高二立體幾何

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1 008 / 009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 高 二 立 體 幾 何 參 選 編 號 :C00 學 科 名 稱 : 適 用 程 度 : 高 二

2 簡 介 一 本 教 學 設 計 的 目 的 高 中 立 體 幾 何 的 學 習 是 學 生 較 難 理 解 而 又 非 常 重 要 的 一 個 部 分, 也 是 高 中 教 學 中 較 難 講 授 的 一 個 部 分. 像 國 內 的 聯 校 的 高 考 招 生 的 試 卷 中 必 定 有 一 題 大 題 目 是 立 體 幾 何 題, 可 見 立 體 幾 何 這 一 部 分 內 容 的 重 要 程 度, 如 果 能 學 好 立 體 幾 何 顯 然 能 為 我 們 在 高 考 競 爭 中 增 加 不 少 的 資 本. 然 而 大 多 生 在 剛 剛 接 觸 立 體 幾 何 的 時 候, 別 說 是 學 好, 就 是 入 門 都 不 是 一 件 容 易 的 事, 因 為 立 體 幾 何 的 學 習 必 須 有 較 強 的 空 間 想 像 能 力, 所 以 學 生 一 開 始 要 是 邁 不 過 這 個 檻 的 話 以 後 學 習 起 來 就 會 倍 感 吃 力. 難 怪 有 些 人 會 說 立 幾 是 給 那 些 學 習 好 的 人 學 的, 國 內 有 些 學 校 在 測 試 學 生 能 力 的 時 候 也 的 確 是 把 立 體 幾 何 作 為 區 分 他 們 學 習 能 力 的 標 準. 難 道 真 的 要 好 學 生 才 能 把 立 幾 學 好 嗎? 通 過 幾 年 的 立 體 幾 何 的 教 學, 我 發 現 只 要 學 生 一 開 始 就 把 基 礎 打 好 了, 即 使 是 能 力 一 般 的 學 生 也 能 學 到 能 解 高 考 立 體 幾 何 題 的 能 力. 我 設 計 這 套 教 學 計 劃 的 目 的 就 是 要 讓 學 習 一 般 的 學 生 能 較 容 易 地 學 會 有 用 的 立 幾 知 識, 有 能 力 的 學 生 可 以 通 過 學 習 立 體 幾 何 開 發 自 已 的 智 慧. 二 創 意 和 特 色. 鑒 於 立 體 幾 何 高 度 的 抽 象 性, 為 建 立 學 生 的 空 間 想 像 能 力, 在 設 計 教 學 過 程 的 時 候 先 給 學 生 看 一 些 實 物 模 型, 然 後 再 過 度 到 立 體 圖 形 的 平 面 直 觀 圖, 這 在 立 體 幾 何 課 中 概 念 和 定 理 的 講 解 中 有 极 好 的 效 果.. 立 體 幾 何 的 教 學 中 會 遇 到 許 多 的 概 念 定 理 公 式 以 及 講 例 題 的 時 候 題 目 比 較 長, 這 種 文 字 比 較 多 的 情 況 要 是 全 部 都 在 黑 板 上 寫 出 來 的 話 在 一 節 課 里 根 本 就 講 不 了 多 少 內 容, 要 是 不 寫 出 來 讓 學 生 看 一 遍 的 話 學 生 會 連 一 點 印 像 都 沒 有, 所 以 這 時 我 採 用 PwerPint 播 放 的 形 式 講 課, 在 黑 板 上 只 需 要 寫 出 大 標 題 和 小 標 題 以 及 一 些 相 關 內 容, 這 樣 課 堂 的 容 量 就 變 大 了, 學 生 在 課 堂 40 分 鍾 里 面 就 能 學 到 更 多 的 東 西, 而 且 他 們 課 後 可 以 把 PwerPint 的 下 載 了 帶 回 家 隨 時 複 習.. 教 學 設 計 中 教 案 中 的 題 可 能 比 PwerPint 的 題 為 多, 那 是 因 為 考 慮 到 不 同 的 班 級 也 許 會 有 能 力 不 一 樣 的 學 生, 教 案 中 的 一 些 題 是 給 那 些 能 力 較 的 學 生 做 的, 給 合 不 同 班 級 的 情 況 我 們 可 以 適 當 地 調 整 教 學 的 內 容. 4. 在 整 套 的 設 計 中, 我 收 集 了 大 量 的 Flash 動 畫, 生 動 地 呈 現 了 一 些 難 以 理 解 想 像 的 立 體 幾 何 內 容, 這 有 助 於 提 高 學 生 學 習 立 幾 的 想 像 能 力 和 理 解 能 力. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

3 使 用 說 明. 關 於 PwerPint 課 件, 基 本 上 每 節 課 時 都 附 上 PwerPint 課 作, 教 學 過 程 中 以 PwerPint 課 件 的 內 容 為 主,PwerPint 課 件 中 有 許 多 的 Flash 動 畫, 在 用 PwerPint 課 件 之 前 要 先 安 裝 播 放 器. 關 於 教 案, 每 課 時 一 個 教 案, 教 案 內 容 附 上 詳 細 的 教 學 分 析 供 教 師 參 考, 教 案 中 附 上 的 題 較 多, 教 師 可 以 根 據 學 生 的 實 際 情 況 在 PwerPint 課 件 中 作 適 當 的 加 減 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

4 目 錄 簡 介 使 用 方 法 第 一 章 直 線 和 平 面 一 平 面..5 二 空 間 兩 條 直 線 6 三 空 間 直 線 和 平 面 0 四 空 間 兩 個 平 面 55 第 二 章 多 面 體 和 旋 轉 體 一 多 面 體 8 二 旋 轉 體 三 球...6 試 教 日 程 表 4 試 教 評 估 4 參 考 資 料 4 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

5 第 一 章 直 線 和 平 面 一. 本 章 概 述 立 體 幾 何 是 研 究 空 間 圖 形 的 形 狀 大 小 及 相 互 間 的 位 置 關 係 的 一 門 學 科, 是 中 學 平 面 幾 何 的 繼 續 與 發 展. 全 章 共 分 為 兩 大 部 分, 其 中 第 一 部 分 內 容 ( 空 間 直 線 與 平 面 ) 是 研 究 第 二 部 分 內 容 ( 簡 單 幾 何 體 ) 的 理 論 基 礎, 所 以 學 好 第 一 部 分 內 容 是 學 好 全 章 內 容 的 關 鍵. 同 時, 第 二 部 分 內 容 既 是 對 簡 單 幾 何 體 知 識 的 重 點 討 論, 又 是 對 第 一 部 部 分 中 空 間 直 線 與 平 面 位 置 關 係 相 關 知 識 的 綜 合 運 用, 學 好 這 一 部 分 內 容, 不 僅 能 鞏 固 直 線 與 平 面 位 置 關 係 的 基 礎 知 識, 而 且 能 進 一 步 培 養 我 們 的 空 間 想 像 能 力 和 邏 輯 思 維 能 力. 本 章 的 重 點 是 平 面 的 基 本 性 質, 空 間 直 線 的 位 置 關 係, 直 線 與 平 面 以 及 兩 平 面 之 間 的 平 行 和 垂 直 關 係. 本 章 的 難 點 是 建 立 正 確 的 空 間 觀 念, 在 對 圖 形 的 認 識 方 面, 實 現 由 平 面 到 空 間 的 過 渡. 學 習 本 章 時, 需 要 注 意 下 面 幾 點, 首 先 要 做 好 由 模 型 到 圖 形 的 過 渡, 逐 步 培 養 由 圖 形 想 像 出 它 所 對 應 的 模 型 形 狀 及 其 中 各 元 素 幾 何 位 置 關 係 的 能 力, 要 能 從 圖 形 入 手 有 序 地 建 立 圖 形 文 字 和 符 號 這 三 種 語 言 的 聯 繫. 其 次 在 問 題 解 決 過 程 中 要 注 意 思 想 方 法 的 運 用. 如 利 用 對 比 引 申 聯 想 等 方 法, 找 出 平 面 圖 形 與 立 體 圖 形 的 異 同 以 及 二 者 之 間 的 內 在 聯 繫, 要 善 於 用 降 維 思 想 將 空 間 問 題 轉 化 為 平 面 問 題 來 加 以 解 決, 在 論 證 平 行 與 垂 直 關 係 時, 要 善 於 用 轉 化 思 想 抓 住 線 線 線 面 面 面 關 係 之 間 的 聯 繫 來 實 現. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 4

6 第 一 章 直 線 和 平 面. 知 識 結 構 一. 平 面 平 面 的 概 念 平 面 的 基 本 性 質 ( 三 公 理 三 推 論 ) 平 面 性 質 的 應 用. 重 點 難 點 分 析 重 點 : 平 面 的 有 關 概 念 和 基 本 性 質 ; 難 點 : 建 立 空 間 概 念, 正 確 應 用 符 號 語 言. () 平 面 和 點 直 線 一 樣 是 構 成 空 間 圖 形 的 基 本 要 素 之 一, 是 一 個 隻 描 述 而 不 定 義 的 原 始 概 念. 本 節 內 容 主 要 介 紹 了 平 面 的 有 關 概 念 及 其 基 本 性 質 ( 三 個 公 理 和 三 個 推 論 ). 平 面 的 基 本 性 質 是 研 究 空 間 圖 形 的 基 本 理 論 基 礎, 是 立 體 幾 何 的 基 礎 核 心, 因 而 是 本 節 內 容 的 重 點. 本 節 的 難 點 是 準 確 理 解 平 面 的 有 關 概 念 及 其 基 本 性 質, 建 立 空 間 概 念, 正 確 使 用 圖 形 符 號 文 字 三 種 語 言 並 能 互 譯. () 如 何 理 解 平 面 四 邊 形 表 示 的 平 面 是 無 限 延 展 的? 這 是 因 為 立 體 幾 何 中 表 示 平 面 是 採 用 用 有 限 的 圖 形 表 示 無 限 的 平 面 的 方 法. 事 實 上, 如 果 一 條 直 線 上 有 兩 個 點 在 一 個 用 平 行 四 邊 形 表 示 的 平 面 內, 根 據 公 理, 這 條 直 線 上 所 有 的 點 都 落 在 這 個 平 面 內. 而 直 線 是 無 限 延 伸 的, 倘 若 這 個 平 面 是 有 限 的, 那 麼 無 限 的 直 線 上 的 所 有 點 怎 麼 能 都 在 有 限 平 面 內 呢? 對 於 平 面 的 概 念 注 意 從 三 個 方 面 加 深 理 解 : 無 邊 界 性 無 限 延 展 性 無 厚 薄 性. () 平 面 的 基 本 性 質 是 研 究 立 體 幾 何 的 基 本 理 論 基 礎, 學 習 時 應 切 實 注 意 以 下 幾 點 : 會 用 圖 形 語 言 文 字 語 言 符 號 語 言 準 確 描 述 三 個 公 理 ; 熟 悉 三 個 公 理 的 作 用. 公 理 是 判 定 直 線 在 平 面 內 的 依 據, 亦 作 為 判 定 點 在 平 面 內 的 方 法 使 用 ; 公 理 是 判 定 兩 個 平 面 相 交 的 依 據, 亦 作 為 判 定 幾 個 點 在 兩 個 相 交 平 面 的 交 線 上 ( 共 線 ) 的 方 法 使 用 ; 公 理 是 確 定 一 個 平 面 的 依 據, 亦 作 為 判 定 幾 個 點 共 面 的 依 據. 學 習 公 理 及 三 個 推 論 時 務 必 透 徹 理 解 有 且 只 有 一 個 的 含 義. 有 且 只 有 一 個 是 由 有 一 個 和 只 有 一 個 複 合 而 成 的, 其 中 前 者 說 明 物 件 是 存 在 的, 後 者 說 明 物 件 是 唯 一 的. 有 且 只 有 一 個 說 明 物 件 具 有 存 在 性 和 唯 一 性 兩 個 方 面. 中 的 一 些 物 件 具 有 存 在 性 和 唯 一, 也 有 一 些 物 件 具 有 存 在 性 而 無 唯 一 性, 如 與 給 定 的 三 角 形 ABC 相 似 的 三 角 形 是 存 在 的, 但 不 是 唯 一 的. 當 然, 還 有 一 些 物 件 沒 有 存 在 性, 從 而 也 就 談 不 上 有 唯 一 性. 因 此 切 不 可 用 只 有 一 個 代 替 有 且 只 有 一 個. (4) 共 面 問 題 的 證 明 常 用 同 一 法, 同 一 法 指 的 兩 個 互 逆 命 題, 若 其 中 一 個 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 5

7 成 立, 則 另 一 個 也 成 立, 即 兩 個 互 逆 命 題 是 等 價 的, 例 如, 我 們 要 證 明 某 個 圖 形 具 有 某 種 特 性 只 要 證 明 具 有 某 種 特 徵 的 圖 形 是 某 個 圖 形 即 可. 同 一 法 是 間 接 證 題 方 法.. 教 法 建 議 () 本 節 是 立 體 幾 何 學 習 的 基 礎. 學 習 時 應 充 分 聯 繫 生 活 中 的 實 例, 充 分 利 用 實 物, 儘 快 建 立 空 間 觀 念. 聯 繫 實 際 提 出 問 題 和 引 入 概 念, 合 理 運 用 教 具, 加 強 由 模 型 到 圖 形, 再 由 圖 形 返 回 模 型 的 基 本 訓 練. 由 對 照 模 型 畫 直 觀 圖 入 手, 逐 步 培 養 由 圖 形 想 像 出 空 間 位 置 關 係 的 能 力. () 教 學 中 應 注 意 借 助 學 生 已 有 的 平 面 圖 形 知 識 基 礎, 引 入 新 知 識, 提 出 新 問 題, 使 學 生 自 然 地 進 入 新 的 學 習 階 段. 聯 繫 平 面 圖 形 的 知 識, 利 用 對 比 引 申 聯 想 等 方 法, 找 出 平 面 圖 形 和 立 體 圖 形 的 異 同, 以 及 兩 者 的 內 在 聯 繫, 逐 步 培 養 學 生 將 立 體 圖 形 轉 化 為 平 面 圖 形 的 能 力. () 在 學 習 平 面 概 念 時, 對 平 面 的 無 限 延 展 性, 可 以 讓 學 生 聯 繫 直 線 的 無 限 延 伸 性 理 解, 平 面 是 向 四 周 無 限 延 展 的, 平 面 把 空 間 分 成 兩 部 分 ; 在 畫 平 面 時, 有 時 根 據 具 體 需 要, 也 可 用 其 他 的 平 面 圖 形, 如 菱 形 封 閉 的 曲 線 圖 形 等 表 示 ; (4) 從 圖 形 入 手, 有 序 地 建 立 圖 形 文 字 符 號 這 三 種 語 言 的 聯 繫. 用 文 字 和 符 號 描 述 物 件 時, 必 須 緊 密 聯 繫 圖 形, 使 抽 象 與 直 觀 結 合 起 來, 即 在 圖 形 的 基 礎 上 發 展 其 他 語 言. 在 闡 述 定 義 定 理 公 式 等 重 要 內 容 時, 先 結 合 圖 形, 再 用 文 字 和 符 號 進 行 描 述, 綜 合 運 用 幾 種 語 言, 使 其 優 勢 互 補, 就 有 可 能 收 到 更 好 的 效 果, 給 學 生 留 下 的 印 象 更 為 深 刻. (5) 對 於 公 理, 可 先 討 論 直 線 與 平 面 的 公 共 點 的 個 數 的 各 種 情 況, 以 區 分 直 線 與 平 面 的 三 種 位 置 關 係 : 相 交 平 行 直 線 在 平 面 內, 並 用 直 線 的 伸 展 性 理 解 平 面 的 延 展 性 ; 對 於 公 理, 可 先 討 論 兩 個 平 面 的 公 共 點 個 數 的 各 種 情 況, 以 區 分 兩 平 面 的 兩 種 位 置 關 係 : 相 交 和 平 面, 並 體 會 直 線 與 平 面 的 關 聯 ; 對 於 公 理 及 其 個 推 論, 應 從 有 一 個 ( 至 少 有 一 個 ) 平 面 和 只 有 一 個 ( 至 多 有 一 個 ) 平 面 兩 方 面 去 理 解.. 平 面 的 概 念 和 基 本 性 質 第 一 課 時 教 學 目 標 :. 理 解 平 面 的 概 念, 掌 握 平 面 的 畫 法 及 記 法 ;. 初 步 掌 握 用 符 號 表 示 點 線 面 間 的 關 係. 重 點 難 點 : 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 6

8 重 點 : 平 面 的 有 關 概 念 和 點 線 面 的 位 置 關 係 的 符 號 表 示 ; 難 點 : 建 立 空 間 概 念, 正 確 應 用 符 號 語 言. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 : 高 二 立 體 幾 何 [ 設 置 情 境 ] 日 常 生 活 中, 哪 些 東 西 給 我 們 以 平 面 的 形 象? 平 面 是 如 何 定 義 的, 怎 麼 畫? [ 探 索 研 究 ]. 平 面 的 概 念 常 見 的 桌 面 黑 板 面 平 靜 的 水 面 等, 都 給 我 們 以 平 面 的 形 象, 幾 何 裏 的 平 面 就 是 從 這 樣 的 一 些 物 體 中 抽 象 出 來 的. 與 之 不 同 的 是 幾 何 裏 的 平 面 是 無 限 延 展 的. 注 意 : 平 面 的 概 念 是 用 描 述 性 的 語 言 進 行 說 明 的.. 平 面 的 畫 法 及 表 示 通 常 我 們 畫 出 直 線 的 一 部 分 來 表 示 直 線. 同 樣 地, 我 們 也 可 以 畫 出 平 面 的 一 部 分 來 表 示 平 面. 當 我 們 從 適 當 的 角 度 和 距 離 觀 察 桌 面 或 黑 板 面 時, 感 到 它 們 都 很 像 平 行 四 邊 形. 因 此, 通 常 畫 平 行 四 邊 形 來 表 示 平 面 ( 圖 ). 當 平 面 是 水 平 放 置 的 時 候, 通 常 把 平 行 四 邊 形 的 銳 角 畫 成 45, 橫 邊 畫 成 鄰 邊 的 倍 長. 當 一 個 平 面 的 一 部 分 被 另 一 個 平 面 遮 住 時, 應 把 被 遮 部 分 的 線 段 畫 成 虛 線 或 不 畫 ( 圖 ). 有 時 根 據 需 要 也 可 用 其 他 平 面 圖 形 ( 例 如 三 角 形 等 ) 表 示 平 面. 圖 圖 平 面 通 常 用 一 個 希 臘 字 母 α β γ 等 來 表 示, 如 平 面 α 平 面 β 平 面 γ 等, 也 可 以 用 表 示 平 行 四 邊 形 的 兩 個 相 對 頂 點 的 字 母 來 表 示, 如 平 面 AC( 圖 ). 平 面 內 有 無 數 個 點, 平 面 可 以 認 為 是 由 它 內 部 的 所 有 的 點 組 成 的 點 集, 其 中 每 個 點 都 是 它 的 元 素, 點 A 在 平 面 α 內, 記 作 ( 圖 ), 這 裏 的 平 面 看 作 是 集 合, 而 點 看 作 是 元 素. A α; 點 B 在 平 面 α 外, 記 作 B α 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 7

9 . 空 間 點 線 面 的 位 置 關 係 項 目 關 係 公 共 點 個 點 與 直 線 點 與 平 面 直 線 與 平 數 高 二 立 體 幾 何 符 號 點 A 在 直 線 l 上 A l 點 A 不 在 直 線 l 上 0 A l 點 A 在 平 面 α 內 A α 點 A 不 在 平 面 α 內 0 A α 直 線 在 α 內 無 數 個 l α 面 直 線 不 在 α 內 0 l α 平 面 與 平 兩 平 面 α β 相 交 於 直 無 數 個 α β = 面 [ 演 練 回 饋 ]. 填 空 : 線 l 正 方 體 的 各 頂 點 如 圖 4 所 示, 正 方 體 的 三 個 面 所 在 平 面 A C A B BC 分 別 記 作 α β γ, 試 用 適 當 的 符 號 填 空. () A α, B α. () B γ, C γ. () A β, D β. (4) α β = A B, β γ = BB. (5) A B α, BB β, A B γ.. 根 據 下 列 符 號 表 示 的 語 句, 說 出 有 關 點 線 面 的 關 係, 並 畫 出 圖 形. () A α, B α 圖 4 () l α, m α () α I β = l (4) P l, P α, Q l, Q α [ 參 考 答 案 ].() ; () ; () ; (4)I ;I (5) ; ;.() 點 A 在 平 面 α 內, 點 B 不 在 平 面 α 內. () 直 線 l 在 平 面 α 內, 直 線 m 不 在 平 面 α 內. () 平 面 α 與 β 交 於 直 線 l. (4) 直 線 l 經 過 平 面 α 外 一 點 P 和 平 面 α 內 一 點 Q. 圖 形 略. [ 總 結 提 煉 ] 本 節 課 主 要 學 習 了 : [ 學 生 回 答, 教 師 補 充 完 善.]. 平 面 的 概 念 畫 法 及 記 法. l 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 8

10 . 點 在 ( 不 在 ) 平 面 內, 直 線 在 ( 不 在 ) 平 面 內, 兩 個 平 面 交 於 一 條 直 線 等 的 符 號 的 表 示. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P 練 習, P7 習 題 一.(),(). 平 面 的 概 念 和 基 本 性 質 第 二 課 時 教 學 目 標 :. 理 解 並 記 住 平 面 的 基 本 性 質 ;. 會 用 圖 形 語 言 文 字 語 言 符 號 語 言 準 確 描 述 三 個 公 理 ;. 理 解 掌 握 公 理 的 三 个 推 论. 重 點 難 點 : 重 點 : 平 面 的 基 本 性 質 和 公 理 的 三 個 推 論 ; 難 點 : 熟 悉 三 個 公 理 的 作 用. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 学 过 程 : [ 设 置 情 境 ] 我 们 已 經 學 習 了 平 面 的 一 些 概 念, 那 么 平 面 有 哪 些 性 質 呢? [ 探 索 研 究 ]. 平 面 的 基 本 性 質 我 們 下 面 學 習 平 面 的 基 本 性 質 的 三 個 公 理. 所 謂 公 理, 就 是 不 必 證 明 而 直 接 被 承 認 的 真 命 題, 它 們 是 進 一 步 推 理 的 出 發 點 和 根 據. 公 理 如 果 一 條 直 線 上 的 兩 點 在 一 個 平 面 內, 那 麼 這 條 直 線 上 所 有 的 點 都 在 這 個 平 面 內. 從 集 合 的 角 度 看, 這 個 公 理 就 是 說, 如 果 一 條 直 線 ( 點 集 ) 中 有 兩 個 元 素 ( 點 ) 屬 於 一 個 平 面 ( 點 集 ), 那 麼 這 條 直 線 就 是 這 個 平 面 的 真 子 集. 直 線 也 是 由 無 數 個 點 組 成 的 集 合, 點 P 在 直 線 l 上, 記 作 P l ; 點 P 在 直 線 l 外, 記 作 P l, 如 果 直 線 l 上 所 有 的 點 都 在 平 面 α 內, 或 者 說 平 面 α 經 過 直 線 l, 記 作 l α. 否 則, 就 說 直 線 l 在 平 面 α 外, 記 作 l α. 公 理 的 含 義 如 圖 所 示, 也 可 以 用 符 號 表 示 為 A l, B l, A α, B α l α. 公 理 為 證 明 直 線 在 平 面 內 提 供 了 依 據. 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 9

11 公 理 如 果 兩 個 平 面 有 一 個 公 共 點, 那 麼 它 們 還 有 其 他 公 共 點, 且 所 有 這 些 公 共 點 的 集 合 是 一 條 過 這 個 公 共 點 的 直 線. 注 意 : 沒 有 特 別 說 明 的 兩 個 平 面, 以 後 均 指 不 重 合 的 兩 個 平 面. 兩 個 不 重 合 的 平 面, 只 要 它 們 有 公 共 點, 它 們 就 是 相 交 的 位 置 關 係, 交 集 是 一 條 直 線. 如 果 平 面 α 和 β 有 一 條 公 共 直 線 l, 就 說 平 面 α 和 β 相 交, 交 線 是 l, 記 作 α I β = l. 公 理 的 含 義 如 圖 所 示, 也 可 以 用 符 號 表 示 為 P α I β α I β = l 且 P l. 公 理 為 證 明 若 干 點 共 線 提 供 了 一 條 新 的 途 徑. 圖 公 理 經 過 不 在 同 一 條 直 線 上 的 三 點, 有 且 只 有 一 個 平 面 ( 圖 ). 老 師 問 學 生 : 經 過 一 點 兩 點 或 同 一 直 線 上 的 三 點 有 多 少 個 平 面? 過 不 在 同 一 直 線 上 的 四 點 呢? 前 一 問 有 無 數 個 平 面, 後 一 問 不 一 定 有 平 面. 圖 公 理 中, 有 且 只 有 一 個 的 含 義 : 有 是 說 圖 形 存 在, 只 有 一 個 是 說 圖 形 惟 一. 不 能 僅 用 只 有 一 個 來 替 代 有 且 只 有 一 個, 否 則 未 表 達 出 存 在 性 的 含 義. 過 A B C 三 點 的 平 面 可 記 作 平 面 ABC.. 公 理 的 三 個 推 論 推 論 經 過 一 條 直 線 和 這 條 直 線 外 的 一 點, 有 且 只 有 一 個 平 面 ( 圖 4()) )))) )). 證 明 :( 存 在 性 ) 設 點 A 不 在 直 線 a 上, 在 直 線 a 上 任 取 兩 點 B 和 C, 於 是 有 A α, B α, C α, 即 A B C 為 不 共 線 的 三 點. 根 據 公 理, 經 過 A B C 三 點 有 一 個 平 面 α, 因 為 B α, C α, 所 以 由 公 理 可 知 a α, 即 平 面 α 是 經 過 直 線 a 和 點 A 的 平 面. ( 惟 一 性 ) 又 根 據 公 理, 經 過 不 共 線 的 三 點 A B C 的 平 面 只 有 一 個, 所 以 經 過 直 線 a 和 點 A 的 平 面 只 有 一 個. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 0

12 圖 4 推 論 的 證 明 分 兩 部 分 來 證, 即 第 一 要 證 存 在 一 個 平 面, 第 二 要 證 這 個 平 面 是 惟 一 的. 推 論 可 以 用 符 號 表 示 為 A α 有 且 只 有 一 個 平 面 α, 使 A α, a α. 推 論 經 過 兩 條 相 交 直 線, 有 且 只 有 一 個 平 面 ( 圖 4()) )))) )). 推 論 的 證 明 可 口 頭 講 一 下. 我 們 規 定 : 直 線 a 和 b 相 交 於 點 P, 記 作 a I b = P, 不 可 以 只 寫 ai b, 需 將 交 點 字 母 寫 出 來, 也 不 能 記 作 a b = { A} I. 推 論 可 以 用 符 號 表 示 為 ai b = P 有 且 只 有 一 個 平 面 α, 使 a α, b α. 推 論 經 過 兩 條 平 行 直 線, 有 且 只 有 一 個 平 面 ( 圖 4()). 推 論 的 證 明 分 兩 步 進 行, 第 一 步 證 存 在 性, 要 利 用 平 行 線 的 定 義, 即 在 一 個 平 面 內, 兩 條 沒 有 公 共 點 的 直 線 叫 做 平 行 線, 第 二 步 證 惟 一 性, 與 推 論 類 似. 推 論 可 以 用 符 號 表 示 為 a // b 有 且 只 有 一 個 平 面 α, 使 a α, b α. 有 且 只 有 一 個 平 面 也 可 以 說 成 確 定 一 個 平 面. 公 理 及 它 的 三 個 推 論 給 出 了 確 定 一 個 平 面 時 經 常 使 用 的 一 些 條 件, 下 面 通 過 一 道 例 題 來 學 習 基 本 性 質 的 應 用. 例 題 如 圖 5, 直 線 AB, BC,CA 兩 兩 相 交, 交 點 分 別 為 A B C, 判 斷 這 三 條 直 線 是 否 共 面 並 說 明 理 由. 解 : 這 三 條 直 線 共 面. 理 由 如 下 : 圖 5 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

13 直 線 AB 和 AC 相 交 於 點 A. 直 線 AB 和 AC 確 定 一 個 平 面 α ( 推 論 ). B AB, C AC. B α, C α. BC α ( 公 理 ). 因 此, 直 線 AB, BC,CA 都 在 平 面 α 內, 即 它 們 共 面. 高 二 立 體 幾 何 由 上 可 知, 證 明 三 條 直 線 共 面, 可 以 先 證 其 中 兩 條 直 線 共 面, 再 證 第 三 條 直 線 也 在 這 個 平 面 內. [ 演 練 回 饋 ]. 兩 個 不 重 合 的 平 面 有 公 共 點, 則 公 共 點 的 個 數 是 ( ) A. 個 B. 有 無 數 個 且 在 一 條 直 線 上 C. 一 個 或 無 數 個 D. 個. 點 A 在 直 線 l 上,l 在 平 面 α 外, 用 符 號 表 示 正 確 的 是 ( ) A. A l, l α B. A l, l α C. A l, l α D. A l, A α. 若 a α, b β, α I β = c, a I b = M, 則 ( ) A. M c B. M c C. M α D. M β 4. 三 條 直 線 相 交 於 一 點, 過 每 兩 條 相 交 直 線 作 一 個 平 面, 最 少 可 作 幾 個 平 面? 最 多 可 作 幾 個 平 面? 若 三 條 直 線 相 交 於 三 點 呢? 5. 已 知 直 線 a // b, 且 l I a = A, l I b = B, 求 證 : a b l 三 線 共 面. [ 參 考 答 案 ].B.B.A 4. 答 : 相 交 於 一 點 時, 最 少 一 個 面, 最 多 三 個 平 面 ; 相 交 於 在 三 點 時, 只 有 一 種 情 況, 即 為 一 個 平 面. 5. 證 明 : a // b a b 確 定 一 個 平 面 α ( 推 論 ) 又 l I a = A, l I b = B A a α, B b α AB α, 即 l α ( 公 理 ) a b l 三 線 共 面. [ 總 結 提 煉 ] [ 學 生 回 答, 教 師 補 充 完 善.] 本 節 課 主 要 學 習 了 :. 平 面 的 基 本 性 質 : 公 理, 公 理, 公 理.. 公 理 的 三 個 推 論 : 推 論, 推 論, 推 論.. 證 明 若 干 個 點 線 共 面 的 方 法. ( 先 證 其 中 某 些 點 線 確 定 一 個 平 面, 再 證 剩 餘 點 線 落 在 此 平 面 內.) 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

14 [ 佈 置 作 業 ] () 課 本 P5 練 習, P8 習 題 一,6,7; 高 二 立 體 幾 何 () 思 考 題 : 已 知 三 直 線 a // b // c, 且 直 線 l 與 a b c 分 別 交 於 A B C 三 點, 求 證 : a b c l 四 條 直 線 共 面.. 平 面 的 概 念 和 基 本 性 質 第 三 課 時 教 學 目 標 :. 鞏 固 復 習 平 面 的 基 本 性 質 ;. 會 應 用 個 公 理 及 推 論 證 明 三 點 共 線 和 若 干 個 點 線 共 面. 重 點 難 點 : 重 點 : 熟 練 運 用 平 面 的 基 本 性 質 及 推 論 ; 難 點 : 掌 握 平 面 基 本 性 質 及 其 推 論 的 解 題 方 法. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板 [ 教 學 過 程 ] [ 基 本 知 識 加 固 ] 平 面 基 本 性 質 小 結 名 稱 作 用 公 理 判 斷 直 線 在 平 面 內 的 依 據 兩 個 平 面 相 交 以 及 它 們 的 交 點 共 線 的 依 公 理 據 公 理 及 三 個 推 確 定 一 個 平 面 的 依 據 論 [ 探 索 研 究 ] 例 在 正 方 體 ABCD A BC D 中 ( 如 圖 ), A C 與 截 面 DBC 交 於 O 點, AC BD 交 於 M, 求 證 : C O M 三 點 共 線. 圖 分 析 : 三 點 共 線 問 題 的 證 法 是 : 證 明 此 三 點 同 在 兩 個 相 交 平 面 內, 顯 然 C 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

15 O M 平 面 BC D, 且 C O M 平 面 A ACC, 故 可 證 得 三 點 共 線. 證 明 : C O M 平 面 BC D. 又 C O M 平 面 A ACC. 據 公 理, 知 C O M 在 平 面 BC D 與 平 面 A ACC 的 交 線 上, 即 C O M 三 點 共 線 c 共 面. 例 已 知 直 線 l 與 三 條 平 行 線 a b c 都 相 交 ( 如 圖 ), 求 證 :l 與 a b 證 明 : a // b, a,b 確 定 平 面 α, 設 l I a = A, l I b = B, l I c = C. A α, B α, l α. 圖 同 理,b c 確 定 平 面 β, l β, 則 平 面 α 與 β 都 過 兩 相 交 直 線 b 與 l, 而 過 b 和 l 有 且 只 有 一 個 平 面. α 與 β 重 合. 故 a b c l 共 面. 教 師 點 評 : 證 共 面 問 題, 可 先 由 公 理 ( 或 推 論 ) 證 某 些 元 素 確 定 一 個 平 面, 再 證 其 餘 元 素 都 在 此 平 面 內 ; 或 者 指 出 給 定 的 元 素 中 的 某 些 元 素 在 一 個 平 面 內, 再 證 兩 個 平 面 重 合. 例 不 共 點 的 四 條 直 線 兩 兩 相 交, 求 證 : 這 四 條 直 線 在 同 一 個 平 面 內. 分 析 : 此 題 要 注 意 兩 種 情 況 : 一 是 無 三 條 直 線 相 交 於 一 點 ; 二 是 其 中 只 有 三 條 直 線 交 於 一 點. 教 師 講 第 一 種 情 況, 第 二 種 情 況 由 學 生 來 證, 可 以 由 一 學 生 上 臺 板 演. 已 知 : 直 線 AB BC CD DA 兩 兩 相 交, 且 不 過 同 一 點. 求 證 : 直 線 AB BC CD DA 共 面. 圖 證 明 : 如 圖, AB BC CD DA 兩 兩 相 交, 且 無 三 條 直 線 相 交 於 一 點. 設 AD BC 交 於 點 M, AB CD 交 於 點 N. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 4

