水油分界面旋转加速过程的形态分析 颜子翔 1, 孙露 2, 肖井华 (1. 北京邮电大学理学院, 北京市 ;2. 北京邮电大学信息与通信工程学院, 北京市 ) 摘要 : 水油二相液体在圆柱形容器中旋转加速, 其分界面会依次出现暂态的上凸 暂稳态的最大上凸 暂态的褶皱花瓣以及稳

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1 水油分界面旋转加速过程的形态分析 颜子翔 1, 孙露, 肖井华 (1. 北京邮电大学理学院, 北京市 1876;. 北京邮电大学信息与通信工程学院, 北京市 1876) 摘要 : 水油二相液体在圆柱形容器中旋转加速, 其分界面会依次出现暂态的上凸 暂稳态的最大上凸 暂态的褶皱花瓣以及稳定的下凸多种复杂的现象 采用流体质元的受力分析法, 建立了转速较低时水油二相液体旋转加速的物理模型 模型指出, 加速旋转过程中分界面上凸下凸变化的主要原因在于水的转速随时间的变化 据此可以推导出分界面形态关于二相液体转速的表达式, 并计算出水在容器边界作用下旋转加速过程中转速随时间变化的方程以修正理论结果 实验对比表明, 分界面达到暂稳态时的最大高度差模型的修正后的理论值之间误差均小于 5% 关键词 : 二相旋转液体 ; 水油分界面 ; 暂稳上凸抛物面 ; 加速过程 ; 1 The profile of oil-water interface in an accelerated rotating cylindrical vessel Zixiang Yan, Lu Sun, and Jinghua Xiao. (School of Science, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing, China 1876) Abstract The dynamics of two-layer rotating liquid at low angular velocity in a cylindrical container are explored experimentally and theoretically using an oil-water system. A transient down-concave paraboloid interface in the two-layer liquids decorated with drapes is observed before the stable up-concave paraboloid interface finally established. A simplified model is developed to explain these dynamics, where the maximal height of the transient down-concave paraboloid predicted by the model agrees well with experimental measurements (standard deviation less than 5%). Key words two-layer rotating liquids, oil-water interface, transient down-concave paraboloid interface, accelerating process

2 1 1. 引言 自牛顿水桶现象被发现至今, 旋转液体领域的研究已经持续了几百年 现代科技将旋转液体作为可调焦距的光学镜面 [1] 用于大型天体望远镜中, 这使得旋转液体的研究受到人们广泛地关注 对于单一旋转流体所形成的抛物面状自由液面, 其理论方程已由 Goodman[],Sabatka 等 [3] 及 Turkington 等 [4] 进行了推导, 验证与完善 科学工作者们也对其在低转速情况下抛物面形成的动力学过程进行着多方面的研究 例如, 对于牛顿水桶液面升高的高度与转角的关系类比谐振子的分析 [5], 圆柱型容器中旋转液体 旋起 现象的主要成因的探究 [6], 以及圆柱型容器中旋转液体靠近器壁与底部液体的运动规律的研究 [7-8] 等等 特别地, 万五一等 [9] 在对在边界阻力作用下的单相旋转液体进行衰减特性分析时, 证明了圆柱型容器中单层液体运动衰减的主因是边壁摩擦下的能量损失, 而流体质元间的湍动能量损失可以忽略不计 Phywe [1],Basta 等 [11] 对旋转液体的液面进行了精确的测量, 并引入到了基础物理实验当中, 引起了人们的关注 多相旋转流体的动力学过程由于分界面的存在, 会出现更为复杂的现象 Harunorin 等 [1] 曾对水油二相旋转液体边界振动产生的 Kelvin Helmholtz 波纹, 即实验所观察到的褶皱花瓣现象, 进行了理论上的模拟与实际测量, 得到了稳定极限与旋转频率的关系 本文则对水油二相旋转液体加速过程中的分界面形态进行研究 : 圆柱形容器中的水油二相旋转液体在加速过程中, 分界面在下层水受到有轴对称特征的非均匀重力作用下, 会依次呈现暂态上凸 暂稳态最大上凸 暂态褶皱花瓣 稳定下凸多种更加有趣的现象 基于现象, 我们建立了描述水油二相旋转液体的物理模型, 并进一步通过对流体质元的受力分析, 推导出加速过程中描述水油分界面形态函数与二相液体角速度间的关系式 ; 为了对理论结果进行进一步修正, 我们对单相旋转液体加速过程中转速随时间变化方程进行了推导 ; 最后, 我们对上凸面的最大高度差进行了测量, 以之与理论所得的最大高度差值进行对比, 所得结果验证了物理模型以及理论修正的正确性 文章的其余部分安排如下 : 第二部分我们将对实验所用装置及观察到的现象进行详细描述 ; 第三部分为水油二相液体模型的建立与分界面方程的推导, 并完成理论修正与实验的对比 ; 最后进行总结. 二相旋转液体的运动学规律.1 实验装置

