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1 摇 第 30 卷 第 5 期 2015 年 10 月 摇 摇 大 学 化 学 UNIVERSITY CHEMISTRY Vol. 30 No. 5 摇 Oct * 共 棱 八 面 体 问 题 的 巧 解 doi: / pku. DXHX 徐 汪 华 ( 安 庆 师 范 学 院 化 学 化 工 学 院 摇 安 徽 安 庆 ) 摇 摇 摘 要 摇 借 助 1992 年 全 国 高 中 化 学 竞 赛 决 赛 试 题 第 6 题 介 绍 有 关 共 棱 八 面 体 问 题 的 一 种 巧 妙 解 法 投 影 法 冶 和 编 号 法 冶 摇 摇 关 键 词 摇 化 学 竞 赛 摇 投 影 法 摇 编 号 法 摇 摇 中 图 分 类 号 摇 O6;G64 A Smart Solution to the Edge 鄄 sharing Octahedra Problems * Xu Wanghua (School of Chemistry and Chemical Engineering, Anqing Teachers College, Anqing , Anhui, China) 摇 摇 Abstract 摇 Smart solutions for the edge 鄄 sharing octahedrals, such as projection and numbering methods, are introduced based on Problem 6 of the 1992 final 鄄 round National Chemistry Contest for high school students. 摇 摇 Key Words 摇 Chemistry contest; Projection method; Numbering method 摇 摇 同 多 酸 是 由 相 同 的 酸 酐 组 成 的 一 类 酸, 亦 可 说 是 由 两 个 或 两 个 以 上 同 种 简 单 含 氧 酸 分 子 缩 合 而 成 的 酸 V Cr Mo 等 许 多 元 素 均 能 形 成 同 多 酸, 如 :H 7 V 5 O 16 H 2 Cr 4 O 13 H 6 Mo 7 等 同 多 酸 的 生 成 条 件 与 溶 液 的 浓 度 温 度 酸 度 等 因 素 有 关, 一 般 随 着 酸 度 的 增 大, 缩 合 的 程 度 增 加 [1] 同 多 酸 中 的 氢 离 子 被 金 属 离 子 取 代 可 生 成 相 应 的 同 多 酸 盐, 其 中 同 多 酸 根 阴 离 子 由 简 单 的 含 氧 酸 根 以 共 角 共 棱 或 共 面 的 形 式 连 接 而 成 [2] 摇 摇 同 多 酸 根 阴 离 子 的 结 构 复 杂, 要 在 平 面 上 表 达 这 些 复 杂 的 结 构 并 非 一 件 容 易 的 事 为 此, 笔 者 尝 试 采 用 投 影 法 和 编 号 法 解 答 共 棱 八 面 体 问 题 这 种 方 法 可 以 方 便 地 在 二 维 层 面 上 解 决 三 维 堆 积 的 问 题, 值 得 推 广 与 应 用 这 种 方 法 既 有 助 于 加 深 学 生 对 这 些 复 杂 结 构 的 认 识, 又 能 培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力 摇 摇 下 面 以 1992 年 全 国 高 中 化 学 竞 赛 决 赛 第 6 题 为 例, 介 绍 投 影 法 和 编 号 法 摇 摇 [ 