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1 研 究 主 題 : 倒,, 可 倒? 非 常 倒! - 倒 亦 有 道 摘 要 : 只 知 容 積 但 沒 有 刻 度 的 數 個 容 器, 要 得 到 確 定 數 量 的 體 積, 這 就 是 所 謂 的 分 液 問 題 分 液 問 題 由 於 條 件 的 限 制, 只 要 修 改 條 件 或 情 況, 就 會 變 成 另 一 個 問 題 甚 至 於 一 道 新 的 問 題, 所 用 到 的 數 學 概 念 不 過 就 是 數 的 加 減, 但 是 卻 千 變 萬 化, 非 常 有 趣 本 研 究 主 題 探 討 五 個 情 況 不 太 一 樣 的 分 液 問 題, 有 的 題 目 剛 開 始 還 不 知 如 何 下 手, 等 累 積 足 夠 的 經 驗 值 後, 就 可 以 很 輕 鬆 的 解 開 問 題 了 原 來 倒 水 可 以 是 有 道 理 的 壹 研 究 動 機 : 雖 然 知 道 倒 水 問 題 ( 或 分 液 問 題 分 油 問 題 ) 在 科 展 中 已 經 有 不 少 人 做 過 類 似 的 題 目, 但 是 每 次 看 到 這 樣 的 題 目, 還 是 覺 得 很 有 趣, 也 可 以 當 作 訓 練 自 己 頭 腦 的 機 會 由 於 數 學 老 師 鼓 勵 我 們 每 學 期 都 要 找 一 個 題 目 來 研 究 研 究, 於 是 我 們 就 到 圖 書 館 中 找 問 題 我 們 一 共 找 了 5 個 這 樣 的 問 題, 我 們 想 知 道 這 樣 的 題 目 背 後, 有 沒 有 什 麼 數 學 方 法 或 原 理 於 是 我 們 展 開 對 這 類 問 題 的 探 討 這 五 個 問 題 分 別 是 : 夏 令 瑩 和 她 的 老 公 潘 炎 去 森 林 裡 度 假, 問 題 1: 夏 令 瑩 必 須 去 溪 裡 取 來 4 公 升 的 水 放 進 鍋 裡, 才 能 開 始 煮 飯 然 而, 她 只 有 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 5 公 升 和 3 公 升 的 空 瓶 子 請 問, 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 夏 令 瑩 要 如 何 利 用 這 兩 個 瓶 子, 準 確 地 取 得 4 公 升 的 水 呢? 問 題 2: 夏 令 瑩 終 於 張 羅 好 需 要 的 材 料, 開 始 煮 飯 了 接 下 來 她 要 炒 菜, 所 以 她 要 想 辦 法 準 備 適 量 的 油 然 而, 她 只 有 三 支 上 面 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 10cc 7cc 3cc 的 瓶 子 已 知, 容 量 10cc 的 瓶 子 裝 滿 著 油,7cc 和 3cc 的 瓶 子 是 空 的 請 問, 她 要 怎 樣 才 能 從 10cc 的 瓶 子 裡 倒 出 一 半 的 油 到 7cc 的 瓶 子 裡 呢? 問 題 3: 夏 令 瑩 終 於 煮 好 飯 炒 好 菜 了 現 在, 她 要 準 備 餐 前 酒, 於 是 拿 出 三 只 沒 有 刻 度 的 玉 製 酒 杯, 第 一 杯 可 裝 12cc, 第 二 杯 可 裝 9cc, 第 三 杯 可 裝 5cc 夏 令 瑩 想 和 先 生 潘 炎 共 享 這 歡 樂 時 光, 所 以 打 算 在 第 一 杯 及 第 二 杯 各 斟 入 6cc 的 酒 而 因 為 酒 是 百 年 佳 釀, 所 以 沒 辦 法 無 限 量 供 應 在 另 一 本 書 上 還 有 以 下 兩 題 : 問 題 4: 有 道 新 而 有 趣 的 測 量 液 體 體 積 的 難 題 一 個 人 有 兩 個 容 量 10 夸 爾 的 容 器, 均 滿 裝 酒, 此 外 還 有 五 夸 爾 和 四 夸 爾 的 測 量 皿 他 想 在 這 兩 個 測 量 皿 中 注 入 剛 好 3 夸 爾 的 液 體, 他 該 怎 麼 做 呢? 共 需 要 多 少 個 步 驟 ( 從 任 一 個 容 器 倒 入 另 一 個 容 器 都 算 一 次 )? 注 意 : 不 能 浪 費 酒, 不 能 傾 斜, 也 不 許 耍 花 招 - 1 -

