Microsoft Word - 數學科展(統整)2-1

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1 嘉 義 市 第 30 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 科 組 別 : 數 學 科 別 : 國 小 組 作 品 名 稱 : 我 愛 鑽 牛 角 ~ 棋 關 鍵 詞 : 牛 角 棋 編 號 :

2 作 品 名 稱 : 我 愛 鑽 牛 角 ~ 棋 摘 要 : 許 多 棋 藝 遊 戲 都 是 以 多 數 棋 去 圍 剿 少 數 棋, 牛 角 棋 亦 是 其 中 的 一 種 我 們 一 下 棋 的 時 侯, 發 現 多 數 棋 ( 白 棋 ) 的 獲 勝 率 很 低, 所 以 我 們 想 研 究 出 一 些 方 法, 讓 白 棋 的 獲 勝 率 提 高 經 由 簡 化 問 題 的 研 究 方 式, 我 們 發 明 了 記 錄 棋 徑 的 方 式, 也 找 到 了 白 棋 獲 勝 的 方 式 壹 研 究 動 機 我 參 加 棋 藝 社 時, 發 現 不 管 是 獵 狼 棋 埃 及 棋 斗 獅 棋 將 軍 棋 牛 角 棋 要 塞 棋 等 棋 弈, 都 有 一 些 共 通 點, 多 數 棋 要 圍 剿 少 數 棋, 許 多 規 則 看 似 公 平, 如 : 多 數 棋 只 可 前 進 不 可 後 退, 少 數 棋 活 動 方 向 較 靈 活, 以 保 護 少 數 棋, 看 來 少 數 棋 要 獲 勝 的 機 會 似 乎 不 大, 其 實 仔 細 玩 後, 發 現 雖 然 團 結 力 量 大, 但 如 何 策 畫 團 結 的 行 進 路 線, 是 具 有 挑 戰 性 的, 多 數 棋 ( 白 棋 ) 的 獲 勝 率 反 而 較 低 因 此, 想 先 以 牛 角 棋 為 例, 探 討 圍 剿 棋 的 規 則, 是 否 會 影 響 雙 方 的 輸 贏 及 獲 勝 率, 並 找 到 多 數 棋 ( 白 棋 ) 獲 勝 的 方 法 貳 研 究 目 的 1. 從 實 際 下 棋 中, 找 出 兩 層 牛 角 棋 的 所 有 路 徑, 並 算 出 黑 白 棋 的 獲 勝 率 2. 從 實 際 下 棋 中, 找 出 三 層 牛 角 棋 的 所 有 路 徑, 並 算 出 黑 白 棋 的 獲 勝 率 3. 從 兩 層 及 三 層 牛 角 棋 的 路 徑 中, 推 估 原 始 牛 角 棋 棋 盤 中 黑 白 棋 的 獲 勝 率 4. 找 出 可 以 使 獲 勝 機 率 小 的 棋 子, 增 加 其 獲 勝 率 的 方 式 或 規 則 參 研 究 設 備 及 器 材 黑 棋 一 顆 白 棋 兩 顆 牛 角 棋 的 棋 譜 一 張 ( 如 圖 一 ) 肆 鑽 牛 角 棋 的 玩 法 與 規 則 : 1. 白 棋 兩 枚, 黑 棋 一 枚, 雙 方 輪 流 下 棋 2. 黑 棋 先 下, 可 沿 線 走 一 步, 方 向 不 限 ; 白 棋 後 下, 只 准 進 不 准 退, 但 可 平 行 走 3. 白 棋 若 能 將 黑 棋 退 至 上 方 尖 角, 使 其 無 法 動 彈, 就 為 白 棋 獲 勝 4. 若 是 黑 棋 突 破 白 旗 防 線 而 走 到 底 線, 則 黑 棋 獲 勝 5. 若 雙 方 無 法 達 到 目 的 則 為 和 圖 一 伍 研 究 過 程 : 簡 化 牛 角 棋, 試 圖 找 出 雙 方 的 獲 勝 規 則 與 機 率 一 簡 化 過 程 第 一 步, 兩 層 牛 角 棋 ( 一 ) 黑 棋 先 走 : 1. O C C B ( 黑 勝 ) 2. O D D O ( 白 勝 ) 1 圖 二

3 3. O D D B ( 黑 勝 ) B C ( 二 ) 白 棋 先 走 : 1. B A ( 黑 勝 ) O D D B 2. A B ( 黑 勝 ) O C C A 3. B C A B O D D O ( 白 勝 ) 發 現 : (1) 黑 棋 獲 勝 機 率 較 大, 占 2 ( 約 66.67%) 3 1 (2) 白 旗 獲 勝 機 率 較 小, 占 ( 約 33.33%) 3 (3) 黑 棋 白 棋 雙 方 不 論 誰 先 走, 都 不 會 提 高 或 改 變 雙 方 的 獲 勝 機 率 (4) 增 加 白 棋 後 退 的 走 法, 只 會 增 加 和 的 機 會, 並 無 助 於 增 加 白 棋 的 獲 勝 率 (5) 當 黑 棋 先 走 時, 白 棋 只 要 離 開 B 的 位 置, 黑 棋 便 會 獲 勝 (6) 當 白 棋 先 走 時, 白 棋 必 須 移 動 B 到 C, 以 誘 捕 黑 棋 走 向 D, 才 有 獲 勝 的 機 會 (7) 發 現 白 棋 必 勝 的 圖 像 : 1 白 棋 如 圖 三 所 述, 圍 捕 黑 棋 至 B 的 位 置, 則 白 棋 獲 勝 2 白 棋 如 圖 四 所 述, 讓 出 B 的 位 置, 則 白 棋 獲 勝 圖 三 圖 四 二 簡 化 過 程 的 第 二 步, 三 層 牛 角 棋 1 路 徑 規 劃 : 經 過 孩 子 們 充 分 討 論 後, 我 們 發 現 三 層 牛 角 棋 ( 見 圖 五 ) 的 路 線 變 得 更 複 雜, 想 要 一 一 探 究 卻 不 知 從 何 下 手 但 是 從 兩 層 牛 角 棋 中 發 現 黑 棋 白 棋 雙 方 不 論 誰 先 走, 都 不 會 提 高 或 改 變 雙 方 的 獲 勝 機 率 因 此, 我 們 的 研 究 限 制 做 原 始 牛 角 棋 中 規 定 的 黑 棋 先 走 的 規 則, 捨 棄 做 改 變 規 則 白 棋 先 走 的 部 分 決 定 了 研 究 的 方 向 後, 我 們 初 步 將 黑 棋 先 走 時, 白 棋 互 動 後 此 四 步 做 路 徑 規 劃, 而 我 們 總 共 規 畫 出 54 條 路 徑, 並 把 路 徑 OE 簡 寫 成 OE, 陳 列 如 表 1 2 圖 五

4 表 1 三 層 牛 角 棋 的 路 徑 規 劃 路 徑 規 劃 黑 棋 白 棋 黑 棋 白 棋 可 走 的 路 徑 OE AC EF ED EO 1 CE 2 CD 3 BD 4 BA 5 CE 6 BA 7 CE 8 CD 9 BD 10 BA BC EF ED 11 CE 12 CD 13 AB 14 CE 15 AB EO 16 CE 17 CD 18 AB EF 19 DC 20 DE 21 AC 22 AB BD EC 23 AB 24 DE 25 DF OF AC EO FE FD 26 AC 27 AB 28 DC 29 DE 30 DF 31 CD 32 BD 33 BA 34 CE 35 BA FO 36 CE 37 BD 38 BA FE 39 CD 40 AB BC FD 41 AB 42 CE F0 43 CD 44 AB 45 CE BD FE FO 46 AC 47 AB 48 DF 49 DC 50 AC 51 AB 52 DC 53 DE 54 DF 2 資 料 統 計 : 我 們 依 據 54 條 路 徑 規 劃 的 路 線, 詳 實 記 錄 每 一 步 黑 棋 與 白 棋 所 走 的 路 線 ( 見 上 右 附 照 片 ), 整 理 出 黑 棋 先 走 的 OE 及 OF 二 個 部 分, 全 部 的 棋 共 有 577 條 路 徑, 再 從 這 577 3

