2012年考研高端辅导中心数学阶段测试试题

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1 考研数学真题及答案解析 数学 ( 二 ) 一 选择题 ( 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 5 分 每小题给出的四个选项中, 只 有一个选项是符合题目要求, 把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上 ) () 当 时, 7 ( e ) d 时 的 (A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小 答案 C 7 解析 因为当 时, ( e ) d ( e ), 所以 确答案为 C e () 函数 f ( )=,,, 在 处 (A) 连续且取极大值 (B) 连续且取极小值 (C) 可导且导数为 (D) 可导且导数不为 答案 D e 解析 因为 lim f ( )= lim f (), 故 f ( ) 在 处连续 ; e f ( ) f () 因为 lim = lim e lim, 故 f (), 正确答案为 D 7 ( e ) d 是 高阶无穷小, 正 () 有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 cm/s, cm/s, 当底面半径为 cm, 高为 5 cm 时, 圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 (A)5 cm / s, cm / s (B) 5 cm / s, cm / s (C) cm / s, cm / s (D) cm / s, cm / s 答案 C dr dh 解析 由题意知,,, 又 V r h, S rh r d d 则 dv rh dr r dh, ds h dr r dh r dr d d d d d d d dv ds 当 r, h 5 时,,, 选 C d d b () 设函数 f ( ) a bln ( a ) 有两个零点, 则的取值范围是 a (A) ( e, ) (B) (, e ) (C) (, ) e (D) (, ) e

2 答案 A b 解析 令 f ( ) a bln, f ( ) a, 令 f ( ) 有驻点 b 从而 ln a, b 可得 e a, 正确答案为 A (5) 设函数 f ( ) sec 在 处的 次泰勒多项式为 a b, 则 (A) a, b (B) a, b (C) a, b (D) a, b b b b b, f a b ln, a a a a 答案 D f () 解析 由 f ( ) f () f () o( ) 知当 f ( ) sec 时, f () sec, f () (sec an ), f () (sec an sec ), 则 f ( ) sec o( ) 故选 D f, 可微, 且 f (, e ) ( ), f (, ) ln, 则 df (,) () 设函数 (A) d d (B) d d (C) d (D) d 答案 C 解析 f (, e ) e f (, e ) ( ) ( ) f (, ) f (, ) ln 将, 分别带入 式有 f (,) f (,), f (,) f (,) 联立可得 f (,), f (,), df (,) f (,) d f (,) d d, 故正确答案为 C (7) 设函数 f 在区间, 上连续, 则 f d (A) lim n k f n k n n (B) (C) n k lim f n k n n (D) n k lim f n k n n lim n k f k n n 答案 B 解析 由定积分的定义知, 将 [,] 分成 n 份, 取中间点的函数值, 则 n k f ( ) d lim f, n k n n 即选 B (8) 二次型 f (,, ) ( ) ( ) ( ) 的正惯性指数与负惯性指数依次为 (A), (B), (C), (D), 答案 B 解析 f (,, ) ( ) ( ) ( )

3 所以 A, 故特征多项式为 E A ( )( ) 令上式等于零, 故特征值为,,, 故该二次型的正惯性指数为, 负惯性指数为 故应选 B (9) 设 阶矩阵 A,,, B,, 性表出, 则 (A) A 的解均为 B 的解 (B) A 的解均为 B 的解 (C) B 的解均为 A 的解 (D) B 的解均为 A 的解, 若向量组,, 可以由向量组, 线 答案 D 解析 令 A ( a, a, a), B (,, ), 由题 a, a, a 可由,, 线性表示, 即存在矩阵 P, 使得 BP A, 则当 B 时, A ( BP) p B 恒成立, 即选 D () 已知矩阵 A 若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵 Q, 使 PAQ 为对角 5 矩阵, 则 P, Q 可以分别取 (A), (B), (C), (D), 答案 C 解析 ( A,E) 5 ( F, P ), 则 P ;