2 問 題 5: 在 一 個 平 安 夜 裡, 三 個 人 用 槍 搶 了 一 個 裝 有 滿 滿 六 夸 爾 專 用 來 在 酒 宴 中 祝 酒 的 碗, 其 中 一 人 搶 了 容 量 為 五 品 脫 的 壺, 另 一 人 搶 到 了 容 量 為 三 品 脫 的 壺, 他 們 所 面 臨 的 問 題 就 是 在 毫 不 浪 費 酒 的 前 提 下 把 酒 平 均 分 給 對 方, 不 過 他 們 沒 有 其 他 的 容 器 可 以 衡 量 了 如 果 每 從 一 個 壺 倒 入 另 一 個 壺 或 者 倒 入 另 一 個 人 的 喉 嚨 算 一 次, 請 你 試 著 找 出 次 數 最 少 的 分 酒 方 法 (1 夸 爾 =2 品 脫 =1.136 公 升 ) 貳 研 究 目 的 : 一 問 題 1 的 探 討 及 背 後 的 原 理 或 方 法 二 問 題 2 的 探 討 及 背 後 的 原 理 或 方 法 三 問 題 3 的 探 討 及 背 後 的 原 理 或 方 法 四 問 題 4 的 探 討 及 背 後 的 原 理 或 方 法 五 問 題 5 的 探 討 及 背 後 的 原 理 或 方 法 叁 研 究 設 備 及 器 材 : 計 算 紙 計 算 機 筆 電 腦 和 人 腦 Excel 電 腦 軟 體 肆 研 究 過 程 與 方 法 : 雖 然 這 5 個 問 題 看 起 來 好 像 都 是 水 或 酒 在 容 器 中 倒 來 倒 去, 不 過 這 些 問 題 之 間 還 是 有 不 少 相 異 之 處 比 如 : 問 題 1 中 : 水 是 無 限 量 供 應 而 且 可 以 再 倒 回 溪 裡 問 題 2 中 : 原 來 最 大 的 瓶 子 是 滿 的, 而 且 油 不 可 以 無 限 量 供 應 問 題 3 中 : 題 目 並 沒 有 講, 酒 從 酒 瓶 中 要 一 次 倒 出 來 或 可 以 分 開 倒 ; 另 外 也 沒 有 說 可 不 可 以 再 倒 回 去 酒 瓶 中 問 題 4 中 : 題 目 有 4 容 器 ( 容 器 數 量 變 多 ), 而 且 必 須 要 盡 量 減 少 步 驟 問 題 5 中 : 同 問 題 4, 也 是 要 盡 量 減 少 步 驟, 不 過 更 難 的 是 必 須 考 慮 倒 進 人 的 嘴 裡, 又 增 加 問 題 的 難 度 一 問 題 1 的 探 討 及 背 後 的 原 理 或 方 法 問 題 1: 夏 令 瑩 必 須 去 溪 裡 取 來 4 公 升 的 水 放 進 鍋 裡, 才 能 開 始 煮 飯 然 而, 她 只 有 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 5 公 升 和 3 公 升 的 空 瓶 子 請 問, 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 夏 令 瑩 要 如 何 利 用 這 兩 個 瓶 子, 準 確 地 取 得 4 公 升 的 水 呢? - 2 -

3 解 法 : 步 驟 5 公 升 的 瓶 子 (A 瓶 ) 3 公 升 的 瓶 子 (B 瓶 ) 將 A 瓶 裝 滿 說 明 從 A 瓶 倒 3 公 升 到 B 瓶 ;A 瓶 剩 2 公 升 將 B 瓶 的 水 倒 回 溪 裡 從 A 瓶 倒 2 公 升 到 B 瓶 ;A 瓶 剩 0 公 升 再 將 A 瓶 裝 滿 從 A 瓶 倒 1 公 升 到 B 瓶 ;A 瓶 剩 4 公 升, 就 是 答 案 表 1 另 一 種 方 法 : 從 B 瓶 開 始, 步 驟 5 公 升 的 瓶 子 3 公 升 的 瓶 子 說 明 (A 瓶 ) (B 瓶 ) 將 B 瓶 裝 滿 從 B 瓶 倒 3 公 升 到 A 瓶 ;B 瓶 剩 0 公 升 再 將 B 瓶 裝 滿 從 B 瓶 倒 2 公 升 到 A 瓶 ;B 瓶 剩 1 公 升 將 A 瓶 的 水 倒 回 溪 裡 從 B 瓶 倒 1 公 升 到 A 瓶 ;B 瓶 剩 0 公 升 再 將 B 瓶 裝 滿 從 B 瓶 倒 3 公 升 到 A 瓶 ; 則 A 瓶 有 4 公 升,, 就 是 答 案 表 2 觀 察 : 其 實 在 第 7 步, 得 到 A 瓶 有 1 公 升,B 瓶 有 3 公 升,1+3=4, 只 要 帶 著 這 兩 個 瓶 子 回 去 就 可 以 煮 飯 了 問 題 1 的 類 題 1: 利 用 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 8 公 升 和 5 公 升 的 空 瓶 子 請 - 3 -

4 問, 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 要 如 何 準 確 地 取 得 4 公 升 的 水 呢? 步 驟 8 公 升 的 瓶 子 5 公 升 的 瓶 子 說 明 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 表 3 表 中 沒 有 1 6, 能 夠 辦 得 到 嗎?( 參 考 研 究 討 論 六 ) 問 題 1 的 類 題 2: 利 用 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 7 公 升 和 4 公 升 的 空 瓶 子 請 問, 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 要 如 何 準 確 地 取 得 5 公 升 的 水 呢? 步 驟 7 公 升 的 瓶 子 4 公 升 的 瓶 子 表 4 表 中 沒 有 2 3 6, 能 夠 辦 得 到 嗎?( 參 考 研 究 討 論 七 ) - 4 -

5 問 題 1 的 類 題 3: 利 用 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 13 公 升 和 6 公 升 的 空 瓶 子 請 問, 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 要 如 何 準 確 地 取 得 9 公 升 的 水 呢? 步 驟 13 公 升 的 瓶 子 6 公 升 的 瓶 子 表 5 表 中 沒 有 , 能 夠 辦 得 到 嗎?( 參 考 研 究 討 論 八 ) 關 於 問 題 1, 我 們 幾 乎 是 很 快 地 就 得 到 問 題 的 解 法 甚 至 於 我 們 還 隨 便 地 假 設 一 些 類 題, 也 都 可 以 倒 出 任 何 想 要 的 答 案 於 是 我 們 不 禁 要 問 : 這 樣 的 問 題, 是 不 是 都 可 以 倒 出 任 何 想 要 的 數 量 先 針 對 問 題 1: 是 否 可 以 利 用 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 5 公 升 和 3 公 升 的 空 瓶 子 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 準 確 地 取 得 任 意 整 數 數 量 的 體 積 呢?( 如 1 到 100 公 升 的 任 意 整 數 數 量 公 升 數 ) 於 是 我 們 另 外 假 設 有 一 個 容 器, 只 負 責 收 集 液 體, 它 的 容 積 要 多 大 就 可 以 多 大, 而 且 上 面 沒 有 刻 度, 所 以 沒 辦 法 利 用 它 來 幫 忙 量 測 體 積, 如 果 我 們 想 要 它 裡 面 有 13 公 升 的 水, 那 只 要 倒 2 次 的 5 公 升 和 1 次 的 3 公 升 就 可 以 了, 試 問 : 可 否 讓 這 個 空 容 器 裡 面 的 水 的 體 積 為 1 到 100 公 升 的 任 意 一 個 整 數 數 量 的 公 升 數 呢? - 5 -

