推理問題

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1 解 難 之 趣 屯 門 區 小 學 數 學 比 賽 特 刊 第 十 四 屆 二 零 零 四 年 四 月 二 十 四 日 推 理 問 題 以 下 要 介 紹 數 學 競 賽 中 另 一 類 大 題 目 : 推 理 題 這 類 題 目 看 似 跟 數 學 毫 無 關 係, 除 了 靠 估 一 道 板 斧 外, 根 本 了 無 他 法 其 實 在 這 類 靠 估 題 目 的 背 後, 是 蘊 藏 著 有 根 有 據 的 數 學 玄 機 的 誠 實 的 說 慌 例 一 : 在 遠 方 有 一 條 村, 住 著 兩 個 民 族, 一 個 是 誠 實 族, 一 個 是 說 謊 族 誠 實 族 的 人 祇 說 真 話, 從 不 說 假 話 ; 而 說 謊 族 的 人 祇 說 假 話, 不 說 真 話 但 如 果 不 說 話, 從 外 表 上 是 無 法 判 斷 出 誰 是 說 謊 族 誰 是 誠 實 族 有 一 天, 小 明 剛 到 村 裡, 就 遇 到 村 民 甲 和 乙 小 明 想 向 他 們 兩 人 問 路, 卻 不 知 道 他 們 到 底 是 誠 實 族 還 是 說 謊 族? 小 明 問 甲 : 你 是 誠 實 族 的 嗎? 甲 哇 哩 哇 哩 ( 音 : 蛙 咧 ) 地 回 答 了 一 句, 小 明 沒 有 聽 懂, 他 剛 想 再 問, 乙 開 口 說 : 他 說 : 是, 不 過 你 別 相 信 他, 他 在 說 謊 不 過, 到 底 誰 才 是 說 假 話 的 人 呢? 解 答 : 如 果 甲 說 實 話, 那 麼 他 一 定 回 答 : 是, 因 為 誠 實 的 人 祇 能 說 實 話 如 果 甲 說 假 話, 他 的 回 答 也 是 是 這 樣 看 來, 乙 說 : 他 說 是, 就 是 實 話 可 見 乙 是 誠 實 族 人, 他 說 甲 是 說 謊 族 人 也 是 真 話 從 上 述 例 題 可 以 知 道, 解 決 這 種 靠 估 的 推 理 題, 首 先 要 將 資 料 整 理, 然 後 進 行 細 心 分 析, 找 出 解 決 問 題 的 缺 口, 再 以 精 密 的 邏 輯 推 理, 克 服 所 有 矛 盾, 問 題 當 可 迎 刃 而 解 在 日 常 生 活 中, 有 時 會 碰 到 一 些 辣 手 的 問 題, 需 要 我 們 去 認 真 思 考, 嚴 格 推 理 讓 我 們 再 看 一 個 例 子 1

2 小 偷 也 作 證 例 二 : 黃 先 生 的 錢 包 在 公 共 汔 車 上 被 人 偷 走 了, 從 追 查 的 結 果 來 看, 小 偷 是 A B C D 四 個 人 中 的 一 人, 他 們 對 警 察 的 問 話 是 這 樣 回 答 的 : A 說 : 我 認 為 是 B 偷 的 B 說 : 我 明 明 看 見 是 D 偷 的 C 說 : 別 人 的 事 我 不 管, 反 正 我 沒 有 偷 D 說 : 別 相 信 B 的 話, 他 和 我 有 仇, 他 在 陷 害 我 經 過 進 一 步 的 調 查 和 周 圍 乘 客 的 證 明, 終 於 抓 住 小 偷, 這 小 偷 確 實 是 他 們 四 人 中 的 一 個, 而 且 當 時 四 人 的 回 答, 祇 有 一 個 人 講 了 假 話 究 意 誰 是 小 偷 呢? 解 答 : 既 然 四 個 人 中 祇 有 一 個 人 說 了 假 話, 那 麼 我 們 從 四 個 人 的 回 答 中, 判 別 那 個 人 說 假 話 的 可 能 性 較 大 我 們 先 把 四 人 的 話 簡 化 一 下, 即 : A 說 : 是 B 偷 的 B 說 : 是 D 偷 的 C 說 : 不 是 我 偷 的 D 說 : B 說 謊 從 四 人 的 話 中 可 以 看 出,B 和 D 兩 個 人 的 話 是 矛 盾 的 那 麼 兩 個 人 中 必 有 一 個 人 說 真 話, 一 個 說 假 話 假 設 D 說 假 話, 則 B 沒 有 撒 謊,D 確 實 是 小 偷, 那 麼 B C 說 真 話,A 卻 說 了 假 話, 這 與 只 有 一 人 說 假 話 條 件 不 符 合, 假 設 錯 誤 所 以 B 祇 能 說 假 話, 那 麼 其 餘 三 人 說 的 都 是 真 話, 也 就 是 說,A 說 : 是 B 偷 的 是 真 話! 可 以 斷 定, 錢 包 是 B 偷 的 註 : 這 種 解 法 的 關 鍵 在 於 抓 住 四 人 回 答 中 的 矛 盾 之 處, 再 根 據 所 給 條 件, 判 斷 誰 是 小 偷 另 解 : 直 接 假 設 A B C D 分 別 是 小 偷, 看 看 會 產 生 甚 麼 情 況 假 設 A 是 小 偷, 那 麼 A B 在 說 謊,C D 說 真 話, 與 條 件 相 矛 盾 假 設 C 是 小 偷, 那 麼 A B C 均 說 謊, 與 條 件 不 符 合 假 設 D 是 小 偷, 那 麼 A D 均 說 謊, 而 B C 都 說 真 話, 也 與 條 件 不 符 合 祇 有 假 設 B 是 小 偷, 則 B 說 假 話, 其 餘 人 都 說 了 真 話, 與 條 件 相 符 合 所 以 B 是 小 偷 2