16 AB CD 確 定 一 個 平 面 α. 又 C CD, B AB, D CD, A AB. A B C D α. 由 公 理, 知 AD BC α. 故 AB BC CD DA 四 條 直 線 共 面. 如 圖 4, AB BC CD DA 兩 兩 相 交, 且 有 三 直 線 交 於 一 點 D. 高 二 立 體 幾 何 AB I CD = C. AB CD 確 定 一 個 平 面 β. 又 圖 4 A AB, D CD, A D β, B AB, D CD, B D β. AD β, BD β ( 公 理 ). AB BC CD DA 四 直 線 共 面. [ 演 練 回 饋 ]. 兩 個 平 面 重 合 的 條 件 是 ( ) A. 有 兩 個 公 共 點 B. 有 無 數 個 公 共 點 C. 存 在 不 共 線 的 三 個 公 共 點 D. 有 一 條 公 共 直 線. 下 列 命 題 中, 真 命 題 是 ( ) A. 空 間 不 同 三 點 確 定 一 個 平 面 B. 空 間 兩 兩 相 交 的 三 條 直 線 確 定 一 個 平 面 C. 兩 組 對 邊 相 等 的 四 邊 形 是 平 行 四 邊 形 D. 和 同 一 直 線 都 相 交 的 三 條 平 行 線 在 同 一 平 面 內. 在 空 間 四 點 中, 無 三 點 共 線 是 四 點 共 面 的 ( ) A. 充 分 不 必 要 條 件 B. 必 要 不 充 分 條 件 C. 充 分 條 件 D. 既 不 充 分 又 不 必 要 條 件 4. 空 間 有 四 個 點, 其 中 無 三 點 共 線, 可 確 個 平 面. 若 將 此 四 點 兩 兩 相 連, 再 以 所 得 線 段 中 點 為 頂 點 構 成 一 個 幾 何 體, 則 這 個 幾 何 體 至 多 有 個 面. 5. 一 直 線 和 直 線 外 不 在 同 一 直 線 上 的 三 點, 可 以 確 定 幾 個 平 面? PQ // a. 6. 已 知 : a α, b α, a I b = A, P b, 求 證 : PQ a [ 參 考 答 案 ] 圖 5 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 5

17 .C.D.D 4. 或 4;8 5. 分 三 種 情 況 : 個 或 個 或 4 個. 6. 提 示 : 仿 照 例 證 法. [ 總 結 提 煉 ] 高 二 立 體 幾 何 本 節 課 我 們 發 現 了 證 明 三 點 共 線 的 新 方 法, 即 證 明 這 些 點 都 是 某 兩 個 平 面 的 交 點, 據 公 理 它 們 必 共 線. 證 明 共 面 問 題 一 般 有 兩 種 途 徑 : 先 證 其 中 一 部 分 點 線 確 定 一 個 平 面, 再 證 剩 餘 點 線 落 在 確 定 好 的 平 面 上. 先 證 其 中 一 部 分 點 線 確 定 一 個 平 面, 再 證 另 一 部 分 點 線 確 定 另 一 個 平 面, 最 後 證 明 前 後 兩 個 平 面 重 合. [ 佈 置 作 業 ] 補 充 :. 一 條 直 線 與 兩 條 平 行 直 線 都 相 交, 證 明 這 三 條 直 線 共 面.. 已 知 ABC 在 平 面 α 外, 它 的 三 邊 所 在 直 線 交 平 面 於 P Q R, 求 證 : P Q R 三 點 共 線.. 設 四 條 直 線 a,b, c 和 d. 若 a // b // c, 直 線 d 與 a,b, c 分 別 相 交 於 點 P, P, P, 求 證 : 這 四 線 共 面. 4. 已 知 空 間 四 點 A B C D 不 在 同 一 個 平 面 內, 求 證 : 直 線 AB 和 CD 既 不 相 交 也 不 平 行.. 知 識 結 構 二. 空 間 兩 條 直 線 相 交 直 線 空 間 兩 條 直 線 的 位 置 關 係 平 行 直 線 異 面 直 線 異 面 直 線 所 成 的 角 兩 條 異 面 直 線 互 相 垂 直 異 面 直 線 間 的 距 離. 重 點 難 點 分 析 重 點 是 公 理 4 和 異 面 直 線 的 概 念, 難 點 是 空 間 異 面 直 線 的 定 義 及 其 所 成 的 角. () 空 間 兩 條 直 線 的 位 置 關 係, 既 是 研 究 直 線 和 直 線 直 線 和 平 面 平 面 和 平 面 各 種 位 置 關 係 的 開 始, 又 是 學 習 這 些 關 係 的 基 礎, 必 須 予 以 足 夠 的 重 視 同 時 要 擺 脫 以 往 平 面 的 局 限 性, 處 處 從 空 間 來 考 慮 問 題 () 公 理 4 平 行 於 同 一 條 直 線 的 兩 條 直 線 互 相 平 行, 說 明 把 平 行 線 的 傳 遞 性 推 廣 到 空 間 也 能 成 立. 這 個 公 理 是 判 斷 兩 直 線 平 行 的 重 要 方 法 之 一, 其 關 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 6

18 鍵 在 於 尋 找 聯 繫 所 證 兩 條 平 行 直 線 的 第 三 條 直 線. 高 二 立 體 幾 何 () 由 於 空 間 想 像 能 力 的 水 平 不 高, 學 生 開 始 往 往 想 像 不 出 異 面 直 線 是 什 麼 樣 子, 或 者 畫 不 出 圖 來. 再 加 上 異 面 直 線 這 一 概 念 容 易 和 分 別 處 於 兩 個 平 面 內 的 兩 條 直 線 相 混 淆, 所 以 異 面 直 線 的 概 念 是 學 習 中 的 難 點. 理 解 異 面 直 線 的 概 念 要 特 別 注 意 不 同 在 任 何 一 個 平 面 內 的 兩 條 直 線 與 不 在 同 一 平 面 內 的 兩 條 直 線 的 本 質 區 別 : 不 同 在 任 何 一 個 平 面 內 的 兩 條 直 線 與 分 別 在 某 兩 個 平 面 內 的 兩 條 直 線 的 含 義 是 有 根 本 區 別 的. 如 圖, 雖 然 a b 分 別 在 α β 內, a // b, 過 a b 可 以 作 一 個 平 面 γ, 使 a b 在 同 一 平 面 γ 內. 對 於 異 面 直 線 的 概 念 這 個 重 點 和 難 點 要 著 重 明 確 如 下 幾 點 : 兩 條 直 線 若 異 面, 則 必 不 能 同 在 任 何 一 個 平 面 內 因 此 它 們 不 相 交 也 不 平 行 分 別 在 某 兩 個 平 面 內 的 兩 條 直 線, 不 一 定 是 異 面 直 線 畫 異 面 直 線 時, 以 輔 助 平 面 作 襯 托, 更 為 直 觀 (4) 常 把 定 理 如 果 一 個 角 的 兩 邊 和 另 一 個 角 的 兩 邊 分 別 平 行 並 且 方 向 相 同, 那 麼 這 兩 個 角 相 等 叫 做 等 角 定 理, 這 個 定 理 的 內 容, 在 初 中 平 面 幾 何 中 已 經 介 紹 過. 在 這 裏 又 給 出 定 理 的 證 明, 是 告 訴 大 家, 凡 是 研 究 物 件 不 共 面 時, 平 面 幾 何 的 定 理 不 再 適 用 ; 反 之, 如 果 我 們 所 研 究 的 物 件 在 同 一 平 面 內, 那 麼 平 面 幾 何 的 所 有 規 定 依 然 適 用. 等 角 定 理 主 要 解 決 了 角 在 空 間 中 的 平 移 問 題, 這 為 後 面 建 立 異 面 直 線 所 成 角 打 下 基 礎, 並 為 解 決 異 面 直 線 角 的 問 題 提 供 瞭 解 題 方 法. 在 學 習 等 角 定 理 時 要 注 意 : 如 果 一 個 角 的 兩 邊 與 另 一 角 的 兩 邊 分 別 平 行, 但 方 向 相 反, 那 麼 這 兩 角 相 等 ; 如 果 一 個 角 的 兩 邊 與 另 一 個 角 的 兩 邊 分 別 平 行, 有 一 組 對 邊 方 向 相 同, 有 一 組 對 邊 方 向 相 反, 那 麼 這 兩 個 角 互 補. (5) 兩 條 異 面 直 線 既 然 不 相 交, 但 它 們 之 間 又 有 一 個 角, 這 對 於 初 學 立 體 幾 何 者 來 說, 是 較 難 理 解 的 實 際 上 這 個 角 是 指 這 兩 條 直 線 經 過 平 移 後 處 於 相 交 位 置 時 所 成 的 銳 角 或 直 角, 因 此 異 面 直 線 所 成 的 角 的 範 圍 是 0, π, 要 注 意 其 中 不 含 0 弧 度, 課 本 上 為 避 免 初 學 者 誤 認 為 此 角 是 兩 異 面 直 線 相 交 而 得, 故 不 提 交 角 而 特 別 用 了 所 成 的 角 兩 條 異 面 直 線 所 成 角 的 大 小 只 由 異 面 直 線 的 位 置 來 決 定, 而 與 O 點 的 位 置 無 關. 所 以 為 了 便 於 計 算 出 異 面 直 線 所 成 角 的 大 小, 常 根 據 題 目 的 需 要 把 O 點 選 在 具 有 特 殊 的 點 上 或 特 殊 的 直 線 上. 異 面 直 線 是 相 對 於 共 面 直 線 而 言 的 學 習 了 異 面 直 線 的 概 念, 就 把 對 兩 直 線 間 位 置 關 係 的 研 究 推 廣 到 了 更 廣 闊 的 領 域 空 間, 而 異 面 直 線 的 夾 角 又 是 對 空 間 兩 直 線 位 置 關 係 進 行 精 確 描 述 的 重 要 工 具 (6) 兩 條 異 面 直 線 的 公 垂 線 的 定 義 要 明 確 三 點 : 即 一 垂 直, 二 相 交, 三 有 且 只 有 一 條 若 不 相 交, 便 沒 有 交 點, 也 就 沒 有 公 垂 線 段, 距 離 也 就 無 從 定 義 了. 教 法 建 議 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 7

19 () 在 引 入 異 面 直 線 這 一 概 念 時 應 充 分 聯 繫 生 活 中 的 實 例, 例 如 教 室 裏 天 花 板 上 和 地 板 上 兩 條 不 平 行 的 牆 的 交 線 的 位 置 關 係 ; 操 場 裏 跳 高 架 上 的 橫 杆 與 豎 直 的 電 線 杆 的 位 置 關 係, 等 等, 然 後 啟 發 學 生 發 現 它 們 位 置 關 係 的 特 點 是 既 不 平 行, 也 不 相 交, 從 而 引 出 異 面 直 線 的 概 念. () 教 師 在 講 解 異 面 直 線 的 概 念 時, 為 了 讓 學 生 更 好 地 理 解 不 同 在 任 何 一 個 平 面 內 的 兩 條 直, 可 以 通 過 畫 圖 舉 例 來 說 明, 如 下 圖, 圖,, 中 兩 直 線 是 異 面 直 線, 而 圖 4 中 兩 條 直 線 就 不 是 異 面 直 線, 這 樣 就 比 較 容 易 與 不 在 同 一 平 面 內 的 兩 條 直 線 相 區 分. 在 講 解 概 念 中 注 意 培 養 學 生 的 圖 形 語 言 理 解 和 表 達 能 力.( 畫 異 面 直 線 除 通 常 用 一 個 或 兩 個 平 面 作 襯 托 ) 圖 圖 圖 圖 4 所 以 兩 條 異 面 直 線 等 價 於 這 兩 條 直 線 既 不 平 行 也 不 相 交, 因 此 異 面 直 線 的 定 義 又 可 理 解 為 經 過 這 兩 條 直 線 無 法 作 出 一 個 平 面. () 教 師 要 注 意 把 直 觀 印 象 與 邏 輯 推 理 統 一 起 來, 並 在 平 面 幾 何 的 公 理 定 理 的 基 礎 上, 運 用 類 比 的 方 法, 延 拓 得 出 相 應 的 結 論, 再 加 以 論 證. 平 面 幾 何 中 的 平 行 線 的 傳 遞 性 可 推 廣 到 空 間. 講 解 等 角 定 理, 可 從 平 面 幾 何 的 平 行 等 角 定 理 的 結 論 和 論 證 出 發, 來 理 解 空 間 的 等 角 定 理 的 結 論 和 論 證. (4) 關 於 兩 條 異 面 直 線 所 成 的 角, 講 解 時 要 突 出 以 下 幾 點 : 將 角 的 概 念 從 交 角 拓 廣 為 兩 直 線 的 方 向 ( 或 傾 斜 度 ) 之 間 的 差 異. 如 鐵 路 橋 上 列 車 的 賓 士 方 向 與 穿 梭 在 大 橋 下 的 船 隊 航 行 方 向 之 間 的 差 異 就 是 很 好 的 實 例 ; 利 用 空 間 平 移 的 不 變 性, 將 異 面 直 線 平 移 到 一 個 平 面 內, 再 用 平 移 得 到 的 銳 角 ( 或 直 角 ) 的 大 小 反 映 二 異 面 直 線 方 向 上 的 差 異, 其 大 小 與 點 O 的 位 置 無 關 ; 計 算 異 面 直 線 a,b 所 成 角 的 大 小, 按 照 定 義 法 平 移 角, 實 際 計 算 時, 常 將 點 O 取 在 a 或 b 上, 往 往 只 需 平 移 一 條 直 線 即 可.. 空 間 直 線 第 一 課 時 教 學 目 標. 瞭 解 空 間 兩 條 直 線 的 位 置 關 係.. 學 習 掌 握 公 理 4.. 理 解 掌 握 等 角 定 理. 4. 能 應 用 公 理 4 及 等 角 定 理 解 決 簡 單 問 題. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 8

20 重 點 難 點 : 重 點 : 公 理 4 和 異 面 直 線 的 概 念 ; 難 點 :. 空 間 異 面 直 線 的 定 義 ;. 應 用 公 理 4 及 等 角 定 理 解 決 簡 單 問 題.. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板 模 型. 教 學 過 程 [ 設 置 情 景 ] 高 二 立 體 幾 何 () 在 同 一 平 面 內, 兩 條 直 線 有 幾 種 位 置 關 係?( 兩 種 : 平 行 相 交 ), 那 麼 在 空 間, 兩 條 直 線 有 幾 種 位 置 關 係 呢? 成 立 嗎? () 在 同 一 平 面 內, 平 行 於 同 一 條 直 線 的 兩 直 線 平 行, 在 空 間 中 此 結 論 仍 [ 探 索 研 究 ]. 空 間 兩 條 直 線 的 位 置 關 係 空 間 直 線 的 三 種 位 置 關 係 在 現 實 中 大 量 存 在, 在 初 中 幾 何 裏 已 經 介 紹 了 空 間 的 兩 條 直 線 有 以 下 三 種 位 置 關 係 : () 相 交 直 線 有 且 僅 有 一 個 公 共 點. () 平 行 直 線 在 同 一 個 平 面 內, 沒 有 公 共 點. () 異 面 直 線 不 同 在 任 何 一 個 平 面 內, 沒 有 公 共 點. 教 師 可 出 示 立 體 幾 何 模 型, 例 如 正 方 體 模 型, 指 出 空 間 兩 條 直 線 的 各 種 位 置 關 係. 也 可 以 教 室 內 牆 與 牆 的 交 線 為 例.. 平 行 直 線 () 復 習 引 入 在 初 中 幾 何 裏 我 們 已 知 道, 在 同 一 個 平 面 內, 如 果 兩 條 直 線 都 和 第 三 條 直 線 平 行, 那 麼 這 兩 條 直 線 也 互 相 平 行. 教 師 提 問 : 對 於 空 間 的 三 條 直 線, 是 否 也 有 這 樣 的 規 律? () 導 入 新 課 在 教 室 內, 大 家 一 起 找 一 找 牆 的 交 線 有 無 不 在 同 一 平 面 內 的 三 條 直 線 兩 兩 平 行 的? 在 教 師 指 導 下 找 出. 我 們 把 上 述 規 律 作 為 本 章 的 第 4 個 公 理. 公 理 4 平 行 於 同 一 條 直 線 的 兩 條 直 線 互 相 平 行. a // b 公 理 4 也 可 以 用 符 號 表 示 為 : 設 a b c 為 直 線, a // c c // b a b c 三 條 直 線 兩 兩 平 行, 可 以 記 為 a // b // c. 例 已 知 四 邊 形 ABCD 是 空 間 四 邊 形 ( 四 個 頂 點 不 共 面 的 四 邊 形 叫 做 空 間 四 邊 形 ), E H 分 別 是 邊 AB AD 的 中 點, F G 分 別 是 邊 CB CD 上 的 點, CF 且 CB CG = = CD, 求 證 : 四 邊 形 EFGH 有 一 組 對 邊 平 行 但 不 相 等. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 9

21 證 明 : 如 圖, 連 結 BD. EH 是 ABD 的 中 位 線. 圖 EH // BD, EH = BD. CF 又 在 BCD 中, CB CG = = CD FG // BD, FG = BD. 根 據 公 理 4, EH // FG. 又 FG > EH,, 四 邊 形 EFGH 的 一 組 對 邊 平 行 但 不 相 等. 由 公 理 4, 我 們 可 以 推 出 下 面 的 結 論. 定 理 : 如 果 一 個 角 的 兩 邊 和 另 一 個 角 的 兩 邊 分 別 平 行 並 且 方 向 相 同, 那 麼 這 兩 個 角 相 等. 例 已 知 : BAC 和 B A C 的 邊 AB // A B, AC // A C, 並 且 方 向 相 同 ( 即 向 量 AB 與 A B, AC 與 A C 的 方 向 相 同 ). 求 證 : BAC = B A C. 證 明 : 對 於 BAC 和 B A C 都 在 同 一 平 面 內 的 情 況, 用 初 中 幾 何 知 識 可 證 明, 下 面 我 們 證 明 兩 個 角 不 在 同 一 平 面 內 的 情 況. 圖 如 圖, 在 AB A B AC A C 上 分 別 取 AD = A D AE = A E, 連 結 A A D D E E DE D E. AB // A B, AD = A D. 四 邊 形 A A D D 是 平 行 四 邊 形. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 0

22 A A // DD. 同 理 A A // EE. 根 據 公 理 4, 可 得 D D // EE. 又 可 得 D D // EE, 四 邊 形 E E D D 是 平 行 四 邊 形. ED = E D. 於 是 ADE A D E BAC = B A C. 把 上 面 兩 個 角 的 兩 邊 反 向 延 長, 就 得 出 下 面 的 推 論 : 推 論 如 果 兩 條 相 交 直 線 和 另 兩 條 相 交 直 線 分 別 平 行, 那 麼 這 兩 組 直 線 所 成 的 銳 角 ( 或 直 角 ) 相 等. 注 意 : 對 於 由 平 面 圖 形 得 出 的 結 論, 有 些 可 以 推 廣 到 立 體 圖 形 中, 例 如 上 面 的 定 理 和 推 論 對 於 平 面 圖 形 都 成 立, 現 在 經 證 明 可 知 對 於 立 體 圖 形 也 成 立. 但 是, 並 非 所 有 關 於 平 面 圖 形 成 立 的 結 論, 對 於 立 體 圖 形 都 適 用. 例 如, 在 同 一 平 面 內, 垂 直 於 同 一 條 直 線 的 兩 條 直 線 互 相 平 行, 但 在 空 間 裏 沒 有 這 樣 的 結 論. 因 此, 一 般 地 說, 要 把 關 於 平 面 圖 形 的 結 論 推 廣 到 立 體 圖 形 中, 必 須 經 過 證 明. [ 演 練 回 饋 ]. 空 間 兩 直 線 平 行 是 指 它 們 ( ) A. 無 交 點 B. 共 面 且 無 交 點 C. 和 同 一 條 直 線 垂 直 D. 以 上 都 不 對. 在 空 間, 如 果 一 個 角 的 兩 邊 與 另 一 個 角 的 兩 邊 分 別 平 行, 則 這 兩 個 角 ( ) 補 A. 相 等 B. 互 補 C. 相 等 或 互 補 D. 既 不 相 等 也 不 互. 如 圖, AA 是 長 方 體 的 一 條 棱, 這 個 長 方 體 中 與 AA 異 面 的 棱 共 有 ( ) A. 條 B.4 條 C.5 條 D.6 條 4. 設 直 線 a b 分 別 是 長 方 體 的 相 鄰 兩 個 面 的 對 角 線 所 在 的 直 線, 則 a 與 b ( ) A. 平 行 B. 相 交 C. 是 異 面 直 線 D. 可 能 相 交, 可 能 異 面 5. 一 條 直 線 與 兩 條 平 行 線 中 的 一 條 是 異 面 直 線, 那 麼 它 與 另 一 條 的 位 置 關 係 是 ( ) A. 相 交 B. 異 面 C. 平 行 D. 相 交 或 異 面 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

23 6. 兩 條 異 面 直 線 是 指 ( ) A. 空 間 兩 條 沒 有 公 共 點 的 直 線 B. 平 面 內 一 直 線 與 這 個 平 面 外 的 一 直 線 C. 分 別 在 兩 個 平 面 內 的 兩 條 直 線 D. 不 同 在 任 何 一 個 平 面 內 的 兩 條 直 線 [ 參 考 答 案 ].B.C.B 4.D 5.D 6.D [ 總 結 提 煉 ] [ 學 生 回 答, 教 師 補 充 完 善.]. 兩 條 直 線 的 空 間 位 置 關 係 及 它 們 的 定 義.. 公 理 4.. 等 角 定 理 及 其 推 論. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P0 練 習, P 練 習 P6 習 題 二 5,6. 空 間 直 線 第 二 課 時 教 學 目 標. 理 解 異 面 的 定 義, 會 畫 出 兩 條 異 面 直 線.. 理 解 異 面 直 線 所 成 的 角, 異 面 直 線 的 公 垂 線 及 距 離 等 概 念.. 能 利 用 異 面 直 線 所 成 的 角 及 異 面 直 線 間 的 距 離 等 概 念 去 求 兩 條 異 面 直 線 所 成 的 角 及 兩 條 異 面 直 線 間 的 距 離. 4. 初 步 瞭 解 反 證 法. 重 點 難 點 : 重 點 :. 理 解 異 面 直 線 的 有 關 概 念 ;. 會 求 異 面 直 線 所 成 的 角 ;. 會 用 反 證 法 證 明 兩 條 直 線 是 異 面 直 線. 難 點 :. 求 異 面 直 線 所 成 的 角 及 距 離 ;. 掌 握 證 明 兩 條 直 線 是 異 面 直 線 的 方 法. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 兩 條 平 行 線 之 間 可 以 用 距 離 度 量 它 們 的 位 置 關 係, 兩 條 相 交 直 線 可 以 用 夾 角 來 描 述 它 們 的 位 置 關 係, 那 麼 怎 麼 描 述 兩 條 異 面 直 線 的 關 係 呢, 它 們 之 間 存 在 著 夾 角 和 距 離 嗎? [ 探 索 研 究 ]. 異 面 直 線 的 定 義 不 同 在 任 何 一 個 平 面 內 的 兩 條 直 線, 叫 做 異 面 直 線. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

24 說 l 高 二 立 體 幾 何 異 面 直 線 是 指 兩 條 直 線 不 能 同 在 任 何 一 個 平 面 內, 而 不 能 由 l α l β 就 l 一 定 是 異 面 直 線, 這 是 因 為 在 上 述 情 況 下, 還 可 能 有 l γ 且 l γ. 兩 條 直 線 是 異 面 直 線, 等 價 於 兩 條 直 線 既 不 相 交 也 不 平 行.. 異 面 直 線 的 畫 法 表 示 異 面 直 線 時, 以 一 個 或 兩 個 平 面 襯 托 以 顯 示 出 它 們 不 共 面 的 特 點. 如 圖 圖. 兩 異 面 直 線 所 成 的 角 過 空 間 任 意 一 點, 分 別 作 兩 條 異 面 直 線 的 平 行 線, 則 這 兩 條 相 交 直 線 所 成 的 銳 角 ( 或 直 角 ) 叫 做 這 兩 條 異 面 直 線 所 成 的 角. 如 圖 (l), 直 線 a b 是 異 面 直 線, 圖 () 中 a // a, b // b, a I b = O. 則 a 和 b 所 成 的 銳 角 ( 或 直 角 ) 就 是 a b 所 成 的 角. 圖 4. 異 面 直 線 互 相 垂 直 如 果 兩 條 異 面 直 線 所 成 的 角 是 直 角, 我 們 就 說 這 兩 條 異 面 直 線 互 相 垂 直. 異 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

25 面 直 線 a 和 b 互 相 垂 直, 也 記 作 a b. 高 二 立 體 幾 何 以 後, 我 們 講 兩 條 直 線 垂 直 時, 有 時 交 垂 直 與 異 面 垂 直 兩 種 情 況. 異 面 直 線 所 成 的 角 範 圍 是 : 0, π. 5. 兩 條 異 面 直 線 的 公 垂 線 與 距 離 和 兩 條 異 面 直 線 都 垂 直 相 交 的 直 線, 叫 做 兩 條 異 面 直 線 的 公 垂 線. 兩 條 異 面 直 線 的 公 垂 線 在 這 兩 條 異 面 直 線 間 的 線 段 ( 公 垂 線 段 ) 的 長 度, 叫 做 兩 條 異 面 直 線 的 距 離. 6. 例 題 分 析 例 設 圖 中 的 正 方 體 的 棱 長 為 a,() 求 直 線 B A 和 C C 所 成 的 角 的 大 小 ;() 求 異 面 直 線 BC 和 A A 的 距 離. 解 :() C C // BB 圖 B A 和 B B 所 成 的 銳 角 就 是 B A 和 C C 所 成 的 角. A BB = 45 B A 和 C C 所 成 的 角 是 45. AB AA AB 是 BC 和 AA ABI AA = A () 的 公 垂 線 段 BC 和 AA 的 距 離 是 a. AB BC AB = a ABI BC = B 對 於 任 意 兩 條 異 面 直 線, 它 們 的 公 垂 線 有 且 僅 有 一 條 ( 證 明 略 ). 高 考 中, 求 異 面 直 線 的 距 離, 只 要 求 會 已 給 出 公 垂 線 的 距 離 的 計 算. 例 求 證 : 過 平 面 外 一 點 與 平 面 內 一 點 的 直 線, 和 平 面 內 不 經 過 該 點 的 直 線 是 異 面 直 線. 已 知 : a α, A α, B α, B α ( 圖 4). 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 4

26 求 證 : 直 線 AB 和 a 是 異 面 直 線. 圖 4 高 二 立 體 幾 何 證 明 : 用 反 證 法 證 明. 假 設 直 線 AB 和 a 共 面, 即 有 平 面 β 使 AB β, a β, 於 是 A β, B β. α = β. a α, B α, B α. 過 a 和 B 有 且 僅 有 一 個 平 面, 即 平 面 α. 於 是,α 和 β 是 同 一 平 面, 即 由 假 設 知 A β, 可 知 A α, 這 與 已 知 A α 矛 盾. 直 線 AB 和 a 是 異 面 直 線. [ 演 練 回 饋 ]. 若 a b 是 異 面 直 線,b c 是 異 面 直 線, 則 a c 的 位 置 關 係 不 可 能 是 ( ) A. 相 交 直 線 B. 平 行 直 線 C. 異 面 直 線 D. 以 上 結 論 都 不 對. 沒 有 公 共 點 的 兩 條 直 線 的 位 置 關 係 是 ( ) A. 異 面 B. 平 行 C. 異 面 或 平 行 D. 不 確 定. 下 列 說 法 中 正 確 的 是 ( ) A. a α, b β, 則 a 與 b 是 異 面 直 線 B. a 與 b 異 面,b 與 c 異 面, 則 a 與 c 異 面 C. a b 不 同 在 平 面 α 內, 則 a 與 b 異 面 D. a b 不 同 在 任 何 一 個 平 面 內, a 與 b 異 面 4. 異 面 直 線 a b 分 別 在 平 面 α 和 β 內, 若 α I β = l, 則 直 線 l 必 定 ( ) A. 分 別 與 a b 相 交 B. 與 a b 都 不 相 交 C. 至 多 與 a b 中 的 一 條 相 交 D. 至 少 與 a b 中 的 一 條 相 交 5. 在 正 方 體 ABCD A BC D 中, 與 對 角 線 AC 異 面 的 棱 共 有 條. 6. a b 是 異 面 直 線, c // a, 則 c 與 b 的 位 置 關 係 是. [ 參 考 答 案 ].D.C.D 4.D 相 交 或 異 面 [ 總 結 提 煉 ] 畫 兩 條 異 面 直 線 必 須 用 一 個 平 面 去 襯 托, 異 面 直 線 所 成 角 的 定 義 的 合 理 性 是 由 等 角 定 理 保 證 的, 要 求 兩 條 異 面 直 線 間 的 距 離 必 須 先 找 到 這 兩 條 異 面 直 線 的 公 垂 線, 考 綱 中 只 要 求 會 計 算 已 經 給 出 公 垂 線 段 的 兩 異 面 直 線 間 的 距 離, 反 證 法 一 般 都 是 在 正 面 證 明 不 方 便 的 情 況 下 使 用 的. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P0 練 習 P6 習 題 二 7,8,0. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 5

27 教 學 目 標 :. 空 間 直 線 第 三 課 時 高 二 立 體 幾 何. 鞏 固 復 習 異 面 直 線, 異 面 直 線 所 成 的 角 及 異 面 直 線 間 的 距 離 等 概 念. 會 根 據 概 念 求 異 面 直 線 所 成 的 角 以 及 兩 條 異 面 直 線 間 的 距 離. 重 點 難 點 : 重 點 : 熟 練 掌 握 求 異 面 直 線 所 成 的 角 以 及 兩 條 異 面 直 線 間 的 距 離 的 方 法 ; 難 點 : 熟 練 地 求 異 面 直 線 所 成 的 角 及 距 離. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 復 習 引 入 ] () 空 間 兩 直 線 的 位 置 關 係, 公 理 4. () 異 面 直 線 的 概 念. () 異 面 直 線 所 成 的 角 和 異 面 直 線 間 的 距 離 的 概 念. (4) 空 間 等 角 定 理 及 推 論. [ 探 索 研 究 ] 例 如 圖, 已 知 平 面 α I β = l, A l, D l, AC α, DB β, 求 證 : AC 和 BD 是 異 面 直 線. 角 : 證 明 :( 反 證 法 ) 假 設 AC BD 在 同 一 平 面 γ 內. 圖 A D C 既 在 γ 內 又 在 α 內, 且 A D C 三 點 不 共 線. α 與 γ 重 合. 又 A B D 既 在 γ 內 又 在 β 內. 同 理,α 與 β 重 合. α 與 β 重 合. 但 這 與 已 知 α I β = l 相 矛 盾, 所 以 假 設 不 成 立. 故 AC 與 BD 是 異 面 直 線. 例 如 圖, 在 正 方 體 AC 中, O 為 上 底 面 中 心, 求 下 列 異 面 直 線 所 成 的 () AB 與 BC ; () A B 與 B D ; () AO 與 BC. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 6

28 圖 解 :() 平 移 BC 到 AD, 則 D AB 為 所 求. 而 AD B 為 等 邊 三 角 形, D AB = 60. () 平 移 A B 到 EF ( E F 分 別 為 A D 與 BC 的 中 點,) 用 公 理 4 證 明 A E// BF, 從 而 A B// EF, 再 證 EB // DF, 得 證 EB FD 為 平 行 四 邊 形, 進 而 發 現 是 菱 形, 設 B D 與 EF 交 點 G, 則 B D 與 EF 所 成 的 角 為 所 求 BD EF A B 與 D 所 成 角 為 90. B 形 ( () 平 移 BC 到 AD, 則 O AD 為 所 求, 解 O AD 6 A = O D ), O A = a + a = a, O 6 6 a + a a 6 cs O AD = =. 6a 6 a 6 O AD = arccs. 6 例 如 圖, 空 間 四 邊 形 ABCD 邊 長 均 為 a, 連 對 角 線 AC BD, 且 AC = BD = a,e F 分 別 為 AB CD 的 中 點. 線. () 證 明 : EF 是 異 面 直 線 AB CD 的 公 垂 線 ; () 求 異 面 直 線 AB 與 CD 的 距 離 解 :() 連 EC ED, 由 題 設, 知 ABC ABD, CE = DE 在 等 腰 ECD 中, EF 是 CD 的 中 線, EF CD. 同 理 可 證, EF AB., 此 三 角 形 為 等 腰 三 角 圖 EF 與 異 面 直 線 AB CD 相 交 且 垂 直, 即 EF 是 異 面 直 線 AB 與 CD 的 公 垂 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 7

