中華民國第四十六屆中小學科學展覽會

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1 嘉 義 市 第 三 十 二 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 科 別 : 數 學 科 組 別 : 國 小 組 作 品 名 稱 : 非 洲 棋 的 終 極 秘 技 關 鍵 詞 : 非 洲 棋 移 動 遊 戲 策 略 分 析 編 號 : 1

2 非 洲 棋 的 必 勝 法 則 摘 要 本 研 究 是 探 討 擁 有 上 千 年 前 歷 史 的 西 非 遊 戲 - 非 洲 棋, 利 用 遊 戲 技 巧 定 義 出 必 勝 法 則, 當 遊 戲 過 程 中 能 遵 守 必 勝 法 則, 就 能 獲 得 勝 利, 而 且 我 們 在 和 電 腦 對 奕 中, 也 找 出 獲 得 最 多 分 數 的 棋 局 為 求 必 勝 法 則 的 正 確 性, 我 們 以 反 證 法 做 多 元 的 錯 誤 嘗 試, 反 證 法 以 某 些 步 數 違 反 必 勝 法 則, 發 現 違 反 的 次 數 愈 多, 愈 不 容 易 獲 勝 為 避 免 電 腦 程 式 設 計 上 的 盲 點, 讓 真 人 以 相 同 法 則 對 奕, 發 現 先 手 者 皆 贏, 證 明 此 法 則 真 的 必 勝 2

3 壹 研 究 動 機 有 天 小 組 閱 讀 一 本 介 紹 世 界 各 地 民 俗 數 學 遊 戲 的 書 籍, 包 含 各 式 各 樣 的 移 動 遊 戲, 對 其 中 有 上 千 年 歷 史 的 非 洲 棋 倍 感 興 趣, 剛 好 之 前 的 學 長 姐 們 曾 經 做 過 非 洲 棋 的 科 展, 平 台 APP 程 式 裡 也 找 得 這 款 遊 戲, 所 以 我 們 重 新 研 究, 想 找 出 更 好 的 走 法, 於 是 我 們 便 分 組 展 開 數 百 局 的 探 討, 希 望 能 找 出 更 完 美 的 非 洲 棋 破 解 密 技 1. 找 出 非 洲 棋 遊 戲 的 必 勝 法 則 2. 探 究 遊 戲 中 運 用 的 數 學 原 理 3. 探 討 二 人 皆 以 必 勝 法 則 對 奕 的 情 形 筆 白 紙 電 腦 Excel 軟 體 貳 研 究 目 的 參 研 究 設 備 及 器 材 肆 研 究 過 程 及 方 法 小 組 成 員 根 據 遊 戲 規 則 想 出 贏 的 辦 法, 再 制 定 相 對 應 的 策 略, 然 後 進 行 足 夠 局 數 的 驗 證, 確 認 所 想 出 必 勝 法 則 是 否 真 的 必 勝 以 下 是 有 關 非 洲 棋 遊 戲 規 則 及 致 勝 策 略 的 說 明 一 遊 戲 規 則 的 瞭 解 及 策 略 的 擬 定 : 此 遊 戲 主 要 是 對 手 輪 流 搬 運 寶 石, 並 儘 可 能 收 集 格 子 裡 的 寶 石 到 自 己 的 寶 石 盤 裡 對 方 寶 石 盤 己 方 寶 石 盤 表 一 圖 一 3