试 题 ](1992 年 全 国 高 中 化 学 竞 赛 决 赛 第 6 题 ) 钼 有 一 种 含 氧 酸 根 [ Mo X O Y ] Z-, 式 中 X Y Z 都 是 正 整 数 ;Mo 的 氧 化 态 为 +6,O 呈 -2 可 按 下 面 的 步 骤 来 理 解 该 含 氧 酸 根 的 结 构 : 摇 摇 (A) 所 有 Mo 原 子 的 配 位 数 都 是 6, 形 成 [MoO 6 ] n-, 呈 正 八 面 体, 称 为 小 八 面 体 冶 ( 图 A); 摇 摇 (B) 6 个 小 八 面 体 冶 共 棱 连 接 可 构 成 一 个 超 八 面 体 冶 ( 图 B); 摇 摇 (C) 2 个 超 八 面 体 冶 共 用 2 个 小 八 面 体 冶 可 构 成 一 个 孪 超 八 面 体 冶 ( 图 C); * 基 金 资 助 : 安 徽 省 教 育 厅 2014 年 省 级 质 量 工 程 项 目 (No. 2014jyxm238)

2 摇 第 5 期 徐 汪 华 : 共 棱 八 面 体 问 题 的 巧 解 65 摇 摇 (D) 从 一 个 孪 超 八 面 体 冶 里 取 走 3 个 小 八 面 体 冶, 得 到 的 缺 角 孪 超 八 面 体 冶 ( 图 D) 便 是 本 题 的 [Mo X O Y ] Z- ( 图 D 中 用 虚 线 表 示 的 小 八 面 体 是 被 取 走 的 ) [3] 摇 摇 回 答 下 列 问 题 : 摇 摇 (1) 小 八 面 体 的 化 学 式 [MoO 6 ] n- 中 的 n = 摇 摇 (2) 超 八 面 体 的 化 学 式 是 摇 摇 (3) 孪 超 八 面 体 的 化 学 式 是 摇 摇 (4) 缺 角 孪 超 八 面 体 的 化 学 式 是 摇 摇 [ 答 案 ] 摇 (1) 6;(2) [Mo 6 O 19 ] 2- ;(3) [Mo 10 O 28 ] 4+ ;(4)[Mo 7 ] 6- 摇 摇 [ 分 析 ] 摇 (1) Mo 的 氧 化 态 为 +6,O 呈 -2 Þ[MoO 6 ] n- 中 有 :( +6) +( -2) 伊 6 = -6 Þ 小 八 面 体 的 化 学 式 [MoO 6 ] n- 中 的 n = 6 摇 摇 (2) 解 答 此 题 的 关 键 是 把 图 看 懂, 把 小 八 面 体 超 八 面 体 和 孪 超 八 面 体 的 结 构 弄 清 楚 然 而, 原 题 所 提 供 的 图 A B 和 C 不 容 易 看 清, 学 生 解 答 此 题 就 很 吃 力, 甚 至 无 从 下 手 为 了 形 象 地 描 述 小 八 面 体 超 八 面 体 和 孪 超 八 面 体 的 结 构, 我 们 用 图 1 表 示 图 1 为 它 们 的 形 貌 图 1 摇 小 八 面 体 (A) 超 八 面 体 (B) 和 孪 超 八 面 体 (C) 的 形 貌 摇 摇 为 了 更 直 观 地 描 述 小 八 面 体 超 八 面 体 和 孪 超 八 面 体 的 结 构, 我 们 用 图 2 和 图 3 表 示 图 2 和 图 3 为 它 们 的 球 棍 模 型 摇 摇 显 然, 图 1 图 2 和 图 3 都 很 形 象 直 观, 若 借 助 多 媒 体 播 放 这 些 图 形, 教 师 教 起 来 方 便, 学 生 学 起 来 也 容 易 但 在 实 际 教 学 中, 在 没 有 多 媒 体 的 情 况 下, 教 师 讲 解 此 题 就 很 为 难 因 为, 短 时 间 内 在 黑 板 上 画 出 这 些 复 杂 的 图 形 几 乎 是 不 可 能 的 那 么, 能 不 能 用 一 种 简 单 的 方 法 来 表 示 以 上 复 杂 的 结 构 呢? 