中華民國 第51屆中小學科學展覽會

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1 中 華 民 國 第 51 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 第 三 名 輪 翻 上 陣 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 學 校 名 稱 : 臺 南 市 鹽 水 區 鹽 水 國 民 小 學 作 者 : 指 導 老 師 : 小 六 鄭 文 蓉 小 五 陳 冠 崴 何 鳳 珠 沈 冠 君 小 五 陸 品 瑄 關 鍵 詞 : 等 差 數 列 邏 輯 圈 對 稱 性

2 摘 要 本 研 究 起 於 網 路 教 學 網 站 (NLVM 的 Tessellations), 在 七 個 兩 兩 交 集 的 圈 內 填 入 指 定 的 14 個 數 字, 使 每 個 圈 內 的 三 個 數 字 和 均 相 等, 我 們 稱 之 為 數 字 邏 輯 圈 從 基 本 的 四 ~ 七 5k 圈 我 們 一 併 探 究 其 中 奧 秘, 得 知 當 數 組 呈 現 等 差 數 列 時, 圈 數 和 介 在 n + d ~ 7k n + d 間, 且 有 規 律 的 以 公 差 為 間 隔 出 現, 且 排 出 的 數 組 及 排 出 的 組 數 前 後 均 具 對 稱 性, 更 可 運 用 此 公 式 自 由 設 定 圈 數 和, 求 出 可 行 的 數 組 ; 或 給 定 內 外 圈 的 數 組, 經 雙 向 脈 絡 圖 輕 鬆 解 題 以 原 數 組 為 基 模, 可 經 由 平 移 或 轉 化 為 正 負 數 等 差 數 列 小 數 及 分 數 的 過 程, 形 成 更 多 的 數 組, 其 組 數 及 對 應 的 位 置 均 相 同, 可 謂 變 化 萬 千 ; 再 搭 配 不 同 的 提 示 位 置, 將 解 題 的 難 易 度 分 級, 利 用 各 類 題 本 提 示 個 數 提 示 位 置 提 示 盤 轉 動 之 加 乘 效 果 呈 現 出 眾 多 的 題 目 製 成 數 字 邏 輯 推 理 盤, 以 為 此 研 究 之 具 體 成 果 關 鍵 字 詞 : 等 差 數 列 邏 輯 圈 對 稱 性 0

3 壹 研 究 動 機 輪 " 翻 上 陣 ~ 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 在 怎 樣 解 題 單 元 中, 老 師 佈 了 一 個 看 似 簡 單 但 卻 讓 我 們 想 破 頭 的 問 題 ~ 在 七 個 兩 兩 交 集 的 圓 圈 內 填 入 指 定 的 14 個 數 字, 使 得 每 個 圓 圈 內 的 三 個 數 字 和 均 相 等 好 不 容 易 在 多 次 嘗 試 錯 誤 下 找 到 了 答 案, 一 對 照 下 發 現 : 竟 然 有 不 同 的 答 案, 且 同 樣 的 七 個 數 字 擺 在 內 圈 重 疊 處, 就 出 現 兩 種 不 同 的 解, 是 個 值 得 深 入 探 究 的 好 題 材! 因 此 我 們 將 圈 數 降 到 六 圈 五 圈, 甚 至 四 圈, 試 圖 尋 找 規 律 或 更 快 的 解 題 方 法 貳 研 究 目 的 一 探 討 在 不 同 的 圈 數 及 數 字 群 組 中 可 能 排 出 的 圈 數 和 之 範 圍 二 探 討 數 字 群 組 在 不 同 圈 數 中 的 排 列 規 律 三 探 討 給 予 內 外 圈 數 字 群 組, 如 何 有 效 判 斷 其 是 否 為 有 效 群 組 四 探 討 不 同 的 提 示 位 置 對 成 功 解 題 難 易 度 的 影 響 參 實 驗 研 究 器 材 數 字 棋 邏 輯 圈 圖 卡 計 算 機 電 腦 肆 名 詞 定 義 一 數 字 邏 輯 圈 : 由 數 個 圓 環 環 相 扣 所 形 成 的 數 字 謎 圈, 且 每 個 圓 內 的 三 個 數 字 和 皆 相 等 二 高 斯 符 號 : X 為 上 高 斯 符 號, 表 示 不 小 於 X 之 最 小 整 數 ; X 為 下 高 斯 符 號, 表 示 不 大 於 X 之 最 大 整 數 三 雙 向 脈 絡 圖 : 依 外 圈 所 需 數 字 和, 將 內 圈 數 字 裡 唯 一 組 合 進 行 配 對 連 線 所 形 成 的 圖 示 伍 研 究 歷 程 討 論 與 結 果 本 研 究 的 數 字 邏 輯 圈 是 以 圓 圈 兩 兩 重 疊 所 形 成 的 切 割 區 塊 來 擺 放 數 字, 使 其 每 個 圈 數 的 三 個 數 字 和 皆 相 等, 其 模 式 如 下 : 1

4 活 動 一 : 探 討 在 不 同 的 圈 數 及 數 字 群 組 中 可 能 排 出 的 圈 數 和 之 範 圍 給 予 一 組 數 字 群 組, 要 將 其 數 字 放 入 各 區 塊 中, 使 其 圈 數 和 皆 相 同, 首 要 先 得 知 道 其 所 可 能 排 出 的 圈 數 和 是 多 少, 因 此 本 研 究 探 討 範 圍 以 4 圈 ~7 圈 以 主, 設 定 的 數 字 群 組 為 等 差 數 列, 探 討 可 能 形 成 的 最 小 圈 數 和 及 最 大 圈 數 和, 並 推 衍 到 k 圈 將 其 公 式 化 過 程 1-1 四 圈 模 式 的 數 字 邏 輯 圈 可 能 排 出 的 圈 數 和 範 圍 四 圈 共 有 8 個 數 字, 內 圈 ( 即 交 疊 處 ) 數 字 都 重 複 了 一 次, 所 以 運 用 下 方 算 式 即 可 推 算 出 圈 數 和, 因 此 我 們 設 定 幾 種 數 字 群 組 來 進 行 推 算 最 大 及 最 小 圈 數 和 : 推 算 公 式 : < 數 字 總 和 >+< 內 圈 總 和 > = 圈 數 和 4 表 數 字 群 組 總 和 前 4 後 4 最 小 圈 數 和 最 大 圈 數 和 可 能 範 圍 1,,,4,5,6,7, (6+10) 4=11 (6+6) 4=15 1~15,4,5,6,7,8,9, (5+18) 4=17 (5+4) 4=1 18~1 0,,4,6,8,10,1, (56+1) 4=17 (56+1) 4=5 17~5,5,7,9,11,1,15, (80+4) 4=6 (80+56) 4=4 6~4 0,,6,9,1,15,18, (84+18) 4=5 (84+66) 4=7 6~7,7,11,15,19,,7, (16+6) 4=4 (16+100) 4=59 4~59 討 論 : 1. 以 公 差 為 奇 數 的 等 差 數 列 來 拼 排 推 算 時, 發 現 最 小 ( 大 ) 圈 數 和 算 出 來 都 會 有 餘 數 ( 皆 餘 ), 公 差 為 偶 數 的 等 差 數 列 則 沒 有 餘 數, 其 原 因 可 由 上 述 的 推 算 公 式 看 ( 首 數 + 末 數 ) 4 出 端 倪,< 數 字 總 和 > 一 定 是 4 的 倍 數, 而 < 內 圈 總 和 > 為 所 得 結 果, 而 首 數 及 末 數 為 一 奇 一 偶, 其 和 必 為 奇 數, 因 此 < 內 圈 總 和 > 是 的 奇 數 倍, 因 此 可 推 論 圈 數 和 必 不 為 4 的 倍 數, 且 餘 數 必 為 反 之, 公 差 為 偶 數 的 等 差 數 列, 其 首 數 及 末 數 必 為 同 奇 或 同 偶, 其 和 必 為 偶 數, 因 此 < 內 圈 總 和 > 必 為 4 倍 數, 所 以 可 推 論 圈 數 和 必 為 4 的 倍 數. 以 <1,,,4,5,6,7,8> 數 字 群 組 來 討 論, 其 最 小 圈 數 和 推 算 結 果 是 11 餘, 表 示 用 最 小 的 四 個 數 字 當 內 圈 總 數 會 剩 下 ( 即 不 足 ), 因 此, 內 外 圈 要 替 換 ( 如 1,,,4

