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- 弦 伏
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2 ( CIP) /. :, ( ) ( ) ISBN C8 CIP ( 2003) : : : : ISBN / O0585 : : : htt p: / / cbs. pku. edu. cn : zpup@ pup. pku. edu. cn : : : : A : : ,,
3 :,,,,,,, ;,,,,,,,, ( ),,,
4 , 1959,,,,,, 80, ;, ;,,
5 : : : : ( ) : :
6 ,,,,,,,,,, 2001,,,,,, ;,,,,,,,,,, 30 ( 18 ),
7 ,,,, 20,,,,,,,,, ;,,,,
8 20 90, :,, ;,,, , 20,,,,,,, SARS 2/ 3 : 1., 2.,
9 ,,, 3., *,, 4.,, Excel, SAS, SPSS, S-plus TI TI V-200, IT,,,,, ( No ), ( JSPS), 2002,,
10 ,,,,,,
11 ( 13) 1. 1 ( 13) 1. 2 ( 14) 1. 3 ( 19) ( 24) 2. 1 ( 24) 2. 2 ( 24) ( 24) ( 26) 2. 3 ( 31) 2. 4 ( 38) 2. 5 ( 44) ( 44) ( 49) ( 53) 2. 6 Box-W hisker ( 55) Q 1 Q 3 ( 1/ 4 3/ 4 ) ( 55) Box-W hisker ( 59) 2. 7 ( 61) ( 62) 3. 1 ( 62) ( 62) ( 64) ( 67)
12 3. 2 ( 76) ( 76) * (, F, P ) ( 79) ( 81) 3. 3 ( 83) 3. 4 ( 90) ( 92) 4. 1 ( 92) 4. 2 ( 92) ( 94) ( 104) 4. 3 ( 112) ( 112) ( 120) * ( 122) 4. 4 ( 125) ( 126) ( 129) , ( 132) * 4. 5 ( 135) 4. 6 ( 136) * 4. 7 : ( 140) 4. 8 ( 144) () ( 146) 5. 1 ( 146) 5. 2 ( 154) ( 155) ( 164) , ( 166) 5. 3 ( 169)
13 5. 4 ( 174) ( 174) ( 178) , ( 183) 5. 5 ( 184) 5. 6 ( 190) 5. 7 : t ( 198) 5. 8 ( 198) () ( 200) 6. 1 ( 200) 6. 2 ( 200) ( 200) ( 205) 6. 3 ( 207) ( 215) * 6. 5 ( 219) 6. 6 ( 223) 6. 7 : 2 n F ( k 1, k 2) ( 227) 6. 8 ( 227) ( 229) 7. 1 ( 229) 7. 2 ( 232) ( 232) ( 237) 7. 3 ( 240) ( 240) ( 244) ( 249) ( 252) 7. 4 ( 259)
14 ( 260) ( 268) ( 271) ( 275) 7. 5 ( 279) ( 279) ( 283) ( 286) 7. 6 ( 287) ( 289) 8. 1 ( 289) 8. 2 ( 290) 8. 3 ( 291) 8. 4 ( 295) 8. 5 ( 299) 8. 6 ( 302) ( 303) ( 345) ( 348) n P ( X = k) = k p k ( 1- p ) n - k ( 351) ( 356) t ( 357) F ( 359) 2 ( 366) ( 368) ( 369) ( 370) ( 373) ( 377)
15 1. 1,,., :, ;,, 60%,.,,,, 30 ;,..,,,.,, ;,,,.,.,,,.,,
16 14,. 1. 2?,,., (,, 1972) :,,.. :,., S, A, A ( S), ( A), A , , : 7 7 ( A)?, A., S.,, S, A. 1. 1, : S, A, A ;, A,
17 ,, 100 C( S ), ( A), A S., S, B, B,. : A, ( A ) ;, B, ( B )., ;, =, =. ( 1. 1) : S, S,. 1. 4( ), m,, ( A), S,, : 1/ 1000 s, 10 ( : s) : , , , , , , , , , , A. S, 10 ( : s) : , , , , , , , , , , A H. L ohninger ( 1999) [ 30].
18 16, S, A,.,,,. 1. 5( ),. : ( n) ( ) ( ( n) / n) , : n, ( n) / n, 1/ 2. :,, 50%., ( n) / n ( n) / n 1. 6( ) ( Laplace ) ( 18 ),
19 = , , 25 = ,,, ,,,., :,. 1. 7( De Mer e ),. 17 De Mere : ; 24, , P 1 ), P 2 ( :, De Mere P 2 < 1 2 < P 1., ( ), P 2 = , P 1 = , De Mere,,. ( , 2) ( n) ( n ). n : ( n) n 1 2 = 0. 5,
20 18, : 1 2.,,. 1. 2( ) S, A, n, A ( n), n, ( n) n p, p A, P {A } = p. ( 1. 2), Cram r ( 1957) [ 13 ], : ( 1), n, ( n) n, n, ( ),, n, ( n) P {A} n. ( 2), P {} = 1; P {}= 0. ( n) = n, ( n) = 0. ( 3) 1. 2 : A, S,, ( ). ( n), p. :,?,,. :?.,, n( ) ( n), p.
21 ,,.,, y = sinx ( 0< x < 1), x, y x,. x, x 0, 0. 1, 0. 25, 0. 30, y ; x y : 0, , , , x y 1. 1 x y , y ,,. :, y, 4, n= 1, 2, 3, ,, y, n y :,.,, ( ) {1, 2, 3, 4, 5, 6}6 ;
22 20 X, {01, 02, 03,, 36}36..,,,,,. 0 x,, - 14( C) + 30( C),, ( C).,, , [ - 14, + 30]. 2, ( ),, x,.., ;,.,, ( 2000 ), ( ). 2000,.,,,,,.,, ( 500 ), {x 1, x 2,, x 500 },,, {x 1, x 2,, x n}
23 ,.,,.,..,,.,. 1. 8( ) 1. 3 ( ) ( ) , 36, : [ 01, 06], [ 07, 12], [ 13, 18], [ 19, 24], [ 25, 30], [ 31, 36],, 1. 3.
24 ( ), ( ), ( ) Rut herford, :,. N = 2608, 7. 5 s, 1. 5, k, N k., 1. 6 ( Poisson). 1. 6,, N P k N k, 1. 4.
25 k N k k P k ,, 3 4, 15% 20%,.
26 :,.,,, :, ( 25% ), ( 25% ),,,., ,,.,,,,.,,, :. :
27 :,,.,,,.,,,, : ( ), ,,,, 5,,, 100, n= 100, 100, 5,,, : 73676, 47150, 01927, 27754, ( 100 )., n,, , 352, : 50,? 352 : , : ( 1), 3, ; ( 2),, 3 ( * 1 * 2 * 3), ,,, ; ( 3) 50 ( 2. 1) ; ( 4),
28 26 ) , 8, , 8, 60, :? : N = 180, y, 1y180, 8, x, 1x 8, ( y = 022, x = 7), 22 7., ( y, x ), 60 : ( 083, 3), ( 134, 6), ( 026, 8), ( 116, 7), ( 125, 5), ( ), ( 173, 4), ( 117, 3), ( 042, 6), ( 155, 7), ( 033, 8), ( 064, 4), ( 110, 5), ( 076, 6), ( 023, 5), ( 036, 6), ( 035, 8), ( 004, 2), ( 016, 6), ( 029, 3), ( 009, 2), ( 124, 3), ( 001, 1), ( 139, 8), ( 130, 7), ( 052, 8), ( 088, 7), ( 147, 5), ( 152, 8), ( 168, 6), ( 160, 5), ( 006, 8), ( 122, 1), ( 166, 3), ( 121, 3), ( 066, 3), ( 046, 4), ( 142, 5), ( 128, 7), ( 061, 2), ( 093, 8), ( 084, 6), ( 126, 6), ( 105, 5), ( 040, 4), ( 179, 4), ( 150, 3), ( 099, 6), ( 065, 7), ( 162, 3), ( 111, 4), ( 109, 5), ( 078, 6), ( 075, 1), ( 171, 6), ( 067, 6), ( 003, 1), ( 055, 2), ( 050, 5), ( 114, 6) ,.,,,,, ( ) ( ), ( ),.
