奇 妙 的 24 摘 要 從 撲 克 牌 中 隨 機 抽 取 4 張 牌 可 以 有 1820 種 牌 組, 在 這 1820 種 牌 組 中, 有 1362 組 可 經 由 四 則 運 算 的 方 式, 算 出 24 點, 有 458 組 無 解 快 速 求 解 的 方 法 有 相 加 法 因 數

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1 金 門 地 區 第 55 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 科 別 : 數 學 組 組 別 : 國 小 組 作 品 名 稱 : 奇 妙 的 24 關 鍵 詞 :24 點 四 則 運 算 ( 最 多 3 個 ) 編 號 :( 由 主 辦 單 位 填 寫 )

2 奇 妙 的 24 摘 要 從 撲 克 牌 中 隨 機 抽 取 4 張 牌 可 以 有 1820 種 牌 組, 在 這 1820 種 牌 組 中, 有 1362 組 可 經 由 四 則 運 算 的 方 式, 算 出 24 點, 有 458 組 無 解 快 速 求 解 的 方 法 有 相 加 法 因 數 法 零 壹 法 及 常 見 的 六 種 算 式 法 當 數 字 何 小 於 9, 四 張 牌 出 現 大 於 9 以 上 的 數 字, 或 四 張 牌 中 出 現 相 同 的 大 數 時, 容 易 無 解 經 過 篩 選 與 比 對, 我 們 發 現 有 最 多 種 解 法 的 牌 組 是 ( ), 一 共 有 11 種 解 法 而 在 常 見 的 六 種 算 式 中, 以 (a+b-c)*d 有 最 多 種 牌 組, 共 有 65 組 另 外, 雖 然 我 們 抽 出 的 牌 是 整 數, 但 在 計 算 過 程 中, 有 時 會 需 要 用 到 分 數 或 小 數 來 化 解

3 壹 研 究 動 機 為 了 讓 我 們 程 式 設 計 課 程 可 以 順 利 進 行, 老 師 找 了 一 個 可 以 訓 練 邏 輯 思 考 的 遊 戲 計 算 24 點, 利 用 下 課 時 間 和 我 們 ㄧ 起 討 論 首 先 拿 一 副 撲 克 牌, 洗 牌 之 後 每 人 發 四 張, 再 利 用 四 則 運 算 的 規 則, 計 算 抽 到 的 牌 組, 最 先 算 出 24 的 人, 就 是 這 場 遊 戲 的 贏 家 一 開 始 我 們 覺 得 很 簡 單, 簡 直 是 小 看 我 們 的 智 商, 但 隨 著 抽 牌 次 數 越 多, 越 發 覺 得 有 挑 戰 性, 甚 至 某 些 牌 組, 讓 我 們 百 思 不 得 期 解, 也 引 發 了 我 們 的 好 奇 心, 想 知 道 有 哪 些 方 法 可 以 幫 助 我 們 迅 速 的 算 出 24? 有 哪 些 方 法 可 以 快 速 的 檢 驗 抽 到 的 牌 組 能 否 算 出 24? 抽 到 的 牌 組, 是 否 只 有 一 種 解 法? 哪 些 牌 組 的 解 法 最 多? 貳 研 究 目 的 一 推 算 24 點 遊 戲 的 所 有 牌 組 數 量 二 探 討 如 何 快 速 求 解 三 了 解 無 解 牌 組 有 何 規 律 四 探 究 哪 些 牌 組 有 最 多 種 解 法 五 探 究 六 種 最 常 見 解 法 中, 哪 一 種 解 法 有 最 多 牌 組 參 研 究 設 備 及 器 材 : 計 算 紙 撲 克 牌 筆 電 腦 Google Apps 線 上 程 式 肆 研 究 過 程 或 方 法 一 可 算 出 24 點 的 牌 組 共 有 幾 種? 隨 機 抽 四 張 的 各 種 牌 組 : 這 個 遊 戲 是 將 1 到 13 的 數 字, 不 分 花 色 都 混 在 一 起 洗 牌, 我 們 從 52 張 牌 中 隨 機 抽 出 四 張 牌 用 四 則 運 算 算 出 24 過 程 中, 我 們 發 現 抽 出 的 數 字 ( 牌 組 ) 會 出 現 下 列 幾 種 情 形 : 1. 四 個 數 字 都 相 同 : 例 如 ( ) 這 種 情 形 會 出 現 13 次 2. 數 字 三 同 一 異 : 例 如 ( ) 這 種 情 形 會 出 現 13*12=156 種

