122 理 Abstract Nurse rostering is a NP-har problem because of the very complicate hospital constraints an nurse preferences involve in the problem. In
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1 理 六 年 Journal of Management & Systems Vol. 14, No. 1, January 2007 pp 兩 理 輪 Nurse Rostering Using Two-Phase Constraint Programming Moels Anthony F. Han Chun-Te Li Department of Transportation Technology & Management, National Chiao Tung University (Receive January 26, 2006; Final Version August 14, 2006) 理 輪 臨 輪 良 理 理 輪 (Rostering) NP-har 度 理 輪 (Optimization Moel) 來 理 輪 了 律 量 理 輪 (Constraint Satisfaction Problem) 立 兩 (Constraint Programming) 立 行 20 理 6 率 度 兩 立 理 輪 ( NSC E ) 立 年 李 理 理 理 料 利
2 122 理 Abstract Nurse rostering is a NP-har problem because of the very complicate hospital constraints an nurse preferences involve in the problem. In this paper, we formulate the problem as a CSP (Constraint Satisfaction Problem) an evelope CP (Constraint Programming) moels to solve it. A two-phase heuristic approach is propose to first solve the offay scheuling an then the shift scheuling sequentially. We applie our moels to a real-worl meical war in Hisnchu General Hospital, an successfully generate a full-month timetable in less than 10 minutes. It is foun our results are better than the timetables previously use by the hospital in many ways. CP- generate timetables not only can fully satisfy all the har constraints, but also provie excellent fairness among nurses. Keywors : Nurse Rostering, Constraint Satisfaction Problem, Constraint Programming 1. 理 輪 臨 輪 良 理 理 輪 行 率 度 理 輪 理 輪 (Nurse Rostering) 1970 年 (Miller et al., 1976) 度 NP-har (Aickelin an Dowslan, 2001; Valouxis an Housos, 2000) (formulation) 兩 類 (Optimization Moel) 輪 理 輪 利 (Optimal Solution Algorithm) ( 金 劉 90 Jaumar et al., 1998; Millar an Kiragu, 1998; Miller et al., 1976) 度 率 不 爲 率 來 (Heuristic Algorithm) 來 率 ( Aickelin an Dowslan, 2001; Berraa et al., 1996) 理 輪 理 輪 理 輪 律 (Har Constraints) 量 (Soft Constraints) 理 年 不 輪 理 理 輪 領 理 輪 (Constraint Satisfaction Problem, CSP)
3 兩 理 輪 123 (Constraint Programming, CP) 年 度 不 良 Chun et al. (2000) 理 理 輪 Cheng et al. (1997) 利 (Reunant Moeling) 理 輪 Darmon et al. (1995) Rouen Kusumoto (1996) ProAINUS Wang an Chun (2003) 利 理 (meta-level reasoning) 理 Hare an Kelowna (1998) ( 91) 林 ( 92) ( 92) 輪 理 輪 理 輪 量 不 輪 異 理 輪 理 輪 理 輪 立 兩 律 理 領 理 輪 率 度 理 輪 率 輪 參 理 輪 理 輪 理 輪 六 行 論 2. 理 輪 力 量 理 輪 量 理 理 輪 料 理 (1) 理 料 1) 理 2) (Level) 年 N 0 N 4 N 4 3) 領 理 理 輪 (2) 類
4 124 理 1) (D) (N) (M) 2) (off) 律 例 3) (SO) 類 律 流 爲 度 不 4) (SW) 類 理 練 (3) 輪 (Berraa et al., 1996; Cheng et al. 1997; Millar an Kiragu, 1998) 輪 (4) 料 料 料 料 1) 理 (SW) 2) 理 理 若 若 理 類 D N M off SO 3) 領 ( ) 理 領 領 領 4) 若 理 (N) (M) 理 5) 理 理 理 力 不 列 力 列 力 (5) 兩 類 不 律 理 量 不 參 理 (Cheang et al., 2003) 理 理 理 輪 1) a. H1: 理 理 H2: 理 H3: 領 領 理
5 兩 理 輪 125 H4: 理 H5: b. H6: (D) 理 數 H7: (N) 理 數 H8: (M) 理 數 H9: (D) 理 數 H10: (N) 理 數 H11: (M) 理 數 c. H12: 兩 4 ( 勞 ) H13: 1 ( 勞 六 ). H14: 理 H15: 2 H16: 連 不 H17: 連 數 6 H18: 不 H19: 不 H20: 不 e. H21: 連 數 5 2) a. S1: 數 理 S2: 例 數 理 b. S3: 數 輪 理 輪 理 不 領 理 理 輪 理 輪 利 理 輪