5 條 路 徑 中, 分 別 統 計 出 黑 棋 與 白 棋 的 獲 勝 次 數, 及 其 獲 勝 機 率, 總 計 577 條 路 徑 裡, 黑 棋 獲 勝 次 數 495 次, 機 率 為 85.79%; 白 棋 獲 勝 次 數 82 次, 機 率 為 14.21%, 統 計 結 果 陳 列 如 表 2 表 2 黑 棋 白 棋 獲 勝 次 數 與 獲 勝 率 統 計 路 徑 黑 棋 白 棋 獲 勝 次 數 統 計 黑 棋 白 棋 獲 勝 機 率 統 計 黑 白 黑 白 黑 勝 白 勝 總 計 白 棋 獲 勝 率 黑 棋 獲 勝 率 OE AC EF 1 CE % 95.00% EF 2 CD % 92.59% EF 3 BD % 80.00% EF 4 BA % 92.59% ED 5 CE % 94.74% ED 6 BA % % EO 7 CE % 90.00% EO 8 CD % 85.19% EO 9 BD % 80.00% EO 10 BA % 89.66% BC EF 11 CE % 88.89% EF 12 CD % 90.00% EF 13 AB % 75.00% ED 14 CE % % ED 15 AB % 76.92% EO 16 CE % % EO 17 CD % 62.50% EO 18 AB % 66.67% BD EF 19 DC % 88.24% EF 20 DE % 89.66% EF 21 AC % 94.12% EF 22 AB % 88.89% EC 23 AB % % EC 24 DE % % EC 25 DF % % EO 26 AC % 50.00% EO 27 AB % 50.00% EO 28 DC % 76.19% EO 29 DE % 85.71% EO 30 DF % % OE 路 徑 總 計 % 87.56% 4

6 黑 白 黑 白 黑 勝 白 勝 總 計 白 棋 獲 勝 率 黑 棋 獲 勝 率 OF AC FE 31 CD % % FE 32 BD % 80.00% FE 33 BA % 50.00% FD 34 CE % % FD 35 BA % % FO 36 CE % 0.00% FO 37 BD % 66.67% FO 38 BA % 83.33% BC FE 39 CD % % FE 40 AB % % FD 41 AB % 40.00% FD 42 CE % % F0 43 CD % 90.00% F0 44 AB % 50.00% FO 45 CE % 80.00% BD FE 46 AC % 0.00% FE 47 AB % % FE 48 DF % % FE 49 DC % 33.33% FO 50 AC % 50.00% FO 51 AB % 66.67% FO 52 DC % 88.24% FO 53 DE % % FO 54 DF % % OF 路 徑 總 計 % 81.13% 三 層 牛 角 棋 總 計 % 85.79% 上 表 內 容 為 根 據 54 條 所 規 劃 之 路 徑 實 際 記 錄, 見 以 下 所 附 照 片 由 於 記 錄 內 容 繁 多, 不 克 一 一 展 示, 僅 例 舉 兩 張 較 具 代 表 性 的 記 錄 紙 以 茲 說 明 5

7 發 現 : (1) 在 三 層 牛 角 棋 中, 黑 棋 總 獲 勝 機 率 較 大, 占 85.79% (2) 在 三 層 牛 角 棋 中, 白 旗 總 獲 勝 機 率 較 小, 占 14.21% (3) 再 比 較 分 析 黑 棋 先 從 O 走 到 E 白 棋 的 致 勝 率 與 從 O 走 到 F 白 棋 的 致 勝 率, 發 現 OF 路 徑 白 棋 的 致 勝 率 為 18.87%,OE 路 徑 白 棋 的 致 勝 率 為 12.44% 因 此, 當 黑 棋 從 O 走 到 F 時, 白 棋 的 獲 勝 率 似 乎 比 較 高 (4) 在 路 線 中, 白 棋 的 獲 勝 率 接 近 100% (5) 在 路 線 中, 黑 棋 的 獲 勝 率 接 近 100% 3. 資 料 分 析 : 我 們 詳 實 記 錄 三 層 牛 角 棋 577 每 一 棋 子 所 走 的 路 線, 發 現 白 棋 獲 勝 率 更 低, 因 此, 我 們 試 圖 從 兩 層 牛 角 棋 中, 發 現 的 白 棋 必 勝 圖 ( 詳 見 圖 三 圖 四 ), 運 用 在 三 層 牛 角 棋 中, 並 將 之 命 名 為 易 勝 圖 像 1 及 易 勝 圖 像 2, 並 分 析 在 白 棋 獲 勝 的 82 中, 造 成 白 棋 獲 勝 的 關 鍵 因 素 (1) 建 立 白 棋 易 勝 圖 像 : 將 白 棋 獲 勝 的 原 因 進 行 分 類, 分 成 下 列 三 種 原 因 1 白 棋 如 右 易 勝 圖 像 1 所 述, 圍 捕 黑 棋 至 D( 兩 層 牛 角 棋 之 B 的 位 置 ): 此 時, 若 換 黑 棋 走 時,FO, 則 白 棋 獲 勝 反 之, 如 換 白 棋 走 時,DC, 則 白 棋 易 輸 2 白 棋 如 易 勝 圖 像 2 所 述, 讓 出 D( 兩 層 牛 角 棋 之 B 的 位 置 ): 此 時, 若 換 黑 棋 走 時,OF, 則 白 棋 獲 勝 反 之, 如 換 白 棋 走 時, 則 白 棋 易 輸, 說 明 如 下 : (a) EF( 白 ) OE( 黑 ) CD( 白 ) EC( 黑 ) 黑 勝 (b) CD( 白 ) OF( 黑 ) DC( 白 ) FD( 黑 ) 黑 勝 3 其 他 路 徑 : 不 屬 於 白 棋 易 勝 圖 像 1 及 易 勝 圖 像 2 的, 皆 列 為 第 三 種 易 勝 圖 像 1 易 勝 圖 像 2 接 著, 將 54 條 路 徑 中, 白 棋 獲 勝 的 路 徑 做 原 因 分 析, 陳 列 如 表 3 6

8 表 3 白 棋 獲 勝 原 因 的 分 析 路 徑 白 棋 獲 勝 原 因 的 分 析 黑 白 黑 白 黑 勝 白 勝 總 計 白 棋 易 勝 圖 像 OE AC EF 1 CE EF 2 CD EF 3 BD 第 三 種 EF 4 BA ED 5 CE 黑 棋 只 退 不 進 ED 6 BA 白 棋 必 輸 EO 7 CE EO 8 CD EO 9 BD EO 10 BA BC EF 11 CE EF 12 CD EF 13 AB ED 14 CE 白 棋 易 輸 ED 15 AB EO 16 CE 白 棋 易 輸 EO 17 CD EO 18 AB BD EF 19 DC EF 20 DE 黑 退 位 EF 21 AC EF 22 AB EC 23 AB 黑 棋 不 退 位 白 棋 必 輸 EC 24 DE 白 棋 易 輸 EC 25 DF 白 棋 易 輸 EO 26 AC EO 27 AB EO 28 DC 第 三 種 黑 退 位 EO 29 DE 黑 退 未 進 EO 30 DF 白 棋 易 輸 OF AC FE 31 CD 白 棋 易 輸 FE 32 BD FE 33 BA FD 34 CE 易 輸 FD 35 BA 白 棋 必 輸 7

