研究一:n人以『剪刀、石頭、布』猜拳法猜拳一次,決定一人勝

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1 嘉 義 市 第 三 十 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 猜 拳 決 勝 負 的 最 佳 策 略 探 討 科 別 : 數 學 科 組 別 : 國 小 組 關 鍵 詞 : 剪 刀 石 頭 布 黑 白 猜 編 號 :

2 壹 摘 要 在 玩 遊 戲 時 往 往 需 要 運 用 猜 拳 剪 刀 石 頭 布 或 黑 白 猜 來 決 勝 負 或 是 分 組, 但 人 數 一 多, 便 無 法 快 速 的 分 出 勝 負 我 們 發 現 了 這 個 問 題, 所 以 著 手 研 究 我 們 分 析 每 種 情 況 的 機 率, 並 且 討 論 出 能 夠 更 快 決 勝 負 的 組 合 及 方 法, 希 望 能 了 解 生 活 中 經 常 使 用 的 猜 拳 法 決 定 輸 贏 的 機 率, 並 使 用 亂 數 模 擬 猜 拳 結 果, 以 及 比 較 不 同 猜 拳 法 決 定 勝 負 的 機 率 大 小 關 係, 進 而 探 討 較 佳 的 猜 拳 決 勝 負 策 略 貳 研 究 動 機 在 玩 遊 戲 時 往 往 需 要 運 用 猜 拳 剪 刀 石 頭 布 或 黑 白 猜 來 決 勝 負 或 是 分 組, 但 人 數 一 多, 便 無 法 快 速 的 分 出 勝 負 我 們 發 現 了 這 個 問 題, 所 以 著 手 研 究 找 出 人 數 與 猜 拳 次 數 的 關 係 ( 教 材 相 關 性 : 部 編 版 數 學 第 十 二 冊 第 二 單 元 第 一 課 ) 參 研 究 目 的 研 究 一 :n 人 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法, 一 把 決 勝 負 的 機 率 探 討 研 究 二 :n 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次, 即 可 決 定 一 人 勝 的 機 率 探 討 (n 3) 研 究 三 :n 人 以 剪 刀 石 頭 布 黑 白 猜 猜 拳 最 快 決 勝 負 的 把 數 研 究 四 :n 人 猜 拳 的 最 佳 策 略 探 討 肆 研 究 設 備 及 器 材 紙 筆 計 算 機 電 腦 伍 研 究 過 程 或 方 法 一 文 獻 探 討 :. 查 詢 歷 屆 科 展, 輸 入 猜 拳 進 行 查 詢, 目 前 無 人 進 行 研 究 2. 必 勝 絕 招 - 先 出 剪 刀 大 多 數 人 都 知 道 : 猜 拳 遊 戲 中, 石 頭 贏 剪 刀, 剪 刀 贏 布, 布 贏 石 頭, 但 很 少 有 人 知 道, 如 何 贏 得 這 個 相 當 普 遍 的 遊 戲 現 在 有 玩 家 透 露 了 必 勝 絕 招 : 先 出 剪 刀 英 國 的 每 日 郵 報 報 導, 研 究 顯 示 在 這 種 快 速 擺 出 手 部 姿 勢 的 猜 拳 遊 戲 中, 石 頭 是 三 種 猜 拳 手 勢 中 玩 家 最 喜 歡 出 的 一 種 如 果 你 的 對 手 預 期 你 會 出 石 頭, 他 們 就 會 選 擇 出 布 來 贏 過 你, 因 此 你 要 出 剪 刀 才 能 贏 中 央 社 中 央 社 台 北 27.2.

