 向 式 方 程 为 的 交 点 分 别 是 (0,5k -4), 4 k - 5,0 5x - 4y - = 0, 得 D(-,- 8). 7x+4y+46 = 0,, 则 三 角 形 面 积 为 x +5 1 = y+4 k, 直 线 与 两 轴 1 (5k -4) 4 k - 5 = 5, 得 k1 = 8 5,k = 5, 所 以, 直 线 l:8 x - 5 y + 0 = 0 或 x - 5 y - 10 = 0. 例 9 解 : 依 题 意, 得 a1 + 3b1 + 1 = 0,a + 3b + 1 = 0. 这 说 明 a1,b1 满 足 x + 3y + 1 = 0, 点 Q1(a1,b1) 在 直 线 x +3y+1=0 上, 同 理, 点 Q (a, b ) 也 在 直 线 x +3y+1=0 上. 因 为 两 点 确 定 一 直 线, 所 以, 经 过 两 点 Q1 ( a1, b1 ),Q(a,b) 的 直 线 方 程 是 x + 3 y + 1 = 0. 例 10 解 : 由 点 P 在 直 线 3 x - y = 0 上, 且 位 于 第 一 象 限, 可 设 点 P 的 坐 标 为 P(a,3a) (a > 0). 又 设 点 Q(t,0), 因 点 Q 在 x 轴 的 正 半 轴 上, 故 t> 0. 而 MP = (a-3,3a - ) 为 直 线 MP 的 一 个 方 向 向 量, 故 直 线 MP 的 方 程 为 因 为 点 Q 在 直 线 MP 上, 所 以 有 x - 3 a - 3 = y - 3a-. t - 3 a - 3 = - a, t =3-( - 3) 3 a - 3a - t > 0, 故 POQ 的 面 积 为 S = 1 t 3a = 1 a =- 4 1 的 坐 标 为 1 a = 7a 3a -. 又 a > 0, (3a - ), 1 S = 6 a a =- 4 1 a + 6 1a , 1 当 且 仅 当 a = 3 4, 即 a = 4 3 > 0 时, 上 式 中 等 号 成 立, 即 点 P 4 3,4 时,Smin = 8 3. 此 时, 直 线 MP 的 方 程 为 x = y - 4 -, 即 6 x +5y-8 = 0. 说 明 : 本 题 中 设 点 P 的 坐 标 为 P(a,3 a)( a > 0), 是 根 据 直 线 的 定 义 给 出 的. 这 样 就 把 面 积 化 归 表 示 成 1 的 二 次 函 数, 从 而 求 得 S 的 最 小 值. a 例 11 解 :(1) m = x + y +6x-10 y +34+ x +y -4x-30 y +9 = ( x + 3) + ( y - 5) + ( x - ) + ( y - 15). 可 见, m 的 几 何 意 义 是 直 线 l :3 x - 4 y + 4 = 0 上 的 点 P(x, y) 到 A( - 3,5) 和 B(,15) 两 点 的 距 离 之 和. () 求 m 的 最 小 值 即 求 直 线 l :3 x -4y+4=0 上 的 点 P( x, y) 到 A(-3,5) 和 B(,15) 两 点 的 距 离 和 的 最 小 值. 设 点 A(- 3,5) 关 于 直 线 l :3 x - 4 y + 4 = 0 的 对 称 点 为 A ( x0, y0 ), 则 AA = ( x0 + 3,y0-5). 设 l 的 一 个 方 向 向 量 为 d = (4,3). d AA, 4( x0 +3) +3(y0-5) = 0, 即 4x0 + 3y0-3 = 0. 1 又 AA 的 中 点 在 直 线 l 上, 则 可 得 8

17 3 x y = 0, 即 3x0-4y0-1 = 0. 由 式 1 式 解 得 x0 = 3, 即 点 A 的 坐 标 为 (3,- 3). y0 =-3, 设 直 线 A B 与 l 交 于 点 P, 则 PA + PB = PA + PB = A B = (3 -) +(-3-15) = 为 直 线 3 x - 4 y + 4 = 0 上 的 点 到 点 A B 距 离 之 和 的 最 小 值, 即 m 的 最 小 值 为 效 果 反 馈 1 畅 直 线 3x - y + = 0 的 单 位 法 向 量 是. 畅 直 线 l 的 一 般 式 方 程 为 x - 3 y + 7 = 0, 则 其 点 方 向 式 方 程 是 ; 点 法 向 式 方 程 是. 3 畅 过 点 P(4,-3) 且 垂 直 y 轴 的 直 线 方 程 是. 4 畅 若 直 线 ( - m) x + my + 3 = 0 的 法 向 量 恰 为 直 线 x - my - 3 = 0 的 方 向 向 量, 求 实 数 m 的 值. 5 畅 已 知 点 P(,-1) 及 直 线 l :3 x + y - 5 = 0, 求 :(1) 过 点 P 且 与 l 平 行 的 直 线 方 程 ;() 过 点 P 且 与 l 垂 直 的 直 线 方 程. 6 畅 正 方 形 ABCD 的 顶 点 A 的 坐 标 为 (-4,0), 它 的 中 心 M 的 坐 标 为 (0,3), 求 正 方 形 两 条 对 角 线 AC, BD 所 在 的 直 线 方 程. 7 畅 已 知 点 A, B, C 的 坐 标 分 别 为 (1,3),(b,0),(0,c), 其 中,b,c 均 为 正 整 数, 问 过 这 三 点 的 直 线 l 是 否 存 在? 若 存 在, 求 出 l 的 方 程 ; 若 不 存 在, 说 明 理 由. 8 畅 设 直 线 l 的 方 程 为 (a + 1) x + y + - a = 0(a R).(1) 证 明 : 直 线 l 过 定 点 ;() 若 l 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等, 求 l 的 方 程. 9

18 反 馈 分 析 1 畅 先 求 法 向 量, 再 求 单 位 法 向 量, 注 意 单 位 法 向 量 有 与 此 法 向 量 正 向 和 反 向 的 两 个. 畅 要 求 点 方 向 式 方 程 只 需 找 到 直 线 经 过 的 一 个 点 及 一 个 方 向 向 量 ; 要 求 点 法 向 式 方 程 只 需 找 到 直 线 经 过 的 一 个 点 及 一 个 法 向 量. 3 畅 看 图 形 便 可 得 到 答 案. 4 畅 根 据 条 件, 两 条 直 线 相 互 垂 直. 5 畅 与 l :3 x + y - 5 = 0 平 行 的 直 线 可 设 为 3 x + y + m = 0; 与 l:3 x + y - 5 = 0 垂 直 的 直 线 可 设 为 x - 3y + n = 0. 6 畅 由 正 方 形 的 几 何 性 质 易 知 AC 所 在 直 线 就 是 AM 所 在 直 线, 而 BD 与 AM 垂 直,AM 就 是 BD 所 在 直 线 的 法 向 量. 7 畅 先 由 B C 坐 标 求 出 直 线 l 的 方 程, 将 点 A 的 坐 标 代 入, 可 得 b 与 c 的 关 系. 8 畅 (1) 把 直 线 方 程 看 作 是 关 于 a 的 方 程 ;() 分 别 求 出 直 线 在 x, y 轴 上 的 截 距. 简 要 答 案 1 畅 解 :3 x - y + = 0 是 直 线 的 一 般 式 方 程, 故 n = (3,- 1) 为 一 个 法 向 量. 单 位 法 向 量 n 0 = ± n, 故 单 位 法 向 量 是 n , 或 , 畅 解 : 令 x =0, 则 y = 7 3, 直 线 l 过 点 0, 7 3. 从 一 般 式 的 一 个 法 向 量 为 (,-3), 易 知 l 的 x 一 个 方 向 向 量 为 (3,),l 的 一 个 点 方 向 式 方 程 是 = y ; 一 个 点 法 向 式 方 程 是 ( x -0) +(-3) y = 0. 3 畅 解 :y =-3. 4 畅 解 : 直 线 ( - m) x + my + 3 = 0 的 法 向 量 为 ( - m, m), 而 直 线 x - my - 3 = 0 的 法 向 向 量 为 (1,- m); 根 据 条 件 两 直 线 垂 直, 则 两 直 线 的 法 向 量 相 互 垂 直, 故 两 个 法 向 量 的 内 积 为 零, 即 :( - m) 1 + m( - m) = 0, 故 m= 1 或 m=-. 5 畅 解 :(1) 设 与 l :3 x +y-5 = 0 平 行 的 直 线 为 3 x +y+m=0, 已 知 点 P(,-1) 在 直 线 上, 故 3 + (- 1) + m = 0, 所 以 m =-4, 此 直 线 为 3 x + y - 4 = 0. () 设 与 l :3 x + y - 5 = 0 垂 直 的 直 线 为 x - 3y + n = 0, 已 知 点 P(,-1) 在 直 线 上, 故 -3 (-1) + n= 0, 所 以 n =-7, 此 直 线 为 x -3y-7 = 0. 6 畅 解 :AM = (4,3), 对 角 线 AC 所 在 的 直 线 就 是 过 点 A 且 以 A M 为 一 个 方 向 向 量 的 直 线, 故 其 方 程 为 x +4 4 = y-0 3, 即 3x-4y+1 = 0. 对 角 线 BD 所 在 的 直 线 就 是 过 点 M 且 以 A M 为 一 个 法 向 量 的 直 线, 故 其 方 程 为 4( x - 0) + 3( y - 3) = 0, 即 4x+3y-9 = 0. 7 畅 解 : 根 据 条 件, BC =(- b,c) 为 l 的 一 个 方 向 向 量, 又 直 线 经 过 点 B(b,0), 故 BC 的 方 程 为 x - b - b = y c, 即 xc + by - bc = 0; 又 点 A(1,3) 在 直 线 上, 得 c 1 + b 3 - bc = 0, 即 10

