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1 医 学 统 计 学 第 十 一 次 课 线 性 相 关 分 析 Department of Health Statistics 相 关 (correlation) 的 由 来 Francis Galton 遗 传 学 研 究 Karl Pearson 子 与 父 身 高 的 关 系 回 归 方 程 兄 弟 与 姐 妹 身 高 的 关 系?? 2

2 相 关 关 系 与 确 定 性 关 系 确 定 性 关 系 : 两 变 量 间 的 函 数 关 系 圆 的 周 长 与 半 径 的 关 系 : C=2πR 速 度 时 间 与 路 程 的 关 系 :L=ST X 与 Y 的 函 数 关 系 : Y=a+bX 非 确 定 性 关 系 ( 相 关 关 系 ): 两 变 量 在 宏 观 上 存 在 关 系, 但 无 需 或 不 能 用 确 定 的 函 数 关 系 来 表 达 食 盐 摄 入 量 与 血 压 的 关 系 ; 年 龄 与 血 脂 的 关 系 ; 吸 烟 引 起 的 结 核 病 与 期 望 寿 命 的 关 系 ; 肝 脏 中 胆 固 醇 含 量 与 锰 含 量 的 关 系 ; 3 第 一 节 线 性 相 关 的 概 念 4

3 一 散 点 图 例 13-1 为 研 究 中 年 女 性 体 重 指 数 和 收 缩 压 之 间 的 关 系, 随 机 测 量 了 16 名 40 岁 以 上 女 性 的 体 重 指 数 和 收 缩 压, 见 表 13-1, 试 绘 制 散 点 图 表 名 中 年 女 性 的 体 重 指 数 (kg/m 2 ) 和 收 缩 压 (kpa) 编 号 体 重 指 数 (X) 收 缩 压 (Y) (1) (2) (3) 合 计

4 25 收 缩 压 (kpa) Linear correlation Simple correlation 体 重 指 数 (kg/m^2) 图 名 中 年 女 性 体 重 指 数 和 收 缩 压 的 散 点 图 二 线 性 相 关 线 性 相 关 分 析 : 描 述 两 变 量 间 是 否 有 直 线 关 系 以 及 直 线 关 系 的 方 向 和 密 切 程 度 的 分 析 方 法 条 件 : 两 变 量 (x,y) 都 是 来 自 正 态 分 布 的 随 机 变 量

5 相 关 关 系 示 意 图 正 相 关 负 相 关 零 相 关 非 线 性 相 关 (a) (c) (e) (g) 完 全 正 相 关 完 全 负 相 关 零 相 关 零 相 关 (b) (d) (f) (h) 9 第 二 节 线 性 相 关 系 数 10

6 一 线 性 相 关 系 数 (linear correlation coefficient): 又 称 积 差 相 关 系 数, 简 称 相 关 系 数 或 Pearson 相 关 系 数, 用 以 描 述 两 个 随 机 变 量 间 线 性 相 关 关 系 的 密 切 程 度 与 相 关 方 向 的 统 计 指 标 符 号 : r ρ 二 计 算 r ( x x)( y y ) ( x x) ( y y ) = = 2 2 x lxy = ( x x)( y y ) = xy n l l xy xx l yy y

7 线 性 相 关 正 相 关 正 相 关 0< r <1 负 相 关 负 相 关 -1< r <0 完 全 负 相 关 完 全 正 相 关 r = -1 r =1 相 关 关 系 示 意 图 零 相 关 非 线 性 相 关 零 相 关 r=0 零 相 关 零 相 关 非 线 性 相 关 相 关 关 系 示 意 图

8 例 13-2 ( 续 前 例 13-1) 计 算 表 13-1 中 体 重 指 数 和 收 缩 压 的 相 关 系 数 1 绘 制 散 点 图 : 2 计 算 : l xx = l yy = l xy = r = = 第 三 节 相 关 系 数 的 假 设 检 验 总 体 相 关 系 数 的 假 设 检 验 H 0 :ρ=0 t 检 验 法 查 表 法

9 总 体 相 关 系 数 的 假 设 检 验 1 t 检 验 法 H 0 :ρ=0 t r 0 r = = s r 1 r ν=n-2 2 n 2 例 13-3 ( 续 前 例 13-1) 根 据 体 重 指 数 和 收 缩 压 间 样 本 相 关 系 数 r=0.91, 对 总 体 相 关 系 数 ρ=0 进 行 假 设 检 验 (1) 建 立 假 设, 确 定 检 验 水 准 H 0 :ρ=0 即 变 量 间 不 存 在 线 性 相 关 关 系 H 1 :ρ 0 即 变 量 间 存 在 线 性 相 关 关 系 α=0.05