4 3. 數 字 兩 同 兩 同 : 例 如 ( ) 這 種 情 形 會 出 現 13*12/2=78 種 4. 數 字 兩 同 兩 異 : 例 如 ( ) 這 種 情 形 會 出 現 13*12*11/2=858 種 5. 四 個 數 字 都 不 同 : 例 如 ( ) 這 種 情 形 會 出 現 13*12*11*10/24=715 種 由 以 上 得 知, 從 52 張 牌 中 隨 機 抽 出 四 張 牌, 不 看 花 色 只 看 數 字, 將 會 有 =1820 種 牌 組 二 如 何 快 速 求 解 : 從 撲 克 牌 中 隨 機 抽 取 四 張 牌, 總 共 可 以 有 1820 種 牌 組 組 合, 在 探 索 階 段, 我 們 找 到 306 組 牌 組 組 合, 後 來 又 利 用 網 路 上 搜 尋 到 的 程 式, 將 剩 餘 的 牌 組 組 合 找 出 來 在 尋 找 牌 組 組 合 及 計 算 它 們 是 否 能 算 出 24 的 過 程 中, 為 了 加 速 我 們 的 計 算 程 序, 我 們 嘗 試 了 下 面 幾 種 方 法 : 1. 全 部 相 加 : 在 拿 到 四 張 牌 時, 可 以 先 將 牌 中 的 4 個 數 字 全 部 加 起 來 看 看, 我 們 發 現 若 牌 組 中 數 字 的 和 太 大 (>24, 但 非 24 的 倍 數 ) 或 太 小 (<9) 時, 無 解 的 機 率 相 當 的 高 這 個 方 法 成 為 我 們 之 後 計 算 時, 可 以 初 步 的 判 斷 所 拿 到 的 牌 組 是 否 有 解 2. 全 部 相 乘 : 假 如 4 個 數 相 乘, 還 沒 辦 法 湊 出 24 的 話, 無 解 機 率 很 高, 這 個 方 法 也 成 為 我 們 之 後 計 算 時 初 步 判 斷 的 方 法 3. 利 用 24 的 因 數 : 我 們 發 現 可 以 試 著 將 數 字 湊 成 2 個 24 的 因 數, 接 著 兩 數 相 乘 就 能 算 出 24, 例 如 ( ) 這 一 組 的 數 字 中, 我 們 先 保 留 2 不 計 算, 接 著 把 (3 4 5) 這 三 個 數 字 計 算 成 12, 即 3+4+5=12 用 四 則 運 算 寫 出 算 式, 則 為 2*(3+4+5)=24 因 為 24 的 因 數 有 8 個, 分 別 是 , 所 以 除 了 1 和 24 之 外, 只 要 四 張 牌 的 4 個 數 字 中 出 現 這 些 因 數, 我 們 就 可 以 直 接 使 用 因 數 相 乘 (2*12 3*8 6*4 ) 的 方 法 來 解 決 若 4 個 數 字 之 中, 沒 有 24 的 因 數, 我 們 亦 可 經