19 ( b - 1)(c - 3) = 3; 由 于 b,c 为 正 整 数, 故 b-1,c-3 均 为 整 数, 所 以 只 可 能 有 以 下 四 种 情 况 : b - 1 = 1, c-3 = 3, b - 1 = 3, c-3 = 1, b =-, 由 b, c 为 正 整 数, 得 c =, x + y - 4 = 0. b - 1 =-1, b-1 =-3, 解 得 : c-3 =-3, c-3 =-1, b =, c = 6, b=, c = 6, b = 4, c = 4, b = 0, c = 0, b = 4, 为 解, 故 所 求 直 线 方 程 为 3 x + y - 6 = 0 或 c = 4 8 畅 解 :(1) 直 线 l 的 方 程 可 改 为 ( x - 1) a + x + y + = 0(a R), 则 x = 1, 所 以 直 线 总 经 过 定 点 (1,-3). y =-3, x-1 = 0, 得 x+ y+ = 0, () 令 x = 0,y = a- ;y = 0,x = a- a+1, 所 以 a- = a- a+1, 故 a= 或 a= 0, 此 时, 直 线 的 方 程 为 3 x + y = 0 或 x + y + = 0. 方 法 小 结 在 本 节 的 学 习 过 程 中, 我 们 主 要 体 验 到 以 下 思 想 方 法. 1 畅 向 量 思 想 在 直 线 的 方 程 这 节 里, 不 论 是 点 方 向 式 方 程 还 是 点 法 向 式 方 程, 都 是 通 过 向 量 方 法 建 立 的. 由 于 可 以 用 向 量 的 坐 标 这 个 代 数 形 式 表 示 一 个 方 向, 直 线 的 很 多 问 题 就 可 转 化 为 向 量 问 题 加 以 解 决, 如 两 直 线 平 行 垂 直 相 交 成 某 一 角 度 等 ( 后 面 章 节 中 会 学 习 ). 这 种 思 想 在 例 1 例 例 3 例 4 和 效 果 反 馈 中 的 4,5,6,7 中 都 有 体 现. 畅 方 程 思 想 本 节 中 直 线 用 方 程 这 个 代 数 形 式 进 行 描 述, 几 何 问 题 代 数 化 后 解 决. 在 例 5 中, 方 程 (a + ) x + (1 - a) y a = 0( 常 数 a R) 既 可 以 看 成 是 x 的 方 程, 也 可 以 看 成 是 参 数 a 的 方 程. 而 f1 ( x, y) a = f ( x, y) 对 任 何 实 数 a 均 成 立 当 且 仅 当 f1 ( x, y) = 0,f(x, y) = 0. 这 个 思 想 在 例 9 和 效 果 反 馈 中 的 第 8 题 中 都 有 体 现. 第 二 节 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 问 题 驱 动 第 一 节 中, 我 们 学 习 了 一 次 方 程 ax + by + c = 0(a,b 不 全 为 0) 是 直 线 的 方 程, 即 可 以 用 一 次 方 程 这 个 代 数 形 式 描 述 直 线 这 个 几 何 曲 线. 任 意 两 条 直 线 都 可 以 构 成 角, 为 了 把 它 代 数 化, 我 们 用 第 三 条 直 线 去 交 这 两 条 直 线 如, 果 知 道 它 们 各 自 与 第 三 条 直 线 所 交 成 的 角, 那 么, 它 们 构 成 的 角 就 可 以 算 出. 我 们 取 x 轴 作 为 第 三 条 直 线. 考 虑 任 意 直 线 与 x 轴 构 成 的 角, 由 此, 我 们 引 入 倾 斜 角 和 斜 率 两 个 概 念. 11

20 1 畅 什 么 是 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率? 1 畅 1 倾 斜 角 若 直 线 l 与 x 轴 相 交 于 点 M, 将 x 轴 绕 点 M 逆 时 针 方 向 旋 转 至 与 直 线 l 重 合 时 所 成 的 最 小 正 角 α 叫 做 直 线 l 的 倾 斜 角. 当 直 线 l 与 x 轴 平 行 或 重 合 ( 即 l 与 y 轴 垂 直 ) 时, 规 定 其 倾 斜 角 α = 0. 根 据 定 义, 直 线 的 倾 斜 角 α 的 取 值 范 围 是 [0,π). 特 别 地,l 与 x 轴 垂 直 时, α = π. 1 畅 斜 率 当 α π 时, 记 α 的 正 切 值 为 k, 把 k = tan α 叫 做 直 线 l 的 斜 率 ; 当 α = π 时, 直 线 l 的 斜 率 k 不 存 在. 根 据 斜 率 的 定 义 知,k > 0 时,α 0, π ;k = 0 时,α = 0;k < 0 时,α π,π. 畅 直 线 的 倾 斜 角 斜 率 方 向 向 量 间 有 何 关 系? 方 向 向 量 倾 斜 角 斜 率 都 可 以 用 来 描 述 直 线 的 倾 斜 程 度, 那 么, 三 者 有 何 关 系 呢? 能 否 由 一 个 量 确 定 其 他 两 个 呢? 畅 1 已 知 倾 斜 角 α 当 α π 时, k = tan α; 当 α = π 时, 斜 率 k 不 存 在. 方 向 向 量 d = ( rcos α, rsin α),r 0. 特 别 地, 当 α π 时, 显 然,rcos α 0, 则 rcos α rcos α, rsin α rcos α = (1,k) 也 是 直 线 的 一 个 方 向 向 量. 畅 已 知 斜 率 k α π 当 k 0 时, 由 α 0, π 故 α = π + arctan k., 故 倾 斜 角 α = arctan k ; 当 k < 0 时, 由 α π, π, 由 于 α π, 直 线 的 一 个 方 向 向 量 d = (1,k). 畅 3 已 知 一 个 方 向 向 量 d = (u, v) 当 u = 0 时, 直 线 垂 直 x 轴, k 不 存 在,α = π ; 当 u 0 时, d = 1, v u 也 是 一 个 方 向 向 量, 而 k 存 在, 再 由 上 面 的 分 析 知 (1,k) 也 是 方 向 向 量, 故 k = v u ( 这 个 结 论 也 可 以 从 几 何 角 度 研 究 得 到 ); 倾 斜 角 的 研 究 要 根 据 k = v u 的 符 号 讨 论, 请 读 者 自 行 完 成. 思 考 : 能 否 用 法 向 量 来 描 述 直 线 的 倾 斜 程 度? 它 和 方 向 向 量 倾 斜 角 斜 率 又 有 何 关 系? 1

21 3 畅 函 数 y = k x + b 中 x 项 的 系 数 k 与 斜 率 有 何 关 系? 将 y = k x + b 整 理 成 一 般 式 k x - y + b = 0 知 (k, - 1) 是 一 个 法 向 量, 则 (1,k ) 是 一 个 方 向 向 量. 而 对 于 这 个 函 数 的 图 像 也 就 是 这 条 直 线 而 言, 根 据 上 面 的 分 析 (1,k)( k 为 斜 率 ) 是 一 个 方 向 向 量, 故 k = k. 上 述 关 系 式 函 数 视 为 方 程 时, 其 x 前 的 系 数 就 是 这 条 直 线 的 斜 率. 我 们 把 y = kx + b 叫 做 直 线 的 斜 截 式 方 程.k 是 直 线 的 斜 率, 显 然, 直 线 过 点 (0,b),b 称 为 直 线 的 截 距. 例 题 思 考 例 1 已 知 直 线 l 上 两 点 A, B, 求 直 线 l 的 倾 斜 角 α 和 斜 率 k. (1) A(1,3),B(5,-1) ; () A(1,),B(1,-1) ; (3) A(0,5),B(-1,5). 说 明 : 本 题 考 察 学 生 对 倾 斜 角 斜 率 定 义 和 关 系 的 掌 握. 一 般, 当 x1 x 时, 过 两 点 A(x1, y1 ),B(x,y) 的 直 线 的 斜 率 k = 时, 直 线 斜 率 不 存 在. 解 : y - y1 x - x1 ; 当 x1 = x 例 (1) 已 知 直 线 斜 率 k =-, 求 倾 斜 角 α 及 一 个 方 向 向 量 ; () 已 知 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 为 d = ( 3,-3), 求 直 线 l 的 倾 斜 角 和 斜 率. 说 明 : 本 题 考 察 直 线 倾 斜 角 斜 率 方 向 向 量 之 间 的 关 系. 解 : 例 3 已 知 M( m +3,m),N(m-,1), 当 m 取 何 值 时, 直 线 MN 的 倾 斜 角 为 锐 角 直 角 钝 角? 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 倾 斜 角 和 斜 率 的 关 系. 解 : 例 4 求 直 线 y = sin α x + 1 的 倾 斜 角 的 范 围. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 倾 斜 角 和 斜 率 关 系 的 应 用. 解 : 13