3 二 名 詞 解 釋 :. 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法 : 其 中 剪 刀 贏 布 布 輸 剪 刀 布 贏 石 頭 石 頭 輸 布 石 頭 贏 剪 刀 剪 刀 輸 石 頭 2. 黑 白 猜 猜 拳 法 : 手 背 向 上 是 黑, 手 心 向 上 是 白, 決 勝 負 的 方 法 是 : 同 時 有 很 多 人 要 用 黑 白 猜 來 決 勝 負, 假 設 只 有 一 個 人 出 的 拳 法 跟 別 人 不 同, 那 一 個 人 就 贏 了 3. 決 勝 負 : 不 管 幾 個 人 猜 拳, 出 現 第 一 位 贏 家 時 就 是 決 勝 負 的 意 思 例 如 : 一 把 決 勝 負 : 猜 拳 一 次 就 出 現 第 人 贏 二 把 決 勝 負 : 猜 拳 第 一 次 出 現 帄 手, 進 行 第 二 次 猜 拳 才 出 現 人 贏 的 狀 況 4. 數 學 計 算 方 法 : () 剪 刀 石 頭 布 :n 人 猜 拳 共 有 3 n 種 情 況, n 人 贏 : C 3 n 2 人 贏 : C 3 2 n n- 人 贏 : C 3 n (2) 黑 白 猜 :n 人 猜 拳 共 有 2 n 種 情 況, n. 人 贏 有 C 2 種 情 況 n 2. 帄 手 有 n-c 2 種 情 況 三 研 究 過 程 : 以 下 分 四 個 研 究 進 行 首 先, 研 究 一 先 計 算 n 人 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 一 把 決 勝 負, 也 就 是 一 次 決 定 人 贏 的 機 率 研 究 二 再 計 算 n 人 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 兩 次 決 定 人 贏 的 機 率, 與 研 究 一 比 較 機 率 大 小 研 究 三 先 計 算 出 以 剪 刀 石 頭 布 以 及 黑 白 猜 猜 拳, 不 同 把 數 能 決 勝 負 的 機 率 並 比 較 研 究 四 主 要 探 討 分 組 後 再 猜 拳 的 最 佳 策 略 2

4 研 究 一 :n 人 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法 猜 拳 一 把 決 勝 負 的 機 率 探 討 一 規 則 : 數 學 計 算 方 法 : 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法, 其 中 剪 刀 贏 布 布 輸 剪 刀 布 贏 石 頭 石 頭 輸 布 石 頭 贏 剪 刀 剪 刀 輸 石 頭, 算 出 n 人 猜 拳 時, 能 把 決 勝 負 的 所 有 情 況, 有 : 人 贏 2 人 贏 (n-) 人 贏, 最 後 還 有 一 種 帄 手 的 情 況, 計 算 各 種 情 況 的 機 率 二 2~4 人 的 分 析 結 果 ( 一 )2 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 把 決 勝 負. 數 學 計 算 方 法 :2 人 猜 拳 共 有 3 2 = 種 情 況, () 人 贏 有 種 情 況 ( 剪 刀 贏 布 布 輸 剪 刀 布 贏 石 頭 石 頭 輸 布 石 頭 贏 剪 刀 剪 刀 輸 石 頭 ), 機 率 是. 3 (2) 帄 手 有 3 種 情 況 ( 都 出 剪 刀 都 出 石 頭 都 出 布 ) 機 率 是. 3 ( 註 : 人 贏 : 甲 乙 2 人 猜 拳, 甲 方 或 乙 方 其 中 人 贏, 就 是 人 贏 ) 以 長 條 圖 呈 現 機 率 大 小 : 2 人 猜 拳 的 結 果 ( 機 率 ) 人 贏 帄 手 圖 以 數 學 計 算 方 法 2 人 猜 拳 的 機 率 ( 二 )3 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 把 決 勝 負. 數 學 計 算 方 法 :3 人 猜 拳 共 有 3 3 =27 種 情 況 () 人 贏 共 有 種 情 況, 機 率 是 (2) 2 人 贏 共 有 種 情 況, 機 率 是. 3 ( 例 27 : 甲 和 乙 都 出 布, 丙 出 石 頭 ) (3) 帄 手 共 有 種 情 況, 機 率 是 以 長 條 圖 呈 現 機 率 大 小 : 3

5 人 猜 拳 的 結 果 ( 機 率 ) 人 贏 2 人 贏 帄 手 圖 2 以 數 學 計 算 方 法 2 人 猜 拳 的 機 率 ( 三 )4 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 把 決 勝 負. 數 學 計 算 方 法 :4 人 猜 拳 共 有 3 4 = 種 情 況, 2 () 人 贏 有 2 種 情 況, 機 率 是 =.4, (2) 2 人 贏 有 種 情 況, 機 率 是 =22, 2 (3) 3 人 贏 有 2 種 情 況, 機 率 是 =.4, 3 (4) 帄 手 的 情 況 有 3 種, 機 率 是 =.42 4 人 猜 拳 的 時 候, 人 贏 到 3 人 贏 的 機 率 大 小 會 呈 現 對 稱 的 情 況 以 長 條 圖 呈 現 機 率 大 小 : 人 猜 拳 的 結 果 ( 機 率 ) 人 贏 2 人 贏 3 人 贏 帄 手 圖 3 以 數 學 計 算 方 法 2 人 猜 拳 的 機 率 4