6 126 理 理 輪 ( 82) 爲 理 輪 兩 理 料 類 輪 料 利 兩 理 1 (Offay Scheuling) 理 理 理 數 理 數 例 數 行 1 列 行 狀 (Shift Scheuling) 理 料 理 ( ) 理 數 輪 理 理 度 1 列 輪 行 輪 若 行 行 行 行 讀 理 輪 行 兩 1 料 行 料 例 理 理 數 行 理 料 輪 數 理 數 料 理 理 數 理 例 數 2 兩 說 兩 H S C 兩
7 兩 理 輪 兩 1 兩 說 料 (Offay Scheuling Moel) (Shift Scheuling Moel) 理 數 例 數 料 理 理 料 輪 數 數 理 料 輪 數 類 料 數 領 理 理 理 理 數 例 數 理 數 例 數 數 數 數
8 128 理 2 類 CSP CP CP H1 C1 C13 H2 C2 C13 H3 -- C13 H4 -- C13 H5 -- C13 H6 C3 C14 H7 C3 C15 H8 C3 C16 H9 C4 C17 H10 C4 C18 H11 C4 C19 H12 C5 -- H13 C6 -- H14 -- 數 H15 C7 -- H16 C8 -- H17 C9 -- H18 -- C20 H19 -- C21 H20 -- C22 H21 C10 -- S1 C11 -- S2 C12 -- S3 -- C C I 參 數 參 數 理 D I 領 理 ( I D I ) N I 領 理 ( I N I ) M I 領 理 ( I M I ) R I 輪 理 不 領 理 ( R D N M I ( I I I ) = φ ) T 輪
9 兩 理 輪 129 W T 例 ( T W T ) S 理 n ( n, T ) n D _ eman 數 ( T ) N _ eman 數 ( T ) M _ eman 數 ( T ) SW _ eman 數 ( T ) D _ new _ nurse 數 ( T ) N _ new _ nurse 數 ( T ) M _ new _ nurse 數 ( T ) off _ nurse 理 數 ( T ) I ( D _ eman + N _ eman + M _ eman + D _ new _ nurse + N _ new _ nurse + M _ new _ nurse + SW _ eman D _ level_ eman 理 數 數 ( T ) N _ level_ eman 理 數 數 ( T M _ level_ eman 理 數 數 ( T ) ) ) Level _ eman 理 數 ( T ) 理 數 兩 ( D _ level_ eman N_ level_ eman + M_ level_ eman ) 2 + off 輪 數 爲 理 數 輪 min 數 値 數 ( off _ nurse ) I off 輪 數 max 3 率 off min + 3 D 輪 數 min 輪 數 1 數 ( ( D _ eman D x = D ) I ) 1 數 R (( )) n I 數 1 率 D 輪 數 max off min Dmin + 3 n N 輪 數 min D min 輪 數 1 數 ( ( N _ eman N x = N ) I ) 1 R (( )) N 輪 數 max off min N min + 3 n I n
10 130 理 M 輪 數 min D min 輪 數 1 數 R ( M _ eman M x M ) I ) (( = )) M 輪 數 max off min M min + 3 n I n 3.3 立 來 行 料 (1) 理 料 94 年 力 理 20 理 7 N 4 理 (Nurse1 Nurse7) 3 N 3 理 (Nurse8 Nurse10) 4 N 2 理 (Nurse11 Nurse14) 4 N 1 理 (Nurse15 Nurse18) 2 N 0 理 (Nurse19 Nurse20) (2) 領 領 Nurse2 領 Nurse8 領 Nurse4 (3) 理 理 Nurse13 理 Nurse10 Nurse11 (4) 理 Nurse20 力 列 力 (5) 力 3 力 理 列 力 D _ new _ nurse N _ new _ nurse M _ new _ nurse SW _ eman 0 (6) 理 數 1 N 3 理 D_ level_ eman = 1 N_ level_ eman = 1 M_ level_ eman = 1 (7) 4 Nurse9 6 3 理 數 Day D_eman N_eman M_eman Day D_eman N_eman M_eman
11 4 ( S ) n 兩 理 輪
12 132 理 4. (Offay Scheuling) 理 輪 數 料 力 理 4. 1 y n { work, off, swork, soff } n, T 理 n T 數 理 n n 4. 2 y n n 理 I 輪 y n = work 理 n y n = off y n = swork 理 n y n = soff (1) 理 利 讀 料 Sn 理 C1: 理 H1 理 理 例 若 理 n y n = work y n = work 若 S = D S = N S M (1) n n n = 兩 立 理 y ti = swork 若 S n = SW (2) 2 C2: 理 H2 理 C1 (2) 理 力 y n = off 若 S n = off (3) y n = soff 若 S n = SO (4)
13 兩 理 輪 133 C3: 理 數 off _ nurse H6 H8 數 理 數 理 數 理 數 off _ nurse n (( y = off y = soff )) = off _ nurse T (5) n n ((K)) 邏 (K) 數 1 if K (( K )) = (6) 0 otherwise C4: 理 數 Level _ emant H9 H11 理 數 理 N 3 理 N 3 理 Level _ eman n n lenel 3 (( y n = work)) Level _ eman T (7) (3) C5: 兩 4 H12 兩 (=1 =14) 例 理 數 4 { 1, K,14} (( yn = off yn = soff )) 4 n (8) 理 兩 (=8 =21) 兩 (=15 =28) { 8, K,21} (( yn = off yn = soff )) 4 n { 15, K,28} (( yn = off yn = soff )) 4 n (9) (10) C6: 1 H13 (=1 =7) 例 理 數 1 { 1, K,7} (( yn = off yn = soff )) 1 n