29 ,,.., : 3, 2, 4, 1, 5, 1, 5, 3, 4, 3, 5, 6, 4, 2, 5, 3, 1, 3, 4, 1, 4, 5, 1, 6, 3, 3, 1, 2, 4, 2, 6, 3, 4, 6, 6, 1, 6, 2, 4, 5, 2, 6.,. :, : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6 ; :, 6, 2. 2 ; 2. 2 k m k :,
30 ,,, , 60 : 63, 76, 83, 91, 45, 81, 93, 30, 72, 80, 82, 83, 81, 76, 67, 84, 72, 58, 83, 64, 93, 63, 75, 99, 74, 76, 95, 91, 83, 61, 82, 85, 83, 44, 88, 72, 66, 94, 68, 78, 88, 71, 94, 85, 82, 79, 100, 90, 83, 88, 84, 48, 72, 80, 85, 80, 87, 76, 62, , 6,., : X ma x = 100; X m in = 30., 71, 60,, 32,41,,, 5, ( ), 5., [ X min, X m a x], : 10, 7,, ,,,, 80., 60, , I k [ 30, 39] [ 40, 49] [ 50, 59] [ 60, 69] [ 70, 79] [ 80, 89] [ 90, 100] m k
31 I k [ 30, 59] [ 60, 68] [ 69, 76] [ 77, 84] [ 85, 92] [ 93, 100] m k , ( 2. 2). 2. 2, 80, ( ), , ;,., 6 15, 5 ( ). k, N, : Moore ( 1986) : kcn 2/ 5, C= 13; ( 2. 1) Sturges ( 1928) : k ( lgn ). ( 2. 2) k. N = 60, Moore, C5. 123, C 13, k= 6 ; St urges, k= , k= 6,,.
32 ( ) ( : mv, 10 ) : ,,. :. N = 100, St urges, k = [ ( lg100) ] = [ ] = 7, [ x ] x. :., 0( mv ), : X m a x = 29, X m in = - 35, = X m ax - X mi n k = , 2. 5 ((,] ) I k ( - 35, ] ( , ] ( , ] ( , 4. 5] ( 4. 5, 13. 5] ( 13. 5, 22. 5] ( 22. 5, 29) m k
33 ,., , 5, ,.,,,. f k, k m k N, f k = m k, k = 1, 2,, K. ( 2. 3) N. ( 1), 2. 3, k 1, 2, 3, 4, 5, 6( ), f k 7 42, 6 42, 8 42, 8 42, 6 42, 7, , 2. 3, 2. 4.
34 k f k f k : K f k = 1. ( 2. 4) k= 1, ( a).,, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 2. 4( a ) 2. 4( b). 2. 4( a ) ( b) ( b), {1, 2, 3, 4, 5, 6} {f k},
35 = , : 6. ( 2), ,, f k k, p k = f k = k mk, k = 1, 2,, K. ( 2. 5) N k 2. 4, I k 30, 9, 8, 8, 8, 8, N = 60, p k, , 2. 5, I k( 2. 4( b) ), I k p k I k [ 30, 59] [ 60, 68] [ 69, 76] [ 77, 84] [ 85, 92] [ 93, 100] k m k f k p k ) :, 1( K p k k = 1. ( 2. 6) k= 1,
36 ,. N = 100, p k , 2. 6, I k, I k p k., 2. 6, : d 1, d 2, d 3, d 4, d 5, d 6, d 7,, 0, : d 0, d 8, 9 {d 0, d 1, d 2, d 3, d 4, d 5, d 6, d 7, d 8},, ( Frequency Polygon), 2. 7., 1., 0,.,,, 5 ( ) k I k ( - 35, ] ( , ] ( , ] ( , 4. 5] ( 4. 5, 13. 5] ( 13. 5, 22. 5] ( 22. 5, k m k f k 6/ 100 6/ / / / / 100 5/ 100 p k ) 2. 6
37 {x 1, x 2, x 3,, x n}, : : k. X 1, X 2,, X k, 2. 3( k = 6), {x i, i = 1, 2,, N } {X k} 5, {X k},. X 1, X 2,, X k, k, {x i, i = 1, 2,, N } {X k} 5 ( 2. 4 ),. k 5, 15. k Moore ( 2. 1) Storges ( 2. 2). ( ), {X k}, I 1, I 2,, I k, k ( 2. 1) ( 2. 2). :.. k, ;,, 2. 4
38 : {x 1, x 2,, x N },, x m = min {x i}, x M = max {x i}; 1 i N 1 i N k : = x M - x m k ; ( 2. 7) I j : x m, k : [ x m, x m + ], ( x m +, x m + 2 ], ( x m + 2, x m + 3 ],, I I 1 2 ( x m + ( k - 1), x m + k ] I k, [ ], ( ]. :. {x i, i = 1, 2,, N }, I 3, m1, m2,, mk; ( 2. 3) f j = m j N ( j = 1, 2,, k),., j X 1 X 2 X k k m j m 1 m 2 m k m j = N j = 1 k f j f 1 f 2 f k f j = 1 j = 1 m j 5, ; m1 m k ( 3), x m {x 1, x 2,, x N }, min {x k } k 1kN [ 1, N ] x k ;, x M.
39 m1 mk 3. : , m j, ( 2. 5) p j = f j / j j 1 2 k I j I 1 I 2 I k m j m 1 m 2 m k m j = N j = 1 f j f 1 f 2 f k f j= 1 j = 1 k p j p 1 p 2 p k p j j = 1 j = 1 : ( ),, X j, 1, f j, , I j, p j, 2. 9, 1., 2. 9, x m x M,, I 0 I k+ 1, ( 0 ). d 0, d 1,, d k+ 1,
40 ,, ,, :,,,,, ( 2. 7), ( 2. 5),.,, ( stem-leaf plot ),,,..,.
41 ,, , 100,., , ( ) ( ),, ( ),,,,, , , ,,,, ,,.,, [ 0, 1] 30,, [ 0, 1], [ 0. 0, 0. 5) ( 0. 5) [ 0. 5, 1. 0) ( 1. 0),, (,,, ( , ], ( , ], ( , 0. 0). )
42 ( 100)
43 , : ( 1) ( mv ) ; ( 2) ( ) ; ( 3) < 0 > 0 50% ( 47, 48), 0. 0( Md) ; ( 4) 25% ( Q 1) ( 23) ; ( 5) 75% ( Q 3) 1. 0( 77) ; ( 6) ( , 1. 0) (, 54 ).,, ( Bendat ( 1958) [ 4], ( 1985) [ 48] ). 2. 6, : ( ), ( 20
44 42, ( ). : 1. 0, 1. 2, 6. 3, 6. 1, 8. 5, 8. 9, 8. 1, 9. 0, 9. 4, 35. 1, 54. 2, 34. 0,, 155. : , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 3036,,.,,,, 30. 2, 30. 3, 31. 3, 31. 6, 31. 7, 32. 1, 32. 3, 32. 8, 32. 9, 32. 9, 32. 9, 33. 4, 33. 4, 33. 4, 33. 7, 33. 8, 33. 9, 34. 4, 34. 8, 35. 0, 35. 3,,
45 ( 1995 ) ( 1994 ), ( 2. 11)., ,,, :
46 44 90, 5080, 80, 80 ; ( 2) 6569, ; ( 3) 67, 67 67, ; ( 4) %, 67 50%., 2. 11, (, )., , :.,,...,, 15, : Z = {72, 81, 90, 85, 76, 90, 80, 83, 78, 75, 63, 73, 30, 82, 90}.,,, 90 3 ;, ,, 80, 80.,?
