例 009 年高考全国卷Ⅱ 理 8 如图直三棱柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所成角的大小图 - 略证明以 D 为坐标原点 DA DC DD

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廊许
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1 Education Science 教育科学平面法向量在解立体几何题中的应用探究梁毅麟恩平市华侨中学广东江门摘要几何发展的根本出路是代数化引入向量研究是几何代数化的需要随着平面法向量这个概念在新教材的引入应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明空间角和距离的求解等高考热点问题的方法更具灵活性和可操作性其主要特点是用代数方法解决几何问题无需考虑如何添加辅助线避开抽象的几何推理和繁杂的几何计算使解题更显简洁明关键词法向量代数法线面位置空间角空间距离中图分类号 O8 文献标识码 A 文章编号平面法向量就是垂直于平面的直线的方向向量一个平面的法向量有无数个按方向可分为两大类随着平面法向量这个概念在新教材的引入立体几何中证明空间线面的位置关系求解空间角和距离等高考热点问题的方法更具灵活性和多样性应用平面法向量求解立体几何问题其主要特点是用代数方法解决几何问题其作用是无需考虑如何添加辅助线避开抽象的几何推理和繁杂的几何计算从而降低解题的难度增强解题的可操作性和准确性下面重点以 009 年高考题为例探讨平面法向量在求解立体几何问题中的应用在的条件下侧棱 SC 上是否存在一点 E 使得 BE 平面 PAC 若存在求 SE EC 的值若不存在试说明理由略连结 BD 交 AC 于 O 依题意可知 SO 平面 ABCD 以 O 为坐标原点 OB OC OS 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立如图的空间直角坐标系 O xyz设底面边长为 a 则 S 0 0 a D C 0 应用于证明空间线面的位置关系. 证明空间中的平行关系证明线面平行直线 l 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 n 且 l α 则 l //α a //α a n 0 证明面面平行平面 α 的法向量为 n, 平面 β 的法向量为 n 则 α/ /β n λn λ R 例 009 年高考宁夏卷理 9 如图 - 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形每条侧棱的长都是底面变长的倍 P 为侧棱 SD 上的点求证 AC SD 若 SD 平面 PAC 求二面角 P AC D 的大小 a 0 B 于是 DS a 0 a 0 0 a 0 0 a CS 0 a a BC a a 0 在棱 SC 上存在一点 E 使 BE 平面 PAC 由可知 DS 是平面 PAC 的一个法向量则有 DS BE BE 0 设 CE t CS 则 BE BC + CE BC + t CS a t a t 而 DS BE 0 t a 即当 SE EC : 时 DS BE 而 BE 不在平面 PAC 内所以 BE 平面 PAC 故侧棱 SC 上存在一点 E 使得 BE 平面 PAC 此时 SE : EC : 方法评注利用法向量解决立体几何问题的关键是选择基向量若选择恰当可将对应的向量运算转化为对应的基向量的运算从而避开添加辅助线抽象的几何推理和繁杂的几何计算. 证明空间中的垂直关系证明线面垂直图 - 直线 l 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 n 则 α a a λn λ R 证明面面垂直平面 α 的法向量为 n, 平面 β 的法向量为 n 则 α β n n 例 009 年高考广东卷理 8 如图 - 已知正方体 ABCD ABCD 棱长为点 E 是正方形 BCCB 的中心点 F G 分别是 CD AA 的中点设点 E,G 分别是点 E G 在平面 DCCD 内的正投影求以 E 为顶点以四边形 FGAE 在平面 DCCD 内的正投影为底面边界的凌锥的体积证明直线 FG 平面 FEE 求异面直线 EG 与 EA 所成角的正弦值 7 00 上科技传播

求解空间角和距离等高考热点问题的方法更具灵活性和多样性应用平面法向量求解立体几何问题其主要特点是用代数方法解决几何问题其作用是无需考虑如何添加辅助线避开抽象的几何推理和繁杂的几何计算从而降低解题的难度增强解题的可操作性和准确性下面重点以 009 年高考题为例探讨平面法向量在求解立体几何问题中的应用在的条件下侧棱 SC 上是否存在一点 E 使得 BE 平面 PAC 若存在

