y B C O F. 设 f 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 的 函 数, 在 区 间, 上 f 5 9 其 中 ar, 若 f f, 则 5 y 4 0,. 已 知 实 数 y, 满 足 y 0, 3 y 3 0, f a 的 值 是. 则 y 的 取 值 范 围 是. a, 0,, 0,

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1 参 考 公 式 : 样 本 数 据,,, n 棱 柱 的 体 积 V 爱 智 康 高 考 研 究 中 心 高 中 数 学 张 勇 凯 桑 和 瑞 何 军 凤 闫 泓 水 06 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 江 苏 卷 ) n i n i 的 方 差 s 数 学 Ⅰ n i n i, 其 中. Sh, 其 中 S 是 棱 柱 的 底 面 积, h 是 高. 棱 锥 的 体 积 V Sh, 其 中 S 是 棱 锥 的 底 面 积, h 为 高. 3 一 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题, 每 小 题 5 分, 共 计 70 分. 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上..... 已 知 集 合 A,,3,6, B 3, 则 A B.. 复 数 z i3 i, 其 中 i 为 虚 数 单 位, 则 z 的 实 部 是. y 3. 在 平 面 直 角 坐 标 系 Oy 中, 双 曲 线 的 焦 距 是 已 知 一 组 数 据 4.7,4.8,5.,5.4,5.5, 则 该 组 数 据 的 方 差 是. 5. 函 数 y 3 的 定 义 域 是. 6. 如 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图, 则 输 出 a 的 值 是. 开 始 a b9 N ab aa4 Y 输 出 a 结 束 bb 7. 将 一 个 质 地 均 匀 的 骰 子 ( 一 种 各 个 面 上 分 别 标 有,,3,4,5,6 个 点 为 正 方 体 玩 具 ) 先 后 抛 掷 次, 则 出 现 向 上 的 点 数 之 和 小 于 0 的 概 率 是. 8. 已 知 a n 是 等 差 数 列, n 9. 定 义 在 区 间 S 是 其 前 n 项 和. 若 a, S 5 0, 则 a 9 的 值 是. a 3 0,3π 上 的 函 数 y sin 的 图 象 与 y cos 的 图 象 的 交 点 个 数 是. y 0 的 右 焦 点, 直 线 a b 0. 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 Oy 中,F 是 椭 圆 a b 两 点, 且 BFC 90, 则 该 椭 圆 的 离 心 率 是. b y 与 椭 圆 交 于 BC, /

2 y B C O F. 设 f 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 的 函 数, 在 区 间, 上 f 5 9 其 中 ar, 若 f f, 则 5 y 4 0,. 已 知 实 数 y, 满 足 y 0, 3 y 3 0, f a 的 值 是. 则 y 的 取 值 范 围 是. a, 0,, 0, 5 3. 如 图, 在 ABC 中, D 是 BC 的 中 点, EF, 是 AD 上 两 个 三 等 分 点, BACA 4, BF CF, 则 BE CE 的 值 是. A F E B D C 4. 在 锐 角 三 角 形 ABC 中, sin A sin Bsin C, 则 tan Atan Btan C 的 最 小 值 是. 二 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题, 共 计 90 分. 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答, 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明, 证 明 过 程 或 演 算 步 骤. 5. ( 本 小 题 满 分 4 分 ) 4 在 ABC 中, AC 6, cos B, C π. 5 4 ⑴ 求 AB 的 长 ; π ⑵ 求 cosa 的 值. 6 /

3 6. ( 本 小 题 满 分 4 分 ) 如 图, 在 直 三 棱 柱 ABC A BC 中, DE, 分 别 为 AB, BC 的 中 点, 点 F 在 侧 棱 BB 上, B D A F, AC A B. 且 求 证 :⑴ 直 线 DE // 平 面 AC F ; ⑵ 平 面 B DE 平 面 AC F. A C B A C D E F B 3 /

4 7. ( 本 小 题 满 分 4 分 ) 现 需 要 设 计 一 个 仓 库, 它 由 上 下 两 部 分 组 成, 上 部 分 的 形 状 是 正 四 棱 锥 P A BC D, 下 部 分 的 形 状 是 正 四 棱 柱 ABCD A BC D ( 如 图 所 示 ), 并 要 求 正 四 棱 柱 的 高 OO 是 正 四 棱 锥 的 高 PO 的 4 倍. ⑴ 若 AB 6m, PO m, 则 仓 库 的 容 积 是 多 少 ; ⑵ 若 正 四 棱 锥 的 侧 棱 长 为 6m, 当 PO 为 多 少 时, 仓 库 的 容 积 最 大? P D C O A B A D O B C 4 /

