2017春季 计算物理 第二部分 第1讲

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1 计算物理第二部分 第 3 讲 李强北京大学物理学院中楼

2 3. 偏微分方程 A 概念介绍 1 阶对流方程 : 差分法 ( 不同格式 ), vonneumann stability 抛物形方程 (1 阶扩散方程 ): 线上法, vonneumann stability, FTCS/CN 差分 非线性 PDE: Burgers, KdV,

3 引言微分方程 : 含有自变量 未知函数及其导数的方程常微分方程 : 未知函数只含有一个变量偏微分方程 : 未知函数含有多个变量阶 : 微分方程中未知函数的导数或偏导数的最高阶数 u(x,t) t + a u(x,t) x =0 一阶偏微分方程 ( 对流方程 ) 2 u(x,t) t 2 = a 2 u(x,t) x 2 二阶偏微分方程 u t + 6uu x + u xxx =0 三阶非线性偏微分方程 (KdV) 在科学研究和工程计算中, 大量的物理问题由偏微分方程来描述, 并且这些方程大多数只能得到数值解. 要得到偏微分方程的唯一解, 需要定解条件, 即问题的初始条件和边界条件. 边界条件有三类 : u s = α, Dirichlet 条件 u n s = β, Neumann 条件 (u + u ) n s = β, Robbins 条件

4 二阶线形偏微分方程分类 Au xx + 2Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + Fu + G = 0, 其中 A, B, C, D, E, F, G 为 x, y 的函数. 椭圆 (Elliptic): B 2 AC < 0, Laplace 方程 2 u = u xx + u yy = 0 Poisson 方程 2 u = f(x, y) 抛物 (Parabolic): B 2 AC = 0, Diffusion 方程 u t = au xx 双曲 (Hyperbolic): B 2 AC > 0, Wave 方程 u tt = cu xx

5 一阶对流方程 u(x,t) t + a u(x,t) =0, a 0 x a>0 a<0 (1) Upwind ( 迎风 ) 差分 : (u n+1 k -u n k )/ t+a/ x*(u n n k u k 1 )=0, a > 0 (u n+1 k -u n n k )/ t+a/ x*(u k+1 u n k )=0, a < 0 a > 0, 波从 k-1 点过来 ; a < 0, 波从 k+1 点过来 ; 精度 O( t, x) 稳定性条件, t< x/ a

6 一阶对流方程 :Von Neumann 稳定性分析 Upwind ( 迎风 ) 差分 : (u n+1 k -u n k )/ t+a/ x*(u n n k u k 1 )=0, a > 0 (u n+1 k -u n n k )/ t+a/ x*(u k+1 u n k )=0, a < 0 假设 u x, t = u t exp ikx, 以 a > 0 为例, 可得 : ( u n+1 u n )/ t+a/ x*( u n - u n exp(-i x))=0 则 u n+1 =A u n 其中 A = 1 r 1 cos x irsin x, r = t a / x A 2 = 1 2r 1 r 1 cos x 可得 A < 1, if t< x/ a 这是著名的 Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 稳定性条件

7 一阶对流方程 u(x,t) t + a u(x,t) =0, a 0 x a>0 a<0 (2) 中心差分 : u k n+1 u k n t =-a u n n k+1 u k 1 2 x 总是不稳定 : A = 1 irsin x, A 2 =1+r 2 sin 2 x > 1

8 一阶对流方程 u(x,t) t + a u(x,t) =0, a 0 x a>0 a<0 (3) Lax 格式 : u k n+1 u k n t =-a u n n k+1 u k 1 2 x n (u k+1 n + u k 1 )/2 A = cos x irsin x, A 2 =1 (1 r 2 )sin 2 x A < 1, if t< x/ a

9 一阶对流方程 u(x,t) t + a u(x,t) =0, a 0 x (4) 蛙跳格式 : u k n+1 u k n 1 2 t =-a u n n k+1 u k 1 2 x 精度 O( t 2, x 2 ) 稳定性条件, t< x/ a

10 一阶对流方程示例 u(x,t) t u(x,t) =0, x t: 0-4s x: 初态 : 方波或高斯波注入 迎风法 Lax 法中心差分法 哪一个更好 更可信?

