Microsoft Word - 第33單元排列組合.doc

Size: px
Start display at page:

Download "Microsoft Word - 第33單元排列組合.doc"

Transcription

1 第 三 十 三 單 元 排 列 組 合 ( 甲 ) 基 本 計 數 法 則 (1) 窮 舉 法 : 通 過 一 一 的 列 舉 而 導 致 結 論 的 方 法, 稱 為 窮 舉 法 (2) 樹 狀 圖 的 設 計 樹 狀 圖 是 一 種 樹 枝 形 狀 的 圖 形, 用 來 列 舉 一 連 串 事 件 發 生 時 所 有 可 能 情 況 的 一 種 工 具 樹 狀 圖 是 用 窮 舉 法 解 題 時 的 一 種 工 具, 通 常 樹 狀 圖 的 作 法 是 由 左 而 右 逐 層 分 類, 分 步, 使 複 雜 情 況 明 顯 化 樹 狀 圖 在 計 數 問 題 處 理 的 過 程 中, 可 以 呈 現 直 觀 的 具 體 的 模 型, 使 得 分 類 分 層 的 工 作 容 易 進 行, 且 可 以 避 免 重 疊 與 遺 漏 的 現 象 [ 例 題 1] 甲 乙 兩 隊 比 賽 拔 河, 每 次 比 賽 沒 有 平 手, 規 定 先 贏 兩 次 者 為 勝 隊, 試 問 共 有 多 少 種 比 賽 情 形 可 以 分 出 勝 負? 解 : 我 們 利 用 樹 狀 圖, 將 勝 負 情 形 表 示 如 下 : 甲 贏 甲 ( 甲 勝 ) 比 賽 甲 贏 乙 贏 甲 乙 乙 贏 甲 贏 甲 贏 乙 乙 贏 甲 贏 甲 乙 贏 甲 ( 甲 勝 ) 乙 ( 乙 勝 ) 甲 ( 甲 勝 ) 乙 ( 乙 勝 ) 乙 贏 乙 ( 乙 勝 ) 所 以 共 有 6 種 情 形 可 分 出 勝 負 (2) 加 法 原 理 : 例 子 : 連 續 投 擲 一 枚 骰 子 兩 次, 出 現 點 數 和 大 於 6 的 情 形 總 共 有 多 少 種? [ 解 法 ]: 點 數 和 大 於 6 這 件 事 可 區 分 為 下 面 6 個 類 別, 其 方 法 列 於 後 : (1) 點 數 和 是 7:( 6, 1 ),( 5, 2 ),( 4, 3 ),( 3, 4 ),( 2, 5 ),( 1, 6 ) (2) 點 數 和 是 8:( 6, 2 ),( 5, 3 ),( 4, 4 ),( 3, 5 ),( 2, 6 ) (3) 點 數 和 是 9:( 6, 3 ),( 5, 4 ),( 4, 5 ),( 3, 6 ) (4) 點 數 和 是 10:( 6, 4 ),( 5, 5 ),( 4, 6 ) (5) 點 數 和 是 11:( 6, 5 ),( 5, 6 ) (6) 點 數 和 是 12:( 6, 6 ) 這 6 個 互 斥 類 別 的 完 成 方 法 分 別 有 6,5,4,3,2,1 種, 完 成 點 數 和 大 於 6 這 件 事 的 方 法 共 有 =21 ( 種 ) 以 上 例 子 中, 為 了 數 出 現 點 數 和 大 於 6 的 情 形, 我 們 將 這 些 情 形 分 成 點 數 和 ~33 1~

2 7,8,9,10,11,12 等 6 種 互 斥 的 類 別, 再 將 這 些 類 別 的 方 法 數 加 起 來, 就 可 以 數 出 出 現 點 數 和 大 於 6 的 情 形 總 共 有 多 少 種 這 樣 的 方 法 就 是 所 謂 的 加 法 原 理 作 一 件 事 E, 完 成 E 有 C 1,C 2,.,C n 等 n 類 互 斥 的 辦 法, 在 第 一 類 C 1 辦 法 中 有 m 1 種 方 法, 在 第 二 類 C 2 辦 法 中 有 m 2 種 方 法,,., 在 第 n 類 辦 法 中 有 m n 種 方 法, 那 麼 這 件 事 共 有 m 1 +m m n 種 不 同 的 方 法 (3) 乘 法 原 理 : 例 子 : 如 下 圖, 某 人 從 甲 地 到 丙 地, 途 經 乙 地 設 由 甲 地 到 乙 地 有 3 種 路 徑 走 法, 由 乙 地 到 丙 地 有 4 種 路 徑 走 法, 則 由 甲 地 經 乙 地 到 丙 地 共 有 多 少 種 走 法? 以 樹 狀 圖 說 明 如 下 圖 : 若 從 甲 地 到 乙 地 選 擇 路 徑 1, 則 由 乙 地 到 丙 地 可 選 擇 路 徑 a,b,c,d, 所 以 由 甲 地 走 路 徑 1 到 乙 地 再 到 丙 地, 就 有 ( 1, a ),( 1, b ),( 1, c ), ( 1, d )4 種 走 法 同 理, 由 甲 地 到 乙 地 走 路 徑 2, 3 也 各 有 4 種 走 法 到 丙 地, 故 由 甲 地 經 乙 地 到 丙 地 共 有 ( 加 法 原 理 )=3 4 ( 改 成 乘 法 )=12 種 ( 走 法 ) 上 例 中, 甲 地 到 丙 地 分 成 兩 個 步 驟 :(1) 甲 地 乙 地 (2) 乙 地 丙 地 由 甲 地 到 乙 地 有 3 種 路 徑 選 擇, 由 乙 地 到 丙 地 有 4 種 路 徑 選 擇, 故 由 甲 地 ( 經 乙 地 ) 到 丙 地 就 有 3 4 種 走 法 這 樣 的 方 法 就 是 所 謂 的 乘 法 原 理 完 成 一 件 事 E, 須 經 S 1,S 2,S 3,,S k 兩 個 步 驟 ( 有 先 後 順 序 ), 作 第 一 步 (S 1 ) 有 m 1 種 方 法, 作 第 二 步 驟 (S 2 ) 有 m 2 種 方 法,, 作 第 k 步 驟 (S k ) 有 m k 種 方 法 那 麼 完 成 這 件 事 (E) 共 有 m 1 m 2 m k 種 方 法 乘 法 原 理 的 精 神 是 分 好 完 成 事 情 的 一 連 串 步 驟, 而 加 法 原 理 著 重 於 如 何 將 事 情 做 適 當 的 分 類, 在 實 際 作 計 數 的 過 程 中, 我 們 要 練 習 如 何 適 當 的 使 用 乘 法 與 加 法 原 理, 即 如 何 將 事 物 作 分 類 分 步 驟, 以 助 於 去 計 算 事 物 的 個 數 ~33 2~

3 [ 例 題 2] 若 把 從 1 到 1000 的 整 數 列 出 來, 試 問 其 中 不 含 有 數 字 3 的 有 多 少 種? 又 至 少 含 有 一 個 數 字 3 的 有 多 少 種? [ 解 說 ]: (A) 首 先 我 們 將 1 到 1000 的 數, 分 成 一 位 數 二 位 數 三 位 數 四 位 數 然 後 在 這 些 分 類 中 算 出 不 含 有 數 字 3 的 數 有 多 少 個 (1 ) 一 位 數 :1,2,4,5,6,7,8,9 8 個 (2 ) 二 位 數 : 十 位 數 字 有 8 個 數 可 以 用, 個 位 數 字 有 9 個 數 字 可 以 用, 因 此 用 乘 法 原 理 可 知 有 8 9 個 數 字 (3 ) 三 位 數 : 百 位 數 字 有 8 個 數 可 以 用, 十 位 數 字 有 9 個 數 字 可 以 用, 個 位 數 字 有 9 個 數 字 可 以 用, 因 此 用 乘 法 原 理 可 知 有 個 數 字 (4 ) 四 位 數 : 只 有 1000 一 個 數 字 根 據 以 上 的 分 類, 由 加 法 原 理 知 共 有 =729 個 不 含 有 數 字 3 的 數 (B)1~1000 中 至 少 含 有 一 個 數 字 3 的 數 字 個 數 =1000 (1~1000 中 不 含 有 數 字 3 的 數 的 個 數 )= =271 (4) 取 捨 原 理 : 在 加 法 原 理 中, 完 成 一 件 事 可 以 分 成 幾 個 互 斥 的 類 別, 再 將 完 成 這 些 類 別 的 方 法 數 加 起 來 即 可 若 我 們 完 成 一 件 事 的 類 別 有 重 複 的 部 分, 就 不 能 將 方 法 數 直 接 相 加, 此 時 就 要 用 到 所 謂 的 取 捨 原 理 取 捨 原 理 是 計 數 中 很 常 用 的 方 法, 先 舉 例 來 說 明 : 求 1~20 的 自 然 數 中 2 或 3 的 倍 數 有 多 少 個? [ 解 法 ]: 設 A B 分 別 代 表 1~20 中 2 與 3 的 倍 數, 我 們 要 計 算 A B 的 元 素 個 數 QA={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} B={3,6,9,12,15,18}, 而 A B={6,12,18} 因 此 A B 的 元 素 個 數 =10+6 3=13 上 述 的 方 法 就 是 所 謂 的 取 捨 原 理 (a) 設 A 是 一 個 有 限 集 合, 則 集 合 A 的 元 素 個 數 以 n(a) 或 A 表 示 之 例 : 設 A={a,b,c,d,e}, 則 n(a)=5 或 A =5 (b) 二 個 集 合 的 取 捨 原 理 : 設 A,B 是 二 個 有 限 集 合, 則 n(a B)=n(A)+n(B) n(a B) (c) 三 個 集 合 的 取 捨 原 理 : 設 A,B,C 是 三 個 有 限 集 合, 則 n(a B C)=n(A)+n(B)+n(C) n(a B) n(a C) n(b C) +n(a B C) ~33 3~

4 [ 例 題 3] 某 班 學 生 第 一 次 段 考, 國 文 英 文 數 學 成 績 不 及 格 人 數 分 別 為 8 人,15 人 與 20 人 國 文 英 文 兩 科 都 不 及 格 的 有 3 人 ; 英 文 數 學 兩 科 都 不 及 格 的 有 6 人 ; 數 學 國 文 兩 科 都 不 及 格 的 有 4 人, 國 文 英 文 數 學 三 科 都 不 及 格 的 有 2 人 請 問 : 全 班 學 生 中 國 文 英 文 數 學 三 科 至 少 有 一 科 不 及 格 的 有 多 少 人? 解 : 設 A,B,C 分 別 表 示 這 班 學 生 第 一 次 段 考 國 文 英 文 數 學 不 及 格 學 生 所 成 的 集 合, 則 由 題 意 得 n ( A )=8,n ( B )=15,n ( C )=20, n ( A B )=3,n ( B C )=6, n ( C A )=4,n ( A B C )=2 以 文 氏 圖 呈 現 如 右 : 由 取 捨 原 理 知 :n ( A B C )=n ( A )+n ( B )+ n ( C )-n ( A B ) -n ( B C )-n ( C A )+n ( A B C ) = =32, 所 以 三 科 中 至 少 有 一 科 不 及 格 的 學 生 有 32 人 [ 討 論 ]:n 個 集 合 的 取 捨 原 理 設 A 1 A 2 A n 為 n 個 有 限 集 合, 則 n(a 1 A 2 A 3 A n ) n = i= 1 n n ( A i ) i= 1 j> i n n( A i A j ) + n( Ai A j Ak ) +( 1) n 1.n(A 1 A 2 A n ) i= 1 j> i k > j (5) 一 對 一 原 理 : 設 A B 為 兩 個 有 限 集 合, 若 是 可 以 找 到 一 個 1 1 且 映 成 的 函 數 f:a B, 則 集 合 A 與 B 的 元 素 個 數 相 等 [ 例 題 4] 有 30 個 人 玩 剪 刀 石 頭 布 " 的 猜 拳 遊 戲 每 一 局 比 賽 由 其 中 兩 人 配 對 猜 拳, 直 到 分 出 勝 負 為 止, 猜 輸 的 人 即 遭 淘 汰, 猜 贏 的 人 繼 續 配 對 猜 拳 試 問 總 共 要 猜 拳 幾 局, 才 能 產 生 最 後 的 勝 利 者? 分 析 : 我 們 利 用 一 一 對 應 原 理 解 題 解 : 每 猜 拳 一 局, 就 會 淘 汰 一 人 今 欲 產 生 最 後 一 位 勝 利 者, 就 須 淘 汰 29 人, 因 此 總 共 要 猜 拳 30-1=29 ( 局 ) ~33 4~

5 [ 例 題 5] 將 15 用 三 個 自 然 數 之 和 來 表 示, 方 法 有 幾 種?Ans:19 (15= 與 15= 視 為 同 一 種, 即 不 考 慮 順 序 ) [ 例 題 6] 如 圖, 用 5 個 不 同 的 顏 色 去 塗 A B C D 四 個 區 域, 將 每 個 區 域 塗 上 一 種 顏 色, 相 鄰 區 域 不 得 同 色, 則 有 幾 種 方 法? Ans:260 B A C D [ 例 題 7] 自 A 到 B 規 定 其 行 走 方 向 為,, 三 種 (1) 不 經 過 P 的 走 法 有 多 少 種? (2) 經 過 P 的 走 法 有 多 少 種? Ans:(1)64 種 (2)192 種 A P B ( 練 習 1) 設 二 次 函 數 f(x)=ax 2 +bx+c 之 係 數 a,b,c {3,4,5} 請 問 共 有 多 少 個 不 同 的 二 次 函 數? Ans:3 3 ( 練 習 2) 請 問 720 的 正 因 數 個 數 有 多 少 個?Ans:30 個 ( 練 習 3) 用 0,1,2,3,4,5 排 成 一 個 四 位 數, (1) 若 數 字 可 重 複, 請 問 可 作 成 幾 個 四 位 數 (2) 若 數 字 不 可 重 複, 請 問 可 作 成 幾 個 四 位 數 Ans:(1)5 6 3 (2)300 B A ( 練 習 4) 若 球 道 設 計 如 圖 所 示, 兩 兩 相 鄰 的 節 點 間 距 離 皆 為 1, 請 問 3 (1) 共 有 多 少 個 面 積 為 4 的 三 角 形 ~33 5~ E D C

6 (2) 共 有 多 少 條 長 度 為 1 的 線 段 (3) 球 由 A 點 進 入, 經 B 層 的 兩 個 節 點 之 一 再 依 斜 線 路 徑 進 入 C 層, 依 次 類 推 往 下 掉 落 到 最 底 層, 共 有 多 少 種 走 法? Ans:(1)16 (2)30 (3)16 ( 練 習 5) 設 有 25 個 人 參 加 網 球 單 淘 汰 賽, 每 一 場 由 其 中 兩 位 選 手 配 對 比 賽, 賽 輸 的 人 即 遭 淘 汰, 並 且 每 一 場 比 賽 都 一 定 有 一 位 得 勝, 不 允 許 有 和 局 試 問 總 共 要 比 賽 幾 場, 才 能 產 生 冠 軍? ( 練 習 6) 從 4 種 顏 色 塗 下 列 兩 圖, 使 同 色 不 相 鄰 之 塗 法 共 有 多 少 種? (1) (2) (3) Ans:(1)96 (2)2304 (3)420 ( 乙 ) 直 線 排 列 (1) 直 線 排 列 的 引 入 : 例 子 : 從 建 中 高 二 某 班 5 個 同 學 中, 選 出 3 人 排 成 一 列, 有 幾 種 排 法? 解 法 : A B B C D E 5 個 同 學 以 ABCDE 表 示, 選 出 3 人 排 成 一 列, 我 們 將 這 個 過 程, C 分 成 3 個 步 驟, 配 合 樹 狀 圖, 可 得 排 法 共 有 種 方 法 數 學 上, 我 們 將 這 樣 的 排 列 方 法 稱 為 在 5 個 不 同 的 事 物 中, 選 取 3 個 排 成 一 列, 符 號 上 以 P 5 3 來 表 示 即 P 5 3=5 4 3 (2) 直 線 排 列 的 定 義 : D E 從 n 個 不 同 的 物 件 中, 選 取 m 個 物 件 (1 m n) 安 排 到 m 個 不 同 的 位 置, 共 有 n(n 1)(n 2) (n m+1) 種 方 法, 這 樣 的 方 法 數 用 P n m 來 表 示 即 P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1) [n 往 下 乘 m 個 ] B D E ~33 6~

7 為 了 方 便 表 示, 規 定 n!=1 2 3 n,0!=1 因 此 P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1)= n(n 1)(n 2) (n m+1)(n m) 2 1 (n m) 2 1 特 別 P n n= n! 0! =n! 林 信 安 老 師 編 寫 = n! (n m)! 結 論 : (1) 從 n 個 不 同 的 事 物 中, 選 取 m 個 物 件 (1 m n) 安 排 到 m 個 不 同 的 位 置, 共 有 P n m 種 方 法 (2) P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1)= n! (n m)! 例 子 :3!=6,4!=24,5!=120,6!=720 例 子 :P 6 4= = 6! (6 4)! = 6! 2!,P10 4= = 10! 6! [ 例 題 8] 請 計 算 下 列 各 小 題 : (1)2P 3 n =3 P 2 n+1 +6P 1 n, 求 n=?(2)5p n 9 =6P 10 n 1, 求 n=? Ans:(1)n=5 (2)n=7 [ 例 題 9] 請 求 出 下 列 各 小 題 的 方 法 數 : (1) 甲 乙 丙 三 人 在 排 成 一 列 的 8 個 座 位 中, 選 坐 相 連 的 三 個 座 位, 則 有 幾 種 坐 法? (2)9 個 人 組 成 一 個 少 棒 隊, 已 知 三 四 棒 的 人 選 已 定, 而 投 手 與 捕 手 要 安 排 在 第 七 八 九 棒, 請 問 教 練 可 以 排 出 幾 種 不 同 的 打 擊 順 序? Ans:(1)36 (2)720 ~33 7~

8 ( 練 習 7) 設 P 3 n+1 =10P 2 n 1, 求 n=? Ans:n=4 或 5 ( 練 習 8) 若 2P 8 n 2=P 8 n, 則 n=? Ans:8 n n 1 n 1 ( 練 習 9) 請 證 明 : P = r P + r r P r 1 這 個 式 子 可 以 做 這 樣 的 解 釋 : 假 設 50 個 人 中 含 有 一 人 為 甲, 則 從 50 個 人 中 選 取 6 個 之 排 列 數 為 P 50 6 利 用 加 法 原 理, 可 將 這 樣 的 過 程 分 成 兩 類 : 不 含 甲 之 排 列 數 為 P 49 6 與 含 甲 的 排 列 數 為 P 6 1 P 49 5( 某 甲 先 選 座 位, 剩 下 5 個 座 位 再 由 其 他 49 人 選 取 排 列 ) 因 此 可 得 P 50 6= P P 6 1 P 49 5 ( 練 習 10) 某 桌 球 隊 要 從 10 名 選 手 中 排 出 5 名, 分 別 參 加 五 場 單 打 友 誼 賽,10 名 選 手 中 近 況 特 佳 的 有 3 位, 教 練 決 定 任 意 安 排 他 們 分 別 在 第 一 三 五 場 出 賽, 另 外 兩 場 則 由 其 餘 選 手 任 意 選 出 排 定, 則 此 球 隊 出 場 比 賽 的 名 單 順 序 一 共 可 以 有 種 Ans:252 ( 練 習 11) 甲 乙 丙 三 人 在 排 成 一 列 的 八 個 座 位 中 選 坐 三 個 座 位, 但 不 能 三 個 座 位 全 相 連, 共 有 種 坐 法 Ans:300 ( 練 習 12) 將 三 個 不 同 的 球, 放 入 五 個 不 同 的 箱 子 中, 但 每 箱 最 多 放 一 球, 則 有 多 少 種 不 同 的 放 法 Ans:60 ( 丙 ) 不 盡 相 異 物 排 列 與 重 複 排 列 (1) 有 相 同 物 的 直 線 排 列 : 例 子 : 四 個 英 文 字 母 AAAB 排 成 一 列, 請 問 有 幾 種 排 法? [ 方 法 ]: 先 將 AAA 這 三 個 相 同 的 字 母 視 為 不 同, 設 為 A 1 A 2 A 3 所 以 先 視 為 A 1 A 2 A 3 B 這 4 個 不 同 字 母 的 排 列, 共 有 4! 種, 如 下 所 示 : A 1 A 2 A 3 B,A 1 A 3 A 2 B,A 2 A 1 A 3 B,A 2 A 3 A 1 B,A 3 A 1 A 2 B,A 3 A 2 A 1 B A 1 A 2 BA 3,A 1 A 3 BA 2,A 2 A 1 BA 3,A 2 A 3 BA 1,A 3 A 1 BA 2,A 3 A 2 BA 1 A 1 BA 2 A 3,A 1 BA 3 A 2,A 2 BA 1 A 3,A 2 BA 3 A 1,A 3 BA 1 A 2,A 3 BA 2 A 1 BA 1 A 2 A 3,BA 1 A 3 A 2,BA 2 A 1 A 3,BA 2 A 3 A 1,BA 3 A 1 A 2,BA 3 A 2 A 1 但 是 當 我 們 將 A 1 A 2 A 3 還 原 成 AAA 的 時 候 A 1 A 2 A 3 B,A 1 A 3 A 2 B,A 2 A 1 A 3 B,A 2 A 3 A 1 B, A 3 A 1 A 2 B,A 3 A 2 A 1 B 以 上 6 種 排 列 情 形, 均 代 表 同 一 種 AAAB 換 句 話 說 3! 種 的 排 4! 列 要 視 為 同 一 種, 因 此 排 列 方 法 有 3! =4 種 ~33 8~