22 例 5 已 知 M(- 1,- 5),N(3,- ), 若 直 线 l 的 倾 斜 角 是 直 线 MN 的 倾 斜 角 的 一 半, 求 直 线 l 的 斜 率. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 倾 斜 角 斜 率 定 义 及 其 应 用. 解 : 例 6 已 知 P(3,- 1),M(5,1),N(, 3-1), 直 线 l 过 P 点 且 与 线 段 MN 相 交, 求 : (1) 直 线 l 的 斜 率 k 的 取 值 范 围 ; () 直 线 l 的 倾 斜 角 α 的 范 围. 说 明 : 本 题 主 要 涉 及 倾 斜 角 和 斜 率 定 义 和 关 系 的 灵 活 应 用. 解 : 方 法 点 拨 例 1 已 知 直 线 上 两 点 就 可 求 出 一 个 方 向 向 量, 再 根 据 倾 斜 角 斜 率 和 方 向 向 量 之 间 的 关 系, 就 可 求 出 倾 斜 角 α 和 斜 率 k. 例 根 据 倾 斜 角 斜 率 和 方 向 向 量 三 者 的 关 系, 已 知 一 个, 求 其 他 两 个 ; 注 意 方 向 向 量 不 唯 一. 例 3 斜 率 和 倾 斜 角 存 在 以 下 关 系 :k > 0 骋 α 为 锐 角 ;k<0 骋 α 为 钝 角 ;k 不 存 在 骋 α = π. 例 4 显 然,k = sin α [ - 1,1], 根 据 k 的 取 值 范 围, 可 求 得 倾 斜 角 的 范 围. 例 5 根 据 直 线 l 的 倾 斜 角 是 直 线 MN 的 倾 斜 角 的 一 半, 建 立 两 直 线 斜 率 的 关 系, 由 直 线 MN 的 斜 率 求 出 直 线 l 的 斜 率. 例 6 直 线 l 过 P 点 且 与 线 段 MN 相 交, 则 直 线 l 的 倾 斜 角 可 等 于 或 介 于 直 线 MP 的 倾 斜 角 和 直 线 NP 的 倾 斜 角 之 间 ; 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 时 注 意 k 不 存 在 的 情 况. 例 题 解 析 例 1 解 :(1) 直 线 的 一 个 方 向 向 量 为 d = AB = (4,-4), 故 k = =-1, α = π+arctan(-1) = 3 4 π; () 直 线 的 一 个 方 向 向 量 为 d = AB = (0,- 3), 故 k 不 存 在, α = 1 π; (3) 直 线 的 一 个 方 向 向 量 为 d = AB = ( - 1,0), 故 k = 0-1 = 0,α = 0. 思 考 : 已 知 直 线 l 过 两 点 A( a,0),b(0,b), 直 线 l 的 倾 斜 角 α 和 斜 率 k 是 什 么? 例 解 :(1) k =-<0, 故 α 为 钝 角,α= π+arctan( - ) = π - arctan ; 直 线 的 一 个 方 向 14

23 向 量 d = (1,k) = (1,-); () k = =- 3 < 0,α = π + arctan k = π + arctan(- 3) = 3 π. 注 意 : 通 过 k 求 α 时, 要 先 判 断 k 的 符 号, 若 k > 0,α = arctan k 为 锐 角 ; 若 k < 0, α = π + arctan k 为 钝 角 ; 若 k = 0,α = 0. 例 3 解 : 若 直 线 MN 的 倾 斜 角 为 锐 角, 则 k = y1 x1 - y - x = m -1 (m + 3) - ( m - ) = m -1 m+5 >0, 故 m <-5 或 m>1; 若 直 线 MN 的 倾 斜 角 为 直 角, 则 k = m - 1 不 存 在, 故 m =-5; 若 直 线 m + 5 MN 的 倾 斜 角 为 钝 角, 则 k = m -1 m+5 < 0, 故 - 5 < m < 1. 思 考 : m = 1 时, 直 线 MN 的 倾 斜 角 为 何 值? 例 4 解 : 设 倾 斜 角 为 β, 由 题 意 知 斜 率 k = sin α [- 1,1] ; 当 k [- 1,0) 时,β 为 钝 角, β =π+arctan k, 由 arctan k π,0, 得 β =π+arctan k 3 4 π,π ; 当 k 0,1 时, β 为 锐 角, 得 β = arctan k 0, π 4 ; 当 k = 0 时,β = 0; 综 上 所 述, 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 0, π π,π. 说 明 : 上 题 的 α 不 是 倾 斜 角. 解 题 时, 需 注 意 当 k 的 符 号 不 同 时 须 分 开 讨 论, 因 为 k > 0, 倾 斜 角 为 锐 角 ;k < 0, 倾 斜 角 为 钝 角. 思 考 : 若 已 知 倾 斜 角 α π 4, 3 π, 斜 率 k 的 取 值 范 围 是 什 么? 例 5 解 : 设 直 线 l 的 倾 斜 角 为 α, 则 MN 的 倾 斜 角 为 α. 由 α [0,π) 得 α 0, π. 由 已 知 tan α = km N tan α = - 3 或 = --(-5) 3 - ( - 1) 1 3, 由 α 0, π = 3 4, tan α 1-tan α = 得 tan α > 0, 故 tan α = 3 4, 即 3tan α + 8tan α - 3 = 0. 解 得 1 3, 直 线 l 的 斜 率 为 1 3. 注 意 : 倾 斜 角 的 范 围 α [0,π) 是 一 个 隐 含 的 条 件, 由 它 得 到 的 α 0, π 是 一 个 舍 解 的 条 件. 例 6 解 :(1) kp M = 1-(-1) 5-3 = 1,kPN () 当 k ( -,- 3] 时, 倾 斜 角 α α= π 也 符 合 题 意. 综 上, α = π 4, 3 π. 3-3 =- 3, 故 k (-,- 3] [1,+ ); π, 3 π ; 当 k [1,+ ) 时,α 说 明 : 先 画 出 图 形 ; 在 学 习 解 析 几 何 时, 要 多 注 意 数 形 结 合. 效 果 反 馈 π 4,π ; 又 1 畅 已 知 直 线 的 倾 斜 角 为 α, 且 cos α = 3 5, 则 直 线 的 斜 率 为. 15

24 畅 经 过 A(-,0),B(5,3) 两 点 的 直 线 的 斜 率 是, 倾 斜 角 是. 3 畅 下 列 命 题 中, 正 确 的 是 (1) 若 两 直 线 的 倾 斜 角 相 等, 则 它 们 的 斜 率 也 一 定 相 等 ; () 若 两 直 线 的 斜 率 相 等, 则 它 们 的 倾 斜 角 也 一 定 相 等 ; (3) 若 两 直 线 的 倾 斜 角 不 相 等, 则 它 们 中 倾 斜 角 大 的, 其 斜 率 也 大 ; (4) 若 两 直 线 的 斜 率 不 相 等, 则 它 们 中 斜 率 大 的, 其 倾 斜 角 也 大. 4 畅 过 点 A(1 -a,1+ a),b(3,a) 的 直 线 的 倾 斜 角 为 钝 角, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是. 5 畅 直 线 x + ycos α - 8 = 0(α R) 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是. 6 畅 过 点 P( - 1,- 3) 的 直 线 l 与 y 轴 的 正 半 轴 没 有 公 共 点, 求 直 线 l 的 倾 斜 角 的 范 围. 7 畅 直 线 lx - y + = 0 的 倾 斜 角 大 小 为 α,l 与 y 轴 交 于 点 P, 将 l 绕 点 P 逆 时 针 旋 转 α 角 得 直 线 l, 求 l 的 方 程. 反 馈 分 析 1 畅 略. 畅 略. 3 畅 略. 4 畅 k < 0 骋 α 为 钝 角. 5 畅 先 求 斜 率 的 取 值 范 围, 再 求 倾 斜 角 的 取 值 范 围. 6 畅 可 先 求 出 斜 率 的 范 围, 再 求 出 倾 斜 角 的 范 围. 7 畅 由 题 意 结 合 图 形 知 α 的 范 围 为 α 0, π, 而 所 求 直 线 l 的 倾 斜 角 大 小 为 α (0,π), 只 需 求 l 的 斜 率 k = tan α 即 可. 简 要 答 案 1 畅 解 : 斜 率 k = tan α = 4 3. 畅 解 : 斜 率 k = (- ) = 3 7, 由 于 k > 0, 倾 斜 角 α = arctan k = arctan 畅 解 :(1) 错, 因 为 当 直 线 的 倾 斜 角 为 直 角 时, 斜 率 不 存 在 ;() 正 确 ;(3) 错, 反 例 :l1 的 倾 斜 角 α1 = 3 π,l 的 倾 斜 角 α = 1 3 π, 显 然,α1 > α, 但 k1 < k ;(4) 错, 反 例 同 (3). 4 畅 解 :k = a- (1 + a) 3-(1 - a) = a-1 a+ < 0, 故 a (-,1). 5 畅 解 : 当 cos α = 0 时, k 不 存 在, 倾 斜 角 β = π ; 当 cos α 0 时, k =- 1 cos α =-sec α 16

