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1 JT 詳 解 4-4 年 指 考 數 學 乙 4 年 大 學 入 學 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 試 題 第 壹 部 分 : 選 擇 題 ( 單 選 題 多 選 題 及 選 填 題 共 占 76 分 ) 一 單 選 題 ( 占 分 ) 說 明 : 第 題 至 第 題, 每 題 有 5 個 選 項, 其 中 只 有 一 個 是 正 確 或 最 適 當 的 選 項, 請 畫 記 在 答 案 卡 之 選 擇 ( 填 ) 題 答 案 區 各 題 答 對 者, 得 6 分 ; 答 錯 未 作 答 或 畫 記 多 於 一 個 選 項 者, 該 題 以 零 分 計 算. 將 正 方 形 ABD 的 每 一 條 邊 各 自 標 上 中 的 某 一 個 數, 使 得 任 兩 條 相 鄰 的 邊, 都 標 有 恰 好 差 的 兩 個 數 滿 足 這 種 條 件 的 標 示 法 總 共 有 多 少 種? () () 4 () 6 (4) 8 (5) 解 :. 取 AB =, B = AD =, D =(a 圖 ), 再 旋 轉, 得 種 A B A B A B 取 AB =, B = AD =, D =(b 圖 ), 再 旋 轉, 得 4 種 D. 取 AB =, B = AD =, D =(c 圖 ), 再 旋 轉, 得 種 D D 旋 轉 情 形 : (a 圖 ) (b 圖 ) (c 圖 ) A B A B A B A B A B A B A B A B D D D D D D D D 共 有 +4+=8 種 答 :(4) 出 處 : 第 二 冊 ( 計 數 原 理 排 列 ). 坐 標 平 面 上,x 坐 標 與 y 坐 標 皆 為 整 數 的 點 稱 為 格 子 點 設 n 為 正 整 數, 已 知 在 第 一 象 限 且 滿 足 x+y n 的 格 子 點 a (x,y) 的 數 目 為 a n 則 lim n n n () () () 4 的 值 為 下 列 哪 一 個 選 項? (4) (5) 4 解 : 如 右 圖 當 n= 時,L :x+y, a = 當 n= 時,L :x+y 4, a == a + 當 n= 時,L :x+y 6, a =6= a + 當 n=4 時,L 4 :x+y 8, a 4 == a + 當 n=k 時,L k :x+y k, a k = a k + (k-) 相 加, 得 a =[+++ +(k-)]=k(k-) 答 :() lim n a n = n n k n( n ) lim n n n lim = n = n 出 處 : 第 二 冊 ( 數 列 與 級 數 遞 迴 定 義 式 ) 數 乙 下 ( 極 限 ) L L L L 4 L 5 二 多 選 題 ( 占 4 分 ) 說 明 : 第 題 至 第 7 題, 每 題 有 5 個 選 項, 其 中 至 少 有 一 個 是 正 確 的 選 項, 請 將 正 確 選 項 畫 記 在 答 案 卡 之 選 擇 ( 填 ) 題 答 案 區 各 題 之 選 項 獨 立 判 定, 所 有 選 項 均 答 對 者, 得 8 分 ; 答 錯 個 選 項 者, 得 4.8 分 ; 答 錯 個 選 項 者, 得.6 分 ; 答 錯 多 於 個 選 項 或 所 有 選 項 均 未 作 答 者, 該 題 以 零 分 計 算. 