3 牛 頓 的 編 號? 例 三 : 一 天, 一 位 老 師 讓 五 名 學 生 來 分 辦 五 位 科 學 家 的 畫 像, 老 師 把 畫 像 從 1 到 5 編 了 號, 讓 各 個 學 生 說 出 其 中 任 意 兩 位 科 學 家 的 名 字 A 說 : 2 號 是 牛 頓,3 號 是 伽 利 略 B 說 : 1 號 是 瓦 特,2 號 是 愛 因 斯 坦 C 說 : 3 號 是 愛 因 斯 坦,5 號 是 瓦 特 D 說 : 2 號 是 牛 頓,4 號 是 哥 白 尼 E 說 : 4 號 是 哥 白 尼,1 號 是 伽 利 略 老 師 聽 後, 發 現 每 人 都 只 說 對 了 一 半, 問 牛 頓 畫 像 的 編 號 是 多 少? 解 答 : 解 這 類 題 目, 不 妨 使 用 假 設 法, 在 屢 敗 屢 戰 中 取 得 正 碓 的 答 案! 首 先, 假 設 2 號 是 牛 頓 ( 由 A 和 D 的 話 ), 則 伽 利 略 不 是 3 號 ( 由 A 的 話 ) 哥 白 尼 不 是 4 號 ( 由 D 的 話 ) 那 麼, 由 E 的 話 知 伽 利 略 是 1 號 ( 題 意 指 出 每 人 都 說 對 了 一 半 ), 愛 恩 斯 坦 是 2 號 弊! 矛 盾 出 現, 所 以 假 設 牛 頓 是 2 號 的 想 法 不 能 成 立 了 同 學 們 不 要 氣 餒, 再 接 再 勵! 由 上 述 的 假 設 知 道 2 號 不 是 牛 頓, 那 不 妨 假 設 3 號 是 伽 利 略 ( 由 A 的 話 ) 4 號 是 哥 白 尼 ( 由 D 的 話 ), 則 由 C 的 話 知 道 5 號 是 瓦 特, 由 B 的 話 知 道 2 號 是 愛 恩 斯 坦, 最 後, 咱 們 就 知 道 牛 頓 是 1 號 了 猜 帽 子 題 例 四 : 甲 乙 丙 三 個 人 被 蒙 上 眼 睛, 三 人 頭 上 都 被 戴 了 一 頂 帽, 帽 子 的 顏 色 不 是 紅 的 就 是 黃 的 去 掉 蒙 眼 睛 的 布 後, 要 求 每 個 人 如 果 看 見 別 人 ( 一 個 或 兩 個 ) 戴 紅 帽 子 就 舉 手, 並 且 誰 能 斷 定 自 己 頭 上 帽 子 的 顏 色, 誰 就 馬 上 離 開 房 間 一 開 始, 每 個 人 都 看 見 一 個 或 個 兩 人 頭 戴 紅 色 帽 子, 因 此 三 個 人 都 舉 手 幾 分 鐘 後, 丙 首 先 離 開 房 間, 問 他 是 怎 樣 知 道 自 己 頭 上 帽 子 的 顏 色 的 解 答 : 由 於 每 個 人 都 看 見 一 個 或 兩 個 人 頭 戴 紅 色 帽 子, 因 此 三 個 人 都 舉 了 手, 即 : 甲 甲 ( 紅 ) 乙 ( 紅 ) 乙 丙 ( 紅 ) 甲 ( 紅 ) 乙 ( 紅 ) 丙 ( 紅 ) 但 誰 也 不 能 斷 定 自 己 頭 上 的 帽 子 是 甚 麼 顏 色! 丙 3