5 8. ( 本 小 题 满 分 4 分 ) 及 其 上 一 点,4 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 Oy 中, 已 知 以 M 为 圆 心 的 圆 M : y 4y 60 0 ⑴ 设 圆 N 与 轴 相 切, 与 圆 M 外 切, 且 圆 心 N 在 直 线 6 上, 求 圆 N 的 标 准 方 程 ; ⑵ 设 平 行 于 OA 的 直 线 l 与 圆 M 相 交 于 BC, 两 点, 且 BC OA, 求 直 线 l 的 方 程 ; ⑶ 设 点 Tt,0 满 足 : 存 在 圆 M 上 的 两 点 P 和 Q, 使 得 TA TP TQ, 求 实 数 t 的 取 值 范 围. y A. M A O 5 /

6 9. ( 本 小 题 满 分 4 分 ) 已 知 函 数 f a b a 0, b 0, a, b ⑴ 设 a, b. 求 方 程 f 的 根 ;. 若 对 于 任 意 R, 不 等 式 ⑵ 若 0a, f mf 6恒 成 立, 求 实 数 m 的 最 大 值 ; b, 函 数 g f 有 且 只 有 个 零 点, 求 ab 的 值. 6 /

7 0. ( 本 小 题 满 分 4 分 ) 记 U,,,00. 对 数 列 a * ( 若 T t t t,,, k, 定 义 T t t tk n 现 设 a * ( n S a a a nn ) 和 U 的 子 集 T, 若 T, 定 义 S 0 ;. 例 如 :,3, 66 nn ) 是 公 比 为 3 的 等 比 数 列, 且 当,4 n ⑴ 求 数 列 a 的 通 项 公 式 ; ⑵ 对 任 意 正 整 数 k ( k 00 ), 若 T,,, k T 时, ST a a3 a66. T 时, S 30., 求 证 : ST ak ; ⑶ 设 C U, D U, S C S D, 求 证 : SC SC D SD. T T 7 /

8 数 学 Ⅱ( 附 加 题 ). [ 选 做 题 ] 本 题 包 括 A B C D 四 小 题, 请 选 定 其 中 两 小 题, 并 在 相 应 的 答 题 区 域 内 作 答, 若 多 做, 则 按 作 答 的 前 两 小 题 评 分, 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤. A.[ 选 修 4-: 几 何 证 明 选 讲 ]( 本 小 题 满 分 0 分 ) 如 图, 在 ABC 中, ABC 90, BD AC, D 为 垂 足, E 是 BC 中 点. 求 证 : EDC ABD. B E A D C B.[ 选 修 4-: 矩 阵 与 变 换 ]( 本 小 题 满 分 0 分 ) 已 知 矩 阵 A 0, 矩 阵 B 的 逆 矩 阵 B, 求 矩 阵 AB. 0 8 /

9 C.[ 选 修 4-4: 坐 标 系 与 参 数 方 程 ]( 本 小 题 满 分 0 分 ) t, 在 平 面 直 角 坐 标 系 Oy 中, 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 t y 3 t, cos, 为 参 数, 设 直 线 l 与 椭 圆 C 相 交 于 AB, 两 点, 求 线 段 AB 的 长. y sin, 为 参 数, 椭 圆 C 的 参 数 方 程 为 D.[ 选 修 4-5: 不 等 式 选 讲 ]( 本 小 题 满 分 0 分 ) a a 设 a 0,, y, 求 证 : y 4 a /

10 [ 必 做 题 ] 第 题 第 3 题, 每 题 0 分, 共 计 0 分. 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答, 解 答 时 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤.. ( 本 小 题 满 分 0 分 ) 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 Oy 中, 已 知 直 线 l : y 0 ⑴ 若 直 线 l 过 抛 物 线 C 的 焦 点, 求 抛 物 线 C 的 方 程 ; ⑵ 已 知 抛 物 线 C 上 存 在 关 于 直 线 l 对 称 的 相 异 两 点 P 和 Q. 求 证 : 线 段 PQ 上 的 中 点 坐 标 为 p, p ; 求 p 的 取 值 范 围., 抛 物 线 C : y p p 0. y l C O 0 /

11 3. ( 本 小 题 满 分 0 分 ) ⑴ 求 7C 4C 的 值 ; * m m m m m m ⑵ 设 mnn,,n m, 求 证 :m C m C m 3C nc n C m C. m m m n n n /