9 FO 36 CE 白 棋 必 勝 FO 37 BD FO 38 BA BC FE 39 CD 白 棋 易 輸 FE 40 AB 白 棋 易 輸 FD 41 AB FD 42 CE 白 棋 必 輸 FO 43 CD FO 44 AB FO 45 CE BD FE 46 AC 白 棋 易 勝 FE 47 AB 白 棋 易 輸 FE 48 DF 白 棋 易 輸 FE 49 DC FO 50 AC FO 51 AB FO 52 DC FO 53 DE 白 棋 易 輸 FO 54 DF 白 棋 易 輸 總 計 我 們 檢 視 82 利 的 路 徑, 從 白 棋 的 勝 利 的 路 徑 分 析 出 勝 利 的 原 因, 發 現 易 勝 圖 像 1 易 勝 圖 像 2 有 時 會 同 時 出 現, 有 時 會 分 開 出 現, 於 是 將 出 現 次 數 進 行 次 數 統 計, 如 表 4 表 4 白 棋 獲 勝 原 因 次 數 統 計 白 棋 獲 勝 原 因 次 數 統 計 圖 像 1 圖 像 2 圖 像 1 圖 像 2 圖 像 1 圖 像 2 同 時 出 現 不 同 時 出 現 同 時 出 現 比 率 圖 像 1 換 黑 棋 走 =70.73 圖 像 2 換 黑 棋 走 % 其 他 2 0 總 計 從 白 棋 獲 勝 原 因 次 數 統 計 中, 發 現 只 要 攻 略 技 巧 適 宜, 會 出 現 新 的 易 勝 圖 像, 新 的 易 勝 圖 像 會 讓 早 之 前 所 發 現 的 易 勝 圖 像 1 及 易 勝 圖 像 2 同 時 出 現, 而 且 這 種 情 形 的 累 積 次 數 達 29 次, 而 圖 像 1 圖 像 2 同 時 出 現 比 率 達 70.73%( 詳 見 表 4) 因 此 我 們 試 圖 從 54 條 路 徑 規 劃 分 析 中, 找 尋 經 常 出 現 的 圖 像, 並 進 行 策 略 分 析 8

10 發 現 : (1) 從 規 劃 路 徑 46 與 32 中, 我 們 發 現 新 的 白 棋 易 勝 圖 像 3 仔 細 分 析 易 勝 圖 像 3, 我 們 發 現 : 換 黑 棋 走 時, 白 棋 必 勝, 黑 棋 必 輸 a E O( 黑 ) D E( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 2, 白 棋 必 勝 b ( 黑 ) C E( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 1, 白 棋 必 勝 換 白 棋 走 時, 黑 棋 必 勝, 白 棋 必 輸 c 因 為 白 棋 只 能 走 D F, 而 黑 棋 突 破 白 棋 封 鎖 線 E D, 很 快 能 到 達 底 線 B 或 A 易 勝 圖 像 3 (2) 從 三 層 牛 角 棋 的 規 劃 路 徑 3 與 21 中, 我 們 發 現 易 勝 圖 像 4 在 易 勝 圖 像 4 中, 我 們 發 現 : 換 黑 棋 走 時, 因 走 的 路 線 不 同 會 產 生 下 列 兩 種 情 況 a F O( 黑 ) D E( 白 ) 形 成 白 棋 易 勝 圖 像 2, 白 棋 必 勝 b F E( 黑 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 c 情 況, 白 棋 必 輸 c 換 白 棋 走 時, 因 C E 形 成 易 勝 圖 像 1, 則 白 棋 必 勝 易 勝 圖 像 4 (3) 從 三 層 牛 角 棋 的 規 劃 路 徑 27 8 與 51 中, 我 們 發 現 易 勝 圖 像 5 在 易 勝 圖 像 5 中, 我 們 發 現 : 換 黑 棋 走 時, 因 走 的 路 線 不 同 會 產 生 下 列 兩 種 情 況 a O E( 黑 ) B C( 白 ) 此 時 形 成 易 勝 圖 像 3 的 探 討 中 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 b O F( 黑 ) B C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 4 a b 的 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 易 勝 圖 像 5 換 白 棋 走 時, 因 走 的 路 線 不 同 會 產 生 下 列 兩 種 情 況 c D E( 白 )O F( 黑 ) ( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 1, 白 棋 必 勝 d B C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 8 的 a b 的 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 (4) 從 規 劃 路 徑 41 和 15 中, 我 們 發 現 易 勝 圖 像 6 在 易 勝 圖 像 6 中, 我 們 發 現 : 換 黑 棋 走 時, 因 走 的 路 線 不 同 會 產 生 下 列 三 種 情 況 a D E( 黑 ) ( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 b D F( 黑 ) ( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 4 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 c D F( 黑 )( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 7 的 循 環 易 勝 圖 像 6 換 白 棋 先 走 時, 黑 棋 必 贏, 白 棋 必 輸 d 因 為 白 棋 只 能 走 B A 或 C E, 而 黑 棋 突 破 白 棋 封 鎖 線, 白 棋 必 輸 9

11 (5) 從 規 劃 路 徑 22 與 2 中, 我 們 發 現 圖 形 7 在 易 勝 圖 像 7 中, 換 黑 棋 走 時, 因 走 的 路 線 不 同 會 產 生 下 列 八 種 情 況 a F O( 黑 ) B A( 白 )OE( 黑 )AC( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 b F O( 黑 ) B A( 白 )OF( 黑 ) AB( 白 ) 會 回 原 狀, 易 形 成 平 手 易 勝 圖 像 7 c F O( 黑 ) B A( 白 )OF( 黑 ) AC( 白 ) 會 形 成 易 勝 圖 像 4 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 d F O( 黑 ) D C( 白 )OE( 黑 ) BD( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 e F O( 黑 ) D C( 白 )OF( 黑 ) CD( 白 ) 會 回 原 狀, 易 形 成 平 手 f F O( 黑 ) D C( 白 )OF( 黑 )BD( 白 ) 會 形 成 易 勝 圖 像 4 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 g F O( 黑 ) D E( 白 )OF( 黑 )BD( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 1, 白 棋 必 勝 h F E( 黑 ) B C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 (6) 從 規 劃 路 徑 與 50 中, 我 們 發 現 易 勝 圖 像 8 在 易 勝 圖 像 8 中, 我 們 發 現 換 黑 棋 走 時, 因 走 的 路 線 不 同 會 產 生 下 列 兩 種 情 況 a O E( 黑 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 c 情 況, 白 棋 必 輸 b O F( 黑 ) C E( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 1, 白 棋 必 勝 c 換 白 棋 走 時, 白 棋 由 D 走 到 E 形 成 易 勝 圖 像 2, 白 棋 必 勝 易 勝 圖 像 8 (7) 從 規 劃 路 徑 13 中, 我 們 發 現 易 勝 圖 像 9 在 易 勝 圖 像 9 中, 我 們 發 現 : 換 黑 棋 走 時, 因 走 的 路 線 不 同 會 產 生 下 列 四 種 情 況 a F O( 黑 ) ( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 8 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 b F O( 黑 ) ( 白 ) 易 勝 圖 像 9 形 成 易 勝 圖 像 5 的 情 況, 白 棋 不 一 定 必 勝, 而 是 白 棋 容 易 獲 勝 c F E( 黑 ) ( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 d F D( 黑 ) 形 成 易 勝 圖 像 6 的 d 情 況, 白 棋 必 輸 e 換 白 棋 走 時, 白 棋 由 B 走 到 D 會 形 成 易 勝 圖 像 4 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 f 換 白 棋 走 時, 白 棋 由 C 走 到 D 會 形 成 易 勝 圖 像 7 的 循 環 10