11 一阶对流方程示例 ( 迎风法 ) Program main IMPLICIT NONE Real*8 tfinal, tini Real*8 xfinal, xini Real*8 dt,dx,r Integer nt,nx Real*8 a Real*8 u(1000,5000) Integer i,j character*50 file_name_out file_name_out = 'plot.gnu' open( unit=16, file=file_name_out, access="sequential", * form='formatted', status="unknown" ) 10 format(e15.7, E15.7, E15.7) 11 format(e15.7, E15.7, E15.7 //) a=-1.d0 dx=0.05d0 dt=0.02d0 r=a*dt/dx xfinal=-15.d0 xini=0.d0 tfinal=4.d0 tini=0.d0 nx=int(dabs(xfinal-xini)/dx)+1 nt=int(dabs(tfinal-tini)/dt)+1 do i=1,nx+1 if(i>nx-5) then u(i,1)=1.0d0 else u(i,1)=0.0d0 endif if(i<nx+1) then write(unit=16, fmt=10) tini, xfinal+dx*(i-1), u(i,1) else write(unit=16, fmt=11) tini, xfinal+dx*(i-1), u(i,1) endif enddo u(nx+2, 1)=1.0d0 do j=1,nt do i=1,nx+1 u(i,j+1)=(1+r)*u(i,j)-r*u(i+1,j) if(i<nx+1) then write(unit=16, fmt=10) tini+dt*j, xfinal+dx*(i-1), u(i,j+1) else write(unit=16, fmt=11) tini+dt*j, xfinal+dx*(i-1), u(i,j+1) endif enddo enddo close( unit=16 ) end

12 一阶对流方程迎风差分结果 t=0.02 t=1 t=2 t=4

13 一阶对流方程中心差分结果 t=0.02 t=1

14 一阶对流方程 Lax 差分结果 t=0.02 t=1 t=2 t=4

15 讨论 如所预料的, 中心差分不收敛 ; Lax 差分的振荡很明显, 特别是当波形边缘不平滑时 ; 迎风差分则相对好很多 Lax 和迎风格式的结果都有衰减行为, 而且衰减幅度不一致?? u(x,t) t + a u(x,t) =0, a 0, 通解具有如下形式 : x u(x,t)=f(x at)

16 Lax 和迎风格式衰减行为讨论 这是一个虚假的效应 考虑傅立叶展开, 假设 u k x, t = u k t exp ikx, 代入 u(x,t) t + a u(x,t) =0, x 则得到 u k t = u k 0 exp ikat 即模不随时间改变 而之前, 我们得到 A < 1, if t< x/ a A 2 = 1 2r 1 r 1 cos x 迎风 A 2 =1 (1 r 2 )sin 2 x Lax

17 迎风格式不同 dt/dx 情况下的结果 dx=0.05 dt=0.04 dx=0.05 dt=0.05 dx=0.05 dt=0.06 A 2 = 1 2r 1 r 1 cos x 迎风 当 r=1, A = 1! Test Yourself

18 Crank-Nicholson 方案 u n+1 k + r/4(u n+1 k+1 u n+1 k 1 )=u n n k r/4(u k+1 n u k 1 ) n n u 即将 k+1 u k 1 2 x 用 n 和 n+1 时刻值的平均来取代 由 Von Neumann 稳定性分析 A= 1 i r 2 sin( x) 1+i r 2 sin( x) A =1! 稳定性并不要求 r<1

19 Crank-Nicholson 示例 #include <blitz/array.h> using namespace blitz; void Tridiagonal (Array<double,1> a, Array<double,1> b, Array<double,1> c, Array<double,1> w, Array<double,1>& u) { int N = a.extent(0) - 2; Array<double,1> x(n), y(n); x(n-1) = - a(n) / b(n); y(n-1) = w(n) / b(n); for (int i = N-2; i > 0; i--) {x(i) = - a(i+1) / (b(i+1) + c(i+1) * x(i+1)); y(i) = (w(i+1) - c(i+1) * y(i+1)) / (b(i+1) + c(i+1) * x(i+1)); } x(0) = 0.; y(0) = (w(1) - c(1) * y(1)) / (b(1) + c(1) * x(1)); u(1) = y(0); for (int i = 1; i < N; i++) u(i+1) = x(i) * u(i) + y(i); } int main() { char *out= "plot.gnu"; FILE *fp2 = fopen(out,"w"); double fa, dx, dt, r; double xfinal, xini, tfinal, tini; int N, Nt; fa=-1.0; xfinal=-9.0; xini=1.0; tfinal=4.0; tini=0.0; N=2000; Nt=2000; dx=float(fabs(xfinal-xini)/n); dt=float(fabs(tfinal-tini)/nt); r=fa*dt/dx;