6 三 人 以 下 的 分 析 結 果 以 下 為 人 以 下 的 彙 整 圖 及 表 ( 一 ) 數 學 計 算 方 法 的 機 率 : 在 附 錄 一 中 列 出 2~ 人 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法 一 把 決 勝 負 的 機 率 表, 我 們 進 一 步 以 長 條 圖 彙 整 出 表, 從 表 一 系 列 的 長 條 圖 中 發 現,. 人 數 越 多 時, 帄 手 的 機 率 就 越 高, 例 如,2 人 時, 帄 手 機 率 只 有.333, 而 人 時, 帄 手 機 率 高 達.4, 這 代 表 人 數 越 多, 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法 一 把 決 勝 負 的 可 能 性 越 低, 所 以 建 議 要 改 採 用 別 種 方 法 來 進 行 2. 從 表 的 4~ 人 的 長 條 圖 中 發 現, 一 把 決 勝 負 可 能 是 人 贏 2 人 贏, 其 中 贏 家 人 數 的 機 率 呈 現 對 稱 圖 形 這 代 表 多 人 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法 一 把 決 勝 負 時, 雖 然 要 出 現 贏 家 的 機 率 很 小, 但 是 以 人 數 大 約 一 半 時 出 現 贏 家 的 機 率 較 高, 例 如 :4 人 猜 拳 時, 贏 家 的 情 況 可 能 是 人 贏 2 人 贏 3 人 贏, 其 中 以 2 人 贏 的 機 率 較 高 表 2~ 人 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法 一 把 決 勝 負 的 機 率 長 條 圖 整 理 表 - 數 學 計 算 方 法 人 次 決 勝 負 的 機 率 人 贏 帄 手 人 次 決 勝 負 的 機 率 人 贏 2 人 贏 帄 手 4 人 次 決 勝 負 的 機 率 5 人 次 決 勝 負 的 機 率 對 稱 人 贏 2 人 贏 3 人 贏 帄 手...4 對 稱 人 贏 2 人 贏 3 人 贏 4 人 贏 帄 手 5

7 ...4 人 次 決 勝 負 的 機 率.745 對 稱 人 贏 2 人 贏 3 人 贏 4 人 贏 5 人 贏 帄 手 人 次 決 勝 負 的 機 率 7 對 稱 人 贏 2 人 贏 3 人 贏 4 人 贏 5 人 贏 人 贏 帄 手...4 人 次 決 勝 負 的 機 率.4 對 稱 人 次 決 勝 負 的 機 率 對 稱 人 次 決 勝 負 的 機 率 對 稱 人 贏 2 人 贏 3 人 贏 4 人 贏 5 人 贏 人 贏 7 人 贏 人 贏 人 贏 帄 手 研 究 二 :n 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次, 即 可 決 定 一 人 勝 的 機 率 探 討 (n 3) ( 用 黑 白 猜 決 勝 負 只 適 用 於 人 數 是 3 人 以 上, 且 只 需 選 出 一 名 勝 利 者 的 情 況 ) 一 遊 戲 規 則 手 背 向 上 是 黑, 手 心 向 上 是 白, 決 勝 負 的 方 法 是 : 同 時 有 很 多 人 要 用 黑 白 猜 來 決 勝 負, 假 設 只 有 一 個 人 出 的 拳 法 跟 別 人 不 同, 那 一 個 人 就 贏 了 二 分 析 方 法 算 出 n 人 猜 拳 能 次 決 勝 負 的 所 有 情 況, 再 由 結 果 算 出 機 率, 最 後 使 用 亂 數 模 擬 猜 拳 結 果, 看 看 是 否 符 合 算 出 的 機 率 n 人 猜 拳 共 有 2 n 種 情 況, n n. 人 贏 有 C 2 種 情 況, 機 率 : C 2 2 n 2. 帄 手 有 2 n n -C 2 種 情 況, 機 率 :(2 n n -C 2 ) 2 n