12 (8) 從 規 劃 路 徑 7 與 36 中, 我 們 發 現 易 勝 圖 像 10 在 易 勝 圖 像 10 中, 我 們 發 現 : 換 黑 棋 走 時, a 因 O F( 黑 ) ( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 1, 白 棋 必 勝 換 白 棋 走 時, b B C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 2, 白 棋 必 勝 易 勝 圖 像 10 (9) 從 規 劃 路 徑 33 與 49 中, 我 們 發 現 易 勝 圖 像 11 在 易 勝 圖 像 11 中, 我 們 發 現 : 換 黑 棋 走 時, a E D( 黑 )A B( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 6 的 a b c 情 況, 白 棋 易 勝 b E F( 黑 ) A B( 白 )F D( 黑 ) 形 成 易 勝 圖 像 6 d 的 情 況, 白 棋 必 輸 易 勝 圖 像 11 c E F( 黑 )C D( 白 )F E( 黑 )A C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 d E F( 黑 )C D( 白 )F O( 黑 )A B( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 5 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 佔 一 半 以 上 e E F( 黑 )C D( 白 )F O( 黑 )A C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 8 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 f E O( 黑 )A B( 白 )O E( 黑 )B D( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 g E F( 黑 )A B( 白 )O F( 黑 )B D( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 4 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 h E O( 黑 )C D( 白 )O E( 黑 )B D( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 i E O( 黑 )C D( 白 )O F( 黑 )B D( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 4 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 換 白 棋 走 時, J A B( 白 ) E D( 黑 ) 形 成 易 勝 圖 像 6 的 d 情 況, 白 棋 必 輸 k C D( 白 ) E C( 黑 ) 黑 棋 突 破 封 鎖, 白 棋 必 輸 11

13 (10) 從 規 劃 路 徑 與 52 中, 我 們 發 現 易 勝 圖 像 12 在 易 勝 圖 像 12 中, 我 們 發 現 : 換 黑 棋 走 時, a O E( 黑 ) 形 成 易 勝 圖 像 11 J K, 白 棋 必 輸 b O F( 黑 ) C D( 白 )F O( 黑 )A C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 8 a b 的 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 各 佔 一 半 易 勝 圖 像 12 c O F( 黑 )C D( 白 )F O( 黑 )A B( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 5 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 佔 一 半 以 上 d O F( 黑 )C D( 白 )F E( 黑 )A C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 e O F( 黑 )A B( 白 )F O( 黑 )A C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 9 的 a b c d 情 況, 白 棋 易 勝 換 白 棋 走 時, f C E( 白 ) O F( 黑 ) 黑 棋 突 破 封 鎖, 白 棋 必 輸 g C D( 白 ) O E( 黑 )A C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 h C D( 白 )O F( 黑 )A C( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 4 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 佔 一 半 i C D( 白 )O F( 黑 )A B( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 7 的 循 環, 白 棋 易 勝 j A B( 白 )O E( 黑 )B D( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 k A B( 白 )O F( 黑 )B D( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像 4 的 a b 情 況, 黑 白 棋 的 獲 勝 機 率 佔 一 半 4 易 勝 圖 像 的 整 理 與 歸 納 經 由 每 一 棋 徑 統 計 資 料 分 析 與 實 際 演 練 的 策 略 分 析 後, 我 們 發 現 走 完 棋 徑 的 前 四 步, 有 的 會 走 向 同 一 種 棋, 這 是 我 們 交 叉 比 對 原 始 資 料 的 最 好 時 機, 但 是 我 們 的 原 始 資 料 數 據 大 部 分 都 很 一 致, 少 部 分 不 太 相 同, 原 本 感 到 很 沮 喪, 不 知 如 何 是 好 後 來 我 們 仔 細 探 究 原 因, 發 現, 越 走 到 最 後 的 棋 徑, 我 們 越 快 找 到 白 棋 致 勝 的 秘 訣, 因 此, 當 時 為 了 節 省 時 間, 而 未 將 棋 徑 一 一 列 舉 但 如 果 將 白 棋 總 獲 勝 次 數 易 勝 圖 像 總 次 數, 仍 可 尋 找 白 棋 易 勝 圖 像 的 總 獲 勝 率 ( 見 表 5) 12

14 表 5 白 棋 易 勝 圖 像 的 獲 勝 率 易 勝 圖 像 易 勝 圖 像 3 易 勝 圖 像 4 易 勝 圖 像 5 易 勝 圖 像 6 易 勝 圖 像 7 路 徑 白 次 棋 數 獲 合 勝 計 路 徑 合 計 白 棋 獲 勝 率 次 數 合 計 % 11.11% 25.00% 33.33% 9.52% 易 勝 圖 像 易 勝 圖 像 8 易 勝 圖 像 9 易 勝 圖 像 10 易 勝 圖 像 11 易 勝 圖 像 12 路 徑 白 棋 獲 勝 路 徑 合 計 白 棋 獲 勝 率 次 數 合 計 次 數 合 計 % 25% 14.29% 57.14% % 13