針 對 某 人 的 班 級 調 查 喝 飲 料 的 習 慣, 發 現 其 中 習 慣 半 糖 ( 糖 分 減 半 ) 的 有 7 人, 而 習 慣 去 冰 ( 不 加 冰 塊 ) 的 有 8 人 現 在 若 隨 機 抽 問 該 班 一 位 同 學, 他 喝 飲 料 的 習 慣 是 半 糖 且 去 冰 的 機 率 有 可 能 是 下 列 哪 些 選 項? ().8 ().46 ().56 (4).66 (5).74

2 JT 詳 解 4-4 年 指 考 數 學 乙 解 : 7+8>, 半 糖 且 去 冰 的 人 至 少 有 7+8-=5 人, 即 最 小 值 半 糖 全 糖 合 計 去 冰 5 8 加 冰 合 計 7 人 又 半 糖 且 去 冰 的 人 至 多 ( 取 半 糖 7 人, 去 冰 8 人 的 最 小 值 ) 8 人, 即 最 大 值 半 糖 全 糖 合 計 去 冰 8 8 加 冰 9 合 計 7 人 半 糖 且 去 冰 的 人 8, 機 率 P( 半 糖 且 去 冰 的 人 ),. P( 半 糖 且 去 冰 的 人 ).56 答 :()() 出 處 : 第 二 冊 ( 機 率 ) 4. 半 導 體 產 業 的 摩 爾 定 律 認 為 積 體 電 路 板 可 容 納 的 電 晶 體 數 目 每 兩 年 增 加 一 倍 用 f () 表 是 從 = 開 始, 電 晶 體 數 目 隨 時 間 的 函 數, 並 假 設 f ()= 下 面 選 項 中, 請 選 出 可 以 代 表 摩 爾 定 律 的 公 式 () 若 以 年 為 單 位, 則 f ()=+ () 若 以 月 為 單 位, 則 f ()=+ 4 () 若 以 年 為 單 位, 則 f ()= ( ) (4) 若 以 年 為 單 位, 則 log f ()=+ log (5) 若 以 月 為 單 位, 則 log f ()=+ 4 解 :. 若 以 年 為 單 位 時, 每 兩 年 增 加 一 倍, 即 平 均 一 年 增 加 倍, 年 增 加 倍 log( ) f ()= = ( ) 取 log 時,log f ()=log ( ( ) )=log +log ( ) =+ log. 若 以 月 為 單 位, 每 兩 年 增 加 一 倍, 即 4 個 月 增 加 一 倍, 平 均 一 個 月 增 加 f ()= 4 取 log 時,log f ()=log ( 4 答 :()(5) 出 處 : 第 一 冊 ( 指 數 與 對 數 ) )=log +log 4 =+ log 4 4 倍 5. 下 表 是 兩 年 前 三 種 零 食 分 別 在 兩 間 超 市 的 單 價 :( 單 位 : 元 / 包 ) 超 市 甲 超 市 乙 蘇 打 餅 8 薯 片 魷 魚 絲 7 66 上 表 以 單 價 矩 陣 7 8 表 示 如 果 這 兩 間 超 市 都 以 每 年 % 的 比 例 調 漲 物 品 的 價 格, 請 問 下 列 哪 些 選 項 的 計 算 結 果 可 66 以 代 表 現 在 這 些 零 食 在 這 兩 間 超 市 的 單 價 矩 陣?