4 遊 戲 規 則 想 法 制 定 策 略 說 明 對 手 的 格 子 序 號 輪 流 搬 運 寶 石, 但 只 能 搬 運 己 方 的 寶 加 寶 石 數 除 以 13 石 ( 己 方 為 圖 一 下 方 六 格 ) 每 次 搬 的 餘 數 代 表 最 後 運 時, 選 定 己 方 的 一 格, 拿 起 該 格 子 中 所 有 的 寶 石, 以 逆 時 針 的 方 向 往 下 一 格 移 動, 每 經 過 一 次 就 放 入 一 顆 寶 每 次 的 移 動 會 影 響 下 一 次 的 步 數 將 雙 方 的 格 子 編 號, 有 助 思 考 一 顆 寶 石 會 落 在 何 處, 如 第 12 格 裡 有 9 顆 寶 石, 石 ( 經 過 己 方 的 寶 石 盤 也 要 放 一 (12+9) 除 以 13 的 顆, 但 經 過 對 方 的 不 用 ) 餘 數 為 8, 則 會 落 在 第 8 格 搬 運 寶 石 時, 最 後 一 顆 若 落 入 己 方 的 寶 石 盤 裡, 則 可 再 走 一 次 走 任 何 格 子 前 應 先 檢 查 有 無 再 走 一 次 的 機 會 再 走 一 次 此 策 略 優 先 執 行 搬 運 寶 石 時, 最 後 一 顆 若 落 入 己 方 的 空 格 子 中, 而 且 相 對 於 此 空 格 子 的 對 方 格 子 中 還 有 寶 石, 則 此 兩 格 子 的 所 有 寶 石 皆 可 拿 取 能 吃 掉 對 方 的 寶 石 比 自 己 一 顆 一 顆 搬 運 還 有 用 攻 擊 若 最 後 一 顆 寶 石 是 落 在 對 方 的 空 格 子 內, 無 法 攻 擊 己 方 的 寶 石 當 一 方 的 寶 石 皆 無, 遊 戲 結 束, 另 一 方 的 剩 餘 寶 石, 將 歸 其 所 有 哪 一 方 的 寶 石 盤 裡 的 寶 石 較 多 即 獲 勝 當 不 能 再 走 一 次 無 法 攻 擊 的 時 候, 除 了 自 己 要 注 意 對 方 的 攻 擊 外, 己 方 還 可 以 製 造 攻 擊 的 機 會 防 守 - 按 兵 不 動 ( 亦 即 拖 延, 不 移 動 我 方 寶 石 數 較 多 的 格 子, 結 算 時 可 全 得 寶 石 ) 防 守 - 佈 局 當 活 棋 步 數 ( 指 可 移 動 的 步 數 ) 大 於 對 方 活 棋 步 數 時, 可 使 用 此 策 略 製 造 攻 擊 或 再 來 一 次 的 機 會 逼 迫 對 方 要 走 固 防 守 - 強 逼 定 的 格 子, 否 則 被 己 方 攻 擊 4

5 二 三 種 代 表 性 棋 局 的 探 討 ( 一 ) 棋 局 一 : 不 依 照 必 勝 原 則, 隨 意 移 動 格 子 的 情 況 許 多 下 棋 的 遊 戲 都 鮮 少 有 一 定 贏 的 棋 步, 我 們 一 開 始 就 想 真 的 有 必 勝 法 則 嗎?, 也 許 對 電 腦 很 容 易 就 能 贏 了 啊, 所 以 一 開 始 曾 試 過 不 用 任 何 技 巧 去 和 電 腦 對 戰 下 方 為 棋 步 記 錄 : Step 0. 開 局 Step 1. 我 走 第 3 格, 可 再 走 一 次 Step 2. 我 走 第 2 格 Step 3. 敵 走 第 12 格 Step 4. 我 走 第 1 格 Step 5. 敵 走 第 9 格, 可 再 走 一 次 Step 6. 敵 走 第 12 格, 可 再 走 一 次 Step 7. 敵 走 第 11 格 5

6 Step 8. 我 走 第 3 格, 可 再 走 一 次 Step 9. 我 走 第 2 格 Step 10. 敵 走 第 12 格, 可 再 走 一 次 Step 11. 敵 走 第 11 格 Step 12. 我 走 第 3 格 Step 13. 敵 走 第 10 格 Step 14. 我 走 第 3 格 Step 15. 敵 走 第 12 格, 可 再 走 一 次 6

7 Step 16. 敵 走 第 11 格, 可 再 走 一 次 Step 17. 敵 走 第 12 格, 可 再 走 一 次 Step 18. 敵 走 第 7 格 Step 19. 我 走 第 6 格 Step 20. 敵 走 第 12 格, 可 再 走 一 次 Step 21. 敵 走 第 11 格, 攻 擊 我 方 Step 22. 我 走 第 5 格 Step 23. 敵 走 第 10 格, 可 再 走 一 次 7

