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1 2016 年 全 国 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 冬 令 营 竞 赛 时 间 :2016 年 1 月 30 日 8:00-13:00 题 目 名 称 挑 战 NPC 论 战 捆 竹 竿 鏖 战 表 达 式 目 录 npc jie expr 可 执 行 文 件 名 npc jie expr 输 入 文 件 名 npc.in jie.in expr.in 输 出 文 件 名 npc.out jie.out expr.out 每 个 测 试 点 时 限 1 秒 1 秒 1 秒 内 存 限 制 256MB 256MB 1GB 测 试 点 数 目 每 个 测 试 点 分 值 是 否 有 部 分 分 否 否 否 题 目 类 型 传 统 型 传 统 型 交 互 式 程 序 型 是 否 有 附 加 文 件 是 是 是 提 交 源 程 序 须 加 后 缀 对 于 C++ 语 言 npc.cpp jie.cpp expr.cpp 对 于 C 语 言 npc.c jie.c expr.c 对 于 Pascal 语 言 npc.pas jie.pas expr.pas 编 译 开 关 对 于 C++ 语 言 -O2 -lm -O2 -lm -O2 -lm 对 于 C 语 言 -O2 -lm -O2 -lm -O2 -lm 对 于 Pascal 语 言 -O2 -O2 -O2

2 2016 年 全 国 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 冬 令 营 挑 战 NPC 挑 战 NPC 问 题 描 述 小 N 最 近 在 研 究 NP 完 全 问 题, 小 O 看 小 N 研 究 得 热 火 朝 天, 便 给 他 出 了 一 道 这 样 的 题 目 : 有 n 个 球, 用 整 数 1 到 n 编 号 还 有 m 个 筐 子, 用 整 数 1 到 m 编 号 每 个 筐 子 最 多 能 装 3 个 球 每 个 球 只 能 放 进 特 定 的 筐 子 中 具 体 有 e 个 条 件, 第 i 个 条 件 用 两 个 整 数 v i 和 u i 描 述, 表 示 编 号 为 v i 的 球 可 以 放 进 编 号 为 u i 的 筐 子 中 每 个 球 都 必 须 放 进 一 个 筐 子 中 如 果 一 个 筐 子 内 有 不 超 过 1 个 球, 那 么 我 们 称 这 样 的 筐 子 为 半 空 的 求 半 空 的 筐 子 最 多 有 多 少 个, 以 及 在 最 优 方 案 中, 每 个 球 分 别 放 在 哪 个 筐 子 中 小 N 看 到 题 目 后 瞬 间 没 了 思 路, 站 在 旁 边 看 热 闹 的 小 I 嘿 嘿 一 笑 : 水 题! 然 后 三 言 两 语 道 出 了 一 个 多 项 式 算 法 小 N 瞬 间 就 惊 呆 了, 三 秒 钟 后 他 回 过 神 来 一 拍 桌 子 : 不 对! 这 个 问 题 显 然 是 NP 完 全 问 题, 你 算 法 肯 定 有 错! 小 I 浅 笑 : 所 以, 等 我 领 图 灵 奖 吧! 小 O 只 会 出 题 不 会 做 题, 所 以 找 到 了 你 请 你 对 这 个 问 题 进 行 探 究, 并 写 一 个 程 序 解 决 此 题 输 入 格 式 输 入 文 件 npc.in 第 一 行 包 含 1 个 正 整 数 T, 表 示 有 T 组 数 据 对 于 每 组 数 据, 第 一 行 包 含 3 个 正 整 数 n, m, e, 表 示 球 的 个 数, 筐 子 的 个 数 和 条 件 的 个 数 接 下 来 e 行, 每 行 包 含 2 个 整 数 v i, u i, 表 示 编 号 为 v i 的 球 可 以 放 进 编 号 为 u i 的 筐 子 输 出 格 式 输 出 文 件 为 npc.out 对 于 每 组 数 据, 先 输 出 一 行, 包 含 一 个 整 数, 表 示 半 空 的 筐 子 最 多 有 多 少 个 然 后 再 输 出 一 行, 包 含 n 个 整 数 p 1, p 2,, p n, 相 邻 整 数 之 间 用 空 格 隔 开, 表 示 一 种 最 优 解 其 中 p i 表 示 编 号 为 i 的 球 放 进 了 编 号 为 p i 的 筐 子 如 果 有 多 种 最 优 解, 可 以 输 出 其 中 任 何 一 种 第 2 页 共 13 页