3 JT 詳 解 4-4 年 指 考 數 學 乙 8 8 (.) 8 () (.) () (.) () (.) (.) (.) (.) (.) 8 (4).. (5) (.) (.) (.) (.) (.) (.) 7 66 解 :(I) 每 年 % 的 比 例 調 漲 物 品 的 價 格, 年 後 ( 現 在 ) 價 格 =(.) ( 年 前 的 價 格 ) (.) 現 在 各 零 食 之 價 格 = (.) (.) 7 (.) (.) (.) 8 66 = 選 項 () (.) 7 8 (.) = 66 (.) (.) (II) 選 項 (4) 答 :()(4) (.) = (.) (.) 7 (.) 8. (.) (.) 66 出 處 : 第 二 冊 ( 數 據 分 析 = 平 均 成 長 率 ) 第 四 冊 ( 矩 陣 ) (.). = (.) (.) 7 (.) (.) (.) 設 f (x) 為 一 實 係 數 多 項 式, 且 f (x) 除 以 (x-)(x-) 的 餘 式 為 (x-) +g(x), 其 中 g(x) 為 一 次 多 項 式 請 選 出 正 確 的 選 項 () 若 知 道 f () 及 f (), 則 可 求 出 g(x) () f (x) 除 以 (x-) 的 餘 式 是 g() () f (x) 除 以 (x-) 的 餘 式 是 g() (4) f (x) 除 以 (x-) 的 餘 式 是 g(x) (5) f (x) 除 以 (x-)(x-) 的 餘 式 為 x-+g(x) 解 : 根 據 題 意, 列 式 得 f (x)=(x-)(x-) Q(x)+[(x-) +g(x)], 其 中 設 Q(x) 為 商 式 () g(x) 為 一 次 多 項 式, 設 g(x)=ax+b, 得 f (x)=(x-)(x-) Q(x)+[(x-) +(ax+b )] 由 f ()=+a+b= 知 道, 與 f ()=a+b= 知 道, 可 解 得 a b 之 值, 可 求 出 g(x)=ax+b 正 確 () f (x) 除 以 (x-) 的 餘 式 =f ()=(-)(-) Q()+[(-) +g()]=g() 正 確 () f (x) 除 以 (x-) 的 餘 式 =f ()=(-)(-) Q()+[(-) +g()]=+g() 不 正 確 (4) f (x)=(x-)(x-) Q(x)+[(x-) +g(x)]=(x-) [(x-)q(x)+]+g(x) 即 f (x) 除 以 (x-), 得 商 式 =(x-)q(x)+, 餘 式 為 g(x) 正 確 (5) f (x)=(x-)(x-) Q(x)+[(x-) +g(x)]=(x-)(x-) Q(x)+[(x -4 x+4) +g(x)] =(x-)(x-)[(x-)q(x)]+[(x-)(x-) +(-x+)+g(x)] =(x-)(x-)[(x-)q(x)+]+[(-x+)+g(x)] 即 f (x) 除 以 (x-)(x-), 得 商 式 =(x-)q(x)+, 餘 式 為 (-x+)+g(x) 不 正 確 答 :()()(4) 出 處 : 第 一 冊 ( 多 項 式 )

4 JT 詳 解 年 指 考 數 學 乙 7. 下 表 是 某 國 在 9 年 至 5 年 間, 運 動 選 手 的 人 數 統 計 : 年 份 男 生 女 生 關 於 該 國 運 動 選 手, 請 根 據 這 張 表 選 出 正 確 的 敘 述 () 從 9 年 到 5 年, 男 運 動 選 手 增 加 的 總 人 數 比 女 運 動 選 手 增 加 的 總 人 數 多 () 從 9 年 到 5 年, 平 均 一 年 增 加 了 58 名 男 運 動 選 手 () 從 9 年 到 5 年, 男 女 運 動 選 手 人 數 差 逐 年 持 續 縮 小 (4) 如 果 分 別 計 算 男 女 運 動 選 手 人 數 對 年 份 的 迴 歸 直 線 ( 最 適 直 線 ), 則 男 生 的 直 線 