8 三 結 果 ( 一 )3 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 次 3 人 猜 拳 共 有 2 3 種 情 況,. 人 贏 有 ( C 3 2 ) 種 情 況, 機 率 是 帄 手 有 2 種 情 況 ( 都 出 黑 或 都 出 白 ) 機 率 是. 25 ( 二 )4 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 次 4 人 猜 拳 共 有 2 4 種 情 況, 恰 人 贏 有 ( C 4 2 ) 種 情 況, 機 率 是. 5 ( 三 )5 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 次 5 人 猜 拳 共 有 2 5 種 情 況, 恰 人 贏 有 ( C 5 2 ) 種 情 況, 機 率 是 ( 四 ) 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 次 人 猜 拳 共 有 2 2 種 情 況, 恰 人 贏 有 2 ( C 2 ) 種 情 況, 機 率 是 ( 五 )7 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 次 7 人 猜 拳 共 有 種 情 況, 恰 人 贏 有 4 ( C 7 2 ) 種 情 況, 機 率 是. 2 ( 六 ) 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 次 人 猜 拳 共 有 2 種 情 況, 恰 人 贏 有 ( C 2 ) 種 情 況, 機 率 是 ( 七 ) 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 次 人 猜 拳 共 有 2 種 情 況, 恰 人 贏 有 ( C 2 ) 種 情 況, 機 率 是 ( 八 ) 人 猜 拳 ~ 猜 拳 一 次 人 猜 拳 共 有 2 2 種 情 況, 恰 人 贏 有 2( C 2 ) 種 情 況, 機 率 是 四 分 析 ( 一 ) 由 圖 4 得 知, 人 數 愈 多, 機 率 的 差 距 愈 大, 也 就 是 猜 拳 人 數 越 多, 一 把 決 勝 負 的 機 率 愈 小, 而 帄 手 的 機 率 愈 大 例 如 :3 人 猜 拳, 一 把 決 勝 負 的 機 率 有.75, 而 人 猜 拳 一 把 決 勝 負 的 機 率 只 有.5 一 人 贏 的 機 率 人 4 人 5 人 人 7 人 人 人 人 猜 拳 人 數 圖 4 3~ 人 以 黑 白 猜 一 把 決 勝 負 的 機 率 7

9 五 研 究 一 和 研 究 二 結 果 的 綜 合 分 析 我 們 將 研 究 一 和 研 究 二 兩 種 猜 拳 法 的 機 率 進 行 比 較, 整 理 出 一 把 決 勝 負, 而 且 出 現 人 贏 的 機 率 在 表 2, 並 進 一 步 做 成 圖 5 ( 一 ) 從 圖 發 現, 黑 白 猜 ( 紅 色 長 條 ) 在 一 把 產 生 出 人 贏 的 機 率 較 高, 而 剪 刀 石 頭 布 的 猜 拳 法 ( 藍 色 長 條 ) 產 生 人 贏 的 機 率 較 低 ( 二 ) 進 一 步 將 二 種 猜 拳 法 機 率 結 果 進 行 相 除, 計 算 倍 數, 也 就 是 倍 數 = 黑 白 猜 拳 剪 刀 石 頭 布 拳 從 表 2 中 發 現, 人 數 越 多 時, 倍 數 越 高, 這 代 表 人 數 多 時, 建 議 使 用 黑 白 猜 的 猜 拳 法 ( 三 ) 由 這 個 分 析 得 知, 人 數 2 人 時, 建 議 以 剪 刀 石 頭 布 決 勝 負 ; 人 數 較 多 時, 建 議 以 黑 白 猜 決 勝 負 ( 四 ) 我 們 在 想 : 除 了 用 黑 白 猜 猜 拳 一 次 決 勝 負 外, 還 有 沒 有 其 他 方 式 能 更 快 決 勝 負, 於 是, 我 們 用 兩 種 猜 拳 法 分 組 猜 拳, 將 結 果 呈 現 在 下 一 個 研 究 人 數 一 把 決 勝 負 的 機 率 猜 拳 法 剪 刀 石 頭 布 (A 拳 ) 黑 白 猜 (B 拳 ) 倍 數 = B 拳 /A 拳 表 2 2~ 人 以 二 種 猜 拳 法 一 把 決 勝 負 的 機 率 人 贏 的 機 率 表 2 人 3 人 4 人 5 人 人 7 人 人 人 人 無 無 一 人 贏 的 機 率 剪 刀 石 頭 布.5 黑 白 猜 無 人 3 人 4 人 5 人 人 7 人 人 人 人 猜 拳 人 數 圖 5 二 種 猜 拳 法 一 把 決 勝 負 的 機 率 比 較