15 我 們 發 現 白 棋 易 勝 圖 像 的 總 獲 勝 率 至 少 都 在 9.52% 以 上, 而 我 們 實 際 演 練 找 出 的 必 勝 圖 像 3 與 必 勝 圖 像 10, 獲 勝 率 都 未 達 100% 同 樣 的 圖 像, 在 前 後 走 法 上 卻 有 明 顯 差 距, 是 因 為 研 究 前 期, 我 們 試 圖 找 出 所 有 路 徑, 即 使 明 知 會 輸 仍 是 列 出 來 之 後, 為 了 節 省 時 間, 再 加 上 對 棋 的, 孰 悉 度 愈 來 愈 高 因 此, 以 比 賽 者 雙 方 想 贏 棋 的 心 態 寫 下 紀 錄, 認 為 可 能 出 現, 而 且 只 要 白 棋 會 贏 的 一 定 列 出 來 經 過 綜 合 比 較 交 叉 分 析, 加 深 更 我 們 的 信 念, 發 現 只 要 策 略 運 用 得 宜, 避 開 易 輸 的 路 線, 應 可 以 提 高 白 棋 獲 勝 率 三 真 正 的 牛 角 棋 四 層 牛 角 棋 當 我 們 將 牛 角 棋 簡 化 成 二 層 牛 角 棋 和 三 層 牛 角 棋, 並 做 了 詳 細 的 棋 徑 記 錄, 並 繪 製 出 12 種 易 勝 圖 像 後, 接 下 來 就 要 回 到 我 們 最 原 始 的 棋 譜, 真 正 的 牛 角 棋 四 層 牛 角 棋 ( 如 圖 六 ) 由 於 四 層 牛 角 棋 的 棋 徑 比 之 於 三 層 牛 角 棋 的 棋 徑, 其 繁 複 程 度 更 勝 之 好 幾 倍, 若 要 將 棋 徑 一 一 列 出, 以 我 們 有 限 的 人 力 和 時 間 是 達 不 到 這 個 目 標 的 ; 而 且, 經 過 前 面 二 個 研 究 的 步 驟, 我 們 已 經 具 備 相 當 程 度 的 下 棋 經 驗, 有 些 棋 徑 不 用 走 完, 我 們 就 能 預 測 輸 贏 了 明 知 輸 贏 如 何, 還 要 去 列 出 此 項 棋 徑, 感 覺 上 似 乎 沒 有 多 大 的 意 義 所 以 經 過 我 們 科 展 小 組 的 討 論 結 果, 我 們 認 為 在 簡 化 牛 角 棋 的 過 程 中, 我 們 耗 費 了 相 當 多 的 時 間 和 人 力, 好 不 容 易 才 從 577 條 棋 徑 中 找 出 了 12 種 白 棋 易 勝 圖 像, 我 們 很 想 知 道 我 們 苦 心 鑽 研 出 來 的 易 勝 圖 像, 是 否 在 真 正 的 牛 角 棋 中 能 發 揮 強 大 的 功 效? 所 以 在 四 層 牛 角 棋 的 研 究 階 段 中, 我 們 決 定 來 實 驗 看 看 1 未 運 用 白 棋 易 勝 圖 像 時 的 路 徑 規 劃 及 統 計 : 在 三 層 牛 角 棋 的 討 論 中, 我 們 瞭 解 了 白 棋 易 勝 的 路 徑 後, 接 下 來, 就 是 我 們 大 顯 身 手 的 時 候 了 首 先, 我 們 邀 請 同 學 來 玩 真 正 的 牛 角 棋 ( 如 圖 六 ) 為 了 記 錄 同 學 的 下 棋 路 徑, 我 們 先 幫 同 學 規 劃 出 下 棋 的 路 徑, 然 後 由 同 學 們 兩 兩 一 組 下 棋, 而 我 們 科 展 小 組 的 四 位 成 員 則 不 加 入 戰, 我 們 在 旁 邊 記 錄 下 同 學 每 一 的 棋 路 徑, 再 將 所 有 的 路 徑 記 錄 整 理 成 表 ( 見 表 6), 實 際 記 錄 如 右 附 照 片, 由 於 記 錄 繁 多, 不 克 一 一 列 舉 14 圖 六

16 表 6 四 層 牛 角 棋 的 路 徑 規 劃 及 白 棋 獲 勝 次 數 : 黑 白 黑 白 白 路 徑 演 練 次 數 棋 棋 棋 棋 勝 OG AC GH 1 BA BD CD CE 16 1 GF 5 BA BD CD CE 13 1 GE 9 BA BD CD 17 1 GO 12 BA BD CD CE 28 2 BC GH 16 AB CD CE 18 1 GF 19 AB CD CE 16 2 GE 22 AB CD 18 1 GO 24 AB CD CE 15 4 BD GH 27 AB AC DC DE DF 21 1 GF 32 AB AC DC DE

17 GE 36 AB AC DC DF 21 1 GO 40 AB AC DC DE DF 22 2 總 計 OG 走 向 OH AC HG 45 BA BD CE CD 19 3 HF 49 BA BD CE CD 24 1 HO 53 BA BD CE CD 33 6 BC HG 57 AB CE CD 28 5 HF 60 AB CE CD 30 2 HO 63 AB CE CD 30 4 BD HG 66 AB AC DC DE DF 30 1 HF 71 AB AC

18 73 DC DE 24 3 HO 75 AB AC DC DE DF 29 1 總 計 OH 走 向 全 部 路 徑 白 棋 獲 勝 機 率 10.36% 2 發 現 : 在 四 層 牛 角 棋 中, 由 於 比 三 層 牛 角 棋 多 一 層, 增 加 黑 棋 了 可 以 倒 退 走 的 次 數, 使 得 白 棋 容 易 掉 入 陷 阱 而 輸 掉 整 盤 我 們 從 同 學 所 走 的 1805 條 棋 徑 中, 發 現 到, 白 棋 要 獲 勝, 除 了 運 用 上 述 所 繪 之 白 棋 易 勝 圖 像 外, 還 要 注 意 幾 個 易 使 白 棋 輸 的 陷 阱, 茲 說 明 如 下 (1) 白 棋 要 確 定 黑 棋 無 機 會 往 下 走 時, 才 可 以 前 進 : 白 棋 不 可 冒 然 前 進, 因 為 白 棋 被 限 制 不 能 後 退, 所 以 要 確 定 黑 棋 無 機 會 往 下 走 時, 白 棋 才 可 以 前 進, 否 則 黑 棋 會 找 路 溜 出 白 棋 的 圍 捕 若 黑 棋 有 機 會 往 下 層 走 時, 白 棋 應 採 取 前 棋 平 移, 以 堵 住 黑 棋 往 下 走 的 路 徑 如 右 圖 ( 見 陷 阱 圖 像 ), 黑 棋 在 H, 有 機 會 往 下 走 時 此 時 白 棋 冒 然 進 攻 a 在 下 層 的 白 棋 前 進 到 D, ( 白 ) H F( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 b 在 上 層 的 白 棋 前 進 到 G, E G( 白 ) H F( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 陷 阱 圖 像 白 棋 平 移 不 進 攻 a 在 下 層 的 白 棋 平 移 到 A, ( 白 ) H F( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 b 在 上 層 的 白 棋 平 移 到 F, ( 白 ) H G( 黑 ) C E( 白 ) 形 成 形 成 易 勝 圖 像 3 的 a b 情 況, 白 棋 必 勝 (2) 黑 棋 倒 退 一 步 時, 白 棋 要 提 高 警 覺 17

19 黑 棋 改 變 進 攻 順 序 的 方 法 是 退 讓 一 歩, 這 樣 會 造 成 在 三 層 牛 角 棋 的 分 析 中 所 看 到, 同 一 張 棋 譜, 黑 棋 先 走 或 白 棋 先 走, 輸 贏 的 面 就 不 一 樣 所 以, 我 們 瞭 解 了 為 什 麼 原 始 的 牛 角 棋 需 有 四 層, 原 來 是 要 給 黑 棋 選 擇 退 讓 時 使 用, 以 增 加 黑 棋 獲 勝 的 機 會 因 此, 當 黑 棋 選 擇 退 讓 或 平 移 時, 白 棋 的 走 法 就 要 非 常 小 心, 保 險 的 走 法 是 前 白 棋 採 取 平 移 或 後 白 棋 採 取 平 移 或 進 攻, 則 能 使 白 棋 易 勝 反 之, 前 白 棋 採 取 進 攻, 則 容 易 輸 掉 這 一 如 陷 阱 圖 像, 輪 到 黑 棋 走, 黑 棋 採 取 退 讓, 保 險 走 法 是 前 白 棋 平 移 : a HO( 黑 ) EF( 白 ) OH( 黑 )BD( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像, 白 棋 易 勝 若 黑 棋 採 取 退 讓, 後 白 棋 平 移 : b HO( 黑 ) BA( 白 ) OH( 黑 )AC( 白 ) HF( 黑 ) CD( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像, 白 棋 獲 勝 率 僅 一 半 若 黑 棋 採 取 退 讓, 後 白 棋 進 攻 : c HO( 黑 ) BD( 白 ) OH( 黑 ) EF( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像, 白 棋 易 勝 陷 阱 圖 像 若 黑 棋 採 取 退 讓, 前 白 棋 進 攻 : d HO( 黑 ) EG( 白 ) OH( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 (3) 主 動 採 取 攻 勢 造 成 三 棋 同 線, 且 緊 密 排 列 者, 獲 勝 機 率 高 黑 白 棋 只 要 有 一 方 能 主 動 造 成 三 棋 同 線 的 情 形, 如 陷 阱 圖 像 及 陷 阱 圖 像, 則 容 易 取 得 勝 利 以 下 圖 陷 阱 圖 像 而 言, 輪 到 黑 棋 走, 黑 棋 前 進 G E, 主 動 造 成 三 棋 同 線 a G E( 黑 ) ( 白 ) E C( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 b G E( 黑 ) A B( 白 ) E D( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 以 下 圖 陷 阱 圖 像 而 言, 輪 到 白 棋 走, 白 棋 平 移 D C, 主 動 造 成 三 棋 同 線 c D C( 白 ) G F( 黑 ) ( 白 ) 形 成 易 勝 圖 像, 白 棋 必 勝 陷 阱 圖 像 陷 阱 圖 像 18