4 丙 這 時 想 : 假 如 自 己 戴 的 是 黃 色 帽 子, 甲 就 會 看 到 一 紅 一 黃 兩 頂 帽 甲 乙 ( 紅 ) 丙 ( 黃 ) 根 據 看 見 別 人 戴 紅 色 帽 子 就 舉 手 的 原 則, 甲 就 可 以 推 斷 出 : 乙 舉 手, 不 會 是 給 丙 ( 黃 色 帽 子 ) 的 一 定 是 給 自 己 舉 手, 說 明 甲 戴 的 是 紅 色 帽 子 甲 就 會 離 開 房 間 同 理, 乙 也 會 看 到 一 紅 一 黃 兩 頂 帽 子, 即 : 甲 乙 ( 紅 ) 丙 ( 黃 ) 根 據 甲 的 推 理 方 法, 乙 也 會 知 道 自 己 頭 戴 紅 色 帽 子 而 離 開 房 間 但 甲 乙 兩 人 遲 遲 不 離 開 房 間, 說 明 自 己 戴 的 不 是 黃 色 帽 子, 一 定 是 紅 色 帽 子 由 以 上 分 析 推 理, 丙 斷 定 自 己 戴 的 是 紅 色 帽 子, 所 以 離 開 房 間 4

5 例 五 :A B C D 四 班 進 行 乒 乓 球 羽 毛 球 籃 球 和 排 球 四 項 比 賽 結 果 每 個 班 都 得 了 一 個 第 一, 一 個 第 二, 一 個 第 三, 一 個 第 四 已 知 : A 班 得 了 乒 乓 球 冠 軍 ; B 班 得 了 羽 毛 球 亞 軍 ; C 班 得 了 籃 球 第 三 ; D 班 有 三 個 項 目 的 名 次 都 比 C 班 低 試 列 表 排 列 四 班 在 四 項 比 賽 中 的 名 次 解 答 : 由 上 述 資 料 得 下 列 圖 表 : 乒 乓 球 羽 毛 球 籃 球 排 球 A 1 B 2 C 3 D 要 使 D 班 三 項 成 績 低 於 C 班, 即 D 班 有 一 項 成 績 是 高 於 C 班, 那 麼 祇 有 當 C 班 的 第 四 對 D 班 的 第 一, 然 後 C 班 的 第 一 第 二 第 三 分 別 對 D 班 的 第 二 第 三 第 四, 即 : C:4123 D:1234 跟 著 有 兩 個 假 設 : 假 設 ( 一 ) 乒 羽 籃 排 已 知 D 在 籃 球 得 第 四,A 在 乒 乓 球 得 第 一, A 1 要 符 合 C 第 四,D 第 一 的 條 件, B 2 考 慮 將 C 第 四 D 第 一 放 在 排 球 那 C 3 4 一 項 ( 冠 亞 季 殿 各 一 項 ) D 4 1 乒 羽 籃 排 根 據 每 人 得 冠 亞 季 殿 各 一 次 的 條 件, A 1 2 得 左 表 結 果 由 於 C 的 成 績 有 三 項 高 於 D, B 2 3 故 此,D 在 乒 兵 球 只 能 得 第 三, 在 羽 毛 球 只 C 能 得 第 二, 出 現 矛 盾! 假 設 不 成 立 D 矛 盾 出 現! 5