14 134 理 理 兩 (=8 =14) (=15 =21) (=22 =28) { 8, K,14} (( yn = off yn = soff )) 1 n (11) { 15, K,21} (( yn = off yn = soff )) 1 n (12) { 22, K,28} (( yn = off yn = soff )) 1 n (13) C7: 5 H15 理 兩 數 5 C6 { 1, K,7} (( yn = off yn = soff )) 5 n (14) { 8, K,14} (( yn = off yn = soff )) 5 n (15) { 15, K,21} (( yn = off yn = soff )) 5 n (16) { 22, K,28} (( yn = off yn = soff )) 5 n (17) C8: 連 不 H16 若 例 ( y n ( y = off n( + 2) y n = soff ) ( y = work y n( + 2) n( + 1) = swork) = work y n( + 1) n, = swork) { 1, K,29} (18) 兩 立 若 若 立 立 C9: 連 數 6 H17 連 7 數 6 例 6 + { 1, K,25} (( yn = work yn = swork)) 6 n, (19) C10: 連 不 5 H21 連 6 數 5 例
15 兩 理 輪 { 1, K,26} (( yn = off yn = soff )) 5 n, (20) (4) C11: 數 理 S1 理 數 off min off max off min n n )) (( y = off y = soff off n (21) C12: 例 數 理 S2 C11 理 2 例 量 理 W 2 (( yn = off yn = soff )) 5 n, T (22) 理 理 數 例 數 數 例 數 5 Nurse1 例 12 3 例 理 6 work off 理 Nurse2 例 理 max 5. (Shift Scheuling) 理 輪 數 數 領 理 料 理 輪 領 理 理 領 理 理 5 數 例 數 理 數 例 數 理 數 例 數
16 Nurrse 六 六 六 六 136 理 1 off off off off work work work work off work work work work work off off off off work work work off work work work off work work work off work 2 work *off *off *off work work *off *off work work work work work work off work work *off off *off work work off off work work work work work off work 3 off work work off off off work work work off work work work work off off off work work work work off work work work work off work work off work 4 work off off off off work work work work work off work work work work off off off work work work work off work work work work off off work work 5 work work work work *off *off *off work work off off work work work work off work work work off off off off work work work work work off work work 6 work work work work off work work work work *off *off *off *off work work work work work work off off work work off off off work work off work work 7 work work work work work off *off *off *off *off work work work work work work off work work work off work work off off off work work work work work 8 work work work work work off *off *off *off work work off work work work work work work off off work work off off work work work off off off work 9 off *off work work work *work *off *off work work off work work work work work work off off work work work work work off off off work work work work 10 work work off work work work work work off work work off off off work work work work off work work off work work off work work off work work off 11 work *off off off work work off off work work work work work work off off off work work off work work off off work work work work work off work 12 work work work off work work work work work work *off *off *off *off *off work work off work work work work off off work work work off work work work 13 off off off work work work work work off work work work work *off *off work work off off work