8 Step 24. 敵 走 第 12 格, 可 再 走 一 次 Step 25. 敵 走 第 11 格, 可 再 走 一 次 Step 26. 敵 走 第 12 格, 可 再 走 一 次 Step 27. 敵 走 第 9 格, 可 再 走 一 次 Step 28. 敵 走 第 12 格, 可 再 走 一 次 Step 29. 我 走 第 4 格 Step 30. 我 走 第 6 格, 比 賽 結 束 以 7:41 落 敗 結 果 : 如 果 隨 意 移 動 格 子, 結 果 被 電 腦 打 敗, 我 方 僅 獲 得 7 顆 寶 石 證 明 要 打 敗 電 腦 必 須 有 策 略 8

9 ( 二 ) 棋 局 二 : 最 佳 得 分 的 必 勝 法 則 以 下 為 過 程 記 錄 及 策 略 分 析 :( 紅 色 字 表 所 使 用 的 策 略, 我 表 己 方, 敵 表 電 腦 ) Step 0. 開 局 Step 1. 我 走 第 3 格, 可 再 走 一 次 Step 2. 我 走 第 6 格 : 佈 局 ( 引 對 方 走 第 8 格 ), 根 據 經 驗, 敵 方 不 走 第 8 格 必 輸 Step 3. 敵 走 第 8 格, 可 再 走 一 次 Step 4. 敵 走 第 7 格 : 敵 方 受 我 強 逼, 敵 不 走 第 7 格 就 會 被 攻 擊 Step 5. 我 走 第 5 格 : 佈 局 製 造 我 方 再 走 一 次 的 機 會 走 其 它 格 子 會 造 成 敵 方 以 第 7 格 攻 擊 己 方 的 威 脅 Step 6. 敵 走 第 8 格 : 敵 方 受 我 強 逼, 不 走 第 8 格 就 會 被 攻 擊 Step 7. 我 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 9

10 Step 8. 我 走 第 2 格, 攻 擊 敵 方, 吃 掉 1 顆 Step 9. 敵 走 第 10 格 Step 10. 我 走 第 5 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 Step 11. 我 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 Step 12. 我 走 第 3 格 : 按 兵 不 動 ( 原 因 請 見 註 1) Step 13. 敵 走 第 12 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 Step 14. 我 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 Step 15. 我 走 第 5 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 10

11 Step 16. 我 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 Step 17. 我 走 第 1 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 Step 18. 我 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 Step 19. 我 走 第 2 格 : 佈 局, 使 第 3 格 湊 成 4 顆, 以 求 得 再 走 一 次 的 機 會 Step 20. 敵 走 第 9 格 Step 21. 我 走 第 3 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 Step 22. 我 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 的 機 會 Step 23. 我 走 第 2 格, 攻 擊 敵 方, 吃 掉 敵 方 1 顆 寶 石 11

12 Step 24. 敵 走 第 12 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 25. 敵 僅 能 走 第 11 格 Step 26. 我 走 第 1 格, 採 取 按 兵 不 動 Step 27. 敵 方 走 第 12 格, 比 賽 結 束, 我 方 勝 利, 比 數 41:7 註 1: 在 Step 12 時 我 方 有 四 個 選 擇, 但 選 第 2 格 的 原 因 有 三 個 : 1 不 走 第 1(5) 格, 因 敵 方 不 論 走 哪 一 格, 都 可 補 足 我 方 第 1(5) 格 為 6(2) 顆 棋 子, 屆 時 我 可 再 走 一 次 2 不 考 慮 第 4 格, 因 我 方 採 取 按 兵 不 動 的 策 略, 使 敵 方 移 動 寶 石 數 多 的 格 子 3 走 第 3 格, 可 使 我 方 的 活 棋 步 數 ( 在 不 移 動 寶 石 數 較 多 的 格 子 情 況 下, 可 移 動 的 格 子 數 目 ) 增 加, 有 助 於 按 兵 不 動 ( 拖 延 ) 的 策 略 結 果 : 經 過 我 們 數 百 局 的 驗 證, 此 局 為 得 最 多 分 的 一 局, 故 稱 為 最 佳 的 必 勝 法 則 12