29 () 在 EFC 中, CF = a CE = a, EF = a. 因 此, AB 與 CD 間 的 距 離 為 [ 演 練 回 饋 ] a.. 如 圖 4, 在 正 方 體 中, E F 分 別 為 A B C D A B B E = DF =, 求 BE 與 DF 所 成 角 的 余 弦 值. 4 上 的 點, 且 圖 4 圖 5. 如 圖 5, A B C D 是 異 面 直 線 AB CD 上 的 點, 線 段 AB = CD = 4, M 為 AC 的 中 點, N 為 BD 的 中 點, MN =, 求 異 面 直 線 AB CD 弦 值. 所 成 角 的 余. 如 圖 6, 在 空 間 四 邊 形 ABCD 中, AB = BC = CD = DA = AC = BD = a, M N 分 別 是 BC 和 AD 的 中 點, 求 異 面 直 線 AM 和 CN 所 成 角 的 余 弦 值. [ 參 考 答 案 ] 圖 6. 提 示 : 在 棱 A B 上 取 A F = DF, 取 AB 中 點 M, 連 結 AF FF ME, 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 8

30 用 公 理 4 證 明 出 FF // AD, 得 FF DA 為 平 行 四 邊 形, 從 而 DF // AF, 再 由 ME // AF 得 到 DF // ME ( 公 理 4), 則 ME B 即 為 所 求, 最 後 用 余 弦 定 理 的 5 cs ME B =. 7. 提 示 : 取 AD 中 點 E, 連 ME NE, 易 證 ME // CD, NE // AB. 則 ME 與 NE 所 成 的 角 即 為 所 求, 在 MEN 中 用 余 弦 定 理 算 出 cs MEN =, 而 ME 與 8 NE 所 成 的 角 為 MEN 的 補 角, 所 以 結 果 應 為. 8. 提 示 : 連 結 MD, 取 其 中 點 E, 連 NE CE, 則 NE // AM, CNE( 或 其 補 角 ) 為 異 面 直 線 AM 與 CN 所 成 的 角, 在 NEC 中, CN = a, NE = a, 4 CE + 7 =, 4 = CM ME, CE a 角 的 余 弦 值 為. [ 總 結 提 煉 ] cs CNE =, 即 異 面 直 線 AM 和 CN 所 成 在 作 異 面 直 線 所 成 的 角 時, 頂 點 往 往 選 擇 在 其 中 一 條 直 線 上, 而 且 常 常 是 該 線 段 的 端 點 或 中 點, 在 構 成 角 的 過 程 中, 常 常 讓 其 中 一 條 線 不 動, 另 一 條 線 沿 著 某 個 平 面 滑 動 ( 平 移 ), 直 到 兩 線 相 交, 在 計 算 異 面 直 線 所 成 的 角 時, 要 注 意 按 作 證 算 的 步 驟 來 進 行. [ 佈 置 作 業 ]. 和 兩 異 面 直 線 都 垂 直 的 直 線 ( ) A. 不 一 定 存 在 B. 僅 有 一 條 C. 有 兩 條 D. 有 無 數 條. 空 間 四 邊 形 ABCD 的 各 邊 長 均 為 a 且 對 角 線 AC = BD = a, E F 分 別 是 BC AD 的 中 點, 求 EF 與 AB 所 成 的 角.. 在 棱 長 為 a 的 正 方 體 AC 中, () 求 A C 與 B B 所 成 的 角 ; () 若 E F 分 別 是 BB CC 的 中 點, 求 AE 與 BF 所 成 角 的 余 弦 值 ; () A C 與 BD 的 距 離. [ 參 考 答 案 ].D. 45. 略 解 :() AA C 為 A C 與 B B 的 夾 角, 在 Rt A AC 中, A A cs AA C = =, AA C = arccs. A C 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 9

31 () 取 DD 中 點 G, 連 AG, 則 AG // BF, GAE 為 所 求, 在 GAE 中, a AG = AE = a +, CE = BD = a, cs GAE = () a 6.. 知 識 結 構 三. 空 間 直 線 和 平 面 直 線 在 平 面 内 直 線 和 平 面 的 位 置 關 係 直 線 和 平 面 相 交 直 線 和 平 面 平 行 線 面 平 行 的 判 定 定 理 線 面 平 行 的 性 質 定 理. 重 點 難 點 分 析 重 點 : 直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 性 質 定 理 的 應 用 ; 難 點 : 線 面 平 行 的 判 定 定 理 的 反 證 法 證 明, 線 面 平 行 的 判 定 和 性 質 定 理 的 應 用. () 直 線 和 平 面 的 位 置 關 係 研 究 直 線 與 平 面 的 位 置 關 係 的 一 般 標 準 : 有 無 公 共 點 ; 直 線 是 否 在 平 面 內. 可 列 表 如 下, 見 下 表 : 位 置 關 直 線 在 平 面 外 直 線 在 平 面 內 係 直 線 和 平 面 相 交 直 線 和 平 面 平 行 直 線 與 平 面 有 且 只 有 一 直 線 和 平 面 沒 有 公 共 直 線 和 平 面 有 無 定 義 個 公 共 點 點 數 個 公 共 點 圖 示 表 示 方 法 讀 法 l I α = P l // α l α 直 線 l 和 平 面 α 相 交 於 畫 直 線 和 平 面 的 位 置 關 係 示 意 圖 要 注 意 : P 直 線 l 平 行 於 平 面 α 線 在 平 面 內, 直 線 不 要 超 出 表 示 平 面 的 四 邊 形 的 各 邊 ; 直 線 l 在 平 面 α 直 線 和 平 面 平 行, 在 畫 圖 時, 平 面 外 的 直 線 要 和 表 示 平 面 的 四 邊 形 一 組 對 邊 平 行. () 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 內 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 0

32 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 是 研 究 直 線 與 平 面 平 面 與 平 面 位 置 關 係 的 基 礎, 這 個 定 理 是 用 直 線 與 直 線 的 平 行 來 判 定 直 線 與 平 面 平 行 的, 可 以 簡 記 為 線 線 平 行, 則 線 面 平 行, 在 這 裏 線 線 平 行 的 條 件 是 非 常 重 要 的, 即 一 條 直 線 在 平 面 外, 一 條 直 線 在 平 面 內, 不 注 意 這 個 條 件, 只 注 意 到 線 線 平 行, 往 往 會 發 生 判 斷 錯 誤. 要 在 理 解 的 基 礎 上 記 憶 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理, 此 定 理 是 判 定 直 線 平 行 平 面 的 依 據, 用 符 號 語 言 描 述 為 : a α b α a // α. 要 注 意 三 個 條 件 必 須 齊 備. a // b 利 用 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 證 明 問 題 時, 一 定 要 說 明 平 面 外 的 一 條 直 線 和 平 面 內 的 一 條 直 線 平 行, 若 不 注 明 和 平 面 內 的 直 線 平 行, 證 明 過 程 不 完 備. () 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質 定 理 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質 定 理 的 證 明 要 抓 住 以 下 兩 點 : 其 一 是 由 於 已 知 直 線 與 已 知 平 面 平 行, 則 這 條 已 知 直 線 和 已 知 平 面 內 的 所 有 直 線 都 沒 有 公 共 點, 其 二 是 過 已 知 直 線 的 平 面 與 已 知 平 面 的 交 線 與 已 知 直 線 在 同 一 平 面 內. 根 據 以 上 兩 點, 就 可 以 判 定 已 知 直 線 和 交 線 互 相 平 行 了. 這 個 定 理 可 以 簡 記 為 若 線 面 平 行, 則 交 線 平 行. 理 解 直 線 與 平 面 平 行 的 性 質 定 理 時, 要 強 調 條 件 經 過 這 條 直 線 的 平 面 與 這 個 平 面 相 交, 防 止 誤 解 為 一 條 直 線 平 行 於 一 個 平 面, 就 平 行 於 這 個 平 面 內 的 一 切 直 線.. 教 法 建 議 () 從 實 際 生 活 入 手, 多 舉 一 些 實 例, 引 入 直 線 和 平 面 的 位 置 關 係, 啟 發 學 生 自 己 進 行 線 面 位 置 關 係 的 分 類. 可 以 以 足 球 門 和 地 面 教 室 裏 牆 面 的 交 線 與 地 面 等 為 例. () 對 於 直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 定 理, 可 從 學 生 的 實 際 經 驗 和 直 觀 感 覺 入 手, 如 : 怎 樣 放 置 跳 高 的 跳 高 竿, 使 竿 子 與 地 面 平 行? 實 際 經 驗 啟 示 : 只 需 竿 子 與 地 面 中 的 一 條 線 平 行, 由 此 揭 示 直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 依 賴 於 直 線 與 直 線 平 行. 但 這 兩 直 線 必 須 一 條 在 面 內, 另 一 條 在 面 外. () 應 用 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質 定 理, 學 生 較 容 易 用 錯, 教 學 中 不 妨 採 用 找 錯 教 學, 學 生 練 習 證 明 時, 將 出 錯 學 生 的 解 法 投 影 出 來, 讓 其 他 的 學 生 尋 找 錯 誤, 這 樣 學 生 對 於 它 的 應 用 印 象 要 深 一 些. (4) 注 意 採 用 多 媒 體 教 學 手 段, 條 件 允 許 的 學 校, 可 以 演 示 一 些 多 媒 體 課 件, 幫 助 學 生 理 解.. 直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 和 性 質 第 一 課 時 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

33 教 學 目 標. 瞭 解 直 線 和 平 面 的 位 置 關 係 種 類.. 掌 握 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理. 重 點 難 點 : 重 點 :. 空 間 直 線 的 三 種 位 置 關 係 ;. 直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 定 理. 難 點 : 應 用 直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 定 理. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 [ 設 置 情 境 ] 高 二 立 體 幾 何 空 間 兩 直 線 有 三 種 位 置 關 係 : 平 行 相 交 與 異 面. 直 線 和 平 面 有 哪 幾 種 位 置 關 係? 教 室 天 花 板 邊 緣 的 一 條 棱 所 在 的 直 線 與 地 面 所 在 平 面 的 位 置 關 係 屬 於 哪 一 種? 怎 麼 判 定? [ 探 索 研 究 ]. 直 線 和 平 面 的 位 置 關 係 天 花 板 邊 緣 的 一 條 棱 所 在 的 直 線 與 地 面 所 在 平 面 沒 有 公 共 點, 這 就 是 線 面 的 一 種 位 置 關 係 : 平 行. 另 外 還 有 兩 種 : 在 平 面 內 和 相 交. 行. 如 果 一 條 直 線 和 一 個 平 面 沒 有 公 共 點, 那 麼 我 們 說 這 條 直 線 和 這 個 平 面 平 一 條 直 線 和 一 個 平 面 的 位 置 關 係 有 且 只 有 以 下 三 種 : () 直 線 在 平 面 內 有 無 數 個 公 共 點. () 直 線 和 平 面 相 交 有 且 只 有 一 個 公 共 點. () 直 線 和 平 面 平 行 無 公 共 點. 我 們 把 直 線 和 平 面 相 交 或 平 行 的 情 況 統 稱 為 直 線 在 平 面 外.. 線 面 位 置 關 係 的 畫 法 如 圖 是 表 示 三 種 位 置 關 係 的 圖 形. 一 般 地, 直 線 a 在 平 面 α 內 時, 應 把 直 線 a 畫 在 表 示 平 面 α 的 平 行 四 邊 形 內 ; 直 線 a 在 平 面 α 外 時, 應 把 直 線 a 或 它 的 一 部 分 畫 在 表 示 平 面 α 的 平 行 四 邊 形 外. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

34 圖 直 線 a 與 平 面 α 相 交 於 點 A, 規 定 記 作 : a I α = A, 不 能 寫 成 ai A; 直 線 a 與 平 面 α 平 行, 記 作 a // α. 直 線 與 平 面 是 否 平 行, 可 以 直 接 用 定 義 來 檢 驗, 但 沒 有 公 共 點 不 好 驗 證, 所 以 我 們 來 尋 找 比 較 實 用 又 便 於 驗 證 的 判 定 定 理.. 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 如 果 平 面 外 一 條 直 線 和 這 個 平 面 內 的 一 條 直 線 平 行, 那 麼 這 條 直 線 和 這 個 平 面 平 行. 已 知 : a α, b α, a // b ( 圖 ) 求 證 : a // α. 證 明 : a // b, 經 過 a b 確 定 一 個 平 面 β. a α, 而 α β, α 與 β 是 兩 個 不 同 的 平 面. 圖 b α, 且 b β, α I β = b. 下 面 用 反 證 法 證 明 a 與 α 沒 有 公 共 點, 假 設 a 與 α 有 公 共 點 P, 則 P a, α I β = b, 點 P 是 a b 的 公 共 點, 這 與 a // b 矛 盾. a // α. 為 便 於 記 憶, 我 們 通 常 把 這 個 判 定 定 理 簡 單 說 成 線 線 平 行, 線 面 平 行. 例 求 證 : 空 間 四 邊 形 相 鄰 兩 邊 中 點 的 連 線, 平 行 於 經 過 另 外 兩 邊 的 平 面. 已 知 : 空 間 四 邊 形 ABCD 中, E F 分 別 是 AB AD 的 中 點 ( 圖 ) 求 證 : EF // 平 面 BCD. 證 明 : 連 結 BD. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

35 AE = EB AF = FD EF//BD 又 EF 平 面 BCD BD 平 面 BCD EF// 平 面 BCD. 圖 [ 演 練 回 饋 ]. 如 右 圖, 長 方 體 ABCD A' B' C' D' 中, () 與 AB 平 行 的 平 面 是 ; () 與 AA 平 行 的 平 面 是 ; () 與 AD 平 行 的 平 面 是 ; A D D B C C A B. 如 右 圖, 正 方 體 ABCD A' B' C' D' 中, E 為 DD ' 的 中 點, 試 判 斷 BD ' 與 平 面 AEC 的 位 置 關 係, 并 說 明 理 由. A D E B C [ 總 結 提 煉 ] 利 用 線 面 平 行 的 判 定 定 理 必 須 記 清 條 件, 它 們 各 有 三 個 條 件. 判 定 定 理 : m α, n α, m // n m // α [ 佈 置 作 業 ]P 習 題 三,,6. A D O B C. 直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 和 性 質 第 二 課 時 教 學 目 標. 掌 握 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質 定 理. 重 點 難 點 : 重 點 : 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質 定 理 ; 難 點 : 應 用 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質 定 理. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 [ 設 置 情 境 ] 我 們 已 經 知 道 要 證 明 直 線 和 平 面 平 行 的 兩 種 方 法 :. 定 義 法 ;. 直 線 和 平 面 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 4

36 平 行 的 判 定 定 理. 如 果 我 們 知 道 直 線 和 平 面 平 行, 那 么 它 們 又 會 有 怎 樣 的 性 質 呢? [ 探 索 研 究 ]. 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質 定 理 如 果 一 條 直 線 和 一 個 平 面 平 行, 經 過 這 條 直 線 的 平 面 和 這 個 平 面 相 交, 那 麼 這 條 直 線 和 交 線 平 行. 已 知 : a // α, α β, α I β = b ( 圖 4). 求 證 : a // b. 證 明 : α I β = b b α a // α ai b = 又 a β a // b. 圖 4 b β 我 們 常 把 這 個 性 質 定 理 簡 單 說 成 線 面 平 行, 交 線 平 行. 例 在 圖 5 所 示 的 一 塊 木 料 中, 棱 BC 平 行 於 面 A C. () 要 經 過 面 A C 內 的 一 點 P 和 棱 BC 將 木 料 鋸 開, 應 怎 樣 畫 線? () 所 畫 的 線 和 面 AC 是 什 麼 位 置 關 係? 圖 5 分 析 : 要 畫 出 鋸 木 料 時 所 用 到 的 線, 就 是 要 畫 出 圖 中 的 BE EF 和 CF 各 線, 其 中 畫 出 EF 是 關 鍵, 因 為 點 E 和 F 確 定 後,BE 和 CF 很 容 易 畫 出, 怎 樣 畫 出 EF 呢? 顯 然, EF 是 截 面 α ( 由 點 P 和 棱 BC 所 確 定 的 平 面 ) 與 面 A C 的 交 線. 由 已 知 BC // 面 A C, 可 知 EF // BC. 由 於 受 木 料 形 狀 的 限 制, 過 點 P 直 接 畫 與 BC 平 行 的 直 線 不 好 畫. 注 意 到 木 料 上 容 易 過 點 P 畫 與 B C 平 行 的 直 線, 而 B C 是 面 A C 與 面 B C 的 交 線, 由 已 知 和 以 上 的 性 質 定 理, 容 易 推 出 BC // BC. 於 是, 我 們 可 以 通 過 畫 出 過 點 P 與 B C 平 行 的 直 線 來 確 定 EF. 解 :() 在 面 A C 內, 過 點 P 畫 直 線 EF, 使 EF // B C,EF 交 棱 A B C D 於 點 E F, 連 結 BE CF EF BE CF 就 是 應 畫 的 線. BC// 面 A C EF//BC BC//B C () BC 面 BC EF 面 AC EF// 面 AC. EF = B C 面 BC I面 A C = B C BC 面 AC 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 5

37 BE CF 顯 然 都 和 面 AC 相 交. 高 二 立 體 幾 何 例 求 證 : 兩 個 相 交 平 面 分 別 過 兩 條 平 行 直 線, 則 它 們 的 交 線 和 這 兩 條 平 行 直 線 平 行. 此 題 可 由 一 名 學 生 上 臺 板 演, 其 他 學 生 自 己 畫 圖 在 下 面 證, 教 師 巡 迴 檢 查, 觀 察 他 們 的 證 法, 好 的 予 以 表 揚, 錯 誤 的 指 出 來. 已 知 : a // b, a α, b β, α I β = c. 如 圖 6. 求 證 : c // a // b. 證 明 : a // b, b β. a // β 又 a α, α I β = c, a // c a // b c // a // b. 圖 6 [ 演 練 回 饋 ]. 課 本 P 練 習 [ 總 結 提 煉 ] 利 用 線 面 平 行 的 性 質 定 理 必 須 記 清 條 件, 它 們 各 有 三 個 條 件. 性 質 定 理 : m // α, m β, β I α = n m // n [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P 習 題 三 5,7,8.. 直 線 與 平 面 的 平 行 和 判 定 第 三 課 時 教 學 目 標. 鞏 固 復 習 直 線 和 平 面 的 位 置 關 係.. 鞏 固 復 習 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 與 性 質 定 理. 重 點 難 點 : 重 點 : 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 和 性 質 定 理 的 應 用 ; 難 點 : 熟 練 應 用 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 和 性 質 定 理. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 復 習 引 入 ]. 直 線 和 平 面 的 位 置 關 係 : () 相 交 ;() 平 行 ;() 在 平 面 內.. 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理.. 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質 定 理. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 6

38 [ 探 索 研 究 ] 例 選 擇 題 : () 直 線 m 與 平 面 α 平 行 的 充 分 條 件 是 ( ) A. 直 線 m 與 平 面 α 內 一 條 直 線 平 行 B. 直 線 m 與 平 面 α 內 無 數 條 直 線 平 行 C. 直 線 m 與 平 面 α 內 所 有 直 線 平 行 D. 直 線 m 與 平 面 α 沒 有 公 共 點 () 過 直 線 l 外 兩 點, 作 與 l 平 行 的 平 面, 這 樣 的 平 面 ( ) A. 能 作 出 無 數 個 B. 只 能 作 出 一 個 C. 不 能 作 出 D. 上 述 情 況 都 有 可 能 高 二 立 體 幾 何 例 如 圖, ABCD 是 空 間 四 邊 形, P Q R S 分 別 是 四 邊 上 的 點, 它 們 共 面 且 PQRS 是 平 行 四 邊 形, 求 證 : BD // 平 面 PQRS, AC // 平 面 PQRS. 圖 分 析 : 欲 證 BD // 平 面 PQRS, 須 證 BD 平 行 於 平 面 內 一 條 直 線, 顯 然, 只 要 證 BD // SR 即 可. 證 明 : PQRS 是 平 行 四 邊 形, SR // PQ, 可 得 SR // 平 面 ABD, 又 平 面 BCD 經 過 SR 且 與 平 面 ABD 交 於 BD. SR // BD. 又 SR 平 面 PQRS. BD 面 PQRS BD // 平 面 PQRS. 同 理 可 證 : AC // 平 面 PQRS. 評 析 : 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 及 性 質 定 理 在 解 題 時 往 往 交 替 使 用. 證 線 面 平 行 往 往 轉 化 為 證 線 線 平 行, 而 證 線 線 平 行 又 將 轉 化 為 證 線 面 平 行. 循 環 往 復 直 至 證 得 結 論 為 止. 證 此 類 問 題 時 一 定 要 目 標 明 確. 由 已 知 想 性 質 定 理, 由 結 論 想 判 定 定 理. 例 如 圖, 正 方 體 AC 中, 點 N 在 BD 上, 點 M 在 B C 上, 且 CM = DN, 求 證 : MN // 平 面 AA B B. 證 明 : 作 ME // BC, NF // AD 分 別 交 BB 和 AB 於 E F, 連 結 EF. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 7

39 由 與 ME BC NF = AD BM = B C BN BD 又 由 已 知 CM = DN, 可 證 得 ME// NF, MNFE 是 平 行 四 邊 形. 圖 MN // EF. 又 MN 平 面 ABB A, EF 平 面 ABB A, MN // 平 面 ABB A, 評 析 : 本 題 是 將 證 線 面 平 行 轉 化 為 證 線 線 平 行, 即 在 平 面 ABB A 中 找 一 條 直 線 與 MN 平 行. 從 而 證 得 MN // 平 面 ABB A. [ 演 練 回 饋 ]. 若 直 線 m 不 平 行 於 平 面 α, 且 m α, 則 下 列 結 論 成 立 的 是 ( ) A.α 內 所 有 直 線 與 m 異 面 B.α 內 不 存 在 與 m 平 行 的 直 線 C.α 內 存 在 惟 一 的 直 線 與 m 平 行 D.α 內 的 所 有 直 線 與 m 都 相 交. a b 是 兩 條 異 面 直 線, A 是 不 在 a b 上 的 點, 則 下 列 結 論 成 立 的 是 ( ) A. 過 點 A 有 且 只 有 一 個 平 面 與 a b 都 平 行 B. 過 點 A 至 少 有 一 個 平 面 與 a b 都 平 行 C. 過 點 A 有 無 數 個 平 面 與 a b 都 平 行 D. 過 點 A 且 平 行 於 a b 的 平 面 可 能 不 存 在. 兩 條 平 行 線 中 的 一 條 平 行 於 一 個 平 面, 那 麼 另 一 條 與 此 平 面 的 位 置 關 係 是 ( ) A. 平 行 B. 相 交 或 平 行 C. 平 行 或 在 平 面 內 D. 相 交 或 平 行 或 在 平 面 內 4. 已 知 直 線 l // 平 面 α, 直 線 a α, 則 l 與 a 必 定 ( ) A. 平 行 B. 異 面 C. 相 交 D. 無 公 共 點 5. 已 知 直 線 a b c 及 平 面 α, 則 下 列 條 件 中 使 a // b 成 立 的 是 ( ) A. a // α 且 b // α B. a c, b c C. a // c 且 b // c D. a // α, 且 a c 6. 三 條 直 線 a b c 兩 兩 異 面, 它 們 所 成 的 角 都 相 等 且 存 在 一 個 平 面 與 這 三 條 直 線 都 平 行, 則 a 與 b 所 成 的 角 的 度 數 為. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 8

40 7. 空 間 四 邊 形 ABCD 中, AC = cm, BD = 4cm, AC 與 BD 成 45 角, M N P Q 分 別 是 四 邊 中 點, 則 四 邊 形 MNPQ 的 面 積 是. 8. 如 圖, 正 方 體 ABCD A BC D 中, E 是 DD 的 中 點, 求 證 : B D // 平 面 A C E. 9. 正 方 體 ABCD A BC D 中 () 畫 出 與 AC 平 行 且 僅 過 正 方 體 三 個 頂 點 的 截 面 ; 高 二 立 體 幾 何 () 畫 出 過 A C 且 和 DB 平 行 的 截 面. 圖 0. 已 知 平 面 外 的 兩 條 平 行 線 中 的 一 條 和 這 個 平 面 平 行, 求 證 另 一 條 直 線 也 和 這 個 平 面 平 行. [ 參 考 答 案 ].B.D.C 4.D 5.C cm 8. 提 示 : 連 B D 交 A C 於 點 O, 連 OE. 證 明 OE // BD, OE 面 A C E 可. 即 9. 提 示 : 如 圖 4,() 過 頂 點 A C B 或 頂 點 A C D.() 取 DD 中 點 E 連 結 A E C E. b // c 0. 提 示 : 如 圖 5, 過 a 作 平 面 β 交 α 於 直 線 c, a // α 則 a // c, 又 a // b 是 b // α. [ 總 結 提 煉 ] 圖 4 圖 5 在 應 用 線 面 平 行 的 判 定 與 性 質 定 理 時, 要 注 意 認 清 條 件, 另 外 這 兩 個 定 理 在 證 題 時 往 往 需 要 在 交 替 使 用, 但 要 注 意 這 種 交 替 不 是 迴 圈, 而 是 步 步 向 前 推 進 的. [ 佈 置 作 業 ]. 求 證 : 若 一 條 直 線 與 兩 相 交 平 面 平 行, 則 此 直 線 與 它 們 的 交 線 平 行.. 空 間 四 邊 形 ABCD 中, P Q R 分 別 為 AB AD CD 的 中 點, 平 面 PQR 交 BC 於 S, 求 證 : 四 邊 形 PQRS 為 平 行 四 邊 形. [ 參 考 答 案 ] 證 明 : 設 α I β = a, l // α, l // β, 過 l 作 平 面 γ, 使 γ I α = b, 由 l // α 得 l // b, 同 理 過 l 作 平 面 δ 與 β 相 交 於 c, l // c. b // c, 從 而 b // β, b // a, 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 9

41 l // a. 證 明 : 連 BD, 見 圖. 由 已 知 得 PQ // BD, 則 PQ // 平 面 BCD. 又 PQ 平 面 PQR, 平 面 PQR I 平 面 BCD = RS. PQ // RS, 則 RS // BD, S 為 BC 的 中 點. PQ// BD, RS // BD. PQ// RS 四 邊 形 PQRS 為 平 行 四 邊 形..4 直 線 與 平 面 垂 直 的 判 定 和 性 質 第 一 課 時 教 學 目 標. 理 解 線 面 垂 直 的 定 義.. 掌 握 線 面 垂 直 的 判 定 定 理 並 能 簡 單 進 行 應 用. 重 點 難 點 : 重 點 :. 線 面 垂 直 的 概 念 ;. 線 面 垂 直 的 判 定 定 理. 難 點 : 掌 握 線 面 垂 直 的 判 定 定 理. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件, 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 復 習 兩 條 直 線 互 相 垂 直 的 定 義 並 讓 學 生 觀 察 思 考 : 教 室 內 直 立 的 牆 角 線 和 地 面 的 位 置 關 係 是 什 麼? 直 立 於 地 面 的 旗 杆 和 地 面 的 位 置 關 係 又 是 什 麼? 從 而 使 學 生 在 頭 腦 中 產 生 直 線 和 平 面 垂 直 的 初 步 形 象, 並 以 此 引 出 課 題. [ 探 索 研 究 ]. 直 線 和 平 面 垂 直 的 定 義 為 使 學 生 從 感 性 認 識 逐 步 上 升 到 理 性 認 識, 展 開 以 下 問 題 : () 陽 光 下, 旗 杆 與 它 在 地 面 上 的 影 子 所 成 的 角 度 是 多 少? () 隨 著 時 間 的 變 化, 影 子 的 位 置 會 移 動, 而 旗 杆 與 影 子 所 成 的 角 度 是 否 會 發 生 改 變 呢? () 旗 杆 AB 與 地 面 上 任 意 一 條 不 過 點 B 的 直 線 的 位 置 關 係 又 是 什 麼? 所 成 的 角 為 多 少? 再 讓 學 生 看 一 個 演 示 實 例 : 將 書 打 開 直 立 在 桌 面 上, 觀 察 書 脊 和 桌 面 上 任 何 直 線 的 位 置 關 係. 根 據 兩 個 實 例 的 結 論, 讓 學 生 歸 納 概 括 出 線 面 垂 直 的 定 義. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 40

42 如 果 一 條 直 線 l 和 一 個 平 面 α 內 的 任 意 一 條 直 線 都 垂 直, 我 們 就 說 直 線 l 和 平 面 α 互 相 垂 直, 記 作 l α, 直 線 l 叫 做 平 面 α 的 垂 線, 平 面 α 叫 做 直 線 l 的 垂 面. 若 l 與 α 互 相 垂 直, 則 l 與 α 一 定 相 交, 交 點 叫 做 垂 足, 任 意 a α, 都 有 l a l α.. 兩 個 真 命 題 以 下 兩 個 真 命 題, 可 以 當 作 定 理 直 接 應 用. () 過 一 點 有 且 只 有 一 條 直 線 和 一 個 平 面 垂 直. () 過 一 點 有 且 只 有 一 個 平 面 和 一 條 直 線 垂 直.. 直 線 和 平 面 垂 直 的 判 定 學 習 了 線 面 垂 直 的 定 義, 對 於 直 線 l 和 平 面 α, l 一 條 直 線, 用 這 個 定 義, 我 們 可 以 判 定 直 線 和 平 面 垂 直, 先 看 一 個 例 子. 例 題 求 證 : 如 果 兩 條 平 行 直 線 中 的 一 條 垂 直 於 一 個 平 面, 那 麼 另 一 條 也 垂 直 於 這 個 平 面. 已 知 : a // b, a α, 圖. 求 證 : b α. 證 明 : 設 m 是 α 內 的 任 意 一 條 直 線. α l 垂 直 於 α 內 的 任 意 a α a m b m b α. 圖 m α a // b m α 例 給 出 了 判 定 直 線 和 平 面 垂 直 的 一 個 命 題, 以 後 我 們 可 以 直 接 利 用 它 來 判 定 直 線 和 平 面 垂 直. 在 講 線 面 垂 直 的 判 定 定 理 前, 先 提 出 以 下 兩 個 問 題 讓 學 生 思 考 : () 如 果 一 條 直 線 和 一 個 平 面 內 的 一 條 直 線 垂 直, 此 直 線 是 否 和 平 面 垂 直? () 如 果 一 條 直 線 和 一 個 平 面 內 的 兩 條 直 線 垂 直, 此 直 線 是 否 和 平 面 垂 直? 學 生 不 難 得 出 結 論 : 如 果 一 條 直 線 和 一 個 平 面 內 的 一 條 或 兩 條 平 行 直 線 垂 直, 那 麼 此 直 線 不 一 定 和 平 面 垂 直. 緊 接 著, 提 問 : 如 果 一 條 直 線 垂 直 於 一 個 平 面 內 的 兩 條 相 交 直 線, 那 麼 此 直 線 是 否 和 平 面 垂 直? 而 後, 引 出 直 線 和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理. 直 線 和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 如 果 一 條 直 線 和 一 個 平 面 內 的 兩 條 相 交 直 線 都 垂 直, 那 麼 這 條 直 線 垂 直 於 這 個 平 面. 已 知 : m α, n α, m I n = B, l m, l n. 求 證 : l α. 教 師 可 從 以 下 三 個 方 面 引 導 學 生 進 行 分 析 : () 要 證 l α, 根 據 定 義, 轉 化 為 證 明 垂 直 於 平 面 內 的 任 意 一 條 直 線 g( 第 一 次 轉 化 ). 接 下 來 應 讓 學 生 清 楚 l g m n 之 間 的 位 置 關 係 有 哪 幾 種 ( 分 類 ). 通 過 提 問, 讓 學 生 思 考, 並 鼓 勵 學 生 主 動 踴 躍 來 回 答. 之 後, 投 影 顯 示 四 種 情 況 ( 圖 ): 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 4