摇 摇 经 过 反 复 研 讨, 笔 者 整 合 出 了 投 影 法 和 编 号 法, 可 用 于 解 决 这 一 问 题 摇 摇 淤 投 影 与 表 示 以 图 2 鄄 C 为 例, 设 孪 超 八 面 体 模 型 中 含 中 心 原 子 钼 原 子 最 多 的 平 面 为 主 板 冶 把 孪 超 八 面 体 的 模 型 放 在 纸 面 上, 使 主 板 冶 与 纸 面 平 行, 使 垂 直 于 主 板 冶 的 二 次 对 称 轴 C 2 ( 该 轴 与 每 个

3 66 大 学 化 学 第 30 卷 摇 图 2 摇 小 八 面 体 (A) 超 八 面 体 (B) 和 孪 超 八 面 体 (C) 的 球 棍 模 型 图 3 摇 各 原 子 带 编 号 的 小 八 面 体 (A) 超 八 面 体 (B) 和 孪 超 八 面 体 (C) 的 球 棍 模 型 小 八 面 体 的 一 根 垂 直 于 纸 面 的 C 4 轴 平 行 ) 与 纸 面 垂 直, 沿 着 该 C 2 的 方 向 投 影 得 投 影 图 ( 图 4 鄄 C) 摇 摇 在 图 4 鄄 C 中, 用 表 示 1 个 小 八 面 体, 其 中 表 示 该 八 面 体 腰 部 冶 各 顶 点 的 配 位 原 子 氧 原 子 ; 表 示 2 个 氧 原 子 和 1 个 钼 原 子, 且 从 上 往 下 交 错 排 列, 其 中 中 心 的 小 表 示 该 八 面 体 上 顶 点 的 1 个 氧 原 子, 中 间 的 表 示 该 八 面 体 的 中 心 原 子 钼 原 子, 外 围 的 大 表 示 该 八 面 体 下 顶 点 的 1 个 氧 原 子 用 表 示 2 个 小 八 面 体, 其 中 实 线 冶 表 示 的 小 八 面 体 在 主 板 冶 的 上 面, 虚 线 冶 表 示 的 小 八 面 体 在 主 板 冶 的 下 面 表 示 3 个 氧 原 子 和 2 个 钼 原 子, 且 从 上 往 下 交 错 排 列, 其 中 最 小 的 摇 摇 表 示 主 板 冶 上 面 小 八 面 体 上 顶 点 的 1 个 氧 原 子, 较 小 的 摇 摇 表 示 主 板 冶 上 面 小 八 面 体 的 中 心 原 子 钼 原 子, 中 间 的 表 示 主 板 冶 上 面 小 八 面 体 下 顶 点 的 1 个 氧 原 子, 也 表 示 主 板 冶 下 面 小 八 面 体 上 顶 点 的 1 个 氧 原 子, 较 大 的 表 示 主 板 冶 下 面 小 八 面 体 的 中 心 原 子 钼 原 子, 最 大 的 表 示 主 板 冶 下 面 小 八 面 体 下 顶 点 的 1 个 氧 原 子 摇 摇 采 用 投 影 法, 小 八 面 体 超 八 面 体 和 孪 超 八 面 体 等 复 杂 结 构 便 跃 然 纸 上 ( 图 4) 摇 摇 显 然, 图 4 鄄 A 是 1 个 小 八 面 体 ; 图 4 鄄 B 由 6 个 小 八 面 体 构 成, 其 中 主 板 冶 有 4 个, 主 板 冶 上 1 个, 主 板 冶 下 1 个 ; 图 4 鄄 C 由 10 个 小 八 面 体 构 成, 其 中 主 板 冶 有 6 个, 主 板 冶 上 2 个, 主 板 冶 下 2 个 摇 摇 于 编 号 与 定 位 为 了 便 于 说 明 问 题, 用 编 号 来 表 明 各 原 子 在 酸 根 模 型 中 所 处 的 位 置 在 纸 平 面 内, 从 左 到 右, 各 列 依 次 为 第 等 列 ; 从 下 到 上, 各 行 依 次 为 第 等 行 在 图 4 鄄 B 和 图 4 鄄 C 中, Z 冶 表 示 中 间, 即 主 板 冶 ; S 冶 表 示 主 板 冶 的 上 面 ; X 冶 表 示 主 板 冶 的 下 面 ; D 冶 表 示 小 八 面 体 中 与 投 影 轴 平 行 的 C 4 轴 上 的 顶 点 ; 不 加 括 号 的 数 组 如 S12 冶 Z43 冶 等 表 示 配 位 原 子 氧 原 子 且 S12 冶 表 示 与 主