6 < 想 法 說 明 > 參 考 下 列 的 表 格 : 表 6 表 6 中 : * 表 示 3 的 倍 數, 表 示 5 的 倍 數, 表 示 可 表 為 3x+5y 的 數 (x y 為 正 整 數 或 0), 但 非 3 的 倍 數 5 的 倍 數 1. 因 為 我 們 有 3 公 升 的 容 器, 所 以 任 何 3 的 倍 數 都 必 定 可 以 辦 到 ( 圈 出 所 有 3 的 倍 數 ) 2. 同 理, 任 何 5 的 倍 數 也 都 必 定 可 以 辦 到 3. 如 果 把 3 的 倍 數 加 5 的 倍 數, 也 就 是 像 3x+5y 的 數 (x y 為 正 整 數 或 0), 這 些 數 也 都 必 定 可 以 辦 到 從 表 中 可 以 看 出 : 只 要 數 字 在 8 以 上 ( 含 8), 必 定 都 可 以 辦 到 一 個 有 用 的 概 念 是 : 只 要 連 續 3 個 數 字 被 圈 出 來, 那 後 面 的 每 一 個 整 數 必 定 都 可 以 被 圈 出 來 < 證 明 >: 若 a b c 為 連 續 3 個 符 合 上 述 條 件 的 正 整 數, 則 a 3x1 + 5y1 b 3x2 + 5y2 c 3x3 + 5y3 = ( x 1 y 1 為 正 整 數 或 0) = ( x 2 y 2 為 正 整 數 或 0) = ( x 3 y 3 為 正 整 數 或 0) - 6 -

7 c 的 下 一 個 整 數 是 a + 3 = 3x1 + 5y1 + 3 = 3( x1 + 1) + 5y1 c 的 下 兩 個 整 數 是 b + 3 = 3x2 + 5y2 + 3 = 3( x2 + 1) + 5y2 c 的 下 三 個 整 數 是 c + 3 = 3x3 + 5y3 + 3 = 3( x3 + 1) + 5y3 依 此 類 推, 可 以 將 後 面 的 整 數 每 三 個 每 三 個 一 組 地 被 圈 出 來 照 上 面 的 理 論, 我 們 發 現 從 8 開 始, 連 續 3 個 數 字 被 圈 出 來, 因 此 8 以 上 的 每 一 個 整 數 必 定 都 可 以 被 圈 出 來 另 外 8 以 下 未 被 圈 的 數 只 剩 : 但 是 因 為 4=1+3, 而 7=1+3+3 所 以 真 正 需 要 解 決 的 只 有 1 和 2 了 從 上 面 的 表 1 和 表 2 中, 可 以 發 現 1 2 都 有 出 現, 所 以 理 論 上, 利 用 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 5 公 升 和 3 公 升 的 空 瓶 子, 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 準 確 的 取 得 任 意 整 數 數 量 的 水 ( 如 1 到 100 的 任 意 整 數 數 量 公 升 數 ) 是 可 以 辦 到 的 再 以 另 一 個 例 子 來 探 討 : 是 否 可 以 利 用 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 8 公 升 和 5 公 升 的 空 瓶 子, 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 準 確 地 取 得 任 意 整 數 數 量 的 體 積 呢?( 如 :1 到 1000 公 升 的 任 意 一 個 整 數 數 量 的 公 升 數 呢?) < 想 法 說 明 > 參 考 下 列 的 表 格 : 設 計 excel 表 格 幫 忙 計 算 像 5x+8y 的 數 (x y 為 正 整 數 或 0) x y 表 7 1. 因 為 我 們 有 5 公 升 的 容 器, 所 以 任 何 5 的 倍 數 都 必 定 可 以 辦 到 ( 表 中 第 二 列 數 字 ) - 7 -

8 2. 同 理, 任 何 8 的 倍 數 也 都 必 定 可 以 辦 到 ( 表 中 第 二 行 數 字 ) 3. 如 果 把 5 的 倍 數 加 8 的 倍 數, 也 就 是 像 5x+8y 的 數 (x y 為 正 整 數 或 0), 這 些 數 也 都 必 定 可 以 辦 到 因 為 較 小 的 瓶 子 是 5 公 升, 所 以 只 需 要 連 續 5 個 數 字 被 圈 出 來, 那 後 面 的 每 一 個 整 數 必 定 都 可 以 符 合 題 目 的 要 求 < 證 明 >: 若 a b c d e 為 連 續 5 個 符 合 上 述 條 件 的 正 整 數, 設 a = 5x1 + 8y1 ( x 1 y 1 為 正 整 數 或 0) b = 5x2 + 8y2 ( x 2 y 2 為 正 整 數 或 0) c = 5x3 + 8y3 ( x 3 y 3 為 正 整 數 或 0) d = 5x4 + 8y4 ( x 4 y 4 為 正 整 數 或 0) e = 5x5 + 8y5 ( x 5 y 5 為 正 整 數 或 0) 則 e 的 下 一 個 整 數 是 a + 5 = 5x1 + 8y1 + 5 = 5( x1 + 1) + 8y1 e 的 下 兩 個 整 數 是 b + 5 = 5x2 + 8y2 + 5 = 5( x2 + 1) + 8y2 e 的 下 三 個 整 數 是 c + 5 = 5x3 + 8y3 + 5 = 5( x3 + 1) + 8y3 e 的 下 四 個 整 數 是 d + 5 = 5x4 + 8y4 + 5 = 5( x4 + 1) + 8y4 e 的 下 五 個 整 數 是 e + 5 = 5x5 + 8y5 + 5 = 5( x5 + 1) + 8y5 依 此 類 推, 可 以 將 後 面 的 整 數 每 5 個 每 5 個 一 組 地 被 圈 出 來 故 得 證 照 上 面 的 理 論, 我 們 發 現 從 28 開 始, 連 續 5 個 數 字 ( ) 符 合, 因 此 28 以 上 的 每 一 個 整 數 必 定 都 可 以 符 合 而 28 以 下 未 在 表 中 的 數 有 : 但 是 因 為 6=1+5; 7=2+5; 9=1+8; 11=1+5+5; 12=2+5+5; 14=4+5+5; 17= ; 19= ; 22= ; 27= 所 以 真 正 需 要 解 決 的 只 有 了 從 上 面 表 3 中, 可 以 發 現 2 4 有 出 現, 可 是 1 3 呢? 只 要 延 續 表 3, 就 可 以 得 到