9 結 論 : 設 有 n 件 物 品, 共 有 k 種 不 同 種 類, 第 一 類 有 m 1 個, 第 二 類 有 m 2 個,., 第 k 類 有 m k 個 ( 此 處 n=m 1 +m 2 +m 3 +.+m k ), 此 處 此 n 件 物 品 排 成 一 列, n! 共 有 種 不 同 的 排 法 m 1! m 2! m k! 例 如 : 用 3 個 相 同 的 紅 球,2 個 相 同 的 黃 球,4 個 相 同 的 黑 球, 排 成 一 列 有 幾 種 排 法? [ 解 法 ]: 9! 3! 2! 4! (2) 重 複 排 列 的 定 義 : 例 子 : 用 五 個 字 母 排 成 一 個 三 位 數, (1) 數 字 可 重 複, 可 作 出 幾 個 三 位 數? (2) 數 字 不 可 重 複, 可 作 出 幾 個 三 位 數? [ 解 法 ]: (1) 百 位 數 十 位 數 個 位 數 都 有 5 種 方 法 5 3 種 三 位 數 字 ( 重 複 排 列 ) (2) 百 位 數 十 位 數 個 位 數 分 別 有 種 方 法 種 三 位 數 字 結 論 : 從 m 種 不 同 之 事 物 ( 每 種 事 物 的 個 數 超 過 n 個 ) 選 取 n 個 安 排 到 n 個 不 同 的 位 置 (n,m 無 大 小 關 係 ), 但 可 以 重 複 選 取, 這 種 計 數 方 式 稱 為 重 複 排 列, 排 列 方 法 有 m n 個 [ 例 題 10] 請 求 出 下 列 各 小 題 的 排 列 數 : (1) 有 10 位 選 舉 人,3 位 候 選 人, 採 計 名 投 票, 每 人 都 要 投 一 票 ( 沒 有 廢 票 ), 請 問 有 候 選 人 得 票 的 情 形 有 幾 種? (2) 一 個 多 重 選 擇 題, 有 A,B,C,D,E 五 個 選 項, 請 問 答 案 有 幾 種 型 式? (3)10 名 學 生 要 爭 奪 3 項 比 賽 的 錦 標, 請 問 得 到 冠 軍 的 可 能 性 有 幾 種? (4)5 個 人 於 十 字 路 口 話 別 後, 同 時 離 開 ( 沒 有 5 人 同 走 一 條 路 ) 共 有 幾 種 可 能 情 形? Ans:(1)3 10 (2)2 5 1 (3)10 3 (4)4 5 4 ~33 9~

10 (3) 有 限 制 條 件 之 排 列 : (a) 若 要 求 k 個 人 相 連, 先 將 這 k 個 人 視 為 一 整 體, 排 定 後 再 排 此 k 個 人 (b) 若 要 求 k 個 人 分 開, 則 先 排 其 他 人, 在 將 這 k 個 人 安 排 至 其 他 人 的 空 隙 中 (c) 考 慮 反 面 計 算 : 全 部 方 法 不 合 的 方 法 (d) 應 用 取 捨 原 理 (f) 應 用 1 1 原 理 (g) 利 用 遞 迴 方 法 [ 例 題 11] 甲 乙 丙 丁 等 7 人 排 成 一 列, 請 求 出 下 列 情 形 的 方 法 數 : (1) 甲 乙 丙 三 人 相 鄰 (2) 甲 乙 丙 分 開 (3) 甲 乙 相 鄰, 丙 丁 不 相 鄰 (4) 甲 乙 相 鄰, 甲 丙 不 相 鄰 Ans:(1)3! 5!=720 (2)4! P 5 3=1440 (3)4! 2! P 5 2=960(4)1200 [ 例 題 12] pallmall 一 字 中 各 字 母 排 成 一 列 (1) 有 幾 種 排 法?(2) 所 有 之 l 皆 相 鄰 而 兩 個 a 分 開 (3) 其 中 三 個 l 在 一 起, 另 一 l 分 離 Ans:(1)840(2)36 (3)240 ~33 10~

11 [ 例 題 13] 用 0,1,2,3,4,5 作 相 異 數 字 之 四 位 數, 請 求 出 滿 足 下 列 要 求 的 四 位 數 個 數? (1) 數 字 相 異 四 位 數 (2) 偶 數 (3)3 的 倍 數 (4)4 的 倍 數 (5)5 的 倍 數 Ans:(1)300 (2)156 (3)96 (4)72 (5)108 [ 例 題 14] A,B,C,D,E,F,G 排 成 一 列, 求 下 列 排 列 數 : (1)A,B,C 順 序 不 變 (2)A 在 B,C 之 前 (3)A 在 B 之 前,F 在 G 之 後 (4)A,B 在 C,D,E 之 前 Ans:(1)840 (2)1680 (3)1260 (4)504 [ 例 題 15] 有 5 封 不 同 的 信 件, 投 入 甲 乙 丙 丁 4 個 不 同 的 郵 筒, 則 甲 乙 丙 三 郵 筒 均 至 少 投 入 一 封 郵 件 的 投 法 有 幾 種? Ans:390 [ 例 題 16] 鳴 放 氣 笛 作 信 號, 長 鳴 一 次 需 4 秒, 短 鳴 一 次 需 1 秒, 每 次 間 隔 時 間 為 1 秒, 請 問 30 秒 的 時 間 可 作 出 多 少 種 的 信 號?Ans:235 [1 1 原 理 ]: ~33 11~

12 [ 遞 迴 方 法 ]: [ 例 題 17] ( 錯 排 問 題 ) 設 1,2,3,,n 這 n 個 數 重 新 排 成 一 列 為 a 1,a 2,a 3,,a n, 若 a i i, 我 們 稱 之 為 n 的 錯 排, 它 的 個 數 以 g n 來 表 示,g 1 =0,g 2 =1 請 找 出 數 列 {g n } 的 遞 迴 關 係 式 Ans:g n =(n 1)(g n 1 +g n 2 ),n 3 ~33 12~

13 [ 例 題 18] 如 圖, 一 人 走 捷 徑 由 A 到 B( 即 只 能 走 ) (1) 走 捷 徑 有 幾 種 走 法? (2) 若 每 次 需 經 過 D, 其 走 法 有 幾 種? (3) 若 不 經 過 C 且 不 經 過 D, 其 走 法 有 幾 種? Ans:(1)210 (2)100 (3)80 C D B E A [ 例 題 19] 如 圖, 由 A 走 到 B 走 捷 徑, 但 不 走 斜 線 部 分 區 域 之 路 徑, 依 下 列 情 形 求 走 法 數 (1) 經 C (2) 經 D (3) 自 由 走 但 不 經 斜 線 區 域 Ans:(1)50 (2)8 (3)23 E B D C A ( 練 習 13) 一 對 新 婚 夫 妻 家 庭 有 6 人 排 成 一 列 拍 結 婚 照, 但 新 婚 夫 妻 一 定 排 在 中 間 的 兩 個 位 置, 請 問 共 有 幾 種 排 法? Ans:48 ( 練 習 14) 有 4 個 女 生 3 個 男 生 排 成 一 列, 若 要 求 男 生 排 在 一 起, 女 生 排 在 一 起, 則 其 排 列 方 法 有 種 ; 若 要 求 男 女 相 間 隔 排 列, 排 列 方 法 有 種,3 個 男 生 要 分 開 排 列 的 方 法 有 種 Ans:288,144,1440 ~33 13~

14 ( 練 習 15) 甲 乙 丙 丁 戊 己 六 人 排 成 一 列, 求 下 列 的 排 列 數? (1) 乙 丙 均 與 甲 相 鄰 (2) 甲 乙 相 鄰, 甲 丙 不 相 鄰 (3) 甲 乙 丙 中 恰 二 人 相 鄰 Ans:(1)48 (2)192 (3)432 ( 練 習 16) 某 班 一 天 有 七 節 課, 每 一 節 課 均 排 不 同 的 科 目, 其 中 體 育 課 不 排 第 四 節, 數 學 課 不 排 第 七 節, 請 問 這 一 天 的 課 表 有 幾 種 排 法?Ans:3720 ( 練 習 17) 用 2,3,4,5,6 五 個 數 字 排 成 三 位 數 (1) 數 字 可 以 重 複, 有 多 少 個 不 同 的 三 位 數 (2) 數 字 不 可 以 重 複, 則 所 有 三 位 數 的 和 =? Ans:(1)125 (2)26640 ( 練 習 18) 二 位 數 中 :(1) 個 位 數 字 > 十 位 數 字 共 有 幾 個?(2) 十 位 數 字 > 個 位 數 字 共 右 幾 個? Ans:(1)36 (2)45 ( 練 習 19) 設 A,B,C,D 等 十 人 排 成 一 列, 規 定 A,B 不 排 首,C,D 不 排 末 之 方 法 有 幾 種? Ans:8! 58 [ 提 示 : 全 部 (A,B 排 首 ) (C,D 排 末 )+(A,B 排 首 且 C,D 排 末 )] ( 練 習 20) 七 本 書 分 給 10 個 人, 每 人 至 多 一 本 (1) 書 本 相 同 有 幾 種 分 法? (2) 書 本 不 同 有 幾 種 分 法? Ans:(1)120 (2) ( 練 習 21) 甲, 乙, 丙,, 庚 等 7 人 排 成 一 列, 甲 在 乙 的 左 方, 且 在 丙 的 左 方 有 種 排 法 Ans: 1680 ( 練 習 22)LKKLMM 排 成 一 列, 要 求 同 字 不 相 鄰, 方 法 有 幾 種?Ans:30 ( 練 習 23)pontoon 一 字, 各 字 母 排 成 一 列, 求 下 列 各 排 列 數 : (1) 全 部 任 意 排 成 一 列 (2) 三 個 o 完 全 在 一 起 (3) 恰 有 兩 個 o 在 一 起 (4) 三 個 o 完 全 分 開 Ans:(1)420 (2)60 (3)240 (4)120 ( 練 習 24)factoring 中 各 字 母, 每 次 全 取 排 列 (1) 母 音 保 持 a,o,i 之 順 序 有 幾 種 排 法? (2) 母 音 保 持 a,o,i 之 順 序, 同 時 子 音 保 持 f,c,t,r,n,g 之 順 序 有 幾 種 排 法? Ans:(1) 9! 3! (2) 9! 3!6! ( 練 習 25)cabbage 一 字, 各 字 母 排 成 一 列, 其 中 相 同 字 母 不 相 鄰, 有 幾 種 排 法? Ans:660[ 提 示 : 考 慮 反 面 情 形 的 計 算 ] ( 練 習 26) 一 樓 梯 有 8 級, 某 人 上 樓, 每 步 走 一 級 或 二 級 或 三 級, 則 此 人 上 樓 的 方 法 有 幾 種? Ans:81 ~33 14~

15 ( 練 習 27) 設 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 是 1,2,3,4,5 的 一 種 排 列 ( 例 如 13254,15432, 等 均 是 1,2,3,4,5 的 一 種 排 列 ) 求 滿 足 下 列 各 式 的 排 列 數 : (1)(2 a 4 )(1 a 3 )=0 (2)(1 a 1 )(3 a 3 ) 0 (3) (1 a 1 )(2 a 2 )(3 a 3 )(4 a 4 )(5 a 5 ) 0 Ans:(1)42 (2)78 (3)44 ( 練 習 28)7 個 不 同 的 書 本 分 贈 給 4 人, 請 求 依 下 列 情 形 分 配 的 方 法 有 幾 種? (1) 甲 至 少 分 得 一 本 書 (2) 甲 恰 得 一 本 書 (3) 甲 至 少 二 本 書 (4) 每 人 至 少 一 本 書 Ans:(1)47 37 (2)7 36 (3) (4) ( 練 習 29)5 本 不 同 的 玩 具, 分 贈 給 甲 乙 丙 3 人, 每 人 至 少 得 一 件 之 方 法 有 幾 種? Ans:150 ( 練 習 30) 渡 船 三 隻, 每 船 可 載 6 人, 則 (1) 8 人 過 渡, 有 種 安 全 渡 法 (2) 7 人 過 渡, 但 甲 坐 A 船, 有 種 安 全 渡 法 Ans: (1) 6510(2) 728 ( 練 習 31) 棋 盤 街 道 如 右 圖, 南 北 街 道 有 8 條, 東 西 街 道 有 6 條, 某 人 自 A 取 捷 徑 走 到 B, 下 列 走 法 各 有 多 少 種? (1) 走 捷 徑 (2) 必 須 經 過 P (3) 必 須 經 過 P 與 Q (4) 不 許 經 過 P,Q Ans:(1)792 (2)350 (3)180 (4)286 P Q B ( 練 習 32) 如 右 圖, 由 A 走 到 B 取 捷 徑 但 不 許 經 過 斜 線 區 之 方 法 有 幾 種? Ans:108 A ( 練 習 33) 在 坐 標 平 面 上, 自 A( 4, 3) 走 捷 徑 到 B(3,3), (1) 要 經 過 第 二 象 限, 請 問 有 幾 種 走 法? (2) 不 經 過 原 點 有 幾 種 走 法? ~33 15~

16 ( 丙 ) 組 合 的 意 義 例 子 : 從 建 中 高 二 某 班 5 個 同 學 中, 選 出 3 人 參 加 辯 論 比 賽, 有 幾 種 選 法? [ 解 法 一 ]:( 以 分 類 的 觀 點 ) 5 個 同 學 以 ABCDE 表 示, 先 考 慮 選 出 3 人 排 成 一 列, 配 合 樹 狀 圖, 可 得 排 法 共 有 P 5 3=5 4 3 種 方 法 但 選 人 的 觀 點 是 不 論 次 序 的, 即 ABC ACB BAC BCA CAB CBA 是 算 一 樣 的, 都 是 選 中 ABC 三 個 人, 因 此 每 3! 種 排 法 算 成 一 種, 因 此 從 5 個 P 5 3 人 中, 選 取 3 個 人 ( 不 考 慮 排 列 順 序 ) 的 方 法 有 3! =5 4 3 種 [ 解 法 二 ]:( 以 1 1 原 理 的 觀 點 ) 如 圖, 將 A,B,C,D,E 與 3 個 黑 球,2 個 白 球 做 對 應, 對 到 黑 球 的 人 被 選 取, 我 們 可 以 得 知 不 同 的 排 法 會 對 應 不 同 的 選 取 法, 而 不 同 的 選 取 方 法 會 對 應 不 同 的 排 法, 即 排 法 與 5! 選 取 的 方 法 一 樣 多, 因 此 5 個 人 中 選 取 3 人 的 方 法 有 3!2! = 種 A B C D E (1) 組 合 的 定 義 : P n m 從 n 個 不 同 的 事 物 中, 選 取 m 個 (1 m n), 共 有 m! =n(n 1)(n 2) (n m+1) 種 方 法 m ( 分 子 由 n 往 下 乘 m 個, 分 母 由 1 往 上 乘 m 個 ) ~33 16~

17 將 這 樣 的 方 法 數, 用 C n m 來 表 示 即 C n m= n(n 1)(n 2) (n m+1) m 例 如 :C 3 10 = (2) 組 合 的 性 質 : (a) P n m= C n m.m! 10! 3!7! = ,C 0 n = n! 0! n! =1,C n n = = n! n! 0! =1,Cn 1=n 林 信 安 老 師 編 寫 n! m! (n m)! (b) C n m = C n n m n n 1 1 (c) 巴 斯 卡 定 理 : = n C C + C 1 m n 1 m m m 1 [ 證 明 ]: (n 1)! n 1 1 C + n m Cm 1 = m!(n 1 m)! + (n 1)! (m 1)!(n m)! 例 如 :C 7 10 = = (n 1)!(n m) m!(n m)! + (n 1)!m m! (n m)! =(n 1)!(n m+m) m!(n m)! = n! m!(n m)! = C n m 10! 7! 3! = 10! 3! 7! =C 3 10 C 10 6=C 9 6+C 9 5 用 組 合 的 觀 點 解 釋 性 質 : (b) 要 從 ABCDE 中 選 出 三 人 去 打 掃 環 境, 今 抽 籤 決 定, 籤 的 作 法 有 兩 種 : 一 種 是 五 支 籤 中,3 支 籤 做 記 號, 抽 中 的 人 去 打 掃, 其 抽 中 的 組 合 數 為 C 5 3 ; 另 一 種 是 五 支 籤 中, 2 支 作 記 號, 抽 中 的 人 不 去 打 掃, 其 抽 中 的 組 合 數 為 C 5 2, 故 可 得 C 5 3 = C 5 2 (c) 要 從 ABCDE 中 選 出 三 人 去 打 掃 環 境, 今 有 C 5 3 種 選 法, 選 出 來 的 3 人 之 中, 我 們 可 分 成 兩 類 : 第 一 類 是 若 A 去 打 掃, 則 必 須 從 其 他 4 人 中 再 選 2 人 一 起 打 掃, 其 組 合 數 共 有 C 4 2 種 方 法 ; 第 二 類 是 若 A 沒 去 打 掃, 則 從 其 他 4 人 中 選 3 人 去 打 掃, 其 組 合 數 共 有 C 4 3 種 方 法, 所 以 C 5 3 = C C 4 3 [ 例 題 20] 求 下 列 各 小 題 的 n 值 : (1)12C n+2 n+4 4 =7C 3 (2)C 10 n=c 10 3n 2 (3)11C n n 3=24C n+1 n 1 Ans:(1)n=6 (2)n=1 或 3 (3)10 ~33 17~

18 [ 例 題 21] (1) 請 計 算 C 5 2+C 6 3+C C 20 17=? (2) 試 證 明 C k k +C k+1 k +C k+2 k + +C k+n + k =C n k + 1 k + 1 [ 例 題 22] 自 棒 球 選 手 9 人, 游 泳 選 手 6 人 中 選 出 4 人 擔 任 福 利 委 員 (1) 選 法 有 幾 種? (2) 至 少 有 2 位 游 泳 選 手 之 選 法 有 幾 種? Ans:(1)1365 (2)735 [ 例 題 23] 從 1~20 這 20 個 號 碼 中, 取 出 4 個 數 使 得 這 四 個 數 都 不 是 相 鄰 的 正 整 數 Ans:C 17 4 ( 練 習 34) 設 C 2n n 1:C 2n 2 n=132:35, 則 n=?ans:n=6 ( 練 習 35) 設 n,r 均 為 自 然 數, 且 C n 1 r:c n r:c n+1 r=6:9:13, 則 數 對 (n,r)=? Ans:(n,r)=(12,4) ( 練 習 36) 求 C 1 0+C 2 1+C C 13 12=? Ans:C 14 2 ( 練 習 37) 某 拳 擊 比 賽, 規 定 每 位 選 手 和 其 他 選 手 各 比 賽 一 場, 賽 程 總 計 為 45 場, 請 問 有 幾 位 選 手 參 加 比 賽? Ans:10 ( 練 習 38) 從 男 生 4 人 和 女 生 3 人 中, 排 出 3 名 男 生 和 2 名 女 生 並 排 成 一 列, 請 問 有 幾 種 排 法? Ans:1440 ( 練 習 39) 凸 20 邊 形 有 幾 條 對 角 線?Ans:170 ~33 18~