47 ,., g ( : cm/ s 2 ) : , , , , , , , , , , : g 1 ( ) = ( cm/ s 2 ),., x 1, x 2,, x n, X 1 = ( ) n ( x 1 + x x n) = 1 n n k= 1 x k ( 2. 8) 2. 7,. {x i}= X, {y i }= Y, X 1 = ( ) = , 1 Y = ( )
48 46 : 2. 7, , ,. X = {x i, i= 1, 2,, 100}= {0. 1, 1. 5,, 0. 7, }, 10 0 X 1 = x i 100 = i= 1 1 ( ( ) ) 100 = ,.,, ,, Z, X 1 = ( ) = ,,,,. :. Z, 30. X = {x 1, x 2,, x n}, x 1 x 2 x k x n, ( 2. 9) ( X ( 2. 9)
49 X = {5, 28, 7, 8, 15, 8, 9, 10, 13, 8, 5, 13, 10}. 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 13, 13, 15, 28. ( 2. 10) 2. 2 Md X X, : ( 1) n, Md X ( 2. 9), MdX = x ( n+ 1) / 2; ( 2. 11) ( 2) n, Md X ( 2. 9), MdX = 1 2 ( x n / 2 + x n/ 2 + 1). ( 2. 12) ( 2. 10), n= 13, Md X = x ( n+ 1) / 2 = x 7 = 9., ( 2. 9), Md X Md X x. x 2. 7, X = {68, 73, 76, 73, 73, 73, 74, 74, 64, 67, 69, 66, 65, 67, 68, 70, 61, 59, 63, 67, 64, 69, 72, 59, 58, 55, 62, 62, 67, 60, 50, 68}, X = {50, 55, 58, 59, 59, 60, 61, 62, 62, 63, 64, 64, 65, 66, 67, 67, 67, 67, 68, 68, 68, 69, 69, 70, 72, 73, 73, 73, 73, 74, 74, 76}, Md X = 1 2 ( x 16+ x 17) = 1 2 ( ) = 67. Y = {71, 80, 82, 79, 79, 81, 81, 80, 75, 74, 76, 75, 74, 73, 75, 76, 62, 62, 67, 72, 69, 73, 77, 59, 62, 56, 65, 66, 75, 63, 54, 75}, Y = {54, 56, 59, 62, 62, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 71, 72, 73, 73, 74, 74, 75, 75, 75, 75, 75, 76, 76, 77, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82},
50 48 Y = 1 2 ( y 16+ y 17) = 1 ( ) = ( ) Z,. Z= {72, 81, 90, 85, 76, 90, 80, 83, 78, 75, 63, 73, 30, 82, 90} Z = {30, 63, 72, 73, 75, 76, 78, 80, 81, 82, 83, 85, 90, 90, 90}. n= 15, Md Z MdZ = Z ( n+ 1) / 2 = z8 = 80.,., 50% 80, 50% 80, 80. : ( ) ( 50% ) ;,, ( 100 ), Md Z, x,.,. n,,.. ( ExcelMat hemat ica TI-89, 92,. ) X = {x 1, x 2,, x n } x M X., Z, 90, x M = 90.., n x M, ;, 2. 11, , ( 4 )., n x M.,
51 ,, ( )., ( : C) : : 16, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 23, 20, 18, 15; : - 20, - 15, 20, 29, 34, 35, 30, 40, 32, 29, 18, 0. X = C, X = C,.,, 20 C,.. X = 20 C ( X ) : - 4, - 2, - 1, 0, 1, 2, 4, 5, 3, 0, - 2, - 5;, ( X = 19) : - 39, - 34, 1, 10, 15, 16, 20, 21, 13, 10, - 1, ,. 2. 3, X = {x 1, x 2,, x n}, X 2 n = 1 n n S 2 n- 1 = 1 n - k = 1 X, ( S)., ( x k - X ) 2 ( 2. 13) n ( x k - 1 k= 1 X ) 2 ( 2. 14) 2 = 8. 75, S 2 = ; 2 = 371, S 2 = ;
52 50 S = 3. 09), = ( S = ). ( ),. :,? : ( 1) 2 S 2? ( 2) 1 n n k= 1 x k - X? ( 2. 15),, S, n, S., ( 2. 15) S., ( 2. 15) y,, 2 S 2., 2 1 n n k = 1 x k - X 2, ( 2. 16) ( 2. 15),,. ( coefficient of variation),,. 10 cm,?,.,,,.,, cm, 10 cm.
53 X ( S 2 ),, S,, C. X X = {x 1, x 2,, x n} X, S, C= S X ( 2. 17) 2001, ( : ) : 16350, 12480, 7781, 6918, 8811, 7924, 7835, 18531, 10299, 13076, 6989, 10584, 7014, 8772, 6930, 7565, 13823, 7408, 8128, 6974, 7651, 8020, 8323, 7468, 9231, 14976, 7804, 8560, 10050, 8590, : ( 1) 2001 X Md S C ; ( 2) X, Md, S C. X, Md, S C ( ( 2. 8), ( 2. 11), ( 2. 12), ( 2. 14) ( 2. 17) ), X M d S C
54 ,,, C,., ; ( 8128 ). ( / ) : GDP , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , : GDP X, Md, S C. X, Md, S C, : X S M d C ( 1) GDP ; ( 2) Md ( ), ( ) ; 2002 GDP.
55 , C,,, C,, ; ( 4) ( 2. 13),, X, Md, GDP, ( ), GDP ,,,. X = {x i, i= 1, 2,, N }, Y= {y i, i= 1, 2,, N }, K ( ), Z = {zi = x i + y i, i = 1, 2,, N }, U = {u i = K x i, i = 1, 2,, N }, V = {vi = ( x i - K ), i = 1, 2,, N }, ( 1) Z Z = X + Y,. ( 2) U U = K X,. ( 3) U S U = K S X, 2 U = K 2 2 X. ( 4), 2 Z 2 X + 2 Y, S ZS X + S Y,. ( 5) V, 2 V = 2 X S V = S X,,. { , , } {1. 1, 0. 0, 3. 5},, K = ,. ( 6) C, CU = CX, U X,.