9 步 驟 8 公 升 的 瓶 子 5 公 升 的 瓶 子 表 8 二 問 題 2 的 探 討 及 背 後 的 原 理 或 方 法 問 題 2: 夏 令 瑩 終 於 張 羅 好 需 要 的 材 料, 開 始 煮 飯 了 接 下 來 她 要 炒 菜, 所 以 她 要 想 辦 法 準 備 適 量 的 油 然 而, 她 只 有 三 支 上 面 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 10cc 7cc 7cc 3cc 的 瓶 子 已 知, 容 量 10cc 的 瓶 子 裝 滿 著 油,7cc 和 3cc 的 瓶 子 是 空 的 請 問, 她 要 怎 樣 才 能 從 10cc 的 瓶 子 裡 倒 出 一 半 的 油 到 7cc 的 瓶 子 裡 呢? 解 法 : 步 驟 10cc 的 瓶 子 7cc 的 瓶 子 3cc 的 瓶 子 表 9 好 像 不 太 符 合 規 定, 因 為 5cc 的 油 並 不 在 7cc 的 瓶 子 裡 - 9 -

10 另 解 : 步 驟 10cc 的 瓶 子 7cc 的 瓶 子 3cc 的 瓶 子 表 10 再 另 解 :( 最 佳 解 ) 步 驟 10cc 的 瓶 子 7cc 的 瓶 子 3cc 的 瓶 子 表 11 從 表 10 表 11 中 發 現,1~10 中 的 每 個 整 數 都 有 出 現, 所 以 利 用 這 3 個 瓶 子 可 以 得 到 1~10 中 的 每 個 整 數 的 數 量

11 問 題 2 的 類 題 1: 有 三 支 上 面 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 12cc 7cc 7cc 5cc 的 瓶 子 已 知, 容 量 12cc 的 瓶 子 裝 滿 著 油,7cc 和 5cc 的 瓶 子 是 空 的 請 問, 要 怎 樣 才 能 從 12cc 的 瓶 子 裡 倒 出 6cc 的 油 到 7cc 的 瓶 子 裡 呢? 步 驟 12cc 的 瓶 子 7cc 的 瓶 子 5cc 的 瓶 子 表 12 表 12 中 沒 有 得 到 9 11 兩 個 數 字, 能 夠 辦 得 到 嗎? 可 以 用 2+7=9 或 4+5=9 代 替 嗎?( 參 考 研 究 討 論 十 ) 問 題 2 的 類 題 2: 有 三 支 上 面 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 11cc 8cc 8cc 4cc 的 瓶 子 已 知, 容 量 11cc 的 瓶 子 裝 滿 著 油,8cc 和 4cc 的 瓶 子 是 空 的 請 問, 要 怎 樣 才 能 從 11cc 的 瓶 子 裡 倒 出 6cc 的 油 到 8cc 的 瓶 子 裡 呢? 步 驟 11cc 的 瓶 子 8cc 的 瓶 子 4cc 的 瓶 子 表 13 未 達 成! 再 試 一 次 :

12 步 驟 11cc 的 瓶 子 8cc 的 瓶 子 4cc 的 瓶 子 表 14 還 是 沒 達 成! 步 驟 11cc 的 瓶 子 8cc 的 瓶 子 4cc 的 瓶 子 表 15 到 底 問 題 出 在 哪 裡 呢? 在 上 面 的 三 個 表 ( 表 13 表 14 表 15) 中, 完 全 看 不 到 6, 是 做 不 到 嗎? 還 是, 只 是 暫 時 沒 得 到? 6 是 4 和 8 的 平 均, 就 如 同 6 是 5 和 7 的 平 均, 會 那 麼 難 做 到 嗎? 我 們 再 試 了 幾 次 後, 發 現 最 好 的 辦 法 是 全 部 列 出 來? 請 看 下 表 : 下 表 中 以 符 號 (x,y,z) 表 示 在 11cc 的 瓶 子 8cc 的 瓶 子 和 4cc 的 瓶 子 中 分 別 有 xcc ycc 和 zcc, 其 中 x,y,z 都 是 非 負 整 數 且 0 x 11, 0 y 8, 0 z 4 步 驟 0 步 驟 1 步 驟 2 步 驟 3 步 驟 4 步 驟 5 (11,0,0) (3,8,0) (0,8,3) (8,0,3) (8,3,0) (3,4,4) (7,0,4) (0,7,4) (4,7,0) (4,3,4) (7,4,0) 表 16 表 示 不 會 出 現 新 的 步 驟, 只 會 出 現 前 面 重 複 的 步 驟, 那 就 等 於 繞 遠 路, 如 果 要 走 捷 徑, 就 一 定 不 要 走 前 面 走 過 的, 可 是 到 步 驟 5 時, 下 一 步 都 不 會 出 現 新 的 步, 所 以 整 個 過 程 一 定 不 會 出 現 6cc, 只 是 在 繞 圈 圈 ( 另 外 也 都 永 遠 不 會 出 現, 並 且 發 現 1+10=11,2+9=11,5+6=11)