20 Crank-Nicholson 示例 Array<double,1> u(n+2); Array<double,1> a(n+2), b(n+2), c(n+2), w(n+2); for (int i = 2; i <= N; i++) a(i) = * r; for (int i = 1; i <= N; i++) b(i) = 1.; for (int i = 1; i <= N-1; i++) c(i) = * r; for (int i=0; i<=n+1; i++) { double xx=xfinal+i*dx; u(i)=exp(-100.*(xx- 0.5)*(xx-0.5)); fprintf(fp2,"%15.7f %15.7f %15.7f\n", tini, xx, u(i)); } fprintf(fp2,"\n\n"); for (int k=1; k<=nt; k++ ) { for (int i = 1; i <= N; i++) w(i) = u(i) * r * (u(i+1) - u(i-1)); Tridiagonal (a, b, c, w, u); for (int i=0; i<=n+1;i++) { double xx=xfinal+i*dx; fprintf(fp2,"%15.7f %15.7f %15.7f\n", tini+k*dt, xx, u(i)); } fprintf(fp2,"\n\n"); } }

21 Crank-Nicholson 示例 t=0 t=1 t=4

22 扩散方程 (1D 抛物型方程 ) T t = D 2 T x 2 以热传导为例, 我们有 q = k T, 其中 q 为热流,T 为温度,k 为导热系数 由能量守恒 Q t = q. ds 其中 Q 为热能,Q = ctdv,c 为热容密度 故有 T t = D 2 T, D = k c 在实际问题中, 常见情形例如给出初始时刻 t 0 的温度分布 ) T(x, y, z, t 0, 求其后时刻的分布

23 扩散方程差分方法 T = D 2 T t x 2, x l x x h 差分 : t n = t 0 + nδt, x i = x 0 + iδx T(x, t n+1 ) T(x, t n ) δt 2 T(x, t n ) = D x 2 + O(δt) T i n+1 T i n δt = D T i 1 n T n+1 i = T n i + C T n i 1 C = D 2T n n i + T i+1 δx 2 2T n n i + T i+1 δt δx 2, X 方向二阶中心差分 for i=1, N 混合边界条件 T(x l, t) α l (t)t(x l, t) + β l (t) = γ x l (t), T(x h, t) α h (t)t(x h, t) + β h (t) = γ x h (t), n T N+1 T 0 n = γ l n δx β l n T 1 n α l n δx β l n, = γ h n δx + β h n T N n α h n δx + β h n γ l n = γ l (t n ),...

24 Von Neumann stability 假设 T x, t = T t exp ikx, 可得 : T n+1 e ikx n = T n e ikx n[1 + C(e ikδx 2 + e +ikδx ) 即 T n+1 = A T n 其中 A = A = 1 2C(1 coskδx) = 1 4Csin 2 (kδ x 2) 可得 δt < δx 2 2D

25 Diffusion PDE 示例 时间维度的初值条件 空间维度的边值条件 t 0 = 0.1s, t f = 2.1s x 0 x x 0, x 0 =5 Width ~ Dt

26 Diffusion PDE 示例 Program main IMPLICIT NONE Real*8 a Real*8 nxstep Real*8 xfinal, xini Real*8 xstep Real*8 ntstep Real*8 tfinal, tini Real*8 tstep Real*8 u(1000,1000) Integer i,j character*50 file_name_out file_name_out = 'plot.gnu' open( unit=16, file=file_name_out, access="sequential", * form='formatted', status="unknown" ) 10 format( E15.7, E15.7, E15.7 ) 11 format( E15.7, E15.7, E15.7 / /) a=1.d0 nxstep=40.d0 xfinal=5.0 xini=-5.d0 xstep=(xfinal-xini)/nxstep ntstep=100.d0 tfinal=2.1d0 tini=0.1d0 tstep=(tfinal-tini)/ntstep c A Diffusion PDE Example: c T't=a*T''x c T(x,t0)=exp(-x^2/(4 a t0)) c T(+-x0, t)=sqrt(t0/t)exp(-x0^2/(4 a t)) c a=1, t0=0.1, x0=5. c von Neumann Stability Analysis: dt<(dx)^2/2/a do j=1, nxstep+1 u(j,1)=dexp(-(xini+(j- 1.d0)*xstep)**2/4.d0/a/tini) enddo do i=1, ntstep+1 u(1,i)=dsqrt(tini/(tini+(i-1.d0)*tstep)) & *dexp(-(xini)**2/4.d0/a/(tini+(i- 1.d0)*tstep)) u(nxstep+1,i)=dsqrt(tini/(tini+(i- 1.d0)*tstep)) & *dexp(-(xfinal)**2/4.d0/a/(tini+(i- 1.d0)*tstep)) enddo do i=2,ntstep+1 do j=2,nxstep u(j,i)=u(j,i-1) & +a*tstep/xstep**2*(u(j+1,i-1)-2.d0*u(j,i- 1)+u(j-1,i-1)) enddo enddo

