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1 Householder Exponential (e At ) 6. e At 7. (a) Euler [1] (b) [2,3,4,5,6,7] (c) [8] (d) [9]
2 (1) A (A T = A) Cayley-Hamilton [10] [11] e At t e At -3-
3 (2) 1. Householder n R n n n H H=I 2(nn T /n n) Householder Householder (Householder reflection) (H=H T ) (H T H=I) (H 2 Householder H ν (u)=u 2(nn T /n n)u H ν =I 2(nn T /n T n) I H ν = I 2(nn T /n T n) Householder H ν (u)=u 2(nn T /n T n){u} n H ν (a) H ν (u)= u 2 (nn T /n n)u H ν = I 2(nn T /n n) (b) (H ν ) 2 =I H ν -1 =H ν (c) H (A) H T AH=D (2.1.1) D -4-
4 (d) n=2 ν R 2 cosα n= sin α H ν =I- 2 ν T ν cos2α sin2α ν 2 = sin2α cos2α (2.1.2) u H n n H n (u) 1 X X 2 u n H n (u) X 1 X 1 H n (n) (1) ν (X 1 cos+x 2 sin=0) p q r n=3 n= (p 2 +q 2 +r 2 =1) H= p r -2 q { p q r} = p 2 pq 2 pr 2 pq 1 2q 2 2qr 2 pr 2qr 2 1 2r -5-
5 2. e At x & = Ax, x(0)=x o (2.2.1) x x& x(t) o A n n A (2.2.1) x=e At x o (2.2.2) A P n n + P n-1 n P 1 + P o =0 (2.2.3) Cayley-Hamilton [5] P n n + P n-1 n P 1 + P o I=0 (2.2.4) -6-
6 3. A R n (or C n ) A T = A [10] 4. A AC=CD D C A A=CDC -1 (2.4.1) f(x) (x-a) f(a) f(x)=(x a)q(x)+f(a) (2.4.2) Q(x) f(a) f(x)=(ax 2 +bx+c)q(x)+px+q (2.4.3) Q(x) px+q x f(a)=(aa 2 +ba+ci)q(a)+pa+qi (2.4.4) a,b,c,p,q I [11] -7-
7 5. A 3 3 A= 0 c b c 0 a b a 0 (2.5.1) A 0a + b + c i 2 2 a + b + f(a)=e At c 2 i f(a) =[a(t)a 3 +b(t)a 2 +c(t)a+d(t)i]s(t)+ [p(t)a 2 +q(t)a+r(t)i] (2.5.2) s(t) p(t)a 2 +q(t)a+ri e At ( (similar transform)[5] Q B=Q -1 AQ B A ) e At 1 cos ω t = ω 2 A 2 1 cos ω t + ω 2 A+I (2.5.3) ω= a b c 6. (2.5.2) e At t Q=e At QQ T =I (2.6.1) -8-
8 a. t=0 e At I( ) b. t=π/2 e At?? c. t=π e At?? ( Householder Givens QR Jacobi ) e At t 2 e At, t R t =? Householder ( H n =I-2(nn T /n n) ) ν n=(p,q,r)=? A A T =A n(2) -9-
9 Cayley-Hamilton [10] t (1) A ,, n n (2) (3) (Euler) (4) t (mapping) (5) [9] -10-
10 1. 2. Cayley-Hamilton 3. t 4. t 5. e At
11 1. H. Goldstein, Classical Mechanics, 2 nd ed., Addision Wesley, London, I. E. Leonard, The Matrix Exponential, SIAM Rev., 38(1996), pp Thomas J. R. Hughes and James Winget, Finite Rotation Effects in Numerical Integration of Rate Constitutive Equations Arising in Large Deformation Analysis, Short Comm., R. Rubinstein and S. N. Atluri, Objectivity of Incremental Constitutive Relations over Finite Time Steps in Computational Finite Deformation Analysis, Comp. Meth. App. Mech. Eng., Vol.36, pp , D. B. Metzger and R. N. Dubey, Corotational Rates in Constitutive Modeling of Elastic-Plastic Deformation, J. Plasticity, Vol.4, pp , Juan C. Simo and Jerrold E. Marsden, On the Rotated Stress Tensor and Material Version of the Doyle-Ericksen Formula, D. P. Flanagan and L. M. Taylor, An Accurate Numerical Algorithin for Stress Integration with Finite Rotations, Comp. Meth. App. Mech. Eng., Vol. 62, pp ,
12 8. G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computation, 2 nd ed., The Johns Hopkins University Press, Baltimore, ,, NSC E ,,, C. Ray Wylie and Louis C. Barrett, Advanced Engineering Mathematics, 6 th, McGraw-Hill, , -,, 15 4, 1987, pp D. J. Winter, Matrix Algebra, Macmillin Publishing Company, Macmillan, Republic of Singpore, R. A. Horn and C. R. Johnson, Matrix Analysis, Taipei Publications Frading Company, A Jennings and J. J. Mckeown, Matrix Computation 2 nd Edition, John Wiley & Sons Ltd., Baffins Lane, Chichester, West Sussex, England,
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14 -15- ( NSC E ) (1) ( ) (2) (Mathematica Matlab) (3)
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Jordan, A m? (264(, A A m, A (, P P AP = D, A m = P D m P, P AP 837, Jacobi (, ( Jacobi,, Schur 24 Cayley-Hamilton 25,, A m Schur Jordan 26 Schur : 3 (Schur ( A C n n, U U AU = B, (3 B A n n =, n, n λ
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