13 但 是 同 樣 的 方 法, 如 果 列 出 : : : : 問 題 2: 有 三 支 上 面 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 10cc 7cc 3cc 的 瓶 子 已 知, 容 量 10cc 的 瓶 子 裝 滿 著 油,7cc 和 3cc 的 瓶 子 是 空 的 請 問, 她 要 怎 樣 才 能 從 10cc 的 瓶 子 裡 倒 出 5cc 的 油 到 7cc 的 瓶 子 裡 呢? 的 所 有 情 形, 卻 可 以 得 到 所 有 1~10 10 的 所 有 整 數 數 量, 請 看 下 表 : 步 驟 0 步 驟 1 步 驟 2 步 驟 3 步 驟 4 步 驟 5 (10,0,0) (3,7,0) (0,7,3) (3,4,3) (6,4,0) (6,1,3) (9,1,0) (7,0,3) (0,7,3) (7,3,0) (4,3,3) (4,6,0) (1,6,3) 步 驟 6 步 驟 7 步 驟 8 步 驟 9 步 驟 10 (9,0,1) (2,7,1) (2,5,3) (5,5,0) (1,7,2) (8,0,2) (8,2,0) (5,2,3) 表 17 (2,5,3) (5,5,0) (5,2,3) 都 可 以 算 是 解, 但 是 最 佳 解 是 (2,5,3), 至 少 要 8 步 在 問 題 2 的 類 題 2 中, 受 限 於 瓶 子 的 容 量, 以 及 在 瓶 子 中 可 能 原 本 就 有 油, 而 且 不 像 問 題 1 可 以 隨 時 倒 掉 歸 零, 因 此 不 一 定 可 以 得 到 1~11 中 的 所 有 整 數 數 量

14 三 問 題 3 的 探 討 及 背 後 的 原 理 或 方 法 問 題 3: 夏 令 瑩 終 於 煮 好 飯 炒 好 菜 了 現 在, 她 要 準 備 餐 前 酒, 於 是 拿 出 三 只 沒 有 刻 度 的 玉 製 酒 杯, 第 一 杯 可 裝 12cc, 第 二 杯 可 裝 9cc, 第 三 杯 可 裝 5cc 夏 令 瑩 想 和 先 生 潘 炎 共 享 這 歡 樂 時 光, 所 以 打 算 在 第 一 杯 及 第 二 杯 各 斟 入 6cc 的 酒 而 因 為 酒 是 百 年 佳 釀, 所 以 沒 辦 法 無 限 量 供 應 假 設 酒 瓶 中 的 酒 只 可 以 倒 出, 不 可 以 倒 回 酒 瓶 ; 且 酒 瓶 中 的 酒 的 量 是 未 知 的 1. 將 12cc 的 酒 一 次 倒 到 12cc 的 酒 杯 中, 如 此 就 和 問 題 2 同 類 型 步 驟 12cc 的 瓶 子 9cc 的 瓶 子 5cc 的 瓶 子 表 18 未 成 功! 解 法 : 步 驟 12cc 的 酒 杯 9cc 的 酒 杯 5cc 的 酒 杯 表

15 另 解 : 步 驟 12cc 的 酒 杯 9cc 的 酒 杯 5cc 的 酒 杯 表 另 一 種 情 況 : 酒 瓶 中 的 酒 分 階 段 倒 入 酒 杯 中 步 驟 酒 瓶 12cc 的 酒 杯 9cc 的 酒 杯 5cc 的 酒 杯 0 x X X X X X 表 21 感 想 再 利 用 前 面 的 作 法, 不 過 這 種 作 法 好 像 沒 有 較 簡 單, 因 為 酒 瓶 中 的 酒 不 可 倒 出 超 過 12cc, 所 以 我 們 必 須 調 整 三 個 酒 杯 使 得 酒 可 以 倒 出 剛 好 的 數 量 四 問 題 4 的 探 討 及 背 後 的 原 理 或 方 法 問 題 4: 一 個 人 有 兩 個 容 量 10 夸 爾 的 容 器, 均 滿 裝 酒, 此 外 還 有 五 夸 爾 和 四 夸 爾 的 測 量 皿 他 想 在 這 兩 個 測 量 皿 中 注 入 剛 好 3 夸 爾 的 液 體, 他 該 怎 麼 做 呢? 最 少 需 要 多 少 個 步 驟 ( 從 任 一 個 容 器 倒 入 另 一 個 容 器 都 算 一 次 )? 注 意 : 不 能 浪 費 酒, 不 能 傾 斜, 也 不 許 耍 花 招 因 為 要 求 最 少 步 驟, 所 以 為 了 避 免 繞 遠 路 和 漏 掉 可 能 情 況, 所 以 我