19 ( 練 習 40) 從 1,2,3,,10 中 選 出 3 個 相 異 數 a,b,c 滿 足 a<b<c 的 (a,b,c) 有 幾 組? Ans:120 ( 練 習 41) 一 列 火 車 從 第 一 車 至 第 十 車 共 有 十 節 車 廂 要 指 定 其 中 4 節 車 廂 安 裝 行 動 電 話, 則 共 有 幾 種 指 定 的 方 法? 若 更 要 求 此 四 節 車 廂 兩 兩 不 相 銜 接, 則 共 有 幾 種 指 定 方 法? Ans:210,35 ( 練 習 42) 由 1 到 20 的 自 然 數 中 取 出 不 同 的 三 個 數, 則 (a) 取 出 的 三 數 成 等 差 的 取 法 ( 不 考 慮 排 列 ) 有 幾 種? (b) 取 出 的 三 數 中 沒 有 二 個 連 續 整 數 的 取 法 有 幾 種? (c) 取 出 的 三 數 乘 積 為 偶 數 的 取 法 有 幾 種? Ans:(a)90 (b)816 (c)1020 ( 練 習 43) 某 次 考 試, 規 定 13 題 中 選 做 10 題, 求 下 列 各 選 法? (1) 任 意 選 (2) 前 兩 題 必 須 作 答 (3) 前 五 題 必 須 選 做 3 題 且 只 做 3 題 (4) 前 5 題 中 至 少 選 做 3 題 Ans:(1)286 (2)165 (3)80 (4)276 ( 練 習 44) 平 面 上 有 15 個 相 異 點, 其 中 除 了 7 點 共 線 外, 其 他 各 點 之 中 任 三 點 不 共 線, 任 意 連 接 各 點, 則 可 決 定 (1) 多 少 條 直 線? (2) 多 少 個 線 段? (3) 多 少 個 三 角 形? Ans:(1)85 (2)105 (3)420 ( 練 習 45) 5 對 夫 妻 中 選 出 4 人, (1) 恰 有 2 對 夫 妻 (2) 恰 有 一 對 夫 妻 (3)4 人 皆 沒 有 夫 妻 關 係 Ans:(1)10 (2)120 (3)80 ( 丁 ) 重 複 組 合 例 子 :ABCD 等 4 人 到 麥 當 勞 點 1~6 號 套 餐, 每 個 人 限 點 一 份 套 餐, 請 問 : (a) 這 4 個 人 有 幾 種 點 餐 的 情 形? (b) 店 員 有 幾 種 給 餐 點 的 方 式? [ 說 明 ]: (a)abcd 四 人 每 個 人 都 有 6 種 套 餐 可 點, 因 此 這 4 個 人 有 幾 種 點 餐 的 情 形 共 有 6 4 種 (b) 就 店 員 而 言, 他 不 在 乎 每 個 人 點 了 那 些 餐, 他 只 在 乎 每 種 套 餐 被 點 了 幾 次, 因 此 假 設 第 i 號 餐 被 點 了 x i 次, 其 中 x i 為 非 負 整 數, 不 定 方 程 式 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 =4 的 非 負 整 數 解 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ) 就 代 表 一 種 店 員 給 餐 點 的 方 式 因 此 只 要 能 求 出 方 程 式 有 幾 個 非 負 整 數 解, 就 可 以 求 出 店 員 有 幾 種 給 餐 點 的 方 式 從 另 一 個 角 度 來 看, 店 員 給 餐 點 的 方 式 也 可 以 看 成 是 1~6 號 套 餐 重 複 選 取 出 4 份 套 餐 的 方 式 如 何 求 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 =4 非 負 整 數 解 個 數? ~33 19~

20 (0,0,2,1,1,0) (0,1,1,1,1,0) 非 負 整 數 解 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ) 可 以 和 5 個 4 個 數 解 個 數 = 則 H 6 4=C 9 4 的 排 列 情 形 1 對 1 對 應, 因 此 非 負 整 9! 4!5! = C 9 4, 若 定 義 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 =4 非 負 整 數 解 個 數 為 H 6 4, [ 重 複 排 列 與 重 複 組 合 ] 設 (A,1) 代 表 A 點 了 1 號 餐, 設 有 兩 種 點 法 (A,1)(B,3)(C,1)(D,2) 與 (A,3)(B,1)(C,2)(D,1), 在 (a) 中 他 代 表 兩 種 點 餐 的 方 式, 換 句 話 說 1,3,1,2 與 3,1,2,1 是 有 順 序 的, 不 過 就 店 員 而 言, 都 代 表 1 號 餐 2 份,2 號 餐 1 份,3 號 餐 1 份, 因 此 店 員 給 餐 的 方 式 都 一 樣, 也 就 是 沒 有 順 序 可 言 在 (a) 中 我 們 可 以 重 複 點 套 餐, 但 是 有 順 序 的, 即 1,1,3,2 1,3,2,1 是 不 同 的, 這 是 前 面 提 過 的 重 複 排 列 ; 而 (b) 中 的 情 形, 我 們 可 以 重 複 點 餐, 但 是 不 考 慮 順 序, 即 1,1,3,2 1,3,2,1 都 代 表 x 1 =2 x 2 =1 x 3 =1 x 4 =0 x 5 =0 x 6 =0 這 一 組 解, 我 們 稱 為 重 複 組 合 重 複 組 合 的 定 義 : n n+ m 1 從 n 類 東 西 中 取 出 m 件,( 每 類 至 少 有 m 件 ) 的 組 合 數 為 H = C (a) 從 n 類 東 西 中 取 出 m 件,( 每 類 至 少 有 m 件 ) 的 組 合 數 等 於 不 定 方 程 式 x 1 +x 2 + +x n =m 的 非 負 整 數 解 個 數 =(n 1) 個 m 個 排 列 數 = (n+m 1)! m!(n 1)! = n+m 1 C m (b) 當 我 們 從 n 類 東 西 中 取 出 m 件, 或 問 題 的 方 法 數 可 以 化 成 不 定 方 程 組 x 1 +x 2 + +x n =m 的 非 負 整 數 解 的 個 數, 這 都 是 使 用 重 複 組 合 的 時 機 m m [ 例 題 24] 求 下 列 各 小 題 的 方 法 數 : (1) 同 時 擲 2 粒 相 同 的 骰 子, 有 幾 種 可 能 的 情 形? (2) 有 4 名 候 選 人,18 名 選 舉 人, 記 名 投 票 時, 有 幾 種 情 形? 不 記 名 投 票 時, 有 幾 種 情 形?( 假 設 每 個 人 都 去 投 票, 而 且 沒 有 廢 票 ) (3) 將 6 件 相 同 的 玩 具 分 給 4 個 小 朋 友, 任 意 的 分 配, 有 幾 種 分 法? Ans:(1)21 (2)4 18,H 4 18 (3)H 4 6 ~33 20~

21 [ 例 題 25] 求 下 列 各 小 題 : (1)x+y+z+u=100 之 非 負 整 數 解 個 數? (2)x+y+z+u=100 之 正 整 數 解 個 數? (3)x+y+z+u=100, 且 滿 足 x> 1,y>2,z>3,u 2 的 整 數 解 個 數? Ans:(1)H (2)H 4 96 (3)H 4 95 [ 例 題 26] x+y+z 8 之 非 負 整 數 解 個 數? Ans:H 4 8 [ 例 題 27] (x+y+z) 8 的 展 開 式 中 (1) 請 問 有 幾 個 不 同 類 項?(2) 請 求 出 x 2 y 4 z 2 項 的 係 數 =? 8! Ans:(1)H 3 8 (2) 2!4!2! ~33 21~

22 ( 練 習 46) 投 擲 4 粒 骰 子 (1) 骰 子 不 同 有 幾 種 可 能 的 情 形? (2) 骰 子 相 同 有 幾 種 可 能 的 情 形? Ans:(1)6 4 (2)H 6 4 ( 練 習 47) 將 9 件 相 同 的 玩 具 分 給 4 個 小 朋 友, 每 個 人 至 少 一 件, 有 幾 種 分 法? Ans:56 ( 練 習 48) 設 (a+b+c) 7 的 展 開 式 中, (1) 請 問 有 幾 個 不 同 類 項?(2) 請 問 a 2 bc 4 的 係 數 =? 7! Ans:(1)H 3 7 (2) 2!1!4! ( 練 習 49) 方 程 式 x+y+z+u=12 的 非 負 整 數 解 有 個, 正 整 數 解 有 個 Ans:455,165 ( 練 習 50) 方 程 式 x+y+z+u 9 之 正 整 數 解 之 個 數 為 何? Ans:126 ( 戊 ) 排 列 組 合 的 綜 合 運 用 (1) 分 組 與 分 堆 問 題 : 例 子 : 有 ABCDEF 六 人 按 照 下 列 人 數 來 分 組, 請 問 有 幾 種 分 組 的 方 法? (1) 按 3,2,1 分 成 三 組 (2) 按 2,2,2 分 成 三 組 [ 解 法 ]: (1) 考 慮 C 6 3.C 3 2.C 1 1 這 個 式 子, 根 據 乘 法 原 理 或 樹 狀 圖, 可 以 得 知, 按 3,2,1 分 成 三 組 的 方 法 有 C 6 3.C 3 2.C 1 1 種 (2) 考 慮 C 6 2.C 4 2.C 2 2 這 個 式 子, 根 據 乘 法 原 理 或 樹 狀 圖, 我 們 可 以 發 現 AB CD EF,AB EF CD,CD AB EF,CD EF AB,EF AB CD,EF CD AB, 這 6 種 分 組 方 式 並 沒 有 差 別, 而 算 式 C 6 2.C 4 2.C 2 2 中, 卻 將 其 算 了 6 次, 因 此 按 2,2,2 分 成 三 組 的 分 組 方 法 只 有 C 6 2.C 4 2.C ! 種 [ 例 題 28] ( 分 組 與 給 物 的 問 題 ) 有 8 本 不 同 的 書 本, (1) 平 分 成 兩 堆 (2) 按 照 4,2,2 分 成 三 堆 (3) 按 照 4,3,1 分 成 三 堆 (4) 平 分 給 甲 乙 兩 人 (5) 甲 給 4 本, 乙 給 2 本, 丙 給 2 本 (6) 按 照 4,3,1 自 由 分 配 給 甲 乙 丙 三 人 Ans:(1)35 (2)210 (3)280 (4)70 (5)420(6)1680 ~33 22~

23 [ 例 題 29] ( 有 特 定 條 件 的 分 組 問 題 ) (1)9 人 平 分 成 三 組, 其 中 甲 乙 丙 三 人 必 不 在 同 一 組 的 方 法 有 幾 種? (2)9 人 平 分 成 三 組, 其 中 甲 乙 在 同 一 組 的 方 法 有 幾 種? Ans:(1)90 (2)70 ( 練 習 51) 籃 球 3 人 鬥 牛 賽, 共 有 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 9 人 參 加, 組 成 3 隊, 且 甲 乙 兩 人 不 在 同 一 隊 的 組 隊 方 法 有 多 少 種? Ans:210 (90 學 科 ) ( 練 習 52) 有 學 生 10 人, 住 A,B,C 三 間 房, 若 A 房 住 4 人,B,C 各 住 3 人 (1) 住 法 有 幾 種? (2) 若 甲 乙 兩 人 住 同 房, 其 住 法 有 幾 種? Ans:(1)4200 (2)1120 ( 練 習 53) 有 八 本 不 同 的 書, 按 3,3,2 自 由 分 配 給 甲 乙 丙 三 人, 請 問 有 幾 種 給 法? Ans:1680 ( 練 習 54) HBL 的 複 賽 共 有 8 支 隊 伍 入 圍 參 加 比 賽, 現 在 要 作 淘 汰 賽, 如 圖 為 本 次 的 賽 程 表, 請 問 共 有 幾 種 安 排 賽 程 的 方 式?Ans:315 ~33 23~

24 ( 練 習 55) S={1,2,3,4,5,6,7,8,9} (1) 將 S 的 元 素 分 成 4 個,5 個 的 兩 組,1,2 要 在 同 一 組 的 選 法 有 幾 種? (2) 從 S 中 任 取 3 個 數 的 和 為 奇 數 的 取 法 有 幾 種? Ans:(1)56 (2)40 ( 練 習 56) 高 二 三 班 各 派 2 名 羽 球 選 手, 作 羽 球 的 單 打 排 名 賽, 比 賽 賽 程 表 如 圖 所 示, 而 且 要 求 同 班 派 出 的 選 手 在 冠 亞 軍 以 外 不 比 賽, 則 賽 程 有 幾 種 排 法?Ans:36 (2) 排 列 與 組 合 的 綜 合 運 用 : [ 例 題 30] 7 個 球 放 入 3 個 箱 子, 每 個 箱 子 都 夠 大 能 放 入 7 個 球, 亦 可 以 留 有 空 箱 子 (1) 球 相 同, 箱 子 相 同 有 幾 種 存 放 的 方 法? (2) 球 相 同, 箱 子 相 異 有 幾 種 存 放 的 方 法? (3) 球 相 異, 箱 子 相 同 有 幾 種 存 放 的 方 法? (4) 球 相 異, 箱 子 相 異 有 幾 種 存 放 的 方 法? Ans:(1)8 (2)36 (3)365 (4)2187 [ 例 題 31] 設 A={1,2,3,4},B={5,6,7} (1) 從 A 映 至 B 的 函 數 有 幾 個? (2) 從 A 到 B 的 映 成 函 數 有 幾 個? (3) 從 B 映 到 A 的 函 數 有 幾 個? (4) 從 B 到 A 之 一 對 一 函 數 有 幾 個? Ans:(1)81 (2)36 (3)64 (4)24 ~33 24~

25 [ 例 題 32] 請 求 出 下 列 集 合 的 元 素 個 數 : A={(x,y,z) 1 x,y,z 9,x,y,z 為 整 數, 且 x,y,z 互 異 }, B={(x,y,z) 1 x,y,z 9,x,y,z 為 整 數 } C={(x,y,z) 1 x<y<z 9,x,y,z 為 整 數 } D={(x,y,z) 1 x y z 9,x,y,z 為 整 數 } Ans:n(A)=504,n(B)=729,n(C)=84,n(D)=165 [ 例 題 33] 由 mathematical 中 的 字 母, 每 次 取 4 個 的 組 合 數 有 幾 個? 排 列 數 有 幾 個? Ans:143,2482 ( 練 習 57) 將 10 件 相 同 物 分 給 甲 乙 丙 三 人 (1) 每 人 至 少 一 件, 有 幾 種 分 法? (2) 其 中 一 人 至 少 得 一 件, 一 人 至 少 得 二 件, 一 人 至 少 得 三 件, 有 幾 種 分 法?Ans:(1)36 (2)33 ( 練 習 58) 五 件 不 同 的 玩 具 分 給 甲 乙 丙 三 人, 求 下 列 的 分 法? (1) 每 人 至 少 得 一 件 (2) 甲 得 2 件, 乙 得 2 件, 丙 得 1 件 Ans:(1)150 (2)30 ~33 25~

26 ( 練 習 59) ( 函 數 的 個 數 )f:g H 為 一 個 函 數 (1) 若 n(g)=6,n(h)=3, 則 f 的 個 數 有 幾 種? (2) 若 n(g)=3,n(h)=7, 且 f 為 一 對 一 函 數, 則 f 的 個 數 有 幾 種? (3) 若 n(g)=9,n(h)=2, 且 f 為 映 成 函 數, 則 f 的 個 數 有 幾 種? Ans:(1)729 (2)210 (3)510 ( 練 習 60) 自 ATTENTION 一 字 中, 每 次 取 5 個 字 母, 共 有 幾 種 取 法? 幾 種 不 同 的 排 列 法? Ans:41,2250 ( 練 習 61) 設 A={1,2,3,4}, B={1,2,3,4,5,6}, 則 從 A 到 B 的 函 數 中, 滿 足 (1)f(1) f(2) f(3) f(4) 者 共 有 幾 個?(2) f(1)<f(2)<f(3)<f(4) 者 共 有 幾 個? Ans:(1)126 (2)15 ( 練 習 62) 袋 中 有 相 同 的 紅 球 5 個, 相 同 的 白 球 4 個, 相 同 的 黑 球 2 個, 相 同 的 黃 球 2 個, 綠 球 1 個, 自 袋 中 任 取 4 球 (1) 有 幾 種 取 法? (2) 取 4 球 排 成 一 列 有 幾 種 取 法? (3) 從 袋 中 至 少 取 一 球 有 幾 種 取 法?Ans:(1)45 (2)478 (3)539 (3) 遞 迴 方 法 計 數 : [ 例 題 34] 地 圖 上 某 一 地 區 有 n 個 國 家 相 鄰, 但 n 個 國 家 只 有 一 個 公 共 點 ( 如 圖 ) 現 用 紅, 黃, 綠 三 種 顏 色 給 地 圖 染 色, 但 使 相 鄰 的 國 家 顏 色 不 同 令 a n 表 示 滿 足 上 述 染 色 規 則 的 方 法 數, 求 一 般 項 公 式 a n a3 = 6, a4 = 18 ; Ans:,a n =2 n +2( 1) n an = an 1 + 2an 2, n 5. S 3 S 2 S 1 S n-1 S n [ 例 題 35] 設 有 一 個 n 字 元 的 字 串, 字 串 中 的 字 元 都 是 由 阿 拉 伯 數 字 所 組 成 的, 試 問 數 字 0 出 現 為 偶 數 的 字 串 共 有 多 少 個? Ans:a n =5 10 n n 1,n 1 ~33 26~

27 ( 練 習 63) 一 個 圓 區 域, 依 圓 心 分 成 n 個 部 分, 用 k 種 顏 色 對 這 n 個 區 域 進 行 塗 色, 並 且 要 求 相 鄰 的 區 域 不 同 色, 試 問 有 多 少 種 塗 色 的 方 式? S 3 Ans:(k 1) n +( 1) n+1 S 2 S 1 S n-1 S n ( 練 習 64)10 個 數 字 (0~9) 和 4 個 四 則 運 算 符 號 (+ ) 組 成 的 14 個 字 元, 求 其 中 的 n 個 字 元 的 排 列 構 成 一 個 算 式 表 達 式 的 個 數 所 謂 的 算 式 表 達 式 是 指 從 左 至 右 最 後 一 個 字 元 一 定 是 數 字 (1) 試 求 a n 的 遞 迴 式 (2) 試 求 a n 的 一 般 式 Ans:(1)a n =10a n 1 +40a n 2 (n 3),a 1 =10,a 2 =120 1 (2)a n = [( )(5+ 65) n (15 65 )(5 65) n ] 4 65 ( 練 習 65) 設 滿 足 下 列 條 件 的 自 然 數 (a) 各 位 數 字 和 為 n (b) 各 位 數 字 是 1 或 2 有 a n 個, 試 求 (1) 數 列 {a n } 的 遞 迴 關 係 (2)a n 的 一 般 項 Ans:(1)a n+2 =a n+1 +a n (2)a n = 1 5 (( )n+1 ( )n+1 ) ~33 27~