27 Diffusion PDE 示例 t=0.1 t=0.9 t=1.7 t=2.1

28 Crank-Nicholson 方法 稳定性分析可得, 对所有 k, 有 A <1 需要处理三对角矩阵

29 扩散方程的概率论分析 w t = D 2 w x 2 定义 w x, t dx 为在时刻 t 在 [x,x+dx] 范围内粒子的分布几率, 那么我们又如下的平均值 : 从而可以来计算方差 : 由归一化条件 及概率要求 w x, t >0 有如下限制条件 :

30 X 的平均值不随时间变化 在随机行走 (Random Walk) 章节, 我们将看到扩散方程和 RM 更多的联系

31 非线性偏微分方程 Navier-Stokes equations 粘性流体力学 浅水波方程 : 扰动在浅水中的传播 浅水是假设水深相对扰动范围很小 方程由流体质量守恒和动量守恒方程得到, 涉及的变量包括流体深度 η, 二维流体速度 u v

32 孤立子 1834 年, 英国 Scott. Russell 偶然观测到一种奇妙的水波 : 一条在狭窄河道的船被两匹马拉着前进 突然, 船停了下来, 河道内被船体带动的水团并未停止, 他们聚集在周围激烈第扰动着, 然后呈现一个长度约 30 英尺, 高约 1~1.5 英尺的滚圆而平滑的巨大孤立波峰, 以每小时约 8~9 英里的速度向前推进了 1~2 英里, 最后终于消失在逶迤的河道中. 一个高, 薄呈驼峰状的孤立子, 会追上它较矮胖的兄弟, 這兩波相会之后合而为一 经过一阵混乱之后, 这个合而为一的波又彼此分开, 较快较高的那道波以原有的速度前进, 渐渐将较矮胖的波远远地抛在脑后

33 孤立子

34 孤立子 Russell 认为他观测到的是流体运动的一个稳定解, 并称之为 孤立波 但是,Russell 并未能成功证明并使物理学家信服他的观点

35 孤立子

36 孤立子

37 KdeV 方程分析 u t + αuu x + u xxx =0

38 KdeV 方程分析 u t + αuu x + u xxx =0

39 KdeV 方程分析 u t + αuu x + u xxx =0

40 KdV 方程解析解 行波解 : u x, t = u z, z x ct 代入, 得到常微分方程 c du dz + εu du dz + μ d3 u dz 3 = 0,

41 KdV 方程解析解 u t + 6uu x + u xxx =0

42 KdeV 方程

43 KdeV 示例 Program main IMPLICIT NONE Real*8 nxstep Real*8 xfinal, xini Real*8 xstep Real*8 ntstep Real*8 tfinal, tini Real*8 tstep Real*8 u(50010,50010) Integer i,j character*50 file_name_out file_name_out = 'plot.gnu' open( unit=16, file=file_name_out, access="sequential", * form='formatted', status="unknown" ) 10 format( E15.7, E15.7, E15.7 ) 11 format( E15.7, E15.7, E15.7 / /) nxstep=300.d0 xfinal=100.0 xini=-100.d0 xstep=(xfinal-xini)/nxstep ntstep=50000.d0 tfinal=100.d0 tini=0.d0 tstep=(tfinal-tini)/ntstep c A KdV PDE Example: c u't+6*u*u'x+u'xxx=0 c u(x,0)=sech^2((x)/2.0)/2.0 c analytical solution: c u(x,t)=sech^2((x-t)/2.0)/2.0 c Stability: 1/(dx/dt)*(6 u +4/(dx^2))<=1 c xrange and dx, dt are crucial!!!

44 KdeV 示例 do j=1, nxstep+1 u(j,1)=0.5d0/dcosh(0.5d0*(xini+(j- 1.d0)*xstep))**2 enddo u(nxstep+2,1)=u(nxstep+1,1) u(nxstep+3,1)=u(nxstep+1,1) do i=2,ntstep+1 do j=3,nxstep+1 u(j,i)=u(j,i-1) - tstep*( & 1.0d0/xstep* & (u(j+1,i-1)+u(j,i-1)+u(j-1,i- 1))*(u(j+1,i-1)-u(j-1,i-1)) & +(u(j+2,i-1)-2.d0*u(j+1,i- 1)+2.d0*u(j-1,i-1)-u(j-2,i-1)) & /2.d0/xstep**3 & ) enddo enddo do i=1,ntstep+1 do j=3,nxstep+1 if(j>nxstep) then write(unit=16,fmt=11) tini+tstep*(i-1.d0) & tini+tstep*(i-1.d0) &,xini+xstep*(j-1.d0),u(j,i) else write(unit=16,fmt=10),xini+xstep*(j-1.d0),u(j,i) endif enddo enddo close( unit=16 ) end