13 ( 三 ) 棋 局 三 : 必 勝 法 則 對 必 勝 法 則 先 手 走 第 1~6 格, 後 手 走 第 7~12 格 Step 0. 開 局 Step 1. 先 手 走 第 3 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 2. 先 手 走 第 6 格 : 佈 局 ( 引 對 方 走 第 8 格 ) Step 3. 後 手 走 第 7 格, 故 意 不 落 入 先 手 的 佈 局 Step 4. 先 手 走 第 5 格 : 佈 局 製 造 我 方 再 走 一 次 的 機 會 Step 5. 後 手 受 先 手 強 逼, 走 第 8 格 ( 如 果 不 走 此 格, 先 手 走 第 1 格 就 可 攻 擊 ) Step 6. 先 手 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 7. 先 手 走 第 2 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 13

14 Step 8. 先 手 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 9. 先 手 走 第 5 格, 攻 擊 對 方 第 7 格, 吃 掉 1 顆 寶 石 Step 10. 後 手 走 第 9 格, 採 取 防 守, 躲 避 先 手 第 2 格 可 能 的 攻 擊 Step 11. 先 手 走 第 1 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 12. 先 手 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 13. 先 手 走 第 3 格, 按 兵 不 動 Step 14. 後 手 走 第 10 格, 採 取 防 守, 躲 避 先 手 第 1 格 可 能 的 攻 擊 Step 15. 先 手 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 14

15 Step 16. 先 手 走 第 1 格, 按 兵 不 動 Step 17. 後 手 走 第 11 格, 採 取 防 守, 躲 避 先 手 第 1 格 可 能 的 攻 擊 Step 18. 先 手 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 19. 先 手 走 第 2 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 20. 先 手 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 21. 先 手 走 第 1 格, 按 兵 不 動 註 2 Step 22. 後 手 僅 能 走 第 12 格, 攻 擊, 吃 掉 第 5 格 的 6 顆 寶 石 Step 23. 先 手 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 15

16 Step 24. 先 手 走 第 3 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 25. 先 手 走 第 6 格, 獲 得 再 走 一 次 機 會 Step 26. 先 手 走 第 5 格, 攻 擊, 吃 掉 對 方 第 7 格 1 顆 寶 石 先 手 勝 註 2: 在 此 局 Step 21 中, 對 先 手 而 言, 雖 然 後 手 在 佈 局 要 攻 擊 自 己 的 第 5 格, 但 在 損 失 最 小 的 考 量 下, 仍 要 走 第 1 格, 因 為 移 動 了 第 5 格 後, 會 讓 對 手 有 攻 擊 我 方 第 4 格 ( 此 時 有 12 顆 寶 石 ) 的 情 形 產 生, 按 兵 不 動 的 策 略 就 無 法 發 揮 功 效 了 結 果 : 先 手 皆 贏 16

17 三 必 勝 法 則 的 必 勝 與 不 敗 ( 一 ) 必 勝 我 們 組 員 六 人 為 檢 驗 必 勝 法 則 是 否 真 的 一 定 贏, 每 人 製 作 簡 易 棋 盤, 並 以 樹 枝 圖 的 概 念 進 行 地 毯 式 的 驗 證 因 為 當 我 們 使 用 必 勝 法 則 時, 對 手 第 一 步 有 第 7~12 格 六 個 選 擇, 我 們 就 自 己 與 自 己 下 棋, 一 邊 以 必 勝 法 則, 另 一 邊 第 一 步 都 固 定 某 一 格, 六 個 組 員 各 自 負 責 一 個 分 枝, 雖 然 每 個 分 枝 有 很 多 種 情 形, 但 最 後 結 果 都 是 使 用 必 勝 法 則 的 一 方 獲 勝 以 下 為 100 局 對 奕 的 結 果 : 序 號 總 步 數 己 方 分 數 對 方 分 數 攻 擊 次 數 再 來 一 次 次 數