16 下 表 中 們 一 一 列 出 由 前 步 到 後 步 的 過 程, 遇 到 前 面 有 出 現 過 的 步 驟 就 刪 除 : 請 看 下 列 的 表 格 以 符 號 (a,b,c,d) 表 示 在 10 夸 爾 的 容 器 10 夸 爾 的 容 器 5 夸 爾 的 測 量 皿 和 4 夸 爾 的 測 量 皿 中 分 別 有 a(cc) b(cc) c(cc) 和 d(cc), 其 中 a,b,c, d 都 是 非 負 整 數 且 0 a 10, 0 b 10, 0 c 5, 0 d 4 另 外, 因 為 前 面 兩 個 容 器 的 容 量 是 相 等 的, 所 以 前 面 兩 個 數 字 可 以 對 調, 但 是 後 兩 個 數 字 則 不 可 以 對 調 ; 如 (9,6,5,0) 和 (6,9,5,0) 可 以 看 成 同 一 種, 不 必 寫 成 兩 種 容 器 容 量 :10 夸 爾 10 夸 爾 5 夸 爾 4 夸 爾 步 驟 0 步 驟 1 步 驟 2 步 驟 3 (10,10,0,0) (5,10,5,0) (6,10,0,4) (1,10,5,4) (5,6,5,4) (5,10,1,4) (6,10,4,0) (9,6,5,0) (9,10,1,0) (2,10,4,4) 到 第 3 步, 只 剩 3 種 情 形, 我 們 以 為 不 多, 應 該 很 快 就 可 得 到 答 案, 那 知 步 驟 4 步 驟 5 步 驟 6 步 驟 7 (9,2,5,4) (9,6,1,4) (9,10,0,1) (2,10,5,3) (9,7,0,4) (10,6,1,3) (4,10,5,1) (9,5,5,1) (7,10,0,3) 怎 麼 越 來 越 多, 我 們 要 再 接 再 勵 (9,7,4,0) (4,7,5,4) (6,6,5,3) (9,6,1,4) (4,10,2,4) (9,5,2,4) (10,5,4,1) (7,5,5,3) (7,10,3,0) (8,7,5,0) (5,7,4,4) (9,3,4,4) (6,6,4,4) (8,10,2,0) (9,9,2,0) (10,5,2,3) (3,10,3,4) (7,6,3,4) 步 驟 8 步 驟 9 步 驟 10 步 驟 11 (8,3,5,4) (8,7,1,4) (10,3,4,3) (9,3,5,3) (8,6,2,4) (8,10,0,2) (9,9,0,2) (3,10,5,2) (10,6,3,1) (7,6,5,2) (8,8,0,4) (10,7,1,2) (8,10,1,1) (9,8,0,3) (10,6,2,2) (4,9,5,2) (8,6,5,1) (8,5,5,2) (8,8,4,0) (6,7,5,2) (4,8,5,3) (4,10,4,2) (4,9,3,4) (6,9,5,0) (6,5,5,4) (10,5,3,2) (8,5,3,4) (4,8,4,4) (8,4,4,4) *(4,10,3,3) (4,10,5,1) (10,4,4,2) (8,9,3,0)

17 表 22 終 於 在 第 11 步 得 到 答 案 問 題 4 解 法 的 討 論 : 1. 要 得 到 答 案 (?,?,3,3) 前, 後 面 兩 個 數 字 中 必 定 要 有 一 個 3 < 證 明 > 用 反 證 法 假 設 後 面 兩 個 數 字 都 不 是 3 如 (a,b,c,d) 其 中 c d 都 不 是 3 因 為 它 的 下 一 步 要 得 到 答 案 (?,?,3,3), 表 示 必 須 由 後 面 兩 個 容 器 互 倒, 因 此 c+d 必 定 等 於 3+3 因 為 c+d=3+3=6 所 以 後 面 兩 個 數 字 只 可 能 為 (5,1) (4,2) (2,4)3 種, 但 是 (a,b,5,1) (a,b,2,4) (a,b,4,2) (a,b,2,4) 或 (a,b,5,1) (a,b,2,4) (a,b,5,1) 都 不 可 能 得 到 答 案 所 以 後 面 兩 個 數 字 中 必 定 要 有 一 個 3 2. 如 果 得 到 答 案 (?,?,3,3) 的 前 一 步 為 (?,?,3,?),?) 時, 則 最 後 數 字 一 定 是 4, 且 前 兩 個 數 中 必 有 一 個 是 9; 也 就 是 (a,b,3,4) 的 形 式, 其 中 a,b 中 有 一 個 為 9 < 證 明 > 因 為 (?,?,3,?) 的 下 一 步 為 答 案 (?,?,3,3) 所 以 最 後 數 字 要 變 成 3 (1) 若 最 後 數 字 為 0, 則 前 兩 個 數 中 必 有 一 個 是 3, 倒 到 第 4 杯 得 3 而 =14>10 不 合 (2) 若 最 後 數 字 為 1, 則 前 兩 個 數 中 必 有 一 個 是 2, 倒 到 第 4 杯 得 3 而 =14>10 不 合 (3) 若 最 後 數 字 為 2, 則 前 兩 個 數 中 必 有 一 個 是 1, 倒 到 第 4 杯 得 3 而 =14>10 不 合 (4) 所 以 最 後 數 字 一 定 是 4, 但 是 4>3, 所 以 必 須 倒 回 前 兩 杯 又 因 為 4-3=1, 所 以 倒 回 前 兩 杯 時 只 能 倒 回 1 所 以 接 受 者 必 是 9 得 證 3. 如 果 得 到 答 案 (?,?,3,3) 的 前 一 步 為 (?,?,?,3) 時, 則 第 3 個 數 字 一 定 是 4 或 5; 若 是 (a,b,4,3) 的 形 式, 其 中 a,b 中 有 一 個 為 9 若 是 (a,b,5,3) 的 形 式, 其 中 a,b 中 有 一 個 為 8 < 證 明 > 因 為 (?,?,?,3) 的 下 一 步 為 答 案 (?,?,3,3) 所 以 第 3 個 數 字 要 變 成 3 (1) 若 第 3 個 數 字 為 0, 則 前 兩 個 數 中 必 有 一 個 是 3, 倒 到 第 3 杯 得