5 由 數 字 相 加 或 相 減 來 湊 出 24 的 因 數, 例 如 把 抽 到 的 數 字 兩 兩 合 併 成 24 的 因 數,( ) 這 一 組 雖 然 有 2 和 4, 但 是 無 論 是 (4 7 10) 還 是 (2 7 10) 沒 辦 法 合 併 成 12 和 6, 這 時, 就 可 以 經 由 兩 兩 計 算, 10-2=8,7-4=3, 成 為 24 的 因 數 後, 在 加 以 相 乘,3*8=24 經 過 我 們 的 檢 驗, 我 們 發 現 這 種 方 法 是 最 容 易 解 出 24 的 方 式 4. 利 用 0 及 1 的 特 性 求 解 : 抽 牌 時, 拿 到 相 同 的 數 字, 尤 其 是 超 過 10 的 牌, 通 常 都 不 太 好 計 算, 此 時 可 以 利 用 將 兩 個 數 字 相 減 為 0 或 相 除 為 1 化 解 例 如 :( ), 可 以 4*6*(12/12)=24 或 4*6+(12-12) 又 或 者 拿 到 數 張 大 於 10 的 牌, 可 利 用 兩 數 相 減 為 1 的 方 式 求 解, 例 如 ( ), 可 以 11*(5-4)+13=24 5. 利 用 最 常 被 使 用 的 解 法 :( 以 a b c d 表 示 牌 面 上 的 四 個 數 字 ) (1) (a-b)*(c+d): 先 取 兩 個 數 湊 成 一 個 24 的 因 數, 再 把 剩 下 兩 個 數 湊 成 24 的 另 一 個 因 數 例 如 :( ), 以 (11-9)*(7+5)=24 等 (2) (a+b)/c*d: 四 個 數 字 中 有 一 個 是 24 的 因 數 者, 先 將 其 固 定, 再 將 剩 餘 的 三 個 數 字 湊 成 24 的 另 一 個 因 數 例 如 :( ), 以 (13+7)/5*6=24 等 (3) (a-b/c)*d: 四 個 數 字 中 有 一 個 是 24 的 因 數 者, 先 將 其 固 定, 再 將 剩 餘 的 三 個 數 字 湊 成 24 的 另 一 個 因 數 例 如 :( ), 以 (10-10/5)*3=24 等 (4) (a+b-c)*d: 四 個 數 字 中 有 一 個 是 24 的 因 數 者, 先 將 其 固 定, 再 將 剩 餘 的 三 個 數 字 湊 成 24 的 另 一 個 因 數 例 如 :( ), 以 ( ) *6=24 等 (5) a*b+c-d: 把 四 個 數 湊 成 一 個 被 減 數 與 一 個 減 數, 使 其 差 為 24 先 選 兩 個 數 字 相 乘, 使 其 積 大 於 24, 再 努 力 湊 後 面 兩 個 數 字 例 如 :( ), 以 11*3+1-10=24 等 (6) (a-b)*c+d: 把 四 個 數 湊 成 24 的 兩 個 加 數 先 固 定 一 個 加 數, 剩 餘 的

6 三 個 數 湊 成 24 的 另 一 個 加 數 例 如 :( ), 先 固 定 加 數 6, 再 把 (1 2 10) 三 個 數 湊 成 18, 即 (10-1)*2+6=24 三 無 解 牌 組 的 規 律 : 在 我 們 解 題 的 過 程 中, 某 些 牌 組 僅 管 絞 盡 腦 汁, 還 是 算 不 出 24, 因 此 讓 我 們 想 到 是 否 每 種 組 合 都 有 解 呢? 於 是, 我 們 開 始 蒐 集 可 能 無 解 的 組 合, 並 利 用 線 上 程 式 計 算 後, 將 得 到 的 結 果 進 行 觀 察 研 究 之 後, 我 們 歸 納 出 具 有 下 列 特 徵 的 牌 組, 較 易 無 解 : 1. 數 字 和 小 於 9: 四 個 數 字 的 和 若 比 9 還 要 小 的 牌 組, 一 定 無 解 2. 數 字 和 過 大 : 當 四 張 牌 出 現 大 於 9 的 10 J Q K, 容 易 出 現 無 解 其 中 以 出 現 J ( 有 148 組 ) 和 K ( 162 組 ) 最 容 易 無 解 在 458 組 無 解 牌 組 中, 出 現 J 的 有 148 組, 出 現 K 的 有 162 組 3. 同 樣 的 號 碼 : 四 張 牌 中 出 現 相 同 的 號 碼 越 多, 且 重 複 的 數 字 越 大 時, 則 越 容 易 出 現 無 解, 如 ( ) 4. 四 個 相 同 的 數 字 : 四 個 相 同 的 組 別 內 皆 是 無 解 四 哪 些 牌 組 有 最 多 種 解 法? 為 了 知 道 哪 些 牌 組 有 最 多 種 解 法, 我 們 必 須 先 知 道 有 解 的 牌 組 中, 各 個 牌 組 有 哪 些 解 法 由 於 有 解 牌 組 共 有 1362 組, 若 要 一 組 一 組 計 算, 又 要 算 有 哪 些 解 法, 恐 怕 不 是 短 時 間 內 可 以 有 結 果, 因 此 我 們 借 助 線 上 程 式 的 協 助, 幫 助 我 們 將 所 有 可 能 的 算 法 列 出 由 於 線 上 程 式 運 算 出 來 的 解 法 當 中, 有 些 解 法 明 顯 相 同 ( 如 8*[1+(1+1)] [(1+1)+1]*8 [1+(1+1)]*8 及 8*[(1+1)+1]) 為 了 呈 現 最 簡 潔 不 重 複 的 解 法, 我 們 依 照 下 面 的 方 法 進 行 篩 選 : 1. 等 值 算 式 : 在 線 上 程 式 運 算 出 來 的 解 法 當 中, 有 不 少 是 因 交 換 律 結 合 律, 或 者 運 算 符 號 + 與 - 及 * 與 / 的 轉 換 所 產 生 的 各 種 等 值 算 式, 例 如 1*2*3*4 和 4*1*2*3 與 (4*3*(2*1)), (8+5-9) 6 與