56 54 : X = {x i, i= 1, 2,, N },, X : 2 ( ) = 1 N N i = 1 ( x i - N ) 2 = 1 N i, i= 1 2 i , 2 ( ),, 2 ( ). :, 2 ( )? {x i } : = X, 2 ( )., X {x i }., X = {1. 2, 3. 2, , 0. 0, 1. 1}, X = ) 1= 2, 2 ( 1) = = , 2= 1. 2, 3= - 6, 4= - 2, 5= , 2) 2= - 1, 1= 2. 2, 2= 4. 2, 3= , 4= 1. 0, 5= 2. 1, 2 ( 2) = ) = X, 2 ( X ) = , 2 ( X ). 1= 0. 9, 2= 2. 9, 3= , 4= , 5= 0. 8, ( 8) :
57 2. 6 Box-W hisker 55 ( ), ( ) = 1 N N i = 1 x i -, ( )? : = Md( X ) ( X )., X, Md= 1. 1, 1, 2, X, ( 1) = 1 ( ) = 2. 18, 5 ( 2) = 1 ( ) = 2. 5, 5 ( X ) = 1 ( ) = 1. 84, 5 = Md, ( Md) = 1 5. ( ) = 1. 68, 2. 6 Box-Whisker Q 1 Q 3( 1/ 4 3/ 4 ) Q 1 Q X = {x 1, x 2,, x n}. X Md S C,., , ( / ), ( 8323 ). 2. 2,, 50%, Md 50%. Md, 25%, :
58 56, 25% ( 75% ), :? 2. 5 X = {x 1, x 2,, x n}, Q( p ) X p ( 0< p < 1), X Q( p ) [ np ], Q( p ) [ ( 1- p ) n], [ z] z. 2. 5, Q ( 0. 5 ) 50%, Md, Q( 0. 25) 25%, Q( 0. 75) 75%, : Q 1 = Q( 0. 25), Q 2 = M d = Q( 0. 50), Q3 = Q( 0. 75) Q 1, Q 3 ( Q 2= Md= 8323 ) : Q1 = 7565( ), Q 3 = 10299( ). :, ( n= 31) : X = {6918( ), 6930( ), 6974( ), 6989( ), 7014( ), 7408( ), 7468( ), 7565( ), 7651( ), 7781( ), 7804( ), 7835( ), 7924( ), 8020( ), 8128( ), 8323( ), 8560( ), 8590( ), 8717( ), 8772( ), 8811( ), 9231( ), 10050( ), 10299( ), 10584( ), 12480( ), 13076( ), 13823( ), 14976( ), 16350( ), 18531( ) }. 2. 5, 25% p 1 = 0. 25, [ np 1] = [ 7. 75] = 7, Q 1 = 7565(, 8 ) ; 2. 5, 75% p 3 = 0. 75, [ np 3] = [ ] = 23, Q3= 10299(, 24 ) : ( 6918) ( 6930) ( 6974) ( 6989) ( 7014) ( 7408) ( 7468), 7 ; : ( 10584) ( 12480) ( 13076) ( 13823) ( 14976) ( 16350) ( 18531), 7, 31 25%
59 2. 6 Box-W hisker , Q 1, Q 2= Md, Q3 1/ 4, 1/ 2, 3/ 4, X, Q 1 8 ( ), Q 2 12 ( ) Q 3 24 ( ). IQR PIQR Q 1, Q 2, Q X = {x 1, x 2,, x n}. IQR ( int erquartile range). Q X = {x 1, x 2,, x n}iqr IQR = Q 3 - Q 1., IQR 50% X, Q , 0. 25, IQ R 50%, IQ R,, IQ R, , IQ R = Q 3 - Q 1 = = 2734( ), 50% 2734( )., IQR, S 2, 2734( )., 2. 18, A, B, IQR 2734,, A, B
60 58 ) IQ R, A, B, IQR,, IQR. IQR) : IQR, PIQ R ( percentage of PIQR = IQ R. ( 2. 18) max - min ( 2. 18),. A, B, PIQR( A ) = PIQ R( B) =. PIQR = , 2734 = , Q 1, Q 2, Q 3, IQ R, 2. 7, n= 32, Q 1= 62, Q 2 = 67, Q 3= 71, min = 50, max= 76, IQ R( ) = = 9, PIQR( ) = = , Q 1= 65. 5, Q 2= 74, Q 3= 76. 5, min= 54, max= 82, IQ R( ) = = 11, PIQR( ) = =
61 2. 6 Box-W hisker 59 PIQ R Box-Whisker Box-W hisker X min max, Q 1, Md, Q 3, X = {x 1, x 2,, x n}. Box-Whisker,, X. Box-Whisker : ( 1) X, min, Q 1, Md, Q 3, max ; x M ; ( 2), x m x M ( x m min, max ), [ x m, x M ], ( 3), Q 1, Md, Q 3, IQ R, Md, ; ( 4) min max, + X, Box- W hisker Box-W hisker Box- W hisker. X = , Q1 = 7565, Md = 8323, Q 3 = 10299, min = 6918, max = , x m = 6800, x M = , ( : ) Box -Wh isker , 31
62 60 Md max 50%, 50% min Md. Box-Whisker, Box-W hisker GDP Box-Whisker X = , min = 3070, Q 1 = , M d = , Q 3 = , max = x m= 3000, x M = 30000, GDP ( : ) Box-Whisker ,, GDP Box-W hisker : Box-W hisk er John W. T ukey ( 1977), EDA ( explorat ory dat a analysis),.,,.
63 MIN IT A B, S-plus, T exas T i-89 T i ,,,, ( ) ;,,, Q 1, Md, Q 3 IQR ; Box -Wh isker. ). : ( 1) ( ( 2). ( ( 2. 1) ( 2. 2) ) ( 2. 5). ( 3).. :,. ( 4) ;. ( 5) Q 1, Md, Q 3 IQR,. Md, 50% ; IQR Md 50%. ( 6) Box-W hisk er.
64 , ;.,,,,,,.,,,.,,,.,,,,,. :, 6, ;,, 6,, ;,, ( ),
65 ( 1), A 1, A 2,, A N ; ( 2) A i, A i, i 1, 2,, N ; ( 3) A i ( i = 1, 2,, N ),,. {A 1, A 2,, A N }, ( 1), ( 2), ( 3).,, A 1 = {= 1}( 1 ) ; A 2 = {= 2}( 2 ) ; A 6 = {= 6}( 6 ). 3. 1,.,,, B1 B2 B3 =, = 4, =. A i,. B 1 {( A 2 ), ( A 4 ), ( A 6 ) }, B 2 { A 1 A 2 A 3 A 4 }, B 3,, B3 {A i },,. 3. 2( ), {A 1, A 2,, A N }, B, P {B} = B, ( 3. 1) N
66 64 N B B {A i }. 3. 1, 4., A 1 = {= 1}, A 2 = { = 2},, A 6 = {= 6}, N = 6, B= {4}= {A 1 A 2 A 3 A 4}, B = 4, ( 3. 1), 3. 2 P {B} = B N = 4 6 = ( ), 7, 500.,? : 36 7 ( ), A = {29, 18, 03, 22, 31, 09, 12}, C k n C k n =, n= 36, k= 7, n! k! ( n - k)! n= 36, k= 7, C 7 36 = = n( n - 1) ( n - k + 1) k! = = N = , 7 ;,,,,, ( 7 ),. ( B), B, 7, P {B} = ,
67 ,,, m, n,, m n. 3. 1, ( ), N N = mmm m = m n ( ). n 3. 1 m n 3. 1, ( 1) 8,, {0, 1, 2,, 9}, n = 8, m= 10, 8 m n = 10 8 ( ) (, ). ( 2) 6, {1, 2,, 9},,, N = nm,,, N = m( m - 1)( m - 2) ( m - n + 1). ( 3. 2) 3. 1,, m, m- 1,, m- n+ 1.