28 綜 合 練 習 (1) 某 地 區 的 車 牌 號 碼 共 六 碼, 其 中 前 兩 碼 為 O 以 外 的 英 文 大 寫 字 母, 後 四 碼 為 0 到 9 的 阿 拉 伯 數 字, 但 規 定 不 能 連 續 出 現 三 個 4 例 如 : AA1234,AB4434 為 可 出 現 的 車 牌 號 碼 ; 而 AO1234,AB3444 為 不 可 出 現 的 車 牌 號 碼 則 所 有 第 一 碼 為 A 且 最 後 一 碼 為 4 的 車 牌 號 碼 個 數 為 (1) (2) (3) (4) (5) (2) 某 公 司 生 產 多 種 款 式 的 阿 民 公 仔, 各 種 款 式 只 是 球 帽 球 衣 或 球 鞋 顏 色 不 同 其 中 球 帽 共 有 黑 灰 紅 藍 四 種 顏 色, 球 衣 有 白 綠 藍 三 種 顏 色, 而 球 鞋 有 黑 白 灰 三 種 顏 色 公 司 決 定 紅 色 的 球 帽 不 搭 配 灰 色 的 鞋 子, 而 白 色 的 球 衣 則 必 須 搭 配 藍 色 的 帽 子, 至 於 其 他 顏 色 間 的 搭 配 就 沒 有 限 制 在 這 些 配 色 的 要 求 之 下, 最 多 可 有 種 不 同 款 式 的 阿 民 公 仔 (2007 學 科 ) (3) 坐 標 平 面 上 的 圓 C:(x 7) 2 +(y 8) 2 =9 上 有 個 點 與 原 點 的 距 離 正 好 是 整 數 值 (2004 學 科 ) (4) x + y 3 的 圖 形 中 有 幾 個 整 數 坐 標 點? (5) 三 邊 長 均 為 正 整 數 且 最 大 邊 長 為 11 的 三 角 形 共 有 多 少 個? (6) 用 五 種 不 同 的 顏 色 塗 右 圖 中 五 個 空 白 區 域, 相 鄰 的 區 域 塗 不 同 的 顏 色, 則 有 幾 種 塗 法? C B A E (7) 從 1 到 999 的 正 整 數 中, 總 共 寫 了 多 少 個 0? D (8) 由 1,2,3,4,5,6,7 七 個 數 字 所 組 成 的 四 位 數 中 ( 數 字 可 重 複 ), 含 有 奇 數 個 5 的 共 有 多 少 個? (9) 欲 檢 查 整 係 數 方 程 式 360x 5 +ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx 361=0 有 理 根 的 個 數, 則 最 後 需 總 共 檢 驗 多 少 個 有 理 數 才 知 道? (10) 8 個 棒 球 隊, 舉 行 淘 汰 賽, 每 次 賽 到 分 出 勝 負, 到 冠 軍 隊 產 生, 共 需 比 賽 多 少 場? 若 改 為 雙 敗 淘 汰 賽 ( 敗 二 場 則 被 淘 汰 ), 則 到 冠 軍 隊 產 生, 至 多 需 比 賽 多 少 場? (11) 有 相 同 紅 球 5 個, 白 球 4 個, 黃 球 3 個, 藍 球 2 個, 則 從 其 中 任 意 取 出 4 球 的 方 法 有 幾 種? Ο Ο Ο Ο (12) 4 男 4 女 排 成 二 列, 如 圖 : 求 下 列 之 排 法 數 : Ο Ο Ο Ο (a) 上 排 是 男 生, 下 排 是 女 生 (b) 上 下 兩 排 均 是 男 女 相 間 隔 (c) 上 下 左 右 均 是 男 女 相 間 隔 ~33 28~

29 (13) A,B,C,D,E 等 7 人 排 成 一 列, 求 A,B,C 三 人 都 不 與 D 相 鄰 的 排 法 有 多 少 種? (14) 甲 乙 丙 丁 戊 5 人 排 成 一 列, (a) 若 甲 乙 丙 要 保 持 順 序 不 變 ( 不 一 定 要 相 鄰 ), 則 排 列 方 法 有 幾 種? (b) 若 甲 一 定 要 排 在 丙 丁 之 間, 則 排 列 方 法 有 幾 種? (15) 下 圖 共 12 格 ( 每 格 有 編 號, 以 表 示 位 置 固 定 ), 今 以 黃 色 塗 3 格, 紅 色 塗 4 格, 綠 色 塗 2 格, 其 餘 3 格 不 塗 色, 請 問 有 幾 種 塗 法? (16) 某 地 共 有 9 個 電 視 頻 道, 將 其 分 配 給 3 個 新 聞 台 4 個 綜 藝 台 及 2 個 體 育 台 共 三 種 類 型 若 同 類 型 電 視 台 的 頻 道 要 相 鄰, 而 且 前 兩 個 頻 道 保 留 給 體 育 台, 則 頻 道 的 分 配 方 式 共 有 種 (2006 學 科 ) (17) attribute 一 字, 各 字 母 排 成 一 列, 求 下 列 的 排 列 數 : (a) 子 音 排 奇 數 位, 母 音 排 偶 數 位 (b) 母 音 保 持 a,i,u,e 之 順 序 (c) 子 音 保 持 t,t,,r,b,t 之 順 序 (d) 子 音 母 音 的 順 序 不 變 (18) 在 坐 標 平 面 上 自 A( 3, 2) 到 B(3,4) 走 捷 徑, 求 下 列 情 形 有 幾 種 走 法? (a) 所 有 走 法 有 幾 種?(b) 過 原 點 (c) 不 經 過 第 二 象 限 (d) 不 過 (1,1) 及 ( 2,3) (19) 0,1,2,3,4,5 等 六 個 數 字 所 排 成 的 三 位 數 中, 數 字 不 重 複 者, 共 有 個, 其 中 可 被 3 整 除 的, 共 有 個 (20) 若 數 列 a 1,a 2,a k,,a 10 中 每 一 項 皆 為 1 或 1, 則 a 1 + +a k + +a 10 之 值 有 多 少 種 可 能?(1)10 (2)11 (3) P (4) C (5)2 10 (2010 學 科 ) (21) 有 6 男 4 女 共 10 名 學 生 擔 任 本 週 值 日 生, 導 師 規 定 在 本 週 五 個 上 課 日 中, 每 天 兩 名 值 日 生, 且 至 少 需 有 1 名 男 生, 試 問 本 週 安 排 值 日 生 的 方 式 有 種 (90 大 學 社 ) (22) 因 乾 旱 水 源 不 足 自 來 水 公 司 計 畫 在 下 周 一 至 週 日 的 7 天 中 選 擇 2 天 停 止 供 水 若 要 求 停 水 的 兩 天 不 相 連, 則 自 來 水 公 司 共 有 幾 種 選 擇 方 式?(2002 指 定 乙 ) (23) 新 新 鞋 店 為 與 同 業 進 行 促 銷 戰, 推 出 第 二 雙 不 用 錢 --- 買 一 送 一 的 活 動 該 鞋 店 共 有 八 款 鞋 可 供 選 擇, 其 價 格 如 下 : 規 定 所 送 的 鞋 之 價 格 一 定 少 於 所 買 的 價 格 ( 例 如 : 買 一 個 丁 款 鞋, 可 送 甲 ~33 29~

30 乙 兩 款 鞋 之 一 ) 若 有 一 位 新 新 鞋 店 的 顧 客 買 一 送 一, 則 該 顧 客 所 帶 走 的 兩 雙 鞋, 其 搭 配 方 法 一 共 有 種 (2006 學 科 ) (24) 有 一 個 兩 列 三 行 的 表 格 如 右 下 圖 在 六 個 空 格 中 分 別 填 入 數 字 ( 不 得 重 複 ), 則 1 2 這 兩 個 數 字 在 同 一 行 或 同 一 列 的 方 法 有 種 k + 2 (25) 請 計 算 C =? 3 8 k = 1 (2010 學 科 ) (26) 籃 球 員 : 甲 乙 丙 丁 共 9 人, 選 派 其 中 5 人 上 場 比 賽, (a) 若 甲 乙 丙 三 人 中, 至 少 選 1 人 上 場, 則 選 法 有 幾 種? (b) 若 甲 乙 丙 三 人 中, 至 多 選 1 人 上 場, 則 選 法 有 幾 種? (27) 7 男 5 女 互 選 5 個 人 為 委 員 (a) 任 意 選 有 幾 種 方 法? (b) 至 少 有 1 女 委 員 的 選 法 有 幾 種? (c)7 男 5 女 互 選 5 個 人 為 委 員, 再 從 中 選 出 一 個 主 席, 一 個 執 行 幹 事 的 選 法 有 幾 種? (d) 若 此 委 員 會 要 由 3 男 2 女 組 成, 且 主 席 為 男 生, 執 行 幹 事 為 女 生 之 選 法 有 幾 種? (28) 多 項 式 (x+y+z+w) 5 的 展 開 式 中 (a) 共 有 幾 個 不 同 類 項 (b)x 2 y 2 w 的 係 數 =?(c) 與 x 4 y 的 同 形 項 ( 例 如 :y 4 w x 4 z 等 等 ) 有 幾 個? (d)x 2 y 2 z 的 同 形 項 ( 例 如 :x 2 z 2 y y 2 z 2 w.. 等 ) 有 幾 個? (29) 三 位 數 ABC 中, 滿 足 (a)c>b>a (b)a>b>c 的 三 位 數 各 有 多 少 個? (30) 一 骰 子 擲 3 次, 第 k 次 出 現 a k 點, 今 以 a 1 a 2 a 3 分 別 為 三 位 正 整 數 之 百 位 十 位 個 位 數 字 (a) 若 a 1 a 2 a 3 三 數 字 中, 恰 有 2 個 相 同, 則 此 三 位 數 有 幾 個? (b) 若 a 1 a 2 a 3 三 數 全 相 異, 且 滿 足 a 1 不 大 於 5,a 3 不 小 於 4, 則 此 種 三 位 數 有 幾 個? (c) 若 a 1 a 2 a 3 滿 足 a 1 a 2 a 3, 則 此 種 三 位 數 有 幾 個? (d) 若 a 1 a 2 a 3 三 數 全 相 異, 則 此 種 三 位 數 的 總 和 等 於 多 少? (31) x+y+z+t 2 =22 的 (a) 正 整 數 解 (x,y,z,t) 有 幾 組?(b) 正 奇 數 解 (x,y,z,t) 有 幾 組? (32) 滿 足 10 x y z 25 的 整 數 (x,y,z) 共 有 幾 組? ~33 30~

31 (33) 5 種 不 同 的 酒, 注 入 3 個 空 杯 子, 酒 不 可 混 合, 不 得 有 空 杯 子, 求 下 列 各 注 入 法 有 幾 種? (1) 杯 子 不 同, 且 各 杯 的 酒 亦 不 同 (2) 杯 子 不 同, 且 各 杯 的 酒 可 相 同 (3) 杯 子 相 同, 且 各 杯 的 酒 亦 不 同 (4) 杯 子 相 同, 且 各 杯 的 酒 可 相 同 (34) 有 7 個 橘 子,8 個 桃 子 ( 橘 子 與 桃 子 各 視 為 相 同 物, 而 且 分 完 ) (1) 任 意 分 給 甲 乙 丙 三 人 有 幾 種 方 法? (2) 分 給 甲 乙 丙 三 人, 每 人 至 少 得 1 橘 子 1 桃 子, 有 幾 種 方 法? (3) 分 給 甲 乙 丙 三 人, 每 人 至 少 得 1 橘 子 或 1 桃 子, 有 幾 種 方 法?] 林 信 安 老 師 編 寫 (35) 設 在 一 排 n(n 2) 個 格 子 中, 每 格 各 填 入 一 個 數 字 0" 或 1", 則 任 意 兩 個 1" 都 不 相 鄰 的 填 法 有 a n 種 (a) 試 求 出 a 2, a 3 (b) 試 建 立 a n 遞 迴 關 係 式 (c) 求 a 7 [ 提 示 : 將 所 有 狀 況 分 三 種 :(a) 第 一 格 填 0 (b) 第 一 格 填 1 ] (36) 設 方 程 式 x+y 2n+1 的 非 負 整 數 解 個 數 為 a n, (a) 請 找 出 數 列 <a n > 的 遞 迴 關 係 式 (b) 求 a n 的 一 般 項 通 式 (37) 只 由 三 個 字 母 a,b,c 所 組 成 長 度 為 n 的 字 串 在 通 訊 管 道 上 傳 輸, 傳 輸 中 不 得 有 兩 個 a 連 續 出 現 在 任 一 字 串 中, 試 求 傳 輸 中 的 字 串 有 多 少 個? 進 階 問 題 (38) 在 各 位 數 字 互 不 相 同 的 所 有 四 位 正 整 數, 滿 足 下 列 條 件 的 各 有 多 少 個? (a) 偶 數 數 字 ( 包 含 0) 與 奇 數 數 字 交 換 排 列 (b) 個 位 數 字 不 為 0, 其 反 序 數 和 原 數 的 和 為 偶 數 (39) 以 為 最 小 公 倍 數 的 兩 個 正 整 數 A 與 B, 請 問 數 對 (A,B) 有 幾 組? (40) 如 圖, 自 A 到 B, 規 定 其 行 走 方 向 為,, 三 種, 求 (a)a 到 B 有 幾 種 走 法? (b) 不 經 過 P 有 幾 種 走 法? (c) 經 過 P 有 幾 種 走 法? (d) 不 過 P 且 不 過 Q 有 幾 種 走 法? (e) 經 過 P 且 經 過 Q 有 幾 種 走 法? A n1 n2 nk (41) 設 n= p1 p2 p, 定 義 ϕ(n) 為 不 大 於 n 而 且 與 n 互 質 的 正 整 數 個 數 k 例 如 :ϕ(7)=6,ϕ(12)=4 證 明 :ϕ(n)=n(1 1 p 1 )(1 1 p 2 )...(1 1 p k ) P Q B (42) 編 號 1~6 之 6 個 球 滾 入 編 號 1~6 的 6 個 洞 中, 每 洞 1 球 (a) 恰 有 一 球 號 與 洞 號 相 同, 方 法 有 種 (b) 所 有 球 號 與 洞 號 皆 不 相 同, 方 法 有 種 ~33 31~

32 (43) 將 右 圖 黑 棋 向 右 移 動, 每 次 移 動 1~3 格, 移 到 最 右 一 格 共 有 幾 種 移 法? (44) A B 兩 人 競 選, 選 舉 得 票 數 共 11 張, 唱 票 時,A 一 直 保 持 領 先, 且 最 後 A 恰 以 多 一 票 獲 勝, 則 唱 票 的 情 形 有 多 少 種? (45) 圖 一 為 3 5 的 棋 盤 格, 其 中 有 水 平 與 垂 直 線 段, 也 有 右 上 與 左 下 方 向 的 斜 線 某 人 要 走 捷 徑 從 A 到 B 走 捷 徑 的 規 則 是 : 只 能 往 上 往 右, 或 往 右 上 走, 如 圖 二 與 圖 三 各 表 示 一 種 走 法 (a) 在 所 有 從 A 到 B 的 捷 徑 走 法 中, 恰 包 含 兩 段 斜 線 ( 如 圖 二 ) 的 走 法 有 幾 種? (b) 從 A 到 B 共 有 幾 種 走 捷 徑 的 方 法? (46) 求 xyz=360 之 非 負 整 數 解 的 個 數 (2004 台 大 電 機 甄 試 ) (47) 平 面 上 有 11 個 相 異 點, 任 意 連 接 兩 點, 共 可 得 48 條 不 同 的 直 線 (a) 在 這 11 點 中, 含 3 點 以 上 的 相 異 直 線 有 幾 條? (b) 在 這 11 點 中, 任 取 3 點, 可 決 定 幾 個 三 角 形?(2004 台 大 電 機 甄 試 ) (48) 連 接 正 12 邊 形 之 任 3 個 頂 點, 可 得 (a) 多 少 個 直 角 三 角 形? (b) 多 少 個 銳 角 三 角 形? (c) 多 少 個 鈍 角 三 角 形? B (49) 如 右 圖, 棋 盤 式 街 道 中 由 A 到 B 走 捷 徑, 恰 轉 彎 4 次 的 走 法 有 幾 種? A (50) 如 圖,O 為 正 方 形 ABCD 的 中 心, 工 程 師 設 計 出 一 個 機 器 跳 蚤, 設 計 者 想 要 讓 跳 蚤 在 圖 中 諸 點 跳 動, 每 次 都 可 以 跳 到 相 鄰 的 任 一 點, 例 如, 由 A 點 可 以 跳 到 O B D 中 任 一 點 設 從 O 點 開 始, 經 n 次 跳 動 返 回 O 點 的 路 線 有 a n 種, 而 經 n 次 跳 動 到 達 A 點 的 路 線 有 b n 種 ( 其 實 到 達 B C D 點 的 路 線 都 有 b n 種 ) (1) 試 求 a n 與 b n 的 關 係 式 D (2) 建 立 a n 的 遞 廻 關 係 式 (3) 試 求 a n 的 一 般 式 (4) 試 證 明 :a n =2 n F n, 其 中 {F n } 為 費 式 數 列 (Fibonacci 數 列 ) O C ~33 32~ A B

33 (1) 4 (2) 25 綜 合 練 習 解 答 ~33 33~ 林 信 安 老 師 編 寫 (3) 12[ 因 為 圓 C 上 的 點 P 與 原 點 O 距 離 OP 的 最 大 值 為 , 最 小 值 為 113 3, 因 此 OP=8,9,10,11,12,13, 而 這 樣 的 OP 均 各 有 2 點, 因 此 共 有 2 6=12 點 ] (4) 25 [ 分 成 x=0, x =1, x =2, x =3 分 別 去 討 論 (x,y) 均 為 整 數 的 點 有 幾 個 ] (5) 36 [ 提 示 : 可 設 三 邊 長 為 a=11 b c, 因 為 2b b+c>a=11 11 b 5.5 因 此 可 討 論 b=6,7,11, 符 合 條 件 的 (a,b,c) 各 有 1,3,.,11, 因 此 共 有 =36 個 ] (6) 420 [ 提 示 : 塗 顏 色 的 順 序 可 為 A,B,C,D,E 你 可 以 利 用 樹 狀 圖, 去 討 論 塗 法 或 是 考 慮 塗 法 的 順 序 A,B,D,C,E 當 B,D 同 色 當 B,D 異 色 ] (7) 189 個 [ 提 示 : 可 分 成 有 1 個 0 2 個 0 這 兩 種 情 形 來 計 數 ] (8) 888 個 [ 提 示 : 含 有 1 個 5 共 有 6 3 4, 含 有 3 個 5 共 有 6 4] a (9) 144[ 提 示 : 設 有 理 根 為 b, 則 a,b 互 質, 且 a 361=19 2,b 360= , 因 此 去 討 論 (a,b) 有 幾 組 ] (10) 7,15 [ 說 明 : 單 敗 淘 汰,7 隊 被 淘 汰 ; 雙 敗 淘 汰,7 隊 被 淘 汰, 共 比 了 14 場, 而 冠 軍 隊 至 多 敗 一 場, 因 此 至 多 比 賽 15 場 ] (11) 30 [ 提 示 : 利 用 顏 色 的 同 異 來 分 類, 可 分 成 4 同 2 種,3 同 1 異.3 3=9 種, 同 2 同 2 =6 種,2 同 2 異 4 3=12 種,4 異 1 種 ] (12) (a)4! 4!=576 (b)(p 4 2) 2 (P 2 2) 2 4=2304(c)P 4 4 P 4 4 2=1152 (13) 1440 [ 提 示 :(a) 全 (AD 相 鄰 或 BD 相 鄰 或 CD 相 鄰 )(b)d 排 首 或 排 尾 且 與 E,F,G 之 一 相 鄰 =3 5! 2=720,D 插 在 E,F,G 之 間 的 排 法 有 P 3 2 5!=720] (14) (a)20 (b)40 12! (15) 2!3!4!3! = [ 提 示 : 將 YYYRRRRGG 排 成 一 列 再 與 1,2,..,12 一 一 對 應, 就 代 表 所 有 的 塗 法 ] (16) 576 (17) (a)480 (b)2520 (c)3024 (d)126 [ 提 示 :(a) 5! 3! 4!=480 (b) 9! =2520 (c)9! 3!4! 5! =3024 (d) 9! 5!4! =126] (18) (a)924 (b)350 (c)462 (d)538[ 提 示 :(3) 全 部 ( 經 過 第 二 象 限 )] (19) 100;40 [ 提 示 :(1) 首 位 數 可 從 1,2,3,4,5 中 取 一 個 數, 第 二 三 位 數 從 剩 下 5 個 數 取 兩 數 排 列, 共 有 5.P 5 2=100 種 排 法 (2) 在 (1) 中 可 被 3 整 除 的 三 位 數, 必 須 考 慮 三 個 數 字 和 為 3 的 倍 數 的 情 況, 依 含 0 與 不 含 0 分 類 如 下 :