6 假 設 ( 二 ) 乒 羽 籃 排 已 知 D 在 籃 球 得 第 四,A 在 乒 乓 球 得 第 一, A 1 要 符 合 C 第 四,D 第 一 的 條 件, 考 慮 將 C 第 B 2 四 D 第 一 放 在 羽 毛 球 那 一 項 ( 每 項 冠 C 4 3 亞 季 殿 各 一 項 ) D 1 4 乒 羽 籃 排 根 據 C 有 三 項 成 績 高 於 D, 將 C 第 二,D 第 三 A 放 在 乒 兵 球 一 項, 再 將 C 第 一,D 第 二 放 在 排 B 球 一 項, 再 由 每 人 得 冠 亞 季 殿 各 一 次, C 得 左 列 結 果 若 將 C 第 一,D 第 二 放 在 乒 兵 D 球,C 第 二,D 第 三 將 在 排 球, 亦 可 得 到 合 理 的 結 果 所 以 解 答 多 於 一 個 習 題 1. 小 明 家 的 電 話 由 6 個 數 字 組 成 這 6 個 數 字 互 不 相 同, 從 左 到 右 恰 好 是 按 由 大 至 小 的 順 序 排 列 的, 且 任 意 兩 個 相 鄰 數 字 所 組 成 的 兩 位 數 都 能 被 3 整 除, 試 求 小 明 家 的 電 話 號 碼 2. 在 某 國 裡, 有 君 子 和 小 人 兩 類 居 民, 君 子 永 遠 說 真 話, 小 人 永 遠 說 假 話 一 次 在 街 上 遇 見 四 個 居 民 A B C D, 我 們 便 問 他 們 : 你 們 是 甚 麼 人, 是 君 子? 還 是 小 人? 這 四 個 人 的 回 答 如 下 : A 說 : 我 們 四 人 全 都 是 小 人 B 說 : 我 們 之 中 祇 有 一 個 人 是 小 人 C 說 : 我 們 四 個 人 中 有 兩 人 是 小 人 D 說 : 我 是 君 子 問 D 是 君 子 嗎? 3. 甲 乙 丙 丁 與 小 強 五 位 同 學 參 加 乒 乓 球 比 賽, 每 兩 個 人 都 要 比 賽 一 盤 到 現 在 為 止, 甲 已 經 賽 了 4 盤, 乙 賽 了 3 盤, 丙 賽 了 2 盤, 丁 賽 了 1 盤, 問 小 強 已 經 賽 了 幾 盤? 6

7 4. 甲 乙 丙 三 個 人, 一 個 講 真 話, 一 個 講 假 話, 另 外 一 個 有 時 講 真 話, 有 時 講 假 話 一 天, 小 明 遇 到 這 三 個 人, 他 先 問 左 邊 的 甲 : 你 旁 邊 的 是 哪 一 位? 甲 回 答 說 : 講 真 話 的 他 又 問 中 間 的 乙 : 你 是 哪 一 位? 乙 說 : 我 是 說 話 半 真 半 假 的 他 最 後 問 右 邊 的 丙 說 : 你 是 哪 一 位? 丙 說 : 講 假 話 的 根 據 他 們 的 回 答, 小 明 馬 上 分 清 了 他 們, 你 能 分 清 嗎? 5. 一 次 數 學 比 賽 中,A B C D E 五 位 同 學 取 得 了 前 五 名, 發 獎 後 有 人 問 他 們 的 名 次, 問 答 是 : A 說 : B 是 第 三 名,C 是 第 五 名 B 說 : D 是 第 二 名,E 是 第 四 名 C 說 : A 是 第 一 名,E 是 第 四 名 D 說 : C 是 第 一 名,B 是 第 二 名 E 說 : D 是 第 二 名,A 是 第 三 名 最 後, 他 們 都 補 充 說 : 我 的 話 是 半 真 半 假 的 那 麼, 他 們 的 名 次 到 底 是 如 何 呢? 6. 趙 錢 孫 李 四 個 人 出 差, 住 在 同 一 間 賓 館 一 天 下 午, 他 們 分 別 要 找 一 個 地 方 去 辦 事 甲 地 方 星 期 一 不 接 待, 乙 地 方 星 期 二 不 接 待, 丙 地 方 星 期 四 不 接 待, 丁 地 方 只 在 星 期 一 三 五 接 待, 星 期 日 四 個 地 方 都 不 接 待 趙 : 兩 天 前, 我 去 錯 了 一 次, 今 天 去 一 次, 還 可 以 與 李 同 走 一 條 路 錢 : 今 天 我 一 定 得 去, 要 不 明 天 人 家 就 不 接 待 了 孫 : 這 星 期 的 前 幾 天 和 今 天 我 去 都 能 辦 事 李 : 我 今 天 和 明 天 去, 對 方 都 接 待 請 問 這 一 天 是 星 期 幾? 他 們 各 自 要 去 哪 個 地 方 辦 事? 解 答 1. 假 設 9 先 排, 但,98 97 都 不 是 3 的 倍 數, 所 以 由 8 排 起 ( 若 堅 持 用 9 先 排, 則 跟 著 的 數 字 必 須 是 6, 下 一 個 數 字 就 是 3, 沒 數 字 再 可 排 下 去,6 個 字 的 電 話 號 碼 亦 無 法 排 出!), 接 著 是 7, 跟 著 是 所 以 小 明 家 的 電 話 號 碼 是 由 A 的 回 答 可 以 判 斷 : (i) 四 個 人 之 中 一 定 有 君 子 ( 因 為 若 四 人 全 是 小 人, 則 誰 也 不 會 說 : 我 們 四 人 全 是 小 人 這 句 話 ) 所 以 A 說 了 假 話, 他 是 小 人 由 B C 的 回 答 可 以 判 斷 : (ii) B 是 小 人 ( 因 為 他 若 是 君 子, 說 實 話, 則 B C D 都 是 君 子, 但 C 的 回 答 與 他 矛 盾, 兩 人 不 可 能 同 是 一 類 人, 故 B 說 假 話 ) 下 面 再 看 C 的 回 答 : 若 C 是 君 子, 則 由 (i) 可 知,D 一 定 是 君 子 ; 若 C 是 君 子, 那 麼 由 他 的 話 可 知 D 也 是 君 子, 因 此 無 論 C 是 君 子 抑 或 小 人, 都 可 以 推 D 是 君 子 所 以 D 是 君 子 7