10 (2) 计 算 检 验 统 计 量 r=0.91, n=16, 代 入 公 式 计 算 得 t= = = (3) 查 t 界 值 表, 确 定 P 值, 下 结 论 根 据 ν=16-2=14 查 t 界 值 表 得 P<0.05, 按 α=0.05 的 检 验 水 准, 拒 绝 H 0, 接 受 H 1 可 认 为 体 重 指 数 和 收 缩 压 之 间 存 在 正 相 关 关 系 相 关 系 数 的 假 设 检 验 2 查 表 法 H 0 :ρ=0 根 据 r 值 及 ν=n-2, 查 附 表 13( 相 关 系 数 r 界 值 表 ) 确 定 P 值 : r > r α/2, /2,ν=> P<α 本 例,r=0.91,, ν =14 查 r 界 值 表 得 r 0.05/2,14 = 0.497, 所 以 P < 0.05 按 α=0.05 的 检 验 水 准, 拒 绝 H 0, 接 受 H 1, 可 认 为 体 重 指 数 和 收 缩 压 之 间 存 在 正 相 关 关 系

11 第 四 节 相 关 系 数 的 可 信 区 间 21 相 关 系 数 的 抽 样 分 布 ( ρ = 0.8) ρ = ρ =

12 R.A. Fisher(1921) 的 z 变 换 z r = = 1 2 e e ln 2 z 2 z r r [ ] z 近 似 服 从 均 数 为 1 ln (1 + r) /(1 r ) 2, 标 准 差 为 1/ n 3 的 正 态 分 布 23 相 关 系 数 的 z 变 换 值 的 抽 样 分 布 (ρ = - 0.8) 变 换 前 变 换 后 24

13 相 关 系 数 的 z 变 换 值 的 抽 样 分 布 (ρ=0.8) 变 换 前 变 换 后 25 相 关 系 数 的 可 信 区 间 估 计 (1) 将 r 变 换 为 z ; (2) 根 据 z 服 从 正 态 分 布, 估 计 z 的 可 信 区 间 : 1 z ± uα sz = z ± uα n 3 (3) 再 将 z 变 换 回 r 26

14 相 关 系 数 的 可 信 区 间 估 计 r Fisher s 变 换 z 近 似 正 态 ρ 的 95%CI Fisher s 反 变 换 Z 的 95%CI 27 例 13-4 ( 续 前 例 13-1) 根 据 体 重 指 数 和 收 缩 压 间 样 本 相 关 系 数 r=0.91, 求 总 体 相 关 系 数 ρ 的 95% 可 信 区 间 r= r = 2 1 r -1 Z=tanh r= ln (Fisher s 变 换 )

15 Z ± u / 3 α /2 n = ± 1.96 / 16 3 = : ~ z e 1 r = tanh Z = 2z e + 1 (Fisher s 反 变 换 ) tanh ~ tanh2.0770=0.76~0.97 结 论 : 总 体 相 关 系 数 ρ 的 95%CI:0.76~0.97 第 五 节 相 关 系 数 应 用 的 注 意 事 项 30

16 相 关 系 数 应 用 的 注 意 事 项 1. 相 关 分 析 一 定 要 有 实 际 意 义, 相 关 关 系 不 一 定 是 因 果 关 系 ; 案 例 一 : 当 样 本 足 够 大 时, 身 高 Y 与 家 庭 中 的 每 月 用 电 量 X 的 线 性 相 关 性 具 有 统 计 学 意 义 ( 相 关 系 数 的 假 设 检 验 P<0.05) 案 例 二 : 一 项 研 究 抽 取 了 5000 个 美 国 人 组 成 样 本, 结 果 发 现 自 我 报 告 工 作 满 意 度 与 期 望 寿 命 之 间 r=0.7(p=0.01) 因 此,, 要 想 长 寿, 就 应 当 喜 欢 你 的 工 作 相 关 系 数 应 用 的 注 意 事 项 2. 进 行 线 性 相 关 分 析 前 要 先 绘 制 散 点 图, 从 散 点 图 的 趋 势 判 断 是 否 可 以 作 线 性 相 关 分 析 ;

17 紫 外 光 对 新 生 小 鼠 背 皮 ATP 酶 阳 性 的 郎 格 汉 斯 细 胞 (LC) 照 射 不 同 时 间 的 细 胞 密 度 ( 个 /mm 3 ) 33 建 湖 县 1978~1985 年 疟 疾 逐 月 发 病 数 月 发 病 人 数 月 份 34

18 我 国 1940~1988 年 间 不 同 月 份 的 男 性 婴 儿 死 亡 率 ( ) 的 季 节 性 分 析 男 性 婴 儿 死 亡 率 ( ) 月 份 35 通 过 散 点 图 识 别 离 群 值 : P Q 离 群 值 对 相 关 的 影 响 36