68 66 2 n= m, 1 N = m!. 1, n= m, N = m( m - 1)( m - 2) 321 = m!. ( 3. 3) ( 3. 3). 0! = 1. 1 ( 3. 2) n {a 1, a2,, an } r ( 0r n),, ( C 0 n = 1). N = C r n = n! r! ( n - r )! ( 3. 4), ( 3. 4),,., n {a 1, a 2,, a n} k ( 1k n), r 1, r 2,, k r k,, N = n! r 1! r 2! r k!, r i 0 ( i= 1, 2,, k),, 3. 3 : ( 3. 5) k r i = n. ( 3. 6) i= 1 ( 1) k= 2, n, r 1, r 2, r 1+ r 2= n, r 2= n- r 1, ( 3. 5) N = n!. ( 3. 7) r 1! ( n - r 1)! ( 3. 4), ( 3. 7) ( 3. 4). k= 2, 3. 3 N. k ( 2) ( 3. 6) r i = n {ai, i= 1, 2,, n} i = 1
69 ,. 3. 3, : n r 1, ( n- r 1) r 2, ( n- ( r 1+ r 2 ) ) r 3 n- ( r 1+ r 2+ + r k- N = = n! r 1! ( n - r 1)!,, 1 )., ( 3. 4) ( n - r 1)! r 2! [ n - ( r 1 + r 2) ]! [ n - ( r 1 + r r k- 1) ]! r k! [ n - ( r 1 + r r k) ]! n! r 1! 1 r 2! 1 r k!. [ n- ( r 1+ r 2+ + r k) ]! = 0! = k, n 1 {a 1, a 2,, a n 1 }, n 2 {b1, b2,, bn 2 },, k n k {d 1, d 2,, d n k }, M, m1, m 2,, mk k,, N = C m 1 n 1 C m 2 n 2 C m k n k k, ni mi 0, i = 1. mi = M, M ni , ,, ( 3. 1) {1, 2,, 9} 9, 6 6 k i= 1
70 68 ( 1) ( ), ; ( 2),.,.. A i = {6 1 9 }, i = 1, 2,, N. {A i } ( A i ),. N 3. 1, m = 9, n= 6, N = m n = 9 6. ( 1), {A i, i = 1, 2,, N }, 6 ( 6 ), P {B 1} = 1 N = 1 = ( 2), 6.,., P {B2}= 2 N, , 2= 99 99= 9 4. P {B2} = = = ( ).,.,
71 ( 1) 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 3,, 1, 2. : A= {1, 2}, B= {3, 4, 5, 6}. 3, A, B ( 3. 4). H, N = C 3 6 = 20, = C 2 2 C 1 4 = 4, P {H } = N = 4 20 = ( 2) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 5 ( ), A = {0, 1, 5, 6} ( ). : A = {0, 1, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 7, 8, 9}. H, 5 A, 3 B, N = C = 252, = C 2 4 C 3 6 = 120, P {H } = N = = ( 3) H A 9,. 3 : A= {0, 1, 5, 6}, B= {9}, C= {2, 3, 4, 7, 8}, N = C 5 10 = 252, = C 2 4 C 1 1 C 2 5 = 6110 = 60, P {H } = N = = , ( ) 7, 1 ( 7 ), 7+ 1., 36 7 ( ).
72 ( ) ( ), ; ( 2) 5, 1,.,,?, : A i = { 36 7 }, i = 1, 2,, N., N N = C 7 36 = , : 7+ 1( ), A i ( i= 1, 2,, N ), ( ), ( 1) ( 2),. ( 1) B 1, P {B 1} = B 1 N, N = C 7 3 6, B 1 : {A i, i= 1, 2,, N }? B 1 : 36, A= {7 }, B= {1 }, C= {A, B 28 }, 7, 6 A, C, B, P {B 1} = B 1 = C 6 7 C 0 1 C = 196, = ( 2) B 2, P {B 2}= B 2 N, N = C B 2 : 5 A, B, C, P {B 2} = B 2 = C 5 7 C 1 1 C = 588, = , 8, 10,
73 , 10,. : ( 1) 8 ; ( 2). 10, 8 N = 86= 48, 8 1, 2,, 48, ( ) 20, ( ), ( ) N = ( ) ( 1) B1= {8 }, P {B1} = B 1 N, B ,, 1 B 1 = , P {B 1} = B = = N , ,,. ( 2) B2 = { }, P {B2} = B 2 N,
74 72 B , ( 48 ), 18 47,, B 2 = C 2 20 C 1 48 ( ), P {B2} = B 2 N = = ( 1) 3. 5, : 1, 2,, m, n, : 1 2, 2,, n k ( km)?, 3. 5, / N. :, 3. 2,,,., m, n ( ),. n m. 3. 1, N = n m, m 5 n 5 4. : 1).,,. 2).,,.,,,. 3) r,,
75 ). m, n,, m n... 5).,. 6). m, m 365( ) 7).,. 8).,. ( 2),., Maxw ell-bolt zmann ;,,, Bose-Einst ein, ( Feller ( 1961) [ 19] ). m, n ( ),,?, m, n : 3. 3 ( ) 1, n- 1 1 ( ) ; 0, m 0. m+ ( n - 1) 01., m 0n- 1 1 ;,. m+ ( n- n- 1 1, N = C n- 1 ( n- 1) + m = C m n+ m- 1. 1)
76 ( m > n),,,.,, n, m- n n, N = C m - n ( n- 1) + ( m- n) = C m - n m - 1. : 5, 10,,.,. ( 1) 12 : A 1: 5500 ( ) ; A 2: 5410 ( ) ; A 3: 5320 ( ) ; A 4: 5311 ( ) ; A 5: 5221 ( ) ; A 6: 4420 ( ) ; A 7: 4411 ( ) ; A 8: 4330 ( A 7) ; A 9: 4321 ( 2 ) ; A 10: 4222 ( ) ; A 11: 3331 ( 2 ) ; A 12: 3322 ( 5 ). A 3, A 5, A 6 ( 2).,.,,. A 1 : 20 10, N = C = , 2 5, 1= C 2 4 1, C , 1,
77 P {A 1}= C2 4 C = = A 2 : N = C , 5410, 4 5, 4, 1, 0, 4! ;, 5410, C 5 5C 4 5C 1 5C 0 5 P {A 2} =, 2= 4! 55= 600, A 3 A 2, = N = C , 3 = , P {A 3} = A 4 : N = C , , C 2 4, 5, 3 3, 5, 2C 2 4,, , C 5 5C 3 5C 1 5C 1 5, 4= = 3000, P {A 4} = = A 5, 5 = 6000, P {A5}= , A 6, A 7,, A 1 2 P {A 6} = , P {A 7} = , P {A 8} = , P {A 9} = , P {A10} = , P {A11} = , P {A12} = A 1, A 2,, A P {A k} = k= 1, 3322( A 12) 4321( A 9) 3331( A 11), 5 2,
78 76 P }= P {A 12} + P {A 1 1} + P {A 9} = = , 3322,. 4321( A 9) 4330( A 8) ; , ,,, ,.,. ( 1) ( ) : A, B, C A B ( ), C A, B, C= A B( C= A+ B)., 1, 2, 3,, 10 10,, A = { 2, 4 }, B= { 6, 8, 10 }, C= { }. C= AB( C= A+ B), 2, 4, 6, 8, 10. ( 2) ( ) : A, B, C, C A B ( ), C, A, B, C= A B( C. A 2 4 ; B
79 A B).,, A = { 7}, B= { 6, 8, 10 }, C= { 6 }. C = A B ( C = A B). A, B 6. ( 3) : A, B, C, C A B A B, C= A\ B.,, A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { }, C= { 1, 3, 5 }., A ( 5) B, 5, C, C= A\ B. ( 4) :, A, A = \ A A ( A ).,, = { 1, 2, 3,, 10}, A= {}, \ A {}, A A -. =, = ( ). ( 5) : A, B, A B, A B ( B A ), A B. ( 6) : A, B, A B B A, A B, A = B., A= { 1, 3, 5, 7, 9 }, B= { }, A B, B A, A= B. ( 7) ( ) : A, B, A B= ( AB= ), A B, A, B ( ). Venn Venn :,,,, A, B, A + B, AB, ( A+ B) 3. 4.