43 圖 啟 發 學 生, 只 要 證 明 瞭 圖 () 的 情 況, 根 據 異 面 直 線 所 成 的 角, 其 他 三 種 情 況 也 就 得 證 了. 下 面 對 圖 () 進 行 分 析 () 構 造 平 面 圖 形 解 決 問 題 ( 第 二 次 轉 化 ): 先 對 直 線 g 分 類 :(ⅰ) 當 g 與 m ( 或 n ) 重 合, 命 題 即 可 得 證.(ⅱ) 當 g 與 m n 都 不 重 合 時, 啟 迪 學 生 : 如 果 能 證 明 g 是 l 上 某 條 線 段 的 中 垂 線, 問 題 就 解 決 了. 根 據 對 稱 性, 讓 學 生 找 到 線 段 A A. 接 下 來, 證 明 的 關 鍵 是 : 證 明 g 上 一 點 ( B 點 除 外 ) 到 點 A A 的 距 離 相 等. 需 要 添 加 什 麼 樣 的 輔 助 線? 提 示 學 生 : 在 平 面 α 內 作 一 條 直 線 CD, 與 直 線 m n g 分 別 相 交 於 C D E, 會 怎 樣? 由 此, 連 結 AC A C AD A D AE A E, 通 過 兩 次 三 角 形 全 等 得 到 AE = A E, 從 而 證 得 g 是 線 段 A A 的 中 重 線, 即 得 l g.( 圖 (5)) () 如 果 l g 中 有 一 條 或 兩 條 不 經 過 點 B ( 其 他 三 種 情 況 ), 由 前 面 的 分 析 容 易 得 證 ( 第 三 次 轉 化 ). 證 明 方 法 的 書 寫 可 參 照 課 本 第 頁. [ 演 練 回 饋 ]. a α, b // α, 則 a 與 b 的 位 置 關 係 是 ( ) A. a // b B. a b C. a 與 b 垂 直 相 交 D. a 與 b 垂 直 且 異 面. 若 直 線 l 不 垂 直 於 平 面 α, 那 麼 在 平 面 α 內 ( ) A. 不 存 在 與 l 垂 直 的 直 線 B. 只 存 在 一 條 與 l 垂 直 的 直 線 C. 存 在 無 數 條 直 線 與 l 垂 直 D. 以 上 都 不 對. 在 正 方 體 ABCD A BC D 中, 與 AD 垂 直 的 平 面 是 ( ) A. 平 面 DD C C B. 平 面 A DB C. 平 面 A BC D D. 平 面 A DB 4. 如 圖, 已 知 PA 平 面 ABC,AB 是 O 的 直 徑,C 是 O 上 的 任 一 點, 求 證 : PC BC. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 4

44 圖 5. 如 圖 4, 已 知 α I β = l, PA α 於 A, PB β 於 B, AQ l 於 點 Q, 求 證 : BQ l. 證 圖 4 6. 如 圖 5, 已 知 異 面 直 線 a b, a // α, b // α, AB 是 a b 的 公 垂 線, 求 AB α. [ 參 考 答 案 ].B.C.B 圖 5 4. 提 示 : 證 明 BC PA BC AC. 5. 提 示 : 連 結 PQ, 先 證 l 面 PAQ, 得 到 l PQ, 再 證 l 平 面 PQB. 6. 提 示 : 令 a 與 AB 確 定 的 平 面 交 α 於 直 線 a, 令 b 與 AB 確 定 的 平 面 交 α 於 直 線 b, 由 已 知 可 證 a // a, b // b 從 而 AB a, AB b. [ 總 結 提 煉 ] 只 有 當 直 線 和 平 面 內 任 意 一 條 直 線 都 垂 直 時, 才 定 義 直 線 和 平 面 垂 直, 但 這 種 定 義 不 方 便 證 明 線 面 垂 直, 線 面 垂 直 的 判 定 定 理 解 決 了 這 個 問 題, 只 要 發 現 平 面 內 兩 條 相 交 直 線 都 和 某 直 線 垂 直 就 行 了. [ 佈 置 作 業 ]: 課 本 P6 練 習, P0 習 題 四 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 4

45 教 學 目 標 :.4 直 線 與 平 面 垂 直 的 判 定 和 性 質 第 二 課 時. 理 解 點 到 平 面 的 距 離, 直 線 和 平 面 平 行 時 線 面 間 距 離 的 概 念.. 掌 握 直 線 和 平 面 垂 直 的 性 質 定 理.. 能 應 用 線 面 垂 直 的 定 義 及 線 面 垂 直 的 判 定 定 理 解 題. 重 點 難 點 : 重 點 :. 點 到 平 面 的 距 離, 線 面 距 離 的 概 念 ;. 直 線 和 平 面 垂 直 的 性 質 定 理. 難 點 : 掌 握 線 面 垂 直 的 性 質 定 理. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件, 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 在 a α 的 前 提 下, 當 a // b 時 b α, 那 麼 它 的 逆 命 題 成 立 嗎? [ 探 索 研 究 ]. 直 線 和 平 面 垂 直 的 性 質 定 理 直 線 和 平 面 垂 直 的 性 質 定 理 如 果 兩 條 直 線 同 垂 直 於 一 個 平 面, 那 麼 這 兩 條 直 線 平 行. 此 定 理 是 上 一 節 課 的 例 題 的 逆 命 題. 已 知 : a α, b α. 求 證 : a // b. 證 明 : 如 圖. 假 設 a b. 設 b I α = O,b 是 經 過 O 與 直 線 a 平 行 的 直 線. a // b, a α 圖 b α 即 經 過 同 一 點 O 的 兩 條 直 線 b b 都 垂 直 於 平 面 α, 而 這 是 不 可 能 的. 因 此, b // α.. 點 到 平 面 的 距 離 從 平 面 外 一 點 引 這 個 平 面 的 垂 線, 這 個 點 和 垂 足 間 的 距 離 叫 做 這 個 點 到 這 個 平 面 的 距 離.. 直 線 和 平 面 的 距 離 一 條 直 線 和 一 個 平 面 平 行 時, 這 條 直 線 上 任 意 一 點 到 這 個 平 面 的 距 離, 叫 做 這 條 直 線 到 這 個 平 面 的 距 離. 4. 例 題 分 析 例 已 知 一 條 直 線 l 和 一 個 平 面 α 平 行, 求 證 : 直 線 l 上 各 點 到 平 面 α 的 距 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 44

46 離 相 等.( 如 圖 ) 圖 證 明 : 過 直 線 l 上 任 意 兩 點 A B 分 別 引 平 面 α 的 垂 線 A A B B, 垂 足 分 別 為 A B A A α, B B α A A // BB 設 經 過 直 線 A A 和 B B 的 平 面 為 β, β I α = A B l // α l // A B A A = BB 由 A B 是 直 線 l 上 任 意 的 兩 點, 可 知 直 線 l 上 各 點 到 平 面 α 的 距 離 相 等. 例 已 知 : 異 面 直 線 a b 互 相 垂 直, 且 a α, b α, B 為 垂 足. 求 證 : a // α.( 圖 ) 證 明 : 在 直 線 b 上 任 取 一 點 A( 異 於 點 B ) 過 A 作 直 線 a // α 則 a b, a b 確 定 平 面 β β 與 α 交 於 過 B 點 的 直 線 c b α b c c α 又 a b, 且 a b c 均 在 平 面 β 內 a // c 又 a // a 則 a // c a α a // α. c α 圖 例 如 圖 4, 直 角 ABC 所 在 平 面 外 有 一 點 S, SA = SB = SC, 且 D 為 斜 邊 AC 的 中 點. 求 證 : SD 平 面 ABC. 證 明 : SA = SC, D 為 AC 中 點 SD AC 即 SDA = 90 又 SA = SB = SC, AD = BD = DC SDA SDB SDC 圖 4 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 45

47 SDA = SDB = SDC = 90. 即 SD AC, SD DB, AC I DB = D SD 平 面 ABC. [ 演 練 回 饋 ]. M 是 ABC 所 在 平 面 外 一 點, MA = MB = MC, MO 平 面 ABC, 垂 足 為 O, 則 點 O 是 ABC 的 心.. 下 列 命 題 中 正 確 的 是 ( ) a // b a α A. b // α B. a // b a α b α a α a // α C. b // α D. b α a b a b. 下 列 條 件 中, 能 使 直 線 m α 的 是 ( ) A. m b, m c, b α, c α B. m b, b // α C. m I b = A, b α D. m // b, b α 4. 如 圖, 已 知 P 是 ABC 所 在 平 面 外 一 點,PA PB PC 兩 兩 互 相 垂 直, H 是 ABC 的 垂 心, 求 證 : PH 平 面 ABC. 圖 圖 5. 如 圖, AB 為 異 面 直 線 a b 的 公 垂 線, a 平 面 α, b 平 面 β, α I β = c. 求 證 : AB // c. 6. 圖, 在 空 間 四 邊 形 PABC 中, AB = PB, AC = PC, AE BC 於 E, PF AE 於 F. 求 證 : PF 平 面 ABC. [ 參 考 答 案 ]. 外.B.D 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 46

48 4. 提 示 : 先 證 PA 面 PBC, 得 PA BC, 又 AH BC, 從 而 BC 面 PAH. BC PH 同 理 AB PH. 5. 提 示 : 過 點 A 作 b β, b // b, 從 而 AB b, 則 AB 垂 直 於 直 線 a b 所 確 定 的 平 面, 又 易 證 c a, c b, c 也 垂 直 於 a b 所 確 定 的 平 面. 6. 證 明 : 取 PA 的 中 點 D, 連 結 DB DC AB = PB, AC = PC BD PA, CD PA 故 PA 平 面 BDC 又 CB 平 面 BDC, 則 PA BC 又 AE BC, PA I AE = A BC 平 面 PAE 又 PF 平 面 PAE, 則 BC PF 又 PF AE, AE I BC = E PF 平 面 ABC. [ 總 結 提 煉 ] [ 學 生 回 答, 教 師 補 充 完 善.]. 什 麼 叫 點 到 平 面 的 距 離, 直 線 到 平 面 的 距 離?. 直 線 和 平 面 垂 直 的 性 質 定 理 是 什 麼?. 怎 麼 證 明 線 面 垂 直? [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P0~ 習 題 四,5,8,0..4 直 線 與 平 面 垂 直 的 判 定 和 性 質 第 三 課 時 教 學 目 標 :. 理 解 斜 線 斜 線 段 斜 足 射 影 等 概 念.. 掌 握 射 影 定 理.. 理 解 斜 線 和 平 面 所 成 的 角 是 斜 線 和 平 面 內 一 切 直 線 所 成 的 角 中 的 最 小 角. 重 點 難 點 : 重 點 :. 斜 線 斜 線 段 斜 足 射 影 等 概 念 ;. 射 影 定 理 ;. 斜 線 和 平 面 所 成 的 角 難 點 : 掌 握 射 影 定 理. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 直 線 與 直 線 相 交, 我 們 可 以 用 夾 角 來 描 述 它 們 的 相 對 位 置 關 係. 兩 直 線 異 面 時, 我 們 用 所 成 角 及 距 離 來 描 述 它 們 的 相 對 位 置 關 係, 那 麼 直 線 與 平 面 之 間 有 夾 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 47

49 角 嗎? 怎 樣 去 定 義 直 線 和 平 面 的 夾 角 呢? [ 探 索 研 究 ]. 斜 線 在 平 面 內 的 射 影 高 二 立 體 幾 何 這 部 分 內 容 涉 及 的 概 念 較 多, 為 了 便 於 學 生 理 解 記 憶, 可 以 邊 講 畫 圖, 同 時 在 圖 上 注 出 有 關 概 念 的 名 稱. () 點 的 射 影 如 圖, 直 線 PQ α, Q α, 點 Q 是 點 P 在 α 內 的 射 影, 線 段 PQ 是 點 P 到 α 的 垂 線 段. () 斜 線 與 斜 線 段 如 圖, 直 線 PR I α = R, 圖 PR 不 垂 直 於 α, 直 線 PR 是 α 的 一 條 斜 線, 點 R 是 斜 足, 線 段 是 PR 是 點 P 到 α 的 斜 線 段. 圖 () 平 面 外 一 點 到 這 個 平 面 的 垂 線 段 有 且 只 有 一 條, 而 這 點 到 這 個 平 面 的 斜 線 段 有 無 數 條 ( 圖 ). 圖 (4) 斜 線 在 平 面 內 的 射 影 如 圖 4, AB α, 直 線 BC 是 斜 線 AC 在 α 內 的 射 影, 線 段 BC 是 斜 線 段 AC 在 α 內 的 射 影. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 48

50 別 是 圖 4 (5) 定 理 從 平 面 外 一 點 向 這 個 平 面 所 引 的 垂 線 段 和 斜 線 段 中 : 射 影 相 等 的 兩 條 斜 線 段 相 等, 射 影 較 長 的 斜 線 段 也 較 長. 相 等 的 斜 線 段 的 射 影 相 等, 較 長 的 斜 線 段 的 射 影 也 較 長. 垂 線 段 比 任 何 一 條 斜 線 段 都 短. 如 圖 5, AO 是 平 面 α 的 垂 線 段, AB AC 是 平 面 α 的 斜 線 段, OB OC 分 AB AC 在 平 面 α 內 的 射 影. 這 時 有 : (Ⅰ) OB = OC AB = AC OB > OC AB > AC (Ⅱ) AB = AC OB = OC AB > AC OB > OC (Ⅲ) AO < AB, AO < AC 注 意 : 在 應 用 這 個 定 理 時, 平 面 外 只 能 是 一 點 才 行. 如 : 若 AB CD 是 平 面 α 的 斜 線 段, 它 們 在 平 面 α 內 的 射 影 分 別 為 A B C D, 則 若 AB = CD, 不 一 定 有 A B = C D.. 直 線 和 平 面 所 成 的 角 () 斜 線 和 平 面 所 成 的 角 圖 5 平 面 的 一 條 斜 線 和 它 在 這 個 平 面 內 的 射 影 所 成 的 角, 叫 做 這 條 直 線 和 這 個 平 面 所 成 的 角. 如 圖 6,l 是 平 面 α 的 一 條 斜 線,O 點 是 斜 足,A 是 l 上 任 意 一 點,AB 是 α 的 垂 線, 點 B 是 垂 足, 所 以 直 線 OB( 記 作 l ) 是 l 在 α 內 的 射 影, AOB( 記 作 θ ) 是 l 與 α 所 成 的 角. 這 時 l 與 α 所 成 的 角 的 範 圍 是 : 0 <θ < 90. 這 是 斜 線 與 平 面 所 成 角 的 範 圍. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 49

51 圖 6 一 條 直 線 垂 直 於 一 個 平 面, 我 們 說 它 們 所 成 的 角 是 直 角 ; 一 條 直 線 和 平 面 平 行 或 在 平 面 內, 我 們 說 它 們 所 成 的 角 是 0 的 角. 一 般 地, 一 條 直 線 與 一 個 平 面 所 成 的 角 的 範 圍 是 [ 0, ] 90. () 一 個 重 要 結 論 斜 線 和 平 面 所 成 的 角, 是 這 條 斜 線 和 這 個 平 面 內 經 過 斜 足 的 直 線 所 成 的 一 切 角 中 最 小 的 角. 如 圖 6, 設 直 線 OD 是 α 內 與 l 不 同 的 任 意 一 條 直 線, 過 點 A 引 AC 垂 直 於 OD, 垂 足 為 C. 因 為 AB < AC, 所 以 AB AC <, 即 sinθ < sin AO AO AOC. 因 此 θ < AOC. 根 據 異 面 直 線 所 成 的 角 的 定 義, 我 們 可 以 進 一 步 得 出, 斜 線 和 平 面 所 成 的 角, 是 這 條 斜 線 和 這 個 平 面 內 的 直 線 所 成 的 一 切 角 中 最 小 的 角. 證 明 : 設 l 是 平 面 α 的 一 條 斜 線 l 是 l 在 α 內 的 射 影, 點 O 是 斜 足,m 是 α 內 任 意 一 條 與 l 不 平 行 的 直 線. 如 圖 6. 若 直 線 m 過 點 O, 則 由 上 述 所 證,l 與 m 所 成 的 角 小 於 l 與 l 所 成 的 角 θ. 若 直 線 m 不 過 點 O, 則 過 點 O 作 直 線 OC, 使 OC // m,m 與 l 所 成 的 角 等 於 OC 與 l 所 成 的 角, 從 而 m 與 l 所 成 的 角 小 於 角 θ. 例 題 如 圖 7, 已 知 SA 垂 直 於 直 角 三 角 形 ABC 所 在 的 平 面, BC AC, ABC = 0, AC =, SB =, 求 直 線 SC 與 平 面 SAB 所 成 的 角. 圖 7 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 50

52 解 : 作 CD AB 於 D, 由 SA 平 面 ABC 得 SA CD CD 平 面 SAB, 連 結 SD, 則 CSD 即 為 所 求 AC =, BC AC, ABC AB =, BC =, CD = = 0 在 Rt SAB 中, SA = SB AB =, 在 Rt SAC 中, SC = SA + AC = CD sin CSD = = SC 6 CSD = arcsin. 6 [ 演 練 回 饋 ]. 平 面 的 一 條 斜 線 和 這 個 平 面 所 成 的 角 的 範 圍 是 ( ) A. 0 <θ 90 B. 0 θ 90 C. 0 <θ < 90 D. 0 <θ < 80. P 為 ABC 所 在 的 平 面 外 一 點, 且 PA = PB = PC, 則 P 在 平 面 ABC 上 的 射 影 O 為 ABC 的 ( ) A. 內 心 B. 外 心 C. 重 心 D. 垂 心. Rt ABC 的 斜 邊 AB 在 平 面 α 內, 直 角 頂 點 C 在 α 外,C 在 α 上 的 射 影 為 C ( 不 在 AB 上 ), 則 AB C 是 ( ) A. 直 角 三 角 形 B. 銳 角 三 角 形 C. 鈍 角 三 角 形 D. 銳 角 或 鈍 角 三 角 形 4. 如 圖, 直 角 三 角 形 ABC 的 斜 邊 AB 在 平 面 α 內, AC 和 BC 與 α 所 成 角 分 別 為 0 45,CD 是 斜 邊 AB 上 的 高, 求 CD 與 平 面 α 所 成 的 角. 圖 圖 5. 如 圖, 正 方 體 ABCD A BC D 中,E 是 C C 的 中 點, 求 BE 與 平 面 B BD 所 成 角 的 余 弦 值. [ 參 考 答 案 ].C.B.C 4. 提 示 : 作 CO α 於 點 O, 連 AO DO BO, 則 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 5

53 CAO = 0 CBO = 45, CDO 高 二 立 體 幾 何 為 所 求, 令 CO = a, 分 別 在 直 角 三 角 形 CAO CBO CAB 中 算 出 AC BC AB CD, 在 Rt COD 中 算 出 CDO = 提 示 : 取 DB 中 點 O, 連 EO BO, 證 明 EO 面 B BD, 在 Rt EOB 中 5 計 算 cs EOB =. 5 [ 總 結 提 煉 ] 要 注 意 比 較 點 的 射 影 斜 線 的 射 影 斜 線 段 的 射 影 之 間 的 關 係, 要 注 意 射 影 定 理 中 垂 線 段 最 短 是 對 平 面 外 同 一 個 點 而 言 的, 斜 線 和 平 面 所 成 的 角 是 斜 線 和 平 面 內 經 過 斜 足 的 直 線 所 成 的 一 切 角 中 最 小 的, 而 且 其 中 經 過 斜 足 可 以 去 掉. [ 佈 置 作 業 ]. 課 本 P8 練 習 P 習 題 四 6,. 正 方 體 AC 的 棱 長 為 a, 求 BC 與 平 面 ACC A 所 成 角 的 大 小..4 直 線 與 平 面 垂 直 的 判 定 和 性 質 第 四 課 時 教 學 目 標 : 掌 握 三 垂 線 定 理 及 其 逆 定 理, 並 能 運 用 它 們 解 決 簡 單 問 題. 重 點 難 點 : 重 點 : 理 解 三 垂 線 定 理 及 其 逆 定 理. 難 點 : 掌 握 三 垂 線 定 理 及 其 逆 定 理. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件, 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 麼 確 定? 教 師 提 問 : 平 面 的 一 條 斜 線 在 平 面 內 是 否 一 定 有 射 影? 如 果 有, 有 幾 條? 怎 學 生 對 前 兩 個 問 題 能 正 確 回 答, 如 何 確 定, 他 們 不 一 定 能 回 答. 教 師 與 學 生 一 起 用 三 角 板 比 劃, 得 這 樣 的 結 論 : 當 三 角 板 所 在 的 一 條 直 角 邊 與 桌 面 垂 直, 另 一 直 角 邊 與 桌 面 重 合 時, 平 面 內 垂 直 於 斜 邊 的 直 線 一 定 和 三 角 板 與 桌 面 的 交 線 垂 直. 教 師 提 問 : 從 中 我 們 能 總 結 出 什 麼 規 律 嗎? [ 探 索 研 究 ]. 三 垂 線 定 理 三 垂 線 定 理 直, 那 麼 它 也 和 這 條 斜 線 垂 直. 在 平 面 內 的 一 條 直 線, 如 果 和 這 個 平 面 的 一 條 斜 線 的 射 影 垂 已 知 : 如 圖, PA PO 分 別 是 平 面 α 的 垂 線 斜 線, AO 是 PO 在 平 面 α 內 的 射 影, 且 a α, a AO. 求 證 : a PO. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 5

54 圖 PA α PA a a 平 面 PAO 證 明 : a PO. a α AO a PO 平 面 PAO 三 垂 線 定 理 實 質 上 是 平 面 的 一 條 斜 線 和 平 面 內 一 條 直 線 垂 直 的 判 定 定 理, 這 兩 條 直 線 可 以 是 相 交 直 線, 也 可 以 是 異 面 直 線. 由 學 生 根 據 三 垂 線 定 理, 敍 述 三 垂 線 定 理 的 逆 定 理, 並 且 由 他 們 完 成 證 明 過 程.. 三 垂 線 定 理 的 逆 定 理 三 垂 線 定 理 的 逆 定 理 在 平 面 內 的 一 條 直 線, 如 果 和 這 個 平 面 的 一 條 斜 線 垂 直, 那 麼 它 也 和 這 條 斜 線 的 射 影 垂 直. 三 垂 線 定 理 及 其 逆 定 理 可 以 合 起 來 表 述 如 下 : 設 l 是 平 面 α 的 一 條 斜 線,l 是 l 在 α 內 的 射 影,m 是 α 內 的 一 條 直 線, 則 有 m l m l 這 個 定 理 及 其 逆 定 理 是 證 明 空 間 直 線 互 相 垂 直 時 經 常 使 用 的, 因 此 要 求 學 生 牢 固 掌 握 這 兩 個 命 題 的 實 質 在 於 揭 露 了 這 樣 的 規 律 : 斜 線 和 它 在 平 面 內 的 射 影 必 定 同 時 垂 直 於 平 面 內 的 某 條 直 線. 也 就 是 說, 斜 線 和 它 在 平 面 內 的 射 影, 在 對 平 面 內 的 一 條 直 線 是 否 有 垂 直 關 係 上 具 有 一 致 性.. 例 題 分 析 例 求 證 : 如 果 一 個 角 所 在 平 面 外 一 點 到 角 的 兩 邊 距 離 相 等, 那 麼 這 一 點 在 平 面 內 的 射 影 在 這 個 角 的 平 分 線 所 在 的 直 線 上. 已 知 : BAC 在 平 面 α 內, 點 P α, PE AB, PF AC, PO α, 垂 足 分 別 是 E F O, PE = PF ( 圖 ). 圖 求 證 : BAO = CAO. 證 明 : 要 證 點 O 在 BAC 的 平 分 線 上, 只 需 證 明 在 平 面 α 內 的 點 O 到 這 個 角 的 兩 邊 距 離 相 等. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 5

55 教 師 提 問 : 在 上 面 的 證 明 過 程 中, 哪 一 步 應 用 了 三 垂 線 定 理 或 其 逆 定 理? 例 如 圖, A 平 面 α, AB AC 是 平 面 α 的 兩 條 斜 線,O 是 A 在 平 面 α 內 的 射 影, AO = 4, OC =, BO OC, 離. OBA = 0, 求 : 點 C 到 AB 的 距 圖 解 : 可 由 已 知 得 CO 平 面 AOB, 作 OD AB 於 D, 由 三 垂 線 定 理 有 CD AB. CD 就 是 C 到 AB 的 距 離 在 Rt AOD 中, OD = AO sin DAO = 4sin 60 = 在 Rt COD 中, CD = OC + OD = 5. [ 演 練 回 饋 ]. P 是 ABC 所 在 平 面 α 外 一 點, P 到 ABC 三 邊 的 距 離 相 等, PO α 於 點 O,O 在 ABC 內, 則 O 是 ABC 的 ( ) A. 外 心 B. 內 心 C. 垂 心 D. 重 心. 正 方 形 ABCD 的 邊 長 為, PA 平 面 ABCD, PA =, 則 P 到 對 角 線 BD 的 距 離 為 ( ) A. B. C. 6 D 如 圖 4, A 是 平 面 BCD 外 一 點, AB CD, AC BD, 求 證 : AD BC. 4. 如 圖 5, 在 正 方 體 AC 中, 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 54

56 () 求 證 : A C BD ; 圖 4 () 求 證 : A C 面 AB D. 5. 如 圖 6, AB 與 平 面 γ 所 成 的 角 為 α, AC 在 平 面 γ 內, AC 和 AB 在 γ 內 的 射 影 AB 所 成 的 角 為 β, 設 BAC = θ, 求 證 : csθ = csα cs β. [ 參 考 答 案 ].B.D 圖 5 圖 6. 提 示 : 作 AO 面 BCD 於 點 O, 連 結 BO CO DO, 先 證 BO CD CO BD, 得 O 為 BCD 的 垂 心, 得 DO BC, 再 用 三 垂 線 定 理 證 得 結 論. 4. 提 示 :() 連 A C 用 三 垂 線 定 理.() 分 別 用 三 垂 線 定 理 證 明 A C BD A C AB. 5. 提 示 : 作 B H AC 於 點 H, 連 BH 用 三 垂 線 定 理 得 證 BH AC. [ 總 結 提 煉 ] 用 三 垂 線 定 理 或 其 逆 定 理 證 明 線 線 垂 直 要 比 用 線 面 垂 直 來 證 明 線 線 垂 直 簡 單, 三 垂 線 定 理 本 身 就 是 由 線 面 垂 直 證 得 的. 運 用 三 垂 線 定 理 時 要 善 於 發 現 其 結 構, 通 常 是 先 發 現 平 面 的 垂 線, 進 而 發 現 斜 線 射 影 面 內 的 直 線, 這 些 直 線 都 是 相 對 於 同 一 個 平 面 的, 這 個 參 考 平 面 尤 其 重 要. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P0 練 習, P 習 題 四. 知 識 結 構 四. 空 間 兩 個 平 面 面 面 平 行 的 判 定 線 面 平 行 的 判 定 面 面 平 行 的 判 定 線 線 平 行 線 面 平 行 面 面 平 行 線 面 平 行 的 性 質 面 面 平 行 的 性 質 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 55

57 . 重 點 難 點 分 析 本 節 內 容 教 學 的 重 點 是 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理 和 性 質 定 理 的 證 明 與 應 用. 本 節 的 難 點 是 兩 個 平 面 平 行 判 定 定 理 的 反 證 法 證 明, 空 間 線 與 線 線 與 面 面 與 面 之 間 平 行 關 係 的 轉 化. 除 了 利 用 兩 個 平 面 平 行 的 定 義 及 判 定 定 理 判 定 兩 平 面 平 行 外, 還 可 用 下 述 兩 個 定 理 判 定 兩 平 面 平 行 : 垂 直 於 同 一 條 直 線 的 兩 個 平 面 平 行 ; 面 面 平 行 的 性 質 兩 個 平 面 的 位 置 關 係 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 和 性 質 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 兩 個 平 面 平 行 的 性 質 判 定 定 理 及 其 證 明 與 應 用 性 質 定 理 及 其 證 明 與 應 用 平 行 於 同 一 個 平 面 的 兩 個 平 面 平 行. 重 視 空 間 線 與 線 線 與 面 面 與 面 之 間 平 行 關 係 的 轉 化, 從 而 形 成 有 關 平 行 問 題 知 識 的 系 統 化 : 兩 個 平 行 平 面 的 距 離. 教 法 建 議 () 學 習 兩 個 平 面 位 置 關 係 時, 一 方 面 要 引 導 學 生 從 生 活 實 際 中 歸 納 得 出 相 交 與 平 行 兩 種 位 置 關 係 ; 另 一 方 面 更 應 該 幫 助 學 生 分 析 為 什 麼 有 且 只 有 這 兩 種 位 置 關 係, 這 就 必 然 涉 及 到 公 理 的 深 刻 含 義, 即 兩 個 平 面 是 否 有 公 共 點. 事 實 上, 公 理 也 揭 示 了 兩 個 平 面 相 交 的 概 念. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 56

58 () 充 分 發 揮 學 生 的 主 體 作 用, 開 展 自 學 活 動, 通 過 類 比, 獨 立 發 現, 獨 立 證 明. 由 於 學 生 學 習 立 體 幾 何 已 有 一 段 時 間 了, 對 立 體 幾 何 的 邏 輯 體 系 ( 主 要 是 線 線 線 面 面 面 的 平 行 與 垂 直 關 係 ) 已 有 一 定 的 瞭 解, 研 究 方 法 與 前 邊 有 很 大 的 相 似 性, 所 以 可 放 手 讓 學 生 去 做. 而 且 此 時 的 定 理 和 命 題 的 證 明 難 度 適 中, 證 明 方 法 往 往 不 止 一 種, 因 此 正 適 合 引 導 學 生 動 手 實 踐 討 論 交 流, 鼓 勵 一 題 多 解, 激 發 思 維, 掀 起 一 個 學 習 高 潮, 從 而 訓 練 學 生 的 發 散 思 維 能 力 和 思 維 的 靈 活 性. () 教 學 中 應 注 意 聯 繫 實 際. 在 學 生 的 身 邊, 生 活 實 際 中 有 關 的 實 例 大 量 存 在. 教 師 應 引 導 學 生 去 發 現 去 體 會. (4) 用 表 格 記 憶 知 識 點 不 但 清 晰, 而 且 易 用, 還 有 利 於 培 養 學 生 三 種 語 言 的 轉 化 能 力, 例 如 下 表 ( 僅 僅 示 意 ): 兩 個 平 面 平 行 知 識 一 覽 表 定 義 文 字 語 言 圖 示 語 言 符 號 語 言 作 用 如 果 兩 個 平 面 沒 有 公 共 點, 就 說 這 兩 個 平 面 平 行 α β α // β 判 定 定 理 和 性 質 定 理 判 定 定 理 判 定 定 理 性 質 定 理 性 質 定 理 性 質 定 理 兩 個 平 行 平 面 的 距 離 (5) 注 重 反 證 法 的 教 學. 在 學 習 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理 時, 教 師 通 過 問 題 設 計, 逐 步 深 入, 引 導 學 生 自 己 發 現 結 論. 證 明 時, 在 學 生 提 出 用 反 證 法 之 後, 仍 根 據 反 證 法 的 步 驟, 設 置 相 應 的 問 題, 引 導 學 生 思 考 證 明, 使 證 明 方 法 容 易 接 受, 判 定 定 理 也 可 以 用 反 證 法 證 明, 不 妨 由 學 生 練 習. (6) 注 意 思 想 方 法 的 教 學. 轉 化 是 重 要 的 思 想 及 思 維 方 法. 它 在 立 體 幾 何 中 處 處 體 現. 實 質 上 處 理 空 間 圖 形 問 題 的 基 本 思 想 方 法 就 是 把 它 轉 化 為 平 面 圖 形 的 問 題, 化 繁 為 簡, 這 也 是 降 維 的 思 想. 特 別 是 線 上 線 平 行, 線 面 平 行, 面 面 平 行 三 種 平 行 的 關 係 上 轉 化 的 思 想 有 非 常 充 分 的 體 現. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 57

59 .5 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 和 性 質 第 一 課 時 教 學 目 標 :. 掌 握 兩 平 面 的 空 間 關 係 種 類, 會 畫 兩 個 平 行 平 面.. 掌 握 空 間 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理 與 性 質 定 理, 並 能 簡 單 應 用.. 理 解 兩 平 行 平 面 間 的 距 離 的 概 念. 重 點 難 點 : 重 點 : 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理 和 性 質 定 理 的 理 解 難 點 : 兩 個 平 面 平 行 判 定 定 理 的 反 證 法 證 明. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件, 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 教 室 裏 相 對 的 兩 個 牆 面 有 什 麼 特 點? 這 種 位 置 關 係 的 平 面 怎 麼 命 名? 如 何 證 明 兩 個 平 面 具 有 這 樣 的 位 置 關 係 呢? [ 探 索 研 究 ]. 兩 個 平 面 的 位 置 關 係 我 們 一 起 觀 察 教 室 的 牆 壁 地 面 屋 頂, 由 觀 察 結 果 歸 納 出 兩 個 平 面 的 兩 種 不 同 的 位 置 關 係. () 兩 個 平 面 平 行 如 果 兩 個 平 面 沒 有 公 共 點, 我 們 就 說 這 兩 個 平 面 互 相 平 行. () 兩 個 平 面 相 交 如 果 兩 個 平 面 有 公 共 點, 它 們 就 相 交 於 一 條 過 該 公 共 點 的 直 線, 就 稱 這 兩 個 平 面 相 交. () 兩 個 平 面 的 位 置 關 係 只 有 兩 種 兩 個 平 面 平 行 沒 有 公 共 點. 兩 個 平 面 相 交 有 一 條 公 共 直 線. (4) 兩 個 平 面 平 行 的 畫 法 畫 兩 個 互 相 平 行 的 平 面 時, 要 注 意 使 表 示 平 面 的 兩 個 平 行 四 邊 形 的 對 應 邊 平 行 ( 圖, 而 不 應 畫 成 圖 那 樣. 平 面 α 和 β 平 行, 記 作 α // β. 圖 圖. 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理 如 果 一 個 平 面 內 有 兩 條 相 交 直 線 都 平 行 於 另 一 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 58