4 摇 第 5 期 徐 汪 华 : 共 棱 八 面 体 问 题 的 巧 解 67 图 4 摇 小 八 面 体 超 八 面 体 和 孪 超 八 面 体 的 投 影 图 板 冶 平 行 的 上 一 层 第 1 列 第 2 行 的 氧 原 子 Z43 冶 表 示 主 板 冶 上 第 4 列 第 3 行 的 氧 原 子 ( 见 图 3 鄄 C); 加 括 号 的 数 组 如 (S11) 冶 (Z32) 冶 等 表 示 每 个 小 八 面 体 的 中 心 原 子 钼 原 子 且 ( S11) 冶 表 示 与 主 板 冶 平 行 的 上 一 层 第 1 列 第 1 行 的 钼 原 子, ( Z32) 冶 表 示 主 板 冶 上 第 3 列 第 2 行 的 Mo 原 子 ( 见 图 3 鄄 C); SD1 冶 表 示 模 型 最 上 面 顶 点 从 左 到 右 第 1 个 氧 原 子 根 据 以 上 规 定, 各 原 子 在 酸 根 模 型 中 所 处 的 位 置 就 有 相 应 的 编 号, 如 图 3 和 图 4 中 各 原 子 的 编 号 为 了 与 图 4 鄄 B 和 图 4 鄄 C 中 的 编 号 相 匹 配, 图 4 鄄 A 中 也 采 用 了 复 杂 冶 的 编 号 摇 摇 盂 整 合 投 影 法 和 编 号 法 的 优 点 整 合 投 影 法 和 编 号 法 不 仅 让 我 们 短 时 间 内 在 黑 板 上 表 达 复 杂 的 结 构 由 不 可 能 变 为 现 实, 而 且 给 我 们 的 讨 论 带 来 很 多 方 便 有 了 投 影 图 与 编 号, 我 们 可 以 指 认 模 型 中 的 每 一 个 原 子 和 每 一 个 小 八 面 体 如 图 4 鄄 B 中 的 6 个 小 八 面 体 分 别 是 :SD1 鄄 S11 鄄 S12 鄄 S22 鄄 S21 鄄 Z22 S11 鄄 Z11 鄄 Z12 鄄 Z22 鄄 Z21 鄄 X11 S12 鄄 Z12 鄄 Z13 鄄 Z23 鄄 Z22 鄄 X12 S22 鄄 Z22 鄄 Z23 鄄 Z33 鄄 Z32 鄄 X22 S21 鄄 Z21 鄄 Z22 鄄 Z32 鄄 Z31 鄄 X21 Z22 鄄 X11 鄄 X12 鄄 X22 鄄 X21 鄄 XD1, 它 们 的 中 心 原 子 分 别 是 (S11) (Z11) (Z12) (Z22) (Z21) (X11) 以 上 6 个 小 八 面 体 可 以 简 单 地 分 别 表 示 为 : 阴 (S11) 阴 (Z11) 阴 (Z12) 阴 (Z22) 阴 (Z21) 阴 (X11) 这 6 个 小 八 面 体 之 间 的 关 系 见 表 1 表 1 摇 图 4 鄄 B 超 八 面 体 中 6 个 小 八 面 体 之 间 的 关 系 阴 (S11) 阴 (Z11) 阴 (Z12) 阴 (Z22) 阴 (Z21) 阴 (X11) 阴 (S11) - 共 棱 S11 鄄 Z22 共 棱 S12 鄄 Z22 共 棱 S22 鄄 Z22 共 棱 S21 鄄 Z22 共 顶 点 Z22 阴 (Z11) 共 棱 S11 鄄 Z22 - 共 棱 Z12 鄄 Z22 共 顶 点 Z22 共 棱 Z21 鄄 Z22 共 棱 X11 鄄 Z22 阴 (Z12) 