19 相 关 系 数 应 用 的 注 意 事 项 3. 必 须 对 总 体 相 关 系 数 ρ 进 行 假 设 检 验 ; 当 样 本 量 较 大 (n>100), 并 对 ρ 进 行 假 设 检 验, 有 统 计 学 意 义 时 : r >0.7 两 变 量 高 度 相 关 ; 0.4< r 0.7 两 变 量 中 度 相 关 ; 0.2< r 0.4 两 变 量 低 度 相 关 4. 同 一 个 观 察 指 标 的 两 次 重 复 测 量 结 果 间 的 相 关 系 数 表 示 测 量 结 果 的 可 靠 性 (P206 6); 37 相 关 系 数 应 用 的 注 意 事 项 5. 应 审 慎 对 待 相 关 分 析 的 样 本 的 合 并 与 分 层 问 题 样 本 甲 观 察 点 样 本 乙 观 察 点 (a) (b) 样 本 的 合 并 可 能 对 相 关 性 造 成 的 误 导 38

20 线 性 相 关 与 回 归 的 区 别 1. 意 义 : 相 关 : 两 变 量 的 相 互 关 系, 两 个 变 量 中, 任 何 一 个 的 变 化 都 会 引 起 另 一 个 的 变 化, 是 一 种 双 向 变 化 的 关 系 回 归 : 两 个 变 量 的 依 存 关 系, 一 个 变 量 的 改 变 会 引 起 另 一 个 变 量 的 变 化, 是 一 种 单 向 变 化 的 关 系 2. 应 用 : 相 关 分 析 : 研 究 两 个 变 量 的 相 互 关 系 回 归 分 析 : 研 究 两 个 变 量 的 依 存 关 系 3. 研 究 性 质 : 线 性 相 关 与 回 归 的 区 别 相 关 : 对 两 个 变 量 之 间 的 关 系 进 行 描 述, 看 两 个 变 量 是 否 有 关, 关 系 是 否 密 切, 是 正 相 关 还 是 负 相 关 回 归 : 对 两 个 变 量 定 量 描 述, 研 究 两 个 变 量 的 数 量 关 系, 已 知 一 个 变 量 值 可 以 预 测 出 另 一 个 变 量 值, 可 以 得 到 定 量 结 果 40

21 线 性 相 关 与 回 归 的 区 别 4. 相 关 系 数 r 与 回 归 系 数 b 的 绝 对 值 反 映 的 意 义 不 同 : r 的 绝 对 值 越 大, 散 点 图 中 的 点 越 趋 向 于 一 条 直 线, 表 明 两 变 量 的 关 系 越 密 切, 相 关 程 度 越 高 ; b 的 绝 对 值 越 大, 回 归 直 线 越 陡, 说 明 当 X 变 化 一 个 单 位 时,Y 的 平 均 变 化 就 越 大 41 线 性 相 关 与 回 归 的 联 系 关 系 : 能 进 行 回 归 分 析 的 变 量 之 间 必 然 存 在 相 关 关 系 所 以, 对 于 两 个 研 究 变 量 应 先 做 散 点 图, 求 出 它 们 的 相 关 系 数, 对 于 确 有 相 关 关 系 的 变 量 再 进 行 回 归 分 析, 求 出 回 归 方 程 相 关 系 数 r 与 回 归 系 数 b : 1 符 号 一 致 ; 2 假 设 检 验 结 果 一 致, 可 用 r 的 显 著 检 验 代 替 b 的 显 著 性 检 验

22 第 六 节 Spearman 秩 相 关 (P222) 总 体 Spearman 秩 相 关 系 数 :ρ s, 样 本 Spearman 秩 相 关 系 数 :r s 反 应 两 个 变 量 X Y 之 间 的 相 关 性 而 不 依 赖 于 X Y 的 分 布 44

23 Spearman 秩 相 关 系 数 的 计 算 : 将 两 变 量 X,Y 分 别 编 秩 P=R X, Q=R Y ; 计 算 P 与 Q 的 Pearson 相 关 ; 所 得 结 果 即 为 Spearman 秩 相 关 系 数 r S -1 r s 1 如 果 n 个 X 值 互 不 相 等 ( 不 同 秩 ),n 个 Y 值 也 互 不 相 等, 可 利 用 简 化 公 式 : r s 2 6 d = 1 2 n( n 1) (14 9) d=p-q

24 总 体 秩 相 关 系 数 的 假 设 检 验 H 0 : ρ s =0 1 查 表 法 : 计 算 出 r s 后, 查 附 表 14(r s 界 值 表 ), 得 到 P 值 ( ( 注 意 与 附 表 13 不 同, 表 14 中 首 列 为 对 子 数 n) 2 t 检 验 : 当 n 超 出 附 表 14 范 围 时 (n>50( n>50), 用 公 式 (14( 14-10) ) 检 验 总 体 秩 相 关 系 数 t = rs 2 1 rs, υ = n 2 n 2 (14 10) 例 14-4 调 查 了 某 地 区 10 个 乡 的 钉 螺 密 度 与 血 吸 虫 感 染 率 (%) 数 据 如 表 14-7 试 分 析 该 地 区 钉 螺 密 度 与 感 染 率 之 间 有 无 相 关 关 系?