60 個 平 面, 那 麼 這 兩 個 平 面 平 行. 已 知 : 在 平 面 β 內, 有 兩 條 直 線 a b 相 交 且 和 平 面 α 平 行 ( 圖 ). 高 二 立 體 幾 何 求 證 : α // β. 證 明 : 用 反 證 法 證 明. 假 設 α I β = c. a // α, a β, a // c. 同 理 b // c. a // b. 這 與 題 設 a 與 b 是 相 交 直 線 矛 盾. α // β. 以 上 是 判 定 兩 個 平 面 平 行 的 一 個 定 理, 可 讓 同 學 們 想 像 一 下 是 否 還 有 其 他 的 判 定 方 法. 面. 係?. 兩 個 平 面 平 行 的 性 質 () 一 個 結 論 根 據 兩 個 平 面 平 行 及 直 線 和 平 面 平 行 的 定 義, 容 易 得 出 下 面 的 結 論. α // β, a α a // β. 這 就 是 說, 如 果 兩 個 平 面 平 行, 那 麼 其 中 一 個 平 面 內 的 直 線 平 行 於 另 一 個 平 () 兩 個 平 面 平 行 的 性 質 定 理 教 師 提 問 : 如 果 兩 個 平 面 平 行, 並 且 它 們 都 和 第 三 個 平 面 相 交, 交 線 有 何 關 很 容 易 得 出 結 論 : 交 線 平 行. 這 可 以 由 兩 個 平 面 平 行 及 平 行 線 定 義 得 出. 兩 個 平 面 平 行 的 性 質 定 理 如 果 兩 個 平 行 平 面 同 時 和 第 三 個 平 面 相 交, 那 麼 它 們 的 交 線 平 行. 即 設 α // β, α I γ = a, β I γ = b, 則 a // b. 圖 兩 個 平 行 平 面 的 距 離 圖 () 兩 個 平 行 平 面 的 公 垂 線 及 公 垂 線 段 和 兩 個 平 行 平 面 同 時 垂 直 的 直 線, 叫 做 這 兩 個 平 行 平 面 的 公 垂 線, 它 夾 在 這 兩 個 平 行 平 面 間 的 部 分, 叫 做 這 兩 個 平 行 平 面 的 公 垂 線 段. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 59

61 () 兩 個 平 行 平 面 的 距 離 如 圖 5, α // β, 如 果 A A B B 都 是 它 們 的 公 垂 線 段, 那 麼 A A // BB. 根 據 兩 個 平 面 平 行 的 性 質 定 理, 有 A B // AB, 所 以 四 邊 形 AB B A 是 平 行 四 邊 形, 所 以 A A = BB. 因 此, 兩 個 平 行 平 面 的 公 垂 線 段 都 相 等. 我 們 把 公 垂 線 段 的 長 度 叫 做 兩 個 平 行 平 面 的 距 離. 5. 例 題 分 析 圖 4 圖 5 例 求 證 : 垂 直 於 同 一 條 直 線 的 兩 個 平 面 平 行. 已 知 : α A A, β A A ( 圖 6). 求 證 : α // β. 分 析 : 可 設 法 證 明 β 內 有 兩 條 相 交 直 線 都 平 行 於 α. 為 此, 要 根 據 已 知 條 件 找 出 這 樣 的 直 線. b b. 證 明 : 設 經 過 直 線 A A 的 兩 個 平 面 γ δ 分 別 與 平 面 α β 交 於 直 線 a a 和 A A α, A A β AA a, A A a, a γ, a γ, a // a. 於 是 a // α. 同 理 可 證 b // α. 又 a I b = A, 圖 6 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 60

62 α // β. 這 個 例 題 也 可 以 當 成 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理 之 二. 高 二 立 體 幾 何 例 求 證 : 如 果 一 條 直 線 垂 直 于 兩 個 平 行 平 面 中 的 一 個 平 面, 那 麼 它 也 垂 直 於 另 一 個 平 面. 此 性 質 的 已 知 求 證 證 明 可 以 請 一 名 學 生 上 臺 板 演, 其 他 的 學 生 在 座 位 上 自 己 畫 圖 完 成 證 明 過 程. 教 師 在 黑 板 上 畫 出 圖 形, 如 圖, 而 後 點 評 學 生 的 證 法. [ 演 練 回 饋 ]. 課 本 P6 練 習,.. 與 兩 個 相 交 平 面 的 交 線 平 行 的 直 線 和 這 兩 個 平 面 的 位 置 關 係 是 ( ) A. 都 平 行 B. 都 相 交 C. 在 這 兩 個 平 面 內 D. 至 少 與 其 中 一 個 平 面 平 行. 如 果 兩 個 平 面 分 別 經 過 兩 條 平 行 線 中 的 一 條, 那 麼 這 兩 個 平 面 ( ) A. 平 行 B. 相 交 C. 重 合 D. 平 行 或 相 交 4. 已 知 平 面 α 與 β 不 重 合, 則 α // β 的 一 個 充 分 條 件 是 ( ) A. m α, n β 且 m // n B. m α, n β 且 m // β, n // α C. m // α, n // β 且 m // n D. m α, n β 且 m // n 5. 下 列 命 題 : 平 行 於 同 一 直 線 的 兩 個 平 面 平 行. 垂 直 於 同 一 直 線 的 兩 個 平 面 平 行. 平 行 於 同 一 平 面 的 兩 個 平 面 平 行.4 與 一 直 線 成 等 角 的 兩 個 平 面 平 行, 其 中 正 確 的 命 題 有 ( ) A. 個 B. 個 C. 個 D.4 個 6. 若 α // β, a α, b β 則 a 與 b 的 位 置 關 係 是. 7. 如 圖, 已 知 a b 是 兩 條 異 面 直 線, 平 面 α 過 a 且 與 b 平 行, 平 面 β 過 b 且 與 a 平 行. 求 證 : α // β. 圖 8. 如 圖, 在 正 方 體 AC 中, M N P 分 別 是 棱 C C BC CD 的 中 點. 求 證 : 平 面 MNP // 平 面 A BD. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 6

63 [ 參 考 答 案 ]. 略.D.D 4.D 5.B 6. 平 行 或 異 面 7. 提 示 : 任 取 點 A α, 令 點 A 與 直 線 b 確 定 的 平 面 γ 交 平 面 α 於 直 線 b, 證 明 b // β. 8. 提 示 : 連 D C, 證 明 PM // D C // A B, 同 理 再 證 MN // B C // A D. [ 總 結 提 煉 ] [ 學 生 回 憶, 教 師 補 充 完 善.]. 兩 個 平 面 的 空 間 位 置 關 係 種 類.. 兩 個 平 行 平 面 的 畫 法.. 平 行 平 面 的 判 定 定 理. 4. 平 行 平 面 的 性 質. 圖 5. 兩 平 行 平 面 的 公 垂 線 公 垂 線 段 距 離. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P6 練 習 P6 習 題 五 4,5..5 兩 個 平 面 的 平 行 和 判 定 第 二 課 時 教 學 目 標 :. 鞏 固 復 習 兩 平 面 的 位 置 關 係.. 鞏 固 復 習 平 行 平 面 的 判 定 與 性 質.. 能 應 用 平 行 平 面 的 判 定 與 性 質 解 題. 重 點 難 點 : 重 點 : 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理 和 性 質 定 理 的 證 明 與 應 用 難 點 : 解 題 過 程 中 空 間 線 與 線 線 與 面 面 與 面 之 間 平 行 關 係 的 轉 化. 教 具 準 備 : 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 復 習 引 入 ]. 兩 個 平 面 的 位 置 關 係. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 6

64 . 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 ( 兩 個 判 定 ).. 兩 個 平 面 平 行 的 性 質 ( 三 個 性 質 ). 4. 兩 個 平 行 平 面 的 距 離 的 概 念. [ 探 索 研 究 ] 高 二 立 體 幾 何 例 如 圖, ABCD A BC D 是 正 方 體, E F 分 別 是 AA CC 的 中 點. () 求 證 : 平 面 EB D // 平 面 FBD ; () 若 正 方 體 棱 長 為 a, 求 平 面 EB D 與 平 面 FBD 間 的 距 離. 圖 證 明 :() 取 BB 的 中 點 G, 連 結 EG CC AC 是 正 方 體 EGC D 是 平 行 四 邊 形 C G // ED GBFC 也 是 平 行 四 邊 形 又 C G // BF ED // BF ED I B D =, 又 B D // BD 且 D 平 面 EB D // 平 面 FBD. () 取 BD 中 點 O, B D 中 點 O, 作 OM O E 於 M, 由 B D 平 面 A ACC 得 B D OM, OM 平 面 EB D, 即 OM 的 長 是 兩 個 平 行 平 面 EB D 與 FBD 間 的 距 離. A E tan A O E = = AO ct EO O =, sin EO O = 6 於 是 OM = a. 6 評 析 : 第 () 問 還 可 以 通 過 證 明 A O 平 面 B D E, A O 平 面 BDF, 得 出 面 B D // 面 BDF, 這 也 是 證 明 兩 個 平 面 平 行 的 重 要 方 法. E 例 如 圖, 已 知 夾 在 兩 個 平 行 平 面 α β 間 的 兩 條 異 面 線 段 AB CD 所 成 角 為 45, 它 們 在 平 面 β 內 的 射 影 長 分 別 為 和, 且 AB CD 和 平 面 β 所 成 的 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 6

65 角 之 差 為 45, 求 兩 個 平 行 平 面 α 與 β 之 間 的 距 離. 圖 分 析 : 首 先 將 已 知 條 件 用 圖 形 表 示 出 來, 即 作 出 有 關 的 角 和 距 離, 再 通 過 解 平 面 圖 形 求 解. 解 : 過 C 點 在 C 與 AB 所 確 定 的 平 面 內 作 CG // AB 交 β 於 G, 則 GCD 是 異 面 直 線 AB 和 CD 所 成 的 角, 所 以 GCD = 45. 作 AF β 於 F, CE β 於 E, 連 結 BF EG DG, 則 BF =, DE =, ABF CDE = 45. α // β, AF = CE, 設 AF = CE = x, 即 設 α β 間 距 離 為 x. x x 在 Rt ABF 中, tan ABF =, 在 Rt CDE 中, tan CDE =. tan ( ABF CDE) tan ABF tan CDE, + tan ABF tan CDE x x 即 =, 解 得 : x = 4 或 6. x x + 即 平 面 α 與 β 之 間 的 距 離 為 4 或 6. 例 如 圖, 平 面 α // 平 面 β, A C α, B D β, AB 是 α β 的 公 垂 線, 且 AB = a,cd 是 斜 線, 若 AC = BD = b, CD = c, M N 分 別 是 AB 和 CD 的 中 點. () 求 證 : MN // 平 面 β ; () 求 MN 的 長. () 證 明 : 連 結 AD, 取 AD 的 中 點 P, 連 結 PM PN. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 64

66 在 ABD 中, M 是 AB 的 中 點 PM // BD BD 平 面 β PM // β 同 理 PN // α α // β PN // β 又 PM PN 是 兩 相 交 直 線 平 面 PMN // MN 平 面 PMN 平 面 β MN // 平 面 β. () 解 : 連 結 MC MD 在 MAC 與 MBD 中, AB 是 MAC = MBD = 90 M 是 AB 的 中 點 MA = MB, 又 AC = BD MAC MBD, 於 是 MC = MD N 是 CD 的 中 點, MN CD 在 MBD 中, MB = a, BD = b 圖 AC BD 的 公 垂 線 MD = b + a 4 在 MND 中, MN = MD ND = ND = c b = 4b + a c. [ 演 練 回 饋 ] + 4 a c 4. α β 是 不 重 合 的 兩 個 平 面, 則 下 列 條 件 中, 可 推 出 α // β 的 是 ( ) A. α β 都 與 直 線 l 成 等 角 B.α 內 有 不 共 線 的 三 點 到 β 的 距 離 相 等 C. l m 是 α 內 的 兩 條 直 線 且 l // β, m // β D. l m 是 異 面 直 線 且 l // α, m // α, l // β, m // β. 若 平 面 α // β, 直 線 a α, 點 B β, 則 在 β 內 過 點 B 的 所 有 直 線 中 ( ) A. 不 一 定 存 在 與 a 平 行 的 直 線 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 65

67 B. 只 有 兩 條 與 a 平 行 的 直 線 C. 存 在 無 數 條 與 a 平 行 的 直 線 D. 有 且 只 有 一 條 與 a 平 行 的 直 線 高 二 立 體 幾 何. 命 題 : 與 三 角 形 兩 邊 平 行 的 平 面 平 行 於 這 個 三 角 形 的 第 三 邊. 與 三 角 形 兩 邊 垂 直 的 直 線 垂 直 于 第 三 邊. 與 三 角 形 三 頂 點 等 距 離 的 平 面 平 行 於 這 個 三 角 形 所 在 的 平 面. 其 中 假 命 題 的 個 數 為 ( ) A.0 B. C. D. 4. 設 a b 是 兩 條 互 不 垂 直 的 異 面 直 線, 過 a b 分 別 作 平 面 α β, 對 於 下 列 4 種 情 況 :b // α b α α // β 4 a β 可 能 的 情 況 有 ( ) A. 種 B. 種 C. 種 D.4 種 5. 夾 在 兩 個 平 行 平 面 α β 之 間 的 線 段 AB = 8, 且 AB 與 α 成 45 角, 則 α 與 β 之 間 的 距 離 為. 6. 設 平 面 α // 平 面 β, A C α, B D β, 直 線 AB I CD = S, 若 AS = 8, BS = 9, CD = 4, 則 CS = 7. 如 圖, 已 知 平 面 α β 外 一 點 O, 三 條 射 線 OA OB OC 分 別 交 β 於 A B C, 交 α 於 A B C. () 求 證 : ABC ~ A BC ; () 若 OA = a, AA = b, B C = c, 求 BC 的 長. 8. 如 圖, 直 線 PQ 分 別 交 兩 平 行 平 面 α β 於 A B 兩 點, 直 線 PD 分 別 交 平 面 α β 於 C D 兩 點. 直 線 QF 分 別 平 於 面 α β 於 F E 兩 點. 若 PA = 9, AB =, QB = 6, 且 S ACF = 7, 求 S BDE. [ 參 考 答 案 ] D.D.B 4.B 或 7. 提 示 : 通 過 證 明 A B // AB B C // BC OA A B BC A C // AC, 得 到 = =. OA AB BC 8. 解 : 由 平 面 與 平 面 平 行 的 性 質 先 證 AC // BD, AF // BE CAF = DBE 且 S 則 S BD AC BDE ACF PB = PA 9 + = = 9 BD BE = = AC AF 7 BD AC, BE AF BE AF QB 4 = = QA 7 7 = 4 4 S BDE = S ACF = 7 = = 4 圖 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 66

68 [ 總 結 提 煉 ] 高 二 立 體 幾 何 要 證 面 面 平 行, 通 常 先 證 線 面 平 行, 而 通 過 線 面 平 行 的 判 定 定 理 又 轉 化 為 證 線 線 平 行. 線 線 平 行 的 發 現 途 徑 很 廣 泛 : 利 用 比 例 相 等 平 行 四 邊 形 對 邊 梯 形 兩 底 邊 公 理 4 等 均 可 得 到, 做 題 時 應 靈 活 應 用. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P6~P7 習 題 五 6,7,8.. 知 識 結 構 二 面 角 二 面 角 的 概 念 二 面 角 的 平 面 角 的 定 義 直 二 面 角 的 定 義 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 兩 個 平 面 垂 直 的 定 義 兩 個 平 面 垂 直 的 性 質 定 理 應 用. 重 點 難 點 分 析 教 學 重 點 是 二 面 角 的 平 面 角 的 概 念 以 及 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 性 質 定 理 的 運 用 ; 教 學 難 點 一 是 對 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 性 質 定 理 的 結 構 功 能 的 認 識, 二 是 對 定 理 的 運 用. 找 二 面 角 的 平 面 角 是 將 二 面 角 這 個 空 間 圖 形 轉 化 為 平 面 圖 形 的 重 要 手 段, 根 據 空 間 圖 形 的 特 點 作 二 面 角 的 平 面 角, 不 僅 是 教 學 的 重 點 更 是 學 生 學 習 的 難 點. 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 是 證 明 兩 個 平 面 垂 直 的 重 要 依 據, 其 前 提 條 件 是 線 面 垂 直 ; 而 性 質 定 理 則 是 證 明 一 條 直 線 與 一 個 平 面 垂 直 的 方 法, 其 前 提 條 件 是 兩 個 平 面 垂 直. 只 有 明 確 了 定 理 的 題 設 與 結 論, 才 有 可 能 靈 活 運 用.. 教 法 建 議 () 本 節 內 容 分 為 三 課 時, 一 是 二 面 角 及 其 平 面 角 的 概 念 及 求 法, 二 是 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 性 質 定 理 的 推 導, 三 是 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 性 質 定 理 的 應 用. () 二 面 角 的 引 入 應 從 兩 個 平 面 的 位 置 關 係 復 習 開 始, 當 兩 個 平 面 不 平 行 時, 它 們 的 位 置 關 係 是 相 交, 相 交 的 度 量 是 研 究 成 角 的 大 小. 平 面 幾 何 中 研 究 兩 條 直 線 的 成 角 化 為 研 究 兩 條 射 線 所 成 的 角, 與 此 類 比, 空 間 兩 個 平 面 的 成 角 就 轉 化 為 兩 個 半 平 面 所 成 的 角. 在 二 面 角 的 教 學 中 要 注 意 與 平 面 角 的 類 比 並 且 向 平 面 角 轉 化. () 可 讓 學 生 研 究 探 討 如 何 給 二 面 角 的 平 面 角 的 下 定 義, 回 憶 異 面 直 線 所 成 的 角 以 及 斜 線 與 平 面 所 成 的 角 的 定 義, 提 示 這 兩 種 空 間 角 是 如 何 轉 化 為 平 面 角 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 67

69 的, 啟 發 學 生 尋 求 平 面 角 的 頂 點 以 及 兩 條 邊, 並 且 這 個 二 面 角 必 須 是 確 定 的. 另 外 還 可 借 助 實 物 如 打 開 的 課 本 啟 發 學 生 觀 察 判 斷, 找 到 合 適 的 平 面 角 作 為 二 面 角 的 平 面 角. 法. (4) 選 擇 合 適 的 例 題 習 題, 解 答 後 讓 學 生 歸 納 求 二 面 角 的 平 面 角 的 常 用 方 (5) 應 在 教 師 的 提 示 下 由 學 生 得 出 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理. 由 低 級 的 位 置 關 係 可 以 得 到 高 級 的 位 置 關 係 ( 如 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理, 由 線 面 平 行 推 出 面 面 平 行 ), 猜 想 由 線 面 垂 直 應 能 推 出 面 面 垂 直. 由 學 生 探 討 兩 種 垂 直 關 係 的 過 渡, 從 而 發 現 結 論. 兩 個 平 面 垂 直 的 性 質 定 理 的 發 現 與 此 類 似. (6) 證 明 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 性 質 定 理 時 注 意 分 析 綜 合 法 的 運 用. 注 意 分 析 已 知 與 所 證 的 差 異, 這 個 差 異 就 是 最 主 要 的 矛 盾, 消 除 了 差 異, 已 知 與 所 證 就 建 立 了 聯 繫, 實 現 了 溝 通, 問 題 也 就 解 決 了. 通 過 證 明 這 兩 個 定 理 應 使 學 生 對 分 析 綜 合 法 的 認 識 有 進 一 步 的 提 高..6 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 和 性 質 第 一 課 時 教 學 目 標 :. 理 解 二 面 角 的 有 關 概 念, 能 畫 出 二 面 角.. 會 求 二 面 角 的 平 面 角. 重 點 難 點 : 重 點 : 二 面 角 的 概 念 二 面 角 的 平 面 角. 難 點 : 會 求 二 面 角 的 平 面 角. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 看 看 日 常 生 活 中 常 見 的 例 子 : 公 路 上 的 坡 面 與 水 平 面, 打 開 的 門 與 門 框 所 在 的 平 面 等. 它 們 中 的 兩 個 面 成 一 定 的 角 度. 為 瞭 解 決 實 際 問 題, 人 們 需 要 研 究 兩 個 平 面 所 成 的 角. 那 麼, 怎 麼 定 義 兩 個 平 面 所 成 的 角 呢? [ 探 索 研 究 ]. 二 面 角 () 半 平 面 平 面 內 的 一 條 直 線 把 這 個 平 面 分 成 兩 部 分, 其 中 的 每 一 部 分 都 叫 做 半 平 面. () 二 面 角 從 一 條 直 線 出 發 的 兩 個 半 平 面 所 組 成 的 圖 形 叫 做 二 面 角. 這 條 直 線 叫 做 二 面 角 的 棱, 這 兩 個 半 平 面 叫 做 二 面 角 的 面. () 二 面 角 的 畫 法 : 分 直 立 式 與 平 臥 式 兩 種. 圖, 記 作 二 面 角 α - AB - β. 直 立 式 平 臥 式 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 68

70 . 二 面 角 的 平 面 角 圖 教 師 提 出 問 題 : 平 面 幾 何 中 可 以 把 角 理 解 為 一 個 旋 轉 量, 同 樣, 一 個 二 面 角 也 可 以 看 作 是 一 個 半 平 面 以 其 棱 為 軸 旋 轉 而 成 的, 也 是 一 個 旋 轉 量. 這 說 明 二 面 角 不 僅 有 大 小. 而 且 其 大 小 是 惟 一 確 定 的. 平 面 與 平 面 的 位 置 關 係, 總 的 說 來 只 有 相 交 或 平 行 兩 種 情 況. 為 了 對 相 交 平 面 的 相 互 位 置 作 進 一 步 的 探 討, 我 們 有 必 要 來 研 究 二 面 角 的 度 量 問 題. 從 而 提 問 : 二 面 角 的 大 小 應 該 怎 麼 度 量? 讓 學 生 主 動 動 手 操 作 並 與 同 學 討 論 交 流, 嘗 試 找 到 度 量 二 面 角 大 小 的 方 法. 現 給 出 二 面 角 的 平 面 角 的 定 義 : 以 二 面 角 的 棱 上 任 意 一 點 為 端 點, 在 兩 個 面 內 分 別 作 垂 直 於 棱 的 兩 條 射 線, 這 兩 條 射 線 所 成 的 角 叫 做 二 面 角 的 平 面 角. 如 圖, 二 面 角 α -l - β, O l, AO α, BO β, AO l, BO l. AOB 是 二 面 角 α -l - β 的 平 面 角. 二 面 角 的 平 面 角 的 範 圍 是 [ ] 80 圖 0,, 當 兩 個 半 平 面 重 合 時, 平 面 角 為 0 ; 當 兩 個 半 平 面 合 成 一 個 平 面 時, 平 面 角 為 80. 求 解 二 面 角 問 題 的 關 鍵 是 確 定 平 面 角 的 位 置, 需 抓 住 二 面 角 的 平 面 角 的 三 個 要 素 :() 確 定 二 面 角 的 棱 上 一 點 ; () 經 過 這 點 分 別 在 兩 個 面 內 引 射 線 ;() 所 引 的 射 線 都 垂 直 於 棱. 平 面 角 是 直 角 的 二 面 角 叫 做 直 二 面 角.. 例 題 分 析 例 如 圖, 平 面 角 為 銳 角 的 二 面 角 α - EF - β, A EF, AG α, GAE = 45, 若 AG 與 β 所 成 角 為 0, 求 二 面 角 α - EF - β 的 平 面 角. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 69

71 圖 解 : 作 GH β 於 H, 作 HB EF 於 B, 連 結 GB, 則 GB EF, GBH 是 二 面 角 的 平 面 角. 又 GAH 是 AG 與 β 所 成 的 角, 設 AG = a, GH 則 GB = a, GH = a, sin GBH = =. GB GBH = 45. 例 正 三 角 形 ABC 邊 長 為 0, A 平 面 α, B C 與 平 面 α 的 距 離 為 4 和, B C 在 平 面 α 的 同 側, 求 : 平 面 ABC 與 平 面 α 所 成 的 角 θ. 解 : 如 圖 4. 設 B C 是 B C 在 平 面 α 上 的 射 影, 延 長 BC 交 平 面 α 於 D, 則 平 面 ABC I α = AD. 由 已 知 可 得 C C 分 別 是 BD 和 B D 的 中 點. CD = CB = 0 由 DCA = 0 又 DBA = 60 由 於 BA B θ = arcsin. 5 [ 演 練 回 饋 ] 得 CDA = 0., 故 DAB = 90 4 = θ, 則 sin θ = = 課 本 P6 練 習,,,4.. 二 面 角 指 的 是 ( ) A. 兩 個 平 面 相 交 所 成 的 角 圖 4 B. 經 過 同 一 條 直 線 的 兩 個 平 面 所 組 成 的 圖 形 C. 從 一 條 直 線 出 發 的 兩 個 半 平 面 組 成 的 圖 形 D. 兩 個 相 交 平 面 所 夾 的 不 大 於 90 的 角, 由 三 垂 線 逆 定 理 得 DA B = /009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 70

72 . 已 知 ABC 中, AB =, BC = 4, ABC 高 二 立 體 幾 何 = 45,BC 在 平 面 α 內, ABC 所 在 平 面 與 面 α 成 0 角, 則 ABC 在 平 面 α 內 的 射 影 面 積 可 能 是 ( ) A. 6 B. 6 C. 6 D 已 知 二 面 角 α - AB - β 的 平 面 角 是 銳 角 θ,α 內 一 點 C 到 β 的 距 離 為, 點 C 到 棱 AB 的 距 離 為 4, 那 麼 tan θ 的 值 等 於 ( ) A. 4 B 已 知 二 面 角 α -l - β 的 平 面 角 為 7 C. 7 60, α D. 7 P, 若 P 到 平 面 β 的 距 離 為, 則 P 點 在 β 上 的 射 影 P 到 平 面 α 的 距 離 為. 6. 自 二 面 角 內 任 意 一 點 分 別 向 兩 個 面 引 垂 線, 則 兩 垂 線 所 成 的 角 與 二 面 角 的 平 面 角 的 關 係 是 ( ) A. 相 等 B. 互 補 C. 互 餘 D. 無 法 確 定 7. 如 圖 5, AOB = 90, 過 點 O 引 AOB 所 在 平 面 的 斜 線 OC,OC 與 OA OB 分 別 成 角, 求 二 面 角 A- OC - B 的 平 面 角 的 余 弦 值. 圖 5 8. 如 圖 6, 在 正 方 體 ABCD - A BC D 中, 求 二 面 角 B - A C - B 的 平 面 角 的 正 切 值. 圖 6 9. 如 圖 7, 在 60 的 二 面 角 α -l - β 內 有 一 點 P, 它 到 α β 面 的 距 離 分 別 為 和 5, 求 P 點 到 棱 l 的 距 離. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 7

73 [ 參 考 答 案 ]. 略..C.D 4.C 5. 圖 7 6.B 7. 提 示 : 在 OC 上 任 取 一 點 M, 作 MH OC 交 OA 於 H 點, 作 MG OC 交 OB 與 G 點, 令 OM = a, 則 HMG 即 為 所 求, 先 在 Rt OMG 及 OMH 中 算 出 MG OG MH OH, 再 在 Rt HOG 中 算 出 GH. 8. 提 示 : 連 結 B D 交 A C 於 點 O, 連 結 BO, 證 明 B OB 就 是 二 面 角 B - A C B 的 平 面 角 提 示 : 分 別 作 PH PG 垂 直 於 面 α β 於 點 H G, 證 明 l 面 PHG, 令 l 交 於 PHG 於 點 O, 連 結 OH OG, 證 明 HOG = 60, HPG =0,PO 為 所 求. 在 PHG 中 用 余 弦 定 理 算 出 HG. 又 P H O G 共 圓, 可 由 正 弦 定 理 去 算 PO. [ 總 結 提 煉 ] 求 二 面 角 的 平 面 角, 首 先 要 選 擇 一 個 合 適 的 方 案 畫 出 二 面 角, 其 次 要 能 夠 根 據 定 義 作 出 二 面 角 的 平 面 角, 用 三 垂 線 定 理 作 二 面 角 的 平 面 角 是 最 常 用 的 方 法, 用 三 垂 線 定 理 必 須 先 找 到 一 個 參 考 平 面, 二 面 角 的 兩 個 半 平 面 之 一 往 往 就 是 參 考 平 面, 而 三 垂 線 定 理 的 特 點 是 斜 線 和 射 影 同 時 垂 直 於 面 內 的 直 線, 這 恰 好 符 合 二 面 角 的 平 面 角 的 兩 邊 同 時 垂 直 於 棱 的 要 求, 最 後 要 注 意 作 證 算 的 步 驟 安 排, 當 然 有 時 也 直 接 按 定 義 去 作 二 面 角 的 平 面 角. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P9 練 習,,4..6 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 和 性 質 第 二 課 時 教 學 目 標 :. 理 解 兩 個 平 面 垂 直 的 定 義.. 掌 握 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 與 性 質 定 理.. 能 應 用 面 面 垂 直 的 判 定 與 性 質 解 決 簡 單 問 題. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 : 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 7

74 [ 設 置 情 境 ] 提 問 : () 豎 電 線 杆 時, 電 線 杆 所 在 的 直 線 與 地 面 應 滿 足 怎 樣 的 位 置 呢? 高 二 立 體 幾 何 () 為 了 讓 一 面 牆 砌 得 穩 固, 不 易 倒 塌, 牆 面 所 在 的 平 面 與 地 面 又 應 該 滿 足 怎 樣 的 位 置 關 係 呢? 容 易 得 出 結 論 : 電 線 杆 與 地 面 應 該 垂 直, 否 則 容 易 傾 倒 ; 如 果 牆 面 發 生 傾 斜, 牆 就 容 易 倒 塌, 所 以 砌 牆 時, 不 能 讓 牆 面 傾 斜. () 我 們 怎 樣 用 所 學 知 識 去 描 述 牆 面 不 傾 斜 這 一 事 實 呢? [ 探 索 研 究 ]. 平 面 與 平 面 垂 直 的 定 義 如 果 兩 個 平 面 所 成 的 二 面 角 是 直 角, 就 說 這 兩 個 平 面 互 相 垂 直.. 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 提 出 問 題 : 如 果 你 是 一 個 質 檢 員, 你 怎 樣 去 檢 測 判 斷 建 築 中 的 一 面 牆 和 地 面 是 否 垂 直 呢? ( 教 師 可 鼓 勵 學 生 結 合 自 己 的 生 活 閱 歷 大 膽 想 像 猜 測, 並 可 用 書 作 牆 面 桌 面 作 為 地 面 進 行 模 擬. 學 生 不 管 想 出 何 種 方 法, 也 不 管 其 是 否 可 行, 教 師 都 應 給 以 表 揚 鼓 勵 並 作 出 相 應 的 分 析.) 由 上 面 的 討 論 分 析, 教 師 得 出 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 : 如 果 一 個 平 面 經 過 另 一 個 平 面 的 一 條 垂 線, 那 麼 這 兩 個 平 面 互 相 垂 直. 已 知 : AB β, AB α ( 圖 ). 求 證 : α β. 證 明 : 設 α I β = CD, 則 由 AB α 知, AB CD 共 面. AB β, CD β, AB CD, 垂 足 為 點 B. 在 平 面 β 內 過 點 B 作 直 線 BE CD, 則 ABE 是 二 面 角 α -CD - β 是 直 二 面 角. α β.. 兩 個 平 面 垂 直 的 性 質 提 問 : 為 什 麼 牆 面 和 地 面 垂 直 的 時 候, 牆 體 就 不 容 易 倒 塌 呢? 先 讓 學 生 思 考, 然 後 演 示 實 驗 : 將 一 本 書 放 置 在 桌 面 上, 且 使 書 所 在 平 面 與 桌 面 垂 直. 當 書 面 沿 書 面 與 桌 面 的 交 線 轉 動 時, 由 物 理 學 原 理 知, 它 會 倒 塌. 由 此 得 到 啟 發, 讓 學 生 思 考 : 如 果 兩 個 平 面 互 相 垂 直, 那 麼 在 第 一 個 平 面 內 垂 直 於 交 線 的 直 線, 是 否 垂 直 於 第 二 個 平 面 呢? 先 讓 學 生 思 考 一 段 時 間, 然 後 分 析 : 圖 如 圖, α β, AB α, AB CD, α I β = CD, 求 證 : AB β. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 7

75 分 析 : 在 β 內 作 BE CD. 圖 要 證 AB β, 只 需 證 AB 垂 直 於 β 內 的 兩 條 相 交 直 線 就 行, 而 我 們 已 經 有 AB CD, 只 需 尋 求 另 一 條 就 夠 了, 而 我 們 還 有 α β 這 個 條 件 沒 使 用, 由 α β 定 義, 則 ABE 為 直 角, 即 有 AB BE, 也 就 有 AB β, 問 題 也 就 得 到 解 決. 可 由 學 生 寫 出 證 明 過 程. 平 面. (P7). 由 上 面 的 討 論, 我 們 就 得 到 了 兩 個 平 面 垂 直 的 性 質 定 理 : 如 果 兩 個 平 面 垂 直, 那 麼 在 一 個 平 面 內 垂 直 於 它 們 交 線 的 直 線 垂 直 於 另 一 個 下 面 我 們 來 看 一 下 兩 個 平 面 垂 直 的 性 質 的 另 一 個 定 理, 也 即 課 本 的 例 如 果 兩 個 平 面 互 相 垂 直, 那 麼 經 過 第 一 個 平 面 的 一 點 垂 直 於 第 二 個 平 面 的 直 線, 在 第 一 個 平 面 內. 已 知 : α β, P α, P a, α β ( 圖 ). 求 證 : a α. 圖 證 明 : 設 α I β = c. 過 點 P 在 平 面 α 內 作 直 線 b c, 根 據 上 面 的 定 理 有 b β. 因 為 經 過 一 點 只 能 有 一 條 直 線 與 平 面 β 垂 直, 所 以 直 線 a 應 與 直 線 b 重 合. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 74