斜 率 小 於 女 生 的 直 線 斜 率 (5) 在 9 年 到 5 年 共 7 年 中, 全 國 平 均 一 年 有 超 過 6 名 運 動 選 手 解 : 統 計 表 計 算 如 下 : 年 份 男 生 男 增 加 女 生 女 增 加 男 女 相 差 男 女 總 數 共 58 共 9 共 467 () 男 運 動 選 手 增 加 58 人, 小 於 女 運 動 選 手 增 加 的 9 人 () 男 運 動 選 手 總 共 增 加 了 58 名 () 男 女 運 動 選 手 人 數 差 除 了 年 比 年 增 加 外, 其 餘 逐 年 持 續 縮 小 (4) 男 女 運 動 選 手 7 年 分 別 增 加 58 人 與 9 人, 得 知 男 生 的 變 化 量 小 於 女 生 男 生 迴 歸 直 線 ( 最 適 直 線 ) 的 斜 率 小 於 女 生 的 斜 率 (5) 男 女 運 動 選 手 7 年 總 共 有 467 人, 平 均 一 年 約 有 答 :(4)(5) 出 處 : 第 二 冊 ( 二 維 數 據 分 析 ) 人, 故 超 過 6 名 運 動 選 手 7 三 選 填 題 ( 占 4 分 ) 說 明 :. 第 A 至 題, 將 答 案 畫 記 在 答 案 卡 之 選 擇 ( 填 ) 題 答 案 區 所 標 示 的 列 號 (8-7). 每 題 完 全 答 對 給 8 分, 答 錯 不 倒 扣, 未 完 全 答 對 不 給 分 A. 若 a 為 整 數, 且 y=-7x +ax+ 的 圖 形 與 x 軸 的 兩 個 交 點 都 介 於 x=- 與 x= 之 間, 則 滿 足 這 樣 條 件 的 a 有 8 9 個 解 : 根 據 題 意,y=-7x +ax+ 的 圖 形 為 開 口 向 下, 且 必 過 點 (, ) 的 拋 物 線 又 與 x 軸 的 兩 個 交 點 都 介 於 x=- 與 x= 之 間, 可 能 圖 形 如 右 圖 兩 根 必 介 於 x=- 與 x= 之 間, 且 y=f (-)<,y=f ()< 當 f (-)=-7-a+ =- -a<, 得 a>- 當 f ()=-7+a+ =- +a<, 得 a< - <a<, 整 數 a 為 -6,-5,,-,,,,5,6 共 有 個 - f (-) y O 根 f () x 答 : 出 處 : 第 一 冊 ( 多 項 式 勘 根 性 質 )

5 JT 詳 解 年 指 考 數 學 乙 B. 如 圖, 長 方 形 ABD 中 AB=,AAD=A, 則 AAB= A B 解 :. 在 AB 中, 如 右 圖 AB=, 設 B = AD =k>, A =k, AB =. AAD=A,(k)(k)cos 6=k, k=. 在 AB 中,AAB=(k)( k)cos =4 = 另 解 : AAD=AADcos 6=A, AD=, AD = 在 AB 中,AB=, B = AD =, AB = k A D 6 k k B k D AAB=AAB cos =AB(Acos )=ABAB=( ) = 答 : 出 處 : 第 三 冊 ( 平 面 向 量 內 積 ). 某 校 數 學 老 師 針 對 高 三 學 生 隨 機 選 出 名 男 學 生 及 名 女 學 生, 做 新 教 材 性 的 調 查, 每 一 位 學 生 都 要 填 答, 且 只 能 填 答 或 結 果 有 5 名 學 生 填 答 無 法 新 教 材 內 容 假 設 學 生 與 獨 立, 請 完 成 下 列 表 格, 使 其 最 能 符 合 上 述 假 設 (5 人 ) 男 生 ( 人 ) 人 4 人 女 生 ( 人 ) 5 人 6 7 人 解 : 根 據 題 意, 高 三 學 生 有 += 人, 有 5 人, 有 -5=5 人 設 男 學 生 中, 有 x 人, 則 有 (-x) 人 女 學 生 中, 有 (5-x) 人, 有 -(5-x)=(x+5) 人, 如 下 表 (5 人 ) (5 人 ) (5 人 ) (5 人 ) 男 