10 研 究 三 :n 人 以 剪 刀 石 頭 布 黑 白 猜 猜 拳 最 快 決 勝 負 的 把 數 研 究 一 和 二 都 是 一 把 決 勝 負 的 探 討, 所 以 以 下 進 行 多 把 決 勝 負 的 探 討 我 們 十 分 好 奇 不 同 人 數 猜 拳, 能 最 快 決 勝 負 的 把 數 是 第 幾 把? 而 同 一 把 數 中, 能 最 快 決 勝 負 的 人 數 又 是 幾 人? 於 是 我 們 運 用 excel 算 出 以 下 的 機 率, 並 進 行 比 較 以 下 表 格 用 紅 字 標 示 的 機 率 是 同 人 數 猜 拳, 能 最 快 決 勝 負 的 把 數 一 2~ 人 猜 拳, 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法 各 自 在 第 幾 把 時 最 有 機 會 可 以 出 現 第 位 贏 家? ( 一 ) 計 算 過 程 我 們 以 下 列 的 數 學 計 算 方 法 在 excel 中 寫 入 方 程 式, 數 學 計 算 方 法 如 下 : 把 : 以 能 夠 一 次 決 勝 負 的 方 法 數 除 以 所 有 方 法 數 例 如 :2 人 猜 拳 能 決 定 人 贏 有 種 方 法, 共 有 種 情 況, 所 以 在 excel 寫 方 程 式 要 寫 成 : =/ 2 把 : 以 無 法 決 勝 負 的 機 率 分 別 乘 上 把 就 能 決 勝 負 的 機 率 例 如 :3 人 猜 拳 不 能 決 勝 負 的 方 法 分 別 是 2 人 贏 和 3 人 贏, 機 率 分 別 是 /27 和 /27, 在 excel 寫 方 程 式 要 寫 成 :=/27*B3+/27*B2( 註 :B3 和 B2 分 別 是 3 人 猜 拳 人 贏 以 及 2 人 猜 拳 人 贏 的 機 率 格 子 編 號 ) 3 把 : 以 無 法 決 勝 負 的 機 率 分 別 乘 上 2 把 就 能 決 勝 負 的 機 率 例 如 :4 人 無 法 決 勝 負 的 方 法 分 別 是 2 人 贏 3 人 贏 帄 手, 機 率 分 別 是 / 2/ 3/, 在 excel 寫 方 程 式 要 寫 成 :=3/*C4+2/*C3+/*C2( 註 : C4 C3 C2 分 別 是 4 人 猜 拳 2 次 決 勝 負 3 人 猜 拳 2 次 決 勝 負 2 人 猜 拳 2 次 決 勝 負 的 機 率 格 子 編 號 ) 4 把 : 以 無 法 決 勝 負 的 機 率 分 別 乘 上 3 把 就 能 決 勝 負 的 機 率 5 把 : 以 無 法 決 勝 負 的 機 率 分 別 乘 上 4 把 就 能 決 勝 負 的 機 率 以 此 類 推