共 棱 S12 鄄 Z22 共 棱 Z12 鄄 Z22 - 共 棱 Z23 鄄 Z22 共 顶 点 Z22 共 棱 X12 鄄 Z22 阴 (Z22) 共 棱 S22 鄄 Z22 共 顶 点 Z22 共 棱 Z23 鄄 Z22 - 共 棱 Z32 鄄 Z22 共 棱 X22 鄄 Z22 阴 (Z21) 共 棱 S21 鄄 Z22 共 棱 Z21 鄄 Z22 共 顶 点 Z22 共 棱 Z32 鄄 Z22 - 共 棱 X21 鄄 Z22 阴 (X11) 共 顶 点 Z22 共 棱 X11 鄄 Z22 共 棱 X12 鄄 Z22 共 棱 X22 鄄 Z22 共 棱 X21 鄄 Z22 - 摇 摇 榆 整 合 投 影 法 和 编 号 法 的 应 用 画 出 图 4 那 样 的 投 影 图, 通 过 以 上 的 分 析, 我 们 就 很 容 易 知 道 每 个 超 八 面 体 中 有 6 个 Mo 和 19 个 O Þ( +6) 伊 6 +( -2) 伊 19 = -2 Þ 超 八 面 体 的 化 学 式 为 [Mo 6 O 19 ] 2- 摇 摇 (3) 同 理 也 很 容 易 知 道 每 个 孪 超 八 面 体 中 有 10 个 Mo 和 28 个 O Þ( +6) 伊 10 +( -2) 伊 28 = +4 Þ 孪 超 八 面 体 的 化 学 式 为 [Mo 10 O 28 ] 4+

5 68 大 学 化 学 第 30 卷 摇 摇 摇 (4) 从 一 个 孪 超 八 面 体 里 取 走 3 个 小 八 面 体, 就 相 当 于 从 图 3 鄄 C 中 取 走 (Z11) (Z21) (Z31) 等 3 个 Mo 和 Z11 Z21 Z31 Z41 等 4 个 O Þ 一 个 缺 角 孪 超 八 面 体 中 有 (10-3 = )7 个 Mo 和 (28-4 = )24 个 O Þ( +6) 伊 7 +( -2) 伊 24 = -6 Þ 缺 角 孪 超 八 面 体 的 化 学 式 是 [Mo 7 ] 6- 摇 摇 由 此 可 见, 使 用 整 合 投 影 法 和 编 号 法, 可 以 化 繁 为 简 化 隐 为 显, 有 助 于 解 决 看 不 懂 冶 不 好 讲 冶 的 问 题 参 摇 考 摇 文 摇 献 [1] 摇 严 业 安. 大 学 化 学,2008,23(3):60 [2] 摇 任 学 宝, 李 蓉, 严 业 安, 等. 冲 刺 金 牌 奥 林 匹 克 竞 赛 辅 导 - 高 中 化 学. 长 春 : 吉 林 教 育 出 版 社,2002 [3] 摇 何 炳 坤, 王 金 理, 黄 晓 华, 等. 化 学 奥 林 匹 克 题 典. 南 京 : 南 京 大 学 出 版 社,1995 摇 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 蕷 大 学 化 学 变 更 为 月 刊 的 通 知 摇 摇 经 北 京 市 新 闻 出 版 广 电 局 批 准, 大 学 化 学 将 自 2016 年 1 月 起 由 双 月 刊 变 更 为 月 刊, 以 扩 充 刊 物 内 容, 缩 短 出 版 周 期, 满 足 广 大 作 者 和 读 者 的 需 求 变 更 以 后, 本 刊 仍 以 深 化 大 学 化 学 教 育 改 革 为 宗 旨, 为 促 进 教 师 知 识 更 新 扩 大 学 生 知 识 面 提 高 化 学 教 学 水 平 服 务 欢 迎 大 家 积 极 投 稿, 继 续 关 心 和 支 持 大 学 化 学 的 发 展

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