3 2016 年 全 国 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 冬 令 营 挑 战 NPC 样 例 输 入 样 例 输 出 样 例 输 入 输 出 2 见 选 手 目 录 下 的 npc/npc.in 与 npc/npc.ans 数 据 规 模 和 约 定 对 于 所 有 数 据,T 5,1 n 3m 保 证 1 v i n,1 u i m, 且 不 会 出 现 重 复 的 条 件 保 证 至 少 有 一 种 合 法 方 案, 使 得 每 个 球 都 放 进 了 筐 子, 且 每 个 筐 子 内 球 的 个 数 不 超 过 3 各 测 试 点 满 足 以 下 约 定 : 测 试 点 m 约 定 n 20,e e = nm 4 存 在 方 案 使 得 有 m 个 半 空 的 筐 子 不 存 在 有 半 空 的 筐 子 的 方 案 无 第 3 页 共 13 页

4 2016 年 全 国 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 冬 令 营 论 战 捆 竹 竿 论 战 捆 竹 竿 问 题 描 述 这 是 一 个 美 好 的 下 午, 小 W 和 小 C 在 竹 林 里 切 磋 捆 竹 竿 的 技 艺 竹 林 里 有 无 数 根 完 全 一 样 的 短 竹 子, 每 一 根 竹 子 由 n 节 组 成 这 些 竹 子 比 较 特 别, 每 一 节 都 被 染 上 了 颜 色 可 能 的 颜 色 一 共 26 种, 分 别 用 小 写 英 文 字 母 a 到 z 表 示 也 就 是 说, 如 果 把 竹 子 的 底 端 到 顶 端 的 颜 色 按 顺 序 写 出 来 可 以 排 成 一 个 由 小 写 英 文 字 母 组 成 的 字 符 串 小 W 和 小 C 都 是 捆 竹 竿 的 高 手, 他 们 知 道 怎 样 才 能 把 零 散 的 短 竹 子 捆 成 一 整 根 长 竹 竿 初 始 时 你 拿 着 一 根 短 竹 子 作 为 当 前 的 竹 竿 每 次 你 可 以 选 择 一 根 短 竹 子, 短 竹 子 底 端 若 干 节 ( 可 以 是 0 节 ) 与 竹 竿 的 最 上 面 若 干 节 对 应 地 一 节 一 节 捆 起 来, 而 短 竹 子 前 面 剩 下 的 节 伸 出 去, 这 样 就 得 到 了 一 根 更 长 的 竹 竿 注 意, 竹 子 的 底 端 是 靠 近 根 部 的 那 一 端, 不 可 以 颠 倒 小 W 对 竹 竿 的 审 美 要 求 很 高, 他 捆 竹 竿 时 有 一 个 癖 好 : 如 果 两 根 竹 子 的 某 两 节 被 捆 在 了 一 起, 那 么 它 们 的 颜 色 必 须 相 同 我 们 假 设 一 根 短 竹 子 从 底 端 到 顶 端 每 节 的 颜 色 为 aba 那 么 两 根 竹 子 可 以 首 尾 捆 在 一 起, 可 以 得 到 一 根 颜 色 为 abaaba 的 竹 竿 ; 也 可 以 将 第 一 根 顶 端 的 一 节 a 与 第 二 根 底 端 的 一 节 a 捆 在 一 起, 得 到 一 根 颜 色 为 ababa 的 竹 竿 ; 还 可 以 直 接 将 每 一 节 都 对 应 起 来, 捆 成 一 根 颜 色 为 aba 的 竹 竿 假 设 我 们 在 颜 色 为 ababa 的 竹 竿 顶 端 再 捆 一 根 竹 子, 则 可 以 捆 成 ababaaba, abababa 和 ababa 三 种 不 同 的 情 况 但 是 小 C 在 这 个 问 题 上 有 不 同 的 看 法, 他 认 为 小 W 捆 不 出 很 多 种 长 度 不 同 的 竹 竿 小 W 非 常 不 服, 于 是 他 找 到 了 你 现 在 请 你 求 出 在 竹 竿 长 度 不 超 过 w 的 情 况 下, 小 W 可 以 捆 出 多 少 种 长 度 不 同 的 竹 竿 其 中, 竹 竿 的 长 度 指 从 底 端 到 顶 端 的 竹 子 的 节 的 个 数 注 意 : 如 果 w < n, 则 没 有 合 法 的 长 度, 此 时 答 案 为 0 输 入 格 式 输 入 文 件 jie.in 第 一 行 包 含 1 个 整 数 T, 为 数 据 组 数 每 组 数 据 的 第 一 行 包 含 2 个 正 整 数 n 和 w, 表 示 短 竹 子 的 长 度 和 竹 竿 的 长 度 上 限 每 组 数 据 的 第 二 行 包 含 一 个 长 度 为 n 的 字 符 串, 该 字 符 串 仅 由 小 写 英 文 字 母 构 成, 表 示 短 竹 子 从 底 端 到 顶 端 每 节 的 颜 色 第 4 页 共 13 页