20 (4) 兩 隻 白 棋 需 一 前 一 後 緊 緊 相 依, 既 不 可 以 平 行, 亦 不 可 以 相 距 超 過 一 層 若 兩 隻 白 棋 分 離 超 過 一 層 ( 陷 阱 圖 像 ), 則 白 棋 容 易 輸 以 右 圖 而 言, 不 論 哪 一 種 走 法, 都 是 白 棋 必 輸 輪 到 黑 棋 走, 黑 棋 可 採 取 攻 勢 : a HG( 黑 ) FE( 白 ) GF( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 b HG( 黑 ) AC( 白 ) GE( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 c HG( 黑 ) AB( 白 ) GE( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 輪 到 白 棋 走, 白 棋 有 三 種 路 徑 可 走 : d FE( 白 )HF( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 e AC( 白 ) HG( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 f AB( 白 ) HG( 黑 ) BA( 白 ) GE( 黑 ) 黑 棋 獲 勝 陷 阱 圖 像 3 運 用 白 棋 易 勝 圖 像 及 陷 阱 圖 像 後, 白 棋 的 獲 勝 率 經 過 苦 心 研 究, 我 們 瞭 解 了 白 棋 的 易 勝 圖 像, 以 及 易 造 成 白 棋 輸 的 陷 阱 圖 後, 我 們 想 試 試 看, 以 我 們 研 究 的 成 果, 是 否 有 助 於 提 升 白 棋 的 獲 勝 率 要 試 驗 我 們 的 成 果, 就 必 須 進 行 對 戰 然 而, 在 整 個 研 究 過 程, 我 們 科 展 小 組 的 四 位 同 學 每 人 都 至 少 下 棋 過 500 以 上, 程 度 自 然 高 於 班 上 同 學, 而 且 經 過 我 們 無 數 次 的 討 論 與 演 練 白 棋 獲 勝 路 徑, 對 於 牛 角 棋 已 經 摸 熟 了, 若 以 我 們 經 過 研 究 許 久 而 培 養 出 來 的 能 力 來 與 其 他 同 學 對 戰, 實 力 上 是 不 公 平 的 為 求 實 驗 的 成 果 公 正 客 觀, 所 以 我 們 決 定 實 驗 對 照 組 的 對 象 由 其 他 同 學 改 成 我 們 四 人 對 戰, 以 求 瞭 解 研 究 結 果 是 否 能 提 升 白 棋 的 獲 勝 機 率 首 先, 我 們 先 分 配 角 色 我 們 分 成 二 人 一 組, 共 二 組, 分 別 扮 演 黑 棋 與 白 棋, 下 過 15 之 後, 再 交 換 黑 白 棋 的 角 色, 再 下 棋 15 下 棋 的 順 序 為 黑 棋 先 走, 所 以 每 一 格 的 上 行 為 黑 棋 行 走 路 徑 ; 下 行 為 白 棋 所 走 路 徑 我 們 每 走 一 輪 則 記 錄 成 一 格, 將 對 戰 過 程 的 所 有 棋 徑 詳 細 記 錄, 做 成 以 下 表 格 ( 見 表 7) 表 7 實 驗 對 照 組 的 對 戰 棋 徑 第 一 回 合 :( 內 容 說 明 : 每 一 格 代 表 一 輪, 黑 棋 先 走, 所 以 每 一 格 的 上 行 為 黑 棋 路 徑, 下 行 為 白 棋 路 徑 ) G F F E E G G O H O 1 B C D E F G H O D F G E E G G H H G G O 2 D E D E F G H O 3 G F F E H G G O B C C E D E F G 19

21 H O D E H O F G H O B C D F G H E G D C H G C E C A H O G E H F D C G H B A G H E G H G A B H F H F G H E G G F A B H O H F B A H F H F G O F G H F G H C E F E H G H O G F B A H O F E B C F E H O F E B C F D A B F E B C F E D F H F B A E C D F G H C E F E C E E G D E E G D E D F B A H G D E E G D E H O E D C E F G D C H G D E G O F G C B 黑 棋 勝 H G B C E G D E F G D F G O G F F D A B G H E G G H G H G F G O F G D E H O H O F E H O D F H O F E H G D E C E D B 黑 棋 勝 G E A B E D C E D C 黑 棋 勝 15 G F F E B C C E F G D F H O 白 勝 20

22 第 二 回 合 B C G H E G H G D E H O C B G F H O G E D C G H E G H G C E D C G H F E E D A B H O G H H O H F B A E G D E D F H G F E D C F G D C G O F E B C G O G E A B C E D C E D C E H G D E G H D C 和 黑 棋 勝 G H H F F G G E E D D B 黑 B A D C A B C E 勝 H F F E E G G H H G G O A B B C D E C E F G H O H F F D D E D C A B H O C E D E H O E G H F F E E G G F H G B C D E D E G O H O F G H F F E E G G O H G A B B C D E D F G F H F F E E G G F H G A B B C D E D E G H H O E G G E H O G F C E D E H G F D 黑 棋 勝 21

23 B C B C H O H G H O H F H O D C G F A B G O D E F E F E B C A B C E H F C E G F F G D F F E D F F G D F F G D F G O F G G O F G E D 黑 棋 勝 G H E G H O 白 勝 根 據 上 表 的 路 徑, 我 們 將 30 的 勝 負 整 理 如 下 表 ( 表 8), 以 方 便 我 們 更 容 易 看 出 獲 勝 率 : 表 8 對 戰 30 的 勝 負 表 第 一 回 合 第 二 回 合 數 勝 出 者 數 勝 出 者 第 1 白 棋 第 1 白 棋 第 2 白 棋 第 2 白 棋 第 3 白 棋 第 3 和 第 4 白 棋 第 4 黑 棋 第 5 黑 棋 第 5 黑 棋 第 6 白 棋 第 6 白 棋 第 7 白 棋 第 7 白 棋 第 8 白 棋 第 8 白 棋 第 9 白 棋 第 9 白 棋 第 10 白 棋 第 10 白 棋 第 11 白 棋 第 11 黑 棋 第 12 白 棋 第 12 白 棋 第 13 黑 棋 第 13 白 棋 第 14 黑 棋 第 14 黑 棋 第 15 白 棋 第 15 白 棋 總 計 :30 出 22 黑 棋 勝 出 7 白 棋 獲 勝 率 :73.33% 22