80 78 V enn V enn, : ( a) A + B= A+ ( B\ A) = A + ( B\ AB) ; ( b) A= ( A \ B) + AB; ( c) A+ B= B+ A= B+ ( A \ AB) ; ( d) AB= BA ; ( e) ( A+ B) + C= A+ ( B+ C) ; ( f) ( AB) C= A( BC) ; ( g) C( A + B) = CA+ CB; ( h) ( A + C) ( B+ C) = AB+ C. ( a) ( h),,, ( h ) ( A\ B) + BA. n n A 1 + A A n = A k, ( 3. 8) k = 1 A 1A 2A n = n A k, ( 3. 9) k= 1, ( De Morgan) : n A k k = 1 n = A k= 1 k, ( 3. 10)
81 n A k k = 1 n = A k= 1 k. ( 3. 11) * (, F, P ),. Betrand ( ( 1976) [ 46 ] ). :? ( Kolmogorov) 20 30,,,.,,.,, : ( 1),, 1= { 1}, 2= { 2},, 6 = {6}.,, = { 1, 2,, 6} = { k, k = 1, 2,, 6}. ( 3. 12) ( 2) F. 3. 1,, B ( 3. 12) i,. B, B,.,, F, ( +, ), F = {{ i, i = 1, 2,, 6}, { i + { i + j, i, j = 1, 2,, 6, i j }, j + k, i, j, k = 1, 2,, 6, i j k},, { } =, }. ( 3. 13) B= F.,, = F.,
82 80 n, F, C 1 n + C 2 n + + C n n + C 0 n = ( 1 + 1) n = 2 n ( 3. 14). ( 3. 13) 2 6 = 64. ( 3) P., y = f ( x ),. x, y ; x, y., : B ( 3. 13), P {B} = 1 6, B, P {B }= 2 6,,.,, P : F B( B F ), P {B}. : x, B, F. P 1. (, F, P ). (, F, P ), : :,,. F : F ( )., F. F : ( 1) F ; ( 2) AF, A F ; ( 3) A kf ( k= 1, 2,, n, ), k A k F, ( 3. 15) ( 3. 15),.
83 P : P ( 1) AF, P {A}0; ( 2) P { }= 1; F, : ( 3) A kf ( k= 1, 2,, n, ),, k j, A ka j =, P A k = k k P {A k}, ( 3. 16) ( 3. 16),. (, F, P )., ( 3. 16),, A, BF, A B, P {B\ A} = P {B} - P {A }. ( 3. 17) ( a) A + B = A + ( B\ A). ( 3. 18) A B, A + B= B, ( 3. 18) B = A + ( B\ A). ( 3. 19) ( B\ A ) A, A ( B\ A ) =, ( 3. 16) ( 3. 19), P {B} = P {A} + P {B\ A }, P {B\ A}= P {B}- P {A} A, B F, P {A + B} = P {A} + P {B} - P {AB}. ( 3. 20) ( a)
84 82 A ( B\ AB) =, A B = A + ( B\ AB), P {A + B} = P {A } + P {B\ AB}. ( 3. 21) AB B, 3. 5, ( 3. 21) P {A + B} = P {A} + P {B} - P {AB}. 1 A F, P {A }= 1- P {A} B=, A B, P {A } = 2 P { \ A} = P { } - P {A } = 1 - P {A}. A 1, A 2,, A nf, P {A A n} P {A 1} + + P {A n}. n= 2, ( 3. 20) P {A + B} = P {A} + P {B} - P {AB}. P {AB}0, P {A+ B}P {A }+ P {B}., n3, , 4, 8. 10, 1, : 10,? R, W 1, P {R} = 8 12 = 2 3, P {W} = 4 12 = 1 3. : A 1= {10, R 1 }, A 2= {10, W 1 }, A = {10, W, R 1 }., A= A 1A 2, P {A } = 1 - P {A } = 1 - P {( A 1 A 2) }, ( 3. 22) De Morgan ( 3. 11), ( 3. 22) P {A 1 ( 3. 20), ( 3. 23) A 2} = P {A 1 + A 2}, ( 3. 23)
85 P A 1 A 2} = P {A 1} + P {A 2} - P {A 1A 2}. ( 3. 24) A 1A 2 10,, P {A 1 A 2} = P {A 1} + P {A 2}. ( 3. 22), P {A}= 1- ( P {A 1}+ P {A 2}) = = 1- ( ) = ,., 12 11,,,., A B A, B, P {A }> 0, P {AB} P {A} A, B, P {B A}. ( 3. 25) ( 3. 25), : 52,,, 10., ( 3. 25) : A = { }, B= { 10 }, P {A} = = 1 4, P {AB} = 1 52,
86 84 P B A} = P {AB} P {A} = = P {B A}= P {AB}/ P {A} ( 3. 26) P {AB} = P {A} P {B A}. ( 3. 26) 10, 4 6, 2, 2, A = {, 1 }, B= {, 2 }, AB. ( 3. 26), P {A} = C1 4 C 1 6 C 2 10 = 24 45, P {B A} = C0 3 C 2 5 C 2 8 P {AB} = P {A} P {B A} = = = 10 28,., :, ( 3. 25),.,. A, B, A 1, A 2,, A n, P {A }> 0, ( 1) 0P {B A}1; ( 3. 27) ( 2) P { A }= 1; ( 3. 28) ( 3) A ka j = ( kj ), P n A k k = 1 n A = k= 1 P {A k A}; ( 3. 29) ( 4) P {B A }= 1- P {B A}; ( 3. 30)
87 P {A 1+ A 2 A}= P {A 1 A }+ P {A 2 A}- P {A 1A 2 A}; ( 3. 31) ( 6) P {B }= P {B}. ( 3. 32) ( 3. 26). 0, 3. 7( ) A 1, A 2,, A nf, P {A 1A 2 A n }> P {A 1A 2A n}= P {A 1} P {A 2 A 1} P {A 3 A 1A 2} P {A n A 1A n - 1}. ( 3. 33),,, , T 100 ; 10, T 50. 1/ 5. :,? T, A= { }, B= { }, C= { }, P {ABC}. ( 3. 33), P {ABC} = P {A}P {B A}P {C AB}. ( 3. 34) 10 P {A}= = 0. 9, P {B A}= 0. 2, P {C AB}= 1- P {C A B}., T 1/ 5, ( ) 1 5 = 18( ). P {C AB}= P {C AB}= 1- ( 3. 34) = 10 68, = P {ABC} = =
88 86,,,. 3. 8( ) B 1, A 1, A 2,, A n F, { A k} ( k= 1, 2,, n) : ( 1) A ka j = ( kj, k, j = 1, 2,, n) ; n ( 2) A k= ; k= 1 ( 3) P {A k}> 0 ( k= 1, 2,, n), P {B} = n P {A k} P {B A k}. ( 3. 35) k= 1, V enn :, A 1, A 2, A 3, A 4 ; B ( B ), V enn B A 1B, A 2B, A 3B, A 4B. ( 3. 35) Venn B= B = B A k n k= 1
89 n k= 1 ( BA k) ( ( g) ). BA k A k, {A k}, {BA k},, n n P {B} = P ( BA k) = k = 1 k= 1 P {A k}> 0, ( 3. 26). P {B} = n P {A k}p {B A k}. k= 1 P {BA k}. ( 3. 36) ( ( Polya) ) 3, 1 3 7, 2 4 6, ,,. A k = { k }, k= 1, 2, 3; B = { }, P {A k}= 1/ 3( k= 1, 2, 3),, P {B}= P {A 1}P {B A 1} + + P {A 3}P {B A 3} P {A 2}P {B A 2} = = 1 30 ( 15) = 1 2., 1 200, 2 500, ; 40, 25, 10.,?,, {A k},, ,
90 88 P B}= P {A 1}P {B A 1} + P {A 2}P {B A 2} + = = = P {A 3}P {B A 3} ( ) = , {s1, s2, s3}., si n 1, n 2, n 3, P {n j si}= p ij ( i, j = 1, 2, 3) 3. 3., {si } P {si }= qi ( i = 1, 2, 3), 3 qi = 1, i = 1 3 p i k = 1 ( i = 1, 2, 3). k= 1 n 1, n 2, n 3 P {ni } ( i = 1, 2, 3) i j 3. 3 n 1 n 2 n 3 s 1 p 11 p 12 p 13 s 2 p 21 p 22 p 23 s 3 p 31 p 32 p 33
91 , n 1, s1, s2 s3, P {n 1}= P {s1}p {n 1 s1} + P {s2}p {n 1 s2} + P {s3}p {n 1 s3}, = q1p q2p 21 + q3p 31, ( Ba yes) 3 P {n j }= qkp kj ( j = 1, 2, 3). k= 1,. {A k} B., B, A k B, A 1, A 2,, A nf, { A k}, ( 1) A ka j = ( kj, k, j = 1, 2,, n) ; n ( 2) A k= ; k= 1 ( 3) P {A k}> 0 ( k= 1, 2,, n), P {B}> 0, k ( 1kn), P {A k B} = P {A kb} = P {A k}p {B A k} n. ( 3. 37) P {A j }P {B A j } j = 1 P {B}P {A k B} = P {A k}p {B A k}, P {A k B} = P {B} ( 3. 35) ( 3. 37). P {A k}p {B A k}. ( 3. 38) P {B} , A 10%, B 40%, C 50%. T : A 30%, B
92 90 C? 10%. T, : A 1 = { A }, A 2 = { B }, A 3= {C }. D = { }, P {A 1 D }, P {A 2 D }, P {A 3 D},. P {A k D } = P {A k}p {D A k} 3 j = 1 P {A j }P {D A j } ( k = 1, 2, 3), ( 3. 39) 3 P {A j }P {D A j }= j = 1 P {A 1 D } = P {A 2 D } = P {A 3 D } = = 0. 18, = 0. 16, = 0. 56, = B ;,. : ( 1). P {B}= B/ N, N B
93 ). B.,. ( 2) A, 1 - P ( A ),. ( 3) Venn,. ( 4),,.,. ( 5).