45 KdeV 示例 t=0 t=10 t=80

46 Kruskal, Zalusky 孤立子 u, ux, uxx 为在 [0, 2] 上的周期函数 随着时间的演进, 余弦波开始挤压且几乎产生截波. 其后色散项 uxxx 开始起作用 解变为一列由 8 个类 sech 函数组成的波, 而在这过程中, 速度快的波会追上慢的波, 好像是高的波吞下矮的, 但后来又把它突出一样. 经过一段时间之后, 原先的余弦波又出现了. Soliton

47 Kruskal, Zalusky 孤立子

48 Kruskal, Zalusky 孤立子 nxstep=128.d0 xfinal=2.0 xini=0.d0 xstep=(xfinal-xini)/nxstep ntstep=50000.d0 tfinal=2.1d0 tini=0.d0 tstep=(tfinal-tini)/ntstep do j=1, nxstep+1 u(j,1)=dcos(dacos(-1.d0)*(xini+(j-.d0)*xstep)) enddo u(nxstep+2,1)=u(2,1) u(nxstep+3,1)=u(3,1) do i=2,ntstep+1 do j=3,nxstep+1 u(j,i)=u(j,i-1) - tstep*( & 1.0d0/6.d0/xstep* & (u(j+1,i-1)+u(j,i-1)+u(j-1,i- 1))*(u(j+1,i-1)-u(j-1,i-1)) & d0**2*(u(j+2,i-1)- 2.d0*u(j+1,i-1)+2.d0*u(j-1,i-1) & -u(j-2,i-1))/2.d0/xstep**3 & ) enddo u(1,i)=u(1,i-1) - tstep*( & 1.0d0/6.d0/xstep* & (u(2,i-1)+u(1,i- 1)+u(nxstep,i-1))*(u(2,i-1)- u(nxstep,i-1)) & d0**2*(u(3,i-1)- 2.d0*u(2,i-1)+2.d0*u(nxstep,i-1) & -u(nxstep-1,i- 1))/2.d0/xstep**3 周期函数 & ) u(2,i)=u(2,i-1) - tstep*( & 1.0d0/6.d0/xstep* & (u(3,i-1)+u(2,i-1)+u(1,i- 1))*(u(3,i-1)-u(1,i-1)) & d0**2*(u(4,i-1)- 2.d0*u(3,i-1)+2.d0*u(1,i-1) & -u(nxstep-1,i- 1))/2.d0/xstep**3 & ) u(nxstep+2,i)=u(2,i) u(nxstep+3,i)=u(3,i) enddo

49 Kruskal, Zalusky 孤立子 c A Kruskal-Zabusky PDE Example: c u't+ u*u'x+0.022^2*u'''xxx=0 c u(x,0)=cos(pi*x), 0<x<2 c ux, uxx, uxxx periodic on [0,2] for all t. c Stability: 1/(dx/dt)*(- 2 u0 +1/(dx^2))<=2/3/sqrt(3) c xrange and dx, dt are crucial!!! 改进大 t 行为

50 Sine-Gordon 方程

51 Sine-Gordon 方程

52 孤立子

53 作业 : 1. P17: 一阶对流方程, 迎风格式三种不同设定的结果, 及其讨论 2. P46-49 : Kruskal, Zalusky 孤立子, 给出数值解, 改善大 t 行为

1. PDE u(x, y, ) PDE F (x, y,, u, u x, u y,, u xx, u xy, ) = 0 (1) F x, y,,uu (solution) u (1) u(x, y, )(1)x, y, Ω (1) x, y, u (1) u Ω x, y, Ωx, y, (P

1. PDE u(x, y, ) PDE F (x, y,, u, u x, u y,, u xx, u xy, ) = 0 (1) F x, y,,uu (solution) u (1) u(x, y, )(1)x, y, Ω (1) x, y, u (1) u Ω x, y, Ωx, y, (P 2008.9-2008.12 Laplace Li-Yau s Harnack inequality Cauchy Cauchy-Kowalevski H. Lewy Open problems F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982. 2002 2008 1 1. PDE u(x, y, ) PDE F (x,

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