3 图 1 旋转液体实验仪 包括 1.旋转电机.旋转底座 3.调转速旋钮 4.光电门周期测量仪 5.装有水 油二相液体的有机玻璃圆柱形容器 6.标尺 图 1 所示为旋转液体实验仪(FB85,杭州精科仪器有限公司制) 包括可调频 率的旋转电机(容器壁转速𝜔𝑣 可在[4,146] r/min 范围内连续调整) 旋转底座 圆柱形容器 和光电门周期测量仪等 光电门可直接读出旋转容器的旋转周期值 进而计算得到更加准确的转速值 液面的最大高度差可由标尺读出 并取多次测 量 结 果 的 平 均 值 用 于 之 后 的 计 算 对 比 实 验 中 所 用 蓖 麻 油 的 密 度 𝜌𝑜 为 kg/m3 水的密度𝜌𝑤 为1. 13 kg/m3 测得半径 由游标卡尺测得 为.5 ±.4m 由于温度对液体的运动粘度的影响可以忽略不计 因此在 这里我们不考虑温度的影响. 水油二相液体旋转加速的运动学描述 相较于单相旋转液体 水油二相液体旋转加速过程中 由水油分界面呈现 出的现象更为丰富 图 所示为一个典型的水油二相旋转流体旋转加速的演 化过程 如图 (a)所示 当容器下的转盘由静止开始转动时 油的上液面会形成稳 定的下凸抛物面 其稳定时间随转盘转速的不同而变化 在实验观测的转速范 围内 其时间尺度均在 1s 左右 同时 水油分界面整体呈现为上凸的抛物面 抛物面成上凸状的过程中会达到如图 (b)所示的最大高度差 并持续 1-s 随 后该上凸面会逐渐回落 并伴有如图 (c)所示的皱褶波纹 随着时间的推移 褶皱花瓣由初始出现的若干瓣逐渐减少 模糊并消失 系统启动 5-6s 后 分 界面最终成稳定的下凸抛物面 此时水油组成的系统达到稳态 为了使稳定时 看到的下凸抛物面更加明显 在拍摄时我们适当增大了容器壁转速 得到如图 (d)所示的图像

4 图 水油二相液体随时间的演化现象 观测的视角平行于静止液面 ;ω v1 =6.8rad/s;(a) t=.8s,(b) t=.s,(c) t=3.s;ω v =1.4rad/s;(d) t=8.s 水油分界面随时间推移的演化过程中最有特点的现象是 : 水油的界面在形成上凸抛物面后, 存在 1-s 左右的暂稳态过程, 即如图 (b) 所示 在这个过程中, 抛物面凸起的高度达到最大, 且其形状基本不变 这一现象提供了一个很好的参考, 可以用于检验所得到理论的精确程度 对于过程中上凸面的成因, 我们可以初步做出如下定性的解释 : 由于油的粘滞系数 (.6 Pa s) 远大于水的粘滞系数 ( Pa s), 油的转速很快加速至与容器的转速一致, 在离心力的作用下, 油的上液面形成稳定的下凸抛物面 ; 而水的粘滞系数远小于油, 两种液体的转速差使得下层的水受到有轴对称特征的非均匀重力作用, 远离转轴中心的油具有更大的压力, 使远离轴心的油下面的水相对下沉, 从而使得分界面整体呈上凸抛物面 在下一节中, 我们将对水油分界面建立模型并进行相应的模拟计算 3 3. 物理模型的建立以及与实验的对比 3.1 从单相液体到二相液体的物理模型建立 单相旋转液体的分析可以简化为旋转坐标系下的有势问题 [13]: 某参考系中处于静止状态的流体, 其密度处处相同且仅受保守性的体分布力 则在距中心转轴水平距离为 r, 距自由液面最低点竖直高度差为 h 处的液体, 其压强 p 的计算公式可表示为 : p = p ρgh + 1 ρω r (1) 适用于 (1) 式分析的对象均为静止或者已达到最终稳定旋转状态的液体, 其转速 ω 与距中心转轴的水平距离 r 无关, 即液体自身的转速处处相等