12 06 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 江 苏 卷 ) 参 考 答 案 一 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题, 每 小 题 5 分, 共 计 70 分.., ;. 5 ; 3. 0 ; 4. 0.; 5. 3, ; 6. 9; ; 8. 0 ; 9. 7; ; ; 5 4,3 5 ; 7 8 ; 4. 8 ; 二 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题, 共 计 90 分. 5. ⑴ 4 cos B, B 为 三 角 形 的 内 角 5 3 sin B 5 AB AC sinc sin B AB ⑵, 即 : AB 5 ; cos A cos C B sin Bsin C cos BcosC cos A 0 又 A 为 三 角 形 的 内 角 7 sin A 0 6. ⑴ DE, 为 中 点, DE 为 ABC 的 中 位 线 /

13 DE// AC ABC A B C 为 棱 柱, AC// AC 又 DE// AC, 又 DE// 平 面 AC F ; ⑵ AC 平 面 AC F, 且 DE AC F ABC A B C 为 直 棱 柱, AA 平 面 A BC AA AC, 又 AC A B 且 AA A B A, AA, A B 平 面 AAB B AC 平 面 AAB B, 又 DE// AC, DE 平 面 AAB B 又 AF 平 面 AAB B, DE A F A F B D, DE B D D, 且 DE, B D 平 面 B DE 又 AF 平 面 B DE, 又 A F AC F 平 面 B DE 平 面 AC F. 7. ⑴ PO m, 则 OO 8m, V S PO 6 4 m P A B C D = ABCD, VABCD A B CD = S ABCD OO m, V V 3 = P A B C 3 m D V ABCD A B C D, 3 故 仓 库 的 容 积 为 3 m ; ⑵ 设 PO m, 仓 库 的 容 积 为 V( ) 则 OO 4 m, AO 36 m, AB 36 m, V S PO P A BC D = ABCD m, ABCD A BC D 3 3 V = SABCD OO m, V = V P A B C D V ABCD A B C D, V ' 时, V' 0, 当 0, 3 时, V' 0, 当 3,6, V 单 调 递 增, V 单 调 递 减, 因 此, 当 3时, V 取 到 最 大 值, 即 PO 3 m 时, 仓 库 的 容 积 最 大. 3 /

14 [ 来 源 : 学 科 网 ] 8. ⑴ 因 为 N 在 直 线 6 上, 设 6, 则 圆 N 为 6 N n, 因 为 与 轴 相 切, y n n, n 0 又 圆 N 与 圆 M 外 切, 圆 M : 则 7 n n 5, 解 得 6 7 5, n, 即 圆 N 的 标 准 方 程 为 y 6 ; ⑵ 由 题 意 得 OA 5, koa 设 l : y b, 则 圆 心 M 到 直 线 l 的 距 离 7 b 5 b d 5, 则 5 b BC 5 d 5, 5 5 BC, 即 5 b 解 得 b 5或 b 5, 即 l : y 5或 y 5 ; TA TP TQ, 即 TA TQ TP PQ, 即 TA PQ, t 4 TA, 又 PQ 0, t, 解 得 t,, 即 4 0 对 于 任 意 t,, 欲 使 TA PQ, 5 5, 5 此 时 TA 0, 只 需 要 作 直 线 TA 的 平 行 线, 使 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 TA 5, 4 必 然 与 圆 交 于 P Q两 点, 此 时 TA PQ, 即 TA PQ, 因 此 对 于 任 意 t,, 均 满 足 题 意, 综 上 t,. 9. ⑴ f, 由 f 则 0, 即 可 得, 0, 则, 0 ; 由 题 意 得 m 6 恒 成 立, 令 t, 则 由 0可 得 t, 4 /