25 -,-1] [1,+, 此 时,β π 4, π π, 3 4 π, 故 β π 4, 3 4 π. 6 畅 解 法 一 : 因 为 kop = = 3, π 所 以, 直 线 OP 的 倾 斜 角 为 3, 由 直 线 l 与 y 轴 的 正 半 轴 没 有 公 共 点, 从 图 形 上 可 得 直 线 l 的 倾 斜 角 为 0, π 3 解 法 二 : 若 直 线 与 y 轴 没 有 交 点, 则 倾 斜 角 为 点 (0,b), 其 中 b 0, 所 以 斜 率 k = 斜 角 范 围 为 0, π 3 0, π 3 π,π., 当 k < 0 时, 倾 斜 角 范 围 为 π,π. π ; 若 直 线 与 y 轴 有 交 点, 根 据 题 意 交 点 为 b - (- 3) 0-(-1) = b+ 3 -, 3, 当 k 0 时, 倾 π,π, 综 上, 直 线 l 的 倾 斜 角 为 7 畅 解 : 直 线 l 的 方 程 整 理 得 :y = 1 x + 1, 所 以 直 线 l 的 斜 率 k = tan α = 1, 与 y 轴 的 交 点 P(0,1). 设 直 线 l 的 斜 率 为 k, 则 k = tan α = 向 量 为 1, 4 3 方 法 小 结 x, 故 直 线 方 程 为 = y tan α 1 - tan α = 4 3, 所 以 直 线 l 的 一 个 方 向, 即 4x-3y+3 = 0. 在 本 节 的 学 习 过 程 中, 我 们 主 要 体 验 到 以 下 的 思 想 方 法. 1 畅 分 类 讨 论 的 思 想 在 这 节 里, 斜 率 k 和 倾 斜 角 α 的 以 下 关 系 经 常 被 用 到 :k > 0 骋 α 为 锐 角 ;k< 0 骋 α 为 钝 角 ;k 不 存 在 骋 α = π, k = 0 骋 α= 0. 已 知 α, 若 α π, k = tan α; 若 α = π, 斜 率 不 存 在. 已 知 k, 就 要 根 据 k 的 符 号 来 分 类 求 α. 这 种 思 想 在 例 3 例 4 和 效 果 反 馈 的 第 3 第 4 第 5 等 题 中 都 有 所 应 用. 畅 数 形 结 合 的 思 想 解 析 几 何 是 用 代 数 方 法 研 究 几 何 问 题 的, 所 以 数 形 结 合 的 思 想 非 常 重 要. 本 节 中 倾 斜 角 斜 率 都 有 其 几 何 意 义, 结 合 图 形 会 使 问 题 更 直 观 易 于 理 解 和 解 决. 这 种 思 想 在 以 后 的 各 节 中 也 有 很 多 应 用. 本 节 的 例 题 6 和 效 果 反 馈 中 的 第 6 第 7 题 中 都 体 现 了 这 种 思 想. 第 三 节 两 条 直 线 的 位 置 关 系 问 题 驱 动 前 两 节, 我 们 研 究 了 直 线 的 方 程 倾 斜 角 斜 率 以 及 斜 率 与 直 线 的 方 向 向 量 之 间 的 关 系. 这 一 节, 我 们 来 研 究 两 条 直 线 的 位 置 关 系. 17

26 1 畅 平 面 内 两 条 直 线 的 位 置 关 系 有 几 种? 在 平 面 几 何 中, 两 条 直 线 有 平 行 相 交 两 类 关 系, 我 们 学 过 平 行 线 与 同 位 角 之 间 的 关 系, 即 两 条 直 线 平 行 的 判 定 和 性 质. 本 节, 我 们 用 代 数 方 法, 在 平 面 直 角 坐 标 系 中, 根 据 直 线 的 方 程 来 判 断 两 条 直 线 的 位 置 关 系. 设 直 线 l1 的 方 程 为 a1 x + b1 y + c1 = 0, 直 线 l 的 方 程 为 a x + b y + c = 0( 其 中 ai, bi, i = 1, 不 全 为 零 ). 1 畅 1 在 同 一 平 面 上, 两 条 直 线 有 几 种 位 置 关 系? 又 各 有 什 么 几 何 特 征? 同 一 平 面 内 两 条 直 线 有 相 交 平 行 和 重 合 三 种 位 置 关 系. 从 几 何 特 征 上 来 看 : 相 交 骋 有 唯 一 的 公 共 点 ; 平 行 骋 没 有 公 共 点 ; 重 合 骋 至 少 有 两 个 公 共 点, 进 而 有 无 数 个 公 共 点. 注 意 : 三 种 位 置 关 系 中, 相 交 包 括 垂 直, 即 垂 直 是 相 交 的 一 种 特 殊 情 况. 1 畅 当 两 条 直 线 相 交 时, 如 何 求 交 点 的 坐 标 呢? 由 直 线 与 直 线 方 程 的 对 应 关 系, 若 两 条 直 线 相 交, 则 交 点 的 坐 标 一 定 是 两 个 方 程 的 唯 一 公 共 解, 反 之, 若 两 个 二 元 一 次 方 程 只 有 一 个 公 共 解, 那 么, 以 这 个 解 为 坐 标 的 点 必 是 两 直 线 的 交 点. a1 x + b1 y + c = 0 联 立 l1 与 l 的 方 程 : (Ⅰ), 此 方 程 组 的 解, 即 为 直 线 l1 l 的 a x + b y + c = 0 交 点. 畅 怎 样 判 断 平 面 内 两 条 直 线 的 位 置 关 系 呢? 显 然, 直 线 的 位 置 关 系 与 方 程 组 的 解 有 关, 而 直 线 的 方 向 向 量 法 向 量 斜 率 体 现 了 直 线 的 方 向 或 倾 斜 程 度, 那 么, 它 们 与 直 线 的 位 置 关 系 有 怎 样 的 对 应 关 系 呢? 畅 1 两 直 线 的 位 置 关 系 与 方 程 组 的 解 之 间 有 怎 样 的 对 应 关 系? 计 算 行 列 式 : D = a1 a b1 b, Dx = - c1 - c b1 b, Dy = a1 a - c1 - c. 得 出 下 列 三 种 关 系 : l1 与 l 相 交 骋 方 程 组 (Ⅰ) 有 唯 一 解 骋 D 0 骋 a1 b1 a b 0; l1 与 l 平 行 骋 方 程 组 (Ⅰ) 无 解 骋 D = 0 且 Dx, Dy 中 至 少 有 一 个 不 为 零 ; l1 与 l 重 合 骋 方 程 组 (Ⅰ) 有 无 穷 多 解 骋 D = Dx = Dy = 0. 畅 从 向 量 的 角 度, 两 条 直 线 的 三 种 位 置 关 系 有 怎 样 的 体 现? 由 上 述 直 线 方 程 可 知, l1 与 l 的 一 个 方 向 向 量 分 别 是 d1 = (b1, - a1), d = (b, - a);l1 与 l 的 一 个 法 向 量 分 别 是 n1 = (a1, b1 ),n = (a,b). 则 l1 与 l 有 如 下 关 系 : 相 交 骋 d1 不 平 行 d 骋 d1 不 垂 直 n 骋 a b1 - a1 b 0; 平 行 痴 d1 平 行 d 骋 d1 垂 直 n 骋 ab1 - a1b = 0; 重 合 痴 d1 平 行 d 骋 d1 垂 直 n 骋 ab1 - a1b = 0. 特 别 是,l1 l 骋 d1 垂 直 d 骋 n1 垂 直 n 骋 a1 a + b1 b = 0. 18

27 提 醒 :a b1 = a1 b 迟 痴 l1 l ; 换 言 之, 不 重 合 的 两 条 直 线 l1 l 骋 a1 b = a b1. 畅 3 三 种 直 线 的 位 置 关 系 可 以 用 直 线 的 斜 率 表 示 吗? 由 于 不 是 所 有 的 直 线 都 有 斜 率, 因 此 需 要 按 斜 率 存 在 斜 率 不 存 在 分 类 讨 论. 若 至 少 有 一 条 直 线 的 斜 率 不 存 在, 则 设 此 直 线 方 程 为 x = x1, 通 过 观 察, 易 知 其 关 系. 若 两 直 线 的 斜 率 都 存 在, 直 线 方 程 可 以 化 为 l1 :y = k1 x + d1, l :y = k x + d, 则 有 : 1 l1 l 骋 k1 = k 且 d1 d ; l1 和 l 重 合 骋 k1 = k 且 d1 = d ;3 l1 和 l 相 交 骋 k1 k. 特 别 情 况,l1 l 骋 k1 k =-1. 注 意, 前 提 条 件 是 斜 率 都 存 在. 说 明 : 畅 1 畅 3 从 三 个 不 同 角 度, 给 出 了 两 直 线 位 置 关 系 的 判 定 方 法, 使 用 时, 要 注 意 方 法 上 的 选 择. 一 般 情 况, 采 用 畅 1 中 计 算 行 列 式 的 方 法 比 较 单 纯, 可 以 避 开 分 类 讨 论, 便 于 使 用. 3 畅 当 两 条 直 线 相 交 时, 用 什 么 来 描 述 它 们 相 对 的 位 置 关 系 呢? 两 条 直 线 相 交, 一 共 构 成 4 个 角, 我 们 用 夹 角 来 描 述 两 直 线 的 相 对 位 置 关 系. 3 畅 1 什 么 是 两 条 直 线 的 夹 角? 夹 角 的 取 值 范 围 又 是 什 么? 规 定 两 条 相 交 直 线 所 成 的 锐 角 ( 或 直 角 ) 为 两 条 相 交 直 线 的 夹 角. 如 果 两 条 直 线 平 行 或 重 合, 规 定 它 们 的 夹 角 为 零. 因 此, 两 条 直 线 的 夹 角 的 取 值 范 围 是 0, π, 两 条 相 交 直 线 夹 角 的 取 值 范 围 是 0, π. 3 畅 如 何 根 据 直 线 方 程 求 两 直 线 的 夹 角 呢? 从 直 线 的 方 向 向 量 和 斜 率 两 个 角 度 出 发, 两 直 线 的 夹 角 公 式 有 下 列 两 种 形 式 : (1) 设 直 线 l1 与 l 的 一 个 方 向 向 量 d 1 与 d 的 夹 角 为 θ, l1 与 l 的 夹 角 为 α, 则 cos α = cos θ = d1 d d1 d = a1 a + b1 b a 1 + b 1 a + b. () 若 直 线 l1 和 l 的 斜 率 均 存 在, 分 别 设 为 k1 k, 则 当 k1 k =-1 时,α= π ; 当 k1k -1 时, 夹 角 公 式 为 :tan α = k - k1 1 + k k1. 此 公 式 的 适 用 范 围 是 两 直 线 都 有 斜 率, 并 且 不 垂 直, 对 于 两 直 线 中 有 一 条 直 线 的 斜 率 不 存 在 时, 用 数 形 结 合 求 解. 例 题 思 考 例 1 问 a, b 分 别 取 什 么 值 时, 直 线 ax - y - 1 = 0 与 6x - 4y - b = 0 有 如 下 关 系 : (1) 平 行 ;() 重 合 ;(3) 相 交 ;(4) 垂 直. 说 明 : 本 题 主 要 考 察 两 直 线 的 平 行 重 合 相 交 垂 直 的 充 要 条 件 的 运 用. 解 : 19