5 2016 年 全 国 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 冬 令 营 论 战 捆 竹 竿 输 出 格 式 输 出 文 件 为 jie.out 输 出 共 T 行, 每 行 包 含 一 个 整 数 表 示 捆 成 竹 竿 的 不 同 长 度 种 数 样 例 输 入 bbab 样 例 输 出 1 5 样 例 解 释 1 可 以 捆 成 长 度 不 超 过 11 的 竹 竿 有 6 种 不 同 的 情 况 : bbab bbabbab bbabbbab bbabbabbab bbabbabbbab bbabbbabbab 后 两 种 竹 竿 长 度 相 同, 因 此 不 同 长 度 的 竹 竿 共 有 5 种 长 度 分 别 为 :4,7, 8,10,11 样 例 输 入 baaaaaabaabbaaabbbbabbbaaabbbababaaabaaabaaa abaabbabaaabaabbbbbbbbbbbababbbbaaabaabbb 样 例 输 出 样 例 输 入 输 出 3 见 选 手 目 录 下 的 jie/jie.in 与 jie/jie.ans 第 5 页 共 13 页

6 2016 年 全 国 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 冬 令 营 论 战 捆 竹 竿 数 据 规 模 和 约 定 对 于 所 有 的 测 试 数 据, 保 证 所 有 的 字 符 串 均 由 小 写 字 母 构 成 各 测 试 点 满 足 以 下 约 定 : 数 据 点 T n w 约 束 s 仅 包 含 字 母 a 和 b 无 第 6 页 共 13 页

