例 009 年高考 全国卷Ⅱ 理 8 如 图 直 三 棱 柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分 别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所 成角的大小 图 - 略 证明 以 D 为坐标原点 DA DC DD

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1 Education Science 教育科学 平面法向量在解立体几何题中的应用探究 梁毅麟 恩平市华侨中学 广东江门 摘 要 几何发展的根本出路是代数化 引入向量研究是几何代数化的需要 随着平面法向量这个概念在新教 材的引入 应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明 空间角和距离的求解等高考热点问题的方法 更具灵活性和可操作性 其主要特点是用代数方法解决几何问题 无需考虑如何添加辅助线 避开抽象的几何推理 和繁杂的几何计算 使解题更显简洁明 关 键 词 法向量 代数法 线面位置 空间角 空间距离 中图分类号 O8 文献标识码 A 文章编号 平面法向量就是垂直于平面的直线的方向向量一个平面 的法向量有无数个 按方向可分为两大类随着平面法向量这 个概念在新教材的引入 立体几何中证明空间线面的位置关系 求解空间角和距离等高考热点问题的方法更具灵活性和多样 性应用平面法向量求解立体几何问题 其主要特点是用代数 方法解决几何问题 其作用是无需考虑如何添加辅助线 避开 抽象的几何推理和繁杂的几何计算 从而降低解题的难度 增 强解题的可操作性和准确性下面重点以 009 年高考题为例 探讨平面法向量在求解立体几何问题中的应用 在 的条件下 侧棱 SC 上是否存在一点 E 使得 BE 平面 PAC 若存在 求 SE EC 的值 若不存在 试说 明理由 略 连结 BD 交 AC 于 O 依题意可知 SO 平面 ABCD 以 O 为坐标原点 OB OC OS 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向 建立如图的空间直角坐标系 O xyz设底面边 长为 a 则 S 0 0 a D C 0 应用于证明空间线面的位置关系. 证明空间中的平行关系 证明线面平行 直线 l 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 n 且 l α 则 l //α a //α a n 0 证明面面平行 平面 α 的法向量为 n, 平面 β 的法向量为 n 则 α/ /β n λn λ R 例 009 年高考 宁夏卷 理 9 如图 - 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面变长的 倍 P 为侧棱 SD 上的点 求证 AC SD 若 SD 平面 PAC 求二面角 P AC D 的大小 a 0 B 于是 DS a 0 a 0 0 a 0 0 a CS 0 a a BC a a 0 在棱 SC 上存在一点 E 使 BE 平面 PAC 由 可知 DS 是平面 PAC 的一个法向量 则有 DS BE BE 0 设 CE t CS 则 BE BC + CE BC + t CS a t a t 而 DS BE 0 t a 即当 SE EC : 时 DS BE 而 BE 不在平面 PAC 内 所以 BE 平面 PAC 故侧棱 SC 上存在一点 E 使得 BE 平面 PAC 此时 SE : EC : 方法评注 利用法向量解决立体几何问题的关键是选择基 向量 若选择恰当 可将对应的向量运算转化为对应的基向量 的运算 从而避开添加辅助线 抽象的几何推理和繁杂的几何 计算. 证明空间中的垂直关系 证明线面垂直 图 - 直线 l 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 n 则 α a a λn λ R 证明面面垂直 平面 α 的法向量为 n, 平面 β 的法向量为 n 则 α β n n 例 009 年高考 广东卷 理 8 如图 - 已知正方 体 ABCD ABCD 棱长为 点 E 是正方形 BCCB 的中心 点 F G 分别是 CD AA 的中点设点 E,G 分别是点 E G 在平面 DCCD 内的正投影 求以 E 为顶点 以四边形 FGAE 在平面 DCCD 内的 正投影为底面边界的凌锥的体积 证明 直线 FG 平面 FEE 求异面直线 EG 与 EA 所成角的正弦值 7 00 上 科技传播