24 陸 結 論 : 1. 經 由 研 究 與 實 際 演 練, 扭 轉 了 黑 白 棋 獲 勝 的 機 率 : 一 我 們 試 走 的 時 侯, 發 現 黑 棋 的 獲 勝 機 率 非 常 高, 我 們 都 認 為 牛 角 棋 中 的 規 則 對 白 棋 是 相 當 不 公 平 的 起 初 我 們 認 為 像 牛 角 棋 這 種 圍 剿 棋 類 的 棋 藝 遊 戲, 少 數 棋 的 獲 勝 率 較 高, 多 數 棋 很 難 真 正 圍 剿 少 數 棋 達 到 真 正 目 的 在 試 走 研 究 過 程 的 第 一 步 二 層 牛 角 棋 及 第 二 步 三 層 牛 角 棋 的 過 程 中, 白 棋 的 獲 勝 機 率 從 33.3% 下 降 到 14.2%( 詳 見 表 2), 因 此, 我 們 認 為 應 該 對 黑 棋 多 設 一 些 限 制, 例 如 規 則 改 為 白 棋 先 走 或 是 黑 棋 每 前 進 二 歩 需 倒 退 一 步 等, 以 提 高 白 棋 的 獲 勝 機 率 沒 想 到 經 過 我 們 一 番 研 究, 加 上 兩 位 老 師 的 指 導 後, 我 們 竟 然 從 2000 多 條 以 上 的 棋 徑 中, 整 理 歸 納 出 白 棋 的 獲 勝 路 徑, 使 得 在 研 究 過 程 的 第 三 步 驟 實 驗 白 棋 必 勝 路 徑 在 原 始 牛 角 棋 的 30 對 戰 中, 白 棋 的 獲 勝 率 高 達 73.33%( 詳 見 表 7), 將 白 棋 的 獲 勝 率 整 整 提 高 了 59.13%, 大 大 扭 轉 了 黑 白 棋 的 獲 勝 率, 這 是 我 們 整 個 研 究 過 程 最 令 人 振 奮 的 發 現 2. 我 們 發 現 了 二 層 牛 角 棋 的 必 勝 圖 像 : 整 個 研 究 的 一, 我 們 四 人 為 了 將 牛 角 棋 的 規 則 摸 熟, 所 以 我 們 不 斷 地 在 下 棋, 但 是 下 棋 了 幾 天 之 後, 我 們 還 是 不 知 道 該 從 何 研 究 起, 心 得 只 有 除 非 黑 棋 讓 步, 否 則 白 棋 很 難 贏 的 想 法, 於 是 向 老 師 請 教 該 如 何 進 行 下 一 階 段 的 研 究 老 師 鼓 勵 我 們 這 是 一 個 很 好 的 研 究 目 的 想 辦 法 讓 白 棋 贏 這 個 目 標 很 困 難, 不 知 該 從 何 研 究 起, 老 師 提 醒 我 們 : 數 學 有 一 個 很 不 錯 的 研 究 方 式 簡 化 問 題, 不 如 先 把 原 始 的 四 層 牛 角 棋 簡 化 成 二 層, 二 層 研 究 完, 就 前 進 到 三 層, 最 後 再 進 入 最 原 始 的 四 層 棋 譜 於 是, 我 們 研 究 二 層 牛 角 棋, 從 研 究 過 程 中, 我 們 找 到 了 圖 三 和 圖 四 的 白 棋 必 勝 圖 像, 初 步 瞭 解 白 棋 要 獲 勝, 必 須 佈 至 此 必 勝 圖 像, 這 是 我 們 研 究 的 第 一 個 成 果 3. 我 們 發 現 三 層 牛 角 棋 新 的 白 棋 易 勝 圖 像 : 三 層 的 牛 角 棋 中, 黑 白 棋 可 以 走 的 路 徑 突 然 暴 增 許 多, 我 們 一 邊 走 一 邊 繪 製 棋 徑 圖, 花 了 許 多 時 間, 卻 沒 有 辦 法 整 理 出 一 個 結 果, 這 是 我 們 遇 到 的 第 二 個 難 題 和 老 師 討 論, 我 們 必 須 找 出 繪 製 棋 徑 圖 的 方 法 才 能 解 決 這 個 難 題, 模 擬 多 次 後, 我 們 發 明 了 記 錄 棋 徑 的 最 好 方 法, 就 是 在 研 究 過 程 中 記 錄 的 方 式 ( 詳 見 本 文 的 研 究 過 程 ), 並 有 組 織 地 將 所 有 棋 徑 規 劃 成 54 條 路 徑, 每 條 路 徑 都 盡 可 能 的 列 出, 總 計 有 577 的 結 果, 再 從 中 去 分 析 白 棋 的 獲 勝 路 徑, 共 有 82 經 過 我 們 的 整 理 與 歸 納, 我 們 從 三 層 牛 角 棋 中 分 析 出 圖 1~ 圖 12 的 白 棋 易 勝 圖 像, 此 時 不 將 這 12 種 圖 像 命 名 成 必 勝, 是 因 為 三 層 牛 角 棋 的 路 徑 繁 雜, 只 要 一 個 轉 變, 黑 白 棋 的 勝 負 命 運 就 會 轉 變, 所 以, 我 們 將 這 12 種 圖 像 命 名 為 易 勝 圖 像 這 12 種 易 勝 圖 像 的 發 現 真 的 不 容 易, 得 出 這 個 成 果 令 我 們 科 展 小 組 倍 感 欣 慰, 為 了 証 實 易 勝 圖 像 的 功 效, 我 們 又 下 棋 了 上 百, 也 發 現 到, 只 要 靈 活 運 用 本 文 所 繪 之 白 棋 易 勝 圖 像, 獲 勝 率 便 可 大 大 提 高, 使 我 們 更 有 信 心 去 解 決 四 層 牛 角 棋 的 難 題 4. 在 四 層 牛 角 棋 的 探 討 中, 我 們 找 到 白 棋 容 易 輸 的 陷 阱 圖 像 : 研 究 來 到 了 最 大 的 難 關 四 層 的 原 始 牛 角 棋, 四 層 的 牛 角 棋 路 徑 之 繁 瑣 浩 大, 23