7 鏖 战 表 达 式 问 题 描 述 这 是 一 道 交 互 题 我 们 需 要 处 理 这 样 一 类 表 达 式 : 它 由 n 个 元 素 和 n 1 个 运 算 符 构 成, 两 个 相 邻 元 素 之 间 有 且 仅 有 一 个 运 算 符, 且 表 达 式 中 没 有 括 号 例 如 a + b c 就 是 一 个 这 样 的 表 达 式 这 些 运 算 符 一 共 有 k 种, 每 种 的 优 先 级 都 不 同 为 了 方 便, 我 们 用 1 到 k 的 整 数 来 表 示 这 些 运 算 符, 并 且 数 字 越 大 的 优 先 级 越 高 这 些 运 算 符 都 满 足 交 换 律 和 结 合 律, 即 对 任 意 的 元 素 a, b, c 和 运 算 符, 满 足 a b = b a a (b c) = (a b) c 我 们 记 一 开 始 的 表 达 式 为 第 0 个 版 本 有 m 个 操 作, 每 个 操 作 为 以 下 几 种 之 一 : 1. 元 素 修 改 : 对 某 一 个 版 本, 修 改 某 个 位 置 上 的 元 素 ; 2. 运 算 符 修 改 : 对 某 一 个 版 本, 修 改 某 两 个 元 素 之 间 的 运 算 符 ; 3. 翻 转 : 对 某 一 个 版 本, 将 第 l 个 元 素 到 第 r 个 元 素 之 间 的 所 有 元 素 ( 包 括 第 l 个 和 第 r 个 元 素 ) 和 运 算 符 翻 转 我 们 记 第 i 次 操 作 之 后 得 到 的 表 达 式 为 第 i 个 版 本 在 每 个 操 作 之 后, 你 需 要 求 出 当 前 表 达 式 的 值 你 只 能 通 过 调 用 一 个 函 数 F(a, b, op) 来 得 到 a op b 的 结 果, 且 调 用 这 个 函 数 的 次 数 有 一 定 限 制 任 务 描 述 你 需 要 实 现 以 下 几 个 函 数 : init(test_id, n, m, k, a, ops) 我 们 首 先 会 调 用 这 个 函 数 其 中 : - test_id 为 测 试 点 编 号,n, m, k 意 义 见 题 目 描 述 ; - a 为 一 个 大 小 为 n 的 数 组,a[i] 表 示 最 初 表 达 式 里 的 第 i 个 元 素 的 值 ( 下 标 从 0 开 始 ); - ops 为 一 个 大 小 为 n 的 数 组,ops[i] 表 示 第 i 个 元 素 与 第 i 1 个 元 素 之 间 的 运 算 符 ; - 注 意 ops[0] 没 有 意 义, 请 不 要 尝 试 去 访 问 它 第 7 页 共 13 页

8 modify_data(id, pos, x) 元 素 修 改 操 作 : 对 第 id 个 版 本, 修 改 第 pos(0 pos < n) 个 元 素 为 x, 并 将 修 改 后 的 表 达 式 作 为 一 个 新 的 版 本 你 需 要 返 回 修 改 后 表 达 式 的 值 modify_op(id, pos, new_op) 运 算 符 修 改 操 作 : 对 第 id 个 版 本, 修 改 第 pos(1 pos < n) 和 第 pos 1 个 元 素 之 间 的 运 算 符 为 new_op, 并 将 修 改 后 的 表 达 式 作 为 一 个 新 的 版 本 你 需 要 返 回 修 改 后 表 达 式 的 值 reverse(id, l, r) 翻 转 操 作 : 对 第 id 个 版 本, 将 第 l 个 元 素 到 第 r 个 元 素 之 间 的 所 有 元 素 ( 包 括 第 l 个 和 第 r 个 元 素,0 l r < n) 和 运 算 符 翻 转, 并 将 修 改 后 的 表 达 式 作 为 一 个 新 的 版 本 你 需 要 返 回 修 改 后 表 达 式 的 值 其 中 表 达 式 里 的 元 素 (init 函 数 中 a 数 组 里 的 元 素,modify_data 中 的 x, 和 每 次 返 回 的 表 达 式 的 值 ) 均 为 Data 类 型, 这 种 类 型 在 交 互 库 里 提 供 了 定 义 你 可 以 调 用 一 个 函 数 F 来 得 到 两 个 元 素 做 某 个 运 算 的 结 果 : F(a, b, op) 返 回 将 a, b 两 个 元 素 做 运 算 op(1 op k) 之 后 的 值 请 注 意 :Data 类 型 中 的 变 量 x 只 对 交 互 库 有 意 义, 你 不 需 要 也 不 应 该 访 问 这 个 变 量 另 外 请 保 证 传 入 函 数 F 的 a, b 和 三 种 操 作 函 数 的 返 回 值 为 init modify_data 或 F 中 提 供 的 元 素, 否 则, 在 使 用 下 发 的 交 互 库 进 行 测 试 时, 会 发 生 未 知 行 为 ( 如 返 回 错 误 的 结 果, 或 运 行 错 误 等 ), 在 最 终 评 测 时, 该 测 试 点 会 被 判 为 0 分 实 现 细 节 你 需 要 且 只 能 提 交 一 个 源 文 件 expr.cpp/c/pas 实 现 上 述 函 数, 并 遵 循 下 面 的 命 名 和 接 口 对 C/C++ 语 言 的 选 手 : 你 需 要 包 含 头 文 件 expr.h Data 类 型 的 定 义 : typedef struct { int x; } Data; 最 终 评 测 时,Data 类 型 的 定 义 与 题 面 中 给 出 的 一 样 第 8 页 共 13 页