11 ( 二 ) 結 果 與 分 析. 從 表 3 的 數 字 找 出 同 一 列 中 機 率 最 高 的 把 數 ( 標 示 為 紅 色 字 ), 就 是 在 第 幾 把 時 最 有 機 會 出 現 第 位 贏 家 例 如 : ()2 人 猜 拳 時, 第 把 的 機 率 為.7, 是 整 列 中 數 字 最 高 的, 這 代 表 2 人 猜 拳 在 第 把 最 有 機 會 出 現 第 位 贏 家 (2) 3 人 猜 拳 時, 第 把 與 第 二 把 的 機 率 為 , 是 整 列 中 數 字 最 高 的, 這 代 表 3 人 猜 拳 在 第 把 或 第 二 把 最 有 機 會 出 現 第 位 贏 家 2. 從 表 3 發 現, 雖 然 第 幾 把 時 最 有 機 會 出 現 第 位 贏 家 的 結 果 沒 有 一 定 的 規 律 ( 標 示 為 紅 色 字 ), 但 仍 可 觀 察 到 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法, 只 要 人 數 越 多, 最 容 易 決 勝 負 的 把 數 就 越 多 例 如 : 2 人 猜 拳 是 第 把 決 勝 負 的 機 率 最 高,3 人 4 人 猜 拳 是 第 2 把,5 人 人 猜 拳 是 第 3 把,7 人 猜 拳 是 第 5 把, 人 猜 拳 是 第 7 把, 人 猜 拳 是 第 把, 人 猜 拳 是 第 把 表 3 2~ 人 猜 拳, 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法 決 勝 負 的 機 率 把 數 人 數 把 2 把 3 把 4 把 5 把 把 7 把 把 把 把 2 人 人 人 人 人 人 人 人 人

12 二 3~ 人 猜 拳, 以 黑 白 猜 猜 拳 法 各 自 在 第 幾 把 時 最 有 機 會 可 以 出 現 第 位 贏 家? ( 一 ) 計 算 過 程. 我 們 以 下 列 的 數 學 計 算 方 法 在 excel 中 寫 入 方 程 式, 數 學 計 算 方 法 與 上 一 頁 的 說 明 相 同 2. 黑 白 猜 猜 拳 法 4 人 時, 如 果 第 把 出 現 2 人 出 黑,2 人 出 白 形 成 帄 手, 就 要 進 行 第 2 把 猜 拳 3. 黑 白 猜 猜 拳 法 5 人 時, 如 果 把 出 現 2 人 出 黑,3 人 出 白, 就 淘 汰 出 白 的 3 人, 留 下 出 黑 的 2 人 因 爲 只 剩 下 2 人 無 法 進 行 黑 白 猜 猜 拳 法, 只 能 使 用 剪 刀 石 頭 布 選 出 贏 家 ( 二 ) 結 果 與 分 析. 從 表 4 的 數 字 找 出 同 一 列 中 機 率 最 高 的 把 數 ( 標 示 為 紅 色 字 ), 就 是 在 第 幾 把 時 最 有 機 會 出 現 第 位 贏 家 例 如 : ()3 人 猜 拳 時, 第 把 的 機 率 為.75, 是 整 列 中 數 字 最 高 的, 這 代 表 3 人 猜 拳 在 第 把 最 有 機 會 出 現 第 位 贏 家 (2)4 人 猜 拳 時, 第 把 的 機 率 為.5, 是 整 列 中 數 字 最 高 的, 這 代 表 4 人 猜 拳 在 第 把 最 有 機 會 出 現 第 位 贏 家 2. 從 表 4 的 發 現,3 人 4 人 以 黑 白 猜 猜 拳 法 決 勝 負 時, 在 第 把 時 是 最 有 機 會 出 現 第 位 贏 家 的 ( 標 示 為 紅 色 字 ); 而 人 數 多 時 5~ 人 猜 拳, 都 在 第 2 把 出 現 第 位 贏 家 的 機 率 最 高 把 數 人 數 表 4 3~ 人 猜 拳, 以 黑 白 猜 猜 拳 法 決 勝 負 的 機 率 把 2 把 3 把 4 把 5 把 把 7 把 把 把 把 3 人 人 人 人 人 人 人 人 三 人 以 內 猜 拳 剪 刀 石 頭 布 及 黑 白 猜 二 種 猜 拳 法 的 比 較 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法 決 勝 負 的 最 高 機 率 把 數 會 隨 著 人 數 增 加, 而 以 黑 白 猜 猜 拳 法 決 勝 負 的 機 率, 即 使 人 數 增 加 到 第 人, 決 勝 負 的 最 高 機 率 把 數 卻 集 中 在 第 2 把, 因 此, 建 議 人 數 多 時, 使 用 黑 白 猜 猜 拳 法 較 能 快 速 選 出 位 贏 家