28 例 (1) 若 直 线 l1 :ax + 3y + 1 = 0 与 l : x + ( a + 1)y + 1 = 0 互 相 平 行, 求 a 的 值 ; () 若 直 线 (a +) x +(1- a)y-3=0 与 (a-1) x +( a +3) y +=0 互 相 垂 直, 求 a 的 值. 说 明 : 本 题 强 调 两 直 线 平 行 垂 直 的 充 要 条 件, 熟 练 其 运 用. 解 : 例 3 若 三 条 直 线 l1 :3 x - y + = 0,l : x + y + 3 = 0,l3 :mx + y = 0, 当 m 为 何 值 时, 三 条 直 线 不 能 构 成 三 角 形? 说 明 : 本 题 是 直 线 位 置 关 系 的 综 合 运 用, 涉 及 到 求 直 线 的 交 点 及 直 线 的 平 行 或 重 合 的 概 念, 需 要 分 类 讨 论 的 思 想 方 法. 解 : 例 4 (1) 求 与 直 线 x + 3y + 5 = 0 平 行 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 之 和 为 5 的 直 线 l 的 方 程 ; 6 () 已 知 直 线 l 的 方 程 为 3 x + 4y - 1 = 0, 求 直 线 l 的 方 程, 使 l 与 l 垂 直 且 l 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 为 6. 说 明 : 本 例 体 现 了 待 定 系 数 法, 以 及 平 行 垂 直 的 条 件 在 求 直 线 方 程 时 的 运 用. 解 : 例 5 已 知 直 线 l 满 足 性 质 : 如 果 任 意 一 点 ( x, y) 在 直 线 l 上, 那 么, 点 ( x + 3y,8x - y) 也 在 直 线 l 上, 求 直 线 l 的 方 程. 说 明 : 本 题 有 较 大 的 思 维 量, 有 一 定 的 难 度. 可 以 运 用 两 直 线 重 合 的 充 要 条 件 解 决, 也 可 以 利 用 向 量 平 行 的 充 要 条 件 解 决. 解 : 例 6 (1) 求 直 线 x = 3 与 直 线 x - y + 3 = 0 的 夹 角 ; () 直 线 l 过 点 P( - 4,1), 且 与 直 线 m:3 x - y + 1 = 0 的 夹 角 大 小 为 arccos l 的 方 程. 说 明 : 本 题 主 要 考 察 了 解 直 线 的 夹 角 公 式 cos α = a1 a + b1 b a 1 + b 1 a + b 小 题 探 讨 求 过 定 点 P, 且 与 某 直 线 夹 角 为 α 的 直 线 方 程 这 类 基 本 问 题 的 处 理 方 法., 求 的 运 用.() 0

29 解 : 例 7 等 腰 三 角 形 的 一 个 腰 所 在 直 线 l1 的 方 程 是 x - y - = 0, 底 边 所 在 直 线 l 的 方 程 是 x + y -1 = 0, 点 (-,0) 在 另 一 腰 上, 求 这 条 腰 所 在 直 线 l3 的 方 程.( 图 1 1 ) 说 明 : 本 题 是 夹 角 公 式 与 平 几 知 识 的 综 合, 采 用 待 定 系 数 法 来 解 决. 解 : 图 11 方 法 点 拨 例 1 可 直 接 用 行 列 式 计 算, 再 根 据 直 线 几 种 位 置 关 系 的 充 要 条 件, 分 别 确 定 字 母 的 值. 例 (1) D = 0 是 两 直 线 平 行 的 必 要 条 件, 因 此 由 D = 0 求 得 的 字 母 取 值 可 能 使 两 直 线 平 行, 也 可 能 是 重 合, 注 意 检 验.() 小 题 利 用 垂 直 的 充 要 条 件 求 解. 例 3 当 三 条 直 线 交 于 一 点 或 者 至 少 有 两 条 平 行 或 重 合 时, 三 条 直 线 不 能 构 成 三 角 形, 因 此, 需 要 分 类 讨 论 的 思 想 方 法. 例 4 待 定 系 数 法 求 直 线 方 程. 例 5 由 已 知, 点 ( x, y) 和 ( x + 3y,8 x - y) 都 在 直 线 l 上, 运 用 待 定 系 数 法. 设 直 线 l 的 方 程, 再 根 据 两 条 直 线 重 合 的 充 要 条 件 解 决. 例 6 (1) 小 题, 求 夹 角 问 题 : 可 以 直 接 用 夹 角 公 式, 但 是 对 于 本 例, 直 线 x =3 垂 直 于 x 轴, 可 以 不 用 夹 角 公 式, 直 接 画 图, 由 直 线 x - y + 3 = 0 的 倾 斜 角 得 出 ; () 小 题, 已 知 夹 角 求 直 线 方 程 的 问 题. 运 用 夹 角 公 式 待 定 系 数 法 处 理. 注 意 : 此 题 容 易 漏 掉 x =-4 这 条 直 线. 例 7 待 定 系 数 法. 设 过 点 (-,0) 的 直 线 l3 的 方 程, 再 由 直 线 l1 与 l 的 夹 角 等 于 l 与 l3 的 夹 角 列 式, 求 未 知 的 字 母. 例 题 解 析 例 1 解 : 对 于 方 程 组 Dx = ax - y - 1 = 0, 6x-4y-b= 0, 1 - a 1 b -4 = b, Dy = 6 b D = = ba - 6. a =-4a+1, (1) 由 D = 0 且 D x 0 或 D y 0 得 a = 3, 且 b 时, 两 直 线 平 行 ; () 由 D = D x = Dy = 0 得 a = 3, 且 b= 时, 两 直 线 重 合 ; (3) 由 D 0 得 a 3 时, 两 直 线 相 交 ; 1