9 你 需 要 实 现 的 函 数 : void init( int test_id, int n, int m, int k, const Data *a, const int *ops ); Data modify_data(int id, int pos, Data x); Data modify_op(int id, int pos, int new_op); Data reverse(int id, int l, int r); 函 数 F 的 接 口 信 息 如 下 : Data F(Data a, Data b, int op); 你 需 要 在 本 题 目 录 下 使 用 如 下 命 令 编 译 得 到 可 执 行 程 序 : 对 于 C 语 言 gcc grader.c expr.c -o expr -O2 -lm 对 于 C++ 语 言 g++ grader.cpp expr.cpp -o expr -O2 -lm 对 Pascal 语 言 的 选 手 : 你 需 要 使 用 单 元 graderhelperlib Data 类 型 的 定 义 : type Data = record x : longint; end; 最 终 评 测 时,Data 类 型 的 定 义 与 题 面 中 给 出 的 一 样 你 需 要 实 现 的 函 数 : procedure init( test_id, n, m, k : longint; const a : array of Data; const ops : array of longint ); function modify_data( id, pos : longint; x : Data ) : Data; function modify_op( id, pos, new_op : longint ) : Data; function reverse(id, l, r : longint) : Data; 第 9 页 共 13 页

10 函 数 F 的 接 口 信 息 如 下 : function F( a, b : Data; op : longint ) : Data; 你 需 要 在 本 题 目 录 下 使 用 如 下 命 令 编 译 得 到 可 执 行 程 序 : fpc grader.pas -o expr -O2 如 何 开 始 答 题 本 题 目 录 下, 有 针 对 每 种 语 言 的 样 例 源 代 码 expr_sample.cpp/c/pas, 选 择 你 所 需 的 语 言, 将 其 复 制 为 expr.cpp/c/pas, 按 照 本 节 前 文 中 提 到 的 方 式 进 行 编 译, 即 能 通 过 编 译 得 到 可 执 行 程 序 注 意 : 你 只 能 选 择 一 种 语 言 进 行 作 答, 即 你 本 题 的 试 题 目 录 下 不 能 同 时 存 在 多 个 语 言 的 expr.cpp/c/pas 接 下 来 你 需 要 修 改 这 个 文 件 的 实 现, 以 达 到 题 目 的 要 求 如 何 测 试 你 的 程 序 交 互 库 将 从 文 件 expr.in 读 入 以 下 格 式 的 数 据 : 第 1 行 包 含 4 个 整 数 test_id, n, m, k, 需 保 证 n, m 不 超 过 20000,k 不 超 过 100 第 2 行 仅 包 含 1 个 整 数 lim, 表 示 F 函 数 的 调 用 次 数 的 限 制, 需 保 证 lim 不 超 过 10 7 第 3 行 包 含 n 1 个 整 数, 第 i(1 i < n) 个 整 数 表 示 第 i 个 运 算 符 接 下 来 m 行, 每 行 先 是 一 个 整 数 id, 然 后 是 对 第 id 个 版 本 的 一 个 操 作 接 下 来 2 或 3 个 整 数, 描 述 一 个 操 作 每 个 操 作 必 须 为 下 列 之 一 : 1 pos 修 改 第 pos(0 pos < n) 个 元 素 2 pos new_op 修 改 第 pos (1 pos < n ) 和 第 pos 1 个 元 素 之 间 的 运 算 符 为 3 l r new_op 将 第 l 个 元 素 到 第 r 个 元 素 之 间 的 所 有 元 素 ( 包 括 第 l 个 和 第 r 个 元 素 ) 和 运 算 符 翻 转 读 入 完 成 之 后, 交 互 库 将 调 用 init 函 数 然 后 再 根 据 数 据 调 用 m 次 modify_data,modify_op 或 reverse 函 数 最 后 交 互 库 将 会 用 某 种 ( 选 手 们 第 10 页 共 13 页