13 研 究 四 :n 人 猜 拳 的 最 佳 策 略 探 討 以 黑 白 猜 決 定 把 決 勝 負 的 機 率 隨 著 人 數 的 增 加, 機 率 也 隨 之 降 低 ( 表 5), 因 此 我 們 想 到 人 數 多 時, 可 以 先 分 組, 再 進 行 猜 拳, 讓 各 組 贏 家 再 進 行 猜 拳 決 定 勝 負 以 下 就,7,,, 人 進 行 討 論 表 5:3~ 人 猜 拳, 以 黑 白 猜 猜 拳 法 把 決 勝 負 的 機 率 人 數 把 數 3 人.75 4 人.5 5 人.325 人.75 把 7 人.375 人.25 人.355 一 計 算 過 程 人.53 ( 一 ) 人 猜 拳 ~ 分 組 猜 拳 ( 一 ) 規 則 : 將 人 分 成 3 人 3 人 兩 組, 各 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次, 各 組 決 定 人 勝 後, 再 讓 勝 者 以 剪 刀 石 頭 布 決 定 一 人 勝 ( 二 ) 分 析 :3 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為, 兩 組 優 勝 者 再 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 則 機 率 為. 375 人 以 黑 白 猜 分 組 猜 拳 的 機 率 為.375 ( 二 )7 人 猜 拳 ~ 分 組 猜 拳 ( 一 ) 規 則 : 將 7 人 分 成 3 人 4 人 兩 組, 各 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次, 各 組 決 定 人 勝 後, 再 讓 勝 者 以 剪 刀 石 頭 布 決 定 一 人 贏 ( 二 ) 分 析 :3 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 贏 的 機 率 為, 4 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 贏 的 機 率 為, 兩 組 優 勝 者 再 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 則 機 率 為 人 以 黑 白 猜 分 組 猜 拳 的 機 率 為 5 ( 三 ) 人 猜 拳 ~ 分 組 猜 拳 ( 一 ) 規 則 : 將 人 分 成 4 人 4 人 兩 組 或 3 人 5 人 兩 組, 各 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次, 各 組 決 定 人 贏 後, 再 讓 勝 者 以 剪 刀 石 頭 布 決 定 一 人 贏 2

14 ( 二 ) 分 析 :()4 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為, 兩 組 優 勝 者 再 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 則 機 率 為. (2)3 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為 5 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為 32 兩 組 優 勝 者 再 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 則 機 率 為 人 以 黑 白 猜 分 組 猜 拳 的 機 率 為..525=.25 ( 四 ) 人 猜 拳 ~ 分 組 猜 拳 ( 一 ) 規 則 : 將 人 分 成 4 人 5 人 兩 組 或 3 人 人 兩 組 或 3 人 3 人 3 人 三 組 各 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次, 各 組 決 定 人 贏 後, 再 讓 勝 者 以 剪 刀 石 頭 布 或 黑 白 猜 決 定 一 人 贏 ( 二 ) 分 析 :() 4 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為 5 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為, 32 兩 組 優 勝 者 再 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 則 機 率 為 (2) 3 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為 2 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為, 4 兩 組 優 勝 者 再 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 2 則 機 率 為. 4 4 (3) 3 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為 三 組 優 勝 者 再 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 則 機 率 為. 3 人 以 黑 白 猜 分 組 猜 拳 的 機 率 為 =.352 3