5 假设在单相旋转液体中液体静止高度为 H 由于液体的粘滞作用, 容器内液体随容器共同旋转 一段时间后容器内液体的自由液面成旋转抛物面, 此时液体与容器以及流体质点之间达到平衡, 液体均以同一个角速度旋转 选取圆柱形容器旋转的参考系为转动的非惯性参考系 Oxyz, 如图 3 (a) 所示, O 点置于容器底面中心点,Ox Oy 轴与容器底面同平面且相互垂直,Oz 轴与旋转轴重合,Z o 为自由液面轴心处竖坐标值,Z c 为自由液面任意一点竖坐标值 图 3 旋转液体模型 (a) 单相液体 ;(b) 二相液体 通过应用牛顿第二定律对竖直及水平分量进行分析 [1], 我们可以得到自由液面的抛物形态方程 : Z C Z = ω g r () 考虑液体在实验条件下近似为不可压缩, 液体体积保持不变, 有 : 整理可得 : H(πr) dr = π ( ω r + Z )r dr (3) g Z = H ω 4g (4) 对于旋转加速过程中, 流体并非处于稳定的状态, 其转速 ω 不是处处相等的 但另一方面, 在容器转速比较小时, 流场的径向和轴向的分量远小于切向的分量, 且转速随半径的变化很小, 其转速可以近似为不随半径和高度变化的常数 [9] 因此在对加速过程中的单层液体进行简单分析时, 式 (1) 所得的结果仍然是较好的近似 这一近似在单相流体旋转的实验中得到了较好的验证 在描述两相液体的旋转演化时, 二相液体的 上凸面 可由图 3 (b) 表示, 其中 Z a 为水油分界面轴心处 a 竖坐标值,Z b 为水油分界面任意一点 b 竖坐标值, Z o 为油自由液面轴心处 o 竖坐标值,Z c 为水自由液面任意一点 c 竖坐标值,H o 为静止时油的高度,H w 为静止时水的高度 根据上述分析, 水油二相旋转液体任意一点的压强也可近似由式 (1) 得到 对于上层液体 ( 油 ) 的自由液面, 由于其

6 推导过程与单相液体完全相同, 所以其液面仍可满足式 () 的关系 对于水油分界面, 我们可以认为其压强既满足油的压强分布也满足水的压强分布 设水层角速度为 ω w, 油层角速度为 ω o, 从油层的压强分布进行分析并代入式 (1) 可以得到 : p B = p ρ o g(z b Z ) + 1 ρ oω o r (5) 从水层的压强分布进行分析并代入式 (1) 可以得到 : p B = p ρ o g(z a Z ) ρ w g(z b Z a ) + 1 ρ wω w r (6) 以式 (5) 及式 (6) 进行联立就可以得到界面任意一点 b 与中心轴点 a 的竖直高度差表达式 : h = Z b Z a = ρ wω w ρ o ω o (ρ w ρ o )g r (7) 3. 水的转速的估计及其对暂稳态界面形状的影响 旋转液体加速或减速的主要驱动力是容器壁对其的摩擦力 [3] 在容器转速较小的情况下, 液体内部的流场可以近似用均匀的旋转流场很好地描述 由于油的上液面在短时间内达到稳定, 油内部的转速可以近似认为与容器一致 水油分界面的演化主要是水层的转速变化引起的 水层转速在加速过程中任意时刻均可视为处处相等 由 Kelvin Helmholtz[1] 原理可知水与油在变加速过程中存在横向的剪切力, 使界面产生褶皱从而出现花纹 另一方面, 强制涡旋中的流体质元主要以切向方向运动为主, 他们之间的湍动在能量分析时可以忽略不计 [9] 因此, 这种剪切力对上下层液体的转速影响也可以忽略不计, 即双层液体在旋转加速过程中对彼此的转速可近似视为无影响, 可按单层液体的加速特性进行分析 用肉眼对水在单相液体条件下由静止加速至最终形成稳定下凸抛物面的时间进行估测, 其成稳定下凸面的时间在 4 至 6s 之间, 这说明水的加速过程相对较为缓慢 我们用秒表多次测量在不同边界转速的条件下油水界面达到上凸暂稳态的时间, 发现这一时间尺度均约为 s, 远小于水的稳定时间, 因此可以初步估计 ω w = 当 r = 时, 代入式 (7) 可以得到水油分界面最大高度差的表达式 : h max = ρ wω w ρ o ω o (ρ w ρ o )g (8) 在相同实验条件下分别计算得不同容器壁转速下水油分界面的最大高度差, 与实际测量值对比所得结果如图 4 所示