7 [8-(9-5)] 6,(10+10) 6/5 與 (10+10)/(5/6), 基 本 上 沒 有 什 麼 差 別, 但 前 面 的 算 式 較 容 易 閱 讀, 在 表 達 上 也 更 為 簡 單 2. 值 為 0 或 1: (1) *1 及 /1 : 由 於 任 何 數 *1 及 任 何 數 /1, 都 會 是 原 來 的 數, 因 此 我 們 將 *1 及 /1 的 算 式, 例 如 (13+11)/(5-4) 與 (13+11)*(5-4), 當 作 同 一 個 算 式 另 外, 在 *1 的 算 式 中, 我 們 也 將 (3+5)*1*3 與 (3+5*1)*3 及 (3*1+5)*3, 當 作 同 一 個 算 式 (2) 兩 數 相 除 為 1 及 兩 數 相 減 為 0: 我 們 將 12*2*13/13 與 12* , (13+11)*7/7 與 等 類 似 形 式 的 算 式, 當 作 同 一 個 算 式 經 過 我 們 的 篩 選 與 比 對 後, 我 們 的 發 現 如 下 表 : 有 幾 組 解 牌 組 數 量 , 是 ( )

8 五 六 種 最 常 見 解 法 中, 哪 一 種 解 法 有 最 多 牌 組 我 們 根 據 前 面 經 由 線 上 程 式 算 出 的 各 種 解 法, 扣 除 等 值 重 複 的 算 式 後, 總 共 有 3017 組 解 法 我 們 透 過 比 對 的 方 式, 得 到 下 列 表 格 解 法 牌 組 數 (a+b)*c/d 10 (a-b)*c+d 19 (a+b-c)*d 65 (a-b)*(c+d) 40 a*b+c-d 24 (a-b/c)*d 7 伍 研 究 結 果 一 玩 24 點 遊 戲, 從 撲 克 牌 中 隨 機 抽 出 四 張 牌, 不 看 花 色 只 看 數 字, 會 有 1820 種 牌 組, 其 中 有 解 的 有 1362 組, 無 解 的 有 458 組 二 利 用 四 則 運 算 計 算 出 24 的 方 法 有 : 1. 全 部 相 加 : 在 拿 到 四 張 牌 時, 可 以 先 將 4 個 數 字 全 部 加 起 來, 有 時 運 氣 好, 可 以 馬 上 算 出 利 用 24 的 因 數 : 因 為 24 的 因 數 有 及 24, 除 了 1 和 24 外, 只 要 四 張 牌 中 出 現 這 些 因 數, 我 們 就 可 以 嘗 試 使 用 24 因 數 相 乘 的 方 法, 如 (2*12) ( 3*8) (6*4) 來 解 決 3. 利 用 0 及 1 的 特 性 求 解 : 拿 到 兩 張 相 同 的 數 字 時, 可 以 運 用 相 同 數 字 相 減 為 0 或 相 除 為 1 的 特 性 求 解 ; 拿 到 兩 張 牌 面 數 字 相 差 為 1 的 牌 時, 也 可 利 用 相 減 為 1 的 方 式 求 解, 便 可 降 低 相 同 數 字 或 大 數 帶 來 計 算 上 的 困 擾