15 ( 五 ) 人 猜 拳 ~ 分 組 猜 拳 ( 一 ) 規 則 : 將 人 分 成 5 人 5 人 兩 組 或 4 人 人 兩 組 或 3 人 7 人 兩 組 或 3 人 3 人 4 人 三 組, 各 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次, 各 組 決 定 人 贏 後, 再 讓 勝 者 以 剪 刀 石 頭 布 或 黑 白 猜 決 定 一 人 贏 ( 二 ) 分 析 :() 5 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為 32 兩 組 優 勝 者 再 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 則 機 率 為. 5 二 分 析 (2) 4 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為 2 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為, 4 兩 組 優 勝 者 再 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 2 則 機 率 為 (3) 3 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為 4 7 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為, 2 兩 組 優 勝 者 再 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 4 則 機 率 為 (4) 3 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為 4 人 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 恰 一 人 勝 的 機 率 為, 三 組 優 勝 者 再 以 黑 白 猜 猜 拳 一 次 決 定 最 後 勝 利, 則 機 率 為. 75 人 以 黑 白 猜 分 組 猜 拳 的 機 率 為 =.47. 以 黑 白 猜 分 組 猜 拳, 機 率 會 比 用 黑 白 猜 猜 拳 一 次 的 機 率 來 的 高 2. 分 組 猜 拳 先 以 黑 白 猜 猜 拳 在 以 剪 刀 石 頭 布 決 勝 負, 人 數 越 多, 機 率 就 會 變 小 3. 只 要 分 組 的 組 數 愈 多 每 組 的 人 數 愈 相 近, 能 分 出 勝 負 的 機 率 就 愈 高 4. 以 黑 白 猜 分 組 猜 拳, 人 數 愈 多, 機 率 就 愈 小 表 分 組 猜 拳 決 勝 負 的 機 率 人 數 人 7 人 人 人 人 機 率

16 陸 結 論 : 一 用 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 的 人 數 愈 多, 能 夠 一 次 決 勝 負 的 機 率 就 愈 小 在 2~ 人 的 猜 拳 結 果 中, 除 了 帄 手 外, 其 他 能 夠 分 出 勝 負 的 機 率 會 呈 現 對 稱 的 狀 態, 而 對 稱 軸 在 中 n 為 猜 拳 人 數 ), 且 在 此 點 達 到 能 分 出 勝 負 機 率 的 最 大 值 n 2 的 位 置 ( 其 二 由 於 用 剪 刀 石 頭 布 決 勝 負 的 機 率 較 小, 所 以 我 們 使 用 另 一 種 常 用 的 猜 拳 法 黑 白 猜 當 作 決 勝 負 的 方 法 ( 適 用 於 3 人 以 上, 只 需 要 取 一 名 勝 利 者 時 ) 結 果 發 現, 人 數 愈 多, 能 夠 決 勝 負 的 機 率 就 比 用 剪 刀 石 頭 布 能 夠 決 勝 負 的 機 率 大 愈 多 三 我 們 用 excel 算 出 使 用 不 同 拳 法 ( 剪 刀 石 頭 布 黑 白 猜 ) 不 同 把 數 猜 拳 的 機 率 用 剪 刀 石 頭 布 猜 拳, 決 勝 負 機 率 最 大 的 把 數 會 隨 著 人 數 增 加 而 跟 著 增 多 ; 用 黑 白 猜 猜 拳, 決 勝 負 機 率 最 大 的 把 數 均 分 布 於 第 一 及 第 二 把 尤 其 5 人 以 上 時, 在 第 二 把 決 勝 負 的 機 率 中, 使 用 黑 白 猜 決 勝 負 的 機 率 遠 比 使 用 剪 刀 石 頭 布 來 的 大 四 除 了 用 剪 刀 石 頭 布 或 黑 白 猜 猜 拳 一 次 決 勝 負, 我 們 還 可 以 用 兩 種 猜 拳 法 分 組 猜 拳 用 兩 種 猜 拳 法 分 組 猜 拳 的 機 率 比 用 剪 刀 石 頭 布 或 黑 白 猜 猜 拳 一 次 來 的 大, 而 且 分 組 時, 每 組 的 人 數 愈 相 近, 能 決 勝 負 的 機 率 就 愈 大, 這 提 供 的 我 們 在 猜 拳 時 能 較 快 決 勝 負 的 最 佳 策 略 柒 參 考 資 料 : 部 編 版 數 學 第 十 二 冊 第 二 單 元 第 一 課 無 作 者 ( 無 日 期 ) 來 產 生 個 亂 數 吧 年 4 月 日 取 自 : 5

17 附 錄 一 情 況 機 率 2 人 玩 3 人 玩 4 人 玩 5 人 玩 人 玩 7 人 玩 人 玩 人 玩 數 學 計 算 方 法 -2~ 人 以 剪 刀 石 頭 布 猜 拳 法 一 把 決 勝 負 的 機 率 表 人 2 人 3 人 4 人 5 人 人 7 人 人 人 帄 手 人 玩 3 機 率

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