7 图 4 不同边界转速下实际测量与初步理论最大高度差对比曲线,H o =.47m,H w =.55m 可以发现, 式 (9) 对最大高度差的估计在低转速时与实验接近 但随着容器壁转速增大, 误差随之增大 ω v =5.rad/s 时, 理论的预测值比实际测量值低约 % 结合图 4 得到的结果, 我们可以推测, 水油二相液体液面的高度误差主要由于忽略了水层转速, 因此我们随后分析时, 将着眼于对水转速的计算 3.3 利用流体动力学求解水的转速在水油共同旋转的过程中, 由于水层边界粘滞阻力作用, 其转速会随时间不 断增大 对于旋转加速液体, 可将 ρ w ω w ρ o ω o (ρ o ρ w ) 方 ω i 设水油的静止体积分别为 V w, V o, 由液体体积不变可得 : V w = π r ( ω i g r + Z A ) dr V o = π r [ ω o g r + ω i 结合式 (), 式 (7) 以及上述两式可得 : 任意时刻液体系统总动能为 : Z A = 1 π [π H w ω i 视为水油二相液体的等效转速的平 g r Z A ] dr g π (9) (1) 4 ] (11) 5 Z = 1 π [π H o + π H o πω o ] (1) g 5 E k = 1 ρ o πr(z C Z B )(ω o r) dr 而任意时刻液体系统的势能为 : + 1 ρ w πrz B (ω w r) dr E h = πrρ o g (z C z B ) Z dr + πrρ B w dr (13) (14)

8 由于油和水不互溶, 油和水的界面可视为滑移边界 因此在单位时间内阻力做功 P dt 主要由侧壁阻力做功 P 1 dt 以及底面摩擦阻力做功 P dt 组成 同时有 ω o = ω v, 故 : 由功能原理, 有 : P 1 dt = λ 4 πρ(ω w ω v ) 3 (H w 4 + ω w 4g 6 ) dt (15) P dt = λ πρ(ω 4 w ω v ) 3 5 dt (16) 5 P dt = E = E k + E h = E ω w (17) 将式 (13)-(16) 代入式 (17) 可得到描述水油二相液体中旋转液体加速过程中水的角速度随时间变化方程 : dω w dt = λ (ω w ω v ) 3 ω w [1 + 5(H w + ω w + 4g ) ] (18) 当转速不同时, 容器壁对水的阻力的变化规律也会随之发生变化 按照不同雷诺数 e, 可将水的加速过程分为紊流粗糙区, 紊流光滑区和层流区 对于流体不同的状态, 我们采用经验公式计算沿程阻力系数 λ[13]: λ= 1 [lg(3.7d/ ) ].316 e 1/4 64 (e ec) (3 e < ec) (19) { (e < 3) e 式中 为边界绝对粗糙度, 通常实验下其大小为 7.8μm; 对于雷诺数, 其大小可表达为 e = vd/μ;v 为平均流速, 对于加速过程, 其值可等效为 (ω v ω w )/3;d 为当量管径, 在非圆管条件下其表达式为 d = 4 n ; n 为水力 半径,Fukuchi[14] 的研究表明, 特殊流场的等效水力半径与等效截面积 A n 及等效 湿周 来估计, 即 n = A n = H w ω i r dr +H w ω = H w ω i 3 i +H 4 w ω i 4 ;μ 为运动黏度, 在实验温 度下水的运动粘度大致为 1 6 m /s; ec 为紊流粗糙区和紊流光滑区的临界雷诺数, 大小可表示为 1d/ 单一旋转液体液面的演化规律 [9] 表明, 将加速过程进一步细分时, 更为准确的沿程阻力系数对结果的改进很小, 因此我们可以沿用这种对流场的粗略划分 3.4 实验对比 根据式 (19) 可以计算出水速相应的阶段临界值 结果表明, 在我们的实验测量的时间范围内, 水层一直位于紊流光滑区 通过数值积分可得到不同边界转速条件下, 位于紊流光滑区内水的角速度随时间变化的关系曲线, 如图 5 所示