5 換 成 1,,,6 或 1,,4,5 等 ), 就 可 形 成 下 一 個 可 能 的 圈 數 和 1, 且 剛 好 沒 有 剩 下 < 這 也 符 合 第 45 屆 全 國 科 展 國 中 作 品 七 邊 形 的 數 字 謎 題 裡 所 得 的 結 論 ~ 四 邊 形 數 字 謎 題 在 頂 點 為 最 大 四 個 數 或 最 小 四 個 數 時 無 解 >. 目 前 所 推 論 出 可 能 排 出 的 圈 數 和 範 圍 皆 以 給 定 的 數 字 做 推 論, 尚 未 排 出 符 合 圈 數 和 的 正 解, 此 待 活 動 二 再 做 深 入 探 討 過 程 1- 五 圈 模 式 的 數 字 邏 輯 圈 可 能 排 出 的 圈 數 和 範 圍 表 1--1 數 字 群 組 總 和 前 5 後 5 最 小 圈 數 和 最 大 圈 數 和 可 能 範 圍 1,,,4,5,6,7,8,9, (55+15) 5=14 (55+40) 5=19 14~19,4,5,6,7,8,9,10,11, (75+5) 5=0 (75+50) 5=5 0~5 1,,5,7,9,11,1,15,17, (100+5) 5=5 (100+75) 5=5 5~5 0,,6,9,1,15,18,1,4, (15+0) 5= (15+105) 5=48 ~48-8,-5,-,1,4,7,10,1,16, (-10) 5=9 (55+65) 5=4 9~4 1,5,9,1,17,1,5,9,, (190+45) 5=47 ( ) 5=67 47~67 討 論 : 1. 五 圈 模 式 不 管 公 差 是 奇 數 或 偶 數, 其 推 算 出 來 的 最 小 ( 大 ) 圈 數 和 都 不 會 有 餘 數, 其 < 數 字 總 和 >+< 內 圈 總 和 > 原 因 可 由 算 式 ( = 圈 數 和 ) 中 看 出 端 倪,< 數 字 總 和 > 5 ( 首 數 + 末 數 ) 5 一 定 是 5 的 倍 數, 而 < 內 圈 總 和 > 為 所 得 結 果, 而 首 數 及 末 數 必 二 奇 或 二 偶, 因 為 間 隔 4 個 公 差, 所 以 其 和 必 為 偶 數, 因 此 < 內 圈 總 和 > 是 5 的 倍 數, 所 以 推 論 圈 數 和 也 會 5 的 倍 數, 所 以 沒 有 餘 數 過 程 1- 六 圈 模 式 的 數 字 邏 輯 圈 可 能 排 出 的 圈 數 和 範 圍 表 1--1 數 字 群 組 總 和 前 6 後 6 最 小 圈 數 和 最 大 圈 數 和 可 能 範 圍 1,,,4,5,6,7,8,9,10,11, (78+1) 6=16 (78+57) 6= 17~ -6,-5,-4,-,-,-1,0,1,,,4, (-6+-1) 6=4 (-6+15) 6=1 4~1-4,-,0,,4,6,8,10,1,14,16, (84+6) 6=15 (84+78) 6=7 15~7 4,6,8,10,1,14,16,18,0,,4, (180+54) 6=9 (180+16) 6=51 9~51 1,4,7,10,1,16,19,,5,8,1, (10+51) 6=4 (10+159) 6=6 44~6-8,-4,0,4,8,1,16,0,4,8,, (168+1) 6=0 ( ) 6=54 0~54 討 論 : 1. 六 圈 模 式 與 四 圈 模 式 一 樣, 屬 於 偶 數 圈 模 式 的 數 字 圈, 當 公 差 為 奇 數 時, 最 小 ( 大 ) 圈 數 和 算 出 來 都 會 有 餘 數, 而 且 餘 數 皆 為 圈 數 的 一 半 (6 的 一 半 是 ), 其 原 由 與 四

6 圈 相 同 當 公 差 為 偶 數 時, 則 無 餘 數 輪 " 翻 " 上 陣 - 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 過 程 1-4 七 圈 模 式 的 數 字 邏 輯 圈 可 能 排 出 的 圈 數 和 範 圍 表 數 字 群 組 總 和 前 7 後 7 最 小 圈 數 和 最 大 圈 數 和 可 能 範 圍 1,,,4,5,6,7,8,9,10,11,1,1, (105+8) 7=19 (105+77) 7=6 19~6 5,6,7,8,9,10,11,1,1,14,15,16,17, (161+56) 7=1 ( ) 7=8 1~8 4,6,8,10,1,14,16,18,0,,4,6,8, (8+70) 7=44 (8+168) 7=58 44~58 1,,5,7,9,11,1,15,17,19,1,, (196+49) 7=5 ( ) 7=49 5~49,6,10,14,18,,6,0,4,8,4,46,50, (9+98) 7=70 (9+94) 7=98 70~98-14,-11,-8,-5,-,1,4,7,10,1,16,19,, (77-5) 7=6 (77+11) 7=7 6~7 討 論 : 1. 七 圈 模 式 與 五 圈 模 式 一 樣, 屬 於 奇 數 圈 模 式 的 數 字 圈, 不 管 公 差 是 奇 數 或 偶 數, 其 推 算 出 來 的 最 小 ( 大 ) 圈 數 和 都 不 會 有 餘 數, 其 原 由 與 五 圈 相 同 過 程 1-5 k 圈 模 式 的 數 字 邏 輯 圈 可 能 排 出 的 圈 數 和 範 圍 1. 以 等 差 數 列 ( 公 差 1) 群 組 來 進 行 k 圈 模 式 圈 數 和 範 圍 的 探 討 圈 數 :k 圈 首 數 :n 數 列 群 組 :n n+1 n+ n+k- n+k-1 n+k n+k+1 n+k- n+k-1 ( n+ n+ k 1) k 4nk+ 4k k 全 部 數 字 總 和 : = ( n+ n+ k 1) k nk+ k k 前 k 個 數 字 和 : = ( n+ k+ n+ k 1) k nk+ k k 後 k 個 數 字 和 : = 結 果 : 6nk+ 5k 推 算 出 的 圈 數 和 範 圍 k k 6nk+ 7k ~ k 4 k 5 + k 7 n ~n + k 討 論 : 1. 當 k 為 奇 數 時, 推 算 出 的 圈 數 和 為 整 數. 當 k 為 偶 數 時, 推 算 出 的 最 小 ( 或 最 大 ) 圈 數 和 為 分 數 值, 表 示 用 前 k 個 數 字 無 法 排 出 符 合 條 件 的 數 字 邏 輯 圈, 需 替 換 部 分 數 字 才 有 可 能 排 出 下 一 個 整 數 的 圈 數 和 以 k=6,n=1 為 例 說 明 之 :< 數 字 群 組 為 > 5 最 小 圈 數 和 = + k 6 1 n =+ =16 即 表 示 最 小 圈 數 和 從 17 開 始, 且 需 將 原 設 定 的 替 代 增 加,