34 ~33 34~ 林 信 安 老 師 編 寫 含 0 的 三 個 數 :(0,1,2),(0,1,5),(0,2,4),(0,4,5) 不 含 0 的 三 個 數 :(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5) 含 0 的 三 個 數, 排 成 三 位 數 有 4 種 方 法, 不 含 0 的 有 3!=6 種 方 法, 所 以, 三 位 數 中, 被 3 整 除 的 有 =40 個 ] (20) (2) (21) (22) 15 (23) 21 (24) 432 (25) =C 4 (26) (a)120 (b)51 [ 提 示 :(a)c 3 1C 6 4+C 3 2C 6 3+C 3 3C 6 2 (b)c 3 1C 6 4+C 3 0C 6 5] (27) (a)792 (b)771 (c)15840 (d)210 [ 提 示 :(c)c 12 5 P 5 2 (d)c 7 3C 5 2C 3 1 C 2 1] (28) (a)56 (b)30 (c)12 (d)12 (29) (a)84 (b)120 [ 提 示 :(a) 滿 足 C>B>A 的 三 位 數, 因 為 A 不 能 為 0, 因 此 相 當 於 自 1~9 中 選 出 3 個 數 的 組 合 (b) 滿 足 A>B>C 的 三 位 數, 因 為 C 可 為 0, 因 此 相 當 於 自 1~10 中 選 出 3 個 數 的 組 合 ] (30) (a)90 (b)52 (c)56 (d)46620 [ 提 示 : (a)c ! 2! =90 (b) 全 部 情 形 [a 1 >5 或 a 3 <4]=P 6 3 [1 P P ]=52 (c)h 6 3=56(d)( ) ( ) 20=46620] (31) (a)402 (b)76 (32) 816[ 提 示 :(x,y,z) 整 數 解 的 個 數 相 當 於 從 10,11,,25 這 16 個 數 中, 重 複 選 取 3 個 的 組 合 數 ] (33) (1)60 (2)125 (3)10 (4)35 (34) (1)1620 (2)315 (3)1407[ 提 示 :(3) 可 考 慮 反 面 來 計 算 ] (35) a2 = 3 (a) (b) a n = an 1 + an 2, ( n 3) (c) a 7 = 34 a3 = 5 (36) (a)a n =a n 1 +(4n+3),n 2 (b)a n =(2n+3)(n+1) (37) (1+ 3)n ( )n (38) (a)720 (b)1792 (39) 315 [ 提 示 :245000= , 設 A=2 a 5 b 7 c,b=2 α 5 β 7 γ, 討 論 a,b,c,α,β,γ 有 幾 種 情 形, 就 可 以 得 知 (A,B) 的 數 對 有 幾 組, 因 為 (a,α) 有 2 4 1=7 種 情 形 ((3,0) (3,1) (3,2) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3)), 同 理 (b,β) 有 2 5 1=9 種 情 形,(c,γ) 有 2 3 1=5 種, 因 此 數 對 (A,B) 有 7 9 5=315 組 ] (40) (a)240 (b)105 (c)135 (d)30 (e)93 [ 提 示 : 注 意, 整 過 問 題 是 不 經 過 某 一 點 的 走 法 比 較 容 易 算,(e) 先 計 算 過 P 或 過 Q 的 走 法 =240 30=210, 故 經 過 P 且 經 過 Q 的 走 法 有 ( ) 210=93 種 ] (41) 可 以 設 A i 為 1~n 中 p i 的 倍 數 所 成 的 集 合 (i=1,2,..,k), ϕ(n)=n(a / 1 A / 2. A / n ), 再 利 用 排 容 原 理 計 算 (42) (a)264 (b)265 [ 提 示 :(a)6 ( 其 他 5 個 號 碼 與 洞 的 號 碼 不 同 )=6 44=264 (b)6! 6 5!+15 4! 20 3!+15 2! 6 1!+0!=265]

35 (43) 44 [ 提 示 : 設 每 次 移 動 1 格 x 次, 移 動 2 格 y 次, 移 動 3 格 z 次, 依 題 意 可 得 x+2y+3z=7] (44) 42 [ 提 示 : 將 A 的 得 票 數 與 B 的 得 票 數 分 別 記 在 x 軸,y 軸, 唱 票 時 A 一 直 保 持 領 先, 故 第 一 票 為 A 所 得, 即 自 P(1,0) 出 發, 第 二 票 必 是 A 獲 得, 故 由 (1,0) 移 動 到 (2,0), 令 A B 的 得 票 數 分 別 為 a,b, 則 形 成 點 (a,b), 其 中 a>b 最 後 A 恰 以 一 票 獲 勝, 因 此 終 點 為 Q(6,5), 即 自 P 點 開 始 沿 實 線 取 捷 徑 走 到 Q 點 的 方 法, 會 與 唱 票 時,A 一 直 保 持 領 先, 且 最 後 A 恰 以 多 一 票 獲 勝 的 唱 票 情 形 一 一 對 應 ] (45) (a)60 (b)231 6! [ 提 示 :(a) 每 一 種 走 法 1 1 對 應 的 一 種 排 法, 故 有 種 3!2! (b) 分 成 0 次 右 上 : 8! 5!3!,1 次 右 上 : 7! 4!2!,2 6! 次 右 上 3!2!, 5! 3 次 右 上 2!3! ] (46) 180[ 提 示 : 設 x=2 a 3 b 5 c,y=2 m 3 n 5 l,z=2 r 3 s 5 t, 因 為 xyz=360 所 以 a+m+r=3, b+n+s=2, c+l+t=1 xyz=360 之 非 負 整 數 解 的 個 數 =H 3 3 H 3 2 H 3 1=180] (47) (a)2 (b)160 [ 提 示 :(a) 若 11 個 相 異 點 中, 任 三 點 不 共 線, 則 可 決 定 C 11 2=55 條 直 線, 因 為 只 決 定 了 48 條 直 線, 則 可 知 少 了 7 條 直 線, 另 外, 若 有 一 直 線 上 有 三 點, 則 直 線 會 減 少 C 3 2 1=2 條, 若 有 一 直 線 上 有 四 點, 則 直 線 會 減 少 C 4 2 1=5 條, 若 有 一 直 線 上 有 五 點, 則 直 線 會 減 少 C 5 2 1=9 條, 此 不 可 能, 所 以 在 這 11 點 中 有 一 條 直 線 恰 有 3 點, 令 一 直 線 恰 有 4 點 (b)c 11 3 C 3 3 C 4 3=160] (48) (a)60 (b)40 (c)120 [ 提 示 :(a) 任 選 一 條 直 徑 A 1 A 7, 可 得 10 個 直 角 三 角 形, 所 以 有 6 10=60 個 直 角 三 角 形 (b) 取 A 1 為 頂 點, 以 A 1 A 2 為 邊, 形 成 0 個 銳 角 三 角 形, 以 A 1 A 3 為 邊, 形 成 1 個 銳 角 三 角 形 ( A 1 A 3 A 8 ), 以 A 1 A 4 為 邊, 形 成 2 個 銳 角 三 角 形 ( A 1 A 4 A 8 A 1 A 4 A 9 ), 以 A 1 A 5 為 邊, 形 成 3 個 銳 角 三 角 形, 以 A 1 A 6 為 邊, 形 成 4 個 銳 角 三 角 形 ( A 1 A 3 A 8 ), 所 以 取 A 1 為 頂 點, 可 形 成 ( )=10 個 銳 角 三 角 形, 共 有 =40 個 銳 角 三 角 形 (c)c =120 ] ~33 35~

36 A 8 A 7 A 6 林 信 安 老 師 編 寫 A 9 A 5 A 10 A 4 A 11 A 3 A 1 A 2 (49) 198 [ 提 示 : 從 A 到 B 走 捷 徑, 相 當 於 10 個 5 個, 而 轉 彎 4 次 代 表 有 4 個, 因 此 可 分 成 或 兩 種, (1) : 剩 下 7 個 要 排 在 的 位 置, 而 3 個 要 排 在 的 位 置, 因 此 有 H 3 7 H 2 3 種 ; 同 理 有 H 3 2 H 8 2 種 ] A 12 (50) (1)a n =4b n 1,b n =a n 1 +2b n 1 (2)a n =2a n 1 +4a n 2 (n 3) (3)a n =( )(1+ 5)n +( )(1 5)n (4) 略 ~33 36~

Microsoft Word - 第四章.doc

Microsoft Word - 第四章.doc 第 四 章 - 試 分 別 說 明 組 合 邏 輯 電 路 與 序 向 邏 輯 電 路 之 定 義 解 : 組 合 邏 輯 電 路 由 基 本 邏 輯 閘 所 組 成 的 此 種 邏 輯 電 路 之 輸 出 為 電 路 所 有 輸 入 的 組 合 因 此 輸 出 狀 態 可 完 全 由 目 前 之 輸 入 來 決 定 而 組 合 邏 輯 電 路 之 示 意 圖 如 圖 所 a 示 ; 而 序 向 邏

More information

6-1-1極限的概念

6-1-1極限的概念 選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了

More information

章節

章節 試 題 阿 財 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 計 息 一 次, () 若 依 單 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 多 少? () 若 依 複 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 約 為 多 少?( 近 似 值 :0 0 計 ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 高 雄 中 學 段 考 題 解 答 ()000 元

More information

Microsoft Word - 2-2排列與組合.doc

Microsoft Word - 2-2排列與組合.doc 2 2 排 列 與 組 合 ( 甲 ) 直 線 排 列 引 入 直 線 排 列 : 例 子 : 從 建 中 高 一 某 班 5 個 同 學 中, 選 出 3 人 排 成 一 列, 有 幾 種 排 法? 解 法 : A 5 個 同 學 以 ABCDE 表 示, 選 出 3 人 排 成 一 列, 我 們 將 這 個 過 程, 分 成 3 個 步 驟, 配 合 樹 狀 圖, 可 得 排 法 共 有 5 4

More information

所 3 學 分 課 程, 及 兩 門 跨 領 域 課 程 共 6 學 分 以 上 課 程 學 生 在 修 課 前, 必 須 填 寫 課 程 修 課 認 定 表, 經 班 主 任 或 指 導 教 授 簽 名 後 始 認 定 此 課 程 學 分 ) 10. 本 規 章 未 盡 事 宜, 悉 依 學 位

所 3 學 分 課 程, 及 兩 門 跨 領 域 課 程 共 6 學 分 以 上 課 程 學 生 在 修 課 前, 必 須 填 寫 課 程 修 課 認 定 表, 經 班 主 任 或 指 導 教 授 簽 名 後 始 認 定 此 課 程 學 分 ) 10. 本 規 章 未 盡 事 宜, 悉 依 學 位 95 年 訂 定 96 年 11 月 修 正 97 年 10 月 修 正 100 年 2 月 修 正 101 年 4 月 修 正 102 年 1 月 修 正 103 年 4 月 修 正 103 學 年 度 入 學 新 生 適 用, 舊 生 可 比 照 適 用 1. 研 究 生 須 於 入 學 後 第 二 學 期 開 學 前 選 定 指 導 教 授, 經 課 程 委 員 會 認 定 後 方 得 繼 續

More information

如何加強規管物業管理行業

如何加強規管物業管理行業 民 政 事 務 總 署 諮 詢 文 件 設 立 物 業 管 理 行 業 的 規 管 架 構 的 公 眾 諮 詢 ( 2010 年 12 月 ) 最 近 修 訂 日 期 : 2010 年 12 月 3 日 http://www.had.gov.hk/tc/publications/consultation_papers/consultation_papers.htm 錄 數 行 度 行 行 見 歷 力

More information

研究一:n人以『剪刀、石頭、布』猜拳法猜拳一次,決定一人勝

研究一:n人以『剪刀、石頭、布』猜拳法猜拳一次,決定一人勝 嘉 義 市 第 三 十 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 猜 拳 決 勝 負 的 最 佳 策 略 探 討 科 別 : 數 學 科 組 別 : 國 小 組 關 鍵 詞 : 剪 刀 石 頭 布 黑 白 猜 編 號 : 壹 摘 要 在 玩 遊 戲 時 往 往 需 要 運 用 猜 拳 剪 刀 石 頭 布 或 黑 白 猜 來 決 勝 負 或 是 分 組, 但 人 數 一 多, 便 無 法

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D20B3E6A4B830312D2D2DBCC6BD75BB50BEE3BCC6AABAA55BB4EEB942BAE22E646F6378>

<4D6963726F736F667420576F7264202D20B3E6A4B830312D2D2DBCC6BD75BB50BEE3BCC6AABAA55BB4EEB942BAE22E646F6378> 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 一 冊 一 -1 單 元 一 數 線 與 整 數 的 加 減 運 算 主 題 一 正 數 負 數 的 意 義 一 正 數 和 負 數 : 尋 找 寶 藏 北 西 東 小 明 南 小 明 無 意 間 得 到 了 一 張 藏 寶 圖, 圖 上 的 黑 點 代 表 小 明 現 在 站 的 地 方, 每 個 腳 印 都 代 表 1 步 若 要 在

More information

55202-er-ch03.doc

55202-er-ch03.doc 8 第 章 機 率 - 樣 本 空 間 與 事 件 列 出 擲 一 粒 骰 子 所 出 現 點 數 的 樣 本 空 間, 並 以 集 合 表 示 下 列 各 事 件 : A 是 出 現 點 數 為 偶 數 的 事 件, B 是 出 現 點 數 為 奇 數 的 事 件, C 是 出 現 點 數 大 於 的 事 件 骰 子 出 現 的 點 數 可 能 是,,, 4,5, 6, 因 此 出 現 點 數 的

More information

互 補 : 若 兩 個 角 的 和 是 一 個 平 角 (80 0 0 ), 我 們 稱 這 兩 個 角 互 補, 如 圖, + = 80, 故 我 們 稱 與 互 補 互 餘 : 若 兩 個 角 的 和 是 一 個 直 角, 我 們 稱 這 兩 個 角 互 餘, 如 圖, + =90 0, 故 我

互 補 : 若 兩 個 角 的 和 是 一 個 平 角 (80 0 0 ), 我 們 稱 這 兩 個 角 互 補, 如 圖, + = 80, 故 我 們 稱 與 互 補 互 餘 : 若 兩 個 角 的 和 是 一 個 直 角, 我 們 稱 這 兩 個 角 互 餘, 如 圖, + =90 0, 故 我 點 線 角 : 在 探 討 幾 何 學 之 前, 我 們 必 須 先 瞭 解 構 成 平 面 圖 形 的 基 本 元 素 - 點 線 角 點 : 點 是 幾 何 學 中 所 討 論 的 最 基 本 圖 形 點 僅 用 來 表 示 事 物 所 在 的 位 置, 而 不 考 慮 它 的 形 狀 與 大 小 圖 示 記 法 讀 法 點 或 點 點 或 點 線 : 線 可 以 想 成 是 筆 尖 在 紙 上

More information

102.6.30.xls

102.6.30.xls 之 二 資 產 負 債 權 益 展 開 表 102 年 6 月 30 日 單 位 : 新 臺 幣 千 元 資 產 會 計 項 目 展 開 項 目 現 金 及 約 當 現 金 75,497 75,497 存 放 央 行 及 拆 借 銀 178 178 同 業 透 過 損 益 按 公 允 價 值 衡 量 之 金 融 資 產 139,578 139,578 對 金 融 相 關 事 業 之 資 本 投 資

More information

第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀

第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀 第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D20B0EAA5C1A470BEC7BB50B0EAA5C1A4A4BEC7AF5AAFC5BD73A8EEA4CEB1D0C2BEADFBADFBC342BD73A8EEB1F8A4E5B9EFB7D3AAED3936303230A14B>

<4D6963726F736F667420576F7264202D20B0EAA5C1A470BEC7BB50B0EAA5C1A4A4BEC7AF5AAFC5BD73A8EEA4CEB1D0C2BEADFBADFBC342BD73A8EEB1F8A4E5B9EFB7D3AAED3936303230A14B> 國 民 小 學 與 國 民 中 學 班 編 制 及 教 職 員 員 額 編 制 準 則 修 正 總 說 明 現 行 國 民 小 學 與 國 民 中 學 班 編 制 及 教 職 員 員 額 編 制 準 則 ( 以 下 簡 稱 本 準 則 ) 係 於 九 十 四 六 月 二 十 三 日 修 正 發 布, 為 配 合 立 法 院 第 六 屆 第 三 會 期 第 五 次 會 議 決 議, 請 教 育 部 (

More information

寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939

寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939 綠 野 仙 蹤 繪 本 創 意 教 案 教 案 設 計 / 朱 秀 芳 老 師 28 寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939 故 事 簡 介 綠 野 仙 蹤 心 得 分 享 [99] 處 處 有 仙 蹤 繪 本 創 意 教 案 設 計 者 : 朱 秀 芳 適 用 年 級 : 授 課 時 間 :200 教 學

More information

Microsoft Word - 10100000191.doc

Microsoft Word - 10100000191.doc 臺 灣 集 中 保 管 結 算 所 股 份 有 限 公 司 辦 理 認 購 ( 售 ) 權 證 帳 簿 劃 撥 作 業 配 合 事 項 部 分 條 文 修 正 條 文 對 照 表 附 件 1 修 正 條 文 現 行 條 文 說 明 第 五 章 認 購 ( 售 ) 權 證 之 權 利 行 使 第 一 節 認 購 權 證 採 證 券 給 付 或 以 證 券 給 付 之 認 購 權 證 發 行 人 得 選

More information

Microsoft Word - ch07

Microsoft Word - ch07 五 本 要 點 補 助 款 之 請 撥 及 核 結, 依 下 列 規 定 辦 理 : ( 一 ) 補 助 經 費 由 本 署 直 接 撥 付 至 地 方 政 府 經 費 代 管 學 校 及 其 他 學 校 ( 二 ) 聯 絡 處 及 校 外 會 應 檢 附 收 據, 向 經 費 代 管 學 校 或 地 方 政 府 辦 理 核 銷, 原 始 支 出 憑 證 由 經 費 核 銷 單 位 留 存 備 查

More information

第一章 緒論

第一章   緒論 第 五 章 實 證 結 果 第 一 節 敘 述 統 計 表 11 表 12 分 別 為 男 女 癌 症, 實 驗 組 與 控 制 組 樣 本 之 基 本 特 性 此 為 罹 癌 前 一 年 度 樣 本 特 性 由 於 我 們 以 罹 癌 前 一 年 有 在 就 業, 即 投 保 類 別 符 合 全 民 健 康 保 險 法 中 所 規 定 之 第 一 類 被 保 險 人, 且 年 齡 介 於 35 至

More information

四 修 正 幼 兒 園 師 資 類 科 應 修 學 分 數 為 四 十 八 學 分, 並 明 定 學 分 數 抵 免 之 相 關 規 定 及 規 範 修 習 幼 兒 園 教 育 專 業 課 程 之 最 低 年 限 ( 修 正 條 文 第 五 條 ) 五 發 給 修 畢 師 資 職 前 教 育 證 明

四 修 正 幼 兒 園 師 資 類 科 應 修 學 分 數 為 四 十 八 學 分, 並 明 定 學 分 數 抵 免 之 相 關 規 定 及 規 範 修 習 幼 兒 園 教 育 專 業 課 程 之 最 低 年 限 ( 修 正 條 文 第 五 條 ) 五 發 給 修 畢 師 資 職 前 教 育 證 明 公 告 及 送 達 教 育 部 公 告 中 華 民 國 103 年 11 月 21 日 臺 教 師 ( 二 ) 字 第 1030167058A 號 主 旨 : 預 告 修 正 幼 稚 園 及 托 兒 所 在 職 人 員 修 習 幼 稚 園 教 師 師 資 職 前 教 育 課 程 辦 法 草 案 依 據 : 行 政 程 序 法 第 一 百 五 十 一 條 第 二 項 準 用 第 一 百 五 十 四 條

More information

實德證券網上交易系統示範

實德證券網上交易系統示範 實 德 證 券 網 上 交 易 系 統 示 範 實 德 證 券 網 上 交 易 系 統 分 別 提 供 增 強 版 及 標 準 版, 使 用 標 準 版 必 須 安 裝 JAVA, 標 準 版 自 動 更 新 戶 口 資 料, 而 使 用 增 強 版 則 不 必 安 裝 JAVA, 但 必 須 按 更 新 鍵 才 能 更 新 戶 口 資 料, 請 用 戶 根 據 實 際 需 要 選 擇 使 用 標

More information

<30332EAAFEA5F3A440A142A447A142A454A142A57CA147BEC7A5CDB14DB77EC3D2B7D3BEC7B2DFA661B9CF2E786C73>

<30332EAAFEA5F3A440A142A447A142A454A142A57CA147BEC7A5CDB14DB77EC3D2B7D3BEC7B2DFA661B9CF2E786C73> 嶺 東 科 技 大 學 財 務 金 融 系 日 四 技 學 生 專 業 學 習 地 圖 02 年 6 月 28 日 0 學 年 度 第 二 學 期 財 務 金 融 系 課 程 委 會 議 通 過 名 稱 微 積 分 ( 一 ) 微 積 分 ( 二 ) 個 體 經 濟 學 商 業 套 裝 軟 體 ( 二 ) 應 用 統 計 學 ( 一 ) 期 貨 與 選 擇 權 國 際 - 管 理 學 保 險 學 商

More information

二 兒 歌 選 用 情 形 ( ) 2 ( ) ( ) 1. 158 2.