30 (4) 由 a1 a + b1 b = 0 骋 6a+8 = 0 骋 a=- 4 3 时, 两 直 线 垂 直. 例 解 :(1) l1 l, 由 于 D = 0, a(a+1) - 6 = 0, 解 得 a =-3 或 a=. 当 a =-3 时 两 方 程 化 为 - 3x + 3y + 1 = 0 与 x - y + 1 = 0, 显 然, 两 直 线 平 行, 当 a = 时, 两 方 程 化 为 x + 3 y + 1 = 0 与 x + 3y + 1 = 0, 两 直 线 重 合, a = 不 符 合, a =-3 即 为 所 求. () 两 直 线 垂 直, (a + )( a - 1) + (1 - a)(a + 3) = 0, a -1 =0,a=±1 为 所 求. 例 3 解 : 三 条 直 线 不 能 构 成 三 角 形 骋 三 条 直 线 交 于 同 一 点 或 其 中 至 少 有 两 条 直 线 平 行. (1) 三 条 直 线 交 于 同 一 点 : 解 方 程 组 3 x - y + = 0, x =-1, 得 即 l1 x+ y+3 = 0, y =-1, 与 l 的 交 点 是 ( - 1,- 1), 把 点 (-1,- 1) 代 入 直 线 l3 的 方 程 得 m =-1. () 至 少 有 两 条 直 线 平 行 时, 由 l1 l 得 m =-3; 由 l l3 得 m =. 综 上 所 述 : 当 m =-1 或 m=-3 或 m= 时, 三 条 直 线 不 能 构 成 三 角 形. 说 明 : 解 决 三 条 直 线 交 于 一 点 的 问 题 时, 一 般 先 求 出 其 中 两 条 直 线 的 交 点, 再 根 据 此 交 点 也 在 第 三 条 直 线 上 求 解. 例 4 解 :(1) 由 两 直 线 平 行, 设 直 线 l : x + 3 y + m = 0, 令 x= 0, 得 y =- m 3, 令 y= 0, 得 x = - m, 由 题 意 :- m m = 5 6 痴 m =-1, 所 以 直 线 l 的 方 程 是 x + 3 y - 1 = 0. () 由 两 直 线 垂 直, 设 直 线 l 的 方 程 为 4 x - 3 y + m = 0, 令 x = 0, 得 y = m 3, 令 y = 0, 得 x =- m 4, 由 题 意 : 1 - m 4 m 3 = 6, 即 m = 144,m =±1. 所 以, 直 线 l 的 方 程 为 4 x - 3 y + 1 = 0 或 4 x - 3y - 1 = 0. 说 明 :(1) 一 般 地, 与 直 线 Ax + By + C = 0 平 行 的 直 线 方 程 可 设 为 Ax + By + m = 0, 其 中 m 待 定 ; 待 定. () 一 般 地, 与 直 线 Ax + By + C = 0 垂 直 的 直 线 方 程 可 设 为 Bx - Ay + m = 0, 其 中 m 例 5 解 : 由 已 知, 点 ( x, y) 和 (x + 3 y,8 x - y) 都 在 直 线 l 上, 而 当 x = y = 0 时, x + 3 y = 8 x - y = 0, 所 以 直 线 l 经 过 原 点, 且 不 能 与 坐 标 轴 重 合. 因 此 可 设 直 线 l 的 方 程 为 :mx + ny = 0(mn 0). 点 (x+ 3y,8x - y) 仍 在 直 线 l 上, m(x+3y)+ n(8 x - y) = 0. 即 (m+ 8n)x+ (3m - n) y = 0. 由 题 意, 方 程 1 与 表 示 的 是 同 一 条 直 线 l, 所 以 m(3 m - n) = n(m +8n). 即 3m -mn -8n = 0, 解 得 :m =- 4 3 n,m=-n. 所 以 直 线 l 的 方 程 为 4 x -3y= 0 或 x + y = 0. 说 明 : 本 题 也 可 以 设 直 线 方 程 的 一 般 式 :ax + by + c = 01, 点 (x+3y,8x - y) 仍 在 直 线 l 上, a( x + 3 y) + b(8 x - y) + c = 0. 再 由 直 线 1 与 重 合, 求 得 系 数 a, b, c. 1

31 例 6 解 :(1) 数 形 结 合 得 零 ], 则 π - arctan, 即 为 所 求 ; () 设 l 的 方 程 为 a( x +4) + b(y-1) =0[ 其 中 n = (a,b) 为 一 法 向 量, a, b 不 同 时 为 3a- b = 3 10, 即 3 a + b = 3a - b. a + b 3 +(- 1) 10 化 简 为 b(3 a +4b) = 0, 解 方 程, 得 b = 0,3a =-4b. 当 b= 0 时, 则 a 0, 此 时 方 程 为 x =-4. 当 3a =-4b 0 时, 方 程 为 4( x + 4) - 3( y - 1) = 0, 即 4x-3y+19 = 0. 综 上,l 的 方 程 是 x =-4 或 4x-3y+19 = 0. 例 7 解 : 设 l3 的 方 程 为 a( x + ) + b( y - 0) = 0[ 其 中 n = (a,b) 为 一 法 向 量, a, b 不 同 时 为 零 ],l1 与 l 的 夹 角 是 θ1, l 与 l3 的 夹 角 是 θ, 由 夹 角 公 式 得 cos θ1 = 所 围 成 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形, 所 以 θ1 = θ,cos θ = a + b a + b 1 10, 又 l1 l l3 痴 a + 5ab + b = 0, 即 a= b 或 a= b. 舍 去 a = b( 否 则 与 直 线 l1 重 合 ), l3 的 方 程 是 : x - y +4 =0. 联 系. 说 明 可 以 用 点 斜 式, 设 l3 的 方 程 为 y = k( x + ) 或 x =-. 说 明 : 本 例 是 一 道 几 何 综 合 题, 需 要 先 从 几 何 特 点 入 手, 找 出 所 求 量 与 已 知 量 之 间 的 效 果 反 馈 一 选 择 题 1 畅 下 列 各 组 直 线 中, 两 条 直 线 互 相 平 行 的 是 ( ). A 畅 y = 3x +1 与 y-6x+4 = 0 B 畅 y =-x 与 x-y+5 = 0 C 畅 4x-3y=5 与 8x-6y=10 D 畅 3 x + y - 1 = 0 与 3 x + 3 y + 6 = 0 畅 若 直 线 l1 l 的 倾 斜 角 分 别 为 α1, α, 且 l1 l, 则 ( ). A 畅 α1 - α = 90 B 畅 α - α1 = 90 C 畅 α1 - α = 90 D 畅 α1 + α = 90 3 畅 已 知 两 条 直 线 l1 :x + y 1 + cos α + c1 = 0,l :xsin α + y 1 - cos α + c = 0,α π, 3 π, c1,c R, 则 l1 与 l 的 位 置 关 系 是 ( ). A 畅 平 行 B 畅 垂 直 C 畅 平 行 或 重 合 D 畅 相 交 但 不 一 定 垂 直 4 畅 若 三 条 直 线 l1 : x + 1 = 0,l :mx + y = 0,l3 :x+ my- 1 = 0 中 有 两 条 直 线 平 行, 则 m 所 有 可 能 的 值 的 个 数 为 ( ). A 畅 B 畅 3 C 畅 4 D 畅 5 二 填 空 题 5 畅 (1) 若 直 线 x + ay = a + 和 ax + y = a +1 平 行, 则 实 数 a 的 取 值 为 ; () 直 线 l1 : x + ( m + 1)y + 4 = 0 与 l :mx + 3y - = 0 平 行, 则 m 的 值 为 ; (3) 直 线 Ax -y-1 = 0 和 6x -4y+c= 0 平 行 的 条 件 是. 6 畅 (1) 过 点 A(1,-4) 且 与 直 线 x + 3 y + 5 = 0 平 行 的 直 线 方 程 是 ; =

32 () 过 点 A(,1), 且 与 直 线 x + y - 10 = 0 垂 直 的 直 线 l 的 方 程 是. 7 畅 (1) 直 线 ax +4y- = 0 与 x -5y+ c= 0 垂 直 相 交 于 (1,m), 则 c = ; () 过 原 点 作 直 线 l 的 垂 线, 若 垂 足 为 点 (-,3), 则 直 线 l 的 方 程 是. 8 畅 直 线 l : x - y -4= 0 绕 它 与 x 轴 交 点 逆 时 针 旋 转 45 所 得 到 的 直 线 的 方 程 是. 9 畅 经 过 原 点 且 过 直 线 l1 :x - y + = 0 与 l : x - y - = 0 交 点 的 直 线 方 程 是. 三 解 答 题 10 畅 是 否 存 在 实 数 k, 使 直 线 3x -(k+)y +6=0 与 直 线 kx +(k -3) y += 0 分 别 有 如 下 的 位 置 关 系 :(1) 平 行 ;() 重 合 ;(3) 相 交 ;(4) 垂 直 ;(5) 相 交, 且 交 点 在 第 二 象 限. 若 存 在, 求 出 k 的 值 ; 若 不 存 在, 说 明 理 由. 11 畅 直 线 l 过 点 M(0,-) 且 与 直 线 l1 :x + y - 3 = 0 和 l :x - y + 4 = 0 分 别 交 于 点 P, Q, 若 M 恰 为 线 段 PQ 的 中 点, 求 直 线 l 的 方 程. 1 畅 已 知 ABC 的 三 个 顶 点 为 A(,1),B(6,1),C(5,5), (1) 求 ABC 中 A 的 大 小 ;() 求 A 的 平 分 线 所 在 直 线 的 方 程. 13 畅 设 直 线 的 方 程 为 ( m + 1) x + (3m - ) y - 18m + 5 = 0, 求 证 : 不 论 m 为 何 实 数 值, 所 给 的 直 线 均 经 过 一 定 点. 14 畅 已 知 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 的 直 角 边 BC 所 在 的 直 线 方 程 为 x - y - 6 = 0, 顶 点 A(0, 6), 求 斜 边 AB 和 另 一 直 角 边 AC 所 在 的 直 线 方 程. 15 畅 一 束 光 线 沿 直 线 l1 : x + y - = 0 照 射 到 直 线 l :x + y + = 0 上 后 反 射, 求 反 射 线 所 在 直 线 l3 的 方 程. 16 畅 已 知 ABC 的 顶 点 A(3,-1),AB 边 的 中 线 所 在 的 直 线 方 程 为 6 x +10 y -59 =0, B 的 平 分 线 所 在 直 线 的 方 程 为 x - 4 y + 10 = 0, 求 BC 边 所 在 直 线 的 方 程. 4