25 表 个 乡 的 钉 螺 密 度 与 血 吸 虫 感 染 率 (%) 乡 编 号 钉 螺 密 度,X 感 染 率,Y X 的 秩,V Y 的 秩,W d l VV =82.5 l WW =81.5 Σd 2 =30.0 l VW = 解 : 由 于 本 例 数 据 涉 及 感 染 率, 而 率 一 般 不 服 从 正 态 分 布, 故 计 算 Spearman 秩 相 关 系 数 本 例 数 据 中 变 量 Y 的 值 出 现 了 同 秩, 因 此, 利 用 公 式 (14-8) 得 r s = l l VW VV l WW = =

26 对 求 得 的 Spearman 秩 相 关 系 数 进 行 检 验 : 1. 建 立 检 验 假 设, 确 定 检 验 水 准 H 0 :ρ s =0( 钉 螺 密 度 与 血 吸 虫 感 染 率 无 关 ) H 1 :ρ s 0 ( 钉 螺 密 度 与 血 吸 虫 感 染 率 有 关 ) α = 查 表 法 由 附 表 14,r 10,0.01 =0.794<0.8171, P< t 检 验 法 将 r s = 代 入 公 式 (14-10) 得 rs t = = = rs 1 (0.8171) n υ = n 2 = 8 查 附 表 2, 得 t 0.01/2,8 =3.355 < t =4.01, P< 下 结 论 : 在 α = 0.01 水 准 上, 拒 绝 H0, 接 受 H1, 认 为 该 地 区 钉 螺 密 度 与 感 染 率 之 间 有 秩 相 关 关 系

27 秩 ( 等 级 ) 相 关 的 含 义 秩 ( 等 级 ) 相 关 反 映 的 是 两 变 量 等 级 间 的 相 关, 并 不 反 映 两 变 量 间 的 数 值 关 系 例 1 例 2 例 3 例 4 X Y X Y X Y X Y Chapter Summary 一 相 关 分 析 的 用 途 与 步 骤, 及 其 与 线 性 回 归 分 析 的 区 别 与 联 系 ; 二 相 关 系 数 r 的 计 算 和 意 义 ; 三 总 体 相 关 系 数 ρ 的 假 设 检 验 ; 四 不 满 足 正 态 分 布 的 变 量 其 相 关 性 用 Spearman 秩 相 关 系 数 衡 量 54

28 SAS 程 序 直 线 相 关 分 析 例 7.1 某 地 方 病 研 究 所 调 查 了 8 名 正 常 儿 童 的 尿 肌 酐 含 量 (mmol/24h) 如 表 7.1, 试 分 析 尿 肌 酐 含 量 (mmol/24h) 与 年 龄 ( 岁 ) 之 间 的 相 关 关 系 表 名 正 常 儿 童 的 年 龄 ( 岁 ) 与 尿 肌 酐 含 量 (mmol/24h) 编 号 年 龄 尿 肌 酐 含 量

29 直 线 相 关 系 数 P 值 结 论 结 论 : 本 例 Pearson 相 关 系 数 为 r= , 所 对 应 的 P=0.0038<0.05, 说 明 两 个 变 量 之 间 存 在 正 相 关 关 系, 即 一 个 变 量 的 值 增 大 时, 另 一 个 变 量 的 值 也 相 应 地 增 大

30 SAS 程 序 秩 相 关 例 7.4 某 省 调 查 了 1995 年 到 1999 年 当 地 居 民 18 类 死 因 的 构 成 以 及 每 种 死 因 导 致 的 潜 在 工 作 损 失 年 数 WYPLL 的 构 成, 结 果 见 表 7.3 以 死 因 构 成 为 x,wypll 构 成 为 y, 试 作 秩 相 关 分 析 表 7.3 某 省 1995 年 到 1999 年 居 民 死 因 构 成 与 WYPLL 构 成 死 因 类 别 各 死 因 构 成 (%) WYPLL 构 成 死 因 类 别 各 死 因 构 成 (%) WYPLL 构 成

31 spearman 相 关 系 数 作 业 P212 三 -2 P227 三 -3 62

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