二 兒 歌 選 用 情 形 ( ) 2 ( ) ( ) 1. 158 2. 兒 歌 內 容 分 析 ~ 以 台 灣 省 教 育 廳 發 行 之 大 單 元 活 動 設 計 內 之 兒 歌 為 例 ~ 摘 要 82 76 158 一 兒 歌 類 目 的 分 布 情 形 ( ) 26 23 22 16 61 38.6 16.5 ( ) 二 兒 歌 選 用 情 形 ( ) 2 ( ) ( ) 1. 158 2. 第 一 章 緒 論 第 一 節 研 究 動 機 79 第 二 節 研

More information

1010327

1010327 核 算 加 計 利 息 滯 納 金 滯 納 利 息 規 定 及 計 算 範 例 各 稅 法 對 納 稅 義 務 人 逾 期 繳 納 稅 款, 大 多 有 加 徵 滯 納 金 加 計 利 息 之 規 定, 而 逾 期 與 否, 應 以 繳 款 書 所 填 載 之 繳 納 期 間 繳 納 期 限 或 限 繳 日 期 為 準 認 定 之 各 代 收 稅 款 金 融 機 構 對 於 逾 期 繳 納 稅 款

More information

Microsoft Word - 全華Ch2-05.doc

Microsoft Word - 全華Ch2-05.doc 得 分 : 101 學 年 度 第 2 學 期 Ch2-5 數 字 系 統 與 資 料 表 示 法 命 題 教 師 : 範 圍 : 年 班 號 姓 名 一 單 選 題 : ( 1 ) 1. 通 常 PC 上 採 用 2 的 補 數 法 表 示 負 整 數, 所 使 用 的 整 數 範 圍 為 -32768 到 +32767, 請 問 此 情 況 下, 一 個 整 數 佔 用 多 少 Bytes? (1)2

More information

骨 折 別 日 數 表 1. 鼻 骨 眶 骨 ( 含 顴 骨 ) 14 天 11. 骨 盤 ( 包 括 腸 骨 恥 骨 坐 骨 薦 骨 ) 40 天 2. 掌 骨 指 骨 14 天 12. 臂 骨 40 天 3. 蹠 骨 趾 骨 14 天 13. 橈 骨 與 尺 骨 40 天 4. 下 顎 ( 齒

骨 折 別 日 數 表 1. 鼻 骨 眶 骨 ( 含 顴 骨 ) 14 天 11. 骨 盤 ( 包 括 腸 骨 恥 骨 坐 骨 薦 骨 ) 40 天 2. 掌 骨 指 骨 14 天 12. 臂 骨 40 天 3. 蹠 骨 趾 骨 14 天 13. 橈 骨 與 尺 骨 40 天 4. 下 顎 ( 齒 查 詢 本 公 司 資 訊 公 開 說 明 文 件, 請 上 本 公 司 網 站, 南 山 產 物 團 體 傷 害 保 險 傷 害 醫 療 保 險 給 付 ( 日 額 型 ) 附 加 條 款 ( 主 要 給 付 項 目 : 傷 害 醫 療 保 險 金 日 額 保 險 金 ) 100.05.27(100) 美 亞 保 精 字 第 0097 號 函 備 查 101.08.08(101) 美 亞 保 精

More information

目 錄 項 目 內 容 頁 數 1 手 機 要 求 3 2 登 記 程 序 3 3 登 入 程 序 4 4 輸 入 買 賣 指 示 6 5 更 改 指 示 14 6 取 消 指 示 18 7 查 詢 股 票 結 存 21 8 查 詢 買 賣 指 示 23 9 更 改 密 碼 24 10 查 詢 股

目 錄 項 目 內 容 頁 數 1 手 機 要 求 3 2 登 記 程 序 3 3 登 入 程 序 4 4 輸 入 買 賣 指 示 6 5 更 改 指 示 14 6 取 消 指 示 18 7 查 詢 股 票 結 存 21 8 查 詢 買 賣 指 示 23 9 更 改 密 碼 24 10 查 詢 股 流 動 股 票 買 賣 服 務 操 作 指 引 目 錄 項 目 內 容 頁 數 1 手 機 要 求 3 2 登 記 程 序 3 3 登 入 程 序 4 4 輸 入 買 賣 指 示 6 5 更 改 指 示 14 6 取 消 指 示 18 7 查 詢 股 票 結 存 21 8 查 詢 買 賣 指 示 23 9 更 改 密 碼 24 10 查 詢 股 價 及 指 數 26 11 切 換 語 言 及 登 出

More information

life930106

life930106 下 象 棋 暗 棋 一 象 棋 是 什 麼? 象 棋 是 中 國 老 祖 先 發 明 的, 下 象 棋 可 以 讓 頭 腦 變 聰 明, 所 以 象 棋 是 益 智 遊 戲 象 棋 的 棋 子 有 二 種 顏 色 : 黑 色 和 紅 色 請 你 數 一 數, 總 共 有 多 少 個 棋 子? - 1 - 休 閒 教 育 領 域 教 材 範 例 紅 色 的 棋 子 有 16 個 黑 色 的 棋 子 也

More information

簽 呈

簽      呈 台 新 證 券 投 資 信 託 股 份 有 限 公 司 公 告 中 華 民 國 105 年 5 月 4 日 台 新 投 (105) 總 發 文 字 第 00116 號 主 旨 : 本 公 司 經 理 之 台 新 亞 美 短 期 債 券 證 券 投 資 信 託 基 金 等 3 檔 基 金 ( 以 下 合 稱 本 基 金 ), 修 正 證 券 投 資 信 託 契 約 暨 配 合 修 正 公 開 說 明

More information

校 長 遴 選 者 就 相 關 遴 選 事 項, 有 程 序 外 之 接 觸 遴 選 會 委 員 在 任 期 間 因 故 無 法 執 行 任 務 或 有 不 適 當 之 行 為 者, 由 各 該 主 管 機 關 解 聘 之 ; 其 缺 額, 依 第 一 項 至 第 五 項 規 定 聘 ( 派 ) 委

校 長 遴 選 者 就 相 關 遴 選 事 項, 有 程 序 外 之 接 觸 遴 選 會 委 員 在 任 期 間 因 故 無 法 執 行 任 務 或 有 不 適 當 之 行 為 者, 由 各 該 主 管 機 關 解 聘 之 ; 其 缺 額, 依 第 一 項 至 第 五 項 規 定 聘 ( 派 ) 委 高 級 中 等 學 校 校 長 遴 選 聘 任 及 辦 學 績 效 考 評 辦 法 修 正 對 照 表 中 華 民 國 一 百 零 二 年 十 二 月 二 十 日 教 育 部 臺 教 授 國 部 字 第 1020118431A 號 令 修 正 高 級 中 等 學 校 校 長 遴 選 聘 任 及 任 期 考 評 辦 法, 名 稱 並 修 正 為 高 級 中 等 學 校 校 長 遴 選 聘 任 及 辦

More information

16

16 序 1 16 序 2 KK KK KK KK KK KK 溫 溫 KK KK 周 婉 芬 博 士 2016 年 5 月 前 言 平 安 健 康 便 好 了 16 10 ICU ICU 26 300 26 10 ICU ICU 曾 錦 強 2016 年 5 月 目 錄 Chapter 1 家 庭 親 子 關 係 1.1 多 存 款 入 關 係 戶 口 2 1.2 不 傷 關 係 管 學 業 12 1.5

More information

肆 研 究 方 法 進 行 本 研 究 前, 我 們 首 先 對 研 究 中 所 用 到 名 詞 作 定 義 定 義 : 牌 數 : 玩 牌 時 所 使 用 到 撲 克 牌 數 次 數 : 進 行 猜 心 術 遊 戲 時, 重 複 分 牌 次 數 數 : 進 行 猜 心 術 遊 戲 時, 每 次 分

肆 研 究 方 法 進 行 本 研 究 前, 我 們 首 先 對 研 究 中 所 用 到 名 詞 作 定 義 定 義 : 牌 數 : 玩 牌 時 所 使 用 到 撲 克 牌 數 次 數 : 進 行 猜 心 術 遊 戲 時, 重 複 分 牌 次 數 數 : 進 行 猜 心 術 遊 戲 時, 每 次 分 摘 要 魔 術 師 讀 心 術 背 後 到 底 藏 了 多 少 祕 密? 一 般 觀 眾 心 裡 常 有 著 這 句 話 本 研 究 我 們 破 解 了 魔 術 師 透 過 數 學 規 律 加 上 置 中 手 法 完 成 一 連 串 騙 人 撲 克 牌 遊 戲, 也 學 會 了 如 何 透 過 整 理 表 格 方 式, 來 找 出 數 學 規 律, 也 更 懂 得 如 何 把 簡 單 數 學 技 巧

More information

中華民國 第51屆中小學科學展覽會

中華民國 第51屆中小學科學展覽會 中 華 民 國 第 51 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 佳 作 080401 連 續 整 數 和 的 難 題 學 校 名 稱 高 雄 市 鼓 山 區 中 山 國 民 小 學 作 者 指 導 老 師 小 五 陳 書 玟 小 五 黃 鈺 媚 邱 郁 芳 許 紋 菁 小 五 方 培 蓉 小 五 許 家 哲 小 五 蔣 承 軒 關 鍵 詞 連 續 整 數 和

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D20A4A4B0EAA4E5A4C6A46ABEC7C0B3A5CEBCC6BEC7A874BEC7B873C3D2AED1B1C2BB50BFECAA6B31303130343230205F726576697365645F2E646F63>

<4D6963726F736F667420576F7264202D20A4A4B0EAA4E5A4C6A46ABEC7C0B3A5CEBCC6BEC7A874BEC7B873C3D2AED1B1C2BB50BFECAA6B31303130343230205F726576697365645F2E646F63> 中 國 文 化 大 學 應 用 數 學 系 學 群 證 書 授 與 辦 法 99.03.19 訂 定 101.04.13 100 學 年 度 第 2 學 期 第 1 次 系 課 程 委 員 會 議 修 訂 101.04.20 100 學 年 度 第 5 次 系 務 會 議 通 過 一 宗 旨 本 系 應 用 數 學 統 計 科 學, 與 計 算 機 科 學 學 群 證 書 授 與 的 目 的 是 希

More information

Microsoft Word - Draft circular on Sub Leg - 11 Apr (chi)_Traditional

Microsoft Word - Draft circular on Sub Leg  - 11 Apr (chi)_Traditional 檔 號 : (20) in EDB(SCR) 25/58/11 Pt.4 教 育 局 通 告 第 3/2012 號 2012 年 教 育 ( 修 訂 ) 規 例 2012 年 教 育 ( 豁 免 )( 提 供 非 正 規 課 程 的 私 立 學 校 )( 修 訂 ) 令 2012 年 香 港 考 試 及 評 核 局 條 例 ( 修 訂 附 表 1) 令 [ 注 意 : 本 通 告 應 交 ( a )

More information

九 -2 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 六 冊 主 題 二 機 率 的 計 算 二 機 率 怎 麼 算? 想 一 想 : (1) 投 擲 一 枚 公 正 硬 幣 一 次, 會 出 現 哪 幾 種 情 形? 這 些 情 形 各 自 發 生 的 機 率 是 多 少? 會 不

九 -2 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 六 冊 主 題 二 機 率 的 計 算 二 機 率 怎 麼 算? 想 一 想 : (1) 投 擲 一 枚 公 正 硬 幣 一 次, 會 出 現 哪 幾 種 情 形? 這 些 情 形 各 自 發 生 的 機 率 是 多 少? 會 不 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 六 冊 九 -1 單 元 九 機 率 的 概 念 主 題 一 認 識 機 率 一 機 率 是 什 麼? 想 必 大 家 一 定 都 看 過 氣 象 預 報, 也 一 定 都 聽 過 降 雨 機 率 下 表 為 某 一 週 氣 象 預 報 : 日 期 9 /15 9/16 9/17 9/18 9/19 9/20 9/21 降 雨 機 率 10%

More information

Microsoft PowerPoint - 資料庫正規化(ccchen).ppt

Microsoft PowerPoint - 資料庫正規化(ccchen).ppt 資 料 庫 正 規 化 正 規 化 的 概 念 何 謂 正 規 化 (Normalization)?? 就 是 結 構 化 分 析 與 設 計 中, 建 構 資 料 模 式 所 運 用 的 一 個 技 術, 其 目 的 是 為 了 降 低 資 料 的 重 覆 性 與 避 免 更 新 異 常 的 情 況 發 生 因 此, 就 必 須 將 整 個 資 料 表 中 重 複 性 的 資 料 剔 除, 否 則

More information

證 券 簡 易 下 單 :2121 證 券 簡 易 下 單 1. 主 工 具 列 的 視 窗 搜 尋 器 直 接 輸 入 2121 2. 點 擊 主 選 單 證 券 專 區 下 單 特 殊 下 單 2121 證 券 簡 易 下 單 畫 面 說 明 1. 下 單 區 2. 個 股 行 情 資 訊 與

證 券 簡 易 下 單 :2121 證 券 簡 易 下 單 1. 主 工 具 列 的 視 窗 搜 尋 器 直 接 輸 入 2121 2. 點 擊 主 選 單 證 券 專 區 下 單 特 殊 下 單 2121 證 券 簡 易 下 單 畫 面 說 明 1. 下 單 區 2. 個 股 行 情 資 訊 與 下 單 :2111 證 券 快 速 下 單 1. 主 工 具 列 的 視 窗 搜 尋 器 直 接 輸 入 2111 2. 點 擊 主 選 單 證 券 專 區 下 單 一 般 下 單 2111 證 券 快 速 下 單 1. 點 擊 後, 可 選 擇 群 組 帳 號 或 單 一 帳 號, 選 擇 後 快 速 點 擊 滑 鼠 左 鍵 兩 下, 可 將 帳 號 完 成 登 錄 並 帶 入 視 窗 2. 點

More information

(1) 參 加 直 轄 市 縣 市 性 比 賽 : 可 得 6 分, 可 得 5 分, 可 得 4 分, 可 得 3 分, 第 5 名 可 得 2 分, 第 6 名 以 後 可 得 1 分 (2) 參 加 性 比 賽 : 直 轄 市 縣 市 性 比 賽 各 之 得 分 乘 以 2 (3) 參 加 國

(1) 參 加 直 轄 市 縣 市 性 比 賽 : 可 得 6 分, 可 得 5 分, 可 得 4 分, 可 得 3 分, 第 5 名 可 得 2 分, 第 6 名 以 後 可 得 1 分 (2) 參 加 性 比 賽 : 直 轄 市 縣 市 性 比 賽 各 之 得 分 乘 以 2 (3) 參 加 國 一 依 據 : 國 立 臺 南 大 學 附 設 實 驗 國 民 小 學 應 屆 畢 業 生 市 長 獎 給 獎 實 施 要 點 1030520 臨 時 校 務 會 議 訂 定 1030903 校 務 會 議 修 訂 ( 一 ) 本 校 應 屆 畢 業 生 畢 業 給 獎 實 施 原 則 ( 二 ) 臺 南 市 102 學 年 度 國 民 中 小 學 畢 業 生 市 長 獎 給 獎 實 施 計 畫 二

More information

國中數學基本學習內容補救教材 第二冊

國中數學基本學習內容補救教材 第二冊 五 -1 單 元 五 比 與 比 例 式 主 題 1 比 與 比 值 及 其 應 用 一 比 : 兩 個 數 量 以 : 區 隔, 藉 以 呈 現 兩 個 數 量 的 關 係 稱 為 比 例 如 : 一 年 四 班 有 15 個 男 生,18 個 女 生, 則 男 生 人 數 : 女 生 人 數 =15:18 練 習 大 小 兩 個 正 方 形 的 邊 長 各 為 3 公 分 與 2 公 分, 請

More information

前 項 第 三 款 所 定 有 機 農 產 品 及 有 機 農 產 加 工 品 驗 證 基 準, 如 附 件 一 第 七 條 驗 證 機 構 受 理 有 機 農 產 品 及 有 機 農 產 加 工 品 之 驗 證, 應 辦 理 書 面 審 查 實 地 查 驗 產 品 檢 驗 及 驗 證 決 定 之

前 項 第 三 款 所 定 有 機 農 產 品 及 有 機 農 產 加 工 品 驗 證 基 準, 如 附 件 一 第 七 條 驗 證 機 構 受 理 有 機 農 產 品 及 有 機 農 產 加 工 品 之 驗 證, 應 辦 理 書 面 審 查 實 地 查 驗 產 品 檢 驗 及 驗 證 決 定 之 有 機 農 產 品 及 有 機 農 產 加 工 品 驗 證 管 理 辦 法 (101.06.07 修 正 ) 第 一 條 本 辦 法 依 農 產 品 生 產 及 驗 證 管 理 法 ( 以 下 簡 稱 本 法 ) 第 五 條 第 二 項 規 定 訂 定 之 第 二 條 本 辦 法 用 詞, 定 義 如 下 : 一 生 產 廠 ( 場 ): 指 在 國 內 生 產 加 工 分 裝 或 流 通 有 機

More information

printing.indd

printing.indd 上 帝 信 仰 與 古 代 中 國 13 基 督 教 之 景 教 在 唐 朝 傳 入 中 國 人 類 最 早 期 活 動 都 在 兩 河 流 域 一 帶 人 類 文 化 始 於 巴 比 倫 兩 河 流 域 14 圖 片 中 國 基 督 教 簡 史 挪 亞 三 子 後 裔 分 散 全 地, 中 國 人 是 閃 族 的 後 人 四 大 文 明 古 國 都 離 不 開 大 河 滋 潤 一 般 書 籍 所

More information

NCKU elearning Manual

NCKU elearning Manual 成 績 一 簡 介... 3 二 成 績 彙 總... 4 三 瀏 覽 成 績... 7 1. 成 績 分 析 長 條 圖... 7 2. 成 績 單... 7 3. 用 戶 報 告... 11 四 類 別 和 項 目... 12 1. 簡 單 檢 視... 12 2. 完 整 檢 視... 15 五 成 績 匯 入... 16 六 成 績 匯 出... 19 1. 成 績 登 錄 檔... 19

More information

Microsoft Word - 香港數學盃2016比賽模擬試題P3.docx

Microsoft Word - 香港數學盃2016比賽模擬試題P3.docx 香 港 數 學 盃 2016 模 擬 試 題 小 三 香 港 數 學 盃 2016 模 擬 試 題 小 學 三 年 級 卷 一 選 擇 題 限 時 20 分 鐘 1. 200 + 208 + 200 +195 + 192 +205 + 210 + 190 +207 +193=? A. 1800 B.1900 C.2000 D.2200 2. 947+(372-447)-572+1928-(267-72)-33

More information

Microsoft Word - dsejdoc_20011017_03.doc

Microsoft Word - dsejdoc_20011017_03.doc 有 關 調 查 的 詳 盡 資 料 及 分 析 報 告, 可 於 辦 公 時 間 內 前 往 教 育 暨 青 年 局 青 年 廳 駿 菁 活 動 中 心 查 閱 澳 門 青 少 年 研 究 系 列 之 三 澳 門 青 少 年 的 婚 姻 及 家 庭 觀 念 調 查 研 究 單 位 : 教 育 暨 青 年 司 青 年 廳 澳 門 青 少 年 犯 罪 研 究 學 會 青 少 年 研 究 小 組 研 究

More information

龍騰100-B5-習作-CH3.doc

龍騰100-B5-習作-CH3.doc 8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =

More information

內 政 統 計 通 報

內 政 統 計 通 報 內 政 統 通 報 一 一 年 第 四 週 100 年 居 家 服 務 使 用 者 度 調 查 結 果 內 政 部 統 處 8 成 5 的 居 家 服 務 使 用 者 對 居 家 服 務 所 提 供 的 各 項 服 務 表 示 有 7 成 5 表 示 會 介 紹 他 人 使 用 有 接 受 居 家 服 務 所 提 供 的 協 助 洗 澡 協 助 換 穿 衣 服 協 助 吃 飯 協 助 起 床 站 立