33 反 馈 分 析 1 ~ 4 畅 运 用 两 条 直 线 平 行 或 垂 直 的 充 要 条 件 判 定. 5 畅 已 知 两 条 直 线 平 行, 求 系 数 中 字 母 的 值, 要 注 意 怎 样 区 分 平 行 与 重 合. 6 ~ 9 畅 求 满 足 某 种 条 件 的 直 线 方 程 的 问 题. 一 般 采 用 待 定 系 数 法, 具 体 思 路 是 : 先 设 出 直 线 的 方 程, 再 根 据 直 线 满 足 的 条 件, 比 如 夹 角 过 某 点 截 距 等, 运 用 相 应 的 公 式 和 性 质, 列 出 等 量 关 系, 从 而 确 定 直 线 方 程 的 系 数. 对 第 8 题, 注 意 结 果 的 取 舍. 10 畅 类 似 例 题 1, 利 用 两 直 线 位 置 关 系 的 代 数 特 征 解 题. 11 畅 有 两 种 思 路 : 思 路 一, 设 l :a( x - 0) + b(y + ) = 0, 分 别 与 l1 l 联 立 方 程 组, 解 出 点 P, Q 坐 标, 再 由 M 为 线 段 PQ 的 中 点, 列 出 等 量 关 系, 确 定 a, b; 思 路 二, 设 点 P(m, n), 由 中 点 公 式, 得 Q( - m, n), 又 点 P, Q 分 别 在 l1 l 上, 列 方 程 组, 解 出 m, n, 从 而 得 出 P, Q 的 坐 标. 1 畅 (1) 先 求 过 A 的 两 条 边 所 在 直 线 方 程, 由 夹 角 公 式 可 得 ; () 设 角 平 分 线 所 在 直 线 方 程 a(x - ) + b( y - 1) = 0, 由 角 平 分 线 与 两 边 AB, AC 成 等 角, 运 用 夹 角 公 式, 解 出 a, b. 13 畅 方 法 1, 给 定 m 不 同 的 值, 方 程 表 示 不 同 直 线, 因 此 本 题 可 以 利 用 例 3 中 三 条 直 线 交 于 一 点 方 法 : 给 定 m 两 个 具 体 值, 求 出 交 点 坐 标. 再 把 交 点 坐 标 代 入 原 方 程, 验 证 对 于 任 意 m, 方 程 均 成 立 即 可 ; 方 法, 原 方 程 对 于 任 意 m 均 成 立, 即 看 成 关 于 m 的 一 次 方 程 恒 有 解, 由 此 可 得 出 定 点 坐 标. 14 畅 处 理 本 题 的 思 路 类 似 例 6. 数 形 结 合 知 : 求 斜 边 AB 的 方 程, 即 求 过 点 A(0,6) 且 与 直 线 BC 夹 角 大 小 为 π 4 的 直 线, 有 两 解. 而 直 角 边 AC BC, 知 其 斜 率, 再 由 点 斜 式 可 得. 15 畅 处 理 本 题 的 方 法, 类 似 例 7, 由 角 相 等 和 待 定 系 数 法, 列 方 程 解 出 所 求 直 线 方 程 中 的 系 数. 16 畅 由 已 知, BC 边 可 由 B 的 平 分 线 以 及 AB 边 的 关 系 来 确 定, 而 AB 边 的 确 定 需 要 根 据 它 的 中 线 求 出 B 点 的 坐 标. 本 题 B 点 的 坐 标 是 联 系 的 桥 梁. 而 求 点 B 的 坐 标, 往 往 也 采 取 待 定 系 数 的 思 想, 通 过 找 出 与 之 有 关 的 两 个 方 程 来 解 决. 简 要 答 案 1 畅 A. 畅 C. 3 畅 B. 4 畅 B. 5 畅 解 :(1) 1; () 或 -3; (3) A = 3 且 C -. 6 畅 解 :(1) 设 l 方 程 x + 3y + m = 0, l 过 点 A(1,-4),m = 10, x + 3y + 10 = 0 为 所 求.() 设 直 线 方 程 x - y + m = 0, 直 线 过 A(,1), m= 0, x-y= 0 为 所 求. 7 畅 解 :(1) a = 10, 得 垂 足 (1,- ),c =-1;() x - 3 y + 13 = 0. 8 畅 解 : 得 k =-3, 或 9 畅 解 方 程 组 : 1 3, 由 题 意 3x + y - 6 = 0, 注 意 取 舍. x - y + = 0, 得 x- y- = 0, x =, y =, l1 与 l 的 交 点 是 (,), 设 过 原 点 的 直 线 方 程 为 y = kx, 把 点 (,) 代 入 得 k = 1, 所 求 的 直 线 方 程 为 y = x. 10 畅 解 : 联 立 方 程 组 3 x - (k + ) y + 6 = 0, kx +( k -3)y + = 0, 5

34 由 D = 0 痴 k1 =-9,k = 1; 由 Dx = 0 痴 k = 1; 由 Dy = 0 痴 k= 1. 所 以 : (1) k =-9 时, 两 直 线 平 行 ;() k =1 时, 两 直 线 重 合 ;(3) k -9 且 k 1 时, 两 直 线 相 交 ; (4) 由 3k - ( k + )( k - 3) = 0 痴 k = 1 ± k + 9, - 6 k + 9, 显 然 不 存 在 实 数 k, 使 交 点 在 第 二 象 限. 时, 两 直 线 垂 直 ;(5) 交 点 坐 标 为 11 畅 解 : 设 点 P(m, n), 由 中 点 公 式, 得 Q(- m, n), 又 点 P Q 分 别 在 l1 l 上, 列 方 程 组 m + n -3 = 0, 解 得 m = 6,n =-3, x+6y+1 = 0 为 所 求. - m- (- 4 - n) + 4 = 0, 1 畅 解 :(1) ka B = 0,kAC = 4 3, A = arctan 4 3 ;() tan A =- 或 tan A = 1 ( 舍 - ), k = 1, 又 已 知 它 过 点 (,1), 所 以, 角 平 分 线 的 方 程 为 : x -y= 畅 解 : 方 法 1, 取 m = 0,1 得 : x - y + 5 = 0 痴 3 x + y -13 = 0 x = 3, 把 交 点 坐 标 (3,4) 代 入 原 方 程, y = 4, 可 知 对 于 任 意 m, 原 方 程 均 成 立, 即 不 论 m 为 何 值, 所 给 的 直 线 经 过 一 定 点 (3,4). 方 法, 对 于 任 意 实 数 m, 关 于 x, y 的 方 程 (m +1) x +(3m -) y -18 m +5=0 的 解 都 相 同 骋 ( x + 3 y - 18) m + ( x - y + 5) = 0 对 于 任 意 实 数 m 恒 成 立, 得 : x -y+5 = 0, 解 得 x+ 3y- 18 = 0, x = 3, 即 不 论 m 为 何 值, 所 给 的 直 线 经 过 一 定 点 (3,4). y = 4, 14 畅 解 : 显 然, 斜 边 AB 所 在 的 直 线 斜 率 存 在, 设 AB 所 在 的 直 线 为 y = kx +6. 由 BC 与 AB 夹 角 为 π 4, k+ 5 k +1 = cos π 4 痴 k = 3 或 k = 所 以, 斜 边 AB 所 在 的 直 线 方 程 为 3x - y + 6 = 0 或 x + 3 y - 18 = 0. 又 AC BC, 知 其 斜 率 -, 得 直 角 边 AC 所 在 的 直 线 方 程 为 x + y - 6 = 畅 解 : 由 x + y -=0, 得 反 射 点 的 坐 标 为 (,-). x+y+=0, 设 l3 的 方 程 为 a( x - ) + b( y + ) = 0( 其 中 n = (a, b) 为 一 法 向 量, a, b 不 同 时 为 零 ). 由 反 射 原 理, 直 线 l1 与 l 的 夹 角 等 于 l 与 l3 的 夹 角, 得 = a+b 痴 a= b 或 11 a =-b, 5 a + b 舍 去 a = b( 否 则 与 l1 重 合 ),a=- 11 b, 得 l3 的 方 程 为 x -11y -6 = 畅 解 : 设 点 B(a, b), 则 AB 的 中 点 P a + 3, b - 1, 由 B 点 在 其 角 平 分 线 上, 中 点 P 在 AB 边 的 中 线 上, 列 出 关 于 a,b 的 方 程 组, 解 得 :a = 10,b= 5, B(10,5), 从 而 得 直 线 AB : 6x -7y-5 = 0, 由 题 意,BC 边 所 在 直 线 的 斜 率 存 在, 设 BC :y -5= k(x-10), 根 据 夹 角 公 式, 得 k =- 9 或 k= 6 7, 其 中 k= 6 舍 去 ( 否 则 BC 与 AB 重 合 ), 所 以,BC 边 所 7 6