7 讓 內 圈 數 字 和 總 和 為 4, 才 有 可 能 成 功 排 出 7 最 大 圈 數 和 = + k n =+ = 四 圈 ( 最 小 圈 數 和 最 小 圈 數 和 ) 五 圈 ( 最 小 圈 數 和 最 小 圈 數 和 ) 5 六 圈 ( 最 小 圈 數 和 輪 " 翻 " 上 陣 - 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 即 表 示 最 大 圈 數 和 為, 且 需 將 原 設 定 的 替 代 減 少, 讓 內 圈 數 字 和 總 和 為 54, 才 有 可 能 成 功 排 出 5. 從 我 們 推 出 的 圈 數 和 範 圍 公 式 中 ( + k 7 n ~n + k ), 可 以 看 出 最 大 圈 數 和 比 最 小 圈 數 和 多 了 k, 即 多 了 一 個 k, 因 此 當 推 算 出 最 小 圈 數 和 時, 只 要 再 加 k, 即 可 推 出 最 大 圈 數 和 是 多 少 ( 但 偶 數 圈 只 需 再 加 k-1 即 可 ) 4. 若 公 差 不 是 1, 那 麼 最 小 ( 大 ) 圈 數 和 還 可 用 這 個 公 式 推 算 嗎? 因 此 我 們 做 了 以 下 的 5k 檢 驗 ( 完 整 資 料 如 附 件 ), 發 現 公 差 不 同, 會 影 響 的 是 後 面 的 數 值 ( 即 ), 所 5 以 前 者 的 算 式 再 修 正 成 為 ( + k 7 n d~n + k d), 如 此 就 可 以 快 速 算 出 此 組 等 差 數 列 可 拼 組 出 之 組 合 最 小 圈 數 和 ) 表 七 圈 ( 最 小 圈 數 和 最 小 圈 數 和 ) 1,,,4, 1,,,4, 1,,,4, 1,,,4, ,,5,7, 1,,5,7, 1,,5,7, 1,,5,7, ,4,7,10, 1,4,7,10, 1,4,7,10, 1,4,7,10, ,5,9,1, 1,5,9,1, 1,5,9,1, 1,5,9,1, ,5,6,7 4,5,6,7 4,5,6,7 4,5,6, ,6,8,10 4,6,8,10 4,6,8,10 4,6,8, ,7,10,1 4,7,10,1 4,7,10,1 4,7,10,

8 4,8,1,16 4,8,1,16 4,8,1,16 4,8,1, 活 動 二 : 探 討 數 字 群 組 在 不 同 圈 數 中 的 排 列 規 律 初 始 想 法 與 作 法 步 驟 一 : 推 算 出 可 能 的 圈 數 和 範 圍 最 小 圈 數 和 : 1+ 1=14 最 大 圈 數 和 : 1+ 1=19 步 驟 二 : 依 據 圈 數 和 列 出 可 能 的 數 字 組 合, 再 逐 一 拼 組 檢 驗 < 打 表 示 可 以 排 出 的 組 合 > 圈 數 和 我 們 從 數 字 群 組 中 依 過 程 1-5 的 方 法 推 算 出 可 能 的 圈 數 和 範 圍 後, 再 決 定 內 外 圈 數 字 群 組, 然 後 列 出 所 有 組 合 利 用 數 字 棋 實 際 分 頭 拼 組 檢 驗, 以 一 組 五 圈 數 列 ( ) 來 說 明 : 檢 驗 內 圈 和 內 圈 數 字 組 外 圈 和 外 圈 數 字 組 檢 驗 內 圈 和 內 圈 數 字 組 外 圈 和 表 -0-1 外 圈 數 字 組

9 我 們 發 現 利 用 上 述 的 方 法, 再 搭 配 對 數 字 組 合 的 一 些 限 制 條 件 ( 例 如 : 最 大 數 字 不 會 與 最 小 的 個 數 字 共 圈 最 小 數 字 也 不 會 同 時 與 最 大 的 個 數 字 共 圈 等 ), 雖 可 以 窮 盡 所 有 解, 但 非 常 費 時, 過 程 中 需 不 斷 地 按 規 律 替 換 移 位 與 嘗 試, 因 此, 我 們 想 到 可 以 請 畢 業 的 學 長 ( 學 資 訊 工 程 的 學 長 ) 依 據 我 們 的 需 求 寫 出 一 個 適 合 的 程 式, 就 請 電 腦 依 據 我 們 指 定 的 替 換 原 則 自 動 幫 我 們 完 成 拼 組, 爾 後 我 們 再 做 深 入 探 究 以 下 開 始 進 行 各 種 圈 數 的 探 討 : 過 程 -1 四 圈 模 式 的 探 討 探 索 (a): 圈 數 和 範 圍 1~15 修 正 1~15 表 -1-A 1 B--1-a-01 1 B--1-a-0 1 B-1-1-a-0 14 B-1-1-a B-1-1-a B-1-1-a-06 探 索 (B): 圈 數 和 範 圍 6~4 修 正 7~ 表 -1-B 7 B--1-b-01 9 B--1-b-0 9 B--1-b-0 1 B--1-b-04 1 B--1-b-05 B--1-b-06 探 索 (C): 圈 數 和 範 圍 6~7 修 正 7~6 表 -1-C 7 B--1-c-01 0 B--1-c-0 0 B--1-c-0 B--1-c-04 B--1-c-05 6 B--1-c-06 討 論 : 1. 探 索 (A)(B)(C) 皆 為 等 差 數 列, 所 形 成 的 解 皆 為 六 組, 且 前 後 皆 屬 於 對 稱 組, 即 只 要 將 數 字 前 後 對 調 就 可 以 形 成 對 稱 組 < 以 右 圖 為 例, 兩 數 相 加 =9, 則 此 兩 數 即 為 調 換 對 象 >. 我 們 用 過 程 1-5 的 公 式 推 衍 所 得 出 的 圈 數 和 範 圍 與 實 際 排 出 的 圈 數 和 範 圍 有 差 5k 7k 異, 深 入 探 究 是 在 於 ( n + d ~ n + d ) 中 的 k 7k 及, 當 k 為 偶 數 時 ( 即 偶 數 圈 ) 此 會 有 餘 數, 倘 若 以 分 數 處 理 的 話, 可 能 與 d 加 乘, 餘 數 就 不 見 了, 導 致 與 實 際 排 出 的 圈 數 和 有 差 異, 因 此 只 要 取 其 最 最 大 或 最 小 整 數 值 再 來 乘 以 d, 即 可 找 到 實 際 的 圈 數 和 因 此 我 們 用 上 高 斯 ( 取 大 於 或 等 於 此 數 的 最 小 整 數

10 值 ) 與 下 高 斯 ( 取 小 於 或 等 於 此 數 的 最 大 整 數 值 ) 符 號 將 公 式 整 理 一 下 : 5k 7k 等 差 數 列 所 能 排 出 的 圈 數 和 範 圍 : n + d ~ n + d. 三 組 等 差 數 列 其 排 法 皆 是 以 探 索 (A) 為 基 模,8 個 數 字 都 可 以 採 對 應 的 方 式, 對 應 到 相 同 的 位 置, 所 以 只 要 是 等 差 數 列 其 在 四 圈 的 模 式 下 皆 只 有 6 組 解 (4 種 圈 數 和 ) 過 程 - 五 圈 模 式 的 探 討 探 索 (A): 圈 數 和 範 圍 14~19 表 --A 14 B---A B---A-0 16 B---A-0 17 B---A B---A b---a-06 探 索 (B): 圈 數 和 範 圍 ~48 表 --B B---B-01 9 B---B-0 9 B---B-0 4 B---B-04 4 B---B B---B-06 探 索 (C): 圈 數 和 範 圍 47~67 表 --C 47 B---C B---C-0 55 B---C-0 59 B---C B---C B---C-06 討 論 : 1. 探 索 (A)(B)(C) 皆 為 等 差 數 列, 所 形 成 的 解 皆 為 六 組, 且 前 後 皆 屬 於 對 稱 組, 即 只 要 將 數 字 前 後 對 調 就 可 以 形 成 對 稱 組. 三 組 等 差 數 列 其 排 法 皆 是 以 探 索 (A) 為 基 模,10 個 數 字 都 可 以 採 對 應 的 方 式, 對 應 到 相 同 的 位 置, 所 以 只 要 是 等 差 數 列 其 在 五 圈 的 模 式 下 皆 只 有 6 組 解 (4 種 圈 數 和 ) 過 程 - 六 圈 模 式 的 探 討 探 索 (A): 修 正 的 圈 數 和 範 圍 17~ 表 --A 17 B---A B---A-0 17 B---A-0 18 B---A B---A B---A-06 8