18

19 ( 二 ) 不 敗 為 避 免 電 腦 程 式 設 計 的 盲 點, 忽 略 了 其 他 打 敗 必 勝 法 則 的 可 能, 我 們 兩 兩 一 組, 皆 以 必 勝 法 則 對 奕, 結 果 發 現 先 下 的 人 總 能 獲 勝, 後 下 的 人 處 處 受 到 壓 制, 但 如 果 先 下 的 人 其 中 幾 步 沒 有 遵 守 必 勝 法 則, 如 : 沒 有 防 守 攻 擊 對 方 吃 掉 了 1 個 寶 石 但 被 對 方 反 攻 損 失 2 個 寶 石 等, 結 果 就 不 同 了 因 此, 若 步 步 能 依 照 法 則 移 動, 先 手 會 佔 盡 優 勢, 百 戰 百 勝 以 下 為 對 奕 的 結 果 : 19

20 序 號 總 步 數 先 手 分 數 後 手 分 數 攻 擊 次 數 再 走 一 次 次 數 防 守 次 數 四 非 洲 棋 的 數 學 原 理 : ( 一 ) 快 速 算 出 移 動 格 子 時 最 後 一 顆 寶 石 落 在 何 處 : 根 據 規 則, 除 了 對 方 寶 石 盤 外, 以 逆 時 針 方 向, 每 經 過 一 格 皆 須 放 入 一 顆 寶 石, 直 到 手 中 無 寶 石 計 算 敵 方 的 方 法 : 寶 石 數 與 格 子 號 碼 相 加 之 和 除 以 13(12 格 + 寶 石 盤 ) 後 之 餘 數 就 是 最 後 一 顆 的 所 在 的 格 子 如 : 第 10 格 裡 有 9 顆 寶 石,(10+9)/13=1...6, 餘 數 6, 最 後 一 顆 寶 石 落 在 第 6 號 格 計 算 己 方 的 方 法 : 因 為 己 方 寶 石 盤 在 第 6 格 第 7 格 之 間, 經 過 己 方 寶 石 盤 裡 也 會 放 一 顆, 所 以 寶 石 數 與 格 子 號 碼 相 加 之 和 減 1( 相 加 之 加 大 於 7 時 ) 再 除 以 13, 如 : 第 4 格 裡 有 6 顆 寶 石,(4+6-1)/13 餘 9, 會 落 在 第 9 號 格, 但 例 外 的 是, 若 相 加 餘 數 為 7, 則 代 表 可 再 走 一 次 20

21 ( 二 ) 計 算 活 棋 步 數 : 在 比 賽 下 半 部 時, 我 方 在 沒 有 攻 擊 可 再 走 一 次 的 機 會 時, 常 以 防 守 中 按 兵 不 動 的 策 略 來 拖 延 棋 局, 希 望 在 比 賽 結 束 的 時 候, 我 方 第 1~6 格 裡 的 寶 石 都 算 入 自 己 的 寶 石 盤 裡 以 棋 局 二 - 最 佳 的 必 勝 法 則, 第 12 步 ( 右 圖 ) 採 取 按 兵 不 動, 敵 方 的 活 步 ( 指 可 移 動 的 格 子 數 ) 約 3~4 步, 我 方 想 把 第 4 格 的 7 顆 寶 石 留 到 最 後, 所 以 活 步 僅 有 第 格, 走 第 3 格 的 話, 還 可 以 拖 延 3 步, 再 加 上 第 2 格 的 寶 石, 己 方 活 步 多 於 對 方, 一 定 可 以 讓 對 方 移 動 第 寶 石 多 的 格 子 所 以 我 們 就 針 對 活 棋 步 數 的 部 份, 以 數 學 課 學 到 的 怎 樣 解 題 中, 算 出 間 隔 的 想 法 來 推 算 1 顆 寶 石 從 第 1 格 到 寶 石 盤 需 要 7-1=6 步 才 可 走 到 1 顆 寶 石 從 第 2 格 移 動 到 寶 石 盤 需 要 7-2=5 步 才 可 走 到 以 此 類 推 2 顆 寶 石 從 第 1 格 到 寶 石 盤 需 要 1+4+5=10 步 才 可 走 到, 走 完 一 步 後, 就 等 同 於 第 2 格 1 顆 寶 石 第 3 格 1 顆 寶 石 的 情 形 21