76 a α. 4. 例 題 分 析 高 二 立 體 幾 何 例 題 如 圖 4,AB 是 O 的 直 徑, 點 C 是 O 上 的 動 點, 過 動 點 C 的 直 線 VC 垂 直 於 O 所 在 平 面, D E 分 別 是 VA VC 的 中 點, 直 線 DE 與 平 面 VBC 有 什 麼 關 係? 試 說 明 理 由. 圖 4 解 : 由 VC 垂 直 於 O 所 在 平 面, 知 VC AC, VC BC, 即 ACB 是 二 面 角 A- VC - B 的 平 面 角. 由 ACB 是 直 徑 上 的 圓 周 角, 知 ACB = 90. 因 此, 平 面 VAC 平 面 VBC. 由 DE 是 VAC 兩 邊 中 點 連 線, 知 DE // AC, 故 DE VC. 由 兩 個 平 面 垂 直 的 性 質 定 理, 知 直 線 DE 與 平 面 VBC 垂 直. 結 論. 注 意 : 本 題 也 可 以 先 推 出 AC 垂 直 於 平 面 VBC, 再 由 DE // AC, 推 出 上 面 的 [ 演 練 回 饋 ]. 如 圖 5, 在 空 間 邊 形 ABCD 中, DA 平 面 ABC, ABC = 90, AE CD, AF DB. 求 證 :() EF DC ;() 平 面 DBC 平 面 AEF. 圖 5 圖 6 圖 7. 如 圖 6, S 是 ABC 所 在 平 面 外 一 點, SA = SB = SC, SAC = 90, ASB = BSC = 60. 求 證 : 平 面 ASC 平 面 ABC.. 如 圖 7, PA 垂 直 於 矩 形 ABCD 所 在 平 面, E F 分 別 是 AB PD 的 中 點, 二 面 角 P - CD - B 為 45. 求 證 : 平 面 PEC 平 面 PCD. [ 參 考 答 案 ] 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 75

77 又 高 二 立 體 幾 何. 提 示 : 由 DA BC, AB BC, 得 BC 面 DAB, 從 而 面 DAB 面 DBC, AF BD, 所 以 AF 面 DBC, 所 以 AF DC, 得 DC 面 AEF.. 提 示 : 取 AC 中 點 O, 連 結 SO BO. SO AC, BO AC, 得 SOB = 90.. 提 示 : 取 PC 中 點 G, 連 結 FG EG, 證 明 : AE// FG, AF // EG, PDA = 45, PAD = 90, AF PD, CD 面 PAD, CD AF, GE // AF, AF 面 PCD, EG 面 PCD. [ 總 結 提 煉 ] 定 義 面 面 垂 直 是 在 建 立 在 二 面 角 的 平 面 角 的 基 礎 上 的, 理 解 面 面 垂 直 的 判 定 與 性 質 都 要 依 賴 面 面 垂 直 的 定 義. 證 明 面 面 垂 直 要 從 尋 找 面 的 垂 線 入 手, 課 本 第 7 頁 上 的 例 也 可 以 當 作 面 面 垂 直 的 一 條 性 質 定 理, 在 解 題 時 注 意 應 用. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P44 習 題 六 7,8,9. 教 學 目 標 :.6 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 和 性 質 第 三 課 時. 鞏 固 復 習 二 面 角 的 有 關 概 念, 進 一 步 培 養 求 二 面 角 的 平 面 角 的 能 力.. 鞏 固 復 習 面 面 垂 直 的 定 義, 熟 練 掌 握 面 面 垂 直 的 判 定 與 性 質 定 理. 教 具 準 備 : 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 復 習 回 憶 ]. 二 面 角 的 有 關 概 念.. 作 二 面 角 的 平 面 角 的 一 般 方 法.. 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理. 4. 兩 個 平 面 垂 直 的 性 質 定 理 ( 兩 個 ). [ 探 索 研 究 ] 例 在 平 面 四 邊 形 ABCD 中, 已 知 AB = BC = CD = a, ABC = 90, BCD =5, 沿 AC 將 四 邊 形 折 成 直 二 面 角 B - AC - D. () 求 證 : 平 面 ABC 平 面 BCD ; () 求 平 面 ABD 與 平 面 ACD 所 成 的 角. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 76

78 圖 解 : 如 圖, 其 中 () 是 平 面 四 邊 形,() 是 折 後 的 立 體 圖. () 證 明 : 平 面 ABC 平 面 ACD, 交 線 為 AC, 又 AB = BC, ABC = 90, ACD = 90, CD AC. CD 平 面 ABC CD 平 面 BCD 平 面 ABC 平 面 BCD. 高 二 立 體 幾 何 () 過 點 B 作 BE AC, E 為 垂 足, 則 BE 平 面 ACD. 又 過 點 E 在 平 面 ACD 內 作 EF AD,F 為 垂 足, 連 結 BF. 由 三 垂 線 定 理 可 知 BF AD. BFE 是 二 面 角 B - AD - C 的 平 面 角. 點 E 為 AC 中 點, BE = AC = a. CD 又 sin DAC = =, EF = AE AD 6 EF = a = a. 6 BE tan BFE = =. EF BFE = 60. 即 平 面 ABD 與 平 面 ACD 所 成 的 二 面 角 為 60. 點 評 : 折 疊 問 題 要 特 別 重 視 線 與 線 的 位 置 關 係, 有 的 在 折 疊 前 後 保 持 不 變, 關 於 它 們 的 計 算, 可 以 在 平 面 圖 形 中 求 得, 如 本 題 中 B = ACD = 90 在 折 疊 前 後 不 變, 四 邊 形 的 四 條 邊 的 長 也 不 變. 所 以, BE sin DAC 均 可 在 平 面 四 邊 形 中 求 得, 但 有 些 量 折 疊 前 後 會 發 生 變 化, 如 BCD 折 疊 後 不 再 是 5, 點 B 和 點 D 間 的 距 離 折 疊 後 也 變 短 了, 已 經 變 化 了 的 量 切 不 可 用 折 疊 前 的 資 料 進 行 計 算. 例 如 圖, 在 立 體 圖 S ABC 中, SA 底 面 ABC, AB BC, DE 垂 直 平 分 SC 且 分 別 交 AC SC 於 D E, 又 SA = AB, SB = BC, 求 以 BD 為 棱, 以 BDE 與 BDC 為 面 的 二 面 角 的 平 面 角 的 度 數. 圖 分 析 : 由 已 給 出 的 線 面 垂 直 關 係 及 線 線 垂 直 關 係, 很 容 易 發 現 BD 平 面 SAC, EDC 就 是 所 求 二 面 角 的 平 面 角. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 77

79 解 : 由 於 SB = BC, 且 E 是 SC 的 中 點, 因 此 BE 是 等 腰 BSC 的 底 邊 SC 的 中 線, 所 以 SC BE. 又 已 知 SC DE, BE I DE = E, SC 面 BDE, SC BD. 又 SA 底 面 ABC, BD 底 面 ABC, SA BD, 而 SC I SA = S. BD 平 面 SAC. DE = 平 面 SAC I 平 面 BDE, BD DE, BD DC. EDC 是 所 求 二 面 角 的 平 面 角. SA 底 面 ABC, SA AB, SA AC. 設 SA = a, 則 AB = a, BC = SB = a. 又 因 為 AB BC, 所 以 AC = a. SA 在 Rt SAC 中, tan ACS = =, AC ACS = 0, EDC = 60, 即 二 面 角 E - BD -C 的 平 面 角 的 度 數 為 60. 例 如 圖, 在 底 面 是 直 角 梯 形 的 立 體 圖 S ABCD 中, ABC = 90, SA 面 ABCD, SA = AB = BC =, AD =, 求 面 SCD 與 面 SBA 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 的 正 切 值. 圖 分 析 : 這 是 一 道 求 二 面 角 的 問 題, 常 將 兩 個 平 面 的 交 線 找 出, 再 設 法 畫 出 所 求 二 面 角 的 平 面 角. 解 : 延 長 BA CD 相 交 於 點 E, 連 結 SE, 則 SE 是 所 求 二 面 角 的 棱 AD // BC, BC = AD, EA = AB = SA, SE SB. SA 面 ABCD, 得 面 SEB 面 EBC, EB 是 交 線. 又 BC EB, BC 面 SEB, 故 SB 是 CS 在 面 SEB 上 的 射 影, CS SE, 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 78

80 BSC 是 所 求 的 二 面 角 的 平 面 角. SB = SA + AB =, BC =, BC SB, BC tan BSC = =. SB 即 所 求 二 面 角 的 平 面 角 的 正 切 值 為 [ 演 練 回 饋 ].. 如 圖 4, ABC 的 邊 BC 在 平 面 α 內, 頂 點 A α, 設 ABC 的 面 積 為 S, 它 在 平 面 α 內 射 影 的 面 積 為 S, 且 平 面 α 與 ABC 所 在 平 面 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 為 θ ( 0 <θ < 90 ). 求 證 : S = S csθ.. 如 圖 5, 矩 形 ABCD 中, AB < BC 圖 4, 沿 BD 將 ABD 折 起 後, 使 點 A 在 平 面 BCD 上 的 射 影 恰 好 是 BC 的 中 點 E, 求 二 面 角 A- BD -C 的 大 小. 圖 5. 已 知 正 方 體 ABCD A BC D 中, M 是 AA 的 中 點, 求 平 面 MDB 與 底 面 ABCD 所 成 二 面 角 的 平 面 角 的 正 弦 值 ( 圖 ). 圖 6 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 79

81 [ 參 考 答 案 ]. 提 示 : 作 A A α 於 點 A, 則 S 就 是 A BC 的 面 積, 作 AH BC 於 點 H, S A H 連 結 A H, 證 A H BC, AH A = θ, = = csθ. S AH. 提 示 : 作 EH BD 於 點 H, 連 結 AH, 證 明 AH BD, AHE 為 所 求. HE cs AHE =, AH = CG = EH. HA. 分 析 : 延 長 B M 交 BA 的 延 長 線 於 G, 連 結 DG, GA = AB = AD, GDB = 90 解 法 一 : B B AC, GD DB, 由 三 垂 線 定 理, 得 GD DB. B DB 為 二 面 角 的 平 面 角. 解 得 sin B DB =. 另 介 紹 用 射 影 面 積 公 式 解. 如 果 ABC 所 在 平 面 α 與 平 面 β 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 為 θ, 且 ABC 在 平 面 β 內 的 射 影 為 A B C, 則 有 S S A B C cs θ =. ABC 解 法 二 : MDB 在 底 面 ABCD 上 的 射 影 是 DAB, 設 正 方 體 的 棱 長 為, 則 S B = 6 MD, S ABD =, 設 所 求 的 平 面 角 為 α, 則 cs α =, sin α =. 6 [ 總 結 提 煉 ] 處 理 折 疊 問 題, 關 鍵 是 認 清 折 疊 前 後 的 不 變 數, 當 一 個 二 面 角 的 棱 在 圖 形 中 未 顯 示 時, 那 麼 求 這 個 二 面 角 的 首 要 任 務 便 是 找 到 棱, 這 往 往 要 用 到 公 理 或 公 S 理, 利 用 cs θ = 來 求 二 面 角 的 平 面 角 的 方 法 很 特 殊, 對 於 有 些 問 題 相 當 方 S 便, 請 大 家 注 意 記 憶. [ 佈 置 作 業 ]. 課 本 P44 習 題 六,.. 一 條 長 為 cm 的 線 段 AB 夾 在 互 相 垂 直 的 兩 個 平 面 α β 之 間, AB 與 α 所 成 的 角 為 45, 與 β 所 成 角 為 0, 且 α I β = l, AC l, BD l,c D 是 垂 足. 求 平 面 ABD 與 平 面 ABC 所 成 的 角. [ 參 考 答 案 ]. 略.. 解 : 如 圖 /009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 80

82 圖 7 連 結 BC AD, 可 證 AC β, BD α, ABC = 0, BAD = 45. 在 Rt ACB 中, BC = AB cs 0 =, 在 Rt ADB 中, BD = ABsin 45 =. 在 Rt BCD 中, 可 求 出 CD =. 又 作 DE AB 於 E, 作 EF AB, 交 BC 於 F, 則 DEF 就 是 二 面 角 D - AB - C 的 平 面 角, 由 AB 平 面 DEF, 得 AB DF. 又 AC DF, DF 平 面 ABC. DF EF. DEF 即 為 所 求 二 面 角 的 平 面 角. DA DB 在 Rt DAB 中, DE = =, AB DC DB 6 在 Rt DBC 中, DF = =, BC DF 6 在 Rt DFE 中, sin DEF = =, DE DEF = arcsin 6 π arcsin. 6, 即 平 面 ABD 與 平 面 ABC 所 成 的 角 為 arcsin 6 或 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 8

83 第 二 章 多 面 體 和 旋 轉 體 一. 本 章 概 述 本 章 內 容 包 括 多 面 體 和 旋 轉 體 中 常 見 的 柱 錐 臺 球 的 概 念 性 質 直 觀 圖 展 開 圖 的 畫 法 以 及 有 關 側 面 積 體 積 的 計 算 等. 它 是 考 查 空 間 想 像 能 力 和 邏 輯 思 維 能 力 及 其 運 算 能 力 的 重 要 載 體. 立 體 幾 何 試 題 大 多 以 多 面 體 和 旋 轉 體 為 載 體, 融 線 面 關 係 於 幾 何 體 中, 融 推 理 論 證 於 幾 何 量 的 計 算 中, 融 邏 輯 思 維 能 力 空 間 想 像 能 力 於 運 算 中. 多 面 體 與 旋 轉 體 的 命 題 主 要 特 點 是 : 注 意 考 查 學 生 的 想 像 判 斷 推 理 與 計 算 的 綜 合 能 力 素 質, 融 推 理 與 運 算 於 一 體 ; 注 意 對 非 常 規 空 間 幾 何 圖 形 的 數 量 關 係 和 位 置 關 係 的 考 查 ; 改 變 了 選 擇 題 和 填 空 題 形 式 單 一 的 弊 端, 拓 寬 了 填 空 題 的 考 查 功 能, 採 用 多 選 多 填 及 開 放 性 等 形 式, 富 有 挑 戰 性 和 探 索 性, 體 現 高 考 穩 中 有 變 的 思 想. 對 柱 錐 臺, 會 從 複 雜 的 空 間 圖 形 中 找 出 反 映 幾 何 體 特 徵 的 平 面 圖 形 如 : 直 角 三 角 形 直 角 梯 形, 尋 找 有 關 的 幾 何 元 素 的 位 置 關 係, 數 量 關 係, 並 注 意 幾 種 特 殊 四 棱 柱 的 聯 繫 與 區 別, 重 視 平 行 於 底 面 的 截 面 的 有 關 性 質, 樹 立 還 臺 為 錐 的 思 想, 空 間 問 題 平 面 化 的 思 想 如 : 截 面 展 開 圖 平 移 旋 轉 射 影, 應 用 整 體 思 想 方 程 思 想 的 策 略. 對 多 面 體 與 旋 轉 體 的 體 積 問 題, 應 以 公 式 法 為 基 礎 並 注 意 利 用 化 歸 與 轉 化 思 想, 即 轉 移 法 ( 利 用 祖 暅 原 理, 把 所 求 幾 何 體 的 體 積 轉 化 為 與 它 等 底 等 高 的 幾 何 體 的 體 積 ), 分 割 求 和 法, 補 形 求 差 法,4 換 底 等 積 法, 溝 通 有 關 元 素 之 間 的 聯 繫, 從 而 完 成 計 算 或 證 明. 對 多 面 體 與 旋 轉 體 的 表 面 積 除 直 接 利 用 公 式 外, 還 可 採 用 化 整 為 零 各 個 擊 破 的 策 略, 並 熟 悉 直 截 面, 軸 截 面 的 特 性, 通 過 展 開 圖, 將 空 間 面 積 轉 化 為 平 面 面 積 來 處 理. 解 決 折 疊 問 題 時, 要 將 折 疊 前 後 的 兩 個 圖 形 對 照 考 察, 弄 清 所 涉 及 的 元 素 在 折 疊 前 後 的 數 量 關 係 或 位 置 關 係. 要 計 算 柱 錐 台 表 面 上 兩 點 的 最 短 距 離, 可 採 用 側 面 展 開 圖 或 全 面 展 開 圖, 化 曲 折 為 直. 對 簡 單 多 面 體 旋 轉 體 的 切 接 問 題, 一 般 是 通 過 選 擇 能 夠 包 含 各 元 素 間 的 關 係 的 一 個 截 面 ( 多 為 軸 截 面 ), 轉 化 為 平 面 圖 形 或 採 用 等 積 法 來 解 決. 應 特 別 注 意 截 面 圖 形 與 直 觀 圖 的 聯 繫, 並 注 意 兩 者 構 成 元 素 的 異 同. 對 面 積 體 積 的 最 值 問 題, 一 般 轉 化 為 函 數 的 最 值 問 題 加 以 解 決, 比 較 常 用 的 方 法 是 利 用 均 值 不 等 式. 綜 合 應 用, 關 鍵 在 於 溝 通 幾 何 代 數 三 角 知 識 的 聯 繫, 達 到 對 知 識 的 進 一 步 理 解 深 化 昇 華. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 8

84 . 知 識 結 構 一. 多 面 體 棱 柱 棱 柱 斜 棱 柱 直 棱 柱 正 棱 柱 性 質 斜 二 測 畫 法 直 觀 圖 畫 法 四 棱 柱 平 行 六 面 體 直 平 行 六 面 體 長 方 體 正 方 體. 重 點 難 點 分 析 重 點 : 準 確 的 理 解 棱 柱 的 概 念 和 性 質. 難 點 : 一 般 棱 柱 直 棱 柱 與 正 棱 柱 以 及 四 棱 柱 平 行 六 面 體 長 方 體 正 四 棱 柱 正 方 體 之 間 的 區 別 與 聯 繫. 在 運 用 棱 柱 的 性 質 進 行 推 理 論 證 或 計 算 過 程 中, 靈 活 應 用 並 深 化 前 一 部 分 講 述 的 線 面 關 係 及 其 性 質. () 棱 柱 是 一 種 簡 單 的 多 面 體, 它 有 兩 個 最 基 本 的 性 質 : 第 一, 有 兩 個 面 ( 底 面 ) 互 相 平 行 ; 第 二, 其 餘 的 面 ( 側 面 ) 每 相 鄰 的 兩 個 面 的 公 共 邊 ( 側 棱 ) 互 相 平 行 棱 柱 的 底 面 是 三 角 形 或 多 邊 形, 側 面 是 平 行 四 邊 形, 但 要 注 意 兩 個 面 互 相 平 行, 其 餘 各 面 是 平 行 四 邊 形 的 幾 何 體 未 必 是 棱 柱 棱 柱 的 兩 個 底 面 與 平 行 與 底 面 的 截 面 是 全 等 地 多 邊 形 () 側 棱 垂 直 於 底 面 的 棱 柱 是 直 棱 柱, 底 面 是 正 多 邊 形 的 直 棱 柱 是 正 棱 柱 注 意 一 系 列 特 殊 的 四 棱 柱 之 間 的 關 係, 它 們 依 次 是 : 四 棱 柱 平 行 六 面 體 直 平 行 六 面 體 長 方 體 正 四 棱 柱 正 方 體, 聯 繫 如 下 : 四 棱 柱 底 面 是 平 行 四 邊 形 平 行 六 面 體 側 棱 與 底 面 垂 直 直 平 行 六 面 體 底 面 是 矩 形 長 方 體 底 面 是 正 方 形 正 四 棱 柱 棱 長 都 相 等 正 方 體 其 中 尤 其 需 要 注 意 正 四 棱 柱 與 長 方 體 和 正 方 體 之 間 的 關 係, 在 對 棱 柱 的 分 類 還 不 很 熟 悉 的 情 況 下, 學 生 很 任 意 弄 混 () 斜 二 測 畫 法 的 規 則 中, 學 生 在 畫 平 行 於 y 軸 的 線 段 時, 在 直 觀 圖 中 的 長 度 很 容 易 畫 成 和 原 來 線 段 長 度 相 等 學 習 直 棱 柱 的 直 觀 圖 的 畫 法 時, 可 分 下 列 四 個 步 驟 進 行 : 建 立 三 維 空 間 直 角 坐 標 系 ; 畫 底 面 ; 畫 側 棱 ;4 成 圖. 應 培 養 學 生 認 真 用 尺 規 作 圖, 克 服 隨 意 性. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 8

85 . 教 法 建 議 高 二 立 體 幾 何 () 為 了 深 刻 理 解 棱 柱 的 定 義, 教 師 可 以 提 前 一 周 安 排 學 生 進 行 折 紙, 折 出 一 些 是 棱 柱 的 模 型, 也 折 出 一 些 不 是 棱 柱 的 模 型, 在 講 解 棱 柱 的 定 義 時, 有 助 於 學 生 理 解 () 教 師 在 講 解 棱 柱 的 定 義 時, 可 以 舉 一 些 在 日 常 生 活 中 曾 多 次 接 觸 過 形 狀 為 棱 柱 的 實 物, 如 三 棱 鏡, 方 磚 等, 在 講 解 了 棱 柱 的 定 義 後, 還 可 以 一 些 讓 學 生 舉 一 些 實 際 生 活 中 見 到 的 棱 柱 的 實 例, 另 一 些 學 生 判 斷 所 舉 例 是 不 是 棱 柱, 這 樣 可 以 加 深 學 生 的 印 象, 也 能 檢 查 學 生 是 否 理 解 了 棱 柱 定 義 () 引 出 棱 柱 概 念 時, 應 注 意 在 學 生 感 性 認 識 的 基 礎 上 進 行 歸 納, 得 出 能 反 映 棱 柱 特 徵 的 定 義 (4) 教 師 講 解 棱 柱 的 性 質, 可 以 由 棱 柱 的 定 義 出 發, 利 用 空 間 直 線 和 平 面 相 應 位 置 關 係 的 有 關 知 識 推 出 雖 然 這 些 性 質 很 直 觀, 但 是 不 妨 讓 學 生 說 說 推 導 它 們 的 思 路 這 樣 有 助 於 復 習 前 面 的 知 識, 也 有 助 於 加 深 對 棱 柱 性 質 的 認 識 (5) 教 師 講 解 斜 二 測 畫 法 的 規 則, 可 以 用 實 物 投 影 將 畫 錯 了 的 學 生 作 品 展 示, 大 家 一 起 指 出 錯 誤, 沒 有 投 影 的 情 況 下 也 可 以 讓 學 生 板 演, 這 樣 學 生 印 象 深 刻. 棱 柱 第 一 課 時 教 學 目 標 : 理 解 棱 柱 的 概 念 分 類 ; 掌 握 棱 柱 的 性 質. 重 點 難 點 : 重 點 : 準 確 的 理 解 棱 柱 的 概 念 和 性 質. 難 點 : 熟 練 掌 握 棱 柱 的 各 種 分 類 方 法 和 性 質. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件, 三 角 板, 模 型. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 教 師 拿 幾 個 模 型 ( 如 圖 ) 一 一 呈 現 出 來 讓 同 學 們 觀 察, 並 討 論 哪 些 是 棱 柱. 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 84

86 教 師 指 出 為 棱 柱, 然 後 問, 棱 柱 有 什 麼 樣 的 特 徵? 應 當 怎 麼 定 義 呢? [ 探 索 研 究 ]. 棱 柱 的 概 念 () 概 念 ( 出 示 模 型 或 課 件 ) 通 過 舉 實 際 生 活 中 的 例 子, 介 紹 概 念 : 棱 柱 的 定 義 底 面 側 面 棱 側 棱 頂 點 對 角 線 高. () 棱 柱 的 分 類 ( 見 圖 ) 圖 從 側 棱 與 底 面 的 關 係 來 分 可 分 為 : 斜 棱 柱 直 棱 柱 正 棱 柱. 從 底 面 多 邊 形 的 邊 數 來 分 可 分 為 : 三 棱 柱 四 棱 柱 五 棱 柱 等.. 棱 柱 的 性 質 ( 見 圖 ) () 側 棱 都 相 等, 側 面 是 平 行 四 邊 形. () 兩 個 底 面 與 平 行 於 底 面 的 截 面 是 全 等 的 多 邊 形. () 過 不 相 鄰 的 兩 條 側 棱 的 截 面 是 平 行 四 邊 形.. 例 題 分 析 圖 例 下 列 命 題 中 正 確 的 是 ( ) A. 有 兩 個 面 平 行, 其 餘 各 面 都 是 四 邊 形 的 幾 何 體 叫 棱 柱 B. 有 兩 個 面 平 行, 其 餘 各 面 都 是 平 行 四 邊 形 的 幾 何 體 叫 棱 柱 C. 有 兩 個 側 面 是 矩 形 的 棱 柱 是 直 棱 柱 D. 有 兩 個 相 鄰 側 面 垂 直 於 底 面 的 棱 柱 是 直 棱 柱 解 : 如 圖 4, 面 ABC // 面 A BC, 但 圖 中 的 幾 何 體 中 每 相 鄰 兩 個 四 邊 形 的 公 共 邊 並 不 都 互 相 平 行, 故 不 是 棱 柱. A B 都 不 正 確. 當 兩 個 相 鄰 側 面 都 垂 直 于 底 面 時, 它 們 的 公 共 側 棱 垂 直 於 底 面, 因 此 這 樣 的 棱 柱 是 直 棱 柱, 故 選 D. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 85

87 圖 4 例 下 列 命 題 中 的 假 命 題 是 ( ) A. 直 棱 柱 的 側 棱 就 是 直 棱 柱 的 高 B. 有 一 個 側 面 是 矩 形 的 棱 柱 是 直 棱 柱 C. 直 棱 柱 的 側 面 是 矩 形 D. 有 一 條 側 棱 垂 直 於 底 面 的 棱 柱 是 直 棱 往 解 :A. 直 棱 往 的 側 棱 垂 直 於 底 面, 是 直 棱 柱 的 高, 命 題 為 真. B. 有 一 個 側 面 是 矩 形, 並 不 能 保 證 側 棱 垂 直 於 底 面, 命 題 為 假. C. 直 棱 柱 的 側 面 是 矩 形, 命 題 為 真. D. 因 棱 柱 的 側 棱 相 互 平 行, 因 此, 有 一 條 側 棱 垂 直 於 底 面, 則 所 有 側 棱 都 垂 直 於 底 面, 構 成 直 棱 柱, 命 題 為 真. 故 選 B. 例 棱 柱 成 為 直 棱 柱 的 一 個 充 要 條 件 是 ( ) A. 棱 柱 有 一 條 側 棱 與 底 面 的 兩 邊 垂 直 B. 棱 柱 有 一 個 側 面 與 底 面 的 一 條 邊 垂 直 C. 棱 柱 有 一 個 側 面 是 矩 形, 且 它 與 底 面 垂 直 D. 棱 柱 的 側 面 與 底 面 都 是 矩 形 解 :A. 棱 柱 有 一 條 側 棱 與 底 面 的 兩 邊 垂 直 推 不 出 棱 柱 是 直 棱 柱.( 棱 柱 的 一 條 側 棱 與 底 面 的 兩 邊 垂 直, 沒 有 明 確 這 兩 條 邊 是 否 相 交, 保 證 不 了 測 棱 與 底 面 垂 直.) B. 棱 柱 有 一 個 側 面 與 底 面 的 一 條 邊 垂 直 推 不 出 棱 柱 是 直 棱 柱.( 棱 柱 有 一 個 側 面 與 底 面 的 一 條 邊 垂 直, 即 底 面 上 一 條 直 線 與 側 面 垂 直, 側 面 與 底 面 垂 直, 保 證 不 了 側 棱 與 底 面 垂 直.) C. 棱 柱 有 一 個 側 面 是 矩 形, 且 它 與 底 面 垂 直.( 側 面 與 底 面 垂 直, 側 面 又 是 矩 形, 根 據 兩 平 面 垂 直 的 性 質 定 理, 側 棱 垂 直 於 底 面.) D. 棱 柱 是 直 棱 柱 推 不 出 棱 柱 的 側 面 與 底 面 都 是 矩 形.( 棱 柱 是 直 棱 柱, 底 面 不 一 定 是 矩 形.) 故 選 C. [ 演 練 回 饋 ]. 一 個 棱 柱 是 正 四 棱 柱 的 條 件 是 ( ) A. 底 面 是 正 方 形, 有 兩 個 側 面 垂 直 於 底 面 B. 每 個 側 面 是 全 等 的 矩 形 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 86

88 C. 底 面 是 菱 形, 且 有 一 個 頂 點 處 的 三 條 棱 兩 兩 垂 直 D. 底 面 是 正 方 形, 有 兩 個 側 面 是 矩 形 高 二 立 體 幾 何. 棱 柱 的 側 面 是 形, 直 棱 柱 的 側 面 是 形, 正 棱 柱 的 側 面 是 形.. 如 圖 5, 直 四 棱 柱 AC 中, 各 棱 長 均 為 a, ADC =0, 求 對 角 線 BD 與 AC 的 長. [ 參 考 答 案 ].C. 平 行 四 邊 形 ; 矩 ; 全 等 的 矩. BD = a, A C a = [ 總 結 提 煉 ] [ 學 生 討 論, 教 師 補 充 完 善.]. 什 麼 叫 棱 柱?. 棱 柱 的 分 類.. 棱 柱 的 性 質. [ 佈 置 作 業 ] 圖 5. 課 本 P50 練 習,, P55 習 題 七,.. 棱 柱 第 二 課 時 教 學 目 標 :. 理 解 平 行 六 面 體 直 平 行 六 面 體 長 方 體 正 方 體 的 概 念.. 掌 握 長 方 體 的 對 角 線 長 與 棱 長 的 關 係 公 式.. 能 利 用 棱 柱 的 概 念 及 性 質 理 解 題 意, 解 決 問 題. 重 點 難 點 : 重 點 :. 平 行 六 面 體 直 平 行 六 面 體 長 方 體 正 方 體 的 概 念 ;. 掌 握 長 方 體 的 對 對 線 公 式.. 柱 體 側 面 積 的 概 念. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 87

89 難 點 : 平 行 六 面 體 直 平 行 六 面 體 長 方 體 正 方 體 的 判 別. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 高 二 立 體 幾 何 我 們 知 道 長 方 形 的 對 角 線 長 的 平 方 等 於 長 和 寬 的 平 方 和, 那 麼 長 方 體 的 對 角 線 長 與 其 長 寬 高 之 間 有 類 似 的 關 係 嗎? [ 探 索 研 究 ]. 特 殊 的 四 棱 柱 平 行 六 面 體 底 面 是 平 行 四 邊 形 的 四 棱 柱.( 如 圖 ()) 直 平 行 六 面 體 側 棱 與 底 面 垂 直 的 平 行 六 面 體.( 如 圖 ()) 長 方 體 底 面 是 矩 形 的 直 平 行 六 面 體.( 如 圖 ()) 正 方 體 棱 長 都 相 等 的 長 方 體.( 如 圖 (4)) 由 以 上 定 義 不 難 得 到 下 面 的 關 係 : { 正 方 體 } { 長 方 體 } { 直 平 行 六 面 體 } { 平 行 六 面 體 } 圖. 給 出 公 式 S 直 棱 柱 側 = ch, 其 中 c 是 直 棱 柱 的 底 面 周 長, h 是 棱 柱 的 高.. 定 理 定 理 長 方 體 對 角 線 長 的 平 方 等 於 一 個 頂 點 上 三 條 棱 的 長 的 平 方 和. 已 知 : 長 方 體 A C 中, B D 是 一 條 對 角 線 ( 如 圖 ) 求 證 : B D = AB + BC + BB. 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 88

90 長 l. 證 明 : 連 結 B D. B B BD, B D = BD + BB, 又 BD = AB + AD = AB + BC, B D = AB + BC + BB. 4. 例 題 分 析 例 若 長 方 體 的 三 個 面 的 面 積 分 別 為 和 6, 求 長 方 體 的 對 角 線 解 : 設 長 方 體 的 長 寬 高 分 別 為 a b c, 對 角 線 長 為 l, 則 l = a + b + c = 6. ab = ac = bc = a = b = 6 c = 例 如 圖, 在 正 方 體 ABCD - A BC D 中, E F 分 別 為 BB CD 的 中 點. () 求 證 : AD DF ; () 求 AE 與 D F 所 成 的 角 ; () 證 明 : 平 面 AED 平 面 A FD. 解 :() 由 AC 是 正 方 體, 知 AD 平 面 DC. 又 AD DF. 圖 D F 平 面 DC, 故 () 取 AB 中 點 G, 連 結 A G GE FG. 由 F 是 CD 中 點, 知 GF // AD, 又 A D // AD, 得 GF // A D, 故 GFD A 是 平 行 四 邊 形, 所 以 A G// DF. 可 得 設 AE A G 交 於 H, 則 AHA 是 AE 與 D F 所 成 的 角. 由 E 是 BB 中 點, Rt A AG Rt ABE. GA A = GAH. 故 AHA = 90, 即 AE 與 D F 所 成 的 角 為 直 角. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 89