2 例 009 年高考全国卷Ⅱ 理 8 如图直三棱柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所成角的大小图 - 略证明以 D 为坐标原点 DA DC DD 所在的直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图空间直角坐标系 D - xyz 得 F 0 G 0 0 ) E E 0 则 FG 0 FE FE 0 设平面 FEE 的一个法向量 n x y z 则略以 A 为坐标原点射线 AB AA AC 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 A xyz 设 B 0 0 D 0 0 c 由知 AB AC 又 D 为 AA 的中点则 C 0 0 B 0 c 于是 BC - 0 BD - 0 c 设平面 BCD 的一个法向量 AN x y z 则于是令 z 得向量 n 0 n - FG 即向量 n 与 FG 共线故 FG 平面 FEE 方法评注某一平面的法向量有无数个只要找到一个就可以了即只需找出所列方程组的一组解即可应用于求解空间角. 求直线与平面所成的角即令 x 则 y z c AN c 又 AC 0 0 为平面 ABD 的一个法向量由二面角 A BD C 为 0o 知 AN, AC 0o 故 AN AC AN AC cos0o 求得 c 于是 AN CB - AN CB 即 AN, CB cos AN, CB AN CB 0o 故 BC 与平面 BCD 所成的角为 0o 方法评注当已知某个平面的垂线时可以直接将垂线的方向向量作为该平面的法向量运用利用平面法向量解此题无须构作线面角从而简化推理运算过程. 求二面角的平面角如图 - 设向量 m n 分别是平面 α β 的法向量则二面角 α l β 的平面角为图 - 如图 - 设 n 是平面 α 的法向量 AB 是平面 α 的一条斜线 A α 则 AB 与平面 α 所成的角为图 --: 图 --: 科技传播 00 上 74 图 -- ( 图 -- 可见两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角相等

的一个法向量 AN x y z 则于是令 z 得向量 n 0 n - FG 即向量 n 与 FG 共线故 FG 平面 FEE 方法评注某一平面的法向量有无数个只要找到一个就可以了即只需找出所列方程组的一组解即可应用于求解空间角.

3 Education Science 教育科学或互补约定在图 -- 中 m 的方向对平面 α 而言向外 n 的方向对平面 β 而言向内此时两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角相等在图 -- 中 m 的方向对平面 α 而言向内 n 的方向对平面 β 而言向内此时两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角互补令 z 得 n -,, 同法可求得平面ADF的一个法向量 m - 由 cos 可得二面角 B AF D 的大小等于略方法评注本题利用平面法向量的夹角来求二面角的大小与传统的几何计算方法相比无需找到或作出二面角的平面角求解较为简单应用于求解空间距离. 求点到平面的距离如图 -, 若点 B 为平面 α 外一点点 A 为平面 α 内任一点平面 α 的法向量为 n 则点 B 到平面 α 的距离 d 就是向量 AB 在向量 n 上的射影的绝对值即图 - 例年高考安徽卷理 8 如下图四棱锥 F ABCD 的底面 ABCD 是菱形其对角线 AC BD AE CF 都与平面 ABCD 垂直 AE CF 求二面角 B AF D 的大小求四棱锥 E ABCD 与四棱锥 F ABCD 公共部分的体积例年高考江西卷理 0 在四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD PA AD 4 AB 以 AC 的中点 O 为球心 AC 为直径的球面交 PD 于 M 交 PC 于 N 求证平面 ABM 平面 PCD 求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小求点 N 到平面 ACM 的距离以 A 为坐标原点 BD AC AE 方向分别为 z 轴 y 轴 z 轴的正方向, 建立如图的空间直角坐标系 A xyz 则 B 0 D 0 F 0 设平面 ABF 的一个法向量 n x y z 则由略以 A 为坐标原点 AB AD AP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系 A xyz 则 A 上科技传播

求点到平面的距离如图 -, 若点 B 为平面 α 外一点点 A 为平面 α 内任一点平面 α 的法向量为 n 则点 B 到平面 α 的距离 d 就是向量 AB 在向量 n 上的射影的绝对值即图 - 例 4 009 年高考安徽卷理 8 如下图四棱锥 F ABCD 的底面 ABCD 是菱形其对角线 AC BD AE CF 都与平面 ABCD 垂直 AE CF 求二面角