11 19 B---A B---A B---A B---A-10 0 B--A-11 0 B---A-1 0 B---A-1 0 B---A-14 0 B---A-15 0 B---A-16 1 B---A-17 B---A-18 B---A-19 B---A-0 探 索 (B): 修 正 的 圈 數 和 範 圍 40~50 表 --B 40 B---B B---B-0 40 B---B-0 4 B---B B---B B---B B---B B---B B---B B---B B---B B---B-1 46 B---B-1 46 B---B B---B B---B B---B B---B-18 9

12 50 B---B B---B-0 輪 " 翻 " 上 陣 - 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 探 索 (C): 修 正 的 圈 數 和 範 圍 45~60 表 --C 45 B---C B---C-0 45 B---C-0 48 B---C B---C B---C B---C B---C B---C B---C B---C B---C-1 54 B---C-1 54 B---C B---C B---C B---C B---C B---C B---C-0 過 程 -4 七 圈 模 式 的 探 討 探 索 (A): 圈 數 和 範 圍 19~6 說 明 : 其 可 排 出 的 組 數 共 有 118 組, 因 版 面 的 關 係, 僅 列 出 1-14 中 相 對 應 的 4 組, 其 餘 的 數 列 探 索 (B): ; 探 索 (C): 請 見 附 件 資 料 表 -4-A 19 B B B B B B

13 1 B B B B B B B--4-0-b B--4-0-b B b 4 B b 4 B--4-0-b 4 B--4-0-b 5 B b 5 B b 5 B b 6 B b 6 B b 6 B b 討 論 : 1. 探 索 (A)(B)(C) 皆 為 等 差 數 列, 所 形 成 的 解 皆 為 118 組, 且 前 後 皆 屬 於 對 稱 組, 即 只 要 將 數 字 前 後 對 調 就 可 以 形 成 對 稱 組. 三 組 等 差 數 列 其 排 法 皆 是 以 探 索 (A) 為 基 模,14 個 數 字 都 可 以 採 對 應 的 方 式, 對 應 到 相 同 的 位 置, 所 以 只 要 是 等 差 數 列 其 在 七 圈 的 模 式 下 皆 有 118 組 解 (8 種 圈 數 和 ) 結 果 : 1. 所 有 以 等 差 數 字 群 組 所 排 出 的 數 字 圈 個 數 皆 為 偶 數 個, 且 不 但 組 數 具 對 稱 性, 就 連 內 部 的 排 列 也 具 對 稱 性, 說 明 如 下 : 甲 排 出 的 各 圈 數 和 之 組 數 具 對 稱 性 表 -4-B 圈 數 數 列 群 組 拼 組 出 的 圈 數 和 及 組 數 推 論 圈 數 和 四 圈 圈 數 和 組 數 1 1 1~15 四 圈 圈 數 和 組 數 1 1 7~ 四 圈 圈 數 和 組 數 1 1 7~6 五 圈 圈 數 和 組 數 ~19 11

14 五 圈 五 圈 六 圈 六 圈 六 圈 七 圈 七 圈 七 圈 輪 " 翻 " 上 陣 - 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 圈 數 和 組 數 1 1 ~48 圈 數 和 組 數 ~67 圈 數 和 組 數 ~ 圈 數 和 組 數 ~50 圈 數 和 組 數 ~60 圈 數 和 組 數 圈 數 和 組 數 圈 數 和 組 數 ~6 5~49 70~98 乙 組 數 之 間 的 排 列 也 具 對 稱 性 以 七 圈 為 例 <1,,,4,5,6,7,8,9,10,11,1,1,14>, 當 排 出 一 組 時, 只 要 將 數 字 互 換 ( ), 即 可 得 出 另 一 組 a. 圈 數 和 19 對 應 的 圈 數 和 是 6, 抽 二 種 排 列 方 法 來 觀 察 之 1 1 b. 圈 數 和 1 對 應 的 圈 數 和 是 4, 抽 二 種 排 列 方 法 來 觀 察 之 c. 圈 數 和 對 應 的 圈 數 和 是, 抽 二 種 排 列 方 法 來 觀 察 之 由 上 述 對 稱 性 的 關 係 來 看, 等 差 數 列 的 七 圈 模 式 共 有 118 組 解 ( 請 見 附 件 資 料 ), 其 只 要 找 出 圈 數 和 為 的 59 組 解 後, 其 對 稱 的 59 組 解 也 就 ok 了 1

15 . 奇 數 圈 模 式 中 用 一 組 連 續 數 字 群 組 ( 如 1,,,4,5,6,7,8,9,10,11, 1,1,14) 組 來 拼 排, 最 快 的 方 式 可 以 選 用 最 小 連 續 數 字 ( 公 差 1~1,,,4,5,6,7) 及 公 差 (1,,5,7,9,11,1) 的 連 續 數 字 當 內 圈, 各 以 間 隔 跳 的 方 式 來 排 放 ( 似 七 角 星 ), 即 可 很 快 排 出 正 解, 但 此 法 只 限 在 公 差 1 或 公 差 的 情 況, 因 為 當 從 連 續 數 字 群 組 中 無 法 選 出 公 差 的 連 續 數 組. 以 n 為 起 始 的 等 差 數 列 群 組 ( 以 七 圈 為 例 ), 其 最 小 的 圈 數 和 及 最 大 的 圈 數 和 之 內 外 圈 皆 為 連 續 數 列, 可 由 下 列 分 析 方 法 窮 盡 所 有 解, 且 每 組 皆 有 對 稱 組, 因 此 就 能 形 成 6 組 ( 包 含 公 差 的 連 續 數 ) 將 數 列 設 定 為 n n+1 n+ n+ n+4 n+5 n+6 n+7 n+8 n+9 n+10 n+11 n+1 n+1 內 圈 和 最 小 為 7n+1, 所 以 平 均 相 鄰 的 個 內 圈 和 為 n+6, 因 此 內 圈 要 兩 兩 組 合 出 n+ n+4 n+5 n+6 n+7 n+8 n+9 推 得 外 圈 最 大 數 字 n+1 需 配 個 內 圈 分 別 為 n&n+ 及 n+1&n+, 再 運 用 概 念 圖 有 效 率 地 窮 盡 所 有 解 用 上 述 的 方 法 我 們 也 可 以 找 到 窮 盡 九 圈 基 模 組 ( 即 以 1,,,4,5,6,7,8,9 為 內 圈 ~ 圈 數 和 為 4) 之 組 合 ( 共 有 1 組 ), 進 而 推 衍 圈 數 和 為 8 9 及 的 9 組 ( 以 下 各 列 出 幾 組 ) 表 -4-C 編 號 圈 數 和

16 編 號 圈 數 和 為 編 號 圈 數 和 為 編 號 圈 數 和 為 將 等 差 數 列 群 組 之 數 字 平 移 後, 其 排 出 的 組 數 及 排 列 模 式 皆 與 原 等 差 數 列 群 組 完 全 相 同, 甚 至 轉 換 成 其 它 等 差 數 列 也 一 樣 的, 所 不 同 的 僅 是 圈 數 和 不 同 而 已 因 此, 14