18 而 =14>10 不 合 (2) 若 第 3 個 數 字 為 1, 則 前 兩 個 數 中 必 有 一 個 是 2, 倒 到 第 3 杯 得 =14>10 不 合 (3) 若 第 3 個 數 字 為 2, 則 前 兩 個 數 中 必 有 一 個 是 1, 倒 到 第 3 杯 得 =14>10 不 合 (4) 若 第 3 個 數 字 為 4, 則 前 兩 個 數 中 必 有 一 個 是 9, 接 受 第 3 杯 得 到 10 (5) 若 第 3 個 數 字 為 5, 則 前 兩 個 數 中 必 有 一 個 是 8, 接 受 第 3 杯 得 到 10 得 証 表 22 符 合 (a,b,3,4) 的 形 式, 且 其 中 a,b 中 有 一 個 為 9 的, 有 (4,9,3,4) (a,b,4,3) 的 形 式, 且 其 中 a,b 中 有 一 個 為 9 的, 沒 有 (a,b,5,3) 的 形 式, 且 其 中 a,b 中 有 一 個 為 8 的, 有 (4,8,5,3) 所 以 雖 然 在 過 程 中, 第 三 個 或 第 四 個 數 字 經 常 有 3 出 現, 但 都 沒 有 在 下 一 步 達 到 目 標, 一 直 到 第 十 步 符 合 上 面 的 條 件 後, 下 一 步 ( 第 11 步 ) 才 達 到 目 標 五 問 題 5 的 探 討 及 背 後 的 原 理 或 方 法 問 題 5: 在 一 個 平 安 夜 裡, 三 個 人 用 槍 搶 了 一 個 裝 有 滿 滿 六 夸 爾 專 用 來 在 酒 宴 中 祝 酒 的 碗, 其 中 一 人 搶 了 容 量 為 五 品 脫 的 壺, 另 一 人 搶 到 了 容 量 為 三 品 脫 的 壺, 他 們 所 面 臨 的 問 題 就 是 在 毫 不 浪 費 酒 的 前 提 下 把 酒 平 均 分 給 對 方, 不 過 他 們 沒 有 其 他 的 容 器 可 以 衡 量 了 如 果 每 從 一 個 壺 倒 入 另 一 個 壺 或 者 倒 入 另 一 個 人 的 喉 嚨 算 一 次, 請 你 試 著 找 出 次 數 最 少 的 分 酒 方 法 ( ( (1 夸 爾 =2 品 脫 =1.136 公 升 ) 6 夸 爾 =12 品 脫 因 為 12 3=4, 所 以 三 個 搶 匪 ( 用 A B C 表 示 ) 每 人 要 喝 4 品 脫 的 酒 剛 開 始 都 不 太 能 夠 掌 握 到 問 題 的 重 點 : 後 來 才 想 到 題 目 沒 說 A B C 每 次 都 要 剛 好 喝 4 品 脫 另 外 喉 嚨 無 法 計 算 數 量, 所 以 只 能 接 受 容 器 中 確 定 的 數 量, 才 能 計 算 A B C 到 底 喝 了 多 少? 剛 開 始 : 步 驟 12 品 脫 的 碗 5 品 脫 的 壺 3 品 脫 的 壺 搶 匪 A 搶 匪 B 搶 匪 C 表 23 未 完 成

19 步 驟 12 品 脫 的 碗 5 品 脫 的 壺 3 品 脫 的 壺 搶 匪 A 搶 匪 B 搶 匪 C 表 24 也 不 知 道 再 來 該 怎 麼 辦? 累 積 經 驗 值 以 後, 再 回 去 看 之 前 的 表 格, 發 現 只 要 稍 稍 改 進 一 下, 就 可 以 得 到 解 法 了 其 實 如 果 將 表 24 繼 續 延 續, 就 得 到 一 個 15 步 的 解 法 : 步 驟 12 品 脫 的 碗 5 品 脫 的 壺 3 品 脫 的 壺 搶 匪 A 搶 匪 B 搶 匪 C 表

20 經 驗 值 越 多, 越 能 減 少 步 驟, 再 試 一 次 :(14 步 的 解 法 ) 步 驟 12 品 脫 的 碗 5 品 脫 的 壺 3 品 脫 的 壺 搶 匪 A 搶 匪 B 搶 匪 C 表 26 再 改 良 12 步 的 解 法 如 下 : 步 驟 12 品 脫 的 碗 5 品 脫 的 壺 3 品 脫 的 壺 搶 匪 A 搶 匪 B 搶 匪 C 表 27 這 也 是 12 步 的 解 法 :

21 步 驟 12 品 脫 的 碗 5 品 脫 的 壺 3 品 脫 的 壺 搶 匪 A 搶 匪 B 搶 匪 C 表 28 我 們 得 到 的 最 少 步 驟 是 11 步, 解 法 如 下 : 步 驟 12 品 脫 的 碗 5 品 脫 的 壺 3 品 脫 的 壺 搶 匪 A 搶 匪 B 搶 匪 C 表

22 伍 研 究 結 果 一 問 題 一 的 解 法 : 1. 從 A 瓶 開 始, 步 驟 5 公 升 的 瓶 子 (A 瓶 ) 3 公 升 的 瓶 子 (B 瓶 ) 將 A 瓶 裝 滿 說 明 從 A 瓶 倒 3 公 升 到 B 瓶 ;A 瓶 剩 2 公 升 將 B 瓶 的 水 倒 回 溪 裡 從 A 瓶 倒 2 公 升 到 B 瓶 ;A 瓶 剩 0 公 升 再 將 A 瓶 裝 滿 從 A 瓶 倒 1 公 升 到 B 瓶 ;A 瓶 剩 4 公 升, 就 是 答 案 2. 從 B 瓶 開 始, 步 驟 5 公 升 的 瓶 子 (A 瓶 ) 3 公 升 的 瓶 子 (B 瓶 ) 將 B 瓶 裝 滿 說 明 從 B 瓶 倒 3 公 升 到 A 瓶 ;B 瓶 剩 0 公 升 再 將 B 瓶 裝 滿 從 B 瓶 倒 2 公 升 到 A 瓶 ;B 瓶 剩 1 公 升 將 A 瓶 的 水 倒 回 溪 裡 從 B 瓶 倒 1 公 升 到 A 瓶 ;B 瓶 剩 0 公 升 再 將 B 瓶 裝 滿 從 B 瓶 倒 3 公 升 到 A 瓶 ; 則 A 瓶 有 4 公 升,, 就 是 答 案

23 二 問 題 二 的 解 法 : 最 佳 的 解 法 步 驟 10cc 的 瓶 子 7cc 的 瓶 子 3cc 的 瓶 子 三 問 題 三 的 解 法 : 步 驟 12cc 的 酒 杯 9cc 的 酒 杯 5cc 的 酒 杯 四 問 題 四 的 解 法 : 其 中 一 條 最 佳 解 法 ( 共 11 步 ) (10,10,0,0) (5,10,5,0) (5,6,5,4) (9,6,5,0) (9,2,5,4) (9,7,0,4) (9,7,4,0) (9,3,4,4) (9,3,5,3) (9,8,0,3) (4,8,5,3) (4,10,3,3)