15 t 此 时 t mt 6恒 成 立, 即 m t 4 4 t 恒 成 立 t t 4 4 时 t t 4 t t, 当 且 仅 当 t 时 等 号 成 立, 因 此 实 数 m 的 最 大 值 为 4. ⑵ g f a b, b 由 0a, b 可 得 ln a b g ' a ln a b ln b a ln b, ln b a a, 令 h 而 ln a0,ln b 0, 因 此 0 log 因 此, 时, 0 时, 0 0, 则 g 在 若 0 0 0, 0 b a b a ln a ln b h, ln 0 h, ln 0 递 减, ln a ln b 时 h0 0, a b, 则 a b, 则 递 增, 因 此 0, g, log 时, a logb 时, a 0, 因 此 log a 且 0 logb 且 0 a b, 则 h 递 增, g' 0; g' 0; loga a, 0 logb b, 则 0 g 最 小 值 为 g, b, 则 0 g ; 时, g, 因 此 0 时, g, 因 此 0 则 g 至 少 有 两 个 零 点, 与 条 件 矛 盾 ; 若 g0 0, 由 函 数 可 得 g0 0, g 0 a b 0, 由 0 0 因 此 0 0, g 有 且 只 有 个 零 点, 0 g ; g 在 有 零 点,, 0 g 在 有 零 点, 0, ln a ln a 因 此 log 0, 即, 即 ln aln b 0, ln b ln b b a 因 此 ln ab 0, 则 ab. g 最 小 值 为 g, 0 0. ⑴ 当,4 a T 时, ST a a4 a 9a 30, 因 此 a 3, 从 而 a, 3 ⑵ k k 3 k ST a a ak ak ; 5 / a 3 n n ; ⑶ 设 A C D, B C D, 则 A B, S C S A S C D, S D S B S C D, C D S S S S S, 因 此 原 题 就 等 价 于 证 明 S S. C C D D A B A B

16 由 条 件 SC SD可 知 SA SB. 若 B, 则 SB 0, 所 以 SA SB. 若 B, 由 SA SB可 知 A, 设 A 中 最 大 元 素 为 l, B 中 最 大 元 素 为 m, 若 m l, 则 由 第 ⑵ 小 题, SA al am SB, 矛 盾. 因 为 A B, 所 以 l m, 所 以 l m, m m 3 am al SA SB a a am 3 3 3, 即 SA SB. 综 上 所 述, S S, 因 此 S S S. A B C C D D 数 学 Ⅱ( 附 加 题 ). [ 选 做 题 ] 本 题 包 括 A B C D 四 小 题, 请 选 定 其 中 两 小 题, A.[ 选 修 4-: 几 何 证 明 选 讲 ]( 本 小 题 满 分 0 分 ) 解 : 由 BD AC 可 得 BDC 90, 由 E 是 BC 中 点 可 得 DE CE BC, 则 EDC C, 由 BDC 90 可 得 C DBC 90, 由 ABC 90 可 得 ABD DBC 90, 因 此 ABD C, 又 EDC C 可 得 EDC ABD. B. [ 选 修 4-: 矩 阵 与 变 换 ]( 本 小 题 满 分 0 分 ) 4 5 B B 4, 因 此 AB 解 : C. [ 选 修 4-4: 坐 标 系 与 参 数 方 程 ]( 本 小 题 满 分 0 分 ) 解 : 直 线 l 方 程 化 为 普 通 方 程 为 3 y 3 0, y 椭 圆 C 方 程 化 为 普 通 方 程 为, 4 3 y 联 立 得 y, 解 得 或, y y 因 此 AB /

17 D. [ 选 修 4-5: 不 等 式 选 讲 ]( 本 小 题 满 分 0 分 ) a a 解 : 由 可 得, 3 3 a a y 4 y a. 3 3 [ 必 做 题 ] 第 题 第 3 题, 每 题 0 分, 共 计 0 分.. 解 :⑴ l : y 0, l 与 轴 的 交 点 坐 标 为,0 p 即 抛 物 线 的 焦 点 为,0, y 8; ⑵ 设 点 P, y, Q, y y 则 : y y p p k, 即, y p p PQ y y p y y y y p p 又 PQ, 关 于 直 线 l 对 称, k PQ y y 即 y y p, p 又 PQ 中 点 一 定 在 直 线 l 上 y y p 线 段 PQ 上 的 中 点 坐 标 为 p, p ; 中 点 坐 标 为 p, p y y p y y p y y 即 4 p y y 8p 4p p y y p, 即 关 于 y py 4p 4p 0 有 两 个 不 等 根 yy 4p 4p 0, 4 p 44p 4p 0, p 0, 解 :⑴ 7C 3 4C ; 6 7 * ⑵ 对 任 意 的 mn, m 当 n m时, 左 边 m C m m, 右 边 m m 7 / C m, 等 式 成 立, m

18 假 设 n k k m 时 命 题 成 立, m C m C m 3 C kc k C m C, m m m m m m 即 当 nk 时, m m m k k k 左 边 = m m m k k k C C 3 C C C C m m m m m m m m m k k k m m k C C, m, C m k3 右 边 m k k m 而 m m C C, m k3 k k m k! m! k m! k! k m! k m! k C m k k 3!! m! k m! m k! m! m k 3 k m 因 此 m k m C C C, 因 此 左 边 = 右 边, m m m k k k3 因 此 nk 时 命 题 也 成 立, 综 合 可 得 命 题 对 任 意 n m均 成 立. k C m C, 所 以 m m 另 解 : 因 为 k k 左 边 m m m m C m C m m m C m n m m m C m Cm Cn k k k 又 由 C C C, 知 n n n C C C C C C C C C C C C, m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n 所 以, 左 边 右 边. 8 /