生 ( 人 ) x 人 (-x ) 人 男 生 ( 人 ) 9 人 人 女 生 ( 人 ) (5-x) 人 (x+5) 人 女 生 ( 人 ) 6 人 4 人 x x 學 生 與 獨 立, = 5 x x 5 x(x+5)=(x-5)(x-),x +5x=x -45x+4, 得 x=9, 如 右 上 表 另 解 : 學 生 與 獨 立, 且 男 : 女 =:=:, 故 假 設 各 人 數 如 下 表 : (5 人 ) (5 人 ) 男 生 ( 人 ) a 人 b 人 女 生 ( 人 ) a 人 b 人 (5 人 ) (5 人 ) 男 生 ( 人 ) 9 人 人 女 生 ( 人 ) 6 人 4 人 a+a=5, a=, 又 b+b=5, b=7, 得 各 人 數, 如 右 上 表 答 : 略 出 處 : 第 二 冊 選 修 數 乙 上 ( 獨 立 事 件 ) 以 下 第 貳 部 分 的 非 選 擇 題, 必 須 作 答 於 答 案 卷

6 JT 詳 解 年 指 考 數 學 乙 第 貳 部 份 : 非 選 擇 題 ( 占 4 分 ) 說 明 : 本 部 分 共 有 二 大 題, 答 案 必 須 寫 在 答 案 卷 上, 並 於 題 號 欄 標 明 大 題 號 ( 一 二 ) 與 子 題 號 (() () ) 同 時 必 須 寫 出 演 算 過 程 或 理 由, 否 則 將 予 扣 分 甚 至 零 分 作 答 務 必 使 用 筆 尖 較 粗 之 黑 色 墨 水 的 筆 書 寫, 且 不 得 使 用 鉛 筆 每 一 子 題 配 分 標 於 題 末 一 根 據 內 政 部 營 建 署 建 築 物 無 障 礙 設 施 設 計 規 範, 無 障 礙 通 路 之 設 計 需 符 合 以 下 規 定 坡 道 之 坡 度 ( 高 度 與 水 平 常 渡 之 比 值 ) 不 得 大 於 坡 道 之 起 點 及 終 點, 應 設 置 長 寬 各 公 分 以 上 之 此 處 的 長, 指 的 是 水 平 長 度, 而 非 斜 面 的 長 度 坡 道 的 中 間 應 設 置 適 當 數 量 的, 使 得 每 段 坡 道 的 高 度 差 不 超 過 75 公 分, 且 的 水 平 長 度 至 少 公 分 各 之 坡 度 不 得 大 於 圖 一 與 圖 二 為 側 面 示 意 圖, 圖 一 摘 自 此 規 範 書, 圖 二 為 圖 一 的 簡 明 版, 其 中 l, h, h 75; 坡 道 之 坡 度 相 當 於 坡 道 斜 率 之 絕 對 值 依 上 述 規 定, 一 條 升 高 公 尺 的 無 障 礙 坡 道, 在 無 轉 彎 的 條 件 下, 其 最 小 可 能 的 水 平 長 度 ( 含 ) 為 多 少 公 尺?( 分 ) 解 :. 根 據 題 意, 先 計 算 與 坡 道 長 高 之 最 佳 值 ( 單 位 : 公 分 ). 因 規 定 坡 道 之 起 點 及 終 點 應 設 置, 且 高 度 限 制 公 尺 ( 公 分 ) 之 下, 故 可 能 設 計 如 下 : (), 坡 道, 高 度 =+75+=8( 公 分 )<( 公 分 ) (), 坡 道, 高 度 = =59( 公 分 )<( 公 分 ) () 4, 坡 道, 高 度 = =7( 公 分 )>( 公 分 ) 答 :8.56 : 限 制 最 佳 比 例 得 知 設 計 () 的 一 坡 道 必 須 為 8 公 分, 符 合 =( 公 分 ) 依 據 坡 道 比 例, 高 為 8 公 分 的 坡 道 長 =8 =456 公 分, 設 計 如 下 圖 所 示 水 平 長 度 = =856( 公 分 )=8.56( 公 尺 ) 出 處 : 第 一 冊 ( 數 與 式 ) 75 高 度 公 尺 9 坡 道 75 水 平 長 度 9 坡 道 : 限 制 坡 道 最 佳 比 例 坡 道 456