work work work work work off off work work work off 14 work work off off off work work off off work work work work work work off off work work work off work work work work work off off work work work 15 work work work work off off work work work off work work off off work work off off work work work off work work work work off off work work work 16 off work work work off work work work work off off off work work work *off work work work work *off work work work work work off off work work off 17 work work work work work off work work work off off work work off work work work work work off off off off work work work off work work work off 18 off *off work work work work work work off work work off off work work work work work work *off *off *off work work off work work work off work off 19 work work work work work work *off *off work work work off off off work work work work off work work work work off off off work work off off off 20 off work work work work off work work work work work work off off off work work work off work work work work work off off work work off off off * 理
17 兩 理 輪 5. 1 x n { D, N, M, off, SW, SO} n, T 理 n x n n 理 I 輪 數 T x n = D 理 n x n = N 理 n x n = N 理 n x n = off 理 n x n = SW 理 n x n = SO 理 n 不 數 數 數 數 理 (H14) 數 5. 2 (1) 讀 領 理 料 C13: 理 領 ( H1 H5) 理 領 理 例 x n = off 若 y n = off (23) 理 x n = SO 若 y n = soff (24) x n = SW 若 y n = swork (25) work 爲 例 y n S n 兩 x n = D 若 ( y = work) ( S D) (26) n n = 理 x n = N 若 ( yn = work ) ( Sn = N ) (27) x n = M 若 ( y = work) ( S M ) (28) n n = 領 理 領 理 例
18 138 理 x n = D 若 D y n = work n (29) 理 領 理 x n = N 若 D y n = work n (30) x n = M 若 y n = work n M (31) (2) 理 力 C14: 數 D_eman +D_new_nurse H6 理 數 數 理 數 (( x = D)) = D _ eman + D _ new _ nurse T (32) n n C15: 數 N_eman +N_new_nurse H7 理 數 數 理 數 (( x = N)) = N _ eman + new _ nurse T (33) n n C16: 數 M_eman +M_new_nurse H8 理 數 數 理 數 (( x = M )) = M _ eman + M _ new _ nurse T (34) n n C17: 理 數 D_level_eman H9 N 3 理 D _ level _ eman n n level 3 (( x = D) ) D_ level_ eman T n (35) C18: 理 數 N_level_eman H10 N 3 理 N _ level _ eman n n level 3 (( x = N )) N_ level_ eman T n (36) C19: 理 數 M_level_eman H11 N 3 理 M _ level _ eman
19 兩 理 輪 139 n n level 3 (( x = M )) M_ level_ eman T n (37) (3) C20: 不 H18 輪 理 +1 不 例 { 1,,30} R xn = M xn( + 1) D n, K (38) C21: 不 H19 輪 理 +1 不 例 { 1,,30} R xn = M xn( + 1) N n, K (39) C22: 不 H20 輪 理 +1 不 例 { 1,,30} R xn = N xn( + 1) D n, K (40) (4) C23: 輪 理 數 (S3) 例 (C11) 利 數 D min D max D R min xn = D)) Dmax n (( (41) 理 N R min xn = N)) N max n (( (42) M R min xn = M )) M max n (( (43) 5. 3 理 輪 數 輪 理 數 數 數 理 輪 理
20 140 理 數 7 13 理 輪 Nurse1 例 數 10 數 6 3 理 輪 8 理 Nurse1 例 理 Nurse2 領 理 6. 立 94 年 5 輪 度 率 兩 類 來 行 6. 1 度 數 兩 類 度 9 類 理 (H4) 1 兩 (H11) 數 1 連 (H15) 數 6 100% 度 度 數 例 數 輪 理 數 數 數 理 10 數 5 例 數 3 數 5 數 4 數 5 異 1 2 良 輪 量 輪 量 兩 輪 7 輪 理 數 理 (D) (N) (M)
21 8 理 輪 六 六 六 六 * 理 ** 領 理 兩 理 輪