94 ,,,. :,,.,,..,,.., ,,, {x 1, x 2, x 3,, x n, x n+ 1, },., {x k}..
95 , {x 0, x 1, x 2,, x n, }, x k 2, ), ( 1) p k0 ( k= 0, 1, 2, ) ; ( 2) p k= 1, k, p k, P { = x k}= p k( k= 0, 1, x 0 x 1 x n p 0 p 1 p n ( ),. x 0 x 1 x n p 0 p 1 p n ( 4. 1) : {x 0, x 1,, x n}, ( 4. 1) P { = x n+ 1 }= P { = x n + 2}= = P { = x n + k}0( k1), ( 4. 1) x 0 x 1 x n p 0 p 1 p n ,. 4. 1( ),0,, p = 1/ 2, ( 4. 2), p 1 - p. ( 4. 3),, 1, 0, 1984 ( 4. 3), P { = 1}= p = 0. 51> 1/ 2; 2000 p = < 1/ ,,, P { = k}= 1/ 6( k= 1, 2,, 6),
96 , : A, B, P {A}> 0, P {B A} = P {AB} P {A} A B., P {B A} P {B}, ( 4. 4) A B, B,. A, B, ( 4. 4), A B,. ( 4. 4), P {B A } P {AB}= P {A }P {B} ( ) A, B, P {AB} = P {A } P {B} ( 4. 5), A, B. 1 ( 4. 5),,, A, B. ( 4. 4), P {B A }= P {B},, A B, A B,, , A, B ;, ( 4. 5).,, 1 6
97 ,,. A, B.,, A B, ( 4. 5).,. (, ), 1,0, (, ) {( 1, 1), ( 1, 0), ( 0, 1), ( 0, 0) }. ( 4. 6),, P {= 1, = 1} = 1 4. ( 4. 7) P { = 1} 1, ( 4. 6), P {= 1} = 2 4 = 1 2. ( 4. 8), P {= 1} = 2 4 = 1 2, ( 4. 9) ( 4. 8), ( 4. 9) ( 4. 7) 1 4 = P {= 1, = 1} = P {= 1}P { = 1} = ( 4. 10) 4. 2, A= { = 1}B= { = 1}. ( 4. 6),, P {= k, = j } = P {= k}p {= j }, k, j = 1, 0.,. 3 ( 4. 5) : ( 4. 11). ( 1) A=, B, B= B, P {B} = P {B} = 1 P {B} = P {}P {B}. ( 4. 12)
98 96 ( 2) A=, B=, P {}= 0, P {B} = P {}P {B}. ( 4. 13)., P {}= 0, ( 3. 25), ( 4. 4), ( 4. 13).,,. 4. 4, 1, 0, 5, : ( )?. 5 1, P {= 2} = 2 N, N 5 1 0, , N = , 2 1, 0 : 2= C 2 5. ( ), P {= 2} = 2 N = C = ( 4. 14), 5 1 k (0 5- k ), k= 0, 1, 2, 3, 4, 5, ( 4. 14) P {= k} = C k , k = 0, 1,, 5. ( 4. 15) ( 4. 15),, ( 4. 15) P {= k} = C k k k, k = 0, 1,, 5, ( 4. 16)
99 p = 1/ 2( ), q= 1-1/ 2, 0. ( 4. 16) : 5, 1 k,0 5- k., 1 0, p = q= 1/ 2.,, :, n, k p = q= 1/ 2. P {= k} = C k np k q n- k, k = 0, 1, 2,, n, ( 4. 17),, p 1/ 2, 0< p < 1, ( 4. 17) ( 4. 14), ( ( 1985) [ 4 8] ), ( 4. 17),. 4. 1( ), 1 0 ; 1 p, 0< p < 1. n, 1 k P {= k} = C k np k q n- k, k = 0, 1, 2,, n; q = 1 - p. ( 4. 18),. ( 4. 18), : ( 1). ( 2), P { = 1}= p q= 1- p, ( 3) n. 1 0 p q. ( 4. 19) ( 4) : n, 1 k. n, p, q, k ( 4. 18). : k 1, 0, ( 4. 18)..
100 , n ( n10), T e - T,. 1,, : T., T ( 0 ) q= e - T, ( 1 ) p = 1 - e - T, 1 0. ( 4. 20) 1 - e - T e - T n, 1 ( ), P { > 1}. P { 1}= P {= 0} + P {= 1} = C 0 n( 1 - e - T ) 0 ( e - = ( e - T ) n + n( 1 - e - T ) ( e - T ) n + C 1 n( 1 - e - T ) 1 ( e - T ) n- 1, P {> 1}= 1 - P { 1} = 1 - [ ( e - T ) n + n( 1 - e - T ) ( e - T ) n- 1 ]. T ) n- 1 ( 4. 21), T =,,, n. ( 4. 21) P n( ), 4. 1 n= 5, 3, 10, P n( ), P 5 ( ) P 3 ( ) P 10 ( ) : n,,, ;,, = 0, n.
101 n 4. 1 : n, P n ( ) ; 0, P n( 0) n?? 4. 2 = 0. 4, P n( 0. 4) n, 4. 2 P n( 0. 4). 4. 2, 0= 0. 4, n 12, ( = T = 0. 4) n P n ( 0 ) P n ( 0. 4) n De Mer e 17 De Mere B. P ascal( ) :, 4 6 1/ 2, 24
102 100 1/ 2. P 1, P 2, De Mere : P 2 < 1 2 < P 1. ( 4. 22)? De Mere, P 1, P 2. ( 1), 6, , 4, 1 1, P 1 = P { 1}= 1 - P {= 0} = 1 - C 0 4 = 1 - > = ( 4. 23) ( 2), 6, , 1 1, P 2 = P { 1}= = < 1 2. ( 4. 24) ( 4. 23) ( 4. 24), P 2 = < 1 2 < = P 1. ( 4. 25) De Mere., De Mere, ( 4. 25) J. L.,.., 1987.