17 再 仔 細 觀 看 t_1.html(nlvm 的 Tessellations), 其 雖 有 四 種 不 同 模 式 的 挑 戰 介 面 及 多 道 佈 題, 但 其 實 皆 只 能 算 是 一 種 排 法 的 模 組 而 已, 所 以, 以 七 圈 為 例, 光 是 118 種 解 法 就 可 以 生 成 數 千 種 題 庫 了, 面 對 千 變 萬 化 的 等 差 數 列 群 組 時, 只 要 將 它 轉 換 成 以 1 為 起 始 的 連 續 數 即 可 輕 易 解 題 基 模 : 以 1 為 起 始 的 連 續 數 平 移 7: 以 -6 為 起 始 數 公 差 4: 以 9 為 起 始 數 平 移 : 以 0.4 為 起 始 數 平 移 1: 以 0 為 起 始 數 公 差 5: 以 5 為 起 始 數 公 差 : 以 -5 為 起 始 數 平 移 : 以 1/6 為 起 始 數 /6 1/ 1/ 5k 7k 5. 以 n + d~n + d 可 以 正 確 推 算 出 等 差 數 列 可 排 出 的 圈 數 和 範 圍, 且 圈 數 和 的 跳 躍 間 隔 與 公 差 有 關 6. 在 四 ~ 六 圈 模 式 中 我 們 很 容 易 窮 盡 所 有 解, 但 七 圈 模 式 卻 是 困 擾 著 我 們, 雖 然 可 以 由 最 原 始 的 基 模 ( 以 1 為 始 的 連 續 數 ) 找 出 其 基 本 型 的 九 種 排 法, 並 延 伸 出 其 它 6 種, 但 其 餘 的 8 種 想 用 試 誤 法 窮 盡 它 是 有 困 難 的, 因 此 我 們 嘗 試 羅 列 可 能 數 字 組 合, 希 望 能 從 中 看 出 端 倪, 但 似 乎 還 是 失 敗 的, 因 為 看 不 出 其 數 字 替 換 有 其 規 律 的 軌 跡 ( 註 : 因 為 篇 幅 的 關 係, 所 以 我 們 只 有 列 出 前 半 段, 後 半 段 與 之 對 稱 ) 圈 數 和 表 -4-E 圈 數 和 1 表 -4-F

18 輪 " 翻 " 上 陣 - 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 圈 數 和 表 -4-G 延 伸 探 討 能 否 自 由 設 定 圈 數 和, 再 反 推 可 能 的 數 字 群 組 有 哪 些 在 一 次 的 探 究 中, 崴 哥 突 然 想 到, 可 不 可 以 由 自 己 來 設 計 幸 運 數 字 當 作 圈 數 和, 再 依 據 圈 數 和 來 設 定 挑 戰 的 數 字 群 組 呢? 思 考 一 下 應 該 可 以 用 過 程 -1 的 公 式 來 反 推, 因 此, 我 們 以 七 圈 為 例 做 了 下 列 的 推 論 : (1) 若 最 小 的 圈 數 和 為 100 5k 7 n + d =100 n + d =100 n +16 d =100 <n,d 皆 為 整 數 > n d 有 組 正 整 數 解 :❶8,9,0,1 41 ❷1,16,0,4 56 可 以 再 繼 續 推 衍 到 首 項 為 負 數, 因 此 可 以 有 很 多 組 解 () 若 最 大 的 圈 數 和 為 168 7k 7 7 n + d =168 n + d =168 n + d =168 <n,d 皆 為 整 數 > n d 有 組 解 :❶,6,9,4 7 ❷10,16,,8 88 可 以 再 繼 續 推 衍 到 首 項 為 負 數, 因 此 可 以 有 很 多 組 解 16

19 圈 數 四 圈 五 圈 六 圈 七 圈 17 輪 " 翻 " 上 陣 - 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 活 動 三 : 探 討 給 予 內 外 圈 數 字 群 組, 如 何 有 效 判 斷 其 是 否 為 有 效 群 組? 由 於 數 字 邏 輯 圈 是 環 環 相 扣, 當 圈 數 變 大 時, 要 將 全 部 的 數 字 就 定 位, 除 了 內 外 圈 數 字 分 別 成 等 差 數 列 的 組 合 能 依 我 們 找 尋 出 來 的 規 律 排 列 出 來 外, 其 餘 的 解 皆 需 搭 配 限 制 條 件 ( 如 :4 和 5 在 一 起, 則 和 6 就 不 能 在 一 起, 除 非 有 共 同 的 交 集 ; 最 大 數 與 最 小 數 的 搭 配 限 制 等 ) 反 覆 嘗 試 才 有 可 能 排 列 出 來 因 此 我 們 退 而 求 其 次 思 考, 若 改 採 以 給 予 內 外 圈 數 字 群 組, 能 否 快 速 判 斷 其 是 否 有 解? 倘 若 有 解, 能 否 快 速 找 出 正 確 排 法 呢? 過 程 -1 依 據 給 定 的 內 外 圈 數 字 群 組, 推 斷 其 可 組 成 的 圈 數 和 各 種 圈 數 模 式 各 設 定 四 組 數 列, 並 分 組 指 定 其 內 外 圈 數 字, 因 此 算 圈 數 和 只 要 運 用 ( 數 字 總 和 + 內 圈 數 字 和 ) 圈 數 此 算 式 即 可 得 之, 但 可 以 推 算 出 圈 數 和 未 必 就 一 定 能 排 出 正 確 解, 需 再 進 行 下 一 步 檢 驗 註 : 以 下 的 數 列 不 限 等 差 數 列 組 討 論 : 表 -1-1 數 例 可 能 圈 數 和 推 算 過 程 無 解 內 圈 數 字 外 圈 數 字 有 解 (0 +16) 4= (16 +0) 4= (18 +6) 4= (9 +5) 4= (4 +4) 5= (6 +40) 5= ( +9) 5= (48 +14) 5= ( ) 6= (78 +1) 6= (4+54) 6= (9 +60) 6= (49 +4) 7= (49 +4) 7= (94 +64) 7= (56 +10) 7= 當 圈 數 和 不 為 整 數 時, 即 表 示 此 組 一 定 無 解, 通 過 此 關 也 未 必 有 解, 需 得 做 進 一 步 的 檢 驗 過 程 - 利 用 雙 向 脈 絡 圖 來 檢 驗 給 定 的 數 字 群 組 能 否 排 出 符 合 條 件 的 數 字 邏 輯 圈 原 先 我 們 以 數 字 棋 實 際 來 進 行 推 論 排 列, 但 覺 得 非 常 沒 有 效 率, 因 此, 我 們 想 出 了 利 用 雙 向 脈 絡 圖 的 方 式 來 檢 驗, 發 現 非 常 的 好 用 方 法 是 : 以 外 圈 來 推 斷 內 圈 數 字 組 合, 唯 一 組 合 解 時 則 畫 上 連 線, 若 非 唯 一 組 合 則 先 跳 過, 即 先 畫 出 唯 一 組 合 解 的 連 線, 最 後 每 個 數 字 需 同 時 剛 好 有 條 連 線 才 可 能 拼 組 出 來 下 方 以 組 數 例 來 作 說 明 :