35 在 直 线 的 方 程 为 x + 9 y - 65 = 0. 方 法 小 结 这 节 主 要 涉 及 两 类 基 本 问 题 : 一 是 给 定 两 条 直 线 方 程, 判 定 位 置 关 系, 或 求 夹 角 ; 二 是 给 定 平 行 垂 直 夹 角 等 条 件, 求 直 线 方 程. 运 用 了 以 下 几 个 思 想 方 法 来 处 理 : 1 畅 待 定 系 数 法 先 设 出 所 求 的 直 线 方 程, 再 由 其 他 条 件 列 方 程, 确 定 未 知 系 数 主 要 体 现 在 解 决 例 4 例 5 例 6 例 7 的 过 程 中. 那 么, 运 用 待 定 系 数 法 时, 如 何 设 定 所 求 直 线 的 方 程 呢? 确 定 一 条 直 线 需 要 两 个 量 : 两 个 点 或 者 一 点 一 个 方 向 ( 直 线 的 方 向 由 方 向 向 量 法 向 量 斜 率 刻 画 ), 故 常 有 两 类 设 定 方 式 :1 若 已 知 直 线 的 方 向, 设 直 线 方 程 为 y = kx + b, 其 中 b 待 定 ; 若 已 知 直 线 过 某 点, 通 常 设 直 线 方 程 为 点 法 向 式 或 者 点 斜 式, 但 需 要 注 意 点 斜 式 不 要 遗 漏 对 斜 率 不 存 在 情 形 的 讨 论, 比 如, 例 7 可 设 l3 的 方 程 为 y = k( x + ) 或 x =-, 化 为 一 般 式, 再 用 夹 角 公 式 解 决 ; 而 例 6 也 可 类 似 例 7 设 点 法 向 式. 待 定 系 数 法 还 体 现 在 效 果 反 馈 中 的 第 6 9 题, 以 及 第 11 第 14 第 15 第 16 题 的 解 决 过 程 中. 畅 数 形 结 合 主 要 体 现 在 解 决 例 6(1) 例 7 的 过 程 中. 解 析 几 何 的 本 质 是 用 代 数 方 法 研 究 几 何 问 题. 因 此, 很 多 问 题 是 先 结 合 图 形, 从 几 何 特 性 入 手, 从 而 找 出 所 求 量 与 已 知 量 之 间 的 代 数 关 系 式. 比 如 例 7, 找 出 l3 过 点 (-,0), 且 满 足 直 线 l1 与 l 的 夹 角 等 于 l 与 l3 的 夹 角, 由 此 知 道, 只 需 根 据 夹 角 公 式, 确 定 未 知 系 数 即 可. 数 形 结 合 的 思 想 还 体 现 在 效 果 反 馈 中 的 第 14 第 15 第 16 题 的 解 决 过 程 中. 3 畅 化 归 的 思 想 把 一 个 新 的 ( 或 较 复 杂 的 ) 问 题 转 化 为 已 经 解 决 过 的 问 题 上 来 主 要 体 现 在 解 决 例 3 例 5 的 过 程 中. 通 过 对 问 题 中 数 与 形 的 分 析, 例 3 把 问 题 转 化 为 我 们 熟 悉 的 三 条 直 线 交 于 一 点 或 者 有 两 条 平 行 或 重 合 位 置 关 系 问 题 ; 例 5 把 问 题 转 化 为 两 直 线 重 合 的 充 要 条 件 来 处 理. 化 归 的 思 想 还 体 现 在 效 果 反 馈 中 的 第 13 第 14 第 15 题 的 解 决 过 程 中. 第 13 题 转 化 为 特 殊 一 般 的 方 法 处 理, 或 转 化 为 方 程 的 问 题 来 处 理 ; 第 14 题 则 把 复 杂 的 问 题, 转 化 成 类 同 例 6() 求 过 定 点, 且 与 某 直 线 夹 角 为 α 的 直 线 方 程 这 类 基 本 的 问 题 ; 而 第 16 题, 其 本 质 就 是 例 7 的 一 个 变 式. 第 四 节 点 到 直 线 的 距 离 问 题 驱 动 1 畅 求 平 面 内 点 到 直 线 的 距 离, 对 点 与 直 线 的 位 置 形 式 有 何 要 求? 求 平 面 内 点 到 直 线 的 距 离, 要 区 分 点 在 线 上 和 线 外 的 情 形. 同 时 要 求 将 直 线 方 程 化 到 一 般 式 ax + by + c = 0( a b 不 都 为 零 ). 若 a,b 中 有 一 个 是 零, 可 结 合 图 形, 不 必 代 入 公 式. 7

36 畅 如 何 避 开 求 点 P(x0, y0) 到 直 线 l 的 射 影 Q(xQ, yq) 的 具 体 坐 标 值? 直 接 求 QP = (x0 - xq ) + ( y0 - yq), 需 要 知 道 点 Q 的 坐 标, 但 这 带 来 繁 冗 的 计 算. 课 本 的 方 法 是 将 QP 转 化 为 QP, 再 想 到 QP = QP n n, 其 中 QP =(x0 -xq, y0 -yq), n = (a,b). 利 用 点 在 线 上, 有 ax0 + by0 + c = 0, 代 换 掉 x0 y0, 从 而 得 解. 这 种 设 出 Q 的 坐 标 但 不 用 求 的 想 法 值 得 同 学 们 在 今 后 的 学 习 中 借 鉴. 3 畅 与 传 统 推 导 方 法 相 比, 向 量 方 法 有 优 势 吗? 传 统 推 导 平 面 内 点 到 直 线 的 距 离 的 代 数 方 法 是 : 通 过 求 垂 线 方 程, 求 出 点 在 直 线 上 的 垂 足 坐 标, 再 进 一 步 求 两 点 的 距 离 ( 即 将 点 线 的 距 离 转 化 为 点 点 距 离 ). 与 传 统 的 代 数 方 法 相 比 较, 向 量 方 法 推 导 点 线 距 离 公 式 充 分 利 用 直 线 法 向 量 的 意 义, 不 仅 思 想 简 单, 计 算 容 易, 而 且 更 能 体 现 向 量 工 具 的 优 越 性. 4 畅 点 到 直 线 的 距 离 公 式 的 结 构 特 点 是 什 么? 此 公 式 中 涉 及 到 有 三 个 几 何 量 :1 点 ; 直 线 ;3 距 离. 从 方 程 观 点 分 析, 求 这 三 个 几 何 量 的 值 是 本 节 公 式 基 本 的 技 能 要 求. 一 般 已 知 其 中 两 个 求 第 三 个, 常 常 需 结 合 图 形 全 面 考 虑. 5 畅 如 何 确 定 点 P 关 于 直 线 l 的 位 置? 由 向 量 数 量 积 公 式 a b = a b cos θ 知 :a b >0; a 与 b d = QP = QP n n 与 b 同 向 平 行 骋 θ =0,a b = a 反 向 平 行 骋 θ = π,a b =- a b <0. 由 点 到 线 的 距 离 公 式 的 推 导 : 得 d = ax0 + by0 + c a + b =± 的 所 有 点,δ 的 符 号 是 相 同 的, 在 直 线 异 侧 的 所 有 点,δ 的 符 号 是 相 反 的. 例 题 思 考 例 1 求 点 P0 (-1,) 到 下 列 直 线 的 距 离 : (1)y =-x+10; ()3 x =. 说 明 : 本 例 考 察 点 线 距 离 公 式 的 直 接 应 用. ax0 + by0 + c a + b =±δ. 所 以 在 直 线 同 侧 例 求 平 行 线 x - y -3 = 0 和 x -y-5 = 0 间 的 距 离. 说 明 : 本 例 考 察 平 行 线 间 的 距 离. 例 3 求 过 点 A(-1,), 且 与 原 点 的 距 离 等 于 的 直 线 方 程. 8

37 说 明 : 本 例 是 已 知 点 和 距 离 而 求 直 线, 满 足 条 件 的 直 线 不 唯 一. 例 4 分 别 过 A(-4,0) B(0,-3) 作 两 条 平 行 线, 求 满 足 下 列 条 件 的 两 直 线 方 程 : (1) 两 平 行 线 间 的 距 离 为 4; () 这 两 条 直 线 各 自 绕 A B 旋 转, 使 它 们 之 间 的 距 离 取 最 大 值. 说 明 : 本 例 考 察 运 用 函 数 思 想 解 决 距 离 的 最 值 问 题. 例 5 设 a R +, 两 点 A(4,3),B(-4,-3) 到 直 线 l 的 距 离 均 为 a, 求 满 足 条 件 的 直 线 l 的 条 数. 说 明 : 分 直 线 l 与 AB 平 行 和 过 AB 中 点 两 种 情 况 讨 论. 方 法 点 拨 例 1 (1) 将 所 给 方 程 化 为 一 般 式 ;() 特 殊 状 态 的 直 线 可 数 形 结 合 解 决. 例 首 先 把 直 线 x -y-5 = 0 化 为 x - y - 5 = 0. 例 3 解 本 例 的 关 键 在 于 考 虑 到 斜 率 不 存 在 的 情 形. 例 4 设 出 合 适 的 直 线 方 程. 例 5 随 a 值 的 变 化, 直 线 l 可 能 不 能 过 AB 中 点. 例 题 解 析 例 1 解 :(1) 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式, 得 d = () 因 为 直 线 3x = 平 行 于 y 轴, 所 以 d = 注 意 : 直 线 方 程 的 形 式 很 重 要. ( - 1) = 10 5 = (- 1) = 5 3. 例 解 : 在 直 线 x - y - 3 = 0 上 任 取 一 点, 如 取 点 P(3,0), 则 点 P(3,0) 到 直 线 x - y - 5 = 0 的 距 离 就 是 两 平 行 线 之 间 的 距 离, d = (-1) = 1 = 4. 思 考 : 是 否 可 以 在 直 线 x - y - 3 = 0 上 取 一 般 的 点 P( x, y) 来 求 距 离? 结 论 : 设 直 线 l1 :ax + by + c1 = 0 和 直 线 l :ax + by + c = 0, 其 中 a b 不 同 时 为 零, c1 c. 取 l1 上 点 P( x0, y0 ). 两 直 线 间 的 距 离 转 化 为 点 P 到 直 线 l 的 距 离 d, 9

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