More information

sle cover 1

sle cover 1 給 愛 尋 根 究 底 的 青 少 年 紅 斑 狼 瘡 冷 知 識 鳴 謝 給 愛 尋 根 究 底 的 青 少 年 紅 斑 狼 瘡 冷 知 識 ~ Hospital for Special Surgery 2003 For Inquiring Teens With LUPUS ~ Our Thoughts, Issues & Concerns Nichole Niles 為 什 麼 會 有 這 本

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D2030332D313032A7DEC075BAC2BC66B56EB04FB44EC5AAA7D3C440A7C7A874B2CEBEDEA740A4E2A5552E646F63>

<4D6963726F736F667420576F7264202D2030332D313032A7DEC075BAC2BC66B56EB04FB44EC5AAA7D3C440A7C7A874B2CEBEDEA740A4E2A5552E646F63> 102 學 年 度 四 技 二 專 技 優 甄 審 入 學 招 生 就 讀 志 願 序 登 記 系 統 操 作 參 考 手 冊 目 錄 一 重 要 事 項 說 明... 1 二 系 統 入 口... 2 三 操 作 步 驟... 2 ( 一 ) 進 入 就 讀 志 願 序 登 記 系 統... 2 ( 二 ) 閱 讀 登 記 就 讀 志 願 序 注 意 事 項... 3 ( 三 ) 登 記 就 讀

More information

授 課 老 師 章 節 第 一 章 教 學 教 具 間 3 分 鐘 粉 筆 CNC 銑 床 教 學 內 容 CNC 銑 床 之 基 本 操 作 教 材 來 源 數 值 控 制 機 械 實 習 Ⅰ 1. 了 解 CNC 銑 床 的 發 展 2. 了 解 CNC 銑 床 刀 具 的 選 用 3. 了 解

授 課 老 師 章 節 第 一 章 教 學 教 具 間 3 分 鐘 粉 筆 CNC 銑 床 教 學 內 容 CNC 銑 床 之 基 本 操 作 教 材 來 源 數 值 控 制 機 械 實 習 Ⅰ 1. 了 解 CNC 銑 床 的 發 展 2. 了 解 CNC 銑 床 刀 具 的 選 用 3. 了 解 台 中 市 財 團 法 人 光 華 高 級 工 業 職 業 學 校 專 業 科 目 - 數 值 控 制 機 械 教 案 本 適 用 科 別 : 機 械 科 製 圖 科 編 寫 單 位 : 光 華 高 工 機 械 製 圖 科 授 課 老 師 章 節 第 一 章 教 學 教 具 間 3 分 鐘 粉 筆 CNC 銑 床 教 學 內 容 CNC 銑 床 之 基 本 操 作 教 材 來 源 數 值 控 制 機

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D20303830343132A55FBFA4A9F7A5ADB0EAA470ACECAE69A740AB7EBBA1A9FAAED1205F315F2E646F63>

<4D6963726F736F667420576F7264202D20303830343132A55FBFA4A9F7A5ADB0EAA470ACECAE69A740AB7EBBA1A9FAAED1205F315F2E646F63> 中 華 民 國 第 四 十 六 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 佳 作 080 驚 爆 骰 子 樂 之 吹 牛 大 王 學 校 名 稱 : 臺 北 縣 新 莊 市 昌 平 國 民 小 學 作 者 : 小 六 何 承 蓉 小 六 盧 俊 憲 指 導 老 師 : 潘 信 佑 黃 敏 吾 小 六 鄭 宇 軒 小 六 葉 益 甫 關 鍵 詞 : 排 列 組 合

More information

題目:中醫師配發藥材及合成中成藥簡介會

題目:中醫師配發藥材及合成中成藥簡介會 中 醫 師 配 發 中 藥 材 及 合 成 中 成 藥 簡 介 會 由 於 中 藥 商 過 渡 性 領 牌 工 作 已 完 成, 當 局 現 正 考 慮 實 施 中 醫 藥 條 例 中 有 關 限 制 管 有 及 銷 售 中 藥 材 及 中 成 藥 以 及 製 造 中 成 藥 的 罰 則 及 相 關 條 文 在 有 關 法 例 實 施 後, 中 醫 師 如 售 賣 或 配 發 中 藥 材 予 任 何

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D20B773AAA9ADBBB4E4BAF4B8F4BBC8A6E6BEDEA740A4E2A5555FABC8A4E1BADD2DADD3A448AAA95F2E646F63>

<4D6963726F736F667420576F7264202D20B773AAA9ADBBB4E4BAF4B8F4BBC8A6E6BEDEA740A4E2A5555FABC8A4E1BADD2DADD3A448AAA95F2E646F63> 目 錄 1. 介 紹...2 2. 功 能 列 表...3 3. 操 作 步 驟 說 明 ( 簽 入 / 簽 出 )...5 3.1 簽 入...5 3.2 簽 出...6 4. 操 作 步 驟 說 明 ( 查 詢 類 )...7 4.1 存 款 業 務...7 4.1.1 活 期 / 支 票 存 款 帳 戶 餘 額 查 詢...8 4.1.2 活 期 / 支 票 存 款 帳 戶 明 細 查 詢...9

More information

Microsoft PowerPoint - 102教師升等說明會

Microsoft PowerPoint - 102教師升等說明會 2 1 3 4 2 5 6 3 7 8 4 9 10 5 11 12 6 13 14 7 15 靜 宜 大 學 教 師 升 等 資 料 ( 僅 供 參 考 ) 一 姓 名 : 二 單 位 : 三 現 職 : 四 學 歷 ( 請 詳 填 起 訖 日 期 ): 五 經 歷 ( 請 詳 填 起 訖 日 期 ): 六 教 師 證 書 字 號 : 年 資 起 算 日 : 七 學 術 專 長 領 域 : 八 任

More information

投影片 1

投影片 1 2013 年 香 港 中 學 文 憑 考 試 成 績 發 放 安 排 及 最 新 資 訊 2013 年 7 月 6 日 2013 年 文 憑 試 報 考 統 計 2012 年 2013 年 報 考 人 數 73,074 82,283 學 校 考 生 71,745 71,168 自 修 生 1,329 11,115 重 考 生 人 數 :10,973 重 考 的 自 修 生 :8,836 重 考 的

More information

A2: 國 中 基 測 是 一 種 標 準 化 測 驗, 測 驗 結 果 是 以 量 尺 分 數 表 示 量 尺 分 數 是 透 過 統 計 方 法, 由 答 對 題 數 轉 換 而 來, 其 目 的 是 要 呈 現 每 一 位 考 生 的 每 一 測 驗 學 科 在 所 有 考 生 中 的 相 對

A2: 國 中 基 測 是 一 種 標 準 化 測 驗, 測 驗 結 果 是 以 量 尺 分 數 表 示 量 尺 分 數 是 透 過 統 計 方 法, 由 答 對 題 數 轉 換 而 來, 其 目 的 是 要 呈 現 每 一 位 考 生 的 每 一 測 驗 學 科 在 所 有 考 生 中 的 相 對 98 年 國 民 中 學 學 生 基 本 學 力 測 驗 問 與 答 節 錄 目 次 肆 精 打 細 算 談 量 尺 節 錄 自 國 民 中 學 學 生 基 本 學 力 測 驗 推 動 工 作 委 員 會 網 頁 資 料 國 中 基 測 自 民 國 90 年 實 施 以 來, 為 我 國 每 年 報 考 人 數 最 多 的 重 要 測 驗 依 據 高 中 暨 高 職 多 元 入 學 方 案, 國 中

More information

Microsoft Word - 立法會十四題附件.doc

Microsoft Word - 立法會十四題附件.doc 附 件 一 公 務 員 資 歷 組 別 I. 資 歷 組 別 及 名 稱 資 歷 組 別 名 稱 1 無 需 中 學 會 考 五 科 及 格 2 中 學 會 考 證 書 第 一 組 : 需 要 香 港 中 學 會 考 五 科 及 格 的 第 二 組 : 需 要 香 港 中 學 會 考 五 科 及 格 並 具 相 當 經 驗 的 3 高 級 文 憑 及 文 憑 第 一 組 : 高 級 文 憑 第 二

More information

Microsoft PowerPoint - 使用 Word 編輯與排版文件 (II).ppt

Microsoft PowerPoint - 使用 Word 編輯與排版文件 (II).ppt 課 程 大 綱 使 用 Word 編 輯 與 排 版 文 件 (II) 第 4 章 Word 表 格 第 5 章 文 件 內 容 的 進 階 處 理 許 明 宗 表 格 繪 製 表 格 表 格 的 界 面 表 格 的 選 取 表 格 欄 列 的 新 增 與 刪 除 表 頭 對 角 線 格 線 框 線 與 網 底 儲 存 格 的 新 增 刪 除 分 割 合 併 與 切 換 調 整 表 格 表 格 的

More information

2 飲 料 調 製 丙 級 技 術 士 技 能 檢 定 必 勝 寶 典 Beverage Modulation Preparation 應 考 綜 合 注 意 事 項 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 C13

2 飲 料 調 製 丙 級 技 術 士 技 能 檢 定 必 勝 寶 典 Beverage Modulation Preparation 應 考 綜 合 注 意 事 項 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 C13 1Part BEVERAGE MODULATION PREPARATION 2 飲 料 調 製 丙 級 技 術 士 技 能 檢 定 必 勝 寶 典 Beverage Modulation Preparation 應 考 綜 合 注 意 事 項 1. 980301 980302 980303 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 C13 C14 C15 C16

More information

頁 1 / 8 法 規 名 稱 : 公 務 人 員 俸 給 法 修 正 時 間 :97.1.16 第 一 條 ( 本 法 內 容 ) 公 務 人 員 之 俸 給, 依 本 法 行 之 第 二 條 ( 名 詞 定 義 ) 本 法 所 用 名 詞 意 義 如 下 : 一 本 俸 : 係 指 各 職 等 人 員 依 法 應 領 取 之 基 本 給 與 二 年 功 俸 : 係 指 各 職 等 高 於 本 俸

More information

CONTENTS 訓 練 內 容 設 計 法 056 淡 季 期 的 訓 練 058 旺 季 期 的 訓 練 060 針 對 爬 坡 賽 的 訓 練 內 容 062 賽 後 的 資 料 分 析 064 067 PART4/ 鏑 木 毅 先 生 的 建 言 活 用 於 越 野 路 跑 的 心 跳 訓

CONTENTS 訓 練 內 容 設 計 法 056 淡 季 期 的 訓 練 058 旺 季 期 的 訓 練 060 針 對 爬 坡 賽 的 訓 練 內 容 062 賽 後 的 資 料 分 析 064 067 PART4/ 鏑 木 毅 先 生 的 建 言 活 用 於 越 野 路 跑 的 心 跳 訓 BOOK 山 與 溪 谷 社 編 堀 內 一 雄 執 筆 蕭 雲 菁 譯 CONTENTS 訓 練 內 容 設 計 法 056 淡 季 期 的 訓 練 058 旺 季 期 的 訓 練 060 針 對 爬 坡 賽 的 訓 練 內 容 062 賽 後 的 資 料 分 析 064 067 PART4/ 鏑 木 毅 先 生 的 建 言 活 用 於 越 野 路 跑 的 心 跳 訓 練 068 心 率 計 為

More information

75 叁 積 木 遊 戲 的 教 學 功 能 一 促 進 體 能 發 展 二 發 展 社 會 技 巧 Ramsey 1991 Beaty 1995 ( ) ( ) ( ) 三 學 習 情 緒 處 理 國 教 之 友 第 59 卷 第 3 期 19

75 叁 積 木 遊 戲 的 教 學 功 能 一 促 進 體 能 發 展 二 發 展 社 會 技 巧 Ramsey 1991 Beaty 1995 ( ) ( ) ( ) 三 學 習 情 緒 處 理 國 教 之 友 第 59 卷 第 3 期 19 75 叁 積 木 遊 戲 的 教 學 功 能 一 促 進 體 能 發 展 二 發 展 社 會 技 巧 Ramsey 1991 Beaty 1995 ( ) ( ) ( ) 三 學 習 情 緒 處 理 國 教 之 友 第 59 卷 第 3 期 19 四 增 進 認 知 體 驗 五 提 升 語 言 層 次 六 激 發 創 造 力 發 展 88 肆 幼 兒 在 積 木 遊 戲 上 的 發 展 過 程 86

More information

貳、研究動機

貳、研究動機 中 華 民 國 第 四 十 六 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 高 職 組 農 業 及 生 物 科 技 科 第 三 名 091406 石 蓮 花 面 膜 學 校 名 稱 : 國 立 民 雄 高 級 農 工 職 業 學 校 作 者 : 職 二 陳 雅 婷 指 導 老 師 : 李 素 菁 職 二 侯 建 鑫 職 二 許 哲 仁 職 二 侯 富 荃 關 鍵 詞 : 石 蓮 花 面

More information

Microsoft Word - 文件1

Microsoft Word - 文件1 數 學 CIII_4-7 ~ 4-8 總 分 年 班 座 號 姓 名 一 單 選 題 (36 題 每 題 0 分 共 0 分 ) ( )1. 某 班 學 生 40 人, 某 次 數 學 段 考 成 績 呈 常 態 分 配, 平 均 分 數 為 65 分, 標 準 差 為 5 分, 則 成 績 在 60 分 至 70 分 之 間 約 有 多 少 人? (A)0 人 (B)4 人 (C)7 人 (D)9

More information

1 小 學 中 年 級 卷 參 解 答 9 圖 形 (A) 有 一 條 對 稱 軸 其 餘 的 圖 形 都 沒 有 對 稱 軸, 這 是 因 為 對 於 每 一 個 圖 形, 其 反 射 過 後 的 圖 形 為 都 無 法 與 原 圖 形 重 合 答 : (A) 6 小 貝 在 計 算 器 上 鍵

1 小 學 中 年 級 卷 參 解 答 9 圖 形 (A) 有 一 條 對 稱 軸 其 餘 的 圖 形 都 沒 有 對 稱 軸, 這 是 因 為 對 於 每 一 個 圖 形, 其 反 射 過 後 的 圖 形 為 都 無 法 與 原 圖 形 重 合 答 : (A) 6 小 貝 在 計 算 器 上 鍵 1 小 學 中 年 級 卷 參 解 答 8 1 小 學 中 年 級 卷 參 解 答 1 算 式 8 + 等 於 (A) (B) 8 (C) 12 (D) 32 (E) 8 8 + = 12 答 : (C) 2 假 設 今 天 是 星 期 四, 請 問 十 天 後 是 星 期 幾? (A) 星 期 一 (B) 星 期 二 (C) 星 期 三 (D) 星 期 六 (E) 星 期 日 今 天 的 七 天

More information

C12711--CH4.tpf

C12711--CH4.tpf 第 直 流 迴 路 章 4-1 節 點 電 壓 法 4-2 迴 路 電 流 法 4-3 重 疊 定 理 4-4 戴 維 寧 定 理 4-5 最 大 功 率 轉 移 4-6 諾 頓 定 理 4-7 戴 維 寧 與 諾 頓 之 轉 換 重 點 掃 描 習 題 探 討 熟 練 節 點 電 壓 法 的 解 題 技 巧 熟 練 迴 路 電 流 法 的 解 題 技 巧 熟 練 重 疊 定 理 的 解 題 技 巧

More information

修 課 特 殊 規 定 : 一 法 律 系 學 生 最 低 畢 業 學 分 128;101 學 年 度 修 讀 法 律 系 雙 主 修 學 生 應 修 畢 法 律 專 業 目 64 學 分 ( 限 修 習 本 校 法 律 系 開 設 課 程, 不 得 以 原 學 系 或 外 校 課 程 抵 免 -

修 課 特 殊 規 定 : 一 法 律 系 學 生 最 低 畢 業 學 分 128;101 學 年 度 修 讀 法 律 系 雙 主 修 學 生 應 修 畢 法 律 專 業 目 64 學 分 ( 限 修 習 本 校 法 律 系 開 設 課 程, 不 得 以 原 學 系 或 外 校 課 程 抵 免 - 法 律 學 系 學 士 班 基 礎 科 目 一 覽 表 101 學 年 度 入 學 學 生 適 用 科 目 名 稱 必 規 定 第 一 學 年 第 二 學 年 第 三 學 年 第 四 學 年 群 學 分 上 下 上 下 上 下 上 下 備 註 ( 先 修 科 目 ) 刑 法 ( 一 ) 群 3 3 基 礎 科 目 刑 法 ( 二 ) 群 3 3 基 礎 科 目 / 先 修 刑 法 ( 一 ) 刑 事

More information

連江縣政府所屬學校兼任代課及代理教師聘任實施要點(草案)

連江縣政府所屬學校兼任代課及代理教師聘任實施要點(草案) 連 江 縣 中 小 學 兼 任 代 課 及 代 理 教 師 聘 任 補 充 規 定 中 華 民 國 95 年 5 月 4 日 連 教 學 字 第 0950012838 號 中 華 民 國 97 年 7 月 25 日 連 教 學 字 第 0970022418 號 修 訂 中 華 民 國 99 年 1 月 11 日 連 教 學 字 第 0990001112 號 修 訂 中 華 民 國 101 年 10

More information

「家加關愛在長青」計劃完成表現及評估報告

「家加關愛在長青」計劃完成表現及評估報告 - 1 - - 2 - - 3 - - 4 - 註 一 一 般 義 工 : 任 何 人 志 願 貢 獻 個 人 時 間 及 精 神, 在 不 為 任 何 物 質 報 酬 的 情 況 下, 為 改 進 社 會 而 提 供 服 務, 時 數 不 限 ( 參 考 香 港 義 務 工 作 發 展 局 之 定 義 ) 註 二 核 心 義 工 : 由 於 建 立 社 會 資 本 所 重 視 的 是 網 絡 的

More information

教育實習問與答:

教育實習問與答: 問 與 答 集 一 總 則 Q1: 本 校 開 設 的 教 育 學 程 的 類 別 有 那 幾 種? A1: 本 校 開 設 的 教 育 學 程 有 中 等 學 校 師 資 類 科 教 育 學 程 ( 取 得 國 中 高 中 高 職 等 教 師 資 格 ) 國 民 小 學 師 資 類 科 教 育 學 程 取 得 國 小 教 師 資 格 ) 二 修 習 對 象 與 資 格 Q1: 在 何 種 條 件

More information

度 ph 度 降 量 量 phph 糖 ph 度 更 3 說 酪 不 不 什 參 度 識 不 度 1

度 ph 度 降 量 量 phph 糖 ph 度 更 3 說 酪 不 不 什 參 度 識 不 度 1 中 華 民 國 第 52 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 生 物 科 080318 沒 齒 難 忘 的 乳 香 ~ 乳 飲 品 對 牙 齒 的 影 響 學 校 名 稱 : 臺 北 市 大 安 區 私 立 復 興 國 民 小 學 作 者 : 指 導 老 師 : 小 四 甘 杰 生 小 四 陳 宗 駿 林 淑 慧 陳 顥 仁 小 四 黃 暐 哲 小 四 沈 平 關 鍵

More information

Microsoft Word - ATTCH4.docx

Microsoft Word - ATTCH4.docx 高 級 中 等 學 校 多 元 入 學 招 生 辦 法 部 分 條 文 修 正 草 案 總 說 明 現 行 高 級 中 等 學 校 多 元 入 學 招 生 辦 法 ( 以 下 簡 稱 本 辦 法 ) 係 於 一 百 零 二 年 八 月 二 十 三 日 訂 定 發 布, 教 育 部 於 一 百 零 三 學 年 度 實 施 十 二 年 國 民 基 本 教 育, 為 使 十 二 年 國 民 基 本 教 育

More information

???T????????