20 表 --1 輪 " 翻 " 上 陣 - 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 內 外 先 推 出 圈 數 和 :1. 以 來 看 需 配 19, 只 有 一 解 1&7, 即 刪. 再 看 14 需 配 7, 有 二 解, 所 以 暫 時 不 連 註 : 有 時 從 極 端 的 數 找 起 較 快, 因 組 合 數 較 少 4. 再 看 1 需 配 8, 只 有 一 解 1&7, 即 刪 1 此 時 7 已 連 出 線, 所 以 不 能 再 用 到 7 了 5. 再 看 11 需 配 10, 有 三 解, 所 以 跳 過 6. 再 看 10 需 配 11, 只 有 一 解 7&4, 但 7 已 不 能 用, 所 以 此 題 無 解 內 外 先 推 出 圈 數 和 :. 以 來 看 需 配 19, 只 有 一 解 1&6, 即 刪. 再 看 14 需 配 8, 只 有 一 解 6&, 即 刪 再 看 10 需 配 1, 只 有 一 解 11&1, 即 刪 再 看 5 需 配 17, 只 剩 一 解 1&4, 即 刪 5 6. 再 看 7 需 配 15, 有 11&4, 所 以 11&4 可 連 線, 即 刪 7 7. 再 看 9 需 配 1, 只 剩 一 解 1&1, 即 刪 9 8. 再 看 8 需 配 1, 只 剩 一 解 1&, 即 刪 8 9. 再 依 脈 絡 線 的 順 序 將 數 字 排 入 即 可 完 成 利 用 上 述 方 法, 我 們 將 過 程 -1 中 可 能 有 解 的 數 字 群 組 做 分 析, 很 快 就 能 拼 出 正 解 內 無 解 外 內 無 解 外 內 外 內 外 內 外 內 外 內 外 內 外

21 內 無 解 外 內 外 內 外 內 外 內 外 內 外 討 論 : 1. 以 雙 向 脈 絡 圖 方 式 來 解 題, 較 能 呈 現 整 體 觀, 容 易 看 出 哪 些 數 字 需 重 複, 以 及 如 何 調 配 數 字 的 重 複 性. 當 以 外 圈 數 字 同 時 去 搭 配 個 內 圈 數 字 時, 倘 若 多 數 外 圈 數 字 都 有 組 解 時, 那 麼 此 組 數 列 有 組 解 的 機 率 很 大 ( 例 如 上 述 最 後 一 組 數 例 ) 活 動 四 : 探 討 不 同 的 提 示 位 置 對 成 功 解 題 的 難 易 度 之 影 響 在 NLVM 的 教 學 網 站 上 提 供 的 題 庫 ( 七 圈 ), 皆 以 提 示 五 個 區 域 為 主, 其 餘 的 9 個 數 字 再 自 行 填 入, 因 此 接 下 來 我 們 要 探 討 的 是 不 同 的 提 示 位 置 對 其 解 題 的 難 易 之 影 響, 並 提 出 可 行 的 破 題 路 徑, 以 下 探 討 以 五 圈 六 圈 及 七 圈 為 主 過 程 4-1 依 據 提 示 個 數 找 出 可 能 提 示 位 置 的 組 合 ( 請 見 附 件 ) 提 示 個 數 又 分 內 外 圈 有 不 同 的 搭 配 組 合, 因 此 我 們 利 用 組 合 公 式 推 算 出 不 同 分 配 所 形 成 的 提 示 位 置 種 類 4 例 如 :5 圈 模 式 : 內 外 C 5 C 5 = =10 10=100 6 圈 模 式 : 內 4 外 C 6 C 6 = =115=5 19

22 5 圈 模 式 6 圈 模 式 7 圈 模 式 7 圈 模 式 : 內 4 外 C 7 C 7 4 = 4 輪 " 翻 " 上 陣 - 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 =5= 個 提 示 提 示 類 型 5 內 4 內 1 外 內 外 內 外 1 內 4 外 5 外 個 數 個 提 示 提 示 類 型 4 內 內 1 外 內 外 1 內 外 4 外 個 數 個 提 示 提 示 類 型 內 內 1 外 1 內 外 外 個 數 提 示 類 型 6 內 5 內 1 外 4 內 外 內 外 內 4 外 1 內 5 外 6 外 6 個 提 示 個 數 提 示 類 型 5 內 4 內 1 外 內 外 內 外 1 內 4 外 5 外 5 個 提 示 個 數 提 示 類 型 4 內 內 1 外 內 外 1 內 外 4 外 4 個 提 示 個 數 提 示 類 型 7 內 6 內 1 外 5 內 外 4 內 外 內 4 外 內 5 外 1 內 6 外 7 外 7 個 提 示 個 數 提 示 類 型 6 內 5 內 1 外 4 內 外 內 外 內 4 外 1 內 5 外 6 外 6 個 提 示 個 數 提 示 類 型 5 內 4 內 1 外 內 外 內 外 1 外 4 外 5 外 5 個 提 示 個 數 提 示 類 型 4 內 內 1 外 內 外 1 內 外 4 外 4 個 提 示 個 數 表 討 論 : 依 其 組 合 公 式 推 算 出 來 的 提 示 位 置 總 數 雖 達 數 千 種, 但 因 數 字 邏 輯 圈 是 屬 於 對 稱 圖 形, 因 此 有 很 多 提 示 位 置 類 型 經 由 翻 轉 或 是 旋 轉 後 皆 屬 於 同 一 種 提 示 位 置, 所 以 我 們 並 不 需 要 檢 驗 如 此 多 組 過 程 4- 歸 納 在 各 種 不 同 提 示 數 量 下 推 衍 後 所 形 成 的 題 組 當 圈 內 三 個 數 字 中 有 兩 個 數 字 出 現, 那 麼 第 三 個 數 也 等 同 出 現 了, 所 以 當 給 定 提 示 後, 與 其 相 關 位 置 之 數 字 也 相 對 就 現 形 了, 其 數 字 間 又 有 連 環 效 益, 感 覺 就 像 數 獨 Sudoku 一 樣, 因 此 我 們 將 所 有 提 示 的 組 合 位 置 一 一 列 出, 找 出 已 現 形 的 數 字 位 置, 最 後 將 剩 餘 的 未 知 區 塊 題 組 彙 整 如 下 : 探 索 一 : 五 圈 模 式 在 5~ 個 提 示 下, 所 形 成 的 可 能 題 組 < 白 色 區 塊 為 待 填 區 > 表

23 探 索 二 : 六 圈 模 式 在 6~ 個 提 示 下, 所 形 成 的 可 能 題 組 ( 與 五 圈 相 類 似 的 題 組 就 不 再 重 複 ) 表 4-- 探 索 三 : 七 圈 模 式 在 7~4 個 提 示 下, 所 形 成 的 可 能 題 組 ( 與 前 面 相 類 似 的 題 組 就 不 再 重 複 ) 表 註 : 四 種 提 示 所 形 成 的 可 能 題 組 類 型 相 當 多, 多 數 是 難 解 的, 在 此 僅 列 出 較 易 解 的 題 組 討 論 : 1. 提 示 類 型 的 個 數 雖 具 對 稱 性, 如 7 圈 模 式 之 6 內 1 外 &1 內 6 外, 雖 各 有 49 種 提 示 方 法, 但 其 難 易 度 就 有 差 異, 提 示 在 內 圈 的 數 量 愈 多, 相 對 的 就 較 容 易 解 題. 圈 數 不 同 提 示 個 數 不 同, 最 後 也 可 能 會 產 生 相 同 的 題 組, 因 此, 我 們 可 以 從 數 千 種 不 同 的 提 示 位 置 中 歸 納 整 理 出 許 多 基 本 的 題 組, 下 表 以 5 圈 為 例 說 明 之 形 成 的 題 組 在 不 同 的 圈 數 及 不 同 的 提 示 下 可 能 形 成 左 邊 的 題 組 表