4 0 P C 4 0 由条件可知 CD AM CM AM 则 AM 平面 PCD 从而 AM PD 又 PA AD M 为 PO 的中点 M 0 设平面 ACM 的一个法向量 n x y z 5 9 AB AC BC ( ) ( ) AD 由 9 又 DE BC DE AB 4, DB AB AD 在图中, AD DE, 二面角 A DE B 为直二面角 DA DB DE 两两互相垂直令 z 则 n - 于是点 P 到平面 ACM 的距离由条件可得 AN NC 在 Rt PAC 中 PA PN PC 所以以 D 为坐标原点以 DB, DE, DA 为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立如图的空间直角坐标系 D xyz 则 D A B 0 0,E 0 0 于是 DA DB 0 0 DE 0 设异面直线 AD 与 BE 的公垂线的法向量为 n ( x, y, z ) 则有于是则 NCPC PN - 8 令 0 NC PC5 9, 5 0 故点 N 到平面 PAC 的距离为 9 d 7 x 得 n (,,0) 故异面直线 AD 与 BE 的距离 d DB n n 方法评注通常求点到平面的距离先要作出垂线段并证明该垂线段的长是点到平面的距离然后通过解三角形来求出这个距离学生求解这类问题比较困难利用几何法向量这一工具对较难的空间计算问题就有了简便方法求解. 求两异面直线之间距离如图 -, 两异面直线 a b 的方向向量分别为 a b 向量 n 为异面直线 a b 的公垂线的方向向量即 n 为直线 b 平移到与直线 a 相交时确定的平面的法向量通过 n a 0 且 n b 0 可求得 n 在直线 a b 上各取一点 A B 作向量 AB 则异面直线 a b 间的距离 d 为向量 AB 在 n 上的射影的绝对值即 d AB n n 其中 n a, n b, A a, B b 例 008 年高考重庆卷理 9 改编如图下图在 ABC 中 B90o, D E 分别在 AB AC 上使 DB EC, 现将 ABC 沿 DE 折成直二面角求异面直线 AD 与 BE 的距离二面角 A EC B 的大小用反三角函数来表示在图中 DB EC DE / / BC D DE 又 B90o AD DE AD 由 DB EC 得 BC AB 图图略方法评注若单纯利用几何推理方法求解两异面直线的距离则先找到作出并证明公垂线段然后构造三角形应用勾股定理余弦定理求解这种解法需要对图形进行平移投影等转化技能而且不同的问题需要不同的技巧而利用平面法向量求异面直线之间的距离就可以避免了分析图像与作公垂线过程中的繁琐步骤至于求直线与平面之间的距离两平行平面之间的距离均可以转化为直线上或平面上一点到平面的距离利用平面法向量如前述方法求解通过上述几道高考题的分析我们不难看出立体几何中夹角和距离的求解线面平行或垂直关系的证明空间角取特殊值问题可以考虑转化为平面的法向量直线的方向向量之间的关系问题去解决通过向量数量积的性质的转化方法的转化与知识之间的转化其找或作所求的角度或距离之难就渐渐地溶解于转换与化归之中及学生的细心计算之中从而也展示了向量数量积这条性质的奥妙之处也就更体现了平面法向量这个工具在立体几何中应用的优越性工具性平面法向量虽然不能完全将空间几何的所有问题都解决但它是几何代数化的一个重要桥梁立体几何中有许多复杂的下转第8页科技传播 00 上 7

BE 的公垂线的法向量为 n ( x, y, z ) 则有于是则 NCPC PN - 8 令 0 NC PC5 9, 5 0 故点 N 到平面 PAC 的距离为 9 d 7 x 得 n (,,0) 故异面直线 AD 与 BE 的距离 d DB n n 方法评注通常求点到平面的距离先要作出垂线段并证明该垂线段的长是点到平面的距离然后通过解三角形来求出这个距离学生求解这类问题比较困难