22 3 顆 寶 石 從 第 1 格 到 寶 石 盤 需 要 =13 步 才 可 走 到, 走 完 一 步 後, 就 等 同 於 第 格 各 有 1 顆 寶 石 的 情 形 此 情 形 可 拆 成 二 個 部 份 : 一 第 2 格 有 1 顆 寶 石 :7-2=5 步 ; 二 第 3 格 有 2 顆 寶 石 :1+2+3=6 步 伍 研 究 結 果 一 活 用 必 勝 法 則 中 的 攻 擊 再 來 一 次 防 守 等 三 類 策 略 與 電 腦 對 奕, 能 獲 得 最 多 的 寶 石, 比 數 41:7 二 在 必 勝 的 法 則 下, 我 方 第 一 步 走 第 3 格, 第 二 步 走 第 6 格, 第 三 步 走 第 5 格, 這 已 成 為 固 定 棋 步 三 藉 由 簡 易 的 數 學 公 式 能 幫 助 己 方 快 速 的 計 算 出 移 動 格 子 後 最 後 一 顆 寶 石 落 在 何 處 及 何 時 可 採 用 防 守 中 按 兵 不 動 的 策 略 四 兩 人 以 必 勝 法 則 對 奕, 先 手 處 於 優 勢, 但 若 沒 有 留 意 而 違 反 了 必 勝 法 則, 次 數 愈 多, 攻 得 的 分 數 愈 低, 獲 勝 的 可 能 也 相 對 減 少, 甚 至 會 喪 失 原 先 的 優 勢, 結 局 被 逆 轉 陸 討 論 一 必 勝 法 則 是 一 種 決 策 原 則, 不 是 一 套 固 定 的 棋 譜, 若 能 遵 守 此 原 則, 不 論 對 方 如 何 變 化, 我 方 皆 能 獲 勝 二 經 樹 枝 圖 預 設 對 手 的 各 種 棋 步, 再 由 小 組 成 員 進 行 各 主 要 分 枝 的 驗 證, 進 行 了 數 百 局 的 檢 驗, 更 加 深 了 我 們 對 必 勝 法 則 的 信 心 三 我 們 記 錄 過 程 中 的 總 步 數 得 分 數, 攻 擊 次 數 防 守 次 數 再 來 一 次 的 次 數, 發 現 彼 此 間 沒 有 什 麼 關 係, 老 師 用 電 腦 軟 體 去 探 討 彼 此 間 的 關 係, 發 現 沒 有 明 顯 的 數 學 關 係 存 在 四 若 將 所 有 棋 步 以 代 號 表 示, 如 : 攻 擊 -O 防 守 -D 再 來 一 次 -A, 然 後 將 獲 勝 的 局 數 棋 步 轉 換 成 代 號, 並 無 發 現 固 定 的 模 式 探 討 原 因 後, 可 能 是 下 棋 的 雙 方 本 來 就 有 許 多 種 變 化, 每 一 步 又 會 根 據 對 手 的 反 應 而 變 動, 所 以 無 法 像 其 他 作 品 般 找 出 移 動 的 數 學 公 式 柒 結 論 一 擬 訂 策 略 運 用 策 略, 能 確 保 每 次 對 奕 皆 能 獲 勝 二 運 用 反 證 法, 模 擬 各 種 情 形 的 發 生, 來 檢 驗 必 勝 法 則 的 正 確 性 及 穩 定 性 參 考 文 獻 一 陳 昭 蓉 ( 譯 )( 民 91) 民 俗 數 學 遊 戲 ( 原 作 者 :Claudia Zaslavsky) 臺 北 市 : 遠 哲 ( 原 著 出 版 年 : 2002) 二 國 立 台 灣 科 學 教 育 館 中 華 民 國 第 47 屆 中 小 學 科 展 展 覽 優 勝 作 品 專 輯 22

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