8 3. 因 為 甲 賽 了 4 盤, 說 明 甲 與 乙 丙 丁 和 小 強 各 賽 了 1 盤, 從 這 裡 知 道 小 強 與 甲 賽 了 1 盤 因 為 丁 賽 了 1 盤, 說 明 丁 肯 定 是 與 甲 比 賽 的 因 為 乙 賽 了 3 盤, 說 明 除 了 丁 以 外, 乙 只 能 與 甲 丙 小 強 各 賽 了 1 盤, 從 這 裡 知 道 小 強 與 乙 賽 了 1 盤 現 在 知 道 丙 賽 的 2 盤 是 與 甲 乙 各 賽 一 盤 所 以 小 強 賽 了 2 盤 4. 我 們 先 假 設 甲 講 的 是 真 話, 那 麼 乙 應 該 是 講 真 話 的, 但 這 與 他 的 回 答 : 我 是 說 話 半 真 半 假 的 矛 盾, 所 以 甲 講 真 話 這 一 假 設 不 對 那 麼 甲 講 的 就 是 假 話 了 既 然 甲 是 說 假 話 的, 那 乙 就 不 是 說 真 話 的 了, 因 此, 丙 一 定 就 是 說 真 話 的 根 據 丙 的 話, 乙 是 說 假 話 的, 剩 下 甲 就 是 說 話 半 真 半 假 的 了! 5. 先 簡 化 一 下 記 法 比 如 說 B 是 第 三 名, 則 寫 成 B3, 如 此 類 推 這 樣 五 個 人 的 講 話 可 簡 記 為 ( 按 A B C D E 的 順 序 ): (i) A 說 :B3,C5; (ii) B 說 :D2,E4; (iii) C 說 :A1,E4; (iv) D 說 :B2,C1; (v) E 說 :A3,D2 假 設 (i) 的 前 半 句 是 真 的, 即 B3, 則 (iv) 的 B2 不 成 立, 只 能 C1 由 (iii) 知 道 A1 不 對, 則 只 能 E4, 再 由 (ii) 知 D2 不 對, 最 後 從 (v) 得 出 A3, 這 與 先 前 假 設 B3 矛 盾, 故 假 設 不 成 立 因 此,(i) 的 後 半 句 才 是 真 的, 即 C5, 然 後 由 (iv) 得 B2, 由 (ii) 得 E4, 由 (v) 得 A3, 最 後 知 道 D1 名 次 順 序 應 為 D 第 一,B 第 二,A 第 三,E 第 四,C 第 五 6. 由 孫 的 講 話, 知 道 這 一 天 是 星 期 三, 孫 要 去 丙 地 方 錢 要 去 丁 地 方 趙 去 甲 地 方 李 去 乙 地 方 顧 問 老 師 : 梁 志 明 黃 萬 安 黃 偉 智 楊 振 雄 袁 仲 強 8

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