5 代化技术手段的应用可以提高课堂的信息量和教学效率应用 Pro/E 软件进行机构虚拟装配和运动仿真演示提高了教学的直观性有利于在教学中采用启发式教学发挥学生在教学中的主体作用在期末考试中常用机构部分的知识点学生普遍掌握较好失分较少学生对机械设计的过程有了更完整更全面的了解同时把学到的知识与生产实际结合起来大大激发了学生的求知欲从学期末的学生测评中看到学生对这种教学方式给予了很高的评价基于 Pro/E 软件的教学方法有别与传统的教学方法在机械设计课堂教学中加入了虚拟的机构动画对于一般从没接触过工程实践的学生来说可大大增强对各种常用机构的感性认识但在刚开始介绍时应将各机构的工作原理先讲解清楚通过现场教学或配以相应的实验对于学生快速掌握各种常用机构和通用零件的工作原理结构特点具有非常重要的促进作用 4 结论通过分析机械设计基础课程传统教学方法的不足在课堂教学中应用 Pro/E 软件进行机构仿真辅助教学教学实践表明这些教学方法教学手段改革的举措可以激发学生的观察力和想象力提高学习的趣味性不过在教学过程中教师的板书和分析依然不可缺少所以在教学中应当将传统的教学方法和现代化教学技术有机结合并注意各种教学手段的相互穿插相互补充这样才能更好地提高教学质量参考文献 []祝凌云,等.Pro/Engineer运动仿真和有限元分析.人民邮电出版社,004. []李一民,等.机械设计基础.东南大学出版社,009. 上接第7页线面位置关系证明夹角和距离的求解等高考热点问题可以转化为平面的法向量直线的方向向量之间的关系问题通过建立适当的空间直角坐标系灵活求出相关平面的法向量直线的方向向量的坐标运用代数方法程序化地取代传统的几何逻辑推理进行解题这种方法更显简洁明了因此熟练掌握应用平面法向量解题的方法对增强中学生学好立体几何的信心提高解决立体几何问题的能力都大有裨益参考文献 []管目军.十年高考分类解析与应试策略数学[M].南方出版社,009. 大型强子对撞机将长期运行有望发现上帝粒子据国外媒体报道欧洲核子研究中心 (CERN) 发言人詹姆斯 - 吉利斯月日表示在最新一轮实验中大型强子对撞机 (LHC) 项目科学家可能会揭开物质质量之源的谜团大型强子对撞机此次将不间断运行近两年时间直至 0 年底大型强子对撞机是世界上最大最昂贵的科学设施将于本月晚些时候再度启动吉利斯在接受媒体采访时表示科学家或能在这次实验期间揭开希格斯玻色子的庐山真面目希格斯玻色子的特性难以捉摸被称为上帝粒子科学家认为它是物质的质量之源苏格兰物理学家彼得 - 希格斯在 0 年前曾表示希格斯玻色子或许能解释物质如何聚在一起创造宇宙及宇宙万物吉利斯在谈到希格斯玻色子时说只要它确实存在我们发现它的几率将相当大据吉利斯介绍大型强子对撞机这次将运行 8~4 个月在此期间它将给科学家带来丰富的信息和数据大型强子对撞器是一座位于瑞士与法国边界日内瓦近郊的粒子加速器与对撞机作为国际高能物理学研究之用由欧洲核子研究中心负责管理即便大型强子对撞机不能揭开希格斯玻色子神秘面纱这并不意味着它不存在经过第一次的长期运行和历时一年的停工准备大型强子对撞机可能会再次在最高能级启动吉利斯说要想捕获希格斯玻色子这或许是我们所需要的能量强度大型强子对撞机于 008 年 9 月科技传播 00 上 8 首次启动但在长达 7 公里的地下环形隧道发生爆炸后被迫关闭这台对撞机旨在推动以相反方向高能运转的粒子撞击数十亿次撞击将产生大量数据以供欧洲核子研究中心和全球各地一万名科学家研究和分析每一次撞击都会产生类似于 7 亿年前宇宙大爆炸发生瞬间的状态有助人类进一步探索宇宙起源之谜宇宙大爆炸喷射的物质最终形成了恒星行星和地球生命但希格斯理论认为只有在希格斯玻色子这样的粒子将物质聚集在一起赋予其质量上述一幕才有可能发生大型强子对撞机 009 年底大约运行了两个月令粒子束在地下隧道撞击产生了. 万亿电子伏特 (TeV) 的能量这也是质子流对撞能级的最高纪录上周在法国小城夏蒙尼召开的会议上欧洲核子研究中心的物理学家工程师和项目经理决定长期运行大型强子对撞机冬天也不关停吉利斯表示如果一切按计划顺利进行对撞产生的能量最终将达到 7 万亿电子伏特到明年年底大型强子对撞机将再次关闭个月之久以便工程师可以对环形隧道进行维护安装大量新设备为接下来的新一轮对撞实验做准备下一轮对撞实验可能在 0 年开始目标是产生 4 万亿电子伏特的能量新浪科技

通过分析机械设计基础课程传统教学方法的不足在课堂教学中应用 Pro/E 软件进行机构仿真辅助教学教学实践表明这些教学方法教学手段改革的举措可以激发学生的观察力和想象力提高学习的趣味性不过在教学过程中教师的板书和分析依然不可缺少所以在教学中应当将传统的教学方法和现代化教学技术有机结合并注意各种教学手段的相互穿插相互补充这样才能更好地提高教学质量参考文献 []祝凌云,等.

就构成了盗窃罪与破坏交通设施罪的想象竞合, 按照其中处罚较重的犯罪处罚 5. 答案 :B 本题主要考察如何区分收买被拐卖的妇女儿童罪与拐卖妇女儿童罪的共犯问题 ( 对向

就构成了盗窃罪与破坏交通设施罪的想象竞合, 按照其中处罚较重的犯罪处罚 5. 答案 :B 本题主要考察如何区分收买被拐卖的妇女儿童罪与拐卖妇女儿童罪的共犯问题 ( 对向新东方全国法律硕士 ( 非法学 ) 联考模拟考试专业基础课答案解析一单项选择题 1. 答案 D 本题主要考查刑法分则中关于亲告罪与非亲告罪的规定要注意这些亲告罪在有特别的情况下, 是公诉犯罪我国刑法共规定了 5 种告诉才处理的

例 009 年高考 全国卷Ⅱ 理 8 如 图 直 三 棱 柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分 别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所 成角的大小 图 - 略 证明 以 D 为坐标原点 DA DC DD

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例 009 年高考全国卷Ⅱ 理 8 如图直三棱柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所成角的大小图 - 略证明以 D 为坐标原点 DA DC DD