103 Pascal P 2 = Uspensky U spensky :, 1, ,?, p n k, ( 4. 18) *,. ( 4. 18),. 4. 1, : A, B, P {AB} = P {A } P {B}. (, ), ( 4. 11), k, j = 0, 1, P {= k, = j } = P {= k} P { = j }, k, j = 0, 1. n : i 1 0 p q, q = ( 1 - p ), i = 1, 2,, n, ( 4. 26) { 1, 2,, n}, {i, j,, k}, ( i, j,, k= 0 1). P { 1 = i, 2 = j,, n = k} = P { 1 = i}p { 2 = j }P { n = k} ( 4. 27) ( 4. 27)., n,1 k ( 4. 27) :
104 102 A = { 1 = 1, 2 = 1, 3 = 0,, n = 1} ( k 1 ), A 2 = { 1 = 0, 2 = 1, 3 = 1,, n = 0} ( k 1 ), A m = { 1 = 0, 2 = 1, 3 = 0,, n = 1} ( k 1 ). m= C k n, ( 4. 27) ( 4. 28) P {A 1}= P { 1 = 1} P { 2 = 1} P { 3 = 0} P { n = 1} ( k 1 ) = p k q n - k = P {A l}, l = 1, 2,, m. m P {= k} = P {A l} = C k np k q n - k, k = 0, 1, 2,, n. l = 1 P {= k} = C k np k q n- k, k = 0, 1,, n ( 4. 29), {0, 1, 2,, n}, k, P { = k}. p = 0. 4, n= 10, 4. 3 P { = k}, 4. 3( a) P ( k) = P { = k} ( n= 10) k P ( k) ( a ) P ( k) ( n= 10, p = 0. 4)
105 p = 0. 4, n= 3, 5, 7 P ( k) ; n, P ( k) k,. 4. 3( b) 4. 4 n= 3, 5, 7 p = p = 0. 4, n= 3, 5, 7 P ( k) k n= n= n= ( b) p = 0. 4, n= 3, 5, 7 P ( k) 4. 5 n, k, P k( p ) p, n= 10, k= 4, p ( k= 4, n= 10) p P k ( p ) , k 4. 4 P 4 ( p ) ( n= 10)
106 104 k= 4), P k( p ) = P p { = k} p,, p P k( p ) ,,,.,,. ( 1) : 0 1, 1 0 p q, ( 4. 30) 0< p < 1, q= 1- p., p = 0. 5,. ( 2) : 0, 1, 2,, n, 0 1 k n p 0 p 1 p k p n, ( 4. 31) p k = P { = k} = C k np k q n- k, k = 0, 1,, n, n1, 0< p < 1, q= 1- p.,,, k= 0, 1, 2,, n,. ( 3) : 0, 1, 2,, n,, 0 1 n p 0 p 1 p n,
107 P n, ) = P {= n} = e - n, n = 0, 1, 2,, ( 4. 32) n!, > 0. P ( n, ) 0, e - > 0;, n= 0 n n! = e, 1 = n n= 0 n! e- = n= 0 P ( n, ) , [ 19],. Rutherford Ruth erford( ) T. N = 2608, T = 7. 5 s, k N k
108 106 N = 2608 M = kn k= 10094, T k = M N = = ( 4. 33) 2608 = P ( k, ) ( 4. 32) 4. 7 P k. N P k, N k ( ) k P k N P k N k 4. 7 N P k, ( T = 7. 5 s) V-2, V -2,
109 , 537, 537/ 576= = , P ( k, ) ( ( 4. 32) ) 576 N P k, 4. 8, k N P k N k V Petri..., 4. 9 k.,.
110 k k N k N k N k N k N k Bort kewitsch N = 20( ), 24, = P ( k, 1. 20), P k= P ( k, 1. 20), Bortkewitsch L V on. Das G esetz der Kleinen Zahlen. Leipzig: T eubner, 1898.
111 k N k N P k ( ),. ( 4) : : n1, n 2, m, k. k= 0, 1, 2,, mn 1;, P {= k} = Ck n 1 C m - k n 2, k = 0, 1, 2,, m, ( 4. 34) C m n + n 1 2 ( 4. 34). : N = n1+ n 2, p = n 1 n1 + n2, = n 1, ( 4. 35) N n 1 = N p ; n2 = N - n 1 = N - N p = N ( 1 - p ), ( 4. 36) ( 4. 34) P {= k} = Ck N pc m- k N ( 1- p ) C m N, k = 0, 1, 2,, m. ( 4. 37) ( 4. 34) ( 4. 37). ( 4. 34), ( 4. 37),, , 6
112 N = 20, p = 0. 3, m= 6 k P ( k) N = 20, p = 0. 3, m= 6, ( 4. 35). 36, 7, ( )., 7, : 12,,, 13 36, ,
113 : {1, 3, 0, 0, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 5, 3, 3, 2, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 1}. ( 4. 34),, n 1 = 12, n2 = 24, ( 4. 38) m = 7, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. ( 4. 38) ( 4. 34), ( 4. 14). N = 54, N P k k P k , k N k N P k ) 4. 10
114 112,,,., C, C..,,,., - 20 C,, + 40 C., [ - 20, 40] ( ).,, ( C)., [ - 20, 40],., ( 4. 1). { = k}{a < < b} , p ( x ) ( - < x < + ), ( a, b) P {a < < b} = b a p ( x ) dx ( 4. 39),, p ( x ). ( 4. 39) P {a< < b}: 1 P {a < < b}0. ( 4. 39) P {a < < b} ( 4. 39), ( a, b) p ( x ).
115 P {- < < + }= 1., {- < < + }, 1. 3 P {a b}= P {a < b} = P {a < b}= P {a < < b}.,,.,,, 3., p ( x ). U[ a, b] [ a, b], p ( x ) = 1, a x b, b - a 0,, ( 4. 40) [ a, b], 4. 11( a). [ a, b]. ( b- a ) 1 b- a = ( a) U[ a, b]
116 114 U 4. 16, U [ 0, 1].,,,,.,, U[ 0, 1] ( n= 200)
117 ) ( b ) [ 0, 1] 10 ( 20) [0, 0. 1) [ 0. 1, 0. 2) [ 0. 2, 0. 3) [0. 3, 0. 4) [0. 4, 0. 5) [0. 5, 0. 6) [0. 6, 0. 7) [0. 7, 0. 8) [ 0. 8, 0. 9) [ 0. 9, 1. 0] ( b) U[ 0, 1] ( n= 200) 200 U [ 0, 1],. N ( a, 2 ),,,.
118 116 p x ) = 1 2 e- 1 2 x - a 2, - < x < +, ( 4. 41) a, a,, N ( a, 2 ) p ( x ) a = , : ( 1), ; ( 2) a, p ( x ) ; ( 3),,,,, ( a = 0) ( ) Gauss ( ), ( ) Kramp 1799, Q uetelet ( ) K. Pearson ( normal distribution),.,,.,,,
119 ( ) 100, ( mv, 10) , n = 100, 9, 7: I 1= ( -, ), I 2= [ , ), I 3= [ , ), I 4= [ , ), I 5= [ , 0. 35), I 6= [ 0. 35, 1. 05), I 7= [ 1. 05, 1. 75), I 8= [ 1. 75, 2. 45), I 9= [ 2. 45, + )., I k ( k= 1, 2,, 9) f k, 4. 19, I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 I ,.
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