91 () AD DF, AE DF, 又 AD I AE = A, 故 D F 平 面 AED. 又 D F 平 面 A FD, 故 平 面 AED 平 面 A FD. 例 平 行 六 面 體 ABCD - A BC D 的 棱 長 都 相 等, 且 B C D = CC B = CC D 60. = () 求 證 : 平 面 ACC A 平 面 BB D D ; () 若 AA = a, 求 C 到 平 面 A BC 的 距 離. 圖 4 解 :( 如 圖 4) 作 CO 平 面 A BC 於 O. 由 CCB = CCD 可 知 O 在 BC D 的 角 平 分 線 上, 又 因 為 A BC D 是 菱 形, 所 以 O 在 A C 上, 且 根 據 三 垂 線 定 理, 由 BD AC 得 DB CC, 所 以 B D 平 面 A C CA, 平 面 BB D D 平 面 C CA A. () 作 OM B C 於 M, 連 CM, 由 三 垂 線 定 理 得 CM B C, 在 Rt CC M 中, CC = a, OC = a. 於 是 CC M, 有 C M a = 60 OC = 9 = CC = CO = a a a. 6 即 得 C 到 平 面 A BC 的 距 離 為 a. [ 演 練 回 饋 ] =.Rt C MO 中, OC M = 0, 有. 四 條 對 角 線 不 相 等 且 交 於 一 點 的 四 棱 柱 是 ( ) A. 直 四 棱 柱 B. 斜 平 行 六 面 體 C. 長 方 體 D. 正 四 棱 體. 正 方 體 的 對 角 線 長 為 a, 則 它 的 面 的 對 角 線 長 為.. 已 知 正 四 棱 柱 ABCD - A BC D 的 底 面 邊 長 為, 側 棱 長 為 6. () 求 二 面 角 B - AC - B 的 大 小 ; () 求 點 B 到 平 面 AB C 的 距 離. [ 參 考 答 案 ].B 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 90

92 6. a 6.() 60 () [ 總 結 提 煉 ] 掌 握 特 殊 四 棱 柱 的 概 念, 弄 清 它 們 之 間 的 包 含 關 係, 理 解 長 方 體 的 對 角 線 長 與 棱 長 的 關 係, 記 住 直 棱 柱 的 側 面 積 公 式. [ 佈 置 作 業 ]. 課 本 P55~56 習 題 七 4,5,7,8. 教 學 目 標 :. 棱 柱 第 三 課 時. 掌 握 水 平 放 置 的 平 面 圖 形 的 直 觀 圖 畫 法.. 掌 握 直 棱 柱 的 直 觀 圖 畫 法. 教 具 準 備 : 圓 規 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 把 平 面 圖 形 畫 在 紙 上 或 黑 板 上, 那 很 簡 單. 要 把 立 體 圖 形 畫 在 紙 上 或 黑 板 上, 實 際 上 是 把 本 來 不 完 全 在 同 一 個 平 面 內 的 點 的 集 合, 用 同 一 個 平 面 內 的 點 來 表 示. 這 時 畫 在 紙 上 或 黑 板 上 的 圖 形, 已 經 不 是 普 通 地 平 面 圖 形, 而 是 立 體 圖 形 的 直 觀 圖. 教 師 問 : () 右 圖 看 起 來 像 什 麼? () 正 方 體 的 各 個 面 都 是 正 方 形, 在 此 圖 形 中 各 個 面 都 畫 成 正 方 形 了 嗎? () 立 體 圖 形 的 直 觀 圖 要 有 立 體 感, 即 把 不 在 同 一 平 面 內 的 點 集 在 同 一 平 面 內 表 現 出 來, 為 此, 它 往 往 與 立 體 圖 形 的 真 實 形 狀 不 相 同, 那 麼 怎 麼 畫 立 體 圖 形 的 直 觀 圖 呢? [ 探 索 研 究 ]. 水 平 放 置 的 平 面 圖 形 的 直 觀 圖 的 斜 二 側 畫 法 () 在 已 知 圖 形 中 取 互 相 垂 直 的 x 軸 和 y 軸, 兩 軸 交 於 點 O. 畫 直 觀 圖 時, 把 它 們 畫 成 對 應 的 x 軸 和 y 軸, 兩 軸 交 於 點 O, 使 x O y = 45 ( 或 5 ) 它 們 確 定 的 平 面 表 示 水 平 平 面. () 已 知 圖 形 中 平 行 於 x 軸 或 y 軸 的 線 段, 在 直 觀 圖 中 分 別 畫 成 平 行 於 x 軸 或 y 軸 的 線 段. () 已 知 圖 形 中 平 行 於 x 軸 的 線 段, 在 直 觀 圖 中 保 持 原 長 度 不 變 ; 平 行 於 y 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 9

93 軸 的 線 段, 長 度 為 原 來 的 一 半. 例 畫 水 平 放 置 的 正 六 邊 形 的 直 觀 圖.( 圖 ()) 高 二 立 體 幾 何 作 法 :() 在 已 知 正 六 邊 形 ABCDEF 中, 取 對 角 線 AD 所 在 的 直 線 為 x 軸, 取 對 稱 軸 GH 為 y 軸, 兩 軸 交 於 點 O, 畫 對 應 的 x 軸 y 軸, 取 x O y = 45. () 以 點 O 為 中 點, 在 x 軸 上 取 A D = AD, 在 y 軸 上 取 G H = GH, 以 點 H 為 中 點 畫 E F 平 行 於 x 軸, 且 E F = EF; 再 以 G 為 中 點 畫 B C 平 行 於 x 軸, 且 B C = BC. () 連 結 A B C D D E F A, 所 得 的 六 邊 形 A B C D E F 就 是 正 六 邊 形 ABCDEF 的 直 觀 圖.( 見 圖 ()). 畫 直 棱 柱 的 直 觀 圖 例 畫 正 六 棱 柱 的 直 觀 圖. ( 畫 法 : 見 課 本 第 5 頁.) [ 演 練 回 饋 ]. 畫 水 準 放 置 的 正 三 角 形 的 直 觀 圖.. 畫 正 五 棱 柱 的 直 觀 圖. [ 參 考 答 案 ]. 如 圖 : 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 9

94 圖 作 法 :() 在 已 知 正 三 角 形 ABC 中, 取 AB 所 在 的 直 線 為 x 軸, 取 線 段 AB 的 中 垂 線 OC 所 在 的 直 線 為 y 軸. 畫 對 應 的 x 軸, y 軸, 使 x O y = 45. () 以 O 為 中 點, 在 x 軸 上 取 A B = AB, 在 y 軸 上 O C = OC. () 連 結 A C B C, 然 後 擦 去 輔 助 線.( 見 圖 ()). 如 圖 : 作 法 :. 畫 軸. 畫 x y z 軸, 使 x O y = 45 ( 或 5 ), x O z = 90.. 畫 底 面. 按 x 軸 y 軸 畫 正 五 邊 形 的 直 觀 圖 ABCDE. 圖. 畫 側 棱. 過 點 A B C D E 各 點 分 別 作 z 軸 的 平 行 線, 並 在 這 些 平 行 線 上 分 別 截 取 A A B B C C D D E E 都 等 於 側 棱 長. 4. 成 圖. 順 次 連 結 A B C D E, 加 以 整 理, 去 掉 輔 助 線 改 被 遮 擋 部 分 為 虛 線.( 見 圖 ()) [ 總 結 提 煉 ] 畫 水 平 放 置 的 平 面 圖 形 的 直 觀 圖 是 本 節 內 容 的 重 點. 在 原 平 面 圖 形 中 取 xoy 坐 標 系 要 本 著 簡 便 的 原 則, 但 這 種 簡 便 是 相 對 的. 事 實 上, 無 論 xoy 坐 標 系 怎 麼 取 ( 其 實 可 任 意 取 ) 都 能 畫 出 與 它 對 應 的 x O y 坐 標 系, 並 能 找 到 原 坐 標 系 下 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 9

95 形 的 各 頂 點 在 新 坐 標 系 x O y 下 的 對 應 點 的 位 置. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P54 練 習,; P55 習 題 七 6. 教 學 目 標 : 鞏 固 復 習 棱 柱 的 有 關 概 念 和 性 質. 教 學 過 程 : [ 復 習 回 顧 ]. 棱 柱 第 四 課 時. 棱 柱 的 有 關 概 念.( 底 面 頂 點 棱 高 側 棱 對 角 面 等 ). 特 殊 的 四 棱 柱 的 有 關 概 念.. 長 方 體 的 對 角 線 和 棱 長 的 關 係. [ 探 索 研 究 ] 例 如 圖, 直 棱 柱 ABC - A BC 中, ACB = 90 AA = 6, M 是 CC 的 中 點. 求 證 : A M AB. 證 明 : BC A C ABC - A B C 為 直 棱 柱 又 CC 面 A BC CC B C C A B 面 C 欲 證 AB A M, 根 據 三 垂 線 定 理, 只 須 證 AC A M BAC = 0, BC =, 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 94

96 設 A AC = α, C A M = β, C M tan α = =, tan β = 6 A C =, 因 0 π α β,, 所 以 α = β. 於 是 C A M + A C A = A AC + A C A = 90, 即 得 A M AC. 例 若 斜 三 棱 柱 ABC - A BC 的 底 面 是 邊 長 為 a 的 正 三 角 形, 側 棱 長 為, A AC = A AB 60. 求 : = () 斜 三 棱 柱 ABC - A BC 的 側 面 積 ; () 側 棱 A A 到 平 面 BC 的 距 離. 解 :() 如 圖, 過 點 B 作 BD AA, 交 A A 於 D, 連 DC. 因 AC = A AB, AB = AC, AD 為 A 公 共 邊, ABD ACD, 故 有 DC = DB, DC AA, 所 以 AA 平 面 BDC, AA BC. 又 BB // AA. 所 以 BB 平 面 BDC, BB BC, 故 S AA BC + AA BD + AA DC 側 = = AA ( BC + BD + DC) = AA ( BC + BD) 因 為 AA =, BC = a, DB = a, 所 以, 有 S = a a + = ( + )a 側. () 過 D 作 DE BC, DE 交 BC 於 E, 則 E 為 BC 中 點. 因 BC DE, 由 () 知 BB DE, 故 DE 平 面 B BCC, 即 DE 為 AA 到 平 面 BC 的 距 離. a DE = BD BE = a = a. 老 師 點 評 : ABC 實 際 上 就 是 斜 三 棱 柱 ABC - A BC 的 直 截 面. 例 如 圖, 正 三 棱 柱 ABC - A BC 的 底 面 邊 長 為 a, 在 側 棱 BB 上 截 取 a BD =, 在 側 棱 CC 上 截 取 CE = a, 過 A D E 作 截 面. () 求 截 面 面 積 ; () 求 證 : 截 面 ADE 側 面 ACC A. 解 :() 因 為 側 面 是 矩 形 所 以 易 求 得 圖 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 95

97 5 AD = DE = a, AE = a, 取 AE 的 中 點 F, 連 結 DF, 則 DF AE. DF = AD AF = 5 a a = a 6 所 以 S = AE DF = a a = a. 4 () 證 法 一 : 取 AC 的 中 點 M, 連 結 BM FM, 則 FM // CE 且 FM = CE, 又 BD = CE, BD // CE, 所 以 四 邊 形 DBMF 是 平 行 四 邊 形, 得 DF // BM. BM AC, DF AC ( DF // BM ), 又 DF AE, BM 面 AA C C. DF 面 AA C C, 而 DF 面 ADE 截 面 ADE 側 面 AA C C. 證 法 二 : 取 CE 中 點 G, 連 結 DG FG 易 證 面 DFG // 面 ABC, 而 AA 面 DFG AA DF, 又 DF AE DF 面 AA C C 面 ADE 側 面 AA C C 證 法 三 :( 計 算 二 面 角 D - AE -C 的 平 面 角 為 90 ) 連 結 CF, AC = CE, F 為 AE 中 點, 所 以 CF AE, 所 以 DFC 是 二 面 5 角 D - AE -C 的 平 面 角, 易 求 得 DF = a, CD = a, DF + CF = CD, DFC = 90 面 ADE 面 AA C C. 教 師 點 評 : 以 棱 柱 為 載 體 考 查 線 面 之 間 的 位 置 關 係 的 問 題 是 常 見 的 一 種 題 型. 解 決 這 類 問 題 時, 必 須 應 用 棱 柱 的 有 關 性 質, 特 別 是 直 棱 柱 中 蘊 含 著 的 線 面 間 的 平 行 和 垂 直 關 係. [ 演 練 回 饋 ] 底 面 是 菱 形 的 直 菱 柱, 它 的 對 角 線 的 長 分 別 為 9 和 5, 高 為 5, 則 棱 柱 的 側 面 積 為. 用. [ 參 考 答 案 ] 60. [ 總 結 提 煉 ] 棱 柱 的 定 義 及 性 質 為 我 們 提 供 了 豐 富 的 已 知 條 件, 在 解 題 時 要 注 意 靈 活 運 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 96

98 [ 佈 置 作 業 ]. 課 本 P55~56 習 題 七 0,.. 如 圖, 在 正 三 棱 柱 ABC - A BC 中, AB = BB. 切 值. () 求 證 : AB BC ; () 求 二 面 角 A- BC -C 的 平 面 角 的 正. 已 知 : 平 行 六 面 體 ABCD - A BC D 的 底 面 ABCD 是 菱 形, 且 C CB = C CD = BCD 60. = () 證 明 : CC BD ; () 設 CD =, CC =. 記 面 C BD 為 α, 面 CBD 為 β, 求 二 面 角 α - BD - β 的 平 面 角 的 余 弦 值 圖. 知 識 結 構 棱 錐 棱 錐 的 概 棱 錐 棱 錐 的 性 正 棱 錐 正 棱 錐 的 性 正 棱 錐 的 直 觀 圖 畫. 重 點 難 點 分 析 重 點 : 棱 錐 的 概 念 正 棱 錐 的 性 質 多 面 體 的 概 念. 難 點 : 多 面 體 的 種 類 的 理 解. () 棱 錐 是 一 種 簡 單 的 多 面 體, 它 有 兩 個 基 本 特 徵 :() 有 一 個 面 是 多 邊 形 ;() 其 餘 各 個 面 是 有 一 個 公 共 頂 點 的 三 角 形 如 果 說 成 : 有 一 個 面 是 多 邊 形, 其 餘 各 面 是 三 角 形 所 組 成 的 多 面 體 是 棱 錐, 則 是 錯 誤 的 ( 如 圖 ) () 講 解 棱 錐 性 質 內 容 時, 尤 其 要 弄 清 頂 點 在 底 面 內 的 射 影 位 置 分 析. 如 三 棱 錐 頂 點 在 底 面 內 射 影 分 別 是 底 面 三 角 形 的 外 心 內 心 垂 心 的 條 件 形 成 及 位 置 分 析. () 正 棱 錐 是 特 殊 的 棱 錐, 它 的 底 面 是 正 多 邊 形 且 頂 點 在 底 面 上 的 射 影 是 正 多 邊 形 的 中 心, 正 棱 錐 的 側 面 是 全 等 的 等 腰 三 角 形, 這 些 等 腰 三 角 形 底 邊 上 的 高 稱 為 正 棱 錐 的 斜 高. 正 棱 錐 中 有 兩 個 重 要 的 直 角 三 角 形, 一 個 是 高 斜 高 邊 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 97

99 心 距 組 成 的 直 角 三 角 形, 另 一 個 是 高 側 棱 正 多 邊 形 中 心 與 頂 點 連 線 組 成 的 直 角 三 角 形, 幾 乎 正 棱 錐 中 所 有 重 要 的 量 都 在 這 兩 個 直 角 三 角 形 中. 棱 錐 中 還 有 一 個 特 殊 的 棱 錐, 所 有 棱 長 相 等 的 三 棱 錐 稱 為 正 四 面 體, 它 的 四 個 面 都 是 全 等 的 等 邊 三 角 形. 四 面 體 具 有 頂 點 選 擇 的 任 意 性, 它 的 任 一 頂 點 可 作 為 三 棱 錐 的 頂 點, 在 解 題 中 可 靈 活 選 擇. (4) 熟 知 正 多 面 體 的 兩 個 特 點 : 各 個 面 都 是 全 等 的 正 多 邊 形 ; 各 條 棱 都 是 相 等 的 線 段.. 教 法 建 議 () 引 入 棱 錐 的 概 念 時, 可 以 從 實 際 生 活 中 錐 體 的 例 子 引 出, 也 可 以 用 棱 錐 模 型 引 出, 先 加 深 學 生 的 直 觀 感 覺, 然 後 再 探 討 棱 錐 的 概 念 就 比 較 容 易 () 在 講 解 棱 錐 的 概 念 時, 為 了 使 學 生 更 好 的 理 解, 可 以 舉 反 例, 例 如, 滿 足 有 一 個 面 是 多 邊 形, 其 他 各 面 都 是 三 角 形 的 幾 何 體 還 可 以 如 圖 所 示, 顯 然, 這 不 是 棱 錐, 所 以 對 棱 錐 的 定 義 要 準 確, 也 可 以 培 養 學 生 嚴 謹 的 學 生 態 度 () 可 以 用 類 比 的 方 法 來 學 習 有 關 棱 錐 的 性 質, 對 比 前 面 已 經 學 過 的 棱 柱 的 性 質, 引 導 學 生 自 己 探 究 棱 錐 的 性 質, 能 夠 培 養 學 生 的 獨 立 思 考 的 能 力, 也 能 加 深 印 象 (4) 正 三 棱 錐, 是 棱 錐 應 用 中 的 重 點, 要 注 意 先 引 導 復 習 有 關 正 三 角 形 的 外 心 內 心 和 垂 心 的 概 念, 以 防 題 目 中 出 現 這 三 心, 由 於 對 三 心 概 念 的 模 糊 而 束 手 無 策 (5) 要 善 於 使 用 多 媒 體 手 段, 關 於 正 多 面 體 的 媒 體 素 材 較 多, 有 旋 轉 的 圖 片, 有 它 們 的 展 開 圖, 教 師 可 以 根 據 實 際 需 要 有 選 擇 地 在 教 學 中 使 用 至 於 正 多 面 體 的 種 類 為 什 麼 只 有 五 種, 建 議 在 研 究 了 歐 拉 公 式 後, 讓 學 生 作 為 探 究 問 題 來 研 究. 教 學 目 標 :. 理 解 棱 錐 的 概 念 分 類.. 棱 錐 第 一 課 時. 掌 握 棱 錐 中 平 行 於 底 面 的 截 面 與 原 棱 錐 底 面 的 關 係 的 定 理.. 理 解 正 棱 錐 的 定 義. 4. 理 解 正 棱 錐 的 性 質. 重 點 難 點 : 重 點 :. 棱 錐 的 概 念 和 性 質 正 棱 錐 的 性 質.. 棱 錐 中 平 行 於 底 面 的 截 面 與 原 棱 錐 底 面 的 關 係 的 定 理. 難 點 : 正 棱 錐 概 念 的 準 確 理 解 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 98

100 ( 投 影 出 實 際 生 活 中 常 見 的 棱 錐 的 例 子 ) 問 : 那 麼 棱 錐 應 該 怎 麼 去 定 義 呢? [ 探 索 研 究 ]. 介 紹 概 念 棱 錐 的 定 義 側 面 棱 錐 的 高 側 棱 頂 點.( 圖 ) 棱 錐 的 表 示 法 ( 如 圖 ) 圖 () 用 頂 點 及 底 面 各 頂 點 字 母 表 示 棱 錐, 如 : 棱 錐 S ABCDE ; () 用 頂 點 及 底 面 一 對 角 線 字 母 表 示, 如 : 棱 錐 S AC.. 分 類 從 底 面 多 邊 形 的 邊 來 分 可 分 為 : 三 棱 錐 四 棱 錐 ( 圖 ) 圖 4. 棱 錐 的 性 質 定 理 如 果 棱 錐 被 平 行 於 底 面 的 平 面 所 截, 那 麼 截 面 和 底 面 相 似, 並 且 它 們 面 積 的 比 等 於 截 得 的 棱 錐 的 高 與 已 知 棱 錐 的 高 的 平 方 比. 證 明 :( 見 課 本 P58) 5. 正 棱 錐 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 99

101 定 義 : 如 果 一 個 棱 錐 的 底 面 是 正 多 邊 形, 並 且 頂 點 在 底 面 內 的 射 影 是 底 面 中 心, 這 樣 的 棱 錐 叫 做 正 棱 錐. 6. 正 棱 錐 的 性 質 () 各 側 棱 相 等, 各 側 面 都 是 全 等 的 等 腰 三 角 形, 各 等 腰 三 角 形 底 邊 上 的 高 相 等, 它 叫 做 正 棱 錐 的 斜 高. () 棱 錐 的 高 斜 高 和 斜 高 在 底 面 內 的 射 影 組 成 一 個 直 角 三 角 形 ; 棱 錐 的 高 側 棱 和 側 棱 在 底 面 內 的 射 影 也 組 成 一 個 直 角 三 角 形.( 如 圖 ) 4. 例 題 分 析 圖 例 已 知 正 三 棱 錐 S ABC 的 高 SO = h, 斜 高 SM = l, 求 經 過 SO 的 中 點 且 平 行 底 面 的 截 面 A' B' C' 的 面 積. 解 : 由 已 知 得 OM = l h 又 設 底 面 三 角 形 邊 長 為 a 則 OM = 6 a = l h a = l h = a = ( l h ) S ABC S = ( l h ) A B C. 4 例 正 四 棱 錐 S ABCD 中, 高 為 a, 底 面 邊 長 為 a. 求 : () 底 面 與 側 面 所 成 的 二 面 角 ; () 點 B 到 側 棱 SC 的 距 離 ; () 相 鄰 兩 個 側 面 所 成 的 二 面 角. ( 此 題 老 師 作 分 析, 讓 學 生 動 手 做 ) D S C O A 圖 B 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 00

102 [ 演 練 回 饋 ] 判 斷 正 誤 : () 正 棱 錐 的 側 面 是 正 三 角 形 ( ); () 正 棱 錐 的 側 面 是 等 腰 三 角 形 ( ); () 底 面 是 正 多 邊 形 的 棱 錐 是 正 棱 錐 ( ); (4) 正 棱 錐 的 各 側 面 與 底 面 所 成 的 二 面 角 都 相 等 ( ); (5) 側 棱 都 相 等 的 棱 錐 是 正 棱 錐 ( ); (6) 有 一 個 面 是 多 邊 形, 其 余 各 面 是 三 角 形 的 幾 何 體 是 棱 錐 ( ). [ 參 考 答 案 ] (). (). (). (4). (5). (6). [ 總 結 提 煉 ] 高 二 立 體 幾 何 棱 錐 中 平 行 於 底 面 的 截 面 與 原 棱 錐 底 面 關 係 的 定 理 中 的 有 關 結 論 可 作 適 當 推 廣. 如 果 棱 錐 被 平 行 於 底 面 的 平 面 所 截, 那 麼 截 得 小 棱 錐 與 原 棱 錐 的 對 應 面 ( 底 面 側 面 等 ) 之 比, 等 於 對 應 線 段 ( 高 側 棱 等 ) 的 平 方 比. 這 裏 要 強 調 的 是 必 須 為 兩 棱 錐 的 對 應 的 量. 正 棱 錐 要 有 兩 條 保 證, 一 是 底 面 是 正 多 邊 形, 二 是 頂 點 在 底 面 上 的 射 影 是 底 面 的 中 心, 應 用 時 應 多 加 注 意. 對 於 正 棱 錐 要 熟 悉 兩 個 直 角 三 角 形. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P59 練 習,; P6 習 題 八 6. 教 學 目 標 :. 棱 錐 第 二 課 時. 鞏 固 復 習 正 棱 錐 的 定 義 性 質.. 正 棱 錐 的 側 面 積 全 面 積 公 式. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 復 習 回 顧 ]. 正 棱 錐 的 定 義.. 正 棱 錐 的 性 質.( 側 棱 側 面 斜 高 兩 個 重 要 的 直 角 三 角 形 ) [ 探 索 研 究 ] 定 理 如 果 正 棱 錐 的 底 面 周 長 是 c, 斜 高 是 h ', 那 么 它 的 側 面 積 是 : S = 正 棱 錐 側 棱 錐 的 全 面 積 等 於 側 面 積 與 底 面 積 的 和. ch ' [ 例 題 分 析 ] 例 已 知 : 正 四 棱 錐 S-ABCD 中, 底 面 邊 長 為, 斜 高 為. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 0

103 求 :() 側 棱 長 ; S () 棱 錐 的 高 ; () 側 棱 與 底 面 所 成 的 角 ; (4) 側 面 與 底 面 所 成 的 角. 證 明 : 連 結 SO, 由 正 棱 錐 性 質 有 SO 面 ABCD. 取 D O M A B BC 的 中 點 M, 連 結 SM,OM. 因 為 等 腰 SBC, 所 以 SM BC. 在 Rt SMB 中, C SM =, BM = BC =, 所 以 SB = 5. 在 Rt SOM 中, OM = AB =, 所 以 SO= 因 為 SO 面 AC, 所 以 SBO 為 側 棱 與 底 面 所 成 的 角. 在 SO Rt SOB中, tg SBO = = = OB 6. 因 為 SM BC,OM BC, 所 以 SMO 為 側 面 與 底 面 所 成 二 面 角 的 平 面 角. 在 Rt SMO 中, OM cs = SM SMO = =, 所 以 SMO 60. 例 已 知 : 正 三 棱 錐 V ABC, VO為 高, AB = 6, VO = 6. 求 : 側 棱 長 及 斜 高. 證 法 一 : 連 結 OA. 因 為 正 三 棱 錐 V-ABC,VO 為 高, 所 以 AO = AB = 6 =, 故 Rt VAO中, VA = ( 6) + ( ) =. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 0

104 取 BA 的 中 點 D, 連 結 VD, 所 以 VD AB於 D, Rt VAD中, VD = VA AD = ( ) =. 證 法 二 : 求 斜 高 VD 時, 不 在 Rt VAD 中 完 成. 可 連 結 DO. 在 Rt VOD中, OD = 6 =, 因 此 VD = VO + DO = ( 6) + ( ) =. 證 法 三 : 連 結 CO 並 延 長 交 AB 于 D, 連 VD, 則 AD=BD=. 在 Rt VOD中, OC = 6 =, VC = ( ) + ( 6) =. 在 Rt VOD中, OD =, VD = ( ) + ( 6) =. 例 正 三 棱 錐 底 面 邊 長 為 a, 側 棱 與 底 面 成 45 角, 求 此 棱 錐 的 側 面 積 與 全 面 積. 分 析 : 可 根 據 正 棱 錐 的 側 面 積 與 全 面 積 公 式 求 得. 解 : 如 圖 所 示, 設 正 三 棱 錐 S ABC 的 高 為 SO, 斜 高 為 SD, 在 Rt SAO 中, AO = SA cs 45, AO = AD = a, 6 SA = a, 6 5 在 Rt SBD 中, SD = ( a) ( a) = a, 6 5 S 側 = a SD = a, 4 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 0

105 S = a 4 底, 5 S 全 = ( + ) a. 4 4 [ 演 練 回 饋 ]. 有 下 列 棱 錐 : 各 側 棱 都 相 等 的 棱 錐. 底 面 是 正 多 邊 形 的 棱 錐. 頂 點 在 底 面 上 的 射 影 是 底 面 多 邊 形 外 接 圓 圓 心 的 棱 錐.4 側 面 都 是 全 等 的 等 腰 三 角 形 的 棱 錐, 其 中 為 正 棱 錐 的 有 ( ) A.0 個 B. 個 C. 個 D. 個. 三 棱 錐 P - ABC 各 側 面 與 底 面 所 成 的 二 面 角 都 是 長 分 別 為 4 5, 求 此 棱 錐 的 側 面 積.. 正 三 棱 錐 S - ABC 中 點 D E 作 一 平 行 於 SC 的 截 面, 求 截 面 面 積. [ 參 考 答 案 ].A.. ab 4 [ 總 結 提 煉 ] 60, 底 邊 三 角 形 的 三 邊 的 底 面 邊 長 為 a, 側 棱 長 為 b, 經 過 棱 SA 和 SB 的 兩 個 正 棱 錐 要 有 兩 條 保 證, 一 是 底 面 是 正 多 邊 形, 二 是 頂 點 在 底 面 上 的 射 影 是 底 面 的 中 心, 應 用 時 應 多 加 注 意. 正 棱 錐 的 側 面 積 和 全 面 積 公 式. [ 佈 置 作 業 ]. 課 本 P6 習 題 八,,4,8.. 棱 錐 第 三 課 時 教 學 目 標 : 理 解 正 多 面 體 的 概 念, 瞭 解 正 多 面 體 的 種 類, 懂 得 什 麼 叫 凸 多 面 體. 重 點 難 點 : 重 點 : 多 面 體 的 概 念. 難 點 : 多 面 體 的 種 類 的 理 解. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板 模 型. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 我 們 知 道 正 多 邊 形 的 邊 數 可 以 是 大 於 等 於 的 任 意 自 然 數, 那 麼 正 多 面 體 的 面 數 是 否 也 可 以 有 任 意 多 個 呢? [ 探 索 研 究 ]. 多 面 體 的 概 念 多 面 體 若 干 個 平 面 多 邊 形 圍 成 的 幾 何 體. 多 面 體 的 面 多 面 體 的 棱 多 面 體 的 頂 點 如 圖. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 04

106 . 凸 多 面 體 的 概 念 把 多 面 體 的 任 何 一 個 面 伸 展 為 平 面, 如 果 所 有 其 他 各 面 都 在 這 個 平 面 的 同 側, 這 樣 的 多 面 體 叫 做 凸 面 體.. 多 面 體 的 分 類 一 個 多 面 體 至 少 有 四 個 面. 多 面 體 依 照 它 的 面 數 分 別 叫 做 四 面 體 五 面 體 六 面 體 等. 4. 正 多 面 體 的 定 義 及 種 類 正 多 面 體 每 個 面 都 具 有 相 同 邊 數 的 正 多 邊 形, 且 以 每 個 頂 點 為 其 一 端 都 有 相 同 數 目 的 棱 的 凸 多 面 體. 面 體. 正 多 面 體 只 有 五 種 : 正 四 面 體 正 六 面 體 正 八 面 體 正 十 二 面 體 和 正 二 十 5. 例 題 分 析 例 設 M = { 簡 單 多 面 體 }, N = { 凸 多 面 體 }, P = { 正 多 面 體 }, 則 M N P 之 間 的 關 係 是 ( ) A. M N P B. P M N C. P N M D. N P M 解 : 簡 單 多 面 體 包 括 : 棱 柱 棱 錐 正 多 面 體 凸 多 面 體 等, 所 以 A,B 都 錯 誤, 又 根 據 正 多 面 體 的 定 義, 正 多 面 體 是 特 殊 的 凸 多 面 體, 所 以 D 錯 誤, 正 確 的 是 C. 例 兩 個 棱 長 相 等 的 正 多 面 體, 將 它 們 的 一 個 面 重 合, 得 到 的 多 面 體 是 不 是 正 多 面 體?( 如 圖 ) 圖 圖 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 05

107 解 : 設 將 兩 個 正 四 面 體 的 一 個 面 重 合, 根 據 正 多 面 體 的 定 義, 每 個 頂 點 都 有 相 同 數 目 的 棱 數, 而 重 合 後 的 那 個 面 上 的 三 個 頂 點 都 有 4 條 棱, 不 重 合 的 那 兩 個 頂 點 各 有 條 棱, 所 以 重 合 後 得 到 的 多 面 體 不 是 正 多 面 體. 教 師 點 評 : 判 斷 一 個 凸 多 面 體 是 不 是 一 個 正 多 面 體, 只 要 根 據 定 義 看 看 這 個 多 面 體 的 每 個 面 是 否 是 全 等 的 正 多 邊 形 以 及 每 個 頂 點 是 否 有 相 同 數 目 的 棱 數. 例 求 棱 長 為 a 的 正 八 面 體 的 體 積 V 和 全 面 積 S. 解 : 如 圖, 易 知 截 面 ABCD 是 一 個 邊 長 為 a 的 正 方 形, 並 且 它 把 正 八 面 體 分 成 兩 個 全 等 的 正 四 棱 錐 E - ABCD 和 F - ABCD. 設 EO 是 棱 錐 E - ABCD 的 高, 則 EO = EA AO = a a = a V = VE - ABCD = a a = a S EAB = 4 = 8S = 8 a a. 圖 [ 演 練 回 饋 ]. 正 方 體 正 多 面 體 凸 多 面 體 簡 單 多 面 體 多 面 體 之 間 有 什 麼 關 係?. 求 證 : 正 四 面 體 的 二 面 角 與 正 八 面 體 的 二 面 角 互 為 補 角.. 正 四 面 體 相 鄰 兩 個 面 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 的 余 弦 值 是. [ 參 考 答 案 ].{ 正 方 體 } { 正 多 面 體 } { 凸 多 面 體 } { 簡 單 多 面 體 } { 多 面 體 }. 提 示 : 設 正 四 面 體 的 二 面 角 為 α, 正 八 面 體 的 二 面 角 為 β. tan α = ( 0 < α < 90 ), tan β = α + β = /009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 06