24 五 問 題 五 的 解 法 : 其 中 一 條 最 佳 解 法 ( 共 11 步 ) 步 驟 12 品 脫 的 碗 5 品 脫 的 壺 3 品 脫 的 壺 搶 匪 A 搶 匪 B 搶 匪 C 陸 研 究 討 論 一 利 用 excel 幫 忙 計 算 可 以 表 示 成 3x+5y 的 形 式 的 整 數 :(x y 為 非 負 整 數 ) x y 表 30 由 表 可 知,8 開 始 連 續 3 個 整 數 可 以 表 示 成 3x+5y 的 形 式 所 以 8 以 上 的 所 有 整 數 都 可 以 表 示 成 3x+5y 的 形 式

25 二 利 用 excel 幫 忙 計 算 可 以 表 示 成 5x+8y 的 形 式 的 整 數 :(x y 為 非 負 整 數 ) x y 表 31 由 表 可 知,28 開 始 連 續 5 個 整 數 可 以 表 示 成 5x+8y 的 形 式 所 以 28 以 上 的 所 有 整 數 都 可 以 表 示 成 5x+8y 的 形 式 三 利 用 excel 幫 忙 計 算 可 以 表 示 成 4x+7y 的 形 式 的 整 數 :(x y 為 非 負 整 數 ) x y 表

26 由 表 可 知,18 開 始 連 續 4 個 整 數 可 以 表 示 成 4x+7y 的 形 式 所 以 18 以 上 的 所 有 整 數 都 可 以 表 示 成 4x+7y 的 形 式 四 利 用 excel 幫 忙 計 算 可 以 表 示 成 5x+7y 的 形 式 的 整 數 :(x y 為 非 負 整 數 ) x y 表 33 由 表 可 知,24 開 始 連 續 5 個 整 數 可 以 表 示 成 5x+7y 的 形 式 所 以 24 以 上 的 所 有 整 數 都 可 以 表 示 成 5x+7y 的 形 式

27 五 利 用 excel 幫 忙 計 算 可 以 表 示 成 5x+9y 的 形 式 的 整 數 :(x y 為 非 負 整 數 ) x y 表 34 由 表 可 知,32 開 始 連 續 5 個 整 數 可 以 表 示 成 5x+9y 的 形 式 所 以 32 以 上 的 所 有 整 數 都 可 以 表 示 成 5x+9y 的 形 式

28 六 問 題 1 的 類 題 1: 利 用 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 8 公 升 和 5 公 升 的 空 瓶 子 請 問, 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 要 如 何 準 確 地 取 得 1 6 公 升 的 水 呢? 步 驟 8 公 升 的 瓶 子 5 公 升 的 瓶 子 表 35 七 問 題 1 的 類 題 2: 利 用 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 7 公 升 和 4 公 升 的 空 瓶 子 請 問, 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 要 如 何 準 確 地 取 得 公 升 的 水 呢? 分 析 因 為 3=7-4, 很 容 易 得 到 而 6=2+4, 所 以 只 要 找 到 2, 就 可 以 找 到 6 步 驟 7 公 升 的 瓶 子 4 公 升 的 瓶 子 表

29 八 問 題 1 的 類 題 3: 利 用 兩 個 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 13 公 升 和 6 公 升 的 空 瓶 子 請 問, 在 溪 水 能 無 限 量 供 應 的 情 況 下, 要 如 何 準 確 地 取 得 公 升 的 水 呢? 因 為 表 5 中 已 經 得 到 (9,6), 延 續 表 5 步 驟 13 公 升 的 瓶 子 6 公 升 的 瓶 子 表 37 九 利 用 問 題 1 的 情 況, 利 用 兩 個 容 積 為 整 數 的 容 器 必 定 可 以 得 到 任 意 整 數 數 量 的 體 積 嗎? 如 果 容 器 的 容 積 分 別 為 15 公 升 和 6 公 升 呢? 因 為 6 和 15 的 最 大 公 因 數 =3, 也 就 是 6 和 15 都 是 3 的 倍 數 而 3 的 倍 數 的 加 減 必 定 都 還 是 3 的 倍 數, 所 以 這 種 情 形 下 : 非 3 的 倍 數 必 定 就 得 不 到 因 此, 利 用 問 題 1 的 情 況, 利 用 兩 個 容 積 為 整 數 的 容 器 想 得 到 任 意 整 數 數 量 的 體 積 時, 兩 個 容 器 的 容 積 數 必 須 互 質 才 可 以

30 十 問 題 2 的 類 題 1: 有 三 支 上 面 沒 有 刻 度 容 量 分 別 為 12cc 7cc 7cc 5cc 的 瓶 子 已 知, 容 量 12cc 的 瓶 子 裝 滿 著 油,7cc 和 5cc 的 瓶 子 是 空 的 請 問, 要 怎 樣 才 能 讓 12cc 的 瓶 子 裡 剩 下 9cc 11cc 的 油 呢? 解 法 如 下 : 步 驟 12cc 的 瓶 子 7cc 的 瓶 子 5cc 的 瓶 子 表 38 柒 參 考 資 料 一 邏 輯 教 室 ( 袁 大 頭 的 推 理 遊 戲 時 間 ) 袁 長 瑞 著 天 下 文 化 出 版 二 全 世 界 都 在 玩 的 有 趣 數 學 題 亨 利 恩 斯 特 杜 德 耐 原 著 腦 力 與 創 意 工 作 室 主 編 宇 炣 出 版 三 數 學 偵 探 物 語 李 斯 哈 斯 奧 著 黃 俊 瑋 邱 珮 瑜 譯 書 泉 出 版

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