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1 Householder Exponential (e At ) 6. e At 7. (a) Euler [1] (b) [2,3,4,5,6,7] (c) [8] (d) [9]

2 (1) A (A T = A) Cayley-Hamilton [10] [11] e At t e At -3-

3 (2) 1. Householder n R n n n H H=I 2(nn T /n n) Householder Householder (Householder reflection) (H=H T ) (H T H=I) (H 2 Householder H ν (u)=u 2(nn T /n n)u H ν =I 2(nn T /n T n) I H ν = I 2(nn T /n T n) Householder H ν (u)=u 2(nn T /n T n){u} n H ν (a) H ν (u)= u 2 (nn T /n n)u H ν = I 2(nn T /n n) (b) (H ν ) 2 =I H ν -1 =H ν (c) H (A) H T AH=D (2.1.1) D -4-

4 (d) n=2 ν R 2 cosα n= sin α H ν =I- 2 ν T ν cos2α sin2α ν 2 = sin2α cos2α (2.1.2) u H n n H n (u) 1 X X 2 u n H n (u) X 1 X 1 H n (n) (1) ν (X 1 cos+x 2 sin=0) p q r n=3 n= (p 2 +q 2 +r 2 =1) H= p r -2 q { p q r} = p 2 pq 2 pr 2 pq 1 2q 2 2qr 2 pr 2qr 2 1 2r -5-

5 2. e At x & = Ax, x(0)=x o (2.2.1) x x& x(t) o A n n A (2.2.1) x=e At x o (2.2.2) A P n n + P n-1 n P 1 + P o =0 (2.2.3) Cayley-Hamilton [5] P n n + P n-1 n P 1 + P o I=0 (2.2.4) -6-

6 3. A R n (or C n ) A T = A [10] 4. A AC=CD D C A A=CDC -1 (2.4.1) f(x) (x-a) f(a) f(x)=(x a)q(x)+f(a) (2.4.2) Q(x) f(a) f(x)=(ax 2 +bx+c)q(x)+px+q (2.4.3) Q(x) px+q x f(a)=(aa 2 +ba+ci)q(a)+pa+qi (2.4.4) a,b,c,p,q I [11] -7-

7 5. A 3 3 A= 0 c b c 0 a b a 0 (2.5.1) A 0a + b + c i 2 2 a + b + f(a)=e At c 2 i f(a) =[a(t)a 3 +b(t)a 2 +c(t)a+d(t)i]s(t)+ [p(t)a 2 +q(t)a+r(t)i] (2.5.2) s(t) p(t)a 2 +q(t)a+ri e At ( (similar transform)[5] Q B=Q -1 AQ B A ) e At 1 cos ω t = ω 2 A 2 1 cos ω t + ω 2 A+I (2.5.3) ω= a b c 6. (2.5.2) e At t Q=e At QQ T =I (2.6.1) -8-

8 a. t=0 e At I( ) b. t=π/2 e At?? c. t=π e At?? ( Householder Givens QR Jacobi ) e At t 2 e At, t R t =? Householder ( H n =I-2(nn T /n n) ) ν n=(p,q,r)=? A A T =A n(2) -9-

9 Cayley-Hamilton [10] t (1) A ,, n n (2) (3) (Euler) (4) t (mapping) (5) [9] -10-

10 1. 2. Cayley-Hamilton 3. t 4. t 5. e At

11 1. H. Goldstein, Classical Mechanics, 2 nd ed., Addision Wesley, London, I. E. Leonard, The Matrix Exponential, SIAM Rev., 38(1996), pp Thomas J. R. Hughes and James Winget, Finite Rotation Effects in Numerical Integration of Rate Constitutive Equations Arising in Large Deformation Analysis, Short Comm., R. Rubinstein and S. N. Atluri, Objectivity of Incremental Constitutive Relations over Finite Time Steps in Computational Finite Deformation Analysis, Comp. Meth. App. Mech. Eng., Vol.36, pp , D. B. Metzger and R. N. Dubey, Corotational Rates in Constitutive Modeling of Elastic-Plastic Deformation, J. Plasticity, Vol.4, pp , Juan C. Simo and Jerrold E. Marsden, On the Rotated Stress Tensor and Material Version of the Doyle-Ericksen Formula, D. P. Flanagan and L. M. Taylor, An Accurate Numerical Algorithin for Stress Integration with Finite Rotations, Comp. Meth. App. Mech. Eng., Vol. 62, pp ,

12 8. G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computation, 2 nd ed., The Johns Hopkins University Press, Baltimore, ,, NSC E ,,, C. Ray Wylie and Louis C. Barrett, Advanced Engineering Mathematics, 6 th, McGraw-Hill, , -,, 15 4, 1987, pp D. J. Winter, Matrix Algebra, Macmillin Publishing Company, Macmillan, Republic of Singpore, R. A. Horn and C. R. Johnson, Matrix Analysis, Taipei Publications Frading Company, A Jennings and J. J. Mckeown, Matrix Computation 2 nd Edition, John Wiley & Sons Ltd., Baffins Lane, Chichester, West Sussex, England,

13 15. R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, Society Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, M. M. Mehrabadi, S. C. Cowin and J. Jaric, Six-Dimensional Orthogonal Tensor Representation of The Rotation about an Axis in Three Dimensions, Int. J. Solids Structures, 32(1995), pp Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, PWS, P. Lancaster and M. Tismenetsky, The Theory of Matrices, 2 nd ed., Academic Press, C. Morler and C. V. Loan, Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, SIAM Review, Vol.20, No.4, pp , M. Vidyasagar, A Novel Method of Evaluating e At in Closed Form, IEEE Transactions on Automatic Control, pp , R. C. Ward, Numerical Computation of the Matrix Exponential with Accuracy Estimate, SIAM J. Numer Anal., Vol.14, No.4, pp ,

14 -15- ( NSC E ) (1) ( ) (2) (Mathematica Matlab) (3)

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