???T???????? 資 訊 王 資 料 可 於 相 關 網 站 查 詢 對 應 表 系 統 選 項 資 料 選 項 對 應 相 關 網 址 上 櫃 公 司 現 金 增 資 資 料 現 金 增 資 與 股 上 市 股 票 公 開 申 購 資 訊 票 申 購 上 櫃 股 票 公 開 申 購 資 訊 http://www.twse.com.tw/ch/announcement/public.php 合 併 / 個 別 財 務

More information

課 程 簡 介 第 一 章 基 本 電 路 理 論 第 二 章 半 導 體 物 理 與 pn 接 面 二 極 體 元 件 分 析 第 三 章 二 極 體 電 路 分 析

課 程 簡 介 第 一 章 基 本 電 路 理 論 第 二 章 半 導 體 物 理 與 pn 接 面 二 極 體 元 件 分 析 第 三 章 二 極 體 電 路 分 析 電 子 學 ( 一 ) 課 程 簡 介 第 一 章 基 本 電 路 理 論 第 二 章 半 導 體 物 理 與 pn 接 面 二 極 體 元 件 分 析 第 三 章 二 極 體 電 路 分 析 第 四 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 第 五 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 之 直 流 偏 壓 分 析 第 六 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 之 交 流 小 訊 號 分 析 基 本 電 路

More information

臺灣省教師申訴評議委員會再申訴評議書(草案)

臺灣省教師申訴評議委員會再申訴評議書(草案) 臺 灣 省 教 師 申 訴 評 議 委 員 會 再 申 訴 評 議 書 案 號 :95051 號 再 申 訴 人 : 出 生 年 月 日 : 民 國 年 月 日 身 分 證 字 號 : 服 務 單 位 及 職 稱 : 高 級 中 學 教 師 住 居 所 : 出 生 年 月 日 : 民 國 年 月 日 身 分 證 字 號 : 服 務 單 位 及 職 稱 : 高 級 中 學 教 師 住 居 所 : 出

More information

桃園市104年國民中學新進教師甄選各校複試方式及需求表

桃園市104年國民中學新進教師甄選各校複試方式及需求表 桃 園 市 105 年 國 民 中 學 新 進 教 師 甄 選 各 校 複 試 方 式 及 需 求 表 編 號 校 名 教 評 會 審 查 方 式 及 學 校 需 求 備 註 1 2 桃 園 青 溪 ( 一 ) 口 試 80% 是 否 符 合 學 校 需 求 度 20% 具 數 學 專 長 者 為 佳 ( 一 ) 口 試 70% 是 否 符 合 學 校 需 求 度 30 % 需 擔 任 資 源 班

More information

揭開IQ180的神秘面紗

揭開IQ180的神秘面紗 中 華 民 國 第 四 十 七 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 類 別 : 數 學 類 科 別 : 數 學 科 組 別 : 國 小 組 作 品 名 稱 : 揭 開 IQ180 的 神 秘 面 紗 關 鍵 詞 : 智 力 測 驗 IQ180 編 號 : 1 壹 摘 要 本 研 究 主 要 探 討 如 何 破 解 智 力 測 驗 定 義 解 題 技 巧, 並 嘗 試 發 展 智

More information

(Microsoft Word - MOODLE990201\266i\266\245\244\342\245U1000804)

(Microsoft Word - MOODLE990201\266i\266\245\244\342\245U1000804) (2011.08.04 修 訂 ) 目 錄 壹 舊 課 程 複 製 到 新 課 程 的 方 法... 1 一 將 舊 課 程 的 課 程 文 件 匯 入 新 課 程... 1 二 編 輯 新 課 程... 5 三 備 份 舊 課 程 資 料 還 原 至 新 課 程... 6 貳 元 課 程 (META COURSE) 說 明 與 應 用... 12 一 元 課 程 說 明... 12 二 利 用 元

More information

Microsoft Word - 15

Microsoft Word - 15 行 政 院 農 業 委 員 會 令 中 華 民 國 100 年 12 月 22 日 農 企 字 第 1000010430 號 修 正 產 銷 履 歷 驗 證 機 構 認 證 作 業 要 點, 並 自 即 日 生 效 附 修 正 產 銷 履 歷 驗 證 機 構 認 證 作 業 要 點 主 任 委 員 陳 武 雄 產 銷 履 歷 驗 證 機 構 認 證 作 業 要 點 修 正 規 定 一 行 政 院 農

More information

ART_RAE16_ticket_cn_p.1

ART_RAE16_ticket_cn_p.1 1. 2. 3. 4. 基 础 部 分 - 色 彩 TM TM Premier B2C Sales to China 2014 TM OCR www.divcom.com.hk/ocrc 現 在 開 始 計 劃 訪 問 亞 洲 零 售 博 覽 的 行 程! 交 通 配 套 乘 車 路 線 : 由 機 場 乘 坐 公 共 汽 車 : A11 或 E11 到 灣 仔 (~80 分 鐘 ) 地 鐵 :

More information

《數學奠基活動模組示例》

《數學奠基活動模組示例》 02 學 年 就 是 要 學 好 數 學 (JUST DO MATH) - 子 計 畫 一 : 數 學 活 動 營 數 學 奠 基 活 動 模 組 示 例 : 分 數 假 帶 互 換 _ 國 小 三 四 年 級 桌 遊 活 動 名 稱 : 分 數 心 臟 病 編 號 : ( 由 主 辦 單 位 填 寫 ) 設 計 者 : 新 竹 縣 蔡 寶 桂 老 師 壹 活 動 器 材 : 一 分 數 撲 克 牌,

More information

奇 妙 的 24 摘 要 從 撲 克 牌 中 隨 機 抽 取 4 張 牌 可 以 有 1820 種 牌 組, 在 這 1820 種 牌 組 中, 有 1362 組 可 經 由 四 則 運 算 的 方 式, 算 出 24 點, 有 458 組 無 解 快 速 求 解 的 方 法 有 相 加 法 因 數

奇 妙 的 24 摘 要 從 撲 克 牌 中 隨 機 抽 取 4 張 牌 可 以 有 1820 種 牌 組, 在 這 1820 種 牌 組 中, 有 1362 組 可 經 由 四 則 運 算 的 方 式, 算 出 24 點, 有 458 組 無 解 快 速 求 解 的 方 法 有 相 加 法 因 數 金 門 地 區 第 55 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 科 別 : 數 學 組 組 別 : 國 小 組 作 品 名 稱 : 奇 妙 的 24 關 鍵 詞 :24 點 四 則 運 算 ( 最 多 3 個 ) 編 號 :( 由 主 辦 單 位 填 寫 ) 奇 妙 的 24 摘 要 從 撲 克 牌 中 隨 機 抽 取 4 張 牌 可 以 有 1820 種 牌 組, 在 這 1820

More information

Microsoft Word - 論文v27.doc

Microsoft Word - 論文v27.doc 第 二 章 相 關 研 究 2.1 運 動 計 畫 演 算 法 運 動 計 畫 演 算 法 是 要 替 環 境 中 的 物 體, 找 出 一 條 從 指 定 的 起 始 狀 態 到 目 標 狀 態 的 運 動 過 程 這 項 研 究 一 開 始 是 起 源 於 機 器 人 學 (Robotics), 主 要 的 目 的 是 要 讓 機 器 人 可 以 不 受 到 環 境 中 障 礙 物 的 阻 擾,

More information

Microsoft PowerPoint - 104年說明會簡報-final-0923.ppt [相容模式]

Microsoft PowerPoint - 104年說明會簡報-final-0923.ppt [相容模式] 主 任 導 師 一 年 級 導 師 系 學 會 導 師 二 年 級 導 師 教 育 專 業 課 26 學 分 教 師 資 格 檢 定 考 試 ( 每 年 3 月 ) 中 等 學 校 教 師 證 書 學 習 護 照 ( 實 地 實 習 研 習 服 務 時 數 心 霊 美 學 與 藝 術 人 文 活 動 ) 修 畢 師 資 職 前 教 育 證 明 書 教 師 甄 試 專 門 課 程 ( 任 教 類

More information

目 錄 壹 題 目 1: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 玉 井 芒 果 乾 禮 盒 )... 3 貳 題 目 2: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 紅 磚 布 丁 精 選 禮 盒 )... 5 參 題 目 3: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 晶 鑽 XO 醬 禮 盒 ).

目 錄 壹 題 目 1: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 玉 井 芒 果 乾 禮 盒 )... 3 貳 題 目 2: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 紅 磚 布 丁 精 選 禮 盒 )... 5 參 題 目 3: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 晶 鑽 XO 醬 禮 盒 ). 行 動 電 子 商 務 管 理 師 行 動 電 子 商 務 規 劃 師 術 科 考 試 題 解 製 作 單 位 :TMCA 台 灣 行 動 商 務 運 籌 管 理 協 會 證 照 評 測 試 務 中 心 1 目 錄 壹 題 目 1: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 玉 井 芒 果 乾 禮 盒 )... 3 貳 題 目 2: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 紅 磚 布 丁 精 選 禮

More information

(Microsoft Word - 3-3 \245\277\244\361\273P\244\317\244\361.doc)

(Microsoft Word - 3-3 \245\277\244\361\273P\244\317\244\361.doc) 觀 念 篇 關 係 式 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 題 練 習 1. 時 速 60 (km/h) 前 進, 求 距 離 y ( 公 里 ) 與 時 間 x ( 小 時 ) 的 關 係 式 關 係 式 就 是 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 如 :y=60x 2. 媽 媽 的 年 齡 (x 歲 ) 比 女 兒

More information

101年度社會福利方案 網路線上操作手冊

101年度社會福利方案     網路線上操作手冊 104 年 度 社 會 福 利 服 務 方 案 網 路 申 請 線 上 操 作 手 冊 中 華 社 會 福 利 聯 合 勸 募 協 會 103 年 8 月 編 製 中 華 社 會 福 利 聯 合 勸 募 協 會 方 案 線 上 申 請 操 作 1 2 4 0-12 104 年 度 社 會 福 利 服 務 方 案 網 路 申 請 線 上 操 作 手 冊 一 方 案 線 上 申 請 流 程 方 案 線

More information

Microsoft Word - 17300網頁設計.doc

Microsoft Word - 17300網頁設計.doc 技 能 檢 定 規 範 之 一 七 三 網 頁 設 計 行 政 院 職 業 訓 練 局 編 印 勞 工 委 員 會 中 華 民 國 九 十 年 六 月 網 頁 設 計 技 術 士 技 能 檢 定 規 範 目 錄 一 網 頁 設 計 技 術 士 技 能 檢 定 規 範 說 明... 1 二 丙 級 網 頁 設 計 技 術 士 技 能 檢 定 規 範... 2 三 乙 級 網 頁 設 計 技 術 士 技

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D20B2C433B3B92020B971B8F4A4C0AA52A7DEA5A9>

<4D6963726F736F667420576F7264202D20B2C433B3B92020B971B8F4A4C0AA52A7DEA5A9> 研 習 完 本 章, 將 學 會 1. 節 點 電 壓 法 --------------------------------------------01 2. 節 點 電 壓 法 之 特 例 -----------------------------------------08 3. 網 目 分 析 法 --------------------------------------------15 4.

More information

untitled

untitled 第 二 章 : 至 今 的 進 展 高 水 平 的 系 統 可 使 用 性.. 建 立 高 水 平 的 系 統 可 使 用 性, 以 確 保 系 統 有 能 力 支 援 醫 療 服 務 需 每 星 期 七 天 每 天 24 小 時 運 作 的 需 要 2.13 我 們 會 為 電 子 健 康 記 錄 互 通 資 料 建 立 中 央 資 料 儲 存 庫, 所 有 由 參 與 計 劃 的 醫 療 服 務

More information

配 對 奇 跡 / 機 -SET 遊 戲 的 探 討 與 變 型 摘 要 以 探 討 SET 遊 戲 紙 牌 配 對 的 所 有 組 合 情 形 為 研 究 起 點, 分 析 歸 納 而 窮 盡 出 15 種 配 對 類 型 針 對 如 何 不 剩 牌 的 目 標, 進 行 猜 想 並 驗 證 在

配 對 奇 跡 / 機 -SET 遊 戲 的 探 討 與 變 型 摘 要 以 探 討 SET 遊 戲 紙 牌 配 對 的 所 有 組 合 情 形 為 研 究 起 點, 分 析 歸 納 而 窮 盡 出 15 種 配 對 類 型 針 對 如 何 不 剩 牌 的 目 標, 進 行 猜 想 並 驗 證 在 中 華 民 國 第 52 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 第 三 名 080415 配 對 奇 跡 / 機 -SET 遊 戲 的 探 討 與 變 型 學 校 名 稱 : 臺 北 市 松 山 區 民 權 國 民 小 學 作 者 : 指 導 老 師 : 小 六 張 哲 睿 小 六 簡 暉 倫 連 婉 婷 顏 稚 仁 小 六 吳 家 頡 小 六 陳 文 悅

More information

Microsoft Word - EXCEL操作說明doc.doc

Microsoft Word - EXCEL操作說明doc.doc Excel 操 作 說 明 1 EXCEL 操 作 說 明 關 於 Excel 的 操 作, 雖 然 本 書 已 經 在 各 相 關 章 節 做 了 介 紹, 不 過 根 據 作 者 的 經 驗, 仍 然 有 些 同 學 對 於 Excel 的 操 作 程 序 還 是 有 些 困 惑, 特 別 是 方 程 式 的 運 算, 以 及 資 料 的 編 輯 方 面 針 對 以 上 的 問 題, 我 們 特

More information

1

1 地 獄 少 女 地 獄 少 女 ( 藤 商 事 ) 八 通 屋 育 樂 事 業 有 限 公 司 07-3733316 www.8tw.com.tw 此 攻 略 本 是 引 至 日 本 遊 戲 攻 略 說 明, 內 容 僅 供 參 考, 一 切 演 出 以 官 方 為 主, 若 有 任 何 錯 誤 或 問 題 敬 請 告 知, 我 們 會 盡 快 改 善, 謝 謝 本 書 圖 片 取 材 自 網 路

More information

投影片 1

投影片 1 文 件 的 格 式 化 本 章 重 點 文 字 的 格 式 設 定 段 落 格 式 的 處 理 使 用 定 位 點 讓 文 章 整 齊 排 列 美 化 條 列 項 目 為 文 字 及 段 落 加 上 框 線 與 網 底 複 製 文 字 與 段 落 的 格 式 設 定 文 字 的 方 向 與 亞 洲 方 式 配 置 將 段 落 首 字 放 大 調 整 英 文 字 的 大 小 寫 與 全 半 形 2 設

More information

二零零六至零七年施政報告

二零零六至零七年施政報告 1 3 4 13 14 34 17 19 20 24 2 5 26 27 28 29 3 0 31 32 3 3 3 4 35 50 36 42 43 45 46 48 49 50 51 66 52 57 58 60 61 65 6 6 67 76 1. 2. 3. 1 4. 5. 6. CEPA 7. 8. 9. 2 10. 11. 12. 13. 3 14. 15. 16. 17. 4 18.

More information

文 ( 一 ) 閱 讀 理 解 英 語 數 學 社 會 自 然 及 國 文 ( 二 ) 語 文 表 達 等 各 科 此 外 嘉 義 區 則 另 外 單 獨 辦 理 測 驗 五 專 亦 有 辦 理 特 色 招 生 考 試 分 發 入 學, 與 高 中 高 職 分 開 辦 理, 但 成 績 同 樣 採

文 ( 一 ) 閱 讀 理 解 英 語 數 學 社 會 自 然 及 國 文 ( 二 ) 語 文 表 達 等 各 科 此 外 嘉 義 區 則 另 外 單 獨 辦 理 測 驗 五 專 亦 有 辦 理 特 色 招 生 考 試 分 發 入 學, 與 高 中 高 職 分 開 辦 理, 但 成 績 同 樣 採 想 報 考 103 年 五 專 特 色 招 生 考 試 分 發 入 學 103.2.20 1. 文 藻 外 語 大 學 ( 雙 外 語 跨 領 域 國 際 專 業 人 才 菁 英 班 ) 2. 國 立 臺 中 科 技 大 學 ( 資 訊 應 用 菁 英 班 創 意 商 品 設 計 菁 英 班 ) 3. 國 立 臺 北 商 業 技 術 學 院 ( 企 業 管 理 菁 英 班 國 際 貿 易 科 企 業

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D20AA69AD59ABC2A4BDA571B6C5B56FA6E6A4CEB56FA6E6A4CEC2E0B4ABBFECAA6B31303230363238>

<4D6963726F736F667420576F7264202D20AA69AD59ABC2A4BDA571B6C5B56FA6E6A4CEB56FA6E6A4CEC2E0B4ABBFECAA6B31303230363238> 波 若 威 科 技 股 份 有 限 公 司 國 內 第 一 次 無 擔 保 轉 換 公 司 債 發 行 及 轉 換 辦 法 一 債 券 名 稱 波 若 威 科 技 股 份 有 限 公 司 ( 以 下 簡 稱 本 公 司 ) 國 內 第 一 次 無 擔 保 轉 換 公 司 債 ( 以 下 簡 稱 本 轉 換 公 司 債 ) 二 發 行 日 期 民 國 102 年 7 月 8 日 ( 以 下 簡 稱 發

More information

Microsoft Word - 銓敘部退一字第10338497241號函

Microsoft Word - 銓敘部退一字第10338497241號函 公 教 人 員 保 險 法 第 16 條 第 2 項 第 1 款 但 書 所 定 優 惠 存 款 範 圍 一 覽 表 公 教 人 員 保 險 法 第 17 條 第 4 項 第 1 款 第 2 款 所 定 離 退 給 與 範 圍 一 覽 表 公 教 人 員 保 險 法 第 17 條 第 4 項 第 3 款 所 定 優 惠 存 款 範 圍 一 覽 表 及 公 教 人 員 保 險 被 保 險 人 一 次

More information

(3) 澳 門 特 別 行 政 區 之 稅 務 知 識 及 (4) 商 法 典 ( 二 ) 重 新 批 准 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會 計 員 之 筆 試 科 目 如 下 : (1) 澳 門 特 別 行 政 區 之 稅 務 知 識 及 (2) 商 法 典 ( 三 ) 考 試 範

(3) 澳 門 特 別 行 政 區 之 稅 務 知 識 及 (4) 商 法 典 ( 二 ) 重 新 批 准 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會 計 員 之 筆 試 科 目 如 下 : (1) 澳 門 特 別 行 政 區 之 稅 務 知 識 及 (2) 商 法 典 ( 三 ) 考 試 範 核 數 師 暨 會 計 師 註 冊 委 員 會 首 次 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會 計 員 及 重 新 批 准 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會 計 員 之 考 試 規 章 根 據 十 一 月 一 日 第 72/99/M 號 法 令 核 准 之 會 計 師 通 則 第 四 條 第 三 款 之 規 定, 申 請 首 次 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會

More information

e-Submission System Quick Reference Guide for Publication Related Matters (Chinese version)

e-Submission System Quick Reference Guide for Publication Related Matters (Chinese version) 有 關 登 載 事 宜 的 電 子 呈 交 系 統 簡 易 參 考 指 南 2016 年 5 月 1.4 版 本 第 1 頁 目 錄 1 登 入 前 要 準 備 的 資 料... 4 2 登 入 電 子 呈 交 系 統... 5 2.1 輸 入 使 用 者 編 號 及 密 碼... 5 2.2 接 受 免 責 聲 明 的 版 頁... 5 2.3 從 主 項 目 單 中 選 擇... 5 3 一 次

More information

時間問題

時間問題 解 難 之 趣 屯 門 區 小 學 數 學 比 賽 特 刊 第 十 六 屆 二 零 零 六 年 四 月 二 十 二 日 時 間 問 題 驟 眼 看 去, 時 間 問 題 很 容 易, 要 中 學 生 去 解 決 連 小 學 生 都 可 以 輕 易 解 決 的 戇 居 題 目, 簡 直 有 點 侮 辱 智 慧 不 過, 同 學 或 許 都 會 見 識 過 以 下 例 子 : 例 一 : 一 口 井 0

More information

作 品 名 稱 : 永 遠 都 是 一 條 龍 摘 要 本 文 的 研 究 是 根 據 特 定 規 則 下, 如 何 將 撲 克 牌 翻 出 一 條 龍? 的 問 題, 進 行 不 同 方 法 的 研 究, 以 不 同 解 題 方 式 觀 察 問 題 解 決 問 題 壹 研 究 動 機 每 隔 一

作 品 名 稱 : 永 遠 都 是 一 條 龍 摘 要 本 文 的 研 究 是 根 據 特 定 規 則 下, 如 何 將 撲 克 牌 翻 出 一 條 龍? 的 問 題, 進 行 不 同 方 法 的 研 究, 以 不 同 解 題 方 式 觀 察 問 題 解 決 問 題 壹 研 究 動 機 每 隔 一 臺 南 市 第 五 十 二 屆 公 私 立 國 民 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 組 別 : 國 中 組 國 小 組 科 別 : 物 理 化 學 生 物 地 球 科 學 數 學 生 活 與 應 用 科 學 附 件 五 : 說 明 書 封 面 作 品 名 稱 : 永 遠 都 是 一 條 龍 關 鍵 詞 : 撲 克 牌 排 列 編 號 : 製 作 說 明 :. 說 明 書 封 面

More information