9 4. 將 數 字 值 變 小 : 牌 面 數 字 較 大, 則 較 不 好 算, 因 此 如 果 遇 到 牌 面 數 字 較 大 時, 可 以 考 慮 將 其 相 減, 以 將 牌 面 數 字 變 小 5. 運 用 最 廣 泛 的 四 則 運 算 解 法 : (1) (a-b)*(c+d): 例 如 :( ), 以 (9-7)*(8+4)=24 等 (2) (a+b)/c*d: 例 如 :( ), 以 (10+8)/3*4=24 等 (3) (a-b/c)*d: 例 如 :( ), 以 (7-9/3)*6=24 等 (4) (a+b-c)*d: 例 如 :( ), 以 (5+2-4)*8=24 等 (5) a*b+c-d: 例 如 :( ), 以 13*2+5-7=24 等 (6) (a-b)*c+d: 例 如 :( ), 以 (9-3)*3+6=24 等 三 快 速 判 斷 : 如 果 牌 面 數 字 較 小 且 有 解, 通 常 能 計 算 出 更 多 變 化 的 解 答, 且 解 法 較 多 ; 相 反 的 如 果 牌 面 數 字 較 大, 則 較 不 好 算 四 出 現 無 解 的 牌 組 組 合 : 1. 數 字 和 小 於 9: 四 個 數 字 的 和 若 比 9 還 要 小 的 牌 組, 一 定 無 解 2. 數 字 和 過 大 : 當 四 張 牌 出 現 大 於 9 的 數 字 時, 容 易 出 現 無 解 其 中 以 出 現 K 的 牌 組, 最 容 易 無 解 3. 同 樣 的 號 碼 : 四 張 牌 中 出 現 相 同 的 號 碼 越 多, 且 重 複 的 數 字 越 大 時, 則 越 容 易 出 現 無 解 4. 四 個 相 同 的 數 字 : 四 個 牌 相 同 的 牌 組,4 個 數 都 是 皆 是 無 解 五 有 最 多 種 解 法 的 牌 組 : 利 用 線 上 程 式 運 算 出 來 的 解 法 當 中, 我 們 將 明 顯 相 同 的 解 法 剔 除, 我 們 發 現 有 最 多 種 解 法 的 牌 組 是 ( ), 一 共 有 11 種 解 法 六 六 種 最 常 見 解 法 中, 哪 一 種 解 法 有 最 多 牌 組 : 經 由 比 對, 我 們 發 現 六 種

10 最 常 見 解 法 中, 以 (a+b-c)*d 的 牌 組 數 最 多, 有 65 組 陸 討 論 一 為 什 麼 算 24 這 個 數 字 為 什 麼 是 算 24? 而 不 是 算 等 其 它 數 字 呢? 其 實, 不 論 算 幾 點, 這 個 遊 戲 都 可 以 進 行 只 是 因 為 24 的 因 數 有 及 24, 以 乘 法 來 看, 可 以 有 1*24 2*12 3*8 4*6 等 4 種 組 合, 如 果 是 23 點, 只 有 1*23 一 組, 如 果 是 25, 也 只 有 1*25 及 5*5 兩 種 我 們 列 出 數 字 1 至 52 的 因 數 及 它 們 的 因 數 個 數, 了 解 其 他 數 字 的 情 況 : 數 因 數 個 數 因 數 個 字 數 字 數

11 從 上 表 我 們 可 以 發 現 以 下 情 形 : 這 四 個 數 字 都 擁 有 8 個 因 數, 可 是 24 是 擁 有 8 個 數 的 最 小 數 字 另 外, 在 撲 克 牌 的 數 值 當 中,24 的 所 含 的 因 數 就 有 及 12, 共 7 個, 因 此 我 們 推 論 使 用 24 點 推 算 出 答 案 的 機 會 較 高, 牌 面 的 變 化 性 也 較 多 元 是 有 6 個 因 數 的 最 小 數 字, 而 且 它 的 因 數 全 在 撲 克 牌 的 牌 面 數 值 中 24 是 有 8 個 因 數 的 最 小 數 字, 而 且 它 的 因 數, 除 了 24 之 外, 其 他 7 個 全 在 撲 克 牌 的 牌 面 數 值 中 所 以 我 們 推 論, 玩 四 張 牌 時 算 24 變 化 較 多, 玩 3 張 牌 時 算 12, 玩 5 張 牌 時 算 36 二 哪 些 類 型 的 牌 組 較 不 易 找 出 解 有 2 組 以 上 解 的 牌 組 超 過 6 成, 在 515 組 只 有 唯 一 一 組 解 的 牌 組 當 中, 當 我 們 抽 到 大 數 或 奇 數, 或 者 在 運 算 過 程 中 出 現 分 數 的 情 形, 這 些 牌 組 也 往 往 較 具 難 度, 不 易 找 出 解 1. 運 算 過 程 出 現 分 數 : 例 如 ( ), 解 答 是 (5-1/5)*5;( ), 解 答 是 (10/7+2)*7