108 . [ 總 結 提 煉 ] 本 節 課 主 要 學 習 了 多 面 體 的 定 義 凸 多 面 體 的 定 義 正 多 面 體 的 定 義 及 種 類, 正 多 面 體 的 面 數 已 經 不 像 正 多 邊 形 邊 數 那 樣 有 無 數 多 種 類 型 了, 而 只 有 五 種, 要 想 知 道 為 什 麼, 等 到 學 習 了 歐 拉 公 式 就 明 白 了.. 棱 臺 第 一 課 時 教 學 目 標 :. 理 解 棱 臺 ( 一 般 棱 臺 正 棱 臺 ) 的 有 關 概 念 ;. 理 解 並 掌 握 正 棱 臺 的 性 質 ; 重 點 難 點 : 重 點 : 棱 臺 的 概 念 和 及 其 幾 何 性 質 難 點 : 難 點 是 將 立 體 幾 何 的 有 關 計 算 轉 化 為 平 面 幾 何 圖 形 中 的 有 關 計 算. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件, 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 設 置 情 境 ] 怎 么 樣 的 立 體 圖 形 是 棱 台 呢? 生 活 中 有 怎 樣 的 實 際 例 子 呢? [ 探 索 研 究 ]. 棱 臺 的 定 義 : 用 一 個 平 行 於 棱 錐 底 面 的 平 面 去 截 棱 錐, 底 面 和 截 面 之 間 的 部 分 叫 做 棱 臺. 棱 臺 的 概 念 : 原 棱 錐 的 底 面 和 截 面 叫 做 棱 臺 的 下 底 面 和 上 底 面, 其 他 各 面 叫 做 棱 臺 的 側 面, 相 鄰 側 面 的 公 共 邊 叫 做 棱 臺 的 側 棱, 上 下 底 面 之 間 的 距 離 叫 做 棱 臺 的 高. 棱 臺 的 表 示 右 圖 的 棱 臺 記 為 : 棱 臺 A'B'C'D'-ABCD A' D' B' C' 或 棱 臺 A'C, D C A B 4. 棱 臺 的 分 類 由 三 棱 錐 四 棱 錐 五 棱 錐 截 得 的 棱 臺, 分 別 叫 做 三 棱 臺 四 棱 臺 五 棱 臺. 5. 棱 臺 的 兩 個 重 要 特 征 : () 兩 底 面 互 相 平 行 () 各 側 棱 延 長 后 相 交 於 一 點 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 07

109 6. 正 棱 臺 由 正 棱 錐 截 得 的 棱 臺 叫 做 正 棱 臺. 7. 正 棱 臺 的 性 質 高 二 立 體 幾 何 () 正 棱 臺 的 側 棱 相 等, 側 面 是 全 等 的 等 腰 梯 形. 各 等 腰 梯 形 的 高 相 等, 它 叫 做 正 棱 臺 的 斜 高 ; () 正 棱 臺 的 兩 底 面 以 及 平 行 於 底 面 的 截 面 是 相 似 正 多 邊 形 ; () 正 棱 臺 的 兩 底 面 中 心 連 線 相 應 的 邊 心 距 和 斜 高 組 成 一 個 直 角 梯 形 ; 兩 底 面 中 心 連 線 側 棱 和 兩 底 面 相 應 的 半 徑 也 組 成 一 個 直 角 梯 形. 8. 例 題 分 析 例 正 四 棱 臺 AC 的 高 是 7cm, 兩 底 面 的 邊 長 分 别 是 4 cm 和 6 cm, 求 這 個 棱 臺 的 側 棱 的 長 和 斜 高. 例 設 棱 臺 的 兩 底 面 積 分 別 為 S S ', 它 的 中 截 面 面 積 為 S 0, 求 證 : S 0 = S + S'. 分 析 : 如 課 本 P64 中 圖 -, 因 為 截 面 A 0B0C0D0 E0 是 中 截 面, 所 以 A B 0 0 是 梯 形 A ' ABB' 的 中 位 線, 故 A B = AB + A' ', 又 上 下 底 面 及 中 截 面 0 0 B S AB S' A' B' 是 相 似 的 多 邊 形, 所 以 有 =, =, 兩 邊 開 平 方 得 : S A B S A B S S AB S A' B' S + S' AB + A' B' A0 B0 =, =, = = = A B S A S A B A B B , 所 以, S 0 = S + S'.( 具 體 證 明 請 學 生 看 書 ) [ 演 練 回 饋 ]. 正 四 棱 臺 的 兩 底 面 面 積 分 為 5cm 和 49cm, 側 棱 長 為 cm, 求 截 得 這 個 棱 臺 的 原 棱 錐 的 高. [ 總 結 提 煉 ] [ 學 生 回 憶, 教 師 補 充 完 善.] 棱 臺 的 定 義 及 性 質 正 棱 臺 的 定 義 及 三 條 性 質 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 08

110 棱 臺 中 截 面 面 積 公 式 4 正 棱 臺 中 性 質 的 兩 個 直 角 梯 形 [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P65 練 習 P69~70 習 題 九,,4. 教 學 目 標 :. 棱 臺 第 二 課 時. 鞏 固 復 習 棱 臺 ( 一 般 棱 臺 正 棱 臺 ) 的 有 關 概 念 ;. 掌 握 正 棱 臺 的 側 面 積 的 求 法. 重 點 難 點 : 重 點 : 正 棱 臺 的 概 念 性 質 及 側 面 積 的 計 算. 難 點 : 難 點 是 將 立 體 幾 何 的 有 關 計 算 轉 化 為 平 面 幾 何 圖 形 中 的 有 關 計 算. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件, 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 復 習 回 顧 ] 棱 臺 ( 一 般 棱 臺 正 棱 臺 ) 的 有 關 概 念 ; [ 設 置 情 境 ] 我 們 將 正 四 棱 臺 的 側 面 沿 其 側 棱 展 成 平 面 時 將 得 到 如 課 本 P66 中 圖 -4 的 圖 形, 若 正 四 棱 臺 的 上 底 面 邊 長 為 a ', 下 底 面 邊 長 為 a, 斜 高 為 h ', 則 它 的 面 積 應 為 ( 學 生 答 : 4 ( a + a') h' ), 我 們 把 這 個 方 式 子 變 形 為 : (4a + 4a') h' 則 得 正 四 棱 臺 的 側 面 積 等 於 上 下 底 面 周 長 和 的 一 半 乘 以 斜 高, 大 家 考 慮 這 個 結 論 可 否 推 廣 到 正 n 棱 臺 的 情 形 [ 探 索 研 究 ]. 正 棱 臺 的 側 面 積 定 理 如 果 正 棱 臺 的 上 下 底 面 的 周 長 是 c ' c, 斜 高 是 h ', 那 么 它 的 側 面 積 是 : S 正 棱 臺 側 = ( c + c') h'. 棱 臺 的 全 面 積 等 於 它 的 側 面 積 與 上 下 底 面 積 的 和. 例 正 四 棱 台 的 上 下 底 面 邊 長 分 別 為 cm, 8cm, 高 為 4 cm, 求 斜 高 和 側 面 積.( 參 考 答 案 : 5cm,00cm ) 例 粉 碎 機 上 的 下 料 斗 是 棱 臺 形, 它 的 兩 底 面 分 別 是 邊 長 為 80mm 和 440mm 的 正 方 形, 側 棱 長 是 00mm. 製 造 這 樣 一 個 下 料 斗 需 要 鐵 板 的 面 積 是 多 少 mm? 分 析 : 鐵 板 的 面 積 就 是 棱 臺 的 側 面 積. 解 : 上 底 面 周 長 c = 4 80 = 0( mm), 下 底 面 周 長 c = = 760( mm), 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 09

111 側 面 上 的 高 h = 00 ( ) = 40 (mm), S = + 棱 臺 側 ( c c ) h = ( ) 40 = 49600( mm ) 答 : 製 造 這 樣 一 個 下 料 斗 需 要 鐵 板 約 mm. [ 演 練 回 饋 ]. 一 個 正 三 棱 臺 的 上 下 底 面 邊 長 分 別 為 cm 和 6 cm, 高 是 cm. 求 三 棱 臺 的 側 棱 長 ; 斜 高 ; 側 棱 與 底 面 所 成 的 角 的 正 切 值 ;4 側 面 與 底 面 所 成 的 角 ; 側 面 積.. 正 四 棱 臺 底 面 的 邊 長 分 別 為 a 和 b(b<a), 側 棱 與 下 底 面 成 45 角, 求 棱 臺 的 側 面 積. [ 參 考 答 案 ]. 分 析 利 用 圖 中 的 直 角 三 角 形 與 直 角 梯 形 進 行 求 解. 解 如 圖, 設 O,O 分 別 是 上 下 底 面 中 心, 則 OO= cm, 連 結 AO 並 延 長 交 BC 於 D, 連 結 AO 並 延 長 交 BC 於 D, 過 A 作 AF AD 於 F, 作 DE AD 於 E. 在 Rt AAF 中, AF= cm,af=ao-ao= (6-)= (cm), 所 以 AA= AF + A F = (cm). 在 Rt DDE 中, 所 以 斜 邊 上 的 高 DE=,DE=DO-DO= 6 (6-)= (cm), DD= D E + = DE ( ) + ( ) = (cm). 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 0

112 因 為 AF 底 面 ABC, 所 以 AAF 為 側 棱 與 底 面 所 成 的 角, A F 所 以 tan AAF= = =. AF 4 因 為 DD BC,AD BC, 所 以 DDA 為 側 面 與 底 面 所 成 二 面 角 的 平 面 角, D E tan DDA= DE = = 所 以 DDA=60.( 或 還 台 為 錐, 設 棱 錐 的 高 為 h, 利 用 OA= OD, 得 tan h h DDE= = = tan AAF= ). OD OA 7 S 側 = ( + 6) = (cm ) S 下 S 上 7 ( 或 利 用 S 側 = =(S 下 -S 上 )= (6 - )= cs 60 4.( 略 ) [ 總 結 提 煉 ]. 正 棱 臺 的 側 面 積 公 式 : S 正 棱 臺 側 = ( c + c') h'. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P68 練 習 P70 習 題 九 6,8,9. ). 二. 旋 轉 體 的 表 面 積 與 體 積 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

113 . 知 識 結 構 展 開 圖 平 面 圖 的 面 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 側 面 旋 轉 體 的 表 面 積 與 體 積 柱 體 錐 體 臺 體 的 體 柱 體 體 積 V = Sh 臺 體 體 積 V = ( S + S S + S) h 錐 體 體 積 V S = S = = 0 Sh S 應 用 球 的 體 積 V = 4 π r 極 限 思 球 的 表 面 積 S = 4πr. 重 點 難 點 分 析 教 學 重 點 是 瞭 解 球 柱 體 錐 體 臺 體 的 表 面 積 和 體 積 的 計 算 公 式. 幾 何 體 的 表 面 積 和 體 積 是 生 活 中 經 常 用 的 公 式, 也 是 立 體 幾 何 經 常 涉 及 的 計 算 問 題. 幾 何 體 表 面 的 推 導, 利 用 幾 何 體 的 展 開 圖, 將 空 間 問 題 轉 化 為 平 面 問 題, 滲 透 空 間 問 題 轉 化 為 平 面 問 題 的 思 想. 教 學 難 點 是 球 的 體 積 與 表 面 積 的 推 導. 球 的 表 面 積 和 體 積 公 式 的 推 導 過 程 中, 需 要 較 高 的 空 間 想 像 能 力, 學 生 理 解 比 較 困 難, 計 算 中 的 極 限 思 想, 也 是 學 生 理 解 的 一 個 難 點.. 教 法 建 議 本 節 是 從 度 量 的 角 度 進 一 步 認 識 空 間 幾 何 體, 根 據 柱 錐 台 的 結 構 特 徵 結 合 它 們 的 展 開 圖, 推 導 它 們 的 表 面 積 公 式 ; 利 用 柱 錐 台 的 結 構 特 徵 之 間 的 關 係 以 及 已 知 的 體 積 公 式 推 導 出 三 者 體 積 之 間 的 關 係 ; 利 用 分 割 極 限 的 思 想 推 導 球 的 體 積 公 式 和 表 面 積 公 式, 即 運 用 化 整 為 零, 又 積 零 為 整 的 極 限 思 想 對 球 的 體 積 和 表 面 積 進 行 了 推 導, 體 會 極 限 思 想 的 基 本 內 涵. 教 學 儘 量 定 位 在 直 觀 感 知 操 作 確 認 度 量 計 算 的 層 面.. 注 意 與 義 務 教 育 階 段 課 程 空 間 與 圖 形 部 分 的 銜 接 本 節 空 間 幾 何 體 的 表 面 積 體 積 等 都 與 義 務 教 育 階 段 的 學 習 內 容 相 關, 區 別 在 於 學 習 的 深 度 和 概 括 程 度 上. 前 面 是 對 具 體 能 正 方 體 長 方 體 圓 柱 圓 錐 的 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

114 表 面 積 與 體 積 進 行 研 究, 對 圓 柱 圓 錐 和 球 的 認 識 比 較 具 體. 本 節 對 它 們 的 研 究 更 加 深 入, 根 據 它 們 的 結 構 特 徵 推 導 表 面 積 和 體 積 公 式, 同 時 增 加 了 台 體 的 有 關 知 識, 以 及 簡 單 組 合 體 涉 及 柱 體 錐 體 台 體 以 及 球 體, 比 義 務 教 育 階 段 課 程 空 間 與 圖 形 部 分 呈 現 的 組 合 體 多. 要 求 與 義 務 教 育 階 段 課 程 空 間 與 圖 形 部 分 的 內 容 要 求 的 聯 繫 與 區 別. 教 學 時 便 可 以 在 學 習 過 的 知 識 基 礎 上, 加 深 一 步.. 嚴 謹 適 度, 把 握 教 學 要 求 對 於 空 間 幾 何 體 的 認 識, 教 科 書 從 空 間 幾 何 體 的 結 構 特 徵 表 示 方 法 與 度 量 三 個 方 面 展 開. 由 於 沒 有 點 直 線 與 平 面 的 有 關 知 識, 公 式 的 推 導 不 能 建 立 在 嚴 格 的 邏 輯 推 理 的 基 礎 上, 在 實 際 教 學 中 注 意 這 一 點. 在 球 的 表 面 積 和 體 積 公 式 的 推 導 過 程 中 利 用 了 極 限 的 思 想, 但 不 作 為 教 學 要 求. 對 於 有 興 趣 的 有 餘 力 的 學 生 可 以 瞭 解 整 個 推 導 過 程, 瞭 解 極 限 的 思 想 方 法 在 處 理 這 方 面 問 題 的 作 用.. 重 視 媒 體 技 術 的 應 用 利 用 多 媒 體 技 術, 動 態 演 示 空 間 幾 何 體 展 開 分 割 拼 合 等 過 程, 可 以 幫 助 學 生 建 立 空 間 觀 念, 提 高 空 間 想 像 能 力 和 幾 何 直 觀 能 力, 從 不 同 的 角 度 觀 察 空 間 圖 形, 體 會 空 間 幾 何 體 在 不 同 的 視 角 下 的 結 構 特 徵. 球 的 體 積 和 表 面 積 公 式 的 推 導 中 的 分 割 利 用 電 腦 能 更 好 的 展 示 分 割 過 程, 幫 助 體 會 極 限 方 法. 4. 部 分 知 識 的 處 理 () 通 過 媒 體 展 示 正 方 體 展 開 的 過 程, 回 顧 正 方 體 表 面 積 的 推 導 過 程, 讓 學 生 利 用 類 比 轉 化 的 思 想, 觀 察 棱 柱 棱 錐 棱 臺 的 結 構 特 徵, 探 究 各 自 展 開 圖 的 特 徵. 旋 轉 體 的 表 面 積 推 導 中, 重 點 引 導 學 生 分 析 清 楚, 旋 轉 體 中 的 半 徑 母 線 與 展 開 圖 中 邊 弧 之 間 的 關 係, 空 間 轉 化 為 平 面 時 各 種 量 之 間 關 係. () 棱 錐 體 積 公 式 的 推 導, 重 點 講 解 三 棱 錐. 推 導 過 程 中 需 要 很 高 的 空 間 想 像 力, 因 此 講 解 時, 一 定 要 用 模 型 幫 助 學 生 理 解. 如 果 學 生 能 自 己 動 手 製 作 模 型 效 果 更 好. 模 型 可 以 用 橡 皮 泥 土 豆 等 製 成 三 棱 柱 再 分 割 成 等 底 等 高 的 三 個 三 棱 錐. 教 學 中 讓 學 生 觀 察 圓 柱 圓 錐 圓 臺 之 間 結 構 的 特 徵, 分 析 公 式 之 間 的 關 係, 能 更 好 的 瞭 解 公 式 的 特 點 量 之 間 的 關 係. () 由 於 球 的 體 積 推 導 均 是 利 用 分 割 求 近 似 值 再 由 近 似 和 轉 化 為 球 的 體 積, 蘊 含 極 限 的 思 想, 可 以 講 解 之 前 展 示 劉 徽 的 割 圓 術 求 圓 周 率 的 方 法, 從 平 面 在 提 升 到 空 間. 講 解 時 強 調 無 限 分 割 時. 球 面 是 不 可 展 的 曲 面, 表 面 積 求 解 不 能 利 用 展 開 方 法 求 解, 可 以 設 問 如 果 已 知 圓 的 面 積 公 式 和 半 徑, 如 何 求 出 圓 的 周 長?, 可 以 向 切 餡 餅 一 樣 分 割, 然 後 同 體 積 引 入 表 面 積 公 式 的 推 導, 教 學 中 可 以 借 助 素 材 中 提 供 了 動 畫 輔 助 教 學. 教 學 目 標. 理 解 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 概 念 ;.4 旋 轉 體 表 面 積 第 一 課 時 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品

115 . 理 解 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 性 質 ; 重 點 難 點 : 重 點 : 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 概 念 和 性 質 ; 難 點 : 用 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 性 質 解 題. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板 模 型 等. 教 學 過 程 [ 設 置 情 境 ] 高 二 立 體 幾 何 展 示 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 模 型 或 提 出 生 活 中 所 見 到 的 圓 柱 圓 錐 圓 臺 形 的 立 體 圖, 問 它 有 什 么 共 同 的 特 點, 它 們 是 怎 么 形 成 的 呢? [ 探 索 研 究 ]. 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 定 義 分 別 以 矩 形 直 角 三 角 形 直 角 梯 形 的 一 邊 一 直 角 邊 垂 直 於 底 邊 的 腰 所 在 的 直 線 為 旋 轉 軸, 其 余 各 邊 旋 轉 而 成 的 曲 面 所 圍 成 的 幾 何 體 分 別 叫 做 圓 柱 圓 錐 圓 臺.. 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 軸 高 底 面 側 面 側 面 的 母 線 旋 轉 軸 叫 做 它 們 的 軸, 在 軸 上 這 條 邊 的 長 度 叫 做 它 們 的 高, 垂 直 於 軸 的 邊 旋 轉 而 成 的 圓 面 叫 做 它 們 的 底 面, 不 垂 直 於 軸 的 邊 旋 轉 而 成 的 曲 面 叫 做 它 們 的 側 面, 無 論 旋 轉 到 什 么 位 置, 這 條 邊 都 叫 做 側 面 的 母 線.( 具 體 的 圖 形 看 課 件 ). 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 表 示 圓 柱 圓 錐 圓 臺 用 表 示 它 的 軸 的 字 母 來 表 示. 4. 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 性 質 () 平 行 於 底 面 的 截 面 都 是 圓 ; () 過 軸 的 截 面 ( 軸 截 面 ) 分 別 是 全 等 的 矩 形, 等 腰 三 角 形, 等 腰 梯 形. 例 把 一 個 圓 錐 截 成 一 個 圓 台, 已 知 圓 台 的 上 下 底 面 半 徑 是 :4, 母 線 長 為 0cm, 求 圓 錐 的 母 線 長. 解 : 設 圓 錐 的 母 線 長 為 y, 圓 臺 上 下 底 面 半 徑 分 別 是 x, 4x ( 如 圖 ), 根 据 相 似 三 角 形 的 比 例 關 係, 得 ( y 0) : y = x : 4x. 也 就 是 4( y 0) = y, y = 40, 40 y = ( cm ). D x E C 40 因 此, 圓 錐 的 母 線 長 為 cm. 例 圓 柱 的 高 為 8 cm, 軸 截 面 面 積 為 48cm, 求 側 面 積. 例 圓 錐 的 高 為 0 cm, 母 線 與 底 面 成 45 角, 求 側 面 積. [ 演 練 回 饋 ] A 4x B 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 4

116 . 判 斷 題 : 高 二 立 體 幾 何 () 在 圓 柱 的 上 下 底 面 上 各 取 一 點, 這 兩 點 的 连 線 是 圓 柱 的 母 線.( ) () 圓 台 所 有 的 軸 截 面 是 全 等 的 等 腰 梯 形.( ) () 與 圓 錐 的 軸 平 行 的 截 面 是 等 腰 三 角 形.( ). 填 空 題 : () 用 一 張 6 8 的 矩 形 紙 卷 成 一 個 圓 柱, 其 軸 截 面 的 面 積 為. () 圓 台 的 上 下 底 面 的 直 徑 分 别 為 cm,0cm, 高 為 cm, 則 圓 台 母 線 長 為. [ 參 考 答 案 ].() () ().() π 48 [ 總 結 提 煉 ] ()5cm.. 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 形 成 ;. 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 概 念 和 性 質. [ 佈 置 作 業 ]: 課 本 P7 練 習, P79~80 習 題 十,5..4 旋 轉 體 表 面 積 第 二 課 時 教 學 目 標. 理 解 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 側 面 積 公 式 ;. 會 用 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 側 面 積 公 式 解 題. 重 點 難 點 : 重 點 : 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 側 面 積 公 式 的 應 用 ; 難 點 : 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 側 面 積 公 式 的 證 明. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板 模 型 等. 教 學 過 程 [ 設 置 情 境 ] 展 示 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 模 型. 我 們 已 經 認 識 了 圓 柱 圓 錐 圓 臺, 也 知 道 了 它 們 的 一 些 性 質, 今 天 我 們 就 來 看 看 怎 么 求 它 們 的 側 面 積? [ 探 索 研 究 ]. 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 側 面 積 () 圓 柱 的 側 面 積 定 理 如 果 圓 柱 底 面 半 徑 是 r, 周 長 是 c, 側 面 母 線 長 是 l, 那 么 它 的 側 面 積 是 : S = cl = πrl 圓 柱 側. () 圓 錐 的 側 面 積 定 理 如 果 圓 錐 底 面 半 徑 是 r, 周 長 是 c, 側 面 母 線 長 是 l, 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 5

117 那 么 它 的 側 面 積 是 : S = cl = πrl 圓 錐 側. () 圓 臺 的 側 面 積 定 理 如 果 圓 柱 底 面 半 徑 是 r, 周 長 是 c, 側 面 母 線 長 是 l, 那 么 它 的 側 面 積 是 : S 圓 臺 側 = ( c + c') l = π ( r + r') l. 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 全 面 積, 分 別 等 於 它 們 的 側 面 積 與 底 面 積 的 和. 例 一 個 圓 臺 的 上 下 底 面 半 徑 分 別 是 6, 母 線 與 底 面 成 60 角, 求 圓 臺 的 側 面 積. 解 : 作 圓 臺 的 軸 截 面 AA B B, 則 AA B B 是 等 腰 梯 形, 且 ABB = 60, 過 點 B 作 B C AB BC = 6 = 在 直 角 三 角 形 B B BC cs 60 A BC 中, = = = 圓 臺 的 側 面 積 為 : S 側 面 積 6 = π ( r' + r) l = π ( + 6) 6 = 54π 例 已 知 一 個 圓 錐 的 底 面 半 徑 為 R, 高 為 h 在 其 中 有 一 個 高 為 x 的 內 接 圓 柱 () 求 圓 柱 的 側 面 積 ; () x 為 何 值 時, 圓 柱 的 側 面 積 最 大? 解 :() 畫 圓 錐 及 內 接 圓 柱 的 軸 截 面. 設 所 求 的 圓 柱 的 底 面 半 徑 為 r, 它 的 側 面 積 S 圓 柱 側 = πrx. r H x Q =, R H R r = R x. H πr S圓 柱 側 = πrx x H () 因 為 S 圓 柱 側. 的 表 示 式 中 x 的 係 數 小 於 零, 所 以 這 個 二 次 函 數 有 最 大 值. 這 πr H 時 圓 柱 的 高 是 : x = =. πr H 當 圓 柱 的 高 是 已 知 圓 錐 的 高 的 一 半 時, 它 的 側 面 積 最 大. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 6

118 [ 演 練 回 饋 ]. 圓 柱 的 軸 截 面 是 正 方 形, 其 面 積 為 Q, 那 么 圓 柱 的 側 面 積 為 ( ) A. Q B. Q C. π Q D. πq. 一 個 半 徑 為 5 cm, 圓 心 角 為 錐 的 高 為 ( ) 高 二 立 體 幾 何 6 的 扇 形 卷 成 一 個 圓 錐 的 側 面, 則 圓 A. cm B. 4 cm C. cm D. 5 cm. 若 圓 臺 的 軸 截 面 面 積 為 Q, 母 線 與 底 面 成 00 角, 則 圓 臺 的 側 面 積 為 ( ) A. πq B. π Q C. πq D. 4 πq 4. 圓 柱 的 底 面 半 徑 為, 軸 截 面 對 角 線 長 為 5, 則 這 個 圓 柱 側 面 展 開 圖 的 對 角 線 長 為 ( ) A. 5 B. 5 π C. 6π + 9 D. 9π + 6 [ 參 考 答 案 ].C.A.C 4.C [ 總 結 提 煉 ]. 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 側 面 積 公 式 ;. 解 題 過 程 中 注 意 () 補 錐 成 臺 ; () 作 軸 截 面 ; () 作 側 面 展 開 圖. [ 佈 置 作 業 ] 課 本 P79 練 習, P80 習 題 十 8,9..4 旋 轉 體 表 面 積 第 三 課 時 教 學 目 標 :. 鞏 固 復 習 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 概 念 和 性 質.. 鞏 固 復 習 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 側 面 積 公 式. 重 點 難 點 : 重 點 : 應 用 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 側 面 積 公 式 解 題. 難 點 : 解 題 中 最 短 線 的 問 題. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板. 教 學 過 程 : [ 復 習 引 入 ]. 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 概 念 和 性 質.. 圓 柱 圓 錐 圓 臺 的 側 面 積 公 式. [ 探 索 研 究 ] 例 已 知 圓 錐 的 底 面 半 徑 為 OA = 0cm, 母 線 VA = 40cm, 由 點 A 繞 側 面 一 周 的 最 短 線 的 長 度 是 多 少? 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 7

119 解 : 沿 圓 錐 母 線 圖 中 連 接 點 A 和 點 高 二 立 體 幾 何 AA ' 將 圓 錐 側 面 展 開, 則 所 求 最 短 距 離 就 是 圓 錐 的 側 面 展 開 A ' 的 線 段 AA '. 設 圓 錐 側 面 展 開 圖 扇 形 VAA ' 的 圓 心 角 為 θ OA θ = 60 VA AA' = VA = 90 + VA' = 所 求 最 短 線 的 長 度 為 40 cm. 例 圓 臺 的 上 下 底 面 半 徑 分 別 為 = 40 r r' 心 角 為 θ, 求 證 : θ = 60 ( 度 ). l 解 : 圓 臺 的 側 面 展 開 圖 是 扇 環, 它 的 內 弧 長 是 上 底 面 周 長 π r', 外 弧 長 是 下 底 面 周 長 πr, 半 徑 之 差 為 圓 臺 母 線 l 設 內 圓 弧 半 徑 為 x, 由 圓 錐 側 面 展 開 圖 圓 心 角 公 式 得 : r ', r, 側 面 母 線 長 為 l, 側 面 展 開 圖 扇 形 的 圓 r θ = 60( 度 ) x r θ = 60( 度 ) x + l 由 () 得 : r' x = 60( 度 ) θ 將 () 代 入 () 得 r r' θ = 60( 度 ) l () () () 例 若 圓 臺 上 底 面 半 徑 為 5, 下 底 面 半 徑 為 R, 中 截 面 把 圓 臺 分 成 上 下 兩 個 圓 臺, 它 們 的 側 面 積 之 比 為 :, 求 R. 解 : 設 圓 臺 的 母 線 長 為 l, 中 截 面 半 徑 為 r, 依 題 意 得 : π (5 + r) l = π ( R + r) l 5 + r = R + r R + r = 0 + r r = R 0, R + 5 = r R = r 5 = ( R 0) 5 R = 5. 又 Q 中 截 面 半 徑 為 r 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 8

120 [ 演 練 回 饋 ] 高 二 立 體 幾 何. 將 半 徑 為 l 的 簿 鐵 圓 板 沿 三 條 半 徑 截 成 三 個 全 等 的 扇 形, 做 成 三 個 圓 錐 筒 ( 無 底 ), 則 圓 錐 筒 的 高 為.. 一 個 直 角 梯 形 的 上 下 底 和 高 的 比 為 ::, 則 由 它 旋 轉 而 成 的 圓 臺 的 上 底 面 積 下 底 面 積 和 側 面 積 的 比 為.. 一 圓 柱 形 鐵 管 的 高 是 底 面 半 徑 的 5 倍, 其 全 面 積 為 π. 用 一 段 鐵 絲 在 鐵 管 上 纏 繞 4 圈, 使 鐵 絲 的 兩 個 端 點 落 在 圓 柱 的 同 一 母 線 的 兩 端, 鐵 絲 的 最 短 長 度 應 為 多 少 ( 精 確 到 0.0cm)? [ 參 考 答 案 ] l.. : 4 : 6π. 解 : 設 圓 柱 形 鐵 管 的 底 面 半 徑 為 r cm, 高 是 h = 5r cm, 由 其 全 面 積 為 π cm, 可 得 πr + πrh = π, 解 得 r =, h = 5, AC = 5 + (8 π ) 5. 6 cm. [ 佈 置 作 業 ] P80~8 習 題 十 0,,. 答 : 鐵 絲 的 長 度 最 短 應 為 5.6cm. 教 學 目 標. 理 解 體 積 的 概 念 與 公 理 ;. 理 解 祖 暅 原 理 ;. 掌 握 棱 柱 圓 柱 的 體 積 公 式. 重 點 難 點 :.5 多 面 體 和 旋 轉 體 的 體 積 第 一 課 時 重 點 : 祖 暅 原 理 的 理 解 及 柱 體 的 體 積 公 式 ; 難 點 : 用 祖 暅 原 理 推 導 出 柱 體 的 體 積 公 式. 教 具 準 備 :pwerpint 課 件 三 角 板 模 型 等. 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 9

121 教 學 過 程 [ 設 置 情 境 ] 高 二 立 體 幾 何 在 我 們 日 常 生 活 中 經 常 會 遇 到 關 於 物 體 體 積 的 問 題, 這 些 問 題 與 各 種 幾 何 體 的 體 積 有 關. 我 們 常 見 的 是 一 些 規 則 立 體 圖 形 的 體 積, 這 些 規 則 圖 形 的 體 積 怎 么 求 呢? 體 積 又 反 映 一 種 什 么 東 西 呢? [ 探 索 研 究 ]. 體 積 幾 何 體 占 有 空 間 部 分 的 大 小 叫 做 它 的 體 積 同 度 量 长 度, 面 積 一 樣, 要 度 量 一 個 幾 何 體 的 體 積, 首 先 要 選 取 一 個 單 位 體 積 作 為 標 準 然 後 求 出 幾 何 體 的 體 積 的 體 積 是 單 位 體 積 的 多 少 倍, 這 個 倍 數 就 是 這 個 幾 何 體 的 體 積 的 數 值. 體 積 的 公 理 和 推 論 公 理 5 長 方 體 的 體 積 等 於 它 的 長, 寛, 高 的 積 V = abc 長 方 體 推 論 長 方 體 的 體 積 等 於 它 的 底 面 積 s 和 高 h 的 積 V = sh 長 方 體 推 論 正 方 體 的 體 積 等 於 它 的 棱 長 的 立 方. 祖 暅 原 理 V = a 正 方 體 公 理 6 夾 在 兩 個 平 面 間 的 兩 個 幾 何 體, 被 平 行 於 這 兩 個 平 面 的 任 意 平 面 所 截, 如 果 截 得 的 兩 個 截 面 的 面 積 總 相 等, 那 么 這 兩 個 幾 何 體 的 體 積 相 等. 夾 在 平 行 平 面 α,β 之 間 的 兩 個 形 狀 不 同 的 幾 何 體, 被 平 行 於 平 面 α, β 的 任 意 一 個 平 面 所 截, 如 果 截 面 P 和 Q 的 面 積 相 等, 那 么 它 們 的 體 積 一 定 相 等 例 如, 取 一 摞 書 或 一 摞 紙 張 堆 放 在 桌 面 上, 將 它 如 圖 那 樣 改 變 一 下 形 狀, 這 時 高 度 没 有 改 變, 每 頁 紙 的 面 積 也 没 有 改 變, 因 而 這 摞 書 或 紙 的 體 積 與 變 形 前 相 等 4. 棱 柱 圓 柱 的 體 積 設 有 底 面 積 都 等 於 S, 高 都 等 於 h 的 任 意 一 个 棱 柱 和 一 个 圓 柱, 取 一 個 與 它 們 底 面 積 相 等, 高 也 相 等 的 長 方 體, 使 它 們 的 下 底 面 在 008/009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 獲 獎 作 品 0

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