22 142 理 9 理 數 ( 數 ) H4 理 1 0 H12 兩 1 0 H16 連 不 理 ( ) 數 5 2 例 數 3 2 數 5 2 數 4 2 數 5 1 列 行 不 不 數 利 ILOG OPL Stuio 例 累 數 理 行 輪 6. 2 Winows XP 1.8GHz 理 度 512M ILOG OPL Stuio 3.0 數 數 數 11 1 理 2 理 輪 兩 理 輪 行 理 輪 輪 率 率 數 來 率 (Reunant) 參 李 ( 94) 理 輪
23 兩 理 輪 數 數 數 數 數 數 若 數 數 聯 率 輪 若 輪 數 例 若 理 輪 若 (2 ) 若 數 率 兩 例 數 率 率 不 行 數 不 數 降 率 更 若 降 率 3 兩 輪 量 律 力 理 輪 理 理 輪 理 數 例 數 數 數 數 理 理 理 參 7. 不 理 輪 利 兩 理 輪
24 144 理 領 理 輪 輪 更 量 率 理 輪 兩 利 理 理 輪 兩 易 理 率 不 類 兩 參 理 輪 100% 度 異 兩 不 論 率 度 兩 良 理 輪 參 理 輪 連 離 律 連 錄 狀 離 錄 數 數 錄 數 立 連 理 輪 理 率 輪 度 立 論 82 年 數 立 理 論 91 年 立 理 理 論 92 年 李 年 理 例 立 理 論 94 年 林 年 例 立 理 論 92 年 例 立 理 論 92 年 金 數 立 理 論
25 兩 理 輪 年 數 理 力 - 理 例 理 論 91 年 理 立 理 論 90 年 劉 數 理 立 理 論 90 年 Aickelin, U. an Dowslan, K., Exploiting Problem Structure in A Genetic Algorithm Approach to A Nurse Rostering Problem, Journal of Scheuling, Vol. 3, No. 3, 2001, pp Berraa, I., Ferlan, J. A., an Michelon, P., A Multi-Objective Approach to Nurse Scheuling with Both Har an Soft Constraints, Socio-Economic Planning Science, Vol. 30, 1996, pp Cheang, B., Li, H., an Lim, A., Nurse Rostering Problems a Bibliographic Survey, European Journal of Operational Research, Vol. 151, 2003, pp Chun, H. W., Chan, H. C., Lam, P. S., Tsang, M. F., Wang, J., an Yeung, W. M., Nurse Rostering at The Hospital Authority of Hong Kong, In Proceeings of AAAI/IAAI Conference, Cheng, B. M. W., Lee, J. H. M., an Wu, J. C. K., A nurse Rostering System Using Constraint Programming an Reunant Moeling, IEEE Transactions in Information Technology in Biomeicine, Vol. 1, 1997, pp Darmoni, S. J., Fajner, A., N. Mahé, Leforestier, A., Vonracek, M., Stelian, O., an Balenweck, M., Horoplan: Computer-Assiste Nurse Scheuling Using Constraint Base Programming, Journal of the Society for Health Systems, Vol. 5, No. 1, 1995, pp Hare, D. R. an Kelowna, B. C., Staff Scheuling with ILOG Solver, In Proceeings of INFORMS National Meeting Conference, Jaumar, B., Semet, F., an Vovor, T., A Generalize Linear Programming Moel for Nurse Scheuling, European Journal of Operational Research, Vol. 107, 1998, pp Kusumoto, S., Nurse Scheuling System Using ILOG Solver, In Proceeings of the Secon ILOG Solver an Scheuler Users Conference, Paris: ILOG, 1996 Millar, H. an Kiragu, M., Cyclic an Non-Cyclic Scheuling of 12h Shift Nurses by Network Programming, European Journal of Operational Research, Vol. 104, 1998, pp Miller, H. E., William, P., an Gustave, J. R., Nurse Scheuling Using Mathematical Programming, Operations Research, Vol. 24, No. 5, 1976, pp Soft Constraints in The Nurse Rostering Problem, Full escription of all the constraint types in use in Plane System, February 6, Available from < uk/~gvb/constraints.ps21>
26 146 理 Valouxis, C. an Housos, E., Hybri Optimization Techniques for The Workshift an Rest Assignment of Nursing Personnel, Artificial Intelligence in Meicine, Vol. 20, 2000, pp Wang, Y. C. an Chun, H. W., Nurse Rostering Using Constraint Programming an Meta-level Reasoning, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 2718, 2003, pp
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