25 更 勝 三 層 牛 角 棋 的 好 幾 百 倍, 以 我 們 的 人 力 和 時 間, 真 的 無 法 像 三 層 牛 角 棋 一 樣 做 到 全 部 列 出, 所 以 沒 辦 法 像 三 層 牛 角 棋 做 一 樣 的 列 表, 這 是 我 們 遇 到 第 三 個 難 題, 如 何 去 研 究 牛 角 棋 我 們 和 老 師 討 論 這 個 難 題, 我 們 發 現, 前 面 的 研 究 中, 我 們 都 已 培 養 出 對 勝 負 的 敏 銳 度, 有 些 路 徑 一 看 就 知 道 結 果 一 定 會 白 勝 或 黑 勝, 把 這 些 必 然 的 結 果 再 度 呈 現, 不 但 耗 時 費 力, 而 且 沒 有 意 義, 所 以 我 們 決 定 改 變 研 究 的 方 向, 不 再 是 尋 找 白 棋 的 易 勝 圖 像, 而 是 實 驗 我 們 研 究 出 的 2 種 必 勝 圖 像 和 12 種 易 勝 圖 像 在 下 棋 的 過 程 中, 是 否 能 提 高 白 棋 的 獲 勝 率 我 們 先 將 四 層 牛 角 棋 規 劃 出 79 條 路 徑, 再 邀 請 沒 有 研 究 過 的 同 學 去 下 棋, 我 們 四 人 把 同 學 下 棋 的 過 程 記 錄 下 來, 整 理 出 1809 的 結 果, 再 從 中 歸 納 出 187 白 棋 獲 勝 的 棋 徑 把 這 187 的 棋 徑 比 對 我 們 所 發 現 的 2 種 必 勝 圖 像 和 12 種 易 勝 圖 像, 發 現 還 有 5 種 白 棋 易 輸 的 陷 阱 圖 像 ~( 詳 見 研 究 過 程 三 ), 只 要 小 心 避 免 這 幾 項 原 則, 就 能 減 少 輸 棋 的 機 率 5. 發 明 了 記 錄 棋 徑 的 方 式 : 經 由 這 次 的 科 展 經 驗, 我 們 學 習 到 了 記 錄 棋 徑 的 方 式, 這 是 很 重 要 的 一 點 一, 我 們 用 繪 圖 的 方 式 來 記 錄 一 盤 棋 ( 如 圖 六 ), 這 種 方 式 十 分 耗 時 費 力, 往 往 一 盤 的 記 錄 就 耗 掉 一 頁 的 版 面, 而 且 不 容 易 看 懂 經 過 跟 老 師 不 斷 地 討 論 研 究 各 種 方 式, 之 後, 我 們 終 於 發 明 了 一 種 可 行 的 記 錄 方 式, 首 先, 將 牛 角 棋 的 各 個 交 叉 點 用 英 文 字 母 標 記 好, O 為 黑 棋 的 出 發 點, A 和 B 為 白 棋 的 出 發 點, 其 他 的 位 置 則 標 記 為 C D H, 接 著 每 一 回 的 棋 路 分 為 二 行 並 列, 如 H O( 黑 ) ( 黑 ) H F( 黑 ) 形 成 圖 像 3 ( 白 ) F E( 白 ) ( 白 ) 白 棋 獲 勝 如 果 行 數 過 多, 則 我 們 把 H O( 黑 ), 寫 成 HO( 黑 ) 這 個 記 錄 圖 六 方 式 讓 我 們 很 清 楚 目 前 黑 白 棋 輪 到 誰 先 走, 使 得 我 們 節 省 很 多 記 錄 的 時 間, 以 前 一 盤 要 半 天 的 時 間 才 能 繪 製 好, 現 在 用 了 這 種 新 的 記 錄 方 式 後, 只 要 幾 分 鐘 就 可 以 記 錄 好, 而 且 出 錯 率 低, 容 易 做 棋 徑 的 比 較, 方 便 我 們 釐 清 思 緒, 不 會 一 直 重 複 走 相 同 的 棋 徑 這 個 棋 徑 記 錄 方 式 的 發 明 是 推 動 我 們 的 科 展 研 究 能 持 續 前 進 的 最 大 功 臣, 也 可 以 提 供 往 後 想 做 棋 藝 研 究 的 同 學 一 個 非 常 好 的 記 錄 棋 徑 的 方 式 6. 學 習 到 破 解 棋 的 方 法 : 從 我 們 這 次 對 牛 角 棋 的 研 究 過 程 中, 我 們 學 習 到 如 何 破 解 的 棋 的 方 法, 就 是 先 將 棋 譜 簡 化, 逐 一 分 析 路 徑, 統 計 歸 納 分 析 各 種 路 徑, 得 出 成 果, 再 繼 續 加 深 層 次, 最 後 就 能 找 到 獲 勝 的 方 法 以 這 次 的 對 牛 角 棋 的 研 究 來 說, 我 們 的 研 究 過 程 從 簡 化 牛 角 棋 的 層 數, 從 二 層 牛 角 棋 研 究, 盡 可 能 的 列 出 所 有 可 行 的 棋 徑 ; 然 後 將 這 些 棋 徑 一 一 歸 納 整 理 成 表 後, 再 去 分 析 白 棋 獲 勝 的 圖 像, 討 論 其 原 因, 建 立 出 白 棋 必 勝 的 基 本 圖 像 ; 完 全 瞭 解 後, 以 這 個 方 式 繼 續 加 深 研 究 到 三 層 牛 角 棋, 一 直 到 四 層 牛 角 棋 然 後, 為 了 應 證 白 棋 易 勝 攻 略 本 是 有 效 的, 我 們 找 來 班 上 同 學 做 實 際 的 演 練 並 記 錄 下 同 學 所 走 的 棋 徑 演 練 結 果, 同 學 們 的 心 得 和 我 們 研 究 科 展 前 一 樣, 都 認 為 白 棋 要 獲 勝 幾 乎 是 不 可 能 的 接 下 來, 把 同 學 們 所 走 的 路 徑 和 我 們 研 究 二 層 及 三 層 牛 角 棋 的 結 果 進 行 對 照, 結 果 24

26 我 們 找 到 獲 勝 的 關 鍵 要 素, 及 必 須 避 免 的 陷 阱 路 線, 最 後, 為 了 証 實 研 究 前 和 研 究 後 是 否 改 變 了 白 棋 的 獲 勝 機 率, 我 們 四 位 同 學 進 行 的 30 的 對 戰, 對 戰 的 結 果, 白 棋 的 獲 勝 率 遠 遠 高 於 黑 棋, 完 全 改 變 了 我 們 做 研 究 前 的 想 法 從 這 次 的 研 究 中, 我 們 瞭 解 到 如 何 去 尋 找 下 棋 遊 戲 的 攻 略 方 式, 可 以 提 供 給 其 他 想 做 這 棋 藝 遊 戲 方 面 研 究 的 同 學 一 個 很 好 的 參 考 柒 心 得 : 1. 簡 化 問 題 是 解 決 問 題 的 好 方 法 當 我 們 進 行 牛 角 棋 的 對 戰 時, 發 現 : 白 棋 獲 勝 的 機 率 非 常 的 低, 當 時 我 們 甚 至 認 為, 黑 棋 只 有 退 讓 或 平 移 時, 白 棋 才 有 機 會 獲 勝 這 一 點 使 我 們 很 沮 喪, 於 是 我 們 向 兩 位 老 師 求 救 老 師 和 我 們 討 論 研 究 的 困 難 點 後, 建 議 我 們 不 如 先 簡 化 問 題, 把 四 層 牛 角 棋 縮 減 成 二 層 後, 再 逐 一 去 探 討 經 由 這 個 研 究 過 程, 我 們 學 習 到 簡 化 問 題 是 解 決 問 題 的 好 方 法, 對 於 以 後 我 們 在 做 任 何 的 數 學 題 目 時, 簡 化 問 題 是 一 個 很 好 的 思 考 方 式 2. 研 究 的 價 值 在 記 錄 方 式 整 個 科 展 研 究 過 程 中, 我 們 深 深 瞭 解 到 記 錄 的 重 要 性 記 錄 方 式 的 好 壞, 清 楚 與 否, 決 定 了 研 究 的 方 向 和 成 果 從 這 次 我 們 對 牛 角 棋 的 研 究 過 程 裡, 因 為 我 們 找 到 適 合 的 記 錄 方 式, 有 了 這 些 記 錄, 我 們 可 以 做 比 較 歸 納 與 分 析, 從 中 找 到 獲 勝 的 方 法, 使 得 研 究 成 果 更 豐 碩, 這 種 棋 徑 的 記 錄 方 式 可 以 說 是 整 個 研 究 中 最 有 價 值 的 部 分 了 捌 參 考 書 目 : 吳 望 如 著 劉 鳳 儀 繪 ( 民 98) 小 小 棋 靈 王 台 北 市 : 小 魯 文 化 康 軒 版 數 學 第 十 冊 第 6 單 元 比 率 與 百 分 率 康 軒 版 數 學 第 十 二 冊 第 8 單 元 簡 化 問 題 25