2 例 009 年高考 全国卷Ⅱ 理 8 如 图 直 三 棱 柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分 别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所 成角的大小 图 - 略 证明 以 D 为坐标原点 DA DC DD 所在的直线 分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图空间直角坐标系 D - xyz 得 F 0 G 0 0 ) E E 0 则 FG 0 FE FE 0 设平面 FEE 的一个法向量 n x y z 则 略 以 A 为坐标原点 射线 AB AA AC 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正半轴 建立如图的空间直角坐标系 A xyz 设 B 0 0 D 0 0 c 由 知 AB AC 又 D 为 AA 的中点 则 C 0 0 B 0 c 于是 BC - 0 BD - 0 c 设平面 BCD 的一个法向量 AN x y z 则 于是 令 z 得向量 n 0 n - FG 即向量 n 与 FG 共线 故 FG 平面 FEE 方法评注 某一平面的法向量有无数个 只要找到一个就 可以了 即只需找出所列方程组的一组解即可 应用于求解空间角. 求直线与平面所成的角 即 令 x 则 y z c AN c 又 AC 0 0 为平面 ABD 的一个法向量 由二面角 A BD C 为 0o 知 AN, AC 0o 故 AN AC AN AC cos0o 求得 c 于是 AN CB - AN CB 即 AN, CB cos AN, CB AN CB 0o 故 BC 与平面 BCD 所成的角为 0o 方法评注 当已知某个平面的垂线时 可以直接将垂线的 方向向量作为该平面的法向量运用利用平面法向量解此题无 须构作线面角 从而简化推理运算过程. 求二面角的平面角 如图 - 设向量 m n 分别是平面 α β 的法向量 则 二面角 α l β 的平面角为 图 - 如图 - 设 n 是平面 α 的法向量 AB 是平面 α 的一 条斜线 A α 则 AB 与平面 α 所成的角为 图 --: 图 --: 科技传播 00 上 74 图 -- ( 图 -- 可见 两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角相等

3 Education Science 教育科学 或互补约定 在图 -- 中 m 的方向对平面 α 而言向外 n 的方向对平面 β 而言向内 此时两个平面的法向量所成的 角与二面角的平面角相等 在图 -- 中 m 的方向对平面 α 而言向内 n 的方向对平面 β 而言向内 此时两个平面的 法向量所成的角与二面角的平面角互补 令 z 得 n -,, 同法可求得平面ADF的一个法向量 m - 由 cos 可得二面角 B AF D 的大小等于 略 方法评注 本题利用平面法向量的夹角来求二面角的大 小 与传统的几何计算方法相比无需找到 或作出 二面角的 平面角 求解较为简单 应用于求解空间距离. 求点到平面的距离 如图 -, 若点 B 为平面 α 外一点 点 A 为平面 α 内任 一点 平面 α 的法向量为 n 则点 B 到平面 α 的距离 d 就是 向量 AB 在向量 n 上的射影的绝对值 即 图 - 例 年高考 安徽卷 理 8 如下图 四棱锥 F ABCD 的底面 ABCD 是菱形 其对角 线 AC BD AE CF 都 与 平 面 ABCD 垂 直 AE CF 求二面角 B AF D 的大小 求四棱锥 E ABCD 与四棱锥 F ABCD 公共部分的 体积 例 年高考 江西卷 理 0 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD PA AD 4 AB 以 AC 的中点 O 为球心 AC 为 直径的球面交 PD 于 M 交 PC 于 N 求证 平面 ABM 平面 PCD 求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小 求点 N 到平面 ACM 的距离 以 A 为坐标原点 BD AC AE 方向分别为 z 轴 y 轴 z 轴的正方向, 建立如图的空间 直角坐标系 A xyz 则 B 0 D 0 F 0 设平面 ABF 的一个法向量 n x y z 则由 略 以 A 为坐标原点 AB AD AP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向 建立如图空间直角坐标系 A xyz 则 A 上 科技传播