9 图 5 紊流光滑区内水的角速度与时间关系合成曲线 ω v =3.1 rad/s, 3.66rad/s, 3.91rad/s, 4.33rad/s, 4.71 rad/s, 5.5 rad/s,h o =.47m,H w =.55m. 结合之前测得不同边界转速下上凸面达到最大高度差时间的结果, 我们可在对应曲线上得到达到最大高度差时水的转速, 即可带入计算方程中计算出最大高度差 根据式 (18) 修正后的水的转速, 实际测量所得结果与理论结果对比如图 6 所示 : 图 6 不同边界转速下实际测量与二次理论最大高度差对比曲线,H o =.47m,H w =.55m 图 6 说明, 修正后的计算所得数据较原数据更加贴合实际测量值, 误差均小于 5% 综合表明, 计算所用的理论模型符合实际, 在该模型下进行水油分界面形态分析所得的计算公式是比较精确的

10 4 总结我们分别从理论与实验的角度研究了在旋转加速过程中水油二相液体分界面的形态成因 我们用简单的流体动力学模型得到了暂态上凸面的最大高度差与液体转速的关系, 并发现其演化过程主要是由加速过程中水的转速变化引起的 在观察到的现象的基础上, 我们建立了理论模型以计算其最大高度差 结果表明, 我们的理论模型得到的结果与实际的测量结果误差均在 5% 以内, 是比较精确的 这一结果可进一步应用于圆柱体容器中二相旋转液体界面的模拟计算 二相液体在沿类似圆弧边壁作用下流动时转速变化规律研究以及实际生活中曲流或洋流的模拟分析 参考文献 : 1 [J].E.Berg., otating liquid mirror.am.j.phys.,58,8-81(199) [J]J.M.Goodman, Paraboloids and vortices in hydrodynamics. Am.J.Phys.,37, (1969). 3 [J]Z Sabatka, L Dvorak., Simple verification of the parabolic shape of a rotating liquid and a boat on its surface. Phys. Educ (1). 4 [J]..Turkington, D.V.Osborne, On the influence of surface tension on the surface profile of a rotating liquid. Proc.Phys.Soc.,8, (1963). 5 [C]Carl E.Mungan, Trevor C.Lipscombe, Newton s otating Water Bucket: A Simple Model Spring 13 meeting of the Chesapeake Section of the American Association of Physics Teachers 6 [J]D.J.Baker Jr., Demonstrations of Fluid Flow in a otating System Ⅱ: The Spin-Up Problem.Am.J.Phys., 36,98(1968). 7 [J]Hitch EJ.kelmanson MA, Metcalfe PD., Shock-like free-surface perturbations in low-surface-tension, viscous, thin-film flow exterior to a rotating cylinder. Physical and Engineering Sciences. 46: (4). 8 [J]Piva M, Meiburg E., Steady axisymmetric flow in an open cylindrical container with a partially rotating bottom wall. Physics of Fluids. 1(11):11174(9). 9 [J] 万五一, 俞韵祺, 白皓, 旋转液体在边界阻力作用下的衰减特性分析. 力学学报,14,7: (Wan Wuyi, Yu Yunqi, Bai Hao. Investigation on the attenuation of a rotating liquid motion in a cylinder with boundary resistance. Journal of Theoretical and Applied Mechanics.,7:55-511(14)(in Chinese)). 1 [J]Phywe., Surface of rotatring liquids,laboratory Experiments Physics., online at 11 [J]M Basta, V Picciarelli, Stella, A simple experiment to study parabolic surfaces. 1 [J]Harunorin Yoshikawa, Jose Eduardo Wesfreid., Oscillatory Kelvin-Helmholtz instability. Part. An experiment in fluids with a large viscosity contrast. J.Fluid Mech.. 675:49-67(11). Phys. Educ. 1-13(). 13 [M]Frank M. White. Fluid Mechanics. 4th ed.(university of hode Island, 1),pp.59-64,93-95, [J]Fukuchi T.Hydraulic, Elements chart for pipe flow using new definition of hydraulic radius. Hydraulic Eng.13(9),99-994(6).