19 . 答 案, ; 解 析 由 交 集 的 定 义 可 得 A B,.. 答 案 5; 06 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 江 苏 卷 ) 选 填 解 析 解 析 由 复 数 乘 法 可 得 z 5 5i, 则 则 z 的 实 部 是 答 案 0 ; 解 析 c a b 0, 因 此 焦 距 为 c 答 案 0.; 解 析 答 案 3, ; s , 解 析 3 0, 解 得 3, 因 此 定 义 域 为 3,. 6. 答 案 9; 解 析 ab, 的 变 化 如 下 表 : 7. 答 案 5 6 ; a 5 9 b 则 输 出 时 a 9. 解 析 将 先 后 两 次 点 数 记 为 y,, 则 共 有 个 等 可 能 基 本 事 件, 其 中 点 数 之 和 大 于 等 于 0 有 8. 答 案 0 ; ,6, 5,5, 5,6, 6,4, 6,5, 6,6 六 种, 则 点 数 之 和 小 于 0 共 有 30 种, 概 率 为 解 析 设 公 差 为 d, 则 由 题 意 可 得 a a d 9. 答 案 7;, 5a 0d 0, 3 解 得 a 4, d 3, 则 a /

20 解 析 画 出 函 数 图 象 草 图, 共 7 个 交 点. y O - 0. 答 案 6 3 ; 解 析 由 题 意 得 Fc,0, 直 线 b y 由 BFC 90 可 得 BF CF 0, 3 a b 与 椭 圆 方 程 联 立 可 得 B,, 3 a b C,, 3 a b BF c,, 3 a b CF c,,. 3 3 c 6 则 c a b 0, 由 b a c 可 得 c a, 则 e a 3 3 答 案 ; 5 5 解 析 由 题 意 得 f f a, 9 f f, 由 f f 3 可 得 a, 则 a, f 5a f 3 f a. 5 5 则 答 案 4,3 5 ; 解 析 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 可 行 域 如 下 0 /

21 y 4 3 B A y 为 可 行 域 内 的 点 到 原 点 距 离 的 平 方. 可 以 看 出 图 中 A 点 距 离 原 点 最 近, 此 时 距 离 为 原 点 A 到 直 线 y 0的 距 离, 5 d 4 5, 则 y 4, min 5 图 中 B 点 距 离 原 点 最 远, B 点 为 y 4 0与 3 y 3 0 则 y 3. ma 交 点, 则,3 B, 3. 答 案 7 8 ; 解 析 令 DF a, DB b, 则 DC b, DE a, DA 3a, 4. 答 案 8; 则 BA 3a b, CA 3a b, BE a b, CE a b, BF a b, CF a b, 则 BACA 9a b, BF CF a b, BE CE 4a b, / 由 BACA 4, BF CF 可 得 9a b 4, a b, 因 此 a 因 此 BE CE 4a b 解 析 由 5 3, b, 8 8 sin A sin π A sin B C sin Bcos C cos Bsin C, sin A sin Bsin C, 可 得 sin Bcos C cos Bsin C sin Bsin C (*), 由 三 角 形 ABC 为 锐 角 三 角 形, 则 cos B0,cos C 0, 在 (*) 式 两 侧 同 时 除 以 cos Bcos C 可 得 tan B tan C tan Btan C, tan B tan C (#), tan Btan C 又 tan A tan π A tan B C tan B tan C 则 tan Atan B tan C tan B tan C, tan Btan C

22 由 tan B tan C tan Btan C 可 得 B C tan tan tan Atan B tan C tan Btan C, 令 tan Btan C t, 由 A, B, C 为 锐 角 可 得 tan A 0,tan B 0,tan C 0, 由 (#) 得 tan Btan C 0, 解 得 t t tan Atan B tan C t, t t t t t, 由 t 则 0 4 t t 4, 因 此 tan A tan B tan C 最 小 值 为 8, 当 且 仅 当 t 时 取 到 等 号, 此 时 tan Btan C 4, tan Btan C, 解 得 tan B,tan C,tan A 4 ( 或 tan B,tan C 互 换 ), 此 时 A, B, C 均 为 锐 角. /

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