4 F Λ E Q, 则 Q 故应选 C 上 ) 二 填空题 ( 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 分 请将答案写在答题纸指定位置 () d 答案 ln 解析 d d d( ) ln ln e d () 设函数 ( ) 由参数方程 确定, 则 ( ) e d 答案 d e d (e e )(e ) (e )e 解析 由, 得 d e d (e ) d 将 带入得 d z () 设函数 z z(, ) 由方程 ( ) z ln z arcan( ) 确定, 则 答案 z z 解析 方程两边对 求导得 z ( ), z z 将, 带入原方程得 z, 再将,, z 带入得 () 已知函数 f ( ) d sin d, 则 f cos cosu 答案 cos du u 解析 交换积分次序有 f ( ) d sin d, 从而 (,) f ( ) d sin d cos cos d cos d cos d cosu du cos d u,

5 cosu cos cos f ( ) du cos u cos cosu f cos du u, 故 (5) 微分方程 的通解 答案 Ce e C cos C sin, C, C, C R 解析 由特征方程 得,, i, 故方程通解为 Ce e C cos C sin, C, C, C R () 多项式 f ( ) 中 项的系数为 答案 -5 解析 f ( ) 所以展开式中含 项的有,, 即 项的系数为 -5 三 解答题 ( 本题共 小题, 共 7 分 请将解答写在答题纸指定位置上, 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 ) (7)( 本题满分 分 ) e d 求极限 lim e sin 答案 e d sin e d 解析 lim lim sin e ( e ) sin 又因为 e d ( o ( )) d ( ) o, 故 ( o( ))( o( )) o( ) 原式 = lim!! 5

6 ( ) = lim o (8)( 本题满分 分 ) 已知 f ( ), 求 f ( ) 的凹凸性及渐近线 答案 凹区间 (, ),, 凸区间 (,) 斜渐近线是,,, 解析 因为 f ( ), 故, f ( ),, f ( ), f ( ), 所以, f ( ) (, ) (,), f ( ) f ( ) 凹 拐点 凸 拐点 凹 凹区间 (, ),,, 凸区间 (,) lim, 是垂直渐近线 lim, lim ( ) ( ) ( ) lim, lim ( ) 斜渐近线是, ( ) ( ) (9)( 本题满分 分 ) ( ) f ( ) 满足 f d C, L 为曲线 f ( )( 9), L 的弧长为 s, L 绕 轴 旋转一周所形成的曲面的面积为 A, 求 s 和 A 答案 5 9 解析 ( ) f, f ( ), 9 9 曲线的弧长 s d d 9 9 曲面的侧面积 A d ( ) d 5 9 ()( 本题满分 分 ) 函数 ( ) 的微分方程, 满足 ( ), () 求 ( ) ; () P 为曲线 ( ) 上的一点, 曲线 ( ) 在点 P 的法线在 轴上的截距为 I, 为使 I 最,

7 小, 求 P 的坐标 答案 () () P, 时, I 有最小值 解析 () ', d d e ( ) e d C C C 将 代入, C, Y 5 X, () 设, P, 则过 P 点的切线方程为, 5 法线方程为 Y X 令 X, Y I, 偶函数, 为此仅考虑, I 令 ' 5, 5,, ' I, I I ;, P, 时, I 有最小值 ()( 本题满分 分 ), ' 曲线 ( ) (, ) 与 轴围成的区域为 D, 求 I, I I D dd 答案 8 解析 cos dd d r sin cosdr D cos sin cos 8 d cos d cos cos 8 ()( 本小题满分 分 ) 设矩阵 A= 仅有两个不同的特征值 若 A 相似于对角矩阵, 求 a, b 的值, 并求可 a b 逆矩阵 P, 使 P AP 为对角矩阵 解析 由 E A ( b)( )( ) a b 当 b 时, 由 A 相似对角化可知, 二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量, 则 7

8 ( E A) 知, a, a 此时, 所对应特征向量为,, 所对应的特征向量为, 则 P AP 当 b 时, 由 A 相似对角化可知, 二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量, 则 ( E A), 知 a, a 此时, 所对应特征向量为,, 所对应的特征向量为, 则 P AP 8