12 2. 包 含 大 數 的 牌 組 : 部 份 牌 組 會 包 含 一 些 較 大 的 數 字, 如 ( ), 解 法 是 (10*10-4)/4;( ), 解 法 是 12*11-12*9 3. 包 含 奇 數 的 牌 組 : 如 ( ), 解 法 是 10*9/6+9;( ), 解 法 是 (7*7-1)/2 三 為 何 刪 除 重 複 解 計 算 24 點 之 所 以 有 趣, 就 是 比 誰 反 應 快, 對 數 字 的 敏 感 性 高, 想 出 有 解 的 算 式 多 某 些 情 況 下, 透 過 結 合 律 或 交 換 律, 可 以 將 算 式 變 化 成 更 多 算 式, 但 這 樣 的 結 果, 可 能 使 得 呈 現 出 來 的 算 式 變 得 較 複 雜 重 複 解 有 以 下 機 種 類 型 : 1. 用 加 法 乘 法 交 換 律 所 得 的 解 (1) (2) (1+5)*(12-8) (12-8)*(5+1) (3) 9*4*2/3 9/3*2*4 (4) (2*3+2)*3 3*(2+3*2) (5) 6/4*10+9 6*10/4+9 10/4* 用 結 合 律 所 得 的 解 (1) (10-3)+(8+9) (2) 9*8/6*2 9*8/(6/2) (3) 4* *7-(8-4) (4) 8/(10-8)*6 8/[(10-8)/6] 6/[(10-8)/8] 從 第 二 個 種 重 複 解, 我 們 可 以 知 道, 若 要 減 少 重 複 解, 算 式 中 就 應 該 拿 掉 不 必 要 存 在 的 各 種 括 號

13 3. 因 移 動 *1 或 /1 所 得 的 解 (1) (10-2)*3*1 (10-2)*3/1 (10*1-2)*3 (10-2/1)*3 (2) 3*8*(7-6) 3/(7-6)*8 4. 因 移 動 +0 或 -0 所 得 的 解 :4*[6+(5-5)] [4-(5-5)]*6 四 遊 戲 還 可 以 有 哪 些 變 化 1. 我 們 發 現 超 過 10 以 上 的 牌 不 易 算 出 24, 所 以 可 以 在 玩 這 個 遊 戲 的 時, 將 撲 克 牌 的 J Q K 三 張 牌 拿 掉, 這 樣 會 比 較 容 易 計 算 或 者, 將 J Q K 三 張 牌 的 值 當 做 10, 以 簡 化 遊 戲 的 困 難 度 2. 遊 戲 過 程 中, 統 一 由 某 一 人 抽 出 四 張 牌, 然 後 在 時 限 內 比 誰 能 算 出 最 多 種 解 法 3. 遊 戲 過 程 中, 可 以 由 某 一 人 先 抽 出 一 張 固 定 的 牌, 再 讓 大 家 輪 流 抽 出 剩 餘 的 三 張 牌, 這 樣 可 使 遊 戲 變 得 更 有 挑 戰 性 柒 結 論 經 過 這 次 的 研 究, 我 們 瞭 解 一 個 牌 組 中, 變 換 數 字 的 排 列, 再 加 上 四 則 運 算 的 規 則, 若 不 剔 除 重 複 解, 將 可 以 組 合 成 數 種 多 變 化 的 算 式 而 各 種 牌 組 中, 解 法 常 常 不 止 一 種, 雖 然 我 們 拿 到 的 牌 是 整 數, 但 在 計 算 過 程 中, 有 時 會 需 要 用 到 分 數 或 小 數 來 化 解 在 我 們 看 似 沒 有 規 律 的 數 字 符 號, 透 過 資 料 的 互 相 比 對 分 析 之 後, 還 是 可 以 找 出 規 律 另 外, 在 資 訊 科 技 發 達 的 現 代, 善 用 電 腦 運 算 的 能 力, 也 可 以 幫 助 我 們 快 速 的 解 決 記 憶 性 機 械 性 的 問 題, 剩 下 來 的 部 份 就 由 我 們 的 腦 力 來 解 決! 捌 參 考 資 料 及 其 他 數 學 康 軒 版 第 七 冊 第 七 單 元 整 數 四 則 計 算 中 華 民 國 第 四 十 七 屆 中 小 學 科 學 展 巧 算 24 點

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