11 不 必 知 道 的 ) 方 式 来 计 算 你 的 所 有 函 数 返 回 值 的 校 验 和, 并 输 出 到 文 件 expr.out 中 交 互 库 还 会 输 出 你 调 用 F 函 数 的 次 数 如 果 传 入 F 函 数 的 参 数 非 法 (op 不 在 1 到 k 的 范 围 内, 或 a, b 不 是 由 交 互 库 提 供 的 元 素 ), 那 么 交 互 库 会 将 校 验 和 输 出 为 非 法 值 1 ( 因 此 该 测 试 点 得 0 分 ), 然 后 在 下 面 一 行 输 出 错 误 的 详 细 信 息 如 果 要 使 用 自 己 的 输 入 文 件 进 行 测 试, 请 保 证 输 入 文 件 按 照 以 上 格 式, 否 则 不 保 证 程 序 能 正 确 运 行 评 分 方 法 最 终 评 测 时 只 会 收 取 expr.cpp/c/pas, 修 改 本 题 目 录 中 的 其 他 文 件 对 评 测 无 效 题 目 首 先 会 受 到 和 传 统 题 相 同 的 限 制 例 如 编 译 错 误 会 导 致 整 道 题 目 得 0 分, 运 行 错 误 超 过 时 间 限 制 超 过 空 间 限 制 等 会 导 致 相 应 测 试 点 得 0 分 等 你 只 能 访 问 自 己 定 义 的 和 交 互 库 给 出 的 变 量 及 其 对 应 的 内 存 空 间, 尝 试 访 问 其 他 空 间 将 可 能 导 致 编 译 错 误 或 运 行 错 误 若 程 序 正 常 结 束, 则 会 开 始 检 验 正 确 性 如 果 答 案 不 正 确, 或 F 函 数 的 调 用 次 数 超 过 了 测 试 点 的 限 制, 该 测 试 点 得 0 分 否 则 该 测 试 点 得 满 分 题 目 中 所 给 的 时 间 空 间 限 制 为 你 的 代 码 和 交 互 库 加 起 来 可 以 使 用 的 时 间 和 空 间 我 们 保 证, 对 于 任 何 合 法 的 数 据, 任 何 语 言 任 何 版 本 的 交 互 库 ( 包 括 下 发 给 选 手 的 和 最 终 评 测 时 用 的 ), 正 常 运 行 所 用 的 时 间 不 会 超 过 0.2s, 正 常 运 行 所 用 的 空 间 不 会 超 过 64MB, 也 就 是 说, 选 手 实 际 可 用 的 时 间 至 少 为 0.8s, 实 际 可 用 的 空 间 至 少 为 960MB 第 11 页 共 13 页

12 样 例 输 入 样 例 输 出 样 例 解 释 1 这 是 使 用 试 题 目 录 中 的 grader 和 正 确 的 源 程 序 得 到 的 输 出 中 的 校 验 和 若 你 的 程 序 得 到 了 不 同 的 校 验 和, 那 么 你 的 程 序 在 本 样 例 下 是 错 误 的 我 们 用 + 和 表 示 这 两 种 运 算 符, 用 小 写 字 母 表 示 元 素, 则 每 一 个 版 本 的 表 达 式 为 如 下 形 式 : 第 0 个 版 本 :a b + c + d + e 第 1 个 版 本 :a f + c + d + e 第 2 个 版 本 :a f c + d + e 第 3 个 版 本 :a d + c f + e 第 4 个 版 本 :d + c + b a + e 第 5 个 版 本 :a b + c + d + e 样 例 输 入 输 出 2 见 选 手 目 录 下 的 expr/expr.in 与 expr/expr.ans 第 12 页 共 13 页

13 数 据 规 模 和 约 定 各 测 试 点 满 足 以 下 约 定 : test_id n = m = k = lim = 其 他 约 定 无 没 有 reverse 操 作, 第 i 个 操 作 的 id 为 i 第 i 个 操 作 的 id 为 i 无 第 i 个 操 作 的 id 为 i 无 第 i 个 操 作 的 id 为 i 无 第 13 页 共 13 页

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