7 JT 詳 解 年 指 考 數 學 乙 二 某 航 空 公 司 因 機 械 故 障 而 停 飛, 致 使 平 安 旅 行 社 原 來 預 定 搭 此 航 空 公 司 班 機 返 台 的 5 位 旅 客, 被 迫 滯 留 在 當 地 領 隊 經 詢 問 後 得 知, 另 外 三 家 航 空 公 司 飛 往 台 灣 近 期 的 機 位 已 滿, 都 必 須 等 待, 當 時 有 三 種 方 案 可 以 將 旅 客 送 回 台 灣 如 下 表 ( 表 中 的 數 據 試 以 每 人 為 單 位 ) 例 如 A 方 案, 旅 行 社 必 須 擔 負 每 人 4 元 的 食 宿 費 加 上 4 元 的 轉 機 價 差 方 案 食 宿 費 轉 機 價 差 返 台 所 需 等 待 時 間 A 轉 搭 甲 航 空 公 司 的 班 機 4 元 4 元 天 B 轉 搭 乙 航 空 公 司 的 班 機 5 元 元 4 天 轉 搭 丙 航 空 公 司 的 班 機 8 元 元 6 天 註 : 轉 機 價 差 是 指 轉 搭 其 他 航 空 公 司 的 班 機 所 需 補 的 票 價 差 額 領 隊 向 旅 行 社 報 告 後, 旅 行 社 同 意 領 隊 可 以 使 用 下 列 經 費 來 解 決 此 事 件 : 食 宿 費 總 共 最 多 元, 轉 搭 其 他 航 空 公 司 的 班 機 的 轉 機 價 差 總 共 最 多 8 元 試 問 在 經 費 允 許 的 條 件 下, 要 如 何 分 配 採 用 A B 這 三 種 方 案 的 人 數, 才 能 使 全 部 旅 客 返 回 台 灣 所 用 的 等 待 總 人 天 數 最 少? 所 謂 等 待 總 人 天 數 是 採 用 各 方 案 的 人 數 乘 以 等 待 的 天 數 之 總 和, 例 如 : 若 採 用 A B 方 案 的 人 數 分 別 為 8 7 人, 則 等 待 總 人 天 數 為 =6( 人 天 ) 如 果 領 隊 規 劃 x 人 轉 搭 甲 航 空 公 司 的 班 機 y 人 轉 搭 乙 航 空 公 司 的 班 機 其 餘 的 旅 客 轉 搭 丙 航 空 公 司 的 班 機, 由 下 列 步 驟, 求 出 全 部 旅 客 返 回 台 灣 所 用 的 最 少 等 待 總 人 天 數 () 寫 出 此 問 題 的 線 性 規 劃 不 等 式 及 目 標 函 數 (4 分 ) () 求 可 行 解 區 域 的 所 有 頂 點 的 坐 標 (4 分 ) () 求 全 部 旅 客 返 回 台 灣 所 用 的 最 少 等 待 總 人 天 數 (4 分 ) 解 : 根 據 解 決 此 事 件 之 方 案, 列 表 如 下 : 方 案 食 宿 費 轉 機 價 差 返 台 所 需 等 待 時 間 轉 搭 人 數 A 轉 搭 甲 航 空 公 司 的 班 機 4 元 4 元 天 x B 轉 搭 乙 航 空 公 司 的 班 機 5 元 元 4 天 y 轉 搭 丙 航 空 公 司 的 班 機 8 元 元 6 天 5-x-y 限 制 元 8 元 求 最 小 值 x, y 為 正 整 數 或 x, y, x, y N 5 x y x y 5 () 聯 立 不 等 式, 4x 5y 8(5 x y) 7x 5y 4x y (5 x y) 8 x y 4 目 標 函 數 f (x,y)=x+4y+6(5-x-y)=-x-y ( 最 小 值 ) y () 可 行 解 區 域 如 右 圖 : 可 行 解 區 域 的 頂 點 坐 標 有 : (,5),(,),(,),(,),(5,) 7 () 目 標 函 數 f (x,y): 頂 點 (,5) (,) (,) (5,) f (x,y) 9 85 最 少 等 待 總 人 天 數 為 85 天 4 5 O x+y=4 可 行 解 區 域 (5,) 5 x 7x+5y= x+y=5 答 :() 略, () (,5),(,),(,),(,),(5,) 7 () 85 天 出 處 : 第 三 冊 ( 直 線 與 圓 線 性 規 劃 )

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