4 0 P C 4 0 由 条 件 可 知 CD AM CM AM 则 AM 平面 PCD 从而 AM PD 又 PA AD M 为 PO 的中点 M 0 设平面 ACM 的一个法向量 n x y z 5 9 AB AC BC ( ) ( ) AD 由 9 又 DE BC DE AB 4, DB AB AD 在图 中, AD DE, 二面角 A DE B 为直二面 角 DA DB DE 两两互相垂直 令 z 则 n - 于是点 P 到平面 ACM 的距 离 由条件可得 AN NC 在 Rt PAC 中 PA PN PC 所以 以 D 为坐标原点 以 DB, DE, DA 为 x 轴 y 轴 z 轴的正 方向 建立如图 的空间直角坐标系 D xyz 则 D A B 0 0,E 0 0 于是 DA DB 0 0 DE 0 设异面直线 AD 与 BE 的公垂线的法向量为 n ( x, y, z ) 则有 于是 则 NCPC PN - 8 令 0 NC PC5 9, 5 0 故点 N 到平面 PAC 的距离为 9 d 7 x 得 n (,,0) 故异面直线 AD 与 BE 的距离 d DB n n 方法评注 通常求点到平面的距离 先要作出垂线段 并 证明该垂线段的长是点到平面的距离 然后通过解三角形来求 出这个距离学生求解这类问题比较困难 利用几何法向量这 一工具 对较难的空间计算问题就有了简便方法求解. 求两异面直线之间距离 如图 -, 两异面直线 a b 的方向向量分别为 a b 向 量 n 为异面直线 a b 的公垂线的方向向量 即 n 为直线 b 平 移到与直线 a 相交时确定的平面的法向量 通过 n a 0 且 n b 0 可求得 n 在直线 a b 上各取一点 A B 作向量 AB 则异面直线 a b 间的距离 d 为向量 AB 在 n 上的射影的绝对值 即 d AB n n 其中 n a, n b, A a, B b 例 008 年高考 重庆卷 理 9 改编 如图下图 在 ABC 中 B90o, D E 分别在 AB AC 上 使 DB EC, 现将 ABC 沿 DE 折成直二面角 求 异面直线 AD 与 BE 的距离 二面角 A EC B 的大小 用反三角函数来表示 在图 中 DB EC DE / / BC D DE 又 B90o AD DE AD 由 DB EC 得 BC AB 图 图 略 方法评注 若单纯利用几何推理方法求解两异面直线的距 离 则先找到 作出并证明 公垂线段 然后构造三角形 应 用勾股定理 余弦定理求解 这种解法需要对图形进行平移 投影等转化技能 而且不同的问题需要不同的技巧而利用平 面法向量求异面直线之间的距离就可以避免了分析图像与作公 垂线过程中的繁琐步骤 至于求直线与平面之间的距离 两平行平面之间的距离均 可以转化为直线上或平面上一点到平面的距离 利用平面法向 量如前述方法求解 通过上述几道高考题的分析 我们不难看出 立体几何中 夹角和距离的求解 线面平行或垂直关系的证明 空间角取特 殊值 问题可以考虑转化为平面的法向量 直线的方向向量之 间的关系问题去解决 通过向量数量积的性质的转化 方法的 转化与知识之间的转化 其 找 或作 所求的角度或距离 之 难 就渐渐地溶解于 转换与化归 之中及学生的细心 计 算 之中 从而也展示了向量数量积这条性质的奥妙之处 也 就更体现了 平面法向量 这个工具在立体几何中应用的优越 性 工具性 平面法向量虽然不能完全将空间几何的所有问题都解决 但它是几何代数化的一个重要桥梁立体几何中有许多复杂的 下转第8页 科技传播 00 上 7