24 . 若 最 後 出 現 的 是 5-001(M 型 ) 或 5-00( 雙 月 型 ) 的 模 式, 表 示 答 案 幾 乎 是 呼 之 欲 出 了 4. 最 後 的 題 組 有 些 只 要 找 出 一 個 ( 通 常 是 內 圈 ), 其 他 它 答 案 就 如 連 環 扣 一 樣 全 都 出 現 了, 例 如 不 同 提 示 位 置 解 題 的 難 易 度 會 有 所 差 別, 但 難 易 度 有 其 機 率 與 直 觀 的 變 數 較 難 有 其 判 準 的 基 準, 因 此 我 們 設 定 假 設, 嘗 試 利 用 排 列 規 律 將 它 數 值 化, 並 以 心 智 圖 的 方 式 來 呈 現 策 略 分 析 結 果, 在 此 僅 列 出 幾 個 圖 例 說 明 之, 其 餘 請 詳 見 附 件, 供 作 分 析 參 考 : 說 明 : 在 已 知 總 和 下, 提 示 n 個 位 置 之 數 字, 最 少 嘗 試 次 數 之 步 驟 前 題 每 圈 個 數 字 中 若 兩 個 現 形, 則 第 個 數 字 自 動 填 入 的 情 況 下 由 作 何 一 圈 下 手 皆 可 由 第 圈 下 手 較 好 表 4--5 由 第 圈 下 手 皆 可 由 第 4 圈 下 手 較 快 由 第 圈 下 手 較 快 由 第 4 圈 下 手 較 快 由 第 5 圈 下 手 較 快 由 任 何 一 圈 下 手 皆 可

25 由 第 圈 下 手 皆 可 由 第 6 圈 下 手 較 快 過 程 4- 分 析 題 組 找 尋 適 當 的 解 題 策 略 我 們 將 上 述 所 推 衍 出 的 題 組 彙 整 後, 用 數 字 棋 一 一 實 際 進 行 分 析 探 討, 並 寫 下 遇 到 此 題 組 其 可 行 的 解 題 策 略 ( 如 附 件 ), 在 此 我 們 列 出 以 下 幾 個 題 組 的 分 析 : 編 號 題 組 數 例 解 題 策 略 分 析 表 策 略 : 看 B1 及 B4 差 多 少 來 決 定 A4 及 A5 是 多 少, 採 大 配 小, 小 配 大 舉 例 : 剩 下 8,7,6, 而 B1 及 B4 差 了, 所 以 A4 及 A5 必 為 6,8, 然 後 小 的 6 放 到 A4 的 位 置, 其 餘 的 個 數 就 可 以 放 入 了 策 略 : 從 剩 下 的 4 個 數 中 找 到 與 A4 共 一 圓 的 個 數, 再 與 B1 及 B 相 互 搭 配 即 能 成 功 舉 例 : 剩 下 9,7,8,5, 要 與 配 成 17, 需 要 15, 所 以 就 是 7 和 8 搭 了, 而 B1 及 B 分 別 是 1,4, 所 以 1 需 要 16, 所 以 7 需 和 9 共 圓, 因 此 全 部 答 案 就 都 出 來 了. 策 略 : 從 B B4 B5 下 手 皆 可, 因 為 B B4 B5 都 有 個 可 驗 證 處,1 個 數 出 來 其 他 數 一 目 瞭 然 舉 例 : 由 9 切 入,9 要 7, 只 有,4 一 組, 靠 6 和 檢 驗, 就 能 夠 馬 上 完 成 策 略 : 推 算 其 中 一 個 內 圈, 全 部 的 答 案 就 會 出 來 了 舉 例 : 一 圈 要 配 成 19,A 的 1 還 差 7, 只 有 和 4;A4 的 6 需 要 1, 只 有 9 和 4;4 是 他 們 兩 個 重 疊 之 數, 所 以 放 在 B4, 在 這 樣 答 案 就 出 來 了

26 6-00 輪 " 翻 " 上 陣 - 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 策 略 : 從 A5 那 一 圈, 用 A4.A6 來 檢 驗, 左 半 部 即 可 出 來, 右 邊 從 哪 一 圈 開 始 都 可 解 出 舉 例 : 從 4 那 圈 開 始, 合 是 19,4 需 要 15, 有 7,8 和 10,5, 若 用 7,8, 大 小 配,8 放 1 那 圈 7 放 那 圈,7+=10, 需 要 9 成 立,8+1=9, 需 10 成 立, 需 要 16, 只 有 11.5 可 以, 依 大 小 配,5 放 1 那 圈, 放 進 去 完 成 策 略 : 從 B1 圈 開 始 推, 因 為 旁 邊 還 有 A6 可 檢 驗, 推 出 來 後 剩 A4,B5,A5, 看 B4 及 B6 差 多 少 來 決 定 A4 及 A5 是 多 少, 探 大 配 小, 小 配 大 舉 例 : 一 圈 和 要 是, 從 B1 這 圈 開 始 推,1 要 配 1, 只 有 1 和 8,A6 位 子 的 9 要 配 1, 只 有 8 和 5; 剩 下,,14, 而 B4 及 B6 差 了 1, 所 以 A4 及 A5 必 為, 然 後 小 的 放 到 A4 的 位 置, 其 餘 的 個 數 就 可 以 放 入 了 策 略 : 從 A6,A7,B7( 或 A,B4,A4) 開 始, 另 一 組 就 看 B5,B( 或 B1,B6) 的 差, 來 決 定 位 置 舉 例 :1 要 1, 只 有 10,11&8,1 兩 組, 因 為 B6 是, 還 差 0, 只 有 11 是 適 合 的, 所 以 A6 要 擺 9,B5 是 1,B 是, 相 差 9, 因 此 1,4 差 9, 大 配 小, 小 配 大,6 擺 中 間, 輕 鬆 破 解 本 題 策 略 : 從 剩 下 的 圈 中 找 到 一 圓 空 白 的, 找 到 個 數, 如 有 兩 組 可 能, 再 與 A 及 A5 相 互 檢 驗, 即 可 成 功 ; 然 後 再 看 B 及 B4 差 多 少 來 決 定 A 及 A 是 多 少, 採 大 配 小, 小 配 大 舉 例 : 需 配 成, 所 以 就 是 9,4 和 10 搭, 需 要 1, 只 有 11,10, 然 後 1 就 可 排 進 A5; 剩 下 1,,8, 而 B 及 B4 差, A4 及 A5 必 為 1,, 當 1 放 到 A 的 位 置, 其 餘 的 數 就 可 以 放 入 了 延 伸 探 討 (1) 能 否 將 此 研 究 轉 化 更 具 挑 戰 性 的 活 動 呢? 既 然 提 示 類 型 可 以 有 很 多 種, 再 加 上 轉 動 的 加 乘 效 果, 所 以, 我 們 計 畫 將 此 研 究 的 成 果 設 計 成 一 組 遊 戲 套 組, 運 用 各 類 題 本 提 示 個 數 提 示 位 置 提 示 盤 轉 動 之 加 乘 效 果, 並 延 伸 到 正 負 數 小 數 及 分 數, 再 搭 配 難 易 度 將 可 以 生 成 無 窮 的 挑 戰 題, 以 下 就 試 舉 幾 個 變 化 的 範 例 : 說 明 1: 中 間 為 數 字 邏 輯 圈 基 模 題 本, 紫 色 區 塊 皆 以 此 基 模 題 本 加 上 8 種 不 同 提 示 位 置 形 成 各 種 挑 戰 題 說 明 : 左 上 橘 色 區 塊 是 以 0 為 始, 公 差 為 4 的 基 模 題 本 對 應 數 列, 其 餘 轉 動 題 本 再 配 上 同 一 種 提 示 位 置 說 明 : 右 上 藍 色 區 塊 是 -4 為 始 的 連 續 數 的 基 模 題 本 對 應 數 列, 其 餘 轉 動 題 本 再 配 上 同 一 種 提 示 位 置 說 明 4: 左 下 粉 紅 區 塊 是 以 0. 為 始, 公 差 為 0. 的 基 模 題 本 對 應 數 列, 其 餘 轉 動 題 本 再 配 上 同 一 種 提 示 位 置 1 1 說 明 5: 右 下 綠 色 區 塊 是 以 基 模 題 本 平 移 結 果 ( 以 為 始, 公 差 為 ), 其 餘 轉 動 題 本 再 配 上 同 一 種 提 示 位 置 6 6 4