5 代化技术手段的应用 可以提高课堂的信息量和教学效率 应 用 Pro/E 软件进行机构虚拟装配和运动仿真演示 提高了教学 的直观性 有利于在教学中采用启发式教学发挥学生在教学中 的主体作用在期末考试中常用机构部分的知识点学生普遍掌 握较好 失分较少 学生对机械设计的过程有了更完整更全面的了解 同 时把学到的知识与生产实际结合起来 大大激发了学生的求知 欲 从学期末的学生测评中看到 学生对这种教学方式给予了 很高的评价 基于 Pro/E 软件的教学方法有别与传统的教学方法 在机械设计课堂教学中加入了虚拟的机构动画 对于一般从没 接触过工程实践的学生来说 可大大增强对各种常用机构的感 性认识 但在刚开始介绍时应将各机构的工作原理先讲解清楚 通过现场教学或配以相应的实验 对于学生快速掌握各种 常用机构和通用零件的工作原理 结构特点具有非常重要的促 进作用 4 结论 通过分析机械设计基础课程传统教学方法的不足 在课堂 教学中应用 Pro/E 软件进行机构仿真辅助教学 教学实践表明 这些教学方法 教学手段改革的举措 可以激发学生的观察力 和想象力 提高学习的趣味性不过在教学过程中教师的板书 和分析依然不可缺少 所以在教学中应当将传统的教学方法和 现代化教学技术有机结合 并注意各种教学手段的相互穿插相 互补充 这样才能更好地提高教学质量 参考文献 []祝凌云,等.Pro/Engineer运动仿真和有限元分析.人民 邮电出版社,004. []李一民,等.机械设计基础.东南大学出版社,009. 上接第7页 线面位置关系证明 夹角和距离的求解等高考热点问题 可以 转化为平面的法向量 直线的方向向量之间的关系问题 通过 建立适当的空间直角坐标系 灵活求出相关平面的法向量 直 线的方向向量的坐标 运用代数方法 程序化 地取代传统的 几何逻辑推理进行解题 这种方法更显简洁明了因此 熟练 掌握应用平面法向量解题的方法 对增强中学生学好立体几何 的信心 提高解决立体几何问题的能力都大有裨益 参考文献 []管目军.十年高考分类解析与应试策略 数学[M].南 方出版社,009. 大型强子对撞机将长期运行 有望发现上帝粒子 据国外媒体报道 欧洲核子研究中心 (CERN) 发言人 詹姆斯 - 吉利斯 月 日表示 在最新一轮实验中 大型 强子对撞机 (LHC) 项目科学家可能会揭开物质质量之源的 谜团大型强子对撞机此次将不间断运行近两年时间 直 至 0 年底 大型强子对撞机是世界上最大 最昂贵的科学设施 将于本月晚些时候再度启动吉利斯在接受媒体采访时表 示 科学家或能在这次实验期间揭开希格斯玻色子的庐山 真面目希格斯玻色子的特性难以捉摸 被称为 上帝粒 子 科学家认为它是物质的质量之源苏格兰物理学家 彼得 - 希格斯在 0 年前曾表示 希格斯玻色子或许能解 释物质如何聚在一起 创造宇宙及宇宙万物 吉利斯在谈到希格斯玻色子时说 只要它确实存在 我们发现它的几率将相当大 据吉利斯介绍 大型强子 对撞机这次将运行 8~4 个月 在此期间它将给科学家带 来丰富的信息和数据大型强子对撞器是一座位于瑞士与 法国边界 日内瓦近郊的粒子加速器与对撞机 作为国际 高能物理学研究之用 由欧洲核子研究中心负责管理 即便大型强子对撞机不能揭开希格斯玻色子神秘面 纱 这并不意味着它不存在经过第一次的长期运行和历 时一年的停工准备 大型强子对撞机可能会再次在最高能 级启动吉利斯说 要想捕获希格斯玻色子 这或许是 我们所需要的能量强度 大型强子对撞机于 008 年 9 月 科技传播 00 上 8 首次启动 但在长达 7 公里的地下环形隧道发生爆炸后 被迫关闭 这台对撞机旨在推动以相反方向高能运转的粒子撞 击数十亿次撞击将产生大量数据 以供欧洲核子研究 中心和全球各地一万名科学家研究和分析 每一次撞击 都会产生类似于 7 亿年前宇宙大爆炸发生瞬间的状态 有助人类进一步探索宇宙起源之谜宇宙大爆炸喷射的 物质最终形成了恒星 行星和地球生命 但希格斯理论 认为 只有在希格斯玻色子这样的粒子将物质聚集在一起 赋予其质量 上述一幕才有可能发生 大型强子对撞机 009 年底大约运行了两个月 令粒 子束在地下隧道撞击产生了. 万亿电子伏特 (TeV) 的 能量 这也是质子流对撞能级的最高纪录上周 在法 国小城夏蒙尼召开的会议上 欧洲核子研究中心的物理 学家 工程师和项目经理决定长期运行大型强子对撞机 冬天也不关停 吉利斯表示 如果一切按计划顺利进行 对撞产生 的能量最终将达到 7 万亿电子伏特到明年年底 大型 强子对撞机将再次关闭 个月之久 以便工程师可以对 环形隧道进行维护 安装大量新设备 为接下来的新一 轮对撞实验做准备下一轮对撞实验可能在 0 年开始 目标是产生 4 万亿电子伏特的能量 新浪科技

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