27 表 4--A-1 輪 " 翻 " 上 陣 - 探 究 邏 輯 圈 之 數 字 謎 5

28 延 伸 探 討 () 很 多 與 此 類 似 的 題 型, 我 們 能 否 應 用 相 同 的 原 理 解 題 呢? 在 研 究 過 程 中, 我 們 也 收 集 了 很 多 相 類 似 的 挑 戰 題, 也 都 有 異 曲 同 工 之 妙, 經 過 這 次 的 研 究, 面 對 這 類 似 的 題 目 我 們 也 可 以 去 嘗 試 解 題, 並 從 中 發 現 一 些 規 律 : 類 型 一 : 將 1~7 填 入 空 格 中, 共 有 幾 種 填 法? 題 組 分 析 表 4--B-1 1. 外 圈 與 相 對 的 內 圈 都 差 都 相 同, 且 內 外 圈 的 差 皆 為 的 倍 數. 共 有 18 種 填 法, 組 與 組 間 兩 兩 對 稱. 以 1 和 7 當 中 間 數 時, 各 有 4 組 ( 分 連 續 數 與 奇 偶 數 兩 類 ), 其 餘 的 皆 只 有 組 4. 也 可 以 做 數 字 的 平 移 ( 如 填 入,4,6 14 或 -,-,-1,.), 排 法 皆 相 同 6

29 類 型 二 : 將 1~7 填 入 空 格 中, 使 每 排 的 三 個 數 及 外 圓 圈 上 的 個 數 之 和 都 是 10 題 組 分 析 表 4--B- 1.( 總 和 - 中 間 數 ) 需 為 整 數, 所 以 推 得 1,4,7 可 以 當 中 間 數. 扣 除 中 間 數 後 將 其 他 六 個 數 平 分 成 組, 使 其 各 組 的 和 皆 為 ( 總 和 - 中 間 數 ) 所 得 的 答 案, 再 從 組 數 中 各 找 一 個 數 放 在 外 圈, 使 外 圈 的 個 數 和 與 各 組 及 中 間 數 之 和 相 等. 也 可 以 做 數 字 的 平 移 ( 如 填 入,4,6 14 或 -,-,-1,.), 排 法 皆 相 同 類 型 三 : 將 1~1 填 入 空 格 中, 使 每 個 直 排 上 的 四 個 數 字 和 皆 相 同 題 組 分 析 表 4--B- 1. 只 要 找 出 一 組 答 案, 就 可 以 把 改 造 成 其 他 組, 還 能 再 重 那 組 裡, 每 一 組 再 改 造 出 組, 然 後 一 直 延 續 下 去, 而 且 並 不 是 用 對 稱 或 旋 轉 的 方 式. 改 造 方 法 : 先 把 隨 便 一 個 頂 點 固 定 ( 總 共 有 6 個 頂 點 所 以 能 對 換 6 種 ), 我 們 用 A1 來 示 範, 然 後 把 B1 和 A 的 位 子 對 調,B6 和 A5 的 位 子 對 調,B 和 B5 的 位 子 不 用 移 動, 其 他 的 就 很 容 易 排 出 來 了 7

30 其 它 : 相 類 似 的 題 目 還 有 很 多, 期 望 將 在 日 後 繼 續 探 究 它, 並 加 以 延 伸 變 化 之 陸 結 論 一 想 要 窮 盡 數 字 邏 輯 圈 拼 組 的 所 有 解, 得 先 知 道 其 所 能 排 出 的 圈 數 和 範 圍, 利 用 < 數 字 總 和 > + < 內 圈 總 和 > = 圈 數 和 即 可 求 出 其 範 圍 4 5k 7k 二 當 數 字 群 組 呈 等 差 數 列 時, 則 可 以 利 用 n + d ~ n + d 很 快 求 出 圈 數 和 範 圍, 且 圈 數 和 的 數 字 序 列 以 公 差 d 為 間 隔 跳 躍 ( 註 :n 為 首 數 k 為 圈 數 d 為 公 差 ) 三 當 數 字 群 組 呈 等 差 數 列 時, 其 圈 數 和 所 排 出 的 組 數 前 後 具 對 稱 性 四 當 數 字 群 組 呈 等 差 數 列 時, 組 數 之 間 的 排 列 也 具 對 稱 性, 當 排 出 一 組 時, 只 要 將 數 字 互 換 ( ), 即 可 得 出 另 一 組 五 等 差 數 列 ( 公 差 d) 在 奇 數 圈 模 式 採 用 內 圈 間 隔 跳 的 方 式 可 以 很 快 排 出 最 小 的 圈 數 和 及 最 大 的 圈 數 和 七 只 要 是 等 差 數 列 的 數 字 群 組 皆 可 以 平 移 轉 化 為 以 1 為 起 始 的 連 續 數 列, 包 括 有 固 定 公 差 的 正 負 數 分 數 或 小 數 等, 因 此 看 似 複 雜 難 處 理 的 數 據, 也 能 迎 刃 而 解, 順 利 拼 組 成 功 8

31 5k 7k 八 運 用 n + d ~ n + d 之 公 式 可 以 反 其 道 而 行, 自 由 設 定 圈 數 和, 然 後 再 找 出 可 排 出 此 圈 數 和 的 數 字 群 組, 作 為 拼 組 的 題 本 九 給 予 內 外 圈 數 字 群 組, 我 們 可 以 運 用 ( 數 字 總 和 + 內 圈 數 字 和 ) 圈 數 找 出 圈 數 和, 再 運 用 雙 向 脈 絡 圖 的 連 線 方 式 來 判 斷 此 組 是 否 能 拼 組 成 功 十 不 同 的 提 示 位 置 會 影 響 解 題 成 功 的 難 易 度, 因 此 我 們 可 以 利 用 各 類 題 本 提 示 個 數 提 示 位 置 提 示 盤 轉 動 之 加 乘 效 果 變 化 出 千 變 萬 化 的 題 目 柒 未 來 展 望 一 找 出 七 圈 中 那 8 組 的 數 字 排 列 規 律, 進 而 期 望 能 推 衍 到 九 圈 或 其 它 奇 數 圈 二 探 究 偶 數 圈 的 變 化 規 律 三 非 等 差 數 列 的 數 字 群 組, 除 了 用 試 誤 法 外, 能 否 找 到 更 有 效 率 的 解 法 呢? 捌 參 考 資 料 一 第 四 十 五 屆 國 中 組 數 學 科 展 ~ 七 邊 形 的 數 字 謎 題 二 第 三 十 七 屆 初 小 組 數 學 科 展 ~ 奇 妙 的 數 學 遊 戲 三 第 二 十 五 屆 高 小 組 數 學 科 展 ~ 怎 樣 安 排 才 恰 當 9

32 評 語 本 研 究 以 數 學 邏 輯 圖 為 基 礎, 經 由 平 移 或 轉 化 為 正 負 數 等 差 數 列 小 數 及 分 數 的 過 程, 做 出 許 多 變 化, 也 使 得 研 究 結 果 更 為 豐 富 而 由 研 究 結 果 衍 生 出 的 遊 戲, 極 為 有 趣, 頗 具 吸 引 力, 整 體 而 言 是 一 篇 值 得 稱 許 的 好 作 品 惟 若 能 在 遊 戲 的 設 計 上, 將 之 精 簡, 使 之 攜 帶 方 便, 但 仍 不 失 其 原 有 之 功 能, 則 將 可 更 提 高 本 研 究 之 應 用 性